Question: 四边形ABCD是一个矩形。m \\angle 2 = 40。求m \\angle 3。

Answer: 40

1. 已知四边形ABCD是一个矩形。根据##矩形的定义，矩形的相对的边互相平行并等长##。

2. ##根据平行线的平行公理2，已知边AB与边CD平行，且被第三条直线AD所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，其中∠2和∠3在直线AD与边AB与边CD的内侧，所以∠2和∠3互为内错角##。

3. ##已知∠2和∠3互为内错角，所以∠2和∠3相等，即∠2=∠3##。

4. ##由题已知∠2=40°，所以∠3=∠2=40°##。

####

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为∠3 = 40°。

矩形的定义

矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

在本题图中，<note>两条平行线AB和CD</note>被<note>第三条直线AD</note>所截，形成了以下几何关系：1. 同位角：无。2. 内错角：<note>角2和角3相等</note>。3. 同旁内角：无。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，内错角相等。####

内错角的定义

<note>角2和角3位于两平行线之间</note>，且<note>在截线AD的对侧</note>，因此<note>角2和角3是内错角</note>。内错角相等，即<note>角2等于角3</note>。


Answer: 140°

1. 已知四边形ABCD内接于⊙O，根据圆内接四边形的对角互补性质，得出∠ABC + ∠ADC = 180°。

2. 又已知∠ABC=40°，所以代入前一步得到的等式可以得出∠ADC = 180° - 40°。

3. 计算得出∠ADC = 140°。

4. 经过上述推理，最终得出答案为140°。

圆内接四边形; 圆周角; 圆

内接四边形

内接四边形是指一个四边形的全部四个顶点都在同一个圆上。这个圆称为四边形的外接圆。

<note>四边形ABCD的四个顶点A、B、C和D都在同一个圆O上</note>。这个圆称为<note>四边形ABCD的外接圆</note>。因此，<note>四边形ABCD是一个内接四边形</note>。根据内接四边形的性质，可以得出<note>对角相加等于180度</note>，即<note>角ABC + 角ADC = 180度</note>，<note>角BAD + 角BCD = 180度</note>。

(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理

在一个圆内接四边形中，每一对对角的和等于180°。并且任何一个外角都等于他的内对角。

<note>四边形ABCD内接于⊙O</note>，四边形的顶点<note>A、B、C、D都在圆上</note>。根据<note>圆内接四边形对角互补定理</note>，四边形ABCD的每一对对角的和等于180°。具体来说，<note>∠ABC + ∠ADC = 180°</note>；<note>∠BAD + ∠BCD = 180°</note>。


Question: 求 x。

Answer: 5 \sqrt { 3 }

1. ##设三角形三个顶点分别为A、B、C，已知∠ACB=90°，根据直角三角形的定义，可得△ABC为直角三角形。

2. ##已知∠CAB=60°，∠ACB=90°，根据三角形内角和定理，∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC=180°-90°-60°=30°##。

3. ##根据30°-60°-90°三角形的性质，60°角所对的边为短边的√3倍，即BC=√3AC##。

4. ##已知BC=15，AC=x，代入具体值有15=√3x，x=5√3##。

####

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为5√3。

直角三角形; 正弦; 余弦

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

在本题图中，三角形ABC中，<note>角ACB是直角（90度）</note>，因此三角形ABC是一个直角三角形。<note>边AC和边BC是直角边</note>，<note>边AB是斜边</note>。####

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形ABC</note>中，<note>角ABC</note>、<note>角BAC</note>和<note>角ACB</note>是<note>三角形ABC的三个内角</note>，根据<note>三角形内角和定理</note>，<note>角ABC + 角BAC + 角ACB = 180°</note>。

30°-60°-90°三角形的性质

在30°-60°-90°三角形中，30度角所对的边短，是斜边的一半，60度角所对的边则为短边的√3倍。

在本题图中，<note>30°-60°-90°三角形ABC</note>中，<note>角ABC是30度</note>，<note>角BAC是60度</note>，<note>角BCA是90度</note>。<note>边AB是斜边</note>，<note>边AC是30度角所对的边</note>，<note>边BC是60度角所对的边</note>。根据30°-60°-90°三角形的性质，<note>边AC等于边AB的一半</note>，<note>边BC等于边AC的√3倍</note>。即：<note>AC = 1/2 * AB</note>，<note>BC = AC * √3</note>。


Question: 如图,AB∥CD,AE平分∠CAB交CD于点E,若∠C=70°,则∠AED度数为()

Answer: 125°

1. 已知AB平行于CD，根据##平行线的平行公理2和同旁内角的定义##，得出∠BAC + ∠ACD = 180°。

2. ∵ ∠C = 70°，由步骤1可得∠BAC = 180° - ∠C = 180° - 70° = 110°。

3. ∵ AE平分∠CAB，根据角平分线定义，得∠CAE = 0.5×∠BAC = 0.5×110° = 55°。

4. ##根据三角形的外角定理，得∠AED = ∠ACE + ∠CAE##。

5. ##由于∠ACE = ∠C (即∠C = 70°)##，所以∠AED = ∠C + ∠CAE = 70° + 55° = 125°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为125°。

平行线; 内错角; 等腰三角形

角平分线定义

角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>已知AB∥CD</note>，直线<note>AC截这两条平行线</note>，形成以下几何关系：##1. <note>同位角相等</note>。2. <note>内错角相等</note>。3. <note>同旁内角：∠CAB和∠ACD互补，即∠CAB + ∠ACD = 180°</note>##。这些关系说明了在<note>两条平行线AB和CD被第三条直线AC所截</note>时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。##

同旁内角的定义

两条直线被第三条直线所截，在截线同侧，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角。若两直线平行，则同旁内角互补。若同旁内角互补，则两直线平行。

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

<note>三角形ACE是由三个非共线点A、C、E及其连接线段AC、AE、CE组成的几何图形</note>。<note>点A、C、E分别是三角形的三个顶点</note>，<note>线段AC、AE、CE分别是三角形的三条边</note>。

三角形的外角定理

三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。

<note>角AED是三角形的一个外角</note>，<note>角CAE和角ACE是与外角AED不相邻的两个内角</note>，根据三角形的外角定理，<note>外角AED等于不相邻的两个内角CAE和ACE之和</note>，即<note>角AED = 角CAE + 角ACE</note>。####

多边形的外角定义

多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。


Question: 求 K L。

Answer: 12

##1. 三角形KJL 被给定为一个等边三角形，其中 KJ = KL = JL 。

2. 因为这是一个等边三角形，所以我们知道两边 KJ 和 KL 相等。

3. 三角形的边长分别给定为 KJ = x + 7，JL = 4x - 8。

4. 根据等边三角形的边相等性，我们可以建立方程 KJ = JL。因此，x + 7 = 4x - 8。

5. 解方程求 x，我们将 x 从两边减去，得到：7 = 3x - 8。

6. 为了隔离 x，我们在两边都加上 8：15 = 3x。

7. 最后，将两边都除以 3：x = 5。

8. 将 x = 5 代入 KL 的表达式中，即 4x - 8。

9. 计算 KL：4(5) - 8 = 20 - 8 = 12。

10. 因此，KL 边的长度为 12。##

等边三角形的定义

等边三角形是所有三条边长度相等并且所有内角都相等（均为60°）的三角形。

<note>在本题图中，三角形KJL是一个等边三角形</note>。<note>边KJ、边KL和边JL的长度相等</note>，并且<note>角J、角K和角L的度数相等，均为60°</note>。


Answer: 25°

1. 已知在圆 O 中，弦 AC 平行于半径 OB，且 ∠BOC = 50°。

2. 根据圆周角定理，圆心角 ∠BOC 等于其所对的弦 AC 对应的圆周角 ∠BAC 的两倍。因此，可以得出 ∠BOC = 2∠BAC。

3. 由 ∠BOC = 50° 以及 ∠BOC = 2∠BAC，得出 ∠BAC = 25°。

4. ##由于弦 AC 平行于半径 OB， ∠BAC =和∠OBA互为内错角，根据##平行线的平行公理2##，得出 ∠BAC = ∠OBA##。

5. 由 ∠BAC = 25°，得出## ∠OBA## = 25°。

6.##经过上述推理，最终得出答案为 ∠OBA = 65°。##

####

圆; 圆心角; 弧; 平行线; 对顶角

圆的定义

到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。

<note>圆 O 中，点 O 是圆心</note>，<note>半径为 OA 或 OB 或 OC</note>。图中所有到<note>点 O 的距离等于 OA（或 OB 或 OC）的点</note>都在<note>圆 O 上</note>。

弦的定义

弦是连接圆上任意两点的线段。

在本题图中，圆 O 中，点 A 和点 C 是圆上的任意两点，<note>线段 AC</note> 连接了这两个点，所以 <note>线段 AC 是圆 O 的弦</note>。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

在本题图中，圆 O 中，点 O 是圆心，点 A 和点 B 是圆上的任意一点，<note>线段 OA 和线段 OB 是从圆心 O 到圆上任意一点 A 和 B 的线段</note>，因此<note>线段 OA 和线段 OB 是圆 O 的半径</note>。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

在本题图中，圆O中，<note>点B和点C是圆上的两点</note>，<note>圆心是点O</note>。<note>连线OB和OC组成的角∠BOC</note>称为圆心角。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

<note>在本题图中，圆 O 中</note>，<note>角 BAC 的顶点 A 在圆周上</note>，<note>角 BAC 的两边分别与圆 O 相交于点 B 和点 C</note>。因此，<note>角 BAC 是一个圆周角</note>。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>弦 AC 平行于半径 OB</note>，根据平行线的平行公理2，<note>弦 AC 和半径 OB 被直线 OC 所截</note>，形成了以下几何关系： <note>内错角：角 BAC 和角 OBA相等</note>。因此，<note>∠BAC = ∠OBA= 25°</note>。

内错角的定义

当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角


Question: 如图一个扇形铁皮OAB,已知OA=30cm,∠AOB=120°,工人师傅将OA、OB合拢制成了一个圆锥形的烟囱帽(接缝忽略不计),则烟囱帽的底面圆的半径为()

Answer: 10cm

1. 已知OA=30 cm，∠AOB=120°。

2. ##根据角度与弧度的换算公式，将圆心角换算成弧度得 θ = 120° × (π/180°) = (2π/3)##。

3. ##根据扇形的弧长公式L = θr（其中L为弧长，θ为弧度制的圆心角，r为半径），则弧长L = (2π/3) × 30 = 20π cm##。

4. 设烟囱帽底面圆的半径为r，##那么根据圆的周长公式，底面圆的周长为2πr，由于工人师傅将OA、OB合拢制成了一个圆锥形的烟囱帽，根据圆锥的展开图可知，扇形弧长等于圆锥帽底面圆周长，则有2πr=20π##。

5. 两边同时除以2π，解得r=10。

6. 经过上述推理，最终得出答案为10 cm。

扇形的定义

由一个圆的两条半径与它们所夹的圆弧组成的图形称作扇形。

圆的周长公式

圆的周长是圆周的长度，可以通过公式C=2πr计算，其中C是周长，r是半径。

<note>设烟囱帽底面圆的半径为r</note>，则<note>底面圆的周长为2πr</note>。根据题目条件，<note>扇形OAB的弧长等于圆锥帽底面圆的周长</note>，即<note>2πr = 20π</note>。

扇形的弧长公式

扇形的弧长L等于圆心角θ（以弧度制表示）乘以半径r：L = θr。

<note>扇形OAB</note>中，<note>圆心角∠AOB为120°（以弧度制表示为2π/3）</note>，<note>半径为OA=30 cm</note>。根据扇形的弧长公式，弧长L等于圆心角θ乘以半径r，即<note>L = θ * r</note>。计算得出弧长为 <note>(2π/3) × 30</note> =20π cm。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

<note>扇形的圆心</note>到<note>圆周上任意一点</note>的<note>线段长度为6厘米</note>，因此该<note>线段是扇形的半径</note>。####

角度与弧度的换算公式

弧度 = 角度*（π/180），角度 = 弧度*（180/π）。

<note>图形OAB中，AOB的角度是120°</note>，根据<note>角度与弧度的换算公式</note>，换算为<note>弧度 = 120°*（π/180）</note>。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

<note>在本题图中，圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O</note>。<note>连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角，圆心角度数为120°</note>。

圆锥

圆锥是一种几何图形，有一个圆形的底和一个顶点，它的侧面为一曲面。

<note>圆锥的底面是一个圆形</note>。<note>圆锥的顶点为点O</note>，<note>顶点O与圆心之间的距离为圆锥的高</note>。<note>圆锥的侧面是一个曲面</note>，<note>从顶点O到圆周上的任意一点的距离为6 cm</note>。####

圆锥的展开图

一个圆锥体的展开图是一个扇形，扇形的半径是圆锥体的斜高，扇形的弧长是圆锥体底面圆的周长。

<note>圆锥体的展开图是一个扇形</note>。<note>扇形的半径是圆锥体的斜高OA</note>，<note>扇形的弧长是圆锥体底面圆的周长</note>。


Question: 求 x 使得该四边形是平行四边形。

Answer: 13

1. 对于给定的##四边形，由图可得##两组对边分别为2x - 5与3x - 18，以及5y和2y + 12。

2. ##由题意得，假设该四边形为平行四边形，则有两组对边分别平行且相等##。

3. ##依据平行四边形的定义##，对于一组对边有2x - 5 = 3x - 18。

4. 解方程2x - 5 = 3x - 18，移项得到2x - 3x = -18 + 5，即-x = -13，故x = 13。

5. 对于另一组对边，方程为5y = 2y + 12。

6. 解方程5y = 2y + 12，得到5y - 2y = 12，即3y = 12，所以y = 4。

7. 验证上述x = 13，y = 4是否满足所有对边长度相等。

8. 将x = 13代入2x - 5和3x - 18中，得到##2 * 13## - 5 = 21和##3 * 13## - 18 = 21。确认等式成立。

9. 将y = 4代入5y和2y + 12中，得到##5 *  4## = 20和##2 * 4 ##+ 12 = 20。确认等式成立。

10. 经过核对，发现x = 13，y = 4满足给定条件，故该四边形为平行四边形。

11. 因为题目要求求解x的值，所以最终答案为x = 13。

平行四边形的定义

平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。

<note>四边形的两组对边分别为2x - 5和3x - 18，以及5y和2y + 12</note>。根据平行四边形的定义，<note>两组对边分别平行且相等</note>，即<note>2x - 5 = 3x - 18</note>，<note>5y = 2y + 12</note>。######

四边形的定义

四边形是由四条线段组成的封闭图形，这些线段称为四边形的边。四边形有四个顶点和四个内角。

<note>四边形由四条线段2x - 5, 3x - 18, 5y和2y + 12组成</note>，这些线段称为四边形的边。


Question: 上图中矩形ABCD的面积为168。线段AC的长度是多少？

Answer: 25

1.已知矩形 ABCD 的面积为 168，##宽BC## = 7。矩形的面积公式为长乘宽，因此，我们用 w 表示矩形的##长AB，##则有 w * 7 = 168。

2. 解 w * 7 = 168，得到 w = 168 / 7 = 24，因此矩形的##长AB## = 24。

3. ##根据矩形的定义和对角线的定义，角ABC为90度，AC为矩形的对角线，再依据直角三角形的定义，三角形ABC是直角三角形，在直角三角形ABC中，根据勾股定理，斜边AC等于两直角边的平方和的平方根。##

4. ##直角三角形ABC的直角边为BC##和 AB，##已知BC=7，AB=8，那么##AC = √(##BC^2## + AB^2) = √(24^2 + 7^2)。

5. 计算 24^2 = 576 和 7^2 = 49，然后求和 576 + 49 = 625。

6. 因此，AC = √625 = 25。

7. 经过上述推理，最终得出答案为 25。

矩形; 直角三角形; 线段

矩形的面积公式

矩形的面积等于其长度乘以其宽度。

在本题图中，矩形ABCD中，<note>边AB</note>和<note>边BC</note>是矩形的长和宽，所以矩形的面积 = <note>AB * BC</note>。

矩形的定义

矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

在本题图中，AC是矩形ABCD的对角线，将矩形分成两个直角三角形。在<note>直角三角形ABC</note>中，<note>∠ABC是直角（90度）</note>，<note>边AB和BC</note>是直角边，<note>边AC是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>AC? = AB? + BC?</note>。根据已知数据<note>BC</note>=7，<note>AB</note>=24，对角线 AC = √(24? + 7?) = √(576 + 49) = √625 = 25。

对角线的定义

对角线是连接多边形一顶点和非相邻顶点的线段。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>角ABC是直角（90度）</note>，因此三角形ABC是一个直角三角形。<note>边AB和边BC是直角边，边AC是斜边</note>。


Question: 求 x。

Answer: 22.5

##1.设大三角形为ABC（从上顶点逆时针方向），斜边与长直角边的垂直分割线为EF，点E在AC上，点F在AB上。##

####

##2. 由图可得：AF=8，BF=18，AE=10，AC=x，∠BAC=∠FAE，∠ABC=∠AFE=90°，根据相似三角形的判定定理(AA)得：三角形ABC~三角形AFE。##

##3##. 根据相似三角形的定义，△ABC∽##△AEF##，有边比为 ##AB/AF = AC/AE。##

##4. 因为AB=AF+BF=18+8=26，带入数据计算:26/8=AC/10=8AC=26*10=260=8AC=260/8=AC=32.5。##

##5. 解出AC=32.5，求EC(x)=AC-AE=22.5。##

####

##6##. 经过上述推理，最终得出答案为x = 22.5。

相似三角形的判定定理(AA)this: 在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似

在本题图中，三角形ABC和三角形AFE中，如果角ABC等于角AFE，且角BAC等于角FAE，所以三角形ABC相似于三角形AFE。####name: 相似三角形的定义content: 相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

在本题图中，<note>三角形ABC和三角形AFE</note>是相似三角形。根据相似三角形的定义有：<note>角ABC = 角AFE</note>，<note>角BAC = 角FAE</note>，角ACB = 角AEF；<note>AB/AF =BC /FE = AC/AE</note>。

垂线定义

如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。


Answer: 55°

1.已知CD平行于AB，根据##同旁内角的定义和平行线的平行公理2##，故∠BCD与∠CBA互补，即∠BCD + ∠CBA = 180°。

2. 由已知条件∠BCD = 70°，代入上一结论得∠CBA = 180° - 70° = 110°。

3. 已知BD平分∠ABC，根据角平分线定义，##∠DBC=∠ABD ##= 1/2∠CBA。代入得##∠DBC=∠ABD##= 110° / 2 = 55°。

4. ##根据内错角的定义和平行线的平行公理2可得：∠ABD=∠CDB=55°。##

####

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为∠CDB = 55°。

平行线; 内错角; 普通三角形

角平分线定义

角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>CD∥AB</note>，且直线<note>BE</note>与它们相交，形成了以下几何关系：1. 同位角：<note>无</note>。2. 内错角：<note>∠CDB和∠ABD相等</note>。3. 同旁内角：<note>∠BCD和∠CBA互补，即∠BCD + ∠CBA = 180°</note>。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

同旁内角的定义

两条直线被第三条直线所截，在截线同侧，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角。若两直线平行，则同旁内角互补。若同旁内角互补，则两直线平行

<note>在本题图中，两条直线xx和xx被第三条直线xx所截，两角xxx和xxx在截线xx同侧，且在被截线xx和xx之内</note>，所以<note>角xxx和xxx是同旁内角</note>。<note>同旁内角xxx和xxx互补，即角xxx + 角xxx = 180度</note>。

内错角的定义

<note>在本题图中，两条平行直线xxx和xxx被一条直线xx截交，其中角xxx和角xxx位于两平行线之间，且在截线xx的对侧，因此角xxx和角xxx是内错角</note>。内错角相等，即<note>角xxx等于角xxx</note>。##


Question: 求图形的面积。必要时四舍五入到十分位。

Answer: 35.7

1. 已知条件为三角形的##底边##长度为10.2 ft，##高##为7 ft。根据三角形面积计算公式，三角形的面积等于底乘以高除以2。

2. 依据已知条件使用公式，设底为b=10.2 ft，高为h=7 ft，则面积A=(b * h) / 2。

3. 将具体数值代入：A = (10.2 * 7) / 2。

4. 进行计算，10.2 * 7等于71.4，71.4除以2等于35.7。

5. 因此，该三角形的面积为35.7平方英尺。

6. 由于题目要求，若有必要，将结果四舍五入到最近的十分位。

7. 最终结果为35.7平方英尺，无需进一步四舍五入。

普通三角形; 直角三角形

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

<note>三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形</note>。该三角形的底边<note>长度为10.2英尺</note>，<note>高度为7英尺</note>。

高的定义

从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。

在本题图中，<note>高是从三角形的顶点垂直于底边10.2英尺</note>，并且它的长度为7英尺。<note>线段与底边形成一个直角（90度）</note>，这说明这条线段是从顶点到底边的垂直距离。

三角形的面积公式

任意三角形的面积等于其底乘以高除以2

<note>三角形的底边为10.2英尺</note>，<note>高为7英尺</note>。根据三角形的面积公式，三角形的面积等于<note>底边乘以高再除以2</note>，即面积 = (10.2 * 7) / 2。


Question: 如图,一个圆锥的侧面展开图是半径为10的半圆,则它的底面半径是()

Answer: 5

1. 设圆锥的底面半径为 r，侧面展开图为半径为 10 的半圆。

2. 根据题意，##圆锥的底面周长等于半圆的弧长，根据圆的周长公式，得圆锥的底面周长=2πr，半圆的周长=1/2圆的周长=1/2 * 10 * 2π=π * 10，则2πr =π * 10。##

3. ##解方程得r=5。##

####

##4##. 由此得出，圆锥的底面半径为 5。

圆的周长公式

圆的周长是圆周的长度，可以通过公式C=2πr计算，其中C是周长，r是半径。

<note>圆锥的底面是一个圆</note>，其<note>半径为 r</note>，<note>周长为 2πr</note>。圆锥的侧面展开图是<note>一个半圆</note>，<note>半圆的半径为 10</note>，<note>半圆的周长为 π * 10</note>。

半圆的定义

半圆是由直径和一段圆弧构成的几何图形，即一个圆被直径分割成的两个面积相等的部分。

<note>半圆由直径和半径为10的圆弧构成</note>。半圆的周长为 (1/2 * 2π * 10) + 10 = π * 10。

圆锥的展开图

<note>在本题图中</note>，圆锥的侧面展开图是<note>一个半圆</note>。半圆的半径是<note>圆锥体的斜高（10）</note>，半圆的弧长（<note>π * 10</note>）等于<note>圆锥底面的周长（2πr）</note>。因此，<note>半圆的半径（10）</note>等于<note>圆锥体的斜高</note>，半圆的弧长（<note>π * 10</note>）等于<note>圆锥底面圆的周长（2πr）</note>，其中<note>r是底面圆的半径</note>。


Question: 在图中，正方形ABDC内接于\odot K。求一个中心角的度量。

Answer: 90

####

##1##. 在正方形 A B D C 中，F 是对角线## A D 和 B C## 的交点，##根据正方形的对角线性质##，这两条对角线在正方形中垂直且相等。

##2. 因为两条对角线在正方形中垂直且相等，所以正方形ABDC内的对角线构成的角都为直角，即∠CFD=∠AFB=∠BFD=∠AFC=90°##。

##3. 根据中心角的定义，中心角是指一个正多边形的相邻的两个顶点与它的中心的连线的夹角。而在正方形ABDC中，点C和点D为正方形的相邻的两个顶点，点F为正方形的中心，∠CFD为两个顶点与中心的连线，即CF和DF的夹角##。

##4. 已知∠CFD=90°，所以中心角为90度##。

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为90度。

正方形; 圆; 圆心角; 圆内接四边形; 垂线

正方形的定义

正方形是一种平面四边形，其四条边相等且四个内角均为直角（90度）。

正方形的对角线性质

正方形的对角线是连接相对角的线段。正方形的两个对角线相等，并互相垂直平分。

在本题图中，<note>正方形ABDC中，对角线AD和BC是连接相对角的线段</note>。根据正方形的对角线性质，<note>AD和BC相等</note>，并且<note>AD和BC互相垂直平分</note>，即在它们的交点处形成<note>四个90度的角</note>。因此，<note>AD = BC</note>，并且<note>它们在交点处相互垂直</note>。

中心角的定义

中心角是指一个正多边形的相邻的两个顶点与它的中心的连线的夹角。中心角也可以表示为正多边形每一边所对的外接圆的圆心角。

在本题图中，<note>角CFD是一个中心角，它由正多边形的中心F与相邻两个顶点C和D的连线所形成</note>。根据中心角的定义，<note>角CFD是正多边形的中心角，且它的大小等于正多边形每一边所对应的外接圆的圆心角</note>。##


Question: 如图,四边形ABCD内接于⊙O,若∠C=36°,则∠A的度数为()

Answer: 144°

1. 四边形ABCD内接于圆O，根据##(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理##，即圆内接四边形的对角互补，可以得出∠DAB + ∠DCB = 180°。

2. 已知∠DCB = 36°，将其代入上述等式，得∠DAB + 36° = 180°。

3. 通过简单的代数运算，求出∠DAB = 180° - 36° = 144°。

圆内接四边形; 圆周角; 对顶角; 邻补角; 圆

内接四边形

<note>四边形ABCD的四个顶点A、B、C和D都在同一个圆O上</note>。这个圆称为<note>四边形ABCD的外接圆</note>。因此，<note>四边形ABCD是一个内接四边形</note>。根据内接四边形的性质，可以得出<note>对角相加等于180度，即∠DAB + ∠DCB = 180度，∠ABC + ∠CDA = 180度</note>。

(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理

<note>四边形ABCD内接于⊙O</note>，<note>四边形的顶点A、B、C、D都在圆上</note>。根据圆内接四边形对角互补定理，<note>四边形ABCD的每一对对角的和等于180°</note>。具体来说，<note>∠DAB + ∠DCB = 180°</note>；<note>∠ABC + ∠ADC = 180°</note>。


Question: 如图,⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足是点E,∠CAO=22.5°,OC=6,则CD的长为()

Answer: 6√{2}

1. 已知AB是⊙O的直径且垂直于弦CD，并且在点E相交，根据垂径定理，CE=DE。

2. ∠CAO=22.5°，根据圆周角定理，∠COB=2∠CAO=2×22.5°=45°。

3. 在△OCE中，##根据三角形内角和定理，∠OCE=180°-90°-45°=45°。##

4. 因为△OCE是等腰直角三角形，根据##勾股定理，2CE^2=OC^2，CE=3√2。##

5. 因为CE=DE，所以CD=CE+DE=2×CE=6√2。

6. 经过上述推理，最终得出答案为6√2。

圆; 垂线; 弦; 直角三角形; 圆周角

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

<note>在本题图中，圆O中，角CAO的顶点A在圆周上</note>，<note>角CAO的两边分别与圆O相交于点C和点O</note>。因此，<note>角CAO是一个圆周角</note>。

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

<note>AB是直径，连接了圆心O和圆周上的A、B两点</note>，长度为2倍的半径，即<note>AB = 2r</note>。

垂径定理

如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

在本题图中，圆O中，点A、C、B在圆上，<note>弧CB与弧CA对应的圆心角为∠COB</note>，<note>圆周角为∠CAO</note>。根据圆周角定理，<note>∠CAO等于它所对的弧CB所对应的圆心角∠COB的一半</note>，即<note>∠CAO = 1/2 ∠COB</note>。

等腰直角三角形的定义

等腰直角三角形是两个边相等且有一个角为90度的三角形。

在本题图中，三角形OCE是等腰直角三角形，其中<note>角OEC是直角（90度）</note>，<note>边OE和边CE是相等的直角边</note>。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>直角三角形OCE</note>中，<note>角OEC是直角（90度）</note>，边<note>OE和CE是直角边</note>，边<note>OC是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>OC² = CE² + OE²</note>。


Question: 如图,小东用长3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度,移动竹竿,使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时,竹竿与这一点相距8m,与旗杆相距22m,则旗杆的高为()

Answer: 12m

1. 根据题意，向三角形中加入辅助线BE，使BE∥CD，并且AE为竹竿的影子长度8米，AD为竹竿和旗杆顶端的影子总长度即30米(22米+8米)。

2. 因为##角D=角AEB=90度，角A为公用角，所以三角形AEB∽三角形ADC，根据相似三角形的定义，对应边成比例。##

3. 根据相似三角形的##定义##，得出比例关系为\(\frac{AE}{AD}=\frac{BE}{CD}\)，即\(\frac{8}{30}=\frac{3.2}{CD}\)。

4. 通过解这个比例方程，可以得到\(CD=12\)米。

5. 经过上述推理，得出旗杆的高为12米。

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>三角形AEB和三角形ADC是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>∠BAE = ∠CAD</note>, <note>∠AEB = ∠ADC</note>, <note>∠ABE = ∠ACD</note>；<note>AE/AD = BE/CD = AB/AC</note>。

相似三角形的判定定理(AA)

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。


Question: 求图形的面积。结果四舍五入到十分位。

Answer: 50.2

1. 已知条件为圆的半径为 4 英寸。圆的面积可以通过公式 A = ##πr^2## 计算，其中 A 是面积，r 是半径，π 是圆周率。

2. 根据已知条件 r = 4 英寸，将半径代入面积公式，得到 A = ##π * (4)^2##。

3. 通过计算，得到 A = 16π。

4. 使用常用近似值 π ≈ 3.14 进行计算，A ≈ 16 * 3.14。

5. 计算结果为 A ≈ 50.24。

6. 按题目要求将面积四舍五入到最接近的十分位，结果为 50.2。

7. 经过上述推理，最终得出答案为 50.2。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

圆的面积公式

圆的面积公式为A = πr^2，其中A表示面积，π是圆周率，r是圆的半径。

<note>圆的半径是4英寸</note>，根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以<note>半径4的平方</note>，即<note>A = π(4)^2</note>。


Question: 求风筝的面积。

Answer: 336

1. 已知对角线交叉且相互垂直的四边形为菱形或风筝，又根据图中可见该图形是风筝，且其对角线相交并垂直相交。

2. 风筝的面积公式为：面积 = 1/2 * 对角线1 * 对角线2。

3. 根据图中信息，已知：对角线1（垂直方向）为32 cm。 设对角线2（水平方向）为d，由结构对称性，根据图所示风筝的特征，d即为21 cm。

4. 将已知对角线长度代入面积公式：面积 = 1/2 * 32 cm * 21 cm。

5. 计算面积：面积 = 1/2 * 32 cm * 21 cm = 336 平方厘米。

6. 因此，通过上面的推理，最终得出答案为336 平方厘米。

对角线的定义

对角线是连接多边形一顶点和非相邻顶点的线段。

<note>在本题图中，四边形风筝中</note>，<note>对角线是连接顶点的非相邻顶点的线段</note>。因此，<note>线段分别连接风筝的非相邻顶点的线段即为对角线</note>。

筝形的面积公式

筝形的面积为对角线相乘的一半。

<note>四边形的两条对角线与相互垂直</note>，<note>其中一条对角线平分另一条对角线</note>，则此四边形为筝形，筝形面积=1/2 * 32 * 21。


Question: 正方形外接于圆。求圆的精确周长。

Answer: 14 \pi

1. 已知条件为正方形外接于圆，正方形的边长为14####。

2. ##根据内切圆的性质，圆与多边形个边相切的圆，且圆心到多边形的边距相等。由于图中是正方形外切##于圆，因此圆的直径与正方形的边长相等。

3. 因此，圆的直径等于正方形的边长14####。

4. 根据圆的周长公式C=πd，其中d为圆的直径，可以得出圆的周长C = π × 14####。

5. 所以，圆的精确周长为14π####。

#内切圆#

内切圆是一个与多边形各边均相切的圆，其中心称为内心，且内心到多边形各边的距离相等。

<note>圆与正方形的所有的边相切</note>。<note>圆心点与正方形的各边距离相等</note>。

圆的周长公式

圆的周长是圆周的长度，可以通过公式C=2πr计算，其中C是周长，r是半径。

<note>圆的直径d等于正方形的边长14码</note>。根据<note>圆的周长公式C=πd</note>，圆的周长<note>C=π×14码</note>，即14π码。

正方形的定义

正方形是一种平面四边形，其四条边相等且四个内角均为直角（90度）。

<note>正方形的四条边相等，边长均为14码</note>，且<note>四个内角均为直角（90度）</note>。这些性质保证了<note>正方形的边长可以用来计算外接圆的直径</note>。

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

在本题图中，<note>14是直径</note>，连接了<note>圆心O和圆周上的x、x两点</note>，长度为<note>2倍的半径，即直径 = 2r = 14</note>。


Question: \triangle R S T \cong \triangle A B C。 求 x。

Answer: 10

1. 根据题目已知条件，ΔRST与ΔABC全等（ΔRST ? ΔABC）。

2. 根据##全等三角形的定义##，全等三角形对应角相等，对应边相等，即∠R = ∠A，∠S = ∠B，∠T = ∠C。

3. 由图中给出的角度表示，得到∠S = (5x + 20)°，∠B = (3x + 40)°。

4. ##因为全等三角形内的对应角相等，∠S = ∠B##，所以(5x + 20)° = (3x + 40)°。

5. 解方程：(5x + 20) = (3x + 40)。

6. 移项得：(5x - 3x) = 40 - 20。

7. 化简得：2x = 20。

8. 两边同时除以2，得到：x = 10。

9. 经过上述推理，最终得出答案为10。

普通三角形; 对称; 平移

全等三角形的定义

两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等。

<note>三角形RST和三角形ABC是全等三角形</note>，三角形RST的对应边和对应角与三角形ABC相等，即： <note>边ST = 边BC</note> <note>边RS = 边AB</note> <note>边RT = 边AC</note>，同时，对应的角也相等： <note>角RST = 角ABC</note> <note>角SRT = 角BAC</note> <note>角STR = 角ACB</note>。


Question: 每对多边形是相似的。求 G F。

Answer: 7.5

1. 已知条件为两三角形△RST和△EGF是相似三角形，因此对应的角相等，且对应边成比例关系。

####

##2##. 根据相似三角形的性质，△RST和△EGF的对应边满足比例关系，即RS/EG = RT/EF = ST/GF。

##3##. 根据题中已知，RT = 15，EF = 11.25，建立比例关系RT/EF = ST/GF，即15/11.25 = 10/x。

##4##. 解比例方程，15/11.25 = 10/x，两边交叉相乘得到 15 * x = 11.25 * 10。

##5##. 求解上述方程得x = (11.25 * 10) / 15 = 7.5。

##6##. 经过上述推理，最终得出答案为GF = 7.5。

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>三角形RST和三角形EGF是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>∠R = ∠E</note>, <note>∠T = ∠F</note>, <note>∠S = ∠G</note>；<note>RS/EG = ST/GF = RT/EF</note>。


Question: 求该图形的周长。如有必要，四舍五入到十分位。

Answer: 24

1. 首先分析题目中给出的几何图形，它是一个凹形的多边形。明确给出各边的边长：分别是位于外侧3个边长等于5的边，和位于内侧3个边长等于2的边。

2. 根据多边形的周长公式。多边形的周长等于其所有边的长度之和。即，周长P = 5+5+5+2+2+2=21

3. 所以周长即为21。

多边形的周长公式

多边形的周长等于其所有边的长度之和。对于n边形，若各边长度分别为a?, a?, ..., a?，则周长P = a? + a? + ... + a?。

在本题图中，已知<note>n边形的各边分别为5、5、5、2、2、2</note>，根据<note>多边形的周长公式</note>，<note>n边形的周长等于其所有边的长度之和</note>，即<note>周长P=5+5+5+2+2+2</note>。


Question: 如图所示:两根竖直的电线杆AB长为6,CD长为3,AD交于BC于点E点,则E到地面的距离EF的长是()

Answer: 2

1. 已知AB和CD为两根竖直的电线杆，AB长度为6，CD长度为3，且EF垂直于地面。

2. 根据题意及图示，三角形ABD和三角形EFD两个三角形相似（##已知∠EFD＝∠ABD，∠EDF＝∠ADB，利用相似三角形的判定定理(AA)##）。

3. 同样，由于垂直关系存在，三角形BCD和三角形BEF也相似（##已知∠EBF＝∠CBD，∠EFB＝∠CDB，利用相似三角形的判定定理(AA)##）。

4. 根据##相似三角形的定义##，即对应边成比例，可得：DF/BD = EF/AB，由此推出DF/BD = EF/6。

5. 同理，利用##相似三角形的定义##，可得：BF/BD = EF/CD，推出BF/BD = EF/3。

6. 将两式相加得到：DF/BD + BF/BD = EF/6 + EF/3

7. 由于DF和BF都是与BD连接的部分，所以DF/BD + BF/BD = 1。

8. 因此有：EF/6 + EF/3 = 1

9. 化简等式，得到(1/6 + 1/3) * EF = 1，即1/2 * EF = 1。

10. 解得EF = 2。

11. 经过上述推理，最终得出E到地面的距离EF的长度为2。

垂线定义

如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。

在本题图中，<note>直线EF和直线BD</note>相交形成的角<note>∠EFD是90度</note>，因此根据<note>垂线定义</note>，直线EF和直线BD互相垂直。

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>三角形ABD和三角形EFD是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>∠BAD = ∠FED</note>, <note>∠ABD = ∠EFD</note>, <note>∠EDF = ∠ADB</note>；<note>AB/EF = BD/FD = AD/ED</note>。同样，<note>三角形BCD和三角形BEF是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>∠BCD = ∠BEF</note>, <note>∠EBF = ∠CBD</note>, <note>∠EFB = ∠CDB</note>；<note>BC/BE = CD/EF = BD/BF</note>。

##相似三角形的判定定理(AA)##

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。

<note>在本题图中，三角形ABD和三角形EFD中，∠EDF = ∠ADB，且∠ABD = ∠EFD，所以三角形ABD相似于三角形EFD</note>。<note>同样，三角形BCD和三角形BEF中，∠EBF = ∠CBD，且∠BDC = ∠BFE，所以三角形BCD相似于三角形BEF</note>。


Question: 求 \\widehat Z Y 的长度。四舍五入到小数点后两位。

Answer: 7.85

1. 根据题目可知，圆的半径是6英寸，而角YXZ的角度为75度。我们要计算的##弧长ZY##是圆心角ZXY所对的弧长。

2.##依据角度与弧度的换算公式，弧度=角度*（π/180）＝75×（π/180）＝5π/12##

3.##依据扇形的弧长公式，扇形的弧长L等于圆心角θ（以弧度制表示）乘以半径r：L = θr，将θ＝5π/12和r＝6带入公式计算，得L＝5π/2##

4.##π取近似值为3.14，带入L＝5π/2，计算得L＝7.85##

####

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

<note>点X是圆心</note>，<note>点Y是圆上的任意一点</note>，<note>线段XY是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段XY是圆的半径</note>，长度为6英寸。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

扇形的弧长公式

扇形的弧长L等于圆心角θ（以弧度制表示）乘以半径r：L = θr。

<note>在本题图中，扇形ZXY中，圆心角∠ZXY为75度，半径为6英寸</note>。根据扇形的弧长公式，<note>弧长L等于圆心角θ乘以半径r，即L =θr＝（5π/12）×6</note>。

角度与弧度的换算公式

弧度=角度*（π/180），角度=弧度*（180/π）

<note>ZXY的角度是75°</note>，根据角度与弧度的换算公式，换算为<note>弧度=角度*（π/180），即 75*（π/180）</note>


Question: 如图所示,圆锥形帐篷顶的母线长AB=10cm,底面半径长BO=5m,这个圆锥形帐篷顶的侧面积(不计接缝)是()

Answer: 50πcm^{2}

1. 已知母线长AB=10cm，底面半径BO=5m。

2. 圆锥的侧面积公式为：S = πrl，其中r为底面半径，l为母线长。

3. 代入已知条件r=5cm，l=10cm，计算得：S = π * 5cm * 10cm = 50π cm^2。

4. 因此，圆锥形帐篷顶的侧面积是50π cm^2。

圆锥; 圆; 弧; 线段; 扇形

母线

母线是指圆锥中从底面圆周上的一点到顶点的线段

<note>底面圆周上的一点为B，顶点为A</note>，<note>线段AB就是母线</note>。母线是圆锥中从底面圆周上的一点到顶点的线段。已知<note>AB=10cm</note>。

圆锥

圆锥是一种几何图形，有一个圆形的底和一个顶点，它的侧面为一曲面。

在本题图中，<note>圆锥OABC</note>中，底面是<note>一个圆形</note>，<note>圆的半径为BO=5cm</note>，<note>圆心为点O</note>。<note>圆锥的顶点为点A</note>，顶点<note>A与圆心O之间的距离为圆锥的高，记作AO</note>。<note>圆锥的侧面是一个曲面</note>，从<note>顶点A到圆周上的任意一点（如B、C）的距离为母线长度，记作AB或AC</note>。

圆锥的展开图

在本题图中，圆锥体的展开图是一个扇形。<note>扇形的半径是圆锥体的斜高AB=10cm</note>，<note>扇形的弧长是圆锥体底面圆的周长2πr</note>，其中<note>r=BO=5cm</note>。因此，<note>扇形的半径AB等于圆锥体的斜高</note>，<note>扇形的弧长等于圆锥体底面圆的周长，即2πr</note>，其中<note>r是底面圆的半径</note>。

圆锥的侧面积公式

圆锥的侧面积公式为：S = πrl，其中r为底面半径，l为母线长。


Question: 使用平行四边形 A B C D 找到 m \angle D A C.

Answer: 72

####

##1. 在三角形ADF中，根据三角形内角和定理，可知∠ADF+∠AFD+∠DAF=180°。##

##2##. 代入已知值##∠ADF## =59°，##∠AFD=∠BFC=49°(根据对顶角的定义)##，计算得##∠DAC=180°- ∠ADF-∠AFD=##180° - 59° - 49° = 72°。

####

##3##. 故知 ##∠DAC## 的值为 72°。

平行四边形; 三角形的外角; 等腰三角形

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形DAF中，角DAF、角AFD和角ADF</note>是三角形DAF的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>角DAF + 角AFD + 角ADF = 180°</note>。

对顶角的定义

对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。


Question: 求平行四边形的周长。

Answer: 78

1. ##设平行四边形为平行四边形ABCD##，已知条件为平行四边形的底边长为23英尺，另一条边长为16英尺####。

2. ##根据平行四边形的周长，平行四边形的周长等于其两组邻边的两倍之和。由图已知两组邻边的边长分别为23英尺和16英尺，根据平行四边形的周长公式：P = 2(a + b)可得：P = 2(23 + 16)=2 * 39=78##。

####

##3##. 经过上述推理，最终得出答案为78英尺。

平行四边形的定义

平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。

在本题图中，<note>四边形ABCD是一个平行四边形</note>，<note>边AB与边CD平行且相等</note>，<note>边AD与边BC平行且相等</note>。

平行四边形的周长

平行四边形的周长等于其两组邻边的两倍之和。公式为：P = 2(a + b)，其中a和b为平行四边形的两条邻边。

<note>在本题图中，平行四边形ABCD中，边CD和BC是相邻的两条边，边AD和AB也是相邻的两条边</note>。根据平行四边形的周长公式，<note>平行四边形的周长等于其两组邻边的两倍之和，即周长P = 2(BC + CD)</note>。


Answer: 65°

1. ##已知EF∥BC，根据同旁内角的定义，∠BAF和∠B为同旁内角。##

2. ##根据平行线的平行公理2，得出∠BAF+∠B=180°，即∠BAF=180°-∠B=180°-50°=130°。##

3. ##已知AC平分∠BAF，则∠CAF=∠BAC，又因为∠CAF+∠BAC=∠BAF，得出∠CAF=∠BAC=∠BAF/2=130°/2=65°。##

4. ##由于∠CAF和∠C是内错角，因此∠C=∠CAF=65°##。

5. 经过上述推理，最终得出答案为65°。

平行线; 内错角; 同位角; 普通三角形; 三角形的外角

角平分线定义

角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

在本题图中，EF ∥ BC，被直线AB和AC截，形成了以下几何关系：##1. 同位角：无。2. 内错角：<note>∠CAF和∠C相等</note>。3. 同旁内角：<note>∠BAF和∠B互补，即∠BAF + ∠B = 180度</note>。这些关系说明了在两条平行线<note>EF和BC被直线AB和AC所截时</note>，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

内错角的定义

当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。


Question: 在上图中，ABCD是一个矩形。ABCD的面积是多少？

Answer: \sqrt{3}

1. 已知条件为：ABCD是一个矩形，且对角线AC##长度##为2，根据##矩形的定义，矩形的内角∠BAD=90°，∠ABC=90°。已知∠DAC＝30°，所以∠BAC＝∠BAD-∠DAC＝90°-30°＝60°，得出∠BAC为60°。因为∠ABC=90°，由直角三角形定义可知，三角形ABC是直角三角形##。

2. 根据##正弦函数定义，在直角三角形ABC中，sin(∠BAC) = 对边 BC / AC，所以 sin(60°) = BC / 2，即√3/2 = BC / 2，因此 BC = √3##。

3. ##在直角三角形ABC中，根据余弦函数，cos(∠BAC) = 邻边 AB / AC，所以 cos(60°) = AB / 2，即 1/2 = AB / 2，因此 AB = 1##。

4. 从已知ABCD是矩形，边AB与BC为相邻边，在矩形中两条相邻边乘积为矩形面积，即面积 S = AB × BC。

5. 代入已知，##AB = 1，BC = √3##，因此 S = √3 × 1 = √3。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 √3。

矩形; 直角三角形; 余弦

矩形的定义

矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。

正弦函数定义

在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。

余弦函数

余弦函数是一个三角函数，它可以通过直角三角形中的边来定义，对于一个角α，它的余弦值等于角α的邻边与斜边的比值。在单位圆中，余弦值是指从圆心到圆上与x轴夹角为α的点的横坐标。

在本题图中，直角三角形ABC中，<note>边AB是角∠BAC的邻边</note>，<note>边AC是斜边</note>。因此，根据余弦函数的定义，<note>角∠BAC的余弦值等于邻边AB与斜边AC的比值</note>，即<note>cos(∠BAC) = AB / AC</note>。

矩形的面积公式

矩形的面积等于其长度乘以其宽度。

<note>矩形ABCD</note>中，<note>边AB和边BC</note>是矩形的长和宽，所以<note>矩形的面积 = AB * BC</note>。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形

<note>三角形ABC中，角ABC是直角（90度）</note>，因此三角形ABC是一个直角三角形。<note>边AB和边BC是直角边</note>，<note>边AC是斜边</note>。


Question: 求 z。

Answer: 12

1. ##已知条件△RST为等腰三角形，其边长ST = 7, RT = 9, SR = 2z - 15。##需要找出z的值。

2. ##在等腰三角形RST中，∠S=∠T，RT 为∠S 所对的边，RS 为∠T 所对的边，根据等腰三角形的性质可得，SR=RT。##

3. ##将 SR =2z - 15， RT = 9 代入，得 2z - 15 = 9。##

##4. 解方程 2z - 15 = 9，得出 z = 12。##

####

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为z = 12。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

<note>等腰三角形RST</note>中，<note>角S和角T相等</note>。因此，根据<note>等腰三角形的性质</note>，<note>相等的角对应的边相等，即边RS = 边RT</note>。

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。


Question: 求 R S 如果 riangle Q R S 是一个等边三角形。

Answer: 2

1. 已知条件为：△QRS是等边三角形。根据等边三角形的性质，得出QR=RS=QS。

2. 根据等边三角形的性质，我们可以列出以下方程：

  QR = 4x, RS = 2x + 1, QS = 6x - 1。

  所以，4x = 2x + 1 = 6x - 1。

3. 先解第一组等式：4x = 2x + 1。

  解该方程：4x - 2x = 1 => 2x = 1 => x = 1/2。

4. 使用相同的值x解第二组等式验证是否一致：

  6x - 1 = 2x + 1。

  代入x = 1/2得到：6*(1/2) - 1 = 3 - 1 = 2 => 2*(1/2) + 1 = 1 + 1 = 2。

5. 计算得出：

  RS = 2x + 1 = 2*(1/2) + 1 = 1 + 1 = 2。

6. 最终得出答案为2。

等边三角形的定义

等边三角形是所有三条边长度相等并且所有内角都相等（均为60°）的三角形。

在本题图中，<note>三角形QRS是一个等边三角形</note>。<note>边QR、边RS和边QS的长度相等</note>，并且<note>角QRS、角RQS和角QSR的度数相等，均为60°</note>。根据题目给出的条件，可以列出<note>QR=4x, RS=2x+1, QS=6x-1</note>，所以应满足<note>4x = 2x + 1 = 6x - 1</note>。


Question: 如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,则tanA的值为()

Answer: \frac{4}{3}

1. 已知在直角三角形ABC中，∠ACB = 90°，AC = 6，BC = 8。

2. 根据正切函数定义，在直角三角形中，一个锐角的正切值等于对边长和邻边长的比值。

3. 在直角三角形ABC中，∠BAC的对边是BC，邻边是AC，因此 tan(∠BAC) = BC / AC。

4. 代入已知值，得 tan(∠BAC) = 8 / 6。

5. 对分数8 / 6进行约分，得 4 / 3。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 4 / 3。

正切函数的定义

在直角三角形中，一个锐角的正切值等于相对直角边长度除以相邻直角边长度。

<note>在直角三角形ABC中</note>，<note>∠ACB = 90°</note>，记<note>∠BAC为锐角</note>，<note>∠BAC的对边是BC</note>，<note>邻边是AC</note>。因此，<note>tan(∠BAC) = BC / AC</note>。

直角三角形的定义

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>角ABC是直角（90度）</note>，因此三角形ABC是一个直角三角形。<note>边BC和边AC是直角边，边AB是斜边</note>。


Question: 如图,AB与⊙O相切于点B,AO的延长线交⊙O于点C,连接BC,若∠A=36°,则∠C等于()

Answer: 27°

1. 已知直线AB与圆O相切于点B，依据切线的性质，得到∠ABO = 90°。

2. 根据题设，角∠A = 36°，由于∠ABO = 90°，##在三角形AOB中，使用三角形内角和定理，∠A＋∠ABO＋∠BOA＝180°##，得出∠BOA = 180° - 90° - 36° = 54°。

3. ##设AO与圆的交点为D，由图可知，∠BOD是弧DB的圆心角，∠BCD是弧DB的圆周角，依据圆周角定理，当弧DB所对的圆心角为∠BOD时，该弧对应的圆周角∠BCD= 1/2∠BOD。即∠BCD = 1/2 * 54° = 27°##。

4. ##所以∠C= 27°##。

圆; 切线; 圆周角; 圆心角; 等腰三角形

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

##在本题图中，<note>圆O中，角∠BCD的顶点C在圆周上</note>，<note>角∠BCD的两边分别与圆O相交于点B和点D</note>。因此，<note>角∠BCD是一个圆周角</note>。##

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

##在本题图中，圆O中，<note>点B和点D是圆上的两点，圆心是点O</note>。<note>连线OB和OD组成的角∠BOD称为圆心角</note>##。

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

在本题图中，三角形ABO中，<note>角∠A</note>、<note>角∠ABO</note>和<note>角∠BOA</note>是三角形ABO的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>角∠A + 角∠ABO + 角∠BOA = 180°</note>。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。


Question: 如图,阳光从教室的窗户射入室内,窗户框AB在地面上的影长DE=1.8m,窗户下檐到地面的距离BC=1m,EC=1.2m,那么窗户的高AB为()

Answer: 1.5m

1.## 因为 BE 平行 AD，∠EBC和∠DAC互为同位角，∠BEC和∠ADC互为同位角，依据平行线的平行公理2，我们可以得出 ∠EBC＝∠DAC，∠BEC＝∠ADC，再由相似三角形的判定定理(AA)可知，三角形BCE 相似于 三角形ACD##。

2. ##由 三角形BCE 相似于三角形ACD，由相似三角形的定义，##可得 CB/AC = CE/CD。

3. 根据题意，BC = 1，EC = 1.2，DE = 1.8，将这些数值代入前面的比例公式中：BC/(AB + BC) = EC/(DE + EC)，即 1/(AB + 1) = 1.2/(1.8 + 1.2)。

4. 计算比例右边部分得：1.2/3 = 0.4。

5. 于是我们得到比例式：1/(AB + 1) = 0.4。

6. 交叉相乘后得到：1 = 0.4 * (AB + 1)。

7. 化简方程得：1 = 0.4AB + 0.4。

8. 移项后得到：0.6 = 0.4AB。

9. 解得：AB = 1.5。

10. 故最终得窗户的高 AB 为 1.5 米。

直角三角形; 线段; 平行线; 垂线; 仰角

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>△BCE相似于△ACD</note>，根据相似三角形的定义有：<note>∠BCE = ∠ACD</note>，<note>∠CBE = ∠CAD</note>，<note>∠BEC = ∠ADC</note>；<note>BC/AC = CE/CD = BE/AD</note>。通过这一比例关系，我们可以将所求的<note>AB</note>与三角形的其他边联系起来，依据其他已知边长求得<note>AB的值</note>。

相似三角形的判定定理(AA)

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补

<note>在本题图中，两条平行线AD和BE被第三条直线AC所截，形成了以下几何关系：同位角：角DAC和角EBC相等</note>。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等。<note>两条平行线AD和BE被第三条直线DC所截，形成了以下几何关系：同位角：角BEC和角ADC相等</note>。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等。

同位角定义

两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角

<note>在本题图中，两条平行直线AD和BE被一条直线AC截交</note>，其中<note>角EBC和角DAC位于截线AC的同旁，被截两直线AD和BE的同一侧</note>，因此<note>角EBC和角DAC是同位角</note>。同位角相等，<note>即角EBC等于角DAC</note>。<note>两条平行直线AD和BE被一条直线DC截交</note>，其中<note>角BEC和角ADC位于截线DC的同旁，被截两直线AD和BE的同一侧</note>，因此<note>角BEC和角ADC是同位角</note>。同位角相等，<note>即角BEC等于角ADC</note>。


Question: 求 y。

Answer: 6 \sqrt { 3 }

1. ##设图中三角形的三个顶点分别为A、B、C。由图可得：∠ABC=90°，∠BCA=30°，AB=6##。

2. ##已知∠ABC=90°，∠BCA=30°，根据三角形内角和定理，∠ABC+∠BCA +∠CAB=90°+30°+∠CAB=180°，即∠CAB=180°-90°-30°=60°##。

3. ##又已知AB=6，BC=y，根据30°-60°-90°三角形的性质，在30°-60°-90°三角形中，60度角所对的边则为短边的√3倍，即BC=6√3，即y=6√3##。

4. 因此可以得出结论：y=##6√3##。

5. 经过上述推理，最终得出答案为##6√3##。

直角三角形; 正弦; 余弦

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>在本题图中，三角形ABC中，角ABC是直角（90度）</note>，因此三角形ABC是一个直角三角形。<note>边AB和边BC是直角边，边AC是斜边</note>。

30°-60°-90°三角形的性质

<note>角BCA是30度</note>，<note>角CAB是60度</note>，<note>角ABC是90度</note>。<note>边AC是斜边</note>，<note>边AB是30度角所对的边</note>，<note>边BC是60度角所对的边</note>。根据30°-60°-90°三角形的性质，<note>边AB等于边AC的一半</note>，<note>边BC等于边AB的√3倍</note>。即：<note>AC = 2 * AB</note>，<note>BC = AB * √3</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形中</note>，<note>角30°</note>、<note>角90°</note>和<note>角60°</note>是三角形的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>30° + 60° + 90° = 180°</note>。


Question: 如图,在△ABC中,AB=AC,过点A作AD∥BC.若∠1=70°,则∠BAC的大小为()

Answer: 40°

1. ##依题意得AD∥BC，根据平行线的平行公理2，内错角相等，可以得到∠1 = ∠ACB## = 70°。

2. ##在△ABC中，已知AB=AC，根据等腰三角形的定义，即△ABC是等腰三角形。又根据等腰三角形的性质，得到∠ABC=∠ACB##=70°。

3. ##根据##三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°，即##∠BAC  + ∠ABC + ∠ACB ##= 180°。

4. 代入已知条件，得出∠BAC + 70° + 70° = 180°。

5. 由此可求得∠BAC = 180° - 70° - 70° = 40°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为40°。

等腰三角形; 平行线; 内错角

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

在本题图中，三角形ABC中，<note>边AB和边AC相等</note>，因此三角形<note>ABC是一个等腰三角形</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>在本题图中，两条平行线AD和BC被第三条直线AC所截</note>，形成了以下几何关系：<note>内错角：角1和角ACB相等</note>。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

<note>在本题图中，等腰三角形ABC中，边AB和边AC相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的<note>角相等，即角ABC = 角ACB</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

在本题图中，三角形ABC中，<note>角BAC</note>、<note>角ABC</note>和<note>角ACB</note>是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>角BAC + 角ABC + 角ACB = 180°</note>。

内错角的定义

<note>在本题图中，两条平行直线AD和BC被一条直线AC截交</note>，<note>其中角1和角ACB位于两平行线之间，且在截线AC的对侧</note>，因此角1和角ACB是内错角。<note>内错角相等，即角1等于角ACB</note>。##


Question: 求x的值。

Answer: 74

1. 已知条件为五边形的外角和为360°。

2. 五边形的五个外角分别为(x)°, (x+4)°, 56°, (x+10)°, (x-6)°。

3. 根据五边形的外角和为360°，有方程：x + (x+4) + 56 + (x+10) + (x-6) = 360。

4. 合并同类项得到：4x + 64 = 360。

5. 移项并计算，得到：4x = 296。

6. 解方程得x = 74。

7. 经过上述推理，最终得出x的值为74。

五边形; 普通多边形; 三角形的外角

多边形的外角定义

多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。

在本题图中，五边形的五个外角分别为：<note>x°</note>，<note>(x+4)°</note>，<note>56°</note>，<note>(x+10)°</note>，<note>(x-6)°</note>。每个外角均为一个顶点处，由相邻边延长线与另一边构成的角。

多边形外角和定理

任意多边形的外角和等于360°。

<note>五边形的五个外角分别是x°, (x+4)°, 56°, (x+10)°, (x-6)°</note>。根据多边形外角和定理，<note>这些外角的和等于360°</note>，即<note>x° + (x+4)° + 56° + (x+10)° + (x-6)° = 360°</note>。


Question: 如图,CD为⊙O的直径,弦AB交CD于点M,M是AB的中点,点P在?{AD}上,PC与AB交于点N,∠PNA=60°,则∠PDC等于()

Answer: 60°

1. 已知CD为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，得出∠CPD = 90°。

2. 由M是AB的中点以及CD为⊙O的直径，所以CM垂直AB，根据圆的垂径定理，CM⊥AB，进而∠CMA = 90°。

3. 已知∠PNA = 60°，根据##对顶角的定义，得出∠CNM = ∠PNA = 60°##。

4. 由于∠CMA = 90°，根据第二步推理，结合第三步已知条件和角度相加关系，得出##∠C = 90° - ∠CNM## = 90° - 60° = 30°。

5. 填补辅助线PC，因此在△PCD中，由于∠CPD = 90°，使用直角三角形的三角内角和定理，##∠PDC = 90° - ∠PCD##。

6. 所以∠PDC = 90° - ∠PCD = 90° - 30° = 60°。

n. 经过上述推理，最终得出答案为∠PDC = 60°。

圆; 圆周角; 弦; 中点; 直角三角形

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

线段中点

线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。

在本题图中，<note>线段AB的中点为点M</note>。根据线段中点的定义，<note>点M将线段AB平分为两个相等的部分</note>，即<note>线段AM和线段MB的长度相等</note>。即，<note>AM = MB</note>。

(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角

半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

在本题图中，圆O中，<note>直径CD</note>所对的<note>圆周角∠CPD是直角（90度）</note>。

垂径定理

如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。

<note>圆O中，直径CD垂直于弦AB</note>，那么根据垂径定理，<note>直径CD平分弦AB，即AM=MB</note>，并且<note>直径CD平分弦AB所对的两条弧，即弧AC=弧CB</note>。######

对顶角的定义

对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。

直角三角形的锐角互余性质

在直角三角形中，除了直角之外的两个角之和为90°。

在本题图中，直角三角形CPD中，<note>角CPD是直角（90度）</note>，角C和角D是直角以外的两个锐角，根据直角三角形的锐角互补性质，<note>角C和角D的和为90度，即角C + 角D = 90°</note>。直角三角形CMN中，<note>角CMN是直角（90度）</note>，角C和角CNM是直角以外的两个锐角，根据直角三角形的锐角互补性质，<note>角C和角CNM的和为90度，即角C + 角CNM = 90°</note>。


Question: 如图,甲、乙两盏路灯相距30米,一天晚上,当小刚从路灯甲底部向路灯乙底部直行25米时,发现自己的身影顶部正好接触到路灯乙的底部,已知小刚的身高为1.5米,那么路灯甲的高为()

Answer: 9米

1.已知小刚的身高为1.5米，设路灯甲的高为AB，用符号表示小刚的身高为CD。

2. 连接甲灯和小刚影子的顶部形成直线，设路灯乙的底部为O，小刚到乙路灯的距离为25米，甲和乙路灯之间的距离为30米，##小刚和路灯乙的距离为5米。##

3. 因为小刚到路灯乙的底部为直行，所以甲、乙两路灯垂直于地面，即有AB垂直于OB，CD垂直于OB。

4. ##根据相似三角形的判定定理(AA)，△ABO相似于△CDO（在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似）。##

5. ##上述步骤得出三角形ABO和三角形CDO相似，可以用相似三角形的判定定理(SAS)计算AB的长度：AB/CD=BO/DO。##

6. 代入已知条件，##AB/1.5=30/5=6=AB/1.5=6*1.5=AB=9。##

####

##7##. 经过上述推理，最终得出答案为：路灯甲的高为9米。

## 相似三角形的判定定理(AA)

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。

##相似三角形的判定定理(SAS)

##如果两三角形有两对应边的长度成比例且包括的对应夹角相等，那么这两个三角形相似。

<note>在本题图中，三角形ABO和三角形CDO中，边AB与边CD对应，边BO与边DO对应，且边AB/边CD = 边BO/边DO，并且角ABO=角CDO</note>，所以<note>根据边-角-边相似三角形判定定理（SAS判定定理），三角形ABO相似于三角CDO</note>。##


Question: 如图,已知CD为圆O的直径,过点D的弦DE平行于半径OA,若角D=50°,则角C的度数是()

Answer: 25°

1. 已知CD为圆O的直径，DE为经过点D的弦且平行于半径OA，∠D=50°。

2. 因为DE平行于OA，##根据平行线的平行公理2和内错角的定义##，得到∠AOD=∠D=50°。

3. 根据圆周角定理，圆周角等于所对的圆心角的一半，即∠ACD=1/2∠AOD。

4. 替代已知的∠AOD的值，得∠ACD=1/2×50°=25°。

5. 因此，角C的度数是25°。

圆; 圆周角; 圆心角; 平行线; 弦

平行线的定义

在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

在本题图中，<note>直线AO和直线DE位于同一平面内</note>，并且<note>它们没有交点</note>，因此根据平行线的定义，<note>直线AO和直线DE是平行线</note>。####

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。


Question:
在下面显示的矩形棱柱中，哪些线是平行的？选择所有适用的选项。

-

| \$ackslash\$overleftrightarrow{QU} | 和 | \$ackslash\$overleftrightarrow{ST} |
-

| \$ackslash\$overleftrightarrow{UX} | 和 | \$ackslash\$overleftrightarrow{VW} |
-

| \$ackslash\$overleftrightarrow{SW} | 和 | \$ackslash\$overleftrightarrow{UV} |
-

| \$ackslash\$overleftrightarrow{UV}\$ | 和 | \$ackslash\$overleftrightarrow{WX} |

Answer:
-

| \$\overleftrightarrow{UX}\$ | and | \$\overleftrightarrow{VW}\$ |
-

| \$\overleftrightarrow{UV}\$ | and | \$\overleftrightarrow{WX}\$ |

1. 已知图为矩形棱柱，我们需要识别哪些线段是平行的。根据平行线的定义，两条直线平行的条件是它们位于同一平面且永不相交。

2. 首先，考虑直线 \(\overleftrightarrow{QU}\) 和 \(\overleftrightarrow{ST}\)。它们分属两个不同的平面 \(QUXT\) 和 \(QRST\)，因此直接得知这两条线不在同一平面内，属于异面直线。异面直线不可能平行，因此 \(\overleftrightarrow{QU}\) 和 \(\overleftrightarrow{ST}\) 不是平行线。

3. 接下来，考虑直线 \(\overleftrightarrow{UX}\) 和 \(\overleftrightarrow{VW}\)。它们都在同一个平面 \(UVWX\) 上，并且与该平面中其他的线相邻而不共享点，即它们是平行线。

4. 然后，考虑直线 \(\overleftrightarrow{SW}\) 和 \(\overleftrightarrow{UV}\)。其中 \(\overleftrightarrow{SW}\) 在平面 \(SWVR\)，而 \(\overleftrightarrow{UV}\) 在平面 \(UVWX\)，不在同一平面内，属于异面直线，因此不是平行线。

5. 最后，考虑直线 \(\overleftrightarrow{UV}\) 和 \(\overleftrightarrow{WX}\)。这两条线在同一平面 \(UVWX\)，且不相交，因此是平行线。

6. 经过上述分析，我们确定的平行线有两组：\(\overleftrightarrow{UX}\) 和 \(\overleftrightarrow{VW}\)，以及 \(\overleftrightarrow{UV}\) 和 \(\overleftrightarrow{WX}\)。

Definition of Parallel Lines

Two lines in the same plane that do not intersect are called parallel lines.

在本题图中，<note>线段 \(\overleftrightarrow{UX}\) 和 \(\overleftrightarrow{VW}\) 是平行线</note>，因为它们位于平面 \(UVWX\) 上，并且不相交。同理，<note>线段 \(\overleftrightarrow{UV}\) 和 \(\overleftrightarrow{WX}\) 也是平行线</note>，位于平面 \(UVWX\) 上，并且不相交。

Definition of Rectangular Prism

A rectangular prism is defined as a three-dimensional geometric figure formed by six rectangular faces, where three mutually adjacent faces respectively define the length, width, and height.

<note>长方体上的面对组合关系</note>进行了详细分析，确定了<note>平面 \(UVWX\) 与平面 \(QRST\) 平行</note>，以及<note>平面 \(QUXT\) 与平面 \(SWVR\) 平行</note>。这使得在确定线段间关系时，运用了<note>长方体平行平面的性质</note>。


Question:
求△VWX的面积。

请将答案写成整数或四舍五入到最接近的十分位的小数。
 \$ox\$  mi ^ 2

Answer: 266.8 mi ^ 2

1. 根据题目，给定了三角形△VWX的三边长度：VW = 20 mi, WX = 30 mi, VX = 43 mi。

2. 为了计算三角形的面积，可以使用海伦公式。该公式为：

   Area = √[s(s - a)(s - b)(s - c)]，其中a, b, c是三角形的三边，

   s是三角形的半周长，s = (a + b + c)/2。

3. 计算半周长s：s = (VW + WX + VX)/2 = (20 + 30 + 43)/2 = 93/2 = 46.5。

4. 根据海伦公式计算面积：

   Area = √[46.5(46.5 - 20)(46.5 - 30)(46.5 - 43)]。

5. 计算各个减数：

   46.5 - 20 = 26.5， 46.5 - 30 = 16.5， 46.5 - 43 = 3.5。

6. 计算乘积：

   46.5 × 26.5 × 16.5 × 3.5 = 71,162.4375。

7. 面积等于上述乘积的平方根：

   Area = √71,162.4375 ≈ 266.7628。

8. 最后，根据题目要求，将结果四舍五入到最近的十分位：

   266.7628 四舍五入后为 266.8。

9. 经过上述推理，最终得出答案为 266.8 平方英里。

Definition of Triangle

A geometric figure is called a triangle if it is formed by three non-collinear points and the line segments connecting them.

Heron's Formula

Heron's formula is used to calculate the area of any triangle. The formula is given by: \( A = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} \), where \( s \) is the semi-perimeter, and \( a, b, \) and \( c \) are the lengths of the sides of the triangle.

在本题图中，应用Heron公式计算三角形<note>△VWX</note>的面积。首先计算半周长<note>s</note>，得<note>s = 46.5</note>。然后，将三条边的长度分别带入公式：<note>VW = 20</note>, <note>WX = 30</note>, <note>VX = 43</note>。通过计算得到面积 = <note>√[46.5(46.5 - 20)(46.5 - 30)(46.5 - 43)] ≈ 266.8平方英里</note>。


Question:
在下面显示的三棱柱中，哪些线相交？

-

| \$
\overleftrightarrow{ST}\$ | 和 | \$
\overleftrightarrow{WX}\$ |
-

| \$
\overleftrightarrow{UX}\$ | 和 | \$
\overleftrightarrow{VW}\$ |
-

| \$
\overleftrightarrow{SU}\$ | 和 | \$
\overleftrightarrow{TU}\$ |
-

| \$
\overleftrightarrow{TU}\$ | 和 | \$
\overleftrightarrow{WX}\$ |

Answer:
-

| \$\overleftrightarrow{SU}\$ | and | \$\overleftrightarrow{TU}\$ |

1. 首先观察三维几何图形中的线段，图形为一个三棱柱。

2. 考虑线段 \$\overleftrightarrow{ST}\$ 和 \$\overleftrightarrow{WX}\$。这两条线段分别在不同的平面上，其中 \$\overleftrightarrow{ST}\$ 在顶面和侧面平面内，而 \$\overleftrightarrow{WX}\$ 在底面平面内。由于它们在不同平面，依据异面直线的定义，\$\overleftrightarrow{ST}\$ 和\$\overleftrightarrow{WX}\$为异面直线。根据异面直线的性质，异面直线不相交。

3. 考虑线段 \$\overleftrightarrow{UX}\$ 和 \$\overleftrightarrow{VW}\$。这两条线段也位于不同的平面，其中 \$\overleftrightarrow{UX}\$ 是连接 U 和 X 的线段，而 \$\overleftrightarrow{VW}\$ 位于底面。因为它们不在同一平面，依据异面直线的性质，它们不会相交。

4. 考虑线段 \$\overleftrightarrow{SU}\$ 和 \$\overleftrightarrow{TU}\$。这两条线段都共用点 U，并且在同一平面上，依据平面几何中两直线在一个平面内相交的定义，这两条线段在点 U 相交。

5. 考虑线段 \$\overleftrightarrow{TU}\$ 和 \$\overleftrightarrow{WX}\$。线段 \$\overleftrightarrow{TU}\$ 与 \$\overleftrightarrow{WX}\$ 在同一平面，且不共享任何公共点，根据平行线的定义，可知两直线不相交。

6. 经过上述分析，唯一相交的线段是 \$\overleftrightarrow{SU}\$ 和 \$\overleftrightarrow{TU}\$，它们在点 U 相交。

7. 综上所述，根据几何图形属性和分析，我们得出 \$\overleftrightarrow{SU}\$ 和 \$\overleftrightarrow{TU}\$ 是题中唯一相交的线段。

Definition of Parallel Lines

在本题图中，<note>\$\overleftrightarrow{TU}\$ 和  \$\overleftrightarrow{WX}\$</note> 位于同一平面 \overline{TUX} 内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，<note>\$\overleftrightarrow{TU}\$ 和  \$\overleftrightarrow{WX}\$ 是平行线。</note>

Definition of Skew Lines

Two lines are called skew lines if and only if they are not parallel and do not lie in the same plane. Skew lines are also known as non-coplanar lines.

Properties of Skew Lines

Two lines are called skew lines if and only if they are not parallel and do not lie in the same plane. Skew lines do not intersect.

在本题图中，<note>线段$\overleftrightarrow{ST}$ 和$\overleftrightarrow{WX}$不平行且不在同一平面，是异面直线</note>，所以<note>$\overleftrightarrow{ST}$ 和$\overleftrightarrow{WX}$不相交</note>。<note>线段 $\overleftrightarrow{UX}$ 和 $\overleftrightarrow{VW}$不平行且不在同一平面，是异面直线</note>，所以<note>$\overleftrightarrow{UX}$ 和 $\overleftrightarrow{VW}$不相交</note>。<note>线段 $\overleftrightarrow{TU}$ 和 $\overleftrightarrow{WX}$不平行且不在同一平面，是异面直线</note>，所以<note>$\overleftrightarrow{TU}$ 和 $\overleftrightarrow{WX}$不相交</note>。


Question:
在下面显示的立方体中，哪些线是错开的？

-

| \$
\overleftrightarrow{GK}\$ | 和 | \$
\overleftrightarrow{IM}\$ |
-

| \$
\overleftrightarrow{IM}\$ | 和 | \$
\overleftrightarrow{GH}\$ |
-

| \$
\overleftrightarrow{HI}\$ | 和 | \$
\overleftrightarrow{GH}\$ |
-

| \$
\overleftrightarrow{FJ}\$ | 和 | \$
\overleftrightarrow{JM}\$ |

Answer:
-

| \$\overleftrightarrow{IM}\$ | and | \$\overleftrightarrow{GH}\$ |

1. 定义空间中的歪斜线。根据异面直线的定义，歪斜线是指位于不同平面且不相交的直线。

2. 考察直线\( \overleftrightarrow{GK} \)和直线\( \overleftrightarrow{IM} \)。它们位于同一平面\( (GIMK) \)，因此不是歪斜线。

3. 考察直线\( \overleftrightarrow{IM} \)和直线\( \overleftrightarrow{GH} \)。直线\( \overleftrightarrow{IM} \)位于平面\( (IMLH) \)，直线\( \overleftrightarrow{GH} \)位于平面\( (GHLK) \)，它们不在同一平面且不相交，因此是歪斜线。

4. 考察直线\( \overleftrightarrow{HI} \)和直线\( \overleftrightarrow{GH} \)。它们在点H相交，因此不是歪斜线。

5. 考察直线\( \overleftrightarrow{FJ} \)和直线\( \overleftrightarrow{JM} \)。它们在点J相交，因此不是歪斜线。

6. 经过上述分析，最终得出答案为\( \overleftrightarrow{IM} \)和\( \overleftrightarrow{GH} \)是歪斜线。

Definition of Skew Lines

<note>在本题图中，直线xx与xx不平行且不在同一平面，是异面直线，也称为歪斜线。</note>


Question:
图中显示了一个凸多边形。

这个多边形每个顶点的外角度数之和是多少？
 \$ox\$ °

Answer: 360°

1. 已知这是一个凸多边形，多边形的外角定义是：多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。

2. 根据多边形的外角和定理，该定理表述为：任何一个多边形的外角和等于360°。

3. 对于任意形状的凸多边形，这一结论依然成立，而不需要考虑多边形有多少个边。

4. 观察给定图中的多边形，确认其为凸多边形，从而验证可以应用多边形的外角和定理。

5. 由此可得，图中每个顶点的外角之和等于360°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为360°。

Definition of Exterior Angle of a Polygon

An exterior angle of a polygon is the angle formed between one side of the polygon and the extension of an adjacent side.

在本题图中，<note>多边形的一个内角</note>，<note>延长该内角的相邻边形成的角</note>称为该内角的<note>外角</note>。

Exterior Angle Sum Theorem of Polygon

For any polygon, the sum of its exterior angles is equal to 360°.

<note>在本题图中的凸多边形</note>，其所有顶点的外角之和根据<note>多边形外角和定理</note>为360°。根据多边形外角和定理，这些<note>外角的和等于360°</note>。


Question:
图中显示了一个凸多边形。

该多边形每个顶点处的外角度数之和是多少？
 \$ox\$ °

Answer: 360°

1. 观察给出的凸多边形，定义每个顶点的外角。外角是指多边形的一个边延长线和相邻边之间形成的角度。

2. 根据外角的定义，若多边形共有 n 个顶点，则会形成 n 个外角。

3. 根据多边形外角和定理，任何凸多边形的外角和无论其有多少边，总是等于 360°，不依赖于多边形的边数。

4. 这是因为对于多边形的每一个顶点，内角和外角形成的角是180°，同时多边形的内角和可以根据多边形内角和定理，公式 (n-2) × 180° 来计算。

5. 使用多边形外角和定理，在本题中，凸多边形的各个外角和为 360°。

6. 因此，无需使用多边形的具体形状信息，直接应用外角和原理。

7. 经过上述推理，最终得出答案为360°。

<note>该凸多边形的每个顶点的外角之和总是360°</note>。根据多边形外角和定理，<note>这些外角的和等于360°</note>。

<note>在本题图中，多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角</note>。例如，若多边形的一个顶点为A，且相邻边为AB和AD，则内角<note>∠BAD</note>的外角为<note>∠A'</note>，满足<note>∠BAD + ∠A' = 180°</note>。


Question:
在下面显示的矩形棱柱中，哪些线段相交？选择所有适用的选项。

-

| \$
\overleftrightarrow{KO}\$ | 和 | \$
\overleftrightarrow{LP}\$ |
-

| \$
\overleftrightarrow{IJ}\$ | 和 | \$
\overleftrightarrow{IL}\$ |
-

| \$
\overleftrightarrow{KL}\$ | 和 | \$
\overleftrightarrow{LP}\$ |
-

| \$
\overleftrightarrow{IJ}\$ | 和 | \$
\overleftrightarrow{LP}\$ |

Answer:
-

| \$\overleftrightarrow{IJ}\$ | and | \$\overleftrightarrow{IL}\$ |
-

| \$\overleftrightarrow{KL}\$ | and | \$\overleftrightarrow{LP}\$ |

1. 首先，考虑直线 \(\overleftrightarrow{KO}\) 和 \(\overleftrightarrow{LP}\)。两线位于同一平面 \(KLOP\) 内，并且没有交点。根据平行线的定义，在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。因此，\(\overleftrightarrow{KO}\) 和 \(\overleftrightarrow{LP}\) 不是相交直线。

2. 接下来，考虑直线 \(\overleftrightarrow{IJ}\) 和 \(\overleftrightarrow{IL}\)。两线共用一个端点 \(I\)，并在点 \(I\) 相交。因此，\(\overleftrightarrow{IJ}\) 和 \(\overleftrightarrow{IL}\) 是相交直线。

3. 考虑直线 \(\overleftrightarrow{KL}\) 和 \(\overleftrightarrow{LP}\)。两线位于同一平面 \(KLOP\) 内，并且在点 \(L\) 相交。因此，\(\overleftrightarrow{KL}\) 和 \(\overleftrightarrow{LP}\) 是相交直线。

4. 最后，考虑直线 \(\overleftrightarrow{IJ}\) 和 \(\overleftrightarrow{LP}\)。\(\overleftrightarrow{IJ}\) 位于平面 \(IJNM\)，而 \(\overleftrightarrow{LP}\) 位于平面 \(KLOP\)，两线位于不同的平面，且不存在共同点，根据异面直线的定义，它们是异面直线。根据异面直线的性质，异面直线不相交。因此，\(\overleftrightarrow{IJ}\) 和 \(\overleftrightarrow{LP}\) 不是相交直线。

5. 通过以上分析，最终确定在上述选项中，相交的直线是 \(\overleftrightarrow{IJ}\) 和 \(\overleftrightarrow{IL}\) 以及 \(\overleftrightarrow{KL}\) 和 \(\overleftrightarrow{LP}\)。

Definition of Parallel Lines

<note>\(\overleftrightarrow{KO}\)</note> 和 <note>\(\overleftrightarrow{LP}\)</note> 位于同一平面 <note>\(KLOP\)</note> 内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，<note>\(\overleftrightarrow{KO}\)</note> 和 <note>\(\overleftrightarrow{LP}\)</note> 是平行线。

Definition of Skew Lines

在本题图中，<note>直线IJ与LP不平行且不在同一平面</note>，是<note>异面直线，也称为歪斜线</note>。

Properties of Skew Lines

<note>直线IJ与LP不平行且不在同一平面</note>，是异面直线，所以<note>IJ与LP不相交</note>。


Question: 求△VWX的面积。请将答案写成整数或四舍五入到小数点后一位。\$ox\$ mm ^ 2

Answer: 192.0 mm ^ 2

1. 已知三角形△VWX的边长分别为VW=39 mm, WX=17 mm, VX=27 mm。

2. 根据海伦公式求解三角形面积，首先需要计算△VWX的半周长s。计算半周长的公式为：s = (VW + WX + VX) / 2。

3. 将已知边长代入半周长公式：s = (39 + 17 + 27) / 2 = 83 / 2 = 41.5 mm。

4. 接下来，根据海伦公式计算面积。海伦公式为：Area = √[s(s-VW)(s-WX)(s-VX)]。

5. 将步骤3中得到的半周长s和已知边长代入海伦公式：Area = √[41.5 * (41.5-39) * (41.5-17) * (41.5-27)]。

6. 进行逐步计算：41.5-39=2.5, 41.5-17=24.5, 41.5-27=14.5。

7. 继续进行乘积计算：41.5 * 2.5 * 24.5 * 14.5 = 36,857.1875。

8. 最后，计算出三角形的面积：Area = √36,857.1875 ≈ 191.9822… mm²。

9. 根据题目要求，最终答案需要四舍五入到最近的十分位数，因此圆整到192.0 mm²。

10. 经过上述推理，最终得出答案为192.0 mm²。

Definition of Triangle

<note>三角形△VWX</note>是由<note>三个非共线点V、W、X及其连接线段VW、WX、VX</note>组成的几何图形。<note>点V、W、X分别是三角形的三个顶点</note>，<note>线段VW、WX、VX分别是三角形的三条边</note>。

Heron's Formula

在本题图中，使用海伦公式计算三角形<note>△VWX</note>的面积。具体步骤如下：已知边长分别为<note>a=39 mm（VW）</note>，<note>b=17 mm（WX）</note>，<note>c=27 mm（VX）</note>，首先计算半周长<note>s = 41.5 mm</note>，然后代入公式<note>Area = √[41.5 * (41.5-39) * (41.5-17) * (41.5-27)]</note>。逐步计算得出：41.5-39=2.5, 41.5-17=24.5, 41.5-27=14.5，进行乘积计算得到<note>√36857.1875 ≈ 191.9822 mm²</note>，圆整到最近的十分位数，因此答案为<note>192.0 mm²</note>。


Question:
在下面显示的立方体中，哪些线是平行的？选择所有适用的选项。

-

| \$
\overleftrightarrow{UY}\$ | 和 | \$
\overleftrightarrow{WX}\$ |
-

| \$
\overleftrightarrow{VY}\$ | 和 | \$
\overleftrightarrow{WX}\$ |
-

| \$
\overleftrightarrow{XY}\$ | 和 | \$
\overleftrightarrow{VW}\$ |
-

| \$
\overleftrightarrow{VW}\$ | 和 | \$
\overleftrightarrow{WX}\$ |

Answer:
-

| \$\overleftrightarrow{VY}\$ | and | \$\overleftrightarrow{WX}\$ |
-

| \$\overleftrightarrow{XY}\$ | and | \$\overleftrightarrow{VW}\$ |

1. 已知题目中立方体的顶点分别为R、S、T、U、V、W、X、Y。

2. 根据异面直线的性质，线段UY与WX位于不同的平面，即UY与WX分别位于UTXY面和STWX面，因此这两条直线为异面直线，而非平行直线。

3. 线段VY与WX均位于VWYX平面内，根据两条直线在同一平面内且不相交的条件，这两条直线平行。

4. 线段XY与VW位于同一平面VWYX中，且按照平行线的定义，两条直线在同一平面内且不相交，因此XY与VW平行。

5. 线段VW与WX在同一平面VWYX内，并且在点W相交，因此VW和WX为相交直线，而非平行直线。

6. 经过上述推理，题目中的平行线对为⟶VY与⟶WX，以及⟶XY与⟶VW。

Definition of Parallel Lines

<note>线段VY与WX</note>，以及<note>线段XY与VW</note>是平行线，因为它们位于同一<note>平面VWX</note>内且不相交。根据平行线的定义，这些线段满足平行线条件。

Properties of Skew Lines

在本题图中，<note>直线UY与WX不平行且不在同一平面，是异面直线</note>，所以<note>UY与WX不相交</note>。


Question:
m \$ext{∠}\$ TSU是多少？

m \$ext{∠}\$ TSU= \$ext{□}\$ °

Answer: m \$\angle \$ TSU=57°

1. 在圆中，角 V 为圆心角，圆心角为 ∠TVU，从题图中，我们知 ∠TVU = 114°。

2. 角 TSU 是一个圆周角，圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

3. 根据圆周角定义：在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。具体地，圆周角 ∠TSU 拦截的弧与圆心角 ∠TVU 相同。

4. 由圆周角定理，我们有 ∠TSU = 1/2 * ∠TVU。

5. 代入已知的 ∠TVU = 114°，得到 ∠TSU = 1/2 * 114°。

6. 进行计算，1/2 * 114° = 57°。

7. 通过上述推理，最终得出答案为 57°。

Definition of Central Angle

An angle formed by two radii connecting two points on the circumference of a circle to the center of the circle is called a central angle.

<note>点 T 和点 U 是圆上的两点</note>，<note>圆心是点 V</note>。连线 <note>VT 和 VU 组成的角 ∠TVU</note> 称为圆心角，且已知 <note>∠TVU = 114°</note>。

Definition of Inscribed Angle

An inscribed angle is an angle whose vertex lies on the circumference of a circle and whose sides intersect the circle at two points.

<note>角 TSU 的顶点 S 在圆周上</note>，角 TSU 的两边分别与圆相交于点 T 和点 U。因此，<note>角 TSU 是一个圆周角</note>。

Inscribed Angle Theorem

In a circle, an inscribed angle is equal to half of the central angle that subtends the same arc.

在本题图中，圆V中，点U、T、S在圆上，<note>弧UT对应的圆心角为∠TVU</note>，<note>圆周角为∠TSU</note>。根据圆周角定理，<note>∠TSU等于它所对的弧TU所对应的圆心角∠TVU的一半</note>，即<note>∠TSU = 1/2 ∠TVU</note>。


Question:
m \$riangle \$ EDF 是多少？

m \$riangle \$ EDF= \$ox\$ °

Answer: m \$\angle \$ EDF=31°

1. 已知角 G 是圆心角，并且 ∠EDF 是内接角，且 ∠EDF 所对的圆弧与圆心角 ∠EGF 所对的圆弧相同。

2. 根据圆周角定理，该定理表述为：一个圆的内接角等于它所对弧的圆心角的一半。因此，∠EDF = 1/2 × ∠EGF。

3. 题目已知：∠EGF = 62°，代入圆周角定理计算得：∠EDF = 1/2 × 62°。

4. 计算 ∠EDF = 31°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为 31°。

Definition of Central Angle

在本题图中，圆中，<note>点E和点F是圆上的两点</note>，<note>圆心是点G</note>。<note>连线GE和GF组成的角∠EGF称为圆心角</note>。


Question:
在下面显示的立方体中，哪些线段是平行的？

-

| \$
\overleftrightarrow{RU}\$ | 和 | \$
\overleftrightarrow{UY}\$ |

-

| \$
\overleftrightarrow{VW}\$ | 和 | \$
\overleftrightarrow{UY}\$ |

-

| \$
\overleftrightarrow{TX}\$ | 和 | \$
\overleftrightarrow{WX}\$ |

-

| \$
\overleftrightarrow{TX}\$ | 和 | \$
\overleftrightarrow{UY}\$ |

Answer:
-

| \$\overleftrightarrow{TX}\$ | and | \$\overleftrightarrow{UY}\$ |

1. 从立方体的几何结构出发，首先检查直线 \overleftrightarrow{RU} 和 \overleftrightarrow{UY}。从图中可以看到，直线 \overleftrightarrow{RU} 和 \overleftrightarrow{UY} 相交于点 U，所以它们是相交线，而不是平行线。根据平行线的定义：两条直线如果在同一平面内且不相交，则这两条直线平行。因此 \overleftrightarrow{RU} 和 \overleftrightarrow{UY} 不平行。

2. 然后检查直线 \overleftrightarrow{VW} 和 \overleftrightarrow{UY}。\overleftrightarrow{VW} 位于\overline{VWR}，而 \overleftrightarrow{UY} 位于 \overline{UYX}。由于这两条线不平行且不在同一平面，它们是异面直线。根据平行线的定义，平行线必须在同一平面中，故 \overleftrightarrow{VW} 和 \overleftrightarrow{UY} 不平行。

3. 接着检查直线 \overleftrightarrow{TX} 和 \overleftrightarrow{WX}。从立方体的结构中可以看到，这两条直线在立方体的同一个面 \overline{TWX} 中相交于同一点 X。因此，\overleftrightarrow{TX} 和 \overleftrightarrow{WX} 是相交线，而不是平行线。

4. 最后检查直线 \overleftrightarrow{TX} 和 \overleftrightarrow{UY}。观察该结构可以发现，直线 \overleftrightarrow{TX} 和 \overleftrightarrow{UY} 位于相同的平面 \overline{TUX}，且不相交，根据平行线的定义，它们是平行线。

5. 经过上述推理，最终得出答案为 \overleftrightarrow{TX} 和 \overleftrightarrow{UY} 是平行的。

Definition of Parallel Lines

<note>\overleftrightarrow{TX}</note> 和 <note>\overleftrightarrow{UY}</note> 位于同一平面 <note>\overline{TUX}</note> 内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，<note>\overleftrightarrow{TX}</note> 和 <note>\overleftrightarrow{UY}</note> 是平行线。<note>\overleftrightarrow{RU}</note> 和 <note>\overleftrightarrow{UY}</note> 在同一平面内但相交于点 <note>U</note>，因此不平行。

Definition of Skew Lines

<note>直线VW与UY不平行且不在同一平面</note>，是异面直线，也称为歪斜线。


Question:
m \$riangle\$ HGI是多少？

m \$riangle\$ HGI= \$ox\$ °

Answer: m \$\angle \$ HGI=37°

1. 在给定的几何图形中，∠HGI 是一个圆周角，而 ∠J 是一个圆心角，且这两个角所对的弧是相同的，即弧 HI。

2. 根据圆周角定理，任意一个圆周角等于以同一个弧为对角的圆心角的一半。数学上可描述为：若一个圆周角 ∠ABC 所对应的弧与圆心角 ∠AOC 所对应的弧相同，则有 m∠ABC = 1/2·m∠AOC。

3. 具体应用到题目中，可知 ∠HGI = 1/2·∠J。

4. 已知 ∠J = 74°，代入 ∠HGI，即可得：m∠HGI = 1/2 × 74°。

5. 进行计算，1/2 × 74° = 37°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 ∠HGI = 37°。

Definition of Inscribed Angle

<note>在本题图中，圆O中，角HGI的顶点G在圆周上</note>，角HGI的两边分别与<note>圆O相交于点H和点I</note>。因此，<note>角HGI是一个圆周角</note>。


Question:
在下面显示的立方体中，哪些线是平行的？选择所有适用的选项。

-

| \$
\overleftrightarrow{IJ}\$ | 和 | \$
\overleftrightarrow{GH}\$ |
-

| \$
\overleftrightarrow{CG}\$ | 和 | \$
\overleftrightarrow{EI}\$ |
-

| \$
\overleftrightarrow{GJ}\$ | 和 | \$
\overleftrightarrow{HI}\$ |
-

| \$
\overleftrightarrow{CD}\$ | 和 | \$
\overleftrightarrow{GH}\$ |

Answer:
-

| \$\overleftrightarrow{IJ}\$ | and | \$\overleftrightarrow{GH}\$ |
-

| \$\overleftrightarrow{CG}\$ | and | \$\overleftrightarrow{EI}\$ |
-

| \$\overleftrightarrow{GJ}\$ | and | \$\overleftrightarrow{HI}\$ |
-

| \$\overleftrightarrow{CD}\$ | and | \$\overleftrightarrow{GH}\$ |

1. 观察立方体的拓扑结构，立方体的每个面是一个矩形，而矩形的对边是平行线。

2. 在面GHIJ中，边IJ与边GH都是面GHIJ的边，因此根据矩形的定义，线IJ和线GH是平行的。

3. 在面CGIE中，边CG与边EI都是面CGIE的边，因此根据矩形的定义，线CG和线EI是平行的。

4. 在面GHJI中，边GJ与边HI都是面GHJI的边，因此根据矩形的定义，线GJ和线HI是平行的。

5. 在面CDGH中，边CD与边GH都是面CDGH的边，因此根据矩形的定义，线CD和线GH是平行的。

6. 综上所述，立方体中平行的线段对是：IJ和GH，CG和EI，GJ和HI，CD和GH。

7. 经过上述推理，最终得出答案为线段对IJ和GH，CG和EI，GJ和HI，CD和GH都是彼此平行的。

Definition of Rectangle

A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).


Question:
m \$riangle \$ H是多少？

m \$riangle \$ H= \$ox\$ °
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）

Answer: m \$\angle \$ H=146°

1. 观察图中，∠JIK是一个圆周角，并且截取的弧JK与圆⼼角∠KHJ相同。

2. 根据圆周角定理，圆周角等于其截取的圆⼼角的一半。在本题中，∠JIK是圆周角，∠KHJ是圆心角。

3. 圆周角定理是指圆周角等于其所对的圆心角的一半。因此，∠KHJ = 2 × ∠JIK。

4. 已知∠JIK = 73°，代入公式得到∠KHJ = 2 × 73°。

5. 计算得到∠KHJ = 146°。

6. 根据上述推理，最终得出答案为146°。


Question:
求圆柱体的侧面积。

将你的答案四舍五入到最接近的十分位。

 \$ox\$ 平方米

Answer: 804.2 square meters

1. 已知圆柱的高度为16米，直径为16米。

2. 根据直径可以得到圆柱的半径为直径的一半，即16 ÷ 2 = 8米。

3. 圆柱的侧面积计算公式为：Lateral Area = 2 × 𝜋 × radius × height。

4. 将已知半径和高度带入公式计算：Lateral Area = 2 × 𝜋 × 8 × 16。

5. 进行具体计算：Lateral Area = 2 × 3.14159265 × 8 × 16。

6. 计算出数值为803.8475776。

7. 四舍五入到最近的十分位：Lateral Area ≈ 804.2。

8. 经过上述推理，最终得出答案为804.2平方米。

Formula for Lateral Area of a Cylinder

The lateral area (L.A.) of a cylinder is calculated using the formula L.A. = 2πrh, where r is the radius of the base, h is the height, and π represents the constant Pi, which is the ratio of the circumference of a circle to its diameter.

<note>圆柱的半径</note>和<note>高度</note>代入该公式计算侧面积：Side Area = 2 × 𝜋 × <note>8米</note> × <note>16米</note>。最后计算得到侧面积近似值为804.2平方米。


Question:
求棱柱的侧面积。底面是一个等边三角形。

 \$ox\$ 平方码

Answer: 120 square yards

1. 题目中给出的正三棱柱的底面是一个等边三角形，每条边长均为5码。因此，我们可以计算出底面的周长。根据三角形的周长公式，其周长为单边长度乘于3。

2. 将单边长度5码代入计算底面周长，得到：周长 = 3 × 5 = 15码。

3. 棱柱的侧面积公式为：侧面积 = 底面的周长 × 棱柱的高。在此题中，已知棱柱的高度为8码。

4. 将底面周长15码和高度8码代入侧面积公式，计算得到：侧面积 = 15 × 8 = 120平方码。

5. 经过上述推理，最终得出答案为120平方码。

Definition of Prism

A prism is a polyhedron with two parallel and congruent polygonal bases, and all other faces are parallelograms.

在本题中，所涉及的几何体是<note>正三棱柱</note>，其<note>底面为边长均为5码的等边三角形</note>，且有三个侧面（平行四边形面），每个侧面都有一个<note>高度为8码的面</note>。

Lateral Surface Area Formula of a Prism

The lateral surface area of a prism is equal to the perimeter of the base multiplied by the height.

在本题中，<note>正三棱柱的底面周长为15码</note>，<note>高度为8码</note>，因此<note>侧面积是侧面的周长乘以高度</note>，即<note>15码乘以8码得到120平方码</note>。

Formula for the Perimeter of a Triangle

The perimeter of a triangle is the sum of the lengths of its three sides. Therefore, if the three sides of the triangle are denoted as \( a \), \( b \), and \( c \), then the perimeter \( P \) is given by \( P = a + b + c \).

在本题图中，<note>三角形中，三条边分别是5码、5码、5码</note>，根据<note>三角形的周长公式</note>，即 <note>周长L = 5码 + 5码 + 5码</note>。


Question: 求该棱柱的侧面积。底面是一个等边三角形。 \$ox\$ 平方厘米

Answer: 900 square centimeters

1. 已知棱柱的底面是一个正三角形，每边都是15厘米。根据等边三角形的定义，其三条边相等，因此底面周长可以表示为每边长度的三倍。

2. 使用三角形的周长公式，因为等边三角形三边相等，所以p = 3s 计算底面周长，其中 s 表示正三角形的一边长度。

3. 代入已知的边长值 s = 15，得到底面周长 p = 3 × 15 = 45 厘米。

4. 棱柱的侧面积由底面的周长与棱柱的高相乘得到。棱柱的侧面积公式为 L.A. = p × h，其中 h 表示棱柱的高度。

5. 已知棱柱的高度 h = 20 厘米，代入公式得 L.A. = 45 × 20 = 900。

6. 通过上述计算，得到侧面积为 900 平方厘米。

Definition of Prism

<note>在本题图中，棱柱的底面是一个正三角形（两个平行且全等的三角形底面）</note>，<note>侧面是矩形</note>。该棱柱的高度为20厘米。

Lateral Surface Area Formula of a Prism

<note>底面正三角形的周长 p = 45厘米</note> 和 <note>棱柱的高 h = 20厘米</note>，<note>侧面积 L.A. = 45 × 20 = 900 平方厘米</note>。

Formula for the Perimeter of a Triangle

在本题图中，三角形中，<note>三条边分别是15、15、15</note>，根据三角形形的周长公式，即<note>周长L = 15 + 15 + 15</note>。


Question:
m \$riangle\$ EGF是多少？

m \$riangle\$ EGF= \$ox\$ °

Answer: m \$\angle \$ EGF=33°

1. 给定圆中，∠EGF为一个圆周角，它与中心角∠EHF截取同一弧EF。

2. 根据圆周角定理，圆周角∠EGF等于其所对弧的中心角∠EHF的一半。

3. 已知中心角∠EHF的度数为66°，则根据定理可得：∠EGF = 1/2 × m ∠EHF。

4. 将∠EHF = 66°代入，得：∠EGF = 1/2 × 66° = 33°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为m ∠EGF = 33°。

Definition of Inscribed Angle

<note>圆O中，角EGF的顶点G在圆周上</note>，<note>角EGF的两边分别与圆O相交于点E和点F</note>。因此，<note>角EGF是一个圆周角</note>。

Definition of Central Angle

在本题图中，圆中，<note>点E和点F是圆上的两点</note>，<note>圆心是点H</note>。<note>连线HE和HF组成的角∠EHF称为圆心角</note>。

Inscribed Angle Theorem

<note>∠EGF是圆周角</note>，对应的<note>中心角是∠EHF</note>，根据圆周角定理，<note>∠EGF = 1/2 × ∠EHF</note>。


Question: m \$\\angle \$ EGF是多少？

Answer: m \$\angle \$ EGF=66°

1. 已知圆上有四个点E、G、F和圆心H，以及圆周角EGF，并已知中心角EHF = 132°。

2. 根据圆周角定理，圆周角等于所对的弧所对应圆心角的一半。在本题中，∠EGF是圆周角，∠EHF是其对应的圆心角。

3. 应用圆周角定理：∠EGF = 1/2 × ∠EHF。

4. 将已知的∠EHF = 132°代入圆周角定理公式：∠EGF = 1/2 × 132°。

5. 计算得：∠EGF = 66°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为∠EGF = 66°。

Definition of Inscribed Angle

<note>角 ∠EGF 的顶点G在圆周上</note>，角 ∠EGF 的两边分别与圆相交于点E和点F。因此，<note>角 ∠EGF 是一个圆周角</note>。

Definition of Central Angle

在本题图中，圆中，<note>点E和点F是圆上的两点</note>，<note>圆心是点H</note>。<note>连线HE和HF组成的角∠EHF</note>称为圆心角。


Question:
求三棱柱的侧面积。

 \$ox\$ 平方厘米

Answer: 1,536 square centimeters

1. 确认三棱柱的底面形状为边长分别为12厘米、16厘米和20厘米的直角三角形，根据勾股定理的逆定理c² = a² + b²，验证a=12厘米，b=16厘米，c=20厘米满足12² + 16² = 20²，因此是直角三角形。

2. 根据题意，在三棱柱中，侧面积是底层周长与棱柱高的乘积。首先计算直角三角形的周长：12 + 16 + 20 = 48厘米。

3. 题中给出三棱柱的高为32厘米。代入公式计算侧面积：48（周长）乘以32（高）。

4. 执行乘法：48 * 32 = 1536平方厘米。

5. 经过上述推理，最终得出答案为1536平方厘米。

Definition of Right Triangle

A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.

<note>底面形状为边长分别为12厘米、16厘米和20厘米的直角三角形</note>。<note>边长为12厘米和16厘米的两条边为直角边</note>，<note>边长为20厘米的边为斜边</note>。

Definition of Triangular Prism

A triangular prism is a type of hexahedron that is formed by two parallel and congruent triangular bases and three rectangular lateral faces.

<note>三棱柱的底面是边长分别为12厘米、16厘米和20厘米的直角三角形</note>，而该三棱柱的高度为32厘米。

Converse of the Pythagorean Theorem

If the sum of the squares of two sides of a triangle is equal to the square of the third side, then the triangle is a right triangle, and the angle opposite to the longest side is a right angle.

<note>在本题图中，已知三棱柱的底面形状为边长分别为a=12厘米，b=16厘米，c=20厘米，</note><note>且满足c² = a² +b²，</note><note>则根据勾股定理的逆定理，底面是直角三角形，最长边c所对的角为直角。</note>

Lateral Surface Area Formula of a Prism

<note>底面周长12 + 16 + 20 = 48厘米</note>与<note>棱柱高32厘米</note>相乘，得到侧面积<note>48 * 32 = 1536平方厘米</note>。


Question: m \$\\angle \$ W 是多少？

Answer: m \$\angle \$ W=74°

1. 已知图中的∠TVU为圆周角，角度为37°。

2. 圆心角∠TWU与圆周角∠TVU同弧，即弧TU。

3. 根据圆周角定理，即在同一圆中，同一弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，得知∠TWU = 2 × ∠TVU。

4. 将∠TVU的测量值代入，得∠TWU = 2 × 37°。

5. 计算得∠TWU = 74°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为74°。

Inscribed Angle Theorem

在本题图中，<note>弧TU</note>所对的<note>圆周角是∠TVU</note>，<note>弧TU所对的圆心角是∠TWU</note>。根据圆周角定理，<note>∠TVU</note>等于它所对的弧<note>TU</note>所对应的圆心角<note>∠TWU的一半</note>，即<note>∠TVU = 1/2 ∠TWU</note>。因此，<note>∠TWU = 2 × ∠TVU = 2 × 37° = 74°</note>。


Question: 求棱柱的侧面积。底面是一个正方形。 \$ox\$ 平方英尺

Answer: 1,344 square feet

1. 已知棱柱的底面是一个正方形，根据正方形的定义，正方形的所有边长相等。现已知正方形的边长为12英尺。

2. 根据正方形的周长公式，即正方形的周长等于边长乘以4，计算出底面正方形的周长。设边长为s，则周长p = 4s = 4 * 12 = 48 英尺。

3. 为求此棱柱的侧面积，应用棱柱的侧面积公式，即侧面积等于底面周长与棱柱高的乘积。

4. 题中给出的棱柱的高为28英尺，因此，侧面积L.A. = 周长 * 高 = 48 * 28 = 1,344 平方英尺。

5. 经过上述计算，最后得到侧面积为1,344平方英尺。

Definition of Square

A quadrilateral is a square if and only if all four sides are congruent (≅) and all four interior angles are right angles (90°).

<note>正方形的边长为12英尺</note>。<note>四边相等且内角均为90度</note>。

Definition of Prism

在本题图中，<note>棱柱的底面是两个相等的正方形</note>，<note>棱柱的高为28英尺</note>。

Lateral Surface Area Formula of a Prism

<note>棱柱的底面周长为48英尺</note>，<note>棱柱的高为28英尺</note>。侧面积计算为<note>L.A. = 48 * 28 = 1,344平方英尺</note>。

Perimeter Formula for Square

The perimeter of a square is equal to four times the length of any one of its sides.

<note>正方形的周长等于边12的四倍</note>，即p = 12 * 4 = 48。


Question:
求圆锥的侧面积。

请将答案四舍五入到最接近的十分位。

 \$oxed{ext{}}\$ 平方厘米

Answer: 763.4 square centimeters

1. 已知圆锥的斜高（𝓁）为27厘米，直径（d）为18厘米。

2. 圆锥的底面半径（r）为直径的一半，即r = d/2 = 18/2 = 9厘米。

3. 根据圆锥的侧面积的计算公式，侧面积（L.A.）= πr𝓁。

4. 将已知的底面半径和斜高代入公式，得：L.A. = π * 9 * 27。

5. 计算π * 9 * 27，得到L.A. = 763.4070…平方厘米。

6. 根据四舍五入原则，将结果保留到小数点后第一位，得到约763.4平方厘米。

7. 经过上述推理，最终得出答案为763.4平方厘米。

Definition of Cone

A cone in three-dimensional space is a surface generated by rotating a line segment (generatrix) around a fixed straight line (axis) belonging to a plane of a circle, which is not collinear with the endpoint (vertex). The surface consists of the conical surface and the base (circle).

<note>圆锥的斜高（𝓁）</note>为27厘米，<note>底面圆的直径（d）</note>为18厘米，顶点处在圆锥底面圆的中心垂直上方，其中<note>底面圆的半径（r）</note>为直径的一半，即<note>r = 9厘米</note>。

Lateral Surface Area of a Cone

The lateral surface area \(A\) of a cone is calculated using the formula \(A = \pi r l\), where \(r\) is the radius of the base circle and \(l\) is the slant height of the cone.

在本题图中，已知<note>底面圆的半径（r）为9厘米</note>，<note>母线（斜高）𝓁为27厘米</note>，因此根据公式<note>L.A. = π * 9 * 27</note>来计算圆锥的侧面积。


Question:
求圆柱的侧面积。

将答案四舍五入到最接近的十分位。

 \$ox\$ 平方码

Answer: 678.6 square yards

1. 已知圆柱的高为12码，直径为18码。

2. 根据几何学中的圆柱侧面积公式，侧面积L.A. = 2πrh，其中r为底面半径，h为圆柱高。

3. 由于圆柱底面的直径为18码，因此其半径r = 18 ÷ 2 = 9码。

4. 把圆柱底面半径r = 9码和圆柱高h = 12码代入侧面积公式中，则得L.A. = 2π(9)(12)。

5. 计算得到L.A. ≈ 2 × 3.14159 × 9 × 12。

6. 经过计算，得到L.A. ≈ 678.583。

7. 根据题目要求，结果保留到小数点后第一位，因此侧面积约为678.6平方码。

8. 最终得出答案为678.6。

Cylinder

A cylinder is a geometric solid consisting of two parallel and congruent circular bases and a curved lateral surface connecting the bases.

<note>在本题图中，圆柱体由两个平行且相同的圆形基底和一个侧面组成</note>。基底是<note>两个完全相同的圆形</note>，它们的<note>直径为18码</note>，<note>半径为9码</note>，且它们的<note>中心在同一条直线上</note>。侧面是<note>一个矩形</note>，当展开时，其<note>高度等于圆柱体的高度12码</note>，<note>宽度等于圆周的周长</note>。

Definition of Radius

A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.

<note>圆柱底面圆的直径为18码</note>，因此其<note>半径r = 18 ÷ 2 = 9码</note>。圆的半径是指<note>从圆心到圆周上任意一点的线段的长度</note>。

Formula for Lateral Area of a Cylinder

<note>圆柱的半径r = 9码</note>，<note>圆柱的高度h = 12码</note>，代入公式得到侧面积<note>L.A. = 2π(9)(12)</note>。经过计算，侧面积约为678.6平方码。


Question:
求圆柱的侧面积。

将你的答案四舍五入到最接近的十分位。

\$ox\$ 平方米

Answer: 659.7 square meters

1. 已知圆柱的高度 h = 15 米，底面半径 r = 7 米。

2. 圆柱的侧面积 (Lateral Area) 公式为 L.A.=2πrh，其中 r 为底面半径，h 为高度。

3. 将已知的 r = 7 米 和 h = 15 米 代入侧面积公式：L.A.=2π* 7 * 15。

4. 计算2π * 7 *15，得出其值为 210π。

5. 使用 π ≈ 3.141592653...，计算 210π ≈ 210 * 3.141592653 ≈ 659.7344573。

6. 将计算结果 659.7344573 四舍五入到小数点后一位得 659.7。

7. 经过上述推理，最终得出圆柱的侧面积为 659.7 平方米。

Cylinder

<note>圆柱体由两个平行且相同的圆形基底和一个侧面组成</note>。基底是<note>两个完全相同的圆形</note>，它们的半径和直径相等，且它们的中心在同一条直线上。侧面是一个矩形，当展开时，<note>其高度等于圆柱体的高</note>，<note>宽度等于圆周的周长</note>。具体来说，圆柱体的<note>两个圆形底面的半径分别为 r = 7 米</note>，<note>高度为 h = 15 米</note>。

Definition of Radius

<note>在本题图中，圆柱的底面圆中，点是圆心</note>，<note>圆周上的任意一点</note>，<note>线段是从圆心到圆周上任意一点的线段</note>，因此<note>线段7米是圆的半径</note>。

Formula for Lateral Area of a Cylinder

在本题图中，已知<note>圆柱的底面半径 r = 7 米</note>，<note>高度 h = 15 米</note>。将已知的 r 和 h 代入侧面积公式，得到<note>L.A.=2π* 7 * 15</note>。经过计算，得出侧面积为<note>210π</note>。使用近似值<note>π ≈ 3.141592653</note>，进一步计算<note>210π≈659.7344573</note>，将结果四舍五入到小数点后一位得到最终答案<note>659.7 平方米</note>。


Question: 求该金字塔的侧面积。底面是一个等边三角形。 \$ox\$ 平方厘米

Answer: 576 square centimeters

1. 已知底面是边长为16厘米的等边三角形，根据等边三角形的定义，各边相等，因此每边长为16厘米。

2. 根据三角形的周长公式，三角形的周长为各边之和。对于等边三角形，周长p = 3 × 边长 = 3 × 16 = 48厘米。

3. 根据正棱锥的侧面积公式，其中一个侧面是一个三角形，其底是底面一边的长度，且高为斜高。正棱锥的侧面积可通过公式L.A. = 1/2 × 底面的周长 × 斜高计算。

4. 题目中给出的斜高为24厘米。因此可以代入公式计算侧面积：L.A. = 1/2 × 48 × 24 = 576平方厘米。

5. 经过上述推理，最终得出答案为576平方厘米。

Formula for the Lateral Surface Area of a Regular Triangular Pyramid

The formula for the lateral surface area of a regular triangular pyramid is: \(S_{lateral}=(\frac{1}{2}) \times C \times h\), where \(C\) is the perimeter of the equilateral triangle base, and \(h\) is the height of any of the isosceles triangle faces.

<note>底面等边三角形的周长C=16+16+16=48</note>，<note>侧面等腰三角形的高为24</note>，所以正三棱锥的侧面积<note>S侧=(1/2) * 48 * 24=576</note>。

Formula for the Perimeter of a Triangle

在本题图中，三角形中，<note>三条边分别是16、16、16</note>，根据<note>三角形的周长公式</note>，即 <note>周长L = 16 + 16 + 16=48</note>。


Question:
求圆锥的侧面积。

将你的答案四舍五入到最接近的十分位。

\$ox\$ 平方英尺

Answer: 603.2 square feet

1. 已知圆锥的母线长为24英尺，底面半径为8英尺。

2. 圆锥的侧面积（Lateral Area）可以通过公式L.A. = πrℓ计算，其中r为底面半径，ℓ为母线长。

3. 将已知的底面半径r = 8英尺和母线长ℓ = 24英尺代入侧面积公式，得L.A. = π × 8 × 24。

4. 计算算式得L.A. = 192π。

5. 使用圆周率π ≈ 3.14159进行计算，得L.A. ≈ 192 × 3.14159。

6. 继续计算，约得L.A. ≈ 603.1853。

7. 根据题目要求将结果四舍五入到最近的十分位，即得侧面积约为603.2平方英尺。

8. 经过上述推理，最终得出答案为603.2平方英尺。

Generatrix

The generatrix of a cone is the line segment that joins a point on the circumference of the base to the apex.

在本题图中，<note>圆锥的母线长为24英尺</note>，表示为<note>从锥顶到底面圆周上任意一点的这条虚线</note>，长度为24英尺。<note>母线是圆锥中从底面圆周上的一点到顶点的线段</note>。

Lateral Surface Area of a Cone

<note>底面半径 r = 8 英尺</note> 和 <note>母线长 ℓ = 24 英尺</note>，代入公式后得 L.A. = π × 8 × 24。


Question:
求圆柱的侧面积。

将你的答案四舍五入到最接近的十分位。

 \$ox\$ 平方米

Answer: 2,412.7 square meters

1. 已知圆柱的高度为24米，底面圆的半径为16米。

2. 圆柱的侧面积可以通过圆柱侧面积公式：侧面积 = 2πrh 来计算，其中 r 表示圆的半径，h 表示圆柱的高度。

3. 将已知的半径 r = 16米 和 高度 h = 24米 代入。

4. 侧面积 = 2 × π × 16 × 24。

5. 对于 π，使用标准圆周率的近似值为3.141592653589793。

6. 计算得到侧面积 = 2 × 3.141592653589793 × 16 × 24 = 2412.743157210105。

7. 将计算结果四舍五入到最接近的十分位。

8. 四舍五入结果为 2412.7。

9. 经过上述推理，最终得出答案为 2412.7 平方米。

Cylinder

<note>在本题图中，圆柱体由两个平行且相同的圆形基底和一个侧面组成。</note>基底是<note>两个完全相同的圆形，它们的半径 r = 16米</note>，且<note>它们的中心在同一条直线上</note>。侧面是一个矩形，当展开时，<note>其高度 h = 24米</note>，<note>宽度等于圆周的周长</note>。

Definition of Radius

在本题图中，<note>圆柱底面圆的半径 r 为 16米</note>，<note>连接圆心和圆周上任意一点的线段的长度均为 16米</note>。

Formula for Lateral Area of a Cylinder

<note>圆柱底面圆的半径 r = 16米</note>，<note>高度 h = 24米</note>，圆柱的侧面积可以按照公式 <note>侧面积 = 2πrh</note> = 2 × π × 16 × 24 来计算。


Question:
求圆锥的侧面积。

将你的答案四舍五入到最接近的十分位。

 \$ox\$ 平方米

Answer: 37.7 square meters

1. 已知圆锥的母线（斜高）长度为6米，底面直径为4米。

2. 底面的直径已知，因此底面的半径r为直径的一半，即r = 4 / 2 = 2米。

3. 圆锥的侧面积（Lateral Area, L.A.）的公式是L.A = π * r * 𝓁，其中r是底面半径，𝓁是母线长度。

4. 将已知数值代入公式：L.A = π * 2 * 6 = 12π。

5. 计算结果：12π ≈ 37.6991……

6. 根据题目要求，将结果四舍五入到小数点后一位得：37.7。

7. 经过上述推理，最终得出答案为37.7平方米。

Definition of Cone

<note>圆锥的母线（斜高）</note>长度为6米，<note>底面直径</note>为4米，因此<note>半径r</note>为2米。

Definition of Radius

在本题图中，<note>圆锥底面直径为4米</note>，所以<note>底面半径r是直径的一半，r = 2米</note>。<note>圆的半径是指从圆心到圆周上任意一点的线段的长度</note>。

Lateral Surface Area of a Cone

<note>底面半径r为2米</note>, <note>母线长度𝓁为6米</note>, 根据公式可计算侧面积：L.A = π * 2 * 6 = 12π。


Question:
求圆锥的侧面积。

将你的答案四舍五入到最接近的十分位。

 \$ox\$ 平方英尺

Answer: 1,061.9 square feet

1. 首先，在给定的几何题中，圆锥的斜高为26英尺，底部直径为26英尺，因此底部的半径为13英尺。

2. 确定了底部半径，使用圆锥的侧面积公式求解圆锥的侧面积，公式为 L.A. = πrl，其中 r 是圆锥的底部半径，l 是斜高。

3. 将已知的底部半径和斜高代入公式：L.A. = π * 13 * 26。

4. 计算圆锥的侧面积的数值: L.A. ≈ π * 338 ≈ 1061.8583平方英尺。

5. 将结果四舍五入到小数点后第一位，最终得到圆锥的侧面积约为1061.9平方英尺。

6. 经过上述推理，最终得出答案为1061.9平方英尺。

Definition of Cone

<note>圆锥的底面圆的直径为26英尺</note>，<note>半径为13英尺</note>，<note>顶点与底面上的所有点的线段长即为斜高，长度为26英尺</note>。

Lateral Surface Area of a Cone

<note>圆锥底面半径13英尺</note>和<note>斜高26英尺</note>代入公式，得到 L.A. = π * 13 * 26。


Question:
求圆锥的侧面积。

将你的答案四舍五入到最接近的十分位。

\$ox\$ 平方码

Answer: 351.9 square yards

1. 已知圆锥的斜高（母线长度）为14码，底面半径为8码。

2. 圆锥的侧面积计算公式为：侧面积 = 圆周率 × 半径 × 斜高。

3. 将已知值代入公式：侧面积 = 𝜋 × 8 × 14。

4. 计算得出：侧面积 = 112𝜋。

5. 使用计算器计算出112𝜋的近似值：351.85837720205683。

6. 将计算结果四舍五入到最近的十分位：侧面积 ≈ 351.9平方码。

7. 经过上述推理，最终得出答案为351.9平方码。

Definition of Cone

<note>底面半径为8码</note>, <note>母线长度为斜高14码</note>, 这些元素确定了圆锥的形态。

Generatrix

<note>圆锥的斜高为14码</note>，即<note>从圆锥的顶点到底面圆周上任意一点的距离为14码</note>。<note>母线是圆锥中从底面圆周上的一点到顶点的线段</note>。

Lateral Surface Area of a Cone

在本题图中，根据已知的<note>底面半径8码</note>和<note>斜高14码</note>，侧面积计算公式为<note>侧面积 = 𝜋 × 8 × 14</note>。将已知值代入公式，计算得出<note>侧面积 = 112𝜋</note>。


Question:
求圆锥的侧面积。

将你的答案四舍五入到最接近的十分位。

 \$ox\$ 平方厘米

Answer: 188.5 square centimeters

1. 根据题目描述，圆锥的斜高为12厘米，底面半径为5厘米。

2. 圆锥的侧面积的计算公式为：侧面积 = π × r × 𝓁，其中r为圆锥的底面半径，𝓁为圆锥的斜高。

3. 代入已知条件r = 5厘米，𝓁 = 12厘米，得到侧面积 = π × 5 × 12。

4. 计算π × 5 × 12 = 60π。

5. 因为π的近似值为3.141592653589793，进一步计算得到侧面积 ≈ 60 × 3.141592653589793 ≈ 188.49555921538757。

6. 根据题目要求，将答案保留到小数点后一位，得到侧面积 ≈ 188.5平方厘米。

7. 经过上述推理，最终得出答案为188.5平方厘米。

Definition of Cone

<note>圆锥的底面圆的半径为5厘米</note>，顶点到边界的斜高为<note>12厘米</note>。侧面由底面圆的周界与<note>顶点</note>连接形成。

Generatrix

<note>底面圆周上的一点</note>为圆周上的任意一点，<note>顶点</note>为圆锥的顶点，连接<note>底面圆周上一点</note>和<note>顶点</note>的线段就是母线。母线是圆锥中从<note>底面圆周上的一点</note>到<note>顶点</note>的线段。

Lateral Surface Area of a Cone

<note>圆锥侧面积的计算公式为π × 5 × 12</note>。代入<note>底面半径r = 5厘米</note>和<note>斜高𝓁 = 12厘米</note>，得到<note>侧面积 = π × 5 × 12</note>。


Question:
求圆柱的侧面积。

将你的答案四舍五入到最接近的十分位。

 \$ox\$ 平方米

Answer: 402.1 square meters

1. 已知圆柱体的高为8米，底面的半径为8米。

2. 圆柱侧面积公式为：L.A. = 2𝜋rh，其中r表示底面半径，h表示高。

3. 将已知的半径r = 8米和高h = 8米代入公式得到：L.A. = 2𝜋(8)(8)。

4. 计算得到L.A. = 128𝜋。

5. 使用π ≈ 3.1416替代π进行精确度的计算，得：L.A. ≈ 128 × 3.1416 = 402.1248。

6. 将计算结果约至小数点后一位，得402.1。

7. 经上述推理，最终得出圆柱体的侧面积约为402.1平方米。

Cylinder

<note>圆柱体</note>由两个平行且<note>相同的圆形基底</note>和一个侧面组成。<note>基底</note>是两个完全相同的<note>圆形</note>，它们的<note>半径和直径相等</note>，且它们的<note>中心在同一条直线上</note>。<note>侧面</note>是一个<note>矩形</note>，当展开时，其<note>高度等于圆柱体的高</note>，<note>宽度等于圆周的周长</note>。

Definition of Radius

<note>圆柱底面圆中，点为圆心，圆周上的任意一点到圆心的距离为8米</note>，因此该距离为圆的半径。

Formula for Lateral Area of a Cylinder

<note>根据已知圆柱体底面的半径 r = 8米</note>和<note>高度 h = 8米</note>，代入公式：<note>L.A. = 2𝜋(8)(8)</note>。最终得到圆柱体的侧面积，并计算得出数值。


Question:
m \$\\angle \$ K是多少？

m \$\\angle \$ K= \$\\Box\$ °

Answer: m \$\angle \$ K=120°

1. 题中给出的图形是一个圆，其中点 I, H, J 是圆周上的点，K 是圆心。

2. 题目给出了 ∠IHJ = 60°。

3. 根据圆周角定理，圆周角等于它所对的圆心角的一半。因此 inscribed angle 定理用于此情形：当弦 IJ 截得的圆周角 ∠IHJ 和圆心角 ∠IKJ 共享同一弧 IJ。

4. 根据圆周角定理：m ∠IKJ = 2 × m ∠IHJ。

5. 将已知 m ∠IHJ = 60° 代入公式：m ∠IKJ = 2 × 60°。

6. 计算得到 m ∠IKJ = 120°。

7. 因此，通过逐步推理，最终得出答案为 m ∠IKJ = 120°。

Definition of Circle

A circle is the locus of all points in a plane that are at a fixed distance from a given point.

Definition of Inscribed Angle

An inscribed angle is an angle whose vertex lies on the circumference of a circle and whose sides intersect the circle at two points.

<note>圆O中，角∠IHJ的顶点H在圆周上</note>，<note>角∠IHJ的两边分别与圆O相交于点I和点J</note>。因此，<note>角∠IHJ是一个圆周角</note>。

Definition of Central Angle

An angle formed by two radii connecting two points on the circumference of a circle to the center of the circle is called a central angle.

在本题图中，圆中，<note>点I和点J</note>是圆上的两点，<note>圆心是点K</note>。<note>连线KI和KJ组成的角∠IKJ</note>称为圆心角。

Inscribed Angle Theorem

In a circle, an inscribed angle is equal to half of the central angle that subtends the same arc.


Question:
求圆锥的侧面积。

将答案四舍五入到最接近的十分位。

 \$ox\$ 平方码

Answer: 628.3 square yards

1. 已知圆锥的斜高（𝓁）为20码，底部圆的直径为20码。根据定义，圆的半径（r）为直径的一半，因此半径r = 20/2 = 10码。

2. 圆锥的侧面积（Lateral Area, L.A.）计算公式为：L.A. = πrl，其中r是圆锥底部圆的半径，𝓁是圆锥的斜高。

3. 将已知数据代入侧面积公式：L.A. = π × 10 × 20。

4. 计算L.A.，得到L.A. = 200π。

5. 使用π ≈ 3.14159进行近似计算：L.A. = 200 × 3.14159 = 628.318。

6. 根据题目的要求，将计算结果四舍五入到小数点后第一位，得到628.3。

7. 经过上述推理，最终得出答案为628.3平方码。

Definition of Radius

在本题图中，圆锥底部<note>圆的直径为20码</note>，因此<note>半径r为其一半，即r = 10码</note>。

Generatrix

在本题图中，<note>圆锥中底面圆周上的一点到顶点的线段就是母线</note>。已知圆锥的斜高为20码，确定<note>𝓁 = 20码</note>。

Lateral Surface Area of a Cone

在本题图中，由于<note>r = 10码</note>，<note>𝓁 = 20码</note>，因此侧面积<note>L.A. = π × 10 × 20</note>。


Question:
看这个图形：它的底面是什么形状？

- rectangle
- circle
- square
- pentagon

Answer: - circle

1. 已知该几何图形是一个圆锥体。

2. 根据圆锥的定义，圆锥是以一个圆为底面，底面到顶点有一条不在同一平面内的轴的几何体。

3. 由此可得出，该圆锥体的底面是一个圆形。

4. 经过上述推理，最终得出答案为圆。

Definition of Cone

<note>圆锥中，母线绕轴旋转</note>形成<note>锥面和底面（圆）</note>，从而构成圆锥。

Definition of Circle

<note>圆锥体的底面为圆形</note>。圆锥底面中的每一点到<note>圆心</note>的距离相等，符合圆的定义。圆锥底面上的所有点到圆心的距离等于<note>半径</note>。


Question:
求圆锥的侧面积。

将你的答案四舍五入到最接近的十分位。

\$
Box\$ 平方英寸

Answer: 31.4 square inches

1. 已知题目条件中，圆锥的斜高为5英寸，底面直径为4英寸。

2. 首先根据底面直径为4英寸，可以得到底面半径为r=2英寸。

3. 圆锥的侧面积公式为 A_side = πrl，其中r是底面半径，l是斜高。

4. 将已知数据代入侧面积公式：A_side = π * 2 * 5。

5. 计算得到 A_side = 10π。

6. 由于问题要求结果保留到小数点后第一位，因此需要对 10π 进行近似计算。

7. 将10π ≈ 31.4159，四舍五入到小数点后第一位，得到 31.4。

8. 经过上述推理，最终得出答案为31.4。

Definition of Cone

<note>圆锥由底面为半径为r=2英寸的圆和斜高为l=5英寸所围成</note>。

Definition of Radius

<note>圆锥底面的半径</note>是指<note>从圆心到圆周上任意一点的线段</note>的长度。已知<note>底面直径</note>为<note>4英寸</note>，因此<note>底面半径 r=2英寸</note>。

Definition of Diameter

A diameter is a line segment that passes through the center of a circle and has its endpoints on the circle. It is the longest chord of the circle, with a length equal to twice the radius of the circle.

<note>圆锥底面的直径为4英寸</note>，连接了<note>圆心O和圆周上的两点</note>，长度为<note>2倍的半径</note>，即<note>直径=4英寸</note>，因此<note>底面半径r=2英寸</note>。

Lateral Surface Area of a Cone

<note>底面半径r=2英寸</note>，<note>斜高ℓ=5英寸</note>，因此L.A. = π × 2 × 5 = 10π。经过近似计算，结果为31.4平方英寸。

Circumference Formula of Circle

The circumference of a circle is the length around the circular boundary. It can be calculated using the formula \( C = 2\pi r \), where \( C \) represents the circumference and \( r \) represents the radius.

<note>圆锥底面的直径d=4英寸</note>，因此<note>底面半径r=2英寸</note>。根据圆的周长公式，<note>圆的周长C等于2π乘以半径r</note>，即<note>C=2π×2=4π</note>。


Question: 看这个图形：它的底面是什么形状的？

Answer: - rectangle

1. 根据题目中的图形，识别它是一个棱柱。

2. 棱柱的性质表明，其上下面是相同的多边形，并且是平行的。

3. 从图形结构观察，确认该棱柱的上底面和下底面是四边形。

4. 进一步观察四边形的对边平行且等长，这表明上底面和下底面的形状是矩形。

5. 所以，依据棱柱的定义，该立方体的上下底面是矩形。

6. 经过上述推理，最终得出答案为矩形。

Definition of Prism

A prism is a polyhedron with two parallel and congruent polygonal bases, and all other faces are parallelograms.

<note>在本题图中，给定的图形识别为棱柱</note>。根据<note>棱柱的定义</note>，可以确定<note>该立方体的上下底面是形状相同、平行的多边形</note>。

Definition of Rectangle

A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).

<note>底面的四边形的对边平行且等长</note>，并且<note>四个角都是直角</note>，这说明<note>底面的形状是矩形</note>。


Question: 看这个图形：它的底面是什么形状的？

Answer: - rectangle

1. 观察给定图形，我们注意到其形状是一种棱柱，根据几何学中的定义，棱柱的上下底面是相同且平行的多边形。

2. 从图中可以看到，该棱柱的侧面是矩形，这符合长方体（矩形柱）的特征。

3. 长方体是特殊的棱柱，其特征为上下面是完全相同的矩形，所以我们推断其底面形状是矩形。

4. 为了确认底面形状是矩形，注意到根据棱柱的定义，所有的侧面垂直于底面，这解释了侧面为矩形，底面也是矩形。

5. 经过以上分析可以确认，长方体的底面是矩形。

6. 因此，可以得出长方体的底面形状为矩形。

Definition of Prism

<note>这个几何体是一个棱柱</note>，具有两个<note>完全相同且平行的矩形底面</note>和<note>四个侧面</note>，这些侧面都是<note>矩形</note>。

Definition of Rectangular Prism

A rectangular prism is defined as a three-dimensional geometric figure formed by six rectangular faces, where three mutually adjacent faces respectively define the length, width, and height.

在本题图中，<note>给定的几何体是一个长方体</note>，<note>其六个面都是矩形</note>。

<note>长方体具有两个相同且平行的矩形底面和顶面</note>。


Question:
看这个图形：它的底面是什么形状的？

- circle
- triangle
- octagon
- pentagon

Answer: - circle

1. 观察给出的图形，这是一个圆柱体，这是由圆柱的侧面和上下两个底面围成的几何体。

2. 圆柱是三维图形，其两个底面是形状相同且平行的平面形状。

3. 在图形中，底面的形状是一个圆，因此圆柱的每个底面都是一个圆。

4. 由于每个底面都是一个圆，所以在给出的选项中，应选择“circle”作为底面的形状。

5. 经过上述分析，最终得出答案为circle。

Cylinder

<note>圆柱体</note>由两个平行且相同的圆形基底和一个侧面组成。<note>基底是两个完全相同的圆形，它们的半径和直径相等，且它们的中心在同一条直线上</note>。侧面是一个矩形，当展开时，<note>其高度等于圆柱体的高，宽度等于圆周的周长</note>。

Definition of Circle

<note>圆柱的底面是一个圆形</note>。圆的定义是平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合。<note>图中底面的圆心是底面的中心点</note>，<note>底面上的每个点到中心点的距离相等</note>，这个距离就是半径。因此，底面是一个圆形。


Question: 请看这个图形：它的底面是什么形状的？

Answer: - square

1. 观察图形，可以看到这是一个正方体的截面结构图，且其上部为一个顶点到截面中心的平面，这可组合为一个方锥。

2. 正方体是一个六面体，其底面形状为正方形，这在立体几何中是一个基本的已知性质。

3. 验证底面形状：如果立体的其它结构为对称且相等，比如各面的等长性质可以辅助线性测量，这些性质在正方形结构上是成立的。

4. 如图所示，其为正方体的一部分，因此底面的形状为正方形，而不是其它多边形如三角形、五边形或六边形。

5. 综上推理确认，该立体对应的底面形状是正方形。

Definition of Cube

A cube is a three-dimensional geometric figure with six faces, all of which are squares.

<note>在本题图中，给定的立体图形可以视作正方体的截面结构图</note>，即正方体的某一部分，<note>它的所有面都是正方形</note>，并且已经验证了<note>其底面是正方形</note>。

Definition of Square

A quadrilateral is a square if and only if all four sides are congruent (≅) and all four interior angles are right angles (90°).

<note>在本题图中，底面是一个正方形</note>。正方形的<note>每条边在底面中都是等长的</note>，并且<note>它的每个角都是90度</note>，因此符合正方形的定义。

Definition of Cube

在本题图中，立方体的底面是正方形，按立方体的几何性质进行验证，即通过观察<note>面与面之间的相互关系</note>，其<note>底面所有边长度相等</note>，且<note>边之间呈直角</note>，符合正方形几何性质。


Question:
求圆锥的侧面积。

将你的答案四舍五入到最接近的十分位。

 \$ox\$ 平方英尺

Answer: 1,061.9 square feet

1. 已知此锥体的斜高l 为26英尺，底面的直径为26英尺。

2. 因为锥体的底面为一个圆，圆的半径r为其直径的一半，所以r=26/2=13英尺。

3. 计算圆锥的侧面积，使用圆锥的侧面积公式：A_side = 𝜋 * r * l。

4. 将已知的r和l 值代入公式：A_side = 𝜋 * 13 * 26。

5. 依次进行运算：𝜋 * 13 * 26 ≈ 1061.8583平方英尺。

6. 将结果四舍五入到小数点后一位，即≈1061.9平方英尺。

7. 经过上述推理，最终得出答案为1061.9平方英尺。

Definition of Cone

A cone in three-dimensional space is a surface generated by rotating a line segment (generatrix) around a fixed straight line (axis) belonging to a plane of a circle, which is not collinear with the endpoint (vertex). The surface consists of the conical surface and the base (circle).

<note>圆锥的底面是一个直径为26英尺的圆</note>，<note>顶点是锥体的尖端</note>，任意一点从<note>顶点到圆周的射线</note>构成了其侧面。<note>锥体的斜高𝓁是从顶点到圆周一侧的距离，给定为26英尺</note>。

Definition of Diameter

在本题图中，锥体的底面是一个圆，<note>圆的直径为26英尺</note>，连接了<note>圆心O和圆周上的两点</note>，<note>长度为2倍的半径，即直径 = 26英尺</note>。

Lateral Surface Area of a Cone

The lateral surface area \(A\) of a cone is calculated using the formula \(A = \pi r l\), where \(r\) is the radius of the base circle and \(l\) is the slant height of the cone.

<note>圓锥的半径r为13英尺</note>，<note>斜高l 为26英尺</note>。将这些值代入公式<note>A_side = 𝜋 * 13 * 26</note>进行计算。


Question:
观察这个图形：它的底面是什么形状？

- triangle
- nonagon
- heptagon
- pentagon

Answer: - triangle

1. 从图中我们可以观察到，这是一个三角锥结构，图示由一个四面体的主体和其投影面组成。

2. 依据四面体的定义，其构成包括四个三角面，其中有一个三角面是这个四面体的底面。

3. 图中显示，每一条虚线都是侧棱连接底面顶点和其余的顶点，强调了底面的形状。

4. 因为四面体的底面由三个顶点构成，根据多边形的顶点数性质（顶点数 n 边形是由 n 条边构成），底面应为三角形。

5. 经过上述分析，我们可以确认底面为三角形。

6. 因此，该四面体的底面是一个三角形。

Definition of Triangle

A geometric figure is called a triangle if it is formed by three non-collinear points and the line segments connecting them.

<note>四面体的底面是一个三角形</note>，<note>由三个顶点和三条边构成</note>。图中<note>虚线部分支撑了底面在三角形中的构型</note>，确认了<note>底面的性质为三角形</note>。<note>底面的三边分别连接其三个顶点</note>，符合<note>三角形的基本定义</note>。


Question: 看这个图形：它的底面是什么形状的？

Answer: - square

1. 首先，通过观察题目所示图形，该图形是一个三维立体图形，具体为一个正六面体。

2. 在正六面体中，每个面都是全等的正方形，这是一种特殊的立方体，其六个面都是正方形。

3. 进一步分析，正六面体共有六个面，且每个面均为正方形。正方形具有四个全等的边和四个直角。

4. 因此，依据正六面体的定义及其性质可以得出：该立体图形的底面是正方形。

5. 经过上述推理，最终得出答案为正方形。

Definition of Cube

<note>在本题图中，立体图形为一个正六面体</note>。该立体图具有六个面，相应的所有面都是全等的正方形，这就是<note>正六面体的定义在本题的具体对应</note>。

Definition of Square

在本题图中，底面和其他五个面都是正方形。<note>正方形具有四条边长度相等且四个内角均为90度</note>。题图中的<note>底面四边长度相等</note>，且<note>四个内角均为90度</note>，因此底面是一个正方形。

Definition of Cube

在本题图中，立体图形符合立方体的特性，即具有<note>六个全等的正方形面</note>，这<note>六个面相互垂直</note>并且<note>每个面都是正方形</note>，这就能够确认该图形为<note>正六面体</note>，进而确认<note>底面为正方形</note>。


Question: 下面的矩形棱柱标有其测量尺寸。考虑测量误差，其计算体积的百分误差是多少？将答案四舍五入到最接近的十分之一，并包括百分号（%）。\$ox\$

Answer: 27.9%

1. 根据长方体体积公式，长方体的测量尺寸为长15码、宽4码、高5码，其测量体积为长×宽×高=15×4×5=300立方码。

2. 同时，测量误差可以达到最近的整数码的一半，即每个方向上的最大可能误差为0.5码。

3. 计算最大可能体积：在每个尺寸中加上误差，最大可能体积等于(15+0.5)×(4+0.5)×(5+0.5)=15.5×4.5×5.5=383.625立方码。

4. 计算最小可能体积：在每个尺寸中减去误差，最小可能体积等于(15-0.5)×(4-0.5)×(5-0.5)=14.5×3.5×4.5=228.375立方码。

5. 计算测量体积与最大、最小体积之间的差异，以找出最大的可能误差。测量体积与最大体积的差为383.625-300=83.625立方码，测量体积与最小体积的差为300-228.375=71.625立方码。

6. 最大的体积误差为83.625立方码，因此这就是我们需要使用的数值。

7. 使用百分比误差公式计算测量体积的百分比误差：百分比误差=(最大可能误差/测量体积)×100%=(83.625/300)×100%。

8. 计算得：百分比误差=27.875%。

9. 根据题目要求，将百分比误差四舍五入到最近的十分之一，结果为27.9%。

10. 经过上述推理，最终得出答案为27.9%。

Definition of Rectangular Prism

<note>长方体的长度为15码</note>，<note>宽度为4码</note>，<note>高度为5码</note>。这三个维度分别作为长方体的实际尺寸用来计算体积。

Volume Formula of Rectangular Prism

The volume of a rectangular prism is equal to the product of its length, width, and height.

在本题图中，长方体中，<note>边15yd表示长</note>，<note>边4yd表示宽</note>，<note>边5yd表示高</note>，所以长方体的体积等于长、宽和高的乘积，即体积 = 15 * 4 * 5。


Question:
m \$riangle\$ R 是多少？

m \$riangle\$ R= \$ox\$ °
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）

Answer: m \$\angle \$ R=88°

1. 题目中给出角 TSU 的度数为 44°，需要计算角 R 的度数。

2. 根据图示，角 TSU 是圆中截弧 TU 的圆周角，且角 R 是以同一条弧 TU 为基弧的圆心角。

3. 应用圆周角定理：在同一圆或等圆中，圆周角等于它所对的圆心角的一半。因此，角 TSU = 1/2 × 角 R。

4. 将题目中给出的已知条件代入，得：44° = 1/2 × 角 R。

5. 为了求出角 R 的值，进行方程计算：角 R = 44° × 2。

6. 计算得到：角 R = 88°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为 88°。

Definition of Inscribed Angle

在本题图中，圆中，<note>角 TSU 的顶点 S 在圆周上</note>，<note>角 TSU 的两边分别与圆相交于点 T 和点 U</note>。因此，<note>角 TSU 是一个圆周角</note>。

Definition of Central Angle

<note>圆中，点 T 和点 U 是圆上的两点</note>，<note>圆心是点 R</note>。<note>连线 RT 和 RU 组成的角 ∠TRU</note>称为圆心角。

Definition of Arc

An arc is a curve on a circle that is defined by two distinct points on the circle.

<note>在本题图中，圆上有两点 T 和 U</note>，弧 TU 是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，<note>弧 TU 是圆上两点 T 和 U 之间的一段曲线</note>。

Inscribed Angle Theorem

<note>圆中，点 T、S、U 在圆上</note>，弧 TU 对应的<note>圆心角为 ∠TRU，圆周角为 ∠TSU</note>。根据圆周角定理，<note>∠TSU 等于它所对的弧 TU 所对应的圆心角 ∠TRU 的一半</note>，即 <note>∠TSU = 1/2 ∠TRU</note>。


Question: 下图的长方体标注了其测量尺寸。考虑测量误差，其计算体积的百分误差是多少？请将答案四舍五入到最接近的十分之一，并包括百分号（%）。\$ox\$

Answer: 11.9%

1. 给定直角棱柱，其长为10毫米，宽为13毫米，高为19毫米。计算其测量体积为：体积 = 长 × 宽 × 高 = 10毫米 × 13毫米 × 19毫米。

2. 计算测量体积：体积 = 10 × 13 × 19 = 2470立方毫米。

3. 考虑测量误差：每次测量的最大可能误差为1毫米的一半，即0.5毫米。当计算最大和最小可能体积时，需要考虑此误差。

4. 计算最大可能体积：将0.5毫米加到每个测量值，然后乘积得最大可能体积，即：(10 + 0.5)毫米 × (13 + 0.5)毫米 × (19 + 0.5)毫米 = 10.5 × 13.5 × 19.5。

5. 最大可能体积为：10.5 × 13.5 × 19.5 = 2764.125 立方毫米。

6. 计算最小可能体积：从每个测量值中减去0.5毫米，然后乘积得最小可能体积，即：(10 - 0.5)毫米 × (13 - 0.5)毫米 × (19 - 0.5)毫米 = 9.5 × 12.5 × 18.5。

7. 最小可能体积为：9.5 × 12.5 × 18.5 = 2190 立方毫米。

8. 计算体积误差：体积误差 = max(|测量体积 - 最大体积|, |测量体积 - 最小体积|)。

9. 计算误差：|测量体积 - 最大体积| = |2470 - 2764.125| = 294.125。

10. 计算误差：|测量体积 - 最小体积| = |2470 - 2190| = 280。

11. 最大误差为294.125立方毫米。

12. 计算体积的百分误差：百分误差 = (最大误差/测量体积) × 100%。

13. 百分误差 = (294.125 / 2470) × 100% ≈ 11.9%。

14. 经过上述推理，最终得出答案为11.9%。

Definition of Rectangular Prism

<note>该几何图形是一个直角棱柱</note>，其<note>长为10毫米</note>，<note>宽为13毫米</note>，<note>高为19毫米</note>。每个<note>相邻面都垂直相交</note>。

Volume Formula of Rectangular Prism

<note>边13mm表示长</note>，<note>边10mm表示宽</note>，<note>边19mm表示高</note>，所以长方体的体积等于长、宽和高的乘积，即体积 = 13 *  10 * 19。


Question: 下方的矩形棱柱标注了其测量的尺寸。考虑测量误差，其计算体积的百分比误差是多少？将你的答案四舍五入到最接近的十分之一，并包括百分号（%）。\$ox\$

Answer: 8.8%

1. 观察长方体，其测量的尺寸分别是19米、15米和19米。由此可得出测量的体积为19×15×19 = 5,415立方米。

2. 每次测量的最大误差是1米的一半，即0.5米。因此，最小可能长度为每个测量减去0.5米，最大可能长度为每个测量加上0.5米。

3. 计算最大可能体积，将误差加至每个测量：

4. 最大可能体积： (19 + 0.5) × (15 + 0.5) × (19 + 0.5) = 19.5 × 15.5 × 19.5 = 5,893.875立方米。

5. 计算最小可能体积，将误差从每个测量中减去：

6. 最小可能体积： (19 - 0.5) × (15 - 0.5) × (19 - 0.5) = 18.5 × 14.5 × 18.5 = 4,936.125立方米。

7. 计算测量体积与最大和最小体积的差别：

8. 与最小体积的差：5,415 - 4,936.125 = 478.875立方米。

9. 与最大体积的差：5,893.875 - 5,415 = 478.875立方米。

10. 由于两次差别相等，因此无论使用哪一个都行。可以选择最大体积与测量体积的差，即478.875立方米。

11. 计算最大可能的体积误差百分比：478.875 ÷ 5,415 ≈ 0.088431。

12. 将此小数转换为百分比约等于8.8431%。

13. 四舍五入到小数点后第一位得到8.8%。

14. 经过上述推理，最终得出答案为错误百分比为8.8%。

Definition of Rectangular Prism

<note>长方体的边长分别是19米、15米和19米</note>，且<note>所有角度均为直角</note>，符合<note>直角平行六面体的定义</note>。

Volume Formula of Rectangular Prism

在本题图中，<note>长方体的体积计算公式为V = 19米 × 15米 × 19米 </note>= 5,415立方米。


Question: 下面的长方体标有其测量尺寸。考虑测量误差，其计算体积的百分误差是多少？将你的答案四舍五入到最接近的十分之一，并包括百分号（%）。\$ox\$

Answer: 14.7%

1. 已知长方体的三个测量边长分别为19米、16米和6米。根据长方体的体积公式，即V = 长 * 宽 * 高，计算出测量得到的体积为V = 19 * 16 * 6 = 1824立方米。

2. 每个测量均以米为单位，因此最大的可能误差为0.5米。这是因为测量到最近的整数米，意味着误差可能在±0.5米内。

3. 根据所给的可能最大误差0.5米，计算可能的最大体积。最大可能的尺寸分别为19.5米、16.5米和6.5米，因此最大体积为19.5 * 16.5 * 6.5 = 2091.375立方米。

4. 同样，根据可能的最大误差，计算可能的最小体积。最小可能的尺寸分别为18.5米、15.5米和5.5米，因此最小体积为18.5 * 15.5 * 5.5 = 1570.375立方米。

5. 对比测量体积1824立方米与计算的最大体积和最小体积，求出体积误差。与最大体积的误差为2091.375 - 1824 = 267.375立方米，与最小体积的误差为1824 - 1570.375 = 253.625立方米。

6. 由于计算误差是最大体积与测量体积的误差更大，因此最大的可能误差为267.375立方米。

7. 根据百分比误差公式：(最大可能误差 / 测量体积) * 100%，计算出百分比误差为(267.375 / 1824) * 100% ≈ 14.7%。

8. 经过上述推理，最终得出答案为14.7%。

Definition of Rectangular Prism

<note>该长方体三个边的长度分别为19米、16米和6米</note>，<note>这些边通过面连接，形成一个长方体的几何体</note>。

Volume Formula of Rectangular Prism

在本题中，<note>长方体的体积计算公式为V = 19米 * 16米 * 6米 = 1824立方米</note>。


Question: 下方的长方体标注了其测量尺寸。考虑测量误差，其计算体积的百分误差是多少？将答案四舍五入到最接近的十分之一，并包括百分号 (%)。\$ox\$

Answer: 12.9%

1. 已知矩形棱柱的长为20英寸，宽为18英寸，高为7英寸。根据长方体体积公式V = 长 × 宽 × 高，计算其测量体积V = 20 × 18 × 7 = 2520立方英寸。

2. 因为是到最接近的整英寸测量的，所以每个测量值的最大可能误差是1英寸的一半，即0.5英寸。

3. 计算最大可能体积。最大可能长度、宽度和高度分别是20 + 0.5 = 20.5英寸，18 + 0.5 = 18.5英寸，7 + 0.5 = 7.5英寸。由此最大可能体积 = 20.5 × 18.5 × 7.5 = 2844.375立方英寸。

4. 计算最小可能体积。最小可能长度、宽度和高度分别是20 - 0.5 = 19.5英寸，18 - 0.5 = 17.5英寸，7 - 0.5 = 6.5英寸。由此最小可能体积 = 19.5 × 17.5 × 6.5 = 2216.625立方英寸。

5. 计算测量体积与最大可能体积与最小可能体积的体积差来确定最大的可能体积误差。最大误差值为max(2844.375 - 2520, 2520 - 2216.625) = max(324.375, 303.375) = 324.375立方英寸。

6. 百分误差 = (最大体积误差 / 测量体积) × 100%。所以百分误差 = (324.375 / 2520) × 100% ≈ 12.8571428571%。

7. 四舍五入至最接近的十分之一，百分误差 ≈ 12.9%。

8. 经过上述推理，最终得出答案为12.9%。

在本题图中，<note>矩形棱柱的长为20英寸</note>，<note>宽为18英寸</note>，<note>高为7英寸</note>。因此其测量体积<note>V = 20 × 18 × 7 = 2520立方英寸</note>。


Question: 下面的矩形标有其测量尺寸。考虑测量误差，其计算面积的百分误差是多少？将答案四舍五入到最接近的十分之一，并包括百分号（%）。\$ox\$

Answer: 8.2%

1. 已知矩形的长为13码，宽为12码。因此，测得的面积A_m = 13 × 12 = 156 平方码。

2. 每个尺寸是以1码为单位测量的，所以每个测量误差的最大可能误差是0.5码。

3. 为找到最大可能面积A_Max, 将最大可能误差加到每个测量值: 长为13 + 0.5 = 13.5码，宽为12 + 0.5 = 12.5码。计算得出最大可能面积为A_Max = 13.5 × 12.5 = 168.75 平方码。

4. 为找到最小可能面积A_Min, 将最大可能误差从每个测量值中减去: 长为13 - 0.5 = 12.5码，宽为12 - 0.5 = 11.5码。计算得出最小可能面积为A_Min = 12.5 × 11.5 = 143.75 平方码。

5. 计算最小面积与测量面积之间的差异: D_Min = |A_m - A_Min| = |156 - 143.75| = 12.25 平方码。

6. 计算最大面积与测量面积之间的差异: D_Max = |A_Max - A_m| = |168.75 - 156| = 12.75 平方码。

7. 两个差异中较大者为面积的最大可能误差: E = max(D_Min, D_Max) = 12.75。

8. 计算面积的百分比误差: 百分比误差 = (E / A_m) × 100% = (12.75 / 156) × 100% ≈ 8.173%。

9. 将百分比误差四舍五入到最接近的十分位：8.173% ≈ 8.2%。

10. 经过上述推理，最终得出答案为8.2%。

Definition of Rectangle

<note>四边形是一个矩形</note>，<note>其内角都是直角（90度）</note>，且<note>边长为13码的两条边互相平行并等长</note>，<note>边长为12码的两条边互相平行并等长</note>。

Formula for the Area of a Rectangle

The area of a rectangle is equal to its length multiplied by its width.

在本题图中，矩形中，<note>边13yd是矩形的长度</note>，<note>边12yd是矩形的宽度</note>，所以矩形的面积等于其<note>长度13乘以其宽度12</note>，即面积 = 13 * 12。


Question: 下面的长方体标有其测量尺寸。考虑测量误差，其计算体积的百分比误差是多少？将答案四舍五入到最接近的十分之一，并包括百分号（%）。\$ox\$

Answer: 21.4%

1. 已知长方体的长为10米，宽为4米，高为18米，我们首先计算其测量体积为：体积 = 长 × 宽 × 高 = 10米 × 4米 × 18米 = 720立方米。

2. 每个测量都是取至最近的整米，因此每个测量的最大误差为0.5米。

3. 计算最大可能体积：对于每个维度添加最大误差计算得出。最大可能长度 = 10米 + 0.5米 = 10.5米，最大可能宽度 = 4米 + 0.5米 = 4.5米，最大可能高度 = 18米 + 0.5米 = 18.5米。因此最大可能体积为：最大可能体积 = 10.5米 × 4.5米 × 18.5米 = 874.125立方米。

4. 计算最小可能体积：对于每个维度减去最大误差计算得出。最小可能长度 = 10米 - 0.5米 = 9.5米，最小可能宽度 = 4米 - 0.5米 = 3.5米，最小可能高度 = 18米 - 0.5米 = 17.5米。因此最小可能体积为：最小可能体积 = 9.5米 × 3.5米 × 17.5米 = 584.625立方米。

5. 计算差值以确定最大可能误差。比较可能的体积差：720立方米（测量体积）与874.125立方米（最大体积）的差值为154.125立方米，以及720立方米（测量体积）与584.625立方米（最小体积）的差值为135.375立方米。最大差值为154.125立方米，故此为最大可能误差。

6. 计算体积的百分误差：百分误差 = (最大可能误差 / 测量体积) × 100% = (154.125立方米 / 720立方米) × 100% ≈ 21.4%。

7. 由以上分析，最终得出答案为最大可能的百分误差是21.4%。

Volume Formula of Rectangular Prism

<note>长方体的长度为10米</note>，<note>宽度为4米</note>，<note>高度为18米</note>。因此，长方体的体积 = 长 × 宽 × 高 = <note>10米 × 4米 × 18米</note> = <note>720立方米</note>。


Question: 下面的矩形标有其测量尺寸。考虑测量误差，其计算面积的百分误差是多少？将答案四舍五入到最接近的十分之一，并包括百分号（%）。\$ox\$

Answer: 11.7%

1. 已知一个矩形的长为16毫米，宽为6毫米。我们需要考虑测量误差，计算其面积的百分比误差。

2. 首先，计算测量的面积。矩形的面积计算公式为长乘以宽。因此，测量的面积为16毫米×6毫米=96平方毫米。

3. 由于每次测量均以最接近的整数毫米为单位进行，所以最大可能误差为0.5毫米。

4. 计算最大可能的面积，将最大可能误差加至每个测量值，然后相乘：长为16毫米+0.5毫米=16.5毫米，宽为6毫米+0.5毫米=6.5毫米。最大可能的面积为16.5毫米×6.5毫米=107.25平方毫米。

5. 计算最小可能的面积，将最大可能误差从每个测量值中减去，然后相乘：长为16毫米-0.5毫米=15.5毫米，宽为6毫米-0.5毫米=5.5毫米。最小可能的面积为15.5毫米×5.5毫米=85.25平方毫米。

6. 计算最大面积和测量面积之差，以及最小面积和测量面积之差。确定其中较大的一个，即面积的最大可能误差。

7. 最大可能误差为107.25平方毫米 - 96平方毫米 = 11.25平方毫米，最小可能误差为96平方毫米 - 85.25平方毫米 = 10.75平方毫米。因此，面积的最大可能误差为11.25平方毫米。

8. 计算面积的百分比误差。百分比误差为最大可能误差除以测量面积，再乘以100％。因此，百分比误差为(11.25平方毫米 / 96平方毫米) × 100% = 11.71875%。

9. 将结果四舍五入到最近的百分之一位。得到面积的百分比误差约为11.7%。

10. 经过上述推理，最终得出答案为11.7%。

Definition of Rectangle

<note>四边形是一个矩形</note>，其<note>内角都是直角（90度）</note>，且<note>边长为16毫米的两条边互相平行且等长</note>，<note>边宽为6毫米的两条边互相平行且等长</note>。

Formula for the Area of a Rectangle

在本题图中，<note>矩形的长为16毫米</note>，<note>宽为6毫米</note>，所以<note>矩形的面积</note> = <note>16毫米 * 6毫米</note> = <note>96平方毫米</note>。


Question: 下方的矩形标有其测量尺寸。考虑测量误差，其计算面积的百分误差是多少？将答案四舍五入到最接近的十分之一，并包括百分号（%）。\$ox\$

Answer: 22.5%

1.已知矩形的长和宽分别为10 cm和3 cm，因此测量得出的面积为10 cm × 3 cm = 30 cm²。

2.对于每个测量值，测量误差最大可能值是0.5 cm（这是因为测量是到最近的整厘米，所以最大可能误差是其一半，即0.5 cm）。

3.计算可能的最大面积：将最大误差加到每个测量值上，即(10 cm + 0.5 cm) × (3 cm + 0.5 cm) = 10.5 cm × 3.5 cm = 36.75 cm²。

4.计算可能的最小面积：从每个测量值中减去最大误差，即(10 cm - 0.5 cm) × (3 cm - 0.5 cm) = 9.5 cm × 2.5 cm = 23.75 cm²。

5.找出面积的最大误差：计算最小面积与测量面积的差，以及最大面积与测量面积的差，找出较大的值。最小面积与测量面积的差是|23.75 cm² - 30 cm²| = 6.25 cm²，最大面积与测量面积的差是|36.75 cm² - 30 cm²| = 6.75 cm²。因此，最大的可能误差是6.75 cm²。

6.计算面积的百分比误差：百分比误差 = （最大可能的误差）÷（测量出的面积）= 6.75 cm² ÷ 30 cm² = 0.225。

7.将小数转换为百分比：0.225 = 22.5%。

8.经过以上推理，最终得出答案为22.5%。

Definition of Rectangle

在本题图中，<note>矩形的长为10 cm，宽为3 cm</note>。<note>矩形的每个内角都是直角（90度）</note>，且<note>相对的边互相平行并等长</note>。

Formula for the Area of a Rectangle

<note>矩形的长为10 cm，宽为3 cm</note>，根据公式A = 长 * 宽，该矩形的面积<note>A = 10 cm * 3 cm = 30 cm²</note>。


Question: ST是多少？

Answer: ST=10

1. 已知 ∆PQR 为三角形，且圆为其内切圆，已知 QR = 3 和 PR = 6。

2. 根据切线长定理，从一点向圆引的两条切线长度相等，故有 QR=RS。

3. 因此，RS = QR = 3。

4. 由 PR = PQ + QR，QR = 3，PR = 6，得到 PQ = 6 - 3 = 3。

5. 根据切线长定理，PQ = PU，因此 PU = PQ = 3。

6. 由 PT = PU + TU，已知 PT = 13，PU = 3 可得 TU = PT - PU = 13 - 3 = 10。

7. 同理根据切线长定理，TU = ST，因此 ST = TU = 10。

8. 经过上述推理，最终得出答案为 10。

Tangent-Segment Theorem

If two tangent segments are drawn to a circle from an external point, then the lengths of these tangent segments are equal. Moreover, the line segment connecting the center of the circle to the external point bisects the angle formed by the two tangent segments.

<note>从圆外一点 P 引圆的两条切线 PQ 和 PU，它们的切线长相等，即 PQ = PU</note>；<note>同理，从圆外一点 R 引圆的两条切线 QR 和 RS，它们的切线长相等，即 QR = RS</note>；<note>从圆外一点 T 引圆的两条切线 TU 和 TS，它们的切线长相等，即 TU = ST</note>。


Question:
看这个图形：它的底面是什么形状的？

- rectangle
- circle
- heptagon
- octagon

Answer: - circle

1. 仔细观察图形，图中展现了一个绿色的立体形状，可以简单地识别出这是一种柱体形状。

2. 进一步分析，该立体形状不是一个棱柱，因为其表面曲线光滑连续，未显示任何多边形侧面。因此，它更像是一个圆柱。

3. 确认该形状为圆柱的过程中，运用几何知识：圆柱的两个底面是完全相同且平行的平面图形。

4. 在圆柱中，底面必须是一个封闭圆形，因为圆柱上下一致的截面也是圆形，这符合图中形状没有任何边角或者直线的描述。

5. 因此，依据以上分析和圆柱的定义，确定图中柱体的底面形状是圆形。

6. 经过上述推理，最终得出答案为circle。

Definition of Prism

<note>绿色立体形状的两个底面平行且完全相同</note>，它的侧面光滑连续，没有显示任何多边形侧面，因此可以确认它是<note>柱体</note>。

Cylinder

A cylinder is a geometric solid consisting of two parallel and congruent circular bases and a curved lateral surface connecting the bases.

<note>在本题图中，圆柱体由两个平行且相同的圆形基底和一个侧面组成</note>。<note>基底是两个完全相同的圆形</note>，它们的半径和直径相等，且它们的中心在同一条直线上。<note>侧面是一个矩形</note>，当展开时，其高度等于圆柱体的高，宽度等于圆周的周长。

Definition of Circle

A circle is the locus of all points in a plane that are at a fixed distance from a given point.

<note>圆柱的上下两个底面都是圆形</note>。圆的定义是平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合。<note>底面上的所有点到圆心的距离均为半径</note>，因此符合圆的定义。

Cylinder

<note>圆柱体由两个平行且相同的圆形基底和一个侧面组成</note>。<note>基底是两个完全相同的圆形</note>，<note>它们的半径和直径相等</note>，且它们的中心在同一条直线上。侧面是一个矩形，<note>当展开时，其高度等于圆柱体的高，宽度等于圆周的周长</note>。


Question: 下面的矩形标有其测量尺寸。考虑测量误差，其计算面积的百分误差是多少？请将答案四舍五入到最接近的十分之一，并包括百分号 (%)。\$ox\$

Answer: 7.2%

1. 已知矩形的宽为11厘米，长为20厘米，直接测量得矩形面积为11 × 20 = 220平方厘米。

2. 测量误差最大为1厘米的一半，即0.5厘米。因此，计算最大可能面积和最小可能面积。

3. 对于最大可能面积，将每个测量值加上最大误差：长为20 + 0.5 = 20.5厘米，宽为11 + 0.5 = 11.5厘米，所以最大可能面积为20.5 × 11.5 = 235.75平方厘米。

4. 对于最小可能面积，将每个测量值减去最大误差：长为20 - 0.5 = 19.5厘米，宽为11 - 0.5 = 10.5厘米，所以最小可能面积为19.5 × 10.5 = 204.75平方厘米。

5. 计算最小面积与测量面积的差为220 - 204.75 = 15.25平方厘米，最大面积与测量面积的差为235.75 - 220 = 15.75平方厘米。

6. 最大可能的面积误差为15.75平方厘米。

7. 计算面积的百分比误差为(最大可能面积误差 / 测量面积) × 100% = (15.75 / 220) × 100% ≈ 7.159%。

8. 将结果四舍五入到最近的十分位，即面积的百分比误差为7.2%。

经过上述推理，最终得出答案为7.2%。

Definition of Rectangle

在本题图中，<note>矩形的两个长边分别为20厘米</note>，<note>对边相等且平行</note>；<note>两个宽边分别为11厘米</note>，<note>对边相等且平行</note>。<note>四个角都是直角（90度）</note>。

Formula for the Area of a Rectangle

在本题图中，<note>矩形的长为20厘米</note>，<note>宽为11厘米</note>，所以<note>矩形的面积 = 20厘米 × 11厘米 = 220平方厘米</note>。计算误差时，将长和宽分别<note>加上和减去误差值（0.5厘米）</note>，<note>获得最大可能面积为20.5厘米 × 11.5厘米 = 235.75平方厘米</note>，<note>最小可能面积为19.5厘米 × 10.5厘米 = 204.75平方厘米</note>。


Question:
UV是多少？

UV= \$ox\$

Answer: UV=4

1. 已知X是切点，且WX是从W到圆的切线，WV是从W到圆的切线。根据同一外点引出的两条切线相等定理，WX与WV相等，所以，WX = VW = 5。

2. 已知SW = 7，且WX是从W到S的分段，SX + WX = SW，所以SX + 5 = 7，解得SX = 2。

3. S是两条切线的交点。根据同一外点引出的两条切线相等定理，SX与ST相等，所以，ST = SX = 2。

4. 已知SU = 6，且ST是从S到U的分段，SU = ST + TU，所以TU + 2 = 6，解得TU = 4。

5. U是两条切线的交点。根据同一外点引出的两条切线相等定理，TU与UV相等，所以，UV = TU = 4。

6. 经过上述推理，最终得出答案为UV = 4。

Definition of Tangent to a Circle

A line is a tangent to a circle if and only if it has exactly one point of intersection with the circle. This point of intersection is called the point of tangency.

Tangent-Segment Theorem

<note>从圆外一点W引圆的两条切线WX和WV</note>，它们的切线长相等，即<note>WX=WV=5</note>；<note>从圆外一点S引圆的两条切线SX和ST</note>，它们的切线长相等，即<note>SX=ST=2</note>；<note>从圆外一点U引圆的两条切线TU和UV</note>，它们的切线长相等，即<note>TU=UV=4</note>。


Question:
IJ是多少？

IJ= \$ox\$

Answer: IJ=5

1. 已知△IMK内接圆与△IMK的边IH, IJ, JK, KL, LM, MH分别相切于点H, J, L, 根据切线长定理，得出：HI = IJ, JK = LK, LM = MH。

2. 已知LM = 10，由切线长定理，得出MH = 10。

3. 由MH = 10和IM = 15，，得出HI + HM = IM。

4. 将已知条件代入，得出HI + 10 = 15。

5. 解方程HI + 10 = 15，得出HI = 5。

6. 由于HI和IJ是从I到内接圆的切线段，根据切线长定理，得出IJ = HI。

7. 由HI = 5，得出IJ = 5。

8. 经过上述推理，最终得出答案为IJ = 5。

<note>在本题图中，从圆外一点I引圆的两条切线HI和IJ，它们的切线长相等，即HI = IJ。</note>同理，<note>从圆外一点M引圆的两条切线MH和ML，它们的切线长相等，即MH= ML。</note>


Question: EF是多少？

Answer: EF=4

1. 由题图可知，△JHF内接一个圆，说明 JH, HF, FJ 是圆的切线。

2. 根据切线长定理，知 EJ = IJ，GH = HI，FG = EF。

3. 由题图数据，得知 IJ = 8，HJ = 11，FH = 7。

4. 在△HJF中，HJ = HI + IJ。即 HI = HJ - IJ = 11 - 8。

5. 计算得出 HI = 3。

6. 根据步骤2中的定理，GH = HI，因此 GH = 3。

7. 在直线GF上，通过 GH + FG = FH，代入已知 GH = 3，FH = 7，得：FG = FH - GH = 7 - 3。

8. 计算得出 FG = 4。

9. 根据步骤2中的定理，EF = FG，因此 EF = 4。

10. 经过上述推理，最终得出答案为 4。

Definition of Tangent to a Circle

<note>圆与直线JF, FH, HJ有且只有一个公共点E, G, I</note>，这些公共点叫做切点。因此，<note>直线JF, FH, HJ是圆的切线</note>。

Tangent-Segment Theorem

<note>从圆外一点J引圆的两条切线JE和JI</note>，它们的切线长相等，即<note>JE=JI</note>。同理，<note>从圆外一点F引圆的两条切线FE和FG</note>，它们的切线长相等，即<note>FE=FG</note>。同理，<note>从圆外一点H引圆的两条切线HG和HI</note>，它们的切线长相等，即<note>HG=HI</note>。


Question:
QV是什么？

QV= \$ox\$

Answer: QV=10

1. 已知△RTV，内切圆切于边RT，RV，TV上的点分别为S，Q，U。由切线长定理，点T到圆的切线TS与TU相等，TS = TU = 4。

2. 根据切线长定理，点V到圆的切线QV与UV相等，即QV = UV。

3. 由图可知，TV = 14，其中TU = 4，于是UV = TV - TU = 14 - 4 = 10。

4. 通过以上计算，得到UV = 10，根据切线长定理，QV = UV，可得QV = 10。

5. 经过上述推理，最终得出答案为10。

Definition of Tangent to a Circle

<note>圆与直线TS有且只有一个公共点S</note>，这个公共点叫做切点。因此，直线TS是圆的切线。同样，<note>圆与直线TU有且只有一个公共点U</note>，这个公共点叫做切点。因此，直线TU是圆的切线。

Tangent-Segment Theorem

<note>从圆外一点T引圆的两条切线TS和TU</note>，它们的切线长相等，即<note>TS=TU=4</note>。<note>圆心和这一点T的连线平分两条切线TS和TU的夹角</note>。类似地，<note>从圆外一点V引圆的两条切线QV和UV</note>，它们的切线长相等，即<note>QV=UV</note>。通过<note>UV = TV - TU = 10（这一步使用了14 − 4 = 10）</note>，并且由<note>QV = UV得出QV = 10</note>。


Question:
TU是多少？

TU= \$ox\$

Answer: TU=1

1. 已知图中△RVT内接圆，切点分别在Q、S、U处。

2. 根据切线长定理，从一点到圆的两个切线段长度相等。所以，\(\overline{RS} = \overline{RQ}\)和\(\overline{TU} = \overline{TS}\)。

3. 在图中，\(\overline{RS} = \overline{RQ} = 1\)，\(\overline{RT} = 2\)。

4. 则可以得知：\(\overline{RS} + \overline{ST} = \overline{RT}\)。

5. 代入已知数值：1 + \(\overline{ST}\) = 2。

6. 解方程得到\(\overline{ST} = 1\)。

7. 由于\(\overline{TU} = \overline{TS}\)，所以\(\overline{TU} = 1\)。

8. 经过上述推理，最终得出答案为\(\overline{TU} = 1\)。

<note>从点R到内切圆的两条切线段分别为RS和RQ</note>，根据切线长定理，<note>\(\overline{RS} = \overline{RQ}\)</note>。 同理，<note>从点T发出的切线段分别为TS和TU</note>，根据切线长定理，<note>\(\overline{TU} = \overline{TS}\)</note>。


Question:
这是一个多边形吗？

- 是
- 否

Answer: - no

1. 首先定义多边形：多边形是一个封闭的平面图形，由有限条直线段组成，每一条线段只与另两条相接于其端点。

2. 通过观察题中给出的图形，可以看出图形是一个连续的封闭曲线，没有使用直线段构成。

3. 基于以上观察，图形的边界并不由直线段构成，不满足多边形的定义。

4. 经过上述推理，可以确认该图形不是多边形，因为它虽然是封闭的，但没有由直线段构成的边。

Polygon

A polygon is a closed figure in a plane formed by a finite number of line segments joined sequentially where each segment intersects exactly two other segments at its endpoints.

<note>图形是一个平面上的闭合图形</note>。它由一个连续的封闭曲线组成，没有使用直线段构成，因此<note>不是多边形</note>。


Question:
VW是什么？

VW= \$ox\$

Answer: VW=8

1. 已知，点 R 是两条切线RS 和 RW 的交点，根据切线长定理，得出线段RS=RW，因此 RS = RW = 10。

2. 根据图示，RT 的长度是 15，可得出 ST + RS = RT。

3. 代入已知 RS = 10 和 RT = 15，得到 ST + 10 = 15。

4. 两边同时减去 10，得到 ST = 5。

5. 已知，点 T 是两条切线TU 和 ST 的交点，根据切线长定理，得出线段TU=ST，因此 TU = ST = 5。

6. 根据图示，TV 的长度是 13，可得 UV + TU = TV。

7. 代入 TU = 5 和 TV = 13，得到 UV + 5 = 13。

8. 两边同时减去 5，得到 UV = 8。

9. 已知，点 V是两条切线VW 和 UV的交点，根据切线长定理，得出线段 VW=UV，因此 VW = UV = 8。

10. 经过上述推理，最终得出答案为 VW = 8。

Definition of Tangent to a Circle

在本题图中，<note>圆与线段 RW、RT、TU、UV 和 VW 有且只有一个公共点</note>，这些<note>公共点分别是 R、T、U 和 V 等点</note>。因此，<note>线段 RW、RT、TU、UV 和 VW 是圆的切线</note>。

Tangent-Segment Theorem

在本题图中，从圆外一点 R 引圆的两条切线 <note>RS</note> 和 <note>RW</note>，它们的切线长相等，即 <note>RS = RW = 10</note>；从圆外一点 T 引圆的两条切线 <note>ST</note> 和 <note>TU</note>，它们的切线长相等，即 <note>ST = TU = 5</note>；从圆外一点 V 引圆的两条切线 <note>UV</note> 和 <note>VW</note>，它们的切线长相等，即 <note>UV = VW = 8</note>。


Question:
这是一个多边形吗？

- 是
- 否

Answer: - no

1. 多边形：多边形是平面上的闭合图形，由多条线段顺次连接而成，且每两条线段只在端点相交。

2. 检查给出的图形中每一段的性质。该图形的边界明显由一条曲线构成，而非多段直线段。

3. 观察图形的边界是否封闭。图中显示了一条未能闭合的曲线，这表明该图形并非封闭。

4. 结合步骤2和步骤3的分析结果：该图形不符合多边形的定义，因为它既不是由直线段构成的，也不完全封闭。

5. 经过上述推理，最终得出答案为no。

Polygon

<note>图中显示了一条未能闭合的曲线</note>，既不是多段直线段构成的，<note>也不是闭合图形</note>，所以它不是多边形。


Question: 这个图形是正多边形吗？

Answer: - yes

1. 已知所有边的长度都是78，这意味着在这个多边形中，每一条边都相等。

2. 已知所有内角均为144°，这意味着在这个多边形中，每个内角都相等。

3. 根据正多边形的定义，正多边形是指具有全等的边和全等的内角的多边形。

4. 由于这个多边形的所有边的长度相等，每个内角也相等，符合正多边形的定义。

5. 经过上述分析，得出结论：这个多边形是正多边形。

Definition of Regular Polygon

A polygon is a regular polygon if and only if all its sides are of equal length and all its interior angles are equal.

<note>在本题图中</note>，正多边形中，<note>所有边的长度均为78</note>，且<note>所有内角均为144°</note>。因此，这个多边形是一个正多边形。


Question: 这个图形是正多边形吗？

Answer: - no

1. 给定图形显示为一个有十条边的多边形，根据定义，正多边形是所有边相等且所有角相等的凸多边形。

2. 根据观察，题中提到某些角大于90°而其他的角小于90°，根据定义，正多边形的所有角应当相等，因此该多边形的所有内角不相等。3. 根据正多边形的定义，要求所有边和角都相等，而此处角不相等。因此，该多边形不是一个正多边形。

4. 经过上述推理，最终得出答案为否。

<note>该图形是一个有十条边的多边形</note>，根据正多边形的定义，正多边形要求<note>所有边相等且所有内角相等</note>。题目中<note>已知某些角大于90°，其他角小于90°</note>，说明<note>所有角不相等</note>。因此<note>该多边形不符合正多边形的定义</note>。


Question:
这是一个多边形吗？

- 是
- 否

Answer: - no

1. 首先，我们需要明确多边形（Polygon）的定义：多边形是由若干条线段首尾相连组成的简单闭合图形，每条线段的端点都是其他线段的一个端点。

2. 分析题目中给定的图形，观察其边界。可以看到，这个图形具有闭合的性质，但是其边界不是由线段组成，而是由曲线组成。

3. 因此，根据多边形的定义和题目的条件，得出结论：该图形不是一个多边形。

Polygon

<note>在本题图中</note>，多边形是一个平面上的闭合图形。<note>它由多条线段顺次连接而成</note>，并且每两条线段只在端点相交。图中并不是线段，所以不是多边形。


Question:
NO是多少？

NO= \$ox\$

Answer: NO=9

1. 从点 K 绘制至内切圆的两条切线分别是 KL 和 KP，根据切线长定理，得出KL = KP。这里给出的信息是 KL= 8 ，因此 KP= 8。

2. 已知KO= 17，有KO=KP+OP，代入已知值，得到 17 = 8 +OP。

3. 通过上一步的等式，解得OP= 17 - 8 = 9。

4. 从点 O 绘制至内切圆的两条切线分别是 OP 和 ON，根据切线长定理，得出OP=ON。由于OP 已求得为 9，因此ON = 9。

5. 经过上述推理，最终得出答案为NO= 9。

Definition of Tangent to a Circle

在本题图中，<note>圆与直线KL有且只有一个公共点L</note>，这个公共点叫做切点。因此，<note>直线KL是圆的切线</note>。同样，<note>圆与直线KP有且只有一个公共点P</note>，这个公共点叫做切点。因此，<note>直线KP是圆的切线</note>。

Definition of Line Segment

A line segment is a portion of a straight line that includes two endpoints and all the points between them.

<note>线段 KO 是一个直线的一部分</note>，包含<note>端点 K 和端点 O</note>及其间的所有点。<note>线段 KO 具有两个端点</note>，这两个端点分别是<note>K 和 O</note>，且<note>线段 KO 上的每一个点都位于端点 K 和端点 O 之间</note>。

Tangent-Segment Theorem

<note>从点 O 绘制至内切圆的两条切线分别是 OP 和 ON</note>，它们的切线长相等，即 <note>OP=ON</note>。圆心和这一点 O 的连线平分两条切线 <note>OP 和 ON 的夹角</note>。从点 O 绘制至内切圆的两条切线分别是 <note>KL 和 KP</note>，它们的切线长相等，即 <note>KL= KP</note>。圆心和这一点 O 的连线平分两条切线 <note>KL 和 KP 的夹角</note>。


Question:
图中显示了一个凸多边形。

这个多边形每个顶点处的外角度数之和是多少？
 \$
Box\$ °

Answer: 360°

1. 已知多边形是一个凸多边形，根据多边形的外角定义，每个外角的大小都是正数，且任何两个外角在同一方向上（顺时针或逆时针）的和不会超过360°。

2. 根据多边形外角和定理，任意一个多边形的外角和（每个顶点一个外角）等于360°，与多边形的边数无关。

3. 通过图中无外角标识的凸多边形，推理知其具有上述性质，因此该多边形的所有外角之和为360°。

4. 经过上述推理，最终得出答案为360°。

An exterior angle of a polygon is the angle formed between one side of the polygon and the extension of an adjacent side.

<note>在本题图中，多边形的一个内角为∠ABC</note>，延长该内角的相邻边<note>AB和BC形成的角∠DBE</note>称为内角<note>∠ABC的外角</note>。

Exterior Angle Sum Theorem of Polygon

For any polygon, the sum of its exterior angles is equal to 360°.

在本题图中，给出的多边形为<note>凸多边形</note>。根据<note>多边形外角和定理</note>，这个<note>凸多边形的每个顶点处的外角之和</note>等于<note>360°</note>。


Question: 这个图形是正多边形吗？

Answer: - no

1. 已知该图形是一个五边形。根据正多边形的定义，正多边形是每个内角相等且每条边长度相等的多边形。

2. 从图形标注上看，其中三个角的度数分别为82°、134°和121°。

3. 由于五边形每个内角的度数并不相同，这表明它不是正五边形。因为正五边形应该有相同的内角度数。正五边形的每个内角度数应该为108°（根据正多边形的中心角与内角公式：内角度数公式为 (n-2) * 180° / n，其中 n 为边数，因此五边形为 (5-2) * 180° / 5 = 108°）。

4. 同样，检查五边形的每个边的长度，图中部分边的长度标记为88，而其中另一条边的长度标记为72。

5. 基于以上不等角度度数和边长的结果，该多边形的边长也不全相等。

6. 以上分析表明该五边形不满足正多边形的条件。因此，这个图形不是一个正多边形。

7. 经过上述推理，最终得出答案为no，该图形不是正多边形。

Definition of Regular Polygon

<note>在本题图中，该五边形的各个内角分别为82°, 134°, 121°, 121°, 82°。</note>由于内角度数不相等，这个五边形不满足正多边形的定义条件。另外，<note>各边的长度分别为88, 88, 88, 72, 88。</note>由于边长不全相等，这个五边形也不满足正多边形的定义条件。因此，这个图形不是正多边形。

Formulas for the Central Angle and Interior Angle of a Regular Polygon

For a regular polygon with \( n \) sides, the measure of each central angle is given by \( \frac{360^\circ}{n} \). The measure of each interior angle is given by \( \frac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n} \).

在本题中，<note>n 为五边形的边数，即 5</note>。根据公式计算，<note>正五边形的内角度数为 (5-2) * 180° / 5 = 108°</note>。题目给出了<note>五边形内角分别为 82°, 134°, 121°, 121°, 82°</note>，这些角度与<note>计算得出的正五边形内角度数 108°</note>不符。因此，这个图形不是正五边形。


Question:
KL是多少？

KL= \$ox\$

Answer: KL=4

1. 观察图形，已知OP和NO是圆的切线，因此根据切线长定理，故可知OP = NO。根据已知条件ON = 9。

2. 根据题目上可知，KO = 13，现在已知OP=ON= 9，因此我们可以计算KP的长度。由此可得：KP + OP = KO，KP + 9 = 13。

3. 通过等式运算，KP = 13 - 9 = 4。

4. 由于K是引圆的两条切线KP和KL，根据切线长定理，故KP = KL。

5. 根据推理步骤3中的结果以及切线长定理，得到KP = 4，根据上述条件KL = 4。

6. 经过上述推理，最终得出答案为4.

Definition of Tangent to a Circle

在本题图中，<note>圆C与直线OP有且只有一个公共点P，这个公共点叫做切点</note>。因此，<note>直线OP是圆C的切线</note>。同样，<note>圆C与直线NO有且只有一个公共点N，这个公共点叫做切点</note>。因此，<note>直线NO是圆C的切线</note>。