The material of this section is well known, the references are [1]}, [2]}, [3]}, [4]}, [5]}. Assume \(\mathfrak {g}= Lie(G)\)  is a semisimple Lie algebra, \(\mathfrak {h}=\langle H_{\alpha _1},...,H_{\alpha _n} \rangle \)  be a Cartan and \(R=R_+ \bigcup R_-\)  the associated root system with \(\Pi =\lbrace  \alpha _1,...,\alpha _n \rbrace \)  the simple roots. Let
\(\mathfrak {g}=\mathfrak {h} \oplus \ \bigoplus _{\alpha \in R}\mathfrak {g}_{\alpha }\) 

Материал этого раздела хорошо известен, ссылки [1], [2], [3], [4], [5]. Предположим, что \(\mathfrak{g}= Lie(G)\) является полупростой алгеброй Ли, \(\mathfrak{h}=\langle H_{\alpha _1},...,H_{\alpha _n} \rangle\) - картановой алгеброй, а \(R=R_+ \bigcup R_-\) - связанной системой корней с \(\Pi =\lbrace \alpha _1,...,\alpha _n \rbrace\) простыми корнями. Пусть

\(\mathfrak{g}=\mathfrak{h} \oplus \ \bigoplus _{\alpha \in R}\mathfrak{g}_{\alpha}\)