where \(u(0,\cdot )\)  is a shorthand notation for the \(L^2\) -limit of \(u(t,x)\)  as \(t\rightarrow 0\) . Notice that \(\Delta \)  is symmetric with respect to the \(L^2\) -scalar product and negative, moreover, if \((M,d_\mathrm {SR})\)  is complete as a metric space, it is essentially self-adjoint, see [1]}. Thus, there exists a unique solution to (REF ), and it can be represented as
\(u(t,x)=e^{t\Delta }{1}_\Omega (x), \qquad \forall \,x\in M,\ t>0,\) 

где \(u(0, \cdot)\) обозначает сокращенную запись для \(L^2\)-предела \(u(t,x)\) при \(t\rightarrow 0\). Обратите внимание, что \(\Delta\) является симметричным относительно \(L^2\)-скалярного произведения и отрицательным. Кроме того, если \((M, d_\mathrm{SR})\) является полным метрическим пространством, то оно является в существенном сопряженным, см. [1]. Таким образом, существует единственное решение для (REF), которое может быть представлено в виде 

\(u(t,x) = e^{t\Delta} {1}_\Omega (x), \qquad \forall \, x \in M, \quad t > 0,\)