Then by compactness of \((\overline{\Omega }, d^H)\) , and since \(\gamma ^N\)  is connected, there is a compact connected set \(E \subset \overline{\Omega }\)  such that \(d^H(\gamma ^N, E) \rightarrow 0\)  as \(N \rightarrow \infty \) . Then by [1]},
\(\mathcal {H}^1(E) \le \liminf _{N \rightarrow \infty } \mathcal {H}^1(\gamma ^N) \le M|x-y|.\) 

Затем, учитывая компактность \((\overline{\Omega }, d^H)\), и поскольку \(\gamma^N\) связно, существует компактное связное множество \(E \subset \overline{\Omega}\) такое, что \(d^H(\gamma^N, E) \rightarrow 0\) при \(N \rightarrow \infty\). Затем согласно [1], 

\(\mathcal{H}^1(E) \le \liminf_{N \rightarrow \infty} \mathcal{H}^1(\gamma^N) \le M|x-y|.\)