The proof of this result seems to be beyond the scope of methods in that paper. Indeed, imitating the variational approach as was in [1]} for the problem with the gravitational interactions (in particular: energy and entropy functionals as well as entropy dissipation relation), one may first prove a priori estimates on \(u\)  and then a bound on \(\int _{\mathcal {R}^2} u(x,t) \log \frac{u(x,t)}{U_M(x,t)} \,\text{d}x\) , leading to (REF ).

Доказательство этого результата, кажется, выходит за рамки методов в этой статье. Действительно, подражая вариационному подходу, как было в [1], для проблемы с гравитационными взаимодействиями (в особенности: функционалы энергии и энтропии, а также соотношение диссипации энтропии), можно сначала доказать априорные оценки на \(u\), а затем ограничение на \(\int _{\mathcal {R}^2} u(x,t) \log \frac{u(x,t)}{U_M(x,t)} \,\text{d}x\), что приводит к (REF).