If \(\Re (z)>0\)  and \(\Re (b)>0\) , the Mellin transforms of \(\cos (bx)/(e^{ax}-1)\)  and \(\sin (bx)/(e^{ax}-1)\)  are given by [1]}
\(\int _0^\infty \frac{x^{\mu -1} \cos (bx)}{e^{ax}-1}\,dx=\frac{\Gamma (\mu )}{2a^\mu }\biggl \lbrace \zeta (\mu ,1+ib/a)+\zeta (\mu ,1-ib/a)\biggr \rbrace \) 

Если \(\Re (z)>0\) и \(\Re (b)>0\), то Меллиновские преобразования \(\cos (bx)/(e^{ax}-1)\) и \(\sin (bx)/(e^{ax}-1)\) определяются следующим образом [1]:

\(\int _0^\infty \frac{x^{\mu -1} \cos (bx)}{e^{ax}-1}\,dx=\frac{\Gamma (\mu )}{2a^\mu }\biggl \lbrace \zeta (\mu ,1+ib/a)+\zeta (\mu ,1-ib/a)\biggr \rbrace \)