Given a self-expander \(\Sigma \)  and a compactly supported variation \(\Phi _t(\Sigma )\)  such that \(\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0} \Phi _t(\Sigma ) = X\) , the second variation formula of the expander functional expander-functional is (see eg. [1]}):
\(\left.\frac{d^2}{dt^2}\right|_{t=0} E[\Phi _s(\Sigma )] = -\int _{\Sigma } (X \cdot \mathbf {n}_\Sigma )L_\Sigma (X \cdot \mathbf {n}_\Sigma ) e^{\frac{\left|\mathbf {x}\right|^2}{4}} d\mathcal {H}^n.\) 

Учитывая саморасширяющийся объект \(\Sigma \) и компактно поддерживаемую вариацию \(\Phi _t(\Sigma )\) такую, что \(\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0} \Phi _t(\Sigma ) = X\), вторая формула изменения функционала саморасширяющегося объекта имеет вид (см., например, [1]):

\(\left.\frac{d^2}{dt^2}\right|_{t=0} E[\Phi _s(\Sigma )] = -\int _{\Sigma } (X \cdot \mathbf {n}_\Sigma )L_\Sigma (X \cdot \mathbf {n}_\Sigma ) e^{\frac{\left|\mathbf {x}\right|^2}{4}} d\mathcal {H}^n.\)