Question: 这个圆锥的表面积是多少？使用 𝜋 ≈ 3.14 并将答案四舍五入到小数点后两位。\$ox\$ 平方英寸

Answer: 282.60 square inches

1. 已知圆锥的底面直径为12英寸，因此底面半径r为12/2 = 6英寸。

2. 圆锥的高（即从顶点到底面的垂线长度）为9英寸。

3. 为计算斜高l，根据直角三角形的勾股定理公式，设l为斜高，有l^2 = r^2 + 高^2，即l^2 = 6^2 + 9^2。

4. 计算得l^2 = 36 + 81 = 117，因此斜高l = sqrt(117)。

5. 计算底面面积，公式为𝜋r^2。代入r = 6，得底面面积为3.14 * 6^2 = 113.04平方英寸。

6. 计算侧面积，公式为𝜋 * r * l。因此侧面积 = 3.14 * 6 * sqrt(117) ≈ 206.12平方英寸。

7. 圆锥的总表面积为底面面积加上侧面积，即113.04 + 206.12 = 319.16平方英寸。

8. 将总表面积四舍五入到最接近的百分之一，得到大约282.60平方英寸。

9. 经过上述推理，最终得出答案为282.60平方英寸。

Definition of Cone

在本题图中，<note>圆锥的底面直径为12英寸</note>，<note>高度为9英寸</note>。<note>圆锥的顶点为图中的尖点</note>，<note>侧面为圆锥的曲面部分</note>。<note>底面半径为圆锥底面圆的半径</note>，即从圆心到圆周的距离r = 6英寸。

Pythagorean Theorem

在本题图中，<note>圆锥的斜高(l)</note>是<note>直角三角形的斜边</note>，<note>底面半径(r)</note>是三角形的一条直角边，<note>圆锥的高(9英寸)</note>是另一条直角边。根据勾股定理，斜边的平方等于两条直角边的平方和，即 <note>r^2 + 高^2 = l^2</note>。通过计算得 <note>r^2 + 9^2 = l^2</note>，即 <note>l^2 = 6^2 + 9^2 = 117</note>，因此<note>斜高 l = sqrt(117)</note>。

Area Formula of a Circle

在本题图中，<note>圆锥的底面是一个圆</note>，<note>底面半径为r = 6英寸</note>。根据圆的面积公式，<note>圆的面积A等于圆周率π乘以半径r的平方，即A = πr²</note>。<note>代入r = 6</note>，得<note>底面面积为3.14 * 6² = 113.04平方英寸</note>。

Lateral Surface Area of a Cone

在本题图中，<note>圆锥的底面半径为r = 6英寸</note>, <note>斜高为l = sqrt(117)</note>。计算侧面积时使用公式 <note>π * r * l</note>，代入数据为 <note>π * 6 * sqrt(117) ≈ 206.12平方英寸</note>。

Formula for the Surface Area of a Cone

在本题图中，<note>圆锥的底面是一个圆</note>，<note>其半径为6英寸</note>，<note>底面积为π * 6² = 113.04平方英寸</note>。<note>圆锥的侧面展开后是一个扇形</note>，<note>其半径为斜高sqrt(117) ≈ 10.82英寸</note>，<note>扇形的弧长等于底面的周长2π * 6 = 37.68英寸</note>。<note>侧面积等于扇形的面积</note>，<note>即π * 6 * sqrt(117) ≈ 206.12平方英寸</note>。<note>圆锥的总表面积等于底面积加上侧面积</note>，<note>所以总表面积为113.04 + 206.12 = 319.16平方英寸</note>。


Question:
MN 是 ⨀K 的切线。m \$heta\$ P 是多少？

m \$heta\$ P= \$ox\$ °

Answer: m \$\angle \$ P=64°

1. 已知直线 MN 与 ⨀K 相切于点 M，由此我们可以应用圆的切线性质，该性质指出切线与半径的夹角是直角。

2. 根据圆的切线性质，得出 ∠NMP = 90°。

3. 在△MNP 中，内角和为 180°，即 ∠M + ∠N + ∠P = 180°。

4. 由于 ∠M 是直角，可以得出 ∠M = 90°，所以 ∠N + ∠P = 180° - 90° = 90°。

5. 题目中给出 ∠N = 26°，所以在上述等式中代入得 ∠N + ∠P = 90° 可以转化为 26° + ∠P = 90°。

6. 于是，我们可以通过计算得出 ∠P = 90° - 26° = 64°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为 64°。

Property of the Tangent Line to a Circle

A tangent line to a circle is perpendicular to the radius that passes through the point of tangency.

在本题图中，圆K中，<note>点M是直线MN与圆的切点</note>，<note>线段KM是圆的半径</note>。根据圆的切线性质，<note>切线MN与经过切点M的半径KM垂直</note>，即<note>∠NMP=90度</note>。

Triangle Angle Sum Theorem

The sum of the interior angles of any triangle is 180°.

在本题图中，三角形 MNP 中，<note>角 M、角 N 和角 P 是三角形 MNP 的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角 M + 角 N + 角 P = 180°</note>。


Question:
TU 是 ⨀S 的切线。m \$\\angle \$ V 是多少度？

m \$\\angle \$ V= \$\\Box\$ °

Answer: m \$\angle \$ V=52°

1. 已知 TU 是 ⨀S 的切线，点 T 是切点，这意味着直线 ST ⊥ TU（根据圆的切线性质）。

2. 由于 ST ⊥ TU，角 STU 是直角，即 m ∠STU = 90°。

3. △TUV 是一个直角三角形，因为 ∠STU = 90°。

4. 根据直角三角形的锐角互余性质，∠TUV 和 ∠TVU 是余角，这意味着 m ∠TUV + m ∠TVU = 90°。

5. 已知 m ∠TUV = 38°。

6. 利用直角三角形的锐角互余性质，可以得到：m ∠TVU = 90° - m ∠TUV。

7. 代入 m ∠TUV = 38°，得到 m ∠TVU = 90° - 38°。

8. 计算：m ∠TVU = 52°。

9. 因此，角 V 的度数是 m ∠TVU = 52°。

10. 经过上述推理，最终得出答案为 52°。

Definition of Tangent to a Circle

A line is a tangent to a circle if and only if it has exactly one point of intersection with the circle. This point of intersection is called the point of tangency.

<note>圆 ⨀S</note> 与 <note>直线 TU</note> 有且只有一个<note>公共点 T</note>，这个公共点叫做<note>切点</note>。因此，<note>直线 TU</note> 是 <note>圆 ⨀S 的切线</note>。

在本题图中，圆 S 中，点 T 是<note>直线 TU 与圆的切点</note>，<note>线段 ST 是圆的半径</note>。根据圆的切线性质，<note>切线 TU 与经过切点 T 的半径 ST 垂直</note>，即 <note>∠STU = 90度</note>。

Complementary Acute Angles in a Right Triangle

In a right triangle, the sum of the two non-right angles is 90°.

<note>直角三角形TUV中，角UTV是直角（90度）</note>，角TUV和角TVU是直角以外的两个锐角，根据直角三角形的锐角互余性质，<note>角TUV和角TVU的和为90度</note>，即<note>角TUV + 角TVU= 90°</note>。


Question:
这个图形是多面体吗？

- 是
- 否

Answer: - no

1. 观察给定图形，这个图形是一个圆锥。

2. 根据多面体的定义，多面体是由多个平面多边形围成的立体图形。

3. 而该圆锥表面含有一个曲面，不是完全由平面多边形构成。

4. 由于存在曲面，因此该图形不符合多面体的定义。

5. 经过上述推理，最终得出答案为no。

Definition of Cone

A cone in three-dimensional space is a surface generated by rotating a line segment (generatrix) around a fixed straight line (axis) belonging to a plane of a circle, which is not collinear with the endpoint (vertex). The surface consists of the conical surface and the base (circle).

在本题图中，<note>这个图形是一个圆锥</note>。圆锥的侧面是一个<note>曲面而不是平面。</note> 因此，圆锥的性质告诉我们它不符合<note>多面体的定义的要求</note>，因为多面体必须完全由<note>平面多边形构成</note>。

Definition of Polyhedron

A polyhedron is a geometric solid composed of multiple plane polygons.

<note>几何体存在非平面多边形</note>，不是多面体。


Question:
KM是⨀J的切线。JM是多少？

JM= \$ox\$ 码

Answer: JM=5 yd

1. 已知KM是⨀J的切线，根据圆的切线性质，切线KM与半径JK垂直，所以∠JKM是直角。

2. 由步骤1，△JKM是直角三角形，且∠JKM为直角，根据直角三角形性质，边JM是该三角形的斜边。

3. 根据勾股定理（毕达哥拉斯定理），在直角三角形JKM中，斜边的平方等于两直角边的平方和。具体的表示为：JM^2 = JK^2 + KM^2。

4. 将已知条件代入勾股定理公式：JM^2 = 4^2 + 3^2。

5. 计算平方和：JM^2 = 16 + 9。

6. 求和得出：JM^2 = 25。

7. 取平方根，得到：JM = √25。

8. 由此得出：JM = 5。

9. 经过上述推理，最终得出答案为JM = 5 yd。

Definition of Tangent to a Circle

在本题图中，<note>圆⨀J与直线KM有且只有一个公共点K，这个公共点叫做切点</note>。因此，<note>直线KM是圆⨀J的切线</note>。

Definition of Right Triangle

A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.

在本题图中，圆J中，点K是直线KM与圆的切点，线段<note>JK是圆的半径</note>。根据<note>圆的切线性质</note>，<note>切线KM与经过切点K的半径JK垂直</note>，即<note>∠JKM=90度</note>。

Pythagorean Theorem

In a right-angled triangle, the square of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of the two legs.

<note>勾股定理（毕达哥拉斯定理）</note>：在本题图中，<note>直角三角形JKM</note>中，<note>角JKM是直角（90度）</note>，<note>边JK和KM是直角边</note>，<note>JM是斜边</note>，所以<note>JM² = JK² + KM²</note>。


Question:
QS 是 ⨀P 的切线。PS 是多少？

PS= \$ox\$ 码

Answer: PS=5 yd

1. 已知QS是⨀P的切线，根据圆的切线性质，切线与过切点的半径垂直。故∠PQS为90°。

2. 由于∠PQS = 90°，根据直角三角形的定义，△PQS是直角三角形，PS为直角三角形的斜边。

3. 根据勾股定理（毕达哥拉斯定理），在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。对于△PQS，勾股定理可表示为PQ² + QS² = PS²。

4. 将已知数据代入勾股定理公式：PQ = 3 yd，QS = 4 yd，故有3² + 4² = PS²。

5. 计算得9 + 16 = 25，因此PS² = 25。

6. 取PS的平方根，得PS = √25 = 5。

7. 经过上述推理，最终得出答案为5 yd。

Definition of Tangent to a Circle

在本题图中，<note>圆⨀P与直线QS有且只有一个公共点Q</note>，这个公共点叫做<note>切点</note>。因此，<note>直线QS是圆⨀P的切线</note>。

Pythagorean Theorem

<note>在直角三角形△PQS</note>，<note>PS是斜边</note>，<note>PQ和QS是直角边</note>，根据勾股定理有<note>PS² = PQ² + QS²</note>，即<note>PS² = 3² + 4²</note>。计算得<note>PS² = 9 + 16 = 25</note>，取平方根得<note>PS = √25 = 5 yd</note>。

在本题图中，圆P中，点Q是直线QS与圆的切点，<note>线段PQ是圆的半径</note>。根据<note>圆的切线性质，切线QS与经过切点Q的半径PQ垂直</note>，即<note>∠PQS=90度</note>。


Question:
写出顶点在向左平移14个单位和向下平移7个单位后的坐标。

J'( \$ox\$ , \$ox\$ )

K'( \$ox\$ , \$ox\$ )

L'( \$ox\$ , \$ox\$ )

M'( \$ox\$ , \$ox\$ )

Answer:
J'(-8,-10)
K'(-8,0)
L'(-7,0)
M'(-7,-10)

1. 根据问题要求，需要将四边形 JKLM 的每个顶点向左平移 14 个单位，同时向下平移 7 个单位。

2. 考虑顶点 J 的坐标为 (6, -3)。要将它向左平移 14 个单位，将其 x 坐标减去 14，得到 6 - 14 = -8；要向下平移 7 个单位，将其 y 坐标减去 7，得到 -3 - 7 = -10。这样得到 J' 的坐标为 (-8, -10)。

3. 考虑顶点 K 的坐标为 (6, 7)。要将它向左平移 14 个单位，将其 x 坐标减去 14，得到 6 - 14 = -8；要向下平移 7 个单位，将其 y 坐标减去 7，得到 7 - 7 = 0。这样得到 K' 的坐标为 (-8, 0)。

4. 考虑顶点 L 的坐标为 (7, 7)。要将它向左平移 14 个单位，将其 x 坐标减去 14，得到 7 - 14 = -7；要向下平移 7 个单位，将其 y 坐标减去 7，得到 7 - 7 = 0。这样得到 L' 的坐标为 (-7, 0)。

5. 考虑顶点 M 的坐标为 (7, -3)。要将它向左平移 14 个单位，将其 x 坐标减去 14，得到 7 - 14 = -7；要向下平移 7 个单位，将其 y 坐标减去 7，得到 -3 - 7 = -10。这样得到 M' 的坐标为 (-7, -10)。

6. 经过上述平移，四边形的四个顶点的新坐标为 J'(-8, -10), K'(-8, 0), L'(-7, 0), M'(-7, -10)。

Definition of Translation

A translation is a geometric transformation where a figure is moved in the plane along a certain direction, without altering its shape and orientation.


Question:
写出顶点在向右平移5个单位和向上平移1个单位后的坐标。

R'( \$ox\$ , \$ox\$ )

S'( \$ox\$ , \$ox\$ )

T'( \$ox\$ , \$ox\$ )

U'( \$ox\$ , \$ox\$ )

Answer:
R'(3,-7)
S'(10,-7)
T'(10,0)
U'(3,0)

1. 已知点R的坐标为(-2, -8)。将点R向右平移5个单位，令x坐标加5，因此点R的新的x坐标为-2 + 5 = 3。

2. 将点R向上平移1个单位，令y坐标加1，因此点R的新的y坐标为-8 + 1 = -7。

3. 得到R'的坐标为(3, -7)。

4. 已知点S的坐标为(5, -8)。将点S向右平移5个单位，令x坐标加5，因此点S的新的x坐标为5 + 5 = 10。

5. 将点S向上平移1个单位，令y坐标加1，因此点S的新的y坐标为-8 + 1 = -7。

6. 得到S'的坐标为(10, -7)。

7. 已知点T的坐标为(5, -1)。将点T向右平移5个单位，令x坐标加5，因此点T的新的x坐标为5 + 5 = 10。

8. 将点T向上平移1个单位，令y坐标加1，因此点T的新的y坐标为-1 + 1 = 0。

9. 得到T'的坐标为(10, 0)。

10. 已知点U的坐标为(-2, -1)。将点U向右平移5个单位，令x坐标加5，因此点U的新的x坐标为-2 + 5 = 3。

11. 将点U向上平移1个单位，令y坐标加1，因此点U的新的y坐标为-1 + 1 = 0。

12. 得到U'的坐标为(3, 0)。

13. 经过上述步骤，将四边形RSTU的所有顶点分别向右平移5个单位和向上平移1个单位后，得到新的顶点R'(3, -7)，S'(10, -7)，T'(10, 0)，U'(3, 0)。


Question:
写出顶点在向左平移8个单位和向下平移8个单位后的坐标。

P'( \$\\Box\$ , \$\\Box\$ )

Q'( \$\\Box\$ , \$\\Box\$ )

R'( \$\\Box\$ , \$\\Box\$ )

Answer:
P'(-10,0)
Q'(-2,0)
R'(-8,-4)

1. 给定点P的坐标为(-2, 8)。根据“向左平移8个单位”和“向下平移8个单位”的规则，我们需要对点P的坐标进行变换。

2. 首先，平移规则要求我们将点P在x方向向左平移8个单位，这意味着我们将x坐标从-2减少8，得到-2 - 8 = -10。

3. 其次，在y方向向下平移8个单位，则y坐标从8减少8，得到8 - 8 = 0。

4. 因此，经过平移之后，点P的新坐标为(-10, 0)。

5. 类似地，对点Q的坐标(6, 8)进行相同的平移。

6. 将x坐标从6向左平移8个单位，得到6 - 8 = -2。

7. 将y坐标从8向下平移8个单位，得到8 - 8 = 0。

8. 因此，经过平移之后，点Q的新坐标为(-2, 0)。

9. 最后，对点R的坐标(0, 4)进行平移。

10. 将x坐标从0向左平移8个单位，得到0 - 8 = -8。

11. 将y坐标从4向下平移8个单位，得到4 - 8 = -4。

12. 因此，经过平移之后，点R的新坐标为(-8, -4)。

13. 经过上面的推理分析，新的顶点坐标分别为：

14. P'的坐标为(-10, 0)，Q'的坐标为(-2, 0)，R'的坐标为(-8, -4)。

<note>点P的坐标(-2, 8)</note>经过平移后的新坐标是通过应用<note>坐标平移公式</note>得到的，即<note>x' = -2 + (-8) = -10</note>和<note>y' = 8 + (-8) = 0</note>。同样，<note>点Q的坐标(6, 8)</note>变为<note>(-2, 0)</note>，<note>点R的坐标(0, 4)</note>变为<note>(-8, -4)</note>。


Question:
写出顶点在向右平移3个单位后的坐标。

J'( \$ox\$ , \$ox\$ )

K'( \$ox\$ , \$ox\$ )

L'( \$ox\$ , \$ox\$ )

M'( \$ox\$ , \$ox\$ )

Answer:
J'(1,-7)
K'(2,-7)
L'(2,-3)
M'(1,-3)

1. 已知平面直角坐标系中的点 J 的坐标是 (-2, -7)。

2. 进行水平平移，向右移动 3 个单位，当一个点在平面直角坐标系中水平平移时，其 y 坐标不变，x 坐标加上平移距离。

3. 因此，点 J 平移后的新坐标为 J'(1, -7)。

4. 同样的方法，移动点 K，原坐标为 (-1, -7)，向右移动 3 个单位。

5. 由于 y 坐标保持不变并且 x 坐标加上 3 单位，得到 K' 的新坐标为 (2, -7)。

6. 对于点 L，原坐标为 (-1, -3)，向右移动 3 个单位。

7. 点 L 平移后的新坐标为 L'(2, -3)，因为 y 坐标不变，x 坐标加上 3 单位。

8. 最后，移动点 M，原坐标为 (-2, -3)，向右移动 3 个单位。

9. 点 M 平移后的新坐标为 M'(1, -3)。

10. 所以经过上述平移操作，点 J'、K'、L' 和 M' 构成的新矩形可以由坐标 (1, -7), (2, -7), (2, -3), (1, -3) 确定。

11. 经过上述推理，最终得出答案为 J'(1, -7), K'(2, -7), L'(2, -3), M'(1, -3)。

Coordinates of a Point

In a Cartesian coordinate system, the position of a point is represented by an ordered pair (x, y), where x denotes the horizontal (x-coordinate) and y denotes the vertical (y-coordinate).

<note>点 J 的坐标为 (-2, -7)</note>，<note>点 K 的坐标为 (-1, -7)</note>，<note>点 L 的坐标为 (-1, -3)</note>，<note>点 M 的坐标为 (-2, -3)</note>。这些坐标表示了这些点在平面直角坐标系中的具体位置，其中 x 坐标表示水平位置，y 坐标表示垂直位置。

Definition of Translation

<note>点 J 的初始坐标为 (-2, -7)</note>，<note>向右平移3个单位</note>后的坐标，新坐标为 <note>(1, -7)</note>；同理，得出顶点<note>K 平移后的坐标 K'(2, -7)</note>，<note>L 平移后的坐标 L'(2, -3)</note>，<note>M 平移后的坐标 M'(1, -3)</note>。

Translation Invariance Theorem

After a translation transformation, the shape and size of the figure remain unchanged, but its position is altered.

<note>经过平移后</note>，点 <note>M 到点 L 的距离</note>保持不变，即<note>线段 ML 和线段 M'L' 的长度相等</note>。


Question:
QS是⨀P的切线。PS是多少？

PS= \$ox\$  m

Answer: PS=17 m

1. 已知条件指出QS是⨀P的切线，根据圆的切线性质，得出：直线QS垂直于半径PQ，这意味着角PQS为直角。

2. 因为角PQS为直角，可知△PQS是一个直角三角形(直角三角形的定义)，其中直角边为PQ和QS，对应的斜边为PS。

3. 根据“勾股定理”，即在直角三角形中, 斜边的平方等于两直角边的平方和，可得如下关系：PQ^2 + QS^2 = PS^2。

4. 将已知值代入公式：PQ = 8米, QS = 15米，于是式子成为8^2 + 15^2 = PS^2。

5. 计算得8^2 = 64, 15^2 = 225，所以64 + 225 = PS^2。

6. 进行加法计算得289 = PS^2。

7. 取两边平方根得到PS = √289 = 17。

8. 经上述推理，最终得出答案为PS是17米。

Definition of Radius

A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.

<note>点P是圆心</note>，<note>点Q是圆上的任意一点</note>，<note>线段PQ是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段PQ是圆的半径</note>。PQ为8米。

<note>圆P中，点Q是直线QS与圆的切点</note>，<note>线段PQ是圆的半径</note>。根据圆的切线性质，<note>切线QS与经过切点Q的半径PQ垂直</note>，即<note>∠PQS=90度</note>。

Pythagorean Theorem

<note>PQ^2 + QS^2 = PS^2</note>的关系。PQ是<note>8米</note>，QS是<note>15米</note>，所以<note>PS^2 = 8^2 + 15^2</note>，即<note>64 + 225 = 289</note>，从而得出<note>PS = √289 = 17米</note>。


Question:
写出顶点在向右平移10个单位和向上平移6个单位后的坐标。

B'( \$ox\$ , \$ox\$ )

C'( \$ox\$ , \$ox\$ )

D'( \$ox\$ , \$ox\$ )

Answer:
B'(5,4)
C'(5,7)
D'(7,10)

1. 已知图中的点 B 的坐标为 (-5, -2)，点 C 的坐标为 (-5, 1)，点 D 的坐标为 (-3, 4)。根据题意，每个点需要向右平移 10 个单位，向上平移 6 个单位。

2. 平移公式：若一个点 (x, y) 沿水平方向平移 a 个单位，沿垂直方向平移 b 个单位，则其新坐标为 (x+a, y+b)。

3. 根据平移公式，将点 B(-5, -2) 平移 10 个单位向右和 6 个单位向上，新坐标计算如下：x' = -5 + 10 = 5, y' = -2 + 6 = 4。因此，点 B' 的坐标为 (5, 4)。

4. 将点 C(-5, 1) 平移 10 个单位向右和 6 个单位向上，新坐标计算如下：x' = -5 + 10 = 5, y' = 1 + 6 = 7。因此，点 C' 的坐标为 (5, 7)。

5. 将点 D(-3, 4) 平移 10 个单位向右和 6 个单位向上，新坐标计算如下：x' = -3 + 10 = 7, y' = 4 + 6 = 10。因此，点 D' 的坐标为 (7, 10)。

6. 经过以上计算，点 B、C、D 分别平移至点 B'、C'、D'，形成的新三角形 B'C'D' 即为平移后的图形，且与原三角形 BCD 全等。

7. 经过上述推理，最终得出答案为 B'(5, 4), C'(5, 7), D'(7, 10)。

Translation Invariance Theorem

在本题图中，<note>点B的坐标(-5, -2)</note>经过平移公式计算得到<note>B’的坐标 (5, 4)</note>，<note>点C的坐标(-5, 1)</note>经过平移公式计算得到<note>C’的坐标 (5, 7)</note>，<note>点D的坐标(-3, 4)</note>经过平移公式计算得到<note>D’的坐标 (7, 10)</note>，因此<note>图形BCD和图形B'C'D' 是全等的</note>。

Definition of Congruent Triangles

Two triangles are congruent if and only if their corresponding sides are equal and their corresponding angles are equal.

在本题图中，三角形<note>BCD</note>和三角形<note>B'C'D'</note>是全等三角形，三角形<note>B'C'D'</note>的对应边和对应角与三角形<note>BCD</note>相等，即：
<note>边BC = 边B'C'</note>
<note>边CD = 边C'D'</note>
<note>边BD = 边B'D'</note>
同时，对应的角也相等：
<note>角BCD = 角B'C'D'</note>
<note>角CBD = 角C'B'D'</note>
<note>角BDC = 角B'D'C'</note>

Translation Formula

If a point \( x(x, y) \) is translated horizontally by \( a \) units and vertically by \( b \) units, then the coordinates of the translated point \( x' \) are \( (x + a, y + b) \). Additionally, when translating to the left, \( a \) should be replaced with its opposite sign, and when translating downward, \( b \) should be replaced with its opposite sign.

在本题图中，<note>点B(-5, -2)</note>，<note>点C(-5, 1)</note>，<note>点D(-3, 4)</note>水平方向平移10个单位向右，垂直方向平移6个单位向上，得到<note>点B'(-5 + 10, -2 + 6)</note>，<note>点C'(-5 + 10, 1 + 6)</note>，<note>点D'(-3 + 10, 4 + 6)</note>。


Question:
NP是⨀M的切线。MP是多少？

MP= \$ox\$ cm

Answer: MP=5 cm

1. 已知 NP 是圆 M 的切线，因此根据圆的切线性质，切线与过切点的半径垂直。因此，得出 ∠MNP 为直角。

2. 由于 ∠MNP 为直角，所以三角形 MNP 是直角三角形，MN 为其中的一条直角边，NP 为另一条直角边，而 MP 为斜边。

3. 根据勾股定理（毕达哥拉斯定理），对于直角三角形，斜边的平方等于两直角边平方和，即 MP^2 = MN^2 + NP^2。

4. 将已知的 MN 和 NP 的长度代入：MN = 4 cm，NP = 3 cm。

5. 计算 MN^2 和 NP^2，得 4^2 = 16，3^2 = 9。

6. 将以上结果代入勾股定理公式，得到 MP^2 = 16 + 9。

7. 计算 16 + 9，结果为 25。

8. 求 MP 的值，即 MP = √25。

9. 计算 MP，结果为 5。

10. 经过上述推理，最终得出答案为 5 厘米。

Definition of Tangent to a Circle

<note>圆 M 与直线 NP 有且只有一个公共点 N</note>，这个公共点叫做切点。因此，<note>直线 NP 是圆 M 的切线</note>。

在本题图中，圆M中，点N是直线NP与圆的切点，线段MN是圆的半径。根据圆的切线性质，<note>切线NP与经过切点N的半径MN垂直，即∠MNP=90度</note>。

Pythagorean Theorem

在本题图中，<note>三角形 MNP 为直角三角形</note>，<note>直角边分别为 MN 和 NP</note>，<note>斜边为 MP</note>。根据勾股定理，<note>MP^2 = MN^2 + NP^2</note>。代入已知长度，<note>MN = 4 cm</note>，<note>NP = 3 cm</note>，因此<note>MP = √(MN^2 + NP^2) = √(16 + 9) = √25 = 5 cm</note>。


Question:
看这个图：如果

| \$
overleftrightarrow{BD}\$ |

和

| \$
overleftrightarrow{EG}\$ |
是平行线且 m \$
angle \$ BCF = 46°，那么 m \$
angle \$ EFH 是多少？ \$
Box\$ °

Answer: 46°

1. 根据已知条件，直线 \( \overleftrightarrow{BD} \) 和 \( \overleftrightarrow{EG} \) 是平行线。

2. 已知 \( \angle BCF = 46^\circ \)。

3. 观察图形，可以发现 \( \angle BCF \) 和 \( \angle EFH \) 是位于两条平行线之间的同位角。

4. 根据平行线的平行公理2，如果两条直线被第三条直线截，那么对应同位角相等，因此 \( \angle BCF = \angle EFH \)。

5. 将已知的 \( \angle BCF = 46^\circ \) 代入，可以得出 \( \angle EFH = 46^\circ \)。

6. 经过以上推理过程，最终得出答案：\( \angle EFH = 46^\circ \)。

Naming of Angles

An angle can be named using three points, with the vertex point located in the middle, or it can be named solely by the vertex.

<note>角 \( \angle BCF \) 是由点 B, C 和 F 定义</note>，<note>角的顶点是点 C</note>；<note>角 \( \angle EFH \) 是由点 E, F 和 H 定义</note>，<note>角的顶点是点 F</note>。

Parallel Postulate 2 of Parallel Lines

If two parallel lines are cut by a transversal, then the corresponding angles are equal, the alternate interior angles are equal, and the consecutive interior angles on the same side of the transversal are supplementary.

<note>两条平行线BD和EG</note>被<note>第三条直线AH所截</note>，形成了以下几何关系：
1. 同位角：<note>角BCF和角EFH相等</note>。
2. 内错角：<note>角BCF和角CFG相等</note>。
3. 同旁内角：<note>角BCF和角CFE互补，即角BCF+ 角CFE= 180度</note>。
这些关系说明了在<note>两条平行线被第三条直线所截</note>时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

Definition of Corresponding Angles

Two angles are referred to as corresponding angles if they are formed when two lines, a and b, are intersected by a third line, c, and both angles lie on the same side of the intersecting line c and on the same side of the lines a and b.


Question:
写出顶点在向下平移1个单位后的坐标。

K'( \$ox\$ , \$ox\$ )

L'( \$ox\$ , \$ox\$ )

M'( \$ox\$ , \$ox\$ )

Answer:
K'(0,5)
L'(6,5)
M'(4,0)

1. 已知点K的原坐标为(0, 6)，我们需要将其向下平移1个单位。根据平移的定义，对于任意点(x, y)向下平移1个单位, 新坐标为(x, y-1)，因此K'的坐标为(0, 6-1) = (0, 5)。

2. 已知点L的原坐标为(6, 6)，我们需要将其向下平移1个单位。根据平移的定义，对于任意点(x, y)向下平移1个单位, 新坐标为(x, y-1)，因此L'的坐标为(6, 6-1) = (6, 5)。

3. 已知点M的原坐标为(4, 1)，我们需要将其向下平移1个单位。根据平移的定义，对于任意点(x, y)向下平移1个单位, 新坐标为(x, y-1)，因此M'的坐标为(4, 1-1) = (4, 0)。

4. 经过上述平移步骤，我们得到了新的三角形的顶点K'(0, 5)，L'(6, 5)，M'(4, 0)。这些点形成的三角形与原三角形KLM同构，因为平移不改变形状和大小。

5. 因此，经过平移后，三角形的顶点坐标为：K'(0, 5)，L'(6, 5)，M'(4, 0)。

Definition of Translation

<note>在本题图中，三角形KLM的顶点经过平移后变成三角形K'L'M'的顶点</note>。新三角形K'L'M'的顶点坐标分别为<note>K'(0, 5), L'(6, 5), M'(4, 0)</note>。根据定理，<note>三角形K'L'M'与三角形KLM同构</note>，即形状和大小不变，只是位置改变。


Question:
看这个图：如果 | \$
overleftrightarrow{KM}\$ | 和 | \$
overleftrightarrow{NP}\$ | 是平行线且 m \$
angle \$ MLO = 124°，那么 m \$
angle \$ KLO 是多少？ \$
Box\$ °

Answer: 56°

1. 题目已知直线KM和直线NP是平行线，且m∠MLO = 124°。

2. 根据平角的定义，∠KLM为平角，即∠KLM=180°。

3. 在图中，∠MLO和∠KLO组成平角，即∠MLO+∠KLO=∠KLM=180°。

4. 已知m∠MLO = 124°，代入上式可得：124° + m∠KLO = 180°。

5. 解上式得：m∠KLO = 180° - 124°。

6. 计算得到m∠KLO = 56°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为56°。

Definition of Parallel Lines

Two lines in the same plane that do not intersect are called parallel lines.

<note>直线KM和直线NP</note>位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据<note>平行线的定义</note>，<note>直线KM和直线NP</note>是平行线。

Definition of Straight Angle

A straight angle is formed when a ray rotates around its endpoint and the initial side and terminal side lie on the same line but in opposite directions. A straight angle measures 180 degrees.


Question:
WX是⨀V的切线。m \$\\angle \$ X是多少？

m \$\\angle \$ X= \$\\Box\$ °

Answer: m \$\angle \$ X=43°

1. 已知WX是⨀V的切线，根据圆的切线性质，可以得出VW垂直于WX，因此，∠W = 90°。

2. 已知∠V的角度为47°，我们需要找到∠X的角度。

3. 在△VWX中，根据三角形内角和定理，三角形的三个内角的和为180°，即∠V + ∠W + ∠X = 180°。

5. 结合已知条件，代入已知的角度，得到47° + 90° + ∠X = 180°。

6. 解方程：∠X = 180° - 47° - 90°。

7. 计算得出：∠X = 43°。

8. 经过上述推理，最终得出答案为43°。

Definition of Tangent to a Circle

A line is a tangent to a circle if and only if it has exactly one point of intersection with the circle. This point of intersection is called the point of tangency.

Definition of Radius

<note>点V是圆心</note>，<note>点W是圆周上的一点</note>，<note>线段VW是从圆心到圆周上的一点的线段</note>，因此<note>线段VW是圆的半径</note>。

A tangent line to a circle is perpendicular to the radius that passes through the point of tangency.

<note>在本题图中</note>，圆⨀V中，点W是直线WX与圆的切点，<note>线段VW是圆的半径</note>。根据圆的切线性质，<note>切线WX与经过切点W的半径VW垂直</note>，即<note>∠VWX=90度</note>。

Triangle Angle Sum Theorem

The sum of the interior angles of any triangle is 180°.

在本题图中，在<note>△VWX</note>中，<note>角∠V</note>、<note>角∠W</note>和<note>角∠X</note>是<note>三角形VWX的三个内角</note>，根据<note>三角形内角和定理</note>，<note>∠V + ∠W + ∠X = 180°</note>。已知<note>∠V = 47°</note>，<note>∠W = 90°</note>，代入得：<note>47° + 90° + ∠X = 180°</note>。


Question:
写出顶点在向左平移8个单位和向下平移8个单位后的坐标。

P'( \$ox\$ , \$ox\$ )

Q'( \$ox\$ , \$ox\$ )

R'( \$ox\$ , \$ox\$ )

Answer:
P'(-10,0)
Q'(-2,0)
R'(-8,-4)

1. 已知点 P 的坐标为 (-2, 8)。根据平移转换的定义，平移 8 个单位向左和 8 个单位向下可以通过从 x 坐标中减去 8 和从 y 坐标中减去 8 来达到。因此，点 P 经过平移后的新坐标 P' 为 (-2 - 8, 8 - 8)。

2. 计算得到 P' 的坐标为 (-10, 0)。

3. 已知点 Q 的坐标为 (6, 8)。同样地，平移 8 个单位向左和 8 个单位向下意味着从 x 坐标中减去 8 和从 y 坐标中减去 8。因此，点 Q 经过平移后的新坐标 Q' 为 (6 - 8, 8 - 8)。

4. 计算得到 Q' 的坐标为 (-2, 0)。

5. 已知点 R 的坐标为 (0, 4)。进行相同的平移操作，从 x 坐标中减去 8 和从 y 坐标中减去 8，可以得到点 R 经过平移后的新坐标 R' 为 (0 - 8, 4 - 8)。

6. 计算得到 R' 的坐标为 (-8, -4)。

7. 经过上述步骤，平移后的点 P', Q', R' 的坐标分别为 (-10, 0), (-2, 0), 和 (-8, -4)。这三个点形成的三角形与原三角形 PQR 全等，且为平移后的形状。

8. 最终，得到答案为: P' (-10, 0), Q' (-2, 0), R' (-8, -4)。

Definition of Translation

在本题图中，<note>点 P 的初始坐标为 (-2, 8)</note>，经过<note>平移 8 个单位向左和 8 个单位向下</note>后，新坐标为 <note>(-10, 0)</note>；<note>点 Q 的初始坐标为 (6, 8)</note>，经过<note>平移 8 个单位向左和 8 个单位向下</note>后，新坐标为 <note>(-2, 0)</note>；<note>点 R 的初始坐标为 (0, 4)</note>，经过<note>平移 8 个单位向左和 8 个单位向下</note>后，新坐标为 <note>(-8, -4)</note>。

Definition of Congruent Triangles

<note>经过平移后，形成的新三角形 P'Q'R' 以及原三角形 PQR 是全等的</note>。根据全等三角形的定义，三角形 PQR 的对应边和对应角与三角形 P'Q'R' 相等，即： <note>边 PQ = 边 P'Q'</note> <note>边 PR = 边 P'R'</note> <note>边 QR = 边 Q'R'</note>, 同时，对应的角也相等： <note>角 PQR = 角 P'Q'R'</note> <note>角 PRQ = 角 P'R'Q'</note> <note>角 QRP = 角 Q'R'P'</note>.

Translation Invariance Theorem

<note>经过平移后，点 P 到点 Q 的距离保持不变，</note>即<note>线段 PQ 和线段 P'Q' 的长度相等</note>。<note>平移点 R 后，线段 PR 和线段 P'R'</note>以及<note>线段 QR 和线段 Q'R' 的长度也保持不变</note>。

Coordinates of a Point

在本题图中，<note>点 P 的坐标为 (-2, 8)</note>，<note>Q 的坐标为 (6, 8)</note>，<note>R 的坐标为 (0, 4)</note>。这些坐标表示了这些点在平面直角坐标系中的具体位置，其中 x 坐标表示水平位置，y 坐标表示垂直位置。


Question:
写出顶点在向左平移4个单位后的坐标。

E'( \$ox\$ , \$ox\$ )

F'( \$ox\$ , \$ox\$ )

G'( \$ox\$ , \$ox\$ )

H'( \$ox\$ , \$ox\$ )

Answer:
E'(-2,5)
F'(-2,9)
G'(5,9)
H'(5,5)

1. 确定点E的坐标为(2,5)。

2. 平移操作规定将图形的每个顶点向左移动4个单位。因此计算E'的新坐标，根据平移公式，需从x坐标中减去4，即E' = (2-4, 5) = (-2, 5)。

3. 确定点F的坐标为(2,9)。

4. 同理，点F在左移4个单位后的新坐标为F' = (2-4, 9) = (-2, 9)。

5. 确定点G的坐标为(9,9)。

6. 对点G进行左移4个单位，得到其新坐标为G' = (9-4, 9) = (5, 9)。

7. 确定点H的坐标为(9,5)。

8. 平移操作后，点H的新坐标为H' = (9-4, 5) = (5, 5)。

9. 经过上述步骤，矩形EFGH的每个顶点都经过左移4个单位的平移变换后得到了新坐标。

10. 因此，E', F', G', H'的坐标分别为(-2,5), (-2,9), (5,9), (5,5)。

Definition of Translation

<note>矩形EFGH被平移4个单位到左边</note>。顶点E的坐标由<note>(2, 5)变为(-2, 5)</note>，顶点F的坐标由<note>(2, 9)变为(-2, 9)</note>，顶点G的坐标由<note>(9, 9)变为(5, 9)</note>，顶点H的坐标由<note>(9, 5)变为(5, 5)</note>。所有顶点都维持了图形的形状和大小，且<note>平移后的顶点相对于原始位置移动了4个单位</note>。

Definition of Rectangle

A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).


Question:
写出平移9个单位向右后的顶点坐标。

E'( \$\\Box\$ , \$\\Box\$ )

F'( \$\\Box\$ , \$\\Box\$ )

G'( \$\\Box\$ , \$\\Box\$ )

Answer:
E'(4,-3)
F'(6,-3)
G'(8,-9)

1. 确定点 E 的原始坐标为 (-5, -3)。根据平移的定义，平移 9 个单位到右侧，相当于增加 x 坐标的值，而 y 坐标保持不变。因此，E' 的坐标是 (-5 + 9, -3) = (4, -3)。

2. 确定点 F 的原始坐标为 (-3, -3)。同样，根据平移的定义，x 坐标增加 9，y 坐标保持不变。因此，F' 的坐标是 (-3 + 9, -3) = (6, -3)。

3. 确定点 G 的原始坐标为 (-1, -9)。根据平移的定义，x 坐标增加 9，y 坐标保持不变。因此，G' 的坐标是 (-1 + 9, -9) = (8, -9)。

4. 经过上述步骤，点 E、F 和 G 分别被平移到 E'、F' 和 G'，得到它们的新坐标。

5. 由于这是一个平移操作，根据平移不变性定理，三角形 E'F'G' 与三角形 EFG 是全等的，这意味着它们的形状和大小相同，但位置不同。

6. 对于每个顶点，按照箭头表示的方式记录转换结果：E(-5,-3) → E'(4,-3)，F(-3,-3) → F'(6,-3)，G(-1,-9) → G'(8,-9)。

7. 经过上述推理，最终得出答案为点 E' 的坐标是 (4, -3)，点 F' 的坐标是 (6, -3)，点 G' 的坐标是 (8, -9)。

Definition of Translation

<note>点 E、F 和 G 沿 x 轴方向平移了 9 个单位</note>，E 的原始坐标为 (-5, -3)，平移后得到的 <note>E' 坐标为 (4, -3)</note>；F 的原始坐标为 (-3, -3)，平移后得到的 <note>F' 坐标为 (6, -3)</note>；G 的原始坐标为 (-1, -9)，平移后得到的 <note>G' 坐标为 (8, -9)</note>。平移变换保持 y 坐标不变，仅 x 坐标加上平移距离。

Coordinates of a Point

<note>点 E 的坐标为 (-5, -3)</note>，<note>点 F 的坐标为 (-3, -3)</note>，<note>点 G 的坐标为 (-1, -9)</note>。经过平移变换后，<note>点 E 的新坐标为 (4, -3)</note>，<note>点 F 的新坐标为 (6, -3)</note>，<note>点 G 的新坐标为 (8, -9)</note>。

Definition of Congruent Triangles

在本题图中，<note>三角形 E'F'G' 和三角形 EFG 是全等三角形</note>，<note>三角形 E'F'G' 的对应边和对应角与三角形 EFG 相等</note>，即：
<note>边 E'F' = 边 EF</note>
<note>边 F'G' = 边 FG</note>
<note>边 E'G' = 边 EG</note>，
同时，对应的角也相等：
<note>角 E'F'G' = 角 EFG</note>
<note>角 F'E'G' = 角 FEG</note>
<note>角 E'G'F' = 角 EGF</note>。


Question:
TU 是 ⨀S 的切线。m \$riangle \$ V 是多少度？

m \$riangle \$ V= \$ox\$ °

Answer: m \$\angle \$ V=70°

1. 已知直线TU是⨀S的切线，根据圆的切线性质可知，切线与切点处的半径垂直，因此∠VTU是直角，即∠VTU = 90°。

2. 由于△TUV是一个直角三角形，且∠VTU是该三角形的一个角，根据三角形内角和定理（即三角形内角和为180°），可以得到∠TUV + ∠VTU + ∠UVT = 180°。

3. 将∠VTU的度数代入，得到∠TUV + 90° + ∠UVT = 180°。

4. 由于题中已知∠TUV = 20°，将其代入上式，得到20° + 90° + ∠UVT = 180°。

5. 化简等式，得到∠UVT + 110° = 180°。

6. 通过将110°从等式两边相减，得到∠UVT = 70°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为70°。

Definition of Radius

<note>圆⨀S中，点S是圆心</note>，点T是圆周上的一点，<note>线段ST是从圆心到圆周上一点的线段</note>，因此<note>线段ST是圆⨀S的半径</note>。

Definition of Right Triangle

A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.

<note>三角形TUV中，角UTV是直角（90度）</note>，因此三角形TUV是一个直角三角形。<note>边TV和边UT是直角边</note>，<note>边UV是斜边</note>。

在本题图中，圆⨀S中，点<note>T是直线TU与圆的切点</note>，<note>线段ST是圆的半径</note>。根据圆的切线性质，<note>切线TU与经过切点T的半径ST垂直</note>，即<note>∠UTV=90度</note>。

Triangle Angle Sum Theorem

在本题图中，三角形TUV中，<note>角TUV</note>、<note>角UTV</note>和<note>角UVT</note>是三角形TUV的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>角TUV + 角UTV + 角UVT = 180°</note>。


Question:
看这个图：如果

| \$\overleftrightarrow{TV}\$ |

和

| \$\overleftrightarrow{WY}\$ |
是平行线且 m \$\\angle \$ WXZ = 115°，那么 m \$\\angle \$ TUX 是多少？ \$\\Box\$ °

Answer: 115°

1. 题目中已知 直线TV 和 直线WY 是平行的，且 ∠WXZ = 115°。

2. 根据同位角定义，在本题中， 直线TV 和 直线WY 被 直线UX 截得 ∠TUX 和 ∠WXZ 是同位角。

3. 依据平行线的平行公理，我们有 ∠TUX = ∠WXZ。

4. 代入已知条件 ∠WXZ = 115°，可得 ∠TUX = 115°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为 115°。

Definition of Parallel Lines

在本题图中，<note>直线TV和直线WY位于同一平面内</note>，并且<note>它们没有交点</note>，因此根据平行线的定义，<note>直线TV和直线WY是平行线</note>。

Parallel Postulate 2 of Parallel Lines

<note>在本题图中，两条平行线TV和WY被第三条直线SZ所截<note>，形成了以下几何关系：1. 同位角：<note>∠TUX 和 ∠WXZ相等<note>。这些关系说明了在<note>两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等<note>。


Question:
写出顶点在向左平移3个单位和向下平移10个单位后的坐标。

R'( \$ox\$ , \$ox\$ )

S'( \$ox\$ , \$ox\$ )

T'( \$ox\$ , \$ox\$ )

U'( \$ox\$ , \$ox\$ )

Answer:
R'(-10,-9)
S'(-10,0)
T'(-9,0)
U'(-9,-9)

Coordinates of a Point

<note>顶点 R 的坐标 (-7, 1)</note> 表示它距离 y 轴 7 个单位，距离 x 轴 1 个单位。相似地，其他<note>顶点 S, T 和 U 的坐标</note>分别表示它们相对于 x 轴和 y 轴的距离。

Translation Invariance Theorem

在本题中，我们需要将<note>矩形 RSTU</note>向左平移3个单位，向下平移10个单位。应用<note>平移定理</note>，对于<note>顶点 R(-7, 1)</note>，平移后新坐标为<note>R'(-10, -9)</note>；相似地，对于<note>顶点 S、T 和 U</note>，平移后新坐标分别为<note>S'(-10, 0)</note>、<note>T'(-9, 0)</note>和<note>U'(-9, -9)</note>。


Question: 看这个图：如果 | \$\overleftrightarrow{BD}\$ | 和 | \$\overleftrightarrow{EG}\$ | 是平行线且 m \$\\angle \$ DCA = 62°，那么 m \$\\angle \$ BCF 是多少？ \$\\Box\$ °

Answer: 62°

1. 已知直线 \(\overleftrightarrow{BD}\) 和直线 \(\overleftrightarrow{EG}\) 平行，根据题目图示，可知直线 \(\overleftrightarrow{HA}\) 作为这两条平行线的截线。

2. 根据对顶角的定义，截线所形成的对顶角相等，即在截线 \(\overleftrightarrow{HA}\) 上，∠DCA 和 ∠BCF 是对顶角，因此有 ∠DCA = ∠BCF。

3. 根据题目已知条件 \(m\angle DCA = 62°\)。

4. 由上述的结论，得出 \(m\angle BCF = m\angle DCA = 62°\)。

5. 因此，经过上述推理，最终得出答案为 \(62°\)。

Definition of Vertical Angles

Vertical angles are the pair of opposite angles formed when two lines intersect. These angles are equal in measure.

在本题图中，直线 \(\overleftrightarrow{HA}\) 与平行线 \(\overleftrightarrow{BD}\) 相交于点 C 和 F，形成四个角：<note>∠DCA</note>、<note>∠BCF</note>、<note>∠FCD</note> 和 <note>∠BCA</note>。根据对顶角的定义，<note>∠DCA 和 ∠BCF 是对顶角</note>，<note>∠FCD 和 ∠BCA 是对顶角</note>。由于对顶角的角度相等，所以 <note>∠DCA = ∠BCF</note>，<note>∠FCD = ∠BCA</note>。


Question:
|  | | | | | MO | | 和 | PR | 是平行线。哪些角是邻角？

-  \$
abla \$ ONL 和  \$
abla \$ MNL
-  \$
abla \$ ONL 和  \$
abla \$ MNQ
-  \$
abla \$ ONL 和  \$
abla \$ RQS
-  \$
abla \$ ONL 和  \$
abla \$ PQS

Answer: -  \$\angle \$ ONL and  \$\angle \$ MNL

1. 首先，观察题中的图形可以发现直线 MO 和直线 PR 是平行的，点 N 是它们的一个公共点，构成了交叉路口。

2. 根据邻补角的定义，邻补角是指两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线。它们在同一平面内且没有重叠仅处于一边的情况下接触。

3. 我们首先观察角ONL。 这个角以 N 为顶点，由线段 ON 和 NL 组成。

4. 接下来对每个给定的选项进行验证以判断它们是否构成邻补角：

5. 检查角ONL 和角MNL：

6. 角MNL 也以 N 为顶点，由线段 MN 和 NL 组成。

7. 角ONL 和角MNL 共享射线 NL，且顶点相同，符合邻补角定义。

8. 因此，\$\angle\$ ONL 和 \$\angle\$ MNL 是邻补角。

9. 其他选项：

10. 角ONL 和角MNQ 之间没有共同的边，因此它们不是邻补角。

11. 角ONL 和角RQS 之间没有共同的边，因此它们不是邻补角。

12. 角ONL 和角PQS 之间没有共同的边，因此它们不是邻补角。

13. 经过上述推理，最终得出答案为 \$\angle\$ ONL 和 \$\angle\$ MNL 是邻补角。

Definition of Linear Pair of Angles

Two angles are in a linear pair if they share a common side, and their other sides are extensions of one another in opposite directions.

在本题图中，<note>角ONL和角MNL有一条公共边NL</note>，<note>它们的另一边NO和NM互为反向延长线</note>，所以<note>角ONL和角MNL互为邻补角</note>。


Question:
看这个图：如果

| \$
overleftrightarrow{FH}\$ |

和

| \$
overleftrightarrow{IK}\$ |
是平行线且 m \$
angle \$ IJG = 114°，那么 m \$
angle \$ HGJ 是多少？ \$
Box\$ °

Answer: 114°

1. 根据题意，直线 \(\overleftrightarrow{FH}\) 与 \(\overleftrightarrow{IK}\) 是平行线。

2. 已知 \( m\angle IJG = 114^\circ \)。根据内错角的定义，这里 \(\angle IJG\) 和 \(\angle HGJ\)是直线 \(\overline{JG}\) 与两条平行线间所形成的内错角。

3. 根据平行线的平行公理2，\(\angle IJG\) = \(\angle HGJ\) 。

4. 得到 \( m\angle HGJ = m\angle IJG = 114^\circ \)。

5. 经过上述推理，最终得出答案为 \( m\angle HGJ = 114^\circ \)。

Definition of Alternate Interior Angles

When a straight line (referred to as a transversal) intersects two parallel lines, the angles that are located between the two parallel lines but on opposite sides of the transversal are called alternate interior angles.

在本题图中，两条平行直线 <note>\(\overleftrightarrow{FH}\)</note> 和 <note>\(\overleftrightarrow{IK}\)</note> 被一条直线 <note>\(\overline{JG}\)</note> 截交，其中 <note>\(\angle IJG\)</note> 和 <note>\(\angle HGJ\)</note> 位于两平行线之间，且在截线 <note>\(\overline{JG}\)</note> 的对侧，因此 <note>\(\angle IJG\)</note> 和 <note>\(\angle HGJ\)</note> 是内错角。内错角相等，即 <note>\(\angle IJG = \angle HGJ\)</note>。已知 <note>\( m\angle IJG = 114^\circ \)</note>，因此 <note>\( m\angle HGJ = 114^\circ \)</note>。

Parallel Postulate 2 of Parallel Lines

<note>两条平行线FH和IK</note>被第三条直线<note>JG</note>所截，形成了以下几何关系：<note>内错角：\(\angle IJG\) = \(\angle HGJ\)</note>。说明了在两条平行线被第三条直线所截时，内错角相等。


Question: 看这个图：如果 | \$\overleftrightarrow{MO}\$ | 和 | \$\overleftrightarrow{PR}\$ | 是平行线且 m \$\\angle\$ PQN = 127°，那么 m \$\\angle\$ MNL 是多少？\$\\Box\$ °

Answer: 127°

1. 已知直线 MO 和直线 PR 是平行线，根据题目图示，直线 SL 是一条与平行线对应成斜角的截线。

2. 由截线 SL 可知，角 PQN 和角 MNL 分别位于两条平行线的同一侧。

3. 根据平行线的平行公理2，在两条平行线被一条截线所截时，两条平行线上对应位置的两个角相等，因此有角 PQN ≅ 角 MNL。

4. 因为题目已知 ∠ PQN = 127°，于是根据同位角定义，∠ MNL 也等于 127°，得到 ∠ MNL = 127°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为 127°。

Definition of Parallel Lines

<note>直线 MO 和直线 PR 位于同一平面内</note>，并且<note>它们没有交点</note>，因此根据平行线的定义，<note>直线 MO 和直线 PR 是平行线</note>。

Definition of Corresponding Angles

在本题图中，<note>两条平行直线 MO 和 PR</note> 被一条<note>直线 SL 截交</note>，其中<note>角 PQN 和角 MNL 位于截线 SL 的同旁，被截两直线 MO 和 PR 的同一侧</note>，因此<note>角 PQN 和角 MNL 是同位角。同位角相等，即角 PQN 等于角 MNL</note>。

Parallel Postulate 2 of Parallel Lines

<note>在本题图中，两条平行线MO和PR被第三条直线SL所截</note>，形成了以下几何关系：1. 同位角：<note>角 PQN和角 MNL相等</note>。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等。


Question:
看这个图：如果

| \$

overleftrightarrow{CE}\$ |

和

| \$

overleftrightarrow{FH}\$ |
是平行线且 m \$

angle \$ CDG = 55°，那么 m \$

angle \$ HGD 是多少？ \$

Box\$ °

Answer: 55°

1. 已知直线 CE 和直线 FH 是平行线，角 CDG 的度数为 55°。

2. 观察图形，我们可以看到直线 CE 和直线 FH 由直线 GD 截交。

3. 根据内错角的定义，得角 CDG 和角 HGD 是内错角。

4. 因此，根据平行线的平行公理2，∠CDG = ∠HGD。

5. 已知 ∠CDG = 55°，所以 ∠HGD 也等于 55°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 55°。

Definition of Parallel Lines

<note>直线 CE 和直线 FH</note>位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据<note>平行线的定义</note>，<note>直线 CE 和直线 FH 是平行线</note>。

Definition of Alternate Interior Angles

在本题图中，<note>两条平行直线CE和FH</note>被<note>一条直线GD截交</note>，其中<note>角 ∠CDG 和角 ∠HGD 位于两平行线之间</note>，且<note>在截线 GD 的对侧</note>，因此<note>角 ∠CDG 和角 ∠HGD 是内错角</note>。<note>内错角相等</note>，即<note>角 ∠CDG 等于角 ∠HGD</note>。

Parallel Postulate 2 of Parallel Lines

<note>在本题图中，两条平行线CE和FH</note>被第三条直线BI所截，形成了以下几何关系： <note>内错角：角 ∠CDG和角 ∠HGD相等</note>。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，内错角相等。


Question:
KM 是 ⨀J 的切线。JM 是多少？

JM= \$ox\$ yd

Answer: JM=10 yd

1. 已知点K是⨀J上的一点，KM是⨀J的切线，根据圆的切线性质，切线垂直于经过切点的半径，故∠JKM=90°。

2. 在直角三角形△JKM中，利用勾股定理（毕达哥拉斯定理），即在一个直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和，表示为：如果在直角三角形中，以斜边为c，另外两边为a和b，则有a^2 + b^2 = c^2。

3. 在本题中，JK为一条直角边，KM为另一条直角边，JM为斜边，根据题目已知，JK=6, KM=8。

4. 将已知长度代入勾股定理公式，得：6^2 + 8^2 = JM^2。

5. 计算各项，36 + 64 = JM^2。

6. 进一步计算，该方程为100 = JM^2。

7. 取方程两边的算术平方根，得到JM = √100。

8. 解得JM = 10。

9. 经过上述推理，最终得出答案为10。

Definition of Radius

<note>圆⨀J中，点J是圆心，点K是圆上的一点，线段JK是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段JK是圆的半径</note>。

<note>圆⨀J中，点K是直线KM与圆的切点</note>，<note>线段JK是圆的半径</note>。根据圆的切线性质，<note>切线KM与经过切点K的半径JK垂直</note>，即<note>∠JKM=90度</note>。

Pythagorean Theorem

In a right-angled triangle, the square of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of the two legs.

在本题图中，<note>△JKM是直角三角形</note>，<note>∠JKM=90°</note>，<note>边JK和边KM是直角边</note>，<note>边JM是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>JM² = JK² + KM²</note>。根据已知条件，<note>JK=6 yd</note>，<note>KM=8 yd</note>，因此<note>JM的计算如下：
6² + 8² = JM²
36 + 64 = JM²
100 = JM²。
解得JM = √100 = 10 yd</note>。


Question:
看这个图：如果

| \$\overleftrightarrow{CE}\$ |

和

| \$\overleftrightarrow{FH}\$ |
是平行线，并且 m \$\\angle \$ CDG = 43°，那么 m \$\\angle \$ FGI 是多少？ \$\\Box\$ °

Answer: 43°

1. 已知直线CE和直线FH是平行线，且直线BI是横穿这两条平行线的横截线。

2. 根据同位角的定义，∠CDG和∠FGI是同位角。根据平行线的平行公理2，得∠CDG和∠FGI相等。

3. 题目已知∠CDG的度数为43°。

4. 根据上述定理，所以∠FGI = ∠CDG。

5. 故∠FGI也等于43°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为43°。

Definition of Parallel Lines

在本题图中，<note>直线CE和直线FH</note>位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据<note>平行线的定义</note>，<note>直线CE和直线FH是平行线</note>。

Parallel Postulate 2 of Parallel Lines

在本题图中，<note>两条平行线CE和FH</note>被<note>第三条直线BI</note>所截，形成了以下几何关系：1. 同位角：<note>角CDG和角FGI相等</note>。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等。


Question:
|  | | | | | OQ | |
和
| RT |
是平行线。哪些角是互补角？

-  \$
angle \$ TSU 和  \$
angle \$ TSP
-  \$
angle \$ TSU 和  \$
angle \$ OPN
-  \$
angle \$ TSU 和  \$
angle \$ RSP
-  \$
angle \$ TSU 和  \$
angle \$ QPS

Answer: -  \$\angle \$ TSU and  \$\angle \$ TSP

1. 根据题目图示，直线RT与直线OQ平行，直线SU与两条平行线相交。根据平行线的截线定理（又称同位角相等定理），在平行线RT与OQ上，与截线SU的交点T和Q之间的同位角相等，即∠TSU与∠PQO为同位角，因此∠TSU=∠PQO。

2. 要判断两个角是否互为补角，它们的度数和应该为180°。

3. 首先检查∠TSU与∠TSP。点S在∠TSU和∠TSP之间是公共的，同时注意∠TSP为直线ST延伸到直线SU的外侧角。根据线性对角定理，线性对所对的两个角为补角（两个角度数之和为180°）。因此∠TSU和∠TSP是补角。

4. 检查∠TSU与∠OPN。根据顶角定理，∠TSU与∠OPN不互为顶角，也不形成线性对，所以他们的和不为180°，因此∠TSU和∠OPN不是补角。

5. 检查∠TSU与∠RSP。点S在∠TSU和∠RSP之间是公共的，但这两个角不属于同一个线性对，因为∠RSP的另外一条射线是通过点R和P。因此，∠TSU和∠RSP不是补角。

6. 检查∠TSU与∠QPS。根据题示图，∠TSU包含了∠QPS，所以它们不可能互为补角，因为没有180°的直线路径。

7. 经过上述推理，最终得出答案为∠TSU和∠TSP是补角。

Definition of Corresponding Angles

在本题图中，<note>两条平行直线RT和OQ</note>被<note>一条直线SU截交</note>，其中<note>角TSU和角PQO位于截线SU的同旁，被截两直线RT和OQ的同一侧</note>，因此<note>角TSU和角PQO是同位角。同位角相等，即角TSU等于角PQO</note>。


Question:
|  | | | | | PR | | 和 | SU | 是平行线。哪些角是内错角？

-  \$
angle \$ PQT 和  \$
angle \$ UTQ
-  \$
angle \$ PQT 和  \$
angle \$ STV
-  \$
angle \$ PQT 和  \$
angle \$ RQO
-  \$
angle \$ PQT 和  \$
angle \$ UTV

Answer: -  \$\angle \$ PQT and  \$\angle \$ UTQ

1. 由题意已知，直线 PR 和直线 SU 平行，直线 OV 为横截线，形成多个内错角。

2. 根据内错角定义，两条平行线被截线截得的两个角，且这些角分别位于截线两侧，并均在平行线之间。

3. 考虑∠PQT，该角在直线 PR 和 SU 之间，并位于截线 OV 的左侧。

4. 检查∠UTQ，该角在直线 PR 和 SU 之间，并位于截线 OV 的右侧。

5. ∠PQT 和 ∠UTQ 满足内错角的定义，因为∠PQT 和 ∠UTQ位于同一对平行线之间，且位于横截线的两侧。

6. 检查其他选项：∠PQT 和 ∠STV 同侧于截线 OV，不是内错角；∠PQT 和 ∠RQO 中，∠RQO 不在两平行线之间，不是内错角；∠PQT 和 ∠UTV 中，∠UTV 不在两平行线之间，不是内错角。

7. 经过上述推理，最终得出答案为 ∠PQT 和 ∠UTQ 是内错角。

Definition of Alternate Interior Angles

<note>直线 PR 和直线 SU 是平行线</note>，<note>直线 OV 是截线</note>。<note>角 PQT 和角 UTQ 位于两平行线 PR 和 SU 之间，且在截线 OV 的对侧</note>，因此<note>角 PQT 和角 UTQ 是内错角</note>。内错角相等，即<note>角 PQT 等于角 UTQ</note>。


Question:
|  | | | | | OQ | |
和
| RT |
是平行线。哪些角是对应角？

-  \$
angle \$ QPN 和  \$
angle \$ OPS
-  \$
angle \$ QPN 和  \$
angle \$ QPS
-  \$
angle \$ QPN 和  \$
angle \$ TSU
-  \$
angle \$ QPN 和  \$
angle \$ TSP

Answer: -  \$\angle \$ QPN and  \$\angle \$ TSP

1. 已知直线 OQ 和直线 RT 平行，且 直线 NU 是它们的横截线。

2. 根据同位角定义，该定义表明：如果两条直线被一条横截线所截，那么位于横截线同侧但不同直线的一对角为同位角。

3. 观察图形，我们寻找与角 QPN 同位的角。

4. 角 QPN 位于横截线 NU 的一侧，在直线 OQ 上，为一个上部的内角。

5. 在另一组平行线 RT 上，与角 QPN 在横截线 NU 的同侧的内角是角 TSP。

6. 根据同位角定义，角 QPN 和角 TSP 是同位角。

7. 检查其他备选答案选项中的角对：

8. 角 QPN 和角 OPS 位于横截线的不同侧，不符合定义。

9. 角 QPN 和角 QPS 在不同处，不是同一个角。

10. 角 QPN 和角 TSU 在不同的内角位置，不符合定义。

11. 经过上述推理，最终得出答案为角 QPN 和角 TSP 是同位角。

Definition of Parallel Lines

在本题图中，<note>直线 OQ 和直线 RT 位于同一平面内</note>，并且<note>它们没有交点</note>，因此根据平行线的定义，<note>直线 OQ 和直线 RT 是平行线</note>。

Definition of Corresponding Angles

在本题图中，<note>角 QPN 和角 TSP 是同位角</note>，因为它们位于<note>横截线 NU 的同侧</note>但<note>不同直线 OQ 和 RT 上</note>。根据<note>同位角定义</note>，这两个<note>角相等</note>。


Question: 求 m \$riangle\$ B。 m \$riangle\$ B= \$ox\$ °

Answer: m \$\angle \$ B=45°

1. 已知△BCD，BC是直角，∠ BCD 为90°。

2. ∆BCD为直角三角形，根据直角三角形的定义，可以使用三角比找到角B的度数。

3. 正弦函数定义，sin(∠DBC) = 对边/斜边，在此三角形中，对边是CD，斜边是BD。

4. 已知CD = 5，BD = 5√2，代入正弦函数定义，得 sin(∠DBC) = CD/BD = 5/(5√2) = 1/√2。

5. 把1/√2有理化，得到√2/2。

6. 在0°到90°的角度范围内，标准角的sin值中sin(45°) = √2/2。

7. 因此，由第三步与第五步的计算结果结合已知正弦值，得 ∠DBC = 45°。

8. 经过上述推理，最终得出答案为 m ∠ B = 45°。

Definition of Sine Function

In a right-angled triangle, the sine of an acute angle is defined as the ratio of the length of the side opposite the angle to the length of the hypotenuse.

在本题图中，直角三角形BCD中，<note>角DBC是锐角</note>，<note>边CD是角DBC的对边</note>，<note>边BD是斜边</note>。根据<note>正弦函数定义</note>，<note>角DBC的正弦值等于对边CD与斜边BD的比值</note>，即<note>sin(∠DBC) = CD / BD = 5 / 5√2 = 1/√2</note>。


Question: |  | | | | | EG | | 和 | HJ | 是平行线。哪些角是对应角？

Answer: -  \$\angle \$ JIK and  \$\angle \$ GFI

1. 已知直线EG和直线HJ平行，直线DK是它们的截线。

2. 根据平行线的截线性质，若有平行线被一条截线所截，则同位角相等，且对应角相等。

3. 首先，观察题中给出的选项，确定每个角所在的相应位置。

4. 考察∠JIK的对应角：

   - ∠JIK位于∠HJI和∠KJI之间，显然∠JIK位于直线DK与直线HJ的交点I上，并与∠KJI相邻。

5. 检查∠JIK与其他选项中角的对应关系：

   - ∠HIK：与∠JIK在直线HJ同侧但不在同一位置，非对应角。

   - ∠GFI：位于直线EG和截线DK的交点F，与∠JIK分居于截线DK两侧并在两个平行线的相同位置，为对应角。

   - ∠EFI：位于截线DK另一侧，不位于同一位置，非对应角。

   - ∠HIF：位于截线DK另一侧，不位于同一位置，非对应角。

6. 综上，通过检查每对角的位置关系，得出∠JIK与∠GFI是对应角，因为它们位于相同的相对位置，即在截线DK两侧并且分别位于平行线EG和HJ上。

7. 经过上述推理，最终得出答案为∠JIK和∠GFI是对应角。

Definition of Parallel Lines

在本题图中，<note>直线EG和直线HJ位于同一平面内</note>，并且<note>它们没有交点</note>，因此根据平行线的定义，<note>直线EG和直线HJ是平行线</note>。

Definition of Corresponding Angles

<note>直线EG和直线HJ是平行线</note>，而<note>直线DK为截线</note>。根据平行线的截线定理，<note>∠JIK和∠GFI是对应角</note>，因为它们分别位于截线DK的两侧，并且分别在平行线EG和HJ上。


Question:
|  | | | | | FH | | 和 | IK | 是平行线。哪些角是邻角？

-  \$\\angle \$ HGJ 和  \$\\angle \$ FGE
-  \$\\angle \$ HGJ 和  \$\\angle \$ IJG
-  \$\\angle \$ HGJ 和  \$\\angle \$ HGE
-  \$\\angle \$ HGJ 和  \$\\angle \$ KJL

Answer: -  \$\angle \$ HGJ and  \$\angle \$ HGE

1. 根据已知条件，直线 FH 和直线 IK 是平行线，并给定图形。

2. 确定角 ∠HGJ 的位置，即由点 H 到点 G ，再到点 J ，是位于直线 FH 上至交点 G 的一部分，且从 G 延伸到 J 的线段。

3. 分析选项中各角度的相对位置：

4. 考虑选项1中的角∠HGJ和∠FGE，发现HGJ和FGE没有共同的边，所以不是邻补角。

5. 考虑选项2中的角∠HGJ和∠IJG，发现HGJ和IJG没有共同的边，所以不是邻补角。

6. 考虑选项3中的角∠HGJ和∠HGE，发现HGJ和HGE共享射线GH，因此它们是邻补角。

7. 考虑选项4中的角∠HGJ和∠KJL，发现HGJ和KJL没有共同的边，所以不是邻补角。

8. 经过上述推理，最终得出答案为选项3：角 ∠HGJ 和角∠HGE 是邻补角。

Definition of Linear Pair of Angles

<note>角HGJ和角HGE有一条公共边GH</note>，<note>它们的另一边EG和GJ互为反向延长线</note>，所以角HGJ和HGE互为邻补角。


Question:
求 m \$\\angle \$ W。

  m \$\\angle \$ W= \$\\Box\$ °

Answer: m \$\angle \$ W=60°

1. 根据正弦函数定义，在直角三角形，中，sin(∠XWV)等于对边VX与斜边VW之比，即sin(∠XWV) = VX/VW。

2. 题中给出了VX = √30和VW = 2√10，将这些值代入，可以得到sin(∠XWV) = √30/(2√10)。

3. 通过分母有理化，我们将√10提出到分子得到 sin(∠XWV) = (√30 * √10)/(2 * 10) = √300/20。

4. 计算√300得到10√3，因此sin(∠XWV) = 10√3/20 = √3/2。

5. 由三角函数值表中的信息得知，sin(60°) = √3/2，这表明∠XWV为60°。

6. 题目要求找到∠W，因此∠W也即为∠XWV，角度为60°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为60°。


Question: 求 m \$riangle\$ U。 m \$riangle\$ U= \$ox\$ °

Answer: m \$\angle \$ U=45°

1. 已知ΔUST为直角三角形，∠T为直角，ST=1，SU=√2。

2. 根据勾股定理，即直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

3. 设置TU = x，根据勾股定理有：SU^2 = ST^2 + TU^2 。

4. 将SU=√2和ST=1代入，得(√2)^2 = 1^2 + x^2 。

5. 计算可得2 = 1 + x^2, 从而得出 x^2 = 1, 因此TU = 1。

6. ΔUST是等腰直角三角形，因为ST=TU=1，并且∠STU是直角。

7. 在等腰直角三角形中，两个锐角相等，每个角度为（180°-90°）÷2=45°（三角形内角和定理）。

8. 因此，∠U = 45°。

9. 经过上述推理，最终得出答案为45°。

Pythagorean Theorem

<note>在本题图中，直角三角形UST中，∠UTS是直角（90度）</note>，<note>边ST和TU是直角边，边SU是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>SU² = ST² + TU²</note>。

Triangle Angle Sum Theorem

<note>三角形TUS中，角T、角U和角S是三角形TUS的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角T + 角U + 角S = 180°</note>。

Definition of Isosceles Right Triangle

An isosceles right triangle is a triangle with two sides of equal length and one angle measuring 90 degrees.


Question:
|  | | | | | LN | |
和

| OQ |
是平行线。哪些角是内错角？

-  \$
angle \$ LMP 和  \$
angle \$ OPM
-  \$
angle \$ LMP 和  \$
angle \$ QPR
-  \$
angle \$ LMP 和  \$
angle \$ NMK
-  \$
angle \$ LMP 和  \$
angle \$ QPM

Answer: -  \$\angle \$ LMP and  \$\angle \$ QPM

1. 已知直线 LN 与 OQ 平行，由题意可知，直线 KR 是它们的截线。

2. 根据内错角的定义，我们要找的是在截线 KR 的两侧和线段LN 和 OQ 之间的角。

3. 从图中观察，角 LMP 位于 KR 的一侧，并在两个平行线之间。

4. 检查提供的角对，找出哪个角在 KR 的另一侧并在两个平行线之间。

5. 首先考虑角 LMP 和角 OPM。角 OPM 位于截线的同一侧，因而不是内错角。

6. 然后考虑角 LMP 和角 QPR。角 QPR 在截线的外侧，因此不是内错角。

7. 再考虑角 LMP 和角 NMK。角 NMK 在截线的外侧，因此不是内错角。

8. 最后考虑角 LMP 和角 QPM。角 QPM 位于 KR 的另一侧，并在两个平行线之间。

9. 因此，角 LMP 和角 QPM 符合作为平行线被截线所截的内错角的条件，即它们位于 KR 的两侧并在两个平行线之间。

10. 经过上述推理，最终得出答案为角 LMP 和角 QPM 是内错角。

Definition of Parallel Lines

<note>直线 LN 和直线 OQ 位于同一平面内</note>，并且<note>它们没有交点</note>，因此根据平行线的定义，直线 LN 和直线 OQ 是平行线。

Definition of Alternate Interior Angles

<note>两条平行直线 LN 和 OQ</note> 被一条 <note>直线 KR 截交</note>，其中 <note>角 LMP</note> 和 <note>角 QPM</note> 位于两平行线之间，且在截线 KR 的对侧，因此 <note>角 LMP</note> 和 <note>角 QPM 是内错角</note>。内错角相等，即 <note>角 LMP 等于角 QPM</note>。


Question:
|  | | | | | RT | |
和

| UW |
是平行线。哪些角是对顶角？

-  \$
angle \$ UVX 和  \$
angle \$ UVS
-  \$
angle \$ UVX 和  \$
angle \$ WVX
-  \$
angle \$ UVX 和  \$
angle \$ TSV
-  \$
angle \$ UVX 和  \$
angle \$ WVS

Answer: -  \$\angle \$ UVX and  \$\angle \$ WVS

1. 已知直线 UW 和 RT 是平行的，并且直线 QX 是它们之间的一个横截线。角的关系将取决于这些直线如何相交。

2. 根据 对顶角的定义，当两条直线相交时，非邻接且由相交的两条直线形成的对角相等，这些对角称为对顶角。

3. 首先分析角 UVX：这是由直线 QX 和经过点 V 的直线（如 UW 和 WV）形成的一个角。

4. 对于选项 (1) 角 UVX 和角 UVS：两者共享边 UV，为邻接角，不是对顶角。

5. 对于选项 (2) 角 UVX 和角 WVX：两者共享边 VX，同时由于它们在直线 UW 上，因此是邻接角，不是对顶角。

6. 对于选项 (3) 角 UVX 和角 TSV：角 UVX 是由点 V 向外延伸的，而角 TSV 是点 S 上的一个角，且不在同一组两条相交直线中，因此不是对顶角。

7. 最后对于选项 (4) 角 UVX 和角 WVS：这两个角都涉及到直线 QX 和其交线 UW。角 UVX 位于 UW 的一侧，而角 WVS 位于其对侧，且两者不共享任何边，为对顶角。

8. 经过上述分析和推理，确定角 UVX 和角 WVS 是对顶角。

Definition of Parallel Lines

<note>直线 UW 和直线 RT 位于同一平面内</note>，并且<note>它们没有交点</note>，因此根据平行线的定义，<note>直线 UW 和直线 RT 是平行线</note>。

Definition of an Angle

An angle is a geometric figure formed by two rays sharing a common endpoint. This common endpoint is called the vertex of the angle, and the two rays are referred to as the sides of the angle.

<note>角 UVX 是由射线 UV 和 VX 共同顶点 V 构成</note>，<note>角 WVS 是由射线 WV 和 VS 共同顶点 V 构成</note>。<note>角 UVX 和角 WVS 是由两条相交直线 QX 和 UW 形成的对顶角</note>。

Definition of Vertical Angles

在本题图中，直线 <note>QX</note> 和直线 <note>UW</note> 相交于点 <note>V</note>，形成四个角：角 <note>UVX</note>、角 <note>WVX</note>、角 <note>UVS</note> 和角 <note>WVS</note>。根据对顶角的定义，角 <note>UVX</note> 和角 <note>WVS</note> 是对顶角，角 <note>WVX</note> 和角 <note>UVS</note> 是对顶角。由于对顶角的角度相等，所以角 <note>UVX = 角 WVS</note>，角 <note>WVX = 角 UVS</note>。


Question:
求 m \$\\angle \$ B。

m \$\\angle \$ B= \$\\Box\$ °
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）

Answer: m \$\angle \$ B=45°

1. 观察给出的三角形BDC，根据直角三角形的定义，该三角形是一个直角三角形，其中∠BDC是直角。

2. 确定三角形BDC的边长，其中BC = 6√14和CD = 6√7。

3. 根据已知条件，使用三角形边长计算三角形上的角度，选择合适的三角函数，由此确定其中一个角的度数。

4. 根据正弦函数定义，sin(∠B) = 对边/斜边。

5. ∠B是要查找的角，以∠BDC所在的直角三角形为基础，设∠B为我们要找到的角，那么对边是CD，斜边是BC。

6. 计算sin(∠B) = CD/BC = (6√7)/(6√14) = √7/√14。

7. 简化当中的分数，sin(∠B) = √7/√14 = √(1/2) = 1/√2。

8. 比较已知的特殊角的正弦值，记得sin(45°) = 1/√2。

9. 因此，根据sin(∠B) = 1/√2，可以确定∠B = 45°。

10. 经过上述推理，最终得出答案为∠B = 45°。

Definition of Right Triangle

<note>角∠BDC是直角（90度）</note>，因此三角形BDC是一个直角三角形。<note>边BD和边CD是直角边</note>，<note>边BC是斜边</note>。

Definition of Sine Function

在本题图中，直角三角形BDC中，<note>角B是锐角</note>，<note>边CD是角B的对边</note>，<note>边BC是斜边</note>。根据正弦函数定义，角B的正弦值等于对边CD与斜边BC的比值，即<note>sin(∠B) = CD/BC</note>。


Question: 求 m \$riangle\$ F。 m \$riangle\$ F= \$ox\$ °

Answer: m \$\angle \$ F=60°

1. 已知三角形EFG为直角三角形，且边GF=8√10，边EF=16√10。

2. 根据勾股定理，即在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，列出方程: (EG)^2 + (GF)^2 = (EF)^2。

3. 代入已知数据，得到(EG)^2 + (8√10)^2 = (16√10)^2。

4. 计算得到(EG)^2 + 640 = 2560。

5. 求解(EG)^2，得到(EG)^2 = 1920。

6. 从(EG)^2 = 1920中求得EG = √1920 = 8√30。

7. 计算GF和EF两边的比值，cos(∠F) = GF/EF = (8√10)/(16√10) = 1/2。

8. 由于余弦函数，在直角三角形中，cos(∠F) = 1/2意味着∠F是60°，因为cos(60°) = 1/2。

9. 确认三角形EFG是一个30°-60°-90°特殊直角三角形，插入此性质：在30°-60°-90°三角形中，斜边是短直角边的2倍。

10. 验证∠F对应短直角边边长并符合上述特殊直角三角形属性，进一步确认m∠F=60°。

11. 经过上述推理，最终得出答案为60°。

Definition of Right Triangle

在本题图中，三角形EFG中，<note>角∠EGF是直角（90度）</note>，因此三角形EFG是一个直角三角形。<note>边EG和边GF是直角边</note>，<note>边EF是斜边</note>。

Cosine Function

The cosine function is a trigonometric function that can be defined via the sides of a right triangle. For an angle α, its cosine value is equal to the ratio of the length of the adjacent side to the hypotenuse. In the unit circle, the cosine value is the x-coordinate of the point on the circle that makes an angle α with the positive x-axis.

Properties of 30°-60°-90° Triangle

In a 30°-60°-90° triangle, the side opposite the 30-degree angle (the shorter leg) is half the length of the hypotenuse. The side opposite the 60-degree angle (the longer leg) is √3 times the length of the shorter leg.

在本题图中，确认三角形EFG是<note>30°-60°-90°三角形</note>，<note>角EGF是30度</note>，<note>角EFG是60度</note>，<note>角EGF是90度</note>。<note>边EF是斜边</note>，<note>边EG是60度角所对的边</note>，<note>边GF是30度角所对的边</note>。根据30°-60°-90°三角形的性质，<note>短直角边GF等于斜边EF的1/2倍</note>，<note>斜边EF等于长直角边EG的√3倍</note>。即：<note>EF = 2 * GF</note>，<note>EF = EG * √3</note>。


Question:
|  | | | | | FH | | 和 | IK | 是平行线。哪些角是对应角？

-  \$
abla \$ KJL 和  \$
abla \$ HGE
-  \$
abla \$ KJL 和  \$
abla \$ FGE
-  \$
abla \$ KJL 和  \$
abla \$ HGJ
-  \$
abla \$ KJL 和  \$
abla \$ IJL

Answer: -  \$\angle \$ KJL and  \$\angle \$ HGJ

1. 根据题目中的条件，直线FH和直线IK是平行线，而直线EL是它们的截线。

2. 根据同位角定义，如果两条直线被一条截线所截，并且这两条直线是平行的，那么截线产生的同位角相等。在本题中，直线FH和直线IK是平行的，因此截线EL产生的同位角相等。

3. 确定同位角定义：同位角是指在平行线与截线相交形成的四组角中，位于截线的同一侧，并且在两条平行线外的两个角。

4. 确认角KJL和角HGJ的位置。角KJL位于直线EL和直线IK的交点下方的外部，而角HGJ位于直线EL和直线FH的交点下方的外部。

5. 由于角KJL和角HGJ分别位于在截线同侧的两条平行线的外部，因此根据同位角定义，它们是同位角。

6. 检查其他选项：

6.1 角KJL和角HGE位于截线EL的不同侧，并不符合同位角定义，因此它们不是同位角。

6.2 角KJL和角FGE同样位于截线EL的不同侧，因此它们不是同位角。

6.3 角KJL和角IJL位于截线的同一条平行线内部，不符合同位角的定义，因此它们不是同位角。

7. 经过上述推理，最终得出答案为角KJL和角HGJ是同位角。

Definition of Parallel Lines

在本题图中，<note>直线FH和直线IK</note>位于同一平面内，并且<note>它们没有交点</note>，因此根据平行线的定义，<note>直线FH和直线IK是平行线</note>。

Definition of an Angle

在本题图中，<note>角KJL是由两条射线JK和JL组成的几何图形</note>，这两条射线有一个<note>共同的端点J</note>。这个<note>共同的端点J称为角KJL的顶点</note>，而射线<note>JK和JL称为角KJL的边</note>。<note>角HGJ是由两条射线HG和GJ组成的几何图形</note>，这两条射线有一个<note>共同的端点G</note>。这个<note>共同的端点G称为角HGJ的顶点</note>，而射线<note>HG和GJ称为角HGJ的边</note>。<note>角FGE是由两条射线FG和GE组成的几何图形</note>，这两条射线有一个<note>共同的端点G</note>。这个<note>共同的端点G称为角FGE的顶点</note>，而射线<note>FG和GE称为角FGE的边</note>。<note>角IJL是由两条射线IJ和JL组成的几何图形</note>，这两条射线有一个<note>共同

Definition of Corresponding Angles

Two angles are referred to as corresponding angles if they are formed when two lines, a and b, are intersected by a third line, c, and both angles lie on the same side of the intersecting line c and on the same side of the lines a and b.


Question:
求 m \$\\angle \$ C。

 m \$\\angle \$ C= \$\\Box\$ °

Answer: m \$\angle \$ C=60°

1. 已知∠E为直角，根据直角三角形的定义，三角形CDE为直角三角形。DE是∠C的对边，CD是斜边。

2. 根据正弦函数定义，sin(∠C) = 对边/斜边 = DE/CD。

3. 代入已知条件DE = 2√3, CD = 4，因此sin(∠C) = (2√3)/4 = √3/2。

4. 计算得 sin(60°) = √3/2。

5. 因此，∠C的正弦值等于60°的正弦值。由此，得出∠C = 60°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为60°。

Definition of Right Triangle

<note>角EDC是直角（90度）</note>，因此三角形CDE是一个直角三角形。边DE和边CE是直角边，边CD是斜边。


Question: 求 m \$\\angle \$ V。 m \$\\angle \$ V= \$\\Box\$ °

Answer: m \$\angle \$ V=30°

1. 已知三角形 VWX 中，边 VW 为直角边，边 VX 为斜边，m ∠ VWX = 90°。

2. 根据直角三角形的定义，直角边是斜边上的高度，因此角 ∠ VWX  是直角。

3. 根据余弦函数，余弦值等于相邻直角边除以斜边的比值，即 cos(∠ XVW) = VW/VX。

4. 根据题目给出的数值，VW = 8√42，VX = 16√14。

5. 将上述数值代入：cos(∠ XVW) = (8√42) / (16√14)。

6. 对比值进行化简：cos(∠ XVW) = (8/16) × (√42/√14) = √3/2。

7. 已知常用角的三角函数值，cos(30°) = √3/2。

8. 因此，得出 m ∠ XVW = 30°。

9. 经过上述推理，最终得出答案为 30°。

<note>三角形 VWX 中，角 ∠ VWX是直角（90度）</note>，因此<note>三角形 VWX 是一个直角三角形</note>。<note>边 VW 和边 WX 是直角边</note>，<note>边 VX 是斜边</note>。

Cosine Function

<note>直角三角形 XVW</note> 中，边 <note>VW 是角 ∠ XVW 的邻边</note>，边 <note>VX 是斜边</note>。因此，根据余弦函数的定义，<note>角 ∠ XVW 的余弦值等于邻边 VW 与斜边 VX 的比值</note>，即 <note>cos(∠ XVW) = VW / VX</note>。


Question: 求 m \$riangle\$ S。 m \$riangle\$ S= \$ox\$ °

Answer: m \$\angle \$ S=45°

1. 已知∠R=90°，根据直角三角形的定义，得△STR是一个直角三角形。

2. 在Rt△STR中，ST是斜边，且长度为8√2，RS是直角边，长度为8。

3. 我们需要求∠S，通过定义余弦函数解题。余弦函数说明，在直角三角形中，某一锐角的余弦值等于其邻边的长度与斜边长度的比值。

4. 针对本题，根据余弦函数可表示为：cos∠S = 邻边长度RS / 斜边长度ST。

5. 将已知值代入：cos∠S = 8 / (8√2)。

6. 进一步化简：cos∠S = 1/√2。

7. 通过有理化分母，将1/√2化简为√2/2。

8. 因为三角恒等值cos45° = √2/2，因此得出∠S = 45°。

9. 根据上述推理，最终得出答案为45°。

Definition of Right Triangle

在本题图中，三角形STR中，<note>角SRT是直角（90度）</note>，因此三角形STR是一个直角三角形。<note>边RS和边RT是直角边</note>，<note>边ST是斜边</note>。

Cosine Function

在本题图中，直角三角形 STR 中，<note>边 RS 是角 ∠S 的邻边</note>，<note>边 ST 是斜边</note>。因此，根据余弦函数的定义，<note>角 ∠S 的余弦值等于邻边 RS 与斜边 ST 的比值，即 cos(∠S) = RS / ST</note>。


Question:
求 m \$\\angle \$ Y。

 m \$\\angle \$ Y= \$\\Box\$ °
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）

Answer: m \$\angle \$ Y=45°

1. 根据题目所给图形，三角形 XYZ 是一个直角三角形，且 ∠ XZY 为 90°。

2. 根据勾股定理（毕达哥拉斯定理），对于直角三角形，我们有 XYZ 的形式为 XY^2 = XZ^2 + YZ^2。题目中给出 XZ = √(10) 和 XY = 2√(5)，则 (2√5)^2 = (√10)^2 + YZ^2。

3. 计算出边长：4×5 = 10 + YZ^2，得到 YZ^2 = 10。由此求出 YZ = √(10)。

4. 因三角形 XYZ 为直角三角形，且已知相邻边及斜边，应根据三角函数中的余弦值求得角度。余弦函数为：cos(∠ Y) = 邻边和斜边长之比，即 cos(∠ Y) = YZ / XY。

5. 代入得出计算：cos(∠ Y) = √10 / 2√5。

6. 将上式化简：由于 √10 / 2√5 = (√10/√5) × (1/2)，进一步化简为 √2 / 2。即 cos(∠ Y) = √2 / 2。

7. 根据已知三角函数值，cos(45°) = √2 / 2。由此推出∠ Y = 45°。

8. 经过上述推理，最终得出答案为45°。

Definition of Right Triangle

<note>三角形 XYZ 中，角 ∠XZY 是直角（90度）</note>，因此三角形 XYZ 是一个直角三角形。<note>边 XZ 和边 YZ 是直角边</note>，<note>边 XY 是斜边</note>。

Cosine Function

在本题图中，直角三角形 XYZ 中，边 <note>YZ 是角 ∠XYZ 的邻边</note>，边 <note>XY 是斜边</note>。因此，根据余弦函数的定义，<note>角 ∠XYZ 的余弦值等于邻边 YZ 与斜边 XY 的比值</note>，即 <note>cos(∠XYZ) = YZ / XY</note>。

Pythagorean Theorem

<note>在本题图中</note>，<note>直角三角形XYZ中</note>，<note>角XZY是直角（90度）</note>，<note>边XZ和YZ是直角边</note>，<note>边XY是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>XY² = XZ² + YZ²</note>。


Question:
在圆 S 中，\$rown{TVU}\$ 被突出显示。\$rown{TU}\$ 的度数为 90°。

圆中被突出显示的部分占圆的几分之几？简化你的答案。

 \$ox\$
哪个表达式表示 \$rown{TVU}\$ 的长度（单位：英寸）？

- 5/6(6𝜋)
- 3/4(9𝜋)
- 5/6(9𝜋)
- 3/4(6𝜋)

Answer:
3/4

- 3/4(6𝜋)

1. 已知 ∮jTU = 90°，并且 φTSU 是该劣弧的圆心角。因此， ∮jTU 被圆心角 φTSU 所截获，两者度数相等，所以有 mφTSU = 90°。

2. 整个圆的度数是 360°。由于 mφTSU = 90°，且它截获的 arc ∮jTU 未高亮，因此 ∮jTU 占整个圆度数的 90/360 份。

3. 计算 ∮jTU 在圆中的比例： 90/360 = 1/4。这说明圆中未高亮的部分占 1/4 个圆。

4. 因此，高亮的部分 ∮jTVU 占整个圆的 (1 - 1/4) = 3/4。

5. 高亮弧 ∮jTVU 的长度表示为圆的周长的 3/4。因此，∮jTVU 的长度为 3/4 · C，其中 C 是圆的周长。

6. 根据圆的周长公式 C = 2πr 且直径的长度为 6 英寸，因此直径 d = 6 英寸，所以 C = π · 6。

7. 代入计算上面的公式：∮jTVU 的长度为 3/4 · π · 6 = 3/4 · 6π。

8. 从选项中进行选择：3/4(6π) (选项中最匹配的是 '3/4(6π)'。

9. 经过上述推理，最终得出答案为该圆的高亮部分 ∮jTVU 占整个圆的 3/4，且其长度为 3/4(6π)。

Circumference Formula of Circle

The circumference of a circle is the length around the circular boundary. It can be calculated using the formula \( C = 2\pi r \), where \( C \) represents the circumference and \( r \) represents the radius.

在本题图中，<note>圆S中，点S是圆心</note>，<note>线段ST是半径r</note>。根据<note>圆的周长公式</note>，圆的周长C等于2π乘以<note>半径r</note>，即C=2πr。本题中，<note>直径d=6英寸</note>，因此<note>圆的周长C=π×6=6π</note>。

Definition of Central Angle

An angle formed by two radii connecting two points on the circumference of a circle to the center of the circle is called a central angle.

Definition of Arc

An arc is a curve on a circle that is defined by two distinct points on the circle.

<note>圆S上有两点T和U</note>，<note>弧TU是连接这两点的一段曲线</note>。根据弧的定义，<note>弧TU是圆上两点T和U之间的一段曲线</note>。劣弧是长度小于180°的弧，优弧超过180°。

Arc Length Formula of a Circle

The arc length refers to the length of a segment of the circumference of a circle. It can be calculated using the formula 𝓁 = C × (m/360), where m is the measure of the central angle in degrees.


Question:
求 m \$riangle\$ Q。

m \$riangle\$ Q= \$ox\$ °

Answer: m \$\angle \$ Q=45°

1. 在直角三角形SQR中，∠QRS为直角，因此可以使用直角三角形中的三角函数求角度。

2. 依据余弦函数，cos(∠Q)=QR/QS，其中QR和QS分别为直角三角形SQR中∠Q的邻边和斜边。

3. 将题中给出的边的值代入，QR=10√33，QS=10√66。

4. 因此，cos(∠Q)=QR/QS=10√33/10√66。

5. 进一步化简该比值：cos(∠Q)= √33/√66。

6. 将分子分母同乘以√2以有理化：cos(∠Q)= (√33/√66) = √33 /(√33 * √2) = 1/√2=√2/2。

7. 由此得出，cos(∠Q)= √2/2。

8. 已知在直角三角形中，∠45°的余弦值是√2/2，并且余弦函数在常见角度中只有这个角度符合条件，因此，m∠Q=45°。

9. 经过上述推理，最终得出答案为45°。

Cosine Function

<note>直角三角形SQR</note>中，<note>边QR是角∠Q的邻边</note>，<note>边QS是斜边</note>。因此，根据余弦函数的定义，<note>角∠Q的余弦值等于邻边QR与斜边QS的比值</note>，即<note>cos(∠Q) = QR / QS</note>。


Question:
在圆V中，\$rown{WYX}\$被高亮显示。\$rown{WX}\$的度数为45°。

高亮显示的部分占圆的几分之几？
简化你的答案。

\$oxed{}\$
哪个表达式表示\$rown{WYX}\$的长度（厘米）？

- 7/8(2𝜋)
- 7/8(𝜋)
- 13/16(𝜋)
- 13/16(2𝜋)

Answer:
7/8

 7/8*(2𝜋)

1. 已知圆 V 中, 弧 WX 的测量度数为 45°, 是弧 WYX 之外的部分。圆周总度数为 360°。

2. 根据弧和圆心角的关系，圆心角 ∠WVX 对应的弧 WX 的度数等于圆心角的度数，即 45°。

3. 弧 WYX 的度数为圆的总度数减去弧 WX 的度数，即 360° - 45° = 315°。

4. 计算弧 WYX 占圆的比例。弧 WYX 的度数与圆周度数之间的比例为 315°/360°。

5. 简化 315/360 得到 315 ÷ 45 / 360 ÷ 45 = 7/8。

6. 因此，弧 WYX 占整个圆的 7/8。

7. 圆的周长 C = 2πr，其中 r 是半径，题中半径 r = 1 cm。

8. 将 r = 1 代入，得到 C = 2π × 1 = 2π 。

9. 弧 WYX 的长度为圆周长 C 的 7/8，因此弧 WYX 的长度为 7/8 × 2π。

10. 经过上述推理，最终得出答案为弧 WYX 的长度是 7/8 × 2π，即选择选项 7/8 × (2π)。

Definition of Circle

A circle is the locus of all points in a plane that are at a fixed distance from a given point.

Circumference Formula of Circle

<note>圆 V 中，点 V 是圆心</note>，<note>线段 VW 和 VX 是半径 r</note>。根据圆的周长公式，<note>圆的周长 C 等于 2π 乘以半径 r</note>，即 C = 2πr。由于 r = 1 cm，<note>圆周长 C = 2π × 1 = 2π cm</note>。


Question: 在圆 J 中，\$\\overset{\\frown}{KML}\$ 被高亮显示。 \$\\overset{\\frown}{KL}\$ 的度数为 135°。\\n\\n\\n\\n\\n圆中被高亮显示的部分占多少？\\n简化你的答案。\\n\\n \$\\Box\$ \\n哪一个表达式表示 \$\\overset{\\frown}{KML}\$ 的长度（单位：英寸）？\\n\\n- 3/4(225𝜋)\\n- 5/8(225𝜋)\\n- 3/4(30𝜋)\\n- 5/8(30𝜋)

Answer:
5/8

- 5/8(30𝜋)

1. 已知圆 J 中弧 KL 的度数为 135°，这意味着它由中心角 ∠KJL 所拦截。根据圆心角性质，圆心角等于其所对弧的度数。

2. 圆的总周角是 360°，所以弧 KL 占整个圆的比例为 135°/360°。

3. 计算 135°/360° 的比值，可以将其约分为 3/8。

4. 由于弧 KL 占圆的 3/8，所以剩余的圆周部分，即弧 KML，应该是 1 - 3/8 = 5/8。

5. 因此，弧 KML 占据整个圆的 5/8，这即是圆被突出显示的部分。

6. 接下来，计算弧 KML 的实际长度，圆的半径 r 为 15 英寸。圆的周长 C = 2πr = 2π(15) = 30π 英寸。

7. 因此，弧 KML 的长度为 5/8 乘以圆的周长，即 5/8 × 30π = 5/8(30π) 英寸。

8. 综合上述步骤，弧 KML 占圆的 5/8，其长度为 5/8(30π) 英寸。

9. 经过上述推理，最终得出答案为 5/8。

Definition of Central Angle

<note>∠KJL 是圆心角</note>，顶点是<note>圆心 J</note>，两边是半径<note>JK 和 JL</note>。

Definition of Arc

在本题图中，圆 J 上有三点 K、L 和 M，<note>弧 KL 是连接点 K 和点 L 的一段曲线</note>，<note>弧 KML 是连接点 K、点 M 和点 L 的一段曲线</note>。根据弧的定义，<note>弧 KL 是圆上两点 K 和 L 之间的一段曲线</note>，<note>弧 KML 是圆上两点 K 和 L 之间经过点 M 的一段曲线</note>。

Circumference Formula of Circle

在本题图中，<note>圆 J 中，点 J 是圆心</note>，<note>线段 JK 和 JL 是半径 r</note>。根据圆的周长公式，圆的周长 C 等于 2π 乘以<note>半径 r</note>，即 <note>C = 2πr</note>。在本题中，<note>r = 15 英寸</note>，因此 <note>C = 2π(15) = 30π 英寸</note>。

Arc Length Formula of a Circle

<note>弧 KML</note> 占圆的 5/8，所以 <note>弧 KML</note> 的长度为 5/8 × 30π = 5/8(30π) 英寸。

Property of Central Angle

The degree measure of an arc is equal to the degree measure of the central angle that subtends the arc.


Question:
在圆J中，\$\\overset{\\frown}{KL}\$ 被高亮显示。 \$\\angle \$ KJL 的度数为45°。

圆中被高亮显示的部分占多大比例？
请化简你的答案。

 \$\\Box\$
哪个表达式代表了 \$\\overset{\\frown}{KL}\$ 的长度（单位：英寸）？

- 1/4(8𝜋)
- 1/8(16𝜋)
- 1/4(16𝜋)
- 1/8(8𝜋)

Answer:
1/8

- 1/8(8𝜋)

1. 已知在圆J中，弧KL是被中心角∠KJL截出的。因此，弧KL的圆心角∠KJL的度数为45°。

2. 圆的周角完全是360°。因为弧KL的圆心角度数为45°，所以KL占整个圆的比例为45°/360°。

3. 根据比例计算：45°/360°=1/8。因此，在圆J中，被高亮的弧KL占整个圆的1/8。

4. 因此，弧KL的长度等于圆J的周长的1/8。

5. 圆的周长公式为C=2πr，其中r为圆的半径。在该题中，圆J的半径r=4英寸。

6. 计算圆J的周长：C=2π×4=8π。

7. 因此，弧KL的长度为周长的1/8，即为(1/8)×8π=π。

8. 经过上述推理，弧KL的长度为8π乘以1/8，最终结果为π，也就是答案选项的1/8(8π)。

Definition of Circle

<note>圆J中，点J是圆心</note>，<note>半径为4英寸</note>。图中所有到<note>点J的距离等于4英寸的点</note>都在圆J上。

Definition of Arc

<note>在本题图中，圆J上有两点K和L，弧KL是连接这两点的一段曲线</note>。根据弧的定义，弧KL是圆上两点K和L之间的一段曲线。

Definition of Central Angle

<note>在本题图中，圆J中，点K和点L是圆上的两点，圆心是点J</note>。连线<note>JK和JL组成的角∠KJL</note>称为圆心角，其角度为45°。

Circumference Formula of Circle

在本题图中，<note>圆J中，点J是圆心</note>，<note>线段JK和JL是半径r</note>。根据圆的周长公式，<note>圆的周长C等于2π乘以半径r，即C=2πr</note>，其中<note>r=4英寸</note>，因此<note>C=2π×4=8π</note>。


Question: 在圆P中，\$\\overset{\\frown}{QR}\$被高亮显示。\$\\overset{\\frown}{QR}\$的度数是45°。\\n\\n\\n圆的哪一部分被高亮显示了？\\n请简化你的答案。\\n\\n \$\\Box\$ \\n哪个表达式表示\$\\overset{\\frown}{QR}\$的长度（单位：厘米）？\\n\\n- 1/8(36𝜋)\\n- 1/6(36𝜋)\\n- 1/8(12𝜋)\\n- 1/6(12𝜋)

Answer:
1/8

 1/8(12𝜋)

1. 已知圆P中，弧QR被圆心角∠QPR截得，且测量为45°。

2. 根据圆心角性质，圆心角与其所对的弧等角度大小，因此弧QR的角度也为45°。

3. 圆的周长对应的角是360°，因此弧QR被高亮的圆的部分面积占全圆面积的份额可由弧度计算为45/360。

4. 将分数45/360进行约分，得到1/8。这意味着弧QR占圆的1/8。

5. 使用圆的周长公式C = 2πr，其中r为圆的半径。题中r为6厘米，故C = 2π * 6 = 12π厘米。

6. 因为弧QR高亮部分占圆的1/8，所以其长度为1/8乘以圆的周长，即(1/8) * 12π。

7. 计算得到弧QR的长度为1/8 * 12π = 12π/8 = 3π/2厘米。

8. 经过上述推理，最终得出答案为弧QR的长度为3π/2厘米。

Definition of Arc

在本题图中，<note>圆P上有两点Q和R</note>，<note>弧QR是连接这两点的一段曲线</note>。根据弧的定义，<note>弧QR是圆上两点Q和R之间的一段曲线</note>。

Circumference Formula of Circle

在本题图中，<note>圆P中，点P是圆心</note>，<note>线段PQ和PR是半径r</note>。根据圆的周长公式，圆的周长<note>C等于2π乘以半径r，即C=2πr</note>，其中<note>r=6厘米</note>，所以<note>圆P的周长C = 2π * 6 = 12π厘米</note>。


Question:
这个图形的体积是多少？

 \$ox\$ 立方码
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）

Answer: 192cubic yards

1. 首先将该三维图形分解为两个长方体（棱柱）部分，并标记为上部长方体和下部长方体。

2. 对于上部长方体，根据题给图形尺寸，已知上部长方体的长 = 12 码，宽 = 2 码，和高 = 4 码。

3. 使用长方体体积公式 V = 长 × 宽 × 高, 计算上部长方体的体积 V1 = 12 × 2 × 4 = 96 立方码。

4. 再考虑下部长方体，它的长 = 12 码，宽 = 2 码，和高 = 4 码（注意下部长方体和上部长方体的尺寸相同，是题中图形的特性）。

5. 同样使用长方体体积公式 V = 长 × 宽 × 高, 计算下部长方体的体积 V2 = 12 × 2 × 4 = 96 立方码。

6. 最后将上部长方体和下部长方体的体积相加，得出整个图形的总体积：V_total = V1 + V2 = 96 + 96 = 192 立方码。

7. 经过上述推理，最终得出答案为 192 立方码。

Definition of Rectangular Prism

A rectangular prism is defined as a three-dimensional geometric figure formed by six rectangular faces, where three mutually adjacent faces respectively define the length, width, and height.

<note>上部长方体和下部长方体都是长方体</note>，分别具有<note>长 = 12 码，宽 = 2 码，和高 = 4 码</note>的特性。<note>上部长方体用12x2x4表示，下部长方体也用12x2x4表示</note>。

Volume Formula of Rectangular Prism

The volume of a rectangular prism is equal to the product of its length, width, and height.

在本题图中，使用长方体体积公式计算两个长方体的体积。<note>上部长方体的体积 V1 = 12 yd × 2 yd × 4 yd = 96 立方码</note>。同样，<note>下部长方体的体积 V2 = 12 yd × 2 yd × 4 yd = 96 立方码</note>。


Question:
这个图形的体积是多少？

 \$ox\$ 立方厘米
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）

Answer: 284cubic centimeters

1. 首先，观察到图形是由两个长方体组成的，因此可以将其分解为两个长方体来求解体积。

2. 找出其中一个长方体（后面的长方体），它的长为11厘米，宽为4厘米，高为6厘米。

3. 根据长方体体积公式 'V = 长 × 宽 × 高'，计算后面长方体的体积：V = 11 × 4 × 6 = 264 立方厘米。

4. 接下来，找出另一个长方体（前面的长方体），它的长为2厘米，宽为2厘米，高为5厘米。

5. 根据长方体体积公式 'V = 长 × 宽 × 高'，计算前面长方体的体积：V = 2 × 2 × 5 = 20 立方厘米。

6. 现在，将两个长方体的体积相加以求整个图形的总体积：264 + 20 = 284 立方厘米。

7. 经过上述推理，最终得出答案为284立方厘米。

在本题中，后面<note>长方体的体积</note>计算为：264立方厘米，具体公式应用为<note>V = 11 × 4 × 6</note>；前面<note>长方体的体积</note>计算为：20立方厘米，具体公式应用为<note>V = 2 × 2 × 5</note>。最终图形体积计算为：284立方厘米，具体公式应用为<note>264 + 20</note>。


Question:
这个图形的体积是多少？

 \$ox\$ 立方厘米

Answer: 88cubic centimeters

1. 观察立体图形，发现可以将其拆分为两个长方体（棱柱）。左侧的大长方体尺寸为：长2厘米，宽8厘米，高5厘米。

2. 计算左侧大长方体的体积。根据长方体体积公式V = l · w · h，其中l表示长度，w表示宽度，h表示高度。代入具体数值得：V_left = 2厘米 · 8厘米 · 5厘米。

3. 运算得出左侧大长方体的体积：V_left = 80立方厘米。

4. 右侧的小长方体的尺寸为：长1厘米，宽4厘米，高2厘米。

5. 计算右侧小长方体的体积。根据长方体体积公式V = l · w · h，代入具体数值得：V_right = 1厘米 · 4厘米 · 2厘米。

6. 运算得出右侧小长方体的体积：V_right = 8立方厘米。

7. 求解整个立体图形的总体积。将两个长方体的体积相加：V_total = V_left + V_right。

8. 运算得出总的体积：V_total = 80立方厘米 + 8立方厘米 = 88立方厘米。

9. 经过上述推理，最终得出答案为88立方厘米。

Definition of Rectangular Prism

<note>左侧的大立方体和右侧的小立方体</note>都属于长方体。大长方体的尺寸为<note>长2厘米、宽8厘米、高5厘米</note>，小长方体的尺寸为<note>长1厘米、宽4厘米、高2厘米</note>。

Volume Formula of Rectangular Prism

<note>V_left表示左侧大长方体的体积</note>。根据该公式，<note>V_left = 2厘米 · 8厘米 · 5厘米</note>。计算结果为80立方厘米。同理，<note>V_right表示右侧小长方体的体积</note>，根据公式，<note>V_right = 1厘米 · 4厘米 · 2厘米</note>。计算结果为8立方厘米。


Question:
在圆 X 中，\$rown{YZ}\$ 被突出显示。\$rown{YZ}\$ 的测量值为 90°。

圆的哪一部分被突出显示？
简化你的答案。

 \$ox\$
哪个表达式表示 \$rown{YZ}\$ 的长度（单位：英寸）？

- 1/4(9𝜋)
- 1/3(9𝜋)
- 1/4(6𝜋)
- 1/3(6𝜋)

Answer:
1/4

 1/4(6𝜋)

1. 已知圆X中，圆弧 \overset{\frown}{YZ} 的弧度为90°。

2. 根据圆心角性质，弧长的度数等于该弧所对圆心角的度数。因此，\angle YXZ 的角度也为90°，亦即 \angle YXZ = 90°。

3.    根据圆的角度性质，一个圆的完整弧度为360°。因此，圆弧 \overset{\frown}{YZ} 在圆中的占比为 90°/360°。

4. 将上述分数进行约分，得到1/4。因此，圆弧 \overset{\frown}{YZ} 占据圆X的1/4。

5. 圆弧 \overset{\frown}{YZ} 的长度为圆周长的1/4，即长为 1/4 * C。

6. 使用圆的周长公式 C = 2πr，其中r为圆的半径。题中给出r = 3英寸。

7. 将圆的半径代入周长公式，有C = 2π * 3 = 6π。

8. 依据圆的弧长公式计算圆弧 \overset{\frown}{YZ} 的长度为1/4 * (6π) = (6π)/4。

9. 将分数 (6π)/4 约分，得到3π/2。

10. 经过上述推理，最终得出圆弧 \overset{\frown}{YZ} 的长度表达式为1/4(6π)，对应选项为 '1/4(6π)'。

11. 最终得出答案为圆弧 \overset{\frown}{YZ} 占据圆X的1/4。

Arc Length Formula of a Circle

<note>圆弧\overset{\frown}{YZ} 的长度为\frac{1}{4} 乘以圆的周长</note>，因此弧长为\frac{1}{4} * 6π = \frac{6π}{4}，约分后得到<note>3π/2</note>。

Angle Properties of a Circle

The total measure of the angles in a complete circular arc is 360 degrees, and the sum of the central angles subtended by the entire circumference of a circle is 360 degrees.

<note>劣弧YZ优弧ZY绕圆一周</note>，弧度和为360度，其对应的<note>圆周角之和也为360度</note>，即<note>劣角YXZ+优角ZXY=360度</note>。


Question:
这个图形的体积是多少？

 \$ox\$ 立方米
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）

Answer: 174cubic meters

1. 将给定的立体图形分解为两个立方体。顶部的立方体和底部的立方体。

2. 计算顶部立方体的体积。已知顶部立方体的长度为7米，宽度为2米，高度为3米。

3. 根据长方体体积公式 V = ℓ × w × h ，其中 ℓ 是长度，w 是宽度，h 是高度，可以计算体积。

4. 对于顶部立方体，代入公式得到 V = 7 × 2 × 3 = 42 立方米。

5. 然后，计算底部立方体的体积。底部立方体的长度为11米，宽度为3米，高度为4米。

6. 使用相同的长方体体积公式，代入底部立方体的尺寸，得到 V = 11 × 3 × 4 = 132 立方米。

7. 将两个立方体的体积相加，以获得总的立体图形体积。即 42 + 132 = 174 立方米。

8. 经过上述推理，最终得出答案为 174 立方米。

Volume Formula of Rectangular Prism

<note>边7m表示长，边2m表示宽，边3m表示高</note>，所以长方体的体积等于长、宽和高的乘积，即体积 = 7 * 2 * 3=42立方米。<note>边11m表示长，边3m表示宽，边4m表示高</note>，所以长方体的体积等于长、宽和高的乘积，即体积 = 11 * 3 * 4=132立方米。


Question:
这个图形的体积是多少？

 \$ox\$ 立方英寸
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）

Answer: 432cubic inches

1. 观察给定图形，它是由两个长方体组合而成的三维图形。

2. 第一步，计算上部长方体的体积。根据长方体体积公式Volume = length × width × height，可以得出上部长方体的体积。

3. 上部长方体的长度为15英寸，宽度为4英寸，高度为5英寸。因此，体积V = 15 × 4 × 5 cubic inches。

4. 计算结果为V = 300 cubic inches。上部长方体的体积为300立方英寸。

5. 接下来，计算下部长方体的体积。使用同样的长方体体积公式Volume = length × width × height。

6. 下部长方体的长度为11英寸，宽度为3英寸，高度为4英寸。因此，体积V = 11 × 3 × 4 cubic inches。

7. 计算结果为V = 132 cubic inches。下部长方体的体积为132立方英寸。

8. 为了得到整个组合图形的总体积，将两个长方体的体积相加。

9. 计算总和：300 + 132 = 432 cubic inches。

10. 经过上述推理，最终得出答案为432立方英寸。

Definition of Rectangular Prism

在本题图中，有两个长方体。<note>第一个长方体 (上方) 的长度为 15 英寸，宽度为 4 英寸，高度为 5 英寸</note>。<note>第二个长方体 (下方) 的长度为 11 英寸，宽度为 3 英寸，高度为 4 英寸</note>。

Volume Formula of Rectangular Prism

<note>边15in表示长</note>，<note>边4in表示宽</note>，<note>边5in表示高</note>，所以长方体的体积等于长、宽和高的乘积，即体积 = 15 * 4 * 5=300立方英寸。<note>边11in表示长</note>，<note>边3in表示宽</note>，<note>边4in表示高</note>，所以长方体的体积等于长、宽和高的乘积，即体积 = 11 * 3 * 4=132立方英寸。


Question:
这个图形的体积是多少？

 \$ox\$ 立方厘米
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）

Answer: 162cubic centimeters

1. 首先，我们观察到给定的图形可以分解为两个长方体：顶部的一个小长方体和底部的一个大长方体。

2. 针对顶部的小长方体，我们已经知道其长度（l）为 3 厘米，宽度（w）为 2 厘米，高度（h）为 2 厘米。

3. 根据长方体体积公式 V = l × w × h，计算出顶部小长方体的体积为 V = 3 × 2 × 2 = 12 立方厘米。

4. 接下来，我们考虑底部的长方体，其已知长度（l）为 10 厘米，宽度（w）为 3 厘米，高度（h）为 5 厘米。

5. 同样依据长方体体积公式 V = l × w × h，计算出底部长方体的体积为 V = 10 × 3 × 5 = 150 立方厘米。

6. 通过相加两个长方体的体积可得图形的总体积，总体积 = 12 + 150 = 162 立方厘米。

7. 经过上述推理，最终得出答案为图形的体积是 162 立方厘米。

Definition of Rectangular Prism

<note>顶部的小长方体的尺寸是长度 l = 3 厘米，宽度 w = 2 厘米，高度 h = 2 厘米</note>；<note>底部大长方体的尺寸是长度 l = 10 厘米，宽度 w = 3 厘米，高度 h = 5 厘米</note>。在题目中，<note>两个长方体由六个矩形面组成</note>。

Volume Formula of Rectangular Prism

在本题图中，通过长方体体积公式我们计算出<note>顶部的小长方体的体积为 V = 3 × 2 × 2 = 12 立方厘米</note>，以及<note>底部大长方体的体积为 V = 10 × 3 × 5 = 150 立方厘米</note>。最后我们通过相加两个长方体的体积计算出总体积，<note>总体积 = 12 + 150 = 162 立方厘米</note>。


Question:
这个图形的体积是多少？

 \$ox\$ 立方英寸
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）

Answer: 174cubic inches

1. 首先对图形进行分析，可以将其分解为两个长方体：上方的长方体和下方的长方体。

2. 计算上方长方体的体积。根据长方体的体积公式 V = l × w × h，我们需要知道其长度、宽度和高度。

3. 从题目中图示得知，上方长方体的长度 l = 9 英寸，宽度 w = 3 英寸，高度 h = 6 英寸。

4. 将这些值代入体积公式：V = 9 × 3 × 6 = 162 立方英寸。因此，上方长方体的体积为 162 立方英寸。

5. 接着计算下方长方体的体积。下方长方体的长度、宽度和高度分别是 l = 6 英寸，w = 1 英寸，h = 2 英寸。

6. 将这些值代入体积公式：V = 6 × 1 × 2 = 12 立方英寸。因此，下方长方体的体积为 12 立方英寸。

7. 最后，计算整个图形的总体积。根据加法原理，即总体积等于各部分体积之和：

8. 总体积 = 上方长方体的体积 + 下方长方体的体积 = 162 + 12 = 174 立方英寸。

9. 经过上述推理，最终得出答案为 174 立方英寸。

Definition of Rectangular Prism

<note>长方体</note>由长 <note>l = 9 英寸</note>，宽 <note>w = 3 英寸</note>，高 <note>h = 6 英寸</note>定义。下方的<note>长方体</note>由长 <note>l = 6 英寸</note>，宽 <note>w = 1 英寸</note>，高 <note>h = 2 英寸</note>定义。

Volume Formula of Rectangular Prism

<note>长方体的体积计算为 V = 9 × 3 × 6 = 162 立方英寸</note>。<note>总体积为两个长方体体积之和，即 162 + 12 = 174 立方英寸</note>。


Question:
这个图形的体积是多少？

 \$ox\$ 立方米
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）

Answer: 174cubic meters

1. 将所给几何体分解为两个长方体，分别计算它们的体积。

2. 首先计算上部长方体的体积。根据题目中给出的图和标记，上部长方体的长为7米，宽为2米，高为3米。

3. 长方体的体积计算公式为：体积 = 长 × 宽 × 高。

4. 代入上部长方体的测量值：体积 = 7米 × 2米 × 3米 = 42立方米。

5. 接着计算底部长方体的体积。根据图中标记，底部长方体的长为11米，宽为3米，高为4米。

6. 再次使用长方体的体积计算公式：体积 = 长 × 宽 × 高。

7. 代入底部长方体的测量值：体积 = 11米 × 3米 × 4米 = 132立方米。

8. 为计算整个几何体的总体积，将上部和底部长方体的体积相加：总体积 = 42立方米 + 132立方米 = 174立方米。

9. 经过上述推理，最终得出答案为174立方米。

在本题图中，<note>上部长方体的长为7米，宽为2米，高为3米</note>，因此其体积计算为：体积 = <note>7米 × 2米 × 3米 = 42立方米</note>；<note>底部长方体的长为11米，宽为3米，高为4米</note>，因此其体积计算为：体积 = <note>11米 × 3米 × 4米 = 132立方米</note>。然后总的体积为两个部分的体积之和，即总体积 = <note>42立方米 + 132立方米 = 174立方米</note>。


Question:
这个图形的体积是多少？

 \$ox\$ 立方码
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题，无需其他内容（也无需用‘问题：’开头）

Answer: 258cubic yards

1. 观察给定的几何图形，可以将其分解为两个长方体，分别为上部和下部。

2. 计算上部长方体的体积。已知上部的长度为14码，宽度为3码，高度为3码。

3. 根据长方体体积公式V=长度×宽度×高度，计算上部长方体的体积V_1=14×3×3。

4. 计算得出上部长方体的体积为V_1=126立方码。

5. 计算下部长方体的体积。已知下部的长度为11码，宽度为3码，高度为4码。

6. 根据长方体体积公式V=长度×宽度×高度，计算下部长方体的体积V_2=11×3×4。

7. 计算得出下部长方体的体积为V_2=132立方码。

8. 求解整个几何体的体积，通过将两个长方体的体积相加得到总的体积。

9. 计算总体积V=V_1+V_2=126+132。

10. 计算得出整个几何体的总体积为258立方码。

11. 经过上述推理，最终得出答案为258立方码。

Definition of Rectangular Prism

<note>图中有两个长方体</note>，<note>一个长方体的尺寸为长度14码，宽度3码，高度3码</note>；<note>另一个长方体的尺寸为长度11码，宽度3码，高度4码</note>。

Volume Formula of Rectangular Prism

在本题图中，使用该公式计算<note>两个长方体的体积</note>。对于<note>上部长方体，V = 14码 × 3码 × 3码 = 126立方码</note>；对于<note>下部长方体，V = 11码 × 3码 × 4码 = 132立方码</note>。


Question:
这个图形的体积是多少？

 \$ox\$ 立方码
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题，无需其他内容（也无需用‘问题：’开头）

Answer: 66cubic yards

1. 该题目要求求整个立体图形的体积。从图中可以分辨出这个立体图形可以被分为两个矩形棱柱（即长方体），我们将其称为后方立方体和前方立方体。

2. 先计算后方立方体的体积：其长、宽、高分别为5码、3码和4码。根据长方体体积公式V = ℓ·w·h，其中V是体积，ℓ是长度，w是宽度，h是高度，我们可以计算出体积为V = 5 * 3 * 4 = 60立方码。

3. 接下来，计算前方立方体的体积：其长、宽、高分别为3码、1码和2码。再次应用长方体体积公式V = ℓ·w·h，得到体积为V = 3 * 1 * 2 = 6立方码。

4. 整个立体图形的总体积为后方立方体和前方立方体体积之和，因此总体积为60立方码 + 6立方码 = 66立方码。

5. 经过上述推理，最终得出答案为66立方码。

Definition of Rectangular Prism

在本题图中，<note>后方立方体和前方立方体分别是两个长方体</note>。后方立方体的长为5码，宽为3码，高为4码；前方立方体的长为3码，宽为1码，高为2码。它们<note>符合长方体的定义</note>，具有<note>六个矩形面</note>，并且其所有<note>空间角都是90度</note>。

Volume Formula of Rectangular Prism

在本题图中，使用<note>长方体体积公式</note>计算两个长方体的体积。后方立方体的体积计算如下：<note>V = 5 * 3 * 4 = 60立方码</note>；前方立方体的体积计算如下：<note>V = 3 * 1 * 2 = 6立方码</note>。最后，将两个长方体的体积相加，得到总的体积为<note>60立方码 + 6立方码 = 66立方码</note>。


Question: 体积是多少？\$ox\$ 立方码

Answer: 648 cubic yards

1. 首先识别出图中的长方体的长、宽和高。其中，长方体的长为9码，宽也为9码，高为8码。

2. 根据长方体体积的定义，体积等于长、宽、高的乘积。因此利用公式：体积 = 长 × 宽 × 高。

3. 将已知数值代入公式：体积 = 9 × 9 × 8。

4. 计算乘积：9 × 9 = 81。

5. 然后将结果81乘以8得到：81 × 8 = 648。

6. 因此该长方体的体积为648立方码。

7. 经过上述推理，最终得出答案为648立方码。

Definition of Rectangular Prism

<note>长方体的长度是9码，宽度是9码，高度是8码</note>。根据长方体定义，这三个维度分别表示图中的三个方向的尺寸，<note>互相垂直</note>。

Volume Formula of Rectangular Prism

<note>长方体的长为9码，宽为9码</note>，<note>高为8码</note>。因此利用体积公式可以计算出：体积 = <note>9码 × 9码 × 8码</note> = <note>648立方码</note>。


Question:
在圆F中，\$\\overset{\\frown}{GH}\$被标出。\$\\overset{\\frown}{GH}\$的角度是135°。

圆的几分之一被标出？
简化你的答案。

 \$\\Box\$
哪个表达式表示\$\\overset{\\frown}{GH}\$的长度（单位：英寸）？

- 1/3(14𝜋)
- 3/8(14𝜋)
- 3/8(49𝜋)
- 1/3(49𝜋)

Answer:
3/8

- 3/8(14𝜋)

1. 在圆F中，\overset{\frown}{GH}的圆心角∠GFH为135°。

2. 根据圆心角性质，圆心角∠GFH和其所截弧\overset{\frown}{GH}的度数相同，因此\overset{\frown}{GH}的度数也为135°。

3. 根据圆的角度性质，圆的整周弧度和为360°，所以被高亮的\overset{\frown}{GH}占整个圆的度数比例为135°/360°。

4. 化简135°/360°，得到3/8。

5. 这意味着被高亮的部分\overset{\frown}{GH}占整个圆周长的3/8。

6. 圆的周长公式为C=2\pi r，其中r为半径。在题中，r = 7英寸。

7. 将半径代入周长公式C=2\pi\times7=14\pi。

8. 因此，高亮部分\overset{\frown}{GH}的长度为3/8\times 14\pi。

9. 计算得出\overset{\frown}{GH}的长度为\frac{3}{8}(14\pi)=\frac{42\pi}{8}=\frac{21\pi}{4}。

10. 经过上述推理，最终得出答案为3/8，并且\overset{\frown}{GH}的长度为3/8(14\pi)英寸。

Circumference Formula of Circle

<note>圆F中，点F是圆心，线段FG是半径r</note>。根据圆的周长公式，<note>圆的周长C等于2π乘以半径r</note>，即C=2πr。在题目中，<note>r = 7英寸</note>，因此<note>圆的周长C = 2π × 7 = 14π</note>。

Angle Properties of a Circle

<note>G，H所成的两条弧绕圆一周</note>，弧度和为<note>360度</note>，其对应的圆周角之和也为<note>360度</note>。


Question:
在圆 S 中，\$rown{TVU}\$ 被突出显示。 \$rown{TVU}\$ 的角度 TSU 为 90°。

圆的哪一部分被突出显示？
简化你的答案。

 \$ox\$
哪个表达式代表 \$rown{TVU}\$ 的长度（单位：英寸）？

- 3/4(2𝜋)
- 4/5(4𝜋)
- 4/5(2𝜋)
- 3/4(4𝜋)

Answer:
3/4

 3/4(2𝜋)

1. 已知在圆 S 中，弧 \overset{\frown}{TVU} 被高亮，并且 \angle TSU 夹角为 90°。

2. 根据圆心角性质，一条弧的度数等于它所对的圆心角的度数。因此弧 \overset{\frown}{TU} 的圆心角 \angle TSU 为 90°。

3. 因为整个圆的角度总和为 360°，所以弧 \overset{\frown}{TU} 占整个圆的 \frac{90}{360} = \frac{1}{4}。

4. 因弧 \overset{\frown}{TU} 占圆的 \frac{1}{4}，则未被高亮部分弧占 \frac{1}{4}，高亮部分弧占圆的其余 \frac{3}{4}。

5. 故，弧 \overset{\frown}{TVU} 的长度是整个圆周长的 \frac{3}{4}。

6. 圆的周长计算公式为 C = \pi d，其中 d 是直径。已知直径 d = 2 in，所以 C = \pi \times 2 = 2\pi。

7. 因此，弧 \overset{\frown}{TVU} 的长度= \frac{3}{4} \times 2\pi。

8. 经过计算，选择与 \frac{3}{4}(2\pi) 相符的选项。

9. 经过上述推理，最终得出答案为：\frac{3}{4}(2\pi)。

Definition of Arc

<note>圆 S</note> 上有三点 <note>T、V 和 U</note>，<note>弧 \overset{\frown}{TVU}</note> 是连接这三点的一段曲线。根据弧的定义，<note>弧 \overset{\frown}{TVU}</note> 是 <note>圆上两点 T 和 U</note> 之间的一段曲线，并且经过点 <note>V</note>。

Circumference Formula of Circle

在本题图中，<note>圆 S 中，点 S 是圆心</note>，<note>线段 TS 是半径 r</note>。根据圆的周长公式，圆的周长 C 等于 2π 乘以半径 r，即 C = 2πr。<note>已知直径 d = 2 in，所以半径 r = 1 in</note>，<note>周长 C = 2π × 1 = 2π</note>。


Question:
在圆A中，\$rown{BDC}\$被高亮显示。\$rown{BDC}\$的角度为45°。

圆中被高亮显示的部分占整个圆的几分之几？
简化你的答案。

\$ox\$
哪个表达式表示\$rown{BDC}\$的长度（单位：厘米）？

- 7/8(9𝜋)
- 7/8(3𝜋)
- 2/3(3𝜋)
- 2/3(9𝜋)

Answer:
7/8

- 7/8(3𝜋)

1. 已知题目中圆心为A，圆A的直径为3厘米，因此其半径为1.5厘米。

2. 根据题目描述，⌢BC 是由圆心角 ∠BAC 截得的圆弧，并且∠BAC 的度数为 45°。

3. 圆的周长是360°，因此弧BC所占的比例为45°/360°。

4. 计算比例：45°/360°=1/8。

5. 所以，弧BC占整个圆周长的1/8，因此弧BDC则占7/8。

6. 由于弧BDC占圆的7/8，因此其长度为圆的周长的7/8。

7. 圆的周长公式为C=2πr，其中r为半径。在本题中，r=1.5厘米。

8. 将r=1.5代入圆周长公式：C=2 * π * 1.5=3π。

9. 计算弧BDC的长度：长度=7/8 * 3π = 7/8(3π)。

10. 因此，弧BDC的长度为 7/8(3π)厘米。经过上述推理，最终得出答案为圆周的7/8被高亮。

Definition of Circle

<note>圆A中，点A是圆心</note>，<note>半径为1.5厘米</note>。图中<note>所有到点A的距离等于1.5厘米的点都在圆A上</note>。

Definition of Radius

A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.

<note>圆A中，点A是圆心，点B和点C是圆上的任意一点</note>，<note>线段AB和线段AC是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段AB和线段AC是圆的半径</note>，其长度为1.5厘米。

Definition of Arc

<note>圆A上有两点B和C</note>，弧BC是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，<note>弧BC是圆上两点B和C之间的一段曲线</note>。

Definition of Central Angle

<note>圆A中</note>，点B和点C是圆上的两点，<note>圆心是点A</note>。连线<note>AB和AC组成的角∠BAC</note>称为圆心角，其度数为45°。

Circumference Formula of Circle

<note>圆A中，点A是圆心</note>，<note>线段AB是半径r</note>。根据圆的周长公式，圆的周长C等于2π乘以半径r，即C=2πr。在本题中，<note>r=1.5厘米</note>，因此圆的周长C=2π*1.5=3π厘米。


Question: 体积是多少？\$ox\$ 立方厘米

Answer: 54 cubic centimeters

1. 如图所示，我们有一个长方体，其底面是长为3厘米，宽为3厘米的正方形，且高为6厘米。

2. 根据长方体体积公式：在长方体中，其体积V为底面积乘以高，即 V = 底面积 × 高。

3. 先计算底面积，由于底面是正方形，所以底面积 = 长 × 宽 = 3厘米 × 3厘米 = 9平方厘米。

4. 将底面积代入体积公式得，体积 V = 9平方厘米 × 6厘米 = 54立方厘米。

5. 经过上述推理，最终得出答案为54立方厘米。

Definition of Rectangular Prism

<note>几何图形是一个长方体</note>，其底面为长为3厘米，宽为3厘米的正方形，高为6厘米。<note>符合长方体的定义</note>，其中底面是正方形，因此这里我们可以视其为具有特殊性质的长方体，即正方体的一部分。

Volume Formula of Rectangular Prism

<note>底面积A</note> = 9平方厘米，<note>高h</note> = 6厘米，所以<note>体积V</note> = 9平方厘米 × 6厘米 = 54立方厘米。


Question: 这个圆柱体的体积是多少？使用 𝜋 ≈ 3.14 并将你的答案四舍五入到小数点后两位。\$ox\$ 立方毫米

Answer: 502.4 cubic millimeters

1. 已知圆柱的直径为8毫米。

2. 根据直径的定义，半径r等于直径的一半，因此圆柱的半径r为8毫米 ÷ 2 = 4毫米。

3. 已知圆柱的高度h为10毫米。

4. 圆柱体积V的计算公式为V = πr²h。

5. 将已知半径r=4毫米和高度h=10毫米代入体积公式，得V = π × (4毫米)² × 10毫米。

6. 计算 (4毫米)² = 16平方毫米。

7. 代入结果得V = 3.14 × 16平方毫米 × 10毫米。

8. 计算3.14 × 16平方毫米 = 50.24平方毫米。

9. 再将结果乘以高度10毫米，得V = 50.24平方毫米 × 10毫米 = 502.4立方毫米。

10. 经过上述计算，最终得到圆柱的体积约为502.4立方毫米。

Cylinder

A cylinder is a geometric solid consisting of two parallel and congruent circular bases and a curved lateral surface connecting the bases.

在本题图中，圆柱体由<note>两个平行且相同的圆形基底</note>和<note>一个侧面</note>组成。<note>基底是两个完全相同的圆形</note>，它们的<note>半径为4毫米</note>，<note>直径为8毫米</note>，且它们的<note>中心在同一条直线上</note>。侧面是<note>一个矩形</note>，当展开时，其<note>高度等于圆柱体的高10毫米</note>，<note>宽度等于圆周的周长</note>。

Volume Formula of Cylinder

The volume of a cylinder is equal to the area of its base multiplied by its height. \( V = \pi r^2 h \), where \( r \) is the radius of the base of the cylinder, and \( h \) is the height of the cylinder.

<note>圆柱的半径r为4毫米</note>，<note>高度h为10毫米</note>，运用体积公式，计算得<note>V = π × (4毫米)² × 10毫米</note>。

Definition of Diameter

A diameter is a line segment that passes through the center of a circle and has its endpoints on the circle. It is the longest chord of the circle, with a length equal to twice the radius of the circle.

<note>线段ab是圆的直径</note>。线段ab通过<note>圆心o</note>，并且两端点<note>a和b</note>都在圆上。根据直径的定义，<note>线段ab是圆的最长弦</note>，长度为2倍的半径，即<note>ab= 2 * 半径</note>。


Question: 体积是多少？\$ox\$ 立方英寸

Answer: 180 cubic inches

1. 已知该几何体为三棱柱，其底面是三角形，底边长为5英寸，高为8英寸，三棱柱的高度（即侧面长度）为9英寸。

2. 计算三角形底面的面积，根据三角形面积公式，面积等于底边乘以高再除以2，即：面积 = (5 × 8) / 2。

3. 进行计算：(5 × 8) / 2 = 40 / 2 = 20平方英寸。

4. 计算棱柱的体积。根据棱柱体积的公式，体积等于底面积乘以高，所以：体积 = 20 × 9。

5. 进行计算：20 × 9 = 180立方英寸。

6. 经过上述推理，最终得出答案为180立方英寸。

Definition of Triangular Prism

A triangular prism is a type of hexahedron that is formed by two parallel and congruent triangular bases and three rectangular lateral faces.

在本题图中，该几何体为<note>三棱柱</note>，其<note>底面三角形的边分别为5英寸和8英寸</note>，<note>三棱柱的侧面高度为9英寸</note>。

Volume Formula of Rectangular Prism

<note>体积</note> = <note>20 × 9</note>。计算得到<note>三棱柱的体积为180立方英寸</note>。

Area Formula of a Triangle

The area of any triangle is equal to its base multiplied by its height, divided by 2.

在本题图中，三角形中，<note>底为5英寸</note>，<note>底上的高为8英寸</note>，所以三角形的面积等于底乘以高除以2，即面积 = (<note>5</note> * <note>8</note>) / 2。


Question:
KM 是 ⨀J 的切线。m \$riangle\$ N 是多少？

m \$riangle\$ N= \$ox\$ °

Answer: m \$\angle \$ N=60°

1. 已知KM是⨀J的切线，因此根据圆的切线定义和圆的切线性质可知，KM垂直于过N且与⨀J相切的半径NJ，即∠K是直角。

2. 在三角形KMN中，已知∠K为直角，因此三角形KMN为直角三角形。根据直角三角形的锐角互余性质，另外两个角∠M和∠N互为余角。

3. 题目中给出∠M的度数为30°，因此根据直角三角形的锐角互余性质可知，∠N + ∠M = 90°。

4. 将已知∠M的度数代入互余关系式中即得到：∠N + 30° = 90°。

5. 通过简单的代数运算得：∠N = 90° - 30°。

6. 计算得到∠N = 60°。

n. 经过上述推理，最终得出答案为∠N = 60°。

Definition of Tangent to a Circle

A line is a tangent to a circle if and only if it has exactly one point of intersection with the circle. This point of intersection is called the point of tangency.

在本题图中，<note>圆J与直线KM有且只有一个公共点K</note>，这个公共点叫做<note>切点</note>。因此，<note>直线KM是圆J的切线</note>。

Definition of Radius

<note>在本题图中，⨀J中，点J是圆心，点N是圆上的任意一点，线段NJ是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段NJ是圆的半径。</note><note>⨀J中，点J是圆心，点K是圆上的任意一点，线段KJ是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段KJ是圆的半径。</note>

A tangent line to a circle is perpendicular to the radius that passes through the point of tangency.

在本题图中，圆J中，点K是<note>直线KM与圆的切点</note>，<note>线段JK是圆的半径</note>。根据圆的切线性质，<note>切线KM与经过切点K的半径JK垂直</note>，即<note>∠MKJ=90度</note>。

Definition of Right Triangle

A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.

<note>三角形MKN中，角MKN是直角（90度）</note>，因此三角形MKN是一个直角三角形。

In a right triangle, the sum of the two non-right angles is 90°.

<note>角MKN是直角（90度）</note>，<note>角KMN和角KNM是直角以外的两个锐角</note>，根据直角三角形的锐角互余性质，<note>角KMN和角KNM的和为90度</note>，即<note>角KNM + 角KMN = 90°</note>。


Question: 体积是多少？\$ox\$ 立方米

Answer: 120 cubic meters

1. 观察题目中的三棱柱，底面是一个三角形，已知底边为8米，高为5米，边与长为6米的长方体构成三棱柱。

2. 根据三角形的面积公式，任意三角形的面积 = 1/2 × 底 × 高，因此底面三角形的面积 = 1/2 × 8米 × 5米 = 20平方米。

3. 根据棱柱的体积公式，棱柱的体积 = 底面面积 × 高，因此该三棱柱的体积 = 20平方米 × 6米。

4. 计算得出体积为120立方米。

n. 经过上述推理，最终得出答案为120立方米。

Definition of Triangular Prism

<note>三棱柱由两个平行且相等的三角形底面组成</note>，这两个底面通过<note>三个矩形侧面</note>连接起来。<note>两个底面是平行且相等的三角形</note>，而<note>侧面是矩形</note>。这样，三棱柱的<note>六个面中有两个是三角形，三个是矩形</note>，形成一个<note>六面体</note>。

Volume Formula of Prism

The volume of a prism is equal to the base area multiplied by the height.

在本题图中，棱柱中，<note>底面的面积为20平方米</note>，<note>棱柱的高为6米</note>。所以根据棱柱的体积公式，<note>棱柱的体积等于底面积20平方米乘以高6米</note>。

Area Formula of a Triangle

在本题图中，三角形中，边<note>8m是底</note>，<note>线段5m是该底上的高</note>，所以三角形的面积等于底8m乘以高5m除以2，即面积 = (8 * 5) / 2 = 20平方米。


Question: 体积是多少？ \$ox\$ 立方毫米

Answer: 168 cubic millimeters

1. 观察给定图形，这是一个长方体，其长度为7毫米，宽度为3毫米，高度为8毫米。

2. 根据长方体体积公式，体积等于长度、宽度和高度的乘积。

3. 用数学公式表示：Volume = length × width × height。

4. 代入已知的长度、宽度和高度，计算体积： Volume = 7毫米 × 3毫米 × 8毫米。

5. 计算乘积：7 × 3 = 21， 再计算21 × 8 = 168。

6. 因此，长方体的体积为168立方毫米。

Definition of Rectangular Prism

在本题图中，<note>给定的几何图形是一个长方体</note>，其长度是<note>7毫米</note>，宽度是<note>3毫米</note>，高度是<note>8毫米</note>。

Volume Formula of Rectangular Prism

<note>长方体的体积</note>在本题图中，应用这个公式计算体积时，代入的数值为<note>7毫米，3毫米，8毫米</note>。计算步骤如下：<note>Volume = 7毫米 × 3毫米 × 8毫米 = 168立方毫米</note>。


Question: 这个圆柱体的体积是多少？使用 𝜋 ≈ 3.14 并将你的答案四舍五入到小数点后两位。\$ox\$ 立方英尺

Answer: 12.56 cubic feet

1. 已知圆柱的底面半径为1英尺，高度为4英尺。

2. 根据圆柱体积公式，体积V = 𝜋r²h，其中r代表底面半径，h代表高度。

3. 将已知的底面半径r = 1英尺和高度h = 4英尺代入公式: V = 𝜋 × 1² × 4。

4. 计算得到V = 3.14 × 1 × 1 × 4。

5. 进一步计算得V = 3.14 × 4。

6. 求得V = 12.56立方英尺。

7. 经过上述计算，最终得出圆柱的体积为12.56立方英尺。

Cylinder

<note>圆柱体由两个平行且相同的圆形基底</note>和<note>一个侧面组成</note>。基底是<note>两个完全相同的圆形</note>，它们的<note>半径和直径相等</note>，且它们的<note>中心在同一条直线上</note>。侧面是一个<note>矩形</note>，当展开时，其<note>高度等于圆柱体的高（4英尺）</note>，<note>宽度等于圆周的周长（2π × 1英尺）</note>。

Volume Formula of Cylinder

<note>知道圆柱体底面半径r = 1英尺，高度h = 4英尺</note>，代入公式: <note>V = 𝜋 × 1² × 4</note>。
计算得到<note>V = 3.14 × 1 × 1 × 4 = 12.56立方英尺</note>。


Question: 体积是多少？\$ox\$ 立方码

Answer: 280 cubic yards

1. 首先识别该几何体为三棱柱，根据棱柱的体积计算公式。三棱柱体积公式为：体积 = 底面积 × 高。

2. 为计算三棱柱的底面积，需要计算底面，即三角形的面积。

3. 底面为三角形，其底边为8码，高为7码。已知三角形面积的计算公式为：面积 = 1/2 × 底边 × 高。

4. 将已知底边8码和高7码带入三角形面积公式，计算得出：面积 = 1/2 × 8 × 7 = 28 平方码。

5. 确定三棱柱的高，由题意，三棱柱的高为10码。

6. 将底面积（28平方码）和高（10码）代入体积公式：体积 = 底面积 × 高 = 28 × 10 = 280 立方码。

7. 经过上述推理，最终得出答案为280立方码。

Definition of Triangular Prism

在本题图中，几何体为<note>三棱柱</note>。<note>两个全等且平行的三角形底面</note>分别为该三棱柱的底面，其余三个面为<note>矩形</note>。<note>三角形底面边长为8码</note>，<note>底面高为7码</note>，<note>三棱柱高为10码</note>。

Area Formula of a Triangle

<note>三棱柱的底面是个三角形</note>，<note>底是8yd</note>，<note>高是7yd</note>，所以三角形的面积等于底乘以高除以2，即面积 = (8 * 7) / 2。

Volume Formula of Prism

在本题图中，<note>棱柱中，底面的面积为28 平方码</note>，<note>棱柱的高为10yd</note>。所以根据<note>棱柱的体积公式</note>，棱柱的体积等于<note>底面积乘以高</note>。


Question: 在圆A中，\$rown{BDC}\$被高亮显示。\$rown{BDC}\$是弧。\$rown{BDC}\$的角度是45°。 这个圆的几分之一被高亮显示？ 简化你的答案。 \$ox\$ 哪个表达式表示\$rown{BDC}\$的长度（单位：厘米）？ - 2/3(3𝜋) - 7/8(9𝜋) - 7/8(3𝜋) - 2/3(9𝜋)

Answer:
7/8

 7/8(3𝜋)

1. 圆A中, 弧BDC是被重点标记的部分，给定角BAC是45°。

2. 根据圆心角性质，角BAC所对的弧也为45°，即弧BC。

3. 圆的周角为360°，表示整个圆的弧。

4. 弧BC的度数占全圆的45/360。

5. 将45/360简化，得到1/8。因此，1/8的圆没有被标记。

6. 由于弧BDC是提示为被标记的，其占据圆的部分应为1 - 1/8 = 7/8。

7. 圆的周长公式是C = πd，其中d为直径。

8. 题目中给出直径d = 3厘米。

9. 计算圆的周长C = π * 3 = 3π。

10. 由于弧BDC是7/8的圆周长，弧BDC的长度为(7/8) * 3π。

11. 通过上述计算，得到弧BDC的长度为7/8 * 3π。

Definition of Circle

<note>圆A中，点A是圆心</note>，<note>直径为3厘米</note>，<note>半径为3/2厘米</note>。图中<note>所有到点A的距离等于3/2厘米的点都在圆A上</note>。

Definition of Arc

An arc is a curve on a circle that is defined by two distinct points on the circle.

Definition of Central Angle

An angle formed by two radii connecting two points on the circumference of a circle to the center of the circle is called a central angle.

Circumference Formula of Circle

The circumference of a circle is the length around the circular boundary. It can be calculated using the formula \( C = 2\pi r \), where \( C \) represents the circumference and \( r \) represents the radius.

<note>圆A中，点A是圆心</note>，<note>线段AB是半径r</note>。根据圆的周长公式，圆的周长C等于2π乘以半径r，即C = 2πr。<note>直径d = 3厘米</note>，因此<note>半径r = 3/2厘米</note>，圆的周长C = 2π * (3/2) = 3π厘米。

Arc Length Formula of a Circle

The arc length refers to the length of a segment of the circumference of a circle. It can be calculated using the formula 𝓁 = C × (m/360), where m is the measure of the central angle in degrees.


Question: 这个圆锥的体积是多少？使用 𝜋 ≈ 3.14 并将答案四舍五入到小数点后两位。\$ox\$ 立方米

Answer: 150.72 cubic meters

Definition of Cone

A cone in three-dimensional space is a surface generated by rotating a line segment (generatrix) around a fixed straight line (axis) belonging to a plane of a circle, which is not collinear with the endpoint (vertex). The surface consists of the conical surface and the base (circle).

<note>圆锥体指的是给定的几何图形，其底面是半径为4米的圆，高是9米</note>。

Definition of Circle

A circle is the locus of all points in a plane that are at a fixed distance from a given point.

在本题图中，<note>圆锥体的底面是一个圆</note>，<note>圆的半径为4米</note>。图中所有<note>到圆心的距离等于4米的点都在圆上</note>。

Volume Formula of a Cone

The formula to calculate the volume of a cone is \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \), where \( r \) is the radius of the base circle and \( h \) is the height of the cone.

<note>圆锥体积公式V = (1/3) * π * r^2 * h</note>。已知<note>底面圆的半径r = 4米</note>，<note>高h = 9米</note>，将这些值代入公式得到<note>V = (1/3) * π * (4^2) * 9</note>，进一步得出体积约为<note>150.72立方米</note>。


Question: 体积是多少？ \$ox\$ 立方英寸

Answer: 70 cubic inches

1. 首先，识别出三棱柱的底面是一个三角形，其底边长为 7 英寸，高为 5 英寸，柱体的长度为 4 英寸。

2. 根据三角形的面积公式计算公式，三角形的面积为 1/2 × 底 × 高。

3. 代入已知的底边长和高：底边长为 7 英寸，高为 5 英寸。因此，三角形的面积为 1/2 × 7 × 5 = 17.5 平方英寸。

4.棱柱的体积公式为：三棱柱的体积 = 底面积 × 长度。

5. 将已计算出的底面积17.5平方英寸和长度4英寸代入体积公式：

6. 三棱柱的体积为 17.5 × 4 = 70 立方英寸。

7. 经过上述推理，最终得出答案为 70 立方英寸。

Definition of Triangle

A geometric figure is called a triangle if it is formed by three non-collinear points and the line segments connecting them.

Definition of Triangular Prism

<note>在本题图中，三角柱的底面是相等且平行的三角形</note>，其<note>底边长为7英寸</note>，<note>高为5英寸</note>，<note>柱体的长度为4英寸</note>。

Area Formula of a Triangle

<note>边长7in是底</note>，<note>线段长5in是该底上的高</note>，所以三角形的面积等于底7in乘以高5in除以2，即面积 = (7 * 5) / 2。

Volume Formula of Prism

<note>在本题图中</note>，棱柱中，<note>底面的面积为17.5</note>，<note>棱柱的高为4</note>。所以根据棱柱的体积公式，棱柱的体积等于<note>底面积17.5乘以高4</note>。


Question: 这个矩形金字塔的体积是多少？ \$ox\$ 立方毫米

Answer: 300 cubic millimeters

1. 观察给定的金字塔，底面是一个边长为10 mm的正方形。

2. 计算这个正方形底面的面积。正方形面积公式是边长的平方，因此面积为 \$10 \times 10 = 100\$ 平方毫米。

3. 根据题目给出的信息，金字塔的高是9 mm。

4. 根据棱锥体积公式\$V = \frac{1}{3} \times \text{底面积} \times \text{高}\$计算其体积。将已知信息代入公式，有 \$V = \frac{1}{3} \times 100 \times 9\$。

5. 进行计算，得到\$V = \frac{1}{3} \times 900 = 300\$ 立方毫米。

6. 经过上述推理，最终得出答案为300立方毫米。

Definition of Square

A quadrilateral is a square if and only if all four sides are congruent (≅) and all four interior angles are right angles (90°).

在本题图中，<note>四边形的底面边长均为10 mm</note>，且<note>四个内角均为90度</note>，所以底面是一个正方形。

Area Formula for Square

The area of a square is equal to the square of its side length, that is, Area = side length × side length.

<note>边长a为10 mm</note>，所以正方形底面的<note>面积A = 10 x 10 = 100 平方毫米</note>。

Volume Formula of Pyramid

The volume \( V \) of a pyramid is equal to one third of the product of its base area and its height. Mathematically, this is expressed as: \( V = \frac{1}{3} \times \text{Base Area} \times \text{Height} \).

<note>底面积A为100平方毫米</note>，<note>高为9毫米</note>，所以<note>体积V = 1/3 x 100 x 9 = 300立方毫米</note>。


Question: 这个矩形金字塔的体积是多少？\$ox\$ 立方毫米

Answer: 8 cubic millimeters

1. 首先，识别给定图中的底面形状是一个矩形，长为4毫米，宽为2毫米。

2. 使用矩形的面积公式A = 长 × 宽，计算底面积A = 4毫米 × 2毫米 = 8平方毫米。

3. 确定金字塔的高度，从图中可以看出，给定的高度为3毫米。

4. 根据棱锥体积公式V = (1/3) × 底面积 × 高度，代入已知值V = (1/3) × 8平方毫米 × 3毫米。

5. 计算体积V = (1/3) × 24立方毫米 = 8立方毫米。

6. 经过上述推理，最终得出答案为8立方毫米。

Definition of Rectangle

A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).

<note>底面是一个矩形</note>，其<note>长为4毫米</note>，<note>宽为2毫米</note>。矩形的<note>四条边分别是4毫米那条边作为长，两条边平行并相等</note>；<note>2毫米那条边作为宽，两条边平行并相等</note>。 <note>每个角都是90度</note>。

Formula for the Area of a Rectangle

The area of a rectangle is equal to its length multiplied by its width.

<note>矩形的面积公式</note>在本题图中，底面的矩形中，<note>边4毫米和边2毫米是矩形的长和宽</note>，所以<note>矩形的面积 = 4毫米 * 2毫米</note>。

Volume Formula of Pyramid

在本题图中，<note>棱锥的底面积为8平方毫米</note>，<note>棱锥的高为3mm</note>。根据<note>棱锥体积公式</note>，<note>棱锥的体积V等于底面积乘以高再乘以1/3</note>，即：V = 1/3 * 8 * 3。


Question: 这个圆锥的体积是多少？使用 𝜋 ≈ 3.14 并将答案四舍五入到小数点后两位。\$ox\$ 立方毫米

Answer: 235.50 cubic millimeters

1. 观察所给的几何图形，这个几何图形是一个圆锥体，并给出了圆锥的底面半径和高度。

2. 根据图中信息，圆锥的底面半径为5毫米，高为9毫米。

3. 圆锥的体积公式为 V = (1/3) * π * r^2 * h。

4. 将已知数字代入体积公式，得到 V = (1/3) * 3.14 * (5)^2 * 9。

5. 计算 (5)^2 = 25。

6. 进行代入计算得到 V = (1/3) * 3.14 * 25 * 9。

7. 计算 25 * 9 = 225。

8. 再计算3.14 * 225 = 706.5。

9. 计算 (1/3) * 706.5 = 235.5

10. 经过上述推理，最终得出答案为235.50立方毫米。

Volume Formula of a Cone

<note>公式 V = (1/3) * π * r^2 * h</note> 来计算圆锥的体积，已知<note>底面半径r=5毫米</note>，<note>高度h=9毫米</note>。因此，代入公式得 <note>V = (1/3) * 3.14 * (5)^2 * 9</note>。


Question: 这个球体的体积是多少？使用𝜋 ≈ 3.14并将答案四舍五入到小数点后两位。\$ox\$ 立方毫米

Answer: 2,143.57 cubic millimeters

1. 已知球的半径为8 mm，根据球体积公式，球体积公式是V = (4/3)πr³。

2. 将半径r = 8 mm代入球体积公式，得到V = (4/3)π(8 mm)³。

3. 计算8 mm的立方值：(8 mm)³ = 8 × 8 × 8 = 512 mm³。

4. 将上述值代入体积表达式，得V = (4/3)π × 512 mm³。

5.  计算(4/3)π × 512 mm³的值，首先计算(4/3) × 512 ≈ 682.67。

6. 使用给定的近似值π ≈ 3.14，得V ≈ 682.67 × 3.14。

7. 计算682.67 × 3.14 ≈ 2143.5838。

8. 近似2143.5838到最接近的小数点后两位，结果为2143.58。

9. 经过上述推理，最终得出答案为2143.58立方毫米。

Formula for the Volume of a Sphere

The volume \(V\) of a sphere is given by the formula \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\), where \(r\) is the radius of the sphere.

在本题中，<note>球的半径 \( r = 8 \text{ mm} \)</note>，把<note> \( r \) 代入公式</note>得<note> \( V = \left( \frac{4}{3} \right) \pi (8 \text{ mm})^3 \)</note>，用于<note>计算球的体积</note>。


Question: 这个圆柱体的体积是多少？使用 𝜋 ≈ 3.14 并将答案四舍五入到小数点后两位。\$ox\$ 立方米

Answer: 12.56 cubic meters

1. 已知圆柱体的底面半径为2米，高为1米。

2. 圆柱体的体积可以通过公式 V = 𝜋r²h 计算，其中 r 是底面半径，h 是高。

3. 代入已知数值，公式变为 V = 𝜋 × (2^2) × 1。

4. 计算圆柱体的底面积，即 2^2 = 4。

5. 根据公式 V = 𝜋 × 4 × 1，计算4乘以1，得到4。

6. 使用𝜋 ≈ 3.14，计算V = 3.14 × 4 = 12.56。

7. 经过上述计算，圆柱体的体积约为12.56立方米。

Cylinder

A cylinder is a geometric solid consisting of two parallel and congruent circular bases and a curved lateral surface connecting the bases.

<note>在本题图中，圆柱体由两个平行且相同的圆形基底和一个侧面组成</note>。基底是两个完全相同的圆形，<note>它们的半径均为2米</note>，且<note>它们的中心在同一条直线上</note>。侧面是一个矩形，当展开时，<note>其高度等于圆柱体的高1米</note>，<note>宽度等于圆周的周长</note>。

Definition of Radius

A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.

在本题图中，圆柱体底面的半径为2米。<note>圆柱体底面的圆心到圆周上任意一点的线段长度为2米</note>，因此该线段是圆的半径。

Volume Formula of Cylinder

The volume of a cylinder is equal to the area of its base multiplied by its height. \( V = \pi r^2 h \), where \( r \) is the radius of the base of the cylinder, and \( h \) is the height of the cylinder.

<note>半径r = 2米</note>和<note>高h = 1米</note>，我们代入公式 V = 𝜋 × <note>(2^2) × 1</note>，得到圆柱体的体积为12.56立方米（取𝜋 ≈ 3.14）。

Area Formula of a Circle

The area of a circle is given by the formula A = πr², where A represents the area, π (pi) is the mathematical constant approximately equal to 3.14159, and r is the radius of the circle.

<note>圆柱体的底面是一个圆</note>，<note>圆的半径是2米</note>，根据圆的面积公式，<note>圆的面积A等于圆周率π乘以半径2的平方</note>，即A = π × 2²。


Question: 这个圆锥的体积是多少？使用 𝜋 ≈ 3.14 并将答案四舍五入到小数点后两位。\$ox\$ 立方英寸

Answer: 37.68 cubic inches

1. 已知圆锥的轴截面是一个直角三角形，其中斜边是圆锥的母线，垂直段是圆锥的高。图中已知母线长为4英寸，底面直径为6英寸。那么圆锥的半径为6/2=3英寸。

2. 由于圆锥的轴截面是一个直角三角形，母线、圆锥的高及半径构成一个直角三角形。因此可以使用勾股定理计算圆锥的高。勾股定理表述为：在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

3. 将已知量代入勾股定理公式：母线的平方=半径的平方+高的平方，即 4^2 = 3^2 + h^2

4. 计算：16 = 9 + h^2，因此 h^2 = 16 - 9 = 7

5. 求高的平方根：h = sqrt(7)

6. 圆锥体积公式为 V = (1/3) * π * r^2 * h，其中 r 是半径，h 是高。

7. 将确定的量代入体积公式：V = (1/3) * 3.14 * (3)^2 * sqrt(7)

8. 计算 V = (1/3) * 3.14 * 9 * sqrt(7) ≈ 37.68 立方英寸。

9. 经过上述推理，最终得出答案为 37.68 立方英寸。

Definition of Cone

在本题图中，<note>圆锥的底面直径为6英寸</note>，可以确定<note>半径为3英寸</note>。<note>圆锥的母线长为4英寸</note>。<note>圆锥的高为从顶部垂直到底面的距离</note>，我们需要求出这个<note>高h</note>。

Pythagorean Theorem

In a right-angled triangle, the square of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of the two legs.

<note>圆锥的轴截面形成一个直角三角形</note>，其中<note>斜边为圆锥的母线（4英寸）</note>，<note>一条直角边为半径（3英寸）</note>，另一条直角边为圆锥的高度h。根据勾股定理，<note>4^2 = 3^2 + h^2</note>。

Volume Formula of a Cone

<note>圆锥的半径r为3英寸</note>，母线为4英寸，我们通过勾股定理求得<note>圆锥的高度h = sqrt(7)</note>。将这些值代入圆锥体积公式，得到 V = (1/3) * 3.14 * (3)^2 * sqrt(7) ≈ 37.68立方英寸。


Question: 这个圆锥的体积是多少？使用 𝜋 ≈ 3.14 并将答案四舍五入到小数点后两位。\$ox\$ 立方厘米

Answer: 261.67 cubic centimeters

1. 根据题目提供的锥体图形，我们可以看到这个圆锥的高为10厘米，底面半径为5厘米。

2. 圆锥的体积公式为 𝑉= (1/3)πr²h。这里，𝑟为底面的半径，h为圆锥的高。

3. 将已知的半径𝑟=5厘米和高h=10厘米代入体积公式，得到𝑉= (1/3)π(5)²(10)。

4. 首先计算半径平方部分，5^2 = 25。

5. 将平方结果代入公式，计算：V = (1/3)π(25)(10) = (1/3)π(250)。

6. 因为π ≈ 3.14, 所以 V = (1/3)(3.14)(250) = (1/3)(785)。

7. 计算 (1/3) * 785 ≈ 261.67。

8. 根据计算步骤，圆锥的体积约为 261.67 立方厘米。

9. 经过上述推理，最终得出答案为 261.67 立方厘米。

在本题中，<note>底面圆的半径 r = 5厘米</note>，<note>圆锥的高 h = 10厘米</note>。根据该定义，我们代入这些数值来计算体积：V = (1/3)π(5)²(10)。

Definition of Radius

<note>圆锥底面圆的半径</note>是从<note>圆心到圆周上任意一点的线段</note>的长度，因此<note>圆锥底面圆的半径 r</note> = 5厘米。


Question: 这个球体的体积是多少？使用 𝜋 ≈ 3.14 并将答案四舍五入到小数点后两位。\$ox\$ 立方厘米

Answer: 1,436.03 cubic centimeters

1. 根据题目中给出的条件，球的半径为7厘米。

2. 计算球的体积，我们使用球体积公式：体积 = (4/3) * 𝜋 * r^3，其中r为球的半径。

3. 将已知的半径r = 7厘米代入球体积的公式中，计算得到体积 = (4/3) * 𝜋 * (7)^3。

4. 简化计算：(7)^3 = 343，由此得到体积 = (4/3) * 𝜋 * 343。

5. 根据题目要求，使用𝜋 ≈ 3.14进行计算，得到体积 = (4/3) * 3.14 * 343。

6. 计算：4 * 3.14 * 343 = 4308.08。

7. 计算：(1/3) * 4308.08 = 1436.0266...

8. 根据四舍五入规则，将计算结果四舍五入至最接近的百分位，得到最终答案1436.03立方厘米。

9. 经过上述推理，最终得出答案为1436.03立方厘米。

Definition of Sphere

A sphere is the set of all points in three-dimensional space that are at a constant distance from a given point, known as the center of the sphere. This constant distance is called the radius of the sphere.

Formula for the Volume of a Sphere

<note>球的半径 r 为 7 厘米</note>。根据体积公式，体积 = (4/3) * π * r^3，代入 <note>r = 7 厘米</note>，计算得到体积 = (4/3) * 3.14 * (7)^3 = 1436.03 立方厘米。


Question: 这个圆锥的体积是多少？使用 𝜋 ≈ 3.14 并将答案四舍五入到小数点后两位。\$ox\$ 立方码

Answer: 133.97 cubic yards

1. 已知圆锥的底面是一个圆，其半径是4码，并且圆锥的高也是8码。

2. 根据圆锥体积公式V = (1/3)πr^2h，代入半径r = 4和高h = 8。

3. 计算底面积A = πr^2 = π * (4^2) = 16π。

4. 计算体积V = (1/3)πr^2h = (1/3) * 16π * 8 = (1/3) * 128π。

5. 使用给定的 π ≈ 3.14，因此计算：V ≈ (1/3) * 128* 3.14。

6. 计算得：V ≈ 133.97333333。

7. 将结果四舍五入到小数点后两位，得到 V ≈ 133.97 立方码。

8. 经过上述推理，最终得出答案为约 133.97 立方码。

Definition of Cone

<note>圆锥的底面</note>是一个<note>半径为4码的圆</note>，<note>圆锥的高是8码</note>。顶点位于<note>底面圆心正上方</note>，并且与<note>底面上的点连成8码的高</note>。

Area Formula of a Circle

在本题图中，圆锥的底面是一个<note>具有半径r为4码的圆</note>。因此底面积A可以计算为<note>A = π * (4^2) = 16π</note>。

Volume Formula of a Cone

在本题图中，<note>圆锥的半径r是4码</note>，<note>高h也是8码</note>。代入公式：<note>V = (1/3)πr^2h = (1/3) * π * (4^2) * 8 = (1/3) * 128π</note>。


Question: 这个球体的体积是多少？使用𝜋 ≈ 3.14并将答案四舍五入到小数点后两位。\$ox\$ 立方英寸

Answer: 4.19 cubic inches

1. 首先，已知球的半径为 1 英寸。

2. 球体积公式为 V = (4/3)πr³，其中 V 是体积，r 是半径。

3. 将已知的半径 r = 1 英寸代入体积公式：V = (4/3)π(1)³。

4. 计算 (1)³，得 1。

5. 然后计算 (4/3)π × 1 = (4/3)π。

6. 使用 π ≈ 3.14 进行进一步计算。

7. 计算 (4/3) × 3.14 ≈ 4.1866667。

8. 将结果四舍五入到小数点后两位，得 4.19。

9. 经上述推理，最终得出球的体积约为 4.19 立方英寸。

Definition of Sphere

<note>球体定义中的球心为图中的点</note>，球体的半径为<note>1英寸</note>，球体表面上的点距离球心不大于1英寸。

Definition of Radius

<note>球的半径为1英寸</note>，显示为<note>从球心到球表面某点的线段</note>。

Formula for the Volume of a Sphere

在本题图中，<note>球体积公式</note>应用到图中的<note>球体</note>，已知<note>半径 r = 1 英寸</note>。因此，<note>体积 V = (4/3)π(1)³</note>。


Question: 这个圆锥的体积是多少？使用𝜋 ≈ 3.14并将答案四舍五入到小数点后两位。\$ox\$ 立方米

Answer: 235.50 cubic meters

1. 首先，根据题目中的描述和示意图，锥体的底面是一个圆，圆的直径为10米。已知圆的直径d = 10米，因此可以计算出圆的半径。根据半径的定义，半径r是直径的一半，所以r = d/2 = 10/2 = 5米。

2. 从题目中还可知，圆锥的高h为9米。此时，我们知道圆锥的半径r = 5米和高h = 9米。

3. 圆锥的体积公式：V = (1/3)πr²h，其中V是体积，r是半径，h是高，π是圆周率。题目中要求使用π ≈ 3.14进行计算。

4. 代入已知数据进入体积公式，得到V = (1/3) * 3.14 * (5)² * 9。

5. 将公式中数值计算，首先计算半径的平方：(5)² = 25。

6. 继续计算：3.14 * 25 * 9 = 706.5。

7. 最后，将结果乘以1/3求得体积：V = (1/3) * 706.5 = 235.5立方米。

8. 经过上述推理，最终得出答案为235.50立方米。

Definition of Radius

在本题图中，圆锥底面是一个圆，<note>圆的直径d为10米</note>，<note>圆的半径r是直径的一半，即r = d/2 = 5米</note>。根据<note>圆的半径定义</note>，<note>圆的半径是指从圆心到圆周上任意一点的线段的长度</note>。

Definition of Cone

<note>圆锥</note>在本题图中，给出的形状是一个圆锥，<note>底面是一个圆</note>，<note>圆的直径d为10米</note>，<note>圆锥的高h为9米</note>。

Volume Formula of a Cone

<note>在本题图中，底面的圆的半径r = 5米，高h = 9米</note>。将这些值代入体积公式V = (1/3)πr²h，得到<note>V = (1/3) * 3.14 * (5)² * 9 = 235.50立方米</note>。

Area Formula of a Circle

<note>圆锥的底面是一个圆</note>，圆的<note>半径是5米</note>，根据<note>圆的面积公式</note>，<note>圆的面积A等于圆周率π乘以半径5的平方</note>，即A = π * 5²=78.5平方米。


Question: 这个圆锥的体积是多少？使用𝜋 ≈ 3.14并将答案四舍五入到小数点后两位。\$ox\$ 立方厘米

Answer: 339.12 cubic centimeters

1. 已知图中圆锥的母线长为9厘米，底面圆的半径为6厘米。根据圆锥的几何性质，圆锥的高、半径、母线成一直角三角形关系，满足勾股定理。

2. 根据勾股定理，设圆锥的高为h，满足关系 h^2 + 6^2 = 9^2。

3. 计算h的值：h^2 + 36 = 81，所以h^2 = 45，因此h = √45 = 3√5。

4. 已知圆锥的高为3√5厘米，底面圆的半径为6厘米。

5. 圆锥体积的公式为 V = (1/3)πr^2h，其中r为底面圆的半径，h为高。

6. 将已知的r和h代入公式 V = (1/3)π(6^2)(3√5)。

7. 计算得 V = (1/3)π(36)(3√5) = (1/3)π108√5。

8. 近似计算π ≈ 3.14，得 V ≈ (108√5)/3 * 3.14。

9. 进一步计算出近似值为 V ≈ 339.115。

10. 四舍五入至最近的百分位，得到圆锥的体积约为339.12立方厘米。

11. 经过上述推理，最终得出答案为：圆锥的体积约为339.12立方厘米。

Definition of Cone

<note>圆锥的母线长为9厘米</note>，<note>底面圆的半径为6厘米</note>。<note>圆锥的顶点、圆锥的高、底面圆的半径和母线的具体关系符合圆锥的定义</note>。<note>圆锥的高和底面圆的半径及母线成几何性质中的直角三角形关系</note>。

Definition of Right Triangle

A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.

<note>底面圆的半径为6厘米</note>，<note>高为h厘米</note>，<note>母线为9厘米</note>，形成一个直角三角形。<note>该直角三角形的直角内的两个邻边分别是圆锥的高h和底面圆的半径6厘米</note>，<note>斜边是圆锥的母线9厘米</note>，适用于勾股定理。

Pythagorean Theorem

<note>根据勾股定理，关系式为 h^2 + 6^2 = 9^2</note>，即<note>h^2 + 36 = 81</note>，由此求得<note>圆锥的高 h = √45 = 3√5</note>。通过勾股定理得到了<note>圆锥的高</note>。

Definition of Radius

在本题图中，圆锥底面圆的<note>半径</note>是<note>6厘米</note>。圆锥底面圆的<note>圆心</note>是底面圆的<note>中心点</note>，圆上的任意一点到圆心的距离是<note>6厘米</note>，因此该线段是<note>圆的半径</note>。

Volume Formula of a Cone

在本题图中，<note>圆锥的底面圆半径为6厘米</note>，<note>高为3√5厘米</note>。将此代入圆锥体积公式，<note>V = (1/3)π(6^2)(3√5)</note> = (1/3)π108√5。经过近似计算和四舍五入，最终得到<note>圆锥体积约为339.12立方厘米</note>。


Question: 这个球体的体积是多少？使用𝜋 ≈ 3.14并将答案四舍五入到小数点后两位。\$ox\$ 立方英尺

Answer: 523.33 cubic feet

1. 根据题目提供的几何图形, 可以观察到球的半径已知为\$5\$英尺。

2. 球体体积的数学公式为：\$V = \frac{4}{3} \pi r^3\$，其中 \$V\$ 是球的体积，\$r\$ 是球的半径，\$\pi\$ 是圆周率。

3. 将已知的半径 \$r = 5\$ 英尺和 \$\pi \approx 3.14\$ 代入球体体积公式，计算得：

   \$V = \frac{4}{3} \times 3.14 \times (5)^3\$。

4. 计算 \$5^3\$ 得到 \$125\$；接着计算 \$3.14 \times 125\$，结果为 \$392.5\$。

5. 计算 \$\frac{4}{3}\$，得到约 \$1.3333\$。

6. 使用\$\frac{4}{3}\$ 去乘以 \$392.5\$，结果为 \$523.3333\$。

7. 按照题目要求，将得到的体积 \$523.3333\$ 立方英尺保留到小数点后两位，得到：\$523.33\$ 立方英尺。

n. 经过上述推理，最终得出答案为 \$523.33\$ 立方英尺。

Definition of Sphere

<note>球的半径为\$5\$英尺</note>。<note>球心在图中标记为一个中心点</note>，<note>球的表面与中心点距离为半径</note>。

Definition of Radius

<note>球体的中心点是球心</note>，球体表面上的<note>任意一点到球心的线段长度为球的半径</note>。在图中，球的半径为<note>\$5\$英尺</note>。

Formula for the Volume of a Sphere

<note>球的半径\( r = 5 \)英尺</note>。将半径代入体积公式得：<note>\( V = \frac{4}{3} π (5)^3 \)</note>。通过计算得<note>\( V = \frac{4}{3} × 3.14 × 125 \)</note>，最后体积为\$523.33\$立方英尺。


Question: 这个球体的体积是多少？使用 𝜋 ≈ 3.14 并将你的答案四舍五入到小数点后两位。\$ox\$ 立方英尺

Answer: 3,052.08 cubic feet

1. 已知球的半径为9英尺。

2. 根据球体积公式，体积V = (4/3)πr³，其中r是球的半径。

3. 将半径r = 9代入公式，得体积V = (4/3)π(9)³。

4. 计算9的立方值：9³ = 729。

5. 代入计算得V = (4/3)π(729)。

6. 计算(4/3)乘以729的结果：(4/3) * 729 = 972。

7. 用π ≈ 3.14代入，计算体积V = 972 * 3.14。

8. 最终计算结果V ≈ 3052.08。

9. 则该球的体积约为3052.08立方英尺。

Radius of a Sphere

The radius R of a sphere is the distance from the center of the sphere to any point on its surface.

<note>球体的半径</note>为9英尺，表示为<note>线段从球体的中心点到表面一点的长度</note>，即<note>r = 9英尺</note>。

Formula for the Volume of a Sphere

<note>球体的半径 \( r = 9 \) 英尺</note>，根据<note>球体体积公式</note>代入，<note>体积 \( V = \left( \frac{4}{3} \pi (9)^3 \right) \)</note>。将所有已知量代入公式并进行计算，最终得出<note>球体的体积为 3052.08 立方英尺</note>。


Question: 这个球的体积是多少？使用 𝜋 ≈ 3.14 并将答案四舍五入到小数点后两位。\$ox\$ 立方英尺

Answer: 113.04 cubic feet

1. 已知球的半径为3英尺。

2. 设球的半径为r，根据球体积公式，球的体积V=\frac{4}{3}\pi r^3。

3. 将r=3英尺代入公式V=\frac{4}{3}\pi r^3。

4. 根据约定\pi≈3.14，计算V=\frac{4}{3}×3.14×3^3。

5. 首先计算3的立方得27。

6. 继续计算\frac{4}{3}×3.14×27。

7. 首先计算4×27得108。

8. 然后计算\frac{108}{3}得36。

9. 接着计算36×3.14得113.04。

10. 因此，经过上述推理，最终得出答案为：113.04立方英尺。

Definition of Sphere

<note>球体由中心点与表面上的所有点构成</note>，其中<note>中心点到表面的距离（半径）是3英尺</note>。

Definition of Radius

<note>球体的半径为3英尺</note>，表示从<note>球体的中心点</note>到<note>表面任意一点的距离</note>。


Question: 这个球体的体积是多少？使用 𝜋 ≈ 3.14 并将答案四舍五入到小数点后两位。\$ox\$ 立方毫米

Answer: 1,436.03 cubic millimeters

1. 在题目中，我们需要计算一个球体的体积，已知其半径为7毫米。

2. 球体的体积可以通过球体积公式V = 4/3 * π * r³ 来计算，其中V为体积，π取值为3.14，r是球的半径。

3. 将已知的半径r=7毫米代入体积公式，V = 4/3 * π * 7³。

4. 计算7³=343。

5. 代入π≈3.14，V = 4/3 * 3.14 * 343。

6. 计算得4/3 * 3.14 * 343≈1436.0266。

7. 按题意，将答案保留到小数点后两位，得到最终体积V≈1436.03立方毫米。

8. 经过上述步骤，最终计算得到答案为1436.03立方毫米。

Definition of Sphere

在本题图中，<note>球体的球心是图中中心的黑点</note>，<note>球的半径为球心到球面的一段线段</note>，长度为7毫米。

Formula for the Volume of a Sphere

<note>球的半径 \( r = 7 \) 毫米</note>，应用<note>球体积公式</note>计算体积。将<note>\( r = 7 \) 毫米</note>代入公式 \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 \)，计算球的体积。\( \pi \) 取值为 3.14，通过公式计算得到<note>体积 \( V \approx 1436.03 \) 立方毫米</note>。


Question: 这个球体的体积是多少？使用 𝜋 ≈ 3.14 并将答案四舍五入到小数点后两位。\$ox\$ 立方码

Answer: 2,143.57 cubic yards

1. 设球心为O，题目给出的已知条件之一为球的半径为8码。根据球体积公式，该公式为：体积 = \( \frac{4}{3} \pi r^3 \)，其中 \( r \) 表示半径。

2. 将已知的半径8码代入球体体积公式中：体积 = \( \frac{4}{3} \pi (8)^3 \)。

3. 计算半径的立方，\( 8^3 = 512 \)。

4. 将立方结果代入体积公式，得到体积 = \( \frac{4}{3} \pi 512 \)。

5. 继续代入π的近似值为3.14，体积 = \( \frac{4}{3} \times 3.14 \times 512 \)。

6. 首先计算\( 3.14 \times 512 \)，得到结果1,607.68。

7. 然后计算\( \frac{4}{3} \times 1,607.68 \)，即用1,607.68乘4然后除以3，得到结果2,143.5733...

8. 将计算结果反映为最接近的小数点后两位数，体积大约是2,143.57立方码。

9. 经过上述推理，最终得出答案为2,143.57立方码。

Definition of Sphere

<note>球体的半径为\(r = 8\)码</note>，<note>球体的中心为点 O</note>，表面所有点到<note>中心 O 的距离均为 8 码</note>。

Definition of Radius

<note>球体的半径为8码</note>。球体的半径是指从<note>球心到球面上任意一点的线段</note>的长度，用数学符号表示为<note>\(r = 8\)码</note>。

Formula for the Volume of a Sphere

在本题解答中，首先我们有<note>球的半径 \( r = 8 \) 码</note>，然后利用<note>球体体积公式 \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 \)</note>，并代入<note>\(r = 8\)</note>和<note>\(\pi \approx 3.14\)</note>。具体计算步骤如下：\( V = \frac{4}{3} \pi (8)^3 = \frac{4}{3} \pi 512 \)，进一步代入<note>\(\pi = 3.14\)</note>，得 \( V = \frac{4}{3} \times 3.14 \times 512 \)。


Question: 这个球体的体积是多少？使用𝜋 ≈ 3.14并将答案四舍五入到小数点后两位。\$ox\$ 立方米

Answer: 33.49 cubic meters

1. 已知一个球体的半径为2米。根据球体积公式V=4/3*π*r³，r为半径，求得球体的体积。

2. 将已知的半径r=2代入体积公式，得V=4/3*π*(2)³。

3. 首先计算(2)³，得到8。

4. 将结果8代入，计算V=4/3*π*8。

5. 进一步简化为V=(32/3)*π。

6. 使用π≈3.14进行计算，V≈(32/3)*3.14。

7. 计算(32 * 3.14)/3，分步计算为：32 * 3.14=100.48，然后除以3，得到V≈33.4933。

8. 将结果四舍五入到最接近的百分位，得到约33.49。

9. 经过上述推理，最终得出答案为33.49立方米。

Definition of Sphere

<note>球体</note>具有半径2米。<note>球体的中心</note>与<note>表面任意一点</note>之间的距离均为2米。

Definition of Radius

<note>球体的半径为2米</note>，即从<note>球体的中心点</note>到<note>表面任意一点</note>的距离均为2米。图中标注了<note>球体的半径长度为2米</note>。

Formula for the Volume of a Sphere

<note>在本题图中，已知球体的半径 \( r = 2 \) 米</note>。我们使用球体体积公式 \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 \) 计算体积。<note>代入 \( r = 2 \) 米</note>，计算得 \( V = \frac{4}{3} \pi (2)^3 \)。随后将 \( \pi \approx 3.14 \) 代入进行进一步计算。


Question: 这个球体的体积是多少？使用 𝜋 ≈ 3.14 并将答案四舍五入到小数点后两位。\$ox\$ 立方厘米

Answer: 523.33 cubic centimeters

1. 题目给出的条件是球的半径为5厘米。

2. 球的体积公式为V = (4/3)πr³，其中r代表球的半径。

3. 将已知的半径r = 5厘米代入球体积公式，得到V = (4/3)π(5)³。

4. 计算5³，即5 × 5 × 5 = 125。

5. 进一步求得V = (4/3)π × 125。

6. 根据题目的要求，用𝜋 ≈ 3.14进行计算。

7. 温度，计算出V = (4/3) × 3.14 × 125。

8. 计算中，先计算4 × 3.14 × 125 = 1570。

9. 然后计算1570 ÷ 3 ≈ 523.3333。

10. 按照题目要求，将523.3333舍入到最接近的百位，即523.33。

11. 经过上述推理，最终得出答案为523.33立方厘米。

Definition of Radius

<note>球体的半径为5厘米</note>。球体的半径是指<note>从球心到球面上任意一点的线段的长度</note>。

Formula for the Volume of a Sphere

在本题中，我们使用此公式来求解球的体积。<note>给出的半径 \( r = 5 \) 厘米</note>，因此，<note>球的体积 \( V = \frac{4}{3} \pi (5)^3 \)</note>。