
where equality follows from [1]}, and the final inequality follows from [1]}For an explicit proof see [3]}.
Since \(\log \det \)  is monotonic on positive definite matrices and since \(\det (A\#B) = \sqrt{\det A}\sqrt{\det B}\) , it then follows that
\(\begin{split}\log \det \bigl ( U^*\left(\tfrac{X+Y}{2}\right)^{-1}U\bigr ) &\le \tfrac{1}{2} \log \det (U^*X^{-1}U) \\&+ \tfrac{1}{2} \log \det (U^*Y^{-1}U),\end{split}\) 

где равенство следует из [1], а окончательное неравенство следует из [1]. Для явного доказательства см. [3].

Поскольку \(\log \det\) является монотонной функцией на положительно определённых матрицах, и поскольку \(\det (A\#B) = \sqrt{\det A}\sqrt{\det B}\), отсюда следует, что

\(\begin{split}\log \det \bigl(U^*\left(\tfrac{X+Y}{2}\right)^{-1}U\bigr) &\le \tfrac{1}{2} \log \det(U^*X^{-1}U) \\

&+ \tfrac{1}{2} \log \det(U^*Y^{-1}U).\end{split}\)