By restricting the \(k\) -dimensional barcode for \(\mathcal {G}\)  and \(\mathcal {F}\)  to the interval \([a,b]\) , we get two sets of bars for the zigzag filtration \(\mathcal {F}_{a,b} = \mathcal {G}_{a,b}\) . The barcode for \(\mathcal {F}_{a,b} = \mathcal {G}_{a,b}\)  is unique (see [1]}). Hence, there must be a bar \(\mathcal {I}_{c,d}\)  in the barcode for \(\mathcal {G}\)  where \(\mathcal {I}_{c,d} \cap [a,b] = \mathcal {I}_{a,b}\) .

Ограничив к-мерный штрих-код для \(\mathcal {G}\) и \(\mathcal {F}\) интервалом \([a,b]\), мы получаем два набора полос для зигзагообразной фильтрации \(\mathcal {F}_{a,b} = \mathcal {G}_{a,b}\). Штрих-код для \(\mathcal {F}_{a,b} = \mathcal {G}_{a,b}\) - это уникальный (см. [1]). Следовательно, в штрих-коде для \(\mathcal {G}\) должна быть полоса \(\mathcal {I}_{c,d}\), где \(\mathcal {I}_{c,d} \cap [a,b] = \mathcal {I}_{a,b}\).