In this section, we are going to present proof systems, which use the logic \(\mathsf {BD}\)  on the inner layer, and are based on both the approaches mentioned above. We begin with the calculus of inequalities, as it is less formal and more intuitive. We then design two-layered modal logics whose upper layer consist of paraconsistent expansions of \({\mathchoice{\mbox{\rm Ł}}{\mbox{\rm Ł}}{\mbox{\rm \scriptsize Ł}}{\mbox{\rm \tiny Ł}}}\) , introduced originally in [1]}, [2]}.

В этом разделе мы будем представлять доказательные системы, которые используют логику \(\mathsf {BD}\) на внутреннем уровне и основаны на двух упомянутых выше подходах. Мы начинаем с исчисления неравенств, так как оно менее формально и более интуитивно. Затем мы разрабатываем двухуровневые модальные логики, верхний уровень которых состоит из параразумных расширений \({\mathchoice{\mbox{\rm Ł}}{\mbox{\rm Ł}}{\mbox{\rm \scriptsize Ł}}{\mbox{\rm \tiny Ł}}}\), введенных ранее в [1], [2].