Definition 2.1 [1]}
Let \(\mathbb {K}\)  be a non-Archimedean (complete) valued field (with valuation \(|\cdot |\) ) and \(\mathcal {X}\)  be a non-Archimedean Banach space (with norm \(\Vert \cdot \Vert \) ) over \(\mathbb {K}\) . We say that \(\mathcal {X}\)  is a p-adic Hilbert space if there is a map (called as inner product) \(\langle \cdot , \cdot \rangle : \mathcal {X} \times \mathcal {X} \rightarrow \mathbb {K}\)  satisfying following.

Определение 2.1 [1]

Пусть \(\mathbb {K}\) - нерациональное (полное) поле с нормой (как оценка \(\vert \cdot \vert\) ) и \(\mathcal {X}\) - нерациональное банахово пространство (с нормой \(\Vert \cdot \Vert\) ) над \(\mathbb {K}\). Мы говорим, что \(\mathcal {X}\) - p-адическое гильбертово пространство, если существует отображение (называемое скалярным произведением) \(\langle \cdot , \cdot \rangle : \mathcal {X} \times \mathcal {X} \rightarrow \mathbb {K}\) , которое удовлетворяет следующим условиям.