Answer: 150°

1. 已知∠1=∠2。##根据同位角定义##，直线a与直线b是平行的。

2. ##因为直线a与直线b平行，根据平行线的平行公理2，同旁内角互补，即∠3+∠4=180°##。

3. ##已知∠3=30°，代入上式可得30°+∠4=180°，则∠4=180°-30°##。

####

##4. 计算得出∠4=150°##。

##5. ##经过上述推理，最终得出答案为∠4等于150°。

平行线; 内错角; 同位角; 三角形的外角; 邻补角

同位角定义

当两条平行直线被一条直线截交时，其中两条同一位置的角称为同位角。同位角相等。

<note>在本题图中，两条平行直线a和b被一条直线d截交</note>，其中<note>角∠1和角∠2位于截线d的同旁，被截两直线a和b的同一侧</note>，因此<note>角∠1和角∠2是同位角。同位角相等，即角∠1等于角∠2</note>。

同旁内角的定义

两条直线被第三条直线所截，在截线同侧，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角。若两直线平行，则同旁内角互补。若同旁内角互补，则两直线平行。

<note>两条直线a和b被第三条直线c所截</note>，<note>两角3和4在截线c同侧</note>，且在被截线a和b之内，所以<note>角3和4是同旁内角</note>。<note>同旁内角3和4互补</note>，即<note>角3 + 角4 = 180度</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

在本题图中，直线<note>a和直线b是平行的</note>，直线<note>c和d是截线</note>，形成了以下几何关系：1. 同位角：<note>∠1和∠2相等</note>。2. 同旁内角：<note>∠3和∠4互补，即∠3 + ∠4 = 180度</note>。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，<note>同位角相等</note>，<note>同旁内角互补</note>。

平行线的定义

在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

在本题图中，<note>直线a和直线b位于同一平面内</note>，并且<note>它们没有交点</note>，因此根据平行线的定义，<note>直线a和直线b是平行线</note>。######


Question: 如图,已知∠α=130°,则∠β=()

Answer: 40°

1. 已知∠α = 130°。

2. ##设小三角形为三角形ABC，已知∠ABC=90°，根据三角形的外角定理，∠BCA=∠α-∠ABC=130°-90°=40°。

3. ##根据对顶角的定义，∠BCA=∠β=40°##。

####

##4##. 经过上述推理，最终得出答案为40°。

邻补角; 对顶角; 直角三角形

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

<note>三角形ABC是由三个非共线点A、B、C</note>及其<note>连接线段AB、AC、BC</note>组成的几何图形。<note>点A、B、C分别是三角形的三个顶点</note>，<note>线段AB、AC、BC分别是三角形的三条边</note>。

三角形的外角定理

三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。

在本题图中，三角形ABC中，<note>角α是三角形的一个外角</note>，<note>角ABC和角BCA是与外角α不相邻的两个内角</note>，根据三角形的外角定理，<note>外角α等于不相邻的两个内角ABC和BCA之和</note>，即<note>角α = 角ABC + 角BCA</note>。####

对顶角的定义

对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。

在本题图中，两条相交直线相交于点<note>C</note>，形成四个角。根据对顶角的定义，<note>角BCA和角β是对顶角</note>。由于对顶角的角度相等，所以<note>角BCA=角β</note>。


Answer: 100°

1. 过点C作辅助线CF，使CF∥AB。

2. 由于AB∥DE，根据平行线的传递性，得知AB∥DE∥CF。

3. 由于∠B = 30°，∠BCF与∠B互为内错角，根据##平行线的平行公理2##，得出∠BCF = 30°。

4. 由已知条件∠C = 110°，可以得出∠DCF = ∠C - ∠BCF = 110° - 30° = 80°。

5. ##已知∠D和∠DCF互为同旁内角，根据平行线的平行公理2，∠D＝180°-∠DCF＝100°##

6. ##经过上述推理，最终得出∠D的度数为100°##。

####

平行线; 同位角; 内错角; 三角形的外角

平行线的定义

在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

在本题图中，<note>直线AB和直线DE位于同一平面内</note>，并且<note>它们没有交点</note>，因此根据平行线的定义，<note>直线AB和直线DE是平行线</note>。<note>CF作为辅助线也与AB和DE平行</note>。

平行线的传递性

若两条直线分别与第三条直线平行，则这两条直线互相平行。

<note>直线DE和直线CF分别与直线AB平行</note>。根据平行线的传递性，如果<note>直线DE平行于直线AB</note>，且<note>直线CF也平行于直线AB</note>，那么<note>直线DE和直线CF互相平行</note>。因此，<note>直线DE平行于直线CF</note>。

内错角的定义

当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角

同旁内角的定义

<note>在本题图中，两条直线CF和DE被第三条直线CD所截</note>，<note>两角FCD和CDE在截线CD同侧，且在被截线CF和DE之内</note>，所以<note>角FCD和CDE是同旁内角</note>。<note>同旁内角FCD和CDE互补，即角FCD + 角CDE = 180度</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补

<note>在本题图中，两条平行线AB和CF被第三条直线BC所截</note>，形成了以下几何关系：<note>内错角：角ABC和角BCF相等</note>。两条平行线CF和DE被第三条直线CD所截，形成了以下几何关系：<note>同旁内角：角FCD和角CDE互补，即角FCD + 角CDE = 180度</note>。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，<note>内错角相等，同旁内角互补</note>。


Question: 如图,圆锥的母线长为5cm,高线长为4cm,则圆锥的底面积是()

Answer: 9πcm^{2}

1. ##设图中虚线形成的三角形的三个顶点分别为A、B、C##。

2. ##由图可得AB垂直BC，则∠ABC为90度。根据直角三角形的定义，三角形ABC为直角三角形。在直角三角形ABC中##，其斜边为圆锥的母线，直角边分别为圆锥的高和底面的半径。

3. ##已知圆锥的母线AC长度为5厘米，高AB线长度为4厘米##。根据勾股定理，设底面圆的半径为r则有：##5? = r?+4?##。

4. 计算得：r = √(25 - 16) = √9 = 3 (厘米)

5. ##由图可得##，圆锥的底面积为底面圆的面积，##根据圆的面积公式 = π * r?##

6. 代入半径r的值，得：圆锥的底面积 = π * ##3?## = 9π (平方厘米)

7. 经过上述推理，最终得出答案为9π (平方厘米)。

圆锥; 直角三角形; 线段

圆锥

圆锥是一种几何图形，有一个圆形的底和一个顶点，它的侧面为一曲面。

<note>圆锥的底面是下方的圆形</note>，<note>圆的半径为3厘米</note>，<note>圆心为底面圆的中心</note>。<note>圆锥的顶点为上方的点</note>，<note>顶点与圆心之间的距离为圆锥的高</note>，记作4厘米。<note>圆锥的侧面是一个曲面</note>，从顶点到<note>圆周上的任意一点的距离为母线长度</note>，记作5厘米。

圆的面积公式

圆的面积公式为A = πr^2，其中A表示面积，π是圆周率，r是圆的半径。

<note>圆的面积公式</note>，圆的面积A等于<note>圆周率π乘以半径r的平方</note>，即A = πr^2。通过题目计算得到<note>半径r = 3厘米</note>，因此<note>底面积</note>为π * 3^2 = 9π平方厘米。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

<note>底面圆的半径</note>为从<note>底面圆心</note>到<note>圆周上任意一点的线段</note>，通过计算得到<note>半径</note>为3厘米。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

在本题图中，<note>圆锥的母线、垂直高线和底面圆的半径构成一个直角三角形</note>。<note>圆锥的母线为斜边</note>，<note>垂直高线和底面圆的半径为直角边</note>。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

在本题图中，<note>直角三角形的斜边为母线长5厘米</note>，<note>直角边分别为高线长4厘米和底面圆的半径r</note>。根据勾股定理，<note>5² = r² + 4²</note>，因此<note>r = √(5² - 4²) = 3厘米</note>。


Question: 如图,四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形,若OA′:A′A=2:1,四边形A′B′C′D′的面积为12cm^{2},则四边形ABCD的面积为()

Answer: 27cm^{2}

1. ##已知四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，即特殊的相似图形##，且OA′:A′A=2:1。

2. ##因为OA=OA'+AA'，所以##，OA′:OA=2:3。

3. ##根据相似多边形的面积比等于相似比的平方定理，得四边形A′B′C′D′与四边形ABCD的面积比为(2:3)?=4:9##。

4. 根据已知四边形A′B′C′D′的面积为##12 cm?##，因此四边形ABCD的面积为##12 cm?× (9/4) = 27 cm?##。

5. 经过上述推理，最终得出答案为##27 cm?##。

位似; 普通四边形; 点

相似##多边形##的面积比等于相似比的平方定理

如果两个相似##多边形##的边长比是k，那么它们的面积比等于k的平方。

<note>四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形</note>，边<note>OA'和边OA的比值为2/3</note>，所以<note>四边形A′B′C′D′的面积与四边形ABCD的面积的比值就是（2/3）²即4/9</note>。


Answer: \frac{√{3}}{2}

1. 已知Rt△ABC中，##∠C##=90°，且AB=2，BC=1。

2. 根据##勾股定理（毕达哥拉斯定理）##，在##直角三角形ABC##中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。即##AB? = AC?  + BC? ##。

3. 将已知条件代入，得到##2?  = AC?  + 1? ##，即4 = ##AC?  ##+ 1。

4. 解这个方程，得##AC? ## = 3，所以AC = √3。

5. 根据##正弦函数定义##，##sin∠B ##= 对边/斜边，其中对边为AC，斜边为AB。

6. 因此，##sin∠B##= AC/AB = √3/2。

7. 经过上述推理，最终得出答案为√3/2。

直角三角形; 正弦; 线段

正弦函数定义

在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。

在本题图中，直角三角形ABC中，<note>∠B是锐角</note>，<note>边AC是∠B的对边</note>，<note>边AB是斜边</note>。根据正弦函数定义，<note>∠B的正弦值等于对边AC与斜边AB的比值</note>，即<note>sin∠B = AC / AB</note>。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>在本题图中，直角三角形ABC中，角C是直角（90度）</note>，边AC和BC是直角边，边AB是斜边，所以根据勾股定理，<note>AB² = AC² + BC²</note>。根据题目条件AB=2，BC=1，代入数据得<note>2² = AC² + 1²</note>，即4 = <note>AC²</note> + 1，从而得出<note>AC²</note> = 3，得出AC = √3。


Question: 在上图中，四个圆有相同的圆心，它们的半径分别是1, 2, 3和4。小阴影环的面积与大阴影环的面积的比是多少？

Answer: 03:07

1. 已知四个圆同心，半径分别为1, 2, 3, 和4。小阴影环的面积为半径为2的圆的面积减去半径为1的圆的面积。

2. 大阴影环的面积为半径为4的圆的面积减去半径为3的圆的面积。

3. 根据圆的面积公式A = πr^2，对于小阴影环，其面积为π(2^2) - π(1^2) = π(4 - 1) = 3π。

4. 对于大阴影环，其面积为π(4^2) - π(3^2) = π(16 - 9) = 7π。

5. 计算小阴影环面积与大阴影环面积的比值，即3π/7π。

6. 经过化简，得到比值为3/7。

7. 因此，最终得出结论，小阴影环与大阴影环的面积比为3:7。

圆的面积公式

圆的面积公式为A = πr^2，其中A表示面积，π是圆周率，r是圆的半径。

<note>四个圆同心</note>，<note>圆的半径分别为1、2、3和4</note>。根据圆的面积公式，<note>圆的面积A等于圆周率π乘以半径r的平方</note>，即A = πr^2。具体计算如下：<note>半径为1的圆面积A_1=π(1^2)=π</note>，<note>半径为2的圆面积A_2=π(2^2)=4π</note>，<note>半径为3的圆面积A_3=π(3^2)=9π</note>，<note>半径为4的圆面积A_4=π(4^2)=16π</note>。


Question: 如果 X N = 6, X M = 2, 和 X Y = 10, 求 N Z.

Answer: 24

1. 已知条件为XN = 6, XM = 2, XY = 10，##从图中可以看到边MN和边YZ上标有平行标识，即MN∥YZ##。

2. ##根据平行线分线段成比例定理，因为在三角形YXZ中有一条直线MN与三角形YXZ的一条边YZ平行，并截它的其他两边XY和XZ，所以直线MN截得的线段与原三角形YXZ相对应的线段成比例，即XM/XY = XN/XZ ##。

3. ##已知 X N = 6, X M = 2, 和 X Y = 10，将已知值代入：XM/XY = XN/XZ可得：2/10=6/XZ，交叉相乘得：XZ=6*10/2=30##。

####

##4. 因为XZ=XN+NZ##，我们可以推导出 NZ = XZ - XN = 30 - 6 = 24。

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为 NZ = 24。

直角三角形; 普通三角形

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

<note>三角形YXZ是由三个非共线点Y、X、Z</note>及其<note>连接线段XY、XZ、YZ</note>组成的几何图形。<note>点Y、X、Z分别是三角形的三个顶点</note>，<note>线段XY、XZ、YZ分别是三角形的三条边</note>。####

平行线的定义

在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

<note>直线MN和直线YZ位于同一平面内，并且它们没有交点</note>，因此根据平行线的定义，<note>直线MN和直线YZ是平行线</note>。

平行线分线段成比例定理

如果一条直线与一个三角形的一条边平行，并截它的其他两边或两边的延长线，那么它截得的线段与原三角形相对应的线段成比例。

<note>直线MN与边YZ平行</note>，并截它的其他两边XY和XZ于<note>点M和点N</note>，那么根据<note>平行线分线段成比例定理</note>，有：<note>线段XM/线段XY= 线段XN/线段XZ</note>，即截得的线段与原三角形相对应的线段成比例。


Question: 求 x。

Answer: 35

1. 根据题目图形，该图为一个圆，其中有四个角，分别是150°、85°、90°和x°，四个角在圆心处相交，##根据圆心角的定义，得四个角是圆心角##。

2. ##根据圆心角的性质##，得圆心角之和=周角，根据周角的定义，周角=360°，那么圆心角之和=周角=360°，因此可以通过方程将这些角的和表达为360°。

3. ####则有150° + 85° + 90° + x° = 360°。

4. 通过计算，150° + 85° + 90° = 325°。

5. ##解方程325° + x° = 360°##。

6. 计算得##x° = 360° - 325°=35°##。

7. 因此，经过上述推理，最终得出答案为##x = 35##。

圆心角的性质

圆心角的度数等于它所对的圆弧的度数

<note>在本题图中，根据圆心角的性质</note>，圆心角的度数与所对圆弧的度数相等，由于整个圆周对应360°，<note>因此所有圆心角的和等于周角等于360°</note>。

周角的定义

一条射线绕着它的端点旋转一周所形成的角，叫做周角。

<note>射线绕着端点旋转一周，形成周角</note>。根据<note>周角的定义</note>，<note>周角的度数为360度</note>。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。


Question: 求平行四边形中的 t 值。

Answer: 7

1. 已知条件为##四边形 WXZY## 是一个平行四边形。##根据平行四边形的性质定理，平行四边形的对角线互相平分，设中心交点为点O##，因此有 ##OW = OZ 和 OY = OX##。

2. 根据图中的标注，已知 ##OW = 8 和 OZ = 2t - 6##。由于##对角线互相平分##，我们有## OW = OZ##，即 8 = 2t - 6。

3. 解方程 8 = 2t - 6，首先将 6 移动到左边，得到 8 + 6 = 2t。

4. 将两边相加得到 14 = 2t。

5. 为了求解 t，将方程两##边##除以 2，得到 t = 7。

6. 经过上述推理步骤，最终得出答案为 t 的值是 7。

平行四边形的定义

平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。

<note>四边形 WXZY</note>是一个平行四边形，这意味着<note>WX 平行且等于 YZ</note>，同时<note>WY 平行且等于 XZ</note>。

平行四边形的性质定理

在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。


Question: 求 m \\angle R S T.

Answer: 55

1. ##根据图片可得RS = RT，根据等腰三角形的定义，三角形RST为等腰三角形，且角SRT=70°##。

2. 在等腰三角形RST中，依据等腰三角形的性质，##相等边所对的角相等，所以∠RST=∠RTS##。

3. 设∠RST = ∠RTS = x，则根据三角形内角和定理（即三角形的三个内角之和等于180°），有:x + x + 70° = 180°。

4. 解这个方程得到:2x + 70° = 180°，则2x = 110°，所以x = 55°。

5. 因此，∠RST = 55°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为∠RST = 55°。

等腰三角形; 普通三角形

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

<note>在本题图中，三角形RST中，边RS和边RT相等</note>，因此<note>三角形RST是一个等腰三角形</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>在本题图中，##三角形RST##</note>中，角∠RST、角∠RTS和角∠SRT是<note>##三角形RST##的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，角∠RST + 角∠RTS + 角∠SRT = 180°。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

<note>等腰三角形RST</note>中，<note>边RS和边RT相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>角RST = 角RTS</note>。####


Question: 求 m \angle M P Q。

Answer: 101

1. 已知条件为，在△MNP中，##∠PNM## = 45°，##∠PMN## = 56°。

2. 根据三角形内角定理，该定理表述为：三角形内角和为180°（即，任何三角形的三个内角的度数和是180°）。在本题中，我们可以用这个定理计算出未给出的角##∠MPN##。

3. 根据三角形内角定理，可以求出##∠MPN = 180° - ∠PNM - ∠PMN## = 180° - 45° - 56° = 79°。

4. 注意到点Q, P, N共线，由此可知直线QPN构成一个平角，平角为180°。

5. ####因此可以得到##∠MPQ + ∠MPN## = 180°。

6. 将具体数值带入，得出##∠MPQ ##+ 79° = 180°。

7. 由此可得##∠MPQ## = 180° - 79° = 101°。

8. 经过上述推理，最终得出答案为##∠MPQ ##= 101°。

普通三角形; 三角形的外角

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形MNP中，角MPN、角MNP和角PMN是三角形MNP的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角MPN + 角MNP + 角PMN = 180°</note>。

平角的定义

一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度

<note>射线PQ绕着端点P旋转到与起始边成一条直线</note>，形成<note>平角QPN</note>。根据平角的定义，平角的度数为180度，即<note>角QPN=180度</note>。


Question: 求 m \angle B。

Answer: 120

1. ##已知图中四边形ABCD的四个内角度数，根据四边形的内角和定理，在任意四边形中，四个内角的和为360°，所以∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°，即x°+2x°+2x°+x°=360°##。

2. ##简化得：6x=360，所以x=60##。

3. ##将已求得x的值代入∠B=2x°，最终算得：∠B=120°##。

####

##4##. 经过上述推理，最终得出答案为 ##∠B##=120°。

梯形; 邻补角; 同旁内角

四边形定义

四边形是由四条线段组成的封闭图形，这些线段称为四边形的边。四边形有四个顶点和四个内角。

<note>四边形ABCD由四条线段AB, BC, CD和AD组成</note>，这些线段称为四边形的边。<note>四边形ABCD有四个顶点，分别是点A, 点B, 点C和点D</note>，并且有四个内角，分别是<note>角A, 角B, 角C和角D</note>。######

四边形的内角和定理

在任意四边形中，四个内角的和为360°。

在本题图中，四边形<note>ABCD</note>中，<note>角A、角B、角C和角D</note>是四边形的四个内角，根据<note>四边形的内角和定理</note>，这四个内角的和为360°，即<note>∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°</note>。


Question: 如果 \triangle L M N \sim \triangle Q R S, Q R = 35, R S = 37, S Q = 12, 并且 N L = 5, 求 \triangle L M N 的周长。

Answer: 35

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

在本题图中，由于已知 <note>△LMN 相似于 △QRS</note>，可以直接应用该定理得出 <note>NL, SQ, LM, QR, MN 和 RS 成比例</note>，即：<note>NL/SQ = LM/QR = MN/RS</note>。通过代入已知数值，得到 <note>5/12 = LM/35 = MN/37</note>。

三角形的周长公式

三角形的周长等于三条边的长度之和，即如果三角形的三条边分别为a、b、c，则周长P=a+b+c。

<note>三角形NLM的三边分别为NL、LM、MN</note>，根据三角形的周长公式，三角形的周长等于其三边长度之和，即周长P=<note>NL+LM+MN</note>。


Question: 求解 x。

Answer: 15

1. ##根据直角三角形定义，图中三角形有一个直角，所以该三角形为直角三角形##，其中一条直角边长为9，另一条直角边长为x-3，斜边长为x，####应用勾股定理可得x^2 = (x-3)^2 + 9^2。

2. 展开并简化方程式x^2 = (x-3)^2 + 81，首先计算(x-3)^2得到x^2 - 6x + 9。

3. 将x^2 = x^2 - 6x + 9 + 81重新组合，得到x^2 = x^2 - 6x + 90。

4. 消去方程式中的x^2项，得到0 = -6x + 90。

5. 解方程0 = -6x + 90，得到6x = 90。

6. 求得x = 15。

7. 因此，经过上述推理，最终得出答案为15。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>三角形包含一个90度的角，表示为红色直角符号的角</note>。该<note>直角三角形的两条直角边分别为9和x-3，斜边为x</note>。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

在本题图中，直角三角形中，<note>一条直角边长为9</note>，<note>另一条直角边长为x-3</note>，<note>斜边长为x</note>。根据勾股定理，<note>斜边的平方等于两条直角边的平方和</note>，即<note>##x^2 = (x-3)^2 + 9^2##</note>。


Question: 梯形 G H J K 的面积为 75 平方米。求高。

Answer: 5

1. 已知梯形 G H J K 的面积为 75 平方米，根据##梯形面积公式##：“梯形面积 = (上底 + 下底) * 高 / 2”，##作高KD垂直GH，再##设梯形的高为 h 米。

2. 梯形 G H J K 的上底 G H 长 17 米，下底 K J 长 13 米，将这些已知值代入到梯形面积的公式中，得到：75 = (17 + 13) * h / 2。

3. 计算公式中的括号内的部分：17 + 13 = 30，将30代替公式中的括号部分，得出：75 = 30 * h / 2。

4. ##交叉相乘##，得到：75 * 2 = 30 * h。

5. 计算出左边的75 * 2=150，##则有##：150 = 30 * h。

6. 将公式两边同时除以30，得到：h = 150 / 30。

7. 计算出 150 / 30 = 5，得出：h = 5。

8. 经过上述推理，最终得出梯形 G H J K 的高为 5 米。

梯形的定义

梯形是一种四边形，有且仅有一对平行边。

在本题图中，四边形 G H J K 中，<note>边 G H 和边 K J 是平行的</note>，而<note>边 G K 和边 H J 不平行</note>。因此，根据梯形的定义，四边形 G H J K 是一种梯形，因为<note>它有且仅有一对平行边</note>。

梯形面积公式

给定梯形的两条平行边长度 a 和 b，以及它们之间的高度 h，梯形的面积为 (a + b) * h / 2。

<note>梯形 G H J K</note> 中，<note>边 G H 和边 K J 是两条平行边</note>，<note>边 G H 长 17 米</note>，<note>边 K J 长 13 米</note>，设它们之间的高度为 h 米，所以梯形的面积为 <note>(G H + K J) * h / 2</note>。

高的定义

从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。


Question: 求 A B。

Answer: 4.1

1. ##已知CD=CB，且AC⊥BD，所以∠ACD=∠ACB=90°。##。

2. ##根据直角三角形的定义，因为∠ACD=∠ACB=90°，所以三角形ABC和三角形ADC都是直角三角形。又根据全等三角形判定定理(SAS)，因为BC=DC，∠ACD=∠ACB=90°，两个三角形共用AC做为直角边，所以ΔABC≌ΔADC##。

3. 由于##ΔABC≌ΔADC，根据全等三角形的定义，所以边AB等于边AD，而ΔADC中的边AD的长度为4.1，所以AB=AD=4.1##。

4. 所以经过上述推理步骤，####得出AB = 4.1。

直角三角形; 垂线; 线段; 中点

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

在本题图中，<note>三角形ABC是由三个非共线点A、B、C及其连接线段AC、AB、BC组成的几何图形</note>。<note>点A、B、C分别是三角形的三个顶点</note>，<note>线段AC、AB、BC分别是三角形的三条边</note>。<note>三角形ADC是由三个非共线点A、D、C及其连接线段AC、AD、DC组成的几何图形</note>。<note>点A、D、C分别是三角形的三个顶点</note>，<note>线段AC、AD、DC分别是三角形的三条边</note>。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

全等三角形判定定理(SAS)

如果一个三角形的两边及其夹角分别与另一个三角形的两边及其夹角相等，那么这两个三角形全等。

<note>在本题图中，三角形ABC和三角形ADC中，边BC与边DC相等</note>，<note>边AC与边AC相等</note>，<note>且夹角ACB与夹角ACD相等</note>，因此根据全等三角形判定定理(SAS)，这两个三角形全等。

全等三角形的定义

两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等。

<note>三角形ABC和三角形ADC是全等三角形</note>，三角形ABC的对应边和对应角与三角形ADC相等，即： <note>边BC = 边DC</note> <note>边AB = 边AD</note> <note>边AC = 边AC</note>，同时，对应的角也相等： <note>角BCA = 角DCA</note> <note>角BAC = 角DAC</note> <note>角ABC = 角ADC</note>。


Question: 在 \odot M 中，F L = 24，H J = 48，且 m \widehat H P = 65。求 N J。

Answer: 24

1. 已知 FL = 24 ，HJ = 48 ，且 ##∠HNP## = 65°。要求出 NJ。

2. ##根据半径的定义可得：线段MK和线段MP均为圆M的半径。##

3. ##已知MK垂直FG于一点L，MP垂直HJ于一点N，根据垂径定理得：MK垂直平分FG，MP垂直平分HJ。##这意味着 N 为 HJ 的中点， NJ = 1/2 * HJ。

4. 因为 HJ = 48，计算可得 NJ = 48 / 2。

5. 经过上述推理，最终得出答案为 24。

圆; 直角三角形; 圆周角; 中点; 弦

弦的定义

弦是连接圆上任意两点的线段。

<note>在本题图中</note>，圆 M 中，点 <note>F 和点 G是圆上的任意两点</note>，<note>线段 FG连接了这两个点</note>，所以<note>线段 FG 是圆 M 的弦</note>。同理，点 H 和点 J 是圆上的任意两点，<note>线段 HJ连接了这两个点</note>，所以<note>线段 HJ 是圆 M 的弦</note>。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

<note>圆M中，点M是圆心，点K是圆上的任意一点</note>，<note>线段MK是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段MK是圆的半径</note>。同样地，<note>点M是圆心，点P是圆上的任意一点</note>，<note>线段MP是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段MP是圆的半径</note>。

垂径定理

如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。

<note>半径KM所在直径、半径MP所在直径分别垂直于弦 FG 和 HJ</note>，那么根据垂径定理，<note>半径KM所在直径、半径MP所在直径分别</note> 平分<note>弦 FG</note> 和 HJ，即 <note>FG= 2 * FL</note> 和 <note>HJ = 2 * NJ</note>，并且<note>半径KM所在直径、半径MP所在直径分别</note> 平分<note>弦 FG</note> 和 HJ 所对的两条弧，即<note>弧 FK = 弧 KG</note> 和<note>弧 HP = 弧 JP</note>。

线段中点

线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。

<note>线段HJ的中点为点N</note>。根据线段中点的定义，<note>点N将线段HJ平分为两个相等的部分</note>，即<note>线段HN和线段NJ的长度相等</note>。即，<note>HN = NJ</note>。


Question: 在 \\odot T 中，Z V = 1，且 T W = 13。求 X Y。

Answer: 10

1. 根据题目条件，##圆T是一个圆，且ZV和TV##是该圆半径的一部分。

2. 知道 Z V = 1 并且 T W = 13，我们需要找到线段长 X Y 。

3. 从图中可知，TV ⊥ ZV，TV 为直径所在直线的一部分。这意味着 ##角XVT 是直角##。

4. ##根据直角三角形的定义，三角形XVT为直角三角形。已知XT、ZT为圆T的半径，ZV=1，TW=13，所以XT=13，VT=13-1=12##。

5. ##根据勾股定理（毕达哥拉斯定理），直角三角形XVT中，XT^2=XV^2+VT^2。已知XT=13，VT=12，所以XV^2=XT^2-VT^2=169-144=25，开根可得：XV=5##。

6. ##根据垂径定理，半径ZT垂直平分弦XY，所以XY等于两倍的XV，即XY=2XV，所以XY=2*5=10##。

####

圆的定义

到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。

在本题图中，<note>圆T中</note>，<note>点T是圆心</note>。图中所有<note>到点T的距离等于半径的点都在圆T上</note>。####

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段。

<note>点T是圆心</note>，<note>点W是圆上的任意一点</note>，<note>线段TW是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段TW是圆的半径</note>。同理，<note>圆T中，点T是圆心</note>，<note>点X是圆上的任意一点</note>，<note>线段TX是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段TX是圆的半径</note>。同理，<note>圆T中，点T是圆心</note>，<note>点Z是圆上的任意一点</note>，<note>线段TZ是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段TZ是圆的半径</note>。

弦的定义

弦是连接圆上任意两点的线段。

<note>圆T中，点X和点Y是圆上的任意两点，线段XY连接了这两个点</note>，所以<note>线段XY是圆T的弦</note>。

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>在本题图中，三角形XVT中，角XVT是直角（90度）</note>，因此三角形XVT是一个直角三角形。<note>边XV和边VT是直角边，边XT是斜边。</note>##

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

垂径定理

如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。

<note>圆T中，半径ZT垂直于弦XY</note>，那么根据垂径定理，<note>半径ZT平分弦XY，即XV=VY</note>，并且<note>半径ZT平分弦XY所对的两条弧，即弧ZX=弧ZY</note>。


Question: 求 E G 如果 G 是 \triangle A B C 的内心。

Answer: 5

1. 已知G是三角形ABC的内心，根据三角形内心定义可知FG=EG。

2.在直角三角形CFG中，CG=13，CF=12，根据勾股定理可知FG=√（13?-12?）=5 。

3. 因此，EG=FG=5，经过上述推理，最终得到答案为EG = 5。

普通三角形; 点; 垂线

三角形内心

三角形内心是三角形三个内角平分线的交点，是三角形内切圆的圆心。

在本题图中，三角形ABC中，<note>点G是三角形的内心</note>。三角形的内心是由<note>三角形的三个内角平分线交于一点而成</note>的。具体来说，<note>角BAC的平分线</note>、<note>角ABC的平分线</note>和<note>角ACB的平分线相交于点G</note>。<note>点G是三角形内切圆的圆心</note>，且到三角形的三条边的距离相等。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>直角三角形CGF中，∠GFC是直角（90度）</note>，<note>边CF和边GF是直角边</note>，<note>边CG是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>CG? = CF?  + GF?</note>。


Question: 梯形 G H J K 的面积为 188.35 平方英尺。如果 H J 为 16.5 英尺，求 G K。

Answer: 26.8

梯形的定义

梯形是一种四边形，有且仅有一对平行边。

在本题图中，四边形 <note>G H J K</note> 中，边 <note>G K</note> 和边 <note>H J</note> 是平行的，而边 <note>G H</note> 和边 <note>J K</note> 不平行。因此，根据梯形的定义，四边形 <note>G H J K</note> 是一种梯形，因为它有且仅有一对平行边。

高的定义

从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。

<note>在本题图中，从顶点H垂直于对边GK（或其延长线）的线段HL</note>是该顶点H的高。<note>线段HL与边GK（或其延长线）形成一个直角（90度）</note>，这说明<note>线段HL是从顶点H到对边GK（或其延长线）的垂直距离</note>，高度为8.7英尺。####

梯形面积公式

在本题图中，梯形 <note>G H J K</note> 中，边 <note>HJ</note> 和边 <note>GK</note> 是两条平行边，边 <note>HL</note> 是它们之间的高度，所以梯形的面积为 <note>(HJ + GK) * HL / 2</note>。


Question: 求三角形的面积。如果有必要，四舍五入到最接近的十分位。

Answer: 54

1. 已知这是一个直角三角形，其中一条直角边为 12 英尺，另一条直角边为 9 英尺，斜边为 15 英尺。

2. 根据直角三角形的面积公式，面积等于两条直角边乘积的一半。直角三角形的面积公式是：面积 = 1/2 * 底 * 高。

3. 在此题中，底为 12 英尺，高为 9 英尺，因此面积 = 1/2 * 12 英尺 * 9 英尺。

4. 计算得到：面积 = 1/2 * 108 平方英尺 = 54 平方英尺。

5. 因此，直角三角形的面积是 54 平方英尺。

直角三角形; 普通三角形

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>角为直角（90度）</note>，因此该三角形是一个直角三角形。<note>边12英尺和边9英尺是直角边，边15英尺是斜边</note>。

直角三角形的面积

直角三角形的面积等于两条直角边乘积的一半，即面积 = 1/2 * 底 * 高。

在本题图中，直角三角形中，<note>直角位于底边和高的交点处</note>，其中<note>底边为 12 英尺</note>，<note>高为 9 英尺</note>，所以直角三角形的面积等于这两条直角边乘积的一半，即<note>面积 = 1/2 * 12 英尺 * 9 英尺 = 54 平方英尺</note>。


Question: 求 \\cos C。

Answer: \frac { 4 } { 5 }

1. ##由图可得，∠BAC=90°，根据直角三角形的定义，三角形ABC为直角三角形##，在直角三角形ABC中，AB=3，BC=5。

2. 依据勾股定理，直角三角形的两直边的平方和等于斜边的平方。可知在直角三角形ABC中，AB^2 + AC^2 = BC^2。

3. 将已知数据代入勾股定理，3^2 + AC^2 = 5^2，可化简为9 + AC^2 = 25。

4. 解方程得AC^2 = 16，故AC = 4。

5. 根据余弦函数，cos C = 邻边长 / 斜边长 = AC / BC。

6. 将已知数据代入，cos C = 4 / 5。

7. 经过上述推理，最终得出答案为4/5。

直角三角形; 余弦; 线段

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

余弦函数

余弦函数是一个三角函数，它可以通过直角三角形中的边来定义，对于一个角α，它的余弦值等于角α的邻边与斜边的比值。####

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

在本题中，直角三角形ABC中，<note>∠BAC是直角（90度）</note>，边<note>AB和边AC是直角边</note>，<note>边BC是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>BC² = AB² + AC²</note>。


Question: 如果 F G H J 是一个风筝，求 m \angle G F J。

Answer: 80

1. 已知四边形 FGHJ 是一个风筝，##根据生活常识可知，风筝为对称图形，依据对称性可得∠F=∠H##。

2. ##根据四边形内角和定理可知，四边形 FGHJ内角和为360°，因此∠F+∠H=360°-∠G-∠J=360°-128°-72°=160°##。

3. ##因为∠F=∠H，所以∠F=∠H=80°##。

####

##4##. 经过上述推理，最终得出答案为 ##∠GFJ = 80°##。

菱形; 对称; 等腰三角形; 邻补角

对称性

对称性指的是一个几何图形或模式在某些操作（如旋转、反射或平移）下保持不变。

<note>四边形 FGHJ具有对称性</note>。具体来说，<note>四边形 FGHJ关于直线GJ对称</note>，<note>直线GJ就是四边形 FGHJ的对称轴</note>。四边形 FGHJ的每一部分在对称轴的另一侧都有一个对称的对应部分，<note>故∠F=∠H</note>。##

四边形的内角和定理

在任意四边形中，四个内角的和为360°。

<note>四边形FGHJ</note>中，<note>角GFH</note>、<note>角GHJ</note>、<note>角HJF</note>和<note>角FGH</note>是四边形的四个内角，根据四边形的内角和定理，这四个内角的和为360°，即<note>角GFH</note> + <note>角GHJ</note> + <note>角HJF</note> + <note>角FGH</note> = 360°。


Question: 如图,直线AB∥CD,Rt△DEF如图放置,∠EDF=90°,若∠1+∠F=70°,则∠2的度数为()

Answer: 20°

1. ##已知直线AB∥CD，根据同旁内角的定义，可以得出∠ABD和∠BDC为一组同旁内角，根据平行线的平行公理2可得，∠ABD和∠BDC互补，即∠ABD + ∠BDC = 180°。##

2. ##已知∠1 + ∠F = 70°, 设∠1所对应的点为点G，在△GFB中，∠ABD为其外角，根据三角形的外角定理， ∠ABD = ∠1 + ∠F，因此可以得出∠ABD = 70°。##

3. 根据步骤1, ∠ABD + ∠BDC = 180°, 代入已知条件可得70° + ∠BDC = 180°， 由此可以解出∠BDC = 110°。

4. ##已知∠EDF = 90°，∠BDC=∠2 +∠EDF=110°，可以得∠2 = ∠BDC - ∠EDF = 110° - 90°##

5. 经过计算，得出∠2 = 20°。

平行线; 直角三角形; 内错角; 三角形的外角

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>直线AB∥CD</note>，直线<note>BD是横截线</note>，形成了以下几何关系：<note>同旁内角：∠ABD和∠BDC互补</note>，即<note>∠ABD + ∠BDC = 180度</note>。

三角形的外角定理

三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。

在本题图中，三角形GFB中，<note>角ABD 是三角形的一个外角</note>，<note>角BGF和角F是与外角ABD 不相邻的两个内角</note>，根据三角形的外角定理，<note>外角ABD等于不相邻的两个内角∠BGF和∠F之和</note>，即<note>∠ABD = ∠1 + ∠F</note>。

多边形的外角定义

多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。

<note>角1所在的小三角形的一个内角为∠ACF</note>，延长该内角的相邻边<note>FB和AB形成的角∠ABD</note>称为<note>内角∠ABF的外角</note>。##


Question: 如图,AB是斜靠在墙壁上的固定爬梯,梯脚B到墙脚C的距离1.6m,梯上一点D到墙面的距离1.4m,BD长0.5m,则梯子的长为()

Answer: 4m

1. 已知梯脚B到墙脚C的距离为1.6米，梯上一点D到墙面的距离为1.4米，BD长0.5米。

2. ##根据平行线分线段成比例定理，因为直线DE与三角形ABC的边BC平行，并截它的其他两边AB和AC，那么它截得的线段与原三角形相对应的线段成比例，所以AD/AB=DE/BC##。

####

##3##. 设梯子的长度为x米，则AB = x米，##AD## = x - 0.5米，BC = 1.6米，##DE## = 1.4米。

##4##. 由相似三角形的比例关系可得：(x - 0.5)/x = 1.4/1.6。

##5##. 解上述方程，去分母得到1.6(x - 0.5) = 1.4x。

##6##. 展开并移项得1.6x - 0.8 = 1.4x。

##7##. 化简得0.2x = 0.8。

##8##. 解此方程得x = 4。

##9##. 经过上述推理，最终得出梯子的长度为4米。

平行线的定义

在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

<note>直线DE和直线BC</note>位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，<note>直线DE和直线BC</note>是平行线。

平行线分线段成比例定理

<note>三角形ABC中，直线DE与边BC平行</note>，并截它的其他两边AB和AC于点D和E，那么根据平行线分线段成比例定理，有：<note>AD/AB=DE/BC</note>，即截得的线段与原三角形相对应的线段成比例。


Question: 已知如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,∠CDB=40°,则∠CBA的度数为()

Answer: 50°

1. 根据题意我们知道AB是⊙O的直径。连接AC##形成三角形ACB##。

2. ##根据(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角##，∠ACB=90°。

3. 题目中给出∠CDB=40°。##根据圆周角的定义，知∠CDB和∠CAB是对同一弧CB的两个圆周角，根据##圆周角定理推论1，得∠CAB=∠CDB=40°##。

4. 在△ACB中，由于∠ACB=90°，∠CAB=40°，根据三角形内角和定理，##得∠ACB+∠CAB+∠CBA=180°，代入数值可得90°+40°+∠CBA=180°，计算可得∠CBA=180°-90°-40°=50°##。

5. 经过上述推理，最终得出答案为50°。

圆; 圆周角; 弦; 直角三角形; 中点

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

在本题图中，圆O中，<note>角∠CDB的顶点D在圆周上，角∠CDB的两边分别与圆O相交于点C和点B</note>。因此，<note>角∠CDB是一个圆周角</note>。<note>角∠CAB的顶点A在圆周上，角∠CAB的两边分别与圆O相交于点C和点B</note>。因此，<note>角∠CAB是一个圆周角</note>。<note>角∠ACB的顶点C在圆周上，角∠ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B</note>。因此，<note>角∠ACB是一个圆周角</note>。

(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角

半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

<note>圆O中，直径AB所对的圆周角∠ACB是直角（90度）</note>。

圆周角定理推论1

在一个圆中，任意两个与同一弧相对应的圆周角相等。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

在本题图中，三角形ACB中，<note>角ACB</note>、<note>角CAB</note>和<note>角CBA</note>是三角形ACB的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>角ACB + 角CAB + 角CBA = 180°</note>。


Question: 如图,△ABC内接于⊙O,若∠OAB=26°,则∠C的大小为()

Answer: 64°

1. 连接OB。

2. 在△OAB中，已知OA = OB，##根据等腰三角形的定义，△OAB为等腰三角形；再根据等腰三角形的性质##，得出∠OAB = ∠OBA。

3. 又已知∠OAB = 26°，因此可以得出∠OBA = 26°。

4. ##根据三角形内角和定理，得∠OAB+∠OBA+∠AOB=180°，即∠AOB = 180° - ∠OAB - ∠OBA = 180° - 26°-26° = 128°。##

5. ##根据圆心角的定义，∠AOB为圆心角；根据圆周角的定义，∠ACB为圆周角。弧AB对应∠ACB和∠AOB。根据圆周角定理，得∠ACB = 1/2 * ∠AOB =  1/2 * 128° = 64°。##

6. 因此，经过上述推理，最终得出∠C的大小为64°。

圆; 圆周角; 普通三角形

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

<note>等腰三角形OAB中，边OA和边OB相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，<note>相等的两边所对的角相等</note>，即<note>角OAB = 角OBA</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>角OAB</note>、<note>角OBA</note>和<note>角AOB</note>是三角形OAB的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>角OAB + 角OBA + 角AOB = 180°</note>。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

##在本题图中，<note>圆O中，角C的顶点C在圆周上</note>，<note>∠ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B</note>。因此，<note>∠ACB是一个圆周角</note>。##

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

在本题图中，圆O中，点A、B、C在圆上，<note>弧ACB与弧AB对应的圆心角为∠AOB</note>，<note>圆周角为∠ACB</note>。根据圆周角定理，<note>∠ACB等于它所对的弧AB所对应的圆心角∠AOB的一半，即∠ACB = 1/2 ∠AOB</note>。


Question: 已知:如图,AB是圆O的直径,CD为弦,连AD、AC,∠CAB=55°,则∠D=()

Answer: 35°

1. 已知AB为圆O的直径，根据##(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角##，得出∠ACB = 90°。

2. 已知∠CAB = 55°，利用三角形内角和定理，得出∠CBA = 90° - ∠CAB = 90° - 55° = 35°。

3. 根据##圆周角定理推论1##，∠ADC = ∠CBA。

4. 由第二步可知∠CBA = 35°，因此∠ADC = 35°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为35°。

圆; 圆周角; 直角三角形; 弦; 线段

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

<note>AB是直径</note>，连接了<note>圆心O</note>和<note>圆周上的A、B两点</note>，长度为<note>2倍的半径</note>，即<note>AB = 2 * OA</note>。

弦的定义

弦是连接圆上任意两点的线段。

在本题图中，圆O中，<note>点C和点D是圆上的任意两点</note>，<note>线段CD连接了这两个点</note>，所以<note>线段CD是圆O的弦</note>。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形ACB</note>中，<note>角CAB</note>、<note>角ACB</note>和<note>角CBA</note>是<note>三角形ACB的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角CAB + 角ACB + 角CBA = 180°</note>。

圆周角定理推论1

在一个圆中，任意两个与同一弧相对应的圆周角相等

在本题图中，圆O中，<note>弧AB</note> 对应的圆周角 <note>∠ABC</note> 和 <note>∠ADC</note> 相等。根据圆周角定理推论1，<note>与同一弧AB相对应的圆周角∠ABC和∠ADC相等</note>，即 <note>∠ADC = ∠ABC</note>。

(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角

半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

<note>圆O中，直径AB所对的圆周角ACB是直角（90度）</note>。##


Question: 如图,⊙O是四边形ABCD的外接圆,若∠O=110°,则∠C的度数为()

Answer: 125°

1. 已知∠O=110°，根据圆周角定理，##得出∠BAD=1/2∠O=55°##。

2. 根据题意，四边形ABCD是圆内接四边形，所以其对角互补，即∠A+∠C=180°。

3. 因此，得出∠BAD + ∠BCD = 180°。

4. 带入已知条件和第一步计算结果，得出55° + ∠BCD = 180°。

5. 由此可得∠BCD = 180° - 55° = 125°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为125°。

圆; 圆内接四边形; 圆心角; 对顶角; 邻补角

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

在本题图中，圆O中，<note>角BAD的顶点A在圆周上</note>，<note>角BAD的两边分别与圆O相交于点B和点D</note>。因此，<note>角BAD是一个圆周角</note>。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

在本题图中，圆⊙O中，点A、B、C、D在圆上，<note>弧BD对应的圆心角为∠BOD</note>=110°，圆周角为∠BAD。根据圆周角定理，∠BAD等于<note>它所对的弧BD所对应的圆心角∠BOD</note>的一半，即<note>∠BAD = 1/2 ∠BOD</note>= 55°。

(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理

在一个圆内接四边形中，每一对对角的和等于180°。并且任何一个外角都等于他的内对角。

在本题图中，<note>四边形ABCD是圆内接四边形</note>，所以根据圆内接四边形对角互补定理，<note>四边形ABCD的每一对对角的和等于180°</note>。具体来说，<note>∠BAD + ∠BCD = 180°</note>，即<note>55° + ∠C = 180°</note>。由此得出<note>∠C = 125°</note>。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。


Question: 在图中找到 y。

Answer: 6

1. 在图中，已知直线平行，##两条平行线被第三条线所截##。

2. ##根据平行线的平行公理2和同旁内角的定义，同旁内角是互补的，图中的角(8y + 2)°和角(25y - 20)°是同旁内角。得出：(8y + 2)° + (25y - 20)°=180°。##

3. ##由(8y + 2)° + (25y - 20)°=180°，我们可以列出等式：8y + 25y + 2 - 20 = 180##。

4. ##解方程 33y - 18 =180。首先将方程整理成33y = 198，得到y = 6##。

####

##5##. 因此，经过上述推理，最终得出答案为##y = 6##。

对顶角; 内错角; 同位角

平行线的定义

在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线

在本题图中，<note>两条带红色箭头的直线</note>位于<note>同一平面内</note>，并且它们<note>没有交点</note>，因此根据<note>平行线的定义</note>，<note>这两条直线是平行线</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>两条平行线被第三条直线所截</note>，形成了以下几何关系：
1. 同位角：无。
2. 内错角：<note>10x°和 (25y - 20)°相等</note>。
3. 同旁内角：<note>(8y + 2)°和(25y - 20)°互补，即(8y + 2)° + (25y - 20)° = 180度</note>。

这些关系说明了在<note>两条平行线被第三条直线所截时</note>，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

同旁内角的定义

<note>两条平行直线被第三条直线所截</note>，其中度数分别为<note>(8y + 2)°、(25y - 20)°的两角在截线同侧，且在被截线之内</note>，所以<note>两角为同旁内角</note>。同旁内角互补，即<note>(8y + 2)° + (25y - 20)° = 180度</note>。


Question: 求四边形ABCD中m \angle A的值。

Answer: 135

1. ##已知条件为四边形ABCD中的∠B和∠C均为90°##。

2. ##根据四边形的内角和定理##得出：∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°。

3. 代入已知条件，∠B = 90°，∠C = 90°，因此可得：∠A + ∠D = 360° - 90° - 90° = 180°。

4. 已知∠D = x°，∠A = 3x°。 代入∠A + ∠D = 180°，得到3x° + x° = 180°。

5. 解上述方程，##得出4x° = 180°，因此x° = 45°##。

6. 由##x° = 45°，可得∠A = 3x°## = 3 * 45° = 135°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为∠A = 135°。

平行四边形; 邻补角; 直角三角形

四边形定义

<note>四边形ABCD</note>由<note>四条线段AB, BC, CD和DA</note>组成，这些线段称为四边形的边。<note>四边形ABCD有四个顶点，分别是点A, 点B, 点C和点D</note>，并且有四个内角，分别是<note>角DAB, 角ABC, 角BCD和角CDA</note>。

四边形的内角和定理

在任意四边形中，四个内角的和为360°。

在本题图中，四边形<note>ABCD</note>中，<note>角DAB、角ABC、角BCD和角CDA是四边形的四个内角</note>，根据四边形的内角和定理，<note>这四个内角的和为360°</note>，即<note>角DAB + 角ABC + 角BCD + 角CDA = 360°</note>。


Answer: 50°

1. 已知点A、点B、点C均在圆O上，并且∠OBC=40°。##根据圆周角的定义，∠A为圆O的圆周角；根据圆心角的定义，∠BOC为圆O的圆心角。##

2. ##根据圆的定义，OB = OC，在△BOC中，根据等腰三角形的定义，△BOC为等腰三角形；再根据等腰三角形的性质，两腰对的底角相等，因此有∠OBC = ∠OCB=40°。##

3. ##根据三角形内角和定理，三角形的三个内角之和为180°，所以在△BOC中有∠BOC + ∠OBC + ∠OCB = 180°，得出∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-40°-40°=100°。##

4. 根据圆周角定理，圆周角等于所对的圆心角的一半，##所以∠BAC=∠BOC/2##。

5. 代入已知数值，##得到∠BAC=100°/2=50°##。

6. 经过上述推理，最终得出答案为∠A=50°。

圆; 圆周角; 圆心角; 弧; 弦

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

在本题图中，圆O中，<note>点B和点C是圆上的两点，圆心是点O</note>。连线<note>OB和OC组成的角∠BOC</note>称为圆心角。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

在本题图中，圆O中，<note>点O是圆心</note>，<note>点B和点C是圆上的任意一点</note>，<note>线段OB和线段OC是从圆心O到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段OB和线段OC是圆的半径</note>。

圆的定义

到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

在本题图中，三角形BOC中，<note>边OB和边OC相等</note>，因此<note>三角形BOC是一个等腰三角形</note>。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

<note>等腰三角形BOC</note>中，<note>边OB和边OC相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>∠OBC = ∠OCB</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

在本题图中，三角形BOC中，<note>角BOC</note>、<note>角OBC</note>和<note>角OCB</note>是三角形BOC的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>角BOC + 角OBC + 角OCB = 180°</note>。##

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

在本题图中，圆O中，<note>角BAC的顶点(点A)在圆周上</note>，<note>角BAC的两边分别与圆O相交于点B和点C</note>。因此，<note>角BAC是一个圆周角</note>。


Question: 使用平行四边形 W X Y Z 找到 m \angle X Y Z.

Answer: 105

1. 已知条件为四边形 WXYZ 是平行四边形，根据##平行四边形的性质定理##，平行四边形的对角相等，可以得到 ##∠XWZ = ∠XYZ##。

2. 根据题目所给信息，##∠XWZ ##= 105°。

3. 因此，由步骤1的结论得出 ##∠XYZ## = 105°。

4. 因此，经过上述推理，最终得出答案为## ∠XYZ ##= 105°。

平行四边形的定义

平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。

<note>在本题图中，四边形 WXYZ 是一个平行四边形</note>，<note>边 WX 与边 YZ 平行且相等</note>，<note>边 WZ 与边 XY 平行且相等</note>。

平行四边形的性质定理

在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。

在本题图中，<note>平行四边形 WXYZ</note>中，<note>对角 ∠XWZ 和 ∠XYZ 相等</note>；<note>对角 ∠WXY 和 ∠WZY 相等</note>；<note>边 WX 和 YZ 相等</note>，<note>边 XY 和 WZ 相等</note>；<note>对角线 WY 和 XZ 互相平分</note>####。


Question: 求x。

Answer: \sqrt { 7 }

1. 已知##直角三角形##的一条直角边长为3√2，斜边长为5，另一条直角边用x表示。根据勾股定理（即：在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和），可得方程为(3√2)^2 + x^2 = 5^2。

2. 计算(3√2)^2，即为9 * 2 = 18。

3. 将计算结果代入勾股定理中，得到方程18 + x^2 = 25。

4. 将18移到方程的右侧，得到x^2 = 25 - 18。

5. 计算25 - 18 = 7，因此得到x^2 = 7。

6. 由x^2 = 7求出x，x = √7。

7. 经过上述推理，最终得出答案为x = √7。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>三角形中有一个角是直角（90度）</note>，因此该三角形是一个直角三角形。<note>边长为3√2和x的是直角边，边长为5的是斜边。</note>

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>直角三角形中</note>，斜边的平方等于两条直角边的平方和。已知<note>一条直角边长为3√2</note>，<note>斜边长为5</note>，<note>另一条直角边用x表示</note>。根据<note>勾股定理</note>，##<note>5^2</note> = <note>(3√2)^2</note> + <note>x^2</note>##，即<note>25 = 18 + x^2</note>。


Question: 四边形 E F G H 是一个矩形。如果 m \angle H G E = 13，求 m \angle F G E。

Answer: 77

1. 已知四边形 EFGH 是一个矩形，##EG 和 FH 是矩形 EFGH 的对角线##。

2. ##根据矩形的定义，∠GHE=90°，又根据直角三角形的定义，三角形GHE为直角三角形##。

3. ##在直角三角形GHE中， 已知∠HGE = 13°，∠GHE=90°，根据三角形内角和定理，∠HGE+∠GHE+∠HEG=13°+90°+∠HEG=180°，即∠HEG=180°-13°-90°=77°##。

4. ##根据矩形的定义，EH∥FG，又根据平行线的平行公理2，内错角相等，则∠HEG= ∠FGE=77°##。

####

##5. ##经过上述推理，最终得出答案为：##∠FGE##= 77°。

矩形; 对顶角; 邻补角

矩形的定义

矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。

在本题图中，<note>四边形 EFGH 是一个矩形</note>，<note>其内角 ∠HEF, ∠EFG, ∠FGH, ∠GHE 都是直角（90度）</note>，且<note>边 EF 与边 HG 平行且等长</note>，<note>边 EH 与边 FG 平行且等长</note>####

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形 GHE 中，角GHE、角HGE 和角HEG是三角形 GHE 的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角GHE + 角HGE + 角HEG = 180°</note>。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

在本题图中，三角形GHE中，<note>角GHE是直角（90度）</note>，因此三角形GHE是一个直角三角形。<note>边EH和边HG是直角边</note>，<note>边EG是斜边</note>。


Question: 求 x。A = 148 m^2。

Answer: 18.5

1. 已知平行四边形的面积 A = 148 平方米，##由图可得##底边长为 8 米。

2. 根据平行四边形的面积公式，面积 A 等于底边长乘以高，即 A = 底边长 × 高。

3. 将已知条件代入公式，得到 148 = 8 × 高。

4. 解方程 8 × 高 = 148，得 高 = 148 ÷ 8。

5. 计算得 高 = 18.5。

6. 因此，得出答案为 x = 18.5 米。

平行四边形的定义

平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。

在本题图中，<note>四边形是一个平行四边形</note>，其<note>对边平行且相等</note>。<note>底边的长度为 8 米</note>。

高的定义

从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。

在本题图中，平行四边形的高度是从<note>顶点右上角</note>垂直于<note>底边的线段</note>，其<note>垂直距离</note>为 x 米。

平行四边形的面积公式

一个平行四边形的面积等于它的底边长乘以对应的高，即A = 底边长 × 高。

<note>在本题图中，平行四边形的面积 A = 148 平方米</note>，<note>底边长为 8 米</note>，<note>对应的高是从底边到对边的垂直距离，记为 x 米</note>。因此，根据平行四边形的面积公式，得出 148 = 8 × x，通过解方程，<note>求得 x = 18.5 米</note>。


Question: 求梯形的面积。

Answer: 132

1. 已知梯形的上底为16英尺，下底为6英尺，且梯形的高为12英尺。

2. 梯形的面积计算公式为：##面积 = 1/2 × (上底 + 下底) × 高##。

3. 将已知条件代入面积公式：##面积 = 1/2 × (16 ft + 6 ft) × 12 ft##。

4. 计算得：##面积 = 1/2 × 22 ft × 12 ft##。

5. 最终计算得出：面积 = 132 平方英尺。

6. 经过上述推理，最终得出答案为面积为132平方英尺。

梯形的定义

梯形是一种四边形，有且仅有一对平行边。

<note>该四边形是一种梯形，因为它有且仅有一对平行边</note>。在本题图中，<note>梯形的上底为16英尺，下底为6英尺，其他两边不平行</note>。因此，根据<note>梯形的定义</note>，该四边形是一种梯形，因为它有且仅有一对平行边。

高的定义

从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。

<note>从下底顶点垂直于上底（或其延长线）的线段</note>是该顶点的高。<note>下底与上底（或其延长线）形成一个直角（90度）</note>，这说明线段是从<note>下底顶点到上底（或其延长线）的垂直距离</note>。##

梯形面积公式

<note>梯形的上底为16英尺，下底为6英尺，高为12英尺</note>。根据梯形面积公式，梯形的面积为(上底 + 下底) * 高 / 2，<note>面积 = 1/2 × (16英尺 + 6英尺) × 12英尺 = 132平方英尺</note>。


Question: 这两个多边形相似。求 U T。

Answer: 22.5

1. 已知条件为五边形 STUVR 与五边形 ABCDE 相似，##根据相似图形的定义，如果两图形相似，那么它们对应边的比相等##。

2. 根据题意，ST 对应 BC，##TU 对应 CD，VU 对应 DE，ST = 18 m, TU =( y + 2) m, AE = 3 m, BC = 4 m, CD = 5 m##。

3. 使用相似多边形的定义及比例相等，设相似比为 k，则 ##ST/BC = TU/CD=k##

4. 因为已知 ST = 18m，BC = 4m，比例为 k = 18/4 = 4.5。##TU/CD=( y + 2)/5##

5. 使用比例定理，可得：## (y + 2) / 5 = 4.5##，所以 y + 2 = 4.5 x 5 =>y + 2 = 22.5 ####。

6. ##TU = (y + 2)m, TU = 22.5##

线段; 普通多边形; 位似

相似图形的定义

如果两图形相似，那么它们对应边的比相等，对应角相等。

<note>五边形 STUVR 与五边形 ABCDE 相似</note>，并且 <note>ST = 18 m</note>, <note>TU = (y + 2) m</note>, <note>AE = 3 m</note>, <note>BC = 4 m</note>, <note>CD = 5 m</note>, <note>RV = x m</note>。根据相似多边形的定义，<note>它们对应边的比相等，对应角相等</note>。设相似比为 k，则 <note>ST/BC = 18/4 = k=4.5</note>，<note>TU/CD = (y + 2)/5 = k</note>。


Question: 在给定的平行四边形中找到 x。

Answer: 38

1. 已知条件为四边形JKLM是一个平行四边形，根据##平行四边形的性质定理##，得到相对的内角相等，即##∠JML = ∠LKJ和∠MJK = ∠KLM##。

2. ##∠MJK= 75°，其对角∠KLM为（2x-1）°，所以（2x-1）°=75°，解得：x=38##。

####

##3##. 经过上述推理步骤，最终得解x = 38。

平行四边形; 对顶角; 内错角; 同旁内角

平行四边形的定义

平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。

平行四边形的性质定理

在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。

<note>在平行四边形JKLM中</note>，<note>对角∠JML与∠LKJ相等，对角∠MJK与∠KLM相等</note>；<note>边JM和边KL相等，边JK和边ML相等</note>；<note>对角线JL和MK互相平分</note>，即<note>交点将对角线JL分成两段相等的线段，交点将对角线MK分成两段相等的线段</note>。


Question: 求 y。

Answer: 6

1. ##设三角形三个顶点分别为A、B、C，依图上的直角符号可得，角C为90度，根据直角三角形的定义，则三角形ABC为直角三角形##。

2. ##已知角C为90°，角B为60°，根据三角形内和定理得，角C+角B+角A=90°+60°+角A=180°，即角A=180°-90°-60°=30°##。

3. ##又已知斜边AB长度为12，根据##30°-60°-90°三角形的性质，##短直角边BC##（对30°角的边）为##斜边AB##的一半。

4. ##所以在此直角三角形ABC##中，对30°的边即短直角边的长度##BC=AB/2=##12/2=6。

5. ##根据上一步可知BC##为与30°对应的短直角边，##也就是y##，因此y的长度为6。

6. 所以，根据以上推理步骤，最终得出答案为y=6。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>在本题图中，三角形中有一个角为90度</note>，因此该三角形是一个直角三角形。<note>边y和边x是直角边</note>，##长度为12##的是斜边。

30°-60°-90°三角形的性质

在30°-60°-90°三角形中，30度角所对的边短，是斜边的一半，60度角所对的边则为短边的√3倍。

<note>在本题图中，30°-60°-90°三角形中，角A是30度，角B是60度，角C是90度</note>。<note>边AB是斜边</note>，<note>边BC是30度角所对的边</note>，<note>边AC是60度角所对的边</note>。根据30°-60°-90°三角形的性质，<note>边BC等于边AB的一半</note>，<note>边AC等于边BC的√3倍</note>。即：<note>BC = 1/2 * AB，AC = BC * √3</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>直角三角形ABC</note>中，<note>60°角、90°角和30°角是该三角形的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>60° + 90° + 30° = 180°</note>。


Question: 求 x。

Answer: 17

1. ##设图中三角形为ABC，已知AD垂直于BC，∠ADB =∠ADC = 90°，BC = 16，AD = 15，BD = DC =1/2BC =8。##

2. ##根据直角三角形的定义，三角形ADC为直角三角形，斜边AC = x。##

3. ##根据勾股定理（毕达哥拉斯定理）可得，15^2 + 8^2 = x^2。##

4. ##解方程得 x = 17。##

####

##5. 根据上述推理，得出 x = 17。##

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>直角三角形ADC中，角ADC是直角（90度）</note>，边AD和DC是直角边，<note>边AC是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>AC² = AD² + DC²</note>。


Question: 如图所示，m \angle 1 = 123。求 \angle 14 的度数。

Answer: 57

1. ##设横向的两条直线为AB和CD，纵向的两条直线为EF和GH，根据题目可知，AB∥CD，EF∥GH##。

2. ##根据平行线的平行公理2和同位角定义，可得∠1=∠3=∠11=123°##。

3. ∠11与∠14位于同一条直线上并且互为邻补角。##根据邻补角的定义 "一条直线形成的两个邻角之和为180°依据，得出 ∠14 + ∠11 = 180°##。

4. ##当前知 ∠11 = 123°，利用等式 ∠14 + 123° = 180°，可计算得出∠14 = 180° - 123° = 57°##。

5. 经过上述推理，最终得出答案为##∠14## = 57°。

平行线的定义

在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

在本题图中，<note>直线AB和直线CD位于同一平面内，并且它们没有交点</note>，因此根据平行线的定义，<note>直线AB和直线CD是平行线</note>。<note>直线EF和直线GH位于同一平面内，并且它们没有交点</note>，因此根据平行线的定义，<note>直线EF和直线GH是平行线</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

##在本题图中，<note>两条平行线EF和GH被第三条直线CD所截</note>，形成了以下几何关系：## 同位角：<note>角1和角3相等</note>。<note>两条平行线AB和CD被第三条直线GH所截</note>，形成了以下几何关系：同位角：<note>角11和角3相等</note>。这些关系说明了在<note>两条平行线被第三条直线所截时</note>，同位角相等##。

邻补角的定义

两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。

在本题图中，<note>∠11和∠14有一条公共边（直线）</note>，它们的<note>另一边分别为（直线）和（直线）互为反向延长线</note>，所以<note>∠11和∠14互为邻补角</note>。因此根据<note>邻补角定理</note> <note>∠14 + ∠11 = 180°</note>。由于 <note>∠11 = 123°</note>，因此 <note>∠14 = 180° - 123° = 57°</note>。


Answer: 70°

1. ##过∠2顶点作AB平行于a, 过∠3顶点做CD平行于b，设∠2顶点为E，∠3顶点为F，∠1的顶点为G，∠4的顶点为H##。

2. 由于直线a平行于直线b，##直线AB平行于直线a，直线CD平行于直线b，根据平行线的传递性，可以得到a∥b∥AB∥CD##。

3. ##根据平行线的平行公理2和同旁内角的定义，∠1和∠GEB互为同旁内角，所以∠1+∠GEB=180°。已知∠1=158°，所以∠GEB=180°-∠1=180°-158°=22°##。

4. ##根据平行线的平行公理2和内错角的定义，因为b∥AB∥CD，∠BEF和∠EFC互为内错角，∠CFH和∠4互为内错角，即∠BEF=∠EFC，∠CFH=∠4##。

5. ##由图可知∠3=∠EFC+∠CFH，∠BEF=∠EFC，∠CFH=∠4，所以∠3=∠BEF+∠4##。

6. ##由图可知∠2=∠GEB+∠BEF=42°，已计算得∠GEB=22°，所以∠BEF=∠2-∠GEB=42°-22°=20°。又因为∠3=∠BEF+∠4，∠4=50°，所以∠3=20°+50°=70°##。

7. 最终，∠3 = 70°。

平行线; 同旁内角; 内错角; 对顶角

平行线的定义

在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

<note>直线a和直线b位于同一平面内，并且它们没有交点</note>，因此根据平行线的定义，<note>直线a和直线b是平行线</note>。<note>直线AB和直线a位于同一平面内，并且它们没有交点</note>，因此根据平行线的定义，<note>直线AB和直线a是平行线</note>。<note>直线CD和直线b位于同一平面内，并且它们没有交点</note>，因此根据平行线的定义，<note>直线CD和直线b是平行线</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>两条平行线a和##AB##</note>被第三条直线所截，形成了以下几何关系：1. 同位角：##无。2. 内错角：无。3. 同旁内角：<note>∠1和∠GEB互补，即∠1 + ∠GEB = 180度</note>。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，<note>同旁内角互补</note>。<note>两条平行线AB和CD</note>被第三条直线所截，形成了以下几何关系：1. 同位角：无。2. 内错角：<note>∠BEF和∠EFC相等</note>。3. 无。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，<note>内错角相等</note>。<note>两条平行线CD和b</note>被第三条直线所截，形成了以下几何关系：1. 同位角：无。2. 内错角：<note>∠CFH和∠4相等</note>。3. 无。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，<note>内

内错角的定义

当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。

<note>直线AB平行于直线CD，直线EF是截线</note>，其中<note>∠BEF和∠EFC位于两平行线之间，且在截线EF的对侧</note>，因此<note>∠BEF和∠EFC是内错角</note>。<note>内错角相等，即∠BEF=∠EFC</note>。<note>直线CD平行于直线b，直线FH是截线</note>，其中<note>∠CFH和∠4位于两平行线之间，且在截线FH的对侧</note>，因此<note>∠CFH和∠4是内错角</note>。<note>内错角相等，即∠CFH=∠4</note>。

同旁内角的定义

<note>直线a平行于直线AB，被第三条直线所截</note>，∠1和∠GEB在截线的同侧，且在被截线a和AB之内，所以<note>∠1和∠GEB是同旁内角</note>。同旁内角∠1和∠GEB互补，即<note>∠1 + ∠GEB = 180度</note>。

平行线的传递性

若两条直线分别与第三条直线平行，则这两条直线互相平行。

<note>直线AB和直线b分别与直线a平行</note>。根据平行线的传递性，<note>直线AB平行于直线a</note>，<note>直线b平行于直线z</note>，<note>直线x和直线a互相平行</note>。因此，<note>直线AB平行于直线b</note>。同理，可以得到<note>a∥b∥AB∥CD</note>。


Question: 求 m \angle 1.

Answer: 53

1. ##从图中可以观察到，三条直线相交于一点，∠1、37°角及一个直角组成一个平角。##

2. ##根据平角的定义，可得到∠1+37°+90°=180°。##

3. ##解得∠1 = 90° - 37°= 53°。##

####

##4##. 经过上述推理，最终得出答案为∠1的度数是53°。

平角的定义

一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度。

在本题图中，<note>射线绕着端点旋转到与起始边成一条直线，形成平角</note>。根据<note>平角的定义</note>，平角的度数为<note>180度</note>。######


Question: 对于梯形 A B C D，S 和 T 是两条腿的中点。如果 A B = x + 4，C D = 3 x + 2，并且 S T = 9，求 A B。

Answer: 7

1.已知条件为梯形 A B C D，其中 S 和 T 分别是 A C 和 B D 的中点，A B = x + 4，C D = 3 x + 2，##中位线##S T = 9。

2. 根据梯形的中位线定理，##梯形的中位线是梯形的上底+下底和的一半。该梯形ABCD的中位线是ST，那么得到公式:##ST= (A B + C D) / 2。

3. 将已知条件代入中位线公式：9 = ((x + 4) + (3x + 2)) / 2。

4. 解方程：(x + 4) + (3x + 2) = 18，整理得：4x + 6 = 18。

5. 移项求解，得：4x = 12。

6. 两边同时除以 4，得：x = 3。

7. 将 x = 3 代入 A B = x + 4，得到 A B = 3 + 4 = 7。

8. 经过上述推理，最终得出答案为 A B = 7。

中点; 平行线; 梯形; 线段

梯形的定义

梯形是一种四边形，有且仅有一对平行边。

<note>边 AB 和边 CD 是平行的</note>，而<note>边 AC 和边 BD 不平行</note>。因此，根据<note>梯形的定义</note>，四边形 ABCD 是一种梯形，因为它<note>有且仅有一对平行边</note>。

线段中点

线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。

在本题图中，<note>线段AC的中点为点S</note>。根据线段中点的定义，<note>点S将线段AC平分为两个相等的部分，即线段AS和线段SC的长度相等</note>。即，<note>AS = SC</note>。在本题图中，<note>线段BD的中点为点T</note>。根据线段中点的定义，<note>点T将线段BD平分为两个相等的部分，即线段BT和线段TD的长度相等</note>。即，<note>BT = TD</note>。

梯形中位线定理

梯形的中位线是连接两腰中点的线段，这条线段平行于两条底边，并且长度等于两条底边长度和的一半。


Question: 求x。四舍五入到小数点后两位。

Answer: 27.44

1. 已知条件为直角三角形，并给出了一边长度为24，角度为61°，要求找出斜边x的长度。根据直角三角形的三角函数，知##正弦函数定义##中描述：sin(θ) = 对边/斜边。因此，在此题中，可以用sin(61°) = 24/x

2. 将上式变换为x = 24/sin(61°)以便计算斜边x的长度。

3. 使用计算器计算sin(61°)的值，得到sin(61°) ≈ 0.8746。

4. 将sin(61°) ≈ 0.8746代入到x = 24/sin(61°)中，计算得到x ≈ 24/0.8746 ≈ 27.44。

5. 经过上述推理步骤，得出答案为x ≈ 27.44，四舍五入到小数点后两位，最终结果为27.44。

直角三角形; 正弦; 余弦

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

在本题图中，<note>三角形</note>由<note>三个非共线点及其连接线段</note>组成。该<note>三角形</note>中，<note>直角边</note>的长度为24，<note>斜边</note>的长度为x，<note>角度为61°</note>。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

在本题图中，<note>三角形中有一个角是直角（90度）</note>，因此这个三角形是一个直角三角形。<note>已知一条直角边的长度为24</note>，<note>斜边为x</note>。

正弦函数定义

在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。

<note>角61°是锐角</note>，<note>边24是角61°的对边</note>，<note>边x是斜边</note>。根据正弦函数定义，角61°的正弦值等于对边24与斜边x的比值，即<note>sin(61°) = 24 / x</note>。


Answer: 20°

1. 已知AB平行CD以及∠B=20°。

2. 根据平行线的##平行公理2，内错角相等，得出∠B=∠C=20°##。

3. ##因此∠C的值为20°##。

####

平行线的定义

在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

在本题图中，<note>直线AB</note>和<note>直线CD</note>位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，直线AB和直线CD是平行线。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>两条平行线AB和CD</note>被<note>第三条直线BC</note>所截，形成了以下几何关系：<note>内错角：角B和角C相等</note>。


Question: 如果 c = 5，求 a。

Answer: 2.5

1. 已知三角形ABC为直角三角形，∠ACB为直角，根据##正弦函数定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。##

2. 从题图中知，∠CAB = 30°，边c = 5，则sin30° = a/c。

3. 代入已知条件，sin30° = 1/2，因此a/5 = 1/2。

4. 解出a/5 = 1/2，得到a = 5 × 1/2 = 2.5。

5. 经过上述推理，最终得出答案为a = 2.5。

直角三角形; 正弦; 余弦

正弦函数定义

在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。


Question: 一个正方形内切于面积为18 \pi 平方单位的圆中。求正方形的边长。

Answer: 6

1. 已知条件为圆的面积为18π平方单位。根据圆的面积公式A = πr^2，可以得出半径r的平方为18。

2. ####进而得到半径r = √18。

3. ##设正方形ABCD内切于圆O，根据正方形的定义，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA。根据(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角，则正方形的对角线AC和BD是圆的直径##。

4. 因此，圆的直径##AC=BD=2r##= 2√18 = 2√(9*2) = 6√2。

5. ##在△ABD中，∠A=90°，所以根据直角三角形的定义，△ABD为直角三角形，根据勾股定理，AB?+AD?=BD?，因为AB=AD，那么得2AB?=(6√2)?##。

6. 由此可以得出正方形的边长##AB= 6##。

7. 经过上述推理，最终得出答案为6。

圆的面积公式

圆的面积公式为A = πr^2，其中A表示面积，π是圆周率，r是圆的半径。

在本题图中，<note>圆的面积为18π平方单位</note>。根据<note>圆的面积公式</note>，<note>圆的面积A等于圆周率π乘以半径r的平方，即A = πr^2</note>。<note>已知A = 18π</note>，因此可以解出<note>πr^2 = 18π</note>，进而计算出<note>半径r = √18</note>。

正方形的定义

正方形是一种平面四边形，其四条边相等且四个内角均为直角（90度）。

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

<note>圆的直径</note>是通过<note>圆心</note>并且<note>两端都在圆上</note>的<note>线段</note>，<note>长度为2倍的半径</note>，即<note>直径d = 2r</note>。计算得出<note>d = 2√18</note>。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角

半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

<note>圆O中，角BAD的顶点(点A)在圆周上</note>，<note>角BAD的两边分别与圆O相交于点B和点D</note>。因此，<note>角BAD是一个圆周角</note>。

对角线的定义

对角线是连接多边形一顶点和非相邻顶点的线段。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>在本题图中，直角三角形ABD中，角BAD是直角（90度）</note>，边<note>AB和AD是直角边</note>，边<note>BD是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>BD? = AB? + AD?</note>。


Question: 求 x。四舍五入到十分位。

Answer: 18.8

1. ##设图中三角形的顶点分别为A、B、C点，BC为底边，顶点A到底边BC的高线为AD，由题可得：AB=AC=32，AD=y，BD=x，∠ACB=54°。所以根据等腰三角形的定义和性质可得：三角形ABC为等腰三角形，且∠ACB=∠ABC=54°。由于AD是BC上的高线，所以∠ADB=∠ADC=90°，根据直角三角形的定义得：三角形ABD和三角形ACD均为直角三角形，因此可以使用正弦函数定义。正弦函数定义##：在直角三角形中，##正弦函数定义为该角的对边##比斜边。

2. 在该题中，已知##三角形ABC的底角∠ABD##为54°，##AD长##为y，##BD长##为x。因此，sin(54°) = 对边(y) / 斜边(32)。

3.##在图中## 容易看出对边就是y，对边是指对于角54°的对边。

4. 应用##正弦函数定义##并代入已知值：sin(54°) ≈ 0.809。这样有：0.809 = y / 32。

5. 通过代数运算求得y = 32 * 0.809 ≈ 25.888。

####

##6. 根据勾股定理：在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。代入x，y##和斜边。##

##7##. 现在，将y和已知边引入公式：##x^2 + 25.888^2 = 32^2##。代入计算得##x^2≈ 32^2 - 25.888^2##

##8##. 计算各项值：##32^2## = 1024，##25.888^2## ≈ 670.466，##x^2 ##≈ 1024 - 670.466 ≈ 353.534。

##9##. 取平方根即可找出x的近似值：x ≈ √353.534 ≈ 18.8。

##10##. 经过正确的推理与代数运算，最终得出答案为x ≈ 18.8。

等腰三角形; 直角三角形; 正弦

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形

在本题图中，三角形ABC中，<note>AB=AC=32</note>，因此<note>三角形ABC是一个等腰三角形</note>。####

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等

在本题图中，<note>等腰三角形ABC</note>中，<note>边AB和边AC相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>角ABC = 角ACB</note>。(或：在本题图中，<note>等腰三角形ABC</note>中，<note>角ABC和角ACB相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的角对应的边相等，即<note>边AB = 边AC</note>。)

高的定义

从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段

<note>从顶点A垂直于对边BC（或其延长线）的线段AD</note>是该顶点A的高。<note>线段AD与边BC（或其延长线）形成一个直角（90度）</note>，这说明线段AD是<note>从顶点A到对边BC（或其延长线）的垂直距离</note>。####

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形

在本题图中，三角形ACD中，<note>角ADC是直角（90度）</note>，因此三角形ACD是一个直角三角形。<note>AD和CD是直角边</note>，<note>AC是斜边</note>。三角形ABD中，<note>角ADB是直角（90度）</note>，因此三角形ABD是一个直角三角形。<note>AD和BD是直角边</note>，<note>AB是斜边</note>。

正弦函数定义

在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。

<note>在直角三角形ABD</note>中，<note>角ABD=54°是锐角</note>，<note>AD=y是角54°的对边</note>，<note>AB=32是斜边</note>。根据正弦函数定义，角54°的正弦值等于对边y与斜边32的比值，即sin(54°) = y / 32。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>在直角三角形ABD</note>中，斜边为32，两个直角边分别为x和y。所以根据勾股定理，<note>32^2= x^2 + y^2</note>。


Question: 求x。假设任何看起来是切线的线段都是切线。

Answer: 10

1. ##设角P是圆O的外角，由图知角P=3x°，弧AB的度数=(4x + 50)°，弧CD的度数=30°，根据圆外角定理，得角P=（弧AB的度数-弧CD的度数）/2，即3x°=[(4x + 50)°-30°]/2##。

2. ##需要解方程3x=[(4x+50)-30]/2  => 3x=(4x+20)/2##。

####

##3##. ##两边同时乘以2可得##：4x + 20 = 6x。

##4##. ##移项得到##2x = 20，从而简单得出x = 10。

##5##. 经由上述推理，最终答案即x = 10。

圆外角定理

圆的外部角等于其所对的两个弧的度数差的一半。

<note>角APB是圆的外角</note>，<note>弧AB和弧CD是角APB所对的两个弧</note>。根据圆外角定理，<note>角APB等于弧AB的度数与弧CD的度数差的一半</note>，即<note>角APB = (弧AB的度数 - 弧CD的度数) / 2</note>。


Answer: 54°

1. ##设AB与直线a相交于A点，BC与直线a相交于C点##，已知直线AB垂直于直线BC，##根据垂线定义，得∠ABC=90°，根据直角三角形的定义，△ABC为直角三角形##。

2. ##因为a∥b，根据内错角的定义，得∠BCA和∠1是内错角，根据平行线的平行公理2，得∠BCA=∠1=36°。在Rt△ABC中，根据直角三角形的锐角互补性质，得∠BCA+∠CAB=90°即36°+∠CAB=90°##。

3. 由此可得，##∠CAB=90°-36°=54°## 。

4. ##根据对顶角的定义，得∠2=∠CAB=54°##。

####

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为54°。

平行线; 同位角; 直角三角形

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

在本题图中，三角形ABC中，<note>角ABC是直角（90度）</note>，因此三角形ABC是一个直角三角形。<note>边AB和边BC是直角边</note>，<note>边AC是斜边</note>。

直角三角形的锐角互补性质

在直角三角形中，除了直角之外的两个角之和为90°。

<note>直角三角形ABC中，角ABC是直角（90度）</note>，<note>角CAB和角BCA是直角以外的两个锐角</note>，根据直角三角形的锐角互补性质，<note>角CAB和角BCA的和为90度</note>，即<note>角CAB + 角BCA = 90°</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>两条平行线a和b被第三条直线BC所截</note>，形成了几何关系，<note>内错角∠BCA和∠1相等，即∠BCA = ∠1=36°</note>。

对顶角的定义

对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。

在本题图中，两条相交直线<note>a和AB相交于点A</note>，形成的角：<note>∠2、∠CAB</note>。根据对顶角的定义，<note>∠2和∠CAB是对顶角</note>，由于对顶角的角度相等，所以<note>∠2=∠CAB##。##</note>

内错角的定义

<note>两条平行直线a和b</note>被一条直线<note>BC</note>截交，其中<note>∠1和∠BCA位于两平行线之间，且在截线BC的对侧</note>，因此<note>∠BCA和∠1是内错角</note>。

垂线定义

如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。


Question: 求 x。

Answer: \frac { 17 } { 2 } \sqrt { 3 }

1. ##设三角形三个顶点为ABC，则斜边AB=17，∠B为60°且∠C=90°，根据直角三角形的定义，该三角形为直角三角形。##

2. ##根据三角形内角和定理，∠A+∠B+∠C=180°，已知∠B=60°，∠C=90°，则∠A=180°-∠B-∠C=180°-60°-90°=30°。##

3. ##根据正弦函数定义，对于直角三角形ABC，sin(∠B)=对边/斜边##, 因此 sin(60°)=x/17。

4. ##根据30°-60°-90°三角形的性质得出，边y:边x:斜边=1:√3:2，再根据正弦函数定义得出##，sin(60°)=√3/2。以此代入sin(60°)=x/17中，得 √3/2 = x/17。

5. 解方程 √3/2 = x/17，得 x = (17√3)/2。

6. 经过计算得到 x ≈ 14.722。

7. 经过上述推理，最终得出答案为 (17√3)/2。

直角三角形; 正弦; 余弦; 正切

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

正弦函数定义

在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。

在本题图中，<note>直角三角形中，∠B = 60°是锐角</note>，<note>边x是角∠B的对边</note>，<note>边17是斜边</note>。根据正弦函数定义，∠B的正弦值等于对边x与斜边17的比值，即<note>sin(60°) = x / 17</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形ABC中，∠A、∠B和∠C是三角形ABC的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>∠A + ∠B + ∠C = 180°</note>。其中<note>∠C = 90°</note>，<note>∠B = 60°</note>，所以<note>∠A = 30°</note>。

30°-60°-90°三角形的性质

在30°-60°-90°三角形中，30度角所对的短边，是斜边的一半，60度角所对的边则为短边的√3倍。


Question: 每对多边形都是相似的。求 A C。

Answer: 7.6

1. ##由图知∠ABC=∠CDE=90度，根据对顶角的定义，得∠ACB=∠DCE，根据相似三角形的判定定理(AA)，由此可知△ACB∽△EDC##。

####

##2. 根据相似三角形的定义##，所以有，AC/CE=CB/CD。

##3. 因为AC=x+7，CE=12-x，CB=4，CD=6，代入等式中##可得到 (x+7)/(12-x) = 4/6 = 2/3。

##4##. 进行交叉相乘得到：3(x + 7) = 2(12 - x)。

##5##. 展开方程得到：3x + 21 = 24 - 2x。

##6##. 两边移项，得到 5x + 21 = 24。

##7. 移项可得 5x = 24-21=3##。

##8##. 将方程####等式两边同时除以5，得到x = 3/5。

##9##.代入AC = x+7，得到AC = (3/5)+7 =## 3/5 + 35/5 ##= 38/5 = 7.6。

##10##. 经过上述推理，最终得出答案为7.6。

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

对顶角的定义

对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。

##相似三角形的判定定理(AA)##

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。


Question: 求解 X Z。

Answer: 34

##1.已知ZW＝WY，WX＝WX，∠ZWX＝∠YWX＝90°，所以依据全等三角形判定定理(SAS)可知，三角形ZWX和三角形YWX全等。##

##2.由全等三角形的定义可知，ZX＝YX。##

##3.已知ZX等于5y - 6，YX＝18 + 2y，联立等式5y - 6 = 18 + 2y。##

##4. 移项得到：5y - 2y = 18 + 6。##

##5. 合并类似项得到：3y = 24。##

##6.两边同时除以 3，得到 y = 8。##

##7.将 y = 8带入XZ=5y - 6##

##8.得到5×8-6＝34##

####

直角三角形; 等腰三角形

全等三角形的定义

两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等。

<note>在本题图中，三角形WYX和三角形WZX是全等三角形</note>，三角形WYX的对应边和对应角与三角形WZX相等，即： <note>边WY = 边WZ</note>，<note>边WX = 边WX</note>，<note>边YX = 边ZX</note>，同时，<note>对应的角也相等</note>： <note>角WXY = 角WXZ</note>，<note>角YWX = 角ZWX</note>，<note>角WYX = 角WZX</note>。

全等三角形判定定理(SAS)

如果一个三角形的两边及其夹角分别与另一个三角形的两边及其夹角相等，那么这两个三角形全等


Question: 求x。

Answer: 8 \sqrt { 3 }

1. 该题目描述的几何图形为一个直角三角形，其中一个直角边的长度为8，斜边的长度为16。我们需要找到另一个直角边的长度x。

2. 根据##勾股定理（毕达哥拉斯定理）##，即：在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。表示为：##a^2 + b^2 = c^2##。

3. 在该题中，已知c = 16（斜边），已知一条直角边a = 8，另一条直角边b = x。

4. 将已知数值代入勾股定理公式，即：##8^2 + x^2 = 16^2##。

5. 计算各项平方值，即：64 +## x^2## = 256。

6. 将64移到方程另一边，得到：## x^2## = 256 - 64。

7. 简化等式，得到：## x^2## = 192。

8. 对等式两边开平方，得到：x = √192。

9. 进一步简化得：x = 8√3。

10. 经过上述推理，最终得出答案为x = 8√3。

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

<note>在本题图中，设四边形为ABCD，三角形BCD是由三个非共线点B、C、D及其连接线段BC、CD、BD组成的几何图形。</note>点B、C、D分别是三角形的三个顶点，<note>线段BC、CD、BD分别是三角形的三条边。</note>##

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>在本题图中，##设四边形为ABCD，三角形BCD中，有一个角标有直角标识</note>，<note>此角是直角（90度）</note>，因此<note>该三角形是一个直角三角形</note>。<note>边BC和边CD是直角边</note>，<note>边BD是斜边</note>。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>直角三角形</note>中，已知一条<note>直角边的长度为8</note>，<note>斜边的长度为16</note>，另一条<note>直角边的长度为x</note>。所以根据<note>勾股定理</note>，<note>##16^2 = 8^2 + x^2##</note>。


Question: 如图,当圆形桥孔中的水面宽度AB为8米时,弧ACB恰为半圆．当水面上涨1米时,桥孔中的水面宽度A′B′为()

Answer: 2√{15}米

1. ##设圆的圆心是O##，作弦A′B′的弦心距OE，连接OA′。

2. 根据题意，##OE⊥A'B'，∠OEA'=∠OEB'=90°，则三角形OA′E为直角三角形。根据半径的定义，半径是从圆心到圆上任意一点的线段，已知点A'在圆上，则点A'到圆心O的距离为半径，为直径的一半，已知直径为8，所以OA'=4#。得在直角三角形OA′E中，OA′ = 4米，OE = 1米。

3. 根据勾股定理##（毕达哥拉斯定理）##，在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。因此，OA′E为直角三角形，有OA′^2 = OE^2 + A′E^2，即4^2 = 1^2 + A′E^2，从而A′E = √15 米。

4. 根据垂径定理，在圆中，与直径垂直的弦被直径平分，##已知OE为弦心距，而弦心距在圆的直径上，所以OE也垂直平分弦A'B'##。因此，有A′B′ = 2A′E = 2√15 米。

5. 经过上述推理，最终得出答案为2√15 米。

圆; 弦; 弧; 垂线; 直角三角形

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

<note>在本题图中，圆O中，点O是圆心，点A是圆上的任意一点，线段##OA‘##是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段##OA’##是圆的半径</note>。##

弦心距

圆心到弦的垂直距离称为弦心距。

<note>圆O中，点O是圆心</note>，线段<note>A'B'是圆的弦</note>，线段<note>OE是从圆心O到弦A'B'的垂线段</note>。根据弦心距的定义，<note>线段OE的长度即为圆心到弦A'B'的垂直距离，称为弦心距</note>。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>在本题图中，三角形OA′E中，角∠OA′E是直角（90度）</note>，因此<note>三角形OA′E是一个直角三角形</note>。<note>边OA′和边OE是直角边</note>，<note>边A′E是斜边</note>。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>在直角三角形OA′E中，∠OA′E是直角（90度）</note>，边OE和A′E是直角边，边OA′是斜边，所以根据勾股定理，<note>OA′^2 = OE^2 + A′E^2</note>，即<note>4^2 = 1^2 + A′E^2</note>，从而得到<note>A′E = √15米</note>。

垂径定理

如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。

在本题图中，圆O中，<note>直径OE垂直于弦A′B′</note>，那么根据垂径定理，<note>直径OE平分弦A′B′</note>，即<note>A′E = E′B′</note>，并且<note>直径OE平分弦A′B′所对的两条弧</note>，即<note>弧A′C = 弧CB′</note>。


Question: 求 m \angle B。

Answer: 61

1. ##设圆心为O，连接AO和OC，已知弧AC的度数为122°，∠AOC为圆心角，∠ABC为圆周角。##

2. ##根据圆心角的性质，圆心角的度数等于它所对的圆弧的度数，可以得到∠AOC=122°。##

3.##根据圆周角定理，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半，∠ABC=(1/2)*∠AOC=(1/2)*122°=61°。##

##4. 最终得出答案为61°。##

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

<note>在本题图中</note>，圆中，<note>角ABC的顶点B在圆周上</note>，<note>角ABC的两边分别与圆相交于点A和点C</note>。因此，<note>角ABC是一个圆周角</note>。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

<note>∠AOC</note> = 122° 作为圆心角，根据圆周角定理，圆心角的一半即是其所对的圆周角的角度，因此被  <note>∠AOC</note> 所夹的圆弧的圆周角是 <note>∠ABC</note> = 122°/2 = 61°。

圆心角的性质

圆心角的度数等于它所对的圆弧的度数。

<note>已知圆心角∠AOC所对的圆弧为弧AC</note>。根据圆心角的性质，<note>圆心角的度数与所对圆弧的度数相等</note>，即<note>∠AOC的度数=弧AC的度数</note>。####

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

在本题图中，圆O中，<note>点A和点C是圆上的两点</note>，<note>圆心是点O</note>。<note>连线OA和OC组成的∠AOC称为圆心角</note>。####

弧的定义

弧是圆上两点之间的一段曲线。

在本题图中，圆O上有两点A和C，<note>弧AC</note>是连接这两点的一段曲线。根据<note>弧的定义</note>，<note>弧AC是圆上两点A和C之间的一段曲线</note>。##


Question: 求阴影扇形的面积。四舍五入到十分位。

Answer: 1.8

1. 已知条件为半径##XW##= 2 cm，##圆心角∠WXY## = 52°。

2. 根据扇形的面积公式，扇形的面积 X = (θ/360) * π * r?，其中 r 为半径，其中θ是圆心角度数。

3. 代入数据，扇形的面积 X =(52/360) * π * 2?=(52/360) * π * 4 。

####

##4. 进一步化简计算得到 X ≈ 0.1444 * π * 4##。

##5. 继续化简，X ≈ 0.5776π##。

##6.##计算得 ##X##≈ 0.5776 * 3.1416 ≈ 1.81416。

##7.## 将计算结果四舍五入到小数点后一位，得到1.8。

##8.## 因此，扇形的面积约为1.8平方厘米。

扇形的定义

由一个圆的两条半径与它们所夹的圆弧组成的图形称作扇形。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

扇形的面积公式

扇形的面积X可以通过公式 X = (θ/360) * π * r?计算，其中θ是圆心角度数，r是半径长度。

<note>扇形WXY</note>中，<note>圆心角WXY</note>的度数为<note>52度</note>，<note>半径XW</note>的长度为<note>2</note>。根据<note>扇形的面积公式</note>，扇形的面积A可以通过公式X = (θ/360) * π * r?计算，其中θ是圆心角度数，r是半径长度。所以<note>扇形WXY的面积X = (θ/360) * π * r?</note>。####

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段。

<note>圆X中，点X是圆心</note>，<note>点W是圆上的任意一点</note>，<note>线段XW是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段XW是圆的半径</note>。


Question: 在 \\odot O 中，E C 和 A B 是直径，且 \\angle B O D \\cong \\angle D O E \\cong \\angle E O F \\cong \\angle F O A。求 m \\widehat A D。

Answer: 135

1. 已知条件为圆 O 中，EC 和 AB 是直径，∠ BOD##≌∠ DOE≌∠ EOF≌∠ FOA##。

2. 由于角 BOD、DOE、EOF 和 FOA 相等，##且这4个角构成了一个平角，因此这四个角的和等于180°##。

3. 故这四个角的总和为##180°##，设每个角为 x，根据等式 4x = ##180°##，可解得 x = ##45°##。

4. ##弧AD所对圆心角为角DOE、EOF 和 FOA之和，所以∠AOD=3 * 45°=135°，所以弧AD=135°##。

####

##5##. 根据前面的推理，最终得出答案为##弧AD = 135°##。

圆; 圆心角; 弧; 弦; 直线

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

<note>EC 和 AB 是直径</note>，连接了<note>圆心 O</note>和<note>圆周上的 E、C 和 A、B 两点</note>，长度为<note>2倍的半径</note>，即 <note>EC = 2r</note> 和 <note>AB = 2r</note>。####

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。


Question: AB 是直径，AC = 8 英寸，BC = 15 英寸。求圆的半径。

Answer: 8.5

1. 已知条件为A B 为直径，根据直径的定义，A B 是圆的一个直径，而一个圆的直径是整个圆经过中心点的最长线段。

2. 已知 A C = 8 英寸， B C = 15 英寸。为了求圆的半径，我们可以先用这些信息计算出A B的长度。

3. ##由(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角可知，直径AB所对应的圆周角∠ACB＝90°，所以三角形ABC是直角三角形####。

4. 根据毕达哥拉斯定理，我们有：A B 的平方 = A C 的平方 + B C 的平方，即：A B^2 = A C^2 + B C^2。

5. 代入已知值：A B^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289。

6. 因此A B的长度为：A B =## √(289) ##= 17 英寸。

7. 半径是直径的一半，因此圆的半径为：17 / 2 = 8.5 英寸。

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角

半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

<note>在本题图中，圆中，直径AB</note>所对的<note>圆周角∠ACB是直角（90度）</note>。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>直角三角形 ABC中</note>，<note>∠ACB 是直角（90度）</note>，边 AC 和 BC 是直角边，边 AB 是斜边，所以根据勾股定理，<note>AB^2 = AC^2 + BC^2</note>。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

在本题图中，圆O中，<note>角ACB的顶点(点C)在圆周上</note>，<note>角ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B</note>。因此，角ACB是一个圆周角。####

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段。

<note>在本题图中，圆O中，点O是圆心</note>，点A，点B是圆上的任意一点，<note>线段OA和OB是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OA和OB是圆的半径</note>。


Answer: 60°

1. ##根据内错角的定义，∠1和∠DAC为内错角，∠2和∠ABC为内错角；已知AD∥BC，∠1= 42°，则根据平行线的平行公理2可得，∠1= ∠DAC= 42° ，∠2=∠ABC。##

2. ##已知∠BAC=78°，根据三角形内角和定理，在三角形ABC中，有∠ABC+∠1+∠BAC=180°，即 ∠ABC = 180° - ∠1 - ∠BAC。##。

3. ##代入数值，得到 ∠ABC = 180° - 42° - 78° = 60°。##

4. ##根据步骤1得出的结果，得到 ∠2=∠ABC = 60°。##

5. ##经过上述推理，最终得出 ∠2= 60°。##

平行线; 内错角; 三角形的外角

内错角的定义

<note>两条平行直线AD和BC</note>被<note>一条直线AC</note>截交，其中<note>∠1和∠DAC位于两平行线之间，且在截线AC的对侧</note>，因此<note>∠1和∠DAC是内错角</note>；<note>两条平行直线AD和BC</note>被<note>一条直线AB</note>截交，其中<note>∠2和∠ABC位于两平行线之间，且在截线AB的对侧</note>，因此<note>∠2和∠ABC是内错角</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

在本题图中，三角形ABC中，<note>角CAB</note>、<note>角ABC</note>和<note>角BCA</note>是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>角CAB + 角ABC + 角BCA = 180°</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。


Question: 如图,在⊙A中,已知弦BC=8,DE=6,∠BAC+∠EAD=180°,则⊙A的半径长为()

Answer: 5

1. 已知：弦BC=8, DE=6, ∠BAC+∠EAD=180°。作直径CF，连接BF。

2. ##根据圆周角的定义，∠CBF是圆周角；根据(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角，得到∠CBF为直角。根据直角三角形的定义，三角形CBF是直角三角形。##

3.##已知条件∠BAC+∠EAD=180°，根据平角的定义，∠CAF为平角，∠CAF=180°。即∠BAC+∠BAF=180°。##

4 ##由于∠BAC+∠BAF=180°，∠BAC+∠EAD=180°，所以∠DAE=∠BAF。##

5. ##根据圆心角的定义，∠BAF和∠DAE为圆心角；又因为∠DAE=∠BAF，根据圆心角定理得到，DE=BF，所以BF=6。##

6. ##根据勾股定理（毕达哥拉斯定理），在直角三角形CBF中，可以得出CF^2=BC^2+BF^2，即CF=√(BC^2 + BF^2)=√(8^2 + 6^2)=√(64 + 36)=√100=10。##

##7. 圆A的半径是直径的一半，因此⊙A的半径为CF/2=10/2=5。##

圆; 弦; 圆周角; 圆内接四边形

弦的定义

弦是连接圆上任意两点的线段。

在本题图中，圆A中，<note>点C和点B是圆上的任意两点</note>，<note>线段CB连接了这两个点</note>，所以<note>线段CB是圆A的弦</note>；圆A中，<note>点D和点E是圆上的任意两点</note>，<note>线段DE连接了这两个点</note>，所以<note>线段DE是圆A的弦</note>；圆A中，<note>点B和点F是圆上的任意两点</note>，<note>线段BF连接了这两个点</note>，所以<note>线段BF是圆A的弦</note>。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角

半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

<note>圆A中，直径CF所对的圆周角CBF是直角（90度）</note>。####

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

在本题图中，三角形CBF中，<note>角CBF是直角（90度）</note>，因此三角形CBF是一个直角三角形。<note>边CB和边BF是直角边，边CF是斜边</note>。####

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>直角三角形CBF中，角CBF是直角（90度）</note>，边BC和BF是直角边，边CF是斜边，所以根据勾股定理，<note>CF^2=BC^2+BF^2</note>。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

在本题图中，<note>圆A中，点B和点F是圆上的两点，圆心是点A</note>。连线<note>AB和AF组成的∠BAF称为圆心角</note>；<note>圆A中，点D和点E是圆上的两点，圆心是点A</note>。连线<note>AD和AE组成的∠DAE称为圆心角</note>。

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。


Question: 在图中，\triangle A B C \\sim \triangle D E F。B G 是 \triangle A B C 的中线，E H 是 \triangle D E F 的中线。如果 B C = 30，B G = 15，且 E F = 15，求 E H。

Answer: 7.5

1. 已知条件为##△ABC ～△DEF##，根据##相似三角形的定义##，AB/DE = BC/EF = AC/DF##，∠C=∠F##。

2. ##因为BG 是 △ABC 的中线，EH 是 △DEF 的中线，根据三角形中线的定义，得G为AC的中点，H为DF的中点，根据线段中点得AG=GC=?AC，DH=HF=?DF，那么GC/HF=?AC/?DF=AC/DF=BC/EF##。

3. ##因为∠C=∠F，GC/HF=BC/EF，根据相似三角形的判定定理（SAS），得三角形BCG相似于三角形EFH，根据相似三角形的定义，得BG/EH=BC/EF=GC/HF##。

 4. ##已知BC = 30，EF = 15，BG=15，因此15/EH = 30/15 = 2##。

5. 解方程得EH = 15/2 = 7.5。

6. 以上推理得出EH的长度为7.5。

普通三角形; 线段; 中点; 位似

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>△ABC 和 △DEF 是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>∠A = ∠D</note>, <note>∠B = ∠E</note>, <note>∠C = ∠F</note>；<note>AB/DE = BC/EF = AC/DF</note>。<note>三角形BCG相似于三角形EFH</note>，根据相似三角形的定义有：<note>BG/EH=BC/EF=GC/HF</note>。

三角形中线的定义

中线是从三角形一个顶点到对边中点的线段。

在本题图中，##三角形ABC中，<note>顶点B</note>是三角形的一个顶点，<note>对边AC</note>是与顶点B相对的边。<note>点G</note>是边AC的中点，<note>线段BG</note>是从顶点B到对边AC中点G的线段，因此BG是三角形ABC的一条中线。三角形DEF中，<note>顶点E</note>是三角形的一个顶点，<note>对边DF</note>是与顶点E相对的边。<note>点H</note>是边DF的中点，<note>线段EH</note>是从顶点E到对边DF中点H的线段，因此EH是三角形DEF的一条中线。

相似三角形的判定定理（SAS）

若两三角形有两组对应边的比例相等，且它们所夹的内角相等，则这两个三角形相似。

线段中点

线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。


Question: 求平行四边形的面积。如果有必要，四舍五入到最接近的十分位。

Answer: 1440

1. 已知平行四边形的底边长为40英寸，高度为36英寸。要计算平行四边形的面积，可以使用面积的公式，即平行四边形的面积等于底乘高。

2. 依据平行四边形面积公式：面积 = 底 × 高，在本题中底边长和高度分别为40英寸和36英寸。

3. 计算：面积 = 40英寸 × 36英寸 = 1440平方英寸。

4. 因为题目要求结果保留到小数点后一位，因此最终结果不变。

5. 经过上述推理，最终得出答案为1440.0平方英寸。

平行四边形; 平行线; 垂线

平行四边形的定义

平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。

在本题图中，四边形满足<note>两组对边分别平行且相等</note>，即<note>上边与底边平行且相等</note>，<note>左边与右边平行且相等</note>。因此这是<note>一个平行四边形</note>。

平行四边形的面积公式

一个平行四边形的面积等于它的底边长乘以对应的高，即A = 底边长 × 高。

<note>平行四边形的底边长为40英寸</note>，<note>对应的高是从底边到对边的垂直距离，记为36英寸</note>。因此，根据平行四边形的面积公式，平行四边形的面积等于<note>底边长40英寸乘以对应的高36英寸</note>，即A = 40英寸 × 36英寸 = 1440平方英寸。

平行四边形的高

平行四边形的高是从一条边的顶点到其对边的垂直距离。

<note>在本题图中，平行四边形中，上底和下底边是平行的。</note> <note>左上角的顶点到下底边的垂直距离是平行四边形的高。</note> 具体来说，<note>从左上角的顶点作一条垂直于底边的线段</note>，该线段的长度（36英寸）即为平行四边形的高。##


Question: 如图,小强自制了一个小孔成像装置,其中纸筒的长度为15cm,他准备了一支长为20cm的蜡烛,想要得到高度为4cm的像,蜡烛与纸筒的距离应该为()

Answer: 75cm

1. ##设小孔位置为点O，小孔到CD的垂直距离为OF##。已知AB=20cm，OF=15cm，CD=4cm。根据题意，蜡烛AB竖直放置，像CD与蜡烛AB是等高位。

2. 构造辅助线EF，使其垂直于AB且垂直于CD，则EF垂直于AB且垂直于CD。

3. ##因为CD为AB通过孔O成像所得，所以OA=OB，OC=OD。所以根据等腰三角形的定义，三角形OAB和三角形OCD为等腰三角形。又根据对顶角的定义，∠COD和∠AOB为直线AD和BC的夹角，所以∠COD=∠AOB，则∠OAB=∠OBA=∠OCD=∠ODC。根据相似三角形的判定定理(AA)##，得到△OAB ∽△ODC。

4. ##根据相似三角形的定义，两个三角形的对应边成比例，所以CD/AB = OF/OE##。

5. 根据已知条件：##4/20 = 15/OE##。

6. 解方程得：OE = 75 cm。

7. 经过上述推理，蜡烛与纸筒的距离即为75 cm。

垂线定义

如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。

<note>直线EF和直线AB相交形成的角∠EAB是90度</note>，因此根据垂线定义，直线EF和直线AB互相垂直；同理，<note>直线EF和直线CD相交形成的角∠ECD是90度</note>，因此根据垂线定义，直线EF和直线CD互相垂直。

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

在本题图中，<note>三角形ABO是由三个非共线点A、B、O</note>及<note>其连接线段AO、AB、BO组成的几何图形</note>。<note>点A、B、O分别是三角形的三个顶点</note>，<note>线段AO、AB、BO分别是三角形的三条边</note>。<note>三角形CDO是由三个非共线点D、C、O</note>及<note>其连接线段CO、CD、DO组成的几何图形</note>。<note>点C、D、O分别是三角形的三个顶点</note>，<note>线段CO、DC、DO分别是三角形的三条边</note>。####

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

<note>在本题图中，三角形ABO中，边AO和边BO相等，因此三角形ABO是一个等腰三角形。</note><note>三角形CDO中，边CO和边DO相等，因此三角形CDO是一个等腰三角形。</note>

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>OF、OE为三角形ABO和三角形CDO中的高</note>，且两个三角形是<note>相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>角AOB = 角COD</note>, <note>角OAB = 角ODC</note>, <note>角OBA = 角OCD</note>；<note>CD/AB = OF/OE</note>。

相似三角形的判定定理(AA)

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

<note>在本题图中，等腰三角形OAB中，边OA和边OB相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，<note>相等的两边所对的角相等，即角OAB = 角OBA</note>。同理，<note>等腰三角形OCD中，边OC和边OD相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，<note>相等的两边所对的角相等，即角OCD = 角ODC</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

在本题图中，<note>三角形OAB中</note>，<note>角OAB</note>、<note>角OBA</note>和<note>角AOB</note>是<note>三角形OAB的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角OAB + 角OBA + 角AOB = 180°</note>。同理，<note>三角形OCD中</note>，<note>角OCD</note>、<note>角ODC</note>和<note>角COD</note>是<note>三角形OCD的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角OCD + 角ODC + 角COD = 180°</note>。

高的定义

从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。

<note>从顶点O垂直于对边AB的线段OE是该顶点O的高</note>。<note>线段OE与边AB形成一个直角（90度）</note>，这说明<note>线段OE是从顶点O到对边AB的垂直距离</note>。同理，<note>从顶点O垂直于对边CD的线段OF是该顶点O的高</note>。<note>线段OF与边CD形成一个直角（90度）</note>，这说明<note>线段OF是从顶点O到对边CD的垂直距离</note>。


Question: 求x的值，精确到小数点后两位。

Answer: 43.86

1.##设70°角顶点为A，设90°角顶点为B，最后一个角的顶点为C。##

2. 在直角三角形ABC中，已知斜边为x，相邻直角边的长度为15，可以使用余弦定理进行计算。余弦定理表述为：在直角三角形中，##cos(∠CAB) = 邻边 / 斜边，即cos(70°) = AB / AC##。

3. 通过代入已知值，得cos(70°) = 15 / x。

4. 根据三角函数表或计算器，cos(70°)的值约为0.3420。

5. 将cos(70°)的值代入方程，得0.3420 = 15 / x。

6. 通过交叉相乘得到x = 15 / 0.3420。

7. 将15除以0.3420得到x ≈ 43.86。

8. 经过上述计算和验证，最终得出答案为x ≈ 43.86。

直角三角形; 正弦; 余弦; 正切

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

在本题图中，三角形ABC中，<note>角ABC是直角（90度）</note>，因此三角形ABC是一个直角三角形。<note>边BC和边AB是直角边</note>，<note>边AC是斜边</note>。

##余弦定理

余弦函数是一个三角函数，它可以通过直角三角形中的边来定义，对于一个角α，它的余弦值等于角α的邻边与斜边的比值。

<note>直角三角形ABC</note>中，边<note>AB是角BAC的邻边</note>，边<note>AC是斜边</note>。因此，根据余弦函数的定义，<note>角BAC的余弦值等于邻边AB与斜边AC的比值</note>，即<note>cos(∠BAC) = AB / AC</note>。


Question: 在 \\odot X 中，A B = 30，C D = 30，且 m \\widehat C Z = 40。求 N D。

Answer: 15

1. 已知条件为弦 AB 和 CD 为同长的弦，AB = CD = 30。####要求计算 ND 的长度。

2. ##图中的XZ为圆X的半径，CD为圆上的弦。图中已知XZ⊥CD。根据垂径定理，如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧，所以CN=DN##。

3. ##因为CN=DN，所以ND=CD/2，已知CD=30，所以ND=30/2=15##。

####

##4##. ##因此##，ND 的长度应为 ND = 15。

圆; 弦; 圆心角; 圆周角

弦的定义

弦是连接圆上任意两点的线段。

在本题图中，<note>圆 X 中，点 C 和点 D 是圆上的任意两点</note>，<note>线段 CD 连接了这两个点</note>，所以<note>线段 CD 是圆 X 的弦</note>。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段。

<note>圆X中，点X是圆心，点Z是圆上的任意一点</note>，<note>线段XZ是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段XZ是圆的半径</note>。

圆的定义

到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。

垂径定理

如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。

<note>半径 XZ 垂直于弦 CD</note>，那么根据垂径定理，<note>半径 XZ 平分弦 CD，即 CN=DN</note>，并且<note>半径 XZ 平分弦 CD 所对的两条弧，即弧 CZ=弧 DZ</note>。


Question: 求x。

Answer: 1.4

1.已知条件：##角 LMP##=60°，角 MPL=60°，####根据三角形的内角和定理可知，三角形的第三个角 ##：角LMP=180°-角LMP-角MPL=180°-60°-60°=60°##。

2. 由上述结论可知，##△MLP中每个角都是60°，所以△MLP是等边三角形（根据等边三角形的定义）##。

3. 因为△MLP是一个等边三角形，所以三条边相等，因此，ML=MP=LP。

4. 由于MP=4，所以##ML= PL=4##。

####

##5##. 因为LP=5x-3，而LP=4，因此可以列出方程：5x - 3 = 4。

##6##. 解方程5x - 3 = 4，得5x = 7，所以x = 7/5##=1.4##。

##7##. 经过上述推理，最终得出答案为##x=1.4##。

等边三角形; 直角三角形; 内错角

等边三角形的定义

等边三角形是所有三条边长度相等并且所有内角都相等（均为60°）的三角形。

<note>在本题图中，三角形MLP是一个等边三角形</note>。<note>边ML、边MP和边LP的长度相等</note>，并且<note>角MLP、角MPL和角LMP的度数相等，均为60°</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>在本题图中，三角形MLP中，角MLP、角MPL和角LMP是三角形MLP的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角MLP + 角MPL + 角LMP = 180°</note>。


Question: 点D是圆心。m \angle A B C是多少？

Answer: 90

1. 根据题图中的描述，我们知道 D 是圆的圆心，##CA过圆心D，交圆于C,A两点，符合直径的定义，CA是圆D的直径.##

2.## 由圆周角的定义可知，∠ABC为直径CA的圆周角##。

3.##依据(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角，可知∠ABC＝90°##

####

圆心

圆心指的是同一个圆上所有点到一个定点都有相同的距离，这个定点就称为圆心。

<note>点 D 即为圆的圆心</note>，表示图中所有经<note>点 D 到任意点的距离都相等</note>。

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

<note>线段CA是直径</note>，连接了<note>圆心 D</note>和<note>圆周上的C、A两点</note>，长度为2倍的半径，即<note>CA = 2 * 半径</note>。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

在本题图中，<note>圆O中，角ABC的顶点B在圆周上</note>，<note>角ABC的两边分别与圆O相交于点A和点C</note>。因此，<note>角ABC是一个圆周角</note>。

(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角

半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

在本题图中，由于 <note>CA 是直径</note>，所以其所对的圆周角 <note>∠ABC 是直角</note>，即 <note>∠ABC = 90 度</note>。


Question: 将\cos B的比值表示为小数，精确到小数点后两位。

Answer: 0.38

1. ##由图示可知，其中∠ACB=90°，根据直角三角形的定义可知##三角形ABC是一个直角三角形，AC=24，BC=10。

####

##2##. 根据##余弦函数##，余弦是邻边(BC)与斜边(AB)的比，即cos B = BC / AB。

##3##. 代入已知数值，cos B = 10 / 26。

##4##. 计算比值并四舍五入到小数点后两位：##cos B = 10 / 26 ≈ 0.3846153846，精确到小数点后两位得0.38##。

##5##. 最终得出cos B以小数表示的近似值为0.38。

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

在本题图中，<note>三角形ABC</note>是由<note>三个非共线点A、B、C</note>及其连接<note>线段AC、AB、BC</note>组成的几何图形。<note>点A、B、C分别是三角形的三个顶点</note>，<note>线段AC、AB、BC分别是三角形的三条边</note>。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

余弦函数

在本题图中，直角三角形ABC中，<note>边BC是角∠B的邻边</note>，<note>边AB是斜边</note>。因此，根据余弦函数的定义，<note>角∠B的余弦值等于邻边BC与斜边AB的比值</note>，即<note>cos(∠B) = BC / AB</note>。


Question: 求平行四边形的面积。如有必要，四舍五入到最接近的十分位。

Answer: 91.9

1. 已知平行四边形的一边长为13 yd####。

2. 为了计算平行四边形的面积，需要知道底边的长度和对应高度的长度。已知底边（13 yd），但需计算出高度。

3. 在此平行四边形中，利用三角函数计算高度，根据题意可假设作一条从顶点垂直于底边的辅助线，形成一个直角三角形。

4. 此直角三角形的斜边是平行四边形的侧边（即10 yd），而45°角为直角三角形的一个锐角。

5. 根据##正弦函数，##我们有sin(45°) = 高度 / 10 yd。

6. 由于sin(45°) = √2 / 2，根据等式，得出高度 = 10 yd * (√2 / 2) = 10√2/2 yd = 5√2 yd。

7. 知道高度后，可以用平行四边形面积公式计算面积：面积 = 底边 × 高度。

8. 因此，平行四边形的面积 = 13 yd × 5√2 yd = 65√2 yd##^2##。

9. 计算65√2的近似值，将其结果精确到小数点后第一位，则65√2 ≈ 91.92 yd##^2##。

10. 经过上述推理，最终得出答案：平行四边形的面积约为91.9 yd##^2##。

平行四边形的定义

平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。

<note>四边形是一个平行四边形</note>，边<note>13 yd与对边13 yd平行且相等</note>，边<note>10 yd与对边10 yd平行且相等</note>。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

在本题图中，辅助线从顶点垂直于底边形成一个<note>直角三角形</note>，该<note>直角三角形</note>的其中一个内角是<note>45°</note>，另一个内角是<note>90°</note>，因此该三角形是一个<note>直角三角形</note>。

正弦函数的定义

在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。

在本题图中，直角三角形中，<note>45°角是锐角</note>，<note>虚线是45°角的对边</note>，平行四边形的侧边。根据正弦函数定义，<note>45°角的正弦值等于对边与斜边的比值</note>，即<note>sin(45°) = 高度 / 10 yd</note>。

平行四边形的面积公式

一个平行四边形的面积等于它的底边长乘以对应的高，即A = 底边长 × 高。

在本题图中，<note>平行四边形的底边长度为13 yd</note>，<note>对应的高度为从底边到对边的垂直距离，记为5√2 yd</note>。因此，根据平行四边形的面积公式，平行四边形的面积等于<note>底边长13 yd</note>乘以<note>对应的高5√2 yd</note>，即<note>A = 13 yd × 5√2 yd = 65√2 yd##^2##</note>，计算<note>65√2的近似值</note>得<note>65√2 ≈ 91.92 yd##^2##</note>。

高的定义

从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。

在本题图中，<note>从平行四边形顶点垂直于对边的虚线是该顶点的高</note>。<note>虚线与底边形成一个直角（90度）</note>，这说明虚线是从顶点到对边的垂直距离。##


Question: 求 m \angle 3。

Answer: 66

1. ##设∠3所在的三角形为△ABC，已知∠ABC=72°，∠CAB=42°，∠3=∠ACB，求∠3的度数。##

2. ##根据三角形内角和定理，可知∠ABC+∠CAB+∠3=180°。##

3. 已知 ##∠ABC 和 ∠CAB## 的大小，它们和为42° + 72° = 114°。

4. 因此 ##∠3## = 180° - 114° = 66°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为66°。

普通三角形; 三角形的外角

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>在本题图中，三角形ABC中，角ABC、角CAB和角ACB是三角形ABC的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角ABC + 角CAB + 角ACB = 180°</note>。

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。


Answer: \frac{5}{13}

1. 已知直角三角形△ACB中，∠C=90°，BC=5，AC=12####。

2. 根据勾股定理，##a? + b? = c?##，其中a和b为直角边，c为斜边。

3. 在本题中，AC和BC为直角边，AB为斜边。

4. 由此可以计算得出AB = ##√(AC? + BC?) = √(12? + 5?) ##= √(144 + 25) = √169 = 13。

5. 计算sinA，sinA = 对边 / 斜边。

6. 在△ACB中，对角A的对边是BC，斜边是AB，因此sinA = BC / AB = 5 / 13。

经过上述推理，最终得出答案为sinA = 5 / 13。

直角三角形; 正弦; 线段

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

正弦函数定义

在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

在本题图中，直角三角形ABC中，<note>角ACB是直角（90度）</note>，边<note>AC和BC是直角边</note>，边<note>AB是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>AB² = AC² + BC²</note>。


Question: 圆 \\odot A, \\odot B 和 \\odot C 的直径分别为 10, 30 和 10 单位。若 A Z \\cong C W 且 C W = 2，求 Z X。

Answer: 3

1. ##由题目得知圆A, 圆B, 圆C 的直径为 10, 30, 10 单位。如图所示，圆B的直径分别相交于圆A和圆C上一点X和点Y，圆A的直径相交于圆B上一点Z，圆C的直径相交于圆B上一点W。由图可知：点A、Z、X、B、Y、W、C 共线##。

####

##2. 已知 C W = 2 且 A Z ≌ C W，可以得知 A Z = 2。##

##3. 因为AX为圆A的半径，已知圆A的直径为10，所以AX=1/2 * 10=5。又因为AZ+ZX=AX且A Z = 2，则ZX是圆A半径减去线段AZ的长度，即ZX=5-2=3。##

##4##. 据上述推理过程，Z X 的长度为 3。

线段的定义

线段是一个直线的一部分，包含两个端点及其间的所有点。

在本题图中，<note>线段AX是一个直线的一部分，包含端点A和端点X及其间的所有点。</note><note>线段AX具有两个端点，这两个端点分别是A和X，且线段AX上的每一个点都位于端点A和端点X之间。</note>##

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

<note>点A是圆心</note>，<note>点X是圆上的任意一点</note>，<note>线段AX是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段AX是圆的半径</note>。

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

<note>圆A的直径是10</note>，长度为2倍的半径，即<note>10 = 2*半径</note>。


Question: 在 \\odot S 中，m \\widehat P Q R = 98。求 m \\widehat P Q。

Answer: 49

1. ##已知半径QS垂直于PR，根据垂径定理，半径SQ平分弦PR并且平分弧PQR，所以弧PQ=弧RQ##。

2. ##又因为m \\widehat P Q R = 98，所以m \\widehat P Q=1/2* m \\widehat P Q R=49##。

##3. 经过上述推理，我们可以得出m \\widehat P Q的值是49##

圆; 圆周角; 圆心角; 弦

圆的定义

到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段。

<note>圆S中，点S是圆心，点Q是圆上的任意一点</note>，<note>线段QS是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段QS是圆的半径</note>。####

垂径定理

如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。


Question: 四边形 E F G H 是一个矩形。如果 F K = 32 英尺，求 E G。

Answer: 64

1. 已知矩形 EFGH，## K## 为对角线 EF 与 HG 的交点。

2. 根据##矩形的对角线性质，对角线相等且##对角线的交点将对角线平分。因此 FK = EK。

3. 已知 FK = 32 英尺，所以 EK 也等于 32 英尺。

4. ##因为对角线的交点将对角线平分##，所以 EG = 2 * EK。

5. 依据上一步结论得出 EG = 2 * 32 英尺 = 64 英尺。

矩形的定义

矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。

矩形的对角线性质

在矩形中，对角线相等且互相平分。

在本题图中，矩形EFGH中，<note>边EF与边HG平行且相等</note>，<note>边EH与边FG平行且相等</note>。<note>对角线EG和FH相等且互相平分</note>，即<note>对角线EG与对角线FH的交点K是两条对角线的中点</note>。因此，<note>线段EK等于线段GK</note>，<note>线段FK等于线段HK</note>。


Question: 从一个矩形的四个角上切下四个全等的三角形，形成一个八边形。这个八边形的面积是多少？

Answer: 528

1. 已知矩形的长为30厘米，宽为20厘米，每个角上剪去的等腰直角三角形的直角边长为6厘米。

2. 从矩形中剪去四个等腰直角三角形。每个三角形的面积为(1/2) * (6厘米) * (6厘米) = 18平方厘米。

3. 因为剪去四个相同的三角形，因此剪去的三角形总面积为4 * 18平方厘米 = 72平方厘米。

4. 矩形的总面积为30厘米 * 20厘米 = 600平方厘米。

5. 八边形的面积则为原矩形面积减去剪去的四个三角形的总面积，即600平方厘米 - 72平方厘米 = 528平方厘米。

6. 经过上述推理，最终得出答案为528平方厘米。

矩形; 等腰三角形; 普通多边形

矩形的定义

矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。

<note>四边形是一个矩形</note>，其内角都是<note>直角（90度）</note>，且<note>相对的边互相平行并等长</note>，其中一对<note>相对的边长为30厘米</note>，另一对<note>相对的边长为20厘米</note>。

等腰直角三角形的定义

等腰直角三角形是两个边相等且有一个角为90度的三角形。

<note>四个等腰直角三角形</note>的<note>直角边都为6厘米</note>，其中<note>每个三角形的两个直角边相等</note>，且<note>每个三角形的直角为90度</note>。

三角形的面积公式

任意三角形的面积等于其底乘以高除以2

<note>每个等腰直角三角形的两条直角边均为6厘米</note>，因此底边为6厘米，高也为6厘米。根据<note>三角形的面积公式</note>，三角形的面积等于底边乘以高再除以2，即面积 = <note>(6厘米 * 6厘米) / 2</note> = 18平方厘米。

矩形的面积公式

矩形的面积等于其长度乘以其宽度。

<note>矩形的长为30厘米</note>，<note>宽为20厘米</note>，所以<note>矩形的面积 = 30厘米 * 20厘米 = 600平方厘米</note>。


Question: 如图,某数学学习兴趣小组为了测量树AB的度数,他们测得此树在阳光下的影子BC的长为9m,在相同时刻,他们还测得小亮在阳光下的影长为1.5m,已知小亮的身高为1.8m,则树AB的高为()

Answer: 10.8m

1. 已知树AB在阳光下的影子BC的长为9米，小亮在阳光下的影长为1.5米，小亮的身高为1.8米。

2. 根据相似三角形的定义，同一时刻物体的高度与其影长成正比例。

3. 将小亮与树的高度和影长建立比例关系，表示为1.8/1.5 = 树AB的高/9。

4. 根据比例关系式，对树AB的高进行求解，树AB的高 = 1.8/1.5 * 9。

5. 计算得出树AB的高为10.8米。

6. 经过上述推理，最终得出答案为10.8米。

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>在本题图中，三角形ABC和三角形DEF是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>∠BAC = ∠EDF</note>, <note>∠ABC = ∠DEF</note>, <note>∠BCA = ∠EFD</note>；<note>AB/DE = BC/EF = AC/DF</note>。

直角三角形的相似性

如果两个直角三角形的一个锐角相等，那么这两个直角三角形相似。

<note>在本题图中，直角三角形ABC和直角三角形DEF</note>中，<note>角ABC和角DEF是直角（90度）</note>，并且<note>角BAC等于角EDF</note>，因此根据直角三角形的相似性定理，这两个直角三角形相似。也就是说，<note>三角形ABC和三角形DEF的对应边成比例</note>。


Question: 菱形 F G H J 的对角线相交于 K。若 G H = x + 9 且 J H = 5 x - 2，求 x。

Answer: 2.75

1. 已知条件为：对角线## F H 和 G J ##相交于点 K，G H = x + 9 和 J H = 5 x - 2。根据##菱形的定义，菱形是四边都相等的四边形##，因此所有的边相等。

2. 由于 G H 和 J H 都是菱形的边，因此####可知 G H = J H。

3. 代入已知条件，得出 x + 9 = 5 x - 2。

4. 通过移项并进行计算，####把 x 移向方程的##同一侧##，得到 9 + 2 = 5 x - x。简化后得4x = 11。

5. 最终解得  x = 11 / 4。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 x = 11/4##=2.75##。

菱形的定义

菱形是四边都相等的四边形，且对角线互相垂直平分。

<note>在本题图中，四边形 FGHJ中，其所有的边 FG、GH、HJ 和 JF 都是相等的</note>，因此四边形 FGHJ 是一个菱形。此外，<note>四边形 FGHJ 的对角线 FH 和 GJ 互相垂直平分</note>，即<note>对角线 FH 和 GJ 相交于点 K，且角 ∠FKG 是直角（90度）</note>，并且<note>FK = KH 和 GK = KJ</note>。


Question: 已知 riangle A B C 的周长 = 25，求 x。假设看起来与圆相切的线段确实相切。

Answer: 3

1. 在给定的几何题中，已知 ΔABC 的周长为 25，##根据切线长定理##，BC = AC = 3x，AB = 7 。

2. 根据三角形周长的定义，周长为三边之和，因此，我们有 AB + BC + CA = 25 。

3. 因此可得方程：7 + 3x + 3x = 25 。

4. 化简方程为 7 + 6x = 25 。

5. 将 7 移到方程右侧得到 6x = 18 。

6. 两边同除以 6 得到 x = 3 。

7. 经过上述推理，最终得出答案为: x = 3。

普通三角形; 切线; 线段; 圆

切线长定理

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

圆的切线定义

圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。

<note>圆与直线AB有且只有一个公共点A，这个公共点叫做切点</note>。因此，<note>直线BA是圆的切线</note>。同理，在本题图中，<note>圆与直线BC有且只有一个公共点C，这个公共点叫做切点</note>。因此，<note>直线BC是圆的切线</note>。

三角形的周长公式

<note>三角形ABC</note>的三边分别为<note>AB、AC、BC</note>，根据三角形的周长公式，三角形的周长等于其三边长度之和，即周长<note>P=AB+AC+BC</note>。


Question: 求 Q S。

Answer: 25

1. ##由图中在三条边上各画一条单短线（小横线）标注表示这三条边长度相等。即边RQ＝边RS##。

2. ##由图已知边RQ=5x，边RS=6x-5，所以5x=6x-5，##解方程5x＝6x－5，两边减去5x得到0＝x－5，再加上5得x＝5。

3. 把x＝5代入QS＝3x＋10中计算QS，得到QS＝3(5)＋10＝15＋10＝25。

4. 因此，经过上述推理，最终得出答案为25。

等边三角形; 等腰三角形

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

<note>在本题图中，三角形QRS中，边RQ和边RS相等</note>，因此三角形QRS是一个等腰三角形。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

在本题图中，等腰三角形 <note>QRS</note> 中，边 <note>RQ</note> 和边 <note>RS</note> 相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即 <note>∠QRS = ∠QSR</note>。


Question: a = 14, b = 48, 和 c = 50，求 \cos A。

Answer: 0.96

1.题目给出的已知条件是：a = 14，b = 48，c = 50，并且△ABC是一个直角三角形。

####

##2. 根据余弦函数##，对于直角三角形△ABC中的∠A，其余边AB和AC为斜边和直角边，那么cos A = 邻边 / 斜边 = b/c。

##3##. 替换已知数值，我们可以计算cos A = b/c = 48/50=0.96。

####

##5##. 最终得出cos A = ##0.96##。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>三角形ABC中，角ACB是直角（90度）</note>，因此三角形ABC是一个直角三角形。<note>边AC和边BC是直角边</note>，<note>边AB是斜边</note>。

余弦函数

<note>直角三角形ABC</note>中，边<note>AC</note>是<note>角CAB的邻边</note>，边<note>AB是斜边</note>。因此，根据余弦函数的定义，角<note>CAB的余弦值</note>等于邻边<note>AC</note>与斜边<note>AB</note>的比值，即<note>cos(CAB) = AC/AB = 45/50 = 0.96</note>。


Question: 如果五边形 A B C D E 和 P Q R S T 相似，求 S R。

Answer: \frac { 48 } { 11 }

1. 已知条件为五边形 A B C D E 与五边形 P Q R S T 相似。根据相似图形的定义，如果两图形相似，则对应角相等且对应边成比例。

2. 根据多边形五边形 A B C D E 与 P Q R S T 相似，设相似比为 k 。则 AE 对应 PT，即AE/ PT= k 。根据图片数据，AE 的长度为 11 ，PT 的长度为 6。

3. 根据相似比 k = AE / PT = 11 / 6 。

4. 要求边 S R 的长度，对应边为 C D 。根据相似图形的定义，CD/SR = k 。根据图片数据，C D 的长度为 8。

5. 代入 k = 11 / 6 和 C D = 8 ，可以求得 S R 的长度为 S R = CD/K=8/ ( 11 / 6 )   。

6. 经过上述计算得出 S R 的长度为 48/11  。

五边形; 普通多边形; 位似

相似图形的定义

如果两图形相似，那么它们对应边的比相等，对应角相等。

在本题图中，五边形<note>A B C D E</note>和五边形<note>P Q R S T</note>相似。根据相似图形的定义，它们对应边的比相等，即<note>AB/PQ = BC/QR = CD/RS = DE/ST = EA/TP</note>。同时，它们对应的角也相等，即<note>∠A = ∠P</note>，<note>∠B = ∠Q</note>，<note>∠C = ∠R</note>，<note>∠D = ∠S</note>，<note>∠E = ∠T</note>。


Question: 如图,点A、B、C、D在⊙O上,DE⊥OA,DF⊥OB,垂足分别为E,F,若∠EDF=50°,则∠C的度数为()

Answer: 65°

1. 已知DE垂直于OA，且DF垂直于OB，根据垂直定义，可以得∠OED = 90°，∠OFD = 90°。

2. ∠EDF的度数是50°，##根据四边形的内角和定理，在任意四边形中，四个内角的和为360°##。所以四边形OEDF内角和是∠OED + ##∠DFO+∠EOF + ∠EDF = 360°，已知∠EDF=50°，∠OED = 90°，∠OFD = 90°##。

3. 根据四边形内角和定理得出: ##∠EOF## = 360° - (90° + 90° + 50°) = 130°，##∠EOF即为∠AOB##。

4. 根据圆周角定理，在同一个圆中，圆心角的度数是该圆周角的两倍。因此，我们可以得出∠ACB = 1/2 * ∠AOB。

5. 代入数据，得∠ACB = 1/2 * 130° = 65°。

##6##. 经过上述推理，最终得出答案为∠C = 65°。

圆; 圆周角; 垂线; 圆内接四边形; 直角三角形

垂线定义

如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。

<note>直线DE和直线OA相交形成的角∠OED是90度</note>，<note>直线DF和直线OB相交形成的角∠OFD是90度</note>，因此根据垂线定义，<note>直线DE和直线OA互相垂直</note>，<note>直线DF和直线OB互相垂直</note>。

四边形的内角和定理

在任意四边形中，四个内角的和为360°。

在本题图中，四边形<note>OEDF</note>中，<note>角OED</note>、<note>角OFD</note>、<note>角EDF</note>和<note>角EOF</note>是四边形的四个内角，根据四边形的内角和定理，这四个内角的和为360°，即<note>∠OED + ∠OFD + ∠EDF + ∠EOF = 360°</note>。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

<note>在本题图中，圆O中</note>，点A和点B是圆上的两点，<note>圆心是点O</note>。<note>连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角</note>。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。


Question: 求 x。

Answer: 12.75

1. 已知点D, E, C同属一个圆，并且##直线CE##是直径，根据##(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角##，得出##∠CDE##是90°。

2. 已知∠DEC, ∠CDE, ∠ECD是△CDE的三个内角，应用##三角形内角和定理##，得出∠CDE +∠ECD + ∠DEC = 180°。

3. ∠DEC已知为90°，根据上一步，得出 ## ∠DEC + ∠ECD= 180°-∠CDE=180°-90°=##90°。

4. 题中已经给出了∠ECD = (5x - 12)°和##∠DEC## = 3x°。

5. 根据步骤3的结果，应用代入法，得出3x + (5x - 12) = 90°。

6. 化简方程3x + 5x - 12 = 90，结果为8x - 12 = 90。

7. 将-12移项，得到8x = 90 + 12。

8. 进行加法运算后得出8x = 102。

9. 将方程两边同时除以8，解出x = 102 ÷ 8。

10. 计算得到x = 12.75。

圆; 圆内接四边形; 圆周角

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角

半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>角DEC</note>、<note>角CDE</note>和<note>角ECD</note>是<note>三角形CDE</note>的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>角DEC + 角CDE + 角ECD = 180°</note>。


Question: 求 x。

Answer: 14

1. 已知条件为：XT和ZT是圆的割线，XW=12，WT=7，TY=6。

2. 根据割线定理（也称幂的定理）可得，TW × XW = TYX × YZ。

3. 将已知数值代入割线定理中：7 × 12 = 6 × x。

4. 计算得到：x = 14。

5. 经过上述推理，最终得出答案为14。

割线

与圆有两个交点的直线称为圆的割线。

割线定理

在圆内，如果两条割线相交于一圆外一点，则这两条割线的外部部分乘以其内部部分的积是相等的。

<note>圆 O</note> 有两条 <note>割线 XT 和 ZT</note>，它们相交于 <note>圆外一点 T</note>。割线 XT 的外部部分为 <note>WT (7)</note>，内部部分为 <note>XW (12)</note>；割线 ZT 的外部部分为 <note>TY (6)</note>，内部部分为 <note>ZY (x)</note>。根据 <note>割线定理</note>，割线 XT 的外部部分乘以其内部部分的积等于割线 TZ 的外部部分乘以其内部部分的积，即 <note>7 * 12 = 6 * x</note>。


Question: 求正多边形的面积。结果保留到十分位。

Answer: 101.8

1. 给出的图形是一个正八边形，##根据正多边形的定义，我们知道它具有八个相等的边长度和八个相等的内角##。

##2. 已知从正八边形的中心到一个顶点的连线长度为6厘米，即正八边形的外接圆半径R=6厘米。##

##3. 以该正八边形中心为圆心，作正八边形的外接圆，则正八边形外接圆的半径R=6厘米。##

4. 使用正多边形的面积公式A =## (1/2) * n * r^2 * sin(360°/n)##，其中n为边数，r为外接圆半径。本题中，n = 8，r = 6。

5. 把已知条件代入面积公式A = (1/2) * 8 * 6^2 * sin(360°/8)得A = (1/2) * 8 * 36 * sin(45°)。

6. 根据sin(45°) = √2/2，可以代入得到A = (1/2) * 8 * 36 * (√2/2)。

7. 化简计算得A = 144 * √2/2。

8. 进一步计算，A = 72 * √2。

9. 通过将A ≈ 72 * 1.414得出A ≈ 101.8236。

10. 经四舍五入，保留到十分位最终得到A ≈ 101.8。

11. 经过上述推理计算，正八边形的面积近似为101.8平方厘米，并圆整到最近的十分位。

正多边形; 正弦; 余弦

正多边形的定义

正多边形是指所有边长度相等且所有内角相等的多边形。

<note>在本题图中，正八边形</note>中，<note>所有边的长度相等，且所有内角相等</note>。因此，该图形是一个正八边形。##

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段。

<note>点O是圆心</note>，图中标注的正八边形顶点是圆上的任意一点，图中的<note>粉色线段是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此该线段是圆的半径。##

正多边形的面积公式

正多边形的面积公式为 A = (1/2) * n * r? * sin(360°/n)，其中n为边数，r为外接圆半径。

<note>正八边形的边数 n = 8</note>，<note>半径 r = 6</note>。根据正多边形的面积公式，正八边形的面积A = (1/2) * n * r² * sin(360°/n)，<note>其中n表示正八边形的边数，r表示正八边形的外接圆半径</note>。代入已知条件可得A = (1/2) * 8 * 6² * sin(360°/8) = (1/2) * 8 * 36 * <note>sin(45°)</note>。


Question: 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=2,则\cosB的值是()

Answer: \frac{2√{5}}{5}

1. 已知在直角三角形ABC中，∠C=90°, AC=1, BC=2。

2. 根据勾股定理：在直角三角形ABC中，斜边AB的平方等于AC的平方与BC的平方之和。

3. 由勾股定理得：AB=√(AC^2 + BC^2) = √(1^2 + 2^2) = √(1 + 4) = √5。

4. 根据锐角的余弦定义，cos∠B = 临边/斜边 = BC/AB。

5. 因此，cos∠B = 2/√5 = 2√5/5。

6. 最终得出答案，cos∠B = 2√5/5。

直角三角形; 余弦; 线段

余弦函数

余弦函数是一个三角函数，它可以通过直角三角形中的边来定义，对于一个角α，它的余弦值等于角α的邻边与斜边的比值。在单位圆中，余弦值是指从圆心到圆上与x轴夹角为α的点的横坐标。

<note>直角三角形ABC</note>中，<note>边BC是角∠ABC的邻边</note>，<note>边AB是斜边</note>。因此，根据<note>余弦函数的定义</note>，<note>角∠ABC的余弦值等于邻边BC与斜边AB的比值</note>，即<note>cos(∠ABC) = BC / AB</note>。图中<note>BC=2</note>，<note>AB=√5</note>，因此<note>cos(∠ABC) = 2/√5 = 2√5/5</note>。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。


Answer: 60°

1. 已知OA=OB=OC，##作⊙O，以O为圆心，OA为半径作圆，根据圆的定义##，得出A、B、C在以O为圆心，OA为半径的圆上。

2. ##根据圆周角的定义，得∠ACB为圆周角且等于30°，根据圆心角的定义，∠AOB是圆心角##。

3. ####根据圆周角定理，##得∠ACB=?∠AOB##。

4. ##计算得##∠AOB=2∠ACB。

5. ##因为##∠ACB=30°，得出∠AOB=2×30°=60°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为60°。

等腰三角形; 圆心角; 圆周角

圆的定义

到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。

<note>作⊙O，以O为圆心，OA为半径作圆</note>，图中所有到点O的距离等于OA的点都在圆O上。<note>因为OA=OB=OC，所以A、B、C是在以O为圆心，OA为半径的圆上</note>。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

在本题图中，圆O中，<note>角ACB的顶点C在圆周上</note>，<note>角ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B</note>。因此，<note>角ACB是一个圆周角</note>。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。


Answer: 25°

1. ##已知AB、AD是圆O的弦，∠BOD=50°。O为圆心，则根据圆心角的定义，∠DOB为圆心角；根据圆周角的定义，∠BAD为圆周角。##

2. ##在圆O上，弧BD对应的圆心角为∠BOD，圆周角为∠BAD。根据圆周角定理，∠BAD=1/2 * ∠DOB##

####

##3##. 将已知数据代入公式，即∠BAD = 1/2 * 50°。

##4##. 计算得到∠BAD = 25°。

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为25°。

圆; 弦; 圆心角; 圆周角

弧的定义

弧是圆上两点之间的一段曲线。

<note>在本题图中，圆O上有两点B和D</note>，弧BD是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，<note>弧BD是圆上两点B和D之间的一段曲线</note>。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

在本题图中，圆O中，点A、B、D在圆上，<note>弧BD对应的圆心角为∠BOD</note>，圆周角为∠BAD。根据圆周角定理，<note>∠BAD等于它所对的弧BD所对应的圆心角∠BOD的一半，即∠BAD = 1/2 ∠BOD</note>。


Question: 如图,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AB的垂直平分线DE交AC于D,交AB于E,则∠BDC的度数为()

Answer: 72°

1. ##已知DE垂直平分AB，依据垂直平分线的定义，DE是AB的垂直平分线##。

2. ##依据垂直平分线的性质，D点在垂直平分线DE上，有DA＝DB##。

3.##∠BDC是三角形ABD的一个外角，由三角形的外角定理可知，∠BDC＝∠DAB＋∠DBA##

4.##在三角形ABD中有DA＝DB，由等腰三角形的定义可知，三角形ABD是等腰三角形，再由等腰三角形的性质可知，∠DAB＝∠DBA##

5.##所以∠BDC＝2∠DAB，已知∠A=36°，所以∠BDC＝2×36°＝72°##

6.##经过上述推理，最终得出答案为72°##。

####

等腰三角形; 垂直平分线; 对顶角; 垂线; 三角形的外角

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

在本题图中，三角形ABC中，<note>边AB和边AC相等</note>，因此三角形ABC是一个等腰三角形。##三角形ABD中，<note>边DA和边DB相等</note>，因此三角形ABD是一个等腰三角形##。

垂直平分线的定义

经过线段中点且垂直于该线段的直线。

在本题图中，<note>直线DE经过线段AB的中点E</note>，并且<note>直线DE垂直于线段AB</note>。因此，直线DE是<note>线段AB的垂直平分线</note>。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

在本题图中，<note>等腰三角形ABC中，边AB和边AC相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，<note>相等的两边所对的角相等，即角ABC = 角ACB</note>。<note>等腰三角形ABD中，边DB和边DA相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，<note>相等的两边所对的角相等，即角DAB = 角DBA</note>。

垂直平分线的性质

垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等。

在本题图中，线段AB的垂直平分线为<note>直线DE</note>，点<note>D和点E在直线DE上</note>。根据垂直平分线的性质，<note>点D到线段AB两端点A和B的距离相等，即AD = BD</note>；<note>点E到线段AB两端点A和B的距离相等，即EA = EB</note>。######

三角形的外角定理

三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和

在本题图中，三角形ABD中，<note>角BDC是三角形的一个外角</note>，<note>角DBA和角DAB是与外角BDC不相邻的两个内角</note>，根据三角形的外角定理，<note>外角BDC等于不相邻的两个内角DBA和DAB之和</note>，即<note>角BDC = 角DBA + 角DAB</note>##。##

多边形的外角定义

多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角


Question: 圆 G, J 和 K 都在 L 处相交。如果 G H = 10，求 F H。

Answer: 20

1. 已知条件：圆 G，J，K 在点 L 处相交。已经知道 G H = 10。

2. ##因为FH为圆G的直径，因此 F H = 2 * GH =20。##

####

##3##. 回答问题：F H 等于 20。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

<note>点G是圆心</note>，<note>点H是圆上的任意一点</note>，<note>线段GH是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段GH是圆G的半径</note>。######

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。


Question: 已知 \\odot A, \\odot B 和 \\odot C 的直径分别为 10, 30 和 10 个单位。若 A Z \\cong C W 且 C W = 2，求 Y W。

Answer: 3

1. ##由题目得知圆A, 圆B, 圆C 的直径为 10, 30, 10 单位。如图所示，圆B的直径在圆上的交点为点Z和点W，圆C和圆B的直径相交于点Y。由图可知：点Y、W、C 共线##。

####

##2. 已知 C W = 2 ##。

##3. 因为CY为圆C的半径，已知圆C的直径为10，所以CY=5。又因为CW+YW=CY且CW = 2，则YW是圆C半径减去线段CW的长度，即YW=5-2=3##。

##4##. 据上述推理过程，YW的长度为 3。

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

<note>\odot A的直径是10</note>，因此<note>A的半径AX = 5</note>；<note>\odot B的直径是30</note>，因此<note>B的半径BX = 15</note>；<note>\odot C的直径是10</note>，因此<note>C的半径CY = 5</note>。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

在本题图中，圆A中，<note>点A是圆心</note>，<note>点X是圆上的任意一点</note>，<note>线段AX是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段AX是圆A的半径</note>。圆B中，<note>点B是圆心</note>，<note>点X是圆上的任意一点</note>，<note>线段BX是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段BX是圆B的半径</note>。圆C中，<note>点C是圆心</note>，<note>点Y是圆上的任意一点</note>，<note>线段CY是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段CY是圆C的半径</note>。

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

<note>\odot A的直径是10</note>，因此A的半径<note>AX = 5</note>；<note>\odot B的直径是30</note>，因此B的半径<note>BX = 15</note>；<note>\odot C的直径是10</note>，因此C的半径<note>CY = 5</note>。


Question: 使用平行四边形 J K L M 找出 m \angle J M L.

Answer: 109

1. 已知形状J K L M是平行四边形，由此可以得出∠J K L和∠J M L是对角。根据平行四边形的性质，对角相等，即∠J K L = ∠J M L。

2. 已知∠J K L等于109°，因此根据对角相等的性质，可以得出∠J M L也等于109°。

3. 基于上述推理，得到∠J M L的度数为109°。

平行四边形的定义

平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。

在本题图中，四边形<note>J K L M</note>是一个平行四边形，边<note>JK与边LM平行且相等</note>，边<note>JM与边KL平行且相等</note>。

平行四边形的性质定理

在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。

在本题图中，平行四边形J K L M中，<note>对角∠J K L和∠J M L相等</note>，<note>对角∠K J M和∠K L M相等</note>；边<note>J K和边L M相等</note>，<note>边J M和边K L相等</note>；<note>对角线J L和K M互相平分</note>，<note>即交点将对角线J L分成两段相等的线段，将对角线K M分成两段相等的线段</note>。


Question: 使用毕达哥拉斯定理求直角三角形的斜边长度。

Answer: 13

1. ##设三角形的三个顶点为A、B、C，由已知条件得∠ACB为直角，根据直角三角形的定义，可得△ABC为直角三角形##。BC为5英尺，AC为12英尺，要求的是斜边AB的长度。

2. 根据勾股定理，公式为：在直角三角形中，斜边的平方等于另外两条边的平方和。即AB^2 = AC^2 + BC^2。

3. 将已知边长代入勾股定理公式：AB^2 = 12^2 + 5^2。

4. 计算得到：AB^2 = 144 + 25。

5. 进一步计算：AB^2 = 169。

6. 求出AB的长度：AB = √169。

7. 计算结果是：AB = 13。

8. 最终，斜边AB的长度为13英尺。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>三角形ABC中，角ACB是直角（90度）</note>，因此三角形ABC是一个直角三角形。<note>边AC和边BC是直角边，边AB是斜边</note>。

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>在本题图中，直角三角形中，直角边分别为5英尺和12英尺</note>，<note>斜边为AB</note>。根据勾股定理，<note>斜边的平方等于两条直角边的平方和</note>，即<note>AB^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169</note>。因此，斜边<note>AB的长度为√169 = 13英尺</note>。


Question: 如图．已知A、B、C三点在⊙O上,点C在劣弧AB上,且∠AOB=130°,则∠ACB的度数为()

Answer: 115°

1. 如图，在优弧AB上取一点D，连接AD、BD。##根据圆周角的定义，∠ADB是圆周角；根据圆心角的定义，∠AOB是圆心角。##

2. 已知∠AOB=130°，根据圆周角定理，##可得∠ADB=1/2∠AOB=1/2 * 130°=65°##。

3. ##四边形ADBC是⊙O的内接四边形，因此根据(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理可得： ∠ADB+∠ACB=180°。##

4. ##已知∠ADB=65°，所以∠ACB=180°-65°=115°。##

5. 经过上述推理，最终得出答案为115°。

圆; 圆心角; 圆周角; 弧; 弦

弧的定义

弧是圆上两点之间的一段曲线。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

<note>圆O中，角ADB的顶点D在圆周上</note>，<note>角ADB的两边分别与圆O相交于点A和点B</note>。因此，角ADB是一个圆周角。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

内接四边形

内接四边形是指一个四边形的全部四个顶点都在同一个圆上。这个圆称为四边形的外接圆。

<note>四边形 ADBC 的四个顶点 A、B、C 和 D 都在同一个圆（⊙O）上</note>。这个圆称为四边形 ADBC 的外接圆。因此，四边形 ADBC 是一个内接四边形。根据内接四边形的性质，<note>对角相加等于180度，##即 ∠ADB + ∠ACB = 180度##</note>。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

<note>在本题图中，圆O中，点A、B、D在圆上，弧ACB对应的圆心角为∠AOB，圆周角为∠ADB</note>。根据圆周角定理，<note>∠ADB等于它所对的弧ACB所对应的圆心角∠AOB的一半，即∠ADB = 1/2 ∠AOB</note>。

(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理

在本题图中，四边形 ADBC 内接于⊙O，根据圆内接四边形对角互补定理，四边形 ADBC 的<note>每一对对角的和等于180°</note>。具体来说，<note>∠ADB + ∠ACB = 180°</note>。


Question: 求 x。

Answer: 58

1. 已知条件为：##该三角形有一个直角，所以根据直角三角形的定义，该三角形为直角三角形##，其中一条直角边长为16，另一条直角边长为10，要求角x的大小。

2. 根据##正切函数的定义##：在直角三角形中，正切函数tan(角)等于对边长度与邻边长度之比。对于角x而言，对边是16，邻边是10。

3. 因此有 tan(x) = 16/10 = 1.6。

4. ##查表可知，tan58°≈1.6003，所以x=58##。

直角三角形; 正弦; 余弦; 正切; 三角形的外角

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

在本题图中，<note>三角形中有一个内角为90度</note>，因此该三角形是一个直角三角形。<note>边长为16和10的两条边是直角边</note>。

正切函数的定义

在直角三角形中，一个锐角的正切值等于相对直角边长度除以相邻直角边长度。

<note>角x是锐角</note>，<note>边长为16的边是角x的相对直角边</note>，<note>边长为10的边是角x的相邻直角边</note>，所以<note>角x的正切值等于边长为16的边的长度除以边长为10的边的长度</note>，即##tan(x) = 16 / 10=1.6##。


Question: 求 B C。

Answer: 6

####

##1. 由图中平行标识可知AE∥CD，根据平行线的平行公理2和内错角的定义，可得：∠EAB=∠DCB，∠AEB=∠CDB##。

##2. 根据相似三角形的判定定理(AA)，三角形AEB和三角形CDB中的对应角相等，即∠EAB=∠DCB，∠AEB=∠CDB，所以三角形AEB相似于三角形CDB##。

##3. 根据相似三角形的定义，对应边成比例，所以BD/BE=BC/BA。由图已知BD=3，BE=5，BC=2x-8，BA=x+3，代入已知值得：（2x-8）/（x+3）=3/5##。

##4. 交叉相乘得：3*（x+3）=5*（2x-8），化简方程得：3x+9=10x-40##。

##5. 最终化简为：7x=49，解得：x=7##。

##6. 将已求得的x的值代入：2x-8，所以BC=2*7-8=6##。

####

等边三角形; 线段; 对顶角; 三角形的外角

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

'在本题图中，<note>三角形ABE</note>是由<note>三个非共线点A、B、E</note>及其连接<note>线段AE、AB、BE</note>组成的几何图形。<note>点A、B、E分别是三角形的三个顶点</note>，<note>线段AE、AB、BE分别是三角形的三条边</note>。<note>三角形CDB</note>是由<note>三个非共线点C、D、B</note>及其连接<note>线段CD、DB、CB</note>组成的几何图形。<note>点C、D、B分别是三角形的三个顶点</note>，<note>线段CD、DB、CB分别是三角形的三条边</note>。####'

平行线的定义

在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

<note>直线AE</note>和<note>直线CD</note>位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，<note>直线AE和直线CD是平行线</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

在本题图中，<note>两条平行线AE和CD被第三条直线AC所截</note>，形成了以下几何关系：
1. 同位角：无。
2. 内错角：<note>角EAB和角DCB相等</note>。
3. 同旁内角：无。
这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。
<note>两条平行线AE和CD还被第四条直线DE所截</note>，形成了以下几何关系：
1. 同位角：无。
2. 内错角：<note>角AEB和角CDB相等</note>。
3. 同旁内角：无。
这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

内错角的定义

在本题图中，<note>两条平行直线AE和CD被一条直线AC截交</note>，其中<note>角EAB和角DCB位于两平行线之间，且在截线AC的对侧</note>，因此<note>角EAB和角DCB是内错角</note>。<note>内错角相等，即角EAB等于角DCB</note>。<note>两条平行直线AE和CD又被一条直线DE截交</note>，其中<note>角AEB和角CDB位于两平行线之间，且在截线DE的对侧</note>，因此<note>角AEB和角CDB是内错角</note>。<note>内错角相等，即角AEB等于角CDB</note>。

相似三角形的判定定理(AA)

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>△ABE</note>和<note>△BDC是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>∠EAB = ∠DCB</note>, <note>∠AEB = ∠CBD</note>, <note>∠ABE = ∠CBD</note>；<note>AB/CB = EB/DB = AE/DC</note>。


Question: 将量角器按如图所示的方式放在一个残缺的玻璃碎片上,使点A在半圆上,点B、C的读数分别为105°、155°,则∠BAC的大小为()

Answer: 25°

1. 已知将量角器按如图所示的方式放在一个残缺的玻璃碎片上, 点A在半圆上, 点B、C的读数分别为105°和155°，设半圆的圆心为O，连接OB和OC。

2. 根据题意，点B在105°的位置，点C在155°的位置，则∠BOC ####= 155° - 105° = 50°。

3. 因为∠BAC与∠BOC都对着弧BC，根据圆周角定理，在同一段弧所对的圆周角是该弧所对的圆心角的一半，得出∠BAC = 1/2 ∠BOC。

4. 代入已知条件∠BOC = 50°，因此∠BAC = 1/2 × 50° = 25°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为25°。

圆周角; 圆心角; 射线

圆的定义

到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。

在本题图中，<note>半圆的圆心为O</note>，各点<note>A、B、C在半圆的周上</note>。<note>OB和OC是从圆心O到圆周上B点和C点的半径</note>。图中<note>所有到点O的距离等于定长（即半径）的点都在圆O上</note>。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

在本题图中，圆O中，<note>点B和点C是圆上的两点</note>，<note>圆心是点O</note>。<note>连线OB和OC组成的角∠BOC</note>称为圆心角。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

在本题图中，<note>∠BAC</note> 与圆心角 <note>∠BOC</note> 对着同一条弧 BC。根据圆周角定理，<note>∠BAC</note> 等于它所对的弧 <note>BC</note> 所对应的圆心角 <note>∠BOC</note> 的一半，即 <note>∠BAC = 1/2 ∠BOC</note>。根据已知条件，<note>∠BOC = 50°</note>，所以 <note>∠BAC = 25°</note>。


Question: 如图,已知直线a、b被直线c所截,a∥b,∠1=50°,则∠2=()

Answer: 50°

1. 已知直线a平行于直线b，且∠1=50°，##再设∠2的对顶角为∠3##。

2. ##根据平行线的平行公理2，同位角相等得出##∠3=∠1=50°。

3. 根据对顶角##的定义##，得出∠2=∠3。

4. 由∠3=50°，所以∠2=50°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为∠2=50°。

平行线; 同位角; 直线

对顶角的定义

对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。

在本题图中，<note>两条相交直线c和b相交于##一点</note>，形成两个角：<note>角2、角3</note>。根据对顶角的定义，<note>角2和角3是对顶角</note>。由于对顶角的角度相等，所以<note>角2 = 角3##</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

##在本题图中，两条<note>平行线a和b</note>被<note>第三条直线c</note>所截，形成了以下几何关系：<note>同位角：角1和角3相等</note>##

同位角定义

两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。

<note>两条平行直线a和b</note>被<note>一条直线c截交其中</note>，<note>角1和角3位于截线c的同旁，被截两直线a和b的同一侧</note>，因此<note>角1和角3是同位角</note>。<note>同位角相等，即角1等于角3</note>。


Question: 如图,⊙O是△ABC的外接圆,连接OA、OB,∠AOB=50°,则∠C的度数为()

Answer: 25°

1. 已知圆O是三角形ABC的外接圆，∠AOB=50°。

####

##2##. ##根据圆周角定义和圆心角定义，∠ACB是圆周角，∠AOB是圆心角##。根据圆周角定理，在圆O中，圆心角等于所对弧的圆周角的两倍。

##3##. 因此，∠ACB为∠AOB的一半，即∠ACB=1/2 × 50° = 25°。

圆; 圆心角; 圆周角; 普通三角形; 圆内接四边形

三角形外接圆

三角形的外接圆是通过三角形的三个顶点的圆。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

<note>圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O</note>。<note>连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角</note>。####

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。


Question: 求x的值。

Answer: 163

1. 已知条件为：一个圆内有一个中心角x°，其余两个角为65°和132°。

2. ##设圆心为O点，与圆心连接的圆上三点分别为点A、B、C（从最左侧顺时针方向），所以∠AOB=65°，∠AOC=132°，∠BOC=x°。根据周角的定义满足∠AOB+∠AOC+∠BOC=## 65° + 132° + x° = 360°。

3.解决该方程：65° + 132° + x° = 360°，变为197° + x° = 360°。

4. 解出x°，得到x° = 360° - 197°。

5. 经过计算得到x° = 163°。

6. 经过以上推理步骤，确认x°的值为163°。

周角的定义

一条射线绕着它的端点旋转一周所形成的角，叫做周角

在本题图中，<note>射线OA绕着圆心</note>旋转一周，形成<note>周角</note>。根据<note>周角的定义</note>，<note>周角的度数为360度</note>，即<note>周角 65° + 132° + x° = 360°</note>。


Question: 如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D,连接AC．若∠D=50°,则∠A的度数是()

Answer: 20°

1. 已知CD切⊙O于C，##连接OC，根据圆的切线性质##，得出OC⊥CD，因此∠OCD=90°。

2. 已知∠D=50°，由∠OCD=90°，以及三角形内角和定理，得到∠COD=180°-90°-50°=40°。

3. ##∠COD是三角形AOC的一个外角，由三角形的外角定理可知，∠COD＝∠OAC＋∠OCA##。

4. ##因为OA和OC为圆O的半径，所以OA＝OC，三角形AOC符合等腰三角形的定义，依据等腰三角形的性质，可知∠OAC＝∠OCA##

5.## 所以∠COD＝2∠OAC，将∠COD=40°带入上式整理，可得∠A＝∠OAC＝20°##。

圆; 切线; 直角三角形; 圆周角

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

<note>AB是直径</note>，连接了<note>圆心O</note>和<note>圆周上的A、B两点</note>，长度为<note>2倍的半径</note>，即<note>AB = 2 * OA</note>。

圆的切线定义

圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。

<note>圆⊙O与直线CD有且只有一个公共点C</note>，这个公共点叫做<note>切点C</note>。因此，<note>直线CD是圆⊙O的切线</note>。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

<note>圆⊙O中</note>，点<note>O是圆心</note>，点A和点C是圆上的任意一点，线段<note>OA和线段OC是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段OA和线段OC是圆的半径</note>。

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

在本题图中，圆O中，<note>点C是直线CD与圆的切点</note>，<note>线段OC是圆的半径</note>。根据圆的切线性质，<note>切线CD与经过切点C的半径OC垂直</note>，即<note>∠OCD=90度</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

在本题图中，三角形OCD中，<note>角OCD</note>、<note>角D</note>和<note>角COD</note>是三角形OCD的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>角OCD + 角D + 角COD = 180°</note>。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

<note>等腰三角形 OAC 中，边 OA 和边 OC 相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>角 OAC = 角 OCA</note>。

三角形的外角定理

三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和

<note>角DOC是三角形的一个外角</note>，<note>角OAC和角OCA是与外角DOC不相邻的两个内角</note>，根据三角形的外角定理，<note>外角DOC等于不相邻的两个内角OAC和OCA之和</note>，即<note>角DOC = 角OAC + 角OCA</note>。####

多边形的外角定义

多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。

<note>多边形OAC的一个内角为∠AOC</note>，<note>延长该内角的相邻边AO和OC形成的角∠COD</note>称为内角∠AOC的外角。##


Question: 求 x。

Answer: 2 \sqrt { 11 }

1.##设直角边X和斜边12的夹角顶点为A，设斜边12和直角边10的夹角顶点为B，设90°角顶点为C##。

2.##已知直角三角形ABC中，斜边AB= 12和直角边BC=10，可以用勾股定理求直角边AC##。

3.##根据勾股定理可得出公式AB?=AC?+BC?##。

4.##带入已知条件:12?=X?+10?##。

5.##计算公式:144?=X?+100=144-100=44##。

6.##X=√44=2√11##。

7. 最终，这道几何题的答案是 x = 2√11 。

直角三角形; 垂线; 等腰三角形

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>角顶点为直角（90度）</note>，因此该三角形是一个直角三角形。边10和<note>边x</note>是直角边，边12是<note>斜边</note>。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>直角三角形</note>中，<note>斜边的平方</note>等于<note>两条直角边的平方和</note>。根据<note>勾股定理</note>，<note>斜边的平方等于两条直角边的平方和</note>，即 <note>12^2 = 10^2 + x^2</note>，因此 <note>x =√(12^2 - 10^2) = √(144 - 100) = √(44) = 2√11</note>。


Question: 求 B C。

Answer: 9

1. 在△A B C中，已知A C = 9, B C = 9, ∠A=60°。

2. ##依据等腰三角形的定义，可知△A B C是等腰三角形##。

3. ##依据等边三角形的判定定理（等腰三角形的60度角判定）可知，△A B C是等边三角形##。

4. ##依据等边三角形的定义，可知BC＝AB＝AC＝9##。

5.## 最终得出BC = 9##。

####

等边三角形; 等腰三角形; 普通三角形

等边三角形的定义

等边三角形是所有三条边长度相等并且所有内角都相等（均为60°）的三角形。

<note>△ABC是一个等边三角形</note>，因此<note>AB = BC = AC = 9</note>。而<note>∠BAC = ∠ABC = ∠BCA = 60°</note>。

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形

在本题图中，三角形ABC中，<note>边AB和边AC相等</note>，因此<note>三角形ABC是一个等腰三角形</note>。

等边三角形的判定定理（等腰三角形的60度角判定）

有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形

在本题图中，已知△ABC为等腰三角形，<note>边AB与边AC相等</note>，且<note>存在一个内角为60°，即∠A=60°</note>。根据等边三角形的判定定理，<note>等腰三角形中若有一个内角为60°，则该三角形三边长度相等，三个内角均为60°</note>，因此可判定<note>△ABC为等边三角形</note>。


Question: 在上图中，ABCD是一个矩形。三角形AFB的面积是多少？

Answer: 9

1. 已知条件：ABCD是一个矩形，AB边长为6，BC边长为3。

2. ##根据矩形的定义，##矩形的对边平行且相等，因此AD = BC = 3，AB = DC = 6。

##3. 根据矩形的定义，矩形ABCD的每个内角都是直角，所以∠DAB =∠ADC= 90°。##

##4. 过点F做垂线EF交AB于点E，∠AEF=90°。##

##5. 根据四边形的内角和定理，四边形AEFD内角和为360°，所以∠DFE=360°-∠FDA-∠DAE-∠AEF=360°-90°-90°-90°=90°，根据矩形判定定理一，所以四边形AEFD为矩形。##

##6.根据矩形的定义，AD=EF=3，△AFB的高EF为3。##

7. 底边AB的长度为6，所以△AFB的底边长为6，高为3。

8. 根据三角形面积公式：面积 = 1/2 × 底 × 高，得△AFB的面积 = 1/2 × 6 × 3。

9. 简化计算：△AFB的面积 = 1/2 × 18 = 9。

矩形; 普通三角形; 垂线

矩形的定义

矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。

三角形的面积公式

任意三角形的面积等于其底乘以高除以2

<note>在本题图中，三角形AFB中，边AB是底，线段EF是高</note>。根据三角形的面积公式，<note>三角形AFB的面积等于底边AB乘以高EF再除以2</note>，即面积 = (6 * 3) / 2。

高的定义

从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。

<note>从顶点F垂直于对边AB（或其延长线）的线段EF</note>是该顶点F的高。<note>线段FE与边AB（或其延长线）形成一个直角（90度）</note>，这说明线段EF是从顶点F到对边AB（或其延长线）的垂直距离。

四边形的内角和定理

在任意四边形中，四个内角的和为360°。

<note>四边形AEFD中，角DAE、角AEF、角EFD和角FDA是四边形的四个内角</note>，根据四边形的内角和定理，<note>这四个内角的和为360°</note>，即<note>角DAE + 角AEF + 角EFD + 角FDA = 360°</note>。


Question: 求 y。

Answer: 48

1. ##设图中三角形为三角形ABC，由图中在两条线的交点处画一个直角标记，表示这两条线互相垂直。所以角BAC为直角，即∠BAC=90°。根据直角三角形的定义，可知△ABC为直角三角形##。

2. 根据三角形内角和定理，三角形的内角和为180°，因此##∠ABC## + ∠ACB + ∠BAC = 180°，即##∠ABC## + 30° + 90° = 180°，从而##∠ABC## = 60°。

3. 由于△ABC是一个直角三角形，且有角∠ACB的值为30°，符合30°-60°-90°直角三角形的特殊性质。

4. ##根据30°-60°-90°三角形的性质##，在30°-60°-90°的直角三角形中，已知直角边长为24，对应30°的对边为短边，##对应90°的对边为斜边，且斜边＝短边 × 2##。

####

##5. ##已知短边为24，则斜边等于24 × 2 = 48。

##6. 因为y是斜边，因此y=48##。

##7##. 经过上述推理，最终得出y的值为48。

直角三角形; 正弦; 余弦

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>三角形中有一个内角为直角（90度）</note>，因此该三角形是一个直角三角形。<note>边24和x是直角边</note>，<note>边y是斜边</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形的三个内角分别为∠BAC、∠ACB和∠ABC。</note>根据三角形内角和定理，<note>∠BAC + ∠ACB + ∠ABC = 180°。</note>已知<note>∠BAC = 90°</note>，<note>∠ACB = 30°</note>，因此<note>∠ABC = 180° - 90° - 30° = 60°。</note>

30°-60°-90°三角形的性质

<note>△ABC是一个30°-60°-90°的直角三角形</note>。<note>∠ACB = 30°</note>，<note>∠ABC = 60°</note>，<note>∠BAC = 90°</note>。<note>边BC是斜边</note>，<note>边AB是30度角所对的边</note>，<note>边AC是60度角所对的边</note>。根据30°-60°-90°三角形的性质，边AB等于<note>边BC的一半</note>，<note>边AC等于边AB的√3倍</note>。即：<note>BC = 2 * AB</note>，<note>AC = AB * √3</note>。


Question: 求 x。

Answer: 4 \sqrt { 6 }

1. ##设左下方的直角顶点为C，AC=z，AB=x，AD=y，已知三角形ABC和BCD是两个直角三角形##。

2. ##在三角形ABC和三角形BCD中，角B是公共角，角ACB=角BDC=90度，根据相似三角形的判定定理(AA)，得到三角形ABC和BCD相似##。

3. ##根据相似三角形的定义，有：BC/AB =BD/BC，即x/12=8/x，进一步化简，##x^2 = 8*12。

4. ####计算，得x^2 = 96。

5. 进行平方根求解，##得到x=4√6##。

####

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>较大直角三角形的直角位于左下角</note>，较小直角三角形的<note>直角位于其内部右边偏下位置</note>。较大直角三角形中，<note>角位于左下角的是直角（90度）</note>，因此该三角形是一个直角三角形。<note>边z和边x是直角边，边12是斜边</note>。较小直角三角形中，<note>角位于右边偏下的是直角（90度）</note>，因此该三角形是一个直角三角形。<note>边y和边8是直角边，边x是斜边</note>。

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>在本题图中，由于较大直角三角形和较小直角三角形相似</note>，所以对应边<note>x和12</note>以及<note>8和x</note>成比例，即<note>x/12 = 8/x</note>。

相似三角形的判定定理(AA)

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。

在本题图中，三角形<note>ABC</note> 和三角形<note>BCD</note> 中，如果<note>角B</note> 等于<note>角B</note> ，且<note>角ABC</note> 等于<note>角BDC</note> ，所以三角形<note>ABC相似于三角形BCD</note>。


Question: 求 x。

Answer: 115

1. 已知条件为##三角形的三个内角##的度数分别为40°、25°和x，根据三角形内角和定理，即一个三角形的三个内角之和等于180°，可得方程：40° + 25° + x = 180°。

2. ##化简得到：65° + x = 180°##。

3. 求解方程：将65°移到等式右边，得到：x = 180° - 65°。

4. 计算右边的结果，得到：x = 115°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为115°。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形的三个内角分别为40°、25°和x</note>，根据三角形内角和定理，<note>40° + 25° + x = 180°</note>。##

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

<note>在本题图中，该三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形。</note> 三个点分别是三角形的三个顶点，三条线段分别是三角形的三条边。


Question: 求 x。

Answer: 6

1. 已知三角形JKL的三条边分别以表达式的形式给出：JK = 3x + 6, KL = 4x, 和 LJ = 5x - 6。

2. 由图示可知，##三角形JKL三条边上都有相同的标记表示##，这意味着JK = KL = LJ，##根据等边三角形的定义，三角形JKL是等边三角形##。

3. 因为JK = KL，所以我们可以建立等式：3x + 6 = 4x。

4. 将3x + 6 = 4x方程解出，得到x = 6。

5. 为了验证答案，我们将x=6代入其他两条边的表达式中：KL = 4x = 24，以及LJ = 5x - 6 = 24，这与JK = 24一致。由此确定x = 6无误。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 x = 6。

等边三角形的定义

等边三角形是所有三条边长度相等并且所有内角都相等（均为60°）的三角形。

在本题图中，<note>三角形JKL是一个等边三角形</note>。<note>边JK、边KL和边LJ的长度相等</note>，并且<note>角JKL、角KLJ和角LJK的度数相等，均为60°</note>。具体表示是：<note>JK = 3x + 6, KL = 4x, LJ = 5x - 6</note>，其中三角形的每一边都相等。


Question: 求 y。

Answer: 21 \sqrt { 3 }

1. 已知直角三角形的一个锐角为30°，另一个锐角为60°，由此可得这个三角形是一个##30°-60°-90°##直角三角形，因此可以应用##30°-60°-90°直角三角形##的性质。

2. 在##30°-60°-90°##直角三角形中，30°角的对边与60°角的对边的比为1:√3，30°角的对边与斜边的比为1:2。

3. 题目给出的已知条件是三角形中30°角的对边长为21，因此使用30-60-90直角三角形的性质，可以得到此三角形的斜边长度为##其##2倍，即x = 42。

4. 继续利用##30°-60°-90°##三角形的性质，已知30°角的对边为21，##故60°角的对边(y所在边)长度为√3倍30°角所对的边##，因此y = 21√3。

5. 经过上述推理，最终得出答案为21√3。

直角三角形; 正弦; 余弦; 正切

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

在本题图中，<note>三角形中一个角为90度</note>，因此该三角形是一个直角三角形。<note>直角的两条边分别是21和y</note>，<note>斜边是x</note>。

30°-60°-90°三角形的性质

<note>角30°是30度</note>，<note>角60°是60度</note>，<note>角90°是90度</note>。<note>边x是斜边</note>，<note>边21是30度角所对的边</note>，<note>边y是60度角所对的边</note>。根据30°-60°-90°三角形的性质，<note>边x等于边21的一半</note>，<note>边y等于边21的√3倍</note>。即：x = 2 * 21，y = 21 * √3。


Question: 如图,已知⊙O中,∠AOB=50°,则圆周角∠ACB的度数是()

Answer: 25°

1. 已知在圆O中，∠AOB=50°。

2. 根据圆周角定理，圆周角等于相应圆心角的一半，此处指的是∠ACB与其所对的圆心角∠AOB。

3. 由圆周角定理可得∠ACB=\frac{1}{2}∠AOB。

4. 代入已知条件，∠ACB=\frac{1}{2}×50°=25°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为25°。

圆; 圆心角; 圆周角; 弧; 弦

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

<note>在本题图中，圆O中，角∠ACB的顶点C在圆周上</note>，<note>角∠ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B</note>。因此，角∠ACB是一个圆周角。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

在本题图中，圆O中，点A、B、C在圆上，<note>弧AB</note>对应的<note>圆心角为∠AOB</note>，<note>圆周角为∠ACB</note>。根据圆周角定理，∠ACB等于它所对的弧AB所对应的圆心角∠AOB的一半，即<note>∠ACB = 1/2 ∠AOB</note>。


Answer: 145°

1.已知四边形ABCD内接于圆O，角BOD=70°。

2. 根据##圆周角定理##，圆周角等于同弧所对的圆心角的一半。因此，∠BAD=1/2×∠BOD=1/2×70°=35°。

3. 由于四边形ABCD是圆内接四边形，根据##(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理##，对角之和等于180°。

4. 由此，∠BCD=180°-∠BAD=180°-35°=145°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为145°。

圆; 圆内接四边形; 圆心角; 圆周角; 弧

内接四边形

在本题图中，<note>四边形ABCD的四个顶点A、B、C和D都在同一个圆O上</note>。<note>这个圆称为四边形ABCD的外接圆</note>。因此，四边形ABCD是一个内接四边形。根据内接四边形的性质，可以得出<note>对角相加等于180度</note>，即<note>角BAD + 角BCD = 180度</note>，<note>角ABC + 角ADC = 180度</note>。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

在本题图中，圆O中，<note>角BAD的顶点A在圆周上</note>，<note>角BAD的两边分别与圆O相交于点B和点D</note>。因此，<note>角BAD是一个圆周角</note>。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理

<note>圆内接四边形ABCD中，四边形的顶点A、B、C、D都在圆上</note>。根据圆内接四边形对角互补定理，四边形ABCD的每一对对角的和等于180°。具体来说，<note>∠BAD+ ∠BCD = 180°</note>；<note>∠ABC + ∠CDA = 180°</note>。所以，<note>∠BCD=180°-∠BAD=180°-35°=145°</note>。


Question: 如果 Z P = 4 x - 9 和 P Y = 2 x + 5，求 Z X。

Answer: 38

1.已知矩形 WXYZ，##对角线 WY 和 ZX## 相交于点 P，##根据矩形的对角线性质，对角线相等且互相平分，可知 ZP = PY=WP = PX##。

2. 题中还给出 ZP = 4x - 9 和 PY = 2x + 5。依据前一步结论，我们可以得到 4x - 9 = 2x + 5。

3. 将等式 4x - 9 = 2x + 5 中的2x 移项到等号左边，常数移到等号右边，可以得到 4x - 2x = 5 + 9。

4. 合并得 2x = 14，解得 x = 7。

5. 将 x 的值带入 ZP = 4x - 9，得 ZP = 4(7) - 9 = 28 - 9 = 19。

6. 由于#### Z P = P X，因此 ZX = 2 * ZP = 2 * 19 = 38。

7. 经过上述推理，最终得出 ZX 的值为 38。

矩形的定义

矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。

在本题图中，四边形 WXYZ 是一个矩形，其内角 <note>∠ZWX、∠WXY、∠XYZ 和 ∠YZW 都是直角（90度）</note>，且边 <note>WX 与边 ZY 平行且等长</note>，<note>边 WZ 与边 XY 平行且等长</note>。

矩形的对角线性质

在矩形中，对角线相等且互相平分。

<note>在矩形 WXYZ 中，边 WX 与边 ZY 平行且相等</note>，<note>边 WZ 与边 XY 平行且相等</note>。<note>对角线 WY 和 ZX 相等且互相平分，即对角线 WY 与对角线 ZX 的交点 P 是两条对角线的中点</note>。因此，<note>线段 WP 等于线段 PX</note>，<note>线段 ZP 等于线段 PY</note>。


Question: 使用平行四边形 J K L M 来求 m \angle K L M。

Answer: 71

1. ##已知四边形JKLM为平行四边形，且∠K ＝ 109°。根据平行四边形的邻角互补定理，平行四边形内相邻的内角互补，两角的和为180°##。

2. ##图中平行四边形JKLM中的∠K和∠L相邻，所以∠K+∠L=180°##。

3. ##已知∠K = 109° ，将该值代入：109° + ∠L = 360°##。

4. ##最终解得：∠L=180°-109°=71°。因此 ∠L = 71°##。

####

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为 ∠KLM = 71° 。

平行四边形; 内错角; 同旁内角; 邻补角

平行四边形的定义

平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。

平行四边形的邻角互补定理

在平行四边形中，相邻的内角互补，即它们的和为180°。

<note>平行四边形JKLM</note>中，<note>∠JKL</note>和<note>∠KLM</note>是相邻的内角，<note>∠JML</note>和<note>∠MLK</note>也是相邻的内角。根据<note>平行四边形的邻角互补定理</note>，∠JKL + ∠KLM = 180°，∠JML + ∠MLK = 180°。


Question: 在 \\odot P 中, m \\angle M P L = 65 并且 N P \\perp P L。求 m \\widehat N M。

Answer: 25

1. 已知在圆P中，线段NP垂直于PL，##根据垂线定义##，∠NPL是直角，且##∠NPL = 90° ##。

2. ##根据题意∠MPL=65°，由图可得∠NPM + ∠MPL=∠NPL，则∠NPM+65° = 90°，即∠NPM = 90°-65° = 25°##。

3. ##根据圆心角的性质，圆心角的度数等于它所对的圆弧的度数，∠NPM是圆心角，与之相对的弧是弧NM，即∠NPM = 弧NM = 25°##。

####

##4.## 由此得出##弧NM## = 25°。

##5.## 以上为解析。经过推理，最终得出答案为25°。

圆; 垂线; 圆周角; 圆心角; 弧

垂线定义

如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。

在本题图中，<note>直线NP和直线PL相交形成的∠NPL是90度</note>，因此根据垂线定义，<note>直线NP和直线PL互相垂直</note>。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

<note>在本题图中，圆P中，点N和点M是圆上的两点，圆心是点P</note>。连线<note>PN和PM组成的##∠NPM##称为圆心角</note>。


Question: m 是 X Z 的垂直平分线，W Z = 14.9。求 W X。

Answer: 14.9

1. 已知条件m是XZ的垂直平分线，WZ = 14.9。

2. 根据垂直平分线的定义，垂直平分线是指通过线段的中点并且与该线段垂直的直线。因此，m通过XZ的中点Y，并且∠XYW = ∠ZYW = 90°。

3. 根据垂直平分线的性质，线段上任意一点到这条线段两端点的距离是相等的。####

4. 所以,W到X的距离等于W到Z的距离，即WX = WZ。

5. 因此，由上述推理可知WX = 14.9。

垂直平分线; 中点; 等腰三角形

垂直平分线的定义

经过线段中点且垂直于该线段的直线。

在本题图中，<note>直线m经过线段XZ的中点Y</note>，并且<note>直线m垂直于线段XZ</note>。因此，<note>直线m是线段XZ的垂直平分线</note>。

垂直平分线的性质

垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等。

<note>线段XZ的垂直平分线为直线m</note>，<note>点W在直线m上</note>。根据垂直平分线的性质，<note>点W到线段XZ两端点X和Z的距离相等</note>，即<note>WX = WZ</note>。因此，WX = 14.9。