Notice that \(\varphi _y\)  is contractive with a Lipschitz matrix \(\Vert B(S)\Vert M_A+M_C.\)  Applying Perov's theorem [1]}, we obtain that \(\varphi _y\)  has a unique fixed point in \(S,\)  say \(x_y.\)  From assumption \((ii),\)  it follows that the operator \(\left(\displaystyle \dfrac{I-C}{A}\right)^{-1}\)  is well defined on \(B(S).\)

Заметим, что \(\varphi_y\) подчиняется сжимающему условию с Липшицевой константой \(\|B(S)\|\cdot M_A + M_C.\) Применяя теорему Перова [1], получаем, что у \(\varphi_y\) есть единственная неподвижная точка в \(S\), обозначим ее \(x_y.\) Из предположения (ii) следует, что оператор \(\left(\displaystyle \dfrac{I-C}{A}\right)^{-1}\) хорошо определен на \(B(S).\)



[1] - ссылка на литературу