Question: 如图,PA、PB是⊙O的切线,切点为A、B,若∠OAB=30°,则∠P的度数为()

Answer: 60°

1. 已知∠OAB=30°，##因为OA与OB都是圆O的半径，也就是OA=OB，所以三角形OAB是一个等腰三角形。根据等腰三角形的性质，可知∠OAB=∠OBA=30°，根据三角形内角和定理，可得∠AOB=180°-2×30°=120°。####

2. 又因为PA和PB是圆⊙O的切线，根据##圆的切线性质##，得∠OAP=∠OBP=90°。####

3. 在四边形OAPB中，内角和为360°，由此可以得到∠P = 360° - ∠OAP - ∠OBP - ∠AOB = 360° - 90° - 90° - 120° = 60°。

切线; 等腰三角形; 圆

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

在本题图中，三角形OAB中，<note>角OAB、角OBA和角AOB是三角形OAB的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角OAB + 角ABO + 角AOB = 180°</note>。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

<note>等腰三角形OAB中，边OA和边OB相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，<note>相等的两边所对的角相等，即角OAB = 角OBA</note>。

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形

四边形的内角和定理

在任意四边形中，四个内角的和为360°。

<note>四边形OABP</note>，<note>角AOB、角OAP、角OBP和角P是四边形的四个内角</note>，根据<note>四边形的内角和定理</note>，这四个内角的和为<note>360°</note>，即<note>角AOB + 角OAP + 角OBP + 角P = 360°</note>。


Question: 如图,PA,PB是⊙O是切线,A,B为切点,AC是O的直径,若∠BAC=25°,则∠P为()

Answer: 50°

1. 已知PA, PB为⊙O的切线，且A, B为切点，根据切线的性质可得，∠OAP和∠OBP为90°。

2. 由于OA和OB是圆的半径，因此OA=OB##，所以三角形OAB是一个等腰三角形##。

3. ##根据等腰三角形的性质可得：∠OAB=∠OBA##。

4. 根据已知条件∠BAC=25°，可得∠BAO=##∠OBA=25°##。

5. ##在三角形OAB中，根据三角形的内角和是180°可得##：∠AOB=180° - 2×∠BAC = 180° - 2×25° = 130°。

6. 由上面推理得到：##∠OAP## = ∠OBP = 90°，并且∠AOB=130°。

7. 因为四边形AOBP内角和为360°，所以得：∠P = 360° - ∠OAP - ∠OBP - ∠AOB = 360° - 90° - 90° - 130° = 50°。

8. 经过上述推理，最终得出答案为50°。

圆; 圆周角; 切线; 等腰三角形; 垂线

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

<note>圆O</note>中，<note>点O是圆心</note>，<note>点A和点B是圆上的任意一点</note>，<note>线段OA和线段OB是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段OA和线段OB是圆的半径</note>。

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

<note>AC是圆O的直径</note>，<note>AC通过圆心O并且连接了圆周上的A、C两点</note>，长度为2倍的半径，即<note>AC = 2 * OA</note>。

圆的切线定义

圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。

在本题图中，<note>圆O</note>与<note>直线PA和PB</note>有且只有<note>一个公共点A和B</note>，这个公共点叫做切点。因此，<note>直线PA和PB是圆O的切线</note>。

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

<note>在本题图中，圆O中，点A和点B是直线PA和PB与圆的切点</note>，<note>线段OA和OB是圆的半径</note>。根据圆的切线性质，<note>切线PA和PB与经过切点A和B的半径OA和OB垂直</note>，即<note>∠OAP=90°和∠OBP=90°</note>。##

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等

<note>在本题图中，等腰三角形OAB中，边OA和边OB相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>角OAB = 角OBA</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°

在本题图中，三角形OAB中，<note>角AOB</note>、<note>角OAB</note>和<note>角OBA</note>是三角形OAB的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>角AOB + 角OAB + 角OBA = 180°</note>。

四边形的内角和定理

在任意四边形中，四个内角的和为360°。

<note>四边形OAPB中</note>，<note>角AOB</note>、<note>角P</note>、<note>角OAP</note>和<note>角OBP</note>是四边形的四个内角，根据四边形的内角和定理，这四个内角的和为360°，即<note>角AOB + 角P + 角OAP + 角OBP = 360°</note>。##


Question: 如图所示,AB是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,线段PO交⊙O于点C,连结BC,若∠P=36°,则∠B等于()

Answer: 27°

1. 已知PA切⊙O于点A，根据##圆的切线性质##得出∠OAP=90°。

2. 由∠P=36°以及步骤1中的结论∠OAP=90°，##在三角形AOP中，## 依据三角形的内角和定理，得到∠AOP=##180°-∠OAP-∠P=180°-90°- 36° = 54°##。

####

##3. 在圆O中，根据圆周角定理可得，劣弧AC所对圆周角∠ABC是其所对圆心角∠AOC的一半，也就是∠AOC= 2∠ABC。##

##4##. 根据##步骤3##中的结论和步骤2中的计算##∠AOC=##∠AOP=54°，我们可以##得出∠ABC=1/2 ∠AOC##。

##5##. 将角度计算结果代入公式中，便可得知∠B = ##54°/2## = 27°。

##6##. 经过上述推理，最终得出答案为27°。

圆; 切线; 圆周角; 直角三角形

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

<note>AB是⊙O的直径</note>，连接了<note>圆心O和圆周上的A、B两点</note>，长度为<note>2倍的半径，即AB = 2 * OA</note>。

弦的定义

弦是连接圆上任意两点的线段。

圆的切线定义

圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

<note>在本题图中，圆O中，点A是直线PA与圆的切点</note>，线段OA是圆的半径。根据圆的切线性质，<note>切线PA与经过切点A的半径OA垂直</note>，即<note>∠OAP=90°</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形OPA中</note>，<note>角∠OAP、角∠OPA和角∠AOP是三角形OPA的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>∠OAP + ∠OPA + ∠AOP = 180°</note>。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角

<note>圆O中，点A和点C是圆上的两点，圆心是点O</note>。<note>连线OA和OC组成的角∠AOC称为圆心角</note>。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角

<note>在本题图中，圆O中，角ABC的顶点(点B)在圆周上</note>，<note>角ABC的两边分别与圆O相交于点A和点C</note>。因此，<note>角ABC是一个圆周角</note>。##


Question: 如图,AB是⊙O的直径,CD切于点D,AB的延长线交CD于点C,若∠ACD=40°,则∠A=()

Answer: 25°

1. 如图，连接 OD。

2. 已知 ##OD## 是⊙O的##半径##，CD 切于点D，因此根据##圆的切线性质##，得到 ∠CDO=90°。

3. 已知∠ACD=40°，所以根据##三角形内角和定理##，可得##∠BOD=##∠COD=##180°-##90°-∠ACD=50°。

4. ##因为点A在圆周上，根据圆周角的定义##，所以∠A 是圆周角，对应的圆心角是##∠BOD##。

5. 圆周角是所对应圆心角的一半，因此根据圆周角定理，∠A=##1/2∠BOD##=25°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为25°。

圆; 圆周角; 切线; 直角三角形; 邻补角

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段。

<note>点O是圆心</note>，<note>点D是圆上的任意一点</note>，<note>线段OD是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段OD是圆的半径</note>。

圆的切线定义

圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。

<note>圆⊙O与直线CD有且只有一个公共点D</note>，这个公共点叫做<note>切点</note>。因此，<note>直线CD是圆⊙O的切线</note>。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

<note>在本题图中，圆O中，点D是直线CD与圆的切点</note>，线段OD是圆的半径。根据圆的切线性质，<note>切线CD与经过切点D的半径OD垂直</note>，即<note>∠CDO=90°</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形ODC中</note>，<note>角ODC</note>、<note>角OCD</note>和<note>角COD</note>是三角形ODC的三个内角，根据<note>三角形内角和定理</note>，<note>角ODC + 角OCD + 角COD = 180°</note>。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。


Question: 如图,PA、PB、CD是⊙O的切线,A、B、E是切点,CD分别交线段PA、PB于C、D两点,若∠APB=40°,则∠COD的度数为()

Answer: 70°

1. 由题意得，##在圆O上和圆O外##，分别取点A、C、E、D、B，如图所示。

2. ##连接OA、OB和OE，##根据切线的性质得：OA垂直于PA，OB垂直于PB，OE垂直于CD。

3. 由于PA和PB是切线，A和B是切点，##根据切线长定理，##所以有：DB=DE 且 AC=CE。

4. 因##点O是圆心##，且##过点O##在切点处的半径相等：####AO=OE=OB，

5. 由上述已知条件，以及在##图##中三角形的全等性，得出：△AOC全等于△EOC（##依据全等三角形判定定理(SSS)##）

6. 在相同的基础条件下，△EOD全等于△BOD（##依据全等三角形判定定理(SSS)##）

7. 因此得出：∠AOC=∠EOC 且 ∠EOD=∠BOD，##因为∠AOB=∠AOE+∠BOE=2∠EOC+2∠EOD，而∠COD=∠EOC+∠EOD，##进一步可以推导出∠COD就是∠AOB的一半。

8. 由题给已知条件∠APB=40°，而##在四边形PAOB中，根据四边形的内角和定理得##∠AOB = 360° - ∠OAP - ∠OBP -∠APB = 360° - 90° -90° -40° = 140°##。

9. 由此可得出：由于∠COD=0.5*∠AOB，因此∠COD = 0.5 * 140° = 70°。

10. 经过上述推理，最终得出答案为70°。

圆; 切线; 圆心角; 等腰三角形; 对顶角

圆的切线定义

圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。

全等三角形的定义

两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等

<note>三角形AOC和三角形EOC是全等三角形</note>，<note>三角形AOC的对应边和对应角与三角形EOC相等</note>，即： <note>边AO = 边EO</note>, 边CO = 边CO, 边AC = 边EC,同时，对应的角也相等： <note>角OAC = 角OEC</note>, <note>角AOC= 角EOC</note>, 角ACO = 角ECO。<note>三角形EOD和三角形BOD是全等三角形</note>，<note>三角形EOD的对应边和对应角与三角形BOD相等</note>，即： <note>边EO = 边BO</note>, 边DO = 边DO, 边DE = 边DB,同时，对应的角也相等： <note>角OED = 角OBD</note>, <note>角EOD= 角BOD</note>, 角EDO = 角BDO。

全等三角形判定定理(SSS)

两个三角形的三组对应边分别相等，则两个三角形全等。

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

<note>在本题图中，圆O中，点A是直线PA与圆的切点，线段OA是圆的半径</note>。根据圆的切线性质，<note>切线PA与经过切点A的半径OA垂直，即∠OAP=90度</note>。类似地，<note>点B是直线PB与圆的切点，线段OB是圆的半径</note>，<note>切线PB与经过切点B的半径OB垂直，即∠OBP=90度</note>。<note>点E是直线CD与圆的切点，线段OE是圆的半径</note>，<note>切线CD与经过切点E的半径OE垂直，即∠OEC=90度</note>。##

切线长定理

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

四边形的内角和定理

在任意四边形中，四个内角的和为360°

在本题图中，四边形PAOB中，<note>角AOB</note>、<note>角OAP</note>、<note>角OBP</note>和<note>角APB</note>是四边形的四个内角，根据<note>四边形的内角和定理</note>，这四个内角的和为<note>360°</note>，即<note>角AOB + 角OAP + 角OBP + 角APB = 360°</note>。##


Question: 如图,AP、BP分别切⊙O于点A、B,∠P=60°,点C在优弧AB上,则∠C度数为()

Answer: 60°

1. 已知AP、BP分别切⊙O于点A、B，根据##圆的切线性质##，得出∠OAP=90°，∠OBP=90°。

2. 根据四边形APBO的内角和定理（四边形内角和等于360°），得出∠AOB=360°-∠P-∠OAP-∠OBP。

3. 代入已知条件∠P=60°、∠OAP=90°、∠OBP=90°，计算得出∠AOB=120°。

4. 根据圆周角定理（圆周角等于圆心角的一半），得出∠ACB=0.5 * ∠AOB。

5. 代入数值∠AOB=120°，计算得出∠ACB=60°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为60°。

圆; 切线; 圆周角; 等腰三角形; 弧

圆的切线定义

圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。

四边形的内角和定理

在任意四边形中，四个内角的和为360°。

在本题图中，<note>四边形APBO</note>中，<note>∠P、∠OAP、∠OBP和∠AOB</note>是四边形的四个内角，根据四边形的内角和定理，这四个内角的和为360°，即<note>∠P + ∠OAP + ∠OBP + ∠AOB = 360°</note>。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

<note>圆O中，点A是是直线AP与圆的切点</note>，<note>线段OA是圆的半径</note>。根据圆的切线性质，<note>切线AP与经过切点A的半径OA垂直</note>，即<note>∠OAP=90度</note>。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。


Question: 如图,一块四边形绿化园地,四角都做有半径为2的圆形喷水池,则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为()

Answer: 4π

1. 已知每个喷水池为圆形，且半径r = 2。根据圆的面积公式，单个圆的面积为π·r^2=4π。

2. 在四边形的四个角上均做有圆形喷水池，且每个圆的##阴影部分都是一个圆心角等于四边形内角的扇形，根据四边形的内角和定理，这四个扇形的圆心角之和=360°##。

3.##根据扇形的面积公式，合并同类项，得阴影部分的面积=1个圆的面积。##

4. 根据步骤1，单个圆的面积为####4π。

5. 综合上述推理，这四个圆形喷水池占去的绿化园地的总面积为4π。

圆的面积公式

圆的面积公式为A = πr^2，其中A表示面积，π是圆周率，r是圆的半径。

<note>圆形喷水池的半径是2</note>，根据<note>圆的面积公式</note>，圆的面积A等于<note>圆周率π乘以半径2的平方</note>，即<note>A = π·2^2= 4π</note>。

扇形的面积公式

扇形的面积A可以通过公式A = (θ/360) * π * r?计算，其中θ是圆心角度数，r是半径长度。

在本题图中，阴影<note>扇形A中，圆心角A的度数为θ</note>，<note>半径的长度为r</note>。根据<note>扇形的面积公式，扇形的面积A可以通过公式A = (θ/360) * π * r?计算</note>，其中<note>角A是圆心角度数，r是半径，长度为2</note>。所以<note>扇形A的面积A = (角A/360) * π * 2?</note>，同理可以得到阴影扇形<note>B，C，D的面积</note>，合并同类项后得到，<note>四个扇形的面积和={(角A+角B+角C+角D）/360}* π * 2?</note> = (360/360）* π * 2?= π * 2?=4π。

四边形的内角和定理

在任意四边形中，四个内角的和为360°。

<note>在本题图中，设四边形的四个顶点分别为A，B，C，D</note>，在<note>四边形ABCD</note>中，<note>角A，角B，角C，角D</note>是四边形的四个内角，根据四边形的内角和定理，这四个内角的和为360°，即<note>角A + 角B + 角C + 角D = 360°</note>。##


Question: 如图,P是⊙O的直径AB延长线上一点,PC切⊙O于C,∠P=50°,∠A为()

Answer: 20°

1. 连接##OC##，我们知道CP是圆O的切线，因此根据圆的切线性质得OC垂直CP##，∠OCP=90°##。

2. 在直角三角形OPC中，##根据三角形内角和定理，##已知∠P=50°，##∠OCP=90°，##所以可以得到∠POC=40°。

3. 由于OA=OC，所以在△AOC中，OA=OC是边相等的等腰三角形。

4. 因此可以得出∠OAC=∠OCA。

5. 由于∠POC是△AOC的外角，根据三角形外角定理，外角等于不相邻的两个内角的和，则∠POC=2∠OCA。

6. 结合∠POC=40°，可以求得∠OCA=20°，所以∠A=20°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为20°。

圆; 切线; 圆周角; 对顶角; 线段

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

在本题图中，<note>AB是⊙O的直径</note>，连接了<note>圆心O</note>和<note>圆周上的A、B两点</note>，长度为2倍的半径，即<note>AB = 2 * OA</note>。

圆的切线定义

圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。

在本题图中，<note>圆O与直线PC有且只有一个公共点C</note>，<note>这个公共点叫做切点</note>。因此，<note>直线PC是圆O的切线</note>。

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

三角形的外角定理

三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。

在本题图中，三角形AOC中，<note>角POC是三角形的一个外角</note>，<note>角OAC和角OCA是与外角POC不相邻的两个内角</note>，根据三角形的外角定理，<note>外角POC等于不相邻的两个内角OAC和OCA之和</note>，即<note>角POC = 角OAC + 角OCA</note>。

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形OPC中，角OPC、角OCP和角COP是三角形OPC的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角OPC + 角OCP + 角COP = 180°</note>。####

多边形的外角定义

多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。


Question: 如图,PA、PB分别切⊙O于A、B两点,点C在优弧?{ACB}上,∠P=80°,则∠C的度数为()

Answer: 50°

1. 已知PA是圆的切线，根据切线垂直于经过切点的半径，得到∠OAP=90°。

2. 同理，由PB是圆的切线，根据切线垂直于经过切点的半径，得到∠OBP=90°。

3. 根据四边形内角和定理，四边形的内角和为360°，因此∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠P。

4. 代入已知条件∠P=80°，得到∠AOB=360°-90°-90°-80°=100°。

5. 根据圆周角定理，在同一圆中，同弧所对的圆心角的度数是圆周角度数的两倍，因此∠ACB=∠AOB/2。

6. 代入已知条件∠AOB=100°，得到∠ACB=100°/2=50°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为∠C=50°。

圆周角; 圆内接四边形; 切线; 圆

圆的切线定义

圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。

在本题图中，<note>圆O与直线PA有且只有一个公共点A</note>，这个公共点叫做切点。因此，<note>直线PA是圆O的切线</note>。同理，<note>圆O与直线PB有且只有一个公共点B</note>，这个公共点叫做切点。因此，<note>直线PB是圆O的切线</note>。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

<note>圆O中，角ACB的顶点C在圆周上</note>，角ACB的两边分别与<note>圆O相交于点A和点B</note>。因此，<note>角ACB是一个圆周角</note>。

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

四边形的内角和定理

在任意四边形中，四个内角的和为360°。

在本题图中，<note>四边形OAPB</note>中，<note>角OAP</note>、<note>角OBP</note>、<note>角P</note>和<note>角AOB</note>是四边形的四个内角，根据<note>四边形的内角和定理</note>，这四个内角的和为360°，即<note>∠OAP + ∠OBP + ∠P + ∠AOB = 360°</note>。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

<note>弧ACB</note>所对的<note>圆心角是∠AOB</note>，且∠AOB对应的度数是<note>100°</note>。根据圆周角定理，<note>∠ACB</note>等于它所对的<note>弧ACB</note>所对应的<note>圆心角∠AOB的一半</note>，即<note>∠ACB = 1/2 ∠AOB = 50°</note>。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。


Question: 如图,AB是⊙O的直径,点C在AB的延长线上,CD与⊙O相切,切点为D,如果∠A=35°,那么∠C=()

Answer: 20°

1. 已知AB是⊙O的直径，##连接OD和BD。##

2. 因为点C在AB的延长线上，且CD与⊙O相切，在D点切线CD与⊙O相切，因此根据切线的性质，切点D处的切线与半径OD垂直，因此∠ODC=90°。

3. ##根据圆周角定理∠COD##=2∠A=2×35°=70°。

4. 在####三角形ODC中，已知∠ODC=90°，##∠COD=70°##，因此可以通过三角形的内角和定理得出##∠C##=180°-∠ODC-##∠COD##=180°-90°-70°=20°。

5. 经过上述推理，最终得出∠C=20°。

圆; 切线; 圆周角; 邻补角; 对顶角

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

<note>AB是⊙O的直径</note>，连接了<note>圆心O和圆周上的A、B两点</note>，长度为<note>2倍的半径</note>，即<note>AB = 2 * OA</note>。

圆的切线定义

圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

在本题图中，三角形ODC中，角ODC、<note>角OCD</note>和角COD是三角形ODC的三个内角，根据三角形内角和定理，角ODC + <note>角OCD</note> + 角COD = 180°。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

<note>在本题图中，圆O中，点D是直线CD与圆的切点</note>，<note>线段OD是圆的半径</note>。根据圆的切线性质，<note>切线CD与经过切点D的半径OD垂直</note>，即<note>∠ODC=90度</note>。##


Question: 如图,△ABC中,AB=AC,∠BA0=45°,△ABC内接于⊙O,D为⊙O上一点,过点D作⊙O的切线交BC的延长线于E,若DE⊥BC,AD=2√{2},则DE的长为()

Answer: √{2}

1. 已知AB=AC，∠BAO=45°。由于AB=AC，可以得出AH=CH，并且AH过圆心O。

2. 过点D作⊙O的切线交BC的延长线于点E，已知DE垂直于BC。

3. 连接OC, OD，由DE是⊙O的切线，可知OD垂直于DE。

4. 考虑由OD和DE的垂直关系，同时考虑DE垂直于BC，因此四边形ODEH是矩形，其中∠OHE=∠E=∠EDO=90°。

5. 由于四边形ODEH是矩形，所以∠AOD=90°。

6. 已知AD=2√2，因此根据矩形的对角线性质，OA=OD=2。

7. 已知∠BAC=45°，由于AB=AC，故△ABC是等腰三角形，∠COH=45°。

8. 由于O是圆O的圆心，因此OC=半径OA=2。

9. 由OC=2和∠COH=45°，可以计算OH=CH=√2。

10. 由于DE=OH，因此DE=√2。

等腰三角形; 圆; 切线; 垂线; 圆周角

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

圆的切线定义

圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。

<note>圆O与直线DE有且只有一个公共点D</note>，这个公共点叫做<note>切点</note>。因此，<note>直线DE是圆O的切线</note>。

矩形的定义

矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。

在本题图中，四边形ODEH是一个矩形，<note>其内角∠OHE, ∠EDO, ∠ODE, ∠HOE都是直角（90度）</note>，且<note>边OH与边DE平行且等长</note>，<note>边OD与边HE平行且等长</note>。

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

<note>圆O中，点D是直线DE与圆的切点</note>，<note>线段OD是圆的半径</note>。根据圆的切线性质，<note>切线DE与经过切点D的半径OD垂直</note>，即<note>∠ODE=90度</note>。

矩形的对角线性质

在矩形中，对角线相等且互相平分。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

<note>等腰三角形ABC中，边AB和边AC相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>角ABC = 角ACB</note>。

直角三角形的斜边中线定理

在直角三角形中，从直角顶点划向斜边中点的线段等于这条斜边的一半。

<note>直角三角形AOC中，角∠AOC是直角（90度）</note>，边AO和OC是直角边，边AC是斜边。<note>点O是斜边AC的中点</note>，从直角顶点A划向斜边中点O的<note>线段AO等于斜边AC的一半</note>，即<note>AO = 1/2 * AC</note>。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>直角三角形OHC中</note>，<note>角∠OHC是直角（90度）</note>，<note>边OH和CH是直角边</note>，<note>边OC是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>OC² = OH² + CH²</note>。

三角形全等的条件SSS（边边边）

当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形全等。


Question: 如图,BC与⊙O相切于点C,BO的延长线交⊙O于点A,连结AC,若∠ACB=120°,则∠A的度数等于()

Answer: 30°

####

##1##. 连接OC。

##2##. 由于点A在BO的延长线上，##OA=OC，根据等腰三角形的性质##得∠OAC=∠ACO####。

##3##. 由于BC与⊙O相切于点C，OC是半径，##所以##OC垂直于切线BC，即∠OCB=90°。

##4##. 已知∠ACB=120°，##所以##∠ACO=∠ACB-∠OCB=120°-90°=30°。

##5##. 因为∠OAC=∠ACO，所以∠A=##∠ACO##=30°。

##6##. 经过上述推理，最终得出答案为30°。

圆; 切线; 圆周角; 三角形的外角; 同旁内角

圆的切线定义

圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

<note>在本题图中，圆O中，点O是圆心，点C是圆上的任意一点</note>，<note>线段OC是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段OC是圆的半径</note>。

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形

在本题图中，<note>三角形OAC中，边OA和边OC相等</note>，因此<note>三角形OAC是一个等腰三角形</note>。##

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。


Question: 如图,在△ABC中,AB=15,AC=12,BC=9,经过点C且与边AB相切的动圆与CB、CA分别相交于点E、F,则线段EF长度的最小值是()

Answer: \frac{36}{5}

1. 已知AB=15，AC=12，BC=9，根据##勾股定理的逆定理##得知△ABC为直角三角形，∠ACB=90°。

2. 通过构造辅助线，作过点C且与边AB相切的圆。

3. 设圆与AB的切点为D，##同时设圆心为O，连结OD，OD为半径##。

4. 根据##圆的切线性质，得出OD垂直AB，∠ODA=90°，连接CO##。

5. 当CD为圆的直径时，EF的长度最小##，所以点C、O、D在同一条直线上，因此∠CDA=90°##。

6. ##根据直角三角形的面积，可得△ABC的面积=1/2*AC*BC=1/2*12*9=54。同时，还有另一种方法可以计算三角形的面积。根据三角形的面积公式，因为CD垂直于AB，所以CD也是△ABC的高，因此△ABC的面积=1/2*AB*CD=1/2*15*CD。因为都是同一个三角形，所以1/2*15*CD=54，最后得出CD=EF=36/5##。

7. 经过上述推理，最终得出答案为##36/5##。

切线; 圆; 线段; 普通三角形; 弦

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>三角形ABC中，角ACB是直角（90度）</note>，因此三角形ABC是一个直角三角形。<note>边AC和边BC是直角边</note>，<note>边AB是斜边</note>。

圆的切线定义

圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。

<note>圆与直线AB有且只有一个公共点D</note>，这个公共点叫做切点。因此，<note>直线AB是圆的切线</note>。######

勾股定理的逆定理

如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。最长边所对的角为直角。

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

在本题图中，圆O中，点D是直线AB与圆的切点，<note>线段OD</note>是圆的半径。根据圆的切线性质，切线AB与经过切点D的<note>半径OD</note>垂直，即<note>∠ODA</note>=90度。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段。

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

直角三角形的面积

直角三角形的面积等于两条直角边乘积的一半，即面积 = 1/2 * 底 * 高。

<note>直角三角形ABC中，角ACB是直角（90度）</note>，<note>边AC和BC是直角边</note>，其中一条直角边作为底，另一条直角边作为高，所以直角三角形的面积等于这两条直角边乘积的一半，即面积 = 1/2 * 边AC * 边BC。

三角形的面积公式

任意三角形的面积等于其底乘以高除以2。

<note>三角形ABC</note>中，<note>边AC是底</note>，<note>线段CD是高</note>。根据三角形的面积公式，三角形ABC的面积等于<note>底边AC</note>乘以<note>高CD</note>再除以2，即面积 = <note>(AC * CD) / 2</note>。


Answer: 2

1. 已知直线 a ∥ b ∥ c，且 AB = 1, BC = 2, EF = 4。

2. 根据平行线分线段成比例定理，有：\( \frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF} \)。

3. 代入已知条件得：\( \frac{1}{2} = \frac{DE}{4} \)。

4. 解此比例方程得 DE = 2。

5. 经过上述推理，最终得出答案为 2。

平行线; 线段; 同位角

平行线分线段成比例定理

如果一条直线与一个三角形的一条边平行，并截它的其他两边或两边的延长线，那么它截得的线段与原三角形相对应的线段成比例。

在本题图中，<note>a ∥ b ∥ c</note>，那么根据平行线分线段成比例定理，有：<note>\( \frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF} \)</note>。


Question: 如图,AB∥CD,AD与BC相交于点O,若AO=2,DO=4,BO=3,则BC的长为()

Answer: 9

1. 已知AB平行CD，根据##平行线的平行公理2##，可以得出##∠OAB = ∠ODC（内错角相等），∠OBA = ∠OCD（内错角相等）##。

2. 在##△OAB##和##△ODC##中，##∠OAB = ∠ODC，∠OBA = ∠OCD，根据相似三角形的判定定理(AA)，所以△OAB和△ODC相似##。

3. 根据##相似三角形的定义##，我们得到：##BO/CO=AO/DO##。

4. 已知AO=2, DO=4, BO=3，依公式：##3/CO=2/4##，可解得：CO=6。

5. 所以BC的长度为：BC=BO+CO=3+6=9。

平行线; 内错角; 线段; 位似

内错角的定义

当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

在本题图中，<note>AB ∥ CD</note> 和 <note>AD 与 BC 相交于点O</note>，根据平行线的性质，可以得到<note>∠OAB = ∠ODC</note>，<note>∠OBA = ∠OCD</note>。具体来说，AB和CD是两条平行线，被第三条直线<note>AD</note><note>和直线DC</note>所截，形成了以下几何关系：<note>内错角：∠OAB和 ∠ODC相等，∠OBA 和 ∠OCD相等</note>。

相似三角形的判定定理(AA)

判定定理1（AA）:在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。

<note>∠OAB 和 ∠ODC是两个相等的角</note>，<note>∠OBA 和 ∠OCD是两个相等的角</note>，从而<note>△AOB 和 △COD 相似</note>。

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>三角形OAB</note>和<note>三角形ODC</note>是相似三角形。根据相似三角形的定义有：<note>∠AOB = ∠COD</note>, <note>∠BAO = ∠CDO</note>, <note>∠ABO = ∠DCO</note>；<note>AO/DO = BO/CO</note>。


Question: 如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点M在BC边上,且满足BM=1,过D作DN⊥AM交AM于点N,则DN的长为()

Answer: \frac{6}{5}√{10}

1. 已知四边形ABCD是矩形，根据矩形的定义，得出∠B=90°，并且AD=BC=4。

2. 直角△AMB中，已知AB=3，BM=1，可以用勾股定理求出AM的长。

3. 计算AM，根据勾股定理，AM=√(AB^2+BM^2)=√(3^2+1^2)=√10。

4. 由矩形定义可知，∠BAD=90°，即∠DAN+∠BAM=90°，又因为在直角△AMB中，∠AMB+∠BAM=90°，所以∠DAN=∠AMB。

5. 根据相似三角形的判定定理(AA)，可以得到△AMB相似于△DAN。

6. 根据相似三角形的定义，DN/AB=AD/AM

7. 代入已知数据，DN/3=4/√10，从而得出DN=6√10/5。

8. 经过上述推理，最终得出答案为6√10/5。

矩形; 垂线; 直角三角形; 线段

矩形的定义

矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>在本题图中，三角形ABM中，角∠ABM是直角（90度）</note>，因此三角形ABM是一个直角三角形。<note>边AB和边BM是直角边</note>，<note>边AM是斜边</note>。同样地，<note>三角形ADN中，角∠AND是直角（90度）</note>，因此三角形ADN是一个直角三角形。<note>边AN和边DN是直角边</note>，<note>边AD是斜边</note>。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

在本题图中，<note>直角三角形ADM</note>中，<note>角∠ABM是直角（90度）</note>，<note>边AB和BM是直角边</note>，<note>边AM是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>AM^2 = AD^2 + DM^2</note>，代入已知数据得<note>AM = √(3^2 + 1^2) = √10</note>。

相似三角形的判定定理(AA)

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

在本题图中，<note>三角形ADN和三角形ABM是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>DN/AB=AD/AM</note>。

直角三角形的锐角互余性质

在直角三角形中，除了直角之外的两个角之和为90°。

<note>直角三角形ABM</note>中，<note>角B是直角（90度）</note>，<note>角BAM和角AMB是直角以外的两个锐角</note>，根据直角三角形的锐角互余性质，<note>角BAM和角AMB的和为90度</note>，即<note>角BAM + 角AMB = 90°</note>。


Question: 如图,在边长为4的正方形ABCD中,先以点A为圆心,AD的长为半径画弧,再以AB边的中点为圆心,AB长的一半为半径画弧,则两弧之间的阴影部分面积是()(结果保留π)．

Answer: 2π

1. 根据题意，以点A为圆心，AD的长为半径，可以画出扇形BAD。

2. ##设AB的中点为O，##以AB边的中点为圆心，AB长的一半为半径，可以画出半圆BA。

3. 根据##扇形的面积公式， (θ/360) * π * R^2，因为ABCD为正方形，显然θ＝90°，S扇形BAD =πR^2/4，由于R＝AD=4，因此S扇形BAD=  4π##。

4. ##根据圆的面积公式，S半圆BA=πr^2/2，由于r＝AB/2=2，因此S半圆BA=  2π。##

5. 阴影部分的面积为扇形BAD的面积减去半圆BA的面积，即S阴影部分 =## S扇形BAD- S半圆BA = 4π - 2π = 2π##。

6. 经过上述推理，最终得出答案为##2π##。

正方形; 圆; 弧; 扇形; 中点

扇形的定义

由一个圆的两条半径与它们所夹的圆弧组成的图形称作扇形。

<note>扇形BAD</note>中，<note>半径AD和半径AB是圆的两条半径</note>，<note>圆弧BD是由这两条半径所夹的圆弧</note>，所以根据扇形的定义，由<note>这两条半径和它们所夹的圆弧BD组成的图形</note>为扇形BAD。

弧的定义

弧是圆上两点之间的一段曲线。

在本题图中，圆上有两点<note>B和D</note>，<note>弧BD</note>是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，<note>弧BD</note>是圆上两点<note>B和D</note>之间的一段曲线。##同理，另一个圆上有两点<note>A和B</note>，<note>弧AB</note>是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，<note>弧AB</note>是圆上两点<note>A和B</note>之间的一段曲线。##

半圆的定义

半圆是由直径和一段圆弧构成的几何图形，即一个圆被直径分割成的两个面积相等的部分。

在本题图中，<note>半圆由直径AB和圆弧BA构成</note>。以<note>AB边的中点为圆心</note>，<note>AB长的一半为半径画弧</note>，这个弧形成的图形即为半圆，其中<note>半径为AB的一半（即2）</note>且<note>圆心为AB的中点</note>。

正方形的定义

正方形是一种平面四边形，其四条边相等且四个内角均为直角（90度）。

扇形的面积公式

<note>在本题图中，扇形BAD中，圆心角BAD的度数为90度</note>，<note>半径AD的长度为4</note>。根据扇形的面积公式，扇形的面积A可以通过公式A = (θ/360) * π * ##r^2##计算，其中θ是圆心角度数，r是半径长度。所以<note>扇形BAD的面积A = (90/360) * π * ##4^2##</note>。##

圆的面积公式

圆的面积公式为A = πr^2，其中A表示面积，π是圆周率，r是圆的半径。

<note>圆O</note>中，<note>圆的半径是AO</note>，根据圆的面积公式，<note>圆的面积A等于圆周率π乘以半径AO的平方</note>，即A = πxAO?。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段。

<note>在本题图中，圆A中，点A是圆心</note>，<note>点D是圆上的任意一点</note>，<note>线段AD是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段AD是圆的半径</note>。同理，<note>圆O中，点O是圆心</note>，<note>点A是圆上的任意一点</note>，<note>线段AO是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段AO是圆的半径</note>。

线段中点

线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。

在本题图中，<note>线段AB的中点为点O</note>。根据线段中点的定义，点O将<note>线段AB平分为两个相等的部分</note>，即<note>线段AO和线段OB的长度相等</note>。即，<note>AO = OB</note>。


Question: 如图,AB是⊙O的切线,B为切点,AO与⊙O交于点C,若∠BAO=40°,则∠OCB的度数为()

Answer: 65°

1. 已知AB是⊙O的切线且B为切点，根据##圆的切线性质##，得出OB垂直于AB，即∠OBA=90°。

2. 由∠BAO=40°，以及∠OBA=90°，根据三角形的内角和定理，得出##∠BOA##=50°。

3. ##根据半径的定义和等腰三角形的定义，可得##OB=OC，都是⊙O的半径，三角形OBC是等腰三角形。

####

##4.## 根据等腰三角形的性质，得出∠OCB=∠OBC，#根据三角形内角和定理，可知#2∠OCB= ##180°-∠BOA##

##5.## 计算得到∠OCB=1/2 ×130°=65°。

##6.## 经过上述推理，最终得出答案为∠OCB=65°。

圆; 切线; 直角三角形; 圆心角; 圆周角

圆的切线定义

圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

<note>点O是圆心</note>，点B和点C是圆上的任意一点，<note>线段OB和线段OC是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段OB和线段OC是圆O的半径</note>。

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

<note>三角形OBC中，边OB和边OC相等</note>，因此三角形OBC是一个等腰三角形。

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

<note>圆O中，点B是直线AB与圆的切点</note>，<note>线段OB是圆的半径</note>。根据圆的切线性质，<note>切线AB与经过切点B的半径OB垂直</note>，即∠OBA=90°。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形OBC</note>中，<note>角OBC、角OCB和角BOC</note>是<note>三角形OBC</note>的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>角OBC + 角OCB + 角BOC</note> = 180°。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

在本题图中，<note>等腰三角形OBC中，边OB和边OC相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，<note>相等的两边所对的角相等</note>，即<note>∠OBC = ∠OCB</note>。


Question: 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于O，若\frac{S_{\triangleADO}}{S_{\triangleDOC}}=\frac{1}{3}，则 \frac{AD}{BC} 的值为（）

Answer: \frac{1}{3}

1. 已知 \frac{S_{\triangle ADO}}{S_{\triangle DOC}} = \frac{1}{3}，根据面积比等于相应高的比（且高从同一个顶点向相应边所作的垂线），得 \frac{OA}{OC} = \frac{1}{3}。

2. 由题意 AD ∥ BC，根据平行线的平行公理2，内错角相等，可知角 ∠ADO = ∠OBC 和 ∠OAD = ∠OCB。

3. 根据相似三角形的判定定理(AA)，△ADO 和 △CBO 各自对应的角相等，得 △ADO ∽ △CBO。

4. 因相似三角形的对应边成比例，即 ∠ADO 和 ∠CBO 对应的边比例关系，故 \frac{AD}{BC} = \frac{OA}{OC} = \frac{1}{3}。

5. 由上述比例关系，最后得出\frac{AD}{BC} =  \frac{1}{3}。

平行线; 普通三角形; 内错角

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>在本题图中，三角形ADO和三角形CBO是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>角ADO = 角CBO</note>, <note>角OAD = 角OCB</note>, <note>角DOA = 角BOC</note>；<note>AO/OC = AD/BC = 1/3</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>AD ∥ BC</note>，被第三条直线<note>AC</note>所截，形成了以下几何关系：内错角：<note>∠DAO = ∠OCB</note>。<note>AD ∥ BC</note>，被第三条直线<note>BD</note>所截，形成了以下几何关系：内错角：<note>∠ADO = ∠OBC</note>。

相似三角形的判定定理(AA)

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。

三角形的面积公式

任意三角形的面积等于其底乘以高除以2。

<note>三角形AOD中，边OA是底</note>，<note>D到AC的距离是高</note>。根据三角形的面积公式，<note>三角形AOD的面积等于底边OA乘以高再除以2</note>，即面积 = (OA * 高) / 2。<note>三角形DOC中，边OC是底</note>，<note>D到AC的距离是高</note>。根据三角形的面积公式，<note>三角形DOC的面积等于底边OC乘以高再除以2</note>，即面积 = (OC * 高) / 2。


Question: 如图,已知点M为平行四边形ABCD边AB的中点,线段CM交BD于点E,S△BEM=2,则图中阴影部分的面积为()

Answer: 8

1. 已知四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质，得出AB=CD且AB∥CD。

2. 根据三角形面积公式，得出面积△DMB等于面积△CBM，即S△DMB = S△CBM。

3. 因为线段CM交BD于点E，且点M为AB的中点，所以可以得出△DEM的面积等于△CEB的面积，即S△DEM = S△CEB。

4. 由已知点M为平行四边形ABCD边AB的中点，得出AM = BM = 1/2 AB = 1/2 CD。

5. 由于AB ∥ CD，且AM = BM，因此##△CDE##与##△MEB##存在相似关系，根据相似三角形的性质，得到CE: EM = CD: BM = 2。

6. 通过比例关系，得出面积△CEB是面积△BEM的两倍，即S△CEB = 2S△BME。

7. 已知S△BME = 2，根据上一步得出S△CEB = 4。

8. 图中阴影部分的面积是两个△CEB的面积，即S阴影 = 4 + 4 = 8。

9. 经过上述推理，最终得出答案为8。

平行四边形; 中点; 线段

平行四边形的定义

平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。

三角形的面积公式

任意三角形的面积等于其底乘以高除以2

<note>在本题图中，三角形DMB中，边DM是底，线段BM是高。</note> 根据三角形的面积公式，三角形DMB的面积等于<note>底边BM乘以点D到AB的距离（也就是三角形DMB的高）乘以1/2</note>。

线段中点

线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。

<note>在本题图中，线段AB的中点为点M</note>。根据线段中点的定义，<note>点M将线段AB平分为两个相等的部分</note>，即线段AM和线段MB的长度相等。即，<note>AM = MB</note>。

平行四边形的性质定理

在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>三角形CDE</note>和<note>三角形MEB</note>是相似三角形。根据相似三角形的定义有：<note>∠CED = ∠MEB, ∠ECD = ∠EMB, ∠CDE = ∠MBE；CE/ME = ED/EB = CD/MB</note>。

面积相等的三角形

共享一个底边并且在同一条平行线之间的两个三角形面积相等。


Question: 如图,D,E为△ABC的边AB,AC上的点,DE∥BC,若AD:DB=1:3,AE=2,则AC的长是()

Answer: 8

1. 已知DE∥BC，根据##平行线分线段成比例定理##，得出\( \frac{AE}{AC} = \frac{AD}{AB} \)。

2. 由已知AD:DB=1:3，可得\( \frac{AD}{AB} = \frac{1}{1+3} = \frac{1}{4} \)。

3. 将\( \frac{AD}{AB} \)的值代入第一步的比例中，得到\( \frac{AE}{AC} = \frac{1}{4} \)。

4. 由已知AE=2，将其代入第三步的比例中，得到\( \frac{2}{AC} = \frac{1}{4} \)。

5. 通过交叉相乘，可以得到AC=8。

6. 经过上述推理，最终得出答案为AC的长为8。

平行线; 普通三角形; 线段

平行线分线段成比例定理

<note>在本题图中，三角形ABC中，直线DE与边BC平行</note>，并截它的其他两边AB和AC于点D和点E，那么根据平行线分线段成比例定理，有：<note>$$ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} $$</note>。即截得的线段与原三角形相对应的线段成比例。

平行线的定义

在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

在本题图中，<note>直线DE和直线BC位于同一平面内</note>，并且<note>它们没有交点</note>，因此根据平行线的定义，<note>直线DE和直线BC是平行线</note>。


Question: 如图,在△ABC中,M是AC的中点,E是AB上一点,AE=\frac{1}{4}AB,连接EM并延长,交BC的延长线于D,则\frac{BC}{CD}=()

Answer: 2

1. 如图，过点C作CP∥AB，交DE于点P。

2. 因为CP∥AE，##根据平行线的平行公理2，内错角相等，可知∠AEM=∠MPC，∠EAM=∠MCP。同时根据相似三角形的判定定理(AA)，可知##△AEM∽△CPM，根据##相似三角形的定义##，有##PC/AE=CM/AM##。

3. 由于M是AC的中点，且根据##线段中点##，得AM=CM，于是有PC=AE。

4. 已知AE=##(1/4)AB##，因此PC=##(1/4)AB##。

5. 因为CP∥BE，所以CP=##(1/3)BE##。

6. 根据##平行线的平行公理2，同位角相等，可知∠EBD=∠PCD，∠BED=∠CPD。同时根据相似三角形的判定定理(AA)，##得到△DCP∽△DBE，于是##根据相似三角形的定义，可知CP/BE=CD/BD##。

7. 根据前面的结论，得：##CP/BE=1/3##，所以BD=3CD。

8. 因此BC=BD - CD = 3CD - CD = 2CD，即##BC/CD=2##。

9. 经过上述推理，最终得出答案为2。

三角形的外角; 中点; 普通三角形; 线段; 位似

线段中点

线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。

<note>线段AC的中点为点M</note>。根据线段中点的定义，<note>点M将线段AC平分为两个相等的部分</note>，即线段<note>AM和线段MC的长度相等。即，AM = MC</note>。

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>在本题图中，三角形AEM和三角形CPM是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>∠AEM = ∠CPM</note>, <note>∠AME = ∠CMP</note>, <note>∠EAM = ∠PCM</note>；<note>AE/PC = AM/CM = EM/PM</note>。因为<note>M是AC中点</note>，<note>AM = CM</note>，所以<note>PC=AE</note>。根据<note>AE = 1/4 AB</note>，得出<note>PC = 1/4 AB</note>。同理，<note>三角形DCP和三角形DBE是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>∠EBD=∠PCD</note>，<note>∠BED=∠CPD</note>，<note>∠PDC = ∠EDB</note>；<note>PC/EB = DP/DE = DC/DB</note>。

平行线的定义

在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

<note>直线CP</note>和<note>直线AB</note>位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，<note>直线CP和直线AB是平行线</note>。####

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

在本题图中，两条平行线<note>CP和AB</note>被第三条直线<note>EP</note>所截，形成了以下几何关系：内错角：<note>角AEM和角MPC相等</note>。同理，两条平行线<note>CP和AB</note>被第三条直线<note>AC</note>所截，形成了以下几何关系：内错角：<note>角EAM和角MCP相等</note>。同理，两条平行线<note>CP和AB</note>被第三条直线<note>BD</note>所截，形成了以下几何关系：同位角：<note>角EBD和角PCD相等</note>。同理，两条平行线<note>CP和AB</note>被第三条直线<note>ED</note>所截，形成了以下几何关系：同位角：<note>角BED和角CPD相等</note>。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，内错角相等，同位角相等。####

内错角的定义

当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。

在本题图中，<note>两条平行直线CP和AB被一条直线AC截交</note>，其中<note>角EAM和角MCP位于两平行线之间，且在截线AC的对侧</note>，因此<note>角EAM和角MCP是内错角</note>。内错角相等，即<note>角EAM等于角MCP</note>。同理，<note>两条平行直线CP和AB被一条直线EP截交</note>，其中<note>角AEM和角MPC位于两平行线之间，且在截线EP的对侧</note>，因此<note>角AEM和角MPC是内错角</note>。内错角相等，即<note>角AEM等于角MPC</note>。

相似三角形的判定定理(AA)

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。

同位角定义

两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。


Question: 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=2,⊙C的半径为1,点P是斜边AB上的点,过点P作⊙C的一条切线PQ(点Q是切点),则线段PQ的最小值为()

Answer: √{2}

1. 已知P点是斜边AB上的点，过点P作⊙C的一条切线PQ（点Q是切点），连接CP、CQ。

2. ∵PQ是⊙C的切线，##根据圆的切线性质，切线与经过切点的半径垂直##∴CQ⊥PQ，即∠CQP=90°。

####

##3. 根据点到直线的距离，当CP⊥AB时，得出CP为最小值。同时根据勾股定理，得出PQ^2 = CP^2 - CQ^2，已知CQ是固定值，等于圆的半径，因此当CP为最小值时，线段PQ最短。##

##4##. ####在直角三角形ACB中，∠A=30°，∠C=90°，BC=2，

##5##. 利用30°-60°-90°三角形的性质，得出AB = 2BC = 4，AC = BC * √3 = 2√3。

##6##. ##根据直角三角形的面积公式可得：S△ABC=1/2 * AC * BC=1/2 * 2√3 * 2=2√3。根据三角形的面积公式以CP、AB边求△ABC面积，##当CP⊥AB时,CP为△ABC的一个高，##即S△ABC=1/2 * AB * CP=1/2 * 4 * CP=2CP。简化为S△ABC=2CP，又因为S△ABC=2√3，则2√3=2CP，最终得出CP = √3。##

##7##. ##已知##⊙C的半径CQ = 1。

##8##. ##根据勾股定理（毕达哥拉斯定理）可得：CQ^2+PQ^2=CP^2，即PQ = √(CP^2 - CQ^2) = √(3 - 1) = √2。##

##9##. 经过上述推理，最终得出答案为√2。

直角三角形; 切线; 圆; 线段; 三角形的外角

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>在本题图中</note>，三角形ABC中，<note>角ACB是直角（90度）</note>，因此三角形ABC是一个直角三角形。<note>边AC和边BC是直角边，边AB是斜边</note>。<note>PQ为⊙C的切线</note>，所以<note>PQ垂直于⊙C的半径CQ，即∠CQP=90°</note>。三角形CQP中，<note>角CQP是直角（90度）</note>，因此三角形CQP是一个直角三角形。<note>边CQ和边PQ是直角边，边CP是斜边</note>。

圆的切线定义

圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

<note>圆C中，点Q是直线PQ与圆的切点</note>，<note>线段CQ是圆的半径</note>。根据圆的切线性质，<note>切线PQ与经过切点Q的半径CQ垂直</note>，即<note>∠CQP=90°</note>。

30°-60°-90°三角形的性质

在30°-60°-90°三角形中，30度角所对的边短，是斜边的一半，60度角所对的边则为短边的√3倍。

<note>在本题图中，30°-60°-90°三角形ABC中，角CAB是30度</note>，<note>角CBA是60度</note>，<note>角ACB是90度</note>。<note>边AB是斜边</note>，<note>边BC是30度角所对的边</note>，<note>边AC是60度角所对的边</note>。根据30°-60°-90°三角形的性质，<note>边BC等于边AB的一半</note>，<note>边AC等于边BC的√3倍</note>。即：<note>BC = 1/2 * AB</note>，<note>AC = BC * √3</note>。##

三角形的面积公式

任意三角形的面积等于其底乘以高除以2。

<note>三角形ABC</note>中，<note>边AB是底</note>，<note>线段CP是高</note>。根据三角形的面积公式，三角形ABC的面积等于<note>底边AB</note>乘以<note>高CP</note>再除以2，即<note>面积 = (AB * CP) / 2</note>。

直角三角形的面积

直角三角形的面积等于两条直角边乘积的一半，即面积 = 1/2 * 底 * 高。

在本题图中，<note>直角三角形ABC</note>中，<note>角ACB是直角（90度）</note>，<note>边BC和AC是直角边</note>，其中一条直角边作为底，另一条直角边作为高，所以<note>直角三角形的面积</note>等于这两条直角边乘积的一半，即面积 = 1/2 * <note>边BC</note> * <note>边AC</note>。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>在本题图中，直角三角形CQP中，角CQP是直角（90度）</note>，<note>边CQ和PQ是直角边</note>，<note>边CP是斜边</note>，所以根据勾股定理，CP^2 = CQ^2 + PQ^2。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段。

在本题图中，圆C中，<note>点C是圆心</note>，<note>点Q是圆上的任意一点</note>，<note>线段CQ是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段CQ是圆的半径</note>。#####

高的定义

从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。

在本题图中，从<note>顶点C</note>垂直于<note>对边AB（或其延长线）的线段CP</note>是该<note>顶点C的高</note>。<note>线段CP与边AB（或其延长线）形成一个直角（90度）</note>，这说明<note>线段CP是从顶点C到对边AB（或其延长线）的垂直距离</note>。

点到直线的距离

点到直线的距离是指直线外一点到该直线的最短距离，即垂直距离。

在本题图中，<note>点 C 是直线 AB 外的一点</note>，作<note>点 C 到直线 AB 的垂线段 CP</note>。根据点到直线距离的定义，<note>垂线段 CP 的长度是点 C 到直线 AB 的最短距离，即 d=CP</note>。


Question: 如图,⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,EA是⊙O的切线．若∠EAC=120°,则∠ABC的度数是()

Answer: 60°

1. 已知EA是⊙O的切线, #OA是⊙O的半径，根据圆的切线性质，切线与经过切点的半径垂直##，我们知道∠EAD=90°。

2. 由∠EAC=120°以及∠EAD=90°，可知∠DAC=∠EAC-∠EAD=30°。

3. 由于AD是⊙O的直径，根据##(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角##，可以得出∠ACD=90°。

4. ##根据三角形内角和定理，可知##∠ADC=180°-∠ACD-∠DAC，####可以得到∠ADC=60°。

5. 由∠ADC=60°，根据##圆周角定理推论1##，∠ABC也等于∠ADC=60°。

##6##. 经过上述推理，最终得出答案为60°。

圆周角; 切线; 圆; 直角三角形; 圆内接四边形

圆周角定理推论1

在一个圆中，任意两个与同一弧相对应的圆周角相等。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

<note>圆O中</note>，<note>角ABC的顶点B在圆周上</note>，角ABC的两边分别与圆O相交于<note>点A和点C</note>。因此，<note>角ABC是一个圆周角</note>。##同理，角ADC的顶点D在圆周上，角ADC的两边分别与圆O相交于<note>点A和点C</note>。因此，<note>角ADC是一个圆周角</note>。##

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

圆的切线定义

圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。

<note>圆⊙O与直线EA有且只有一个公共点A</note>，这个公共点叫做切点。因此，<note>直线EA是圆⊙O的切线</note>。

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角

半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形ADC</note>中，<note>角DAC、角ACD和角ADC</note>是<note>三角形ADC的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角DAC + 角ACD + 角ADC = 180°</note>。##

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段。

在本题图中，<note>圆O</note>中，<note>点O是圆心</note>，<note>点A是圆上的任意一点</note>，<note>线段OA是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段OA是圆的半径</note>。


Question: 如图,在△ABC中,DE∥BC,若AB=7cm,AC=5cm,AD=3cm,则DE=()

Answer: \frac{20}{7}cm

1. 已知AB=7厘米,AD=3厘米，##所以##BD=BA-AD=4厘米。

2. 由于DE∥BC，根据##平行线的平行公理2，同位角相等，所以角A=角BDE，又因为B为共用角，根据相似三角形的判定定理(AA)，可以得到##△BDE∽△BAC。

3. 根据##相似三角形的定义，可得BD/AB=DE/AC，即4/7=DE/5##。

4. 解方程####得到DE=20/7厘米。

5. 经过上述推理，最终得出答案为20/7厘米。

平行线; 普通三角形; 线段; 位似

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>在本题图中，三角形BDE和三角形BAC是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>∠BDE = ∠BAC</note>, <note>∠DBE = ∠ABC</note>, <note>∠BED = ∠ACB</note>；<note>BD/BA = DE/AC = BE/BC</note>。

相似三角形的判定定理(AA)

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补

<note>两条平行线DE和AC被第三条直线AB所截</note>，形成了以下几何关系： <note>同位角：角BDE和角A相等</note>。


Question: 如图,已知AB∥CD∥EF,AD:AF=3:5,BE=15,那么CE的长等于()

Answer: 6

1. 已知AB∥CD∥EF，根据平行线截得的线段成比例定理，即两条平行线截第三条直线所得到的对应线段成比例，可以得出BC与BE的比例关系。

2. 根据题目条件AD:AF=3:5，将这个比例和上文的比例结合，可以得到\frac{BC}{BE} = \frac{AD}{AF}。

3. 将已知数据代入，得到\frac{BC}{15} = \frac{3}{5}。

4. 通过解比例方程\frac{BC}{15} = \frac{3}{5}，得到BC=9。

5. 由于CE=BE-BC，可得CE = 15 - 9 = 6。

6. 经过上述推理，最终得出答案为6。

平行线; 内错角; 同位角; 线段; 位似


Question: 如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DE∥BC,已知EC=6,\frac{AD}{DB}=\frac{2}{3},则AE的长是()

Answer: 4

1. 已知DE∥BC，根据##平行线分线段成比例定理##，得到：\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}。

2. 根据题目中的已知条件，EC=6和\frac{AD}{DB}=\frac{2}{3}。

3. 将已知条件代入比例关系\frac{AE}{6}=\frac{2}{3}。

4. 解方程\frac{AE}{6}=\frac{2}{3}，可得AE=4。

5. 经过上述推理，最终得出AE的长为4。

平行线; 普通三角形; 内错角

平行线分线段成比例定理

<note>△ABC中，直线DE与边BC平行</note>，并截它的其他两边AB和AC于<note>点D和点E</note>，那么根据<note>平行线分线段成比例定理</note>，有：<note>\( \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \)</note>。


Question: 如图,在△ABC中,D,E分别是AB和AC上的点,满足AD=3,AE=2,EC=1,DE∥BC,则AB=()

Answer: 4.5

1. 已知DE∥BC，依据##平行线分线段成比例定理##，得出##AD/DB = AE/EC##。

2. 因为AD=3，AE=2，EC=1，##所以，3/DB = 2/1##。

3. 解方程##3/DB = 2##，可以得出##DB = 3/2 = 1.5##。

4. 因为AB = AD + DB，所以AB = 3 + 1.5 = 4.5。

5. 经过上述推理，最终得出答案为AB=4.5。

平行线; 普通三角形; 线段; 内错角; 等腰三角形

<note>三角形ABC中，直线DE与边BC平行，并截它的其他两边AB和AC于点D和点E</note>，那么根据平行线分线段成比例定理，<note>有：AD/DB = AE/EC，即3/DB = 2/1</note>，通过解方程可得DB = 3/2=1.5，<note>所以AB=AD+DB=3+1.5=4.5</note>。


Question: 如图,在△ABC中,DE∥BC,\frac{AD}{DB}=\frac{1}{2},DE=4,则BC的长是()

Answer: 12

1. 已知 \frac{AD}{DB} = \frac{1}{2}。

2. 因此，\frac{AD}{AB} = \frac{1}{3}。

3. 在△ABC中，DE∥BC，因此根据##平行线分线段成比例定理以及相似三角形的判定定理(SAS)，得到△ADE∽△ABC##，因此##\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB}。

4. 综上，\frac{DE}{BC} = \frac{1}{3}。

5. 已知 DE=4，因此 BC = 3##，所以##DE = 3 \times 4 = 12。

6. 经过上述推理，最终得出 BC 的长度为 12。

普通三角形; 平行线; 线段; 位似

<note>在本题图中，三角形ABC中，直线DE与边BC平行，并截它的其他两边AB和AC于点D和点E</note>，那么根据平行线分线段成比例定理，有：<note>AD/DB = AE/EC</note>。具体到本题中，<note>AD/DB = 1/2，DE/BC = 1/3</note>。

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>三角形ADE和三角形ABC是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>角ADE = 角ABC</note>, <note>角AED = 角ACB</note> <note>角A = 角A</note>；<note>AD/AB = DE/BC = AE/AC</note>。

相似三角形的判定定理(SAS)

如果两三角形有两对应边的长度成比例且包括的对应夹角相等，那么这两个三角形相似。


Question: 如图,在平行四边形ABCD中,点E在边AD上,CE交BD于点F,若EF=\frac{1}{3}FC,则\frac{AE}{ED}=()

Answer: 2

1. 已知在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，CE交BD于点F，且EF = \frac{1}{3}FC。

2. 在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC。因此根据平行线的平行公理2和相似三角形的判定定理(AA)，可以得到△DEF∽△BCF。

3. 根据三角形相似的定义，得到\frac{DE}{BC} = \frac{EF}{FC} = \frac{1}{3}。

4. 因为AD = BC，所以可以写成\frac{DE}{AD} = \frac{1}{3}。

5. 从而得到DE:AD = 1:3。

6. 因为AD = AE + ED，所以可以写成DE:(AE+ED) = 1:3。

7. 解得\frac{AE}{ED} = 2。

8. 经过上述推理，最终得出答案为2。

平行四边形; 线段; 中点; 普通三角形; 位似

平行四边形的定义

平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。

在本题图中，<note>四边形ABCD是一个平行四边形</note>，<note>边AB与边CD平行且相等</note>，<note>边AD与边BC平行且相等</note>。

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

在本题图中，<note>三角形DEF和三角形BCF是相似三角形</note>。根据<note>相似三角形的定义</note>有：<note>∠EDF = ∠CBF</note>，<note>∠DFE = ∠BFC</note>，<note>∠DEF = ∠BCF</note>；<note>DE/BC = EF/FC = DF/BF</note>。

相似三角形的判定定理(AA)

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

内错角的定义

在本题图中，两条<note>平行直线AD和BC</note>被<note>两条直线EC和BD截交</note>，其中<note>角EDF和角DBC位于两平行线之间，且在截线BD的对侧，因此角EDF和角DBC是内错角</note>。内错角相等，即<note>角EDF=角DBC</note>。<note>角DEF和角FCB位于两平行线之间，且在截线EC的对侧，因此角DEF和角FCB是内错角</note>。内错角相等，即<note>角DEF=角FCB</note>。


Question: 如图,在△ABC中,点D、E分别在AB、AC边上,DE∥BC．若\frac{AE}{AC}=\frac{3}{4},AD=9,则AB等于()

Answer: 12

1. 已知在三角形ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC。

2. ##根据平行线的平行公理2和相似三角形的判定定理(AA)##，在三角形ADE和三角形ABC中，由于DE∥BC，因此角ADE=角B，又因为角A=角A，所以##三角形ADE和三角形ABC相似。

3. 由相似三角形的##定义##，得到比例式：AD/AB = AE/AC。

4. 根据已知条件，AE/AC = 3/4。

5. 代入已知条件AD = 9，得到比例式：9/AB = 3/4。

6. 解以上比例式，得到AB = 12。

7. 经过上述推理，最终得出答案为12。

平行线; 普通三角形; 位似; 线段

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>在本题图中，三角形ADE和三角形ABC是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>∠ADE = ∠ABC</note>, <note>∠DEA = ∠BCA</note>, <note>∠EAD = ∠CAB</note>；<note>AD/AB = AE/AC = DE/BC</note>。######

相似三角形的判定定理(AA)

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补

同位角定义

<note>两条平行直线DE和BC</note> 被一条直线AB截交，其中 <note>角ADE和角ABC</note> 位于截线AB的同旁，被截两直线DE和BC的同一侧，因此 <note>角ADE和角ABC是同位角</note>。同位角相等，即 <note>角ADE等于角ABC</note>。同理，<note>两条平行直线DE和BC</note> 被一条直线AC截交，其中 <note>角AED和角ACB</note> 位于截线AB的同旁，被截两直线DE和BC的同一侧，因此 <note>角AED和角ACB是同位角</note>。同位角相等，即 <note>角AED等于角ACB</note>。


Question: 如图, 直线l_{1}∥l_{2}∥l_{3}, 已知: AB=4, BC=6, DE=3, 则EF=()

Answer: 4.5

1. 已知直线## L1∥ L2 ∥ L3##，依据##平行线分线段成比例定理，设 EF 的长度为 x，可得，AB/BC = DE/EF##。

##2##. 将已知条件 AB = 4, BC = 6, DE = 3 代入比例式，得 ##4/6 = 3/x##。

##3##. 根据等式两边交叉相乘，得 4x = 18。

##4##. 解这个方程，得到 x = ##18/4 =4.5##。

##5##. 因此，可以得出 EF 的长度为 ##4.5##。

平行线分线段成比例定理

<note>直线## L1∥ L2 ∥ L3##</note>，并且在他们之间的线段被平行线分割成等比例。根据平行线分线段成比例定理，有：
\[
\frac{<note>AB}{BC}</note> = \frac{<note>DE}{EF}</note>
\]
即截得的线段与原三角形相对应的线段成比例。


Question: 如图,E是平行四边形ABCD的AD边上一点,过点E作EF∥AB交BD于F,若DE:EA=2:3,EF=4,则CD的长为()

Answer: 10

1. 已知 DE:EA=2:3，##因此## DE:DA=2:5。

2. 因为 EF 平行于 AB，且交线 BD 于 F，根据##平行线的平行公理2，同位角相等，可知##，∠DEF=∠DAB, ∠EFD=∠ABD，##依据相似三角形的判定定理(AA)，所以三角形DEF与三角形DAB相似，##有 DE/DA=EF/AB。

3. 代入已知条件， EF=4，并且 DE:DA=2:5，即 DE/DA=2/5。

4. 由以上相似三角形的比例关系 2/5=4/AB，解此比例可得 AB=10。

5. 由于平行四边形的对边相等性质，平行四边形ABCD的对边 AB 和 CD 相等，因此 CD=AB。

6. 最终，得出 CD 的长度为 10。

平行四边形; 平行线; 线段

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

相似三角形的判定定理(AA)

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似

平行四边形的性质定理

在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。


Question: 如图,在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,DE∥BC,且AE=1,AC=5,AB=6,则AD的长是()

Answer: 1.2

1. 已知点D、E分别在边AB、AC上，并且DE∥BC。##所以根据平行线的平行公理2，可得∠ADE=∠ABC（同位角相等），∠AED=∠ACB（同位角相等）。##

2. 根据##相似三角形的判定定理(AA)##，△ADE ∽ △ABC。##根据相似三角形的定义有\(\frac{AE}{AC} = \frac{AD}{AB}\)##。

####

##3##. 由题中给定条件AE=1，AC=5，AB=6，代入比例式：\(\frac{1}{5} = \frac{AD}{6}\)。

##4##. 解这个比例方程：\(AD = \frac{6}{5}\)。

##5##. 因此我们得到AD的长度为\(\frac{6}{5}\)或1.2。

平行线; 普通三角形; 线段; 位似

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>两条平行线DE和BC</note>被<note>第三条直线AB所截</note>，形成了以下几何关系：
同位角：<note>角ADE和角ABC相等</note>。
同理，<note>两条平行线DE和BC</note>被<note>第三条直线AC所截</note>，形成了以下几何关系：
1. 同位角：<note>角AED和角ACB相等</note>。
这些关系说明了在<note>两条平行线被第三条直线所截时</note>，同位角相等。

相似三角形的判定定理(AA)

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。

<note>在本题图中，三角形ADE和三角形ABC中，角ADE等于角ABC，且角AED等于角ACB</note>，所以三角形ADE相似于三角形ABC。

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>三角形ADE和三角形ABC是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>角DAE = 角BAC</note>, <note>角ADE = 角ABC</note>, <note>角AED = 角ACB</note>；<note>AE/AC = AD/AB = DE/BC</note>。


Answer: 40°

1. 已知∠ADE=80°，∠A=60°，根据三角形内角和定理，得出∠ADE+∠A+∠AED=180°。

2. 由∠ADE=80°以及∠A=60°，依据三角形内角和定理，得出∠AED=180°-∠ADE-∠A=180°-80°-60°=40°。

3. 又∵△ABC∽△AED，根据相似三角形的对应角相等定理，得出∠B=∠AED。

4. 依据前面的结论得出∠B=40°。

5. 经上述推理，最终得出答案为∠B=40°。

等腰三角形; 内错角; 普通三角形

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

在本题图中，三角形ADE中，<note>角ADE</note>、<note>角DAE</note>和<note>角AED</note>是三角形ADE的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>角ADE</note> + <note>角DAE</note> + <note>角AED</note> = 180°。

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>三角形ABC和三角形AED是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>∠BAC = ∠DAE</note>, ∠ABC = <note>∠AED</note>, ∠BCA = <note>∠EDA</note>；AB/<note>AE</note> = BC/DE = AC/<note>AD</note>。


Question: 如图,D、E是△ABC边AB、AC上的点,且DE∥BC,若DE:BC=3:5,AD=6,则AB=()

Answer: 10

1. 已知D、E是△ABC边AB、AC上的点，且DE∥BC，##根据平行线的平行公理2，同位角相等可知∠C=∠AED，又因为∠A共用，则三角形ADE∽三角形ACB##，可得：DE/BC=AD/AB。

2. 题目中给出DE:BC=3:5，代入上式可得：3/5 = AD/AB。

3. 题目中还给出AD=6，根据上述比例关系，可得：3/5 = 6/AB。

4. 通过交叉相乘，得到：3 * AB = 5 * 6，即3AB = 30。

5. 解方程得到：AB = 30 / 3，即AB = 10。

6. 经过上述推理，最终得出答案为10。

平行线; 普通三角形; 位似; 线段

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补

<note>两条平行线DE和BC被第三条直线AC所截</note>，形成了以下几何关系：<note>同位角：角C和角AED相等</note>####

相似三角形的判定定理（AA）

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。

在本题图中，三角形ADE和三角形ABC，<note>∠C=∠AED</note>且<note>∠A共用</note>，所以三角形ADE和三角形ABC相似。####

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>三角形ADE和三角形ABC是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>角A = 角A</note>，<note>角B = 角ADE</note>，<note>角C = 角AED</note>；<note>AD/AB = AE/AC = DE/BC</note>。


Question: 如图,平行四边形ABCD中,∠C=120°,AB=AE=5,AE与BD交于点F,AF=2EF．则BC的长为()

Answer: 10

1. 已知四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质，AD = BC，且AD ∥ BC。

2. 因为AB = AE = 5，AE与BD交于点F，且AF = 2EF。

3. 假设作辅助线，连接EF和DF。

4. 在△AFD和△EFB中，有∠AFD = ∠EFB（对顶角相等），且∠ADF = ∠EBF（平行线间的内错角相等），所以根据AA相似定理，△AFD ∽ △EFB。

5. 因此，对于相似三角形△AFD和△EFB，有rac{BE}{AD} = rac{EF}{AF}。

6. 已知AF = 2EF，所以rac{EF}{AF} = rac{1}{2}。

7. 因此，AD = 2BE。

8. 因为角C=120度，根据平行四边形的邻角互补，有角ABC=60度，在三角形ABE中，因为AB = AE = 5，角ABE=60度，根据等边三角形的判定定理（等腰三角形的60度角判定），可知三角形ABE为等边三角形，所以BE = 5。

9. 因此AD = 2 * 5 = 10。

10. 根据平行四边形的性质，AD = BC，所以BC = 10。

11. 经过上述推理，最终得出答案为BC的长为10。

平行四边形; 线段; 等腰三角形; 三角形的外角; 内错角

平行四边形的定义

平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。

对顶角的定义

对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

平行四边形的邻角互补定理

在平行四边形中，相邻的内角互补，即它们的和为180°。

<note>在本题图中，平行四边形ABCD中，角C和角ABC是相邻的内角。</note>根据平行四边形的邻角互补定理，<note>角C + 角ABC = 180°。</note>

相似三角形的AA判别定理

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>在本题图中，三角形AFD和三角形EFB是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>∠AFD = ∠EFB（对顶角）</note>，<note>∠ADF = ∠EBF（平行线间的内错角）</note>，<note>∠DAF = ∠FEB（平行线间的内错角）</note>；<note>AF/EF = DF/FB = AD/BE</note>。已知<note>AF=2EF</note>，所以<note>EF/AF=1/2</note>。

等边三角形的判定定理（等腰三角形的60度角判定）

有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形。

在本题图中，已知<note>△ABE为等腰三角形，边AB与边AE等</note>，且存在一个内角为60°，即<note>∠ABE=60°</note>。根据等边三角形的判定定理，等腰三角形中若有一个内角为60°，则该三角形三边长度相等，三个内角均为60°，因此可判定<note>△ABE为等边三角形</note>。

等边三角形的定义

等边三角形是所有三条边长度相等并且所有内角都相等（均为60°）的三角形。

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

<note>边AB和边AE相等</note>，因此三角形ABE是一个等腰三角形。


Answer: 1

1. 已知△ABC相似于△DEF，相似比为1:2。

2. 根据相似三角形的性质，相似比等于对应边的比，即\(\frac{BC}{EF} = \frac{1}{2}\)。

3. 已知EF = 2。

4. 由前述两步，可得\(BC = \frac{1}{2} \times EF = \frac{1}{2} \times 2 = 1\)。

5. 经过上述推理，最终得出答案为1。

普通三角形; 线段; 位似

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>△ABC与△DEF是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F</note>；<note> $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{CA}{FD} = \frac{1}{2}$ </note>。


Question: 如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4,若△ABC∽△BDC,则CD=()

Answer: \frac{9}{4}

1. 已知Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4,根据##勾股定理（毕达哥拉斯定理）##可以求出AB的长度。由勾股定理可得: AB = √(##AC^2## + ##BC^2##) = √(##4^2## + ##3^2##) = √(16 + 9) = √25 = 5。

2. 又由题意得△ABC ∽ △BDC，根据##相似三角形的定义##，相似三角形的对应边成比例关系。因此,有##BC/CD=AC/BC##。

3. 将已知长度代入比例式##BC/CD=AC/BC##, 即3/CD=4/3。

4. 通过交叉相乘求解CD, 得到CD = ##(3×3)/4 = 9/4##。

5. 经过上述推理，最终得出答案为CD = 9/4。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

在本题图中，三角形ABC中，<note>∠ACB是直角（90度）</note>，因此三角形ABC是一个直角三角形。<note>边AC和边BC是直角边</note>，<note>边AB是斜边</note>。

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

在本题图中，<note>三角形ABC和三角形BDC是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>∠BAC = ∠DBC</note>, ∠ABC = ∠BDC, ∠ACB = ∠DCB；<note>BC/CD = AC/BC = AB/BD</note>。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>在本题图中，直角三角形ABC中，角∠ACB是直角（90度）</note>，<note>边AC和BC是直角边</note>，<note>边AB是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>AB^2 = AC^2 + BC^2</note>。


Question: 如图所示,在△ABC中,DE∥BC,若\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3},则\frac{AE}{AC}=()

Answer: \frac{1}{3}

1. 已知在△ABC中，根据题意，DE∥BC。

2. 根据##平行线分线段成比例定理，可以得知：rac{AD}{AB} = rac{AE}{AC}。##

##3##. 题目已知rac{AD}{AB} = rac{1}{3}，代入结论∴ rac{AE}{AC} = rac{1}{3}。

##4##. 因此，经过上述推理，最终得出答案为rac{1}{3}。

普通三角形; 平行线; 位似

平行线分线段成比例定理

在本题图中，三角形ABC中，<note>直线DE与边BC平行</note>，并<note>截它的其他两边AB和AC于点D和点E</note>，那么根据平行线分线段成比例定理，有：<note>AD/AB=AE/EC</note>，即截得的线段与原三角形相对应的线段成比例。


Answer: 130°

1. 已知 ∠1 + ∠2 = 100°####。

2. 由##对顶角的定义##得 ∠1 = ∠2，所以将上一步的等式改写为，2 ∠1 = 100°。

3. 因此，∠1 = 50°。

4. 根据##邻补角的定义##，所以可以写出方程 ∠1 + ∠3 = 180°。

5. 将 ∠1 的值代入方程，得到 50° + ∠3 = 180°。

6. 整理上一步的方程，得到 ∠3 = 180° - 50° = 130°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为 ∠3 = 130°。

邻补角的定义

两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。

<note>在本题图中，∠1 和 ∠3 有一条公共边</note>，它们的<note>另一边互为反向延长线</note>，所以 <note>∠1 和 ∠3 互为邻补角</note>。##

对顶角的定义

对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。

<note>两条相交直线相交于中央</note>，形成四个角。根据对顶角的定义，<note>角1和角2是对顶角</note>。由于对顶角的角度相等，所以<note>角1=角2</note>。##


Question: 如图, BC=rac{1}{2}AB, D为AC的中点, 若DC=3, 则AB的长是()

Answer: 4

1. 已知D是AC的中点，根据##线段中点定义##，得到AC的长度是DC的两倍，即AC=2DC。

2. 根据题目中给出的DC=3，代入上一步得出的关系式AC=2DC，可以得到AC=2×3=6。

3. 已知BC是AB的一半，根据题目中的BC=##1/2## AB，可以得到AB的长度是AC的2/3。

4. 用方程表示上述关系，即AB=##2/3## AC。

5. 代入之前计算得出的AC=6，得到AB=##2/3##×6=4。

6. 经过上述推理，最终得出答案为4。

线段中点

线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。

在本题图中，<note>线段AC的中点为点D</note>。根据线段中点的定义，<note>点D将线段AC平分为两个相等的部分</note>，即<note>线段AD和线段DC的长度相等</note>。即，<note>AD = DC</note>。

线段的定义

线段是一个直线的一部分，包含两个端点及其间的所有点


Question: 如图所示,某宾馆大厅要铺圆环形的地毯,工人师傅只测量了与小圆相切的大圆的弦AB的长,就计算出了圆环的面积．若测量得AB的长为8米,则圆环的面积为()

Answer: 16π平方米

1. 过点O作OC垂直于AB交于点C，并连结OA。根据垂径定理，OC平分AB。

2. 因此，AC等于BC，且AC=AB/2=8米/2=4米。

3. 根据题意，AB与小圆相切，则OC为小圆的半径。

4. 设小圆的半径为r，大圆的半径为R。由勾股定理得，##OA^2=OC^2+AC^2##，即##R^2 = r^2 + 4^2##。

5. 圆环的面积等于大圆面积减去小圆面积，即##πR^2 - πr^2##。

6. 代入##R^2= r^2+ 16##，得到##π(R^2 - r^2) = π(r^2 + 16 - r^2) = 16π##。

7. 因此，圆环的面积为16π平方米。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

<note>点O是圆心</note>，<note>点C是圆上的任意一点</note>，<note>线段OC是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段OC是小圆的半径</note>；在大圆中，<note>点O是圆心</note>，<note>点A是圆上的任意一点</note>，<note>线段OA是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段OA是大圆的半径</note>。

圆的切线定义

圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。

在本题图中，小圆与<note>直线AB</note>有且只有一个<note>公共点C</note>，这个公共点叫做<note>切点</note>。因此，<note>直线AB是小圆的切线</note>。

垂径定理

如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

在本题图中，<note>三角形OAC是直角三角形</note>，其中<note>∠OCA是直角（90度）</note>，<note>边OC和AC是直角边</note>，<note>边OA是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>OA^2 = OC^2+ AC^2</note>，即<note>R^2= r^2 + 4^2</note>。

圆的面积公式

圆的面积公式为A = πr^2，其中A表示面积，π是圆周率，r是圆的半径。


Question: 如图,已知AD是△ABC的中线,且△ABD的周长比△ACD的周长大3cm,则AB与AC的差为()

Answer: 3cm

1. 已知AD是△ABC的中线，根据##三角形中线的定义##，得出BD=DC。

2. 因为BD=DC，##根据三角形的周长定理，##所以△ABD与△ACD的周长之差是(AB+AD+BD)-(AC+AD+DC)=AB-AC。

3. 根据已知条件，△ABD的周长比△ACD的周长大3cm，所以得出AB-AC=3。

4. 经过上述推理，最终得出AB与AC的差为3。

普通三角形; 中点; 线段

三角形中线的定义

中线是从三角形一个顶点到对边中点的线段。

三角形的周长定理

三角形的周长等于三条边的长度之和，即如果三角形的三条边分别为a、b、c，则周长P=a+b+c。


Question: 如图, C, D是线段AB上两点, 若CB=4cm, DB=7cm, 且D是AC的中点, 则AC的长等于()

Answer: 6cm

1. 已知点C和点D是线段AB上的两点，CB的长度为4cm，DB的长度为7cm。

2. 由线段的和差关系，可以得到DC的长度为DC = DB - CB = 7cm - 4cm = 3cm。

3. 已知点D是AC的中点，根据中点定义，两点之间距离的中点将该距离平分，因此AC的长度应该是两倍的DC，即AC = 2 * DC。

4. 计算AC的长度，得到AC = 2 * 3cm = 6cm。

5. 经过上述推理，最终得出AC的长度为6cm。

线段中点

线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。

在本题中，<note>线段AC的中点为点D</note>。根据线段中点的定义，<note>点D将线段AC平分为两个相等的部分</note>，即<note>线段AD和线段DC的长度相等</note>。即，<note>AD = DC</note>。

线段的定义

线段是一个直线的一部分，包含两个端点及其间的所有点。

<note>线段AB是一个直线的一部分，包含端点A和端点B及其间的所有点</note>。线段AB具有两个端点，这两个端点分别是<note>A和B</note>，且<note>线段AB上的每一个点都位于端点A和端点B之间</note>。<note>线段AC、AD、DC、CB和DB也是线段</note>，分别包含其对应的端点及其间的所有点。


Question: 如图,C、M是线段AB上的两点,且点M是线段AC的中点,若AB=8cm,BC=2cm,则AM的长为()

Answer: 3cm

1. 已知AB=8cm，BC=2cm。

2. 由图形可知AC=AB-BC=8cm-2cm=6cm。

3. 由于M是线段AC的中点，所以根据中点的定义，AM等于AC的一半。

4. 因为AC=6cm，所以AM=6cm/2=3cm。

5. 经过上述推理，最终得出答案为3cm。

线段中点

线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。


Question: 如图,AB切⊙O于B,割线ACD经过圆心O,若∠BCD=70°,则∠A的度数为()

Answer: 50°

1. 已知AB切⊙O于B，ACD为割线且经过圆心O，根据已知条件 ∠BCD=70°。

2. 过圆心O作辅助线OB和OC，##根据半径的定义，##两条线段OB和OC为半径相等，即OB=OC。

3. ##因为OB=OC，根据等腰三角形的定义，可得△OBC是等腰三角形。##由于∠BCD=70°，##根据等腰三角形的性质##，得到∠OBC=∠BCD=70°。

4. 在△OBC中，根据三角形内角和定理，得到∠BOC=180°-∠BCD-∠OBC = 180°-70°-70°=40°。

5. 因为AB切⊙O于B，根据##圆的切线性质##可知OB⊥AB，即∠ABO=90°。##根据直角三角形的定义，可知△AOB是直角三角形。##

6. 最后，利用##直角三角形的锐角互补性质##，在△AOB中，得出∠A=90°-∠BOC=90°-40°=50°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为50°。

圆; 切线; 圆周角; 线段; 三角形的外角

圆的切线定义

圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。

<note>圆O与直线AB有且只有一个公共点B</note>，这个公共点叫做切点。因此，<note>直线AB是圆O的切线</note>。

割线

与圆有两个交点的直线称为圆的割线。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

在本题图中，圆O中，<note>点O是圆心，点B和点C是圆上的任意一点</note>，<note>线段OB和OC是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段OB和OC是圆的半径</note>。

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形△OBC</note>中，<note>角OBC</note>、<note>角BCO</note>和<note>角BOC</note>是<note>三角形△OBC的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>∠OBC + ∠BCO + ∠BOC = 180°</note>。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

<note>等腰三角形OBC中，边OB和边OC相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，<note>相等的两边所对的角相等</note>，即<note>角OBC = 角OCB = 70°</note>。

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

在本题图中，圆O中，<note>点B是直线AB与圆的切点</note>，<note>线段OB是圆的半径</note>。根据圆的切线性质，<note>切线AB与经过切点B的半径OB垂直，即∠ABO=90°</note>。

直角三角形的锐角互补性质

在直角三角形中，除了直角之外的两个角之和为90°。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

在本题图中，三角形OBA中，<note>角OBA是直角（90度）</note>，因此三角形OBA是一个直角三角形。<note>边OB和边BA是直角边</note>，<note>边OA是斜边</note>。##


Question: 如图,AD∥BE∥CF,直线l1,l2与这三条平行线分别交于点A,B,C,D,E,F,\frac{AB}{BC}=\frac{2}{3},DE=6,则EF的值为()

Answer: 9

1. 已知AD∥BE∥CF，直线l1, l2与这三条平行线分别交于点A, B, C, D, E, F。

2. 根据平行线分线段成比例定理，可以得到：\frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF}。

3. 题目中已知 \frac{AB}{BC} = \frac{2}{3} 和 DE=6。

4. 将已知条件代入比例式：\frac{6}{EF} = \frac{2}{3}。

5. 解该比例式得到：EF = 9。

6. 经过上述推理，最终得出答案为9。

平行线; 线段; 内错角; 位似

平行线的定义

在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

<note>AD∥BE∥CF位于同一平面内</note>，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，<note>AD、BE和CF是平行线</note>。

平行线分线段成比例定理

在本题图中，<note>AD∥BE∥CF</note>，<note>直线l1, l2分别交于点A, B, C, D, E, F</note>。根据平行线分线段成比例定理，可以得到<note>\(\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}\)</note>。


Question:
如图,已知∠1=60°,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=()
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）

Answer: 240°

1. 已知角1等于60度，根据题意以及图形，##设BE与CF交点为G,BE与AD交点为H，AD与FC的交点为O，由三角形的外角定理可知，在三角形GEC中，∠FGE是∠C与∠E的和，在三角形HBD中，∠AHB是∠B与∠D的和，根据对顶角的定义，可知∠GOH=∠1=60°，由三角形内角和定理可以确定∠GOH以及角B、角C、角D、角E所组成的总角度等于三角形OGH的内角和，等于180度##。

2. 由此得：##∠GOH## + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E = 180°。

3. 将已知的##∠GOH##等于60度代入，得到：60° + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E = 180°。

4. 由此得：∠B + ∠C + ∠D + ∠E = 180° - 60° = 120°。

5. ##根据由三角形内角和定理，在三角形AFO中##，可以确定角1以及角A、角F也组成一个180度的角。

6. 由此得：∠1 + ∠A + ∠F = 180°。

7. 将已知的角1等于60度代入，得到：60° + ∠A + ∠F = 180°。

8. 由此得：∠A + ∠F = 180° - 60° = 120°。

9. 将步骤4和步骤8中的两个等式相加，得到∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F = 120° + 120° = 240°。

10. 经过上述推理，最终得出答案为240°。

普通多边形; 五边形; 三角形的外角; 内错角; 邻补角

角的定义

角是由两个有公共端点的射线组成的几何图形，其中的公共端点称为角的顶点，两条射线称为角的边。

<note>∠1是由两条射线AD和CF组成的几何图形</note>，这<note>两条射线有一个共同的端点O</note>。这个共同的<note>端点O称为角1的顶点</note>，而<note>射线AD和CF称为角1的边</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

在本题图中，<note>三角形AF1中，角1、角A和角F是三角形AF1的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角1 + 角A + 角F = 180°</note>。##同理，<note>三角形OGH中，角GOH、角GHO和角OGH是三角形OGH的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角GOH + 角GHO + 角OGH = 180°</note>##。##name;三角形的外角定理content:三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。this:在本题图中，<note>三角形GCE中，角FGE是三角形的一个外角</note>，<note>角C和角E是与外角FGE不相邻的两个内角</note>，根据三角形的外角定理，<note>外角FGE等于不相邻的两个内角C和E之和，即角FGE = 角C + 角E</note>。同理，<note>三角形HBD中，角AHB是三角形

对顶角的定义

对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

<note>三角形AOF是由三个非共线点A、O、F及其连接线段AO、OF、AF组成的几何图形</note>。点A、O、F分别是三角形的三个顶点，线段AO、OF、AF分别是三角形的三条边。同理，<note>三角形GOH是由三个非共线点G、O、H及其连接线段GO、OH、GH组成的几何图形</note>。点G、O、H分别是三角形的三个顶点，线段GO、OH、GH分别是三角形的三条边。


Question: 如图,平行线a、b被直线c所截,若∠1=50°,则∠2的度数是()

Answer: 130°

1. 已知直线a和直线b平行，且由直线c所截，∠1=50°。

2. ##设直线a和c相交于点O，直线a为AB，直线C为CD，根据对顶角的定义，∠1的对顶角设为∠3，得到∠1= ∠3 = 50°。##

####

##3##. 接着我们可以得到##∠2和∠3##是同旁内角，根据平行线的平行公理2可以得出，##∠2 + ∠3 = 180°##。

##4##. 代入已知条件，##∠2## + 50° = 180°，得出##∠2## = 130°。

##5##. 经过上述推理，最终得到答案∠2为130°。

对顶角的定义

对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

在本题图中，<note>两条平行线a和b</note>被<note>第三条直线c</note>所截，形成了以下几何关系：1. 同位角：<note>角AOC和角2相等</note>。2. 内错角：<note>角BOD和角2相等</note>。3. 同旁内角：<note>角2和角3互补，即角2 + 角3 = 180度</note>。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

同旁内角的定义

两条直线被第三条直线所截，在截线同侧，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角。若两直线平行，则同旁内角互补。若同旁内角互补，则两直线平行。

<note>在本题图中，两条直线a和b被第三条直线c所截</note>，<note>两角2和3在截线c同侧</note>，且<note>在被截线a和b之内</note>，所以<note>角2和3是同旁内角</note>。<note>同旁内角2和3互补</note>，即<note>角2 + 角3 = 180度</note>。


Answer: 55°

1. 已知AB垂直于BC,并且∠1=35°,根据平角的定义，得出∠ABb=90°-35°=55°。

2. 由平行线的平行公理2，同位相等，∠2等于∠ABb。

3. 由此得出∠2等于55°。

4. 经过上述推理，最终得出答案为55°。

平行线; 同位角; 直角三角形

垂线定义

如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。

<note>直线AB和直线BC相交形成的角∠ABC是90度</note>，因此根据垂线定义，<note>直线AB和直线BC互相垂直</note>。

同位角定义

在本题图中，<note>两条平行直线a和b被一条直线AB截交</note>，其中<note>角2和角ABb位于截线AB的同旁，被截两直线a和b的同一侧</note>，因此<note>角2和角ABb是同位角</note>。<note>同位角相等，即角2=角ABb</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

平角的定义

一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度。

<note>射线绕着端点B旋转到与起始边成一条直线b</note>。根据平角的定义，<note>平角的度数为180度</note>，即<note>角1+90度+角ABb=180度</note>。


Question: 将一副直角三角板如图放置,使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的一条直角边在同一条直线上,则∠1的度数为()

Answer: 75°

1. 在图中，由于含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的一条直角边在同一条直线上，#设含30°角的三角板为三角形ABC，30°角对应∠A，90°角对应∠B，60°角对应∠C;含45°角的三角板为三角形DEF，图上已标记出45°角对应∠E，90°角对应∠D，剩下一个角对应∠F，∠1所在的交点为O，因此两个三角形相交形成了一个新的三角形COF##。

####

##2##. ##根据对顶角的定义，可得∠1=∠COF，##为了求解∠1，我们可以分别计算其对顶角所在三角形的其他两个内角。

##3##. 对于含30°角的三角板，##根据三角形内角和定理，可以得出##其角度分别为30°和60°。

##4##. 对于含45°角的三角板，##根据三角形内角和定理，可以得出##其角度分别为45°和45°。

##5##. ##∠COF##所在的三角形####，其两个内角分别为60°和45°。

##6##. 根据##三角形内角和定理##，一个三角形的三个内角之和为180°。

##7##. 则##∠COF##可以表示为180°- (60° + 45°) = 75°。

##8##. 故∠1的角度为75°。

直角三角形; 邻补角; 对顶角

对顶角的定义

对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>含30°角的三角板和含45°角的三角板都是直角三角形</note>。含30°角的三角板的角度分别为<note>30°, 60°, 和90°</note>，其直角边分别是<note>与30°角和60°角相邻的两条边</note>。含45°角的三角板的角度分别为<note>45°, 45°, 和90°</note>，其直角边分别是<note>与两个45°角相邻的两条边</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>角60°</note>、角45°和<note>∠1的对顶角</note>是该三角形的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>角60°</note> + 角45° + <note>∠1的对顶角</note> = 180°，所以<note>∠1的对顶角</note> = 180° - (<note>60°</note> + 45°) = <note>75°</note>。


Answer: 2

1. 已知DE∥BC，##由平行线的平行公理2可知,∠AED＝∠ACB,∠ADE＝∠ABC，根据相似三角形的判定定理(AA)##，我们可以确定△ADE∽ △ABC。

2. 根据##相似三角形的定义##，对于△ADE和△ABC，有: ##AD/AB = AE/AC = DE/BC##。

3. 结合题目已知条件AD=3，DB=4，因此AB=AD+DB=3+4=7。

4. 继续结合题目已知条件AE=1.5，将已知比例关系代入相似三角形的对应边####中，可以得到: ##AD/DB = AE/EC##。

5. 将已知数值代入第4步的比例关系: ##3/4 = 1.5/EC##。

6. 解比例方程 ##3/4 = 1.5/EC##，我们可以得到 EC = 2。

7. 经过上述推理，最终得出答案为2。

平行线; 内错角; 普通三角形

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>三角形ADE和三角形ABC是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>∠ADE = ∠ABC</note>, <note>∠DEA = ∠BCA</note>, <note>∠EAD = ∠CAB</note>；<note>AD/AB = AE/AC = DE/BC</note>。具体来说，<note>AD对应于AB</note>，<note>AE对应于AC</note>，<note>DE对应于BC</note>。

相似三角形的判定定理(AA)

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补

同位角定义

两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角


Answer: 65°

1. ##设直线a为AB，直线b为CD，##已知直线 a 平行于直线 b，根据##平行线的平行公理2，可知同旁内角互补##，得出∠1 + ∠2 = 180°。

2. 由 ∠1 + ∠2 = 180° 和已知 ∠1 = 115°，得出 ∠2 = 180° - 115°。

3. 经过计算，得出 ∠2 = 65°。

4. 最终得出答案为 ∠2 = 65°。

平行线的定义

在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

<note>直线 a 和直线 b</note>位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，<note>直线 a 和直线 b 是平行线</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

在本题图中，<note>直线 a 和直线 b 被一条直线所截</note>，从而形成了<note>同旁内角 ∠1 和 ∠2</note>。根据<note>平行线的同旁内角互补定理</note>，我们可以得出 <note>∠1 + ∠2 = 180°</note>。因<note>∠1 = 115°</note>，所以<note>∠2 = 180° - 115° = 65°</note>，最终得出答案<note>∠2 = 65°</note>。


Question: 如图,若△ABC∽△ACD,∠A=60°,∠ACD=40°,则∠BCD的度数为()

Answer: 40°

1. 根据题意已知，△ABC∽△ACD，同时已知∠A=60°,∠ACD=40°。

2. 根据相似三角形对应角相等的性质，得到∠B = ∠ACD = 40°。

3. 使用三角形的内角和定理（即一个三角形的三个内角的和为180°），在△ABC中，得到∠ACB = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 60° - 40° = 80°。

4. 在△BCD中，通过角ACB和角ACD的关系，可以得到∠BCD = ∠ACB - ∠ACD = 80° - 40° = 40°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为40°。

普通三角形; 三角形的外角; 对顶角

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>三角形ABC和三角形ACD是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>∠BAC = ∠DAC</note>, <note>∠ABC = ∠ACD</note>, <note>∠BCA = ∠CDA</note>；<note>AB/AC = AC/AD = BC/CD</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形ABC中，角BAC、角ABC和角ACB是三角形ABC的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角BAC + 角ABC + 角ACB = 180°</note>。####


Question: 从棱长为4的正方体毛坯的一角,挖去一个棱长为2的小正方体,得到一个如图所示的零件,则这个零件的表面积为()

Answer: 96

1. 已知##原正方体的表面积为棱长为4的正方体的表面积，根据正方体的表面积公式，原正方体##的表面积为4×4×6。

2. 将棱长为2的小正方体从大正方体的一角挖去，根据几何图形分解####，挖去的小正方体将##使原正方体增加挖去的小正方体六个面中的三个新的面##。

3. ##同时，由于挖去了小正方体，使得原正方体减少了挖去的小正方体六个面中的三个面。##

4. ##结合2和3可知，挖去小正方体后原正方体整体表面积不会改变##。

####

##5##. 经过计算，原正方体的表面积为4×4×6=96####。

##6##. 因此，通过以上步骤得出最终表面积为96，无需改变。

立方体; 正方形; 点; 线段

正方体表面积公式

正方体的总表面积等于6乘以正方体棱长的平方。

<note>正方体的总表面积等于6乘以正方体棱长的平方</note>。在本题图中，<note>正方体的总表面积计算为6×4²=96</note>。正方体的总表面积等于6乘以正方体棱长的平方。已知正方体的棱长为4，因此<note>正方体的总表面积为6×4²=96</note>。


Question: 如图,直线AB与CD相交于E,在∠CEB的平分线上有一点F,FM∥AB．当∠3=10°时,∠F的度数是()

Answer: 85°

1. 已知直线AB与CD相交于点E，在角CEB的平分线上有一点F，FM平行于直线AB。

2. 根据##平角的定义##，##∠CED##可以表示为∠1 + ∠2 + ∠3。由于####∠3 = 10°，那么可以得到##∠1## + ∠2 = 180° - ∠3 = 180° - 10° = 170°。

3. 由于EF平分∠CEB，根据角平分线的定义，可以得出∠1 = ∠2。

4. 由∠1 + ∠2 = 170°，且∠1 = ∠2，因此可以得出∠1 = ∠2 = 170° / 2 = 85°。

5. 根据题意，FM平行于直线AB。所以，∠F与∠2是##平行线内##的内错角，根据平行线内错角相等的定理，得出∠F = ∠2。

6. 综上所述，∠F = 85°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为85°。

平行线; 对顶角; 等腰三角形; 内错角; 邻补角

角平分线定义

角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。

<note>角CEB的顶点是点E</note>，<note>从点E引出一条线EF</note>，这条线将<note>角CEB分成两个相等的角</note>，即<note>角CEF (∠1) 和角BEF (∠2) 相等</note>。因此，<note>线EF是角CEB的角平分线</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

在本题图中，两条平行线<note>FM</note>和<note>AB</note>被第三条直线<note>EF</note>所截，形成了以下几何关系：1.同位角：##无##。2.内错角：<note>角F</note>和<note>角2</note>相等。3.同旁内角：<note>角AEF</note>和<note>角F</note>互补，即<note>角AEF + 角F = 180度</note>。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。##

平角的定义

<note>射线C绕着端点E旋转到与起始边成一条直线，形成平角CED</note>。根据平角的定义，<note>平角的度数为180度，即角CED=180度</note>。


Question: 如图,将两块三角板的直角顶点重合后叠放在一起,若∠1=40°,则∠2的度数为()

Answer: 40°

1. 根据题意，两块三角板的直角顶点重合后叠放在一起，那么图中有两个直角。

2. 设##∠1和∠2之间的夹角为∠3##。

####

##3##. 由题意，∠1 = 40°。

##4##. 根据已知条件，可以推导出∠1 + ##∠3## = 90°（因为两角相邻直角顶点）。

##5##. 因此，##∠3## = 90° - 40° = 50°。

##6##. 同理，∠2 + ##∠3## = 90°（另一相邻直角顶点）。

##7##. 将##∠3##的值带入，得∠2 + 50° = 90°。

##8##. 解该方程，可得∠2 = 90° - 50° = 40°。

##9##. 根据上述推理，最终得出答案为∠2 = 40°。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>在本题图中，两个直角三角形中</note>，<note>每个直角三角形有一个直角（90度）</note>，因此它们都是直角三角形。每个直角三角形的<note>直角都是右两个锐角组成</note>，<note>一个是∠1和∠3的和</note>，另一个是<note>∠2和∠3的和</note>。


Question: 如图,小林从P点向西直走12米后,向左转,转动的角度为α,再走12米,如此重复,小林共走了108米回到点P,则α-5的值是()

Answer: 35°

1. 已知小林从P点向西直走12米后, 向左转, 转动的角度为α, 再走12米, 如此重复，小林共走了108米。

2. 设这种情况下形成的多边形的边数为n。整个路径的长度为108米，每条边的长度为12米，因此可以求出边数n = 108 ÷ 12 = 9。

3. 因为小林每次转动的角度为α，这些角度的总和为多边形的外角和。根据多边形外角和原理，多边形的外角和为360°。

4. 可以构建一个等式 n * α = 360°。

5. 代入边数n = 9，得到 9 * α = 360°。

6. 解此等式得到 α = 360° ÷ 9 = 40°。

7. 根据题意，要求 α - 5 的值。

8. 计算：α - 5 = 40° - 5 = 35°。

9. 所以，最终得到答案为35°。

正多边形的定义

正多边形是指所有边长度相等且所有内角相等的多边形。

在本题图中，<note>小林的行走路径形成的多边形中，所有边的长度相等，等于12米，且所有内角相等</note>。因此，小林的行走路径形成的多边形是一个<note>正多边形</note>。<note>它由多条线段顺次连接而成，每条线段的长度为12米，共有9条线段</note>。每两条线段只在端点相交，形成一个封闭的路径。<note>小林从P点出发，按照指定方向行走，经过9次转弯后回到P点，形成一个正9边形</note>。

多边形外角和定理

任意多边形的外角和等于360°。

<note>小林每次转动角度为α</note>，共进行9次转动形成一个多边形。因此<note>这9个外角α的总和等于360°</note>，即有<note>9 * α = 360°</note>。

多边形的外角定义

多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。

<note>在本题图中</note>,设小林行走的路径形成的多边形的一个内角为<note>β</note>,延长该内角的相邻边形成的角<note>α</note>称为内角<note>β的外角</note>。##


Question: 已知直线a∥b,一块直角三角板如图所示放置,若∠1=37°,则∠2的度数是()

Answer: 53°

1. 作直线##c平行于直线a，且将三角板的直角分为∠3（靠近∠1）和∠4（靠近∠2）。由于直线a平行于直线b，因此直线c平行于直线a，并且平行于直线b。##

2. 由于##直线a平行于直线c，根据平行线的平行公理2，内错角相等，得出∠1等于∠3。##

3. ##直线c平行于直线b，根据平行线的平行公理2，内错角相等，得出∠4等于∠2##。

4. 由题意可以看出##∠3和∠4构成直角三角板的直角，所以##它们的和等于90°。

5. 所以得出##∠3+∠4=∠1+∠2=##90°。

6. 已知##∠1为37°，因此∠2##等于90°减37°，即53°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为##∠2##的度数是53°。

平行线; 同位角; 直角三角形

平行线的传递性

若两条直线分别与第三条直线平行，则这两条直线互相平行。

<note>直线b和直线c分别与直线a平行</note>。根据平行线的传递性，如果<note>直线b平行于直线a</note>，且<note>直线c也平行于直线a</note>，那么<note>直线b和直线c互相平行</note>。因此，<note>直线b平行于直线c</note>。

内错角的定义

<note>两条平行直线a和c</note>被<note>直角三角板60度角所对的直角边截交</note>，其中<note>角1和角3位于两平行线之间</note>，且在<note>截线的对侧</note>，因此<note>角1和角3是内错角</note>。内错角相等，即<note>角1等于角3</note>。同理，<note>两条平行直线b和c</note>被<note>直角三角板30度角所对的直角边截交</note>，其中<note>角2和角4位于两平行线之间</note>，且在<note>截线的对侧</note>，因此<note>角2和角4是内错角</note>。内错角相等，即<note>角2等于角4</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>直线 a 和 b 被第三条直线（直角三角板的一边）</note>所截，形成了以下几何关系：<note>内错角：∠2 和 ∠4 相等，∠1 和 ∠3 相等</note>。


Question: 如图,两条直线被三条平行线所截,AB=2,BC=3,则\frac{EF}{EG}等于()

Answer: \frac{2}{5}

1. 已知AE∥BF∥CG，根据##平行线分线段成比例定理##可得，##EF/EG=AB/AC##。

2. 由##EF/EG=AB/AC，##已知AB=2,BC=3。

3. 由AC=AB+BC，可得AC=2+3=5。

4. 将AB和AC的值代入比例式中，##EF/EG=2/5##。

5. 经过上述推理，最终得出答案为##2/5##。

平行线; 线段; 内错角

平行线的定义

在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

在本题图中，<note>直线AE</note>、<note>BF</note>和<note>CG</note>位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，<note>直线AE、BF和CG是平行线</note>。

线段的定义

线段是一个直线的一部分，包含两个端点及其间的所有点。

在本题图中，<note>线段AB是一个直线的一部分，包含端点A和端点B及其间的所有点</note>。<note>线段BC是一个直线的一部分，包含端点B和端点C及其间的所有点</note>。<note>线段AC是一个直线的一部分，包含端点A和端点C及其间的所有点</note>。<note>线段EF是一个直线的一部分，包含端点E和端点F及其间的所有点</note>。<note>线段EG是一个直线的一部分，包含端点E和端点G及其间的所有点</note>。

平行线分线段成比例定理

<note>三条平行线分别为AE、BF和CG</note>，截两条直线<note>EG</note>和<note>AC</note>，EF和EG是平行线在这些直线所截的线段<note>，同理，AB和AC是平行线在这些直线所截的线段</note>。根据平行线分线段成比例定理，有 <note>EF/EG=AB/AC</note>。


Question: 如图,在平行四边形ABCD中,F是AD上的一点,CF=CD.若∠B=72°,则∠AFC的度数是()

Answer: 108°

1. 已知四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质，平行四边形的对角相等，因此∠D = ∠B = 72°。

2. 已知CF = CD，根据等腰三角形的性质，如果一个三角形的两边相等，那么这两边所对的角相等，因此∠DFC = ∠D = 72°。

3. 由∠DFC + ∠AFC = 180°（同一条直线上的邻角和为180°），于是∠AFC = 180° - ∠DFC = 180° - 72° = 108°。

4. 经过上述推理，最终得出答案为∠AFC = 108°。

平行四边形; 等腰三角形; 邻补角

平行四边形的定义

平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。

在本题图中，四边形<note>ABCD是一个平行四边形</note>，边<note>AB与边CD平行且相等</note>，边<note>AD与边BC平行且相等</note>。

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

平行四边形的性质定理

在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

<note>在本题图中，等腰三角形CFD中，边CF和边CD相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，<note>相等的两边所对的角相等，即∠DCF = ∠DFC</note>。


Question: 如图,点B,O,D在同一直线上,若∠1=15°,∠2=105°,则∠AOC的度数是()

Answer: 90

1. 已知∠2 = 105°，根据##邻补角的定义##，∠BOC和∠2是相邻补角，因此∠BOC = 180° - 105° = 75°。

2. 根据题目中的图示####，有：∠AOC = ∠1 + ∠BOC。

3. 将已知条件∠1 = 15° 代入####，有：∠AOC = 15° + 75° = 90°。

##4##. 经过上述推理，最终得出答案为90°。


Question: 如图所示,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,∠1=25°,∠2=30°,则∠3=()

Answer: 55°

1. 已知AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE。

2. ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，得∠BAD=∠EAC。

3. 在△BAD和△EAC中，有AB=AC，∠BAD=∠EAC，AD=AE。

4. 根据边角边全等条件，△BAD≌##△CAE##（SAS），则相应的角∠ABD=∠ECA##=30°##。

5. 已知∠ABD=30°，∠1=25°。

6. 在△ABD中，##根据三角形外角和定理##，∠3=∠1+∠ABD。

7. ∠3=25°+30°=55°。

8. 经过上述推理，最终得出答案为55°。

等腰三角形; 普通三角形; 对顶角; 三角形的外角

三角形的外角定理

三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和

在本题图中，三角形ABD中，<note>角3是三角形的一个外角</note>，<note>角1和角ABD是与外角3不相邻的两个内角</note>，根据三角形的外角定理，<note>外角3等于不相邻的两个内角1和角ABD之和</note>，即<note>角3 = 角1 + 角ABD</note>。

多边形的外角定义

多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。

在本题图中，<note>多边形ABD的一个内角为∠ADB</note>，延长该内角的相邻边<note>BD和DA形成的角∠3</note>称为内角<note>∠ADB的外角</note>。

全等三角形判定定理(SAS)

如果一个三角形的两边及其夹角分别与另一个三角形的两边及其夹角相等，那么这两个三角形全等。

在本题图中，三角形BAD和三角形EAC中，<note>边AB与边AC相等</note>，<note>边AD与边AE相等</note>，且<note>夹角∠BAD与夹角∠EAC相等</note>，因此根据<note>全等三角形判定定理(SAS)</note>，这两个三角形全等。##

全等三角形的定义

两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等。

<note>三角形BAD和三角形EAC是全等三角形</note>，三角形BAD的<note>对应边和对应角</note>与三角形EAC相等，即：
<note>边BA = 边AC</note>
<note>边BD = 边EC</note>
<note>边AD = 边AE</note>
同时，<note>对应的角也相等</note>：
<note>角1 = 角EAC</note>
<note>角ABD = 角ACE</note>
<note>角ADB = 角AEC</note>


Question: 如图所示,一辆汽车经过一段公路两次拐弯后,和原来的行驶方向相同,也就是拐弯前后的两条路互相平行.第一次拐的角∠B等于142°,第二次拐的角∠C的度数为()

Answer: 142°

1. 已知两次拐弯后的两条路互相平行，即AB平行于CD。

2. 第一次拐弯的##∠ABC##等于142°。

3. 由于AB与CD平行，且∠ABC和未知角##∠DCB##位于平行线之间####内错的位置，根据##平行线的平行公理2##定理，得##∠DCB=∠ABC（内错角相等）##。

4. 由以上推理可得，##∠DCB##=142°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为142°。

邻补角; 平行线; 同位角

平行线的定义

在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

在本题图中，<note>直线AB和直线CD</note>位于同一平面内，并且<note>它们没有交点</note>，因此根据平行线的定义，<note>直线AB和直线CD是平行线</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。


Question: 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,沿CD折叠△CBD,使点B恰好落在AC边上的点E处。若∠A=24°,则∠BDC的度数为()

Answer: 69°

1. 折叠后的△CBD使点B落在点E处，根据折叠的性质可知∠ACB=2∠BCD。

2. 在△ABC中，已知∠ACB=90°，∠A=24°，利用三角形内角和定理，将△ABC的内角和等于180°进行计算，得到∠B=180°-∠ACB-∠A=180°-90°-24°=66°。

3. 根据步骤1中的结论，得出∠BCD=∠ACB/2=90°/2=45°。

4. 在△BDC中，利用三角形内角和定理，将△BDC的内角和等于180°进行计算，得出∠BDC=180°-∠BCD-∠B=180°-45°-66°=69°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为69°。

直角三角形; 对称; 余弦; 正弦; 垂线

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。


Question: 如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,BD是AC边上的高,若∠A=36°,则∠DBC的大小是()

Answer: 18°

1. 已知等腰三角形ABC中, AB=AC, ∠A=36°, 依据等腰三角形的性质, 得出∠ABC=∠ACB。

2. 由于三角形内角和为180°, 得出∠ABC + ∠ACB + ∠A = 180°。

3. 代入已知条件, 36° + 2∠ABC = 180°, 即2∠ABC = 144°, 得出∠ABC = 72°。

4. 由∠ABC = ∠ACB = 72°, 可得出∠ACB = 72°。

5. ∵BD是AC边上的高, 根据定义, 得出BD⊥AC。

6. 由于BD是AC边上的高, ∴∠BDA = 90°。

7. 由∠ACB = 72°, 在直角三角形BDC中, 得出∠DBC = ∠BDA - ∠ACB。

8. 代入已知条件, ∠DBC = 90° - 72° = 18°。

9. 经过上述推理, 最终得出答案为18°。

等腰三角形; 垂线; 直角三角形; 三角形的外角

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

三角形的外角定理

三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。

高的定义

从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。

<note>从顶点B垂直于对边AC的线段BD是该顶点B的高</note>。<note>线段BD与边AC形成一个直角（90度）</note>，这说明线段BD是从顶点B到对边AC的垂直距离。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

<note>等腰三角形ABC</note>中，边<note>AB和边AC相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>角ABC = 角ACB</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形ABC</note>中，<note>角A、角ABC和角ACB</note>是<note>三角形ABC的三个内角</note>，根据<note>三角形内角和定理</note>，<note>角A + 角ABC + 角ACB = 180°</note>。


Question: 如图,在半径为5cm的⊙O中,AB为一条弦,OC⊥AB于点C,且OC=3cm,则AB的值为()

Answer: 8cm

1. 连接OA，知道半径OA=5cm。

2. 因为OC垂直于AB于点C，##根据垂径定理##，点C是AB的中点。因此，我们有：AB=2AC。

3. 在直角三角形△OAC中，∠ACO=90°。根据勾股定理，在直角三角形中，直角三角形的斜边的平方等于两条直角边的平方和，即：##OA^2 = AC^2+ OC^2##。

4. 因为OC=3cm，OA=5cm，所以代入上述公式：##5^2 = AC^2 + 3^2##。

5. 解方程得到：25 = ##AC^2##+ 9，即##AC^2## = 16，因此AC = √16 = 4cm。

6. 由步骤2得出：AB = 2AC = 2 * 4 = 8cm。

7. 经过上述推理，最终得出答案为8cm。

圆; 弦; 垂线; 直角三角形; 线段

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

在本题图中，圆O中，<note>点O是圆心</note>，<note>点A是圆上的任意一点</note>，<note>线段OA是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段OA是圆的半径</note>。

垂径定理

如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

在本题图中，直角三角形△OAC中，<note>角ACO是直角（90度）</note>，边OC和AC是直角边，边OA是斜边，所以根据勾股定理，<note>OA^2 = OC^2 + AC^2</note>。


Question: 如图,DE为△ABC的边BC的垂直平分线,交BC于E,交AB于D,且∠B=40°,∠A=60°,则∠ACD的度数为()

Answer: 40°

1. 已知∠B = 40°, ∠A = 60°。在△ABC中，由三角形内角和定理，可以得到∠ACB = 180° - 60° - 40° = 80°。

2. DE是△ABC的边BC的垂直平分线。根据垂直平分线的性质，##BD＝DC##,∠BCD = ∠B = 40°。

3. 在△ACD中，由上一步可得∠ACD = ∠ACB - ∠BCD = 80° - 40° = 40°。

4. 经过上述推理，最终得出答案为∠ACD = 40°。

垂直平分线; 等腰三角形; 直角三角形

垂直平分线的定义

经过线段中点且垂直于该线段的直线。

在本题图中，<note>直线DE经过线段BC的中点E</note>，并且<note>直线DE垂直于线段BC</note>。因此，<note>直线DE是线段BC的垂直平分线</note>。根据垂直平分线的定义，<note>E为BC的中点，即BE = EC</note>，并且<note>DE垂直于BC，即∠DEB = ∠DEC = 90°</note>。

角的定义

<note>在本题图中，∠B、∠A和∠ACD都是角的实例。</note>例如，<note>∠B是由射线BA和射线BC组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点B，这个共同的端点B称为##∠B##的顶点，而射线BA和射线BC称为##∠B##的边。</note><note>∠A是由射线AB和射线AC组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点A，这个共同的端点A称为##∠A##的顶点，而射线AB和射线AC称为##∠A##的边。</note><note>∠ACD是由射线AC和##射线DC##组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点C，这个共同的端点C称为##∠ACD##的顶点，而射线AC和##射线DC##称为##∠ACD##的边。</note>

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形ABC中，角BAC、角ABC和角ACB是三角形ABC的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角BAC + 角ABC + 角ACB = 180°</note>。

垂直平分线的性质

垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等。


Answer: 78°

1. 已知∠B = ∠1，根据题意设点D为BC的一点。

2. ##连接AD##，得到∠BAD。

3. ##由图可得，在三角形ABC中##，∠BAC = ∠1 + ∠BAD。

4. 由于已知∠B = ∠1，且∠BAC = 78°。

5. 由上可得∠1 + ∠BAD = 78°。

6. ##在三角形ABD中，根据三角形的外角定理，可知##∠2 = ∠B + ∠BAD。

7. 因为∠B = ∠1，故∠2 = ∠1 + ∠BAD。

8. 联立上述条件，得出∠2 = ∠BAC。

9. 由于∠BAC = 78°，因此∠2 = 78°。

10. 经过上述推理，最终得出答案为78°。

普通三角形; 对顶角; 邻补角

三角形的外角定理

三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。

<note>在本题图中，三角形ABD中，角ADC是三角形的一个外角，角BAD和角ABD是与外角ADC不相邻的两个内角</note>，根据三角形的外角定理，<note>外角ADC等于不相邻的两个内角BAD和ABD之和，即角ADC = 角BAD + 角ABD</note>。

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

<note>三角形ABC是由三个非共线点A、B、C及其连接线段AB、AC、BC组成的几何图形。</note>点<note>A、B、C分别是三角形的三个顶点，线段AB、AC、BC分别是三角形的三条边</note>。同理，<note>三角形ABD是由三个非共线点A、B、D及其连接线段AB、AD、BD组成的几何图形。</note>点<note>A、B、D分别是三角形的三个顶点，线段AB、AD、BD分别是三角形的三条边。</note>

多边形的外角定义

多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。


Question: 如图,将含30°角的三角板的直角顶点放在直尺的一边上,若∠1=35°,则∠2的度数为()

Answer: 65°

1. 已知∠1=35°。

2. 根据题意，三角板是一个直角三角形，其中一个角是30°，即∠3=30°。

3. 根据平行线的平行公理2，内错角相等，有顶点位于直角三角板直角顶点的∠4与∠1是内错角，∠4=∠1=35°。

4. 这样，设∠4和∠3所在的三角形为ABC，可知∠2为三角形ABC的外角，所以∠2=∠4+∠3=65°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为65°。

直角三角形; 对顶角; 邻补角

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

在本题中的三角板即为一个直角三角形，其中包含<note>一个直角（90°）</note>，以及<note>一个指定的30°角</note>。

三角形的外角定理

三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。

在本题图中，三角形ABC中，<note>角2是三角形的一个外角</note>，<note>角3和角4是与外角2不相邻的两个内角</note>，根据三角形的外角定理，<note>外角2等于不相邻的两个内角3和4之和</note>，即<note>角2 = 角3 + 角4</note>。

内错角的定义

<note>在本题图中，两条平行直线（直尺的两条边）</note>被<note>一条直线（三角板60度角所对的直角边）</note>截交，其中<note>角1和角4位于两平行线之间，且在截线的对侧</note>，因此<note>角1和角4是内错角</note>。内错角相等，即<note>角1等于角4</note>。

多边形的外角定义

多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。

<note>多边形ABC的一个内角相邻边的延长线和另外一条边形成的角∠2</note>称为该内角的外角。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

在本题图中，<note>两条平行直线（直尺的两条边）</note>被<note>一条直线（三角板60度角所对的直角边）</note>所截，形成了以下几何关系： <note>内错角：角1和角4相等</note>。


Question: 如图,有一池塘,要测池塘两端A,B间的距离,可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A和B的点C,连接AC并延长至D,使CD=CA,连接BC并延长至E,使CE=CB,连接ED．若量出DE=58米,则A,B间的距离为()

Answer: 58米

1. 从点A画直线至点C并延长至点D，使得CD=CA。

2. 从点B画直线至点C并延长至点E，使得CE=CB。

3. 用量器量出DE=58米。

4. 在△ABC和△DEC中，已知AC=CD，##CE=CB##。

####

##5##. ##根据对顶角的定义##，得出##∠ACB##=∠DCE。

##6##. 根据##全等三角形判定定理(SAS)##，在三角形ABC和三角形DEC中，边AC等于边CD，##∠ACB##等于∠DCE，并且边CE等于边CB，故△ABC##≌##△DEC。

##7##. 根据##全等三角形的定义##，得出AB=DE。

##8##. 由上述结论和已知DE=58米，得出AB=58米。

对顶角的定义

对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。

全等三角形的定义

两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等。

在本题图中，<note>三角形ACB和三角形DCE是全等三角形</note>，<note>三角形ACB的对应边和对应角与三角形DCE相等</note>，即：<note>边AB = 边ED</note> <note>边AC = 边DC</note> <note>边BC = 边EC</note>，同时，<note>对应的角也相等</note>：<note>角ACB = 角DCE</note> <note>角CAB= 角CDB</note> <note>角CBA = 角CED</note>。##


Answer: 20°

1. 连接OC。已知OA垂直于OB，根据垂直线的定义，得出∠AOB=90°。

2. 已知∠A=35°，##因为OB=OC，所以三角形OBC是一个等腰三角形，也就是∠OBC=∠OCB，根据三角形内角和为180度##，得出∠OBC=∠OCB=55°。

####

##3##. 由∠OBC=∠OCB=55°得出，根据三角形的##内角和##定理，得出∠COB=70°。

##4. 因为∠AOB=∠COB+∠COD=90°，而∠COB=70°，所以∠COD=∠AOB-∠COB=90°-70°=20°##。

##5. 根据弧的度数是弧所对的圆心角的度数，在圆内，弦CD的度数是所对应的圆心角COD的度数，最终得出弧CD的度数为20°##。

圆; 垂线; 圆周角; 弧; 直角三角形

垂线定义

如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。

<note>直线OA和直线OB相交形成的角∠AOB是90度</note>，因此根据垂线定义，<note>直线OA和直线OB互相垂直</note>。

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形BOC</note>中，<note>角BOC、角OCB和角OBC</note>是<note>三角形BOC的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，角BOC+ 角OCB + 角OBC = 180°。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。


Question: 如图,DE是△ABC的中位线,已知△ABC的面积为8cm^{2},则△ADE的面积为()cm^{2}．

Answer: 2

1. 我们知道DE是△ABC的中位线，表示D和E分别是AB和AC的中点。

2. 根据三角形中位线定理，DE∥BC且DE等于BC的一半。

3. 由于D和E是AB和AC的中点，根据##相似三角形的判定定理(SAS)##，△ADE相似于△ABC。

4. 因为DE等于BC的一半，比例系数为1:2，因此相似比为1:2。

5. 相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以△ADE和△ABC的面积比为(1/2)^2，即1:4。

6. 已知△ABC的面积为8## cm^2##，所以△ADE的面积为8 ##cm^2##除以4等于2 ##cm^2##。

7. 经过上述推理，最终得出答案为2 ##cm^2##。

中点; 普通三角形; 平行线

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>△ADE和△ABC是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>∠ADE = ∠ABC</note>, <note>∠DEA = ∠BCA</note>, <note>∠EAD = ∠CAB</note>；<note>AD/AB = AE/AC = DE/BC = 1:2</note>。

三角形中位线定理

在三角形中，如果一条线段连接两边的中点，那么这条线段与第三条边平行且等于第三条边的一半。

<note>三角形ABC中，点D是边AB的中点，点E是边AC的中点，线段DE连接了这两个中点</note>。根据三角形中位线定理，<note>线段DE与第三边BC平行且等于第三边BC的一半</note>，即<note>DE ∥ BC</note>，并且<note>DE = 1/2 * BC</note>。

相似三角形的面积比等于相似比的平方定理

如果两个相似三角形的边长比是k，那么它们的面积比等于k的平方。

<note>三角形ADE和三角形ABC是相似三角形</note>，<note>边DE和边BC的比值为1:2</note>，即<note>相似比为1:2</note>。所以，<note>三角形ADE的面积与三角形ABC的面积的比值等于(1/2)^2 = 1:4</note>。

相似三角形的判定定理(SAS)

如果两三角形有两对应边的长度成比例且包括的对应夹角相等，那么这两个三角形相似。


Question: 如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=6,AC=10将△ABC沿ED折叠,使点C与点A重合,则△ABE的周长等于()

Answer: 14

1. 已知在直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=6，AC=10，根据勾股定理，计算BC的长度。

2. 根据勾股定理，##AC^2 = AB^2 + BC^2##，代入数据得到##10^2= 6^2 + BC^2##，求解得BC = √(##10^2 - 6^2##) = √(100 - 36) = √64 = 8。

3. 因为将△ABC沿ED折叠，使得点C与点A重合，所以AE=EC。

4. 因为AE=EC，所以可以将△ABE的周长表示为AB+BE+##EC##。

####

##5##. 由此可得△ABE的周长为AB+BE+EC=AB+BC。

##6##. 将已知的AB和计算得到的BC代入，得△ABE的周长为6+8=14（厘米）。

##7##. 经过上述推理，最终得出答案为14（厘米）。

直角三角形; 垂直平分线; 对称; 垂线; 中点

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

在本题图中，<note>三角形ABC中，角ABC是直角（90度）</note>，因此三角形ABC是一个直角三角形。<note>边AB和边BC是直角边</note>，<note>边AC是斜边</note>。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>角ABC是直角（90度）</note>，边AB和BC是直角边，边AC是斜边，所以根据勾股定理，<note>AC^2 = AB^2 + BC^2</note>。

三角形的周长定理

三角形的周长等于三条边的长度之和，即如果三角形的三条边分别为a、b、c，则周长P=a+b+c

<note>三角形△ABE的三边分别为AB、BE、AE</note>，根据三角形的周长定理，三角形的周长等于其三边长度之和，即<note>周长P=AB+BE+AE</note>。##


Question: 如图,AB∥EF,CD⊥EF于点D,若∠BCD=140°,则∠ABC的度数为()

Answer: 50°

1. 过点C作直线CG使CG平行于AB，由题意可得AB平行于EF且平行于CG。

2. 由于AB平行于CG，根据##平行线的平行公理2，内错角相等##，可以得出∠ABC = ∠BCG。

3. 根据已知条件, CD垂直于EF于点D,##AB平行于EF，AB平行于CG，所以根据平行线的传递性，EF平行于CG；根据平行线的平行公理2，同旁内角互补，∠GCD=180°-∠CDF,##因此∠GCD = 90°。

4. 已知∠BCD = 140°, 由于∠BCD = ∠BCG + ∠GCD，从而可以得到∠BCG = ∠BCD - ∠GCD。

5. 代入已知条件，得∠BCG = 140° - 90° = 50°。

6. ##因为∠ABC = ∠BCG##，可得∠ABC = 50°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为50°。

平行线; 垂线; 内错角; 邻补角

平行线的定义

在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

在本题图中，<note>直线AB和直线EF位于同一平面内，并且它们没有交点</note>，因此根据平行线的定义，<note>直线AB和直线EF是平行线</note>。同理，<note>直线CG和直线AB也位于同一平面内，并且它们没有交点</note>，因此根据平行线的定义，<note>直线CG和直线AB是平行线</note>，<note>直线CG和直线EF也位于同一平面内，并且它们没有交点</note>，因此根据平行线的定义，<note>直线CG和直线EF是平行线</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

在本题图中，<note>两条平行线AB和CG被第三条直线BC所截</note>，形成了以下几何关系：<note>内错角∠ABC和∠BCG相等</note>，<note>两条平行线EF和CG被第三条直线DC所截</note>，形成了以下几何关系：<note>同旁内角∠GCD和∠CDF互补</note>。

平行线的传递性

若两条直线分别与第三条直线平行，则这两条直线互相平行。

在本题图中，<note>直线CG和直线EF分别与直线AB平行</note>。根据平行线的传递性，如果<note>直线CG平行于直线AB</note>，且<note>直线EF也平行于直线AB</note>，那么<note>直线CG和直线EF互相平行</note>。因此，<note>直线CG平行于直线EF</note>。


Answer: 6cm

1. 已知CB=4cm, DB=7cm。

2. ####根据线段相减，得出CD=7cm-4cm=3cm。

3. 由已知条件D是AC的中点，根据线段的中点定义，AD=CD。

4. 因此，AD=3cm。

5. 根据线段相加，AC=AD+DC。

6. 所以AC=3cm+3cm=6cm。

7. 经过上述推理，最终得出答案为6cm。

线段中点

线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。


Question: 如图,点C在线段AB上,点D是AC的中点,如果CD=3cm,AB=10cm,那么BC的长度是()

Answer: 4cm

1. 已知点D是线段AC的中点，根据中点的定义，AC的长度是CD的两倍，即AC = 2 × CD。

2. 已知CD的长度为3cm，将其代入前一步的结论，得到AC = 2 × 3 = 6cm。

3. 由线段AC和AB的关系得知，BC = AB - AC。

4. 将已知条件AB的长度10cm和AC的长度6cm代入，得到BC = 10 - 6 = 4cm。

5. 经过上述推理，最终得出BC的长度为4cm。

线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。

<note>线段AC的中点为点D</note>。根据线段中点的定义，<note>点D将线段AC平分为两个相等的部分</note>，即线段AD和线段DC的长度相等。即，<note>AD = DC</note>。


Question: 如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′(点B的对应点是点B′,点C的对应点是点C′),连接CC′,若∠CC′B′=33°,则∠B的大小是()

Answer: 78°

1. 已知在直角三角形ABC中，∠BAC=90°。将△ABC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AB'C'。

2. 根据旋转的性质，AC = AC'，且####∠CAC'=90°。

3. 根据旋转的性质，旋转后形状不变，可以得出∠AB'C' = ∠B。

####

##4.## 连接CC'，在△ACC'中，因为AC = AC'且∠CAC'=90°，所以∠ACC'=45°。

##5.## 已知∠CC'B' = 33°，根据##三角形外角定理##，∠AB'C' = ∠ACC' + ∠CC'B'。

##6.## 即∠AB'C' = 45° + 33° = 78°。

8. 因此∠B ##=∠AB'C' ##= 78°。

直角三角形; 旋转; 对顶角; 邻补角; 平行线

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

在本题图中，三角形ABC中，<note>角BAC是直角（90度）</note>，因此三角形ABC是一个直角三角形。<note>边AB和边AC是直角边</note>，<note>边BC是斜边</note>。##

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形

<note>在本题图中，三角形ACC'中，边AC和边AC'相等</note>，因此<note>三角形ACC'是一个等腰三角形</note>。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

在本题图中，<note>等腰三角形△ACC'</note>中，<note>边AC和边AC'</note>相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>∠ACC' = ∠AC'C</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>角ACC</note>'、<note>角CC'A</note>和<note>角C'AC</note>是三角形<note>ACC'</note>的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>角ACC' + 角CC'A + 角C'AC = 180°</note>。

三角形外角定理

三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。

<note>三角形B'C'C中</note>，<note>角B'C'C和角B'CC'</note>是和<note>角C'B'A</note>不相邻的两个内角，根据三角形外角定理，<note>∠C'B'A = ∠B'C'C + ∠B'CC'</note>。##

多边形的外角定义

多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。


Question: 如图所示,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC,若AB=4,BC=3,则四边形CODE的周长是()

Answer: 10

1. 已知CE∥BD和DE∥AC，根据##平行四边形的定义##，可知四边形CODE是平行四边形。

2. 由四边形ABCD是矩形，根据##矩形的对角线性质##，得出##AC=BD，##OC=OD。

3. 计算矩形ABCD的对角线AC和BD的长度。##根据矩形的定义，可知∠ABC=90°，再根据直角三角形的定义，可得三角形ABC是一个直角三角形，由##已知的AB=4和BC=3，根据勾股定理，AC=BD=##√(AB^2+BC^2)=√(4^2+3^2)##=5。

4. 因为AC和BD相交于点O，且OC=OD，##根据矩形的对角线性质，##得出OC=OD=(1/2)AC=2.5。

5. 因为四边形CODE是个平行四边形且OC=OD，##根据菱形的定义，可得##四边形CODE是菱形。

6. 菱形CODE的边长等于OC或OD，即2.5。##根据菱形的周长公式，可知##菱形的周长等于4倍的边长。

7. 四边形CODE的周长为2.5×4=10。

8. 经过上述推理，最终得出答案为10。

矩形; 对称; 平行线; 线段; 平行四边形

平行四边形的定义

平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。

在本题图中，由于<note>CE∥BD</note>和<note>DE∥AC</note>，四边形CODE的两组对边分别平行。具体来说，边CE与<note>边DO</note>平行且相等，边DE与<note>边OC</note>平行且相等。因此，四边形CODE是一个平行四边形。

菱形的定义

菱形是四边都相等的四边形，且对角线互相垂直平分。

矩形的对角线性质

在矩形中，对角线相等且互相平分。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>直角三角形ABC中</note>，∠ABC是直角（90度），边AB和BC是直角边，边AC是斜边，所以根据勾股定理，<note>AC^2 = AB^2 + BC^2，即AC = √(AB^2 + BC^2) = √(4^2+ 3^2) = 5</note>。

矩形的定义

矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>三角形ABC中，角ABC是直角（90度）</note>，因此三角形ABC是一个直角三角形。<note>边AB和边BC是直角边</note>，<note>边AC是斜边</note>。####

菱形的周长公式

菱形的周长等于其边长的四倍，即C=4*a。

<note>菱形CODE</note>中，<note>边OC是菱形的边</note>，根据菱形的周长公式，菱形的周长等于其边长的4倍，即 C = 4x<note>OC</note>。


Question: 如图,AD是△ABC的中线,已知△ABD的周长为22cm,AB比AC长3cm,则△ACD的周长为()

Answer: 19cm

1. 由题意得，AB比AC长3厘米，即AB = AC + 3厘米。

2. 由于AD是△ABC的中线，##根据三角形中线的定义，##所以BD = DC。

3. ##根据三角形的周长公式，已知##△ABD的周长为22厘米，因此ABD的所有边的和为22厘米，即AB + BD + AD = 22厘米。

4. 用AC代替AB，我们得到AC + 3 + ##BD## + AD = 22厘米。

5. 结合第二步，我们有DC = BD，因此式子变为AC + 3 + ##DC## + AD = 22厘米。

6. ##根据三角形的周长公式，可知△ACD的周长=AD+AC+DC，代入第五步中得AD+AC+DC=22厘米-3。##

####

##7##. 因此，△ACD的周长为AC + DC + AD = 19厘米。

普通三角形; 线段; 中点

三角形中线的定义

中线是从三角形一个顶点到对边中点的线段。


Question: 如图, 线段AB=20, C为AB的中点, D为CB上一点, E为DB的中点, 且EB=3, 则CD等于()

Answer: 4

1. 已知E为DB的中点，且EB=3，根据中点的定义，BD=2×EB=2×3=6。

2. 已知线段AB=20，C为AB的中点，根据中点的定义，CB=AC=AB/2=20/2=10。

3. 由CB=10和BD=6，得出CD=CB-BD=10-6=4。

线段中点

线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。

在本题图中，<note>线段AB的中点为点C</note>。根据线段中点的定义，<note>点C将线段AB平分为两个相等的部分</note>，即<note>线段AC和线段CB的长度相等</note>。即，AC = CB = 10。<note>线段DB的中点为点E</note>，根据线段中点的定义，<note>点E将线段DB平分为两个相等的部分</note>，即<note>线段DE和线段EB的长度相等</note>。即，DE = EB = 3。

线段的定义

线段是一个直线的一部分，包含两个端点及其间的所有点。


Question: 如图,在△ABC中,∠B=∠C,D为BC边上一点,E点在AC边上,∠ADE=∠AED,若∠BAD=24°,则∠CDE=()

Answer: 12°

1. 已知∠B=∠C，D为BC边上一点，E点在AC边上，∠ADE=∠AED，∠BAD=24°。

2. 根据三角形的外角定理，∠ADC是△ABD的外角，因此∠ADC=∠B+∠BAD。

3. 推出∠ADC=∠B+24°。

4. 根据三角形的外角定理，∠AED是△CDE的外角，因此∠AED=∠C+∠EDC。

5. 由于∠B=∠C，且已知∠ADE=∠AED，故∠C+∠EDC=∠ADC-∠EDC。

6. 因此∠C+∠EDC=∠B+24°-∠EDC。

7. 由于已知∠B=∠C，可以合并得##2∠EDC=24°##。

8. 解得∠EDC=12°。

9. 经过上述推理，最终得出答案为∠CDE=12°。

等腰三角形; 普通三角形; 对称

三角形的外角定理

三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。

在本题图中，<note>∠ADC 是△ABD 的外角</note>，依据三角形的外角定理，<note>∠ADC=∠B+∠BAD</note>。同理，<note>∠AED 是 △CDE 的外角</note>，依据三角形的外角定理，<note>∠AED=∠C+∠EDC</note>。####


Question: 如图,C,D是线段AB上两点．若CB=4cm,DB=7cm,且D是AC的中点,则AB=()

Answer: 10cm

1. 已知CB=4 cm，DB=7 cm，根据线段和差计算方法，得出CD=7 cm - 4 cm = 3 cm。

2. D是AC的中点，根据中点的定义，可知AD = CD = 3 cm。

3. 根据线段相加的性质，AB = AD + DB = 3 cm + 7 cm = 10 cm。

4. 经过上述推理，最终得出AB的长度为10 cm。

线段的定义

线段是一个直线的一部分，包含两个端点及其间的所有点。

在本题图中，<note>线段AB是一个直线的一部分，包含端点A和端点B及其间的所有点</note>。<note>线段AB具有两个端点，这两个端点分别是A和B</note>，且<note>线段AB上的每一个点都位于端点A和端点B之间</note>。<note>线段AC是一个直线的一部分，包含端点A和端点C及其间的所有点</note>。<note>线段AC具有两个端点，这两个端点分别是A和C</note>，且<note>线段AC上的每一个点都位于端点A和端点C之间</note>。<note>线段AD是一个直线的一部分，包含端点A和端点D及其间的所有点</note>。<note>线段AD具有两个端点，这两个端点分别是A和D</note>，且<note>线段AD上的每一个点都位于端点A和端点D之间</note>。<note>线段CD是一个直线的一部分，包含端点C和端点D及其间的所有点</note>。<note>线段CD具有两个端点，这两个端点分别是C和D</note>，

线段中点

线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。

在本题图中，线段<note>AC的中点为点D</note>。根据线段中点的定义，<note>点D将线段AC平分为两个相等的部分，即线段AD和线段DC的长度相等</note>。即，<note>AD = DC</note>。


Question: 如图,已知直线a∥b∥c,直线d与它们分别垂直且相交于A,B,C三点,若AB=3,AC=8,则平行线b,c之间的距离是()

Answer: 5

1. 已知平行线a∥b∥c，并且直线d与它们分别垂直且相交于A点、B点和C点。

2. 根据##平行线之间的垂直距离##，AB段的长度为3，且AB是平行线a和b之间的距离。

3. ##根据平行线之间的垂直距离##，AC段的长度为8，且AC是平行线a和c之间的距离。

4. ##根据线段的定义，##BC段的长度可以通过AC段的长度减去AB段的长度得到，即BC = AC - AB。

5. 将已知数据代入，得到BC = 8 - 3。

6. 计算得出BC的长度为5，即直线b与直线c之间的距离为5。

平行线; 垂线; 直线; 线段

平行线的定义

在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

在本题图中，<note>直线a、b、c位于同一平面内</note>，<note>并且它们没有交点</note>，因此根据平行线的定义，<note>直线a、b、c是平行线，即a ∥ b ∥ c</note>。####

线段的定义

线段是一个直线的一部分，包含两个端点及其间的所有点。

<note>线段AB是一个直线的一部分，包含端点A和端点B及其间的所有点</note>。<note>线段AC是一个直线的一部分，包含端点A和端点C及其间的所有点</note>。<note>线段BC是一个直线的一部分，包含端点B和端点C及其间的所有点</note>。

平行线之间的垂直距离

平行线之间的垂直距离是指任意一点到另一条直线的垂直线段的长度。


Question: 如图,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE=3cm,△ABD的周长为13cm,则△ABC的周长为()

Answer: 19cm

1. 已知DE是AC的垂直平分线，且AE = 3 cm。

2. 根据垂直平分线的性质，AC被平分，因此AE = CE = 3 cm，AD = DC。

3. 已知△ABD的周长为13 cm，##根据三角形的周长公式，可得##AB + BD + AD = 13 cm。

4. ##根据三角形的周长公式，可得##△ABC的周长 = AB + BC + AC = AB + BD + DC + 2 * AE。

5. 由于AD = DC，所以把AD替换为DC，在△ABC中有周长= AB + BD + DC + 2 * 3 cm。

6. 依上得，△ABC的周长 = AB + BD + AD + 6 cm = 13 cm + 6 cm。

7. 经过上述推理，最终得出答案为19cm。

垂直平分线; 等腰三角形; 线段; 普通三角形

垂直平分线的定义

经过线段中点且垂直于该线段的直线。

在本题图中，DE经过线段AC的<note>中点E</note>，并且<note>DE垂直于线段AC</note>。因此，DE是线段AC的垂直平分线。具体来说，<note>AE = CE = 3 cm</note>。

垂直平分线的性质

垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等。

在本题图中，<note>线段AC的垂直平分线为直线DE</note>，<note>点D在直线DE上</note>。根据垂直平分线的性质，<note>点D到线段AC两端点A和C的距离相等</note>，即<note>AD = DC</note>,####<note>AE = CE</note>。##

三角形的周长公式

<note>三角形ABC的三边分别为AB、AC、BC</note>，根据三角形的周长公式，三角形的周长等于其三边长度之和，即周长<note>P=AB+AC+BC</note>。同理，<note>已知三角形ABD的三边分别为AB、AD、BD</note>，根据三角形的周长公式，三角形的周长等于其三边长度之和，即周长<note>P=AB+AD+BD</note>。


Question: 如图,AB是⊙O的直径,CD是弦,AB⊥CD,垂足为点E,连接OD、CB、AC,∠DOB=60°,EB=2,那么CD的长为()

Answer: 4√{3}

1. 已知 ∠DOB=60°，根据圆周角定理，得出 ∠BCE=30°。

2. 在直角三角形 ΔBCE 中，已知 BE=2 和 ∠BCE=30°。

3. 根据30°-60°-90°三角形性质，BC = 2×BE=4。

4. 根据勾股定理，在直角三角形 ΔBCE 中，CE=√(##BC^2##-##BE^2##)=√(##4^2##-##2^2##)=2√3。

5. 因为 AB 是 ⊙O 的直径，且 AB ⊥ CD ，根据##垂径定理##，得出 CD=2×CE=4√3。

6. 根据上述推理，最终得出答案为 CD 的长度为 4√3。

圆; 垂线; 直角三角形; 弦; 圆心角

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

<note>圆 O 中</note>，<note>∠BCD</note> 的<note>顶点C</note> 在圆周上，<note>∠BCD</note> 的两边分别与<note>圆 O</note> 相交于<note>点 B</note> 和<note>点 D</note>。因此，<note>∠BCD</note>是一个圆周角。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

30°-60°-90°三角形的性质

<note>30°-60°-90°##三角形BCE##</note>中，<note>角BCE是30度</note>，<note>角BEC是##90度##</note>，<note>角CBE是##60度##</note>。<note>边BC是斜边</note>，<note>边BE是30度角所对的边</note>，<note>边CE是60度角所对的边</note>。根据30°-60°-90°三角形的性质，<note>边BC等于边BE的2倍</note>，<note>边CE等于边BE的√3倍</note>。即：<note>BC = 2 * BE</note>，<note>CE = BE * √3</note>。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>在直角三角形 △BCE 中</note>，<note>∠BEC 是直角（90度）</note>，<note>边 CE 和 BE 是直角边</note>，<note>边 CB 是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>CE^2 = BC^2 - BE^2</note>。

垂径定理

如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。

<note>圆 O</note> 中，直径 <note>AB</note> 垂直于弦 <note>CD</note>，那么根据垂径定理，直径 <note>AB</note> 平分弦 <note>CD</note>，即 <note>CE = ED</note>，并且直径 <note>AB</note> 平分弦 <note>CD</note> 所对的两条弧，即 <note>弧 BC</note> = <note>弧 BD</note>。


Question: 如图△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC交BC于D,DE垂直AB于E,若DE=1.5cm,BD=3cm,则BC=()

Answer: 4.5cm

1. 已知△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于D，DE垂直AB于E。根据##垂线定义，可知∠DEA=90°##。

2. 由于AD是##∠BAC##的角平分线，##根据角平分线定义，得出∠DAE=∠DAC##。

####

##3. 在ΔADE和ΔADC中，因为∠DAE=∠DAC，∠DEA=∠DCA=90°，AD为∠DEA和∠DCA的对边，所以根据全等三角形判定定理(AAS)，ΔADE全等于ΔADC。##

##4. 根据全等三角形的定义，可知DE=DC。##

####

##5##. 因为DC等于DE且等于1.5cm，####BD等于3cm，##所以##BC=BD+DC=3cm+1.5cm=4.5cm。

##6##. 经过上述推理，最终得出答案为4.5cm。

直角三角形; 垂线; 线段; 等腰三角形

角平分线定义

角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。

在本题图中，<note>角BAC的顶点是点A</note>，<note>从点A引出一条线AD</note>，<note>这条线将角BAC分成两个相等的角，即角BAD和角CAD相等</note>。因此，<note>线AD是角BAC的角平分线</note>。######

全等三角形判定定理(AAS)

两个三角形的两角及一角的对边对应相等，则两个三角形全等。

垂线定义

如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。

<note>直线DE和直线AB相交形成的角∠DEA是90度</note>，因此根据垂线定义，<note>直线DE和直线AB互相垂直</note>。####

全等三角形的定义

两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等。

<note>三角形ADE和三角形ADC是全等三角形</note>，<note>边AE = 边AC</note> <note>边AD = 边AD</note> <note>边DE = 边DC</note>，同时，<note>角DEA = 角DCA</note> <note>角DAE= 角DAC</note> <note>角ADE = 角ADC</note>。##


Question: 如图,AB是⊙O的直径,CD是弦,AB⊥CD于点E,若半径为5,OE=3,则CD的长是()

Answer: 8

1. 已知AB是⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E。

2. 根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此CE = CD的一半。

3.##连接OC，## 在直角三角形△OCE中，OE是直角边之一，OC是斜边。

4. 由直角三角形的勾股定理，OC^2 = OE^2 + CE^2。

5. 已知OC = 5，OE = 3，则5^2 = 3^2 + CE^2。

6. 解方程得到CE^2 = 25 - 9 = 16，所以CE = √16 = 4。

7. 因为CE = CD的一半，所以CD = 2 * CE = 2 * 4 = 8。

8. 经过上述推理，最终得出答案为8。

圆; 弦; 垂线; 直角三角形; 垂直平分线

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

<note>AB是直径，连接了圆心O和圆周上的A、B两点</note>，长度为2倍的半径，即<note>AB = 2 * 5</note>。

弦的定义

弦是连接圆上任意两点的线段。

<note>在本题图中，圆O中，点C和点D是圆上的任意两点</note>，<note>线段CD连接了这两个点</note>，所以<note>线段CD是圆O的弦</note>。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>在本题图中，三角形OCE中，角OEC是直角（90度）</note>，因此三角形OCE是一个直角三角形。<note>边OE和边CE是直角边</note>，<note>边OC是斜边</note>。

垂径定理

如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>角OEC是直角（90度）</note>，边OE和CE是直角边，边OC是斜边，所以根据勾股定理，<note>OC^2= OE^2 + CE^2</note>。


Answer: 2cm

1. 已知 AB = 8cm，AD = 5cm，根据减法原理，可以得出 BD = AB - AD = 3cm。

2. 已知 BC = 5cm，再根据减法原理，可以得出 CD = BC - BD = 2cm。

3. 因此，我们可以得出 CD 的长度为 2cm。

线段的定义

线段是一个直线的一部分，包含两个端点及其间的所有点。

在本题图中，<note>线段AB、AD、BC、BD和CD</note>都是线段。<note>线段AB</note>是一个直线的一部分，包含<note>端点A和端点B</note>及其间的所有点。<note>线段AD</note>是一个直线的一部分，包含<note>端点A和端点D</note>及其间的所有点。<note>线段BC</note>是一个直线的一部分，包含<note>端点B和端点C</note>及其间的所有点。<note>线段BD</note>是一个直线的一部分，包含<note>端点B和端点D</note>及其间的所有点。<note>线段CD</note>是一个直线的一部分，包含<note>端点C和端点D</note>及其间的所有点。


Question: 如图,点C在线段AB上,点E是AC中点,点D是BC中点．若ED=6,则线段AB的长为()

Answer: 12

1. 已知点E是线段AC的中点，根据定义，线段AC被E平分，即AE = CE。

2. 同理，点D是线段BC的中点，根据定义，线段BC被D平分，即BD = CD。

3. 根据题目所给条件，点C在线段AB上，因此线段AB可以表示为AC与CB的和。

4. 由步骤1和步骤2的结论，AE = 1/2 AC，CE = 1/2 AC，BD = 1/2 BC，CD = 1/2 BC。

5. ##由题目和以上公式可知，AB=AC+BC=2EC+2CD=2(EC+CD)=2ED。##

6. 已知ED的长度为6，因此可以通过代入上面公式得出AB的长度，即AB = 2 × 6。

7. 最终得出AB的长度为12。

线段中点

线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。

线段的定义

线段是一个直线的一部分，包含两个端点及其间的所有点。


Answer: 80°

1. 已知角1的度数为40°，##连接CD，设角CDE为角2，角DCE为角3，##根据三角形内角和定理，三角形的内角和等于180°，因此可以得出角1 + 角2 + 角3 = 180°。

2. 根据三角形内角和定理，将角1的度数代入，得出角2 + 角3 = 180° - 40° = 140°。

3. ##根据四边形的内角和定理，可知四边形的内角和等于360°，因此##四边形ABCD的##内角和##为360°，即角A + 角B + 角ADC + 角BCD = 360°。

4. 已知角A + 角B的度数为140°，由此可得角ADC + 角BCD = 360° - 140° = 220°。

5. 四边形ABCD内的角BCE和角ADE##的和##应当为220°减去已经算出的角2和角3的和，即角BCE + 角ADE = 220° - 140° = 80°。

6. 经过上述推理，最终得出角C和角D的度数和为80°。

普通三角形; 三角形的外角; 邻补角

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形CDE</note>中，<note>角CED</note>、<note>角CDE</note>和<note>角DCE</note>是<note>三角形CDE</note>的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>角CED</note> + <note>角CDE</note> +<note>角DCE</note> = 180°。特别地，我们知道<note>角CED</note> = 40°，所以可以得出：<note>角CDE</note> + <note>角DCE</note> = 140°。

四边形的内角和定理

在任意四边形中，四个内角的和为360°。

<note>四边形ABCD</note>中，<note>角ADC、角DCB、角CBA和角BAD</note>是四边形的四个内角，根据四边形的内角和定理，这四个内角的和为360°，即<note>角ADC + 角DCB + 角CBA + 角BAD = 360°</note>。

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

四边形定义

四边形是由四条线段组成的封闭图形，这些线段称为四边形的边。四边形有四个顶点和四个内角。

<note>四边形ABCD</note>由四条线段<note>AB, BC, CD和DA</note>组成，这些线段称为四边形的边。四边形ABCD有四个顶点，分别是<note>点A, 点B, 点C和点D</note>，并且有四个内角，分别是<note>角ABC, 角BCD, 角CDA和角DAB</note>。


Question: 如图,C,D是线段AB上两点,若CB=4cm,DB=7cm,且D是AC的中点,则AB的长等于()

Answer: 10cm

1. 已知CB的长度为4厘米，DB的长度为7厘米，依据线段相减得出CD的长度为3厘米。

2. 由D是AC的中点，根据##线段中点##，得出AD等于CD，AD的长度为3厘米。

3. 依据线段相加，AB可以表示为AD与DB的和，因此AB的长度等于3厘米加上7厘米，即10厘米。

线段的定义

线段是一个直线的一部分，包含两个端点及其间的所有点。

在本题图中，<note>线段AB是一个直线的一部分，包含端点A和端点B及其间的所有点</note>。<note>线段CB和线段DB也是线段</note>，它们分别由<note>端点C到端点B、端点D到端点B的所有点</note>组成。

线段中点

线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。

<note>线段AC的中点为点D</note>。根据线段中点的定义，<note>点D将线段AC平分为两个相等的部分，即线段AD和线段DC的长度相等</note>。即，<note>AD = DC</note>。


Question: 如图,△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BD平分∠ABE,DE⊥BC,如果BC=10cm,则△DEC的周长是()

Answer: 10cm

1. 由已知∠A=90°且AB=AC，结合##等腰直角三角形的定义##得出△ABC为等腰直角三角形。

2. 根据##勾股定理，得到AB^2＋AC^2＝BC^2，因AB=AC，所以有2AB^2＝BC^2，两边同时开根号，得√2AB＝√2AC＝BC##，即AB=AC=10cm/√2=5√2cm。

3. 因为BD平分∠ABE，且DE⊥BC####。

4. 根据##BD=BD，∠ABD=∠EBD，∠BAD＝∠DEB，由三角形内角和定理可知，∠ADB＝∠EDB＝180°-∠ABD-90°＝180°-∠EBD-90°##，得出△ABD≌△EBD（##ASA，即角边角定理）。

5. 因为△ABD≌△EBD，由全等三角形的定义可知AB=BE。

6.##因为BC＝BE＋EC，BE＝AB＝5√2，所以可求EC等于10-5√2。##

7.##因为三角形ABC是等腰直角三角形，所以∠C＝45°，因为DE⊥BC，所以∠DEC为90°，由三角形内角和定理可知，∠C＝∠EDC＝180°-90°-45°＝45°。由等腰三角形的性质可知，直角三角形DEC的两个直角边DE和CE相等，再由等腰直角三角形的定义可知，三角形DEC也是等腰直角三角形。##

8. ##由勾股定理可推出等腰直角三角形三边比例关系为1：1：√2，可求DC＝10√2-10##

##9.由三角形的周长公式可知，三角形DEC周长为DC＋2EC＝10.##

####

直角三角形; 垂线; 等腰三角形; 线段; 三角形的外角

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

等腰直角三角形的定义

等腰直角三角形是两个边相等且有一个角为90度的三角形。

角平分线定义

角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。

在本题图中，<note>角ABE的顶点是点B</note>，<note>从点B引出一条线BD</note>，这条线将角ABE分成两个相等的角，即<note>角ABD和角EBD相等</note>。因此，<note>线BD是角ABE的角平分线</note>。

垂线定义

如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。

<note>直线DE和直线BC相交形成的角∠DEC是90度</note>，因此根据垂线定义，<note>直线DE和直线BC互相垂直</note>。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>在本题图中，直角三角形ABC中，##∠BAC##是直角（90度）</note>，边AB和AC是直角边，边BC是斜边，所以根据勾股定理，<note>##BC^2= AB^2 + AC^2##</note>。

全等三角形判定定理的角边角准则（ASA）

如果一个三角形的两角和它们夹着的一边分别等于另一个三角形的两角和它们夹着的一边，则这两个三角形全等。

<note>∠ABD=∠EBD=45°</note>，<note>∠BAD=∠BED=90°</note>，且<note>BD=BD</note>。由于这两个三角形的两角和它们夹着的一边分别相等，根据全等三角形判定定理的角边角准则（ASA），可以得出<note>三角形ABD全等于三角形EBD</note>。

全等三角形的定义

两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等

<note>三角形ABD和三角形EBD是全等三角形</note>，三角形ABD的对应边和对应角与三角形EBD相等，即：
边<note>BD = 边BD</note>
边<note>AD = 边ED</note>
边<note>AB = 边EB</note>，同时，对应的角也相等：
角<note>EBD = 角DBA</note>
角<note>DEB = 角DAB</note>
角<note>ADB = 角EDB</note>.

三角形的周长公式

<note>三角形EDC</note>的三边分别为<note>EC、DC、ED</note>，根据三角形的周长公式，三角形的周长等于其三边长度之和，即周长<note>P=EC+DC+ED</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°

在本题图中，三角形ABD中，<note>角ABD、角BAD和角ADB是三角形ABD的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角ABD + 角BAD + 角ADB = 180°</note>。三角形BDE中，<note>角BDE、角BED和角DBE是三角形BDE的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角BDE + 角BED + 角DBE = 180°</note>。####

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等

<note>等腰三角形DEC</note>中，<note>角EDC和角ECD相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，<note>相等的角对应的边相等，即边ED = 边EC</note>。


Question: 如图,圆外切等腰梯形ABCD的中位线EF=15cm,那么等腰梯形ABCD的周长等于()

Answer: 60cm

1. 已知中位线EF=15厘米，根据梯形的中位线等于上底和下底之和的一半，得出梯形的两底之和等于中位线的2倍，即EF的2倍=30厘米。

2. 由题意，圆外切四边形ABCD，根据圆外切四边形的性质，两组对边之和相等，因此梯形的两腰AB和CD的和等于两底之和，即AB+CD=30厘米。

3. 由于梯形的周长等于两底和两腰之和，所以ABCD的周长=上底+下底+AB+CD=30厘米+30厘米=60厘米。

4. 最终得出答案为60厘米。

圆; 等腰三角形; 切线; 梯形; 平行线

圆外切四边形的性质

四边分别与圆相切的四边形称为圆外切四边形。圆的外切四边形的两组对边的和相等

<note>四边形ABCD是一个圆外切四边形</note>，四边分别与圆相切。根据圆外切四边形的性质，<note>四边形ABCD的两组对边的和相等</note>，即<note>边AB+边CD=边AD+边BC</note>。

梯形的定义

梯形是一种四边形，有且仅有一对平行边。

<note>边AD</note>和<note>边BC</note>是平行的，而<note>边AB</note>和<note>边DC</note>不平行。因此，根据梯形的定义，四边形ABCD是一种梯形，因为它有且仅有一对平行边。

梯形中位线定理

梯形的中位线是连接两腰中点的线段，这条线段平行于两条底边，并且长度等于两条底边长度和的一半。

在本题图中，梯形<note>ABCD</note>中，##<note>边AD</note>##和##<note>边BC</note>##是梯形的两条底边，<note>点E</note>和<note>点F</note>是梯形两腰的中点，<note>线段EF</note>是连接两腰中点的中位线。根据梯形中位线定理，<note>线段EF</note>平行于##<note>边AD</note>##和##<note>边BC</note>##，并且<note>线段EF</note>的长度等于##<note>边AD</note>##和##<note>边BC</note>##长度和的一半，即<note>EF = (##AD## + ##BC##) / 2</note>。由于已知<note>EF = 15厘米</note>，因此##<note>AD</note> + <note>BC</note>## = 2 * <note>15</note> = <note>30厘米</note>。####


Question: 如图,AB是⊙O的直径,O是圆心,弦CD⊥AB于E,AB=10,CD=8,则OE的长为()

Answer: 3

1. 连接OC。已知AB是⊙O的直径，AB = 10，圆心O到圆周上任意一点的距离都是半径，所以OC = 半径 = 10 / 2 = 5。

2. 已知弦CD垂直于直径AB，并且交于E点，由于CD ⊥ AB, 则##∠OEC## = 90°。根据##垂径定理##，可知CD被直径AB垂直平分，即CE = ED = CD / 2 = 8 / 2 = 4。

3. 三角形OEC是一个直角三角形，其中∠OEC = 90°，OC = 5，CE = 4。

4. 根据勾股定理（直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和）。在三角形OEC中，##OE? + CE? = OC?##。

5. 代入已知数值，有##OE?  + 4?  = 5? ##。

6. 解此方程，##OE? ## + 16 = 25。

7. 得出##OE? ##= 25 - 16 = 9。

8. 所以OE = √9 = 3。

9. 因此，OE的长度为3。

圆; 弦; 垂线; 直角三角形; 线段

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

<note>AB是直径</note>，连接了<note>圆心O</note>和<note>圆周上的A、B两点</note>，长度为<note>2倍的半径</note>，即<note>AB = 2 * 半径 = 10</note>。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

<note>点O是圆心</note>，<note>点C是圆上的任意一点</note>，<note>线段OC是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段OC是圆的半径</note>。

弦的定义

弦是连接圆上任意两点的线段。

<note>圆O中，点C和点D是圆上的任意两点</note>，<note>线段CD连接了这两个点</note>，所以<note>线段CD是圆O的弦</note>。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

垂径定理

如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。

<note>在本题图中</note>，圆O中，<note>直径AB垂直于弦CD</note>，那么根据垂径定理，<note>直径AB平分弦CD</note>，即<note>CE = ED = CD / 2 = 4</note>，并且<note>直径AB平分弦CD所对的两条弧</note>，即<note>弧AC = 弧AD</note>。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>直角三角形OEC</note>中，<note>角OEC是直角（90度）</note>，<note>边OE和CE是直角边</note>，<note>边OC是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>OC? = OE? + CE?</note>。


Question: 如图,点O在直线AB上,若∠2=140°,则∠1的度数是()

Answer: 40°

1. 已知直线AB和点O，根据题意图示，如图所示。

2. 由于点O在直线AB上，##根据平角的定义，可知##∠AOB为直线上的角，##∠AOB=180度。##

3. 由题意得∠AOB=∠1+∠2。

4. 由题中已知条件，∠2=140°。

5. 代入得到∠1+∠2=180°，即∠1+140°=180°。

6. 解此方程得：∠1=40°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为40°。

邻补角; 直线; 对顶角

角的定义

<note>角AOB是由两条射线AO和OB组成的几何图形</note>，这两条射线有一个共同的端点<note>O</note>。这个共同的端点<note>O称为角AOB的顶点</note>，而<note>射线AO和OB称为角AOB的边</note>。######

平角的定义

一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度

<note>射线OA绕着端点O旋转到与起始边成一条直线，形成平角AOB</note>。根据<note>平角的定义</note>，平角的度数为180度，即<note>角AOB=180度</note>。


Question: 如图,一把矩形直尺沿直线断开并错位,点E、D、B、F在同一条直线上,若∠ADE=125°,则∠DBC的度数为()

Answer: 55°

####

##1.## 由题意知直线AD平行于直线CB。

##2. 因∠ADE和∠ADF互补，所以∠ADE+∠ADF=180°##

##3.# 题中已知∠ADE=125°，所以##∠ADF=55°##。

##4. 因为直线AD平行于直线CB，所以∠ADF和∠CBD互为内错角，∠ADF=∠CBD=55°

####

##5.## 经过上述推理，最终得出答案为55°。

平行线; 内错角; 对顶角; 线段

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

邻补角的定义

两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角

<note>角ADE和角ADF有一条公共边DA</note>，<note>它们的另一边DE和DF互为反向延长线</note>，所以角ADE和ADF互为邻补角。######


Question: 设BF交AC于点P,AE交DF于点Q．若∠APB=126°,∠AQF=100°,则∠A-∠F=()

Answer: 46°

1.  根据题意，已知 ∠APB = 126°，∠AQF=100°。设AE与BF的交点为G。

3. 在三角形APG中，根据外角定理，得 ∠APB = ∠A + ∠AGP。

4. 在三角形QFG中，根据三角形内角和定理，得 ∠F + ∠FGQ + ∠GQF=180°。

5.代入∠APB = 126°，∠GQF=100°。

6. 得到：126° = ∠A + ∠AGP，80° = ∠F + ∠QGF。

7. 因为 ∠AGP和 ∠QGF是对顶角，∠AGP= ∠QGF。

8. 解方程，得到 ∠A - ∠F = 46°。

9. 经过上述推理，最终得出答案为46°。

对顶角; 普通三角形; 邻补角

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>在本题图中，三角形QGF中，角F、角GQF和角QGF是三角形APB的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角F+角GQF+角QGF= 180°</note>。

三角形的外角定理

三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。

在本题图中，三角形APG中，<note>∠APB是三角形的一个外角</note>，<note>∠A和∠AGP是不相邻的两个内角</note>，根据三角形的外角定理，<note>外角∠APB等于不相邻的两个内角∠A和∠AGP之和，即∠APB = ∠A + ∠AGP</note>。

对顶角的定义

对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。

在本题图中，<note>线段BF与AE相交于点G</note>，形成四个角：∠BGE、∠AGF、<note>∠AGP和∠FGQ</note>。根据对顶角的定义，<note>∠AGP和∠FGQ是对顶角</note>。由于对顶角的角度相等，所以<note>∠AGP=∠FGQ</note>。

多边形的外角定义

多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。


Answer: 125°

1. 根据题意, 四点A, B, C, D都在⊙O上, 且已知∠BOD=110°。

2. 由圆周角定理可知, ∠BAD (即∠BCD的对角) 等于所对的圆心角的一半，即∠BAD=∠BOD/2=55°。

3. 因为四边形ABCD是圆内接四边形，且圆内接四边形的对角互补，所以∠BCD=180°-∠BAD。

4. 由此得出, ∠BCD=180°-55°=125°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为125°。

圆; 圆心角; 圆周角; 圆内接四边形

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

在本题图中，####⊙O中，<note>角BAD的顶点A在圆周上</note>，<note>角BAD的两边分别与####⊙O相交于点B和点D</note>。因此，<note>角BAD是一个圆周角</note>。同样，<note>角BCD的顶点C在圆周上</note>，<note>角BCD的两边分别与####⊙O相交于点B和点D</note>。因此，<note>角BCD是一个圆周角</note>。##

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

<note>在本题图中，圆O中，点B和点D是圆上的两点，圆心是点O</note>。<note>连线OB和OD组成的角∠BOD称为圆心角</note>。##

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

<note>在本题图中，圆O中，##点A、B、D##在圆上</note>，<note>##弧BD##对应的圆心角为∠BOD，圆周角为∠BAD</note>。根据圆周角定理，<note>∠BAD等于它所对的##弧BD##所对应的圆心角∠BOD的一半</note>，即<note>∠BAD = 1/2 ∠BOD</note>。

(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理

在一个圆内接四边形中，每一对对角的和等于180°。并且任何一个外角都等于他的内对角。

<note>四边形ABCD是⊙O的内接四边形</note>，四边形的顶点A, B, C, D都在圆上。根据圆内接四边形对角互补定理，四边形ABCD的每一对对角的和等于180°。具体来说，<note>∠BAD + ∠BCD = 180°</note>；<note>∠ABC + ∠CDA = 180°</note>。所以<note>∠BAD与∠BCD互补</note>，即<note>∠BCD=180°-∠BAD=180°-55°=125°</note>。


Question: 如图,BD,CE分别是△ABC的高线和角平分线,且相交与点O,若∠BCA=70°,则∠BOE的度数是()

Answer: 55°

1. 已知##BD是△ABC的高线。根据高的定义，得BD垂直于AC，即##∠BDC=90°。

2. 由书籍CE是△ABC的角平分线##，根据角平分线的定义，CE##平分∠ACB,已知∠ACB=70°，可得∠ECB=∠ECA=35°。

####

##3##. ##在直角三角形COD中，根据三角形内角和定理，可以得出∠COD=180°-90°-35°=55°。##

##4##. ##根据对顶角的定义##，∠BOE=∠COD=55°。

垂线; 普通三角形; 垂直平分线; 对顶角

高的定义

从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。

<note>从顶点B垂直于对边AC的线段BD</note>是该顶点B的高。<note>线段BD与边AC形成一个直角（90度）</note>，这说明线段BD是从顶点B到对边AC的垂直距离。

角平分线定义

角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

对顶角的定义

对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。

<note>在本题图中，两条相交直线CE和BD相交于点O</note>，形成四个角：<note>角EOD、角COB、角BOE和角COD</note>。根据对顶角的定义，<note>角EOD和角COB是对顶角，角BOE和角COD是对顶角</note>。由于对顶角的角度相等，所以<note>角EOD=角COB，角BOE=角COD</note>。##


Question: 如图,BP平分∠ABC交CD于点F,DP平分∠ADC交AB于点E,若∠A=40°,∠P=38°,则∠C的度数为()

Answer: 36°

1. 根据题意，BP平分∠ABC，DP平分∠ADC。

2. ##根据角平分线定义，所以##∠ADP = ∠PDC，∠CBP = ∠PBA。####

3. 由已知条件∠A = 40°，∠P = 38°。

4. 设∠ABP = x，则∠CBP = x####。

5. 设∠ADP = y，则∠PDC = y####。

6. ##根据多边形的外角定义，可知∠AED的外角为∠DEB，∠PEB的外角为∠DEB。同理，∠CFB的外角为∠BFD，∠PFD的外角为∠BFD，因此根据三角形的外角定理，可以得到两个等式∠A + ∠ADP = ∠P + ∠ABP和∠C + ∠CBP = ∠P + ∠PDC。##

7. 代入已知条件，得出40° + y = 38° + x 和 ∠C + x = 38° + y。

8. 由于BP和DP平分角，可以通过各自角度的和等于外角之和来解出∠A + ∠C = 2∠P。

9. 所以40° + ∠C = 2 × 38°。

10. 化简上述表达式，得到∠C = 2 × 38° - 40°。

11. 计算得出∠C = 36°。

12. 经过上述推理，最终得出答案为36°。

普通三角形; 三角形的外角; 对顶角; 邻补角; 射线

角平分线定义

角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。

三角形的外角定理

三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。

##在本题图中，三角形PEB中，<note>角DEB</note>是三角形的一个外角，<note>角EPB</note>和<note>角EBP</note>是与外角<note>DEB</note>不相邻的两个内角，根据三角形的外角定理，外角<note>DEB</note>等于不相邻的两个内角<note>EPB</note>和<note>EBP</note>之和，即<note>角DEB = 角EPB + 角EBP</note>。

同理，三角形AED中，<note>角DEB</note>是三角形的一个外角，<note>角EAD</note>和<note>角EDA</note>是与外角<note>DEB</note>不相邻的两个内角，根据三角形的外角定理，外角<note>DEB</note>等于不相邻的两个内角<note>EAD</note>和<note>EDA</note>之和，即<note>角DEB = 角EAD + 角EDA</note>。

同理，三角形PFD中，<note>角BFD</note>是三角形的一个外角，<note>

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

<note>三角形AED</note>是由三个非共线点<note>A、E、D</note>及其连接线段<note>AE、AD、DE</note>组成的几何图形。<note>点A、E、D</note>分别是三角形的三个顶点，线段<note>AE、AD、DE</note>分别是三角形的三条边。同理，<note>三角形PEB</note>是由三个非共线点<note>P、E、B</note>及其连接线段<note>PE、PB、BE</note>组成的几何图形。<note>点P、E、B</note>分别是三角形的三个顶点，线段<note>PE、PB、BE</note>分别是三角形的三条边。同理，<note>三角形PFD</note>是由三个非共线点<note>P、F、D</note>及其连接线段<note>PF、PD、FD</note>组成的几何图形。<note>点P、F、D</note>分别是三角形的三个顶点，线段<note>PF、PD、FD</note>分别是三角形的三条边。同理，<note>三角形CF


Question: 如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,∠BCD=110°,则∠BOD的度数是()

Answer: 140°

1. 已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，并且已知∠BCD=110°。

2. 根据圆内接四边形的性质，对应的对角互补，即四边形ABCD中∠A与∠C互补。根据这一性质，我们得到∠A = 180° - ∠BCD。

3. 根据计算，得∠A = 180° - 110° = 70°。

4. 由圆周角定理得，圆心角是同一弧所对的圆周角的两倍。因此，∠BOD = 2∠A。

5. 根据计算，得∠BOD = 2 x 70° = 140°。

6. 因此，最终得出答案是140°。

圆内接四边形; 圆周角; 圆心角; 圆

内接四边形

内接四边形是指一个四边形的全部四个顶点都在同一个圆上。这个圆称为四边形的外接圆。

在本题图中，<note>四边形ABCD的四个顶点A、B、C和D都在同一个圆O上</note>。<note>这个圆称为四边形ABCD的外接圆</note>。因此，<note>四边形ABCD是一个内接四边形</note>。根据内接四边形的性质，可以得出对角相加等于180度，即<note>∠A + ∠C = 180度</note>。

(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理

<note>圆内接四边形ABCD中，四边形的顶点A、B、C、D都在圆上</note>。根据圆内接四边形对角互补定理，<note>四边形ABCD的每一对对角的和等于180°</note>。具体来说，<note>∠A + ∠C = 180°</note>####。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。


Question: 如图所示，P是⊙O的弦AB上的一点，AB=10cm，AP=4cm，OP=5cm，则⊙O的半径为cm。

Answer: 7

1. 已知点P是⊙O的弦AB上的一点，AB=10cm，AP=4cm，OP=5cm。

2. 过点O作OD垂直于AB线段，D为垂足，连接OB。

3. 由于AB是弦##，根据垂径定理，##AB被D垂直平分，即BD=5cm。

4. 由AP=4cm可得出PB=AB-AP=10cm-4cm=6cm，因此DP=6cm-5cm=1cm。

5. 在直角三角形ODP中，根据勾股定理，OD=√(##OP^2-DP^2##)=√(##5^2-1^2##)=2√6。

6. ##连接OB，##在直角三角形ODB中，根据勾股定理，OB=√(##OD^2+BD^2##)=√(##（2√6）^2+5^2##)=√(24+25)=√49=7cm。

7. 经过上述推理，最终得出⊙O的半径为7cm。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>在本题图中，三角形ODP中，角ODP是直角（90度）</note>，因此三角形ODP是一个直角三角形。<note>边OD和边DP是直角边，边OP是斜边</note>。##同理，<note>三角形ODB中，角ODB是直角（90度）</note>，因此三角形ODB是一个直角三角形。<note>边OD和边DB是直角边，边OB是斜边</note>。##

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

垂径定理

如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。


Question: 如图,PA,PB切⊙O于点A,B,点C是⊙O上一点,且∠P=36°,则∠ACB=()

Answer: 72°

1. 如图所示，连接OA和OB，OA和OB是圆O的半径。

2. 根据已知条件，PA和PB为圆O的切线，因切线和圆半径垂直，因此有∠PAO = ∠PBO = 90°。

####

##3. ##已知∠P = 36°，所以有##∠AOB = 360° - ∠PAO - ∠PBO -∠P =  360°- 90°-90°- 36° = 144°##。

##4. ##根据圆周角定理，弧AB的圆周角∠ACB等于所对圆心角∠AOB的一半，因此有∠ACB = 1/2 * ∠AOB = 1/2 * 144° = 72°。

##5.## 经过上述推理，最终得出答案为∠ACB = 72°。

圆; 切线; 圆周角; 圆内接四边形; 普通三角形

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

在本题图中，圆O中，<note>点O是圆心</note>，<note>点A和点B是圆上的任意一点</note>，<note>线段OA和线段OB是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段OA和线段OB是圆的半径</note>。

圆的切线定义

圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。

<note>在本题图中，圆 O</note> 与<note>直线 PA 和 PB</note> 分别有且只有<note>一个公共点 A 和 B</note>，这两个公共点叫做切点。因此，<note>直线 PA 和 PB 是圆 O 的切线</note>。

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

四边形的内角和定理

在任意四边形中，四个内角的和为360°。

<note>∠PAO = ∠PBO = 90°</note>，所以有 ∠APB + <note>∠AOB</note> + 2 * 90° = 360°，得 <note>∠AOB = 144°</note>。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

在本题图中，圆O中，点A、B、C在圆上，<note>弧AB与弧ACB对应的圆心角为∠AOB</note>，<note>圆周角为∠ACB</note>。根据圆周角定理，<note>∠ACB等于它所对的弧AB所对应的圆心角∠AOB的一半，即∠ACB = 1/2 ∠AOB</note>。


Answer: \frac{4}{5}

####

##1. 在直角三角形ABC中，AB边是直角三角形ABC的斜边，AC边是∠ABC的对边，AB=10，AC=8。##

##2.## 根据正弦函数定义，对于直角三角形ABC中，sin(∠ABC)等于对边AC比上斜边AB。

##3.## 通过计算，sin(∠ABC)=AC/AB=8/10=4/5。

##4.## 经过上述推理，最终得出答案为4/5。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

在本题图中，三角形ABC中，<note>角ACB是直角（90度）</note>，因此三角形ABC是一个直角三角形。<note>边AC和边BC是直角边</note>，<note>边AB是斜边</note>。

正弦函数定义

在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。

<note>直角三角形ABC</note>中，<note>角ABC是锐角</note>，<note>边AC是角ABC的对边</note>，<note>边AB是斜边</note>。根据正弦函数定义，<note>角ABC的正弦值</note>等于<note>对边AC与斜边AB的比值</note>，即<note>sin(∠ABC) = AC / AB = 8 / 10 = 4 / 5</note>。


Question: 如图,半径为5的圆O中,弦AB的长为8,则圆心O到弦AB的距离为()

Answer: 3

1. 已知圆O的半径为5，弦AB的长度为8。

2. 连接线段OA和OB，##设OC垂直AB于C##。

3. 根据##垂径定理##，即OC垂直于AB，并且AC等于CB。

4. 因此可得AC=CB=##(1/2)##AB=4。

5. 在直角三角形△OAC中，根据勾股定理，即直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

6. 根据勾股定理，可得OC=##√（OA^2 - AC^2）##。

7. 带入已知条件，OC=##√（5^2 - 4^2）##。

8. 计算得OC=##√(25 - 16)=√(9)##=3。

9. 所以，圆心O到弦AB的距离为3。

圆; 弦; 垂线; 直角三角形

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段##。##

<note>点O是圆心</note>，<note>点A和点B是圆上的任意两点</note>，<note>线段OA和OB是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段OA和OB是圆的半径</note>，长度为5。

弦的定义

弦是连接圆上任意两点的线段。

<note>圆O中，点A和点B是圆上的任意两点</note>，<note>线段AB连接了这两个点</note>，所以<note>线段AB是圆O的弦</note>。

垂径定理

如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。


Question: 如图,四边形ABCD的对角线AC⊥BD,垂足为O,且AC=12,BD=9,则四边形ABCD的面积是()

Answer: 54

1. 已知四边形ABCD中，AC垂直BD，垂足为O，且AC=12，BD=9。

2. 根据高定义，可知OA为△ABD的高，OB为△ABC的高，OC为△BCD的高，OD为△ACD的高。

3. ##△AOD的面积为 \( \frac{1}{2} \times AO \times OD \)，△COD的面积为 \( \frac{1}{2} \times OD \times OC \)。△AOB的面积为 \( \frac{1}{2} \times AO \times OB \)，△COB的面积为 \( \frac{1}{2} \times OC \times OB \)##。

####

##4. ##将所有三角形的面积相加，即求得四边形ABCD的面积：S四边形ABCD = S_{△AOD} + S_{△COD} + S_{△BOC} + S_{△AOB}。

##5.## 将步骤3和步骤4中的面积带入，##得：S四边形ABCD = \( \frac{1}{2} \times AO \times OD \) + \( \frac{1}{2} \times OD \times OC \) + \( \frac{1}{2} \times AO \times OB \) + \( \frac{1}{2} \times OC \times OB \)##。

##6. ##将公共项合并：##S四边形ABCD = \( \frac{1}{2} \times (OC + OA) \times (OD + OB) \)##。

##7.##由于OA + OC = AC， OB + OD =BD，将其代入，得到：S四边形ABCD = \( \frac{1}{2} AC \times BD \)。

##8.## 因为已知AC=12，BD=9，将数值代入，求得：S四边形ABCD = \( \frac{1}{2} \times 12 \times 9 = 54 \)。

##9. ##经过上述推理，最终得出答案为54。

垂线; 直角三角形; 普通四边形

高的定义

从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。

<note>从顶点A垂直于对边BD的线段AO是△ABD该顶点A的高</note>，<note>从顶点B垂直于对边AC的线段BO是△ABC该顶点B的高</note>，<note>从顶点C垂直于对边BD的线段CO是△BCD该顶点C的高</note>，<note>从顶点D垂直于对边AC的线段DO是△ACD该顶点D的高</note>。##

三角形的面积公式

任意三角形的面积等于其底乘以高除以2

<note>在本题图中，三角形AOD中，边AO是底，线段OD是高</note>。根据三角形的面积公式，三角形AOD的面积等于底边<note>AO乘以高OD再除以2</note>，即面积 = <note>(AO * OD) / 2</note>。同理，<note>三角形COD的面积</note>等于底边<note>OC乘以高OD再除以2</note>，即面积 = <note>(OC * OD) / 2</note>。<note>三角形AOB的面积等于底边AO乘以高OB再除以2</note>，即面积 = <note>(AO * OB) / 2</note>。<note>三角形BOC的面积</note>等于底边<note>OC乘以高OB再除以2</note>，即面积 = <note>(OC * OB) / 2</note>。