For definitions and basic results on Hopf algebras we refer the reader
to [1]}, [2]}, and [3]}.
The algebra \((\mathfrak {H}^1,*)\cong \operatorname{QSym}\)  has a Hopf algebra structure with coproduct
\(\Delta \)  defined by
\(\Delta (z_{i_1}z_{i_2}\cdots z_{i_n})=\sum _{j=0}^n z_{i_1}\cdots z_{i_j}\otimes z_{i_{j+1}}\cdots z_{i_n} ,\) 

Для определений и основных результатов о алгебрах Хопфа мы ссылаемся на [1], [2] и [3].

Алгебра \((\mathfrak {H}^1,*)\cong \operatorname{QSym}\) имеет структуру алгебры Хопфа с копроизведением \(\Delta\), определенным как \(\Delta (z_{i_1}z_{i_2}\cdots z_{i_n})=\sum _{j=0}^n z_{i_1}\cdots z_{i_j}\otimes z_{i_{j+1}}\cdots z_{i_n}\).