If we include the back-reaction, the solutions can only be found numerically [1]}, [2]}, except for the zero mode, where the back-reaction vanishes. In such a case, the solution for the scalar field is again \(\chi _k(x)\) , and the fermion zero mode is given by
\(\psi _0(x)=\mathcal {N}\begin{pmatrix}\cosh (ax)^{-g/a}\\0\end{pmatrix},\) 

Если учесть обратную реакцию, решения могут быть найдены только численно [1], [2], за исключением нулевого режима, где обратная реакция исчезает. В таком случае решение для скалярного поля снова будет \(\chi _k(x)\), а нулевой режим фермиона определяется следующим образом:

\(\psi _0(x)=\mathcal {N}\begin{pmatrix}\cosh (ax)^{-g/a}\\0\end{pmatrix},\)