Observe that the commutator subgroup of \(F_{n,r}\)  is a simple group and the abelianization of \(F_{n,r}\)  is isomorphic to \(\mathbb {Z}^n\)  [1]}. Consider the subgroup \(F_{n,r}^0\)  of \(F_{n,r}\)  consisting of all elements \(f\in F_{n,r}\)  with \( supp(f)\)  being a subset of \((0,r)\) . Observe that (the commutator subgroup) \(F_{n,r}^{\prime } = (F_{n,r}^0)^{\prime }\)  [1]}.
The following lemma shows that the commutator subgroup \(F_{n,r}^{\prime }\)  satisfies the assumptions of Theorem REF .

Обратим внимание, что коммутантная подгруппа \(F_{n,r}\) является простой группой, а абелианизация \(F_{n,r}\) изоморфна \(\mathbb {Z}^n\) [1]. Рассмотрим подгруппу \(F_{n,r}^0\) из \(F_{n,r}\), состоящую из всех элементов \(f\in F_{n,r}\) таких, что \(supp(f)\) является подмножеством \((0,r)\). Обратим внимание, что коммутантная подгруппа \(F_{n,r}^{\prime} = (F_{n,r}^0)^{\prime}\) [1].

Следующая лемма показывает, что коммутантная подгруппа \(F_{n,r}^{\prime}\) удовлетворяет предположениям Теоремы REF.