A comprehensive introduction to filtered complexes and TDA can be found in [1]}, [2]}. Here we review the standard methods for building a filtered complex. Throughout this section, let \((M, d)\)  denote a metric space and let \(X = \lbrace x_1, \ldots , x_N\rbrace \)  denote a point cloud in \(M\) . For any index set \(J \subseteq \lbrace 1, \ldots , N\rbrace \) , let \(x_J\)  denote the simplex with vertices \(x_j\)  for all \(j \in J\) .

Комплексный подход к фильтрованным комплексам и анализу данных о топологии может быть найден в работах [1] и [2]. Здесь мы рассмотрим стандартные методы построения фильтрованного комплекса. На протяжении данной секции, пусть \((M, d)\) обозначает метрическое пространство, а \(X = \lbrace x_1, \ldots , x_N\rbrace \) - облако точек в \(M\). Для любого индексного множества \(J \subseteq \lbrace 1, \ldots , N\rbrace \), пусть \(x_J\) обозначает симплекс с вершинами \(x_j\) для всех \(j \in J\).