from part (1). From Example 1 of [1]}, \(S(F_I)=(-1)^{|I|}F_{\bar{I}^*}\) , where \(S\)  is the antipode of \(\operatorname{QSym}\) . Thus
\(S\psi (E_I)=\sum _{J\preceq I}(1)^{\ell (J)+|J|}F_{\bar{J}^*}=-\sum _{J\preceq I}(-1)^{\ell (J^*)}F_{\bar{J}^*}\\=-\sum _{\bar{J}^*\succeq \bar{I}^*}(-1)^{\ell (\bar{J}^*)}F_{\bar{J}^*}=-\sum _{K\succeq \bar{I}^*}(-1)^{\ell (K)}F_K .\) 

из части (1). Из Примера 1 [1] получаем, что \(S(F_I)=(-1)^{|I|}F_{\bar{I}^*}\), где \(S\) является антиподом \(\operatorname{QSym}\). Таким образом

\(S\psi (E_I)=\sum _{J\preceq I}(1)^{\ell (J)+|J|}F_{\bar{J}^*}=-\sum _{J\preceq I}(-1)^{\ell (J^*)}F_{\bar{J}^*}\\=-\sum _{\bar{J}^*\succeq \bar{I}^*}(-1)^{\ell (\bar{J}^*)}F_{\bar{J}^*}=-\sum _{K\succeq \bar{I}^*}(-1)^{\ell (K)}F_K .\)