Lemma C.3 (Dynmical low-rank approximation, [1]}) 

Assume \(Z=USV^{H}\)  with \(M:=P_{T_{Z}}(\frac{d}{dt}g(Z))=\nabla _{\mathcal {M}_r}g(Z)\) , then gradient flow satisfies:
\(&\frac{d}{dt}S=U^{H}MV,\\&\frac{d}{dt}U=P_U^{\perp }MVS^{-1},\\&\frac{d}{dt}V=P_V^{\perp }M^{H}US^{-\top }.\) 

Лемма C.3 (Динамическое низкоранговое приближение, [1])



Предположим, что \(Z=USV^{H}\) , где \(M:=P_{T_{Z}}(\frac{d}{dt}g(Z))=\nabla _{\mathcal {M}_r}g(Z)\) , тогда градиентное поток удовлетворяет:

\(&\frac{d}{dt}S=U^{H}MV,\\&\frac{d}{dt}U=P_U^{\perp }MVS^{-1},\\&\frac{d}{dt}V=P_V^{\perp }M^{H}US^{-\top }.\)