The cluster algebras \({A}({\rm SL}_k,\mathbb {S})\)  (and their dual “\(\mathcal {X}\) -space”) recover important structures in representation theory, for example the Knutson-Tao hive polytopes, the Schützenberger involution on semistandard Young tableaux, and the quantum group with its braid group action, see e.g. [1]}, [2]}, [3]}, [4]}, [5]}, [6]}. The cluster combinatorics of these cluster algebras is much more wild once \(k>2\)  and is not yet well understood.

Кластерные алгебры \(A(SL_k, \mathbb{S})\) (и их двойное пространство "X") восстанавливают важные структуры в теории представлений, например политопы Knutson-Tao Hive, инволюцию Шютценбергера на полустандартных таблицах Юнга и квантовую группу со своим действием косым продолжением, см. например [1], [2], [3], [4], [5], [6]. Кластерная комбинаторика этих кластерных алгебр намного сложнее, когда \(k > 2\), и пока еще не хорошо понята.