Since \(\operatorname{QSym}\)  is a commutative Hopf algebra, its antipode
\(S\)  is an automorphism of \(\operatorname{QSym}\)  and \(S^2=\operatorname{id}\) . Now \(S\)  can
be given by the following explicit formulas: for proof see
[1]} or [2]}.

Так как \(\operatorname{QSym}\) - коммутативная алгебра Хопфа, ее антипод \(S\) - автоморфизм \(\operatorname{QSym}\) и \(S^2=\operatorname{id}\). Теперь \(S\) может быть записан следующим явным образом: для доказательства см. \[1\] или \[2\].