The next material is mostly taken from [1]} in the case of finite dimensions and from [2]}, [3]} where extensions of these notions are studied in infinite-dimensional spaces. An l.s.c. function \(\varphi :X\rightarrow \overline{{\rm I\!R}}\)  on a Banach space \(X\)  is prox-bounded if it majorizes a quadratic function, i.e.,
\(\varphi (x)\ge \alpha \Vert x-\bar{x}\Vert ^2+\beta \;\mbox{ for some }\;\alpha ,\beta \in {\rm I\!R},\;\mbox{ and }\;\bar{x}\in X.\) 

Следующий материал в основном взят из [1], в случае конечных размерностей, и [2], [3], где изучаются расширения этих понятий в бесконечномерных пространствах. Непрерывная функция \(\varphi :X\rightarrow \overline{{\rm I\!R}}\) на банаховом пространстве \(X\) является prox-ограниченной, если она превосходит квадратичную функцию, то есть,

\(\varphi (x)\ge \alpha \Vert x-\bar{x}\Vert ^2+\beta \;\mbox{ для некоторых }\;\alpha ,\beta \in {\rm I\!R},\;\mbox{ и }\;\bar{x}\in X.\)