Definition 4.1 ([1]}) 
A Hom-pre-Lie algebra is a triple \((A,\ast , \alpha )\)  consisting of a vector space \(A\) , a bilinear product \(\ast :A\otimes A\rightarrow A,\)  and a linear map
\(\alpha :A\rightarrow A\)  satisfying, for all \(x, y, z\in A\) ,
\((x\ast y)\ast \alpha (z)-\alpha (x)\ast (y\ast z)=(y\ast x)\ast \alpha (z)-\alpha (y)\ast (x\ast z).\) 

Определение 4.1 ([1]}) 

Хом-пред-Ли алгеброй называется тройка \((A, \ast, \alpha)\), состоящая из векторного пространства \(A\), билинейного произведения \(\ast : A \otimes A \rightarrow A\), и линейного отображения \(\alpha : A \rightarrow A\), которые удовлетворяют следующему условию для любых \(x, y, z \in A\):

\((x \ast y) \ast \alpha(z) - \alpha(x) \ast (y \ast z) = (y \ast x) \ast \alpha(z) - \alpha(y) \ast (x \ast z).\)