image imagewidth (px) 143 1.79k | text stringlengths 490 29.8k | markdown stringlengths 489 28.6k | html stringlengths 444 61.7M | file_name stringlengths 10 13 | ocr stringlengths 0 11.3k |
|---|---|---|---|---|---|
14. Adjuk meg az x2 + y2 −z2 = 1 egyenletű egyköpenyű forgáshiperboloid egy paraméteres egyenletét és határozzuk meg minden pontjában a normálvektorát. Megoldás. r(u, v) = cosh u cos vi + cosh u sin vj + sinh uj ∂r
∂u × ∂r ∂v ∂r
∂v = (sinh u cos vi + sinh u sin vj + cosh uk) × (−cosh u sin vi + cosh u cos vj) = −cosh2 ... | 14. Adjuk meg az x[2] + y[2] _−_ _z[2]_ = 1 egyenletű egyköpenyű forgáshiperboloid egy paraméteres
egyenletét és határozzuk meg minden pontjában a normálvektorát.
_Megoldás. r(u, v) = cosh u cos vi + cosh u sin vj + sinh uj_
_∂r_
_∂u_ _[×][ ∂]∂v[r]_ [= (sinh][ u][ cos][ v][i][ + sinh][ u][ sin][ v][j][ + cosh][ u][k]... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:59.1pt;left:56.4pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">14. Adjuk meg az</span><i><span style="font-family:LMMathItalic12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000"> x</span></i><sup><span style="font-... | page_242.png | " Megoldás. ríu, 2)
vosh t cos vi 4. cosh usin j 4 sinhaj
0r 0r
D..
Gsinh a cos e 4. sinh ar sín ej -- cosh a) x (— cosh ar sín el 4. cosh u cosej)
15. Forgassuk meg az y — /(r) függvény grafikonját az 2 tengely körül. Határozzuk meg a
kapott felület egy paraméterezését.
. Megoldás. rít. ó) — ti 4. f(t) cosój 4. f... | |
Matematika A3 gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok, 2016/17 ősz 2. feladatsor: Potenciálfüggvény, alakzatok paraméterezése (megoldás) 1. Potenciálos-e az alábbi vektormező? Ha igen, adjuk meg egy potenciálját. a) u(x, y) = yi + xj b) u(x, y, z) = zex+sin yi + zex+sin y cos yj + ex+sin yk )
( , y, )
yj c) u(x... | # Matematika A3 gyakorlat
Energetika és Mechatronika BSc szakok, 2016/17 ősz
# 2. feladatsor: Potenciálfüggvény, alakzatok paraméterezése (megoldás)
1. Potenciálos-e az alábbi vektormező? Ha igen, adjuk meg egy potenciálját.
a) u(x, y) = yi + xj
b) u(x, y, z) = ze[x][+sin][ y]i + ze[x][+sin][ y] cos yj + e[x][+sin][ ... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:54.9pt;left:56.7pt;line-height:17.2pt"><b><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:17.2pt;color:#000000">Matematika A3 gyakorlat</span></b></p>
<p style="top:73.5pt;left:56.7pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font... | page_243.png | Matematika A3 gyakorlat
Energetika és Mechatronika HSc szakok, 2016/17 ősz
2. feladatsor: Potenciálfüggvény, alakzatok
Pparaméterezése (megoldás
1. Potenciálos-e az alábbi vektormező? Ha igen, adjuk meg egy potenciálját
a) uley) — s j
1) ulry.2) — er 4 zertés cosyj 4 ETtIk
) ulzy.2)— (É 414 [Y j3 (s 4 zv)k
" Megoldás... | |
3. Mutassuk meg, hogy u(x, y, z) = x2i + 3xz2j −2xzk vektorpotenciálos és adjuk meg egy vektorpotenciálját. Megoldás. A vektormező mindenhol értelmezett, div u = 2x + 0 −2x = 0, tehát létezik vektorpotenciál. Z z vx(x, y, z) = = vy(x, y, z) = Z 0 uy(x, y, ζ) dζ 0 Z z Zz 0 (3xζ2) dζ = xz3 0 Z x Z z Z 0 uz(ξ, y, 0) dξ − ... | 3. Mutassuk meg, hogy u(x, y, z) = x[2]i + 3xz[2]j − 2xzk vektorpotenciálos és adjuk meg egy
vektorpotenciálját.
_Megoldás. A vektormező mindenhol értelmezett, div u = 2x + 0 −_ 2x = 0, tehát létezik
vektorpotenciál.
� _z_
_vx(x, y, z) =_
0 _[u][y][(][x, y, ζ][) d][ζ]_
� _z_
=
0 [(3][xζ] [2][) d][ζ][ =][ xz][3]
�... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:59.1pt;left:62.2pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">3. Mutassuk meg, hogy</span><b><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000"> u</span></b><span style="font-famil... | page_244.png | 3. Mutassuk meg, hogy u(z. v.
vektorpotenciálját.
224 4 3r22j — 2z2k vektorpotenciálos és adjuk meg egy
.Megoldás. A vektormező mindenhol
vektorpotenciál.
rtelmezett, dívü — 2740 -— 2r — 0,
ványo)a [/dlry.0A£
[/ozcwac
[/94tu.00£- [/tdry.90c
[/C2-£-094£- [/4c- -
Er
Eszerint víz. y.2)
egy vektorpotenciál.
4. Adjuk... | |
nem szimmetrikus, tehát nincsen potenciál.
10. Legyen f : R+ →R differenciálható és tekintsük a v(x, y, z) = f(√x2 + y2)
xi+yj
√ x2+y2 vektor- mezőt. Mutassuk meg, hogy v potenciálos és határozzuk meg egy potenciálfüggvényét.
Megoldás. v a z tengely körüli forgatásokra nézve szimmetrikus, így sejthetjük, hogy a potenciá... | nem szimmetrikus, tehát nincsen potenciál.
10. Legyen f : R+ → R differenciálható és tekintsük a v(x, y, z) = f ([√]x[2] + y[2])√xxi+[2]+yjy[2][ vektor-]
mezőt. Mutassuk meg, hogy v potenciálos és határozzuk meg egy potenciálfüggvényét.
_Megoldás. v a z tengely körüli forgatásokra nézve szimmetrikus, így sejthetjük, h... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:59.1pt;left:97.7pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">nem szimmetrikus, tehát nincsen potenciál.</span></p>
<p style="top:76.5pt;left:56.4pt;line-height:12.0pt"><span style="font-famil... | page_246.png | 10. Legyen f R -R díllaendálbató és tentsük a víz.9.) a JYETTT l voktor
AMegoldás. v. a 2 tengely körüli forgatásokra nézva szimmetrikus, így sejtbet
potenciálfüggvény is ilyen (ha létezik). Számoljuk ki F(V377-42) gradiens
szöleges függvény:
srad F( ) - FIE LA
EET:
ük, hogy a
ahol F tet.
tehát ha F" — /, akkor a ... | |
12. Homogén tömegeloszlású m tömegű vékony drótból a oldalú négyzet alakú keretet hajlítunk. Határozzuk meg az egyik átlóra vonatkozó tehetetlenségi nyomatékát.
13. Mi az u(x, y, z) = (y+z)i+(x+z)j+(x+y)k vektormező integrálja az AB szakasz mentén, ha A = (1, −2, 3), B = (2, 1, 4)?
14. Legyen u : R3 →R3 az alábbi vekto... | 12. Homogén tömegeloszlású m tömegű vékony drótból a oldalú négyzet alakú keretet hajlítunk.
Határozzuk meg az egyik átlóra vonatkozó tehetetlenségi nyomatékát.
13. Mi az u(x, y, z) = (y +z)i+(x+z)j+(x+y)k vektormező integrálja az AB szakasz mentén,
ha A = (1, −2, 3), B = (2, 1, 4)?
14. Legyen u : _→_ az alábbi vektorm... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:59.1pt;left:56.4pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">12. Homogén tömegeloszlású</span><i><span style="font-family:LMMathItalic12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000"> m</sp... | page_247.png | n tömegeloszlású m tömegű w. yzet alakú keretet hajl
Határozzuk meg az egyik átlóra vonatkozó tehetetlenségi nyomatókát
13. Miaz ulr.y.2) — (y2jiá (r
23). B-(2.1.497
14. Legyen u : R? — R? az alábbi vektormező:
ank.
4 (z4-y)k vektormező integrálja az AB szakasz mentén,
ulr.y.
zút[y— 2Y 4 (22 — zv)k
Határozza me... | |
Matematika A3 gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok, 2016/17 ősz 3. feladatsor: Görbe ívhossza, görbementi integrál 1. Mi az r(t) = t3 3 √ 5 2j + 9 1. Mi az r(t) = t3 3 i + 6 2 5 t 2t2k görbe ívhossza a t ∈[1, 2] intervallumon?
2. Tekintsük a síkon az t3 3 i + 6 √ 2 5 t 5 2j + 9 2 r(t) = f(t) cos ti + f(t) si... | # Matematika A3 gyakorlat
Energetika és Mechatronika BSc szakok, 2016/17 ősz
# 3. feladatsor: Görbe ívhossza, görbementi integrál
_√_
1. Mi az r(t) = _[t][3]_ 2 52 **j +** [9]
3 **[i][ +][ 6]** 5 _[t]_ 2 _[t][2][k][ görbe ívhossza a][ t][ ∈]_ [[1][,][ 2] intervallumon?]
2. Tekintsük a síkon az
**r(t) = f** (t) co... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:54.9pt;left:56.7pt;line-height:17.2pt"><b><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:17.2pt;color:#000000">Matematika A3 gyakorlat</span></b></p>
<p style="top:73.5pt;left:56.7pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font... | page_248.png | Matematika A3 gyakorlat
Energetika és Mechatzonika BSc szakok, 2016/17 ősz
3. feladatsor: Görbe ívhossza, görbementi integrál
1. Mi az r(t) — 514. BÉdj 4. 2Ek görbe ívhossza a ! € [1,2) intervallumon?
el0) — fl)eosti 4 f(ősintj
görbe 0 £ t £ 2r szakaszának (azaz egy körülfordulásnak) ívhossza, ha.
a) /(€) — t (arkh... | |
A négy szakaszon |˙r(t)| egyaránt a (konstans).
A π/2 szögű forgásszimmetria miatt a két tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték megegyezik. Pl. az x tengelyre nézve: Z 1 a2 Z 1 Z 1 Z 1 a2 2 (1 −t)2a dt + a2 a2 2 (−t)2a dt + a2 a2 2 (−1 + t)2a dt a2 Θ = 4a a 2 t2a dt + 4a 4a 4a = ma2 8 Z 1 dt = ma2 8 4t2 −4t + 2 4 ... | A négy szakaszon |r˙(t)| egyaránt a (konstans).
A π/2 szögű forgásszimmetria miatt a két tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték
megegyezik. Pl. az x tengelyre nézve:
� 1 _m_ _a[2]_ � 1 _m_ _a[2]_ � 1 _m_ _a[2]_ � 1 _m_ _a[2]_
Θ =
0 4a 2 _[t][2][a][ d][t][ +]_ 0 4a 2 [(1][ −] _[t][)][2][a][ d][t][ +]_ 0 4a 2 [(][... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:59.1pt;left:77.2pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">A négy szakaszon</span><i><span style="font-family:LMMathSymbols10,serif;font-size:12.0pt;color:#000000"> |</span></i><span style="font... | page_249.png | A négy szakaszon [(1)] egyaránt a (konstans).
szögű forgásszimmetria miatt a két tengelyre vonatkozó.
hetetlenségi nyomaték
9- [Zaa [ D8a-gad ; [ EÉCYaN ; [ DŐCI s gytade
-EE [GR-a a TÉ [ú l9 22
13. Miaz ulr.y.2) — (y-42jíd (r 4-2)j4 (r -4-y)k vektormező integrálja az AB szakasz mentén,
ha AZ (1.-2.3), B— (2.1.492
... | |
Matematika A3 gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok, 2016/17 ősz 3. feladatsor: Görbe ívhossza, görbementi integrál
(megoldás) 1. Mi az r(t) = t3 3 i + 6 2 5 t 5 2j + 9 2t2k görbe ívhossza a t ∈[1, 2] intervallumon? 5 2j + 9 2 Megoldás. A megadott függvény differenciálható, tehát az ívhossz a derivált hosszána... | # Matematika A3 gyakorlat
Energetika és Mechatronika BSc szakok, 2016/17 ősz
# 3. feladatsor: Görbe ívhossza, görbementi integrál (megoldás)
_√_
1. Mi az r(t) = _[t][3]_ 2 52 **j +** [9]
3 **[i][ +][ 6]** 5 _[t]_ 2 _[t][2][k][ görbe ívhossza a][ t][ ∈]_ [[1][,][ 2] intervallumon?]
_Megoldás. A megadott függvény di... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:54.9pt;left:56.7pt;line-height:17.2pt"><b><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:17.2pt;color:#000000">Matematika A3 gyakorlat</span></b></p>
<p style="top:73.5pt;left:56.7pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font... | page_250.png | Matematika A3 gyakorlat
Energetika és Mechatzonika BSc szakok, 2016/17 ősz
3. feladatsor: Görbe ívhossza, görbementi integrál
(megoldás)
1. Miaze() — §14 2É 2
k gőrbe ívhossza a ! € [1.2 intervallumon?
.Megoldás. A megadott fű dittes
1- főttoras
- lér sv8n
VIKGEZSSEETÉ ]
te 22- , 921 95
- é9 2L, XZV B
meiálható,... | |
3. Integráljuk az f(x, y, z) = √1 + 4x + 9yz skalármezőt az r(t) = t2i+tj+t3k görbe mentén t = 0 és t = 1 paraméterértékek között. Megoldás. A skalármező folytonos, a paraméterezés differenciálható, tehát az alábbi (egyváltozós) integrállal számíthatjuk a görbementi integrált: f ds = Z 1 Z 0 f(r(t))|˙r(t)| dt 0 Z 1 √ 1 ... | 3. Integráljuk az f (x, y, z) = _[√]1 + 4x + 9yz skalármezőt az r(t) = t[2]i_ + _tj_ + _t[3]k görbe mentén_
_t = 0 és t = 1 paraméterértékek között._
_Megoldás. A skalármező folytonos, a paraméterezés differenciálható, tehát az alábbi (egy-_
változós) integrállal számíthatjuk a görbementi integrált:
� � 1
_f ds =_
0... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:59.1pt;left:62.2pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">3. Integráljuk az</span><i><span style="font-family:LMMathItalic12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000"> f</span></i><span style="font... | page_251.png | 6.
Integráljuk az f(r, y,2) — VTT ET 77 skalármezőt az r() — Éi--tj4-Bk görbe menté
0 és £ — 1 paraméterértékek között.
. Megoldás. A skalármező folytonos, a paraméterezés díflerenciálható, tehát az alábbi (egy-
változós) integrállal számíthatjuk a görbementi intesrált:
J1as- [; retoyetolat
- [[E TRa 434 sék[at
to... | |
Megoldás. ∂2z ∂y ∂x rot u(x, y, z) = ∂2z ∂y −∂x ∂z ∂z i + ∂y
∂z −∂2z ∂x ∂x j + ∂x
∂x −∂y ∂y ∂y k = 0, tehát létezik potenciálfüggvény. Valóban, f(x, y, z) = xy + z2 választással u = grad f.
Használhatjuk a Newton-Leibniz-tételt, ekkor az integrál meghatározásához elég a két végpontot ismerni: r(0) = i és r(1) = 3i +... | _Megoldás._
rot u(x, y, z) =
�∂2z
_∂y_ _[−]_ _[∂x]∂z_
�
**i +**
�∂y
_∂z_ _[−]_ _[∂]∂x[2][z]_
�
**j +**
�∂x
_∂x_ _[−]_ _[∂y]∂y_
�
**k = 0,**
tehát létezik potenciálfüggvény. Valóban, f (x, y, z) = xy + z[2] választással u = grad f .
Használhatjuk a Newton-Leibniz-tételt, ekkor az integrál meghatározásá... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:59.1pt;left:77.2pt;line-height:12.0pt"><i><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">Megoldás.</span></i></p>
<p style="top:87.6pt;left:106.4pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12... | page_252.png | . Megoldás.
rotüln )—
át létezik potenciálfüggvény. . Valóban, /(r.y.2)
Használhatjuk a Newton-Leibniz-tételt, ekkor az integ
pontot ismerni: r(0) — i és r(1) — 31 4
4 3k. tehát
a0 f0e9)- 109 1.
7. Mi az ulr, y) — szat F szőz) vektormező integrálja
a) az origó körüli A sugarú kör mentén pozitív ír
1) az origó körü... | |
√ 9. Mi az r(t) = (sinh t + cosh t)i + (cosh t −sinh t)j + 2tk görbe ívhossza a t ∈[0, ln 2]
intervallumon?
Megoldás. I = Z 2 Z 0 |˙r(t)| dt 0 Z 2 (cosh t + sinh t) i + (sinh t −cosh t) j + √ 2k dt k dt 0 Z 2 Z 2 2 0 2 cosh t = 3 3 2. 10. Mennyi az r(t) = 2 sin(t)i + 2 cos(t)j + t2 ! t 2 −ln t térgörbe 1 ≤t... | _√_
9. Mi az r(t) = (sinh t + cosh t)i + (cosh t − sinh t)j + 2tk görbe ívhossza a t ∈ [0, ln 2]
intervallumon?
_Megoldás._
� 2
_I =_
0 _[|][r][˙][(][t][)][|][ d][t]_
2 _√_
�
= (cosh t + sinh t) i + (sinh t − cosh t) j +
0 ���
� 2
=
0 [2 cosh][ t][ = 3]2[.]
2k dt
���
10. Mennyi az
�t2 �
**r(t) = 2 sin(t)i... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:59.1pt;left:62.2pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">9. Mi az</span><b><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000"> r</span></b><span style="font-family:LMRoman12,s... | page_253.png | 9. Mi az r()
intervallumon?
FALOTT
m((.,.m $-sinh 2) 1- (sinh t — cosht) j 4 V3k[de
nh 4 coshíji 4. (cosht — sinhí)j 4. Vtk görbe fehossza a ! € f.n2]
. Megoldás.
2sin(ti 4 2005(03
b]k
. Megoldás.
- /_G.UM
ű
határozott görbe egy pazaméterezőse e) — t 4 coshtj, £ € [-1.11. Hol van a kötől
"Megoldás. A görbe az ... | |
Matematika A3 gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok, 2016/17 ősz 4. feladatsor: Felszín, felszíni és felületi integrál 1. Forgassuk meg az y = f(x) differenciálható függvény grafikonját az x tengely körül. Írjuk fel a kapott forgástest egy paraméteres egyenletét. Mekkora az a ≤x ≤b sávba eső rész felszíne?
2. H... | # Matematika A3 gyakorlat
Energetika és Mechatronika BSc szakok, 2016/17 ősz
# 4. feladatsor: Felszín, felszíni és felületi integrál
1. Forgassuk meg az y = f (x) differenciálható függvény grafikonját az x tengely körül. Írjuk
fel a kapott forgástest egy paraméteres egyenletét. Mekkora az a ≤ _x ≤_ _b sávba eső rész_
... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:54.9pt;left:56.7pt;line-height:17.2pt"><b><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:17.2pt;color:#000000">Matematika A3 gyakorlat</span></b></p>
<p style="top:73.5pt;left:56.7pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font... | page_254.png | Matematika A3 gyakorlat
Energetika és Mechatzonika BSc szakok, 2016/17 ősz
4. feladatsor: Felszín, felszíni és felületi integrál
vény srafikonját az 7 tengely körül. Írjuk
1. Forgassuk meg az y — f(2) dífferenciálható fi
fel a kapott forgástest egy paran
felszíne?
res egyenletét. Mekkora az a £ r £ b sávba
2. Hat... | |
A palást felszíne 2πRh, tehát a felületi tömegsűrűség µ =
M 2πRh. A tehetetlenségi nyomatékok számolásához a koordinátafüggvények négyzeteit kell integrálni: Z h/2 −h/2 Z h/2 −h/2 Z h/2 −h/2 Z 2π 0 Z 2π 0 Z 2π 2 R2 cos2 φ · R dφ dz =
M 2πRhR3hπ = MR2 2 R2 sin2 φ · R dφ dz =
M 2πRhR3hπ = MR2 µx2 dS =
M 2πRh µy2 dS =
M 2... | A palást felszíne 2πRh, tehát a felületi tömegsűrűség µ = _M_
2πRh [. A tehetetlenségi nyomaté-]
kok számolásához a koordinátafüggvények négyzeteit kell integrálni:
� _M_ � _h/2_ � 2π _M_
_µx[2]_ dS = _R[2]_ cos[2] _φ · R dφ dz =_
2πRh _−h/2_ 0 2πRh _[R][3][hπ][ =][ MR]2_ [2]
� _M_ � _h/2_ � 2π _M_
_µy[2]_ dS = _R[2]... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:59.1pt;left:77.2pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">A palást felszíne</span><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000"> 2</span><i><span style="font-fam... | page_255.png | 10.
1.
A palást felszíne 27.h tel
kok számolásához a koordinátafűggy
át a felületi tömegsűi
k
űség p — 327. A tehetetlenségi nyomaté-
égyzeteit kell integy
Téhz
feédsz é [4a h Feo?6-Rdsde - sr
E
27Ah
rendre az z,y és 2 tengelyekre: L M(N? 4-6A2), L M(H? 4 6R?) és MR.
Integráljuk a víz, y.2) — zvi--(22--2)k vek... | |
Matematika A3 gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok, 2016/17 tavasz 4. feladatsor: Felszín, felszíni és felületi integrál
(megoldás) 1. Forgassuk meg az y = f(x) differenciálható függvény grafikonját az x tengely körül. Írjuk fel a kapott forgástest egy paraméteres egyenletét. Mekkora az a ≤x ≤b sávba eső rész ... | # Matematika A3 gyakorlat
Energetika és Mechatronika BSc szakok, 2016/17 tavasz
# 4. feladatsor: Felszín, felszíni és felületi integrál (megoldás)
1. Forgassuk meg az y = f (x) differenciálható függvény grafikonját az x tengely körül. Írjuk
fel a kapott forgástest egy paraméteres egyenletét. Mekkora az a ≤ _x ≤_ _b sá... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:54.9pt;left:56.7pt;line-height:17.2pt"><b><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:17.2pt;color:#000000">Matematika A3 gyakorlat</span></b></p>
<p style="top:73.5pt;left:56.7pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font... | page_256.png | Matematika A3 gyakorlat
Energetika és Mechatzonika BSc szakok, 2016/17 tavasz
4. feladatsor: Felszín, felszíni és felületi integrál
(megoldás)
. Megoldás. r(u.
tú 4. f(u)cosej 4 f(u)sin vk paraméterezéssel
ör 91
F Uf_:(u Far cos aj 4 f"(a) sin vj) x (—/(u)sinej 4- f(u) cosak)
— fedflaji — flu)eoszj — f(u) sin k
e... | |
Matematika A3 gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok, 2016/17 ősz 5. feladatsor: Térfogati integrál 1. Határozzuk meg annak a tórusznak a térfogatát, aminek a középköre R sugarú, a kereszt- metszete pedig r sugarú, r < R. p g
g
,
< 2z 2+ 2+ 2. Az x R y R h 2n ≤1 tartományt homogén anyagú, m tömegű tes... | # Matematika A3 gyakorlat
Energetika és Mechatronika BSc szakok, 2016/17 ősz
# 5. feladatsor: Térfogati integrál
1. Határozzuk meg annak a tórusznak a térfogatát, aminek a középköre R sugarú, a keresztmetszete pedig r sugarú, r < R.
2 2 2n
� _x_ � � _y_ � � 2z �
2. Az + + _≤_ 1 tartományt homogén anyagú, m tömegű te... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:54.9pt;left:56.7pt;line-height:17.2pt"><b><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:17.2pt;color:#000000">Matematika A3 gyakorlat</span></b></p>
<p style="top:73.5pt;left:56.7pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font... | page_259.png | Matematika A3 gyakorlat
Energetika és Mechatzonika BSc szakok, 2016/17 ősz
5. feladatsor: Térfogati integrál
1. Határozzuk meg annak a tórusznak a térfogatát, aminek a középköre A sugarú, a kereszt
metszete pedig r sugarú, r 2 R.
£ 1 tartományt homogén anyagú, m tömegű test tölti ki (. A — 0).
Mekkora a koordinátate... | |
Z π/2 π/4 Z 2π Z r 0 ϱ sin ϑρ(R + ρ cos ϑ) dϱ dϑ dϕ = 0. Mz = Z r A tömegközéppont koordinátái: xtk = (2 − √ 2)(4R2 + r2) 2πR 2π √ ytk = 4R2 + r2 2πR ytk
√ 2πR ztk = 0. 10. Számítsuk ki az M tömegű, a élhosszúságú (tömör) szabályos oktaéder tehetetlenségi nyo- matékát a középpontján áthaladó tengelyekre vonatkozóan. √ ... | � _π/2_
_Mz =_
_π/4_
� 2π
0
� _r_
0 _[ϱ][ sin][ ϑρ][(][R][ +][ ρ][ cos][ ϑ][) d][ϱ][ d][ϑ][ d][ϕ][ = 0][.]_
A tömegközéppont koordinátái:
_√_
_xtk = [(2][ −]_
2)(4R[2] + r[2])
tk
2πR
_ytk = [4][R]√[2][ +][ r][2]_
2πR
_ztk = 0._
10. Számítsuk ki az M tömegű, a élhosszúságú (tömör) szabályos oktaéder ... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:64.0pt;left:108.4pt;line-height:12.0pt"><i><span style="font-family:LMMathItalic12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">M</span></i><i><span style="font-family:LMMathItalic8,serif;font-size:8.0pt;color:#000000">z</span></i><span style="font-family:LMR... | page_260.png | 10.
a [1Ű [T [/os00(R- peosW)dodúde — 0.
A töm.
özéppont koordinátái:
- vVöaR 3)
n 2R
WVA
a0.
Számítsuk ki az M tömegű, a élhosszúságú (tömör) szabályos öktaéder tehetetlenségi nyo-
matókát a középpontján áthaladó tengelyekre vonatkozóan.
Egy ilven tetraéder térfogata :£. tehái A tehetetlenségi nyomaték
1.
| |
3. Mennyi az m tömegű egyenletes tömegeloszlású vékony R sugarú kör alakú drót egy átmé- rőjére vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka? Oldjuk meg a feladatot kétféleképp: a drótot kis keresztmetszetű tórusznak tekintve térfogati integrállal illetve vonalnak tekintve skalármező görbementi integrálásával. Megoldás. [I] A dr... | 3. Mennyi az m tömegű egyenletes tömegeloszlású vékony R sugarú kör alakú drót egy átmérőjére vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka? Oldjuk meg a feladatot kétféleképp: a drótot
kis keresztmetszetű tórusznak tekintve térfogati integrállal illetve vonalnak tekintve skalármező görbementi integrálásával.
_Megoldás. [I] A dr... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:59.1pt;left:62.2pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">3. Mennyi az</span><i><span style="font-family:LMMathItalic12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000"> m</span></i><span style="font-family:LM... | page_262.png | 3. Mennyi az m tömegű egye drót egy átmó-
rőjére vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka? Oldjuk meg a feladatot kétféleképp: a drótot
kis keresztmetszetűi tórusznak tekintve térfogati integrállal illetve vonalnak tekintve skalár-
mező sörbementi integrálásával.
letes tömegeloszlású vékony A sugarú kör alaki
. Megoldás. ]... | |
Matematika A3 gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok, 2016/17 ősz 6. feladatsor: Integrálátalakító tételek 1. Mennyi az u(x, y, z) = x(x −2xy + 2yz2)i −y(2x2 + 4xyz + yz2)j + 2xz(x + 2y + 2yz)k vektormező integrálja a 0 ≤x ≤1, 0 ≤y ≤1, 0 ≤z ≤1 egységkocka felületén kifelé mutató irányítás mellett?
2. Határozzu... | # Matematika A3 gyakorlat
Energetika és Mechatronika BSc szakok, 2016/17 ősz
# 6. feladatsor: Integrálátalakító tételek
1. Mennyi az u(x, y, z) = x(x − 2xy + 2yz[2])i − _y(2x[2]_ + 4xyz + yz[2])j + 2xz(x + 2y + 2yz)k
vektormező integrálja a 0 ≤ _x ≤_ 1, 0 ≤ _y ≤_ 1, 0 ≤ _z ≤_ 1 egységkocka felületén kifelé
mutató irán... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:54.9pt;left:56.7pt;line-height:17.2pt"><b><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:17.2pt;color:#000000">Matematika A3 gyakorlat</span></b></p>
<p style="top:73.5pt;left:56.7pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font... | page_264.png | Matematika A3 gyakorlat
Energetika és Mechatzonika BSc szakok, 2016/17 ősz
6. feladatsor: Integrálátalakító tételek
1. Mennyi az ülr,y.2) — 2(r — 2xy 4 2y22)i — y(2r? 4 deye 4 y2?)j 4 2relz 4 2y 4 22k
vektormező integrálja a 0 £ r £ 1, 0 £ y £ 1, 0 £ 2 £ 1 egységkocka felületén kifelé
2. Határozzuk meg az ur y,2) — ... | |
9. Bizonyítsuk be az alábbi parciális integrálási formulát, ahol f skalármező, u vektormező, S peremes irányított felület: Z S(f rot u) · dA = Z ∂S fu · dr − Z S(grad f × u) · dA Megoldás. A Stokes-tétel szerint Z ∂S fu · dr = Z S rot(fu) · dA teljesül. A jobb oldalon az integrandust Leibniz-szabály szerint lehet kifej... | 9. Bizonyítsuk be az alábbi parciális integrálási formulát, ahol f skalármező, u vektormező,
_S peremes irányított felület:_
� � �
_S[(][f][ rot][ u][)][ ·][ d][A][ =]_ _∂S_ _[f]_ **[u][ ·][ d][r][ −]** _S[(grad][ f][ ×][ u][)][ ·][ d][A]_
_Megoldás. A Stokes-tétel szerint_
� �
_∂S_ _[f]_ **[u][ ·][ d][r][ =]** _... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:59.1pt;left:62.2pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">9. Bizonyítsuk be az alábbi parciális integrálási formulát, ahol</span><i><span style="font-family:LMMathItali... | page_265.png | 10.
ítsuk be az alábbi parciális integrálási formulát, ahol / skalármező, u vektormező,
"
[docuutk — [ga-de- [dosaj o-x
.Megoldás. A Stökes-tétel szerint
[ayacae- [tx
teljesül. A jobb oldalon az integrandust Leibniz-szabály szerint lehet kifejteni: rot(fu) —
grad / x u 4. frotu. Ebből átrendezéssel adódik az állít... | |
Matematika A3 gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok, 2016/17 ősz 6. feladatsor: Integrálátalakító tételek (megoldás) 1. Mennyi az u(x, y, z) = x(x −2xy + 2yz2)i −y(2x2 + 4xyz + yz2)j + 2xz(x + 2y + 2yz)k vektormező integrálja a 0 ≤x ≤1, 0 ≤y ≤1, 0 ≤z ≤1 egységkocka felületén kifelé mutató irányítás mellett? M... | # Matematika A3 gyakorlat
Energetika és Mechatronika BSc szakok, 2016/17 ősz
# 6. feladatsor: Integrálátalakító tételek (megoldás)
1. Mennyi az u(x, y, z) = x(x − 2xy + 2yz[2])i − _y(2x[2]_ + 4xyz + yz[2])j + 2xz(x + 2y + 2yz)k
vektormező integrálja a 0 ≤ _x ≤_ 1, 0 ≤ _y ≤_ 1, 0 ≤ _z ≤_ 1 egységkocka felületén kifelé
... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:54.9pt;left:56.7pt;line-height:17.2pt"><b><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:17.2pt;color:#000000">Matematika A3 gyakorlat</span></b></p>
<p style="top:73.5pt;left:56.7pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font... | page_266.png | Matematika A3 gyakorlat
Energetika és Mechatzonika BSc szakok, 2016/17 ősz
6. feladatsor: Integrálátalakító tételek (megoldás)
1. Mennyi az ülr,y.2) — 2(r — 2xy 4 2y22)i — y(2r? 4 deye 4 y2?)j 4 2relz 4 2y 4 22k
vektormező integrálja a 0 £ r £ 1, 0 £ y £ 1, 0 £ 2 £ 1 egységkocka felületén kifelé
.Megoldás. Alkalmazz... | |
Megoldás. Alkalmazzuk a Stokes-tételt: ∂uz ∂ux ∂uy rot u = ∂uz ∂y −∂uy ∂z ∂z i + ∂ux ∂z −∂uz ∂x ∂x j + ∂uy ∂x −∂ux ∂y ∂y k = −2zi −2xj −2yk A háromszög paraméterezése: r(u, v) = ai + ua(j −i) + va(k −i) Z ∂S u · dr = Z S rot u · dA Z 1 Z 1−u = a3 = a3 0 Z 1 0 Z 1−u (−2vi −2(1 −u −v)j −2uk) · (j −i) × (k −i) dv du (−... | _Megoldás. Alkalmazzuk a Stokes-tételt:_
�
**i +**
�∂ux
_∂z_ _[−]_ _[∂u]∂x[z]_
�
**j +**
�∂uy
_∂x_ _[−]_ _[∂u]∂y[x]_
�
**k = −2zi −** 2xj − 2yk
rot u =
�∂uz
_∂y_ _[−]_ _[∂u]∂z[y]_
A háromszög paraméterezése: r(u, v) = ai + ua(j − **i) + va(k −** **i)**
� �
_∂S_ **[u][ ·][ d][r][ =]** _S_ [rot][ u][... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:59.1pt;left:77.2pt;line-height:12.0pt"><i><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">Megoldás.</span></i><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000"> Alkalmazzuk a Stokes-tételt:</spa... | page_267.png | A háromszög paraméterezése: r(u.v)
[ot [1019-4A
" [[/C2A-20-4-9)—249-(-1) x (k-gydede
4. Integráljuk a víz, y.
forgásiránnyal.
. Megoldás. Alkalmazzuk a Grec
fovten [[dovcAAof] [7 érdete a é
"További gyakorló feladatok
.Megoldás, div u — 0. ezért u zárt felületen vett intesrálja 0.
6. Mennyi az ulz, y.2) — (zy 45... | |
(Lehetett volna közvetlenül is számolni az integrált, de az laponként egy kétváltozós integrál kiszámításával jár, így egyszerűbb.) 7. Mennyi az u(x, y, z) = (xy + yz)i + (x2 −yz)j + (2xy + z2)k vektormező integrálja az ti + t2j ha t ∈[0, 1]
i + j + (t −1)k ha t ∈[1, 2]
(3 −t)i + (3 −t)2j + k ha t ∈[2, 3]
(4 −t)k ha t ... | (Lehetett volna közvetlenül is számolni az integrált, de az laponként egy kétváltozós integrál
kiszámításával jár, így egyszerűbb.)
7. Mennyi az u(x, y, z) = (xy + yz)i + (x[2] _−_ _yz)j + (2xy + z[2])k vektormező integrálja az_
**r(t) =**
ti + t[2]j ha t ∈ [0, 1]
i + j + (t − 1)k ha t ∈ [1, 2]
(3 − _t)i +... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:59.1pt;left:77.2pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">(Lehetett volna közvetlenül is számolni az integrált, de az laponként egy kétváltozós integrál<... | page_268.png | (Lehetett volna közvetlenül is számolni az integrált, de az laponként egy kétváltozós integrál
kiszámításával jár, így egyszerűbb.)
Mennyi az ulr, y.2) — (ry-4-y2)1 4 (22 — y2)j 4. (2ry 4 22k vektormező integrálja az
LE hatelo1]
d9-Athr] hatel.2]
6-914(3-9494k hatefa]
(4-9k hate[34]
görbe t € 0. 4j darabján?
"Megold... | |
Matematika A3 gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok, 2016/17 ősz 7. feladatsor: Szukcesszív approximáció, néhány egyenlettípus 1. Számoljuk ki az y′(x) = y(x)2 −(x + 1)y(x) + 1 differenciálegyenlet szukcesszív approximá- ciójával kapott első két közelítő függvényt, ha a kezdeti feltétel y(0) = 1.
2. Számoljuk ... | # Matematika A3 gyakorlat
Energetika és Mechatronika BSc szakok, 2016/17 ősz
# 7. feladatsor: Szukcesszív approximáció, néhány egyenlettípus
1. Számoljuk ki az y[′](x) = y(x)[2] _−_ (x + 1)y(x) + 1 differenciálegyenlet szukcesszív approximációjával kapott első két közelítő függvényt, ha a kezdeti feltétel y(0) = 1.
2.... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:54.9pt;left:56.7pt;line-height:17.2pt"><b><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:17.2pt;color:#000000">Matematika A3 gyakorlat</span></b></p>
<p style="top:73.5pt;left:56.7pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font... | page_269.png | Matematika A3 gyakorlat
Energetika és Mechatzonika TsSc szakok, 2016/17 ősz
7. feladatsor: Szukcesszív approximáció, néhány
egyenlettípus
1. Számoljuk ki az y(z) — y(2?— (z-e1yyíz) 2-1 diflerene
ciójával kapott első két közelítő függvényt, ha a kezdeti fel
1900)—1.
közelítő függvényt, ha a kezdeti feltétel y(0)
3. O... | |
10. Oldjuk meg az y′′ = −2xy′2 differenciálegyenletet y(0) = 0, y′(0) = 1 kezdeti feltétel mellett.
Megoldás. Vezessük be a v = y′ jelölést, erre a függvényre nézve az egyenlet elsőrendű:
v′ = −2xv2, ami szétválasztható. A kezdeti feltétel v(0) = y′(0) = 1, tehát v′ v v2 = −2x Z x Z x v′(ξ)
v(ξ)2 dξ = Z 0 (−2ξ) dξ −1 v(... | 10. Oldjuk meg az y[′′] = −2xy[′][2] differenciálegyenletet y(0) = 0, y[′](0) = 1 kezdeti feltétel
mellett.
_Megoldás. Vezessük be a v = y[′]_ jelölést, erre a függvényre nézve az egyenlet elsőrendű:
_v[′]_ = −2xv[2], ami szétválasztható. A kezdeti feltétel v(0) = y[′](0) = 1, tehát
_v[′]_
_v[2][ =][ −][2][x]_
� _x_... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:59.1pt;left:56.4pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">10. Oldjuk meg az</span><i><span style="font-family:LMMathItalic12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000"> y</span></i><sup><i><span style="f... | page_270.png | 10. Oldjuk meg az 4" — —2247 differenciálegyenletet y(0) — 0. y(0) — 1 kezdeti feltétel
mellett
feltétel (0) — (0) — 1, tehát
hzgyé s [/Czds
2 , 1 mo
tecoi
e) 1
o-
Integrálással kapjuk a megoldást.
910094 [£ ( eh artan
1 kezdeti feltétellel.
előszthatjuk vele az egyet
11. Oldjuk meg a 2ryy/ — 4 — 2? dífferenciá... | |
Matematika A3 gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok, 2016/17 ősz 7. feladatsor: Szukcesszív approximáció, néhány egyenlettípus (megoldás) 1. Számoljuk ki az y′(x) = y(x)2 −(x + 1)y(x) + 1 differenciálegyenlet szukcesszív approximá- ciójával kapott első két közelítő függvényt, ha a kezdeti feltétel y(0) = 1.
Me... | # Matematika A3 gyakorlat
Energetika és Mechatronika BSc szakok, 2016/17 ősz
# 7. feladatsor: Szukcesszív approximáció, néhány egyenlettípus (megoldás)
1. Számoljuk ki az y[′](x) = y(x)[2] _−_ (x + 1)y(x) + 1 differenciálegyenlet szukcesszív approximációjával kapott első két közelítő függvényt, ha a kezdeti feltétel y... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:54.9pt;left:56.7pt;line-height:17.2pt"><b><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:17.2pt;color:#000000">Matematika A3 gyakorlat</span></b></p>
<p style="top:73.5pt;left:56.7pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font... | page_271.png | Matematika A3 gyakorlat
Energetika és Mechatzonika TsSc szakok, 2016/17 ősz
7. feladatsor: Szukcesszív approximáció, néhány
egyenlettípus (megoldás)
1. Számoljuk ki az y(z) — y(z? — (2-1yíz) 2-1 dillerenciáleg
ciójával kapott első két közelítő füi
enlet szukcesszív approximá-
tvényt, ha a kezdeti feltétel y(0) — 1.... | |
Ebből y(x) kifejezhető: y(x) = ln 1 + x 2 x 2 −1 4 1 4 sin 2x 4. Egy test zuhan függőlegesen a gravitáció és a sebesség négyzetével arányos közegellenállás hatására. A mozgást az y : R →R magasság-idő-függvény írja le, ami eleget tesz a y′′(t) = −g + αy′(t)2 differenciálegyenletnek. A t = 0 pillanatban a test áll és y... | Ebből y(x) kifejezhető:
� �
_y(x) = ln_ 1 + _[x]2_ _[−]_ [1]4 [sin 2][x] _._
4. Egy test zuhan függőlegesen a gravitáció és a sebesség négyzetével arányos közegellenállás
hatására. A mozgást az y : _→_ magasság-idő-függvény írja le, ami eleget tesz a
R R
_y[′′](t) = −g + αy[′](t)[2]_
differenciálegyenletnek. A t =... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:59.1pt;left:77.2pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">Ebből</span><i><span style="font-family:LMMathItalic12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000"> y</span></i><span style="font-family:LMR... | page_272.png | Ebből yíz) kifejezhető:
v - —9 a
differenciálegyenletnek. A t — 0 pillanatban a test áll és y(0) — A magasan tartózkodik
.Megoldás. 1 — 4 helyettesítéssel 1/ — —g 4 c7 szétválasztható, a megoldása
eee [/ artanb ( /5e0)
k JETOTET] a Wo
vl anh(Yőg0)
W0-A4 [/eode h x/É oc ográr
7 [dncosh(yag0917 1
2h [Z [EoA£uttvt] 2 nme... | |
További gyakorló feladatok 6. Számoljuk ki az y′(x) = y(x) x differenciálegyenlet szukcesszív approximációjával kapott első három közelítő függvényt, ha a kezdeti feltétel y(1) = 1.
Megoldás. A kezdeti függvény konstans ϕ0(x) = 1, a továbbiakat ϕk+1(x) = 1 + Z x ϕk(ξ) dξ módon definiáljuk. Ebből ϕ0(x) = 1 ϕ1(x) = 1 + ln ... | ## További gyakorló feladatok
6. Számoljuk ki az y[′](x) = _[y][(][x][)]_ differenciálegyenlet szukcesszív approximációjával kapott első
_x_
három közelítő függvényt, ha a kezdeti feltétel y(1) = 1.
_Megoldás. A kezdeti függvény konstans ϕ0(x) = 1, a továbbiakat_
� _x_ _ϕk(ξ)_
_ϕk+1(x) = 1 +_ dξ
1 _ξ_
módon defin... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:57.2pt;left:56.7pt;line-height:14.3pt"><b><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:14.3pt;color:#000000">További gyakorló feladatok</span></b></p>
<p style="top:81.3pt;left:62.2pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman... | page_273.png | "További gyakorló feladatok
6. Számoljuk ki az y(z) — "2 dííerenci
három közelítő függvényt, ha a kezdeti feltétel y(l) — 1.
. Megoldás. A kezdeti függvény konstans v(z) — 1. a továbbiakat
módon definiáljuk. Ebből
ernlr
e
éo 1l
éo1 e ; EX
(azf , (r
éc 14 , BZ , 2a
adódik, ami alapján rájöhetűnk, hogy
e)
ennek l... | |
A függvénysorozat mindenhol abszolút konvergens, határértéke xi y(x) = lim k→∞−1 −x + 2 y(x) = lim k→ i=0 xi i! +
xk+1 (k + 1 x + (k + 1)! = −1 −x + 2ex Ez megoldja az egyenletet: (−1 −x + 2ex)′ = −1 + 2ex = x + (−1 −x + 2ex). 8. Határozzuk meg a (2x + 1)y′ −3y = 0 differenciálegyenlet általános megoldását. Megoldás. Az... | A függvénysorozat mindenhol abszolút konvergens, határértéke
_y(x) = lim_
_k→∞_ _[−][1][ −]_ _[x][ + 2]_
Ez megoldja az egyenletet:
_k_
�
_i=0_
_x[i]_ _x[k][+1]_
_i! [+]_ (k + 1)! [=][ −][1][ −] _[x][ + 2][e][x]_
(−1 − _x + 2e[x])[′]_ = −1 + 2e[x] = x + (−1 − _x + 2e[x])._
8. Határozzuk meg a (2x + 1)y[′] _... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:59.1pt;left:77.2pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">A függvénysorozat mindenhol abszolút konvergens, határértéke</span></p>
<p style="top:92.2pt;left:106.4pt;line... | page_274.png | A függvénysorozat mindenhol abszolút konvergens, határértéke
véa) — lm -1 1—rt2s
Ez megoldja az egy:
[1 2ÉY--1427 r4(-1-—r420).
Határozzuk meg a (2r 4. 14 — 3y — 0 dilferenciálegyenlet általános megoldását.
.Megoldás. Az egyenlet
v
y 21
alakra hozható, ha y 3 0 és 2 2—! (ha y valahol 0, akkor mindenhol az az egy... | |
Matematika A3 gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok, 2016/17 ősz 8. feladatsor: Kezdeti feltételtől való függés, egzakt differenciálegyenletek 1. Keressük meg az y′ = sin y differenciálegyenlet konstans megoldásait, és határozzuk meg ezek kezdeti feltétel szerinti deriváltjait, ha a kezdeti feltétel az x0 = 0 p... | # Matematika A3 gyakorlat
Energetika és Mechatronika BSc szakok, 2016/17 ősz
# 8. feladatsor: Kezdeti feltételtől való függés, egzakt differenciálegyenletek
1. Keressük meg az y[′] = sin y differenciálegyenlet konstans megoldásait, és határozzuk meg
ezek kezdeti feltétel szerinti deriváltjait, ha a kezdeti feltétel az... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:54.9pt;left:56.7pt;line-height:17.2pt"><b><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:17.2pt;color:#000000">Matematika A3 gyakorlat</span></b></p>
<p style="top:73.5pt;left:56.7pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font... | page_275.png | Matematika A3 gyakorlat
Energetika és Mechatzonika BSc szakok, 2016/17 ősz
8. feladatsor: Kezdeti feltételtő
differenciálegyenletek
való függés, egzakt
1. Keressük meg az y — siny dilferenciálegyenlet konstans megoldásait, és határozzuk meg
cezek kezdeti feltétel szerinti deríváltjait, ha a kezdeti feltétel az 9 — 0... | |
Megoldás. Létezik csak y-tól függő multiplikátor: ∂2x+3y2 2y ∂( x+y y ) ∂( x+y y Z 1 y dy = ln y + C, ln |M(y)| = 2y
∂x −
∂y x+y dy = Z 1 tehát M(y) = y, és így x + y + (x + 3 2y2)y′ egzakt. Egy potenciál 3 2y2)y′ egzakt. Egy potenciál Z x 0 (ξ + 0) dξ + Z x Z y dη = x2 2 u(x, y) = x + 3 2η2 x + 3 2 x2 2 + xy + y3 2 y ... | _Megoldás. Létezik csak y-tól függő multiplikátor:_
_∂_ [2][x][+3]2y _[y][2]_ _∂(_ _[x][+]y_ _[y]_ [)]
ln |M (y)| = � _∂x_ _x+−y_ _∂y_ dy = � 1
_y_ [d][y][ = ln][ y][ +][ C,]
_y_
tehát M (y) = y, és így x + y + (x + [3]
2 _[y][2][)][y][′][ egzakt. Egy potenciál]_
� _x_ � _y_
_u(x, y) =_
0 [(][ξ][ + 0) d][ξ][ +... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:59.1pt;left:77.2pt;line-height:12.0pt"><i><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">Megoldás.</span></i><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000"> Létezik csak</span><i><span style... | page_276.png | 1.
Megoldás. Létezik csak y-tól függő multiplikátor:
E" 9N
jar f aa flaízíy té
o] EE 492 fjdv l9
tehát M(g) — 4. és így - y 4. (z 4. yjy eszakt. Egy potenciól
vlz2 er 0464 f(es a Za £
Az általános megoldás implicit alakban ulr, y(z)) — C, ahol C param
4 y(0) — 3 kezdeti feltétel mellett.
Oldjuk meg az y 4. (ye? —... | |
Matematika A3 gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok, 2016/17 ősz 8. feladatsor: Kezdeti feltételtől való függés, egzakt differenciálegyenletek (megoldás) 1. Keressük meg az y′ = sin y differenciálegyenlet konstans megoldásait, és határozzuk meg ezek kezdeti feltétel szerinti deriváltjait, ha a kezdeti feltétel ... | # Matematika A3 gyakorlat
Energetika és Mechatronika BSc szakok, 2016/17 ősz
# 8. feladatsor: Kezdeti feltételtől való függés, egzakt differenciálegyenletek (megoldás)
1. Keressük meg az y[′] = sin y differenciálegyenlet konstans megoldásait, és határozzuk meg
ezek kezdeti feltétel szerinti deriváltjait, ha a kezdeti ... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:54.9pt;left:56.7pt;line-height:17.2pt"><b><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:17.2pt;color:#000000">Matematika A3 gyakorlat</span></b></p>
<p style="top:73.5pt;left:56.7pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font... | page_277.png | Matematika A3 gyakorlat
Energetika és Mechatzonika BSc szakok, 2016/17 ősz
8. feladatsor: Kezdeti feltételtől való függés, egzakt
differenciálegyenletek (megoldás)
1. Keressük meg az y — siny dilferenciálegyenlet konstans megoldásait, és határozzuk meg
cezek kezdeti felt ltjait, ha a kezdeti feltétel az z9 — 0 pontban... | |
Ez két független differenciálegyenlet-rendszer, a kezdeti feltétel D(0) = I (egységmátrix).
Később látni fogjuk, hogy hogyan lehet az egyenletrendszert megoldani, de azt most is észrevehetjük, hogy D(x) = # " D11(x)
D12(x)
D21(x)
D22(x) # cos x sin x
−sin x cos x megoldás (azt tudjuk, hogy csak egy megoldás létezik). 3.... | Ez két független differenciálegyenlet-rendszer, a kezdeti feltétel D(0) = I (egységmátrix).
Később látni fogjuk, hogy hogyan lehet az egyenletrendszert megoldani, de azt most is
észrevehetjük, hogy
� cos x sin x
_−_ sin x cos x
�
_D(x) =_
�D11(x) _D12(x)�_ =
_D21(x)_ _D22(x)_
megoldás (azt tudjuk, hogy csak e... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:59.1pt;left:77.2pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">Ez két független differenciálegyenlet-rendszer, a kezdeti feltétel</span><i><span style="font-family:LMMathItalic1... | page_278.png | -rendszer, a kezdeti felté
tlen ditferenciálogy el D(0) — 1 (egységmátrix).
AKésőbb látni fogjuk, hogy hogyan lehet az egyenletrendszert megoldani, de azt most is
észrevehetjűk, hogy
260 [s6) é]: E ]
megoldás (azt tudjuk, hogy csak egy megoldás létezilő.
iálegyenletet y(1) — 0 kezdeti feltétel
Oldjuk meg a 2r 4. co... | |
5. Egyváltozós multiplikátorral tegyük egzakttá az y ln y + y sinh x + (x + yey)y′ = 0 differen- ciálegyenletet, majd oldjuk meg. Megoldás. Létezik csak y-tól függő multiplikátor: ∂(x+yey) Z −1 y dy = −ln y + C x+yey) ∂x
−∂(y ln y+y sinh x) ∂y Z −1 ln |M(y)| = x
−
∂y y ln y + y sinh x dy = alapján M(y) = 1/y, tehát ln... | 5. Egyváltozós multiplikátorral tegyük egzakttá az y ln y + y sinh x + (x + ye[y])y[′] = 0 differenciálegyenletet, majd oldjuk meg.
_Megoldás. Létezik csak y-tól függő multiplikátor:_
ln |M (y)| = � _∂(x+∂xye[y])_ _−_ _[∂][(][y][ ln][ y][+]∂y[y][ sinh][ x][)]_ dy = � _−1_
_y ln y + y sinh x_ _y_ [d][y][ =][ −] [ln][... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:59.1pt;left:62.2pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">5. Egyváltozós multiplikátorral tegyük egzakttá az</span><i><span style="font-family:LMMathItalic12,serif;font-size... | page_279.png | 5. Egyváltozós multiplikátorral tegyűk egzakttá az ylny 4-ysinh r 4- (r 4 yey — 0 dítlere:
ciálegyenletet, majd oldjuk meg.
.Megoldás. Létezik csak y-tól fűggő multiplikátor:
a. a
skhi frzrernz kér
alapján M(g) — 1/9. tehát Iny sh ( 4-ejyi — 0 eszakt. A pote
meoshr-l4zinyie
hyiC
iál kereséséhez
általános megoldás... | |
egyenletrendszert, ahol f1(x, y) = xe−y1y2 és f2(x, y) = 1 −ey2. A láncszabály alapján kifejtve az egyenletrendszer D′ 1 D′ 11(x) = xD21(x)
D′ 12(x) = xD22(x) D′ 12(x) = xD22(x)
D′ 21(x) = −D21(x) D′ 21(x) = −D21(x)
D′ 22(x) = −D22(x) ′
22(x) = −D22(x). A kezdeti feltétel Dij(x) = δij (Kronecker-delta, azaz D(0) = I az... | egyenletrendszert, ahol f1(x, y) = xe[−][y][1]y2 és f2(x, y) = 1 − _e[y][2]. A láncszabály alapján_
kifejtve az egyenletrendszer
_D11[′]_ [(][x][) =][ xD][21][(][x][)]
_D12[′]_ [(][x][) =][ xD][22][(][x][)]
_D21[′]_ [(][x][) =][ −][D][21][(][x][)]
_D22[′]_ [(][x][) =][ −][D][22][(][x][)][.]
A kezdeti feltétel Dij(x) ... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:59.1pt;left:77.2pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">egyenletrendszert, ahol</span><i><span style="font-family:LMMathItalic12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000"> f</span></i><span style="fon... | page_280.png | egyenletrendszert, ahol fi(z.y)
ya és felnny) — 1— é". A láncszabály alapján.
D4(e) — eDalz)
Djale) — xDodlr)
Dule) - —Dalr)
Diale) — —D.
A kezdeti feltétel Du(z) — ő; (Kronecker-delta, azaz D(0) — I az egységmátris), ezzel
az utolsó két egyenlet megoldható (mindkettő szétválasztható): Dyfz) — 0 és Des(z)
€77. Az első... | |
Matematika A3 gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok, 2016/17 ősz 9. feladatsor: Állandók variálása, megoldás sorfejtéssel 1. Határozzuk meg az y′ + 2xy = 2xe−x2 differenciálegyenlet általános megoldását.
2. Határozzuk meg az " −1 2e−2x −e2x 4 y′ = y + " −6e−2x# differenciálegyenlet-rendszer általános megoldását... | # Matematika A3 gyakorlat
Energetika és Mechatronika BSc szakok, 2016/17 ősz
# 9. feladatsor: Állandók variálása, megoldás sorfejtéssel
1. Határozzuk meg az y[′] + 2xy = 2xe[−][x][2] differenciálegyenlet általános megoldását.
2. Határozzuk meg az
�
**y +**
�−6e[−][2][x]
0
�
**y[′]** =
� _−1_ 2e[−][2][x]
_−... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:54.9pt;left:56.7pt;line-height:17.2pt"><b><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:17.2pt;color:#000000">Matematika A3 gyakorlat</span></b></p>
<p style="top:73.5pt;left:56.7pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font... | page_281.png | Matematika A3 gyakorlat
Energetika és Mechatronika HSc szakok, 2016/17 ősz
9. feladatsor: Állandók variálása, megoldás sorfejtéssel
1. Határozzuk meg az y/ -- 2zy — 2ze-? dífferenciálegyenlet általános megoldását.
2. Határozzuk meg az
[ 2e"y a [6]
velle 4 14
differenciálegyer dszer általános megoldását, ha a hozzá t... | |
A kezdeti feltételből 1 = y(0) = a0 és 1 = y′(0) = a1, az sorfejtés első tagjából 0 = 2a2 −a0,
azaz a2 = 1 2, a többi tagból pedig k ≥1 esetén a ak+2 = (k + 1)kak+1 −(k −1)ak (k + 1)(k + 2) rekurziót kapjuk.
Ebből az első néhány tagot meghatározva sejthetjük, hogy ak =
1 k!,
behelyettesítve ellenőrizzük: k! (k + 1)k 1
... | A kezdeti feltételből 1 = y(0) = a0 és 1 = y[′](0) = a1, az sorfejtés első tagjából 0 = 2a2 − _a0,_
azaz a2 = [1]2 [, a többi tagból pedig][ k][ ≥] [1 esetén a]
_ak+2 = [(][k][ + 1)][ka][k][+1][ −]_ [(][k][ −] [1)][a][k]
(k + 1)(k + 2)
rekurziót kapjuk. Ebből az első néhány tagot meghatározva sejthetjük, hogy ak = _... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:59.1pt;left:77.2pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">A kezdeti feltételből</span><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000"> 1 =</span><i><span style="f... | page_282.png | 15.
A kezdeti feltételből 1 — y(0) — ag és 1— y(0)
1. a többi tagból pedig k 2 1 csetén a
és első tagjából 0 — 2az — a.
, az sorfej
a [k Dkara — (E 1ox
AÁRÁN CTSE TTCESEJT
kapjuk. Ebből az első né
behelyettesítve ellenőrizzűk:
(köVkely-(k-0$ . ($-(k- 4
[EFTEE] (FZE 2) Ő TR
A kapott hatványsor minden 2-re abszo... | |
Matematika A3 gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok, 2016/17 ősz 9. feladatsor: Állandók variálása, megoldás sorfejtéssel
(megoldás) 1. Határozzuk meg az y′ + 2xy = 2xe−x2 differenciálegyenlet általános megoldását. Megoldás. Az egyenlet elsőrendű lineáris, először a hozzá tartozó homogén egyenletet oldjuk meg,... | # Matematika A3 gyakorlat
Energetika és Mechatronika BSc szakok, 2016/17 ősz
# 9. feladatsor: Állandók variálása, megoldás sorfejtéssel (megoldás)
1. Határozzuk meg az y[′] + 2xy = 2xe[−][x][2] differenciálegyenlet általános megoldását.
_Megoldás. Az egyenlet elsőrendű lineáris, először a hozzá tartozó homogén egyenl... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:54.9pt;left:56.7pt;line-height:17.2pt"><b><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:17.2pt;color:#000000">Matematika A3 gyakorlat</span></b></p>
<p style="top:73.5pt;left:56.7pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font... | page_283.png | Matematika A3 gyakorlat
Energetika és Mechatzonika BsSc szakok, 2016/17 ősz
9. feladatsor: Állandók variálása, megoldás sorfejtéssel
(megoldás)
1. Határozzuk meg az y/ - 2zy — 22€77 differenciálegyenlet általános megoldását.
"Megoldás. Az egyenlet elsőrendű lineáris, először a hozzá tartozó homogén egyenletet oldjuk... | |
ezzel " # −e−x 2e−3x 1
−e−2x " −6e−2x# c′(x) = " # 6e−3x . −6e−2x Integráljuk a kapott vektort (komponensenként), majd szorozzuk meg az U(x) mátrixszal: " # −2e−3x + C1 3e−2x + C2 " 4e−2x U(x) · c(x) = " ex 2
e3x e2x + U(x) · " # . C1 C2 Az inhomogén egyenlet általános megoldása y(x) = (4e−2x, 1) + C1y1(x) + C2y2(x). 3... | ezzel
�
_·_
�−6e[−][2][x]
0
�
=
� 6e[−][3][x]
_−6e[−][2][x]_
�
_._
**c[′](x) =**
�−e[−][x] 2e[−][3][x]
1 _−e[−][2][x]_
Integráljuk a kapott vektort (komponensenként), majd szorozzuk meg az U (x) mátrixszal:
�−2e[−][3][x] + C1� =
3e[−][2][x] + C2
�
_._
�
+ U (x) ·
�C1
_C2_
_U_ (x) · c(x) =
... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:59.1pt;left:77.2pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">ezzel</span></p>
<p style="top:87.8pt;left:106.4pt;line-height:12.0pt"><b><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#0... | page_284.png | Az inhomogú
egyenlet általános megoldása y(z) — (4e-2",1) 4 Cyilz) 4 Cayalo).
Határozzuk meg az
differenciálegyer
1
14
[1 11
úon tr
Ebben az alakban láthatjuk, hogy az első egyenlet nem tartalmazza y.-t, így abból w, elvileg
meghatározható. Ez elsőrendű homogén lincáris, tehát szótválasztható;
ú 1
ml
aminek a ... | |
amiből c integrálással meghatározható. Ezt kell megszorozni az U(x) mátrixszal: # " earctan x 0
xearctan x earctan x U(x)c(x) = " −e−arctan x# # " −1 = . 0 xe−arctan x Az inhomogén egyenletrendszer általános megoldása tehát " earctan x xearctan x y(x) = # " −1 + C1 + C2 earctan x 4. Határozzuk meg az xy′′ −(x + 1)y′ + ... | amiből c integrálással meghatározható. Ezt kell megszorozni az U (x) mátrixszal:
�−e[−] [arctan][ x]
_xe[−]_ [arctan][ x]
�
=
�−1�
_._
0
�
_·_
_U_ (x)c(x) =
� _e[arctan][ x]_ 0
_xe[arctan][ x]_ _e[arctan][ x]_
Az inhomogén egyenletrendszer általános megoldása tehát
� 0
_e[arctan][ x]_
�
� _e[arc... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:59.1pt;left:77.2pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">amiből</span><b><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000"> c</span></b><span style="font-family:LMRoman... | page_285.png | amiből e integrálással meghatározható. Ezt kell megszorozni az (r) mátrisszal:
v :[n'] . [;;;mí] .. [?]
Határozzuk meg az 14/— (r-4 1V 4-y — 2e" díflerenciá
tudjuk, hogy ylz) — e és yalr;
Uirjelz)
egyenlet általános megoldását, ha.
4. 1 megoldja a hozzá tartozó homogén egyenletet.
áris, az y — (y. ) változó beveze... | |
alakú lesz, amiből az együtthatók összehasonlításával ak+1 = ak k+1 ha k ̸= 1 a1+1 ha k = 1 adódik. A kezdeti feltétel 0 = y(0) = a0, tehát 0 ha k ≤1 1 k!
egyébként ak = A sor minden x-re abszolút konvergens, összegfüggvénye y(x) = ex −1 −x, ami valóban megoldás. További gyakorló feladatok 6. Határozzuk meg az y′ −(tan... | alakú lesz, amiből az együtthatók összehasonlításával
_ak+1 =_
_ak_ ha k ̸= 1
_k+1_
_a1+1_ ha k = 1
2
adódik. A kezdeti feltétel 0 = y(0) = a0, tehát
_ak =_
0 ha k ≤ 1
1 egyébként
_k!_
A sor minden x-re abszolút konvergens, összegfüggvénye y(x) = e[x] _−_ 1 − _x, ami valóban_
megoldás.
##... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:59.1pt;left:77.2pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">alakú lesz, amiből az együtthatók összehasonlításával</span></p>
<p style="top:95.2pt;left:106.4pt;... | page_286.png | sz, amiből az együtthatók összehasonlításával
oéx hakzi
mAz$lh pak
adódik, A kezdeti feltétel 0 — 9(0) — a tehét
MORTTET
" 78 esyébként
A sor minden 2-re abszolút könvergens, összegfűggi e — 1— x, ami valóban
megoldás.
"További gyakorló feladatok
sát.
álogyenlet általános megoldá-
.Megoldás. Az egyenlet elsőren... | |
Megoldás. Az egyenlet elsőrendű lineáris inhomogén, a hozzá tartozó homogén egyenlet y′ + y = 0, ennek megoldása ln |y(x)| = (−1) dx = −x + C, azaz yh(x) = Ce−x. Az állandók variálásának módszere alapján az inhomogén egyenlet megoldása y(x) = c(x)e−x, ahol c′(x) = e−x e−x = 1, tehát c(x) = x + C. Az általános megoldás ... | _Megoldás. Az egyenlet elsőrendű lineáris inhomogén, a hozzá tartozó homogén egyenlet_
_y[′]_ + y = 0, ennek megoldása
�
ln |y(x)| = (−1) dx = −x + C,
azaz yh(x) = Ce[−][x]. Az állandók variálásának módszere alapján az inhomogén egyenlet
megoldása y(x) = c(x)e[−][x], ahol
_c[′](x) =_ _[e][−][x]_
_e[−][x][ = 1][,]_... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:59.1pt;left:77.2pt;line-height:12.0pt"><i><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">Megoldás.</span></i><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000"> Az egyenlet elsőrendű line... | page_287.png | 10.
.Megoldás. Az egyenlet elsőrendű lincáris inhomogén, a hozzá tartozó homogén egyenlet
W 4-y — 0. ennek megoldása
tiylól- fydso ss
azaz íz) —
megoldása y(z) — elz)e
Az állandók variálásának módszere alapján az inhomogén egyenlet
-, ahol
LGI
tehát elr) — x. C. Az általános megoldás y(z) — ze-: 4 Ce-t.
Oldjuk ... | |
11. Oldjuk meg az y′ = 1+x2 x
√ 1+x2 1+x2 x2
√ 1+x2 1+x2 y + differenciálegyenlet-rendszert y(0) = (0, 1) kezdeti feltétel mellett. Megoldás. Az egyenlethez tartozó homogén egyenlet komponensenként felírva y′ 1 =
x 1 + x2y1 y′ 2 = x
√ 1 + x2y1 +
x 1 + x2y2, az első egyenletben nincsen y2, tehát abból y1 meghatározható: ... | 11. Oldjuk meg az
� 1 �
1+x[2]
_−_ _√_ _x[2]_
1+x[2]
**y[′]** =
� _x_ 0
1+x[2]
_√_ _x_ _x_
1+x[2] 1+x[2]
�
**y +**
differenciálegyenlet-rendszert y(0) = (0, 1) kezdeti feltétel mellett.
_Megoldás. Az egyenlethez tartozó homogén egyenlet komponensenként felírva_
_x_
_y1[′]_ [=]
1 + x[2] _[y][1]_
_x_ _x_
_... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:59.1pt;left:56.4pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">11. Oldjuk meg az</span></p>
<p style="top:92.4pt;left:106.4pt;line-height:12.0pt"><b><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.... | page_288.png | 1.
12.
Oldjuk meg az
differenciálegyer dszert y(0) — (0,1) kezdeti feltétel mellett
thez tartozó homogén egyenlet kömponensenként felírva
.Megoldás. Az egyen
ml
mindkét oldalát integrálva I [yn(2)] — $1n(14-z?) 4 C, azaz m(z) — CYTT C — 1
választással írjuk be a második egyenletbe, ekkor az
TE
é thez jutunk, a... | |
Megoldás. Az egyenlet másodrendű lineáris, amit elsőrendű rendszerré alakíthatunk y =
(y, y′) bevezetésével: y′ = y + 2 x −2x ln x Legyen U(x) = # " ex e−x ex
−e−x a megadott megoldásokból álló mátrix (nem szinguláris), ekkor U(x)C a homogén rendszer általános megoldása. Alkalmazzuk az állandók variálásának módszerét, ... | _Megoldás. Az egyenlet másodrendű lineáris, amit elsőrendű rendszerré alakíthatunk y =_
(y, y[′]) bevezetésével:
� 0 �
2 _._
_x_ _[−]_ [2][x][ ln][ x]
**y[′]** =
Legyen
�0 1�
**y +**
1 0
�
_U_ (x) =
�e[x] _e[−][x]_
_e[x]_ _−e[−][x]_
a megadott megoldásokból álló mátrix (nem szinguláris), ekkor U (x)C ... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:59.1pt;left:77.2pt;line-height:12.0pt"><i><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">Megoldás.</span></i><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000"> Az egyenlet másodrendű line... | page_289.png | .Megoldás. Az egyenlet másodrendű lincáris, amit elsőrendű rendszerré alakíthatunk y —
Legyen
va-[
a megadott megoldásokból álló mátrix (nem színguláris), ekkor U(r)C a homogén rend-
szer általános megoldása. Alkalmazzuk az állandók variálásának módszerét, az inhomog(
egyes soldása yíz) — es(rJet 4 eslzje-, ahol
é... | |
egyenletrendszer általános megoldása az előbbiek alapján (a korábbi C1 helyett −C1-et írva) ln x 1 x
−1 x2 x2 · C1 C2 C3 C1 C2 C3 . Az állandók variálásának módszere szerint az inhomogén egyenlet megoldása y(x) = c1(x)(ln x) + c2(x)x + c3(x), ahol az együtthatófüggvényekre az (ln x)c′ 1 ′
1(x) + xc′ 2 c... | egyenletrendszer általános megoldása az előbbiek alapján (a korábbi C1 helyett −C1-et írva)
ln x _x_ 1 C1
_x1_ 1 0 _·_ _C2_ _._
_−_ _x[1][2]_ 0 0 _C3_
Az állandók variálásának módszere szerint az inhomogén egyenlet megoldása
_y(x) = c1(x)(ln x) + c2(x)x + c3(x),_
ahol az együtthatófüggvényekre az
... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:59.1pt;left:77.2pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">egyenletrendszer általános megoldása az előbbiek alapján (a korábbi</span><i><span style="font-family:LMMathI... | page_290.png | I-2 0 j la]
pdG 40
2 ésejíz) — Inz—1 következik, tehát
22ó e
Az általános megoldás és deriváltajai eszerint
(C, — 1nr 4 (Cy 4 Inzje 4 (C — 224 2nz)
Mr4 Cr Oz 42
20--14 014 C
1-G, tehát C
14. meg az (1— 2)y" 42 — y — 0 differenciálogyenletet
ő megoldását.
.Megoldás. A megoldást
alakban keressük, ennek deríváltj... | |
Matematika A3 gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok, 2016/17 ősz 10. feladatsor: Magasabbrendű lineáris differenciálegyenletek 1. Határozzuk meg az eλx, xeλx, x2eλx, . . . , xk−1eλx függvények Wronski-determinánsát.
2. A Wronski-determináns segítségével határozzuk meg a 4xy′′+2y′+y = 0 differenciálegyenlet 2. A... | # Matematika A3 gyakorlat
Energetika és Mechatronika BSc szakok, 2016/17 ősz
# 10. feladatsor: Magasabbrendű lineáris differenciálegyenletek
1. Határozzuk meg az e[λx], xe[λx], x[2]e[λx], . . ., x[k][−][1]e[λx] függvények Wronski-determinánsát.
2. A Wronski-determináns segítségével határozzuk meg a 4xy[′′]+2y[′]+y = 0... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:54.9pt;left:56.7pt;line-height:17.2pt"><b><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:17.2pt;color:#000000">Matematika A3 gyakorlat</span></b></p>
<p style="top:73.5pt;left:56.7pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font... | page_292.png | Matematika A3 gyakorlat
Energetika és Mechatzonika TsSc szakok, 2016/17 ősz
10. feladatsor: Magasabbrendű lincáris
differenciálegyenletek
1. Határozzuk meg az €, rel", ter
291 függvények Wronski-determinánsát
A Wronski-determináns segítsé
1 határozzuk meg a 4z/-4-24/4-y — ( differenciálegye
a) 92" 2/ -0
b) — dy... | |
12. Legyenek ω0, ω, α > 0 valós paraméterek. Keressük meg az y′′ + 2αy′ + ω2 0y = sin(ωx) differenciálegyenletet periodikus megoldását (y(x) = C cos(ωx) + D sin(ωx) alakban). Milyen ω mellett maximális y illetve y′ amplitúdója? Megoldás. A homogén egyenlet karakterisztikus polinomjának gyökei λ± = −α± q α2 −ω2 0 q α2 −... | 12. Legyenek ω0, ω, α > 0 valós paraméterek. Keressük meg az y[′′] + 2αy[′] + ω0[2][y][ = sin(][ωx][) dif-]
ferenciálegyenletet periodikus megoldását (y(x) = C cos(ωx) + D sin(ωx) alakban). Milyen
_ω mellett maximális y illetve y[′]_ amplitúdója?
�
_Megoldás. A homogén egyenlet karakterisztikus polinomjának gyökei λ± ... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:59.1pt;left:56.4pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">12. Legyenek</span><i><span style="font-family:LMMathItalic12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000"> ω</span></i><span style="font-fam... | page_293.png | 12. Legyenek say.4.a — 0 valós paraméterek. Keressük meg az y 4 2aY 4-sly
ferenciálegyenletet periodikus megoldását (y(z) — C cosloz) 4 Dsin(-or) alakban). Milyen
. Megoldás. A homogén egyenlet karakterisztikus polinomjának győkei A, —
ezeknek mindig negatív a valós része, tehát a homogén egyenlet
riodikus megoldása.... | |
Matematika A3 gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok, 2016/17 ősz 10. feladatsor: Magasabbrendű lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1. Határozzuk meg az eλx, xeλx, x2eλx, . . . , xk−1eλx függvények Wronski-determinánsát. Megoldás. A megadott függvények eλxf(x) alakúak, ezek deriváltjait a Leibniz-szabály... | # Matematika A3 gyakorlat
Energetika és Mechatronika BSc szakok, 2016/17 ősz
# 10. feladatsor: Magasabbrendű lineáris differenciálegyenletek (megoldás)
1. Határozzuk meg az e[λx], xe[λx], x[2]e[λx], . . ., x[k][−][1]e[λx] függvények Wronski-determinánsát.
_Megoldás. A megadott függvények e[λx]f_ (x) alakúak, ezek der... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:54.9pt;left:56.7pt;line-height:17.2pt"><b><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:17.2pt;color:#000000">Matematika A3 gyakorlat</span></b></p>
<p style="top:73.5pt;left:56.7pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font... | page_294.png | Matematika A3 gyakorlat
Energetika és Mechatzonika TsSc szakok, 2016/17 ősz
10. feladatsor: Magasabbrendű lincáris
differenciálegyenletek (megoldás)
1. Határozzuk meg az €, eV 27é.. . , 1412 függyények Wronski-determinánsát
"Megoldás. A megadott függvények e" /(z) alakúak, ezek deriváltjait a Leibniz-szabály al-
kalm... | |
lineáris differenciálegyenlet megoldásterének bázisát alkotját. Elsőrendű egyenletrendszerré alakítva y = (y, y′, . . . , y(k−1)) bevezetésével az egyenlet · · · 0 0
1
...
...
...
...
...
...
0 0
0 0
· · ·
1 (−λ) y′ = y = Ay k (−λ)k−1 k (−λ)k−2 k (−λ)k−3
· · · k k−1 lesz, tehát ... | lineáris differenciálegyenlet megoldásterének bázisát alkotját. Elsőrendű egyenletrendszerré
alakítva y = (y, y[′], . . ., y[(][k][−][1)]) bevezetésével az egyenlet
**y[′]** =
0 1 0 _· · ·_ 0
0 0 1 ... ...
... ... ... ... 0
0 0 0 _· · ·_ 1
−�k�(−λ)[k][−][1] _−�k�(−λ)[k][−][2]_ _−�k�(−λ)[k][−][3]_ _· ... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:59.1pt;left:77.2pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">lineáris differenciálegyenlet megoldásterének bázisát alkotját. Elsőrendű egyenletrends... | page_295.png | lincáris differenciálegyenlet megoldáste
alakítva y — (yy7.. . 44-3) bevezi
ének bázisát alkotját. Elsőr
óvel az egyenlet
egyenletrendszerré
0 1 0 [
0 0 1
v []
0 0 0 1
04 -P- Y (8JÜN,
Josz, tehát a Wronski-detersninánsra a W" — (TeAJW — £XWV dífforenciálegyenlet teljesül
emiatt W(2) — ePzW(0)
2. A Wronski-detet ... | |
e) y(4) + 2y′′ + y = 0 Megoldás. Az egyenletekbe az eλx függvényt helyettesítünk és elosztjuk mindkét oldalt ugyanezzel a függvénnyel. A bal oldal így λ egy polinomja lesz (karakterisztikus polinom),
ha ennek λi gyöke mi multiplicitással, akkor az eλix, xeλix, . . . , xmi−1eλix függvények megoldják a differenciálegyenle... | e) y[(4)] + 2y[′′] + y = 0
_Megoldás. Az egyenletekbe az e[λx]_ függvényt helyettesítünk és elosztjuk mindkét oldalt
ugyanezzel a függvénnyel. A bal oldal így λ egy polinomja lesz (karakterisztikus polinom),
ha ennek λi gyöke mi multiplicitással, akkor az e[λ][i][x], xe[λ][i][x], . . ., x[m][i][−][1]e[λ][i][x] függvén... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:59.1pt;left:82.1pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">e)</span><i><span style="font-family:LMMathItalic12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000"> y</span></i><sup><span style="font-family:LMRoman... | page_296.png | DESETVZT]
Megoldás. Az egyenletekbe az €" függvényt helyettesítünk és elosztjuk mindkét oldalt
gyanczzel a fűggvénnyel. A bal oldal így A egy polinomja lesz (karakterisztikus polinom),
ha ennek A, győke m, multiplicitással, akkor az M, zel, ,,, , 2.
a) A karakterisztikus polinom X8— 218- 32 4.29 — (X 4 1403 — 1)(3 — ... | |
A kezdeti feltételből kell A és B értékét meghatározni: 1 = y(0) = A 0 = y′(0) = −αA + √ ω2 −α2B, ebből A = 1 B = α
√ ω2 −α2. Ilyenkor a megoldás a 0 körül oszcillál. Ha α > 0, akkor exponenciálisan 0-hoz tart (|y(x)| ≤
Ce−αx), ha viszont α = 0, akkor periodikus.
Meg kell még vizsgálni az α = ω esetet.
Ekkor −α kétszer... | A kezdeti feltételből kell A és B értékét meghatározni:
1 = y(0) = A
_√_
0 = y[′](0) = −αA + _ω[2]_ _−_ _α[2]B,_
ebből
_A = 1_
_α_
_B =_ _√_
_ω[2]_ _−_ _α[2]_ _[.]_
Ilyenkor a megoldás a 0 körül oszcillál. Ha α > 0, akkor exponenciálisan 0-hoz tart (|y(x)| ≤
_Ce[−][αx]), ha viszont α = 0, akkor periodikus._
Meg ... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:59.1pt;left:77.2pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">A kezdeti feltételből kell</span><i><span style="font-family:LMMathItalic12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000"> A</span></i><s... | page_297.png | A kezdeti felt
w(0)
/(0) — —aA 4 VT 2B,
telből kell A és B éri
meghatározni:
ebből
Ilyenkor a megoldás a 0 körül oszcillál. Ha a - 0, akkor exponenciálisan 0-hoz tart ([y(7)] £
(Ce-"7), ha viszont a — 0, akkor periodikus.
Meg kell móg vizsgálni az a — 2s esetet. Ekkor —a kétszeres valós gyök, az általános
megoldá... | |
c) A karakterisztikus polinom λ3 −4λ2 + 4λ = λ(λ −2)2, a homogén egyenlet általános megoldása y(x) = A + Be2x + Cxe2x (belső rezonancia). Mindkét inhomogén tag miatt külső rezonancia van, az inhomogén egyenlet megoldását C0x + C1x2 + C2x3 + D0x2e2x alakban keressük. Behelyettesítve: (4C0 −8C1 + 6C2) + (8C1 −24C2)x + 12... | c) A karakterisztikus polinom λ[3] _−_ 4λ[2] + 4λ = λ(λ − 2)[2], a homogén egyenlet általános
megoldása y(x) = A + Be[2][x] + Cxe[2][x] (belső rezonancia). Mindkét inhomogén tag miatt
külső rezonancia van, az inhomogén egyenlet megoldását C0x + C1x[2] + C2x[3] + D0x[2]e[2][x]
alakban keressük. Behelyettesítve:
(4C0 −... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:59.1pt;left:82.1pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">c) A karakterisztikus polinom</span><i><span style="font-family:LMMathItalic12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000"> λ</span></i><sup... | page_298.png | €) A karakterisztikus polinom 3? — 432 4-4) — M(X — 272, a homogén egyenlet általános
40 m koc s 24(',); 41202 4 4DÉ
amiből Do —
teE 4 A 4 BE 4 Czé.
d) A karakterisztikus polinom 32—214-5 — (1—14-2/(3— 1-2i), a homogén egyenlet ál
talános megoldása yír) — Ae" cos2r--Besin 2r. Külső rezonancia van, az inhomogé
egyenl... | |
8. Határozzuk meg az alábbi differenciálegyenletek általános megoldását. g a) y′′ + 2y′ + 10y = 0 b) y′′ −12y′ + 27y = 0 )
c) y′′ −10y′ + 25y = 0 d) y(4) + 18y′′ + 81y = 0 )
e) y′′′ −6y′′ + 12y′ −8y = 0 ) y y
y y
f) y(n) −y = 0, ahol n ≥1 egész Megoldás. a) A karakterisztikus polinom λ2+2λ+10 = (λ+1−3i)(λ+1+3i), az álta... | 8. Határozzuk meg az alábbi differenciálegyenletek általános megoldását.
a) y[′′] + 2y[′] + 10y = 0
b) y[′′] _−_ 12y[′] + 27y = 0
c) y[′′] _−_ 10y[′] + 25y = 0
d) y[(4)] + 18y[′′] + 81y = 0
e) y[′′′] _−_ 6y[′′] + 12y[′] _−_ 8y = 0
f) y[(][n][)] _−_ _y = 0, ahol n ≥_ 1 egész
_Megoldás._
a) A karakterisztikus polin... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:59.1pt;left:62.2pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">8. Határozzuk meg az alábbi differenciálegyenletek általános megoldását.</span></p>
<p style="top:7... | page_299.png | 8. Határozzuk meg az alábbi differenciál
a á 10y-0
1) /— 124 4274
e) /— 10 4254
d) 94 1844-8ly—0
e) Y" 6y412/-—8y—0
9Y9
. Megoldás,
a) A karakterisztikus polinom 324-234-10
wír) — Ae-"cos3z 4 Be-"sin3z.
1) A karakterisztikus polinom 3? — 129 427 — () — 3)(A — 9), az általános megoldás
víz) — A" 4 B.
e) A kara... | |
felhasználásával a feltétel 0 = y(0) = A 0 = y′(0) =
ω ω2 0 −ω2 + Bω0, tehát A = 0 és B = −
ω ω0(ω2 0−ω2), a kezdetiérték-probléma megoldása y(x) = ω2 0 1 ω2 0 0 −ω2 sin(ωx) −
ω ω0(ω2 ω ω2 ω0(ω2 0 −ω2) sin(ω0x) = ω0 sin(ωx) −ω sin(ω0x) 0 −ω2) ω0(ω2 0 ω2 0 −ω2) Ha ω = ω0, akkor külső rezonancia van, tehát az inhomogén e... | felhasználásával a feltétel
0 = y(0) = A
_ω_
0 = y[′](0) =
_ω0[2]_ _[−]_ _[ω][2][ +][ Bω][0][,]_
tehát A = 0 és B = − _ω_
_ω0(ω0[2][−][ω][2][)]_ [, a kezdetiérték-probléma megoldása]
1 _ω_
_y(x) =_ _._
_ω0[2]_ _[−]_ _[ω][2][ sin(][ωx][)][ −]_ _ω0(ω0[2]_ _[−]_ _[ω][2][) sin(][ω][0][x][) =][ ω][0][ sin(]ω[ωx]0(ω[)][ ... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:59.1pt;left:77.2pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">felhasználásával a feltétel</span></p>
<p style="top:81.8pt;left:106.4pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LM... | page_300.png | felhasználásával a feltétel
0-v(0)
Oa é t Ba,
v - p po té - É
Ha 1 — , akkor külső rezonancia van, tehát az inhomogén egyenletnek €- cos(4uz) 4
Drsin(cooz) alakban keressük a megoldását. Behelyettesítés után az egyenlet
2D coslcayr) — 2Csay sinlosz) — sinlosr),
k és D —0. Az általános n
tehát €-— —h
egoldás
FDE L... | |
egyenletrendszer teljesül, ennek megoldása A =
ω2 2 ω2 ω2 2 ω2 1 2 −ω2 B = 0 C = −
ω2 1 2 ω2 2 1 2 2 −ω2 D = 0, tehát a kezdetiérték-probléma megoldása 2 y(x) = ω2 ω2 1 2 cos ω1x −ω2 ω1x −ω2 1 cos ω2x ω2 1 2 −ω2 ω2 1 2 −ω2 Ha ω1 = ω2 =: ω, akkor belső rezonancia van, tehát az általános megoldás y(x) = A cos ωx + B sin ... | egyenletrendszer teljesül, ennek megoldása
_A =_ _ω2[2]_
_ω2[2]_ _[−]_ _[ω]1[2]_
_B = 0_
_C = −_ _ω1[2]_
_ω2[2]_ _[−]_ _[ω]1[2]_
_D = 0,_
tehát a kezdetiérték-probléma megoldása
2 [cos][ ω][1][x][ −] _[ω]1[2]_ [cos][ ω][2][x]
_y(x) =_ _[ω][2]_ _._
_ω2[2]_ _[−]_ _[ω]1[2]_
Ha ω1 = ω2 =: ω, akkor belső rezonancia van... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:59.1pt;left:77.2pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">egyenletrendszer teljesül, ennek megoldása</span></p>
<p style="top:91.9pt;left:107.7pt;line-height:12.0pt"><i><span style="font-f... | page_301.png | egyenletrendszer teljesül, ennek megoldása
tehát a kezdetiérték-probléma megoldása
v Fi
wíz) — Acoscor 4 Bsincor 4 Crcoscor 4 Drsin
ebből hasonlóan azt kapjuk, hogy
1
EŐ]
kapottból azz — 221 határátmenettel kapunk.
a) Y 4444 8y — €-7 cos2r, v(0) — 1. V(0) 0
1) Y" gyY — 43 rén y0) - y0)-Y(0-0
e) — 347 — Y 4.3y... | |
egyenlet (−3C0 −C1 −3C1x)e2x = xe2x, amiből C0 = 1 9 3 1 9 és C1 = −1 egyenlet (−3C0 −C1 −3C1x)e2x = xe2x, amiből C0 = 1 9 és C1 = −1 3. Az általános megoldás és deriváltjai y(x) = 1 9 1 9e2x −1 3 1 3xe2x + Ae−x + Bex + Ce3x y′(x) = −1 9 1 9e2x −2 3 2 3xe2x −Ae−x + Bex + 3Ce3x y′′(x) = −8 9 8 9e2x −4 3 4 3xe2x + Ae−x +... | egyenlet (−3C0 − _C1 −_ 3C1x)e[2][x] = xe[2][x], amiből C0 = [1]9 [és][ C][1][ =][ −] [1]3 [. Az általános]
megoldás és deriváltjai
_y(x) = [1]_
9[e][2][x][ −] [1]3[xe][2][x][ +][ Ae][−][x][ +][ Be][x][ +][ Ce][3][x]
_y[′](x) = −[1]_
9[e][2][x][ −] 3[2][xe][2][x][ −] _[Ae][−][x][ +][ Be][x][ + 3][Ce][3][x]_
_y[′′... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:59.1pt;left:97.7pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">egyenlet</span><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000"> (</span><i><span style="font-family:LMMathSymbols10... | page_302.png | egyenlet (-3Cy9 — C — 3CE
megoldás és deriváltjai
zét", amiből C — § és C — —1. Az általános
É AT A BE CT
1
e) F ér — AT 4 BE 4 307
v -- !
s
v - -5e ét 4 A 4 BE 4. 9C€",
a kezdeti feltétel alapján
1
j7asBsC
ö-vi -l ba90
po - -8 7
0-v(0)--§4448 490
ennek megoldása A — $. B -- C -
A karakterisztikus polinom 99—332—94... | |
Matematika A3 gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok, 2016/17 ősz 11. feladatsor: Laplace-transzformáció 1. Határozzuk meg az f : (0, ∞) →R függvény Laplace-transzformáltját. a) f(x) = cos2 x b)
0 ha x < a x−a b−a ha a ≤x < b 1
ha x ≥b f(x) = ahol 0 < a < b.
2. Határozzuk meg Laplace-transzformációval az ... | # Matematika A3 gyakorlat
Energetika és Mechatronika BSc szakok, 2016/17 ősz
# 11. feladatsor: Laplace-transzformáció
1. Határozzuk meg az f : (0, ∞) → függvény Laplace-transzformáltját.
R
a) f (x) = cos[2] _x_
b)
_f_ (x) =
0 ha x < a
_x−a_ ha a ≤ _x < b_ _,_
_b−a_
1 ha x ≥ _b_
ahol 0 < a < b.
2. Hatá... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:54.9pt;left:56.7pt;line-height:17.2pt"><b><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:17.2pt;color:#000000">Matematika A3 gyakorlat</span></b></p>
<p style="top:73.5pt;left:56.7pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font... | page_303.png | Matematika A3 gyakorlat
Energetika és Mechatzonika BSc szakok, 2016/17 ősz
11. feladatsor: Laplace-transzformáció
1. Határozzuk meg az / : (0,o0) — R függvény Laplace-transzformáltját
a) fír) — cor
1)
0 harzca
fejzdes haaszeb
17 harzó
ahol0 2 a 2.
2. Határozzuk meg Laplace-transzformációval az y"-y.
w"(0) — 0 kez... | |
Tehát y(x) = y0 sinh x sinh x Tehát y(x) = y0 x megoldás. Ez nem az általános megoldás, egy másikat kereshetünk például a Wronski-determináns segítségével. W ′ = −2 xW alapján W(x) =
C x2. c(x)sinh x x 2 xW alapján W(x) =
C x2. c(x)sinh x x akkor megoldás, ha sinh x !2 C x2 = c′(x) azaz c′(x) =
C sinh2 x. Ebből c(x) =... | Tehát y(x) = y0 sinhx _x_ megoldás. Ez nem az általános megoldás, egy másikat kereshetünk
például a Wronski-determináns segítségével. W _[′]_ = − [2] _C_
_x_ _[W][ alapján][ W]_ [(][x][) =] _x[2]_ [.][ c][(][x][)] [sinh]x _[ x]_
akkor megoldás, ha
�2
_,_
_C_
_x[2][ =][ c][′][(][x][)]_
�sinh x
_x_
azaz
_C_... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:59.1pt;left:77.2pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">Tehát</span><i><span style="font-family:LMMathItalic12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000"> y</span></i><span style="font-family:LMRo... | page_304.png | példáni a Wronskédetermináns segítségével. WW" — —21W alapján IW(z) — £. elz)ánbz
akkor megoldás, ha
s.. az
Ctanhz 4 Cy, és így egy másik lincárisan független megoldás
egyenlet általános megoldása
sinhz , peoshz
v -— -
Laplaco-transzformáció alkalmazásával oldjuk meg az
2 —3n 4492
n te
dilferenciálegyenlet-rends... | |
3. Laplace-transzformáció alkalmazásával oldjuk meg az xy′′ + 2y′ + xy = 0 differenciálegyen- letet. Megoldás. Legyen Y = Ly és y(0) = y0, y′(0) = y′ 0 (paraméterek, mert az általános megoldást keressük). Ekkor L(xy)(z) = −Y ′(z) Ly′(z) = zY (z) −y0 L(xy′′)(z) = −d dz 0 d dz(z2Y (z) −zy0 −y′ y′ 0) = −2zY (z) −z2Y ′(z) +... | 3. Laplace-transzformáció alkalmazásával oldjuk meg az xy[′′] + 2y[′] + xy = 0 differenciálegyenletet.
_Megoldás. Legyen Y = Ly és y(0) = y0, y[′](0) = y0[′]_ [(paraméterek, mert az általános]
megoldást keressük). Ekkor
_L(xy)(z) = −Y_ _[′](z)_
_Ly[′](z) = zY (z) −_ _y0_
_L(xy[′′])(z) = −_ [d] 0[) =][ −][2][zY][ (][... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:59.1pt;left:62.2pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">3. Laplace-transzformáció alkalmazásával oldjuk meg az</span><i><span style="font-family:LMMathItalic12,serif;font-size:... | page_306.png | 3. Laplace-transzformáció alkalmazásával oldjuk meg az 1/ 4-2y4-zy — 0 differenciálegyen-
tetet
.Megoldás. Legyen Y — £y és y(0) — o. V(0) — 16 (paraméterek, mert az általános
írh re
EV -V
£GYIAY -- LEVEA -9
V()— V) 4 n.
Behelyettesítve
Y (2) 4 0 4 2Y (—) Y )
ami egy elsőrendű lncáris diflerenciálegyenlet Y(2)-re... | |
Megoldás. Legyen Y1 = Ly1 és Y2 = Ly2. A kezdeti feltétel y1(0) = y′ 1 2
2 y′ 1(0) = y2(0) = y′ 2 Megoldás. Legyen Y1 = Ly1 és Y2 = Ly2. A kezdeti feltétel y1(0) = y′ 1(0) = y2(0) = y′ 2(0) =
0, emiatt (Ly′′ 1)(z) = z2Y1(z) és (Ly′′ 2)(z) = z2Y2(z). Laplace-transzformáljuk az egyenletek 0, emiatt (Ly′′ 1)(z) = z2Y1(z) ... | _Megoldás. Legyen Y1 = Ly1 és Y2 = Ly2. A kezdeti feltétel y1(0) = y1[′]_ [(0) =][ y][2][(0) =][ y]2[′] [(0) =]
0, emiatt (Ly1[′′][)(][z][) =][ z][2][Y][1][(][z][) és (][L][y]2[′′][)(][z][) =][ z][2][Y][2][(][z][). Laplace-transzformáljuk az egyenletek]
mindkét oldalát:
_z[2]Y1(z) = Y2(z) −_ _Y1(z) +_ _[f]_
_z_
_z[2]... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:59.1pt;left:77.2pt;line-height:12.0pt"><i><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">Megoldás.</span></i><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000"> Legyen</span><i><span style="font-fami... | page_307.png | . Megoldás. Les
0. emiatt (£y7)!
mindkét oldalát:
Yi — Cy és X4 — Lya. A kezdeti feltétel yi (0) — 1 (0)
2PV.(2) és (£yf)e) — V(). Laplace-transzformi
G-10-191£
XA9-1G9-X0.
jar fgf2,1 2
ARE 3)
ette
m L(E 41-—esívőn)
Í íe
ml 2 £(£-1 4 cosívő)
"További gyakorló feladatok
5. Határozzuk meg az / : (0,00) — R függvé... | |
Megoldás. Legyen Y = Ly, ekkor Ly′(z) = zY (z) −y(0) = zY (z), Ly′′(z) = z2Y (z) −
zy(0) −y′(0) = z2Y (z) + 1. Az egyenlet mindkét oldalát Laplace-transzformáljuk: z2Y (z) + 1 −2zY (z) + Y (z) = 1 z2, amiből Y (z) = 1 z2 −1 z2 −2z + 1 = −2 1
z −1 + 1 z2 1 z2 + 21 z 1 z. Ez az y(x) = −2ex + x + 2 Laplace-transzformáltja... | _Megoldás. Legyen Y = Ly, ekkor Ly[′](z) = zY (z) −_ _y(0) = zY (z), Ly[′′](z) = z[2]Y (z) −_
_zy(0) −_ _y[′](0) = z[2]Y (z) + 1. Az egyenlet mindkét oldalát Laplace-transzformáljuk:_
_z[2]Y (z) + 1 −_ 2zY (z) + Y (z) = [1]
_z[2]_ _[,]_
amiből
_Y (z) =_
_z1[2][ −]_ [1] 1
_z[2]_ _−_ 2z + 1 [=][ −][2]z − 1 [+ 1]z[... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:59.1pt;left:77.2pt;line-height:12.0pt"><i><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">Megoldás.</span></i><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000"> Legyen</span><i><span style="font-fami... | page_308.png | "Megoldás. Legyen Y
zv(0) — y00) — eV(
y. ekkor £y/(-)
FYE 2Y 4 Y
Y 2t
Tz az víz) 2 —2E 42 42 Laplace-transzformáltja.
Laplace-transzformáció se
w(0) — 0. v
" Megoldás. Legyen Y(2) —
— 1 kezdeti feltétel mellett.
víz), ekkor
FIŐEGTDET ÉBST
£y(e) 2 V()— 2v(0) — (0) — Y -1.
tehát a megoldandó egyenlet
FYE-14 2794 ... | |
8. Oldjuk meg az y′ = y −1 3 differenciálegyenlet-rendszert y(0) = (3, 2) kezdeti feltétel mellett.
9. Oldjuk meg az 10
−19 13 1
−1 1
−9 18
−12 y′ = y 2 differenciálegyenlet-rendszert y(0) = (1, 0, 1) kezdeti feltétel mellett.
10. Oldjuk meg az 5
−3 4
6
−3 3
−1 1
−2 y′ = y differenciálegyenlet-re... | 8. Oldjuk meg az
**y[′]** =
� 1 1�
**y**
_−1_ 3
differenciálegyenlet-rendszert y(0) = (3, 2) kezdeti feltétel mellett.
9. Oldjuk meg az
**y[′]** =
10 _−19_ 13
1 _−1_ 1 **y**
_−9_ 18 _−12_
differenciálegyenlet-rendszert y(0) = (1, 0, 1) kezdeti feltétel mellett.
10. Oldjuk meg az
**y[′]** =
... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:59.1pt;left:62.2pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">8. Oldjuk meg az</span></p>
<p style="top:92.3pt;left:106.4pt;line-height:12.0pt"><b><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0... | page_309.png | 10.
1.
Oldjuk meg az
l 1
1 3
differenciálegyer
Oldjuk meg az
po 9 8]
Lx 1 lly
t]
dszert y(0) — (3,2) kezdeti feltétel mellett
differenciálegyer
Oldjuk meg az
dszert y(0) — (1.0.1) kezdet feltétel mellett.
differenciálegyer
dszert y(0) — (1.1,—1) kezdeti feltétel mellett
1 Határozzuk meg az y" 4-?y — 0 dífle... | |
Matematika A3 gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok, 2016/17 ősz 12. feladatsor: Lineáris állandó együtthatós egyenletrendszerek 1. Mi a Jordan-felbontása az A = −9
−7 mátrixnak?
2. Adjuk meg az A = 4 1
−1
−2 1
1 mátrix Jordan-felbontását.
3. Határozzuk meg az y′ 1 y′ 1 = 5y1 + 4y2 y′ 2 = −9y1 −... | # Matematika A3 gyakorlat
Energetika és Mechatronika BSc szakok, 2016/17 ősz
# 12. feladatsor: Lineáris állandó együtthatós egyenletrendszerek
1. Mi a Jordan-felbontása az
_A =_
� 5 4 �
_−9_ _−7_
mátrixnak?
2. Adjuk meg az
_A =_
4 1 _−1_
−2 1 1
2 1 1
mátrix Jordan-felbontását.
3. Határozzuk meg az... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:54.9pt;left:56.7pt;line-height:17.2pt"><b><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:17.2pt;color:#000000">Matematika A3 gyakorlat</span></b></p>
<p style="top:73.5pt;left:56.7pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font... | page_310.png | Matematika A3 gyakorlat
12. feladatsor: Lineáris állandó együtthatós
egyenletrendszerek
1. Mi a Jordan-felbontása az
mátrixnak?
2. Adjuk meg az
mátrix Jordan-felbontását.
3. Határozzuk meg az
W őmn t 492
2— —9 — Ty2
dilferenciák
egyenlet-rendszer általános megoldását
4. Oldjuk meg az
W 2m
W. 2m —
dilferenciál... | |
c) Vezessük be a következő jelöléseket, ahol v ∈Cn: m(v) = ⟨v, Mv⟩ c(v) = ⟨v, Cv⟩
k(v) = ⟨v, Kv⟩. (A skalárszorzat komplex értelemben értendő és a második változóban lineáris, tehát v = (v1, . . . , vn) és w = (w1, . . . , wn) esetén ⟨v, w⟩= v1w1 + · · · + vnwn.) Ekkor m, c, k nemnegatív függvények, és mindegyik csak a... | c) Vezessük be a következő jelöléseket, ahol v ∈ :
C[n]
_m(v) = ⟨v, M_ **v⟩**
_c(v) = ⟨v, Cv⟩_
_k(v) = ⟨v, Kv⟩._
(A skalárszorzat komplex értelemben értendő és a második változóban lineáris, tehát
**v = (v1, . . ., vn) és w = (w1, . . ., wn) esetén ⟨v, w⟩** = v1w1 + · · · + vnwn.) Ekkor m, c, k
nemnegatív függvények,... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:59.1pt;left:82.1pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">c) Vezessük be a következő jelöléseket, ahol</span><b><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;co... | page_311.png | e) Vezcssük be a következő jelöléseket, ahol v € C":
m(v) — (v.Mv)
elv) — (v.Cv)
kív) — (v.Kv).
W (..s.,ts) és W3 (.. ,194) esetén (v, w) — n -- 4-Ttey.) Ekkor m.e, k
Ha 3 € C olyan, hogy det(K 4. XC 4 X2M) — 0. akkor létezik olyan v 24 0, amire
(K X3C 4 XÉMJv — 0. következésképp
0 (v.(K 4 XC 4XE MJV) — kív) 4 Xelv) ... | |
Matematika A3 gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok, 2016/17 ősz 12. feladatsor: Lineáris állandó együtthatós egyenletrendszerek (megoldás) 1. Mi a Jordan-felbontása az A = −9
−7 mátrixnak? Megoldás. det(A −λI) = λ2 + 2λ + 1 gyöke λ = −1 (kétszeres). # " x −9
−6 " # x1 x2 összes megoldása x1 = 2, x2 = −3 több... | # Matematika A3 gyakorlat
Energetika és Mechatronika BSc szakok, 2016/17 ősz
# 12. feladatsor: Lineáris állandó együtthatós egyenletrendszerek (megoldás)
1. Mi a Jordan-felbontása az
_A =_
� 5 4 �
_−9_ _−7_
mátrixnak?
_Megoldás. det(A −_ _λI) = λ[2]_ + 2λ + 1 gyöke λ = −1 (kétszeres).
� 6 4 ��x1� = �0�
_−9_ _−6... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:54.9pt;left:56.7pt;line-height:17.2pt"><b><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:17.2pt;color:#000000">Matematika A3 gyakorlat</span></b></p>
<p style="top:73.5pt;left:56.7pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font... | page_312.png | Matematika A3 gyakorlat
Energetika és Mechatzonika BSc szakok, 2016/17 ősz
12. feladatsor: Lineáris állandó együtthatós
egyenletrendszerek (megoldás)
1. Mi a Jordan-felbontása az
mátrixnak?
.Megoldás. det( A
B E
összes megoldása 21.
ERI
egy megoldása 21
9 -
AX BA1
6
9
6
9
ahol
Adjuk meg az
a-[2
[2
mátrix... | |
5. Oldjuk meg az y′ 1 y′ 1 = −2y1 + y2 y′ 2 = −2y2 + y3 y′ 2 = −2y2 + y3 y′ 3 = −2y3 y′ 3 = −2y3 differenciálegyenlet-rendszert y1(0) = 0, y2(0) = 0, y3(0) = 1 kezdeti feltétel mellett.
Megoldás. Az egyenlet y′ = Ay alakú, ahol y = (y1, y2, y3) és −2 1
0 0
−2 1
0 0
−2 A = , 2 ami éppen egy 3 × 3 méretű Jordan-b... | 5. Oldjuk meg az
_y1[′]_ [=][ −][2][y][1] [+][ y][2]
_y2[′]_ [=][ −][2][y][2] [+][ y][3]
_y3[′]_ [=][ −][2][y][3]
differenciálegyenlet-rendszert y1(0) = 0, y2(0) = 0, y3(0) = 1 kezdeti feltétel mellett.
_Megoldás. Az egyenlet y[′]_ = Ay alakú, ahol y = (y1, y2, y3) és
_A =_
−2 1 0
0 _−2_ 1 _,_
0 0 _−2_
... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:59.1pt;left:62.2pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">5. Oldjuk meg az</span></p>
<p style="top:81.2pt;left:106.4pt;line-height:12.0pt"><i><span style="font-family:LMMathItalic12,serif;font-size... | page_314.png | 5. Oldjuk meg az
W$ tn
2n t
29
95(0) — 1 kezdeti feltétel mellett
Gn.y2,n) és
dszert y1(0) — 0. yz(0)
t y/ — Ay alakú, ahol y
differenciálegyer
"Megoldás. Az egyen
blokk, tehát e" közvetlenül felírható:
v - ey0-
"További gyakorló feladatok
3 2
Dr
4 2
l 2 1 A
le normálalakját.
mátrix Jordat
. Megoldás. det( A... | |
8. Oldjuk meg az y′ = y −1 3 differenciálegyenlet-rendszert y(0) = (3, 2) kezdeti feltétel mellett.
Megoldás. Legyen A az együtthatómátrix, a sajátértékek det(A−λI) = λ2−4λ+4 = (λ−2)2 gyökei, tehát a 2 kétszeres multiplicitással. A sajátvektorok a " −1
−1 # " x1 x2 egyenletrendszer nemtriviális megoldásai, ezek mind (1,... | 8. Oldjuk meg az
**y[′]** =
� 1 1�
**y**
_−1_ 3
differenciálegyenlet-rendszert y(0) = (3, 2) kezdeti feltétel mellett.
_Megoldás. Legyen A az együtthatómátrix, a sajátértékek det(A−λI) = λ[2]−4λ+4 = (λ−2)[2]_
gyökei, tehát a 2 kétszeres multiplicitással. A sajátvektorok a
�−1 1��x1� = �0�
_−1_ 1 _x2_ 0
egyen... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:59.1pt;left:62.2pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">8. Oldjuk meg az</span></p>
<p style="top:88.3pt;left:106.4pt;line-height:12.0pt"><b><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0... | page_316.png | 8. Oldjuk meg az
ala a)
V3
differenciálegyer
dszert y(0) — (3,2) kezdeti feltétel mellett
ek det(A-—A1!
a 2 kétszeres multiplicítással. A sajátvektorok a
E TÉLŰ
egyenletrendszer nemtriviális megoldásai, ezek mind (1,1) többszörösei, tehát a e
multiplicitás 1. Legyen (1.1) az egyik bázisvektor, ennek egy őse az A — ... | |
10. Oldjuk meg az 5
−3 4
6
−3 3
−1 1
−2 y′ = y differenciálegyenlet-rendszert y(0) = (1, 1, −1) kezdeti feltétel mellett. Megoldás. Legyen A az együtthatómátrix, a sajárértékek det(A −λI) = −λ3 gyökei, tehát a 0 háromszoros gyök. A hozzá tartozó sajátvektorok (1, 3, 1) többszörösei (a geometriai multiplicit... | 10. Oldjuk meg az
**y[′]** =
5 _−3_ 4
6 _−3_ 3 **y**
_−1_ 1 _−2_
differenciálegyenlet-rendszert y(0) = (1, 1, −1) kezdeti feltétel mellett.
_Megoldás. Legyen A az együtthatómátrix, a sajárértékek det(A −_ _λI) = −λ[3]_ gyökei, tehát
a 0 háromszoros gyök. A hozzá tartozó sajátvektorok (1, 3, 1) többszö... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:59.1pt;left:56.4pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">10. Oldjuk meg az</span></p>
<p style="top:99.0pt;left:106.4pt;line-height:12.0pt"><b><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.... | page_317.png | 10. Oldjuk meg az
differenciálegyer dszert y(0) — (1.1,—1) kezdeti feltétel mellett
.Megoldás. Legyen A az együttható
a0
multiplicitás 1). tehát egy 3 x 3 Jordan-blokk van. Válasszuk az első bázisvektornak e
vektort, a második legyen ennek egy őse (az A—0/ — A leképezés szerint), például (2.3.0).
az utolsó ped egy ő... | |
akkor teljesül, ha λx = y és λy = −Ω2x, tehát −λ2y = Ω2y. Ez azt jelenti, hogy y (és x is) Ω2 sajátvektora −λ2 sajátértékkel. Ha választunk egy bázist Ωsajátvektoraiból, akkor így képezhetünk A sajátvektoraiból álló bázist is, amivel az általános megoldás a szokásos módon felírható. Legyenek Ωlineárisan független saját... | akkor teljesül, ha λx = y és λy = −Ω[2]x, tehát −λ[2]y = Ω[2]y. Ez azt jelenti, hogy y (és x
is) Ω[2] sajátvektora −λ[2] sajátértékkel. Ha választunk egy bázist Ωsajátvektoraiból, akkor
így képezhetünk A sajátvektoraiból álló bázist is, amivel az általános megoldás a szokásos módon felírható. Legyenek Ωlineárisan függe... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:59.1pt;left:77.2pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">akkor teljesül, ha</span><i><span style="font-family:LMMathItalic12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000"> λ</span></i><b><span s... | page_318.png | akkor teljesül, ha Xx Ax, tehát —x?y — fily. Ez azt jelenti, hogy y (és x
ís) ( sajátvoktora kl. Ha választunk egy bázist ) sajátvektoraiból, akkor
yíz) - (G cosleuzjv, 4 D, sin(ezhv,).
us legyen), az általános megoldás y(x) — cos(Ujyossin(20-ty.
definít vagy s
Persze ennek ki
12. s Legyenek M. C. K nc n-es mátrix... | |
tehát y 7→p(y) az új ismeretlen függvény. Ekkor y′′(x) = p′(y(x))y′(x) = p′(y(x))p(y(x)),
így behelyettesítés után a pp′ = f(y, p) q elsőrendű differenciálegyenlethez jutunk. Ennek megoldása után az y′ = p(y) szétválasztható differenciálegyenletet kell megoldani.
Speciális eset: ha f csak az első változótól függ, akkor e... | tehát y �→ _p(y) az új ismeretlen függvény. Ekkor y[′′](x) = p[′](y(x))y[′](x) = p[′](y(x))p(y(x)),_
így behelyettesítés után a
_pp[′]_ = f (y, p)
elsőrendű differenciálegyenlethez jutunk. Ennek megoldása után az y[′] = p(y) szétválasztható differenciálegyenletet kell megoldani.
Speciális eset: ha f csak az első vált... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:59.1pt;left:77.2pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">tehát</span><i><span style="font-family:LMMathItalic12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000"> y</span></i><i><span style="font-family:L... | page_319.png | át y - píy) az új ismeretlen függyés
így behelyettesítés után a
Ekkor y"(z) — plylzhjye) — plylelhplyle).
G.p)
elsőrendű differenciálegyenlet!
[
2 futuak. Ennek megoldása után az 4 — ply) szétválaszt.
ható dífferenciálegyenletet kell megoldati.
Speciális eset: ha / csak az első változótól függ, akkor egy —U priai... | |
Matematika A3 gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok, 2016/17 ősz 13. feladatsor: Stabilitásvizsgálat, speciális egyenlettípusok 1. Instabilis vagy stabilis az y′ 1 y′ 1 = y1 + 3y2 + 2y3 y′ 2 = −y2 −2y3 y′ 2 = −y2 −2y3 y′ 3 = 2y1 + 3y2 y′ 3 = 2y1 + 3y2 −y3 differenciálegyenlet-rendszer? Igaz-e, hogy aszimptotik... | # Matematika A3 gyakorlat
Energetika és Mechatronika BSc szakok, 2016/17 ősz
# 13. feladatsor: Stabilitásvizsgálat, speciális egyenlettípusok
1. Instabilis vagy stabilis az
_y1[′]_ [=][ y][1] [+ 3][y][2] [+ 2][y][3]
_y2[′]_ [=][ −][y][2] _[−]_ [2][y][3]
_y3[′]_ [= 2][y][1] [+ 3][y][2] _[−]_ _[y][3]_
differenciálegye... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:54.9pt;left:56.7pt;line-height:17.2pt"><b><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:17.2pt;color:#000000">Matematika A3 gyakorlat</span></b></p>
<p style="top:73.5pt;left:56.7pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font... | page_320.png | Matematika A3 gyakorlat
Energetika és Mechatzonika BSc szakok, 2016/17 ősz
13. feladatsor: Stabilitásvizsgálat, speciális
egyenlettípusok
1. Tnstabilis vagy stabilis az
DEPEZTEZTI
W—W— 2
W 2n 43 — 5
dilferenciálegyet
2. Stabilis-e az y/
dszer? Igaz-e, hogy aszímptotikusan stabilis?
A.
k7
EEB]
díferenciálegyenlet... | |
b) A stacionárius pontok f(y1, y2) = (y2 1 y2 1 + y2 −y1y2 −2, −y2 1 há A stacionárius pontok f(y1, y2) = (y2 1 + y2 −y1y2 −2, −y2 1 −2y2 + y1y2 + 4) = (0, 0)
megoldásai. A két egyenlet összege 2 −y2 = 0, tehát y2 = 2 és y1 = 0 vagy y1 = 2. A D(y1,y2)f lineáris leképezés mátrixa D(y1,y2) = " # , 2y1 −y2 1 −y1
−2y1 + y2... | b) A stacionárius pontok f (y1, y2) = (y1[2] [+][ y][2] _[−]_ _[y][1][y][2]_ _[−]_ [2][,][ −][y]1[2] _[−]_ [2][y][2] [+][ y][1][y][2] [+ 4) = (0][,][ 0)]
megoldásai. A két egyenlet összege 2 − _y2 = 0, tehát y2 = 2 és y1 = 0 vagy y1 = 2. A_
_D(y1,y2)f lineáris leképezés mátrixa_
_D(y1,y2) =_
� 2y1 − _y2_ 1 − _y1_
_... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:59.1pt;left:80.8pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">b) A stacionárius pontok</span><b><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000"> f</span></b><span style="fo... | page_321.png | 1) A stacionárius pontok F( 2)
( 42 — nya — 2,—yl — 22 4 Inya 4
0. tehát ya — 2 és
megoldásai. A két egyenlet összege 2 — 4
Diy s lineáris leképezés mátrixa
Díya) —
amibe a stacionárius pontokat helyettesítve a.
mátrixok adódnak. Ezek karakterisztikus polinomjai ? 443 4.2 és 32 — 23— 2, tehát
e) 0 — sinyi - sinye ... | |
Matematika A3 gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok, 2016/17 ősz 13. feladatsor: Stabilitásvizsgálat, speciális egyenlettípusok (megoldás) 1. Instabilis vagy stabilis az y′ 1 y′ 1 = y1 + 3y2 + 2y3 y′ 2 = −y2 −2y3 y′ 2 = −y2 −2y3 y′ 3 = 2y1 + 3y2 y′ 3 = 2y1 + 3y2 −y3 differenciálegyenlet-rendszer? Igaz-e, hogy ... | # Matematika A3 gyakorlat
Energetika és Mechatronika BSc szakok, 2016/17 ősz
# 13. feladatsor: Stabilitásvizsgálat, speciális egyenlettípusok (megoldás)
1. Instabilis vagy stabilis az
_y1[′]_ [=][ y][1] [+ 3][y][2] [+ 2][y][3]
_y2[′]_ [=][ −][y][2] _[−]_ [2][y][3]
_y3[′]_ [= 2][y][1] [+ 3][y][2] _[−]_ _[y][3]_
diffe... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:54.9pt;left:56.7pt;line-height:17.2pt"><b><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:17.2pt;color:#000000">Matematika A3 gyakorlat</span></b></p>
<p style="top:73.5pt;left:56.7pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font... | page_322.png | Matematika A3 gyakorlat
Energetika és Mechatzonika BSc szakok, 2016/17 ősz
13. feladatsor: Stabilitásvizsgálat, speciális
egyenlettípusok (megoldás)
1. Tnstabilis vagy stabilis az
HETEETETT]
W—W— 2
2n t 3s
dilferenciálegyet dszer? Igaz-e, hogy aszímptotikusan stabilis?
. Megoldás. y — (y1.y2,11) jelöléssel az egy... | |
egyenletrendszert kapjuk, a jobb oldal akkor 0, ha y2 = 0 és −sin(y1) = 0, azaz y1 = kπ valamilyen k ∈Z-re. A deriváltmátrix " # , 0 1
−cos(y1)
−2α √ q ennek sajátértékei −α ± α2 −cos(y1). Ha y1 = 2kπ, akkor ez −α ± √ α2 + 1, vagyis az egyensúlyi helyzet bármilyen α2 −1, tehát α > 0 esetén aszimptotikusan stabilis, α =... | egyenletrendszert kapjuk, a jobb oldal akkor 0, ha y2 = 0 és − sin(y1) = 0, azaz y1 = kπ
valamilyen k ∈ -re. A deriváltmátrix
Z
� 0 1
_−_ cos(y1) _−2α_
�
_,_
_√_
�
ennek sajátértékei −α ± _α[2]_ _−_ cos(y1). Ha y1 = 2kπ, akkor ez −α ± _α[2]_ _−_ 1, tehát α > 0
esetén aszimptotikusan stabilis, α = 0 esetén a sta... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:59.1pt;left:77.2pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">egyenletrendszert kapjuk, a jobb oldal akkor</span><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000"> 0</span><span s... | page_323.png | egyenletrendszert kapjuk, a jobb oldal akkor 0, ha 9.
valamilyen k € Z-re. A deríváltmátrix
sajátértékei —a £ 3? — cos(yi). Ha y,
és — sin(y) — 0, azaz yi — kr
2er, akkor ez a £ Va?—1, tehát a — 0
a mellett instabilis.
5. Bernoulli-féle differenciálogyenletnek nevezzük az
A(V 4 Aolojy — B"
alakú egyenleteket, aho... | |
az általános megoldás u(x) = Ae−2x + Be3x. Innen kétféleképp is folytathatjuk: az eredeti egyenlethez tartozó homogén egyenlet általános megoldását felírva az állandók variálásának módszerével, vagy pedig először az u-ra teljesülő inhomogén egyenletet oldjuk meg, majd ebből helyettesítéssel kapjuk az eredeti egyenlet m... | az általános megoldás u(x) = Ae[−][2][x] + Be[3][x]. Innen kétféleképp is folytathatjuk: az
eredeti egyenlethez tartozó homogén egyenlet általános megoldását felírva az állandók
variálásának módszerével, vagy pedig először az u-ra teljesülő inhomogén egyenletet
oldjuk meg, majd ebből helyettesítéssel kapjuk az eredeti ... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:59.1pt;left:97.7pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">az általános megoldás</span><i><span style="font-family:LMMathItalic12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000"> u</span></i><sp... | page_325.png | az általános megoldás ulz) — Ae-?" 4. Bet, Innen kétféleképp is folytathatjuk: az
oldjuk meg, majd ebből helyettesítéssel kapjuk az eredeti egyenlet megoldását. Most
aíg) — aía) — 6ula) — 5"
megoldása x 4. Ae""" 4 BEÉT, tehát az eredeti egyenlet általános megoldása.
egyenletek megoldásánál érdemes y/(z) — ply(z)) hel... | |
A homogén egyenlet általános megoldása Cy, az állandók variálásának módszere alapján az inhomogén egyenleté c(y)y, ahol c′(y) =
1 y√ln y, tehát c(y) = 2√ln y + C,
p(y) = 2y√ln y + Cy. A kezdeti feltétel alapján 2e = y′(0) = p(y(0)) = p(e), q emiatt C = 0.
Végül meg kell oldani az y′(x) = 2y√ln y differenciálegyenletet y... | A homogén egyenlet általános megoldása Cy, az állandók variálásának módszere alapján az inhomogén egyenleté c(y)y, ahol c[′](y) = 1
_y[√]ln y_ [, tehát][ c][(][y][) = 2][√][ln][ y][ +][ C][,]
_p(y) = 2y[√]ln y + Cy. A kezdeti feltétel alapján_
2e = y[′](0) = p(y(0)) = p(e),
emiatt C = 0.
Végül meg kell oldani az y[′... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:59.1pt;left:97.7pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">A homogén egyenlet általános megoldása</span><i><span style="font-family:LMMathItalic12,serif;font-size:12.0pt;color:#00... | page_326.png | Píu) — 2/ 4 Cy. A kezdeti feltétel alapján
1(0) — plul0)) — ple),
emiatt C.
Végül me
kell oldani az y(2) — 2yy/Iry differenciálegyenletet y(0) —
vr e
e) Ebben az egyenletben nem szerepel 4 Ufg) — 3lr jelöléssel y" — —U"(y), amiből
W — ply) — V2(E — Uty). A szétválasztható egyenletet átrendezzük (y — 0 eset
egyenlet ... | |
Megoldás. Az egyenletrendszer lineáris, y′ = Ay alakú, ahol y = (y1, y2, y3, y4) és −1 0
1 1
−2 1
0
−2 0
−1 1
2
−2 1
0
−1 2 . A = A karakterisztikus egyenlet 0 = det(A −λI) = λ4 + 2λ2 + 1 = (1 + λ2)2, tehát λ = ±i a két gyök, mindkettő kétszeres. Az i-hez tartozó sajátvektorokat a −1 −i 0
... | _Megoldás. Az egyenletrendszer lineáris, y[′]_ = Ay alakú, ahol y = (y1, y2, y3, y4) és
_A =_
−1 0 1 1
_−2_ 1 0 _−2_
_._
0 _−1_ 1 2
_−2_ 1 0 _−1_
A karakterisztikus egyenlet 0 = det(A − _λI) = λ[4]_ + 2λ[2] + 1 = (1 + λ[2])[2], tehát λ = ±i a
két gyök, mindkettő kétszeres. Az i-hez tartozó saját... | <div id="page0" style="width:595.3pt;height:841.9pt">
<p style="top:59.1pt;left:77.2pt;line-height:12.0pt"><i><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">Megoldás.</span></i><span style="font-family:LMRoman12,serif;font-size:12.0pt;color:#000000"> Az egyenletrendszer lineáris,</sp... | page_327.png | .Megoldás. Az egyen Ay alakú, ahol y — (y1.92.95-94) és
A karakterisztikus egyenlet 0 — det(A — A)
két gyök, mindket
944222 41 (14- 2J, tehát ) — ti a
ő kétszeres. Az i-hez tartozó sajátvektorokat a
1-i 0 1 1 ] [rr
2 1-i 0 22
0 - 1-i 2 [
-2 1 0 -1 ll
egyenletrendszer megoldásai adják, ezek (0,—1 — 1. 1,—1) többszö... | |
A műnek erre a változatára a Nevezd meg! – Így add tovább! 3.0 licenc feltételei1 érvényesek. A következőket teheted a művel: szabadon másolhatod, terjesztheted, bemutathatod és előadhatod a művet származékos műveket (feldolgozásokat) hozhatsz létre kereskedelmi célra is felhasználhatod a művet Az alábbi feltételekk... | A műnek erre a változatára a Nevezd meg! – Így add tovább! 3.0 licenc feltételei[1] érvényesek.
#### A következőket teheted a művel:
szabadon másolhatod, terjesztheted, bemutathatod és előadhatod a művet
származékos műveket (feldolgozásokat) hozhatsz létre
kereskedelmi célra is felhasználhatod a művet
#### A... | <div id="page0" style="width:595.0pt;height:842.0pt">
<p style="top:136.4pt;left:85.2pt;line-height:11.0pt"><span style="font-family:MagyarLinLibertine,serif;font-size:11.0pt;color:#000000">A műnek erre a változatára a </span><i><span style="font-family:MagyarLinLibertineI,serif;font-size:11.0pt;color:#... | page_330.png | a Nevezd meg! - Így add továbbt 3.0 icenc feltételet érvénye.
A következőket teheted a művel:
1 szabadon másolhatod, terjesztheted, bemutathatod és előadhatod a művet
a . származékos műveket (feldolgozásokat) hozhatsz létre.
M kereskedelmi célra is felhasználhatod a művet
Az alábbi feltételekkel:
M Nevezd meg! - A ... | |
36. oldal 2. A Drupal felhasználói szemmel 2.1. Mi a Drupal? Néhány alapfogalmat érdemes tisztázni a Drupallal kapcsolatban is. 2.1.1. A Drupal felépítése Drupal oldalunk építésekor a CMS motor központi mag része (core) és a kiegészítők (contributions) között különbséget kell tennünk. Drupal Motor A Drupal alapfunkcion... | ##### 36. oldal 2. A Drupal felhasználói szemmel
## 2.1. Mi a Drupal?
Néhány alapfogalmat érdemes tisztázni a Drupallal kapcsolatban is.
### 2.1.1. A Drupal felépítése
Drupal oldalunk építésekor a CMS motor központi mag része (core) és a kiegészítők (cont_ributions) között különbséget kell tennünk._
#### Drupal Mo... | <div id="page0" style="width:595.0pt;height:842.0pt">
<p style="top:114.6pt;left:85.2pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:MagyarLinLibertine,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">36. oldal</span></p>
<p style="top:114.6pt;left:322.1pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:MagyarLinuxLibertineO,serif;f... | page_331.png | 36. oldal 2. A Drupal felhasználói szemmel
1.Mia Drueal?
Néhány alapfogalmat érdemes tisztázni a Drupallal kapcsolatban ís.
2.1.1. A Drupal felépítése
Drupal oldalunk építésekor a CMS motor központi mag része (core) és a kiegészítők (cont-
vibutions) között különbséget kell tennünk.
Drupal Motor
A Drupal alapfunk... | |
2.2. A felhasználó azonosítása 37. oldal 2.2. A felhasználó azonosítása A felhasználó (látogató, 1.5. ábra) )azonosítása azért szükséges, hogy a Drupal el tudja
dönteni: mihez van joga a látogatónak. 2.2.1. Regisztráció A Drupal oldalakon a tartalmak beküldése (létrehozása), szerkesztése általában csak regisztrált, é... | ##### 2.2. A felhasználó azonosítása 37. oldal
## 2.2. A felhasználó azonosítása
A felhasználó (látogató, 1.5. ábra) )azonosítása azért szükséges, hogy a Drupal el tudja
dönteni: mihez van joga a látogatónak.
### 2.2.1. Regisztráció
A Drupal oldalakon a tartalmak beküldése (létrehozása), szerkesztése általában csak... | <div id="page0" style="width:595.0pt;height:842.0pt">
<p style="top:114.6pt;left:113.6pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:MagyarLinLibertine,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">2.2. A felhasználó azonosítása</span></p>
<p style="top:114.6pt;left:470.6pt;line-height:12.0pt"><span style=... | page_332.png | 2.2. A felhasználó azonosítása 37. oldal
2.2. A felhasználó azonosítása
sa azért szükséges, hogy a Drupal el tudja
A Drupal oldalakon a tartalmak beküldése (létrehozása), szerkesztése általában csak re-
és bejelentkezett látogatók számára (vagy azok közül is csak némely szűkebb cso-
port számára) engedélyezett. (Sp... | |
38. oldal 2. A Drupal felhasználói szemmel A linkre kattintva megjelenik a Felhasználói fiók oldal (2.2. ábra), ahol a kívánt Felhasználónév és az E-mail cím megadása szükséges. Ezen kívül további adatok megadására is lehet
szükség, illetve lehetőség, az adminisztrátor által meghatározott módon. Sajnos egyre
gyakrabb... | ##### 38. oldal 2. A Drupal felhasználói szemmel
A linkre kattintva megjelenik a Felhasználói fiók oldal (2.2. ábra), ahol a kívánt Felhaszná_lónév és az E-mail cím megadása szükséges. Ezen kívül további adatok megadására is lehet_
szükség, illetve lehetőség, az adminisztrátor által meghatározott módon. Sajnos egyre
g... | <div id="page0" style="width:595.0pt;height:842.0pt">
<p style="top:114.6pt;left:85.2pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:MagyarLinLibertine,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">38. oldal</span></p>
<p style="top:114.6pt;left:322.1pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:MagyarLinuxLibertineO,serif;f... | page_333.png | 38. oldal 2. A Drupal felhasználói szememel
A linkre kattintva megjelenik a Felkasználói fiók oldal (2:2. ábra), ahol a kívánt Felhaszná-
Tőnév és az E-mail cím megadása szükséges. Ezen kívül további adatok megadására is lehet
szükség, illetve lehetőség, az adminisztrátor által meghatározott módon. Sajnos egyre.
agyak... | |
42. oldal 2. A Drupal felhasználói szemmel Az adminisztrátor regisztrál Előfordulhat, hogy az adminisztrátor maga hoz létre a felhasználók számára felhasználói
azonosítót. Ebben az esetben a Drupal (vagy az adminisztrátor) egy e-mailben értesíti
(2.12. ábra) a leendő felhasználót a regisztráció megtörténtéről. Ennek ... | ##### 42. oldal 2. A Drupal felhasználói szemmel
_2.11. ábra. Jelszó első megadása_
#### Az adminisztrátor regisztrál
Előfordulhat, hogy az adminisztrátor maga hoz létre a felhasználók számára felhasználói
azonosítót. Ebben az esetben a Drupal (vagy az adminisztrátor) egy e-mailben értesíti
(2.12. ábra) a leendő fel... | <div id="page0" style="width:595.0pt;height:842.0pt">
<p style="top:114.6pt;left:85.2pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:MagyarLinLibertine,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">42. oldal</span></p>
<p style="top:114.6pt;left:322.1pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:MagyarLinuxLibertineO,serif;f... | page_337.png | 2. oldal 2. A Drupal felhasználói szememel
"Teszt Elek2
D—
.211. ábra. Jelszó első megadása
Az adminisztrátor regisztrál
Előfordulhat, hogy az adminisztrátor maga hoz létre a felhasználók számára felhasználói
azonosítót, Ebben az esetben a Drupal (vagy az adminisztrátor) egy e-mallben értesi
212. ábra) a leendő fe... | |
2.2. A felhasználó azonosítása 43. oldal különböző oldalakra”. Természetesen a Drupal alkalmas az OpenID bejelentkezések kezelésére. A 2.13. ábrán látható módon látszik, ha ez a szolgáltatás elérhető a weboldalon. 2.2.2. Be- és kijelentkezés Addig, amíg az oldalra be nem jelentkezünk a felhasználónév és jelszó megadásá... | ##### 2.2. A felhasználó azonosítása 43. oldal
_különböző oldalakra”. Természetesen a Drupal alkalmas az OpenID bejelentkezések kezelé-_
sére. A 2.13. ábrán látható módon látszik, ha ez a szolgáltatás elérhető a weboldalon.
_2.13. ábra. OpenID_
### 2.2.2. Be- és kijelentkezés
Addig, amíg az oldalra be nem jelentkez... | <div id="page0" style="width:595.0pt;height:842.0pt">
<p style="top:114.6pt;left:113.6pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:MagyarLinLibertine,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">2.2. A felhasználó azonosítása</span></p>
<p style="top:114.6pt;left:470.6pt;line-height:12.0pt"><span style=... | page_338.png | 2.2. A felhasználó azonosítása 43. oldal
különböző oldalakra". Természetesen a Drupal alkalmas az OpenlD bejelentkezések kezelé-
sére. A 2.13. ábrán látható módon látszik, ha ez a szolgáltatás elérhető a weboldalon.
213. ábra. OpenlD
Be- és kijelentkezés
Addig, amig az oldalra be nem jelentkezünk a felhasználónév é... | |
44. oldal 2. A Drupal felhasználói szemmel A Kilépés menüpontra kattintva ismét névtelen felhasználóvá válunk a Drupal alapú oldal
számára. A böngészőnk (beállításaitól függően) felajánlhatja, hogy a begépelt adatokat megjegyzi.
Ezt csak akkor fogadjuk el, ha a számítógéphez fizikailag más nem tud hozzáférni. Például... | ##### 44. oldal 2. A Drupal felhasználói szemmel
A Kilépés menüpontra kattintva ismét névtelen felhasználóvá válunk a Drupal alapú oldal
számára.
A böngészőnk (beállításaitól függően) felajánlhatja, hogy a begépelt adatokat megjegyzi.
Ezt csak akkor fogadjuk el, ha a számítógéphez fizikailag más nem tud hozzáférni. P... | <div id="page0" style="width:595.0pt;height:842.0pt">
<p style="top:114.6pt;left:85.2pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:MagyarLinLibertine,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">44. oldal</span></p>
<p style="top:114.6pt;left:322.1pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:MagyarLinuxLibertineO,serif;f... | page_339.png | 4. oldal 2. A Drupal felhasználói szemenel
A Kilépés menüpontra kattintva ismét névtelen felhasználóvá válunk a Drupal alapú oldal
A böngészőnk (beállításaitól függően) felajánlhatja, hogy a begépelt adatokat megjegyzi.
Ezt csak akkor fogadjuk el, ha a számítógéphez fizikailag más nem tud hozzáférni. Például
internet... | |
2.2. A felhasználó azonosítása 45. oldal A jelszó kiválasztásánál érdemes az erősségre is figyelni. Ötleteket is kaphatunk a komplexitás növelésére. Az adminisztrátor beállításaitól függ, hogy pontosan ezen kívül mit tudunk az oldalon beállítani. A következők szoktak előfordulni (2.17. ábra): Ha engedélyezve van, megv... | ##### 2.2. A felhasználó azonosítása 45. oldal
_2.16. ábra. Saját adatok szerkesztése_
A jelszó kiválasztásánál érdemes az erősségre is figyelni. Ötleteket is kaphatunk a komplexitás növelésére.
Az adminisztrátor beállításaitól függ, hogy pontosan ezen kívül mit tudunk az oldalon beállítani. A következők szoktak elő... | <div id="page0" style="width:595.0pt;height:842.0pt">
<p style="top:114.6pt;left:113.6pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:MagyarLinLibertine,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">2.2. A felhasználó azonosítása</span></p>
<p style="top:114.6pt;left:470.6pt;line-height:12.0pt"><span style=... | page_340.png | 2.2. A felhasználó azonosítása 45. oldal
216. ábra. Saját adatok szerkesztése
A jelszó kiválasztásánál érdemes az erősségre is figyelni. Ötleteket is kaphatunk a komple-
xitás növelésére.
.Az adminisztrátor beállításaitól függ, hogy pontosan ezen kívül mit tudunk az oldalon be-
állítani. A következők szoktak előford... | |
2.2. A felhasználó azonosítása 47. oldal Új jelszó igénylése Egyszerűbb esetben a 2.1. ábrán látható módon elérhetjük ezt a funkciót. Ha esetleg ez a
belépés blokk nem látszik az oldalon, az user útvonallal is próbálkozhatunk: a böngésző
cím sorába írjuk be a domain név után az user útvonalat. (A szerző honlapján pl... | ##### 2.2. A felhasználó azonosítása 47. oldal
#### Új jelszó igénylése
Egyszerűbb esetben a 2.1. ábrán látható módon elérhetjük ezt a funkciót. Ha esetleg ez a
belépés blokk nem látszik az oldalon, az user útvonallal is próbálkozhatunk: a böngésző
cím sorába írjuk be a domain név után az user útvonalat. (A szerző ho... | <div id="page0" style="width:595.0pt;height:842.0pt">
<p style="top:114.6pt;left:113.6pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:MagyarLinLibertine,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">2.2. A felhasználó azonosítása</span></p>
<p style="top:114.6pt;left:470.6pt;line-height:12.0pt"><span style=... | page_342.png | 2.2. A felhasználó azonosítása 47. oldal
ÚJ jelszó igénylése
Egyszerűbb esetben a 2.. ábrán látható módon elérhetjük ezt a funkciót. Ha esetleg ez a
belépés blokk nem látszik az oldalon, az user útvonallal is próbálkozhatunk: a bőngésző
cím sorába írjuk be a domain név után az user útvonalat, (A szerző honlapján pl.
... | |
48. oldal 2. A Drupal felhasználói szemmel 2.3. Tartalmak kezelése A Drupal tartalomkezelő rendszer fő célja, hogy a honlap tartalmait (oldalait) kezelje,
vagyis lehetővé tegye az oldalak létrehozását, módosítását, törlését, megtekintését. (Természetesen a szolgáltatásokat csak az adott feladat ellátására jogosult fel... | ##### 48. oldal 2. A Drupal felhasználói szemmel
_2.20. ábra. Az e-mailben kapott linkre kattintva_
## 2.3. Tartalmak kezelése
A Drupal tartalomkezelő rendszer fő célja, hogy a honlap tartalmait (oldalait) kezelje,
vagyis lehetővé tegye az oldalak létrehozását, módosítását, törlését, megtekintését. (Természetesen a ... | <div id="page0" style="width:595.0pt;height:842.0pt">
<p style="top:114.6pt;left:85.2pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:MagyarLinLibertine,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">48. oldal</span></p>
<p style="top:114.6pt;left:322.1pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:MagyarLinuxLibertineO,serif;f... | page_343.png | $8.oldal 2. A Drupal felhasználói szemmel
Jelszó átállítása
legyegyszetbaszzálbató belépés mód Nagy Gasztás részére, és 2091 9907. 11 időpoztban kefog
Azalábbs orebrskarztsalebet a metbelre bejlsntkezni és a jeszót megyáltoztati
a belépési mód csak egyzethasználbató.
erentezés
220. ábra. Az e-mailben kapott lnkre ... | |
2.3. Tartalmak kezelése 51. oldal Ha üresen hagyjuk, akkor a törzs egy szeletét (kb. 600 karakter) fogja Összegzésnek tekinteni. Szövegformátum A Törzs mező alatt (2.23. ábra) pontos információkat kaphatunk arra nézve, hogy a megadott szöveget hogyan kezelje a Drupal. Az alapértelmezett beállítások a 2.24. ábrán láthat... | ##### 2.3. Tartalmak kezelése 51. oldal
_2.24. ábra. Összegzés szerkesztése_
Ha üresen hagyjuk, akkor a törzs egy szeletét (kb. 600 karakter) fogja Összegzésnek tekinteni.
#### Szövegformátum
A Törzs mező alatt (2.23. ábra) pontos információkat kaphatunk arra nézve, hogy a megadott szöveget hogyan kezelje a Drupal.... | <div id="page0" style="width:595.0pt;height:842.0pt">
<p style="top:114.6pt;left:113.6pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:MagyarLinLibertine,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">2.3. Tartalmak kezelése</span></p>
<p style="top:114.6pt;left:470.6pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:MagyarLin... | page_346.png | 51. oldal
— Egyszerű oldal beküldése
ter
224. ábra Összegzés szerkesztése
Ha üresen hagyjuk, akkor a törzs egy szeletét (b. 600 karakter) fogja Ősszegzésnek tekin-
Szövegformátum
A Törzs mező alatt (2.23. ábra) pontos információkat kaphatunk arra nézve, hogy a meg-
adott szöveget hogyan kezelje a Drupal. Az alapér... | |
52. oldal 2. A Drupal felhasználói szemmel Előfordulhat, hogy a 2.24. ábra Szövegformátum választólistája nem jelenik meg, mivel a felhasználónak csak
egyféle szövegformátum használatához van jogosultsága. A lehetőségek listája azonban ekkor is látszik. Mindenképpen figyelembe kell azonban venni, hogy a weboldalak szö... | ##### 52. oldal 2. A Drupal felhasználói szemmel
Előfordulhat, hogy a 2.24. ábra Szövegformátum választólistája nem jelenik meg, mivel a felhasználónak csak
egyféle szövegformátum használatához van jogosultsága. A lehetőségek listája azonban ekkor is látszik.
Mindenképpen figyelembe kell azonban venni, hogy a webolda... | <div id="page0" style="width:595.0pt;height:842.0pt">
<p style="top:114.6pt;left:85.2pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:MagyarLinLibertine,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">52. oldal</span></p>
<p style="top:114.6pt;left:322.1pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:MagyarLinuxLibertineO,serif;f... | page_347.png | 52. oldal 2. A Drupal felhasználói szemmel
Előfondulbat, hogy a 226. áben Szóvegformábn választálátája nem jelenők m; mével a felhasználónak csak
egytéle szövegfonmátum haszzálatához van jogosultsága. A lebetőségek tj azoaban ekkor 4 Ktszik
Mindenképpen figyelembe kell azonban venni, hogy a weboldalak szövegformázásán... | |
2.3. Tartalmak kezelése 53. oldal Vizuális szerkesztő Ha az oldal adminisztrátora engedélyezi, akkor lehetőségünk van ún. vizuális szerkesztők
(WYSIWYG editor) használatára is. A 2.27. ábrán látszik, hogy a tartalmak bevitele a vizuális szerkesztők segítségével hasonló módon oldható meg, mint ahogy azt a szövegszerkes... | ##### 2.3. Tartalmak kezelése 53. oldal
_2.26. ábra. A beküldött tartalom létrejött_
#### Vizuális szerkesztő
Ha az oldal adminisztrátora engedélyezi, akkor lehetőségünk van ún. vizuális szerkesztők
(WYSIWYG editor) használatára is. A 2.27. ábrán látszik, hogy a tartalmak bevitele a vizuális szerkesztők segítségével... | <div id="page0" style="width:595.0pt;height:842.0pt">
<p style="top:114.6pt;left:113.6pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:MagyarLinLibertine,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">2.3. Tartalmak kezelése</span></p>
<p style="top:114.6pt;left:470.6pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:MagyarLin... | page_348.png | 2.3. Tartalmak kezelése 53. oldal
9 oé
— "Magamról
Töbrenallrnedn e le a öl orzezoeó érhötlelő s m
Apszz Gyűlke A eee zzérsséozozatán
226. ábra. A beküldött tartalom létrejött
Vizuális szerkesztő
Ha az oldal adminisztrátora engedélyezi, akkor lehetőségünk van ún. vizuális szerkesztők
(WYSIWYG edítor) használatára ... | |
54. oldal 2. A Drupal felhasználói szemmel Érdemes azonban figyelembe venni, hogy egy weboldal – eltérően egy nyomtatásra szánt,
szövegszerkesztőben készített dokumentumtól, – akár minden látogató esetén máshogy fog
kinézni. Ezért érdemes csupán alapvető formázási tevékenységre szorítkozni. (Egy jól beállított webold... | ##### 54. oldal 2. A Drupal felhasználói szemmel
Érdemes azonban figyelembe venni, hogy egy weboldal – eltérően egy nyomtatásra szánt,
szövegszerkesztőben készített dokumentumtól, – akár minden látogató esetén máshogy fog
kinézni. Ezért érdemes csupán alapvető formázási tevékenységre szorítkozni. (Egy jól beállított w... | <div id="page0" style="width:595.0pt;height:842.0pt">
<p style="top:114.6pt;left:85.2pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:MagyarLinLibertine,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">54. oldal</span></p>
<p style="top:114.6pt;left:322.1pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:MagyarLinuxLibertineO,serif;f... | page_349.png | 54. oldal 2. A Drupal felhasználói szemmel
Érdemes azonban figyelembe venni, hogy egy webaldal - eltérően egy nyomtatásra szánt,
szövegszerkesztőben készített dokumentumtól, - akár minden látogató esetén máshogy fog.
kínézni. Ezért érdemes csupán alapvető formázási tevékenységre szorítkozni. (Egy jól beál
litott svebo... | |
56. oldal 2. A Drupal felhasználói szemmel Ezek természetesen nem csak információt hordoznak, hanem navigációs lehetőséget is adnak: a címke feliratára kattintva az ugyanezen címkével ellátott tartalmak listázhatóak. Egyes esetekben (tartalomtípustól és jogosultságoktól függően) a tartalom mellékleteként
csatolt állo... | ##### 56. oldal 2. A Drupal felhasználói szemmel
_2.31. ábra. Címkék megjelenése_
Ezek természetesen nem csak információt hordoznak, hanem navigációs lehetőséget is adnak: a címke feliratára kattintva az ugyanezen címkével ellátott tartalmak listázhatóak.
Egyes esetekben (tartalomtípustól és jogosultságoktól függően... | <div id="page0" style="width:595.0pt;height:842.0pt">
<p style="top:114.6pt;left:85.2pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:MagyarLinLibertine,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">56. oldal</span></p>
<p style="top:114.6pt;left:322.1pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:MagyarLinuxLibertineO,serif;f... | page_351.png | 56. oldal 2. A Drupal felhasználói szemmel
Elindult a honlap fejlesztése
tp8
B horiloska fée kérködőedben.
231. ábra. Címkék megjelenése
Ezek természetesen nem csak információt hordoznak, hanem navigációs lehetőséget is ad.
nak: a cimke feliratára kattintva az ugyanezen címkével ellátott tartalmak listázhatóak.
Egy... | |
2.3. Tartalmak kezelése 57. oldal A beküldés után a csatolt állományok letölthetővé válnak (2.34. ábra). Egyelőre nem foglalkozunk azzal a kérdéssel, hogy az adott oldal hol (pl. milyen menüpontban) lesz elérhető a
honlapunkon. 2.3.3. Tartalom szerkesztése, törlése Ha később visszalátogatunk az előzőleg létrehozott ol... | ##### 2.3. Tartalmak kezelése 57. oldal
_2.33. ábra. Csatolmány finomítása, újabb csatolmányok felvitele_
A beküldés után a csatolt állományok letölthetővé válnak (2.34. ábra).
_2.34. ábra. Letölthető csatolmány_
Egyelőre nem foglalkozunk azzal a kérdéssel, hogy az adott oldal hol (pl. milyen menüpontban) lesz elér... | <div id="page0" style="width:595.0pt;height:842.0pt">
<p style="top:114.6pt;left:113.6pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:MagyarLinLibertine,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">2.3. Tartalmak kezelése</span></p>
<p style="top:114.6pt;left:470.6pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:MagyarLin... | page_352.png | 57. oldal
1j fált hozzásdása
(Oruszászz]) . Fenönés
A fok ár lzídlébb s aD ebet
parnáetzt elzgezzk docais po ods ot ody pá á
233. ábra. Csatolmány finomitása, újabb csatolmányok felvitele
A beküldés után a csatolt állományok letölthetővé válnak (2.34. ábra).
A Kocskeznét Pőiskola GAM Kazának laformatika Intézetében... | |
58. oldal 2. A Drupal felhasználói szemmel A tartalom törlése nem visszavonható művelet! Ezért inkább a tartalom elrejtését szokás
végezni a tényleges törlés helyett. Változatok kezelése A Drupal lehetőséget ad arra, hogy egy tartalom szerkesztésekor és újbóli mentésekor ne
írjuk felül az előző változatot, hanem – mi... | ##### 58. oldal 2. A Drupal felhasználói szemmel
_A tartalom törlése nem visszavonható művelet! Ezért inkább a tartalom elrejtését szokás_
végezni a tényleges törlés helyett.
#### Változatok kezelése
A Drupal lehetőséget ad arra, hogy egy tartalom szerkesztésekor és újbóli mentésekor ne
írjuk felül az előző változat... | <div id="page0" style="width:595.0pt;height:842.0pt">
<p style="top:114.6pt;left:85.2pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:MagyarLinLibertine,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">58. oldal</span></p>
<p style="top:114.6pt;left:322.1pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:MagyarLinuxLibertineO,serif;f... | page_353.png | 58. oldal 2. A Drupal felhasználói szemmel
A tartalom törlése nem visszavonható művelet! Ezért inkább a tartalom elrejtését szokás.
"végezni a tényleges törlés helyett.
Változatok kezelése
,A Drupal lehetőséget ad arra, hogy egy tartalom szerkesztésekor és újbóli mentésekor ne.
írjuk felül az előző változatot, hanem... | |
2.3. Tartalmak kezelése 59. oldal A Változat oszlopban megtekinthetjük, és – ha jogunk van – visszaállíthatunk egy korábbi
állapotot a visszaállítás link segítségével. Ekkor a korábbi változatról egy újabb másolat
készül, amit egyből szerkeszthetünk is. 2.4. A vizuális szerkesztők használata Ahogy a 2.3.2 fejezetben ... | ##### 2.3. Tartalmak kezelése 59. oldal
_2.36. ábra. Változatok megtekintése_
A Változat oszlopban megtekinthetjük, és – ha jogunk van – visszaállíthatunk egy korábbi
állapotot a visszaállítás link segítségével. Ekkor a korábbi változatról egy újabb másolat
készül, amit egyből szerkeszthetünk is.
## 2.4. A vizuális ... | <div id="page0" style="width:595.0pt;height:842.0pt">
<p style="top:114.6pt;left:113.6pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:MagyarLinLibertine,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">2.3. Tartalmak kezelése</span></p>
<p style="top:114.6pt;left:470.6pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:MagyarLin... | page_354.png | 59. oldal
Elindult a honlap fejlesztése változatai
pizgyetámés Szatoszós : Vátozzok
A változatóklehetévé teszlka tartaksak bülöcböző változatai közötő eltérések követésétésa.
assztéeéstegy korábáó változathoz,
pr
] é
236. ábra. Változatok megtekintése
A Változat oszlopban megtekinthetjük, és - ha jogunk van - vi... | |
60. oldal 2. A Drupal felhasználói szemmel Az 1.2.1 fejezetben már láttuk a webes tipográfia korlátait is. Ha ehhez még hozzávesszük,
hogy egy weboldal esetén rendkívül fontos az egyes oldalak egységes megjelenése is, akkor a vizuális szerkesztőt használó tartalomszerkesztők számára elég korlátozott lehetőségeket szab... | ##### 60. oldal 2. A Drupal felhasználói szemmel
Az 1.2.1 fejezetben már láttuk a webes tipográfia korlátait is. Ha ehhez még hozzávesszük,
hogy egy weboldal esetén rendkívül fontos az egyes oldalak egységes megjelenése is, akkor a vizuális szerkesztőt használó tartalomszerkesztők számára elég korlátozott lehetőségeke... | <div id="page0" style="width:595.0pt;height:842.0pt">
<p style="top:114.6pt;left:85.2pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:MagyarLinLibertine,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">60. oldal</span></p>
<p style="top:114.6pt;left:322.1pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:MagyarLinuxLibertineO,serif;f... | page_355.png | 60. oldal 2. A Drupal felhasználói szemmel
Az 1.2. fejezetben már láttuk a webes tipográfia kozlátait is. Ha ehhez még hozzávesszük,
hogy egy weboldal esetén rendkívül fontos az egyes oldalak egységes megjelenése is, ak-
kor a vizuilis szerkesztőt használó tartalomszerkesztők számára elég korlátozott lehetősé.
aeket s... | |
2.4. A vizuális szerkesztők használata 61. oldal Érdemes megemlíteni néhány funkciót, amit a szerző szándékosan nem szokott engedélyezni tartalomszerkesztők számára. A weboldal egységes látványvilága miatt nem javasolt: balra, középre és jobbra igazítás térközök, behúzások színes betűk és hátterek betűtípusok kise... | ##### 2.4. A vizuális szerkesztők használata 61. oldal
Érdemes megemlíteni néhány funkciót, amit a szerző szándékosan nem szokott engedélyezni tartalomszerkesztők számára.
#### A weboldal egységes látványvilága miatt nem javasolt:
balra, középre és jobbra igazítás
térközök, behúzások
színes betűk és hátterek... | <div id="page0" style="width:595.0pt;height:842.0pt">
<p style="top:114.6pt;left:113.6pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:MagyarLinLibertine,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">2.4. A vizuális szerkesztők használata</span></p>
<p style="top:114.6pt;left:470.6pt;line-height:12.0pt"><span st... | page_356.png | 2.4. A vázuális szerkesztők használata 61. oldal
Érdemes megemlíteni néhány funkciót, amit a szerző szándékosan nem szokott engedé-
lyezni tartalomszerkesztők számáro.
A weboldal egységes látványvilága miatt nem javasolt:
balra, középre és jobbra igazi
térközök, behúzások
színes betük és hátterek
betűtípusok
kisebb... | |
2.4. A vizuális szerkesztők használata 63. oldal Látszik a két bekezdés bal felső sarkában a P (paragraph, vagyis bekezdés) betű. A Forráskód gombra kattintva meg is nézhetjük a háttérben készülő HTML szöveget (2.40.
ábra). Ha szükséges, itt is belejavíthatunk, de bármikor visszatérhetünk a Forráskód gomb ismételt len... | ##### 2.4. A vizuális szerkesztők használata 63. oldal
_2.39. ábra. Szöveg bekezdésekre tördelése az Enter billentyűvel_
Látszik a két bekezdés bal felső sarkában a P (paragraph, vagyis bekezdés) betű.
A Forráskód gombra kattintva meg is nézhetjük a háttérben készülő HTML szöveget (2.40.
ábra).
_2.40. ábra. Forrásk... | <div id="page0" style="width:595.0pt;height:842.0pt">
<p style="top:114.6pt;left:113.6pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:MagyarLinLibertine,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">2.4. A vizuális szerkesztők használata</span></p>
<p style="top:114.6pt;left:470.6pt;line-height:12.0pt"><span st... | page_358.png | 2.4. A vázuális szerkesztők használata 63. oldal
T—
. EZET IK FL TTT P36 BE
zöbb szóvaljelezoezbeteen szgam $é a9. öktató, progzaczozó, de lepnkább azt tartoasfoctosaak.
elmocdsat hogy Jézs Kroztos váltsága álal lten gyerzcke lebetek Szirooczcs ez a kezfootosatb
sokdáz er találtara t a gyélekezetet ah mzaradóktalaz... | |
2.4. A vizuális szerkesztők használata 65. oldal A Rendben előtt érdemes még arra figyelni, hogy a majdani bekezdések között pontosan
egy üres sor legyen, mint az ábrán is. Ha ugyanis nincs üres sor, akkor ott a szerkesztő
nem önálló bekezdést, hanem csak egy új sort fog kezdeni. Szövegstruktúra kialakítása Bár a pil... | ##### 2.4. A vizuális szerkesztők használata 65. oldal
_2.43. ábra. Beillesztés formázatlan szövegként_
A Rendben előtt érdemes még arra figyelni, hogy a majdani bekezdések között pontosan
egy üres sor legyen, mint az ábrán is. Ha ugyanis nincs üres sor, akkor ott a szerkesztő
nem önálló bekezdést, hanem csak egy új ... | <div id="page0" style="width:595.0pt;height:842.0pt">
<p style="top:114.6pt;left:113.6pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:MagyarLinLibertine,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">2.4. A vizuális szerkesztők használata</span></p>
<p style="top:114.6pt;left:470.6pt;line-height:12.0pt"><span st... | page_360.png | 2.4. A vázuális szerkesztők használata 65. oldal
902. : Belkesztés formázatian szövegként .
t ] O
s zögene kenaten :
T Ara]
. kór tor Oa é: Áont s öl önyene Döta $r o
a. . anioszós towesszotat Loci Czen 0r aa
h
8200 a sgyér vitozés tráoan válok Oa síó
ottojosztt 91 szitapcsozaos o]
sss G ,
243. ábra. Beillesztés ... | |
66. oldal 2. A Drupal felhasználói szemmel Külső weboldalra mutató link esetén (mint most is) elegendő a webcímet begépelni vagy
beilleszteni a http:// nélkül (2.46. ábra). A Kecskeméti Főiskola és GAMF Karának szavakra ugyanígy elkészíthetjük a linkeket. Belső (a weboldalon belüli) link esetén érdemes egy másik ablak... | ##### 66. oldal 2. A Drupal felhasználói szemmel
_2.45. ábra. Link létrehozása_
Külső weboldalra mutató link esetén (mint most is) elegendő a webcímet begépelni vagy
beilleszteni a http:// nélkül (2.46. ábra).
_2.46. ábra. Hivatkozás megadása_
A Kecskeméti Főiskola és GAMF Karának szavakra ugyanígy elkészíthetjük a... | <div id="page0" style="width:595.0pt;height:842.0pt">
<p style="top:114.6pt;left:85.2pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:MagyarLinLibertine,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">66. oldal</span></p>
<p style="top:114.6pt;left:322.1pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:MagyarLinuxLibertineO,serif;f... | page_361.png | 66. oldal 2. A Drupal felhasználói szemmel
—
x. GEE TTT FE 1
együrt todunkaz emberek feló is , Hivatkozás bedlesztése/módosítása ) a LZEE "
ter ahel szsáló:
245. ábra. Link létrehozása
Külső weboldalra mutató lnk esetén (mint most is) elegendő a webcimet begépelni vagy
beillszteni a heto // nélkül (2.46. ábra).
E ... | |
2.4. A vizuális szerkesztők használata 67. oldal Érdemes megfigyelni, hogy a kezdő / jel miatt a Protokoll a korábbi http:// helyett <más>ra váltott. Ez a helyes működés része. Ha esetleg nem történne meg automatikusan, a Protokollt kézzel érdemes így beállítani. A szövegbe ágyazott belső linkek használatának kockázata... | ##### 2.4. A vizuális szerkesztők használata 67. oldal
_2.47. ábra. Belső link létrehozása_
Érdemes megfigyelni, hogy a kezdő / jel miatt a Protokoll a korábbi http:// helyett <más>ra váltott. Ez a helyes működés része. Ha esetleg nem történne meg automatikusan, a Pro_tokollt kézzel érdemes így beállítani._
A szöveg... | <div id="page0" style="width:595.0pt;height:842.0pt">
<p style="top:114.6pt;left:113.6pt;line-height:12.0pt"><span style="font-family:MagyarLinLibertine,serif;font-size:12.0pt;color:#000000">2.4. A vizuális szerkesztők használata</span></p>
<p style="top:114.6pt;left:470.6pt;line-height:12.0pt"><span st... | page_362.png | 2.4. A vázuális szerkesztők használata 67. oldal
e) ozotejesze arocsscsetvzts
247. ábra. Belső ink létrehozása
Érdemes megfigyelni, hogy a kezdő / jel miatt a Protokoll a kozábbi hiz9:// helyett emmáss-
a váltott. Ez a helyes működés része. Ha esetleg nem történne meg automatikusan, a Pro-
fokollt kézzel érdemes íg... |