problem stringlengths 3 4.13k | answer stringlengths 1 159 | solution stringlengths 25 4.39k | unit stringclasses 116
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|---|---|---|---|---|---|
座標平面上に $100$ 角形 $P_1$ が描かれている。$100$ 個の頂点の $x$ 座標の合計は $2009$ である。$P_1$ の各辺の中点を結んでできる $100$ 角形を $P_2$ とする。さらに、$P_2$ の各辺の中点を結んでできる $100$ 角形を $P_3$ とする。$P_3$ の頂点の $x$ 座標の合計を求めよ。 | 2009 | $P_1$ の頂点の $x$ 座標を $x_1,x_2,\ldots,x_{100}$ とする。中点の公式より、$P_2$ の頂点の $x$ 座標は $\frac{x_1+x_2}2,\frac{x_2+x_3}2,\ldots,\frac{x_{100}+x_1}2$ である。これらの和は $\frac{2x_1+2x_2+\cdots +2x_{100}}2 = x_1+x_2+\cdots+x_{100}$ となる。同様に、$P_3$ の頂点の $x$ 座標の和は $P_2$ の頂点の $x$ 座標の和に等しい。したがって、求める答えは $\boxed{2009}$ である。 | 二次関数 | Level 5 | Algebra |
点 $(1,2)$ が $y=\frac{f(x)}2$ のグラフ上にあるとする。このとき、$y=\frac{f^{-1}(x)}{2}$ のグラフ上になければならない点がただ一つ存在する。その点の座標の和を求めよ。 | \frac 92 | 点 $(1,2)$ が $y=\frac{f(x)}2$ のグラフ上にあることから、$$2 = \frac{f(1)}{2}$$が成り立つ。これより $f(1)=4$ が得られる。したがって、$f^{-1}(4)=1$ である。ゆえに、点 $\left(4,\frac12\right)$ が $y=\frac{f^{-1}(x)}{2}$ のグラフ上にある。この点の座標の和は $\boxed{\frac 92}$ である。 | 指数・対数 | Level 5 | Algebra |
$ rac{235^2-221^2}{14}$ の値を求めよ。 | 456 | この問題のポイントは、$235^2 - 221^2$ が $(235+221)(235-221)$ と因数分解できることに気づくことです。よって、与えられた分数は $ rac{(235+221)(235-221)}{14} = rac{456 imes 14}{14}$ となり、約分すると $\boxed{456}$ が得られます。 | 展開と因数分解 | Level 1 | Algebra |
$361+2(19)(6)+36=x$。この方程式を解き、$x$を求めよ。 | 625 | $361=19^2$、$36=6^2$であることに注意すると、$x=19^2+2(19)(6)+6^2$となる。これは二項展開の公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$に当てはまり、$(19+6)^2=25^2$と計算できる。したがって、答えは$\boxed{625}$である。 | 数と式 | Level 1 | Algebra |
2つの放物線は、それぞれ方程式 $y=2x^2-7x+1$ と $y=8x^2+5x+1$ のグラフである。これらの交点をすべて求めよ。点は $x$ 座標の小さい順にセミコロンで区切ってリストせよ。 | (-2, 23); (0, 1) | まず、2つの方程式を等置して $2x^2-7x+1=8x^2+5x+1$ を得る。同類項をまとめると $6x^2+12x=0$ となる。両辺を $6$ で割ると $x^2+2x=0$ となる。平方完成するために両辺に $\left(\dfrac{2}{2}\right)^2=1$ を加えると、$(x+1)^2=1$ が得られる。
したがって $x+1=\pm1$ となる。これを解くと $x=-2$ または $0$ が得られる。これらの値を元の放物線の式に代入すると、交点は $\boxed{(-2, 23)}$ と $\boxed{(0, 1)}$ となる。 | 二次関数 | Level 5 | Algebra |
次の和の値を求めよ：$\frac{2}{3}+\frac{2^2}{3^2}+\frac{2^3}{3^3}+ \ldots +\frac{2^{10}}{3^{10}}$。答えは既約分数で表すこと。 | \frac{116050}{59049} | これは初項 $a_1 = \frac{2}{3}$、公比 $r = \frac{2}{3}$ の等比数列の第10項までの和である。
したがって、
\begin{align*}
S &= \frac{a(1-r^{n})}{1-r}= \frac{2}{3} \cdot \frac{1-\left(\frac{2}{3}\right)^{10}}{1-\frac{2}{3}}\\
& = \frac{2}{3}\cdot\frac{1-\frac{1024}{59049}}{\frac{1}{3}}=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{1}\cdot\frac{58025}{59049}=\frac{2\cdot5802... | 数列 | Level 5 | Algebra |
もし $a \div b = 2$ かつ $b \div c = \frac{3}{4}$ ならば、$c \div a$ の値はいくつですか？答えを既約分数で表しなさい。 | \frac{2}{3} | $\dfrac{b}{a} \cdot \dfrac{c}{b} = \dfrac{c}{a}$ であるから、$a \div b$ と $b \div c$ の逆数を掛け合わせればよい：$(1/2)(4/3) = \boxed{\frac{2}{3}}$。 | 数と式 | Level 3 | Algebra |
次の無限の数列において、整数はいくつありますか？ $$\sqrt{4096},\sqrt[3]{4096},\sqrt[4]{4096},\sqrt[5]{4096},\sqrt[6]{4096},\ldots$$ | 5 | $4096=2^{12}$であるから、これらが整数となるのは根号の指数が12の約数であるときである。したがって、この数列の中で整数となるものは、$\sqrt{4096}=2^6=64$、$\sqrt[3]{4096}=2^4=16$、$\sqrt[4]{4096}=2^3=8$、$\sqrt[6]{4096}=2^2=4$、$\sqrt[12]{4096}=2$の5つである。ゆえに、整数は全部で$\boxed{5}$個である。 | 平方根 | Level 4 | Algebra |
次の式を整数に変形せよ：$\sqrt[3]{2^6\cdot3^3\cdot11^3}$。 | 132 | $2^6\cdot3^3\cdot11^3$ の立方根を考えると、$2^{6/3}\cdot3^{3/3}\cdot11^{3/3}$ となるため、$2^2\cdot3\cdot11=132$ となる。したがって、答えは $\boxed{132}$ である。 | 指数・対数 | Level 1 | Algebra |
定数 $a$ と $b$ について，関数を次のように定義する．
\[ f(x) = \left\{
\begin{array}{cl}
a x + b & \text{if } x < 2, \\
8 - 3x & \text{if } x \ge 2.
\end{array}
\right. \]
この関数 $f$ は，すべての $x$ に対して $f(f(x)) = x$ を満たす．このとき，$a + b$ の値を求めよ． | \frac{7}{3} | $x = 3$ とおくと，$f(3) = -1$ である． $-1 < 2$ であるから，$f(-1) = -a + b$ となる．したがって，$f(f(3)) = f(-1) = -a + b$ である．すべての $x$ に対して $f(f(x)) = x$ が成り立つので，$-a + b = 3$ を得る．
次に $x = 4$ とおくと，$f(4) = -4$ である． $-4 < 2$ であるから，$f(-4) = -4a + b$ となる．したがって，$f(f(4)) = f(-4) = -4a + b$ である．すべての $x$ に対して $f(f(x)) = x$ が成り立つので，$-4a + b = 4$ を得る．... | 一次関数 | Level 5 | Algebra |
もし $7^{4x}=343$ ならば、$7^{4x-3}$ の値は何ですか？ | 1 | $7^{4x-3}$ は $7^{4x}\cdot 7^{-3}$ と書き直すことができます。$7^{4x}=343$ であることから、$7^{4x-3}=343\cdot 7^{-3}=343\cdot \frac{1}{343}= \boxed{1}$ となります。 | 指数・対数 | Level 2 | Algebra |
次の連立方程式が成り立つとき，$2^x$の値を求めよ．
\begin{align*}
2^x+3^y&=5,\\
2^{x+2}+3^{y+1} &=18.
\end{align*} | 3 | $2^x=a$，$3^y=b$ とおく．$2^{x+2}=2^2(2^x)$，$3^{y+1}=3(3^y)$ であるから，与えられた方程式は
\begin{align*}
a+b&=5,\\
4a+3b&=18.
\end{align*}
となる．第1式を3倍して第2式から引くと，$a=3$，$b=2$ が得られる．これらを元の式に代入して確かめると，確かに成り立つ．したがって，$2^x = \boxed{3}$ である． | 連立方程式 | Level 4 | Algebra |
$igl
floor n^2/4 igl
floor - igl
floor n/2 igl
floor ^2 = 2$ を満たす整数 $n$ をすべて求めよ。 | 5 | $n$ が偶数のとき、整数 $m$ を用いて $n=2m$ と書ける。代入すると、
$$\left\lfloor (2m)^2/4 \right\rfloor - \left\lfloor (2m)/2 \right\rfloor^2 = m^2 - m^2 = 0.$$
したがって、$n$ は奇数でなければならない。整数 $m$ を用いて $n = 2m+1$ と書く。代入すると、
\begin{align*}
&\left\lfloor (2m+1)^2/4 \right\rfloor - \left\lfloor (2m+1)/2 \right\rfloor^2 \\
&\qquad= \left\lfloor (4m^2 +... | 整数の性質（数学と人間活動） | Level 5 | Algebra |
関数 $E(a,b,c) = a \cdot b^2 + c$ を定義する。方程式 $E(a,4,5) = E(a,6,7)$ の解となる $a$ の値を求めよ。 | -\frac{1}{10} | $E(a,4,5) = a \cdot 4^2 + 5 = 16a + 5$、また $E(a,6,7) = a \cdot 6^2 + 7 = 36a + 7$ である。これらを等しいとおくと、$16a + 5 = 36a + 7$ となる。これを整理すると $20a = -2$ となるので、$a = \boxed{-\frac{1}{10}}$ である。 | 一次方程式 | Level 4 | Algebra |
$(x + y)^2 = 25$ かつ $xy = 6$ であるとき、$x^2 + y^2$ の値を求めよ。 | 13 | 与えられた条件 $(x + y)^2 = 25$ は、展開すると $(x^2 + y^2) + 2xy = 25$ と表せます。また、$xy = 6$ という条件が与えられています。これを代入すると、$x^2 + y^2 + 2(6) = 25$ となります。したがって、$x^2 + y^2 = 25 - 12 = \boxed{13}$ です。 | 展開と因数分解 | Level 1 | Algebra |
方程式 $\sqrt{Q^3} = 16\sqrt[8]{16}$ を満たす $Q$ を求めよ。 | 8 | まず、両辺を2乗して根号を外す。
$$Q^3 = \left(\sqrt{Q^3}\right)^2 = \left(16\sqrt[8]{16}\right)^2 = 256 \cdot \sqrt[4]{16} = 256 \cdot 2 = 512.$$
したがって、$Q = \sqrt[3]{512} = \sqrt[3]{2^9} = \boxed{8}$ となる。 | 指数・対数 | Level 4 | Algebra |
$
\log_4 32
$ の値を求めよ。 | \frac{5}{2} | $x=\log_4 32$ とおく。すると、$4^x = 32$ が成り立たなければならない。4 と 32 をともに底を 2 として表すと、$(2^2)^x = 2^5$ となるので、$2^{2x} = 2^5$ である。したがって、$2x = 5$ でなければならず、$x =\boxed{\frac{5}{2}}$ となる。 | 指数・対数 | Level 3 | Algebra |
絶対値 $|3x+5|$ が正でなくなるような $x$ の値はいくつですか。答えは既約分数で表してください。 | -\frac{5}{3} | $|3x+5|$ が正でなくなるのは、それが $0$ の場合のみです。$|3x+5| = 0$ となるのは、$3x+5 = 0$ のとき、かつそのときに限ります。この方程式を解くと、$x = -\frac{5}{3}$ となります。よって、答えは $\boxed{-\frac{5}{3}}$ です。 | 一次方程式 | Level 3 | Algebra |
カールは経済指標の計算を試みていた。彼は次の方程式が成り立つことを見出した：\[fp-w=10000\]ここで、$f=5$、$w=5+125i$ であるとき、$p$ の値を求めよ。 | 2001+25i | 与えられた数値を代入する。$5p-5-125i=10000$ が得られるので、$5p=10005+125i$、したがって $p=\boxed{2001+25i}$ である。 | 数と式 | Level 4 | Algebra |
グラフ $y=3-x^2+x^3$ と $y=1+x^2+x^3$ は複数の点で交わる。これらの交点の $y$ 座標の差の最大値を求めよ。 | 2 | グラフが交わるのは、ある $x$ において $y$ の値が等しいときである。これは、
\[3-x^2+x^3=1+x^2+x^3\]
を解くことで求められる。整理すると、
\[2(x^2-1)=0\]
となる。これには $x=1$ と $x=-1$ の2つの解がある。これらの点における $y$ 座標は、
\[1+1^2+1^3=3\]
および
\[1+(-1)^2+(-1)^3=1\]
である。これらの値の差は $\boxed{2}$ である。 | 二次関数 | Level 4 | Algebra |
方程式 $|x-7| -3 = -2$ において、$x$ の取り得るすべての値の積を求めなさい。 | 48 | 与えられた式を整理すると $|x-7| = 1$ となる。したがって、$x-7 = 1$ または $x-7 = -1$ である。前者から $x = 8$、後者から $x = 6$ が得られる。よって、これらの積は $6 \cdot 8 = \boxed{48}$ である。 | いろいろな式 | Level 3 | Algebra |
2つの円 $x^2-10x +y^2-4y-7=0$ と $x^2+14x +y^2+6y+49=0$ の最短距離を求めよ。 | 4 | 最初の式を平方完成すると、
\[
(x^2-10x +25) +(y^2-4y +4)=36,
\]
すなわち
\[
(x-5)^2 +(y-2)^2 =6^2.
\]
同様に、2つ目の円の式は
\[
(x+7)^2 +(y+3)^2 =3^2.
\]
よって、2つの円の中心はそれぞれ $(5,2)$ と $(-7,-3)$ であり、半径はそれぞれ $6$ と $3$ である。
2点 $(5,2)$ と $(-7,-3)$ の間の距離は、距離の公式より
\[
\sqrt{(5-(-7))^2+(2-(-3))^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{169}=13.
\]
したがって、2つの円の最短距離は、中心間の距離から... | 二次関数 | Level 5 | Algebra |
関数 $y=|x|$ と $y=-x^2-3x-2$ のグラフが描かれている。すべての $x$ について、これら2つのグラフを結ぶ垂直線分を引くことができる。そのような垂直線分の長さの最小値を求めよ。 | 1 | 関数 $|x|$ を直接扱うのは難しいので、場合分けして考える： $x\geq0$ と $x<0$ の場合。
$x\geq0$ のとき、$|x|=x$ である。差は引き算で求められ、
\[x-(-x^2-3x-2)=x^2+4x+2=(x+2)^2-2.\]
この関数は非負の数 $x$ について常に増加するので、$x=0$ で最小となる。$x\geq0$ における最小値は
\[(0 + 2)^2 - 2 = 2.\]
$x<0$ のとき、$|x|=-x$ であり、差は
\[(-x)-(-x^2-3x-2)=x^2+2x+2=(x+1)^2+1\]
で求められる。この二次関数は $x=-1$ で最小となり、その最小値は
\[(-1... | 二次関数 | Level 5 | Algebra |
式 $6j^2 - 4j + 12$ を $c(j + p)^2 + q$ の形に書き直しなさい。ただし、$c$、$p$、$q$ は定数とする。このとき、$\frac{q}{p}$ の値を求めなさい。 | -34 | 平方完成を行う。
\begin{align*}
6j^2 - 4j + 12 &= 6\left(j^2 - \frac{2}{3} j\right) + 12 \\
&= 6\left(j^2 - \frac{2}{3} j + \frac{1}{9}\right) + 12 - \frac{6}{9} \\
&= 6\left(j - \frac{1}{3} \right)^2 + \frac{34}{3}
\end{align*}
したがって、$q = \frac{34}{3}$、$p = - \frac{1}{3}$ である。求める値は
\[
\frac{q}{p} = \frac{\frac{34}{3}}{-\frac{... | 二次関数 | Level 5 | Algebra |
ナタリーのブルーベリーの茂みはそれぞれ、ブルーベリーを8容器分収穫できます。もし、ブルーベリー5容器をズッキーニ2個と交換できるなら、ナタリーはズッキーニを48個手に入れるために、何本の茂みを収穫する必要がありますか？ | 15 | 次の2つの関係がわかっています： \begin{align*}
1\text{ 茂み} &= 8\text{ 容器}\\
5\text{ 容器} &= 2\text{ ズッキーニ}.
\end{align*}
48個のズッキーニを茂みの数で表すために、分子と分母が異なる単位で値が1となる分数を掛けながら単位を消していきます。したがって、答えを求めるために次の式を立てます： $48\text{ ズッキーニ} = 48\text{ ズッキーニ}\times \frac{5\text{ 容器}}{2\text{ ズッキーニ}}\times\frac{1 \text{ 茂み}}{8\text{ 容器}}=\boxed{15} \text{ ... | 連立方程式 | Level 2 | Algebra |
正の整数の組 $(m,n)$ のうち，$\frac1m + \frac1n = \frac14$ を満たす異なる順序対はいくつあるか。 | 5 | 与えられた式は $\frac1m + \frac1n = \frac14$ である。分母を払うため両辺に $4mn$ を掛けると，$4n + 4m = mn$ となる。移項してサイモンのお気に入りの因数分解の手法を適用すると，
$$mn - 4m - 4n + 16 = (m-4)(n-4) = 16.$$
したがって，$m-4$ と $n-4$ は $16$ の約数の組となる。$m,n$ が正の整数であるためには，$m-4$ と $n-4$ も正でなければならない。よって，
$$(m-4,n-4) = (1,16),(2,8),(4,4),(8,2),(16,1),$$
となる。これにより，異なる順序対は $\boxed{5}$... | 整数の性質（数学と人間活動） | Level 5 | Algebra |
ジャナは1マイル歩くのに24分かかります。その速さで、10分では何マイル歩けますか？ 答えを小数で、小数点以下第1位まで求めなさい。 | 0.4 | 次元解析を用いると、$\dfrac{1\mbox{ マイル}}{24\mbox{ 分}} \times 10\mbox{ 分} = \dfrac{5}{12}$ マイルとなり、小数点以下第1位まで四捨五入すると $\boxed{0.4\mbox{ マイル}}$ です。 | 一次方程式 | Level 3 | Algebra |
原点から円 $x^2-24x +y^2+10y +160=0$ までの最短距離を求めよ。 | 10 | 円の方程式を平方完成すると、
\[(x^2-24x+144)+(y^2+10y+25)-9=0\]
となる。これは
\[(x-12)^2+(y+5)^2=3^2\]
と同値である。したがって、円の中心は $(12,-5)$ であり、原点から中心までの距離は三平方の定理より $13$ となる（$5$-$12$-$13$ の直角三角形をなす）。円の半径は $3$ であるから、原点から円までの最短距離は、中心から原点までの距離から半径を引いた差で与えられ、$13-3=\boxed{10}$ である。 | 二次関数 | Level 5 | Algebra |
方程式 $x^2+y^2 - 7 = 4y-14x+3$ で定義される領域の面積を求めよ。 | 63\pi | 与式を整理すると $x^2 + 14x + y^2 - 4y = 10$ となる。平方完成を行うと、$(x+7)^2-49 + (y-2)^2-4=10$ すなわち $(x+7)^2+(y-2)^2=63$ を得る。これは中心 $(-7, 2)$、半径 $\sqrt{63}$ の円の方程式である。したがってこの領域の面積は $\pi r^2$ より $\boxed{63\pi}$ である。 | 二次関数 | Level 5 | Algebra |
等比数列 $3$, $\dfrac{9}{2}$, $\dfrac{27}{4}$, $\dfrac{81}{8}$, $\ldots$ を考える。この数列の第8項を求めよ。答えは既約分数で表すこと。 | \frac{6561}{128} | 初項は $3$ であり、隣り合う項の比は $(9/2)/3=3/2$ である。したがって、数列の第8項は $3\cdot(3/2)^{8-1} = 3^8/2^7 = \boxed{\frac{6561}{128}}$ となる。 | 数列 | Level 3 | Algebra |
正の整数の順序対 $(x,y)$ を求めよ。ただし、$(x,y)$ は以下の連立方程式を満たすものとする。
\begin{align*}
x^y+1&=y^x,\\
2x^y&=y^x+7.
\end{align*} | (2,3) | $a=x^y$, $b=y^x$ とおくと、与えられた式は
\begin{align*}
a+1&=b,\\
2a &=b+7.
\end{align*}
となる。第2式から第1式を引くと $a-1=7$ より $a=8$ を得る。
これを第1式に代入すると $b=9$ となる。
したがって、$x^y=8$ かつ $y^x=9$ より、解は $(x,y)=\boxed{(2,3)}$ である。 | 整数の性質（数学と人間活動） | Level 3 | Algebra |
関数 $f(x) = \frac{1}{x^2}$ の値域は何か？ | (0,\infty) | $x$ がゼロでないすべての値に対して $f(x) = \frac{1}{x^2} >0$ となる。つまり、$f$ の値域には正の数のみが含まれることになる。逆に、$a$ を任意の正の数とすると、\[f\left(\frac{1}{\sqrt{a}}\right)=\frac{1}{(1/\sqrt{a})^2} = a,\]となるため、$a$ は確かに $f$ の値域に含まれる。したがって、$f$ の値域はすべての正の実数の集合であり、区間記法では $\boxed{(0,\infty)}$ となる。 | 二次関数 | Level 5 | Algebra |
電卓を使わずに、$15^4+2\times15^2+1-14^4$ の最大の素因数を求めよ。 | 211 | 平方の差の因数分解を用いると、
\begin{align*}
15^4+2\times15^2+1-14^4&=(15^2+1)^2-(14^2)^2 \\
&=(15^2+1-14^2)(15^2+1+14^2)\\
&=(15^2-14^2+1)(422)\\
&=((15-14)(15+14)+1)(2\cdot 211)\\
&=30\cdot2\cdot211.
\end{align*}
$211$ は素数であり、他の因数よりも大きいので、最大の素因数は $\boxed{211}$ である。 | 数と式 | Level 5 | Algebra |
無限等比級数を評価せよ: $$\frac{3}{2}-\frac{2}{3}+\frac{8}{27}-\frac{32}{243}+\dots$$ | \frac{27}{26} | この級数は初項 $\frac{3}{2}$、公比 $\frac{-4}{9}$ の無限等比級数である。公式を用いると、$\cfrac{\frac{3}{2}}{1-\left(\frac{-4}{9}\right)}=\boxed{\frac{27}{26}}$ となる。 | 数列 | Level 5 | Algebra |
点 $M(2,5)$ が線分 $\overline{AB}$ の中点であり、端点 $A(3,1)$ が与えられているとき、点 $B$ の座標の積を求めよ。 | 9 | 点 $B$ の座標を $(x,y)$ とする。線分の中点の座標は両端点の座標の平均であるから、$\frac{3+x}{2} = 2$ および $\frac{1+y}{2} = 5$ が成り立つ。これを解くと $x = 1$、$y = 9$ が得られる。よって点 $B$ の座標は $(1,9)$ であり、その座標の積は $\boxed{9}$ である。 | 平面上の曲線と複素数平面 | Level 3 | Algebra |
次の式を簡単にして、普通の分数で答えを書いてください：$$\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{\frac{1}{4096}}}}$$ | \frac{1}{2} | まず、$4096=4^6$ であることに注目します。内側の平方根から簡略化を始めます：$$\sqrt{\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt{4096}}}}=\sqrt{\sqrt[3]{\frac{1}{64}}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{\sqrt{4}}=\boxed{\frac{1}{2}}$$ | 平方根 | Level 2 | Algebra |
二次方程式 $x^2 - 63 x + k = 0$ の2つの根がともに素数である。このとき、$k$ の値として考えられるものは何通りあるか。 | 1 | $p$, $q$ をこの二次方程式の根である2つの素数とする。このとき、
$$ x^2 - 63 x + k = (x - p)(x - q) = x^2 - (p+q)x + p \cdot q $$
が成り立つので、$p + q = 63$ かつ $p \cdot q = k$ である。
ここで、$63$ は奇数であるから、一方の素数は $2$ でなければならず、もう一方は $61$ となる。
したがって、$k$ の値として可能なのはちょうど $\boxed{1}$ 通りであり、その値は $k = p \cdot q = 2 \cdot 61 = 122$ である。 | 二次方程式 | Level 5 | Algebra |
すべての $x$ と $y$ に対して $x lacklozenge y = 3x + 5y$ と定義するとき、$2 lacklozenge 7$ の値を求めよ。 | 41 | $2 lacklozenge 7 = 3(2)+5(7) = 6+35 = oxed{41}$ である。 | 数と式 | Level 2 | Algebra |
等式 $(x^2 - k)(x + k) = x^3 + k(x^2 - x - 5)$ が成り立ち、$k\neq 0$ であるとき、$k$ の値を求めよ。 | 5 | $(x^2 - k)$ と $(x + k)$ を乗算すると、$x^3 + kx^2 - kx - k^2$ を得る。この式の最後の3項から $k$ を括り出すと、$x^3 + k(x^2 - x - k)$ となる。これを元の等式の右辺 $x^3 + k(x^2 - x - 5)$ と等しいと置くと、$x^3 + k(x^2 - x - k) = x^3 + k(x^2 - x - 5)$ が得られる。この等式の両辺を注意深く比較すると、$k$ は $5$ でなければならない（定数項に着目する）。あるいは、等式の両辺を展開して $x^3 + kx^2 - kx - k^2 = x^3 + kx^2 - kx - 5k$ としてもよ... | 数と式 | Level 4 | Algebra |
すべての3桁の正の整数の和を求めよ。 | 494550 | 求める和は、等差数列 $100 + 101 + \cdots + 999$ の和である。
等差数列の和は、最初の項と最後の項の平均に項数を掛けたものに等しい。
3桁の整数の個数は $999 - 100 + 1 = 900$ であるから、和は $(100 + 999)/2 \cdot 900 = \boxed{494550}$ となる。 | 数列 | Level 5 | Algebra |
二次方程式 $2x^2 + 5x + b = 0$ が有理数の解を持つような正の整数 $b$ の値すべての和を求めよ。 | 5 | 二次方程式 $2x^2 + 5x + b = 0$ が2つの有理数解を持つためには、判別式 $5^2 - 4 \cdot 2 \cdot b = 25 - 8b$ が平方数である必要がある。$b$ は正の整数であるから、$25 - 8b \ge 0$ より $b$ は $1, 2, 3$ のいずれかである。それぞれを調べると、$b = 2$ と $b = 3$ が条件を満たすことがわかる。したがって、これらの和は $2 + 3 = \boxed{5}$ である。 | 二次方程式 | Level 5 | Algebra |
次の式を簡単にせよ。$(2x^2 + 7x - 3) - (x^2 + 5x - 12)$。 | x^2+2x+9 | 与式について、
\begin{align*}
&(2x^2 + 7x - 3) - (x^2 + 5x - 12) \\
&\qquad = 2x^2 + 7x - 3 - x^2 - 5x + 12\\
&\qquad = (2x^2 - x^2) +(7x-5x) +(12-3)\\
&\qquad = \boxed{x^2+2x+9}.
\end{align*} | 文字式 | Level 2 | Algebra |
次の計算をせよ: $26\times33+67\times26$。 | 2600 | 項を並べ替えると、これは $26\times(33+67)=26\times100$ に等しい。したがって、答えは $\boxed{2600}$ である。 | 数と式 | Level 1 | Algebra |
次の式を展開せよ: $(9x+4)\cdot 2x^2$ | 18x^3+8x^2 | 分配法則を用いると、$9x$ と $2x^2$ の積と、4 と $2x^2$ の積を足すことになる:
\begin{align*}
(9x+4)\cdot 2x^2 &= 9x\cdot 2x^2+4\cdot 2x^2\\
&= \boxed{18x^3+8x^2}.
\end{align*} | 展開と因数分解 | Level 1 | Algebra |
下の図は、$-3 \le x \le 3$ の範囲における関数 $y=f(x)$ のグラフである。この区間において、$f(x)-x$ の値の範囲はどのようになるか。答えを区間表記で示せ。
[asy]
size(150);
real ticklen=3;
real tickspace=2;
real ticklength=0.1cm;
real axisarrowsize=0.14cm;
pen axispen=black+1.3bp;
real vectorarrowsize=0.2cm;
real tickdown=-0.5;
real tickdownlength=-0.15inch;
real tickdownbase=0... | (-1,0] | グラフ $y=f(x)$ に $y=x$ のグラフを重ねて考えよう：
[asy]
size(150);
real ticklen=3;
real tickspace=2;
real ticklength=0.1cm;
real axisarrowsize=0.14cm;
pen axispen=black+1.3bp;
real vectorarrowsize=0.2cm;
real tickdown=-0.5;
real tickdownlength=-0.15inch;
real tickdownbase=0.3;
real wholetickdown=tickdown;
void rr_cartesian_axes(rea... | 二次関数 | Level 5 | Algebra |
ある等差数列の第16項と第17項がそれぞれ8と10であるとき、第2項を求めよ。 | -20 | 等差数列の初項を $a$、公差を $d$ とする。第16項は $a + 15d = 8$、第17項は $a + 16d = 10$ であるから、公差は $d = 10 - 8 = 2$ となる。
これを $a + 15d = 8$ に代入すると、$a + 30 = 8$ より $a = -22$ が得られる。したがって、第2項は $a + d = -22 + 2 = \boxed{-20}$ である。 | 数列 | Level 3 | Algebra |
計算しなさい: $98 \times 102$。 | 9996 | $98 = 100-2$、$102 = 100+2$ と気づく。したがって、その積は $(100-2)(100+2)$ となり、これは $100^2 - 2^2$ と同じである。これは容易に計算できて、$10000 - 4 = \boxed{9996}$ となる。 | 展開と因数分解 | Level 1 | Algebra |
方程式 $y=\frac{x-1}{x^2+6x-7}$ は、垂直漸近線をいくつ持ちますか？ | 1 | 分母を因数分解すると、与式は $\frac{x-1}{(x-1)(x+7)}$ となります。したがって、分母が $0$ になるのは $x=1$ と $x=-7$ のときです。しかし、分母と分子に同じ次数の $x-1$ が存在するため、$x=1$ は垂直漸近線ではありません。よって、垂直漸近線は $x=-7$ のただ1つ、すなわち $\boxed{1}$ つです。 | いろいろな式 | Level 4 | Algebra |
すべての $x$ の値の和を求めよ．ただし，$2^{x^2-3x-2} = 4^{x - 4}$ を満たす $x$ について考える． | 5 | 右辺を底 $2$ で書き直すと，$4^{x-4} = (2^2)^{x-4} = 2^{2(x-4)} = 2^{2x-8}$ となる．したがって，方程式は $$2^{x^2-3x-2} = 2^{2x - 8}$$ と表せる．指数を比較すると $$x^2 - 3x - 2 = 2x - 8$$ を得る．整理すると二次方程式 $$x^2 - 5x + 6 = 0$$ となる．これを因数分解すると $(x-2)(x-3)=0$ となり，解は $x = 2,\ 3$ である．これらの解の和は $\boxed{5}$ である． | 指数・対数 | Level 4 | Algebra |
示された関数マシンにおいて、入力は10です。出力は何ですか？
[asy]
size(200); currentpen = fontsize(10pt); picture a,b,c,d,e,f;
real height = 3, width1 = 10, width2 = 11, width3 = 10, width4 = 10;
real widthC = 20,heightC = 6;
real widthE = 10, lengthE = 4.5,angleE = 60;
draw(a,(0,0)--(width1,0)--(width1,height)--(0,height)--cycle); label(a,"$\mbo... | 15 | フローチャートに従って計算します。まず、10を2倍して20を得ます。20は18より大きいので、チャートの右側に進み、5を引きます。これにより、最終的な出力は $\boxed{15}$ となります。 | 一次関数 | Level 1 | Algebra |
$(x + y)^2 = 45$ かつ $xy = 10$ のとき、$(x - y)^2$ の値を求めよ。 | 5 | $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ である。これより、$(x - y)^2 = (x^2 + 2xy + y^2) - 4xy = (x + y)^2 - 4xy$ が成り立つ。与えられた条件 $(x + y)^2 = 45$, $xy = 10$ を代入すると、$(x - y)^2 = 45 - 4 \times 10 = 45 - 40 = \boxed{5}$ である。 | いろいろな式 | Level 4 | Algebra |
関数 $f(x)=\frac{x^5-1}3$ について，$f^{-1}(-31/96)$ を求めよ。 | \frac12 | $x=f^{-1}(-31/96)$ は $f(x)=-31/96$ を満たす $x$ である。すなわち，
\[\frac{x^5-1}3=\frac{-31}{96}.\]
両辺を3倍すると
\[x^5-1=\frac{-31}{32}.\]
1を加えると
\[x^5=\frac{-31}{32}+\frac{32}{32}=\frac{1}{32}.\]
この方程式を満たす値は
\[x=\boxed{\frac12}.\]
| 二次関数 | Level 4 | Algebra |
格子点とは、座標がともに整数である点のことです。$y=|x|$ と $y=-x^2+6$ で囲まれた領域の境界上または内部にある格子点はいくつありますか？ | 19 | 2つの方程式のグラフは次のようになります。
[asy]
Label f;
f.p=fontsize(4);
xaxis(-3,3,Ticks(f, 2.0));
yaxis(-1,7,Ticks(f, 2.0));
real f(real x)
{
return abs(x);
}
draw(graph(f,-3,3), linewidth(1));
real g(real x)
{
return -x^2+6;
}
draw(graph(g,-2.5,2.5), linewidth(1));
[/asy]
まず、2つの方程式が交わる $x$ の値を求めます。$x \ge 0$ のとき、$y=|x|=x$ です。これ... | 二次関数 | Level 5 | Algebra |
分母を有理化せよ: $\frac{5}{\sqrt{125}}$. | \frac{\sqrt{5}}{5} | まず分母を簡単化すると、$\frac{5}{\sqrt{125}} = \frac{5}{5\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ となる。分母を有理化すると $\frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ である。したがって、答えは $\boxed{\frac{\sqrt{5}}{5}}$。 | 平方根 | Level 3 | Algebra |
次の式の値を求めよ。$\frac{1}{3}-\frac{1}{9}+\frac{1}{27}-\frac{1}{81}+\frac{1}{243}$。答えは既約分数で表すこと。 | \frac{61}{243} | これは初項 $\frac{1}{3}$、公比 $-\frac{1}{3}$ の5項からなる等比数列の和である。この級数の和は、
\[
\frac{\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)^5}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)} = \frac{\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^6}{1+\frac{1}{3}} = \boxed{\frac{61}{243}}
\]
となる。 | 数列 | Level 3 | Algebra |
サーカスのショーを見ているとき、演技者とゾウの数を数えました。足の数は40本、頭の数は15個でした。このショーでは演技者は何人いたでしょうか？ | 10 | ショーにいる演技者の数を $a$、ゾウの数を $e$ とする。求めるのは $a$ の値である。演技者はそれぞれ足が2本、頭が1個、ゾウはそれぞれ足が4本、頭が1個と仮定すると、以下の連立方程式が立てられる：
\begin{align*}
2a+4e &= 40 \\
a + e &= 15 \\
\end{align*} $a$ を求めるには、上の方程式から $e$ を消去する。2つ目の式を $e=15-a$ と変形し、これを最初の式に代入して $e$ を消去すると、$2a+4(15-a) = 40$ すなわち $a=10$ となる。したがって、サーカスのショーには演技者が $\boxed{10}$ 人いたことになる。 | 連立方程式 | Level 2 | Algebra |
ジュリーは夏の間に12週間、週48時間働いて\$5000を稼ぎます。彼女が同じ賃金レートで学期中に48週間働き、さらに\$5000を稼ぐ必要がある場合、週何時間働かなければなりませんか？ | 12 | 同じ金額を稼ぐだけであれば、働く週数が4倍になると、週あたりの労働時間は4分の1で済むため、$\frac{1}{4} \cdot 48 = \boxed{12}$時間を週に働けばよい。 | 一次方程式 | Level 2 | Algebra |
$ rac14$ が $2^{30}$ に等しいとき、$2^x$ の値になる $x$ を求めよ。 | 28 | \[ rac14 \cdot 2^{30} = \frac{2^{30}}{4} = \frac{2^{30}}{2^2} = 2^{30-2} = 2^{28}\] が成り立つので、$x = \boxed{28}$ である。 | 指数・対数 | Level 2 | Algebra |
多項式 $5x^2 + 3x + 4$ の根の逆数を $\alpha$ と $\beta$ とする。$\alpha + \beta$ を求めよ。 | -\dfrac{3}{4} | $5x^2 + 3x + 4$ の根を $a$ と $b$ とする。$\alpha = \frac{1}{a}$, $\beta = \frac{1}{b}$ である。したがって、$$\alpha + \beta = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a + b}{ab}.$$ ここで、多項式の根と係数の関係より $a + b = -\frac{3}{5}$, $ab = \frac{4}{5}$ が成り立つ。よって、$$\alpha + \beta = \frac{a + b}{ab} = \frac{-\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \boxed{-\dfrac{3}{4... | 二次方程式 | Level 5 | Algebra |
ジョーは1から50までのすべての正の整数を足し合わせます。ケイトも同様に最初の50個の正の整数を扱いますが、彼女はまず各整数を最も近い10の倍数に（5は切り上げて）丸め、その後50個の値を合計します。ジョーの合計とケイトの合計の差（正の値）はいくつですか？ | 25 | 数 $1, 2, 3,\dots, 10$ を考えます。ジョーはこれらの整数をそのまま足しますが、ケイトは最初の4つを0に切り下げるので、合計が $1+2+3+4=10$ 減ります。また、最後の6つを10に切り上げるので、合計が $5+4+3+2+1+0=15$ 増えます。したがって、彼女の合計は $1$ から $10$ までの数について、ジョーの合計よりも $-10+15=5$ 大きくなります。この同じ論理は $11, 12, 13,\dots, 20$ にも適用され、一般に20より大きい10個の数からなるグループにも適用されます。1から50までの数には5つの10個のグループがあるので、ケイトの合計はジョーの合計よりも $5 \c... | 整数の性質（数学と人間活動） | Level 4 | Algebra |
ある女性が非常に大きなチェス盤のマスに $1$ から $64$ までの番号を付ける。それぞれのマス $k$ に、彼女は $2^k$ 粒の米を置く。$10$ 番目のマスに置かれた米は、最初の $8$ 個のマスに置かれた米の合計よりも何粒多いか？ | 514 | $10$ 番目のマスには $2^{10}=1024$ 粒の米が置かれる。最初の $8$ 個のマスには、$2+2^2+\dots+2^8=2\left(\frac{2^8-1}{2-1}\right)=2(256-1)=2(255)=510$ 粒の米が置かれる。したがって、$10$ 番目のマスには最初の $8$ 個のマスの合計よりも $1024-510=\boxed{514}$ 粒多く置かれることになる。 | 数列 | Level 5 | Algebra |
次の式の値を求めなさい:
$$\left| \, |{ -|{-1 + 1}| - 1 }| + 1\right|.$$ | 2 | 次のように計算します: $$|\,|{-|{-1+1}|-1}|+1| = \left|\, |0-1|+1\right| = |1+1| = \boxed{2}$$ | 数と式 | Level 2 | Algebra |
次の値を求めよ：$\lfloor |-4.2| \rfloor + |\lfloor -4.2 \rfloor|$。 | 9 | $\lfloor |{-4.2}| \rfloor = \lfloor 4.2 \rfloor = 4$（$4.2$を超えない最大の整数は$4$だから）。
$|\lfloor -4.2 \rfloor|= |{-5}| = 5$（$-4.2$を超えない最大の整数は$-5$だから）。
したがって、求める答えは $4 + 5 = \boxed{9}$。 | 数と式 | Level 4 | Algebra |
実数 $b$, $c$ について考える。多項式 $x^2+bx+c$ がちょうど1つの実数解をもち、かつ $b=c+1$ が成り立つとき、$c$ として取り得るすべての値の積を求めよ。 | 1 | 二次方程式の解の公式は $\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ である。ちょうど1つの実数解をもつとき、判別式が $0$ になる。よって、
\begin{align*}
0&=b^2-4ac\\
\Rightarrow\qquad0&=(c+1)^2-4c\\
\Rightarrow\qquad0&=(c^2+2c+1)-4c\\
\Rightarrow\qquad0&=c^2-2c+1\\
\Rightarrow\qquad0&=(c-1)^2.
\end{align*}
この式は完全平方であるため、$c$ として取り得る値は $1$ のみである。したがって、$c$ の取り得るすべての値の積は $\box... | 二次方程式 | Level 4 | Algebra |
端点が $(6, 12)$ と $(0, -6)$ である線分の中点の座標の和を求めよ。 | 6 | 端点が $(x_1, y_1)$ と $(x_2, y_2)$ である線分の中点は、$\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ で与えられる。
したがって、与えられた線分の中点は $\left(\frac{6+0}{2}, \frac{12+(-6)}{2}\right)$ であり、これは $(3,3)$ と簡約される。この座標の和は $\boxed{6}$ である。 | 平面上の曲線と複素数平面 | Level 2 | Algebra |
$eta$ が $eta$ に反比例するとする。$eta=9$ のとき $eta=4$ であるならば、$eta=-72$ のときの $eta$ を求めよ。 | -\frac{1}{2} | $eta$ が $eta$ に反比例するので、定義により、ある定数 $k$ について $etaeta = k$ が成り立つ。与えられた値を代入すると、$4 \cdot 9 = k$ より $k = 36$ となる。したがって、$eta = -72$ のとき、$-72eta = 36$ すなわち $eta = \boxed{-\frac{1}{2}}$ である。 | 比例反比例 | Level 3 | Algebra |
$x= rac{2009^2-2009}{2009}$ のとき、$x$ の値を求めよ。 | 2008 | 分子を因数分解すると、\[ \frac{2009^2-2009}{2009}=\frac{2009(2009-1)}{2009}=2008 \] となる。よって、求める値は $\boxed{2008}$ である。 | 数と式 | Level 2 | Algebra |
方程式 $|x-5|=12$ を満たす $x$ のうち、最大の値を求めよ。 | 17 | 式 $|x-5|=12$ は、二つの場合に分けて考えることができる。すなわち、$x-5=12$ と $x-5=-12$ である。
最初の場合を解くと、$x=12+5=17$ となる。二番目の場合を解くと、$x=-12+5=-7$ となる。したがって、$x=17$ と $x=-7$ の両方が方程式を満たす。問題は $x$ の最大の値を求めるものなので、解は $\boxed{17}$ である。 | 数と式 | Level 1 | Algebra |
長方形があり、その縦と横の長さは整数で、かつ正方形ではありません。この長方形の面積（平方単位）が、周の長さ（単位）と数値的に等しいとき、周の長さはいくつですか？ | 18 | 長方形の縦と横の長さをそれぞれ $a$, $b$ とする。問題文の条件より面積と周の長さが数値的に等しいので、$ab = 2a + 2b$ が成り立つ。すべての項を左辺に移項すると $ab - 2a - 2b = 0$ となる。この式を因数分解しやすくするために両辺に $4$ を加えると、
$$ab - 2a - 2b + 4 = 4 \Rightarrow (a-2)(b-2) = 4$$
となる。長方形は正方形ではないので $a \neq b$ である。$a$, $b$ の大小関係は問わないので、例えば $a = 6$, $b = 3$ とすれば条件を満たす。したがって周の長さは $2 \times (6 + 3) = \box... | 整数の性質（数学と人間活動） | Level 4 | Algebra |
式 $a^2\cdot a^5$ を，$a= 3$ のとき評価しなさい。 | 2187 | 与えられた式は $a^{2+5}=a^7$ と等しい。$a$ の値を代入すると、この式は $3^7=\boxed{2187}$ となる。 | 指数・対数 | Level 1 | Algebra |
次の式を計算せよ: $i^6+i^{16}+i^{-26}$. | -1 | $i^6 = i^4\cdot i^2 = 1\cdot (-1) = -1$ である。
また、$i^{16} = (i^4)^4 = 1^4 = 1$,
そして $i^{-26} = 1/i^{26} = 1/(i^{24}\cdot i^2) = 1/[1\cdot (-1)] = -1$ となる。
したがって、これら3つの結果を足すと
$i^6 + i^{16} + i^{-26} = -1 + 1 - 1 = \boxed{-1}$
である。 | 数と式 | Level 3 | Algebra |
あるモーテルでは、宿泊料金は初日の基本料金（一律料金）と2泊目以降の追加料金（毎晩一定額）を合算して請求されます。ジョージが3泊したときの合計金額は155ドル、ノアが6泊したときの合計金額は290ドルでした。初日の基本料金はいくらですか？ | \$65 | 初日の基本料金を $f$、2泊目以降の追加料金（1泊あたり）を $n$ とします。初日分の料金は $f$ に含まれることに注意します。与えられた情報から、次の連立方程式を立てることができます。
\begin{align*}
f + 2n &= 155 \\
f + 5n &= 290
\end{align*}
$f$ を消去して $n$ を求め、その値を使って $f$ を求めるのが最も簡単です。$n$ を求めるために、第2式から第1式を引くと、$3n = 135$ すなわち $n = 45$ が得られます。この $n$ の値を第1式に代入すると、$f = 155 - 90$ より $f = 65$ となります。したがって、初日の... | 連立方程式 | Level 3 | Algebra |
$
\log_9 (x-2)=\frac{1}{2}
$ のとき，$\log_{625} x$ の値を求めよ。 | \frac14 | $\log_{625} x$ を求めるためには，まず $x$ の値を求める必要があります。始めに，$\log_9 (x-2)=\frac{1}{2}$ を指数形式に書き換えると，$9^{\frac12}=x-2$ となります。$x$ について解くと，$x=9^{\frac12}+2=3+2=5$ となります。この $x$ の値を2番目の式に代入した後，最終的に $\log_{625} 5$ を求めます。$625=5^4$，すなわち $625^{\frac14}=5$ であることから，$\log_{625} 5=\boxed{\frac14}$ となります。 | 指数・対数 | Level 3 | Algebra |
チェスチームには $26$ 人のメンバーがいます。しかし、前回の会合には $16$ 人しか出席しませんでした。女子の半分は出席しましたが、男子は全員出席しました。チェスチームには男子が何人いますか？ | 6 | 男子の人数を $B$ 人、女子の人数を $G$ 人とする。すべてのメンバーは男子か女子のいずれかであるから、$B+G=26$ である。また、会合の出席について、女子の半分と男子全員が出席したことから、$\frac{1}{2}G+B=16$ が成り立つ。この2番目の式を $2$ 倍すると、$G+2B=32$ となる。この式から最初の式 $B+G=26$ を引くと、$B=32-26=6$ となる。
したがって、チェスチームには $\boxed{6}$ 人の男子がいる。 | 連立方程式 | Level 1 | Algebra |
等比数列 $9,3,1, rac 13, \dots$ の第10項を求めよ。 | \frac{1}{2187} | 第10項まで項を書き出すこともできるが、代わりに等比数列の第 $n$ 項の公式を求めることもできる。初項が $9$ で、次の項を得るために $\frac{1}{3}$ を掛けているので、この等比数列の公式は $a_n=9\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{(n-1)}$ とわかる。したがって、第10項は $a_{10}=9\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^9=\frac{3^2}{3^9}=\frac{1}{3^7}=\boxed{\frac{1}{2187}}$ である。 | 数列 | Level 3 | Algebra |
温度が一定のとき、気体の圧力はその体積に反比例します。ある酸素を 2.28 リットルの容器に入れると圧力は 5 kPa でした。同じ温度で、この酸素をすべて 5.7 リットルの容器に移すと、新しい圧力は何 kPa になりますか？ | 2 | 酸素の圧力 $p$ と体積 $v$ は反比例するので、$pv=k$ （$k$ は定数）が成り立ちます。最初の容器から $k=2.28 \cdot 5 = 11.4$ と求められます。したがって、5.7 リットルの容器に移したときには $5.7p = 11.4$ となり、$p = \boxed{2}$ となります。 | 比例反比例 | Level 3 | Algebra |
3つの数 $a$, $b$, $c$ の和は $99$ である。$a$ を $6$ 増やし、$b$ を $6$ 減らし、$c$ を $5$ 倍すると、得られる3つの数は等しくなる。このとき、$b$ の値を求めよ。 | 51 | 与えられた条件から、次の2つの式が成り立つ：
$a+b+c=99$ および $a+6=b-6=5c$。
$b-6=5c$ を $b$ について解くと $b=5c+6$ であり、$5c=a+6$ を $a$ について解くと $a=5c-6$ となる。
これらを $a+b+c=99$ に代入すると、
$(5c-6)+(5c+6)+c=99$ となる。
左辺を整理すると $11c=99$ となり、$c=9$ が得られる。
これを $b=5c+6$ に代入すると、
$b=5(9)+6=51$ である。
したがって、答えは $\boxed{51}$。 | 連立方程式 | Level 4 | Algebra |
ある暑い日、メーガンは15分ごとにアイスキャンディーを食べるのが好きです。もし彼女がそのペースを保った場合、4時間30分でメーガンはアイスキャンディーを何本食べ終えることができますか？ | 18 | メーガンが4時間30分で食べ終えることのできるアイスキャンディーの本数を $p$ とする。この時間を分に換算すると、4時間30分は $(4)(60)+30=270$ 分に等しい。ここから、比例式を立てると、
\begin{align*}
\frac{x}{270}& =\frac{1}{15}
\\\Rightarrow \qquad x& =\left(\frac{1}{15}\right)(270)
\\\Rightarrow \qquad x& =\boxed{18}
\end{align*} | 一次方程式 | Level 1 | Algebra |
2つの数の和が $12$ で差が $20$ であるとき、小さい方の数はいくつですか？ | -4 | 大きい数を $x$、小さい数を $y$ とします。すると、$x+y=12$ と $x-y=20$ が成り立ちます。2番目の式を1番目の式から引くと、$$x+y-(x-y)=12-20\qquad\Rightarrow 2y=-8\qquad\Rightarrow y=-4$$ となります。小さい方の数は $\boxed{-4}$ です。 | 連立方程式 | Level 1 | Algebra |
式 $3(x - 4) + 4(7 - 2x^2 + 5x) - 8(2x - 1)$ を整理したとき、$x$ の係数を求めよ。 | 7 | 式 $3(x - 4) + 4(7 - 2x^2 + 5x) - 8(2x - 1)$ における $x$ の係数は、$3 + 4 \cdot 5 - 8 \cdot 2 = \boxed{7}$ である。 | 数と式 | Level 2 | Algebra |
次の式を計算せよ：$16^{7/4}$。 | 128 | \[16^{7/4} = (2^4)^{7/4} = 2^{4\cdot (7/4)} = 2^7 = \boxed{128}.\] | 指数・対数 | Level 1 | Algebra |
方程式 \[\frac{2x+4}{x^2+4x-5}=\frac{2-x}{x-1}\] を $x$ について解きなさい。 | -6 | 左辺の分母を因数分解すると、\[\frac{2x+4}{(x-1)(x+5)}=\frac{2-x}{x-1}\] となる。$x\neq1$ のとき、両辺の分母から $x-1$ を約分でき、\[\frac{2x+4}{x+5}=2-x\] を得る。ここで両辺を掛け算すると、\[2x+4=(2-x)(x+5)=-x^2-3x+10\] となる。これを整理すると、\[x^2+5x-6=0\] となり、さらに因数分解すると \[(x-1)(x+6)=0\] となる。元の方程式の分母に $x-1$ が含まれているため $x=1$ は無縁解である。一方、$x=\boxed{-6}$ は元の方程式を満たす解である。 | 二次方程式 | Level 5 | Algebra |
101と99の平方の差の絶対値はいくつか？ | 400 | $101^2 > 99^2$ より、$|101^2 - 99^2| = 101^2 - 99^2$ である。これは平方の差として因数分解でき、$(101 - 99)(101 + 99) = 2 \cdot 200 = \boxed{400}$ となる。 | 数と式 | Level 2 | Algebra |
ゼロでない数 $p$, $q$ が $pq=9$ および $p+q=6$ を満たすとき，$p^2 + q^2$ の値を求めよ。 | 18 | $p$ と $q$ について2つの方程式が与えられているので，$p$ と $q$ を直接求めてから $p^2$ と $q^2$ を個別に計算することも可能です。しかし，その方法では複素数や平方根を含む計算がかなり多くなるため，別のアプローチを考えます。
2番目の式を2乗すると
$$(p+q)^2 = p^2 + 2pq + q^2 = 36$$
となり，求める形に近いですが余分な $2pq$ の項があります。$pq=9$ であることが分かっているので，これを代入すると
$$p^2 + 2(9) + q^2 = 36 \implies p^2 + q^2 = \boxed{18}$$
が得られます。
問題が求めている値だけを計算するこ... | 数と式 | Level 1 | Algebra |
次の等式を満たす $r$ の値をすべて求めよ: $\lfloor r \rfloor + r = 12.2$. | r=6.2 | まず $r$ は正でなければならない。なぜなら、$r$ が負または $0$ ならば $\lfloor r \rfloor + r$ は非正となり、$12.2$ にならないからである。次に、$\lfloor r \rfloor$ が整数であることと $\lfloor r \rfloor + r = 12.2$ であることから、$r$ の小数部分は $0.2$ でなければならない。したがって、ある整数 $n$ を用いて $r = n + 0.2$ と表せ、このとき $\lfloor r \rfloor = n$ となる。すると $\lfloor r \rfloor + r = n + (n + 0.2) = 2n + 0.2 = 12.... | 整数の性質（数学と人間活動） | Level 3 | Algebra |
関数 $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ （$abcd\not=0$）について，定義域内のすべての $x$ に対して $f(f(x))=x$ が成り立つとき，$a+d$ の値を求めよ。 | 0 | 条件 $f(f(x))=x$ は，$f$ が自分自身の逆関数であることを意味する。したがって，そのグラフは直線 $y=x$ について対称となる。
この形の有理関数は2つの漸近線をもつ：$cx+d$ が $ax+b$ を割り切らない場合，$x=-d/c$ に垂直漸近線があり，また $x\to\pm\infty$ の極限を考えれば $y=a/c$ に水平漸近線がある。
$f$ が自分自身の逆関数であるためには，漸近線の交点が直線 $y=x$ 上になければならない。そうすることで，関数とその漸近線は自分自身に反射されることになる。
つまり $-d/c = a/c$ が成り立ち，したがって $-d=a$ となる。ゆえに $a+d=\boxe... | 関数とグラフ | Level 5 | Algebra |
$16^3 \times 8^3 = 2^K$ となるような $K$ の値を求めよ。 | 21 | 与式を変形すると、
\[
16^3 \times 8^3 = (2^4)^3 \times (2^3)^3 = 2^{12} \times 2^{9} = 2^{21}
\]
となる。したがって、$2^{21} = 2^K$ より $K = 21$ である。
よって、答えは $\boxed{21}$。 | 指数・対数 | Level 1 | Algebra |
無限等比級数は公比が $-1/5$ で、その和は $16$ である。この級数の初項を求めよ。 | \frac{96}{5} | 初項を $a$ とする。級数の和が $16$ であるから、$16= \frac{a}{1-(-1/5)} = \frac{a}{6/5} = \frac{5a}{6}$ が成り立つ。したがって、$a=\boxed{\frac{96}{5}}$ である。 | 数列 | Level 5 | Algebra |
ゼロでない数 $n$ のうち、ある素数 $p$ に対して $n^2-35n+306= p$ を満たす正の整数 $n$ のすべての値の積を求めよ。ただし、そのような $n$ は少なくとも一つ存在するものとする。 | 304 | まず、$n^2-35n = n(n-35)$ であり、$n$ と $n-35$ の少なくとも一方は偶数であるから、$n^2-35n$ は偶数である。したがって、$n^2-35n+306$ も偶数となる。ゆえに、素数 $p$ は $2$ でなければならない。つまり、求めるべきものは $n^2-35n+306=2$、すなわち $n^2-35n+304=0$ を満たす正の整数解の積である。
問題文によると、少なくとも一つの正の整数解が存在する。ここで、二次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の解の積は $c/a$ で与えられ、今回の場合 $304$ である。もし片方の解のみが正であれば、それらの積は負になるため、両方の解が正でなければな... | 二次方程式 | Level 5 | Algebra |
問題：$a>0$ かつ $b>0$ のとき、新しい演算 $
abla$ を以下のように定義する：
$$a \nabla b = \dfrac{a + b}{1 + ab}.$$
例えば、
$$3 \nabla 6 = \frac{3 + 6}{1 + 3 \times 6} = \frac{9}{19}.$$
$2 \nabla 5$ を計算せよ。 | \frac{7}{11} | 計算すると、
$$2 \nabla 5 = \dfrac{2 + 5}{1 + 2 \times 5} = \boxed{\frac{7}{11}}.$$ | 数と式 | Level 1 | Algebra |
記号 $A\ \clubsuit\ B$ が $A\ \clubsuit\ B = 3A + 2B + 5$ と定義されるとき、$A\ \clubsuit\ 4 = 58$ を満たす $A$ の値を求めよ。 | 15 | 記号 $A\; \clubsuit \;B$ の定義より、与えられた式は以下のように書き換えられる。
\begin{align*}
A\;\clubsuit \;4=3A+2(4)+5&=58\\
\Rightarrow\qquad 3A+13&=58\\
\Rightarrow\qquad 3A&=45\\
\Rightarrow\qquad A&=15
\end{align*}
よって、求める $A$ の値は $\boxed{15}$ である。 | 数と式 | Level 2 | Algebra |
関数 $r(\theta) = \frac{1}{1-\theta}$ について，$r(r(r(r(r(r(30))))))$ を求めよ（ただし $r$ は6回適用する）。 | 30 | 反復適用によって規則性を見出すために，まず $r$ を2回，3回適用した場合を調べる。$r(\theta) = \frac{1}{1-\theta}$ であるから，
\begin{align*}
r(r(\theta)) &= r\left(\frac{1}{1- \theta}\right) = \frac{1}{1 - \frac{1}{1-\theta}} \cdot \frac{1 - \theta}{1 - \theta} \\
&= \frac{1 - \theta}{1 - \theta - 1} = \frac{1 - \theta}{- \theta} = 1 - \frac{1}{\theta}.
\end{al... | いろいろな式 | Level 5 | Algebra |
$f(x)=\frac{3}{2-x}$ とする．$g(x)=\frac{1}{f^{-1}(x)}+9$ のとき，$g(3)$ を求めよ． | 10 | $f^{-1}(x)$ を $f$ の式に代入すると，\[\frac{3}{2-f^{-1}(x)}=x\] が得られる．これを $f^{-1}(x)$ について解くと，$f^{-1}(x)=2-\frac{3}{x}$ となる．したがって，$f^{-1}(3)=2-\frac{3}{3}=1$ である．よって，$g(3)=\frac{1}{f^{-1}(3)}+9=\frac{1}{1}+9=\boxed{10}$ となる． | 指数・対数 | Level 5 | Algebra |
暗算で $95^2$ を計算せよ。 | 9025 | $(90 + 5)^2 = 90^2 + 2 \times 90 \times 5 + 5^2 = 8100 + 900 + 25 = \boxed{9025}$ となる。 | 展開と因数分解 | Level 1 | Algebra |
$x+25/x = 10$ を満たすすべての数 $x$ の和を求めよ。 | 5 | 両辺に $x$ を掛け、次に両辺から $10x$ を引くと、$x^2 - 10 x + 25 = 0$ となる。この二次式は因数分解して $(x-5)^2 = 0$ となり、$x-5 = 0$ より $x=5$ が唯一の解である。したがって、求める和は $\boxed{5}$ である。
（注：二次方程式 $ax^2+bx+c = 0$ の解の和が $-b/a$ で与えられる事実を使うことも考えられるが、注意が必要である。その事実では、重解は和を計算する際に2回数えられるが、この問題では $x=5$ はただ一つの解としてしか数えないためである。） | 二次方程式 | Level 3 | Algebra |
アカデミック・アカデミーでは、代数の試験に合格するには少なくとも $80\%$ の得点が必要です。試験に $35$ 問ある場合、それでも合格するために間違えてよい最大の問数はいくつですか？ | 7 | 合格に少なくとも $80 \%$ の得点が必要ならば、問題の $20 \% = 1/5$ より多くを間違えることはできません。$35$ の $1/5$ は $7$ に等しいので、合格するために間違えてよい問題は最大で $\boxed{7}$ 問です。 | 一次方程式 | Level 1 | Algebra |
関数
\[ f(x) = \left\{
\begin{array}{cl}
-x + 3 & (x \le 0 \text{ のとき}), \\
2x - 5 & (x > 0 \text{ のとき})
\end{array}
\right. \]
を定義する。方程式 $f(f(x)) = 4$ の解はいくつあるか求めよ。 | 3 | 方程式 $f(f(x)) = 4$ を解くために、まず $f(x) = 4$ となる $x$ を求める。
$x \le 0$ のとき $f(x) = -x + 3$、$x > 0$ のとき $f(x) = 2x - 5$ である。
$-x + 3 = 4$ とすると $x = -1$ であり、この値は $x \le 0$ を満たす。
$2x - 5 = 4$ とすると $x = \frac{9}{2}$ であり、この値は $x > 0$ を満たす。
したがって、$f(x) = 4$ の解は $x = -1$ と $x = \frac{9}{2}$ である。
次に、$f(x) = -1$ となる $x$ を求める。
$-x + 3... | 二次関数 | Level 5 | Algebra |
2つの正の整数は差が6であり、それらの積は135である。大きい方の整数はいくつか？ | 15 | 135を因数分解すると、$(1,135)$, $(3,45)$, $(5,27)$, $(9,15)$の4組のペアが考えられる。これらのうち差が6であるペアは$(9,15)$のみであり、大きい方の整数は$\boxed{15}$である。 | 整数の性質（数学と人間活動） | Level 1 | Algebra |
もし $x + y = 16$ かつ $x-y = 2$ ならば、$x^2 - y^2$ の値は何ですか？ | 32 | $x^2 - y^2$ は $(x+y)(x-y)$ と因数分解されるので、$x^2 - y^2$ の値を求めるには、単に $16 \cdot 2$ を計算して $\boxed{32}$ を得ればよい。 | 展開と因数分解 | Level 1 | Algebra |
方程式 $\dfrac{r^2-3r-17}{r+4}=2r+7$ の解のうち、正の差を求めよ。 | 12 | 分子の二次式を因数分解するのは複雑そうなので、分母を払って計算を進める。
\begin{align*}
r^2-3r-17&=(r+4)(2r+7)\\
r^2-3r-17&=2r^2 + 15r + 28\\
r^2+18r+45&=0\\
(r+3)(r+15)&=0
\end{align*}したがって、解は $r=-3$ と $r=-15$ であり、その差は $\boxed{12}$ である。 | 二次方程式 | Level 4 | Algebra |
Subsets and Splits
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