The first two conditions are clear. If \({C}\)  is defined
by an integral Weierstrass equation (REF ), then one can
check exactly as over a ground field (see e.g. [1]}, Proposition
7.4.26) that \(f_*\omega _{{C}/S}\)  is free over \(R\)  with
\(\dfrac{x^idx}{2y+Q(x)}, \quad 0\le i \le g-1\) 
as a basis. So \(\det f_*\omega _{{C}/S}\)  is free.

Первые два условия понятны. Если \({C}\) определено

уравнением Вейерштрасса с использованием интеграла (ССЫЛКА), то можно 

проверить точно так же, как и в случае основного поля (см., например, [1], Предложение

7.4.26), что \(f_*\omega _{{C}/S}\) свободен над \(R\) с

\(\dfrac{x^idx}{2y+Q(x)}, \quad 0\le i \le g-1\) 

в качестве базиса. Таким образом, \(\det f_*\omega _{{C}/S}\) также свободен.