With a volume form and a smooth probability density function \(f: M \rightarrow (0, \infty )\) , one can define a probability measure on the manifold. A good reference for probability and statistics on Riemannian manifolds is [1]}. The volume form induces a Riemannian measure \(\mu \)  on \(M\) . The measure of a Borel set \(A \subseteq M\)  is \(\mu (A) = \int _A dV\) , and the volume of \(M\)  is \(\mu (M)\) . The probability measure is defined to be
\(\mathbb {P}[A] = \int _{A} f dV\) 

С помощью формы объема и гладкой плотности вероятности \(f: M \rightarrow (0, \infty )\), можно определить меру вероятности на многообразии. Хорошей ссылкой на вероятность и статистику на римановых многообразиях является [1]. Форма объема порождает риманову меру \(\mu\) на \(M\). Мера множества Бореля \(A \subseteq M\) определяется как \(\mu (A) = \int _A dV\), а объем \(M\) равен \(\mu (M)\). Мера вероятности определяется как

\(\mathbb {P}[A] = \int _{A} f dV\)