The classical result of [1]} applied to \(\widehat{\varphi }\)  on a Banach space \(X\)  tells us that the subgradient mapping \(\partial \widehat{\varphi }\)  is (globally) monotone on \(X\) . Combining the latter with (REF ) implies that the mapping \(\partial \varphi \)  is locally maximal monotone with respect to \(U_{\varepsilon }\times V\) , which thus justifies (ii) by Definition REF . The next implication (ii)\(\Longrightarrow \) (iii) is trivial.

Классический результат [1], примененный к \(\widehat{\varphi }\) в пространстве Банаха \(X\), говорит нам, что отображение субградиента \(\partial \widehat{\varphi }\) является (глобально) монотонным на \(X\). Комбинирование последнего с (REF) подразумевает, что отображение \(\partial \varphi\) является локально максимально монотонным относительно \(U_{\varepsilon}\times V\), что таким образом обосновывает (ii) по определению (REF). Следующая импликация (ii) \(\Longrightarrow\) (iii) тривиальна.