The results of \((S_{1} \cdot S_ {2})\)  may be obtained by solving the diagonal matrix elements for the spin-\(\frac{1}{2}\)  and spin-1 particles, as detailed in the following references[1]}, [2]}. To solve the tensor interaction, the simpler formulation may be used ;
\(\mathbf {{S_{12}}}=12\left(\mathbf { \frac{(S_{1}\cdot (r_{ij}))(S_{2}\cdot (r_{ij}))}{(r_{ij})^2}- \frac{1}{3} (S_{1} \cdot S_ {2})}\right)\) 

Результаты \((S_{1} \cdot S_{2})\) могут быть получены путем решения диагональных элементов матрицы для спин- \(\frac{1}{2}\) и спин-1 частиц, как подробно описано в следующих источниках [1], [2]. Для решения тензорного взаимодействия можно использовать более простую формулировку:

\(\mathbf {{S_{12}}} = 12\left(\mathbf {\frac{(S_{1}\cdot (r_{ij}))(S_{2}\cdot (r_{ij}))}{(r_{ij})^2}- \frac{1}{3} (S_{1} \cdot S_ {2})}\right)\)