Hopf's bifurcation for the model (REF ) was first considered by Magal and Ruan [1]}, [2]} and Liu, Magal and Ruan [3]}. In Section , we prove that for each \(\alpha ^\star > e^2\)  (as close as we want from \(e^2\) ) we can find a function \(\beta (a)\)  such that Hopf bifurcation occurs at \(\alpha =\alpha ^\divideontimes \in (e^2, \alpha ^\star )\)  for the system (REF ). In this sense, our global stability result is sharp with respect to the parameter \(\alpha \) .

Первоначально, бифуркация Хопфа для модели (REF) была рассмотрена Магалом и Руаном [1], [2] и Лью, Магалом и Руаном [3]. В разделе мы доказываем, что для каждого \(\alpha ^\star > e^2\) (настолько близко к \(e^2\), насколько мы пожелаем) мы можем найти функцию \(\beta (a)\), такую что бифуркация Хопфа происходит при \(\alpha = \alpha ^\divideontimes \in (e^2, \alpha ^\star)\) для системы (REF). В этом смысле наш результат о глобальной стабильности точен относительно параметра \(\alpha\).