problem stringlengths 3 4.13k | answer stringlengths 1 159 | solution stringlengths 25 4.39k | unit stringclasses 116
values | level stringclasses 6
values | type stringclasses 7
values |
|---|---|---|---|---|---|
整数 $a$、$b$、$c$、$d$ が以下の式を満たすとする：$a-b+c=5$、$b-c+d=6$、$c-d+a=3$、$d-a+b=2$。このとき、$a+b+c+d$ の値を求めよ。 | 16 | 連立方程式を見ると、各変数は2回加算され、1回減算されていることに気付く。したがって、4つの式をすべて加えると、$a+b+c+d=5+6+3+2=\boxed{16}$ となる。 | 連立方程式 | Level 4 | Algebra |
次の不等式を満たす$x$をすべて求め、区間記号で答えよ：$x^2+5x<6$。 | (-6, 1) | 与式の両辺から6を引くと、次の二次不等式を得る：
\begin{align*}
x^2+5x-6 &< 0 \\
(x+6)(x-1) &< 0.
\end{align*}
-6と1はこの二次式の根であるため、不等式の符号はこの2点で変化する。したがって、次の3つの範囲について符号を調べる：$x<-6$、$-6<x<1$、$x>1$。
$x<-6$のとき、$(x+6)$も$(x-1)$も負となるため、積は正となる。
$-6<x<1$のとき、$(x-1)$のみが負であるため、積は負となる。
$x>1$のとき、$(x+6)$も$(x-1)$も正となるため、積は再び正となる。
よって、不等式を満たす$x$の範囲は$\boxed{(-6, ... | 二次関数 | Level 4 | Algebra |
実数 $A$, $B$ が $ rac{A}{x-5}+B(x+1)= rac{-3x^2+12x+22}{x-5}$ を満たすとき，$A+B$ の値を求めよ。 | 4 | 右辺の有理関数を多項式部分と分子が定数の項に分解することを考える。ここで，$-3x^2+15x$ は $x-5$ の倍数であることに注目すると，
\[
\frac{-3x^2+12x+22}{x-5}=\frac{-3x^2+15x-15x+12x+22}{x - 5}=-3x+\frac{-3x+22}{x-5}。
\]
さらに $-3x+15$ も $x-5$ の倍数であるから，
\[
-3x+\frac{-3x+22}{x-5}=-3x+\frac{-3x+15+7}{x-5}=-3x-3+\frac{7}{x-5}。
\]
したがって $B=-3$，$A=7$ となり，$A+B=\boxed{4}$ である。 | いろいろな式 | Level 4 | Algebra |
式 $t^2-49$ を因数分解しなさい。 | (t-7)(t+7) | $t^2 -49 = t^2 - 7^2 = \boxed{(t-7)(t+7)}$ となります。 | 展開と因数分解 | Level 2 | Algebra |
次の条件を満たすとき，$x+y$ の取り得る最大の値は何か：$x^{2} + y^{2} =90$ および $xy=27$。 | 12 | $(x+y)^2=x^2+y^2+2xy=90+2\cdot27=144$ となるので，$x+y=12$ または $x+y=-12$ である。より大きい値を求めると，$x+y=\boxed{12}$ となる。 | 二次関数 | Level 2 | Algebra |
方程式 $x^2 + bx -28 = 0$ の解の1つが $-7$ であるとき、$b$ の値を求めなさい。 | 3 | この二次方程式の解の積は $-28/1=-28$ であるから、もう1つの解は $-28/(-7)=4$ である。したがって、解の和は $-7+4=-3$ となる。また、解の和は $-b/1=-b$ でもあるから、$-b=-3$ となり、$b=\boxed{3}$ が得られる。 | 二次方程式 | Level 2 | Algebra |
$iggl\lceil- rac{\sqrt{49}}{4}\biggr\rceil$ を求めよ。 | -3 | $- rac{\sqrt{49}}{4}$ は $- rac{7}{2}$ に等しいので、$- rac{7}{2}$ 以上の最小の整数は $\boxed{-3}$ である。 | 数と式 | Level 3 | Algebra |
ジェシカはベーカリーで働いており、毎日30個のパイ生地を作ります。それぞれの生地には$\frac16$カップの小麦粉が使われます。ある日、彼女は同じ小麦粉の総量を使って、代わりに20個のより大きなパイ生地を作りたいと考えました。新しい生地1個あたりには何カップの小麦粉が使われるでしょうか？答えを最も簡単な分数で表しなさい。 | \frac14 | パイ生地の個数を$p$、生地1個あたりの小麦粉の量を$f$とします。小麦粉の総量は一定であるため、$p\cdot f = c$という関係が成り立ちます。ここで$c$は定数です。
初めの状況では、30個のパイ生地それぞれに$\frac16$カップの小麦粉が使われるので、
$30\left(\frac16\right)=c$、すなわち$c=5$となります。
次に、$p=20$の場合を考えると、$20\cdot f=5$という式が得られます。
したがって、$f=\frac{5}{20}=\boxed{\frac14}$となります。 | 一次方程式 | Level 2 | Algebra |
直線 $y = ax + b$ のグラフが点 $(4,5)$ と点 $(8,17)$ を通るとき、$a - b$ の値を求めよ。 | 10 | 2点 $(x_1,y_1)$ と $(x_2,y_2)$ を通る直線の傾きは、\[\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.\]で与えられる。$(x_1,y_1) = (4,5)$、$(x_2,y_2) = (8,17)$ とすると、傾きは\[\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{17 - 5}{8 - 4} = \frac{12}{4} = 3.\]となる。したがって、$a = 3$ である。
$b$ は、この直線上のすべての点が $y = 3x + b$ を満たすことから求められる。点 $(4,5)$ が $y = 3x + b$ のグラフ上にあるので、$x = 4$、$y = ... | 一次関数 | Level 3 | Algebra |
方程式 $a^7xy-a^6y-a^5x=a^4(b^4-1)$ は、ある整数 $m$, $n$, $p$ に対して、方程式 $(a^mx-a^n)(a^py-a^2)=a^4b^4$ と同値である。$mnp$ を求めよ。 | 24 | $a^4$ を両辺に加えると、$a^7xy-a^6y-a^5x +a^4=a^4b^4$ となる。左辺を因数分解すると、$(a^3x-a^2)(a^4y-a^2)=a^4b^4$ が得られる。よって、$(m,n,p)=(3,2,4)$ であり、$mnp=3\cdot2\cdot4=\boxed{24}$ である。 | いろいろな式 | Level 5 | Algebra |
次の式の値を求めよ：$(2 + 1)(2^2 + 1^2)(2^4 + 1^4)$。 | 255 | 直接展開して計算することも可能だが、煩雑になる。そこで、全体に $\frac{2-1}{2-1}$ を掛け、平方の差を利用する：
\begin{align*}
&\quad \frac{1}{2-1}(2 - 1)(2 + 1)(2^2 + 1^2)(2^4 + 1^4) \\
&= (2^2 - 1^2)(2^2 + 1^2)(2^4 + 1^4) \\
&= (2^4 - 1^4)(2^4 + 1^4) \\
&= 2^8 - 1^8 \\
&= \boxed{255}.
\end{align*} | いろいろな式 | Level 1 | Algebra |
$x$, $y$, $z$ が正の数であり，次の等式を満たすとき，$xyz$ の値を求めよ。\[ x+\frac{1}{y}=4,\quad y+\frac{1}{z}=1,\quad z+\frac{1}{x}=\frac{7}{3}. \] | 1 | **解答１**．\[ \begin{aligned} \left(x+\frac{1}{y}\right)\left(y+\frac{1}{z}\right)\left(z+\frac{1}{x}\right) &= xyz + x+y+z + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{xyz} \\ &= xyz + \left(x+\frac{1}{y}\right) + \left(y+\frac{1}{z}\right) + \left(z+\frac{1}{x}\right) + \frac{1}{xyz}. \end{aligned} \]与えられた値を代入する... | 数と式 | Level 5 | Algebra |
次の $x$ の式を簡単にせよ: \[3x+7x^2+5-(2-3x-7x^2).\] 答えを $ax^2 +bx+c$ の形で表せ。ただし $a$, $b$, $c$ は数である。 | 14x^2+6x+3 | 与式は $3x+7x^2+5-2+3x+7x^2$ と書き直せる。同類項をまとめると、この式は $(3x+3x)+(7x^2+7x^2)+(5-2)=\boxed{14x^2+6x+3}$ となる。 | 数と式 | Level 2 | Algebra |
2つの関数 $f(x)=x^2+1$ と $g(x)=2x-1$ が与えられたとき，$f(g(5))$ を求めよ。 | 82 | $f(x)=x^2+1$，$g(x)=2x-1$ であるので，$f(g(x))$ は $(2x-1)^2+1$ と表せる。したがって，$x=5$ を代入すると，
\begin{align*}
f(g(5)) &=(2(5)-1)^2+1\\
&=(10-1)^2+1\\
&=9^2+1\\
&=81+1\\
&=\boxed{82}
\end{align*} | 二次関数 | Level 1 | Algebra |
$
\left\lceil\sqrt{140}\right\rceil$ の値を求めよ。
| 12 | 値 $\sqrt{140}$ は、最も近い2つの整数の間にある。その2つの整数を $z_1$ と $z_2$ とする。すると、$$z_1<\sqrt{140}<z_2$$が成り立つ。不等式のすべての値は正なので、各値を2乗して$$z_1^2<140<z_2^2$$を得るのは適切である。ここで必要なのは、140より大きい最小の平方数であり、それは144である。よって、$\sqrt{140}$ より大きい最小の整数は $\sqrt{144}=\boxed{12}$ である。 | 平方根 | Level 2 | Algebra |
$√{2x^2+1}=√{19}$ のとき、$x$ の取りうる値すべての平均を求めよ。 | 0 | まず、与えられた方程式の両辺を2乗します。
\begin{align*}
(\sqrt{2x^2+1})^2 & = (\sqrt{19})^2 \\
2x^2+1 & = 19 \\
\Rightarrow 2x^2 & = 18 \\
\Rightarrow x^2 & = 9
\end{align*}ここから、$x$ の取りうる値は $3$ と $-3$ のみであることがわかります。したがって、その平均は $\boxed{0}$ です。 | 平方根 | Level 2 | Algebra |
関数 $f(x)=x+2$ と $g(x)=x/3$ を定義する。また、これらの関数の逆関数をそれぞれ $f^{-1}$ と $g^{-1}$ で表す。次の式を計算せよ：\[f(g^{-1}(f^{-1}(f^{-1}(g(f(19)))))).\] | 11 | $f$ は $2$ を加える関数なので、$f^{-1}$ は $2$ を引く関数である。$g$ は $3$ で割る関数なので、$g^{-1}$ は $3$ 倍する関数である。これを用いて内側から順に計算すると、
\[\begin{array}{rl|l}
&f(g^{-1}(f^{-1}(f^{-1}(g(f(19))))))\\
&\quad=f(g^{-1}(f^{-1}(f^{-1}(g(21)))))&\text{（$2$ を加えた）}\\
&\quad=f(g^{-1}(f^{-1}(f^{-1}(7))))&\text{（$3$ で割った）}\\
&\quad=f(g^{-1}(f^{-1}(5)))&\text{（$2... | 一次関数 | Level 4 | Algebra |
端点が $(8, 5)$ と $(2, -1)$ である線分の中点の座標の和を求めよ。 | 7 | 中点の座標は $\left(\frac{8+2}{2},\frac{5-1}{2}\right) = (5, 2)$ となる。したがって、求める和は $5 + 2 = \boxed{7}$ である。 | 数と式 | Level 2 | Algebra |
以下は関数 $y=f(x)$ のグラフの一部である：
[asy]
import graph; size(8cm); real lsf=0.5; pen dps=linewidth(0.7)+fontsize(10); defaultpen(dps); pen ds=black; real xmin=-3.25,xmax=5.25,ymin=-3.25,ymax=4.25;
pen cqcqcq=rgb(0.75,0.75,0.75);
/*grid*/ pen gs=linewidth(0.7)+cqcqcq+linetype("2 2"); real gx=1,gy=1;
for(real i=ceil(xmin/gx)*g... | 2 | 関数 $g(x)$ のグラフは、$f(x)$ のグラフを $a$ だけ左に平行移動したものであることに注意する。（これは、$(x,f(x))$ が $f$ のグラフ上の点ならば、$(x-a,f(x))$ が $g$ のグラフ上の対応する点となるからである。）
関数とその逆関数のグラフは、直線 $y=x$ に関して互いに対称である。したがって、$g(x)$ がそれ自身の逆関数であるならば、$g(x)$ のグラフは直線 $y=x$ に関して対称でなければならない。
$f(x)$ のグラフは直線 $y=x-2$ に関して対称である：[asy]
draw((-1.25,-3.25)--(5.25,3.25),red+0.75+dashe... | 二次関数 | Level 5 | Algebra |
直線 $-2x + y = k$ と $0.5x + y = 14$ は $x = -8.4$ で交わる。$k$ の値を求めよ。 | 35 | まず、交点の $y$ 座標を求めるために、2番目の式に $x = -8.4$ を代入する。$0.5(-8.4) + y = 14$ より、$y = 14 - (0.5)(-8.4) = 14 -(-4.2) = 14 + 4.2 = 18.2$ となる。次に、この $x = -8.4$ と $y=18.2$ を最初の式に代入すると、
\[k = -2x + y = -2(-8.4) + 18.2 = 16.8 + 18.2 = \boxed{35}.\]
別解として、$y$ を消去するために、2番目の式から最初の式を引く方法もある。これにより、$0.5x - (-2x) = 14 - k$ すなわち $2.5x = 14-k$ が... | 一次方程式 | Level 4 | Algebra |
方程式 $x^2 - (1A)x + A0 = 0$ が正の整数解を持つとき、$A$ は正の一桁の数である。このような $A$ はいくつ存在するか？（$A$ は桁を表すため、$A = 2$ の場合、$A0$ は整数の20を表す。） | 9\text{ values} | 積が $A0$、和が $1A$ となる2つの数を見つける必要がある。ここで $A$ は正の一桁の数である。$A$ として試すべき桁は9つしかない。積が10で和が11の場合、2つの数は1と10となり得る。積が20で和が12の場合、2つの数は2と10である。これは $A$ が1から9までのすべての場合に成り立つため、条件を満たす $A$ は $\boxed{9\text{ values}}$ 個存在する。 | 二次方程式 | Level 5 | Algebra |
次の連立不等式において、$x = 2$ が正の整数解として唯一存在するような正の整数 $a$ はいくつあるか？$$
\begin{cases}
2x>3x-3\\
3x-a>-6
\end{cases}
$$ | 3 | 最初の不等式から考えると、$2x > 3x - 3$ は $3 > x$ と同値である。したがって、$x$ が正の整数として取りうる値は $x = 1$ または $x = 2$ のみである。次に、二つ目の不等式について調べる。$x = 2$ の場合、$$3(2) - a > -6 \quad \Rightarrow \quad 12 > a$$ となる。また、$x = 1$ の場合は、$$3(1) - a > -6 \quad \Rightarrow \quad 9 > a$$ となる。ここで、$x = 2$ が唯一の解であるためには、$x = 1$ が解であってはならない。つまり、$a$ は $9 \geq a$ を満たさないよう... | 連立方程式 | Level 5 | Algebra |
与えられた式は $x = {1+ rac{\sqrt{2}}{1+\frac{\sqrt{2}}{1+...}}}$ である。$\frac{1}{(x+1)(x-2)}$ の値を求めよ。答えが $\frac{A+\sqrt{B}}{C}$ の形（$A$, $B$, $C$ は整数であり、$B$ は素数の平方で割り切れない）で表されるとき、$|A|+|B|+|C|$ を求めよ。 | 6 | $x-1=\frac{\sqrt{2}}{1+\frac{\sqrt{2}}{1+...}}$ と変形できる。したがって $\frac{\sqrt{2}}{x-1}=1+\frac{\sqrt{2}}{1+\frac{\sqrt{2}}{1+...}}=x$ が成り立つ。これを $x$ について解くと、$\sqrt{2}=x(x-1)$、すなわち $x^{2}-x=\sqrt{2}$ を得る。
次に、$\frac{1}{(x+1)(x-2)}$ の分母を整理すると $\frac{1}{x^2-x-2}$ となる。ここで $x^2-x=\sqrt{2}$ を代入すると、
$$
\frac{1}{(x+1)(x-2)}=\frac{1}... | 数と式 | Level 5 | Algebra |
式 $2x(x-3) + 3(x-3)$ を因数分解せよ。 | (2x+3)(x-3) | 各項から共通因数 $x-3$ をくくり出すことができる。
\[2x(x-3) + 3(x-3) = 2x\cdot (x-3) + 3\cdot (x-3) = \boxed{(2x+3)(x-3)}.\]
もしこの因数分解がわかりにくければ、一時的に $A = x-3$ と置き換えて考えてみるとよい。
\[2xA +3A = 2x\cdot A + 3\cdot A = (2x+3)A.\]
ここで $A$ に $x-3$ を戻せば、因数分解の結果 $(2x+3)(x-3)$ が得られる。 | 展開と因数分解 | Level 3 | Algebra |
関数 $y=h(x)$ と $y=j(x)$ のグラフは $(2,2)$, $(4,6)$, $(6,12)$, $(8,12)$ で交わっている。このとき、グラフ $y=h(2x)$ と $y=2j(x)$ は必ず1点で交わる。その点の座標の和を求めよ。 | 16 | 与えられた情報から、
$$
\begin{array}{c@{\qquad}c}
h(2)=j(2)=2, & h(4)=j(4)=6, \\
h(6)=j(6)=12, & h(8)=j(8)=12.
\end{array}
$$
$y=h(2x)$ と $y=2j(x)$ のグラフが点 $(a,b)$ で交わるとすると、
$$
h(2a)=2j(a)= b.
$$
上の表の可能性を調べると、$h(8)=2j(4)=12$ が成り立つ。したがって、$y=h(2x)$ と $y=2j(x)$ のグラフは点 $(4,12)$ で交わり、その座標の和は $\boxed{16}$ である。 | 二次関数 | Level 5 | Algebra |
$ rac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{7}}$ を簡単にし、得られた分数の分母を有理化しなさい。 | \frac{2\sqrt{35}}{35} | 問題は $\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{4}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{6}\cdot\sqrt{7}}$ を単純化することです。$\sqrt{6}$ を $\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}$ と書き直すと、分子と分母で $\sqrt{2}$ と $\sqrt{3}$ を約分できることがわかります。また、$\sqrt{4}$ は $2$ と簡略化できます。これにより、$\frac{2}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{7}} = \frac{2}{\sqrt{35}}$ が得られます。最後に分母を有理化するために、分子と分母に $\sqrt{35}$ を掛け... | 平方根 | Level 4 | Algebra |
ジョージは、$b$が特定の負の数であるような、$x^2+bx+\frac13$という形の二次式を持っている。平方完成の方法を知っているジョージは、この二次式を$(x+m)^2+\frac{1}{12}$という形に書き直すことができる。$b$の値を求めよ。 | -1 | $(x+m)^2+\frac{1}{12}$を展開すると$x^2+2mx+m^2+\frac{1}{12}$となり、定数項は$m^2+\frac{1}{12}$である。この定数項は元の二次式の定数項と等しくなければならないので、$$m^2+\frac{1}{12} = \frac13,$$が成り立ち、$$m^2 = \frac13-\frac{1}{12} = \frac14.$$となる。これより$m=\frac12$または$m=-\frac12$という可能性が得られる。
$m=\frac12$の場合、$(x+m)^2+\frac{1}{12} = x^2+x+\frac14+\frac{1}{12} = x^2+x+\frac1... | 二次関数 | Level 5 | Algebra |
次の不等式を満たす正の整数 $n$ はいくつありますか？ $200 < n^2 < 900$ | 15 | 関数 $f(n)=n^2$ は正の整数の集合において単調増加関数なので、最小の解と最大の解を求め、その間にある整数を数えることができます。$14^2=196$ と $15^2=225$ より、$n=15$ が最小の解です。また、$30^2=900$ より、$n=29$ が最大の解です。15から29までの整数の個数は $29-15+1=\boxed{15}$ となります。 | 二次関数 | Level 3 | Algebra |
冷蔵庫にピザが1枚丸ごと入っています。最初に冷蔵庫に行ったとき、ピザの半分を食べます。その後、冷蔵庫に行くたびに、残っているピザの半分を食べます。冷蔵庫に5回行った後、ピザのどれだけの割合を食べたことになりますか？ | \frac{31}{32} | 2回目、3回目、4回目、5回目の訪問では、それぞれピザの $\frac1{2^2}$、$\frac1{2^3}$、$\frac1{2^4}$、$\frac1{2^5}$ を食べます。食べたピザの合計量は、等比級数
\begin{align*}
\frac12+\frac1{2^2}+\frac1{2^3}+\frac1{2^4}+\frac1{2^5} &= \frac{\frac12\left(1-\left(\frac12\right)^5\right)}{1-\frac12}\\
&=1-\left(\frac12\right)^5\\
&=1-\frac1{32}\\
&=\boxed{\frac{31}{32}}.
\en... | 数列 | Level 3 | Algebra |
式 $\frac{2x^3+3}{x^2-20x+100}$ が定義されないのは、$x$ がどの値のときか求めよ。 | 10 | この式が定義されないのは、分母が $0$ になるときのみである。すなわち、方程式 $x^2 - 20x + 100 = 0$ の解をすべて求めればよい。この二次方程式を因数分解して $(x - 10)(x - 10) = 0$ とできる。あるいは二次方程式の解の公式 $$x = \frac{20 \pm \sqrt{(-20)^2-4(1)(100)}}{2}$$ を用いてもよい。どちらの方法でも、分母が $0$ になるのは $x = 10$ のときのみであることがわかる。したがって、答えは $\boxed{10}$ である。 | 二次方程式 | Level 3 | Algebra |
関数 $f(x)=3x^3+2$ が与えられている。$f^{-1}(x)=4$ となるような $x$ の値を求めよ。 | 194 | 方程式 $f^{-1}(x)=4$ は、$x=f(4)$ と等価である。したがって、$f(4)$ の値を求めればよい。$f(4)=3 \cdot 4^3 + 2 = \boxed{194}$ を計算する。 | 指数・対数 | Level 4 | Algebra |
タクシーで50マイル移動した後、アンは120ドルの料金を請求されました。タクシー料金が移動距離に比例すると仮定すると、もし彼女が70マイル移動した場合、いくらの料金（ドル単位）が請求されますか？ | 168 | 70マイルのタクシー料金を$d$とする。50マイルのタクシー料金が120ドルであるため、比例式$\frac{120}{50}=\frac{d}{70}$が成り立つ。両辺を70倍して$d$を求めると、$d=\left(\frac{120}{50}\right)(70)=\boxed{168}$ドルとなる。 | 比例反比例 | Level 1 | Algebra |
等差数列の初項から第4項までの和が$10$である。第5項が$5$のとき、第6項を求めよ。 | 6 | 隣接する項の公差を$x$とする。第5項を基準に最初の4項を$x$で表すと、第4項は$5-x$、第3項は$5-2x$、となる。したがって、$(5-4x) + (5-3x) + (5-2x) + (5-x) = 10$が成り立つ。これを整理すると、$-10x = -10$、すなわち$x = 1$である。よって第6項は$5+1 = \boxed{6}$である。 | 数列 | Level 2 | Algebra |
関数 $h(4x-1) = 2x + 7$ が与えられている。$h(x) = x$ となる $x$ の値を求めよ。 | 15 | まず、$h(x)$ の式を求める。定義より、$h(4y-1) = 2y+7$ である。ここで $x = 4y-1$ と置くと、$y = \frac{x+1}{4}$ となるので、
\[h(x) = 2\cdot\frac{x+1}{4} + 7 = \frac{x+1}{2} + 7.\]
これが $x$ と等しいとおく：
\[x = \frac{x+1}{2} + 7.\]
両辺を2倍すると、$2x = x+1+14$ となり、$x = \boxed{15}$ を得る。 | 数と式 | Level 5 | Algebra |
$b$ と $a$ の比が $3$ であるとき，$b=12-5a$ ならば $a$ の値はいくらですか？ | \frac{3}{2} | 与えられた比から，$\frac{b}{a}=3$，すなわち $b=3a$ が成り立ちます．この $b$ の値を代入して，変数が $a$ だけの方程式を得ます．
\begin{align*}
3a &= 12-5a \\
\Rightarrow \quad 8a &= 12 \\
\Rightarrow \quad a &= 12/8 \\
\Rightarrow \quad a &= \boxed{\frac{3}{2}}.
\end{align*} | 連立方程式 | Level 3 | Algebra |
次の値を求めよ: $\lfloor{\pi}\rfloor$。 | 3 | この問題は、$\pi$ 以下で最大の整数を求めよという意味です。$\pi$ はおよそ $3.14$ なので、答えは $\boxed{3}$ となります。 | 数と式 | Level 3 | Algebra |
$ rac{5+12i}{2-3i}$ を簡単にせよ。答えは $a+bi$ の形で表し、$a$, $b$ は実数で、必要ならば仮分数で書くこと。 | -2+3i | 分母の共役複素数を分子と分母にかけると、
\begin{align*}
\frac{5+12i}{2-3i} \cdot \frac{2+3i}{2+3i} &= \frac{5(2) + 5(3i) + 12i(2) +12i(3i)}{2(2) + 2(3i) + -3i(2) -3i(3i)}\\
&= \frac{-26+39i}{13} \\
&= \boxed{-2+3i}.
\end{align*} | いろいろな式 | Level 5 | Algebra |
方程式 $3 \cdot 3^t + \sqrt{9 \cdot 9^t} = 18$ を $t$ について解きなさい。 | 1 | $\sqrt{9 \cdot 9^t} = 3 \cdot 3^t$ であることに注意します。方程式は次のようになります。
\begin{align*}
3 \cdot 3^t + 3 \cdot 3^t &= 18\\
\Rightarrow 6 \cdot 3^t &= 18 \\
\Rightarrow 3^t &= 3.
\end{align*}したがって、$t = \boxed{1}$ です。 | 指数・対数 | Level 3 | Algebra |
$
\sqrt{\sqrt[3]{0.000064}}
$ を計算しなさい。答えは小数で、小数点以下第1位まで求めなさい。 | 0.2 | まず、小数を分数に書き直すと、
\begin{align*}
\sqrt{\sqrt[3]{0.000064}} &= \sqrt{\sqrt[3]{\frac{64}{10^6}}} = \sqrt{\left(\frac{2^6}{10^6}\right)^{\frac13}}\\
&=\sqrt{\frac{2^{6\cdot \frac{1}{3}}}{10^{6\cdot \frac13}}} = \sqrt{\frac{2^2}{10^2}} = \frac{2}{10} = \boxed{0.2}.
\end{align*} | 平方根 | Level 2 | Algebra |
$x = \frac34$, $y = \frac43$ のとき，$\frac12x^6y^7$ の値を求めよ。 | \frac{2}{3} | \[\frac{1}{2} x^6 y^7 = \frac{1}{2}\left(\frac{3}{4}\right)^6\left(\frac43\right)^7 = \frac{1}{2}\cdot \frac{3^6}{4^6} \cdot \frac{4^7}{3^7} =\frac{1}{2} \cdot\frac{3^6}{3^7} \cdot \frac{4^7}{4^6} = \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3} \cdot 4 = \boxed{\frac{2}{3}}.\]
別解として，$x=\frac34$, $y=\frac43$ のとき $xy=1$ であることに注目すれば，$\fra... | 数と式 | Level 2 | Algebra |
関数 $g(x)=3x-4$ を考える。$g(a)=0$ となる $a$ の値は何か。 | \frac{4}{3} | $g(a) = 3a-4$ であるから、$g(a)=0$ は $3a-4=0$ を意味する。この方程式を解くと $a = \boxed{\frac{4}{3}}$ となる。 | 一次関数 | Level 3 | Algebra |
$
ceil x
ceil
ceil
ceil x = 135$ となるような $x$ を求めなさい。$x$ を小数で表しなさい。 | 11.25 | まず、$x$ は正の数でなければならないことに注意します。そうでないと、$
ceil x
ceil
ceil
ceil x$ は非正数となってしまいます。さて、$
ceil x
ceil - 1 < x
ceil
ceil x
ceil$ であることから、$
ceil x
ceil$ は $12$ でなければなりません。なぜなら、$11
ceil 11 < 135
ceil 12
ceil 12$ となるからです。
これにより、$
ceil x
ceil
ceil
ceil x = 12x = 135$ であることがわかります。したがって、$x =
ceilfrac{135}{12} = 11.25$... | 一次方程式 | Level 4 | Algebra |
関数 $f(x) = x^k$ が $k > 0$ を満たすとき、区間 $[1, \infty)$ における $f(x)$ の値域を求めよ。 | [1,\infty) | $k > 0$ なので、関数 $f(x)$ は区間 $[1, \infty)$ において単調増加である。$f(1) = 1^k = 1$ であり、$x$ が増加するにつれて $f(x) = x^k$ は限りなく大きくなる。したがって、区間 $[1,\infty)$ において $f(x)$ は $1$ 以上のすべての値をとる。すなわち、$f(x)$ の値域は $\boxed{[1,\infty)}$ である。 | 二次関数 | Level 5 | Algebra |
方程式 $x^2+12x=73$ は2つの解を持つ。その正の解は、正の自然数 $a$, $b$ を用いて $\sqrt{a}-b$ の形で表される。$a+b$ の値を求めよ。 | 115 | 平方完成を行う。両辺に $(12/2)^2=36$ を加えると、$x^2+12x+36=109$ すなわち $(x+6)^2=109$ となる。両辺の平方根をとると（正の解が欲しいので正の平方根をとる）、$x+6=\sqrt{109}$ となる。よって $x=\sqrt{109}-6$ である。したがって $a=109$, $b=6$ となり、$a+b=\boxed{115}$ である。 | 二次方程式 | Level 4 | Algebra |
多項式 $h(x)$ を、次数の高い順に項を並べて求めよ。ただし、次式が成り立つとする。\[ 9x^3 - 3x + 1 + h(x) = 3x^2 - 5x + 3. \] | -9x^3+3x^2-2x+2 | 与えられた等式を $h(x)$ について解くと、
\[ h(x) = (3x^2 - 5x + 3) - (9x^3 - 3x + 1) = \boxed{-9x^3+3x^2-2x+2} \]
となる。 | 数と式 | Level 3 | Algebra |
関数 $F(a, b, c, d) = a^b + c \times d$ について，$F(2, x, 4, 11) = 300$ となる $x$ の値を求めよ。 | 8 | 代入すると，$2^x + 4\times 11 = 300$ となる。これを整理すると $2^x = 256$ であり，したがって $x = \boxed{8}$ である。 | 指数・対数 | Level 2 | Algebra |
関数を以下のように定義する：
\[ f(x) = \begin{cases}
-x^2 & \text{if } x \geq 0,\\
x+8 & \text{if } x <0.
\end{cases}
\]
$f(f(f(f(f(1)))))$ の値を求めよ。 | -33 | \begin{align*}
f(f(f(f(1))))
&= f(f(f(f(-1)))) \\
&= f(f(f(7))) \\
&= f(f(-49)) \\
&= f(-41) \\
&= \boxed{-33}. \\
\end{align*} | 二次関数 | Level 4 | Algebra |
式 $[ a-(b-c) ] - [(a-b) - c ]$ の値を，$a = 17$，$b=21$，$c=5$ のとき求めよ。 | 10 | 直接代入して計算することもできる：
\begin{align*}
[ a-(b-c) ] - [(a-b) - c ] &= [17 - (21-5)] - [(17-21)-5]\\
&= [17-16] - [-4-5]\\
&= 1 - (-9) = \boxed{10}.
\end{align*}
また、最初に式を整理することもできる：
\begin{align*}
[ a-(b-c) ] - [(a-b) - c ] &= [a-b+c] - [a-b-c]\\
&=a-b+c -a+b+c\\
&=2c.
\end{align*}
したがって、$2c = 2(5) = 10$ となる。 | 数と式 | Level 2 | Algebra |
関数 $p(x) = 2x - 7$ および $q(x) = 3x - b$ とする。$p(q(4)) = 7$ であるとき、$b$ の値を求めよ。 | 5 | $q(4) = 3\cdot 4 - b = 12-b$ であるから、$p(q(4)) = 7$ は $p(12-b) = 7$ と書き換えられる。$p(x) = 2x-7$ なので、$p(12-b) = 2(12-b) - 7 = 17 - 2b$ となる。これを $p(12-b) = 7$ に代入すると $17-2b =7$ が得られ、したがって $b = \boxed{5}$ である。 | 数と式 | Level 3 | Algebra |
2つの正方形の面積の比が $\frac{32}{63}$ である。分母を有理化すると、それらの一辺の長さの比は簡約された形で $\frac{a\sqrt{b}}{c}$ と表される。ただし、$a$, $b$, $c$ は整数である。このとき、和 $a+b+c$ の値を求めよ。 | 39 | 正方形の面積は一辺の長さの2乗に等しいので、面積の比の平方根をとることで一辺の長さの比が得られる：
$$\sqrt{\frac{32}{63}}=\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{63}}=\frac{4\sqrt{2}}{3\sqrt{7}}=\frac{4\sqrt{2}}{3\sqrt{7}}\cdot\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=\frac{4\sqrt{14}}{21}.$$
したがって、$a=4$, $b=14$, $c=21$ となるので、$4+14+21=\boxed{39}$ が答えである。 | 平方根 | Level 4 | Algebra |
$x = 10$, $y = 15$ のとき、$(x - y)(x + y)$ の値を求めよ。 | -125 | $(x-y)(x+y)=(10-15)(10+15) = (-5)(25) = \boxed{-125}$。 | 数と式 | Level 1 | Algebra |
次の方程式の2つの異なる解のうち、大きい方の解を求めよ：$$x^2 - 11x - 42 = 0.$$ | 14 | 左辺を因数分解すると、$x^2 - 11x - 42 = (x - 14)(x + 3) = 0.$ となる。したがって、解は $-3$ と $14$ であり、この2つの値のうち大きい方は $oxed{14}$ である。 | 二次方程式 | Level 2 | Algebra |
$\log_5625$ の値を求めよ。 | 4 | $5^4=625$ であるから、$oxed{4}$ が答えである。 | 指数・対数 | Level 2 | Algebra |
新しいアパートの基礎を掘るのに、15人の男性が休まず作業すると4日かかります。同じ作業ペースで25人の男性が基礎を掘る場合、何日かかるでしょうか。答えは小数で、小数点以下第1位まで求めなさい。 | 2.4 | 作業人数と基礎を掘り終えるまでの日数は反比例の関係にあります。男性の人数を $m$、完了までの日数を $d$ とすると、ある定数 $k$ について $md=k$ が成り立ちます。与えられた情報から、$15 \cdot 4 = 60 = k$ です。$k$ の値がわかったので、25人で作業した場合の日数を求めると、
\begin{align*}
25 \cdot d &= 60 \\
\Rightarrow \qquad d &= 60/25 = 12/5 = \boxed{2.4}
\end{align*} | 比例反比例 | Level 2 | Algebra |
最近のバスケットボールの試合で、シェニールはスリーポイントシュートとツーポイントシュートのみを試みた。彼女はスリーポイントシュートの20％、ツーポイントシュートの30％を成功させた。シェニールは合計30回シュートを試みた。彼女は何点得点したか。 | 18 | シェニールが試みたスリーポイントシュートの本数を$x$、ツーポイントシュートの本数を$y$とする。$x+y=30$が成り立つ。求める得点は、スリーポイントシュートが1本成功で3点、その成功率が20％、ツーポイントシュートが1本成功で2点、その成功率が30％であることから、$(0.2 \cdot 3)x + (0.3 \cdot 2)y$と表せる。
これを計算すると、$0.6x + 0.6y = 0.6(x+y)$となる。ここに$x+y=30$を代入すると、$0.6 \cdot 30 = \boxed{18}$である。 | 一次方程式 | Level 4 | Algebra |
ゼロでない数 $t$ について，\[\frac{t^2 - t -56}{t-8} = \frac{3}{t+5}\] を満たす $t$ のうち，最大の値を求めよ． | -4 | 両辺を分母を払って解くこともできるが，ここではまず左辺の分子を因数分解してみよう．\[\frac{(t-8)(t+7)}{t-8} = \frac{3}{t+5}\] 左辺で共通因子 $(t-8)$ を約分すれば，\[t+7 = \frac{3}{t+5}\] となる．両辺に $(t+5)$ を掛けると，\[(t+7)(t+5) = 3\] 左辺を展開すると $t^2 + 12t + 35 = 3$，整理して $t^2 + 12t + 32 = 0$ を得る．これを因数分解すると $(t+4)(t+8) = 0$ となり，解は $t = -4$ および $t = -8$ である．このうち最大の解は $\boxed{-4}$ である． | 二次方程式 | Level 4 | Algebra |
5 ランクスは 3 クンクスと交換でき、2 クンクスで 4 個のリンゴが買えるとします。1 ダース（12 個）のリンゴを購入するには、何ランクス必要ですか？ | 10 | 1 ダースのリンゴは 12 個であり、これは 2 クンクスで 4 個のリンゴが買えることから $2 \cdot 3 = 6$ クンクスかかる（4 個で 2 クンクスなので、12 個ではその 3 倍）。そして、3 クンクスが 5 ランクスと交換できることから、6 クンクスは $5 \cdot 2 = \boxed{10}$ ランクスかかる（3 クンクスで 5 ランクスなので、6 クンクスではその 2 倍）。 | 一次方程式 | Level 1 | Algebra |
エイミーは夏の間、週に36時間働いて10週間で\$3000稼ぎます。学校のある期間に同じ時給で30週間働き、さらに\$3000稼ぐ必要がある場合、週に何時間働かなければなりませんか？ | 12 | 同じ金額を稼げばよいので、働く週数が3倍になるなら、週あたりの労働時間は3分の1で済みます。つまり、\[ \frac{1}{3} \cdot 36 = \boxed{12} \]時間/週となります。 | 一次方程式 | Level 2 | Algebra |
式 $x^2 - 16x + 60$ は $(x - a)(x - b)$ の形に書き表すことができ、$a$ と $b$ はともに負でない整数で $a > b$ を満たす。このとき、$3b - a$ の値を求めよ。 | 8 | 因数分解すると、$x^2 - 16x + 60 = (x - 10)(x - 6)$ となる。よって、$a = 10$, $b = 6$ であり、$3b - a = 18 - 10 = \boxed{8}$ である。 | 展開と因数分解 | Level 3 | Algebra |
以下の方程式を $n$ について解け：$2^n\cdot 4^n=64^{n-36}$。 | 72 | $4=2^2$ より $4^n=2^{2n}$ である。また $64=2^6$ より $64^{n-36}=2^{6(n-36)}$ である。したがって、
$$2^{n+2n}=2^{6(n-36)}\Rightarrow 3n=6n-216$$
となる。よって $3n=216$ より $n=\boxed{72}$。 | 指数・対数 | Level 4 | Algebra |
3つの連続する正の整数があり、それらの平方の和が7805である。もとの3つの整数の立方の和を求めよ。 | 398259 | これらの整数の真ん中の数を $n$ とすると、$(n-1)^2 + n^2 + (n+1)^2 = 3n^2 + 2 = 7805$ となる。したがって $n^2 = 2601$ より $n = 51$ である。よって立方の和は $50^3 + 51^3 + 52^3 = \boxed{398259}$ となる。 | 数と式 | Level 4 | Algebra |
次の式を評価せよ。$i^{11} + i^{16} + i^{21} + i^{26} + i^{31}$。 | -i | 定義より $i^2=-1$ であるから、$i^4=(-1)^2=1$ となる。一般に、任意の整数 $k$ に対して $i^{4k}=(i^4)^k=1^k=1$ が成り立つ。したがって、
$i^{11} + i^{16} + i^{21} + i^{26} + i^{31}= i^8(i^3)+i^{16}(1)+i^{20}(i)+i^{24}(i^2)+i^{28}(i^3)=i^3+1+i+i^2+i^3$ となる。
ここで $i^3=-i$ であるから、この式を簡略化すると、
$i^{11} + i^{16} + i^{21} + i^{26} + i^{31}=-i+1+i-1-i=-i$ となる。
よって、答えは $\b... | いろいろな式 | Level 4 | Algebra |
実数 $a$ について、式 $\frac{a+3}{a^2-4}$ が定義されないのは $a$ がどのような値のときか。答えを小さい順にカンマ区切りで答えよ。 | -2, 2 | 分母が $0$ のとき、その式は定義されません。したがって、分母を $0$ と置いて解きます： $$a^2-4=(a-2)(a+2)=0.$$ よって、この式が定義されないのは $a=\boxed{-2, 2}$ のときです。 | 数と式 | Level 3 | Algebra |
$もしかつ定数$x$を$求める。$このとき$次の式が$成り立つ。$
$$
\log_x 81=\log_2 16.
$$ | 3 | 式の右辺を評価してみよう。$2^4=16$であるから$わかるとおり$
$$
\log_2 16=4
$$
である。
これで式は
$$
\log_x 81=4
$$
となる。
これを平方形式に書きなおすと
$$
x^4=81
$$
が得られる。
これから可能な$x$の値は$x=\pm3$である。
しかし、対数の底は常に正の数である必要があるため、$x$は正である。これで$x=3$が求める答えである。
したがって答えは$
\boxed{3}
$である。 | 指数・対数 | Level 2 | Algebra |
与えられた $x = \frac{3}{5}$ と $y = \frac{7}{9}$ に対して、$\frac{5x+9y}{45xy}$ の値を求めよ。 | \frac{10}{21} | $x$ と $y$ の値を式に代入すると、
$$\frac{5\left(\frac35\right)+9\left(\frac79\right)}{45\left(\frac35\right)\left(\frac79\right)}=\frac{3+7}{3\cdot7}=\boxed{\frac{10}{21}}.$$ | 数と式 | Level 1 | Algebra |
方程式 $-35=-x^2-2x$ の解の積を求めよ。 | -35 | 展開 $(x - \alpha)(x - \beta) = x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta$ から、最高次の係数が $1$ である二次方程式の解の積は定数項に等しいことが分かります。
与えられた方程式を上の形に整理すると、$x^2 + 2x - 35 = 0$ となります。これより、解の積は $\boxed{-35}$ です。 | 二次方程式 | Level 2 | Algebra |
ある木材の山積みは、下の段に12本の丸太があり、上の段に行くごとに1本ずつ少なくなっていて、最上段には3本の丸太がある。この山積みには全部で何本の丸太があるか。 | 75 | 手計算で $3+4+\cdots+12$ を加算してもよいが、等差数列の和の公式を用いることもできる。初項と末項の平均 $\frac{3+12}{2}$ に項数 $12-3+1=10$ を掛ける。この和は $\frac{15}{2}\cdot10=15\cdot5=75$ となる。したがって、山積みには全部で $\boxed{75}$ 本の丸太がある。 | 数列 | Level 2 | Algebra |
関数 $f(x) = x^k$ が与えられており，$k < 0$ とする。区間 $[1, \infty)$ における $f(x)$ の値域は何か。 | (0,1] | 区間 $[1,\infty)$ における $f(x)$ の値域を求める。$k < 0$ であるから，$f(x)$ は区間 $[1, \infty)$ において減少関数である。$f(1) = 1^k = 1$ であり，$x$ が増加するにつれて $f(x) = x^k$ は $0$ に近づくが，$0$ になることはない。したがって，区間 $[1,\infty)$ において，$f(x)$ は $0$（含まず）から $1$（含む）までのすべての値をとる。つまり，$f(x)$ の値域は $\boxed{(0,1]}$ である。 | 指数・対数 | Level 5 | Algebra |
直線 $4x+7y+c=0$ について、$x$ 切片と $y$ 切片の和が $22$ であるとき、$c$ の値を求めなさい。 | -56 | $x$ 切片は $y=0$ のとき得られる。代入すると、$4x+7(0)+c=0$ より $4x=-c$、したがって $x=-\frac{c}{4}$ である。
$y$ 切片は $x=0$ のとき得られる。代入すると、$4(0)+7y+c=0$ より $7y=-c$、したがって $y=-\frac{c}{7}$ である。
与えられた条件より、$x$ 切片と $y$ 切片の和が $22$ なので、$\left(-\frac{c}{4}\right)+\left(-\frac{c}{7}\right)=22$ が成り立つ。
この方程式を解くために、共通分母 $28$ をかけると、$7(-c)+4(-c)=22 \times 28$ とな... | 一次関数 | Level 5 | Algebra |
方程式 $\displaystyle\sqrt[3]{3 - x} = -\frac{3}{2}$ の解をすべて求めよ。 | \frac{51}{8} | 両辺を3乗して立方根の記号を外す。これより、$3-x = -\frac{27}{8}$ が得られる。これを解くと、$x = 3 + \frac{27}{8} = \boxed{\frac{51}{8}}$ となる。 | いろいろな式 | Level 4 | Algebra |
次の方程式を $x$ について解け。\[ \frac{x^2+x+1}{x+1}=x+2 \] | -\frac12 | 両辺に $(x+1)$ を掛けて分母を払うと、\[ x^2+x+1=(x+2)(x+1)=x^2+3x+2 \] となる。したがって、\[ 0=2x+1 \] が得られ、これを解いて $x=\boxed{-\frac12}$ である。 | 二次方程式 | Level 3 | Algebra |
和 \[\frac{1}{3^1} + \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} + \cdots + \frac{k}{3^k} + \cdots \] を求めよ。 | \frac{3}{4} | この和を$S$とする。この級数はほぼ等比級数であるが、正確にはそうではない。次のようにして等比級数に変形できる。
\begin{align*}
S &= \frac{1}{3^1} +\frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} + \frac{4}{3^4} + \cdots \\
\frac{1}{3}S &= \frac{0}{3^1} + \frac{1}{3^2} + \frac{2}{3^3} + \frac{3}{3^4} + \cdots \\
\frac{2}{3}S = S - \frac{1}{3}S &= \frac{1}{3^1} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3}... | 数列 | Level 5 | Algebra |
次の方程式 $y = -16t^2 + 80t$ は、地面から毎秒80フィートで打ち上げられた投射物の高さ（フィート）を表している。この投射物が初めて高さ36フィートに達するのは、$t$ がいくつのときか？ 答えを小数で、小数点以下第1位に四捨五入して求めよ。 | 0.5 | $y$ に36を代入すると、次の式を得る。
\begin{align*}
36& = -16t^2 + 80t\\
0 & = -16t^2 + 80t - 36\\
& = 4t^2 - 20t + 9\\
& = (2t - 1)(2t - 9)
\end{align*}
したがって $t$ の取り得る値は $\frac{1}{2} = 0.5$ または $\frac{9}{2} = 4.5$ である。このうち小さい方の $t$、すなわち $\boxed{0.5}$ を選ぶ。 | 二次方程式 | Level 4 | Algebra |
二次式 $x^2-20x+36$ は、定数 $b$, $c$ を用いて $(x+b)^2+c$ の形で表すことができます。このとき、$b+c$ の値を求めなさい。 | -74 | 平方完成を行います。
$(x-10)^2 = x^2 - 20x + 100$ なので、
\begin{align*}
x^2-20x+ 36 &= (x-10)^2 + (36-100) \\
&= (x-10)^2 - 64.
\end{align*}したがって、$b=-10$, $c=-64$ となり、$b+c = \boxed{-74}$ となります。 | 二次関数 | Level 4 | Algebra |
$√{15 - 6√{6}} + √{15 + 6√{6}}$ の値を求めよ。 | 6 | 解答1:
$x = \sqrt{15 - 6\sqrt{6}} + \sqrt{15 + 6\sqrt{6}}$ とおく。すると、
\[x^2 = \left( \sqrt{15 - 6\sqrt{6}} \right)^2 + 2 \sqrt{15 - 6\sqrt{6}} \sqrt{15 + 6\sqrt{6}} + \left( \sqrt{15 + 6\sqrt{6}} \right)^2 \]
ここで、$(15 - 6\sqrt{6})(15 + 6\sqrt{6}) = 15^2 - (6\sqrt{6})^2 = 225 - 216 = 9$ である（平方の差の公式を用いた）。よって、
\[x^2 = (15 - 6... | 平方根 | Level 5 | Algebra |
正方形 $A$ の一辺の長さは 36 cm、正方形 $B$ の一辺の長さは 42 cm です。正方形 $A$ の面積と正方形 $B$ の面積の比を求めなさい。答えは既約分数で表しなさい。 | \frac{36}{49} | 面積の比は一辺の長さの比の平方になります。正方形 $A$ と $B$ の一辺の長さの比は $\frac{36}{42}=\frac{6}{7}$ です。したがって、面積の比は $\left( \frac{6}{7} \right) ^2=\boxed{\frac{36}{49}}$ となります。 | 数と式 | Level 2 | Algebra |
フレデリックが生まれたとき、祖父母は彼に2000ドルの贈り物をし、それを年利5％の複利で（1年ごとに複利計算されるものとして）投資しました。フレデリックが18歳でそのお金を受け取るとき、彼はいくら持っていることになりますか？答えをドル単位で小数点以下第2位まで求めなさい。 | \$4813.24 | 5％の成長は、1+5％=1.05を掛けることに対応する。したがって、18年後にフレデリックが持つ金額は、$2000(1+.05)^{18}=\boxed{\$4813.24}$となる。 | 指数・対数 | Level 4 | Algebra |
等差数列 $1$, $4$, $7$, $10$, $13$, $\ldots$ を考える。この数列の第 $15$ 項を求めよ。 | 43 | 初項は $1$、公差は $3$ である。したがって、第 $15$ 項を得るには、初項に $3$ を $14$ 回加えればよい。すなわち、$1+ 3(14) = 43$ となる。 | 数列 | Level 1 | Algebra |
次の計算を暗算で求めよ： $99\times 99$。 | 9801 | そのままかけ算してもよいが、少し手間がかかる。代わりに、$99\times 99 = (100 - 1)^2$ と変形できることに注意する。すると、$(100 - 1)^2 = 100^2 - 2\cdot 1\cdot 100 + 1 = 10000 - 200 + 1 = \boxed{9801}$ となる。 | 展開と因数分解 | Level 2 | Algebra |
関数 $f(x)=3x-8$ を定義する。$f^{-1}$ が $f$ の逆関数であるとき、$f(x)=f^{-1}(x)$ を満たす $x$ の値を求めよ。 | 4 | $f^{-1}(x)$ を $f$ の式に代入すると、
\[ f(f^{-1}(x)) = 3f^{-1}(x) - 8 \]
となる。$f(f^{-1}(x))=x$ が $f^{-1}$ の定義域内のすべての $x$ で成り立つから、
\[ x = 3f^{-1}(x) - 8 \]
すなわち
\[ f^{-1}(x) = \frac{x+8}{3} \]
である。求めるのは $f(x)=f^{-1}(x)$ を満たす $x$ だから、
\[ 3x - 8 = \frac{x+8}{3} \]
両辺を整理して
\[ 9x - 24 = x + 8 \]
これを解くと $x = \boxed{4}$ を得る。 | 二次関数 | Level 4 | Algebra |
与えられた連立方程式 $x+y = 10$ と $2x+y = 13$ を使って、$x^2-y^2$ の値を求めなさい。 | -40 | 2番目の式から最初の式を引くと、$2x+y-(x+y)=13-10$ すなわち $x=3$ が得られる。この $x$ の値を最初の式に代入して $y$ を求めると、$y=10-x=7$ となる。したがって、$x^2-y^2=3^2-7^2=\boxed{-40}$ である。 | 連立方程式 | Level 1 | Algebra |
次の値を求めよ: $\left\lfloor |{-34.1}|\right\rfloor$。 | 34 | $|{-34.1}| = 34.1$ であるから、$\lfloor |{-34.1}|\rfloor = \lfloor 34.1\rfloor =\boxed{34}$。 | 数と式 | Level 2 | Algebra |
$f (x) = x + 3$, $g(x) = x^2 -6$ のとき，$f (g(2))$ の値を求めよ。 | 1 | $f(g(2))=f(2^2-6)=f(-2)=-2+3=\boxed{1}$。 | いろいろな式 | Level 1 | Algebra |
ある数列の第1項は1であり、第2項以降の各項は、それより前のすべての項の和として定義される。この数列の初めて5000を超える項は何か？ | 8192 | 最初の数項を直接計算すると、数列は次のようになる。
\[ 1, 1, 2, 4, 8, 16, \ldots \]
これより、$n \geq 2$ のとき第 $n$ 項は $2^{n-2}$ であるように見える。$2^{12}=4096$ なので、5000を超える最小の2の冪は $2^{13}= \boxed{8192}$ である。
以下、数学的帰納法により、すべての整数 $n \geq 2$ に対して数列の第 $n$ 項が $2^{n-2}$ であることを証明する。
基底ステップ $n=2$ は、第2項がそれより前の項（第1項のみ）の和であることから成り立つ。
帰納ステップとして、$n>2$ とし、第 $n-1$ 項が $2^{... | 数列 | Level 4 | Algebra |
車は A から B までの 120 マイルを時速 60 マイルで走り、同じ道を通って A へ戻ります。往復の平均速度が時速 45 マイルであるとき、B から A へ戻る際の車の速度は時速何マイルですか。 | 36 | A から B までの距離を $d$ マイル、帰りの速度を時速 $r$ マイルとする。A から B へ移動するのにかかる時間は $d/60$ 時間、B から A へ移動するのにかかる時間は $d/r$ 時間である。往復では合計 $2d$ マイルを $d/60+d/r$ 時間で移動するので、平均速度は
\[
\frac{2d}{\frac{d}{60}+\frac{d}{r}} = \frac{2d}{d\left(\frac{1}{60}+\frac{1}{r}\right)} = \frac{2}{\frac{1}{60}+\frac{1}{r}}
\]
となる。ここで、
\[
\frac{2}{\frac{1}{60}+\fra... | 一次方程式 | Level 5 | Algebra |
ブレンダは点$(-4,5)$から点$(5,-4)$へ移動しますが、途中で原点に立ち寄る必要があります。彼女が移動しなければならない距離はいくらですか？ | 2\sqrt{41} | ブレンダの移動は2つの区間に分けられます：点$(-4,5)$から原点$(0,0)$までと、原点$(0,0)$から点$(5,-4)$までです。距離の公式を用いると、総移動距離は次のようになります。
\begin{align*}
\sqrt{(-4-0)^2+(5-0)^2}&+\sqrt{(5-0)^2+(-4-0)^2}\\
&=\sqrt{16+25}+\sqrt{25+16}\\
&=\boxed{2\sqrt{41}}.
\end{align*} | 数と式 | Level 4 | Algebra |
ボールが1000フィートの高さから落とされ、落下した距離の半分の高さだけ毎回跳ね返ります。何回目のバウンドで、ボールの最大高さが初めて1フィート未満になりますか？ | 10 | これは初項1000、公比$1/2$の等比数列です。この数列の第$k$項は$1000\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^k$で表されます。ここで$k$はバウンドの回数です（例えば$k=1$のとき$1000\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^k=500$となり、これは1回目のバウンドでの高さです）。$1000\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^k<1$を満たす最小の$k$を見つける必要があります。試行錯誤により$k=10$のときこの不等式が成り立つことが分かるので、最大高さが1フィート未満になるには$\boxed{10}$回のバウンドが必要です。 | 数列 | Level 2 | Algebra |
分数 $\frac{3}{5}$ の分子と分母の両方に同じ数を加えると、その分数が $\frac{5}{6}$ と等しくなります。加える数は何ですか？ | 7 | 求める数を $n$ とする。題意より、$\frac{3+n}{5+n} = \frac{5}{6}$ が成り立つ。両辺に $5+n$ と $6$ を掛けて、$(3+n)(6) = 5(5+n)$ を得る。両辺を展開すると、$18 + 6n = 25 + 5n$ となる。これを整理すると、$n = \boxed{7}$ である。 | 一次方程式 | Level 2 | Algebra |
次の式を簡単にせよ: $(9x^9+7x^8+4x^7) + (x^{11}+x^9+2x^7+3x^3+5x+8)$。答は次数の高い項から順に並べた多項式で表せ。 | x^{11}+10x^9+7x^8+6x^7+3x^3+5x+8 | 与式を計算すると，
\begin{align*}
&(9x^9+7x^8+4x^7) + (x^{11}+x^9+2x^7+3x^3+5x+8)\\
&=x^{11}+(9+1)x^9+7x^8+(4+2)x^7+3x^3+5x+8\\
&=\boxed{x^{11}+10x^9+7x^8+6x^7+3x^3+5x+8}
\end{align*} | 数と式 | Level 3 | Algebra |
実数 $x$ に対し、$(x+1)^2+2(x+1)(3-x)+(3-x)^2$ を求めなさい。 | 16 | $a = x + 1$, $b = 3 - x$ とおく。
このとき、
\begin{align*}
(x+1)^2+2(x+1)(3-x)+(3-x)^2 &= a^2 + 2ab + b^2\\
&= (a + b)^2 \\
&= (x + 1 + 3 - x)^2 \\
&= 4^2 =\boxed{16}.
\end{align*} | 展開と因数分解 | Level 3 | Algebra |
先週、Phoenixはロッキーパス・トレイルをハイキングした。旅行を完了するのに4日かかった。最初の2日間で、彼女は合計22マイル歩いた。2日目と3日目は、1日あたり平均13マイル歩いた。最後の2日間で、彼女は合計30マイル歩いた。1日目と3日目の合計距離は26マイルだった。このトレイルの全長は何マイルか。 | 52 | 各日のハイキング距離をマイル単位で $a$, $b$, $c$, $d$ とする。次の方程式が成り立つ。
\begin{align*}
a+b&=22\\
(b+c)/2=13 \Rightarrow b+c&=26\\
c+d&=30\\
a+c&=26
\end{align*}
すべての変数を解く必要はないことに注意する。$a + b = 22$ と $c + d = 30$ を足すと、$a + b + c + d = 22 + 30 = 52$ が得られる。したがって、トレイルの全長は $\boxed{52}$ マイルである。 | 連立方程式 | Level 3 | Algebra |
以下の図は $y=f(x)$ のグラフであり、格子線の間隔は $1$ 単位である。$f(x)$ は図示されている定義域でのみ定義されているとする。
方程式 $f(x)=c$ がちょうど $6$ 個の解をもつような整数 $c$ の総和を求めよ。
[asy]
size(150);
real ticklen=3;
real tickspace=2;
real ticklength=0.1cm;
real axisarrowsize=0.14cm;
pen axispen=black+1.3bp;
real vectorarrowsize=0.2cm;
real tickdown=-0.5;
real tickdownlength=-... | -7 | $f(x)=c$ がちょうど $6$ 個の解をもつとき、水平線 $y=c$ は $y=f(x)$ のグラフと $6$ 点で交わる。このグラフと $6$ 回交わる水平の格子線は次の $2$ 本である：
[asy]
size(150);
real ticklen=3;
real tickspace=2;
real ticklength=0.1cm;
real axisarrowsize=0.14cm;
pen axispen=black+1.3bp;
real vectorarrowsize=0.2cm;
real tickdown=-0.5;
real tickdownlength=-0.15inch;
real tickdown... | 二次関数 | Level 5 | Algebra |
方程式 $x(3x-7)=-3$ の解は、$ rac{m+\sqrt{n}}{p}$ および $ rac{m-\sqrt{n}}{p}$ の形で表すことができる。ここで、$m$、$n$、$p$ の最大公約数は $1$ である。このとき、$m+n+p$ の値を求めよ。 | 26 | 左辺を展開し、両辺に $3$ を加えると $3x^2-7x+3=0$ となる。この式は容易に因数分解できないので、二次方程式の解の公式を用いる：
\[
\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} = \frac{7\pm\sqrt{7^{2}-4 \cdot 3 \cdot 3}}{2\cdot 3} = \frac{7 \pm\sqrt{13}}{6}.
\]
$7$、$13$、$6$ は互いに素であるから、$m=7$、$n=13$、$p=6$ である。したがって、$m+n+p=7+13+6=\boxed{26}$ となる。 | 二次方程式 | Level 3 | Algebra |
次の値を分数で表せ: $$\frac{1}{3^{1}}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{3^{3}}+\frac{1}{3^{4}}+\frac{1}{3^{5}}+\frac{1}{3^{6}}.$$ | \frac{364}{729} | これは初項 $\frac{1}{3}$、公比 $\frac{1}{3}$、項数 $6$ の有限等比数列の和である。したがって、その和は次のようになる: $$\frac{\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{3^{6}}\right)}{1-\frac{1}{3}} =\frac{\frac{3^{6}-1}{3^{7}}}{\frac{2}{3}} = \frac{3^{6}-1}{2\cdot3^{6}}=\frac{729-1}{2\cdot 729} =\boxed{\frac{364}{729}}.$$ | 数列 | Level 4 | Algebra |
次の式を展開しなさい: $(x-2)(x+2)(x^2+4)$。 | x^4-16 | 次のように計算できる。
\begin{align*}
(x-2)(x+2)(x^2+4) &= (x^2-4)(x^2+4) \\
&= \boxed{x^4-16}
\end{align*} | 展開と因数分解 | Level 3 | Algebra |
関数 $f(x) = x^2$ と $g(x) = 3x + 4$ があるとき、$f(g(-3))$ の値を求めよ。 | 25 | $g(-3) = 3(-3) + 4 = -5$ であるから、$f(g(-3)) = f(-5) = (-5)^2 = \boxed{25}$ となる。 | 二次関数 | Level 2 | Algebra |
関数 $f(x) = \frac{2x-1}{x+5}$ の逆関数は、$f^{-1}(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ の形で書ける。ここで $a$, $b$, $c$, $d$ は実数である。このとき $a/c$ を求めよ。 | -5 | $f^{-1}(x)$ を $f$ の式に代入すると、
\[ f(f^{-1}(x)) = \frac{2f^{-1}(x)-1}{f^{-1}(x)+5} \]
が得られる。$f^{-1}(f(x))=x$ であるから、
\begin{align*}
\frac{2f^{-1}(x)-1}{f^{-1}(x)+5} &= x \\
\Rightarrow \quad 2f^{-1}(x)-1 &= x\bigl(f^{-1}(x)+5\bigr) \\
\Rightarrow \quad 2f^{-1}(x)-1 &= x f^{-1}(x)+5x
\end{align*}
となる。$f^{-1}(x)$ を含む項を左辺に、それ以... | いろいろな式 | Level 5 | Algebra |
次の式を簡単にせよ: $|{-3^2+4}|$ | 5 | 次のように計算する: \[|{-3^2+4}|=|{-9+4}|=|{-5}|=\boxed{5}.\] なお、$-3^2=-9$ である。これは演算の順序において、累乗が負号よりも優先されるためであり、$-3^2$ は $(-3)^2$ ではなく $-(3^2)$ を意味する。 | 数と式 | Level 2 | Algebra |
次の計算をせよ： $55 imes1212-15 imes1212$ 。 | 48480 | $55 imes 1212 - 15 imes 1212 = 1212(55-15) = 1212(40) = 4848(10) = \boxed{48480}$。 | 数と式 | Level 1 | Algebra |
数21は2つの連続する整数10と11の和です。では、和が21となる正の連続する整数の個数の最大値はいくつですか？ | 6 | まず、$1+2+3+4+5+6=21$ となることに注意します。もしある数が7個以上の連続する正の整数の和であるならば、その数は少なくとも $1 + 2 + \dots + 7 = 7 \cdot 8/2 = 28$ 以上でなければなりません。したがって、使える連続する整数の個数の最大値は $\boxed{6}$ です。 | 整数の性質（数学と人間活動） | Level 4 | Algebra |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.