be their geometric mean. The operator inequality \(X\#Y \preceq \frac{X+Y}{2}\)  is well-known [1]}. Hence,
\(\left(\tfrac{X+Y}{2}\right)^{-1} &\preceq (X\#Y)^{-1} = X^{-1}\#Y^{-1} \\U^*\left(\tfrac{X+Y}{2}\right)^{-1}U &\preceq U^*(X^{-1}\#Y^{-1}) U \\&\preceq (U^*X^{-1}U)\#(U^*Y^{-1}U),\) 

быть их геометрическим средним. Операторное неравенство \(X\#Y \preceq \frac{X+Y}{2}\) хорошо известно [1]. Следовательно,

\(\left(\tfrac{X+Y}{2}\right)^{-1} &\preceq (X\#Y)^{-1} = X^{-1}\#Y^{-1} \\U^*\left(\tfrac{X+Y}{2}\right)^{-1}U &\preceq U^*(X^{-1}\#Y^{-1}) U \\&\preceq (U^*X^{-1}U)\#(U^*Y^{-1}U),\)