Now, we define \(g(x)=(1-q){\mathbb {E}}[f(H+1)|\xi =x]\) . Using the fact that \(H\)  has a mixed Poisson distribution, a direct calculation shows that \(g^\prime (x)=(1-q){\mathbb {E}}[\Delta f(H+1)|\xi =x]\) , and similarly for the second derivative of \(g\) .
We also note that (see page 12 of [1]} for example), since \(H\)  has a mixed Poisson distribution,
\(\xi {\mathbb {E}}[f(H+1)|\xi ]={\mathbb {E}}[Hf(H)|\xi ]\,.\) 

Теперь мы определяем \(g(x)=(1-q){\mathbb {E}}[f(H+1)|\xi =x]\) . Используя факт, что \(H\) имеет смешанное распределение Пуассона, прямой расчет показывает, что \(g^\prime (x)=(1-q){\mathbb {E}}[\Delta f(H+1)|\xi =x]\) , и аналогично для второй производной \(g\).



Мы также отмечаем, что (см. страницу 12 [1]} для примера), так как \(H\) имеет смешанное распределение Пуассона,

\(\xi {\mathbb {E}}[f(H+1)|\xi ]={\mathbb {E}}[Hf(H)|\xi ]\,.