[First Order Optimality Condition [1]}, [2]}]lemfoo

Assume \(f: {\mathcal {D}}\mapsto {\mathbb {R}}\)  is a convex function and \({\mathbf {x}}^*\)  be the minimizer of \(f\) . Then for any \({\mathbf {x}}\in {\mathcal {D}}\) ,
\(\nabla f({\mathbf {x}}^*)^\top ({\mathbf {y}}- {\mathbf {x}}^*) \ge 0\) 

Первое условие оптимальности первого порядка [1], [2]



Предположим, что \(f: {\mathcal {D}}\mapsto {\mathbb {R}}\) является выпуклой функцией, а \({\mathbf {x}}^*\) является минимизатором \(f\). Тогда для любого \({\mathbf {x}}\in {\mathcal {D}}\) выполняется



\(\nabla f({\mathbf {x}}^*)^\top ({\mathbf {y}}- {\mathbf {x}}^*) \ge 0\)