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|---|---|---|---|---|---|
次の方程式を満たす$p$を求めよ: $12^3=\frac{9^2}{3}\cdot 2^{12p}$. | \frac{1}{2} | まず、与えられた方程式をより小さな基数で書き直します。
$$(2^2\cdot 3)^3 = \frac{(3^2)^2}{3} \cdot 2^{12p}$$
指数法則を用いて計算すると、
$$2^6 \cdot 3^3 = \frac{3^4}{3} \cdot 2^{12p},$$
すなわち
$$2^6 \cdot 3^3 = 3^3 \cdot 2^{12p}.$$
両辺を$3^3$で割ると、
$$2^6 = 2^{12p}.$$
したがって、$12p = 6$となり、$p = \boxed{\frac{1}{2}}$となります。 | 指数・対数 | Level 4 | Algebra |
$a$ をゼロでない定数とするとき，二次方程式 $ax^2+20x+7=0$ がただ一つの解を持つとする．この解を求めよ． | -\frac{7}{10} | 二次方程式がただ一つの解を持つためには，判別式が0でなければならない．したがって，$20^2-4 \cdot a \cdot 7=0$ が成り立つ．これを解くと，$400-28a=0$ より $a=\frac{400}{28}=\frac{100}{7}$ を得る．
解の公式 $ \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} $ を用いると，解は $ \frac{-20\pm\sqrt{0}}{2 \cdot \frac{100}{7}} = -20 \cdot \frac{7}{200} = -\frac{7}{10}$ となる． | 二次方程式 | Level 5 | Algebra |
$\log_464$ の値を求めよ。 | 3 | $4^3=64$ であるから、$oxed{3}$ である。 | 指数・対数 | Level 2 | Algebra |
ある分数の分母は、分子の3倍より7少ない。その分数が $\frac{2}{5}$ に等しいとき、分子を求めよ。 | 14 | 分子を $x$ とおくと、分母は $3x-7$ である。分数が $\frac{2}{5}$ に等しいので、$\frac{x}{3x-7} = \frac{2}{5}$ が成り立つ。両辺に $5(3x-7)$ を掛ける（または内項の積と外項の積を比較する）と、$5x = 2(3x-7)$ となる。右辺を展開すると $5x = 6x - 14$ である。両辺から $6x$ を引くと $-x = -14$ となり、したがって $x = \boxed{14}$ を得る。 | 一次方程式 | Level 2 | Algebra |
$|x-2| \leq 5.6$を満たす整数$x$は全部でいくつありますか。 | 11 | $|x-2|$は整数であるため、取り得る値は$0,1,2,3,4,5$です。$|x-2| = 0$のとき、$x$の解は1つだけです。それ以外の場合は解は2つずつあります。したがって、解の集合に含まれる整数の総数は$\boxed{11}$です。 | 数と式 | Level 4 | Algebra |
$9s+5t=108$ のとき、$s$ が $t$ より $2$ 小さいならば、$t$ の値を求めよ。 | 9 | まず、連立方程式
\begin{align*}
9s+5t&=108, \\
t-2&=s
\end{align*}
を解く。
2番目の式を1番目の式に代入すると、$9(t-2)+5t=108$ となる。これを整理すると $14t-18=108$ であり、$t$ について解くと $t=\frac{108+18}{14}=\boxed{9}$ となる。 | 連立方程式 | Level 2 | Algebra |
$√{75x} ⋅ √{2x} ⋅ √{14x}$ を計算せよ。答えは $x$ を含む最も簡単な根号の形で表せ。 | 10x √{21x} | すべてを素因数分解の形で書くと、与えられた式は $√{3 \cdot 5^2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7 \cdot x^3} = √{(2^2 \cdot 5^2 \cdot x^2) \cdot (3 \cdot 7 \cdot x)} = \boxed{10x √{21x}}$ である。 | 平方根 | Level 5 | Algebra |
点 $M(4,4)$ は線分 $\overline{AB}$ の中点である。点 $A$ の座標が $(8,4)$ のとき、点 $B$ の座標の和を求めよ。 | 4 | 点 $B$ の座標を $(x,y)$ とする。中点の公式から、$(x+8)/2=4$ および $(y+4)/2=4$ が成り立つ。これより $x=0$ および $y=4$ が得られる。したがって、点 $B$ の座標の和は $0+4=\boxed{4}$ である。 | 平面上の曲線と複素数平面 | Level 2 | Algebra |
関数 $t(x) = 3x-8$, $s(t(x)) = x^2 + 3x - 2$ とするとき, $s(1)$ を求めよ。 | 16 | $s(x)$ の具体的な形がわからないので、$s(1)$ を直接求めることはできない。しかし $s(t(x)) = x^2 + 3x - 2$ がわかっている。そこで、$t(x)=1$ となる $x$ を見つければ、$s(t(x))$ の式から $s(1)$ が得られる。
$t(x)=1$ とすると、$3x-8=1$ より $x=3$ である。したがって $t(3)=1$ となる。このとき $s(t(3)) = s(1)$ である。また与えられた式から $s(t(3)) = 3^2 + 3\cdot3 - 2 = 9 + 9 - 2 = 16$ である。よって $s(1) = \boxed{16}$ となる。 | いろいろな式 | Level 5 | Algebra |
円 $x^2-6x +y^2-14y +33=0$ のうち、直線 $y=7$ の下側にある部分の面積を求めよ。 | \frac{25\pi}{2} | 方程式の両辺に $(-6/2)^2$ と $(-14/2)^2$ を加えると
\[
(x^2-6x +9) +(y^2-14y +49)=25,
\]
となり、これはさらに $(x-3)^2 +(y-7)^2 =5^2$ と書き直せる。この円の中心は $(3,7)$ なので、直線 $y=7$ は円の中心を通る。したがって、直線 $y=7$ の下側にある円の部分の面積は、円の面積の半分である。円の半径は $\sqrt{25} = 5$ なので、円の面積は $25\pi$ である。よって、その半分の面積は $\boxed{\frac{25\pi}{2}}$ となる。 | 二次関数 | Level 5 | Algebra |
次の積を展開せよ：$\frac{2}{5}\left(\frac{5}{x} + 10x^2\right)$。 | \frac{2}{x} + 4x^2 | 分配法則を用いると、
\begin{align*}
\frac{2}{5}\left(\frac{5}{x}+10x^2\right)&= \frac{2}{5}\cdot\frac{5}{x}+\frac{2}{5}\cdot 10x^2\\
&= \boxed{\frac{2}{x} + 4x^2}.
\end{align*} | 数と式 | Level 3 | Algebra |
$√[4]{81} ・ √[3]{27} ・ √{9}$ を正の整数で表すといくつですか？ | 27 | すべての因数は3に等しいなるので、積は $3・3・3=\boxed{27}$ となります。 | 平方根 | Level 1 | Algebra |
関数 $y=\frac{1-x}{2x+3}$ について、$x\neq-\frac{3}{2}$ のとき、取り得ない $y$ の値は何ですか。答えを分数で表しなさい。 | -\frac{1}{2} | $y = \frac{1 - x}{2x + 3}$ のとき、$1-x=(2x+3)y=2xy+3y$ が成り立ちます。これを整理すると、$1-3y=x(2y+1)$ となります。ここで、もし $2y+1=0$、すなわち $y=-\frac12$ の場合、左辺は $1-3\left(-\frac12\right)=\frac52$ でゼロではないのに対し、右辺は $x\times 0=0$ となるため、等号が成立しません。したがって、$y = \boxed{-\frac12}$ という値は取り得ません。 | 二次関数 | Level 5 | Algebra |
方程式 $\frac{2}{x}+\frac{3}{y} = 0$ を満たす任意の2つの解を通る直線の傾きはいくつですか。答えを既約分数で表しなさい。 | - \frac 32 | まず、第1項を1、第2項を-1とすれば $(x, y) = (2, -3)$ が解の一つであることがすぐにわかる。同様に、$(x, y) = (-2, 3)$ とすると、第1項は$-1$、第2項は1となる。これら2点を通る直線の傾きは $\frac{-3 - 3}{2 - (-2)} = \boxed{- \frac 32}$ である。 | 一次関数 | Level 4 | Algebra |
技術者は正方形の柱の破壊荷重を求めるために、公式 $L=\frac{25T^4}{H^2}$ を用います。$T = 4$ かつ $H = 8$ のとき、$L$ の値を求めなさい。 | 100 | 与えられた式に $T=4$, $H=8$ を代入し、分子や分母を計算する前に約分できるか考えます: \[ \frac{25(4)^4}{(8)^2}=\frac{25\cdot 2^8}{2^6}=25 \cdot 2^2=\boxed{100}. \] | 数と式 | Level 1 | Algebra |
方程式 $|x-1| = |x-2|$ を満たす $x$ の値を求めよ。答えは既約分数で表せ。 | \frac{3}{2} | この方程式は，
\[x-1 = x-2\]
または
\[x-1 = -(x-2)\]
のいずれかが成り立つことを意味する。最初の式には解が存在しない。2番目の式の解は $x= \boxed{\frac{3}{2}}$ である。 | 数と式 | Level 4 | Algebra |
ある直線上に $(6,8)$, $(-2, k)$, $(-10, 4)$ の3点があります。$k$ の値を求めなさい。 | 6 | 3点は同じ直線上にあるので、最初の2点を通る直線の傾きと、後の2点を通る直線の傾きは等しくなります。したがって、次の方程式が成り立ちます：
$$
\dfrac{k-8}{-2-6}=\dfrac{4-k}{-10-(-2)}.
$$
これを $k$ について解くと、$k=\boxed{6}$ が得られます。 | 一次関数 | Level 2 | Algebra |
点 $A=(0,1),$ $B=(2,5),$ $C=(5,2),$ $D=(7,0)$ を考えます。$A$ と $B$、$B$ と $C$、$C$ と $D$、$D$ と $A$ をそれぞれ結んでできる図形 $ABCD$ の周の長さは、整数 $a, b$ を用いて $a\sqrt{2}+b\sqrt{5}$ の形で表せます。このとき、$a$ と $b$ の和を求めなさい。 | 12 | 各辺の長さは距離の公式を用いて求めます。
$A(0,1)$ から $B(2,5)$ までの距離は $\sqrt{(2-0)^2+(5-1)^2}=2\sqrt{5}$ です。
$B(2,5)$ から $C(5,2)$ までの距離は $\sqrt{(5-2)^2+(2-5)^2}=3\sqrt{2}$ です。
$C(5,2)$ から $D(7,0)$ までの距離は $\sqrt{(7-5)^2+(0-2)^2}=2\sqrt{2}$ です。
$D(7,0)$ から $A(0,1)$ までの距離は $\sqrt{(0-7)^2+(1-0)^2}=5\sqrt{2}$ です。
これらの辺の長さを全て足すと、周の長さは $10\s... | 数と式 | Level 4 | Algebra |
次の不等式を満たす最大の整数$n$を求めよ： $n^2-9n+18$ が負となるような$n$。 | 5 | 与えられた条件を不等式で表すと、\begin{align*} n^2-9n+18&<0 \\ (n-3)(n-6)&<0 \end{align*} を得る。$3$と$6$はこの二次式の根であるから、不等式の符号はこれら2点で変化する。したがって、$n$の3つの区間について調べる。$n<3$の場合、$(n-3)$も$(n-6)$も負となるため、積は正になる。$3<n<6$の場合、$(n-3)$は正、$(n-6)$は負となるため、積は負になる。$n>6$の場合、両因子とも正となるため、積は再び正になる。以上より、不等式を満たす$n$の範囲は$3<n<6$である。問題はこの範囲を満たす最大の整数$n$を求めるものであるから、$6$より小さ... | 二次不等式 | Level 3 | Algebra |
ルークは少なくとも400平方フィートの正方形の土地に柵を設置したいと考えています。柵の使用量を最小限にするためには、正方形の一辺の長さをいくつにすればよいでしょうか？ | 20 | 土地の面積は一辺の長さを $s$ とすると $s^2$ となります。少なくとも400平方フィートでなければならないので、$s^2\geq 400$ が成り立ちます。したがって、$s \le -20 \text{ または } s \ge 20$ となります。長さは負になり得ないので、$s$ の最小値は $\boxed{20}$ です。 | 二次方程式 | Level 2 | Algebra |
関数 $f(x)$ の値が以下の表で与えられています：
\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|} \hline $x$ & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline $f(x)$ & 10 & 17 & 26 & 37 & 50 \\ \hline \end{tabular}
$f^{-1}\left(f^{-1}(50)\times f^{-1}(10)+f^{-1}(26)\right)$ を求めなさい。 | 5 | $f(7)=50$ より、$f^{-1}(50)=7$ です。同様に、$f(3)=10$、$f(5)=26$ なので、$f^{-1}(10)=3$、$f^{-1}(26)=5$ となります。したがって、
\begin{align*}f^{-1}\left(f^{-1}(50)\times f^{-1}(10)+f^{-1}(26)\right)&=f^{-1}(7\times3+5)\\ &=f^{-1}(26)=\boxed{5}.\end{align*} | 数と式 | Level 3 | Algebra |
方程式 $|y|=2(|y|-1)$ の解の積を求めなさい。 | -4 | 式を整理すると、$|y|=2$ となる。したがって、$y=\pm 2$ であり、解の積は $\boxed{-4}$ である。 | 数と式 | Level 4 | Algebra |
座標平面上の点 $A,B$ の座標がそれぞれ $(t-4,-1)$, $(-2,t+3)$ であるとする。線分 $\overline{AB}$ の中点から端点までの距離の2乗が $t^2/2$ に等しいとき、$t$ の値を求めよ。 | -5 | 線分 $\overline{AB}$ の中点から端点までの距離は、$\overline{AB}$ の長さの半分である。距離の公式より、
\begin{align*}
AB &= \sqrt{((t-4)-(-2))^2 + ((-1)-(t+3))^2}\\
&= \sqrt{(t-2)^2+(t+4)^2} \\
&= \sqrt{2t^2 + 4t + 20}
\end{align*}
また、$(AB/2)^2 = t^2/2$ より $AB = 2\sqrt{t^2/2} = \sqrt{2t^2}$ が成り立つ。これら2つの式を等しく置き、両辺を2乗すると、
$$AB^2 = 2t^2 = 2t^2 + 4t + 20 \... | 二次関数 | Level 5 | Algebra |
ある日、アメーバが1匹水たまりに入れられ、その同じ日に2匹のアメーバに分裂します。次の日には、それぞれの新しいアメーバがさらに2匹の新しいアメーバに分裂し、このようにして毎日、生存しているすべてのアメーバが2匹の新しいアメーバに分裂します。1週間後、水たまりには何匹のアメーバがいますか？（ただし、最初のアメーバが入れられる前は、水たまりにはアメーバはいないものとします。） | 128 | 一日目の終わりには、アメーバは2匹います。二日目の終わりには、$2\cdot 2 = 2^2$匹います。三日目の終わりには、$2\cdot 2^2 = 2^3$匹います。これを続けると、七日目の終わりには、$2^7= \boxed{128}$匹います。 | 数列 | Level 3 | Algebra |
次の式を簡単にせよ。$$
\sqrt{6+4\sqrt2}+\sqrt{6-4\sqrt2}.
$$ | 4 | $(\sqrt2\pm1)^2=2\pm2\sqrt2+1=3\pm2\sqrt2$ であるから、
$$
\sqrt{6+4\sqrt2}=\sqrt{2(3+2\sqrt2)}=\sqrt2(\sqrt2+1)=2+\sqrt2.
$$
同様に、
$$
\sqrt{6-4\sqrt2}=\sqrt2(\sqrt2-1)=2-\sqrt2.
$$
したがって、
$$
\sqrt{6+4\sqrt2}+\sqrt{6-4\sqrt2}=(2+\sqrt2)+(2-\sqrt2)=\boxed{4}.
$$ | 平方根 | Level 5 | Algebra |
$ rac{q}{r} = 9$, $ rac{s}{r} = 6$, $ rac{s}{t} = rac{1}{2}$ が成り立つとき、$ rac{t}{q}$ の値を求めよ。 | \frac{4}{3} | 2番目の式、1番目の式の逆数、および3番目の式の逆数を掛け合わせると、
\[
\frac{s}{r} \cdot \frac{r}{q} \cdot \frac{t}{s} = 6 \cdot \frac{1}{9} \cdot 2 \Rightarrow \frac{t}{q}= \boxed{\frac{4}{3}}.
\] | 数と式 | Level 3 | Algebra |
方程式 $\frac{\sqrt{5x}}{\sqrt{3(x-1)}}=2$ を満たす $x$ の値を求めなさい。答えは既約分数で表しなさい。 | \frac{12}{7} | まず分母を払い、両辺を平方します。
\begin{align*}
\frac{\sqrt{5x}}{\sqrt{3(x-1)}}&=2\\
(\sqrt{5x})^2 &=\left(2\sqrt{3(x-1)}\right)^2\\
5x &= 12(x-1)\\
12 &=7x\\
x&=\boxed{\frac{12}{7}}.
\end{align*}
この $x$ の値を元の方程式に代入すると成り立つため、無縁解ではありません。 | 二次方程式 | Level 3 | Algebra |
次の式の値を求めよ： $x=6$ のとき，$\frac{x^6-16x^3+64}{x^3-8}$。 | 208 | $\left(x^3-8\right)^2=x^6-16x^3+64$ であることに注意すると，$\frac{x^6-16x^3+64}{x^3-8}=\frac{\left(x^3-8\right)^2}{x^3-8}=x^3-8$ となる。したがって，求める値は $6^3-8=216-8=\boxed{208}$ である。 | いろいろな式 | Level 3 | Algebra |
次の円の面積を$\pi$を用いて表せ：$2x^2+2y^2+10x-6y-18=0$。 | \frac{35}{2} \pi | 両辺を2で割ると，
\[x^2 + y^2 + 5x - 3y - 9 = 0.\]
$x$と$y$について平方完成すると，
\[\left( x + \frac{5}{2} \right)^2 + \left( y - \frac{3}{2} \right)^2 = \frac{35}{2},\]
したがって，円の面積は $\boxed{\frac{35}{2} \pi}$ である。 | 二次関数 | Level 5 | Algebra |
以下の条件を満たす $a$ の値はいくつあるか。
(1) $a$ は $a \le 50$ を満たす正の整数である。
(2) 二次方程式 $x^2 + (2a+1)x + a^2 = 0$ は2つの整数解をもつ。 | 6 | 二次方程式 $x^2 + (2a+1)x + a^2 = 0$ が2つの整数解をもつならば、
$$x = \frac{-2a-1 \pm \sqrt{(2a+1)^2 - 4a^2}}{2}$$
が整数となるので、判別式 $(2a+1)^2 - 4a^2 = 4a + 1$ は平方数である必要がある。また、$1 \le a \le 50$ より $5 \le 4a+1 \le 201$ である。$4a+1$ は明らかに奇数の平方数に限られる。逆に、任意の奇数 $(2n+1)^2$ は $4n^2 + 4n+1 = 4(n^2 + n) + 1$ の形なので、$4a+1$ の形で表せる。$5$ から $201$ までの奇数の平方数は ... | 二次方程式 | Level 5 | Algebra |
次の式を計算せよ。
$3(1+3(1+3(1+3(1+3(1+3(1+3(1+3(1+3(1+3(1+3)))))))))$ | 88572 | 括弧が多くても惑わされないように、この式を等比級数として書き直す。
\[3+3^2+3^3+\cdots +3^9 +3^{10}.\]
ここで、和は
\[\frac{3^{11}-3}{3-1}=\boxed{88572}\]
と計算できる。 | 数列 | Level 5 | Algebra |
次の式を満たす $A$ と $B$ を求めなさい：
\[\frac{3x+5}{x^2-x-42}=\frac{A}{x-7}+\frac{B}{x+6}.\]
答えを $(A,B)$ の形で書きなさい。 | (2,1) | 左辺の分母を因数分解すると，
\[\frac{3x+5}{(x-7)(x+6)}= \frac{A}{x - 7} + \frac{B}{x + 6}\]
となる。両辺に $(x-7)(x+6)$ を掛けると，
\[3x + 5 = A(x + 6) + B(x - 7).\]
適当な $x$ の値を代入して $A$，$B$ を求める。例えば $x = 7$ とすると，式は $26 = 13A$ となるので $A = 2$ である。また $x = -6$ とすると，式は $-13 = -13B$ となるので $B = 1$ である。したがって，$(A,B) = \boxed{(2,1)}$ である。 | いろいろな式 | Level 4 | Algebra |
等比級数 $1+\left(\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{1}{3}\right)^3 + \dots$ の和を求めなさい。答えは分数で表しなさい。 | \frac{3}{2} | これは初項 $a=1$、公比 $r=\frac{1}{3}$ の無限等比級数である。したがって、和は次のようになる： $$\frac{a}{1-r} = \frac{1}{1-\frac13} = \frac{1}{\frac{2}{3}}=\boxed{\frac{3}{2}}.$$ | 数列 | Level 4 | Algebra |
次の等式を満たす$x$のうち、最小の値を求めよ：$2x^2+24x-60=x(x+13)$。 | -15 | 与式を整理すると、$2x^2+24x-60=x^2 + 13x$となる。右辺を左辺に移項すると$x^2+11x-60=0$を得る。これを因数分解すると$(x+15)(x-4)=0$となる。したがって、$x$の取り得る値は$4$と$-15$であり、このうち最小の値は$\boxed{-15}$である。 | 二次方程式 | Level 3 | Algebra |
2つの放物線が方程式 $y=2x^2-10x-10$ および $y=x^2-4x+6$ のグラフである。これらの交点をすべて求めよ。点は$x$座標の小さい順にセミコロンで区切って示せ。 | (-2,18);(8,38) | まず、2つの方程式を等しく置いて、$2x^2-10x-10=x^2-4x+6$ を得る。同類項をまとめると $x^2-6x=16$ となる。平方完成するために両辺に $\left(\dfrac{6}{2}\right)^2=9$ を加えると、$(x-3)^2=16+9=25$ となる。
したがって、$x-3=\pm5$ である。これを解くと $x=-2$ または $8$ が得られる。これらの値を元の放物線の式に代入すると、交点は $\boxed{(-2,18)}$ および $\boxed{(8,38)}$ となる。 | 二次関数 | Level 5 | Algebra |
関数 $ rac{x^4-4x^3+6x^2-4x+1}{x^2-4}$ の定義域を求めよ。 | (-∞,-2)∪(-2, 2)∪(2,∞) | 分母がゼロになるような $x$ の値は定義域から除外しなければならない。よって、まず $x^2-4=0$ を満たす $x$ の値をすべて求める。これは $(x+2)(x-2)=0$ と因数分解できるため、定義域から除外すべき値は $2$ と $-2$ のみである。したがって、解は $x \in \boxed{(-\infty,-2)\cup(-2, 2)\cup(2,\infty)}$ となる。 | 数と式 | Level 5 | Algebra |
方程式 $2^{x-3}=4^{x+1}$ を解け。 | -5 | \begin{align*}
2^{x-3} &= 4^{x+1} \\
2^{x-3} &= (2^2)^{x+1} \\
2^{x-3} &= 2^{2x+2} \\
x-3 &= 2x+2 \\
x &= \boxed{-5}
\end{align*} | 指数・対数 | Level 3 | Algebra |
数列 $A$ は等比数列であり、数列 $B$ は等差数列である。それぞれの数列は、項が $300$ を超えるとすぐに停止する。数列 $A$ から選んだ数と数列 $B$ から選んだ数の差のうち、正で最小のものは何か？
$\bullet$ 数列 $A:$ $2,$ $4,$ $8,$ $16,$ $32,$ $\ldots$
$\bullet$ 数列 $B:$ $20,$ $40,$ $60,$ $80,$ $100,$ $\ldots$ | 4 | 数列 $A$ の項は $2,$ $4,$ $8,$ $16,$ $32,$ $64,$ $128,$ $256,$ $512$ である。数列 $B$ は $20$ から始まり、毎回 $20$ ずつ増加するので、数列 $B$ は $20$ から $320$ までの $20$ の倍数すべてである。よって、数列 $A$ の項のうち、$20$ の倍数に最も近いものを調べればよい。$16,$ $64,$ $256$ がそれぞれ $20$ の倍数から $4$ だけ離れている。したがって、数列 $A$ の項と数列 $B$ の項の差のうち、正で最小のものは $\boxed{4}$ である。 | 数列 | Level 4 | Algebra |
二次式 $3x^2+4x-9$ は二つの実数根を持つ。これらの根の平方和を求めよ。答えは既約分数で表せ。 | \frac{70}{9} | $x_1$, $x_2$ を方程式 $3x^2+4x-9$ の根とする。求めたいのは $x_1^2+x_2^2$ である。ここで $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$ が成り立つことに注意する。根と係数の関係より、根の和 $x_1+x_2$ は $\frac{-b}{a}$ で与えられ、この方程式では $\frac{-4}{3}$ である。また、根の積 $x_1x_2$ は $\frac{c}{a}$ で与えられ、この方程式では $\frac{-9}{3}$ である。したがって、
$$x_1^2+x_2^2=\left(\frac{-4}{3}\right)^2-2\left(\frac{-9}{3}\... | 二次方程式 | Level 5 | Algebra |
ザカリーは1ドルのハンバーガーを32枚の硬貨で支払い、お釣りは受け取りませんでした。それぞれの硬貨はペニー（1セント）またはニッケル（5セント）のどちらかでした。ザカリーが使ったニッケルの枚数はいくつですか？ | 17 | ザカリーが使ったペニーの枚数を$p$、ニッケルの枚数を$n$とすると、
\begin{align*}
p+n&=32, \text{かつ} \\
p+5n&=100.
\end{align*} 第2式から第1式を引くと、$4n=68$ となり、したがって $n=\boxed{17}$ が得られます。 | 連立方程式 | Level 2 | Algebra |
方程式 $3^{x^2+4x+4}=9^{x+2}$ を満たす $x$ のすべての値の和を求めよ。 | -2 | $9$ は $3^2$ と書けるので、$3^{x^2+4x+4}=3^{2(x+2)}$ となり、$x^2+4x+4=2(x+2)$ が成り立つ。これを解くと、
\begin{align*}
x^2+4x+4&=2x+4 \\
\Rightarrow x^2+2x&=0 \\
\Rightarrow x(x+2)&=0
\end{align*}
したがって、$x=-2$ または $x=0$ である。これらの解を確かめると、$3^0=9^0$ および $3^4=9^2$ はともに正しい。よって、$x$ のすべての可能な値の和は $-2+0=\boxed{-2}$ である。 | 指数・対数 | Level 4 | Algebra |
2つの2桁の正の整数の平均が、一方の2桁の整数を小数点の前に、もう一方の2桁の整数を小数点の後に書いて得られる小数に等しいとき、2つの整数のうち小さい方はいくつか。 | 49 | 2つの数を $m=AB$, $n=CD$ とする（$A,B,C,D$ は桁を表す）。$m$ と $n$ の平均は $\frac{m+n}{2}$ であり、$m$ を小数点の前、$n$ を小数点の後に書いて得られる数は、
$$AB.CD = AB + 0.CD = AB+\frac{CD}{100} = m+\frac{n}{100}$$
である。これらを等しくおくと、
\begin{align*}
\frac{m+n}{2} &= m+\frac{n}{100}\\
50m+50n &= 100m+n\\
49n &= 50m
\end{align*}
となる。これより $n$ は $50$ の倍数であることがわかる。$n$ は2桁... | 数と式 | Level 5 | Algebra |
120の $ rac{1}{4}\%$ はいくつですか？答えを小数で表しなさい。 | .3 | 求める値は、
$$\frac14\%\times120=\frac{\frac14}{100}\times120=\frac{1}{400}\times120=\frac{12}{40}=\frac{3}{10}=\boxed{.3}$$となります。 | 数と式 | Level 2 | Algebra |
座標 $(6,-10)$ が端点 $(8,0)$ をもつ線分の中点であるとき、もう一方の端点の座標の和を求めよ。 | -16 | もう一方の端点を $(x,y)$ とする。中点の公式より、$(x+8)/2=6$ および $(y+0)/2=-10$ が成り立つ。したがって $x=4$、$y=-20$ となる。座標の和は $4+(-20)=\boxed{-16}$ である。 | 平面上の曲線と複素数平面 | Level 3 | Algebra |
関数 $g$ と $f$ が $g(x)=3f^{-1}(x)$ および $f(x)=\frac{24}{x+3}$ を満たすとする。このとき、$g(x)=15$ となる $x$ の値を求めよ。 | 3 | $g(x)=3f^{-1}(x)$ より、$3f^{-1}(x)=15$ である。したがって $f^{-1}(x)=\frac{15}{3}=5$ となる。$f$ と $f^{-1}$ は逆関数の関係にあるから、$f^{-1}(x)=5$ ならば $f(5)=x$ が成り立つ。これと $f(x)=\frac{24}{x+3}$ より、
$$x=f(5)=\frac{24}{5+3}=\boxed{3}.$$ | 二次関数 | Level 5 | Algebra |
関数 $f(x) = (x+2)^2-5$ を考える。$f$ の定義域がすべての実数であれば、$f$ は逆関数を持たない。しかし、$f$ の定義域を区間 $[c,\infty)$ に制限すれば、$f$ は逆関数を持つ可能性がある。ここで、$f$ が実際に逆関数を持つようにするために用いることができる最小の $c$ の値を求めよ。 | -2 | $f$ が逆関数を持つためには、同じ値を二度とらない必要がある。すなわち、定義域内の異なる $x_1$ と $x_2$ に対して $f(x_1)=f(x_2)$ となってはいけない。
$y=(x+2)^2-5$ のグラフは頂点が $(-2,-5)$ である放物線である：
[asy]
unitsize(0.2 cm);
Label f;
f.p=fontsize(4);
xaxis(-6,3,Ticks(f, 1.0, Size=1));
yaxis(-6,5,Ticks(f, 1.0, Size=1));
real g(real x)
{
return (x+2)^2-5;
}
draw(graph(g,-5.2,1... | 二次関数 | Level 5 | Algebra |
ザンシアは1時間に100ページ読むことができ、モリーは1時間に50ページ読むことができます。彼女たちが同じ本を読む場合、その本が225ページであるとき、モリーが本を読み終えるのにザンシアよりも何分多くかかりますか？ | 135 | 本を読み終えるのにかかる時間は、ザンシアの場合
$\frac{225}{100}=2.25$ 時間。
モリーの場合
$\frac{225}{50}=4.5$ 時間。
その差は $2.25$ 時間であり、$2.25\times60=\boxed{135}$ 分です。 | 一次方程式 | Level 2 | Algebra |
演算子 $\&$ を $a \& b = (a+b)(a-b)$ で定義する。このとき、$6 \& 3$ の値を求めよ。 | 27 | 定義に代入すると、$6\& 3 = (6 + 3)(6-3) = 9\cdot 3 = \boxed{27}$ である。 | 数と式 | Level 2 | Algebra |
二次式 $7x^2+3x+k$ の2つの根が $\frac{-3\pm i\sqrt{299}}{14}$ であるとき、$k$ の値を求めよ。 | 11 | 二次方程式の解の公式より、この二次式の根は $\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4(7)(k)}}{14}=\frac{-3\pm\sqrt{9-28k}}{14}$ である。問題文で与えられた根 $\frac{-3\pm i\sqrt{299}}{14}$ とこれが一致しなければならないので、\begin{align*} \sqrt{9-28k}&=i\sqrt{299}\\ \Rightarrow\qquad 9-28k&=-299\\ \Rightarrow\qquad -28k&=-308\\ \Rightarrow\qquad k&=\boxed{11}. \end{align*} | 二次方程式 | Level 4 | Algebra |
任意の数 $x$ について，$x\&=7-x$，$\&x = x -7$ と定義されている。$\&(12\&)$ の値を求めよ。 | -12 | $\&(12\&)=\&(7-12)=\&(-5)=(-5-7)=\boxed{-12}$ である。 | 数と式 | Level 3 | Algebra |
次の式を簡単にせよ: $$\sqrt[3]{2744000}$$ | 140 | まず、$1000=10^3$ を括り出すと、$\sqrt[3]{2744000}=10\sqrt[3]{2744}$ となります。次に、2744 を因数分解するために、2 を順次括り出すと、$2744=2\cdot1372=2\cdot2\cdot686=2^3\cdot343$ となります。少し試すことで、$7^3=343$ であることが分かります。したがって、$10\sqrt[3]{2744}=10(14)=\boxed{140}$ となります。 | 平方根 | Level 2 | Algebra |
$ rac{1}{x} + rac{1}{y} = 3$ かつ $ rac{1}{x} - rac{1}{y} = -7$ のとき、$x + y$ の値を求めなさい。答えを既約分数で表しなさい。 | -\frac{3}{10} | まず、\[\frac1{x} = \frac12\left(\left(\frac1{x}+\frac1{y}\right)+\left(\frac1{x}-\frac1{y}\right)\right) = \frac12(3+(-7)) = -2.\] したがって、$x = -\frac12$ です。
同様に、\[\frac1{y} = \frac12\left(\left(\frac1{x}+\frac1{y}\right)-\left(\frac1{x}-\frac1{y}\right)\right) = \frac12(3-(-7)) = 5.\] したがって、$y = \frac15$ です。
求める和は、\[x+y =... | 連立方程式 | Level 4 | Algebra |
定数 $\alpha$, $\beta$ が存在して、$\frac{x-\alpha}{x+\beta} = \frac{x^2-80x+1551}{x^2+57x-2970}$ が成り立つとき、$\alpha+\beta$ の値を求めよ。 | 137 | 分子 $x^2 - 80x + 1551$ は $(x - 47)(x - 33)$ と因数分解され、分母 $x^2 + 57x - 2970$ は $(x - 33)(x + 90)$ と因数分解される。したがって、
\[
\frac{x^2 - 80x + 1551}{x^2 + 57x - 2970} = \frac{(x - 47)(x - 33)}{(x - 33)(x + 90)} = \frac{x - 47}{x + 90}
\]
となる。これより $\alpha = 47$, $\beta = 90$ なので、$\alpha + \beta = 47 + 90 = \boxed{137}$ である。
別解として、... | いろいろな式 | Level 5 | Algebra |
関数 $f(x)$ の定義域が $[-8,4]$ であるとする。新しい関数 $g(x)$ を $$g(x) = f(-2x)$$ と定義するとき、$g(x)$ の定義域は何か。答えを区間表記で示せ。 | [-2,4] | $g(x) = f(-2x)$ が定義されるのは、$-2x$ が $f$ の定義域内にあるとき、すなわち $$-8 \\le -2x \\le 4$$ が成り立つときである。この不等式のすべての部分を $-2$ で割ると、不等号の向きが逆転する： $$4\\ge x\\ge -2.$$ したがって、$g(x)$ は $-2\\le x\\le 4$ のとき、またそのときに限り定義される。すなわち、$g(x)$ の定義域は $\\boxed{[-2,4]}$ である。 | 二次関数 | Level 5 | Algebra |
6月の第2週に22時間働くと、ゼニアは6月の第1週に15時間働いたときよりも$47.60多く稼ぐことができた。彼女の時給が一定の場合、6月の最初の2週間で彼女は合計いくら稼いだか。答えを小数点第2位まで求めよ。 | \$ 251.60 | 追加で働いた時間は$22-15=7$時間であり、この間に彼女は$7x$（$x$は時給）を得た。したがって、$x = \frac{47.60}{7} = 6.8$となる。よって、最初の2週間で稼いだ金額は$(22+15)x = 37x = \boxed{\$ 251.60}$である。 | 一次方程式 | Level 4 | Algebra |
関数 $y = f(x)$ のグラフの一部を以下に赤色で示す。ここで $f(x)$ は二次関数である。格子間の距離は $1$ 単位である。
$f(f(f(x))) = -3$ を満たす異なるすべての数 $x$ の和はいくつか？ | \boxed{-8} | まず、グラフ上で $y$ 座標が $-3$ である点は2つある。これらは $(-4,-3)$ と $(0,-3)$ である。したがって、$f(f(f(x))) = -3$ ならば、$f(f(x))$ は $-4$ または $0$ である。
次に、グラフ上で $y$ 座標が $-4$ または $0$ である点は3つある。これらは $(-2,-4),$ $(-6,0),$ $(2,0)$ である。したがって、$f(f(x))$ が $-4$ または $0$ ならば、$f(x)$ は $-2,$ $-6,$ $2$ のいずれかである。
さらに、グラフ上で $y$ 座標が $-2$ または $2$ である点は4つあり（$y$ 座標が $... | 二次関数 | Level 5 | Algebra |
関数 $y=f(x)$ のグラフが点 $(1,5)$, $(2,3)$, $(3,1)$ を通るとする。
この情報だけから、$y=f(f(x))$ のグラフ上に必ず存在する点が2つある。それらの点を $(a,b)$, $(c,d)$ と呼ぶとき、$ab+cd$ の値を求めよ。 | 17 | $f(1)=5$, $f(2)=3$, $f(3)=1$ である。
したがって、$f(f(2))=f(3)=1$ および $f(f(3))=f(1)=5$ が成り立つ。
これより、$y=f(f(x))$ のグラフは点 $(2,1)$ と $(3,5)$ を通ることがわかる。
求める式は $(2)(1)+(3)(5)=\boxed{17}$ である。 | 関数とグラフ | Level 5 | Algebra |
x+\frac{1}{x}=6\ のとき，x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\ の値を求めよ。 | 34 | 与えられた式を両辺2乗すると，
$x^2+2(x)\left(\frac{1}{x}\right) +\frac{1}{x^2}=36$ となる。
ここで $2(x)\left(\frac{1}{x}\right)=2$ であるから，
$x^2+\frac{1}{x^2}=36-2=\boxed{34}.$ | いろいろな式 | Level 3 | Algebra |
もし $27^8=9^q$ ならば、$q$ の値はいくつですか？ | 12 | 両辺を同じ底で表すことから始めます。$27 = 3^3$、$9 = 3^2$ なので、$(3^3)^8 = (3^2)^q$ となります。これは $3^{24} = 3^{2q}$ と簡略化されます。指数を等しいと置くと、$24 = 2q$ となり、したがって $q = \boxed{12}$ です。 | 指数・対数 | Level 2 | Algebra |
関数 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ のグラフの一部が下図に示されています。
$8a-4b+2c-d$ の値を求めなさい。
[asy]
import graph; size(7cm); real lsf=0.5; pen dps=linewidth(0.7)+fontsize(10); defaultpen(dps); pen ds=black; real xmin=-3.25,xmax=4.25,ymin=-9.25,ymax=4.25;
pen cqcqcq=rgb(0.75,0.75,0.75);
/*grid*/ pen gs=linewidth(0.7)+cqcqcq+linetype("2 2"); ... | 3 | $f(-2) = a(-8)+b(4)+c(-2)+d$ であることに注意します。したがって、$$8a-4b+2c-d = -f(-2).$$グラフ上に点 $(-2,-3)$ があることから、$$-f(-2) = -(-3) = \boxed{3}.$$ | いろいろな式 | Level 5 | Algebra |
$2^8-1$ は3つの素数で割り切れる。この3つの素数の和を求めよ。 | 25 | 2乗の差の因数分解を2回用いると、$(2^8-1)=(2^4+1)(2^4-1)=(2^4+1)(2^2+1)(2^2-1)=17\cdot5\cdot3$ となる。$2^8-1$ の3つの素因数の和は $17+5+3=\boxed{25}$ である。 | 展開と因数分解 | Level 2 | Algebra |
直線 $a$ は直線 $y=2x+4$ と平行で、点 $(2,5)$ を通ります。直線 $a$ の $y$ 切片はいくつですか？ | 1 | 平行な2直線の傾きは等しいです。したがって、直線 $a$ の傾きは $2$ です。点と傾きの公式を用いると、直線 $a$ の方程式は $y-5=2(x-2)=2x-4$ となります。傾き切片形式に変形すると、$y=2x+1$ です。よって、$y$ 切片は $\boxed{1}$ です。 | 一次関数 | Level 3 | Algebra |
$1+2+3+4+\dots +48+49$ の和を求めよ。 | 1225 | すべての自然数 $n$ に対して $1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n + 1)}{2}$ が成り立つ。したがって、$1 + 2 + \dots + 49 = \frac{49 \cdot 50}{2} = \boxed{1225}$ となる。 | 数列 | Level 2 | Algebra |
次の式を因数分解せよ：$9y^2-30y+25$。 | (3y - 5)^2 | この二次式は $3y$ の二乗、定数項は $-5$ の二乗であり、一次項は $2(3y)(-5)$ に等しい。したがって、$9y^2 -30y + 25 = \boxed{(3y - 5)^2}$ である。 | 展開と因数分解 | Level 3 | Algebra |
もし $Q = 5+2i$, $E = i$, $D = 5-2i$ ならば、$Q\cdot E \cdot D$ を求めよ。 | 29i | \begin{align*}
QED &= (5+2i)(i)(5-2i)\\
&=i(25-(2i)^2)\\
&=i(25+4)\\
&=\boxed{29i}.
\end{align*} | 平面上の曲線と複素数平面 | Level 4 | Algebra |
数列 $k, a_2, a_3$ と $k, b_2, b_3$ はそれぞれ公比が異なる非常数な等比数列であるとする。 もし \[a_3-b_3=2(a_2-b_2),\]が成り立つとき、2つの数列の公比の和を求めよ。 | 2 | 最初の数列の公比を $p$、2つ目の数列の公比を $r$ とする。すると、与えられた等式は
$$kp^2-kr^2=2(kp-kr)$$
となる。両辺を $k$ で割ると（数列は非常数であり、どの項も $0$ ではないため）、
$$p^2-r^2=2(p-r)$$
を得る。左辺は $(p-r)(p+r)$ と因数分解できる。$p\neq r$ であるから、両辺を $p-r$ で割ることができて、
$$p+r=\boxed{2}$$
となる。 | 数列 | Level 5 | Algebra |
次の式を展開せよ：$(x^{22}-3x^{5} + x^{-2} - 7)\cdot(5x^4)$。 | 5x^{26}-15x^9-35x^4+5x^2 | 分配法則を用いて展開すると、
\begin{align*}
(x^{22}&-3x^{5} + x^{-2} - 7)\cdot(5x^4)\\
&=(x^{22})(5x^4)+(-3x^5)(5x^4)+(x^{-2})(5x^4)-7(5x^4)\\
&=5x^{26}-15x^9+5x^2-35x^4\\
&=\boxed{5x^{26}-15x^9-35x^4+5x^2}.
\end{align*} | いろいろな式 | Level 3 | Algebra |
ティファニーは長方形のテニスコートの周りにフェンスを設置しています。フェンスの長さはちょうど300フィートでなければなりません。フェンスはコートの4辺すべてを囲む必要があります。規定により、フェンスで囲まれた領域の長さは少なくとも80フィート、幅は少なくとも40フィートでなければなりません。ティファニーは、ベンチや収納スペースを確保するために、フェンスで囲まれる面積をできるだけ大きくしたいと考えています。最適な面積は何平方フィートですか？ | 5600 | 囲いの長さを $l$、幅を $w$ とする。$2l+2w=300$ より $l + w = 150$ が成り立つ。長方形のテニスコートの面積 $lw$ を最大化したい。$l=150-w$ を面積の式に代入すると、
\[(150-w)(w)=150w-w^2\]
となる。この式の最大値を求めるために平方完成を行う。$-1$ でくくると、
\[-(w^2-150w)\]
括弧内を完全平方にするために、$\left(\frac{150}{2}\right)^2=5625$ を足して引く。
\[-(w^2-150w+5625-5625) \Rightarrow -(w-75)^2+5625\]
この式が最大となるのは $-(w-75)^2$... | 二次関数 | Level 5 | Algebra |
数列 $140, a, \frac{45}{28}$ が等比数列の第1項、第2項、第3項であるとき、$a$ が正の数ならば $a$ の値を求めよ。 | 15 | この等比数列の公比を $r$ とする。$140\cdot r = a$ および $a \cdot r = \frac{45}{28}$ が成り立つ。最初の式から $r=\frac{a}{140}$ を得る。これを2番目の式に代入して $r$ を消去すると、$a \cdot \frac{a}{140} = \frac{45}{28}$ となる。したがって $a = \boxed{15}$ である。 | 数列 | Level 4 | Algebra |
整数の増加等差数列 $a_1, a_2, a_3,\dots$ を考える。$a_4a_5 = 13$ のとき、$a_3a_6$ の値を求めよ。 | -275 | 13を2つの整数の積として表す方法は、$13 = 1 \times 13$ または $13 = (-1) \times (-13)$ の2通りしかない。これらを場合分けして考える。
$13 = 1 \times 13$ の場合、数列は増加列なので $a_4 = 1$, $a_5 = 13$ である。このとき公差は $13 - 1 = 12$ であるから、$a_3 = a_4 - 12 = 1 - 12 = -11$, $a_6 = a_5 + 12 = 13 + 12 = 25$ となる。よって $a_3 a_6 = (-11) \cdot 25 = -275$ である。
$13 = (-1) \times (-13)$ の場合... | 数列 | Level 5 | Algebra |
直線 $3x-2y = 6$ に垂直で、$y$切片が $2$ である直線の $x$切片を求めよ。 | 3 | $3x-2y = 6$ の両辺から $3x$ を引き、$-2$ で割ると $y = \frac{3}{2}x - 3$ となる。よって、この直線の傾きは $\frac{3}{2}$ であり、これに垂直な直線の傾きは $-\frac{2}{3}$ である。
傾き切片形を用いると、$y$切片が $2$ でこれに垂直な直線の方程式は $y = -\frac{2}{3}x + 2$ と表せる。
$x$切片を求めるために $y = 0$ とおくと、$0 = -\frac{2}{3}x + 2$ より $x = 3$ を得る。したがって、答えは $\boxed{3}$ である。 | 一次関数 | Level 4 | Algebra |
次の式を簡単にせよ: $(3-2i)-(5-2i)$。 | -2 | $(3-2i)-(5-2i) = 3-2i -5+2i = (3-5) + (-2i+2i) = \boxed{-2}$。 | 数と式 | Level 2 | Algebra |
次の式を展開せよ: $(x+2)(3x-6)$。 | 3x^2-12 | 展開するために、$(3x-6)$を$x$倍した積と、$(3x-6)$を$2$倍した積を足し合わせる。
\begin{align*}
(x+2)(3x-6) &= x\cdot(3x-6) +2\cdot(3x-6)\\
&= (3x^2-6x) + (6x-12)
\end{align*}同類項をまとめると、最終的な答えは $\boxed{3x^2-12}$ となる。 | 展開と因数分解 | Level 2 | Algebra |
多項式 $x^2-5x+t$ が正の整数のみを解に持つとき、$t$ として取り得るすべての異なる値の平均を求めよ。 | 5 | この多項式の解を $r_1$ と $r_2$ とする。2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ において、解の和は $-\frac{b}{a}$、解の積は $\frac{c}{a}$ であるから、$r_1+r_2=5$ および $r_1r_2=t$ が成り立つ。$r_1$ と $r_2$ が正の整数であるため、可能な順序付き組 $(r_1,r_2)$ は $(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)$ のみである。これらはそれぞれ $t$ の値として $4,6,6,4$ を与える。したがって、$t$ の異なる可能性は $4$ と $6$ であり、それらの平均は $\boxed{5}$ である。 | 二次方程式 | Level 5 | Algebra |
演算 $\S$ を $a\,\S\, b=3a+5b$ と定義します。このとき、$7\,\S\,2$ の値を求めなさい。 | 31 | この問題は、式 $3a+5b$ において $a$ に $7$、$b$ に $2$ を代入することを求めています。計算すると、$7\S 2 = 3(7) + 5(2) = 21 + 10 = \boxed{31}$ となります。 | 数と式 | Level 1 | Algebra |
無限等比級数は初項328、和が2009である。その公比はいくらか？ | \frac{41}{49} | この級数は無限等比級数なので、$\frac{328}{1-r} = 2009$ が成り立つ。$r$ について解くと、$r = \boxed{\frac{41}{49}}$ となる。 | 数列 | Level 5 | Algebra |
演算 $a @ b$ を $a @ b = 3a - 3b$ と定義するとき、$3 @ 5$ の値を求めよ。 | -6 | まず、$3a - 3b = 3(a-b)$ と変形できることに注意する。次に、$a = 3$、$b = 5$ を代入すると、$3(3-5) = 3(-2) = \boxed{-6}$ となる。 | 文字式 | Level 2 | Algebra |
次の式を簡単にせよ: $(3p^3 - 5p + 6) + (4 - 6p^2 + 2p)$。答えを $Ap^3 + Bp^2 + Cp +D$ の形で表せ。ただし $A$, $B$, $C$, $D$ は数（負の数でもよい）とする。 | 3p^3 - 6p^2 - 3p + 10 | 結合法則を用いて同類項をまとめると、$(3p^3 - 5p + 6) + (4 - 6p^2 + 2p) = 3p^3 - 6p^2 - 5p + 2p + 6 + 4 = \boxed{3p^3 - 6p^2 - 3p + 10}$ となる。 | 数と式 | Level 3 | Algebra |
次の計算をしなさい：$139+27+23+11$。 | 200 | 加法は結合法則を満たすので、項を並べ替えることができる：
$139+27+23+11=(139+11)+(27+23)=150+50=\boxed{200}$。 | 数と式 | Level 1 | Algebra |
関数 \[f(x) =
\begin{cases}
2x + 9 & (x<-2\text{のとき}), \\
5-2x& (x\ge -2\text{のとき}).
\end{cases}
\]
について，$f(3)$の値を求めよ。 | -1 | $3\ge -2$であるから，2番目の場合分けを用いて，$f(3) = 5-2(3) = \boxed{-1}$となる。 | 一次関数 | Level 2 | Algebra |
2つの正の整数の平方の和は90である。また、それらの整数の積は27である。この2つの整数の和はいくつか。 | 12 | 2つの整数を$x$と$y$とする。$x^2 + y^2 = 90$、かつ$xy = 27$が与えられている。$x + y$を求めたい。ここで、$(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 90 + 2\cdot 27 = 144$であることに注意する。144の平方根をとると、$x + y = \boxed{12}$となる。 | 数と式 | Level 1 | Algebra |
次の連立方程式が成り立つとき，$a - b$ の値を求めよ：
\[
2010a + 2014b = 2018,\quad 2012a + 2016b = 2020.
\] | -3 | 与えられた2つの方程式の差をとると，
\begin{align*}
(2012a + 2016b)-(2010a + 2014b) &= 2020-2018\\
2a+2b &= 2\\
a+b &= 1
\end{align*}
が得られる。この $a+b=1$ の両辺を $2010$ 倍し，もとの $2010a + 2014b = 2018$ から引くと，
\begin{align*}
4b &= (2010a + 2014b) - 2010(a+b)\\
\Rightarrow \qquad 4b &= 2018-2010\\
\Rightarrow \qquad 4b &= 8\\
\Rightarrow \qquad b ... | 連立方程式 | Level 4 | Algebra |
次の方程式を $z$ について解きなさい: $1-iz = -1 + iz$ (ただし $i^2 = -1$)。答えはできるだけ簡単にしなさい。 | -i | $1 - iz = -1 + iz$ より $2 = 2iz$ となる。したがって $z = \frac{1}{i}$ である。分子と分母に $-i$ をかけると、$z = \frac{1}{i} \cdot \frac{-i}{-i} = \frac{-i}{1} = \boxed{-i}$ を得る。 | いろいろな式 | Level 5 | Algebra |
方程式 $\sqrt{5+2z} = 11$ の解をすべて求めよ。 | 58 | 両辺を2乗して根号を取り除きます。これにより $5+2z = 121$ が得られます。$z$ について解くと $z = \boxed{58}$ となります。方程式を2乗したので、解が無理数解（無縁根）でないか確認する必要があります。実際に計算すると
\[\sqrt{5 +2 \cdot 58} =\sqrt{121} = 11\]
となるので、この解は有効です。 | 二次方程式 | Level 3 | Algebra |
私は今年の夏、中古車を購入するために3000ドルを稼ぐ予定で、12週間の間、週に20時間働く計画を立てていました。しかし、夏の最初の2週間は病気で働けませんでした。それでも車を購入したい場合、残りの夏の期間で週に何時間働かなければなりませんか？ | 24 | 夏の間に稼ぐ合計金額が一定であるとすると、週ごとの労働時間と労働する週の合計数は反比例の関係にあります。したがって、働く週の数が$\frac{10}{12}=\frac{5}{6}$倍になった場合、週あたりの労働時間は$\frac{6}{5}$倍にする必要があります。$\frac{6}{5}\cdot20=24$より、週に$\boxed{24}$時間働かなければなりません。 | 比例反比例 | Level 3 | Algebra |
与えられた $A = (\sqrt{2008}+\sqrt{2009}),$ $B = (-\sqrt{2008}-\sqrt{2009}),$ $C = (\sqrt{2008}-\sqrt{2009}),$ $D = (\sqrt{2009}-\sqrt{2008})$ について、積 $ABCD$ を求めよ。 | 1 | 平方差の公式を用いると、
$$(\sqrt{2009}+\sqrt{2008})(\sqrt{2009}-\sqrt{2008})=2009-2008=1$$
また、
$$(-\sqrt{2009}+\sqrt{2008})(-\sqrt{2009}-\sqrt{2008})=2009-2008=1$$
したがって、この積は $\boxed{1}$ である。 | 数と式 | Level 4 | Algebra |
関数 $f$ を次で定義する：\[f(x) = \left\{
\begin{array}{cl}
2-x & \text{ if } x \leq 1, \\
2x-x^2 & \text{ if } x>1.
\end{array}
\right.\]
$f^{-1}(-3)+f^{-1}(0)+f^{-1}(3)$ を計算せよ。 | 4 | $f^{-1}(-3)$ は $f(x) = -3$ となる $x$ の値である。関数 $f$ は区分的に定義されているので，この値を求めるには $x \le 1$ と $x > 1$ の両方の場合を考える必要がある。
$x \le 1$ かつ $f(x) = -3$ ならば，$2 - x = -3$ より $x = 5$ となる。しかしこの値は条件 $x \le 1$ を満たさない。$x > 1$ かつ $f(x) = -3$ ならば，$2x - x^2 = -3$，すなわち $x^2 - 2x - 3 = 0$ となる。この方程式は $(x - 3)(x + 1) = 0$ と因数分解できるので，$x = 3$ または $x ... | 関数 | Level 5 | Algebra |
ある直方体の箱の体積は108立方フィートです。この箱の体積は何立方ヤードですか？ | 4 | 1ヤードは3フィートなので、1立方ヤードは $3^3=27$ 立方フィートです。したがって、箱の体積は $108/27=\boxed{4}$ 立方ヤードです。 | 文字式 | Level 4 | Algebra |
$log_{7}{2400}$ を最も近い整数に丸めると、その値はいくつですか？ | 4 | $log_{7}343=3$ および $log_{7}2401=4$ が成り立ちます。$log_{7}x$ は $x$ が増加するとともに増加するので、$log_{7}343<log_{7}2400<log_{7}2401$ すなわち $3<log_{7}2400<4$ が分かります。さらに、2400 は 2401 に非常に近く、343 よりもはるかに近い値であることがわかります。したがって、$log_{7}2400$ を最も近い整数に丸めると $\boxed{4}$ になります。 | 指数・対数 | Level 2 | Algebra |
方程式 $x^3 + 3x^2 - 10x = 0$ のすべての解 $x$ の平均を求めよ。 | -1 | まず、与式を因数分解すると $x(x^2 +3x - 10) = 0$ となる。よって、$x=0$ が一つの解であり、残りの二つの解は $x^2 + 3x-10=0$ の解である。この二次方程式の解は因数分解しても求められるが、解の和が $-(3/1)=-3$ であることに注目すると、元の三次方程式の三つの解の和は $0 + (-3) = -3$ となる。したがって、三つの解の平均は $-3/3 = \boxed{-1}$ である。 | 二次方程式 | Level 5 | Algebra |
次の式を簡単にせよ：$\sqrt{8} \times \sqrt{50}$。 | 20 | 平方根は指数 $\frac{1}{2}$ を意味し、指数は乗算に対して分配法則が成り立つため、根号をまとめることができる。\[ \sqrt{8}\cdot \sqrt{50}=\sqrt{8\cdot50}. \] ここで根号の中身を素因数分解すると、$8\cdot50=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot5^2=(2\cdot2)^2\cdot5^2$。したがって、$\sqrt{8\cdot50}=\sqrt{(2\cdot2)^2\cdot5^2}=2\cdot2\cdot5=\boxed{20}$ となる。 | 平方根 | Level 3 | Algebra |
マックスは新しいダートバイクを購入し、その費用の$10\%$に相当する$\$150$を頭金として支払った。このバイクの価格はいくらだったか。 | \$ 1500 | ダートバイクの価格の$10\%$が$\$150$ならば、価格の$100\%$はマックスが頭金として支払った金額の10倍であるはずである。したがって、バイクの価格は$10 \times \$150=\boxed{\$ 1500}$となる。 | 一次方程式 | Level 1 | Algebra |
関数 $f(x)=\frac{x+6}{\sqrt{x^2-3x-4}}$ の定義域を求めよ。 | (-\infty, -1) \cup (4, \infty) | 関数が定義されるためには、平方根の中身が正でなければならない。すなわち、$x^2-3x-4>0$ が必要である。左辺を因数分解すると $(x-4)(x+1)>0$ となる。よって、左辺の2つの因数が両方とも負であるか、または両方とも正である場合である。両方が負になるのは $x<-1$ のときであり、両方が正になるのは $x>4$ のときである。したがって、$f(x)$ の定義域は $x<-1$ または $x>4$、すなわち区間記号で $x \in \boxed{(-\infty, -1) \cup (4, \infty)}$ と表される。 | 数と式 | Level 5 | Algebra |
ボルトを緩めるのに必要な力は、使用するレンチのハンドルの長さに反比例します。ハンドル長が9インチのレンチでは、あるボルトを緩めるのに375ポンドの力が必要です。同じボルトを緩めるのに、ハンドル長が15インチのレンチでは何ポンドの力が必要ですか？ | 225 | 9インチのレンチから15インチのレンチに変更すると、レンチの長さは $\frac{15}{9} = \frac{5}{3}$ 倍になります。レンチの長さと必要な力は反比例するので、それらの積は一定でなければなりません。したがって、レンチの長さを $\dfrac53$ 倍したとき、積を一定に保つには必要な力を $\dfrac35$ 倍する必要があります。よって、必要な力は $(375)\left(\frac35\right) = \boxed{225}$ ポンドです。 | 比例反比例 | Level 2 | Algebra |
二次式 $8x^2+12x-14$ は2つの実数根を持つ。これらの根の2乗の和を求めよ。答えは既約分数で表せ。 | \frac{23}{4} | 方程式 $8x^2+12x-14$ の2根を $x_1$, $x_2$ とする。求めるものは $x_1^2+x_2^2$ である。ここで、$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$ が成り立つ。根と係数の関係より、根の和 $x_1+x_2$ は $\frac{-b}{a}$ に等しく、この方程式では $\frac{-12}{8}=\frac{-3}{2}$ である。また、根の積 $x_1x_2$ は $\frac{c}{a}$ に等しく、この方程式では $\frac{-14}{8}=\frac{-7}{4}$ である。したがって、$x_1^2+x_2^2=\left(\frac{-3}{2}\right)^2... | 二次方程式 | Level 5 | Algebra |
式 $(x^4+x+5)(x^5+x^3+15)$ の展開における定数項を求めよ。 | 75 | 展開したときの定数項だけに注目すればよい。それ以外の項は、すべて変数を含む項の積になるからである。したがって、$(5)(15)$ を計算し、その値は $\boxed{75}$ である。 | いろいろな式 | Level 3 | Algebra |
数列 $2^2, y, 2^4$ が等差数列であるとき、整数 $y$ の値を求めよ。 | 10 | 項 $y$ は $2^2 = 4$ と $2^4 = 16$ の平均に等しい。よって、$(4 + 16)/2 = 20/2 = \boxed{10}$ である。 | 数列 | Level 4 | Algebra |
正の整数 $x$ に対し、整数 $n=x^2+2x+17$ および $d=2x+5$ を定義する。$n$ を $d$ で割るとき、商は $x$ で余りは $7$ となる。$x$ を求めよ。 | 2 | $n$ を $d$ で割ったときの商が $x$、余りが $7$ であることから、$n/d = x + 7/d$ と表せる。$n$ と $d$ を代入すると、
$$\frac{x^2+2x+17}{2x+5}=x+\frac{7}{2x+5}.$$
両辺に $2x+5$ を掛けて、
\begin{align*}
x^2+2x+17&=x(2x+5)+7\\
x^2+2x+17&=2x^2+5x+7\\
0&=x^2+3x-10\\
0&=(x-2)(x+5).
\end{align*}
よって $x=2$ または $x=-5$ である。$x$ は正の整数であると与えられているので、$x=\boxed{2}$ である。
検算：$x^2... | 二次方程式 | Level 5 | Algebra |
二次方程式 $ax^2+20x+c=0$ はちょうど一つの解をもつ。$a+c=29$ であり、$a<c$ であるとき、順序対 $(a,c)$ を求めよ。 | (4,25) | 二次方程式がただ一つの解をもつためには、判別式が $0$ でなければならない。判別式は $b^2-4ac=400-4ac=0$ であるから、$ac=\frac{400}{4}=100$ を得る。$a+c=29$ と $ac=100$ を与えられた条件として $a$ と $c$ を求める必要がある。二次方程式を立てて解くこともできるが、ここでは代数的な操作を工夫する：$a+c=29$ より、$$(a+c)^2=a^2+c^2+2ac=29^2=841.$$両辺から $4ac=400$ を引くと、$$a^2+c^2+2ac-4ac=a^2+c^2-2ac=841-400=441.$$左辺は平方の形になっているので、両辺の平方根をとると、... | 二次方程式 | Level 4 | Algebra |
和を求めよ: $(-39) + (-37) + \cdots + (-1)$. | -400 | この和は公差 $2$ の等差数列の和である。項数を $n$ とすると、第 $n$ 項が $-1$ であるから、$-39 + (n-1)(2) = -1$ より $n = 20$ となる。等差数列の和は、（初項＋末項）÷ $2$ × 項数で求められるので、和は $[(-39) + (-1)]/2 \cdot 20 = \boxed{-400}$ である。 | 数列 | Level 4 | Algebra |
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