The classical Johnson–Lindenstrauss lemma [1]} asserts that if \(({H},\Vert \cdot \Vert _{{H}})\)  is a Hilbert space and \(x_1,\ldots ,x_n\in {H}\) , then for every \(\varepsilon \in (0,1)\)  there exist \(d\le \tfrac{C\log n}{\varepsilon ^2}\)  and \(y_1,\ldots ,y_n\in \ell _2^d\)  such that
\(\forall \ i,j\in \lbrace 1,\ldots ,n\rbrace , \qquad \Vert x_i-x_j\Vert _{{H}} \le \Vert y_i-y_j\Vert _{\ell _2^d} \le (1+\varepsilon )\cdot \Vert x_i-x_j\Vert _{H},\) 

Классическая лемма Джонсона-Линденштраусса [1] утверждает, что если \(({H},\Vert \cdot \Vert _{{H}})\) является гильбертовым пространством и \(x_1,\ldots ,x_n\in {H}\), то для любого \(\varepsilon \in (0,1)\) существуют \(d\le \tfrac{C\log n}{\varepsilon ^2}\) и \(y_1,\ldots ,y_n\in \ell _2^d\) такие, что

\(\forall \ i,j\in \lbrace 1,\ldots ,n\rbrace, \qquad \Vert x_i-x_j\Vert _{{H}} \le \Vert y_i-y_j\Vert _{\ell _2^d} \le (1+\varepsilon )\cdot \Vert x_i-x_j\Vert _{H},\)