To conclude, we need a lower bound on \(r(K_{k+1};q-1)\)  that grows exponentially in \(q\) . Such a bound was first proved by Lefmann [1]}, with recent improvements by Conlon–Ferber [2]}, the author [3]}, and Sawin [4]}. For concreteness, we quote the bound from [3]}, which says that for fixed \(q\ge 3\)  and \(k \rightarrow \infty \) ,
\(r(K_{k+1};q-1) > 2^{\frac{3q-5}{8}k - o(k)}.\) 

Для заключения нам необходимо нижнюю границу для \(r(K_{k+1};q-1)\), которая экспоненциально растёт с \(q\). Такая граница была впервые доказана Лефманном, с недавними улучшениями Конлоном-Фербером, автором и Савином. Для ясности, мы процитируем границу из работы автора, которая говорит, что для фиксированного \(q\ge 3\) и \(k \rightarrow \infty\), \(r(K_{k+1};q-1) > 2^{\frac{3q-5}{8}k - o(k)}.\)