Question: 在上面的三角形PQR中，PR = QR。以下哪项一定为真？

Answer: y=z

1. 已知条件为三角形 PQR 中 PR = QR，根据等腰三角形的性质，得出角 PQR 等于##角 QPR##。

2. 因为##角 PQR 是角 v，角 QRP 是角 u##，因此根据第一步结论，我们有##v=u##。

##3.根据三角形的外角定理，三角形PQR的外角y=u+x，z=v+x，因此根据第二步的结论，可以得到 y = z。##

4. 经过上述推理，最终得出答案为 y = z。

等腰三角形; 三角形的外角

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

在本题图中，三角形PQR中，<note>边PR和边QR相等</note>，因此<note>三角形PQR是一个等腰三角形</note>。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

<note>等腰三角形 PQR 中，边 PR 和边 QR 相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>角 PQR = 角 QPR</note>。

三角形的外角定理

三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。

在本题图中，三角形PQR中，<note>角y是三角形的一个外角</note>，<note>角u和角x是与外角y不相邻的两个内角</note>，根据三角形的外角定理，<note>外角y等于不相邻的两个内角u和x之和</note>，即<note>角y = 角u + 角x</note>。<note>角z是三角形的一个外角</note>，<note>角v和角x是与外角z不相邻的两个内角</note>，根据三角形的外角定理，<note>外角z等于不相邻的两个内角v和x之和</note>，即<note>角z = 角v + 角x</note>。


Question: 在上面的矩形ABCD中，阴影区域的面积由 \\pi*l*w/4 给出。如果阴影区域的面积是 7*\\pi，求矩形ABCD中非阴影区域的总面积（四舍五入到最接近的整数）。

Answer: 6

1. 已知条件为矩形ABCD的阴影区域面积为(π*l*w)/4，且阴影区域面积为7π。

2. 根据条件，设阴影区域实际为一个椭圆，其面积公式为Area = (π*l*w)/4。

3. 设阴影区域面积 (π*l*w)/4 = 7π。

4. 通过方程(π*l*w)/4 = 7π，消去π并解出 l*w/4 = 7，从而得到 l*w = 28。

5. 矩形ABCD的总面积为l*w = 28。

6. 矩形ABCD的未阴影区域面积为矩形总面积减去阴影区域面积，即 28 - 7π。

7. 计算π的近似值为3.14，得出7π ≈ 7 * 3.14 = 21.98。

8. 由此未阴影区域的面积为28 - 21.98 ≈ 6。

9. 经过上述推理，最终得出未阴影区域的面积接近为6。

矩形的定义

矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。

椭圆的面积

椭圆的面积公式为A = πab，其中a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴。

<note>椭圆的长半轴为矩形ABCD的长的一半，即l/2</note>，<note>短半轴为矩形ABCD的宽的一半，即w/2</note>。根据椭圆的面积公式S=πab，其中<note>a=l/2</note>，<note>b=w/2</note>，椭圆的面积为(π*(l/2)*(w/2))= (π*l*w)/4。

矩形的面积公式

矩形的面积等于其长度乘以其宽度。

在本题图中，矩形ABCD中，<note>边BC和边CD是矩形的长和宽</note>，所以<note>矩形的面积 = l * w</note>。


Question: 上面矩形的周长是 p，矩形的面积是 36。如果 l 和 w 是整数，p 的一个可能值是多少？

Answer: 24

矩形; 线段; 普通四边形

矩形的定义

矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。

在本题图中，矩形的四条边分别是两条相等的长边和两条相等的短边。这里，长边的长度用 <note>l</note> 表示，短边的长度用 <note>w</note> 表示。矩形的每个角都是 <note>直角（90度）</note>。

矩形的面积公式

矩形的面积等于其长度乘以其宽度。

在本题图中，矩形中，<note>边 l 和边 w 是矩形的长和宽</note>，所以<note>矩形的面积 = l * w</note> = 36。

矩形的周长公式

矩形的周长等于其长边长度和短边长度之和的两倍，即 P = 2(l + w)。

<note>在本题图中，矩形的长边为 l，短边为 w</note>，根据<note>矩形的周长公式</note>，矩形的周长等于其长边长度和短边长度之和的两倍，即 <note>P = 2(l + w)</note>。


Question: 在上图中，点A和B位于以O为圆心的圆上。如果x = 80，求z的值是多少？

Answer: 80

1. 已知条件为点A和点B在以O为圆心的圆上，因此，有OA=OB，即三角形OAB为等腰三角形。

2. 根据等腰三角形的性质，知道角A等于角B，即z=x80度。

3. 所以，我们得出答案为z = 80度。

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

在本题图中，<note>等腰三角形OAB</note>中，<note>边OA和边OB相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，<note>相等的两边所对的角相等</note>，即<note>角A = 角B</note>。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段。

在本题图中，<note>圆O</note>中，<note>点O是圆心</note>，<note>点A是圆上的任意一点</note>，<note>线段OA是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段OA是圆的半径</note>。同样地，<note>点O是圆心</note>，<note>点B是圆上的任意一点</note>，<note>线段OB是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段OB是圆的半径</note>。


Question: 在上图中，下列哪一个最大？

Answer: b和d

1. 已知角a、角b、角c、角d、角e满足b°  + 60° = 180°，e°  + 70° = 180°，由此可得b =120，e  = 110，又因为a和60度角是对顶角，由此可得a =60。

2. 根据内角和定理，三角形的三个内角和为180°，因此角c°  + 60° + 70° = 180°，可得角c = 50。

3. 于是d = 180-c + = 120。

4. 由以上结果，角度大小关系为b=d > e >a >c。

5. 由此可得b和d最大。

三角形的外角; 普通三角形; 内错角

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形中，60度角、70度角和角C是三角形的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>60度 + 70度 + 角C = 180°</note>。

对顶角的定义

对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。

在本题图中，<note>角a和60度角构成对顶角</note>，由于<note>对顶角的角度相等</note>，所以<note>角a=60度</note>。

邻补角的定义

两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。

<note>角c和角d有一条公共边</note>，它们的另一边互为反向延长线，所以<note>角c和角d互为邻补角</note>。同样地，<note>70度角和角e有一条公共边</note>，它们的另一边互为反向延长线，所以<note>70度角和角e互为邻补角</note>。


Question: 在上图中，三角形ABC和CDE是等边三角形，线段AE的长度为25。两个三角形的周长之和是多少？

Answer: 75

1. 已知条件为：三角形ABC和CDE是等边三角形，根据等边三角形的性质，三角形中的每条边都相等。因此，边长AB=BC=CA，CD=DE=EC。

2. 根据图中所示，线段AE的长度为25，并且线段AC和CE是共用边，所以AC + CE = AE。

3. 设等边三角形ABC的边长为x，##设等边三角形CDE的边长为y##，因为三角形是等边的，AE = AC + CE 所以 x + ##y## = 25。

4. 根据等边三角形的周长公式，三角形ABC的周长为3倍的边长，即##3 * x= 3x##。

5. 同理，三角形CDE的周长也为3倍的边长，即##3 * y = 3y##。

6. 两个三角形的周长之和为##3x+3y=3*(x+y)=3*25=75##。

7. 经过上述推理，最终得出答案为：75。

等边三角形的定义

等边三角形是所有三条边长度相等并且所有内角都相等（均为60°）的三角形。


Question: 上图中的圆的面积为25*\pi，并被分成8个全等的区域。这些区域的周长是多少？

Answer: 10+5/4*\pi

1. 已知圆的面积为25*π，根据圆的面积公式A = ##πr^2##，得出：##πr^2##= 25π。

2. 消去π后，得到##r^2##= 25。因此，r = √25 = 5。圆的半径r为5。

3. 圆被划分为8个全等的扇形区域。每个扇形区域所对应的中心角为360° / 8 = 45°。

4. 对于每个扇形，其两条半径和一段弧构成其周长。因圆的半径为5，故两条半径之和为5 + 5 = 10。

5. 计算扇形的弧长，弧长的公式为: (中心角/360°) * 2πr。故弧长为(45°/360°) * 2 * π * 5 = 1/8 * 2 * π * 5 = 5/4 * π。

6. 因此，每个区域的周长为两条半径的长度加上弧长，即10 + 5/4 * π。

7. 经过上述推理，最终得出答案为10 + 5/4 * π。

圆; 弧; 圆心角; 扇形; 线段

圆的定义

到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。

在本题图中，圆中，<note>点 O 是圆心</note>，<note>半径为 5</note>。图中<note>所有到点 O 的距离等于 5 的点都在圆上</note>。

扇形的定义

由一个圆的两条半径与它们所夹的圆弧组成的图形称作扇形。

<note>每个扇形由两条半径和它们之间的圆弧组成</note>。圆被划分为8个全等的扇形，<note>每个扇形的中心角为45°</note>。<note>每个扇形的两条半径分别是从圆心O到圆周的两点</note>，<note>圆弧是这两点之间的圆弧</note>。

圆的面积公式

圆的面积公式为A = πr^2，其中A表示面积，π是圆周率，r是圆的半径。

<note>圆的面积为25π</note>，根据圆的面积公式<note>A = πr^2</note>，其中<note>A表示面积</note>，<note>π是圆周率</note>，<note>r是圆的半径</note>。已知<note>A = 25π</note>，因此<note>25π = πr^2</note>，可以得出<note>半径r = √25 = 5</note>。

扇形的弧长公式

扇形的弧长L等于圆心角θ（以弧度制表示）乘以半径r：L = θr。

<note>圆心角为45°（以弧度制表示为π/4）</note>，<note>半径为5</note>。根据扇形的弧长公式，弧长L等于圆心角θ乘以半径r，即<note>L = θ * r</note>。因此，<note>每个扇形的弧长 l = (π/4) * 5 = 5/4 * π</note>。


Question: 在上图中，三角形ABC的边AC在直线l上。x用k表示是多少？

Answer: 60-k

1. 根据邻补角的定义，角BCA=180度-120度=60度。

2. 因为角（120-k）是三角形ABC的一个外角，所以有：角（120-k）=角B+角BCA=x+60。

3. 解方程得到：x=60-k。

普通三角形; 三角形的外角; 线段

多边形的外角定义

多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。

三角形的外角定理

三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。

<note>三角形ABC中，角BAD是三角形的一个外角</note>，<note>角B和角BCA是与外角BAD不相邻的两个内角</note>，根据三角形的外角定理，<note>外角BAD等于不相邻的两个内角B和BCA之和</note>，即<note>角BAD = 角B + 角BCA</note>。

邻补角的定义

<note>角BCA和角120度有一条公共边BC</note>，它们的另一边互为反向延长线，所以<note>角BCA和120度互为邻补角</note>。


Question: 在上图中，以O为中心的圆的半径为7，AB是直径，且AC = BC。三角形ABC的面积是多少？

Answer: 49

1. 已知条件为：圆的中心是O，半径为7，AB是直径，AC = BC，且三角形ABC是直角三角形，∠ACB = 90°。

2. 根据直径所对的圆周角定理，该定理指出：如果一个角的顶点在圆上，并且角的两条边分别经过圆的两个端点，则这个角是直角。在本题中，∠ACB为圆内的一条弦AB的圆周角，并且AB为直径，因此∠ACB是直角。

3. 直角三角形ABC中，AB是直径，并且等于2倍的半径，所以AB = 2 * 7 = 14。

4. 三角形ABC是等腰直角三角形，因为AC = BC（等腰），且∠ACB = 90°（直角）。####

5. 既然AC = BC，并且∠ACB = 90°，##根据勾股定理##，我们知道：AC和BC的长度相等，用x表示，## AB ^2 = x ^2 + x ^2 ##，斜边AB的长度为x√2 = 14。

6. 求边长x的具体数值，x√2 = 14，得 x = 14/√2 = 14√2 / 2 = 7√2。

7. 根据##三角形面积公式（使用正弦函数）##，面积 = 1/2 * AC * BC * sin(∠ACB)。由于∠ACB = 90°，sin90° = 1。代入AC = BC = 7√2，得面积 = 1/2 * 7√2 * 7√2 * 1 = 1/2 * 49 * 2 = 49。

8. 经过上述推理，最终得出答案为49。

直角三角形; 等腰三角形; 圆; 圆周角; 线段

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

在本题图中，三角形ABC中，<note>边AC和边BC相等</note>，因此<note>三角形ABC是一个等腰三角形</note>。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>三角形ABC中，角ACB是直角（90度）</note>，因此三角形ABC是一个直角三角形。<note>边AC和边BC是直角边，边AB是斜边</note>。

(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角

半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

<note>在本题图中，圆O中，直径AB所对的圆周角∠ACB是直角（90度）</note>。

等腰直角三角形的定义

等腰直角三角形是两个边相等且有一个角为90度的三角形。

三角形的面积公式（使用正弦函数）

任何三角形的面积可以表示为S = (1/2) * a * b * sin(C)，其中a和b是两边长，C是这两边的夹角。

<note>三角形ABC</note>中，<note>边AC和边BC分别为a和b，角ACB为这两边的夹角C</note>。根据三角形面积公式，<note>三角形ABC的面积S</note>可以表示为<note>S = (1/2) * a * b * sin(C)，即S = (1/2) * AC * BC * sin(ACB)</note>。##


Question: 上图显示了五条线。如果 l || m，以下哪个不等于90？

Answer: r

1. 已知条件为 l || m，根据平行线的性质，若两条平行线被第三条直线所截，则同位角相等，也即角 s 和角 u 相等。

2. 根据图示，角 u 是直角，等于 90°，所以角 s 也等于 90°。

3. 图中显示角 v 是直角，等于 90°。

4. 已知##角 v° 是90°，因为平行线同位角相等的原理，##所以角 t 为 90°。

5. 因为##有一个角为 89° ，因此它所对应的另外一个同位角r也是89°##。

6. 最终得出结论：r 是不等于 90° 的角。

平行线; 同位角; 内错角

平行线的定义

在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

<note>直线l和直线m</note>位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，<note>直线l和直线m是平行线</note>。这两条平行线被第三条直线<note>截</note>，形成了几对对应角。

垂线定义

如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。

<note>直线与l和m相交形成的角U是90度</note>，因此根据垂线定义，<note>直线与m互相垂直</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

在本题图中，已知<note>l || m</note>，且被第三条直线所截，形成了以下几何关系：1. 同位<note>角：角s和角u相等</note>。####这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，<note>同位角相等，内错角相等，同旁内角互补</note>。##

同位角定义

两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角

在本题图中，<note>两条平行直线l和m</note>被<note>一条直线截交</note>，其中<note>角t和角v位于截线的同旁</note>，<note>被截两直线l和m的同一侧</note>，因此<note>角t和角v是同位角</note>。同位角相等，即<note>角t等于角v</note>。


Question: 在上图中，x的值是多少？

Answer: 72

1. 已知三角形下边的三个角的度数分别是 \(b^\circ, 126^\circ, \ \text{和 } a^\circ.\) 根据三角形内角和定理：一个三角形的三个内角和为\(180^\circ\），得出下边的两个角和126°也共构成一个三角形，故有方程 \(b + 126 + a = 180.\）

2. 求出下边三角形中两个角的和：从方程 \(b + 126 + a = 180\)中，解出 \(b + a = 54.\）这是下边两个角度和的关系。

3. 已知大三角形一个顶角是 \(x^\circ\）, 其余两个角分别是 \((a+b)^\circ ）

4. 根据三角形的内角和定理，有 \(b + a + b + a + x = 180.\）

5. 利用第二步得出的结论 \(b + a = 54\), 代入第四步中的公式： \(x =180 - 2(54)\ = 180-108.\)

6. 解出 \(x =72.\) 是通过上述推理最终可以得出的解。

三角形的外角; 普通三角形

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>在本题图中，小三角形的三个内角分别是 \(a^\text{°}\)、\(b^\text{°}\) 和 \(126^\text{°}\)</note>，根据三角形内角和定理，<note>\(a^\text{°} + b^\text{°} + 126^\text{°} = 180^\text{°}\)</note>。<note>大三角形的三个内角分别是 \((a+b)^\text{°}\)、\((a+b)^\text{°}\)和 \(x^\text{°}\)</note>，根据三角形内角和定理，<note>\(2a^\text{°} + 2b^\text{°} + x^\text{°} = 180^\text{°}\)</note>。


Question: 在上面的三角形中，下列哪项必须为真？

Answer: p>r

1. 已知三角形####MNQ 中，#### ∠M = 80°，####  ∠Q = 30°。根据三角形的内角和定理（一个三角形内角之和为 180°），可以求得####  ∠N 为 180° - 80° - 30° = 70°。

2. 已知边 MN 的长度为 4，边 MQ 的长度为 4 + r，边 NQ 的长度为 4 + p。

3. 根据正弦定理（在任意三角形中，边与对角的正弦值之比相等），即可以得出：MN/sin(∠Q) = MQ/sin(∠N) = NQ/sin(∠M)。

4. 带入已知数值，得到 4/sin(30°) = (4 + r)/sin(70°)= (4 + p)/sin(80°)。

5. 计算出 sin(30°) = 0.5，sin(70°)和 sin(80°) 可以通过近似值或计算分别得出接近 0.9397 及 0.9848。

6. 通过等式 4/sin(30°) = (4 + p)/sin(80°)，我们进一步推导 8 = (4 + p)/0.9848，求出 4 + p ≈ 7.8784，可以解出 p ≈ 3.8784。

7. 同理，运用等式 4/sin(30°) = (4 + r)/sin(70°)，得到 8 = (4 + r)/0.9397，解出 4 + r ≈ 7.5181，可以求得 r ≈ 3.5181。

8. 对比得知，（4 + p）大于（4 + r）。即得出答案 p > r。

9. 经计算并推导，我们确定答案 p > r 必然正确。

普通三角形; 三角形的外角

任意三角形的三个内角的和为180°。

在本题图中，三角形<note>MNQ</note>的内角<note>∠M</note>、<note>∠N</note>、<note>∠Q</note>的和为180度，具体表示为<note>∠M + ∠N + ∠Q = 180°</note>，即80° + 70° + 30° = 180°。

正弦定理

在任意三角形中，各边的长度与其所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径，即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=D（r为外接圆半径，D为直径）。


Question: 如果上面矩形的周长是72，那么x的值是多少？

Answer: 18

1. 已知条件为矩形的周长是72，矩形的长为x + 3，宽为x - 3。

2. 根据矩形的周长公式##周长 = 2 * (长+ 宽)##，我们可以将周长带入公式中得到2 * ((x + 3) + (x - 3)) = 72。

3. 展开并简化公式得到2 * (2x) = 72。

4. 进一步简化得到4x = 72。

5. 解此方程4x = 72，得到x = 72 / 4 = 18。

6. 检查已求得的x值，代入x = 18时，矩形的长为x + 3 = 18 + 3 = 21，宽为x - 3 = 18 - 3 = 15。

7. 计算该长和宽下的周长是否符合条件：##周长##= 2 * (21 + 15) = 2 * 36 = 72，符合题意。

8. 经过上述推理，最终得出答案为18。

矩形的定义

矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。

<note>矩形的长为x + 3，对应的对边也为x + 3</note>，<note>矩形的宽为x - 3，对应的对边也为x - 3</note>。<note>矩形的四个顶点都为直角（90度）</note>。

矩形的周长公式

矩形的周长等于其长边长度和短边长度之和的两倍，即 P = 2(l + w)。

<note>在本题图中，矩形的长边为x + 3，短边为x - 3</note>，根据矩形的周长公式，<note>矩形的周长等于其长边长度和短边长度之和的两倍，即 P = 2((x + 3) + (x - 3))</note>。


Question:
在上图中，P, Q 和 R 在同一条直线上。P 是大圆的圆心，Q 是小圆的圆心。如果大圆的半径是 4，小圆的半径是多少？
(A) 1
(B) 2
(C) 4
(D) 8
(E) 16

Answer: 2

1. 已知条件为点 P, Q, R 在同一条直线上，P 为大圆的圆心，Q 为小圆的圆心，且大圆的半径为 4。依据定义，圆的半径是圆心到圆上任意一点的距离。

2. 根据题意，点 P 到##点 R ##的距离即为大圆的半径，设 ##PR## = 4。

3. 因为点 R 也是在同一条直线 PQ 上，且小圆经过点 P，所以点 R 是小圆上一点。

4. 小圆的圆心为 Q，由于小圆上有一点 P，而 ##PR ##为大圆的半径，所以## PR## 大于小圆的半径。

####

##5##. 同时根据图示，##若小圆的直径为大圆的半径##，则 2×QR = 4，即 QR = 2。

##6##. 经过上述推理，最终得出小圆的半径为 2。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

在本题图中，大圆中，<note>点P是圆心</note>，<note>点R是圆上的任意一点</note>，<note>线段PR是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段PR是大圆的半径</note>，且<note>PR=4</note>。小圆中，<note>点Q是圆心</note>，<note>点R是圆上的任意一点</note>，<note>线段QR是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段QR是小圆的半径</note>。


Question: 上图梯形的周长是多少？

Answer: 80

1. 在题目中给出的梯形中，上底与下底分别为20和未知，其他两边分别为17和15，并且两个底分别是平行的，且有一个直角。设上底为AB，即AB = 20，而直角边BC = 15，##斜边DA## = 17，求梯形的周长。

2. 由于梯形有一个直角，我们可以用勾股定理计算出##下底CD##的长度。##过A点做CD的垂线交CD于E点##

3. 在##直角三角形ADE##中，##AE##是和梯形平行边长度相等的边，所以##AE## = BC = 15。

4. 根据勾股定理，##DA^2 = AE^2 + DE^2##，其中##AD## = 17，##AE## = 15，因此： 17^2 = 15^2 + ##DE^2##，289 = 225 + ##DE^2##，##DE^2## = 64，因此##DE## = 8。

5. 由此可以得出##下底CD##的长度，##CD## = AB + ##DE## = 20 + 8 = 28。

6. 梯形的周长等于四边之和，即AB + BC + CD + AD = 20 + 15 + ##28 + 17##。

7. 经过计算，梯形的周长为80。

8. 最终结果为选项中(D) 80。

梯形; 线段; 直角三角形

梯形的定义

梯形是一种四边形，有且仅有一对平行边。

在本题图中，四边形ABCD中，<note>边AB和边DC是平行的</note>，而<note>边AD和边BC不平行</note>。因此，根据梯形的定义，<note>四边形ABCD是一种梯形</note>，因为它<note>有且仅有一对平行边</note>。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>直角三角形ADE</note>中，<note>∠AED是直角（90度）</note>，边DE和<note>AE</note>是直角边，<note>边AD</note>是斜边，所以根据勾股定理，<note>DA^2 = AE^2 + DE^2</note>，即<note>17^2 = 15^2 + DE^2</note>。


Question: 在上面的四边形PQRS中，a^2 + b^2的值是多少？

Answer: 13

1. 已知条件为四边形 PQRS 中，PQ = a, PS = b, QR = 3, RS = 2。在##四边形PQRS连接QS构成两个直角三角形。##

2. 在△PQS中，∠SPQ是直角。根据勾股定理，即，在直角三角形中，三个边的平方和关系为：a^2 + b^2 = ##(QS)^2##。

3. 在##△RQS##中，##∠QRS##是直角。根据勾股定理，即，在直角三角形中，三个边的平方和关系为：3^2 + 2^2 = ##(QS)^2##。

4. 计算##QS##的平方和：3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13。

5. 因此，我们得出结论 a^2 + b^2 = 13。

直角三角形; 普通四边形

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

在本题图中，三角形PQS中，<note>角SPQ是直角（90度）</note>，因此三角形PQS是一个直角三角形。边PQ和边PS是直角边，边QS是斜边。同理，在三角形QSR中，<note>角QRS是直角（90度）</note>，因此三角形QSR是一个直角三角形。边QR和边RS是直角边，边QS是斜边。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

在本题图中，在△PQS中，<note>PQ = a</note>, <note>PS = b</note>, <note>∠SPQ是直角</note>，根据勾股定理可以得出：PQ^2 + PS^2 = QS^2，即<note>a^2 + b^2 = QS^2</note>；在△QRS中，<note>QR = 3</note>, <note>RS = 2</note>, <note>∠QRS 是直角</note>，因此：QR^2 + RS^2 = QS^2, 即<note>3^2 + 2^2 = QS^2</note>, 即9 + 4 = 13。所以我们得出结论<note>a^2 + b^2 = 13</note>。####


Question: 在上图中，矩形A、B、C和D的长度和宽度都是整数。矩形A、B、C和D的面积都是整数。矩形A、B和C的面积分别是35、45和36。整个图形的面积是多少？

Answer: 144

1. 已知矩形A的面积为35，设矩形A的边长为a和b，则有ab = 35。由于35的因数可以是(1,35)、(5,7)、(7,5)和(35,1)，根据矩形的长宽为整数，因此a和b可以分别是5和7，或7和5##，或35和1，或1和35##。

2. 已知矩形B的面积为45，设矩形B的边长为b和c，则有bc = 45。由于45的因数可以是(1,45)、(3,15)、(5,9)、(9,5)、(15,3)和(45,1)，且b的值应与矩形A一致，因此##b为1时c为45##，或b为5时c为9。

3. 已知矩形C的面积为36，设矩形C的边长为c和d，则有cd = 36。由于36的因数可以是(1,36)、(2,18)、(3,12)、(4,9)、(6,6)、(9,4)、(12,3)、(18,2)和(36,1)，且c的值应保持一致，这样选择c为9时d为4。

4. 由于b和c的选择，我们选定b = 5, c = 9保持一致，从而d = 4。

5. 因为D的长和宽分析需要与A和C相邻边长一致，同样规定为7 x 4，面积为28。

6. 矩形D的面积为(7 x 4) = 28。

7. 整个图形的面积为A + B + C + D，结合算法为35 + 45 + 36 + 28。

8. 通过计算得出：35 + 45 + 36 + 28 = 144。

9. 综合以上步骤，得到整个图形的面积为144。

矩形; 普通四边形; 平行线

矩形的定义

矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。

<note>四边形A, B, C, D是矩形</note>，其<note>内角都是直角（90度）</note>，且<note>各个矩形的对边平行且等长</note>。

矩形的面积公式

矩形的面积等于其长度乘以其宽度。

<note>矩形A中，边5和边7是矩形的长和宽</note>，所以矩形的面积 = 5 * 7 = 35；
<note>矩形B中，边5和边9是矩形的长和宽</note>，所以矩形的面积 = 5 * 9 = 45；
<note>矩形C中，边9和边4是矩形的长和宽</note>，所以矩形的面积 = 9 * 4 = 36；
<note>矩形D中，边7和边4是矩形的长和宽</note>，所以矩形的面积 = 7 * 4 = 28。


Question: 在上图中，如果三角形CAF的面积等于矩形CDEF的面积，线段AD的长度是多少？

Answer: 7

1. 已知条件为三角形CAF与矩形CDEF面积相等，其中矩形CDEF的长为15，高为7，因此面积为15×7=105。

2. 设AD的长度为x，根据直角三角形性质，CAF为直角三角形，面积公式为1/2×CA×CF。

3. 由于DE与CF相等，等于矩形的长15，所以CF等于15。

4. 从图中，我们可以得知CA等于矩形的高7加上AD的长x，因此CA=##7+x##。

5. 依据条件和计算，##得出##三角形CAF的面积为1/2×(x+7)×15，而矩形CDEF的面积为105，两者相等，所以1/2×(x+7)×15=105。

6. 进行方程的解法，1/2×15×(x+7)=105，化简为7.5×(x+7)=105。

7. 将方程两边同时除以7.5，得到x+7=14。

8. 从而求得x=14-7=7，由此得出AD的长度为7。

9. 经过上述推理，最终得出答案为7。

直角三角形; 矩形; 垂线

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>在本题图中，三角形CAF中，##∠ACF##是直角（90度），因此三角形CAF是一个直角三角形</note>。边CA和<note>##边CF##是直角边</note>，<note>##边AF##是斜边</note>。

矩形的定义

矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。

三角形的面积公式

任意三角形的面积等于其底乘以高除以2

<note>在本题图中，三角形CAF中，边CF是底，##线段AC##是高</note>。根据三角形的面积公式，三角形CAF的面积等于底边CF乘以<note>##高AC##</note>再除以2，即面积 = (CF * <note>##AC##</note>) / 2。

矩形的面积公式

矩形的面积等于其长度乘以其宽度。

在本题图中，矩形CDEF中，边<note>CD</note>和边<note>DE</note>是矩形的长和宽，所以矩形的面积 = <note>CD × DE</note>。####


Question: 在上图中，CDE是一个等边三角形，ABCE是一个面积为1的正方形。多边形ABCDE的周长是多少？

Answer: 5

1. 已知ABCE是正方形且其面积为1，因此正方形的边长AB = BC = CE = EA = 1。

2. 由题目所给三角形CDE是等边三角形，我们知道等边三角形的所有边长都相等。

3. 进一步得出CD = DE = CE。

4. 根据正方形的性质，即CE = 1，所以CD = DE = 1。

5. 多边形ABCDE的周长即为AB + BC + CD + DE + EA。

6. 将各个边长相加，我们得: 周长 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1。

7. 经过上述推理，最终得出答案为5。

正方形; 等边三角形; 线段; 五边形

正方形的定义

正方形是一种平面四边形，其四条边相等且四个内角均为直角（90度）。

等边三角形的定义

等边三角形是所有三条边长度相等并且所有内角都相等（均为60°）的三角形。

<note>三角形CDE是一个等边三角形</note>。<note>边CD、边DE和边CE的长度相等</note>，并且<note>角CDE、角DCE和角CED的度数相等，均为60°</note>。因为<note>CE = 1（正方形边长）</note>，所以<note>CD = DE = 1</note>。


Question: 在上面的三角形ABC中，AB = AC，E是线段AB的中点，D是线段AC的中点。如果AE = x且ED = 4，求BC的长度是多少？

Answer: 8

1. 已知条件为AB = AC，并且E和D分别是线段AB和AC的中点，根据中点定义，得出AE = EB = x，AD = DC = x。

####

##2.## 在##三角形ABC##中，根据##中位线定理(点E和点D分别是AB和AC的中点)##。AB = AC，所以BC的长度是 2*ED=8。

####

等腰三角形; 中点; 线段

线段中点

线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。

在本题图中，<note>线段AB的中点为点E</note>，<note>线段AC的中点为点D</note>。根据线段中点的定义，<note>点E将线段AB平分为两个相等的部分</note>，即<note>线段AE和线段EB的长度相等</note>；<note>点D将线段AC平分为两个相等的部分</note>，即<note>线段AD和线段DC的长度相等</note>。<note>即，AE = EB = x，AD = DC = x</note>。

三角形中位线定理

在三角形中，如果一条线段连接两边的中点，那么这条线段与第三条边平行且等于第三条边的一半。

在本题图中，三角形ABC中，点E是边<note>AB的中点</note>，点D是边<note>AC的中点</note>，线段ED连接了这两个中点。根据三角形中位线定理，线段<note>ED与第三边BC平行</note>且等于第三边<note>BC的一半</note>，即<note>ED || BC</note>，并且<note>ED = 1/2 * BC</note>。因此，<note>BC = 2 * ED = 2 * 4 = 8</note>。


Question: 在上图中，直线AB、直线CD和直线EF在P点相交。如果r = 90，s = 50，t = 60，u = 45，w = 50，求x的值？

Answer: 65

1. 已知线 AB、线 CD 及线 EF 相交于点 P，并给出了各个角度的度数：。

2. 根据三角形的内角和定理，在三角形BPF中∠BPF=180度-∠s-∠t=180度 -50度-60度=70度。，同样地，在三角形ADP中，根据三角形内角和定理，可以求得∠APD=180度-45度-50度=85度。

   根据对顶角相等，有∠APD=∠BPC。

3. 因为∠EPC+∠BPC+∠BPF=180度，代入数值，得到：∠CPE=180度-70度-85度=25度。在三角形CPE中，根据三角形内角和定理，有：x=180度-∠CPE-90度=90-25-65度。

4. 经过上述推理，最终得出答案为65°。

对顶角的定义

对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。

平角的定义

一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度。

<note>射线PE</note>绕着端点<note>P</note>旋转到与起始边成一条直线，形成<note>平角PEF</note>。根据平角的定义，平角的度数为180度，即<note>角PEF=180度</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>角C、角E和角PCE是三角形PCE的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角PCE + 角E + 角C = 180°</note>。<note>角B、角F和角BPF是三角形PBF的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角B + 角F + 角BPF = 180°</note>。<note>角A、角D和角APD是三角形PAD的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角A + 角D + 角APD = 180°</note>。


Question: 在上图中，x 的值是多少？

Answer: 50

1. 已知在大三角形的内部划有两条直线，两条直线相交于三角形外部形成一个小三角形，小三角形两个内角的对顶角分别为55度和75度。根据对顶角相等，可以得到小三角形的两个内角分别为55度和75度。

2. 依据三角形内角和定理，小三角形的内角总和为180度。即x = 180 - 55 - 75。算出x的值为50度。

3. 经上述推理步骤，最终得出答案为50。

三角形的外角; 普通三角形

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>小三角形中，55度角、75度角和角x是三角形的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>x + 55度 + 75度 = 180°</note>。

对顶角的定义

对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。

<note>小三角形中的两个内角</note>分别与<note>图中标示的55度角和75度角</note>构成<note>对顶角</note>，因此<note>两个内角分别等于55度和75度</note>。


Question: 在上图的等腰三角形ABC中，线段AM和线段CM分别是角BAC和角BCA的角平分线。角AMC的度数是多少？

Answer: 110

1. 已知三角形 ABC 是等腰三角形，其中 ∠ABC = 40°，AB = BC，根据等腰三角形的性质， △ABC 中 ∠BAC = ∠BCA。

2. 设 ∠BAC = ∠BCA = θ°，由于三角形内角和等于180°，所以 ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°，即 θ° + 40° + θ° = 180°，合并同类项后可得 2θ + 40 = 180。

3. 解 2θ + 40 = 180 可知 2θ = 140，即 θ = 70°，所以 ∠BAC = ∠BCA = 70°。

4. 由于 A M 和 C M 分别是 ∠BAC 和 ∠BCA 的角平分线，根据角平分线的性质， ∠BAM = ∠MAC = 35°，以及 ∠BCM = ∠MCA = 35°。

5. 至此，我们可以得到 ∠AMC = 180 - ##(∠MAC + ∠MCA)##，代入已知值 ∠AMC = 180 - (35° + 35°) = 180 - 70 = 110°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 110°。

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

<note>三角形 ABC 中，边 AB 和边 BC 相等</note>，因此三角形 ABC 是一个等腰三角形。

角平分线定义

角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。

<note>角 BAC 的顶点是点 A</note>，从<note>点 A 引出一条线 AM</note>，这条线将<note>角 BAC 分成两个相等的角</note>，即<note>角 BAM 和角 MAC 相等</note>。因此，<note>线 AM 是角 BAC 的角平分线</note>。同样，<note>角 BCA 的顶点是点 C</note>，从<note>点 C 引出一条线 CM</note>，这条线将<note>角 BCA 分成两个相等的角</note>，即<note>角 BCM 和角 MCA 相等</note>。因此，<note>线 CM 是角 BCA 的角平分线</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形ABC中</note>，角BAC、角ABC和角BCA是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>角BAC + 角ABC + 角BCA = 180°</note>。##<note>三角形MAC中</note>，角MAC、角AMC和角MCA是三角形MAC的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>角MAC + 角AMC + 角MCA = 180°</note>。##

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

<note>等腰三角形ABC</note>中，<note>边AB和边BC相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>角BAC = 角BCA</note>。


Question: 在上图中，三条直线相交于一点。y的值是多少？

Answer: 65

1. 由于三条直线在一个点相交，根据角的对顶角相等定理，相交的一对对顶角也会是相等的。

2. 在图中，另一对对顶角是50度，记作∠AEB和∠CED。所以，∠AEC的量度是##130##度。

3. 将未知数角y°的对顶角也记为y°。

##4. 由于BC为一条直线，点E在BC上，根据邻补角的定义，∠AEB +∠AEC =180度，即：∠AEB + y° + y°= 180度。##

####

##5##. 合并得: 180度 - 50度 = 2y ####。因此: 2y = 130度

##6.将等式两边同时除以2，简化y值得到公式: y = 65##。

对顶角的定义

对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。

在本题图中，<note>三条直线相交于一点</note>，形成若干对对顶角。根据对顶角的定义，<note>∠50°和其对顶角也是50°</note>，<note>y°和其对顶角也是y°</note>。由于对顶角的角度相等，所以<note>∠50°=∠50°</note>，<note>y°=y°</note>。####


Question: 在上图中，点B位于直线AC上。如果x和y是整数，以下哪一个是x的可能值？

Answer: 30

1. 根据题意，我们知道点 B 在直线 AC 上，##设##角 ABE = x 度，角 EBC = ##3y## 度。####

2. 根据##邻补角的定义##，##∠ABC##是 180 度。因此可以得出方程 x + ##3y## = 180。

3. 已知 x 和 y 是整数，这意味着 x 和 y 的值都必须是内正数且使 x + ##3y## = 180。

4. 我们要求 x 的可能整数值。因此可以通过给定的选项来验证，看看哪些值可以使得 x = 180 - ##3y## 的前提下还满足 x 和 y 都是整数。

5. 选择题中给出的是5个选项：30, 35, 40, 50, 55。分别计算 x = 180 - ##3y##，并验证其中可合适的值。

6. 通过对所有选项进行计算和验证，检查每个选项 x，在 x = 180 - ##3y## 下，结果为整数。因此得出选项的答案，其中x=30即可满足条件，y=##50##，满足为整数的情况。

直线; 邻补角; 对顶角

邻补角的定义

<note>角 ABE 和角 EBC 有一条公共边 BE</note>，<note>它们的另一边 BA 和 BC 互为反向延长线</note>，所以角 ABE 和角 EBC 互为邻补角，因此 x + ##3y## = 180 度。


Question: 图中两个半圆的圆心分别是R和S。如果RS = 12，暗曲线的总长度是多少？

Answer: 12*\pi

1. 已知 RS = 12，其为两半圆的圆心距，根据半圆性质，RS 等于两个半圆的半径之和。假设下方半圆的半径为 r，上方半圆的半径为 R，则有 r + R = 12。

2. 根据几何图形性质，##我们看到下方半圆和上方半圆的总弧长度构成了暗色曲线的总长度，设下方半圆与l的切点为A、B，上方半圆与l的切点为B、C。##。因此，##计算这两个半圆的弧长之和##。

3. 下方半圆的半径为 r，因此其##弧长##为## θ * r##；上方半圆的半径为 R，因此其##弧长##为 ## θ * R##。

4. 因此，暗色曲线的总长度为 ##θ * r +  θ * R##。

5. 因为 r + R = 12，因此  ##θ * r +  θ * R##= ## θ##(r + R) = ##θ ##* 12，##由于图中θ=180°=π##。

6. 通过计算得出，暗色曲线的总长度为 12π。

7. 因此，经过上述推理，最终得出答案为 12π。

半圆的定义

半圆是由直径和一段圆弧构成的几何图形，即一个圆被直径分割成的两个面积相等的部分。

<note>在本题图中，下方的半圆以R为中心，由直径##AB##和下方的圆弧构成</note>；<note>上方的半圆以S为中心，由直径##BC##和上方的圆弧构成</note>。<note>两个半圆的直径##AB、BC##都位于直线l上</note>。

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

<note>线段RS是连接两个半圆圆心的距离</note>，其长度为12。根据定义，<note>直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径</note>。因此，<note>RS不是直径，而是两个半圆的半径之和</note>。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

<note>下方半圆的圆心是R</note>，任意一点在半圆上的点到R的距离为r；<note>上方半圆的圆心是S</note>，任意一点在半圆上的点到S的距离为R。根据题意，<note>RS = r + R = 12</note>。

扇形的弧长公式

扇形的弧长L等于圆心角θ（以弧度制表示）乘以半径r：L = θr

<note>扇形RAB中，圆心角ARB为θ（以弧度制表示）</note>，<note>半径为 r</note>。根据扇形的弧长公式，弧长L等于圆心角θ乘以半径r，即L = θ * r。<note>扇形SBC中，圆心角BSC为θ（以弧度制表示）</note>，<note>半径为R</note>。根据扇形的弧长公式，弧长L等于圆心角θ乘以半径R，即L = θ * R。


Question: 点 O 是上图中两个圆的圆心。如果大圆的周长是 36 并且小圆的半径是大圆半径的一半，阴影弧的长度是多少？

Answer: 4

1. 已知条件为：大圆的周长是36，并且小圆的半径是大圆半径的一半，设大圆的半径为R，小圆的半径为R/2。

2. 根据周长公式C=2πr可得，大圆的周长为36，由此可以求得大圆的半径R。计算如下：36 = 2πR, 得 R = 36 / 2π = 18 / π。

3. 由大圆的半径R，我们可以知道小圆的半径是R/2，即18 / π / 2 = 9 / π。

4. 题目中要求计算小圆上弧长暗弧部分的长度，且已知该暗弧部分的圆心角为80°。

5. 根据弧长公式L = rθ (其中r是半径，θ是弧度的圆心角)，需要将80°转化为弧度。根据公式将度数转弧度：80° * π / 180° = 4π / 9。

6. 把小圆的半径和弧度代入弧长公式得到弧长L：L = (9 / π) * (4π / 9) = 4。

7. 经过上述推理，最终得出答案为4。

圆的周长公式

圆的周长是圆周的长度，可以通过公式C=2πr计算，其中C是周长，r是半径。

<note>在本题图中，大圆中，点O是圆心，线段从O到大圆的圆周是半径R</note>。根据圆的周长公式，圆的周长<note>C等于2π乘以半径R，即C=2πR</note>。已知大圆的周长为36，因此可以求得<note>大圆的半径R=36/2π=18/π</note>。

扇形的弧长公式

扇形的弧长L等于圆心角θ（以弧度制表示）乘以半径r：L = θr。

在本题图中，要求计算小圆的暗弧部分的弧长。小圆的<note>半径为9/π</note>，<note>圆心角为80°</note>。<note>80°转换为弧度为4π/9</note>，因此根据<note>扇形的弧长公式L=rθ</note>，弧长为<note>L=(9/π)*(4π/9)=4</note>。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

<note>点O是大圆和小圆的圆心</note>，设大圆的半径为R，则小圆的半径为R/2。在已知大圆周长为36的情况下，得到<note>大圆的半径R=18/π</note>，由此得出<note>小圆半径为R/2=9/π</note>。####


Question: 在上图中，点 O 位于直线 AB 上。x 的值是多少？

Answer: 144

1. 已知条件为点O在直线AB上，根据线性角和的性质，得出∠BOA = 180°。

####

##2.## 由于这些角度在直线AB上以点O为顶点依次相邻，我们可以通过累加这些角度来等于∠BOA。

##3.## 因此，(x°/6) + (x°/4) + (x°/3) + (x°/2) = 180°。

##4.## 将这些分数化成同分母进行加法运算，即：x/6 + x/4 + x/3 + x/2。

##5.## 通分这些分数，即分子和分母都乘以公分母的倍数，公分母为12，故：(2x/12) + (3x/12) + (4x/12) + (6x/12) = 180°。

##6.## 再次简化分子，合并同类项，即：(2x + 3x + 4x + 6x)/12 = 180°。

##7.## 化简分母后合并为(15x/12) = 180°。

##8.## 通过消除分母12，得出：15x = 2160°。

##9.## 然后通过除以15得出：x = 144°。

##10.## 经过上述推理，最终得出答案为x = 144°。

邻补角的定义

在本题图中，点<note>O在直线AB上</note>，角<note>(x°/6) + 角(x°/4)</note>与角<note>(x°/3) + 角(x°/2)</note>这两个大角有一条<note>公共边</note>，它们的另一边分别是<note>OA和OB，且互为反向延长线</note>，因此角<note>(x°/6) + 角(x°/4)</note>与角<note>(x°/3) + 角(x°/2)</note>这两个大角互为邻补角，这两个大角的和为180°，即<note>(x°/6) + (x°/4) + (x°/3) + (x°/2) = 180°。</note>

角的定义

角是由两个有公共端点的射线组成的几何图形，其中的公共端点称为角的顶点，两条射线称为角的边。

<note>角(x°/6)，角(x°/4)，角(x°/3)，角(x°/2)</note>是分别由两条射线组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点<note>O</note>，这个端点<note>O</note>称为<note>角(x°/6)，角(x°/4)，角(x°/3)，角(x°/2)</note>的顶点，两条射线成为<note>角(x°/6)，角(x°/4)，角(x°/3)，角(x°/2)</note>的边。


Question: 上图由25个全等的等边小三角形组成。如果△DFH的面积是10，那么△AFK的面积是多少？

Answer: 62.5

1. 从图中可知，△DFH是由4个小三角形构成，已知△DFH的面积是10，由于全等的小三角形面积也相等，可以求得单个小三角形的面积是10/4=2.5。

2. 因为△AFK是由25个全等小三角形组成的。所以△AFK的面积=2.5*25=62.5。

等边三角形; 平移; 普通三角形

等边三角形的定义

等边三角形是所有三条边长度相等并且所有内角都相等（均为60°）的三角形。

在本题图中，<note>小三角形、△DFH 和 △AFK 均为等边三角形</note>。<note>小三角形的三条边长度相等，并且三个内角均为60°</note>。<note>△DFH的边DF、DH和FH长度相等，并且角∠DFH、∠FDH和∠DHF均为60°</note>。<note>△AFK的边AF、AK和FK长度相等，并且角∠AFK、∠FAK和∠KAF均为60°</note>。


Question: 在上图中，圆的圆心为P，半径为r。直线AB和AC与圆相切。如果M是线段AC的中点，并且∠PMC的度数等于∠MPC的度数，那么线段PA的长度（以r表示）是多少？

Answer: r*\sqrt{5}

1. 已知条件中，线段 AB 和 AC 分别为圆的切线，根据切线与圆的性质，我们可以得到圆心点 P 到切点的连线 PB 和 PC 分别与切线垂直####。

2. 根据条件 M 是线段 AC 的中点，可以得到 AM = MC。

3. 题目中给出的条件是角 PMC 与角 MPC 的度数相等。##由于PC垂直切线AC,所以∠PCN是90°，所以三角形PMC是等腰直角三角形，PC＝MC##

####

##4. 由于 AM = MC = PC＝r,三角形APC是直角三角形，AC＝2MC＝2r，PC＝r， 因此由勾股定理可知。PA^2等于AC^2＋PC^2，代入AC与PC可求 PA^2等于 = 5r^2 ，##。

##5. ##因此 PA = r * √5 ，最终答案为 r * √5 。

圆; 切线; 等腰三角形; 中点; 线段

圆的切线定义

圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。

线段中点

线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。

<note>线段AC的中点为点M</note>。根据线段中点的定义，<note>点M将线段AC平分为两个相等的部分</note>，即<note>线段AM和线段MC的长度相等</note>。即，<note>AM = MC</note>。

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

在本题图中，三角形PMC中，<note>边PC</note>和<note>边MC</note>相等，因此三角形PMC是一个等腰三角形。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。


Question: 在上图中，ABCDEF是一个正六边形，它的中心是点O。x的值是多少？

Answer: 60

1. 连接OC，形成中心角BOC。已知条件为 ABCDEF 是正六边形，且其中心为点 O。根据中心角的定义和计算公式，每个中心角=360/6=60°，即∠=60°。

2. 因为正六边形上每一条边与中心连线形成等腰三角形，所以OB=OC，因此BOC是等腰三角形。

3. 根据等腰三角形的性质，有∠OBC=∠OCB。

4. 在三角形OBC中，根据三角形内角和定理，可以求得x=(180-60)/2=60。
<br4. 最终得出 x 的值为 60。

六边形; 正多边形; 圆心角; 对称

正六边形

正六边形是一种每个内角都相等且每条边的长度都相等的六边形。

<note>正六边形 ABCDEF</note> 中，每个内角都相等且每条边的长度都相等。具体来说，<note>正六边形的每个内角都是120度</note>，每条边的长度相等，即 <note>AB=BC=CD=DE=EF=FA</note>。

中心角的定义

中心角是指一个正多边形的相邻的两个顶点与它的中心的连线的夹角。中心角也可以表示为正多边形每一边所对的外接圆的圆心角。

在本题图中，<note>角BOC</note>是一个<note>中心角</note>，它由正多边形的<note>中心O</note>与相邻两个<note>顶点B和C</note>的连线所形成。根据中心角的定义，<note>角BOC</note>是正多边形的中心角，且它的大小等于正多边形每一边所对应的<note>外接圆的圆心角</note>。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

<note>等腰三角形 BOC</note>  中，边 <note>BO</note> 和边 <note>CO</note> 相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即 <note>∠OBC</note> = <note>∠OCB</note>。

正多边形的中心角与内角公式

正多边形的中心角度数为 360° 除以边数，每个内角度数为 (边数 - 2) * 180° / 边数。

<note>正六边形中心角 ∠BOC = 360° / 6 = 60°</note>；<note>内角 ∠ABC = (6-2) * 180° / 6 = 120°</note>。

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形BOC中，角OBC、角OCB和角BOC是三角形BOC的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角BOC + 角OCB + 角OBC = 180°</note>。


Question: 在上图中，如果 l || m 且 r = 91，那么 t + u =

Answer: 178

1. 根据题意和题中所给图示，给定直线 l 平行于直线 m（l || m），并且∠r = 91°。因此可以求得∠r 位于直线n同侧的邻补角∠v=180°-∠r = 89°

2. 当前分析图中，直线 n 是直线 l 和 m 的横截线。因此，根据平行线的平行公理2，同位角的关系是相等的，即：∠v =∠t = 89°。

3. 因为 ∠u和 ∠t 是对顶角，所以∠u =∠t = 89°= 180°。

4. 求两角的和即可得到：∠t + ∠u = 89° + 89° = 178°。

12. 经过上述推理，最终得出答案为178。

平行线; 内错角; 同旁内角; 对顶角; 邻补角

对顶角的定义

对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。

<note>直线 n 与直线 m 相交于点 O</note>，形成四个角。根据对顶角的定义，<note>∠u 和 ∠t 是对顶角</note>，由于对顶角的角度相等，所以 <note>∠u = ∠t</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>直线 l 平行于直线 m（l || m）</note>，<note>横截线 n 截两条平行直线</note>。因此 <note>∠v 和 ∠t 是同位角</note>，<note>∠v = ∠t</note>。

同位角定义

两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。

<note>直线 l 平行于直线 m（l || m）</note>，横截线 n 截两条平行直线。其中<note>角v和角t位于截线n的同旁，被截两直线l和m的同一侧</note>，因此<note>角v和角t是同位角</note>。同位角相等，即<note>角v等于角t</note>。


Question: 在上图中，直线l和m不平行。以下哪个不能是x的值？

Answer: 90

1. 已知条件为：直线l和m不平行，并且有一条垂直于直线l的直线k，交点为直线l上的点且形成直角。若直线k在交点下方与直线m的交角为x度。

2. 当l与m平行时，根据平行线的平行公理2，同位角相等，有x=90度。

3. 由于直线l和m不平行，x不可能为90度。

垂线; 邻补角; 对顶角; 内错角; 同旁内角

垂线定义

如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>两条平行线l和m</note>被<note>第三条直线k所截</note>，形成了以下几何关系：1. <note>同位角：图中直角标记的角和角x相等</note>。

同位角定义

<note>两条平行直线l和m</note>被<note>一条直线k</note>截交，其中<note>直角标记的角和角x位于截线k的同旁，被截两直线l和m的同一侧</note>，因此<note>直角标记的角和角x是同位角</note>。同位角相等，即<note>x=90度</note>。


Question: 四条直线穿过如图所示矩形的中心。矩形的阴影部分面积占整个矩形面积的几分之几？

Answer: 1/4

1. 观察题目所给的图形，根据题目已知条件有四条直线通过矩形的中心相交，将矩形划分成若干三角形。

2. 由题目图形结构可分解成八个三角形，其中，##阴影部分的三角形是交错的##。

##3. 在矩形中，对角线将矩形分割成的四个三角形面积是完全相等的。##

4. 根据图中的对称性，我们假设矩形的长为a，宽为b，那么其总面积为a*b。

##5. 由于矩形是中心对称图形，经过矩形中心的直线将矩形分割出来的图形是两两对称的，另外两条直线将上下两个大三角形分割成的六个小三角形，两两面积相等。##

6.由对称策略以及均匀拼图推算法，##得到阴影部分面积和=下方大三角形的面积##。

##7. 由于对角线划分出来上下左右四个大三角形的面积相等，因此阴影部分面积=a*b/4。##

8. 经过上述推理，最终得出答案为1/4。

矩形的定义

矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。

<note>四边形是一个矩形</note>，其内角都是<note>直角（90度）</note>，且<note>相对的边互相平行并等长</note>。矩形的中心为<note>四条直线的交点</note>，<note>相对的边分别为a和b</note>。

对称性

对称性指的是一个几何图形或模式在某些操作（如旋转、反射或平移）下保持不变。

<note>在本题图中，图形具有对称性。具体来说，图形关于矩形中心的</note>对角线交点<note>对称，</note>中心点就是矩形的对称中心<note>。矩形的每一部分在对称中心的另一侧都有一个对称的对应部分。</note>

矩形的对角线性质

在矩形中，对角线相等且互相平分。

<note>矩形的对角线</note>相等且<note>互相平分</note>，即<note>两条对角线的交点</note>是<note>两条对角线的中点</note>。


Question: 在上图的三角形ABC中，∠BAC的平分线垂直于BC于点D。如果AB = 6且BD = 3，求∠BAC的度数？

Answer: 60

1. 已知角BAC的平分线AD垂直于BC，且BD = 3，说明AD为##三角形ABC##的高，由此可知△ABD和△ACD为直角三角形。

2. 由于AD为角BAC的平分线，则有∠BAD = ∠CAD。

3. 在直角三角形ABD中，已知AB = 6，BD = 3，根据勾股定理可知：AD = √(AB^2 - BD^2) = √(6^2 - 3^2) = √(36 - 9) = √27 = 3√3。

####

##4##. 在直角三角形ABD中，根据正弦定理：sin(∠BAD) = 对边/斜边 = BD/AB = 3/6 = 1/2。

##5##. 由正弦定理的逆定理，∠BAD = 30°。

##6##. 因为∠BAD = ∠CAD，所以∠BAC = ∠BAD + ∠CAD = 30° + 30° = 60°。

##7##. 经过上述推理，最终得出答案为60°。

普通三角形; 垂线; 直角三角形

角平分线定义

角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>在本题图中，三角形ABD中，角ADB是直角（90度）</note>，因此三角形ABD是一个直角三角形。<note>边AD和边BD是直角边，边AB是斜边</note>。同理，<note>三角形ACD中，角ADC是直角（90度）</note>，因此三角形ACD是一个直角三角形。<note>边AD和边DC是直角边，边AC是斜边</note>。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

正弦定理

在本题图中，在直角三角形ABD中，<note>边BD、AD和AB分别对应角∠BAD、##∠ABD 和∠BDA##</note>。根据正弦定理，<note>各边的长度与其所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径</note>，即：<note>BD/sin(∠BAD)=AD/sin(##∠ABD##)=AB/sin(##∠BDA##) = 2r = D（其中r为外接圆半径，D为直径）</note>。####


Question: 在上图中，PQRS是一个矩形。三角形RST的面积是7，并且PT=2/5*PS。PQRS的面积是多少？

Answer: \frac{70}{3}

1. 已知条件为 PQRS 是一个矩形，并且三角形 RST 的面积为 7。根据矩形的性质，PQ = RS 和 QR = PS。

2. 设 PS = b，则 PT = 2/5 * PS = 2b/5。因为 ST 是从 PS 上的点 T 出发到点 S 的线段，则 ST = PS - PT = b - 2b/5 = 3b/5。

3. 使用三角形面积公式，三角形 RST 的面积为 S = 1/2 * RS * ST * sin∠RST。 因为 PQRS 是矩形所以 RS = PQ，并且 ∠RST 是直角。

4. 因 RS = PQ = a，则根据 S = 1/2 * RS * ST 的形式可得， 7 = 1/2 * a * (3b/5)，解得：ab = 70/3。

5. 矩形 PQRS 的面积为 PQ * PS = a * b，根据已解得的 ab 表达式，得出 PQRS 的面积为 (70/3)。

6. 最后计算得到矩形 PQRS 的面积为 70/3。

矩形; 线段; 普通三角形

矩形的定义

矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。

在本题图中，四边形PQRS是一个矩形，其内角<note>∠PQR, ∠QRS, ∠RSP, ∠SPQ都是直角（90度）</note>，且<note>边PQ与边RS平行且等长</note>，<note>边QR与边PS平行且等长</note>。

线段的定义

线段是一个直线的一部分，包含两个端点及其间的所有点。

<note>线段PQ是一个直线的一部分，包含端点P和端点Q及其间的所有点。</note> 线段QR是一个直线的一部分，包含端点Q和端点R及其间的所有点。 <note>线段RS是一个直线的一部分，包含端点R和端点S及其间的所有点。</note> 线段PS是一个直线的一部分，包含端点P和端点S及其间的所有点。

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

<note>三角形 RST</note> 是由<note>三个非共线点 R、S、T</note> 及其连接线段<note>RS、ST、TR</note> 组成的几何图形。<note>点 R、S、T</note> 分别是三角形的<note>三个顶点</note>，<note>线段 RS、ST、TR</note> 分别是三角形的<note>三条边</note>。

矩形的面积公式

矩形的面积等于其长度乘以其宽度。

<note>矩形 PQRS</note>中，<note>边 PQ 和边 PS 是矩形的长和宽</note>，所以<note>矩形的面积 = PQ * PS</note>。

三角形的面积公式

任意三角形的面积等于其底乘以高除以2

在本题图中，三角形 RST 中，<note>边 RS 是底</note>，<note>线段 ST 是高</note>。根据三角形的面积公式，三角形 RST 的面积等于<note>底边 RS 乘以高 ST 再除以2</note>，即<note>面积 = (RS * ST) / 2</note>。


Question: 在上图中，点 P 在直线 l 上。x 的值是多少？

Answer: 36

1. 图中显示点 P 位于直线 \( l \) 上，## 设直线l上在点P右边找一点为点E，直线l上在点P左边找一点为点F，此时有五个角\( \angle APF,\angle APB, \angle BPC, \angle CPD, \angle DPE \)分别相等 ##，每个为 \( x \) 度。

2. ##因为$\angle FPE$是一个平角，也就是 \(\angle FPE = 180^{\circ} \)。 由此可得：五个角 \(\angle APF+\angle APB+ \angle BPC+ \angle CPD+ \angle DPE  = 180^{\circ} \) ##。

3. 利用上述等式表示角度大小，即有：

4. ## \[ x + x + x + x + x = 180^{\circ} \] ##

5. 将上述方程化简后得到 ## \( 5x = 180^{\circ} \) ##。

6. 对整个方程进行除法以求单个 x, ## 即\( x = \frac{180^{\circ}}{5} \) ##。

7. 经过计算，我们得知 ## \( x = 36^{\circ} \) ##，

8. 因此，本题的解答结果是:选项 (E).

平角的定义

<note>射线PE绕着端点P旋转到与起始边成一条直线</note>，形成<note>平角FPE</note>。根据<note>平角的定义</note>，平角的度数为180度，即<note>角FPE=180度</note>。


Question:
在上图中，一个有阴影的多边形具有等边和等角，并且部分被一张空白纸覆盖。如果 x + y = 80，这个多边形有多少条边？
(A) Ten
(B) Nine
(C) Eight
(D) Seven
(E) Six

Answer: Nine

1. 已知条件为等边等角多边形，x 和 y 为其外角的一部分，x + y = 80。

2. 根据四边形的内角和定理，任何四边形的内角和等于 360 度。

3. 则该正多边形两个内角的和等于360度减去(x + y)。

4. 由于题目给出 x + y = 80，故有一个内角的值为： (360-80) /2= 140。

5. 因此正多边的一个外角=180-140=40度，根据正多边形的外角定理，360/n =40，求得n=9。

6. 因此，该多边形有9个边。

多边形的外角定义

多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。

在本题图中，<note>多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角</note>称为<note>这个内角的外角</note>。

四边形的内角和定理

在任意四边形中，四个内角的和为360°。

在本题图中，四边形中，<note>角x</note>、<note>角y</note>和<note>正多边形的两个内角</note>是四边形的四个内角，根据四边形的内角和定理，这四个内角的和为360°，即<note>角x + 角y + 正多边形的两个内角 = 360°</note>。

正多边形的外角定理

正 n 边形的每一个外角等于 360/n 度。

<note>假设该多边形为正 n 边形</note>，则每个外角为 <note>360/n 度</note>。由于求得一个外角为<note>40度</note>，因此<note>360/n = 40 度</note>。


Question: 在上图中，三条直线相交于一点。如果 f = 85 且 c = 25，那么 a 的值是多少？

Answer: 70

1. 根据题意，三条直线交于一点。已知∠f = 85°，∠c = 25°。

2. 由于∠f、∠a和##∠g##是关于交点的一组共点角，它们之间满足角的和为180°，即∠f + ∠a + ##∠g## = 180°。

3. ##根据平角的定义，##代入已知数据，得到85° + a + 25° = 180°。

4. 求解这个方程，得到a = 180° - 85° - 25°。

5. 计算得到a = 70°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为70°。

平角的定义

<note>在本题图中，角a和角b之间的射线绕着端点（三条直角的交点）旋转到与起始边成一条直线，形成平角</note>。根据平角的定义，平角的度数为180度，即<note>∠f + ∠a + ∠g = 180°</note>。

对顶角的定义

对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。

在本题图中，三条直线相交于一点，形成六个角：∠a、∠b、∠c、<note>∠g</note>、∠e和∠f。根据对顶角的定义，∠a和<note>∠e</note>是对顶角，∠b和<note>∠f</note>是对顶角，∠c和<note>∠g</note>是对顶角。由于对顶角的角度相等，所以∠a=<note>∠e</note>，∠b=<note>∠f</note>，∠c=<note>∠g</note>。


Question: 在上图中，y的值是多少？

Answer: 60

1. 已知条件为4x度和2x度为邻补角，得出180度 = 4x+2x。

2. 解方程得到x=30度。

3.又因为y度和4x度为邻补角，有y+4x=180度，代入x=30度，求y的值。

4. y =180- 4x =180-4*30=180-120=60度。

5. 经过上述推理，最终得出答案为answer = 60。

邻补角的定义

在本题图中，<note>角4x和角2x有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线</note>，所以<note>角4x和2x互为邻补角</note>。同样地，<note>角4x和角y有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线</note>，所以<note>角4x和y互为邻补角</note>。


Question: 矩形ABCD被划分为两个相同的正方形区域，如上图所示。如果每个正方形的面积是9，ABCD的周长是多少？

Answer: 18

1. 已知每个正方形的面积为9。假设每个正方形的边长为x，根据正方形的面积公式，边长为正方形面积的平方根，即x = √9 = 3。

2. 由于矩形ABCD被分成两个相同的正方形，因此两个正方形的边长等于矩形的宽，其中宽AB = 3。

3. 矩形的长是两个正方形的边长之和，因此AD = 2 * 3 = 6。

4. 利用矩形的周长公式，周长 = 2 * (长 + 宽)，将已知值代入，得矩形ABCD的周长为2 * (6 + 3) = 18。

5. 经过上述推理，最终得出答案为18。

矩形; 正方形; 平行线; 线段

正方形的定义

正方形是一种平面四边形，其四条边相等且四个内角均为直角（90度)。

在本题图中，矩形ABCD被划分为两个相同的正方形区域，<note>∠A，∠B，∠C，∠D均为直角</note>，设线段EF分别交于边BC于E，交边AD于F，根据题设，<note>∠AFE，∠BEF，∠CEF，∠DFE也均为直角</note>，<note>边AF，边FE，边FB和边BA相等</note>，<note>边FD，边DC，边CE和边EF相等</note>，所以<note>ABFE和FDCE是两个正方形</note>。

矩形的周长公式

矩形的周长等于其长边长度和短边长度之和的两倍，即 P = 2(l + w)。

矩形的面积公式

矩形的面积等于其长度乘以其宽度

<note>正方形ABFE和正方形FDCE是两个相等的正方形，同时也是特殊的矩形</note>，所以<note>正方形的面积=边长*边长</note>，已知<note>正方形面积为9</note>，所以根据正方形的面积公式，边长为正方形面积的平方根，即<note>x = √9 = 3</note>。


Question: 在上图中，小圆的半径均为3。它们在点A和C处与大圆相切，并且在点B处相互相切，B是大圆的圆心。阴影区域的周长是多少？

Answer: 12*\pi

1. 已知条件为：小圆的半径均为3，且它们分别与大圆在点A和C相切，并在点B相切，点B是大圆的圆心。根据圆的性质，切点处的切线是圆的半径的垂线。

2. 因为点B是两个小圆的##切点处##，所以##AB = 6##和##BC = 6##。同时，点B是大圆的圆心，因此大圆的半径为##AB = BC = 6##。

3. 我们要计算阴影区域的周长。##阴影区域的周长是大圆的一半加上两个小圆的各自一半，因为两个小圆的半径相等即周长相等，所以也就是大圆的一半周长加上一个小圆的周长##。

4. 大圆周长为2 * π * 6 = 12π。

5. 每个小圆的周长为2 * π * 3 = 6π。

6. ##阴影区域的周长由大圆的一半周长和一个小圆的周长组成##。因为小圆的总共周长是6π，##大圆的总共周长是12π##。

####

##7##. 经过上述分析，##大圆的一半周长为12π/2=6π，小圆部分的圆周为2 * 3π=6π，故阴影部分周长为 6π + 6π = 12π ##。

##8##. 因此，最终得出答案为阴影区域的周长为##12π##。

圆的定义

到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。

<note>在本题图中，大圆中，点B是圆心，半径为6。</note>图中所有到点B的距离等于6的点都在大圆上。两个小圆中，<note>点A和点C分别是与大圆相切的切点。</note>半径均为3。<note>图中左侧小圆上点A到小圆圆心的距离是3，右侧小圆上点C到小圆圆心的距离是3。</note>

两圆相切的定义

两圆相切是指两圆有一个公共切点且其切线重合。

在本题图中，<note>大圆与左侧小圆在点A相切</note>，<note>大圆与右侧小圆在点C相切</note>，<note>两个小圆在点B相切</note>。<note>点A、点B和点C分别是两圆的公共切点</note>。切线在<note>点A、点B和点C处与两圆相切</note>。因此，<note>大圆与左侧小圆在点A处相切</note>，<note>大圆与右侧小圆在点C处相切</note>，<note>两个小圆在点B处相切</note>。

圆的周长公式

圆的周长是圆周的长度，可以通过公式C=2πr计算，其中C是周长，r是半径。

<note>大圆中，点B是圆心</note>，<note>线段AB和BC是半径r=6</note>。根据圆的周长公式，圆的周长C等于2π乘以半径r，即C=2πr，所以大圆的周长为2 * π * 6 = 12π。<note>小圆中，点A和C是圆心</note>，<note>两个小圆的半径都是r=3</note>。根据圆的周长公式，圆的周长C等于2π乘以半径r，即C=2πr，所以每个小圆的周长为2 * π * 3 = 6π。


Question: 上图显示了六个直角三角形。x^2 + y^2 的值是多少？

Answer: 21

1. 设√3所在的直角三角形为ABC，ｘ所在的直角三角形为CDE，√6所在的直角三角形为GHE，√10所在的直角三角形为BFG。

2. 在三角形BFG、ABC和GHE中根据勾股定理可以求得BG、BC和GE的长度，BG^2=(10+7)=17，BC^2=(3+3)=6，EG^2=(4+6)=10。

3. 在三角形BGE中，使用勾股定理，可以求得BE^2=BG^2+EG^2=27。

4. 在三角形BCE中，根据勾股定理，可以求得CE^2=BE^2-BC^2=21。

5.最后，在三角形CDE中，根据勾股定理有：CE^2=x^2+y^2=21。

6. 经过上述推理，最终得出答案为21。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>直角三角形ABC</note>中，斜边为<note>BC</note>，两个直角边分别为<note>√3和√3</note>。因此，根据勾股定理，我们有：<note>BC^2 = (√3)^2 + (√3)^2 = 3 + 3 = 6</note>。<note>直角三角形BFG</note>中，斜边为<note>BG</note>，两个直角边分别为<note>√10和√7</note>。因此，根据勾股定理，我们有：<note>BG^2 = (√10)^2 + (√7)^2 = 10 + 7 = 17</note>。<note>直角三角形GHE</note>中，斜边为<note>GE</note>，两个直角边分别为<note>√6和2</note>。因此，根据勾股定理，我们有：<note>GE^2 = (√6)^2 + 2^2 = 6 + 4 = 10</note>。<note>直角三角形CDE</note>中，斜边为<note>CE</note>，两个直角边分别为<note>x和y</note>。因此，根据


Question: 在上图中，l || m。以下哪一项必须等于180？

Answer: k + p + s

1. 已知 l ∥ m，根据平行线的平行公理2，内错角相等，可得：∠k = ∠r。

2. 根据平角的定义，有：∠r + ∠s + ∠p = 180°。

3.代入第一步的结论，可得∠k + ∠s + ∠p = 180°。

4. 因此，在给定选项中，(B) k + p + s是答案。

平行线; 同旁内角; 对顶角

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

在本题图中，<note>直线l ∥ m</note>，<note>直线np是截线</note>，形成了以下几何关系：<note>内错角∠k=∠r</note>。

内错角的定义

当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。

<note>两条平行直线l和m</note>被一条<note>直线截交</note>，其中<note>角k和角r位于两平行线之间</note>，且在<note>截线的对侧</note>，因此<note>角k和角r是内错角</note>。内错角相等，即<note>角k=角r</note>。


Question:
在上图中，角x, y和z的度数之和是多少？
a. 180 degrees
b. 360 degrees
c. 540 degrees
d. 720 degrees
e. 无法确定

Answer: 360

1. 已知∠x、∠y和∠z构成三角形的三个外角。

2. 根据多边形外角和定理，任意多边形的外角和等于360°，即∠x + ∠y + ∠z = 360度。

3. 经过上述推理，最终得出答案为360度。

对顶角; 邻补角; 直线

多边形外角和定理

任意多边形的外角和等于360°。

在本题图中，三条直线所围成的三角形中，每个顶点的外角分别是<note>∠x、∠y和∠z</note>。根据<note>多边形外角和定理</note>，这些外角的和等于<note>360°</note>，即<note>∠x + ∠y + ∠z = 360°</note>。

多边形的外角定义

多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。

<note>∠x、∠y和∠z构成三角形的三个外角</note>。


Question:
如果 p || q，下列哪个等于80？
 a. a
 b. b
 c. c
 d. d
 e. e

Answer: e

1. 已知条件为直线 p 平行于直线 q (p || q)，根据平行线的##同位##角相等的性质，可以得出## ∠e = 80°##。

####

##2##. 检查选项中内容，选项 e 中的角 ∠e 与前述推理结果一致，其值等于 80°。

经过上述推理，最终得出答案为e。

平行线; 同位角; 内错角

同位角定义

当两条平行直线被一条直线截交时，其中两条同一位置的角称为同位角。####

<note>在本题图中，直线 p 和直线 q 被直线 z 截交</note>，其中<note>80°角 和 ∠e 位于截线 z 的同旁，并且在被截两直线 p 和 q 的同一侧</note>，因此<note>80°角和 ∠e 是同位角</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>p || q</note>，<note>∠e</note> 和 <note>80°角</note> 是同位角，根据平行线的同位角相等定理，<note>∠e = 80°</note>。


Question: ∠ABC的度数是30°。BC = 10。线段BD是高。如果三角形ABC是等腰三角形，求线段AC的长度。

Answer: 5.18

1. 三角形 ABC 是等腰三角形，即 BA = BC = 10。角A=角C。

2. 已知角ABC=30度，角A=角C。根据三角形的内角和定理，可以求得：角A=角C=75度。

3. 根据正弦定理，有：AC/sin(30度)=BC/sin(75度）。

4. 代入数值，得到x ≈ 5.18。

5. 经过上述推理，最终得出答案为 5.18。

等腰三角形; 直角三角形; 正弦

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

<note>边 BA 和边 BC 相等</note>，因此三角形 ABC 是一个等腰三角形。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

在本题图中，<note>等腰三角形ABC</note>中，<note>边BA和边BC相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的<note>角相等，即角A = 角C</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形ABC中，角A、角C和角ABC是三角形ABC的三个内角</note>，根据<note>三角形内角和定理</note>，<note>角A + 角C + 角ABC = 180°</note>。

正弦定理

<note>边AB、BC和AC分别对应角C、A和ABC</note>。根据正弦定理，各边的长度与其所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径，即：<note>AB/sin(角C)=AC/sin(角ABC)=BC/sin(角A)</note> = 2r = D（<note>其中r为外接圆半径，D为直径</note>）。


Question: 在上图中，AB = 6 且 BC = 8。线段 BD 的长度是多少？

Answer: 4.8

1. 已知条件为AB = 6和BC = 8，并且在图中可以看到∠BDA为直角。根据直角三角形中斜边上的高性质，△BDA和△BCA是相似三角形。

2. 根据相似三角形的定义，在△BDA和△BCA中，有对应边成比例，即BA/AC = BD/BC。

3. 在△BCA中根据勾股定理，可以求得AC等于10，将已知条件代入此比例关系式中，BA/AC = BD/BC可化为6/10 = BD/8。

4. 通过解比例得出BD = 6/ 10*8 = 48 / 10 = 4.8。

5. 经过上述推理，最终得出答案为4.8。

直角三角形; 垂线; 线段

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>三角形BDA和三角形BCA是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>∠BDA = ∠CBA</note>, <note>∠A = ∠A</note>, <note>∠DBA = ∠C</note>；<note>BA/AC = BD/BC</note>。

直角三角形中斜边上的高性质

在直角三角形中，斜边上的高所形成的两个三角形与原三角形相似。

高的定义

从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。

在本题图中，从顶点B垂直于对边AC的<note>线段BD是该顶点B的高</note>。<note>线段AC与边BD形成一个直角（90度）</note>，这说明<note>线段BD是从顶点B到对边AC的垂直距离</note>。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>直角三角形ABC中</note>，<note>角ABC是直角（90度）</note>，<note>边BA和BC是直角边</note>，<note>边AC是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>AC² = BA² + BC²</note>。


Question:
在上图中，AC = 6 且 BC = 3。点 P 位于 A 和 B 之间的 AB 线上，使得 CP 垂直于 AB。以下哪一项可能是线段 CP 的长度？
(A) 2
(B) 4
(C) 5.25
(D) 7
(E) 8

Answer: 5.25

1. 假设ΔACP和ΔBCP是两个直角三角形，线CP是它们的公共垂直边且与线AB垂直。

2. 根据题意，取线段AP = x和PB = AB - x，并且AC = 6，BC = 3。

3. 在ΔACP中，应用勾股定理：AC^2 = AP^2 + CP^2，即6^2 = x^2 + CP^2，得到36 = x^2 + CP^2。

4. 在ΔBCP中，应用勾股定理：BC^2 = PB^2 + CP^2，即3^2 = (6 - x)^2 + CP^2，化简得到9 = (6 - x)^2 + CP^2。

5. 求解两个方程，计算得 x= 5.25。

6. 经过上述推理，最终得出答案为5.25。

垂线; 直角三角形; 普通三角形; 线段; 点

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

在本题图中，三角形ACP中，<note>角APC是直角（90度）</note>，因此三角形ACP是一个直角三角形。<note>边AP和边CP是直角边</note>，<note>边AC是斜边</note>。三角形BCP中，<note>角BPC是直角（90度）</note>，因此三角形BCP是一个直角三角形。<note>边BP和边CP是直角边</note>，<note>边BC是斜边</note>。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

在本题图中，直角三角形ACP中，<note>∠APC是直角（90度）</note>，<note>边AP和边CP是直角边</note>，<note>边AC是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>AC^2 = AP^2 + CP^2</note>，即6^2 = x^2 + CP^2；同样在直角三角形BCP中，<note>∠BPC是直角（90度）</note>，<note>边BP和边CP是直角边</note>，<note>边BC是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>BC^2 = PB^2 + CP^2</note>，即3^2 = (6 - x)^2 + CP^2。


Question: 下图的面积是多少？

Answer: 120

1. 已知条件为底边长是20，高是12。根据几何图形的面积公式，对于一个三角形，其面积为(底边 × 高) / 2，得出三角形的面积可以表示为(20 × 12) / 2。

2. 计算得出：面积 = (20 × 12) / 2 = 240 / 2 = 120。

3. 经过上述推理，最终得出答案为120。

等腰三角形; 直角三角形; 线段

高的定义

从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。

<note>从顶点垂直于底边（或其延长线）的线段是该顶点的高</note>。<note>线段与底边（或其延长线）形成一个直角（90度）</note>，这说明线段是从顶点到底边（或其延长线）的垂直距离。底边长为20，高为12。

三角形的面积公式

任意三角形的面积等于其底乘以高除以2

<note>三角形的底边长为20，高为12</note>。根据三角形的面积公式，<note>三角形的面积</note>等于<note>底边乘以高再除以2</note>，即面积 = (20 × 12) / 2 = 120。


Question: 在上图中，AB = 6 且 BC = 8。三角形ABC的面积是多少？

Answer: 12*\sqrt{3}

1. 已知条件为AB = 6，BC = 8，并且角ABC = 60°，根据题意可以得出这是一个三角形的情况。

2. 依据三角形面积公式S = (1/2) * a * b * sin(C)，其中a和b为两边长，C为两边夹角，可以用来求解三角形ABC的面积。

3. 将已知边长AB = 6和BC = 8，以及角ABC = 60°代入面积公式中，得到S = (1/2) * 6 * 8 * sin(60°)。

4. 由于sin(60°) = √3/2，代入可得S = (1/2) * 6 * 8 * (√3/2) = 12√3。

5. 经过上述推理，最终得出答案为12√3。

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

在本题图中，<note>三角形ABC</note>是由<note>三个非共线点A、B、C</note>及其连接<note>线段AB、BC、CA</note>组成的几何图形。<note>点A、B、C分别是三角形的三个顶点</note>，<note>线段AB、BC、CA分别是三角形的三条边</note>，其中<note>AB = 6，BC = 8</note>，<note>角ABC = 60°</note>。

正弦函数定义

在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。

<note>sin(∠ABC)</note> 是适用于非直角三角形的正弦值，其中<note>∠ABC = 60°</note>，因此<note>sin(60°) = √3/2</note>。

三角形面积公式（使用正弦函数）

<note>三角形ABC</note>中，<note>边AB和边BC分别为6和8</note>，<note>角ABC为这两边的夹角60°</note>。根据三角形面积公式，三角形ABC的面积S可以表示为<note>S = (1/2) * 6 * 8 * sin(60°)</note>，即<note>S = (1/2) * 6 * 8 * (√3/2) = 12√3</note>。


Question: x的值是多少？

Answer: 65

1. 已知条件为：在直角三角形中，一条直角边长为25，另一条直角边长为60，斜边为x。

2. 根据勾股定理（一个直角三角形的斜边的平方等于两条直角边的平方和），设直角边为a和b，斜边为c，则有c^2 = a^2 + b^2。

3. 在本题中，a = 25，b = 60，c = x，则应用勾股定理得：x^2 = 25^2 + 60^2。

4. 计算得到：x^2 = 625 + 3600。

5. 进一步计算：x^2 = 4225。

6. 取平方根得到：x = √4225。

7. 计算√4225的值：x = 65。

8. 因此，经过上述推理，最终得出答案为65。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

'在本题图中，该三角形是<note>直角三角形</note>，其中<note>直角在左下角</note>。一条<note>直角边为25</note>，另一条<note>直角边为60</note>，对应的<note>斜边为x</note>。'

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>直角三角形中</note>，<note>一条直角边为25</note>，<note>另一条直角边为60</note>，<note>斜边为x</note>，根据勾股定理有<note>## x^2 = 25^2 + 60^2 ##</note>。计算得出：<note>## x^2 ## = 625 + 3600 = 4225</note>，因此<note>x = √4225 = 65</note>。


Question: 半圆弧AO和OB将上图中以O为圆心的圆分成两个区域。如果直径AB的长度为12，阴影区域的面积是多少？

Answer: 18*\pi

1. 已知圆心为O，直径AB的长度为12，根据圆的直径定义，圆的半径为直径的一半。因此，圆的半径r为6。

2. 圆的面积公式为##πr^2##，将r代入，得到圆的面积为##π(6) ^2##= 36π。

3. ##由于O为大圆的圆心，因此半圆AO的半径=半圆BO的半径=1/2*大圆的半径r=r/2，两条半圆弧AO、OB分别与线段AO和OB形成两个面积相等的区域，每个区域为半径=r/2的半圆##。

4. ##因此，阴影区域的面积=半径为r的半圆-半圆OA的面积+半圆OB的面积=大圆面积的一半=18π##，即阴影区域的面积为18π。

圆; 弧; 旋转; 对称

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

<note>在本题图中，圆O中，点O是圆心，点A和B是圆上的任意两点</note>，<note>线段OA和OB是从圆心O到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段OA和OB是圆的半径</note>。

圆的面积公式

圆的面积公式为A = πr^2，其中A表示面积，π是圆周率，r是圆的半径。

在本题图中，<note>以O为圆心的圆中，圆的半径是6</note>，根据圆的面积公式，<note>圆的面积A等于圆周率π乘以半径6的平方，即A = ##π(6)^2## = 36π</note>。

半圆弧的定义

半圆弧是以直径为弦并位于该弦一旁的弧。

<note>半圆弧AO和半圆弧OB</note>分别位于<note>直径AB</note>的两旁，并通过<note>点A和B连接圆心O</note>。根据半圆弧的定义，半圆弧AO和半圆弧OB覆盖了<note>圆周的一半，即180度</note>。


Question: 在上图中，四条线段在一点相交形成四个角。x 的值是多少？

Answer: 288

1. 已知4条线段相交于一点，构成四个角分别为 x/2、 x/4、 x/6 和 x/3。根据##周角的定义##，四个角之和等于360度。

2. 设四个角分别为 ∠A、∠B、∠C 和 ∠D，其中 ∠A = x/2，∠B = x/4，∠C = x/6，∠D = x/3。

3. 因为 ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360° （周角的定义）。

4. 代入已知条件 x/2 + x/4 + x/6 + x/3 = 360。

5. 找到这些角的公共分母。公共分母为12，所以将这些分数变为同一分母：x/2 = 6x/12, x/4 = 3x/12, x/6 = 2x/12, x/3 = 4x/12。

6. 于是有 6x/12 + 3x/12 + 2x/12 + 4x/12 = 360。

7. 合并分数： (6x + 3x + 2x + 4x)/12 = 360。

8. 得到式子：(15x)/12 = 360。

9. 解方程： 15x = 360 * 12。

10. 计算得： 15x = 4320。

11. 再解方程： x = 4320 / 15。

12. 计算得： x = 288。

13. 经过上述推理，最终得出答案为288。

对顶角; 邻补角; 线段

角的定义

<note>在本题图中，四个角分别为 x/2、x/4、x/6 和 x/3，这些角是由四条射线交于一点构成的，其中该点为公共端点</note>。根据角的定义，<note>角是由两个有公共端点的射线组成的几何图形</note>，其中的<note>公共端点称为角的顶点</note>，<note>两条射线称为角的边</note>。##

周角的定义

一条射线绕着它的端点旋转一周所形成的角，叫做周角

<note>x°/4和x°/2的公共射线</note>绕着角的公共顶点旋转一周，形成<note>周角</note>。根据<note>周角的定义</note>，周角的度数为360度，即<note>∠A + ∠B + ∠C + ∠D=360度</note>。


Question: 在上图中，线段OA与线段OB全等。弧CD的度数是多少？

Answer: 70

1. 已知线段OA全等于线段OB，这是根据题目提供的条件。

##2. 三角形AOB中，边OA和边OB相等，因此三角形AOB是一个等腰三角形。##

3. 在等腰三角形中，底角相等，所以∠OAB等于∠OBA。

4. 题给设施∠A为55度，所以∠OBA也是55度。

5. 三角形内角和定理指出，一个三角形内角的总和是180度。因此，得到：∠AOB = 180度 - ∠OAB - ∠OBA。

6. 将数值带入，可以得出∠AOB = 180度 - 55度 - 55度 = 70度。

####

##7.## 根据圆心角定理，圆心角所对弧的度数等于圆心角的度数。

##8.## 因此，∠AOB所对的弧CD的度数就是∠AOB自身的70度。

等腰三角形; 圆; 圆心角

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

<note>点C和点D</note>是圆上的两点，圆心是点O。<note>连线OC和OD组成的∠COD</note>称为圆心角。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>在本题图中，三角形AOB中，∠OAB、∠OBA和∠AOB是三角形AOB的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>∠OAB + ∠OBA + ∠AOB = 180°</note>。


Question: 在上面的三角形中，c 的长度是多少？

Answer: 80

1. 已知条件为直角三角形，其中直角边长为60，斜边长为100，设另外一条直角边为c。根据毕达哥拉斯定理，得出斜边的平方等于两条直角边的平方和，即##100^2= 60 ^2+ c^2##。

2. 计算平方：##100^2## = 100 * 100 = 10000，##60^2 ##= 60 * 60 = 3600。

3. 将已知条件代入毕达哥拉斯定理，得到方程：10000 = 3600 +## c^2##。

4. 将3600移到等式左边，得到：10000 - 3600 = ##c^2##，即6400 =## c^2##。

5. 求c的值，c = √6400。

6. 计算结果：√6400 = 80。

7. 经过上述推理，最终得出答案为80。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>三角形包含一个90度的内角</note>，因此三角形是一个直角三角形。边长为60和c的两条边是直角边，<note>边长为100的是斜边</note>。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>直角三角形</note>中，<note>斜边</note>的平方等于<note>两条直角边</note>的平方和。已知<note>一条直角边长为60</note>，<note>斜边长为100</note>，根据勾股定理，可以得到：##<note>100^2= 60 ^2+ c^2</note>##。


Question: 如果上图中的三角形ABC是等边三角形且D是直角，求x的值。

Answer: 24

1. 由于三角形ABC是等边三角形，则边AB = BC = AC。

2. 给定直角CDE，我们知道其角D为90度。

3. 在等边三角形ABC中，所有内角均为60度。因此，角ACB等于60度。

4. ##因为线段BD和AE相交，根据对顶角相等的关系，所以角ACB=角DCE = 60度。##

5. 三角形CDE是一个##30°-60°-90°##的特殊三角形。

6. CD即是CDE这个特殊三角形的##短边##。

7. CE是特殊三角形##的斜边##，所以##CE=2*CD=24##。

####

##8##. 基于已得结果，x = 24。

通过以上推理，我们得到答案为：24。

等边三角形; 直角三角形; 线段

等边三角形的定义

等边三角形是所有三条边长度相等并且所有内角都相等（均为60°）的三角形。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

在本题图中，三角形ABC中，<note>角BAC</note>、<note>角ABC</note>和<note>角BCA</note>是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>角BAC + 角ABC + 角BCA = 180°</note>。同样，三角形CDE中，<note>角DCE</note>、<note>角CDE</note>和<note>角DEC</note>是三角形CDE的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>角DCE + 角CDE + 角DEC = 180°</note>。####

30°-60°-90°三角形的性质

在30°-60°-90°三角形中，30度角所对的边短，是斜边的一半，60度角所对的边则为短边的√3倍。

<note>在本题图中，30°-60°-90°三角形CDE中</note>，<note>角DEC是30度</note>，<note>角DCE是60度</note>，<note>角CDE是90度</note>。<note>边CE是斜边</note>，<note>边CD是30度角所对的边</note>，<note>边DE是60度角所对的边</note>。根据30°-60°-90°三角形的性质，<note>边CD等于边CE的一半</note>，<note>边DE等于边CD的√3倍</note>。即：<note>CD = 1/2 * CE</note>，<note>DE = CD * √3</note>。

对顶角的定义

对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等


Question: 在上图中，AC = 7 且 AB = BC。AB 的最小可能整数值是多少？

Answer: 4

1. 已知条件为直线AC的长度为7，并且三角形ABC是等腰三角形，即AB=BC。依据等腰三角形的性质，两个等边的对角也相等，##因此∠BAC = ∠BCA##。

####

##2##. 应用三角形的三边不等式定理：即任意三角形的任意两边之和大于第三边的定理，分别得出结论如下。

##3##. 首先，根据三角形不等式，得：AB + BC > AC。且因为AB=BC，故2AB > 7，所以AB > 3.5。

##4##. 其次，根据三角形不等式，得：AB + AC > BC。且因为BC=AB，故##AC > 0##，因为AC=7，所以##AC=7 > 0 恒成立##。

##5##. 最后，根据三角形不等式，得：BC + AC > AB。且因为BC=AB，故##AC > 0##，因为AC=7，所以##AC=7 > 0 恒成立##。

##6##. 综上所述，AB的最小整数值应为满足AB > 3.5的最小整数，即为4。

##7##. 因此，满足所有条件的AB的最小整数值为4。

线段; 等腰三角形; 普通三角形

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

在本题图中，三角形ABC中，<note>边AB和边BC相等</note>，因此<note>三角形ABC是一个等腰三角形</note>。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

<note>在本题图中，等腰三角形ABC中，边AB和边BC相等。</note>因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>∠BAC = ∠BCA</note>。

三角形三边关系定理

三角形的两边之和大于第三边

<note>边AB、边AC和边BC构成三角形</note>。根据三角形三边关系定理，<note>边AB + 边BC > 边AC</note>，<note>边AB + 边AC > 边BC</note>，<note>边BC + 边AC > 边AB</note>。


Question: 在上面的三角形中，a 的长度是多少？

Answer: 15*\sqrt{2}

1. 已知该三角形为直角三角形，且两个非直角均为45°，这意味着该三角形是一个等腰直角三角形。

2. ##根据勾股定理，等腰直角三角形中，斜边a^2=15^2+15^2##。

3. ##解方程得到##斜边的长度为15√2。

4. 因此，经过推理，最终得出斜边a的长度为15√2。

等腰三角形; 直角三角形

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>直角三角形中</note>，两个直角边均为<note>15</note>，<note>斜边为a</note>，所以根据勾股定理，<note>a^2 = 15^2 + 15^2</note>，因此<note>a = 15√2</note>。

等腰直角三角形的定义

等腰直角三角形是两个边相等且有一个角为90度的三角形。

<note>三角形是等腰直角三角形</note>，其中<note>左下角是直角（90度）</note>，<note>两条长度为15的边是相等的直角边</note>。


Question: 如上图所示的梯形ABCD中，AB = 24，AD = 23，且BC = 16。求线段CD的长度是多少？

Answer: 25

1. 我们知道梯形ABCD中，##AD##是底，为了求出CD的长度，可以利用梯形的性质分解梯形为一个矩形和一个三角形。考虑作一条垂直于##底AD##的辅助线。这个辅助线可连接点C与##底AD##形成新的点E，使得##CE##垂直于AD。于是##ABCE##形成一个矩形。

2. 由于##ABCE##是一个矩形，因此有AB = CE。利用已知的AB = 24以及矩形的性质CE = AB，可以得到CE = 24。

3. 在梯形中，知道AD = 23，总的##底边##AD可以表示为##AE##（矩形的##底边##）和ED（形成△CED的##直角底边##），即AD = ##AE## + ED。因为##ABCE##是矩形，所以##AE## = 16（##AE## = BC），可得23 = 16 + ED，从而得出ED = 7。

4. 通过计算ED，我们应用勾股定理在直角三角形CED中，以找出CD。

5. 勾股定理（在这里表示为CD^2 = CE^2 + ED^2）应用于△CED。代入已知值得到CD^2 = 24^2 + 7^2。

6. 解开这个方程可得CD^2 = 576 + 49 = 625。

7. 求出CD的正数结果，即CD = √625 = 25。

8. 经过上述推理，最终得出答案为25。

梯形; 线段; 垂线; 直角三角形; 平行线

梯形的定义

梯形是一种四边形，有且仅有一对平行边。

<note>边AD</note>和<note>边BC</note>是平行的，而<note>边AB</note>和<note>边CD</note>不平行。因此，根据梯形的定义，四边形ABCD是一种梯形，因为它有且仅有一对平行边。

矩形的定义

矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>直角三角形CED</note>，其中<note>CE是直角边</note>，<note>ED也是直角边</note>，<note>CD是斜边</note>。因此根据勾股定理，<note>CD^2 = CE^2 + ED^2</note>。代入已知值得到<note>CD^2 = 24^2 + 7^2</note>，最终求得<note>CD = 25</note>。


Question: AC边的长度最接近小数点后两位是多少？假设ABC是一个直角三角形。

Answer: 10.6

1. 已知条件为三角形ABC是直角三角形，且∠BAC = 28°，AB = 12，根据勾股定理，三角形ABC中的直角边与斜边关系是唯一确定的。

2. 在直角三角形中可以使用三角函数来求解未知边。我们这里知道一条边的长度及一个锐角的角度，可以使用三角函数来求解。

3. 根据三角函数定义，cos(θ) = 邻边/斜边，其中θ是锐角，邻边是我们要求的AC，斜边是已知的边AB。

4. 为了找到AC的长度，应用余弦函数：cos(∠BAC) = AC/AB。

5. 在本题中，cos(28°) = AC/12，故AC = 12 * cos(28°)。

6. 查表或者使用计算器可得cos(28°) ≈ 0.8829。

7. 因此，AC ≈ 12 * 0.8829 ≈ 10.5948。

8. 将结果四舍五入到最近的百分位得到AC ≈ 10.60。

直角三角形; 正弦; 余弦

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

在本题图中，三角形ABC中，<note>角∠BCA是直角（90度）</note>，因此三角形ABC是一个直角三角形。<note>边AB和边BC是直角边</note>，<note>边AC是斜边</note>。

余弦函数

余弦函数是一个三角函数，它可以通过直角三角形中的边来定义，对于一个角α，它的余弦值等于角α的邻边与斜边的比值。在单位圆中，余弦值是指从圆心到圆上与x轴夹角为α的点的横坐标。

<note>在本题图中，直角三角形ABC中，边AC是角∠BAC的邻边，边AB是斜边</note>。因此，根据余弦函数的定义，<note>角∠BAC的余弦值</note>等于<note>邻边AC与斜边AB的比值</note>，即<note>cos(∠BAC) = AC / AB</note>。


Question: 如上图所示，三角形ABC和直线l。y和z的和是多少？

Answer: 140

1.##设直线l的左端标为点D，## 已知条件为##∠DAB=## 140°，∠CAB = x°，∠BCA = z°，##∠ABC=y °，##在直线 l 上，根据平角定义，平角为 180°，可得：##x°## + 140° = 180°。

2. 由以上等式 ##x°## + 140° = 180°，通过减去 140°，可得 ##x°##= 40°。

3. 在三角形 ABC 中，我们依据三角形内角和定理，三角形内角和应为 180°，可以表示为：##x° + y °+ z °##= 180°。

4. 将已知 ##x°## = 40° 代入三角形内角和的等式，得到 40° +##y °+ z °## = 180°。

5. 求解上一步的等式，减去 40° ，得到##y °+ z °## = 140°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 y + z = ##140##。

三角形的外角; 普通三角形; 线段

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形ABC</note>中，<note>∠BAC</note>、<note>∠ABC</note>和<note>∠BCA</note>是<note>三角形ABC的三个内角</note>，根据<note>三角形内角和定理</note>，<note>∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°</note>。

平角的定义

在本题图中，<note>AC向右延伸的射线绕着端点A旋转到与起始边成一条直线</note>，形成<note>平角CAD</note>。根据平角的定义，<note>平角的度数为180度</note>，即<note>角CAD=180度</note>。##


Question: 在上图中，角A全等于角BED，角C全等于角D。如果AB的长度与EB的长度之比为5:1，且三角形BED的面积为5*a^2 + 10，那么三角形ABC的面积是多少？

Answer: 125*a^2+250

1. 已知角A与角BED全等，角C与角D全等，根据已知条件可知 △ABC与△BED为相似三角形。

2. △ABC与△BED相似，且相似比为AB : EB = 5 : 1，根据相似三角形对应边的比相等，BC : BD 的比，也是5:1。

3. 根据相似三角形的面积比是对应边长比例####（5:1）的平方，即25:1。

4. 通过已知条件， △BED 的面积为 5a^2 + 10。

5. 根据面积比为25:1， △ABC 的面积为25 * (5a^2 + 10)。

6. 算出△ABC的面积为 25 * (5a^2 + 10) = 125a^2 + 250。

7. 经过上述推理，最终得出答案为125a^2 + 250。

普通三角形; 等腰三角形; 线段; 位似

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>三角形ABC和三角形BED是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>∠A = ∠BED</note>, <note>∠C = ∠D</note>，<note>∠ABC=∠EBD</note>；<note>AB/EB = BC/BD = AC/ED = 5/1</note>。

相似三角形的面积比等于相似比的平方定理

如果两个相似三角形的边长比是k，那么它们的面积比等于k的平方。

相似三角形的判定定理(AA)

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。


Question: 在上图中，直线AB平行于直线CD，且直线EF垂直于直线CD。角x的度数是多少？

Answer: 50*\degree

1. 已知条件为直线AB平行于直线CD，直线EF垂直于直线CD，##∠GIL##=140°。

2. 根据平行线的同位角相等定理，直线AB与直线CD平行，则##∠GIL##=##∠JKD##。

3. 由此，得出##∠JKD##=140°。

##4.根据平角的定义，得到∠JKM=180°-∠JKD=180°-140°=40°##

##5. ##因为直线EF垂直于直线CD，所以∠LMK=90°。

##6. ##在##ΔJMK##中，因为角的和为180°，所以##∠JMK##+##∠JKM##+∠X=180°。

##7. ## 代入已知条件得：90° +## 40°## + ∠X = 180°。

##8. ##化简方程：∠X = 180° - 90° - ##40°## = 50°。

##9. ##经过上述推理，最终得出答案为50度。

平行线; 内错角; 垂线

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。

平角的定义。

<note>射线KD绕着端点K旋转到与起始边成一条直线</note>，形成<note>平角CKD</note>。根据平角的定义，平角的度数为<note>180度，即角CKD=180度</note>。

垂线定义。

如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。

<note>直线EF和直线CD相交形成的角∠EMD是90度</note>，因此根据垂线定义，<note>直线EF和直线CD互相垂直</note>。####

三角形内角和定理。

任意三角形的三个内角的和为180°。

在本题图中，三角形JMK中，<note>角MJK、角JMK和角JKM是三角形JMK的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角MJK + 角JMK + 角JKM = 180°</note>。


Question: 在上面的三角形中，x, y 和 z 的平均值（算术平均值）是多少？

Answer: 60

1. ##令三角形三个顶点分别为A、B、C。##已知条件为三角形的三个内角为x°, y°, z°，根据三角形内角和定理，得出##x°+ y°+z°## = 180°。

2. 由步骤1中##x°+ y°+z°##= 180°，利用平均数公式 (##x°+ y°+z°##) / 3 = 平均值，可以得到平均值为180° / 3。

3. 经过上述推理，最终得出答案为60°。

普通三角形; 三角形的外角

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

<note>三角形ABC是由三个非共线点A、B、C及其连接线段AB、AC、BC组成的几何图形</note>。点<note>A、B、C分别是三角形的三个顶点</note>，<note>线段AB、BC、CA分别是三角形的三条边</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形ABC</note>中，<note>角x°</note>, <note>角y°</note>和<note>角z°</note>是三角形的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>角x° + 角y° + 角z° = 180°</note>。


Question:
以下图形中的哪两个线段形成了一个钝角？_x000D_
A. BC 和 AC_x000D_
B. EF 和 DF_x000D_
C. CD 和 BD_x000D_
D. AB 和 BD_x000D_
E. EA 和 AC

Answer: line CD and line BD

1. 根据图中信息，在三角形ADF中，角AFD=90度。

2. 因为BDC是三角形ADF的一个外角，所以角BDC=角AFD+角FAD=90度+角FAD。

3. 因为角BDC大于90度，所以角BDC是钝角。

线段; 邻补角; 直角三角形

三角形的外角定理

三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。

多边形的外角定义

多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。

<note>多边形ADF的一个内角为∠ADF</note>，延长该内角的相邻边<note>AD和DF形成的角∠FDC</note>称为内角∠ADF的外角。


Question: 如图,△ABC是⊙O的内接三角形,若∠ACB=30°,AB=6,则⊙O的半径是()

Answer: 6

1. ##根据圆周角的定义，所以∠ACB是圆周角，##已知∠ACB=30°，根据圆周角定理##和圆心角的定义##，得出∠AOB=2∠ACB=60°。

2. 连接OA和OB，OA和OB是⊙O的半径，因此OA=OB。

3. 因为∠AOB=60°，则△AOB是等边三角形。

4. 在等边三角形△AOB中，三边相等，因此OA=AB=6。

5. 故⊙O的半径是6。

圆内接四边形; 圆周角; 正弦; 圆; 弦

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

<note>在本题图中，圆O中，角ACB的顶点C在圆周上</note>，角ACB的两边分别与<note>圆O相交于点A和点B</note>。因此，<note>角ACB是一个圆周角</note>。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

等边三角形的定义

等边三角形是所有三条边长度相等并且所有内角都相等（均为60°）的三角形。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

<note>圆O中，点O是圆心</note>，<note>点A和点B是圆上的任意一点</note>，线段<note>OA和线段OB是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段OA和线段OB是圆的半径</note>。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。


Answer: 40°

1. 已知△ABC内接于⊙O，∠AOB=80°。

####

##2. ##依据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于该圆心角的一半。应用此定理，由于∠AOB是圆心角，且弧AB所对的圆周角为∠ACB，因此：∠ACB=1/2 ∠AOB。

##3. ##代入已知条件∠AOB=80°，得：∠ACB=1/2×80°=40°。

##4. ##经过上述推理，最终得出答案为40°。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

在本题图中，圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O。<note>连线OA和OB组成的角∠AOB</note>称为圆心角。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

<note>圆O中，角ACB的顶点C在圆周上</note>，<note>角ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B</note>。因此，<note>角ACB是一个圆周角</note>。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。


Question: 如图,△ABC内接于⊙O,连接OA,OB,若∠C=35°,则∠OBA的度数是()

Answer: 55°

1. 已知∠C=35°，△ABC内接于⊙O。

2. 连接##OA、OB，##角∠AOB是圆心角，而∠ACB是劣弧AB的弧上所对的圆周角。

3. 根据圆周角定理，圆心角是圆周角的两倍，因此∠AOB = 2×∠ACB = 2×35° = 70°。

4. 圆内接三角形##OAB##中，OA=OB####，##所以##△OAB是腰角三角形。

5. 在等腰三角形△OAB中，底角相等，因此∠OAB = ∠OBA。

6. 在△OAB中，内角和为180°，即∠AOB + ∠OAB + ∠OBA = 180°。

7. 代入已知条件，得到70° + 2∠OBA = 180°。

8. 解此方程，得到2∠OBA = 110°，所以∠OBA = 55°。

9. 经过上述推理，最终得出∠OBA的度数为55°。

圆; 圆周角; 圆心角; 等腰三角形; 弧

内接多边形

一个多边形的所有顶点都在一个圆上，称这个多边形为圆的内接多边形。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

<note>在本题图中，圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O</note>。<note>连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角</note>。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

在本题图中，<note>圆O中，角ACB的顶点C在圆周上</note>，<note>角ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B</note>。因此，<note>角ACB是一个圆周角</note>。

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

在本题图中，圆O中，点A、B、C在圆上，<note>劣弧AB</note>对应的圆心角为<note>∠AOB</note>，圆周角为<note>∠ACB</note>。根据圆周角定理，<note>∠AOB</note>等于它所对的<note>劣弧AB</note>所对应的圆周角<note>∠ACB</note>的两倍，即<note>∠AOB = 2 × ∠ACB = 2 × 35° = 70°</note>。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

在本题图中，三角形OAB中，<note>角AOB、角OAB和角OBA是三角形OAB的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角AOB + 角OAB + 角OBA = 180°</note>。


Answer: 100°

1. 已知三角形ABC内接于圆O，且∠BAC=50°。

2. 由圆周角定理，##圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。##因此，∠BAC对应的圆心角为∠BOC。

3. 根据圆周角定理，我们有∠BOC等于2倍的∠BAC。

4. 计算得出∠BOC=2×50°=100°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为100°。

圆; 圆心角; 圆周角; 普通三角形

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

在本题图中，圆O中，<note>角BAC的顶点A在圆周上</note>，<note>角BAC的两边分别与圆O相交于点B和点C</note>。因此，<note>角BAC是一个圆周角</note>。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

在本题图中，<note>圆O中，点B和点C是圆上的两点，圆心是点O</note>。<note>连线OB和OC组成的角∠BOC</note>称为圆心角。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

在本题图中，圆O中，点A、B、C在圆上，<note>弧BC对应的圆心角为∠BOC</note>，<note>圆周角为∠BAC</note>。根据圆周角定理，<note>∠BAC等于它所对的弧BC所对应的圆心角∠BOC的一半</note>，即<note>∠BAC = 1/2 ∠BOC</note>。


Question: 如图,⊙O是△ABD的外接圆,若∠A=135°,则∠BDO的度数为()

Answer: 45°

1. 在优弧BD上任意找一点E，连接BE和DE。

2. 根据##内接四边形的定义，点A，B，E，D都在圆O上， ##所以四边形ABDE是圆内接四边形。

3. 由题意知∠A=135°，根据##(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理##，得∠BED=180°-∠BAD=180°-135°=45°。

4. 根据圆周角定理，在圆##O##中，∠BOD是##劣弧BD的圆心角，∠BED是劣弧BD的圆周角##，因此∠BOD=2∠BED。

5. 由∠BED=45°，则∠BOD=2×45°=90°。

6. 在△BDO中，由于OB=OD，△BDO为等腰三角形。因此∠BDO=∠BOD/2=90°/2=45°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为45°。

圆; 圆周角; 弧; 直角三角形; 圆心角

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理

在一个圆内接四边形中，每一对对角的和等于180°。并且任何一个外角都等于他的内对角。

<note>四边形ABDE是圆内接四边形，四边形的顶点A、B、D、E都在圆上</note>。根据<note>圆内接四边形对角互补定理</note>，四边形ABDE的<note>每一对对角的和等于180°</note>。具体来说，<note>∠A + ∠BED = 180°</note>，即<note>∠A = 135°</note>，则<note>∠BED = 180° - 135° = 45°</note>。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

<note>在本题图中，等腰三角形BDO中，边OB和边OD相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>角OBD = 角ODB</note>。##

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>在本题图中，三角形BOD中，角BOD、角OBD和角ODB是三角形BOD的三个内角</note>，根据<note>三角形内角和定理</note>，<note>角BOD + 角OBD + 角ODB = 180°</note>。


Question: 如图,△ABC中,∠BAC=70°,∠ABC=45°,点O是△ABC的外接圆的圆心,则∠AOB等于()

Answer: 130°

1. 已知∠BAC=70°, ∠ABC=45°, 根据三角形内角和定理，得出∠ACB = 180° - ∠BAC - ∠ABC = 180° - 70° - 45° = 65°。

2. 因为点O是三角形ABC的外接圆的圆心，所以∠AOB是圆心角。根据圆心角定理，圆心角等于其所对的弧所对应的圆周角的两倍，即∠AOB = 2∠ACB。

3. 由上一步得出的结论，可以得到∠AOB = 2 * 65° = 130°。

4. 经过上述推理，最终得出答案为∠AOB = 130°。

圆; 圆心角; 普通三角形; 圆周角; 弦

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形ABC</note>中，<note>角BAC、角ABC和角ACB是三角形ABC的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角BAC + 角ABC + 角ACB = 180°</note>。已知<note>∠BAC=70°</note>，<note>∠ABC=45°</note>，可得出<note>∠ACB = 180° - 70° - 45° = 65°</note>。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

<note>点O是△ABC的外接圆的圆心</note>，<note>∠AOB是圆心角</note>。根据圆周角定理，<note>圆心角∠AOB等于其所对的弧AC对应的圆周角∠ACB的两倍</note>，即∠AOB = 2∠ACB。已知<note>∠ACB=65°</note>，因此可得<note>∠AOB = 2 * 65° = 130°</note>。


Question: 如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=70°,⊙O是△ABC的外接圆,点D在劣弧{AC}上,则∠D的度数是()

Answer: 125°

1. 已知AB=AC, ∠BAC=70°,所以△ABC是等腰三角形，并且∠ABC=∠ACB。

2. 由于等腰三角形中，两个底角相等，根据三角形内角和定理，△ABC内各角度之和为180°，因此可得∠ABC= ∠ACB= (180°- ∠BAC) / 2 = (180° - 70°) / 2 = 55°。

3. 由于四边形ABCD是圆内接四边形，根据(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理，内接四边形的对角互补，即∠D和∠ABC互补。

4.可以得出∠D=180° - ∠ABC。

5. 已知∠BAC=55°，因此∠D=180° - 55° = 125°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为∠D=125°。

等腰三角形; 圆; 圆周角; 弧; 圆内接四边形

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

在本题图中，三角形ABC中，<note>边AB和边AC相等</note>，因此<note>三角形ABC是一个等腰三角形</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

在本题图中，三角形<note>△ABC</note>中，<note>角∠BAC</note>、<note>角∠ABC</note>和<note>角∠ACB</note>是三角形<note>△ABC</note>的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>角∠BAC + 角∠ABC + 角∠ACB = 180°。</note>

(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理

<note>四边形ABCD是圆O的内接四边形，四边形的顶点A、B、C、D都在圆上</note>。根据圆内接四边形对角互补定理，四边形ABCD的每一对对角的和等于180°。具体来说，<note>∠BAD + ∠BCD = 180°</note>；<note>∠ABC + ∠ADC = 180°</note>。因此，<note>∠D和∠ABC互补，即∠D = 180° - ∠ABC</note>。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

在本题图中，<note>等腰三角形ABC</note>中，<note>边AB和边AC相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>角ABC = 角ACB</note>。


Question: 如图,⊙O上有A,B,C,D四点,其中∠A=80°,那么∠C的度数是()

Answer: 100°

1. 已知四边形ABCD是圆内接四边形，其中∠BAD=80°。

2. 根据##(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理，##在四边形ABCD中，∠BAD + ∠BCD = 180°。

##3. ##由已知条件∠BAD=80°，代入上一步公式可得：80° + ∠BCD = 180°。

##4. ##解方程可得：∠BCD = 180° - 80° = 100°。

##5. ##因此，圆内接四边形ABCD中∠BCD的度数是100°。

圆; 圆周角; 圆内接四边形; 弧

内接四边形

内接四边形是指一个四边形的全部四个顶点都在同一个圆上。这个圆称为四边形的外接圆。

<note>四边形ABCD的四个顶点A、B、C和D都在同一个圆O上</note>。这个圆称为<note>四边形ABCD的外接圆</note>。因此，<note>四边形ABCD是一个内接四边形</note>。

(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理

<note>四边形ABCD是圆内接四边形，四边形的顶点A、B、C、D都在圆上</note>。根据圆内接四边形对角互补定理，<note>四边形ABCD的每一对对角的和等于180°</note>。具体来说，<note>∠BAD + ∠BCD = 180°</note>，<note>∠ABC + ∠ADC = 180°</note>。


Question: 如图,△ABC是⊙O的内接三角形,∠C=30°,⊙O的半径为5,若点P是⊙O上的一点,在△ABP中,PB=AB,则PA的长为()

Answer: 5√{3}

1. 已知∠C=30°，点P是⊙O上的一点，连接OA、OB、OP##，设AP与OB的交点为点D##。

2. 由于∠C####=30°，根据圆周角##和圆心角##定理，同弧所对的圆周角相等##并且圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半##，可得##∠C=∠APB=30° ，∠AOB=2∠ACB=60°##。

3. 由于PB=AB，根据##等腰三角形##性质，可得##三角形ABP是一个等腰三角形，##∠PAB=∠APB=30°。

4. 在三角形APB中，∠PAB+∠APB+∠ABP=180°，代入已知条件并得出∠ABP=120°。

5. 由于PB=AB，##又因为OA=OB=OP，所以三角形OAB和三角形OPB都是等腰三角形。根据圆周角定理可得：∠BOP=∠AOB=2∠ACB=60°。##因此△OBP和△OBA是等边三角形。##所以在三角形ABD中，∠DAB=30°，∠ABD=60°，由三角形内角和是180°可得：∠ADB=180°-∠DAB-∠ABD=180°-30°-60°=90°，所以OB⊥AP。##

6. 由于OB=OA，在等边三角形AOB中，OA=AB=OB=5。

7. 在直角三角形PBD中，利用余弦定理计算得PD=cos30°·PB##=cos30°·OP##，即PD=## $\frac{√{3}}{2}×5=\frac{5√{3}}{2}$ ##。

8. 因为PD是AP的一半，所以AP=2PD，即AP=5√{3}。

9. 经过上述推理，最终得出答案为5√{3}。

等腰三角形; 圆; 圆周角; 弦; 普通三角形

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角

在本题图中，圆O中，<note>角ACB的顶点(点C)在圆周上</note>，<note>角ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B</note>。因此，<note>角ACB是一个圆周角</note>。同理，<note>角APB的顶点(点P)在圆周上</note>，<note>角APB的两边分别与圆O相交于点A和点B</note>。因此，<note>角APB是一个圆周角</note>。####

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角

垂径定理

如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧

在本题图中，<note>圆O中，半径OB垂直于弦AP</note>，那么根据垂径定理，<note>半径OB平分弦AP，即AD=PD</note>，并且<note>半径OB平分弦AP所对的两条弧，即劣弧AB=劣弧BP</note>。

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

<note>三角形ABP中，边AB和边PB相等</note>，因此三角形ABP是一个等腰三角形。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

在本题图中，三角形<note>APB</note>中，角<note>PAB</note>、角<note>APB</note>和角<note>ABP</note>是三角形<note>APB</note>的三个内角，根据三角形内角和定理，角<note>PAB</note> + 角<note>APB</note> + 角<note>ABP</note> = 180°。##同理，三角形<note>ADB</note>中，角<note>DAB</note>、角<note>ABD</note>和角<note>ADB</note>是三角形<note>ADB</note>的三个内角，根据三角形内角和定理，角<note>DAB</note> + 角<note>ABD</note> + 角<note>ADB</note> = 180°####

等边三角形的判定定理（等腰三角形的60度角判定）

有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形

在本题图中，已知<note>△OAB为等腰三角形</note>，<note>边OA与边OB相等</note>，且存在一个内角为60°，即<note>∠AOB=60°</note>。根据等边三角形的判定定理，等腰三角形中若有一个内角为60°，则该三角形三边长度相等，<note>三个内角均为60°</note>，因此可判定<note>△OAB为等边三角形</note>。

余弦定理

在任意三角形中，任意一边的平方等于另外两边的平方之和减去这两边与该角所夹角的两倍余弦乘积，即## c^2= a^2 + b^2- 2ab * cos(角C)##。

在本题图中的直角三角形PBD中，<note>边PB、边PD和边BD分别对应三角形的三条边</note>，<note>角PBD是由边PB和边BD所夹的角</note>。根据余弦定理，边PD的平方等于另外两边PB和BD的平方之和减去这两边与<note>该角PBD所夹角的两倍余弦乘积</note>，即<note>##PD^2= PB^2 + BD^2 - 2 * PB * BD * cos(角PBD)。##</note>


Question: ⊙O是半径为1的圆,点O到直线L的距离为3,过直线L上的任一点P作⊙O的切线,切点为Q；若以PQ为边作正方形PQRS,则正方形PQRS的面积最小为()

Answer: 8

1. 设⊙O的半径为1，点O到直线L的距离为3。以直线L上的任一点P作⊙O的切线，切点为Q。

2. ##连接##OQ和OP，作OH垂直于L，垂足为H。因为点O到直线L的距离为3，所以OH = 3。##因为点Q在圆上，所以OQ是⊙O的半径，也就是OQ=1。##

3. 因为PQ是⊙O的切线，根据##圆的切线性质##，OQ垂直于PQ。在##直角三角形PQO##中，由勾股定理得到，PQ = √##(OP^2 - OQ^2)##。

4. 当OP最小时，PQ最小。由##点到直线的距离##定义，OP的最小值为OH的长度，即OP = 3。

5. 代入勾股定理，得PQ的最小值为√(##3^2 - 1^2##) = √8 = 2√2。

6. 以PQ为边作正方形PQRS，则正方形的面积为##PQ^2##。

7. 因此正方形PQRS的最小面积为##(2√2)^2 ##= 8。

8. 经过上述推理，最终得出答案为8。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

<note>圆O中，点O是圆心，点Q是圆上的任意一点</note>，线段<note>OQ是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段OQ是圆的半径</note>，且OQ = 1。

正方形的定义

正方形是一种平面四边形，其四条边相等且四个内角均为直角（90度）。

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

<note>在本题图中，圆⊙O中，点Q是直线PQ与圆的切点</note>，<note>线段OQ是圆的半径</note>。根据圆的切线性质，<note>切线PQ与经过切点Q的半径OQ垂直</note>，即<note>∠OQP=90度</note>。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

在本题图中，<note>直角三角形PQO</note>中，<note>∠OQP是直角（90度）</note>，<note>边OQ和PQ是直角边</note>，<note>边OP是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>OP^2 = OQ^2 + PQ^2</note>。由题意，<note>OQ = 1</note>，<note>OP = 3</note>，因此<note>PQ = √(3^2 - 1^2) = √8</note>。

点到直线的距离

点到直线的距离是指直线外一点到该直线的最短距离，即垂直距离。

在本题图中，<note>点 O 是直线 L 外的一点</note>，作<note>点 O 到直线 L 的垂线段 OH</note>。根据点到直线距离的定义，<note>垂线段 OH 的长度是点 O 到直线 L 的最短距离</note>，即 d=OH=3。##

正方形的面积公式

正方形的面积等于其边长的平方。

在本题图中，<note>正方形PQRS</note>中，<note>边PQ是正方形的边长</note>，所以<note>正方形的面积 = PQ ^2</note>。


Question: 如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上的点,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E,OD⊥AC于点D,若∠E=30°,CE=6,则OD的值为()

Answer: √{3}

1. 连接OC，根据切线的性质，切线CE与过切点的半径OC垂直，即∠ECO=90°。

2. ##由于∠ECO=90°，且∠E=30°，CE=6，根据三角形的内角和定理，可以计算出∠COE=60°，直角三角形OCE为30°-60°-90°三角形，##所以OC=\frac{6}{√{3}}=2√{3}####。

3. 由OC=OA，可以知道OA=2√{3}。

4. 根据圆周角定理，得∠EOC=2∠A，因此∠A=30°。

5. 因为OD垂直于AC，即∠ADO=90°，##因此直角三角形ODA为30°-60°-90°三角形，##该直角三角形中，OD=rac{1}{2}OA，由此得OD=√{3}。

6. 经过上述推理，最终得出答案为√{3}。

圆; 切线; 直角三角形; 圆周角; 正弦

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

<note>圆O中，点C是直线CE与圆的切点</note>，<note>线段OC是圆的半径</note>。根据圆的切线性质，<note>切线CE与经过切点C的半径OC垂直</note>，即<note>∠ECO=90°</note>。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

<note>圆O中，角A的顶点(点A)在圆周上</note>，<note>角A的两边分别与圆O相交于点C和点B</note>。因此，角A是一个圆周角。


Question: 如图, AB、AC、BD是⊙O的切线, 切点分别为P、C、D, 若AB=5, AC=3, 则BD的长是()

Answer: 2

1. 已知AC和AP是⊙O的切线，依据##切线长定理##，AC=AP。

2. 同理，已知BP和BD是⊙O的切线，依据##切线长定理##，BP=BD。

3. 根据已知条件，AB=5, AC=3，且AC=AP, 因此AP=3。

4. 由AB - AP = PB，可以计算得出PB=5-3=2。

5. 由于BP=BD，因此BD=PB=2。

圆的切线定义

圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。

切线长定理

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

在本题图中，从圆外一点A引圆的两条切线<note>AC和AP</note>，它们的切线长相等，即<note>AC=AP</note>。从圆外一点B引圆的两条切线<note>BP和BD</note>，它们的切线长相等，即<note>BP=BD</note>。


Question: 如图,在半径为2的⊙O中,C为直径AB延长线上一点,CD与圆相切于点D,连接AD,已知∠DAC=30°,则线段CD的长为()

Answer: 2√{3}

1. 已知点D是切点，CD与圆相切于点D，根据切线垂直定理可知，OD垂直于CD。

2. 设圆心为O，连接OD、OC、AD和AC。

3. 由于角DAC的角度为30°，####根据圆周角定理，∠DOC=2∠DAC=2×30°=60°。

4. 因为OD垂直于CD，∠ODC即为90°，在△ODC中，角DCO=30°，角DOC=60°。

5. 根据##30°-60°-90°三角形的性质##，边OD是半径，长度为2，####CD=OD * √3 = 2 * √3。

6. 经过上述推理，最终得出线段CD的长度为2√3。

圆; 切线; 线段; 直角三角形; 正弦

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

<note>圆O中，点O是圆心</note>，<note>点A、B、D是圆上的任意一点</note>，<note>线段OA、OB、OD是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段OA、OB、OD是圆的半径</note>，其长度均为2。

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

30°-60°-90°三角形的性质

<note>30°-60°-90°三角形ODC</note>中，<note>角DCO是30度</note>，<note>角DOC是60度</note>，<note>角ODC是90度</note>。<note>边OC是斜边</note>，<note>边OD是30度角所对的边</note>，<note>边CD是60度角所对的边</note>。根据30°-60°-90°三角形的性质，<note>边OD等于边OC的一半</note>，<note>边CD等于边OD的√3倍</note>。即：<note>OD = 1/2 * OC</note>，<note>CD = OD * √3</note>。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

<note>在本题图中</note>，圆O中，<note>角A的顶点(点A)在圆周上</note>，<note>角A的两边分别与圆O相交于点D和点B</note>。因此，<note>角A是一个圆周角</note>。##


Question: 如图,线段AB是⊙O的直径,弦CD垂直于AB,∠CAB=20°,则∠BOD等于()

Answer: 40°

1. 已知CD垂直于AB，∠A=20°，在直角三角形ACE中，根据直角三角形的锐角互余性质，可得∠C=70°。

2. 根据圆周角定理，有∠AOD=2*∠C=140°。

3.

4. 因为∠AOD和∠BOD是邻补角，所以，∠BOD=180°-∠AOD=40°。

圆; 弦; 垂线; 圆心角; 圆周角

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

<note>线段AB是⊙O的直径</note>，连接了<note>圆心O和圆周上的A、B两点</note>，长度为2倍的半径，即<note>AB = 2 * OA</note>。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

直角三角形的锐角互余性质

在直角三角形中，除了直角之外的两个角之和为90°。

<note>直角三角形ACE中，角AEC是直角（90度）</note>，角A和<note>角C是直角以外的两个锐角</note>，根据直角三角形的锐角互余性质，<note>角A和角C的和为90度</note>，即20° + <note>∠C = 90°</note>。


Question: 如图,AB切⊙O于点B,AO交⊙O于点C,点D在⊙O上,若∠A=40°,则∠BDC的度数为()

Answer: 25°

1. 连接OB。由于AB切⊙O于点B，根据切线的定义，OB垂直于AB，因此∠OBA=90°。

2. 由题目已知条件，∠A=40°，所以∠BOA的度数为180°-∠OBA - ∠A，即∠BOA = 180° -90° - 40° = 50°。

####

##3.## 由题目已知，AO交⊙O于点C，点D在⊙O上，####，依据圆周角定理，∠BDC = 1/2 × ∠BOA。

##4.## 计算得出∠BDC = 1/2 × 50° = 25°。

##5.## 经过上述推理，最终得出答案为25°。

圆; 切线; 圆周角; 线段

圆的切线定义

圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

<note>圆O中，点B是直线AB与圆的切点</note>，<note>线段OB是圆的半径</note>。根据圆的切线性质，<note>切线AB与经过切点B的半径OB垂直</note>，即<note>∠OBA=90°</note>。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

<note>在本题图中，圆O中，点B、D、C在圆上</note>，<note>劣弧BC对应的圆心角为∠BOA，圆周角为∠BDC</note>。根据圆周角定理，<note>∠BDC等于它所对的弧BC所对应的圆心角∠BOA的一半</note>，即<note>∠BDC = 1/2 ∠BOA</note>。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

<note>圆O中，角CDB的顶点(点D)在圆周上</note>，角CDB的两边分别与<note>圆O相交于点C和点B</note>。因此，<note>角CDB是一个圆周角</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形OBA</note>中，<note>角A</note>、<note>角BOA</note>和<note>角OBA</note>是三角形OBA的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>角A + 角OBA + 角BOA = 180°</note>。


Question: 如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,过点D作⊙O的切线,切点为C,若∠A=25°,则∠D=()

Answer: 40°

1. 连接OC，由于点C是⊙O的切点，所以OC垂直CD。

2. 因为OC=OA（半径相等），所以△OAC为等腰三角形。

3. 根据三角形的性质，∠OCA等于∠A，因此∠OCA=∠A=25°。

4. 在##△OAC##中，##∠DOC是△OAC的一个外角，根据三角形的外角定理可得：##∠DOC = ∠OCA + ∠A = 25° + 25° = 50°。

5. 根据圆的切线定理，切线与半径的夹角为90°，所以∠OCD = 90°。

6. 在△ODC中，利用角的和为180°的性质，∠D = 180° - ∠OCD - ∠DOC = 180° - 90° - 50° = 40°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为40°。

圆; 切线; 圆周角; 直角三角形; 邻补角

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

垂径定理

如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。

<note>圆O中，直径AB延长线上的点D作⊙O的切线，切点为C</note>，连接OC，由于<note>点C是⊙O的切点</note>，所以<note>OC垂直于CD</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

在本题图中，三角形<note>ODC中，角∠OCD、角∠DOC和角∠D</note>是<note>三角形ODC的三个内角</note>，根据<note>三角形内角和定理</note>，<note>∠OCD + ∠DOC + ∠D = 180°</note>。

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

在本题图中，圆O中，点C是直线CD与圆的切点，<note>线段OC是圆的半径</note>。根据圆的切线性质，<note>切线CD与经过切点C的半径OC垂直</note>，<note>即∠OCD=90°</note>。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

<note>等腰三角形OAC中，边OA和边OC相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，<note>相等的两边所对的角相等</note>，即<note>角OAC = 角OCA</note>。

三角形的外角定理

三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和

<note>三角形AOC中，角DOC是三角形的一个外角</note>，<note>角OCA和角A是与外角DOC不相邻的两个内角</note>，根据三角形的外角定理，<note>外角DOC等于不相邻的两个内角OCA和角A之和</note>，即<note>角DOC = 角OCA + 角A</note>。


Answer: 55°

1. 已知△ABC内接于⊙O，且∠AOB=110°。

2. 根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是其所对的圆心角的一半。

3. 由圆周角定理，对于圆周上的点C，∠ACB是对应的圆心角∠AOB的半数，即∠ACB = 1/2 * ∠AOB。

4. 因此，∠ACB = 1/2 * 110° = 55°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为55°。

圆; 圆心角; 圆周角; 普通三角形

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

在本题图中，圆O中，<note>点A和点B是圆上的两点</note>，<note>圆心是点O</note>。<note>连线OA和OB组成的角∠AOB</note>称为圆心角。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

<note>角ACB的顶点C在圆周上</note>，<note>角ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B</note>。因此，角ACB是一个圆周角。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。


Question: 如图,点A、B、C在⊙O上,过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点P,∠B=30°,OP=3,则AP的长为()

Answer: \frac{3}{2}√{3}

1. 在图形中连接OA。

2. 根据已知条件∠B=30°，以及圆周角定理（圆周角是所对弧的圆心角的一半），可以得出∠AOC=2∠B=60°。

3. 因为过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点P，所以∠OAP=90°（切线和半径垂直）。

4. 已知OP=3，根据正弦定义sin∠AOC=sin60°（∠AOC=60°），我们知道sin60°=√3/2。

5. 由直角三角形OAP的性质，可以得到AP=OP×sin60°。

6. 所以AP=3×√3/2=3√3/2。

7. 经过上述推理，最终得出AP的长度为3√3/2。

圆; 切线; 圆周角; 直角三角形; 线段

正弦函数定义

在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

<note>圆O中，点A是直线AP与圆的切点</note>，<note>线段OA是圆的半径</note>。根据圆的切线性质，<note>切线AP与经过切点A的半径OA垂直</note>，即<note>∠OAP=90度</note>。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。


Question: 如图,AB是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,OP交⊙O于点C,连接BC。若∠P=20°,则∠B的度数是()

Answer: 35°

1. 连接AC，根据##圆的切线性质##，得出AB⊥AP##，即∠BAP=90°##。

2. 由于∠P=20°，所以##在△AOP中，##∠AOP=70°。

3. 因为OA=OC，##所以△AOC为等腰三角形，∠OAC=∠OCA，根据三角形的内角和定理，##得出∠OAC=∠OCA=55°。

4. 由于AB是直径，所以根据直径所对的圆周角是直角定理，得出∠ACB=90°。

5. 在△ACB中，∠OAC+##∠ACB##+∠B=180°，所以∠B=180°-∠ACB-##∠OAC##=180°-90°-55°=35°。

6. 由上述推理，最终得出答案为35°。

圆; 切线; 圆周角; 直角三角形; 线段

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

<note>等腰三角形AOC中</note>，<note>边OA和边OC相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>角OAC = 角OCA</note>。

(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角

半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

<note>圆O中，直径AB所对的圆周角∠ACB是直角（90度）</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。


Question: AB是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,PO交⊙O于点C；连接BC,若∠P=40°,则∠B等于()

Answer: 25°

1. 已知PA切⊙O于点A，根据##圆的切线性质##，得出∠PAO=90°。

2. 已知∠P=40°，因此，根据三角形内角和定理，得出##∠AOP=180°-90°-40°##=50°。

3. 因为OC##和OB是⊙O的半径##，所以OC=OB，因此△OBC是等腰三角形。

4. 在等腰三角形中，底角相等##，即∠B=∠OCB。因为∠AOP为△OBC的外角，根据三角形的外角定理，得到∠AOP=∠B+∠OCB=2∠B##。

####

##5##. 由##∠AOP##=2∠B，可得到2∠B=50°，即∠B=25°。

##6##. 经过上述推理，最终得出答案为25°。

圆; 切线; 直角三角形; 圆周角; 线段

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

<note>圆O中，点A是直线PA与圆的切点</note>，<note>线段OA是圆的半径</note>。根据圆的切线性质，<note>切线PA与经过切点A的半径OA垂直</note>，即<note>∠PAO=90度</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

在本题图中，<note>三角形PAO</note>中，角P、<note>角AOP</note>和角PAO是三角形PAB的三个内角，根据三角形内角和定理，角P + <note>角AOP</note> + 角PAO = 180°。

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

<note>在本题图中，等腰三角形OBC中，边OB和边OC相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>角OBC = 角OCB</note>。

三角形的外角定理

三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。

<note>角AOP是三角形的一个外角</note>，<note>角OCB和角OBC是与外角AOP不相邻的两个内角</note>，根据三角形的外角定理，<note>外角AOP等于不相邻的两个内角OCB和OBC之和</note>，即<note>角AOP = 角OCB + 角OBC</note>。

多边形的外角定义

多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。


Question: 如图,AB为⊙O的切线,A为切点,BO的延长线交⊙O于点C,∠OAC=35°,则∠B的度数是()

Answer: 20°

1. 已知AB为⊙O的切线,A为切点,根据切线与切点半径垂直的定理，得出OA垂直于AB。

2. 因此得∠BAO=90°。

3. 由于O是圆心，且OA和OC是半径，相等，故三角形OAC是等腰三角形。

4. 根据等腰三角形性质，∠OAC=∠OCA。

5. 已知∠OAC=35°，则∠OCA=35°。

6. 在##三角形BAC##中，∠BAO=90°，##∠OAC=##∠OCA=35°，通过内角和定理得出##∠B= 180° - ∠BAO - ∠OAC -∠OCA = 180° - 90° -35° - 35° = 20°##。

####

##7##. 经过上述推理，最终得出答案为20°。

圆; 圆周角; 切线; 对顶角; 普通三角形

圆的切线定义

圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。

<note>圆O与直线AB有且只有一个公共点A</note>，这个公共点叫做切点。因此，<note>直线AB是圆O的切线</note>。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

<note>圆O中，点O是圆心</note>，<note>点A和点C是圆上的任意一点</note>，<note>线段OA和线段OC是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段OA和线段OC是圆的半径</note>。

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

<note>在本题图中，三角形OAC中，边OA和边OC相等</note>，因此三角形OAC是一个等腰三角形。

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

<note>圆O中，点A是直线AB与圆的切点</note>，线段OA是圆的半径。根据圆的切线性质，<note>切线AB与经过切点A的半径OA垂直</note>，即<note>∠BAO=90度</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形BOA</note>中，角BAO、<note>角AOB</note>和<note>角ABO</note>是<note>三角形BOA</note>的三个内角，根据三角形内角和定理，角BAO + <note>角AOB</note> + <note>角ABO</note> = 180°。在<note>三角形ABC</note>中，<note>角BAC</note>、<note>角BCA</note>和<note>角ABC</note>是<note>三角形ABC</note>的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>角BAC + 角BCA +角ABC = 180°</note>。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

<note>在本题图中，等腰三角形OAC中，边OA和边OC相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>∠OCA = ∠OAC = 35°</note>。


Question: 如图,AC是⊙O的切线,切点为C,BC是⊙O的直径,AB交⊙O于点D,连接OD,若∠BAC=50°,则∠COD的大小为()

Answer: 80°

1. 已知AC是⊙O的切线，切点为C，根据##圆的切线性质##，得出BC⊥AC。

2. 由于BC⊥AC，因此得到∠BCA=90°。

3. 根据题意，已知∠BAC=50°，由三角形内角和定理，得出∠ABC=40°。

####

##4.##依据圆周角定理，####得出∠COD=2∠ABC。

##5.## 代入由前面推算出的∠ABC=40°，得到∠COD=2×40°=80°。

##6. ##经过上述推理，最终得出答案为80°。

圆; 切线; 圆周角; 直角三角形; 圆心角

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

<note>圆O中，点O是圆心</note>，<note>点C和点D是圆上的任意一点</note>，<note>线段OC和OD是从圆心O到圆上任意一点C和D的线段</note>，因此<note>线段OC和OD是圆O的半径</note>。

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

在本题图中，<note>BC是直径</note>，连接了<note>圆心O</note>和圆周上的<note>B、C两点</note>，长度为<note>2倍的半径</note>，即<note>BC = 2 * r</note>。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

<note>在本题图中，圆O中，点C是直线AC与圆的切点</note>，<note>线段OC是圆的半径</note>。根据圆的切线性质，<note>切线AC与经过切点C的半径OC垂直</note>，即<note>∠BCA=90°</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形ABC</note>中，<note>角BAC、角ABC和角BCA是三角形ABC的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角BAC + 角ABC + 角BCA = 180°</note>。####

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。


Question: 如图,PA、PB分别与⊙O相切于点A、B,⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F,切点C在弧AB上,若PA长为2,则△PEF的周长是()

Answer: 4

1. 已知PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，且⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在弧AB上。

2. 由圆的##切线长定理##得：##PA=PB，## AE = CE，FB = CF。

3. 由于##PA=2##，根据题意得PA = PB = 2。

####

##4##. 计算△PEF的周长##=PE+PF+EF=PE+PF+CE+CF##

##5. 根据AE = CE，FB = CF，得出：△PEF的周长=PE+PF+EF=PE+PF+AE+FB=PA+PB。##

####

##6##. 推导出推导出△PEF的周长= PE + EF + PF = PA + PB = 4。

切线; 圆; 弧; 等腰三角形; 线段

切线长定理

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

在本题图中，<note>从圆外一点P引圆的两条切线PA和PB</note>，它们的切线长相等，即<note>PA=PB</note>。<note>圆心O和这一点P的连线</note>平分两条<note>切线PA和PB</note>的夹角。同理，<note>从圆外一点E引圆的两条切线EA和EC</note>，它们的切线长相等，即<note>EA=EC</note>；<note>从圆外一点F引圆的两条切线FB和FC</note>，它们的切线长相等，即<note>FB=FC</note>。

三角形的周长定理

三角形的周长等于三条边的长度之和，即如果三角形的三条边分别为a、b、c，则周长P=a+b+c。

<note>三角形△AEF的三边分别为AE、AF、EF</note>，根据三角形的周长定理，三角形的周长等于其三边长度之和，即周长<note>P=AE+AF+EF</note>。##


Question: 如图,直线PA、PB是⊙O的两条切线,A、B分别为切点,若∠APB=120°,⊙O的半径为10,则弦AB的长为()

Answer: 10

1. 已知PA和PB是⊙O的两条切线，且A和B分别是切点，连结OA和OB。

2. 根据##切线的性质##得出OA垂直于PA，OB垂直于PB，因此∠OAP = 90°和∠OBP = 90°。

3. 题中已知∠APB = 120°。

4. 在##四边形AOBP##中，角的和为360°，所以∠OAP + ∠OBP + ∠APB + ∠AOB = 360°。

5. 将已知条件代入，得出90° + 90° + 120° + ∠AOB = 360°，因此∠AOB = 60°。

6. 由于OA = OB= 10，##因为∠AOB = 60°，根据等边三角形的判定定理（等腰三角形的60度角判定）##△AOB是等边三角形。

7. 在等边三角形中，所有边相等，因此弦AB = OA = 10。

切线; 等腰三角形; 圆周角; 弦; 余弦

圆的切线定义

圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。

在本题图中，<note>圆O与直线PA有且只有一个公共点A，这个公共点叫做切点</note>。因此，<note>直线PA是圆O的切线</note>。同理，<note>圆O与直线PB有且只有一个公共点B，这个公共点叫做切点</note>。因此，<note>直线PB是圆O的切线</note>。

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

在本题图中，三角形OAB中，<note>边OA和边OB相等</note>，因此<note>三角形OAB是一个等腰三角形</note>。

等边三角形的判定定理（等腰三角形的60度角判定）

有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形

<note>△OAB为等腰三角形</note>，边<note>OA与边OB相等</note>，且存在一个内角为60°，即<note>∠AOB=60°</note>。根据等边三角形的判定定理，等腰三角形中若有一个内角为60°，则该三角形三边长度相等，三个内角均为60°，因此可判定<note>△OAB为等边三角形</note>。##

等边三角形的定义

等边三角形是所有三条边长度相等并且所有内角都相等（均为60°）的三角形。

<note>在本题图中，三角形OAB是一个等边三角形</note>。<note>边OA、边OB和边AB的长度相等</note>，并且<note>角OAB、角OBA和角AOB的度数相等</note>，均为60°。其中，<note>OA = OB = 10</note>，且<note>∠AOB = 60°</note>，因此<note>弦AB的长度等于10</note>。

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

在本题图中，三角形OAP中，<note>角OAP、角OPA和角PAO是三角形OAP的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角OAP + 角OPA + 角PAO = 180°</note>；三角形OBP中，<note>角OBP、角BPO和角POB是三角形OBP的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角OBP + 角BPO + 角POB = 180°</note>；三角形OAB中，<note>角OAB、角AOB和角BOA是三角形OAB的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角OAB + 角AOB + 角BOA = 180°</note>。

四边形的内角和定理

在任意四边形中，四个内角的和为360°。

<note>四边形OAOBP</note>中的，<note>角OAP、角OBP、角APB和角AOB是四边形的四个内角</note>，根据四边形的内角和定理，这四个内角的和为360°，即<note>角OAP + 角OBP + 角APB + 角AOB = 360°</note>。####


Question: 如图,在△ABC中,∠B=20°,点O是BC边上一点,以O为圆心,OB为半径作圆,交AB边于点D,连结CD,若CD恰好与⊙O相切,则∠DCB的度数是()

Answer: 50°

1. 连接点O与点D，根据题意可知直线CD是以点O为圆心，以OB为半径的圆的切线。

2. 根据##圆的切线性质，##∠ODC=90°。

3. ##因为OB=OD，因此△OBD为等腰三角形。##

4. 在等腰三角形△OBD中，∠OBD=∠ODB####。

5. 由题目已知数据，∠B=20°，因此∠ODB=20°。

6. 在△ODC中，##依据三角形的内角和定理，有∠DCB + ∠ODC + ∠DOC = 180°。##

7. ##在△OBD中，根据三角形的外角和定理，可知∠DOC=∠B+∠ODB=40°。##

####

##8. ##将已知角代入，有##∠DCB +  90° ＋40°= 180°##。

##9. ##所以求解得出∠DCB = ##180° - 90° - 40° =50°##。

##10. ##进一步验证，计算步骤和结论无误，最终角度为##50°##。

圆; 切线; 圆周角; 普通三角形; 等腰三角形

圆的切线定义

圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。

<note>圆O与直线CD有且只有一个公共点D</note>，这个公共点叫做切点。因此，<note>直线CD是圆O的切线</note>。

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

在本题图中，三角形OBD中，<note>边OB和边OD相等</note>，因此<note>三角形OBD是一个等腰三角形</note>。

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

<note>在本题图中，圆O中，点D是直线CD与圆的切点，线段OD是圆的半径</note>。根据圆的切线性质，<note>切线CD与经过切点D的半径OD垂直，即∠ODC=90°</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>角DCB</note>、<note>角ODB</note>和<note>角ODC</note>是三角形<note>BCD</note>的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>角DCB</note> + <note>角ODB</note> + <note>角ODC</note> = 180°。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

<note>在本题图中，等腰三角形OBD中，边OB和边OD相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，<note>相等的两边所对的角相等，即∠OBD = ∠ODB</note>。

三角形的外角定理

三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。

<note>角BOD是三角形的一个外角</note>，<note>角OBD和角ODB是与外角COD不相邻的两个内角</note>，根据三角形的外角定理，<note>外角COD等于不相邻的两个内角OBD和ODB之和</note>，即<note>角COD = 角OBD + 角ODB</note>。

多边形的外角定义

多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。


Question: 如图,AB是⊙O的直径,BP是⊙O的切线,AP与⊙O交于点C,点D为弧{BC}上一点,若∠P=40°,则∠ADC等于()

Answer: 40°

1. 连接BC，根据题意，PB是圆O的切线。

2. 由于直线PB是切线，根据切线垂直于经过切点的半径定理，PB垂直于AB，因此∠ABP=90°。

3. 由于AB是圆O的直径，根据(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角，∠ACB=90°。

4. 在△ABC中，有∠ABC + ∠BAC =  90°。

5. 在△ABP中，有：∠P + ∠BAC = 90°。

6. 因此，得到∠ABC=∠P=40°。

7. 由于点D在圆O的弧BC上，根据圆周角定理推论1，∠ADC = ∠ABC。

8. 因此，∠ADC=40°。

圆; 圆周角; 切线; 直角三角形; 对顶角

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

在本题图中，圆⊙O中，点B是直线PB与圆的切点，<note>线段OB是圆的半径</note>。根据圆的切线性质，<note>切线PB与经过切点B的半径OB垂直</note>，即<note>∠ABP=90°</note>。

圆周角定理推论1

在一个圆中，任意两个与同一弧相对应的圆周角相等。

<note>在本题图中，圆O中，弧AC对应的圆周角∠ABC和∠ADC相等。</note>根据圆周角定理推论1，<note>与同一弧AC相对应的圆周角∠ABC和∠ADC相等，即∠ABC = ∠ADC。</note>

(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角

半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

在本题图中，圆O中，<note>直径AB所对的圆周角ACB是直角（90度）</note>。


Question: 如图,PA、PB是⊙O的切线,点A和B是切点,AC是⊙O的直径,已知∠P=50°,则∠ACB的大小是()

Answer: 65°

1. 已知PA、PB是⊙O的切线，点A和B是切点，连接OA、OB和OC。

2. 由##圆的切线性质##，得出OA垂直于PA，OB垂直于PB，因此∠OAP=∠OBP=90°。

3. 在四边形OAPB中，四边形内角和为360°，则∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠P=360°-90°-90°-50°=130°。

4. 因为####OB=OC，所以三角形OCB是等腰三角形，∠OCB=∠OBC。

5. 由##三角形的外角定理##，在三角形OCB中，∠AOB=∠OCB+∠OBC，得∠130°=2×∠OCB。

6. 解该方程，得∠OCB=∠OBC=65°。

7. ####即∠ACB=65°。

圆; 切线; 圆周角; 等腰三角形; 三角形的外角

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

<note>AC是直径</note>，连接了<note>圆心O和圆周上的A、C两点</note>，长度为2倍的半径，即<note>AC = 2 * OA</note>。

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

在本题图中，三角形OCB中，<note>边OB和边OC相等</note>，因此<note>三角形OCB是一个等腰三角形</note>。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

<note>等腰三角形OBC中</note>，<note>边OB和边OC相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>角OBC = 角OCB</note>。

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

四边形的内角和定理

在任意四边形中，四个内角的和为360°。

<note>四边形OAPB</note>中，<note>角OAP</note>、<note>角OBP</note>、<note>角P</note>和<note>角AOB</note>是四边形的四个内角，根据四边形的内角和定理，这四个内角的和为360°，即<note>角OAP + 角OBP + 角P + 角AOB = 360°</note>。

三角形的外角定理

三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。

在本题图中，三角形OCB中，<note>角AOB是三角形的一个外角</note>，<note>角OCB和角OBC是与外角AOB不相邻的两个内角</note>，根据三角形的外角定理，<note>外角AOB等于不相邻的两个内角OCB和OBC之和</note>，即<note>角AOB = 角OCB + 角OBC</note>。

多边形的外角定义

多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。


Question: 如图,直线AB与⊙O相切于点A,⊙O的半径为2,若∠OBA=30°,则AB的长为()

Answer: 2√{3}

1. 已知直线AB与⊙O相切于点A，根据切线垂直于半径的性质，得出∠OAB=90°##，因此，三角形OAB为直角三角形##。

2. 因为已知∠OBA=30°，以及OA=2。

3. 根据####正切函数，可以得出tan∠OBA = OA / AB。

4. 将已知条件代入，得到tan 30° = 2 / AB。

5. 因为tan 30° = √3 / 3，将它代入方程，得到√3 / 3 = 2 / AB。

6. 解该方程，得到AB = 2√3。

7. 经过上述推理，最终得出答案为2√3。

切线; 直角三角形; 圆; 正弦; 线段

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

圆的切线定义

圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

在本题图中，圆O中，点A是<note>直线AB与圆的切点</note>，<note>线段OA是圆的半径</note>。根据圆的切线性质，<note>切线AB与经过切点A的半径OA垂直</note>，即<note>∠OAB=90°</note>。

正切函数的定义

在直角三角形中，一个锐角的正切值等于相对直角边长度除以相邻直角边长度。


Question: 如图,⊙O是Rt△ABC的外接圆,∠ACB=90°,∠A=25°,过点C作⊙O的切线,交AB的延长线于点D,则∠D的度数是()

Answer: 40°

1. 连接OC。根据圆周角定理，∠AOB=2∠ACB。从题中给出的条件可以确定，∠ACB = 90°，因此∠AOB = 2 * 90° = 180°。

2. 根据已知条件，∠A = 25°，通过圆周角定理，∠COD = 2∠A，因此∠COD = 2 * 25° = 50°。

3. 由于CD是⊙O的切线，依切线垂径定理，OC垂直于CD，即∠OCD = 90°。

4. 在△COD中，根据内角和定理，有∠COD + ∠OCD + ∠D = 180°。将具体已知条件代入，可得50° + 90° + ∠D = 180°，

5. 通过简化，∠D = 180° - 140° = 40°。

n. 经过上述推理，最终得出答案为40°。

圆; 圆周角; 切线; 直角三角形; 三角形的外角

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

<note>在本题图中，圆 O 中，角 ACB 的顶点 C 在圆周上</note>，<note>角 ACB 的两边分别与圆 O 相交于点 A 和点 B</note>。因此，<note>角 ACB 是一个圆周角</note>。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

在本题图中，<note>圆O中，点A、B、C在圆上</note>，弧ACB与弧AB对应的圆心角为<note>∠AOB</note>，圆周角为<note>∠ACB</note>。根据圆周角定理，∠ACB等于它所对的弧AB所对应的圆心角∠AOB的一半，即<note>∠ACB = 1/2 ∠AOB</note>。圆O中，点A、B、C在圆上，<note>劣弧BC</note>对应的圆心角为<note>∠BOC</note>，圆周角为<note>∠BAC</note>。根据圆周角定理，∠BAC等于它所对的弧AB所对应的圆心角∠BOC的一半，即<note>∠BAC = 1/2 ∠BOC</note>。

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

在<note>△COD</note>中，结合<note>三角形内角和定理</note>，有<note>∠COD + ∠OCD + ∠D = 180°</note>。根据已知条件，<note>∠COD = 50°</note>，<note>∠OCD = 90°</note>，因此<note>50° + 90° + ∠D = 180°</note>，最终解得<note>∠D = 40°</note>。####

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

在本题图中，圆O中，<note>点C和点B是圆上的两点</note>，<note>圆心是点O</note>。<note>连线OC和OB组成的角∠COB称为圆心角</note>。


Question: 如图,点A,B,C是⊙O上的三点,直线CD与⊙O相切于点C,若∠DCB=40°,则∠CAB的度数是()

Answer: 40°

1. 已知直线CD与⊙O相切于点C，根据##圆的切线性质##，得到∠OCD=90°。

2. 由已知条件∠DCB=40°，##得到∠OCB=∠OCD-∠DCB=90°-40°=##50°。

3. 由于CO=BO，根据等腰三角形的性质，得到∠OBC=50°。

4. 通过##三角形内角和定理##，得到∠COB=180°-∠OBC-∠OCB=180°-50°-50°=80°。

5.##根据圆周角定理，可得∠CAB=1/2∠COB##

6. 计算得到∠CAB=##1/2##×80°=40°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为40°。

圆; 切线; 圆周角; 三角形的外角; 等腰三角形

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

<note>三角形OCB中，边CO和边BO相等</note>，因此三角形OCB是一个等腰三角形。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

<note>在本题图中，等腰三角形OBC中，边OB和边OC相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，<note>相等的两边所对的角相等，即角OBC = 角OCB</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°

<note>角COB、角OCB和角OBC是三角形COB的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角COB + 角OCB + 角OBC = 180°</note>。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

在本题图中，圆O中，点A、B、C在圆上，<note>劣弧CB</note>对应的圆心角为∠COB，圆周角为∠CAB。根据圆周角定理，∠CAB等于它所对的<note>劣弧CB</note>所对应的圆心角∠COB的一半，即∠CAB = 1/2 ∠COB。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

<note>在本题图中，圆O中，点C和点B是圆上的两点，圆心是点O</note>。连线<note>OC和OB组成的角∠COB</note>称为圆心角。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。


Question: 如图,AB是圆O的直径,DB,DC分别切圆O于点B,C,若∠ACE=25°,则∠D的度数是()

Answer: 50°

1. 连接BC, 根据题意，DB和DC分别切圆O于点B和点C。

2. 根据切线的性质，切线与半径的夹角是直角，故∠DBO=90°和∠DCO=90°。

####

##3##. 题目给出∠ACE=25°，又因为AB是直径，##所以根据圆周角定理推论2，在直径所对的圆周角是90°，因此∠ACB=90°。##

##4. 所以∠ACE+∠ACO=∠BCO+∠ACO=90°，所以∠ACE=∠BCO。##

5. 根据题意 ##OC和OB都是圆O的半径，即OC=OB，所以三角形OBC是一个等腰三角形，并且∠OBC=∠BCO=∠ACE，##∵∠ACE=25°，∴∠ABC=25°。

####

##6##. 由三角形内角和定理可知，在△ABC中，有∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°。

##7##. 代入已知条件，得∠BAC+25°+90°=180°，所以∠BAC=65°。

##8##. 根据##∠DBO=90°##，得∠DBC=90°-∠ABC。

##9##. 代入已知条件，得∠DBC=90°-25°=65°。

####

##10. 根据切线长定理，得到DB=DC，所以∠BDC=∠DCB。##

##11##. 由于在三角形BDC中，##根据三角形内角和定理##，得∠BDC=180°-2×∠DBC。

##12##. 代入已知条件，得∠BDC=180°-2×65°=50°。

##13##. 经过上述推理，最终得出答案为∠D=50°。

圆; 切线; 圆周角; 直角三角形; 线段

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

在本题图中，圆O中，<note>点B和点C是直线DB和直线DC与圆的切点</note>，<note>线段OB和线段OC是圆的半径</note>。根据圆的切线性质，<note>切线DB与经过切点B的半径OB垂直，即∠DBO=90度</note>；<note>切线DC与经过切点C的半径OC垂直，即∠DCO=90度</note>。

切线长定理

<note>从圆外一点D引圆的两条切线DB和DC</note>，它们的切线长相等，即<note>DB=DC</note>。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

在本题图中，圆O中，<note>角ACB的顶点C在圆周上</note>，<note>角ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B</note>。因此，角ACB是一个圆周角。##

(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角

半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

在本题图中，三角形ABC中，<note>角BAC</note>、<note>角ABC</note>和<note>角ACB</note>是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>角BAC + 角ABC + 角ACB = 180°</note>。在三角形BDC中，<note>角D</note>、角DBC和<note>角DCB</note>是三角形BDC的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>角D</note> + 角DBC + <note>角DCB</note> = 180°。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

<note>在本题图中，等腰三角形BDC中</note>，<note>边BD和边DC相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>角DBC = 角DCB</note>。

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

<note>在本题图中，三角形BCD中，边DB和边DC相等</note>，因此三角形BCD是一个等腰三角形。


Question: 如图,PA、PB分别切⊙O于点A、B,点E是⊙O上一点,且∠AEB=60°,则∠P=()

Answer: 60°

1. 已知PA、PB分别切⊙O于点A、B，且点E是⊙O上的一点，∠AEB=60°。

2. 连接OA, OB。根据圆周角定理，圆心角∠AOB是其所属的圆周角∠AEB的两倍，所以∠AOB=2∠AEB=2×60°=120°。

3. 由于切线与半径垂直，所以∠OAP=90°和∠OBP=90°。

4. 在四边形OAPB中，内角和等于360°，其中两个角∠OAP和∠OBP均为90°。

5. 因此，∠P + ∠AOB = 180°（四边形内角和定理）。

6. 代入已知条件，得到∠P + 120°= 180°。

7. 解得∠P=180°-120°=60°。

##8##. 经过上述推理，最终得出答案为∠P=60°。

圆; 切线; 圆周角; 等腰三角形

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

在本题图中，圆O中，<note>角AEB的顶点E在圆周上</note>，<note>角AEB的两边分别与圆O相交于点A和点B</note>。因此，角AEB是一个圆周角。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

在本题图中，圆O中，点A、B、E在圆上，<note>弧AB与弧BE对应的圆心角为∠AOB</note>，<note>圆周角为∠AEB</note>。根据圆周角定理，<note>∠AEB等于它所对的弧AB所对应的圆心角∠AOB的一半</note>，即<note>∠AEB = 1/2 ∠AOB</note>。

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

<note>在本题图中，圆O中，点A是直线PA与圆的切点，线段OA是圆的半径</note>。根据圆的切线性质，<note>切线PA与经过切点A的半径OA垂直</note>，即<note>∠OAP=90°</note>。同理，<note>点B是直线PB与圆的切点，线段OB是圆的半径</note>，所以<note>切线PB与经过切点B的半径OB垂直</note>，即<note>∠OBP=90°</note>。

四边形的内角和定理

在任意四边形中，四个内角的和为360°。

<note>四边形OAPB</note>中，<note>角OAP</note>、<note>角OBP</note>、<note>角AOB</note>和<note>角P</note>是四边形的四个内角，根据四边形的内角和定理，这四个内角的和为360°，即<note>角OAP + 角OBP + 角AOB + 角P = 360°</note>。


Question: 如图,在⊙O中,AD,CD是弦,连接OC并延长,交过点A的切线于点B,若∠ADC=25°,则∠ABO的度数为()

Answer: 40°

1. 已知∠ADC=25°。通过延长线OC以交过点A的切线于点B，并连接OA。

2. 由圆周角定理可知，圆周角的度数等于对应圆心角的度数的一半，即∠AOC=2×∠ADC = 2×25° = 50°。

3. 根据圆的切线性质，当直线切于圆且切点为A时，切点的切线与通过切点的半径垂直。因此我们可以得出∠OAB=90°。

4. 在ΔOAB中，利用内角和定理，我们有：∠OAB + ∠ABO + ∠AOB = 180°。其中∠OAB = 90°和∠AOB = ∠AOC = 50°。

5. 由步骤4的方程可知：90° + ∠ABO + 50° = 180°。

6. 整理步骤5的方程，得出：∠ABO = 180° - 90° - 50° = 40°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为40°。

圆; 圆周角; 切线; 弦; 对顶角

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

<note>圆O中，点A、D、C在圆上</note>，<note>劣弧AC对应的圆心角为∠AOC</note>，<note>圆周角为∠ADC</note>。根据圆周角定理，<note>∠AOC等于它所对的劣弧AC所对应的圆周角∠ADC的两倍</note>，即<note>∠AOC = 2 × ∠ADC</note>。

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

在本题图中，圆⊙O中，点A是直线AB与圆的切点，<note>线段OA是圆的半径</note>。根据圆的切线性质，<note>切线AB与经过切点A的半径OA垂直</note>，即<note>∠OAB=90°</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形 OAB 中，角 ∠OAB、角 ∠AOB 和角 ∠ABO 是三角形 OAB 的三个内角</note>，根据<note>三角形内角和定理</note>，<note>角 ∠OAB + 角 ∠AOB + 角 ∠ABO = 180°</note>。


Answer: 70°

1. 已知PA、PB是⊙O的切线，AC是⊙O的直径。##连接OB，根据圆的切线性质##，得出∠OAP=∠OBP=90°。

2. 根据已知∠C=55°，且OC=OB，因此在等腰三角形OCB中，底角相等，则∠OBC=∠OCB=55°。

3. 通过直径在圆周上所对的角是直角的性质，得到∠ABC=90°。

4. 由步骤2中的结论，可以计算出∠AOB：在##△OBC##中，∠AOB作为外角，由##∠OCB##和##∠OBC##的和组成，其中∠AOB=∠OBC + ∠OCB=55° + 55°=110°。

5. 在四边形AOBP中，内角和为360°。由于∠OAP=90°和∠OBP=90°，因此∠AOB + ∠APB=180°。

6. 根据步骤4的结论，得∠APB=180° - ∠AOB=180° - 110°=70°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为70°。

圆; 切线; 圆周角; 等腰三角形; 线段

圆的切线定义

圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。

<note>圆O与直线PA和PB有且只有一个公共点，分别是点A和点B</note>，这些公共点叫做切点。因此，<note>直线PA和PB是圆O的切线</note>。

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

<note>AC是直径</note>，连接了<note>圆心O</note>和圆周上的<note>A、C两点</note>，长度为<note>2倍的半径</note>，即<note>AC = 2 * OA</note>。

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

<note>点A是直线PA与圆的切点</note>，<note>线段OA是圆的半径</note>。根据圆的切线性质，<note>切线PA与经过切点A的半径OA垂直</note>，即<note>∠OAP=90度</note>。同理，<note>点B是直线PB与圆的切点</note>，<note>线段OB是圆的半径</note>。根据圆的切线性质，<note>切线PB与经过切点B的半径OB垂直</note>，即<note>∠OBP=90度</note>。

(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角

半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

<note>圆O中，直径AC所对的圆周角∠ABC是直角（90度）</note>。##

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等

<note>在本题图中，等腰三角形OCB中</note>，边<note>OC和边OB相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>角OCB = 角OBC</note>。

三角形的外角定理

三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。

四边形内角和定理

在任意四边形中，四个内角的和为360°。

<note>四边形AOBP中</note>，<note>角OAP、角OBP、角P和角AOB是四边形的四个内角</note>，根据四边形的内角和定理，这四个内角的和为360°，即<note>角OAP + 角OBP + 角P + 角AOB = 360°</note>。####

多边形的外角定义

多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。


Answer: 55°

1. 已知直线PA、PB分别与圆O相切于点A、B，根据切线垂直定理，圆O的切线垂直于过切点的半径，连接OA、OB得到OA垂直于PA，OB垂直于PB。

####

##2.## 在四边形PAOB中，##四边形的内角和为360°。##

##3.## 因为OA垂直PA，OB垂直PB，因此∠PAO=90°，∠PBO=90°。

##4.## 由于∠P=70°，可得出∠AOB = 180° - ∠P = 110°。

##5.## C点在圆O上，因此根据圆周角定理，圆心角AOB所对应的弧的圆周角∠ACB应为∠AOB的一半。

##6.## 因∠AOB=110°，所以∠ACB = ∠AOB / 2 = 55°。

##7.## 经过上述推理，最终得出答案为∠ACB=55°。

圆; 切线; 普通三角形; 圆周角

圆的切线定义

圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。

在本题图中，<note>圆O与直线PA有且只有一个公共点A，这个公共点叫做切点</note>。因此，<note>直线PA是圆O的切线</note>。同理，<note>圆O与直线PB有且只有一个公共点B，这个公共点叫做切点</note>。因此，<note>直线PB是圆O的切线</note>。##

四边形的内角和定理

在任意四边形中，四个内角的和为360

在本题图中，<note>四边形PAOB</note>中，<note>∠P，∠A，∠B，∠AOB是四边形四个内角</note>，根据定理，四个内角和为360°，即<note>∠P+∠A+∠B+∠AOB=360°</note>。##

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

<note>圆O中，点A是直线PA与圆的切点</note>，<note>线段OA是圆的半径</note>。根据圆的切线性质，<note>切线PA与经过切点A的半径OA垂直，即∠OAP=90度</note>。同理，<note>点B是直线PB与圆的切点</note>，<note>线段OB是圆的半径</note>，<note>切线PB与经过切点B的半径OB垂直，即∠OBP=90度</note>。####

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

在本题图中，圆O中，点A、B、C在圆上，<note>弧AB与弧BA对应的圆心角为∠AOB</note>，<note>圆周角为∠ACB</note>。根据圆周角定理，<note>∠ACB等于它所对的弧AB所对应的圆心角∠AOB的一半</note>，即<note>∠ACB = 1/2 ∠AOB</note>。


Question: 直线AB与⊙O相切于点A,如图,若∠OBA=60°,AB=1,则⊙O的半径为()

Answer: √{3}

1. 已知直线AB与⊙O相切于点A，根据##圆的切线性质##，得出OA垂直于AB##，所以∠OAB=90°，根据直角三角形的定义，得出△OBA是直角三角形。##

2. 由于∠OBA=60°，并且OA垂直于AB，因此##根据三角形内角和定理，##在△OBA中，∠BOA=##180°-∠OBA-∠OAB=180°-60°-90°=30°##。

3. ##根据30°-60°-90°三角形的性质，边AB是30°角BOA的对边，是斜边OB的一半，已知AB=1，所以OB=2*AB=2。##

4. 由于OA垂直于AB，并且OA是O到AB的垂直距离，在直角三角形OAB中，依据勾股定理得出##OA=√(OB^2-AB^2)=√(2^2-1^2)=√3##。

5.综上所述，⊙O的半径为##√3##。

切线; 直角三角形; 圆

圆的切线定义

圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

在本题图中，三角形OAB中，<note>角OAB是直角（90度）</note>，因此三角形OAB是一个直角三角形。<note>边OA和边AB是直角边</note>，<note>边OB是斜边</note>。

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

<note>圆O中，点A是直线AB与圆的切点</note>，<note>线段OA是圆的半径</note>。根据圆的切线性质，<note>切线AB与经过切点A的半径OA垂直</note>，即<note>∠OAB=90°</note>。##

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>直角三角形OAB中，角OAB是直角（90度）</note>，<note>边OA和AB是直角边，边OB是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>OB^2 = OA^2 + AB^2</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形OAB中，角OAB、角OBA和角BOA是三角形OAB的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角OAB + 角OBA + 角BOA = 180°</note>。


Question: 如图,线段AB是⊙O的直径,点C、D为⊙O上的点,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E,若∠E=50°,则∠CDB等于()

Answer: 20°

1. 已知线段AB是⊙O的直径，连接OC. 由于过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，根据##圆的切线性质##，得∠OCE=90°。

2. 再已知∠E=50°，则根据∠OCE=90°及##三角形的内角和为180°##，得∠COE==180°-∠OCE-∠E=180°-90°-50°=40°。

3. 根据圆周角定理，圆周角是其所对应的圆心角的一半，所以∠CDB= ##1/2 ##∠COE。

4. 由此可以得到∠CDB=##1/2  ##×40°=20°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为∠CDB=20°。

圆; 圆周角; 切线; 直角三角形; 三角形的外角

圆的切线定义

圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

在本题图中，圆O中，<note>角CDB的顶点D在圆周上</note>，<note>角CDB的两边分别与圆O相交于点C和点B</note>。因此，<note>角CDB是一个圆周角</note>。

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

<note>圆O中，点C是直线CE与圆的切点</note>，<note>线段OC是圆的半径</note>。根据圆的切线性质，<note>切线CE与经过切点C的半径OC垂直</note>，即<note>∠OCE=90°</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形OCE中，角OCE、角E和角COE是三角形OCE的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角OCE + 角E + 角COE = 180°</note>。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

<note>在本题图中，圆O中，点C、D在圆上，弧BC和弧BCA对应的圆心角为##∠COB##</note>，<note>圆周角为∠CDB##和∠BAC##</note>。根据圆周角定理，<note>∠CDB等于它所对的弧CD所对应的圆心角##∠COB##的一半，即∠CDB = 1/2 ##∠COB##</note>。


Question: 如图,AC是⊙O的切线,切点为C,BC是⊙O的直径,AB交⊙O于点D,连接OD．若∠BAC=55°,则∠COD的大小为()

Answer: 70°

1. 已知AC是⊙O的切线，且切点为C，根据切线垂直于经过切点的半径，得出∠ACB=90°。

2. 由题设条件，已知∠BAC=55°。

3. 根据三角形内角和定理，对于##三角形ABC##，有∠BAC + ∠ACB + ∠ABC = 180°，因此∠ABC=180° - ∠BAC - ∠ACB。

4. 代入已知值∠BAC=55°和∠ACB=90°，得∠ABC=180° - 55° - 90° = 35°。

5. 根据圆周角定理，##弧DC##所对的圆心角##∠COD##是其所对的圆周角∠B的2倍，因此有##∠COD##=2×##∠ABC##。

6. 代入∠ABC=35°，得##∠COD##=2×35°=70°。

####

##7##. 经过上述推理，最终得出答案为70°。

圆; 切线; 圆周角; 圆心角; 直角三角形

圆的切线定义

圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。

在本题图中，<note>圆O与直线AC有且只有一个公共点C</note>，这个公共点叫做切点。因此，<note>直线AC是圆O的切线</note>。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

<note>点O是圆心</note>，<note>点C和点B是圆上的任意一点</note>，<note>线段OC和线段OB是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段OC和线段OB是圆O的半径</note>。

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

在本题图中，<note>BC是直径</note>，连接了<note>圆心O</note>和<note>圆周上的B、C两点</note>，长度为<note>2倍的半径，即BC = 2 * r</note>。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>在本题图中，三角形ABC中，角BAC、角ACB和角ABC是三角形ABC的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角BAC + 角ACB + 角ABC = 180°</note>。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。


Question: 如图,⊙O的半径为2,点O到直线l的距离为3,点P是直线l上的一个动点．若PB切⊙O于点B,则PB的最小值是()

Answer: √{5}

1. 已知⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3。作OP′垂直于直线l于点P′，则OP′=3。

2. 连结OB，并注意到切线的性质，切线垂直于经过切点的半径，故∠PBO=90°。

3. 根据直角三角形OBP的性质，应用勾股定理，##得出PB=√(OP^2-OB^2)=√(OP^2-2^2)##。

4. 当点P在直线l上运动到点P′位置时，OP的长度最小，即为3，此时PB也最小。

5. 代入OP=3，计算得PB的最小值为√(##3^2##-##2^2##)=√5。

6. 经过上述推理，最终得出答案为√5。

圆; 切线; 垂线; 直线; 线段

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

<note>圆O中，点O是圆心，点B是圆上的任意一点，线段OB是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段OB是圆O的半径</note>，长度为2。

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

<note>在本题图中，圆O中，点B是直线PB与圆的切点</note>，<note>线段OB是圆的半径</note>。根据圆的切线性质，<note>切线PB与经过切点B的半径OB垂直，即∠PBO=90°</note>。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>△OBP是直角三角形</note>，其中<note>∠PBO=90°</note>，斜边为<note>OP</note>，两直角边为<note>OB</note>和<note>PB</note>，根据勾股定理，##<note>OP^2 = OB^2 + PB^2</note>##。


Question: 如图,点P是⊙O的直径AB延长线上的一点,过点P作⊙O的切线PC,切点为C,若AO=OB=PB=1,则PC的长是()

Answer: √{3}

1. 已知点P在⊙O的直径AB延长线上，过点P作⊙O的切线PC，切点为C，根据切线的性质，切线PC与经过切点C的半径OC垂直。因此连接OC，得OC⊥PC。

2. 根据题意，OC=OB=1，且点P在直径AB的延长线上，故OP=OB+PB=1+1=2。

3. 在直角三角形△OPC中，OC是直角边，##PC##是另一个直角边，因此根据勾股定理，有OP^2=OC^2+PC^2。

4. 代入已知条件，OP=2，OC=1，得到2^2=1^2+PC^2。

5. 解方程得到PC^2=4-1=3，因此PC=√3。

6. 经过上述推理，最终得出答案为√3。

圆; 切线; 直角三角形; 直线; 线段

圆的切线定义

圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。

<note>圆O与直线PC有且只有一个公共点C</note>，这个公共点叫做切点。因此，<note>直线PC是圆O的切线</note>。

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

在本题图中，线段<note>AB是通过圆心O</note>，并且<note>A和B两点都在圆O上</note>，因此<note>AB是圆O的直径</note>，长度为2倍的半径，即<note>AB = 2 * AO</note>。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

<note>圆O中，点O是圆心</note>，<note>点A和点B是圆上的任意一点</note>，<note>线段AO和线段OB是从圆心O到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段AO和线段OB是圆O的半径</note>，并且AO=OB##=OC##=1。

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。


Question: 如图,AB是半圆的直径,点O是圆心,点C是AB延长线的一点,CD与半圆相切于点D。若AB=6,CD=4,则sin∠C的值为()

Answer: \frac{3}{5}

1. 已知AB是半圆的直径且AB=6，根据##直径的定义##，得出半径OD=3。

2. 根据已知CD与半圆相切于点D，依据切线的性质，得出∠CDO=90°。

3. 根据直角三角形定义和勾股定理(直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和)，有OC=√(CD^2 + OD^2) = √(4^2 + 3^2) = 5。

4. 在直角三角形CDO中，根据##正弦函数定义##，sin(∠C) = 对边OD / 斜边OC = 3 / 5。

5. 经过上述推理，最终得出sin∠C的值为3/5。

切线; 直角三角形; 正弦; 圆; 圆心角

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

<note>线段AB是半圆的直径</note>，连接了<note>圆心O和圆周上的A、B两点</note>，长度为<note>2倍的半径，即AB = 2 * 半径</note>。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

在本题图中，三角形CDO中，<note>角∠CDO是直角（90度）</note>，因此<note>三角形CDO是一个直角三角形</note>。<note>边CD和边OD是直角边</note>，<note>边CO是斜边</note>。

正弦函数定义

在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。

在本题图中，直角三角形CDO中，<note>角∠DCO是锐角</note>，<note>边OD是角∠DCO的对边</note>，<note>边OC是斜边</note>。根据正弦函数定义，<note>角∠DCO的正弦值等于对边OD与斜边OC的比值</note>，即<note>sin(∠DCO) = OD / OC = 3 / 5</note>。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

在本题图中，<note>三角形CDO是直角三角形</note>，<note>∠CDO = 90°</note>。<note>边OD与CD是直角边</note>，<note>边OC是斜边</note>，根据勾股定理，<note>有OC^2 = OD^2+ CD^2</note>，即<note>OC = √(3^2 + 4^2) = 5</note>。

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

<note>圆O中，点D是直线CD与圆的切点</note>，<note>线段OD是圆的半径</note>。根据圆的切线性质，<note>切线CD与经过切点D的半径OD垂直，即∠CDO=90度</note>。


Question: 如图,AB是⊙O的直径,AC切⊙O于A,BC交⊙O于点D,若∠C=70°,则∠AOD的度数为()

Answer: 40°

1. 已知AC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径。根据##圆的切线性质##，得出AC垂直AB，即∠CAB=90°。

2. 已知∠C=70°，由三角形的内角和定理，在△ABC中，得出∠ABC=20°。

##3,根据圆周角的定理可知，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半，∠ABC是弧AD的圆周角，∠AOD是弧AD的圆心角，所以∠AOD=2*∠ABC=40°##

####

##4.## 经过上述推理，最终得出答案为∠AOD=40°。

圆; 圆周角; 圆心角; 切线; 直角三角形

圆的切线定义

圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。

<note>在本题图中，圆O与直线AC有且只有一个公共点A，这个公共点叫做切点</note>。因此，<note>直线AC是圆O的切线</note>。####

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形ABC中，角CAB、角ABC和角BCA是三角形ABC的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角CAB + 角ABC + 角BCA = 180°</note>。其中，<note>已知角CAB=90°，角BCA=70°</note>，所以<note>角ABC=20°</note>。

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

在本题图中，圆O中，点A是<note>直线AC与圆的切点</note>，<note>线段OA是圆的半径</note>。根据圆的切线性质，<note>切线AC与经过切点A的半径OA垂直</note>，即<note>∠CAB=90°</note>。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

在本题图中，圆O中，<note>角ABD的顶点(点B)在圆周上</note>，<note>角ABD的两边分别与圆O相交于点A和点D</note>。因此，<note>角ABD是一个圆周角</note>。


Question: 如图,两个同心圆的直径分别为6cm和10cm,大圆的一条弦AB与小圆相切,则弦AB的长为()

Answer: 8cm

1. 作线段OC垂直于线段AB于点C，并连结OA，根据题意如图所示。

2. 由于弦AB与小圆相切，因此OC为小圆半径的长度，即OC=3cm。

3. 在直角三角形OAC中，根据已知条件，OA为大圆的半径，即OA=5cm，而垂线OC上OC=3cm。

4. 根据勾股定理，在直角三角形OAC中，AC的长度可以通过计算即AC=√(OA^2 - OC^2)=√(5^2 - 3^2)=√(25 - 9)=√16=4cm。

5. 由于OC垂直于AB，且AB被OC平分，因此AC=BC。

6. 由此得出，弦AB的长度为AB=2AC=2×4=8cm。

弦; 切线; 垂线; 圆

弦的定义

弦是连接圆上任意两点的线段。

<note>点A和点B是大圆上的任意两点</note>，<note>线段AB连接了这两个点</note>，所以<note>线段AB是大圆的弦</note>。

圆的切线定义

圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。

<note>小圆与直线AB有且只有一个公共点C，这个公共点叫做切点</note>。因此，<note>直线AB是小圆的切线</note>。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>在本题图中，三角形OAC中，角OCA是直角（90度）</note>，因此三角形OAC是一个直角三角形。<note>边OC和边AC是直角边</note>，<note>边OA是斜边</note>。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

在本题图中，应用于<note>直角三角形OAC</note>，根据<note>勾股定理</note>，有<note>OA^2 = OC^2 + AC^2</note>，其中<note>OA为大圆的半径</note>，<note>OC为小圆的半径</note>，<note>AC为直角边之一</note>，因此<note>OA=5cm</note>，<note>OC=3cm</note>，由此可以求得<note>AC=√(5^2 - 3^2)=√(25 - 9)=√16=4cm</note>。

垂径定理

如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。


Question: 如图,直线BC与⊙O相切于点A,AD是⊙O的弦,连接OD,若∠DAC=50°,则∠ODA的度数为()

Answer: 40°

1. 已知直线BC与圆O相切于点A，根据切线的性质，切线与切点处的半径垂直，得出OA垂直于BC。

2. 因此，角OAC是直角，∠OAC = 90°。

3. 由于已知∠DAC = 50°，####，得出∠OAD = ∠OAC - ∠DAC = 90° - 50° = 40°。

4. 因为OA = OD （半径相等），所以三角形OAD是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，其底角相等，因此∠ODA = ∠OAD = 40°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为40°。

圆; 切线; 弦; 圆心角; 圆周角

圆的切线定义

圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。

<note>圆O与直线BC有且只有一个公共点A</note>，这个公共点叫做切点。因此，<note>直线BC是圆O的切线</note>。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

<note>圆O中，点O是圆心</note>，<note>点A和点D是圆上的任意一点</note>，<note>线段OA和线段OD是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段OA和线段OD是圆的半径</note>。

弦的定义

弦是连接圆上任意两点的线段。

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

<note>边OA和边OD相等（同为圆O的半径）</note>，因此三角形OAD是一个等腰三角形。

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直

<note>在本题图中，圆O中，点A是直线BC与圆的切点，线段OA是圆的半径</note>。根据圆的切线性质，<note>切线BC与经过切点A的半径OA垂直</note>，即<note>∠OAC=90度</note>。##

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

<note>等腰三角形OAD</note>中，<note>边OA和边OD相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>∠ODA = ∠OAD</note>。