The hyperbolic development (cf. Boedihardjo–Diehl–Mezzarobba–Ni [1]} and Hambly–Lyons [2]}) refers to following particular choice of \(M\) , denotes as \(H: T((E)) \rightarrow {\mathfrak {gl}(3;\mathbb {R})}\) .
\(&& H(\mu ) = \begin{bmatrix}\mu &0&0\\0&\mu &0\\0&0&\mu \end{bmatrix}\qquad \text{ for } \mu \in \mathbb {R},\\&&H (x,y) := \begin{bmatrix}0&0&x\\0&0&y\\x&y&0\end{bmatrix}\qquad \text{ for } z = (x,y) \in E,\) 

Гиперболическое разложение (см. Boedihardjo-Diehl-Mezzarobba-Ni [1] и Hambly-Lyons [2]) имеет следующий особый выбор \(M\), обозначаемый как \(H: T((E)) \rightarrow {\mathfrak {gl}(3;\mathbb {R})}\).

\(&& H(\mu) = \begin{bmatrix}\mu &0&0\\0&\mu &0\\0&0&\mu \end{bmatrix}\qquad \text{ для } \mu \in \mathbb {R},\\&&H (x,y) := \begin{bmatrix}0&0&x\\0&0&y\\x&y&0\end{bmatrix}\qquad \text{ для } z = (x,y) \in E,\)