Question: 求三棱柱的侧面积。 \$ox\$ 平方码

Answer: 96 square yards

1. 首先识别出三棱柱的底面图形是一个直角三角形，已知这直角三角形的三边长度分别为3码、4码和5码。

2. 计算底面三角形的周长，根据三角形的周长公式 Perimeter = a + b + c，其中 a、b 和 c 是三角形的边长，得到周长 Perimeter = 3 + 4 + 5 = 12 码。

3. 根据棱柱的侧面积公式，将底面三角形的周长与棱柱的高相乘得到侧面积，其中棱柱的高为8码。

4. 使用棱柱的侧面积公式 Lateral Area = Perimeter × Height，将已知的周长和高度代入公式计算得到 Lateral Area = 12 × 8 = 96。

5. 因此，棱柱的侧面积为96平方码。

Definition of Right Triangle

A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.

在本题图中，底面三角形中，<note>角是直角（90度）</note>，因此底面三角形是一个直角三角形。<note>边3码和边4码是直角边</note>，<note>边5码是斜边</note>。

Definition of Prism

A prism is a polyhedron with two parallel and congruent polygonal bases, and all other faces are parallelograms.

<note>在本题图中</note>，给定的是<note>一个三棱柱</note>，<note>底面为直角三角形</note>，三个侧面为<note>矩形</note>。

Lateral Surface Area Formula of a Prism

The lateral surface area of a prism is equal to the perimeter of the base multiplied by the height.

<note>侧面积公式 LA = P × H</note>，代入<note>周长12码</note>和<note>高8码</note>，得到<note>侧面积 LA = 12 × 8 = 96平方码</note>。

Formula for the Perimeter of a Triangle

The perimeter of a triangle is the sum of the lengths of its three sides. Therefore, if the three sides of the triangle are denoted as \( a \), \( b \), and \( c \), then the perimeter \( P \) is given by \( P = a + b + c \).

<note>三条边分别是3码、4码、5码</note>，根据三角形的周长公式，即 周长L = <note>3码 + 4码 + 5码</note>。


Question: 这个图形是正多边形吗？

Answer: - no

1. 观察给定的多边形，我们发现这是一个五边形，它的内角及边长分别为：角度—111°, 152°, 111°, 83°, 83°；边长—57, 130, 57, 83, 83。

2. 根据正多边形的定义，所有内角的度数应相等，并且所有边的长度应相等。

3. 通过检查每一个内角的度数发现，该多边形的内角分别是111°, 152°, 111°, 83°, 83°。

4. 因为角A, 角B, 角C, 角D, 角E中至少有一个角的度数（152°）不同于其他角的度数（83°和111°），因此该多边形的所有内角不相等。

5. 接着，检查多边形的边长：发现其边长分别是57, 130, 57, 83, 83。

6. 因为至少有一个边长（130）不同于其他的值（57和83），因此该多边形的所有边长不相等。

7. 根据以上分析，该五边形的所有内角和所有边长都不相等。

8. 由于正多边形的定义要求所有角度和边长均相等，而该多边形不满足上述条件，所以该多边形不是正多边形。

9. 经过上述推理，最终得出答案为no。

Definition of Regular Polygon

A polygon is a regular polygon if and only if all its sides are of equal length and all its interior angles are equal.

<note>正多边形的定义要求五边形的所有内角度数和边长均应相等</note>。但本题中的五边形内角分别是<note>111°, 152°, 111°, 83°, 83°</note>，边长分别是<note>57, 130, 57, 83, 83</note>。因此不满足正多边形的定义。


Question:
在矩形PQRS中找到x的值。

x= \$ox\$

Answer: x=11

1. 在矩形PQRS中，已知一组对边边长分别为\overline{PQ}=4x和\overline{RS}=x+33。根据矩形的定义，矩形的对边相等，因此\overline{PQ}=\overline{RS}。

2. 由步骤1的结论\overline{PQ}=\overline{RS}，得方程4x=x+33。

3. 通过移项求解方程4x=x+33：将x移到方程左侧，得到4x-x=33。

4. 简化方程4x-x=33为3x=33。

5. 通过除以3两边的系数，解得x=33/3。

6. 得到x=11。

7. 所以，通过以上推理步骤，最终得出答案为x=11。

Definition of Rectangle

A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).

在本题图中，四边形PQRS是一个矩形，其内角<note>∠PQR, ∠QRS, ∠RSP, ∠SPQ都是直角（90度）</note>，且<note>边PQ与边RS平行且等长</note>，<note>边QR与边SP平行且等长</note>。因此根据定义，这两组相对的边长度相等，即<note>\overline{PQ} = \overline{RS}</note>。


Question:
求平行四边形FGHI中s的值。

s= \$ox\$

Answer: s=13

1. 已知FGHI是平行四边形，根据平行四边形的定义，平行四边形的对边是相等的。

2. 由步骤1可知，线段FG与线段HI相等，即FG = HI。

3. 已知线段FG的长度为s+26，线段HI的长度为3s，根据步骤2有等式s+26 = 3s。

4. 解方程s+26 = 3s：

5. 将s移项得到26 = 3s - s。

6. 合并同类项，得到26 = 2s。

7. 两边同时除以2，得到s = 13。

8. 经过上述推理，最终得出答案为s = 13。

Definition of Parallelogram

A quadrilateral is a parallelogram if and only if it has two pairs of opposite sides that are both parallel (∥) and congruent (≅).


Question:
这个图形是正多边形吗？

- 是
- 否
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）

Answer: - yes

1. 已知图中形状为三角形，三个内角分别为60°，所有边长均为216。

2. 根据正多边形的定义：正多边形是指所有边等长，且所有内角相等的多边形。

3. 在本题中，三角形的每个内角都为60°，这意味着所有内角相等。

4. 同时，这个三角形的三条边长度均为216，表明所有边等长。

5. 由此可知，这个三角形满足正多边形（更具体地说，是等边三角形）的定义。

6. 经过上述推理，最终得出答案为yes。

Definition of Regular Polygon

在本题图中，形状为三角形，<note>三个内角分别为60°</note>，<note>所有边长均为216</note>，这表明该形状满足正多边形的定义。具体来说，<note>三角形的三个内角分别为60°，60°，60°</note>；<note>三条边分别为216，216，216</note>。


Question:
这个图形是正多边形吗？

- 是
- 不是
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）

Answer: - yes

1. 正多边形的定义：正多边形是所有内角相等且所有边长相等的多边形。

2. 已知该多边形的所有边长均为73，因此该多边形的所有边相等。

3. 已知该多边形的所有内角均为140°，说明该多边形的所有内角相等。

4. 根据正多边形的定义，该多边形满足所有内角相等且所有边相等的条件。

5. 经过上述推理，最终得出答案为yes。

<note>该多边形的所有边长均为73</note>，因此<note>该多边形的所有边相等</note>；同时，<note>该多边形的所有内角均为140°</note>，说明<note>该多边形的所有内角相等</note>。


Question: 在菱形CDEF中找到y的值。 y= \$ox\$ °

Answer: y=31°

1. 已知CDEF是一个菱形，根据菱形的邻角互补，得出菱形的相邻角是互补的。因此，角C和角D互补。换句话说，∠C + ∠D = 180°。

2. 根据题目已知，∠C = y + 25°，∠D = 4y。

3. 因为∠C 和∠D是相邻角，因此我们有方程：(y + 25°) + 4y = 180°。

4. 将方程化简：(y + 25°) + 4y = 180°

5. 合并同类项：5y + 25° = 180°

6. 从等式的两边同时减去25°，得到：5y = 155°

7. 将等式的两边同时除以5，得到：y = 31°

8. 经过上述推理，最终得出答案为y = 31°。

Definition of Rhombus

A quadrilateral is a rhombus if and only if all four sides are of equal length, and its diagonals are perpendicular bisectors of each other.

<note>四边形CDEF中，所有的边CD、DE、EF、FC都是相等的</note>，因此四边形CDEF是一个菱形。此外，<note>四边形CDEF的对角线CE和DF互相垂直平分</note>。

Adjacent Angles of Rhombus are Supplementary

Any pair of adjacent angles in a rhombus are supplementary.

在本题图中，菱形CDEF中，<note>角C和角D是一对邻角</note>，根据菱形的性质，<note>菱形的任意一对邻角互补</note>，即<note>角C + 角D = 180度</note>。同理，<note>角E和角F也是一对邻角</note>，满足<note>角E + 角F = 180度</note>。


Question: 在平行四边形STUV中，求c的值。c= \$ox\$

Answer: c=2

1. 已知: 平行四边形STUV。

2. 根据平行四边形的定义，边ST与UV相等，即\(\overline{ST} = \overline{UV}\)。

3. 题中给出\(\overline{ST} = c + 16\)和\(\overline{UV} = 9c\)。

4. 将\(\overline{ST}\)和\(\overline{UV}\)代入方程: \(c + 16 = 9c\)。

5. 解方程 \(c + 16 = 9c\)，首先两边都减去c，得到: \(16 = 8c\)。

6. 两边同除以8，得到: \(c = 2\)。

7. 经过上述推理，最终得出答案为c = 2。

Definition of Parallelogram

在本题图中，四边形 <note>STUV 是一个平行四边形</note>，<note>边 ST 与边 UV 平行且相等</note>，<note>边 SU 与边 TV 平行且相等</note>。根据题目中给出的信息，<note>\( \overline{ST} = c + 16 \)</note>，且 <note>\( \overline{UV} = 9c \)</note>，两者相等即 <note>\( c + 16 = 9c \)</note>。


Question:
求平行四边形HIJK中c的值。

c= \$ox\$
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题，无需其他内容（也无需用‘问题：’开头）

Answer: c=23

1. 已知平行四边形HIJK中，边HK的长度为2c，边IJ的长度为c+23。

2. 根据平行四边形的定义，对边相等，即HI = JK和HK = IJ。

3. 因此，根据HK = IJ，可以建立方程：2c = c + 23。

4. 解方程：从等式两边减去c，得到c = 23。

5. 经过上述推理，最终得出答案为c = 23。


Question:
在菱形EFGH中，求p的值。
p= \$ox\$ °
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）

Answer: p=62°

1. 已知四边形 EFGH 是菱形，根据菱形的邻角互补，EFGH 的任意两组邻角是互补角。因此，角 E 和角 H 是互补角。

2. 根据菱形的邻角互补，互补角的两角度数之和为 180°。因此，∠E + ∠H = 180°。

3. 根据题设条件，∠E = p 和 ∠H = p + 56°。

4. 将已知角度代入互补角的等式，得：p + (p + 56°) = 180°。

5. 化简方程，得到 2p + 56° = 180°。

6. 从等式的两边减去 56°，得：2p = 124°。

7. 将方程两边同时除以 2，得：p = 62°。

8. 经过上述推理，最终得出答案为 62°。

Definition of Rhombus

在本题图中，<note>四边形 EFGH 是菱形</note>，因此<note>所有的边 EF、FG、GH、HE 都是相等的</note>。此外，<note>四边形 EFGH 的对角线 EG 和 FH 互相垂直平分</note>。

在本题图中，菱形<note>EFGH</note>中，<note>角E和角H是一对邻角</note>，根据菱形的性质，菱形的任意一对邻角互补，即<note>角E + 角H= 180度</note>。同理，<note>角G和角F也是一对邻角</note>，满足<note>角G + 角F= 180度</note>。


Question:
在平行四边形TUVW中找到x的值。

x= \$ox\$

Answer: x=28

1. 在四边形TUVW中，根据题意，边TW的长度为x+28，边UV的长度为2x。

2. 已知TUVW是平行四边形，根据平行四边形的定义，即平行四边形的对边相等，得出TW = UV。

3. 将已知条件代入方程TW = UV，得出方程：x + 28 = 2x。

4. 解方程x + 28 = 2x，首先两边同减去x，得到28 = x。

5. 经过上述推理，最终得出答案为x = 28。


Question:
求平行四边形HIJK中v的值。

v= \$ox\$

Answer: v=5

1. 给定平行四边形HIJK，根据平行四边形的性质定理，平行四边形的对边相等。因此，边HI与边JK相等，即HI = JK。

2. 根据题目，HI的长度为10v，JK的长度为v + 45。

3. 由平行四边形的性质定理得HI = JK，替代已知值，得到等式：10v = v + 45。

4. 为了求v，先从等式的两边减去v，得到：10v - v = 45，即9v = 45。

5. 再将等式两边同时除以9，得到v = 45 / 9。

6. 计算45 ÷ 9的结果，得到v = 5。

7. 经过上述推理，最终得出答案为v = 5。

Properties of Parallelogram Theorem

In a parallelogram, opposite angles are equal, opposite sides are equal, and the diagonals bisect each other.

<note>使用平行四边形性质中的对边相等这一条性质</note>，可以得到<note>边HI与边JK相等，即HI = JK</note>。根据题目已知条件<note>HI = 10v，JK = v + 45</note>，因此可以列出等式<note>10v = v + 45</note>，经过解答步骤得到<note>v = 5</note>。这个定理在本题中用于确定<note>边长HI和JK相等</note>，并进一步求得v的值。


Question:
\$\overline{CD}\$ 在下图中显示。\$\overline{CD}\$ 以 (3,–5) 为中心按比例因子 1/3 缩放，得到 \$\overline{C'D'}\$ 。

\$\overline{C'D'}\$ 的长度是多少？
请将答案写为整数或四舍五入到最接近的十分位的十进制数。

\$\Box\$ 单位

Answer: 4.1 units

1. 根据题意，给定线段 \overline{CD}，其端点坐标为 C(-4, 3) 和 D(8, 1)。

2. 计算线段 \overline{CD} 的长度，可以使用距离公式 d = \sqrt{(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2}。

3. 代入端点坐标 C(-4, 3) 和 D(8, 1)，计算：d = \sqrt{(8 - (-4))^2 + (1 - 3)^2}。

4. 解算：(8 - (-4))^2 = (8 + 4)^2 = 12^2 = 144。

5. 计算：(1 - 3)^2 = (-2)^2 = 4。

6. 将结果代入：d = \sqrt{144 + 4} = \sqrt{148}。

7. \sqrt{148} 约等于 12.166，因此 \overline{CD} 的长度为约 12.166 个单位。

8. 根据题意，\overline{CD} 通过位于 (3, -5) 的中心被放缩，放缩比例为 \frac{1}{3}。

9. 根据直角坐标系中的缩放因子定义，缩放因子为\frac{1}{3} ，\overline{C'D'} 的长度为 \frac{1}{3} \times \text{长度} \ \overline{CD}。

10. 计算：\frac{1}{3} \times 12.166 = 4.055。

11. 将结果四舍五入到最近的十分位，得到 \overline{C'D'} 的长度为 4.1。

12. 经过上述推理，最终得出答案为 4.1。

Distance Formula Between Two Points

In a Cartesian coordinate plane, the distance \( d \) between two points \((x_1, y_1)\) and \((x_2, y_2)\) can be calculated using the formula \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \).

<note>线段长度 \overline{CD}</note> 可以通过它的两个端点坐标 <note>C(-4, 3)</note> 和 <note>D(8, 1)</note> 计算得出。

Definition of Scale Factor in Rectangular Coordinate Systems

In a rectangular coordinate system, if a polygon xxx is transformed to xxx by scaling, then the scale factor is defined as the ratio of the length of any side of the scaled polygon to the length of the corresponding side of the original polygon.


Question:
平行四边形 QRST 是菱形吗？

- 是
- 否
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）

Answer: - yes

1. 已知四边形 QRST 是一个平行四边形，根据平行四边形的性质定理，对角线互相平分，确定点 P 是对角线 QS 和 RT 的交点。

2. 已知 ∠RPS 是直角，即 ∠RPS = 90°。

3. 根据垂线定义，两条直线互相垂直当且仅当它们夹角为直角，因此∠RPS = 90° 表明直线 QS 垂直于直线 RT。

4. 在平行四边形中，如果两条对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形。

5. 经过上述推理，最终得出四边形 QRST 是一个菱形。因此，QRST 是一个菱形。

Definition of Parallelogram

<note>四边形 QRST 是一个平行四边形</note>，<note>边 QR 与边 TS 平行且相等</note>，<note>边 QT 与边 RS 平行且相等</note>。

Definition of Rhombus

<note>在本题图中，四边形 QRST 中，所有的边 QR、RS、ST、TQ 都是相等的</note>，因此四边形 QRST 是一个菱形。此外，<note>四边形 QRST 的对角线 QS 和 RT 互相垂直平分</note>，即<note>对角线 QS 和 RT 相交于点 P，且角 ∠RPS 是直角（90度）</note>，并且<note>QP = PS 和 RP = PT</note>。

Properties of Parallelogram Theorem

在本题图中，平行四边形 QRST 中，<note>对角 RQT 和 RST 相等</note>，<note>对角 QRS 和 QTS 相等</note>；<note>边 QR 和 ST 相等</note>，<note>边 RS 和 QT 相等</note>；<note>对角线 QS 和 RT 互相平分</note>，即<note>交点 P 将对角线 QS 分成两段相等的线段 QP 和 PS，将对角线 RT 分成两段相等的线段 RP 和 PT</note>。

Definition of Perpendicular Lines

Two lines are said to be perpendicular if and only if the angle formed by their intersection is 90 degrees.

在本题图中，<note>直线RT和直线SQ相交形成的角∠RPS是90度</note>，因此根据垂线定义，<note>直线SQ和直线RT互相垂直</note>。

Rhombus Determination Theorem 1

A parallelogram is a rhombus if and only if its diagonals are perpendicular.


Question: 平行四边形 UVWX 是菱形吗？

Answer: - no

1. 已知四边形 UVWX 是平行四边形，在平行四边形中，对角线互相平分。

2. 设 ∠UTX = 94°。在菱形中，对角线互相垂直。因此若平行四边形 UVWX 是菱形，则 ∠UTX 应等于 90°。

3. 根据题意 ∠UTX = 94°，不是 90°，所以对角线 UW 和 VX 不是互相垂直。

4. 由于对角线不垂直，因此根据菱形的对角线性质，平行四边形 UVWX 不能是菱形。

5. 经过上述推理，最终得出答案为 no。

Definition of Parallelogram

在本题图中，四边形 <note>UVWX</note> 是一个平行四边形，边 <note>UV</note> 与边 <note>WX</note> 平行且相等，边 <note>VW</note> 与边 <note>UX</note> 平行且相等。

Definition of Rhombus

<note>四边形 UVWX 是菱形</note>，则所有的边 <note>UV、VW、WX、XU 都应相等</note>。此外，四边形 UVWX 的<note>对角线 UW 和 VX</note> 应<note>互相垂直平分</note>，即<note>对角线 UW 和 VX 相交于点 T</note>，且<note>角 ∠UTX 是直角（90度）</note>，并且 <note>UT = TW 和 VT = TX</note>。

Properties of the Diagonals of a Rhombus

In a rhombus, the diagonals bisect each other and are perpendicular to each other.

<note>菱形 UVWX 中</note>，对角线 <note>UW 和 VX</note> 互相平分且互相垂直。具体来说，<note>点 T 是对角线 UW 和 VX 的交点，且 UT = TW 和 VT = TX</note>。同时，<note>角 ∠UTX 和角 ∠WTX 都是直角（90度）</note>，所以对角线 <note>UW 和 VX 互相垂直</note>。


Question:
平行四边形 STUV 是菱形吗？

- 是
- 否

Answer: - no

1. 已知四边形 STUV 是一个平行四边形，而根据平行四边形的定义，对应边是平行且相等的。

2. 四边形 STUV 的对角线 SU 和 TV 相交于点 R。

3. 根据菱形的对角线性质，如果 STUV 是菱形，那么对角线应当互相垂直。

4. 现在已知 ∠ TRU = 95°。

5. 判断 SU 和 TV 是否垂直，我们需要 ∠ TRU = 90°，但实际情况是 ∠ TRU = 95°。

6. 因此，可以得出 SU 和 TV 并不垂直。

7. 由于 SU 和 TV 并不垂直，依据对于菱形的定义，即对角线必须互相垂直，可得出 STUV 不是菱形。

8. 经过上述推理，最终得出答案为 STUV 不是菱形。

Definition of Parallelogram

<note>四边形 STUV</note> 是一个平行四边形，<note>边 ST 与边 UV 平行且相等</note>，<note>边 SV 与边 TU 平行且相等</note>。

Definition of Rhombus

<note>STUV 是菱形</note>，那么<note>边 ST、TU、UV 和 VS 相等</note>，并且<note>对角线 SU 和 TV 垂直相交于点 R</note>，且 <note>∠TRU 应为直角（90度）</note>。

在本题图中，菱形 STUV 中，<note>对角线 SU 和 TV 互相平分</note>且<note>互相垂直</note>。具体来说，<note>点 R 是对角线 SU 和 TV 的交点</note>，且<note>SR = RU 和 TR = RV</note>。同时，<note>角 ∠ TRU 和角 ∠ SRV 都是直角（90度）</note>，所以<note>对角线 SU 和 TV 互相垂直</note>。


Question:
平行四边形 VWXY 是菱形吗？

- 是
- 否
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）

Answer: - yes

1. 已知四边形VWXY是平行四边形，即VW平行且相等XY并且 VY平行且相等WX，且∠ WUX = 90°。

2. 由平行四边形的性质可知，对角线互相平分，即 WU= UY, VU = UX。

3. 由 ∠ WUX = 90° 可知VX垂直WY，即两条对角线互相垂直。

4. 在一个平行四边形中，如果两条对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形。

5. 因此，由上述步骤可以判断平行四边形VWXY是菱形。

6. 经过上述推理，最终得出答案为yes。


Question:
看这个图形：它的底面是什么形状的？

- triangle
- rectangle
- heptagon
- decagon

Answer: - rectangle

1. 观察图形，确定这是一个长方体。长方体是一种特殊的梯形棱柱，具有两个平行且全等的底面。

2. 根据长方体的定义，其底面是平行四边形的一种，而在长方体中，底面通常表现为矩形。

3. 通过观察长方体的所有面，每对相对的面都是全等的矩形，故其底面也为矩形。

4. 根据上述分析，明确长方体的底面形状为矩形。

5. 经过上述推理，最终得出答案为rectangle。

Definition of Rectangular Prism

A rectangular prism is defined as a three-dimensional geometric figure formed by six rectangular faces, where three mutually adjacent faces respectively define the length, width, and height.

<note>在本题图中，图形被识别为长方体</note>，具有六个矩形面，其中相对的面是全等且平行的。这些矩形面中，通过观察<note>其中任意两个相对的面，例如顶面和底面</note>，可以确定它们的形状都是<note>矩形</note>。

Definition of Rectangle

<note>长方体的每个面都是矩形</note>，包括其底面。<note>底面符合矩形的定义</note>，具有<note>四个直角</note>，<note>对边平行且相等</note>。长方体的<note>底面是一个四边形</note>，其中<note>每个内角都是直角（90度）</note>，且<note>相对的边互相平行并等长</note>。


Question:
这个图形是正多边形吗？

- 是
- 否

Answer: - yes

1. 已知六边形的所有边长均为103，根据多边形的定义，若一多边形的所有边相等，则称该多边形为等边多边形。故此六边形是等边六边形。

2. 已知每个内部角均为120°，根据多边形的定义，若一多边形的所有内部角都相等，则称该多边形为等角多边形。故此六边形是等角多边形。

3. 根据正多边形的定义，一正多边形需同时满足等边和等角两个条件。

4. 由步骤1和2可知，该六边形满足正多边形的双重条件，即：所有边相等且所有角相等。

5. 经过上述推理，最终得出答案为：Yes，该图形是一个正多边形。

Definition of Regular Polygon

<note>在本题图中，正六边形中</note>，所有边长均为<note>103</note>，且所有内角均为<note>120°</note>。因此，该六边形是一个正多边形。


Question:
在矩形ABCD中找到w的值。

w= \$ox\$

Answer: w=11

1. 已知 ABCD 是一个矩形，根据矩形的定义，矩形的对边平行且等长。因此，有 \overline{AD} = \overline{BC} 和 \overline{AB} = \overline{CD}。

2. 根据题意，\overline{AD} = w + 11, \overline{BC} = 2w。

3. 根据步骤 1 中的性质 \overline{AD} = \overline{BC}，将 \overline{AD} 和 \overline{BC} 的值代入，可得方程：w + 11 = 2w。

4. 解步骤 3 的方程：首先从等式两边减去 w，得到 11 = 2w - w。

5. 简化步骤 4 的结果，得到 11 = w。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 w = 11。

Definition of Rectangle

<note>四边形ABCD是一个矩形</note>，其内角<note>∠DAB, ∠ABC, ∠BCD, ∠CDA都是直角（90度）</note>，且<note>边AD与边BC平行且等长</note>，<note>边AB与边CD平行且等长</note>。题目具体给出的边长信息有<note>AD = w + 11和BC = 2w</note>。


Question:
平行四边形 GHIJ 是菱形吗？

- 是
- 否
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）

Answer: - yes

1. 由题图和题意可知四边形GHIJ是平行四边形。平行四边形的性质之一是对角相等，即∠GHI = ∠IJG和∠HGJ = ∠HIJ。

2. 根据题干，四边形GHIJ的∠GHJ, ∠GJH, ∠HJI, ∠IHJ均为59°。

3.  由于∠GHJ = ∠GJH = ∠HJI = ∠IHJ = 59°，并且HJ是公共边等，所以线段HJ两侧的三角形GHJ和IHJ也是全等的。

4. 因此hi=IJ=GH=GJ。

5. 根据菱形的定义要求——四边相等。

6. 经过上述推理，最终得出答案为yes，平行四边形GHIJ是一个菱形。

Congruence Theorem of Triangles (ASA)

If two angles and the included side of one triangle are respectively equal to two angles and the included side of another triangle, then the two triangles are congruent.

Definition of Congruent Triangles

Two triangles are congruent if and only if their corresponding sides are equal and their corresponding angles are equal.

<note>在本题图中，三角形HIJ和三角形HGJ是全等三角形</note>，<note>三角形HIJ的对应边和对应角与三角形HGJ相等</note>，即：
边<note>HI = 边HG</note>
边<note>IJ = 边GJ</note>
边<note>HJ = 边HJ</note>，
同时，对应的角也相等：
角<note>HIJ = 角HGJ</note>
角<note>IHJ= 角GHJ</note>
角<note>IJH = 角GJH</note>。


Question: 平行四边形 CDEF 是菱形吗？

Answer: - yes

1. 根据题目所给图片和条件，四边形 CDEF 是平行四边形，因为对角线 CE 和 DF 相交于点 B。

2. 已知 ∠CBF=90°，说明 ∠CBF 是直角。

3. 根据直角三角形的定义，得 CBF 为直角三角形，得知线段 CE ⊥ 线段 DF。

4. 根据菱形的判定定理1，对角线垂直的平行四边形是菱形。

5. 因此，平行四边形 CDEF 是菱形。

6. 经过上述推理，最终得出答案为是，即 CDEF 是菱形。

Definition of Right Triangle

A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.

<note>三角形CBF中，角∠CBF是直角（90度）</note>，因此三角形CBF是一个直角三角形。<note>边CB和边BF是直角边</note>，<note>边CF是斜边</note>。


Question: 平行四边形 VWXY 是菱形吗？

Answer: - yes

1. 已知四边形VWXY是平行四边形。为判断它是否是菱形，我们需要检验其所有边是否相等。

2. 根据平行四边形的性质：对角线互相平分。同时，判断如果其中一个对角线平分相邻两组对角，则该平行四边形为菱形。

3. 观察给定条件，∠VXW = 63°，∠VXY = 63°，∠WVX = 63°，∠XVY = 63°。

4. 我们注意到线段VX平分∠WVY和∠WXY，因为∠VXW = ∠XVY 和 ∠WVX = ∠VXY。

5. 由于线段VX平分两组相邻对角，因此依据菱形定义，一个对角线平分两组角形成的平行四边形是菱形。

6. 因为∠VXW = ∠VXY = ∠WVX = ∠XVY = 63°，还有对角线平分相邻角，进一步证实VWXY是菱形。

7. 经过上述推理，最终得出答案为YES，平行四边形VWXY是菱形。


Question:
平行四边形 RSTU 是菱形吗？

- 是
- 不是
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）

Answer: - no

1. 已知四边形 RSTU 是一个平行四边形。判断一个平行四边形是否为菱形，可以通过菱形的判定定理1：对角线垂直的平行四边形是菱形。判断其对角线是否互相垂直。

2. 考察四边形的对角线交汇点 V 的相关角度性状。在图中，我们已知角 TVU = 96°。

3. 如果对角线 \overline{RT} 和 \overline{SU} 互相垂直，那么根据定义 \angle TVU 应为 90°。

4. 然而，此处 \angle TVU = 96°。这表明对角线 \overline{RT} 和 \overline{SU} 并不互相垂直。

5. 如果 \overline{RT} 和 \overline{SU} 不是垂直的，则 RSTU 就不是一个菱形。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 RSTU 不是一个菱形。

Definition of Parallelogram

在本题图中，四边形 RSTU 是一个平行四边形，即 <note>\overline{RS} \parallel \overline{TU}</note>, <note>\overline{RU} \parallel \overline{ST}</note>, 并且 <note>\overline{RS} = \overline{TU}</note>, <note>\overline{RU} = \overline{ST}</note>.

Definition of Rhombus

<note>\overline{RT} 和 \overline{SU}</note> 是否<note>互相垂直</note>来得出结论。


Question:
平行四边形STUV是菱形吗？

- 是
- 否
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）

Answer: - yes

1. 在平行四边形 STUV 中，已知对角线 SU 和 TV 在点 W 处相交，且角 SWT = 90°。

2. 在平行四边形中，对角线相互平分。因此，SW = UT 和 TW = WV。

3. 根据对角线相交且成直角的特性，可以使用菱形的判定定理1：如果一个平行四边形的对角线相互垂直，那么该平行四边形是一个菱形。

4. 在本问题中，由于给定的角 SWT = 90°，这意味着 SU ⟂ TV。

5. 因此，根据上述菱形的判定定理1，我们可以断定平行四边形 STUV 是菱形。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 YES。

Definition of Parallelogram

<note>四边形 STUV 是一个平行四边形</note>，<note>边 ST 与边 UV 平行且相等</note>，<note>边 TU 与边 SV 平行且相等</note>。

Definition of Diagonal

A diagonal is a line segment connecting one vertex of a polygon to another vertex that is not adjacent to it.

<note>在本题图中，四边形 STUV 中，顶点 S、T、U、V</note>，<note>对角线是连接顶点 S 和非相邻顶点 U 的线段 SU</note>，<note>以及连接顶点 T 和非相邻顶点 V 的线段 TV</note>。因此，<note>线段 SU 和 TV 就是四边形 STUV 的对角线</note>。

Properties of Parallelogram Theorem

<note>平行四边形 STUV</note> 中，<note>对角 STU 和 SVU 相等</note>，<note>对角 TSV 和 VUT 相等</note>；<note>边 ST 和 UV 相等</note>，<note>边 SV 和 TU 相等</note>；<note>对角线 SU 和 TV 互相平分</note>，<note>即交点 W 将对角线 SU 分成两段相等的线段 SW 和 WU</note>，<note>将对角线 TV 分成两段相等的线段 TW 和 WV</note>。

Rhombus Determination Theorem 1

在本题图中，平行四边形STUV的对角线<note>SU与TV垂直</note>，所以<note>平行四边形STUV为菱形</note>。


Question: 平行四边形VWXY是菱形吗？

Answer: - yes

1. 已知VWXY为平行四边形，因此XW=VY，XY =VW。

2. 根据全等三角形判定定理(ASA），可以得出三角形XWY和三角形VWY全等。

2. 已知∠XWY=∠XYW=∠VWY =∠VYW，且YW=YW。

2. 根据全等三角形判定定理(ASA），可以得出三角形XWY和三角形VWY全等。因此XY=XW=VW=VY

3. 根据菱形的定义，即四条边都相等的四边形为菱形，得出图形VWXY为菱形。此定义保证所有边长相等使得它成为菱形。

4. 经过上述推理，最终得出答案为Yes。

Definition of Rhombus

<note>四边形VWXY中，所有的边VW、WX、XY、YV都是相等的</note>，因此四边形VWXY是一个菱形。

Congruence Theorem of Triangles (ASA)

<note>角XWY等于角VWY</note> ，<note>角XYW等于角VYW</note>，且<note>边WY等于边WY</note>。由于这两个三角形的两角和它们夹着的一边分别相等，根据全等三角形判定定理的角边角准则（ASA），可以得出<note>三角形XWY全等于三角形VWY</note>。

Definition of Congruent Triangles

<note>在本题图中，三角形XWY和三角形VWY是全等三角形</note>，三角形XWY的对应边和对应角与三角形VWY相等，即：<note>边XW = 边VW</note> <note>边VY = 边XY</note> <note>边WY = 边WY</note>，同时，对应的角也相等：<note>角X = 角V</note> <note>角XWY = 角VWY</note> <note>角XYW = 角VYW</note>。


Question:
平行四边形 WXYZ 是正方形吗？

- 是
- 不是
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）

Answer: - no

1. 已知平行四边形 WXYZ 的对角线 XZ 和 WY 相交于点 V，并且 ∠WVX = 94°。

2. 根据平行四边形的性质定理，平行四边形的对角线互相平分，因此 WV = YV 和 ZV = VX。

3. 平行四边形是正方形的条件之一是其对角线互相垂直。

4. ∠WVX = 94°，由于角 ∠WVX 不是 90°，说明对角线 WY 和 XZ 不垂直。

5. 由于对角线没有互相垂直，不能满足平行四边形成为正方形的条件。

6. 因此，平行四边形 WXYZ 不是正方形。

Definition of Parallelogram

<note>四边形 WXYZ 是一个平行四边形</note>，<note>边 WX 与边 YZ 平行且相等</note>，<note>边 XY 与边 WZ 平行且相等</note>。

Properties of Diagonals in a Square

The diagonals of a square are the line segments that connect opposite vertices. The diagonals of a square are equal in length, and they bisect each other perpendicularly.

<note>四边形中，对角线WY和ZX是连接相对角的线段</note>。根据正方形的对角线性质，<note>YW和ZX相等</note>，并且<note>YW和ZX互相垂直平分</note>，即在它们的交点处形成<note>四个90度的角</note>。但<note>角XVW=94°</note>，不满足条件，所以<note>四边形YXWZ不是正方形</note>。

Properties of Parallelogram Theorem

<note>平行四边形 WXYZ</note>中，<note>对角 ∠WXY 和 ∠WZY 相等</note>，<note>对角 ∠ZYX 和 ∠ZWX 相等</note>；<note>边 WX 和 YZ 相等</note>，<note>边 XY 和 WZ 相等</note>；<note>对角线 XZ 和 WY 互相平分</note>，即<note>交点 V 将对角线 XZ 分成两段相等的线段 XV 和 VZ</note>，<note>将对角线 WY 分成两段相等的线段 WV 和 VY</note>。


Question:
平行四边形 VWXY 是矩形吗？

- 是
- 不是
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）

Answer: - no

1. 已知点U是对角线WY和VX的交点，且UW=UY=55，UV=UX=59，因此可以得出三角形UWY和三角形VUX是等腰三角形。

2. 根据三角形的外角定理，三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，因此∠YUW = ∠UYW 和 ∠XUV = ∠UVX。

3. 另外，由于四边形VWXY是平行四边形，根据平行四边形的性质，对角线WY和VX互相平分，因此WU = UY 和 VU = UX。

4. 因为在等腰三角形中对称角相等，因此∠UWY = ∠UYW 和 ∠UVX = ∠XUV。

5. 检查四边形VWXY是矩形的条件之一是它的对角线相等：即WY应等于VX。

6. 在图中计算得到WY = UW + UY = 55 + 55 = 110，VX = UV + UX = 59 + 59 = 118。

7. 因为WY ≠ VX，所以根据矩形的对角线相等定理，四边形VWXY不是矩形。

8. 经过上述推理，最终得出答案为no。

Definition of Isosceles Triangle

A triangle is an isosceles triangle if and only if it has at least two congruent (≅) sides.

<note>在本题图中，三角形UWY中，边UW和边UY相等</note>，因此三角形UWY是一个等腰三角形；同样地，<note>在三角形VUX中，边UV和边UX相等</note>，因此三角形VUX是一个等腰三角形。

Definition of Parallelogram

<note>在本题图中，四边形VWXY是一个平行四边形</note>，<note>边VW与边XY平行且相等</note>，<note>边WX与边VY平行且相等</note>。


Question: m \$\\angle \$ U? m \$\\angle \$ U= \$\\Box\$ °

Answer: m \$\angle \$ U=142°

1. 已知 m∠SRT=71°，同时，∠SRT 是圆周角，其所对的弧为⏜ST。

2. 根据圆周角定理，圆心角 ∠SUT 等于圆周角 ∠SRT 所对的弧⏜ST的度数的两倍，因此，m ∠SUT = 2 × m ∠SRT。

3. 将 ∠SRT 的度数代入，即 m ∠SUT = 2 × 71°。

4. 计算得出 m ∠SUT = 142°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为 142°。

Definition of Inscribed Angle

An inscribed angle is an angle whose vertex lies on the circumference of a circle and whose sides intersect the circle at two points.

在本题图中，圆中，<note>角 SRT 的顶点 R 在圆周上</note>，<note>角 SRT 的两边分别与圆相交于点 S 和点 T</note>。因此，<note>角 SRT 是一个圆周角</note>。

Definition of Central Angle

An angle formed by two radii connecting two points on the circumference of a circle to the center of the circle is called a central angle.

Inscribed Angle Theorem

In a circle, an inscribed angle is equal to half of the central angle that subtends the same arc.

在本题图中，<note>∠SRT 是圆周角</note>，所对的弧为<note>⏜ST</note>。根据圆周角定理，<note>圆心角 ∠SUT 等于圆周角 ∠SRT 所对的弧⏜ST的度数的两倍</note>。因此，<note>m ∠SUT = 2 × m ∠SRT</note>，即 2 × 71°=142°。


Question:
平行四边形 UVWX 是矩形吗？

- 是
- 否

Answer: - no

1. 使用辅助线，在对角线VX和UW 上分别标记出中点 T。

2. 根据题意，已知对角线 VX和 UW 中点 T 的分段，满足 VT=XT=45，UT=WT=47。

3. 在平行四边形中，如果对角线相等且互相平分，则这个平行四边形是矩形。这是矩形的定义之一。

4. 计算对角线VX 和 UW的长度：

5. 对角线 VX 的长度为 VT + TW = 45 + 45 = 90。

6. 对角线UW的长度为 UT + TX = 47 + 47 = 94。

7. 根据步骤 5 和步骤 6，VX= 90 并且UW= 94。

8. 由于 VX和 UW长度不等，因此按照矩形的定义，平行四边形 UVWX 的对角线不相等，所以它不是矩形。

9. 经过上述推理，最终得出答案为 no。

Definition of Rectangle

A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).

<note>矩形的定义是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度）</note>，且相对的边互相平行并等长。在题图中，平行四边形 UVWX 的对角线<note>VX的长度是 90</note>，<note>UW的长度是 94</note>，它们不相等，因此 UVWX 不是矩形。

Definition of Parallelogram

A quadrilateral is a parallelogram if and only if it has two pairs of opposite sides that are both parallel (∥) and congruent (≅).

在本题图中，四边形 <note>UVWX 是一个平行四边形</note>，<note>边 UV 与边 WX 平行且相等</note>，<note>边 VW 与边 UX 平行且相等</note>。


Question: 如果 \$\\overline{PS}\$ 不平行于 \$\\overline{QR}\$ ，那么 PS 是什么？\\n\\nPS= \$\\Box\$

Answer: PS=60

1. 已知四边形PQRS中，\$\overline{PQ}\$和\$\overline{RS}\$是一对平行线。

2. 根据题目条件，四边形PQRS中还有一对全等的底角，即\$\angle P \equiv \angle Q\$。

3. 根据梯形的定义和等腰梯形的性质，四边形PQRS是等腰梯形。

4. 等腰梯形的定义决定了其腰（非平行边）相等，即\$\overline{PS} = \overline{QR}\$。

5. 题目中给出\$\overline{QR}\$的长度为60。

6. 因此，可以得出\$\overline{PS} = \overline{QR} = 60\$。

7. 经过上述推理，最终得出答案为60。

Definition of Trapezoid

A quadrilateral is a trapezoid if and only if it has exactly one pair of parallel sides.

在本题图中，四边形PQRS中，<note>边PQ和边RS是平行的</note>，而<note>边PS和边QR不平行</note>。因此，根据梯形的定义，四边形PQRS是一种梯形，因为它有且仅有一对平行边。

Properties of an Isosceles Trapezoid

In an isosceles trapezoid, the base angles are equal.

<note>四边形PQRS是等腰梯形</note>，其中边PQ和边RS是等腰梯形的两条底边，边PS和边QR是等腰梯形的两条腰。根据等腰梯形的性质，<note>底角∠P和底角∠Q相等</note>，<note>底角∠R和底角∠S相等</note>。题目已知<note>边QR的长度为60</note>，因此<note>边PS的长度也为60</note>。

Definition of Isosceles Trapezoid

A trapezoid is isosceles if and only if its non-parallel sides (legs) are congruent (∅).

<note>梯形PQRS中</note>，边PQ和边RS是平行的，边QR和边PS是梯形的两腰。根据等腰梯形的定义，<note>边QR和边PS相等</note>。因此，<note>梯形PQRS是等腰梯形</note>。


Question:
平行四边形 GHIJ 是正方形吗？

- 是
- 不是
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）

Answer: - no

1. 题目给出条件：HK = JK = 21 和 GK = IK = 22。为了判断平行四边形 GHIJ 是否为正方形，我们需要验证 GHIJ 是否既是菱形又具有一个直角。

2. 在 GHIJ 中，检查对角线 GI 和 HJ 的长度，其中 GI = GK + IK = 22 + 22 = 44，HJ = HK + JK = 21 + 21 = 42。

3. 根据矩形的对角线性质，矩形的对角线相等且互相平分。因此，在 平行四边形GHIJ 中对角线 GI ≠ HJ，GHIJ 不是矩形，也肯定不是正方形。

4. 因为正方形是特殊的矩形，而 GHIJ 的对角线不相等，它不可能是正方形。

5. 经过上述推理，最终得出答案为 GHIJ 不是正方形。

Definition of Rectangle

<note>平行四边形 GHIJ 的对角线 GI 和 HJ 不相等</note>，因此 GHIJ 不可能是矩形，因为<note>矩形的对角线应该相等</note>。

Definition of Rhombus

A quadrilateral is a rhombus if and only if all four sides are of equal length, and its diagonals are perpendicular bisectors of each other.

Definition of Square

A quadrilateral is a square if and only if all four sides are congruent (≅) and all four interior angles are right angles (90°).

因为 <note>GHIJ 的对角线 GI 和 HJ 不相等</note>，且 <note>四边 GH、HI、IJ 和 JG 的长度不相等</note>，因此 <note>GHIJ 不是正方形</note>。

Properties of Parallelogram Theorem

In a parallelogram, opposite angles are equal, opposite sides are equal, and the diagonals bisect each other.

Property of Diagonals in a Rectangle

In a rectangle, the diagonals are equal in length and bisect each other.

在本题图中，<note>在矩形中，对角线相等且互相平分</note>。在平行四边形 GHIJ 中，<note>GI ≠ HJ</note>，所以<note>GHIJ 不满足对角线相等这一性质</note>，所以不是矩形。


Question:
平行四边形CDEF是矩形吗？

- 是
- 否

Answer: - no

1. 已知图形为平行四边形 CDEF，且 FG = DG = 92, EG = CG = 98。我们需要判断 CDEF 是否为矩形。

2. 在平行四边形中，根据平行四边形的性质定理，对角线互相平分，因此 G 是对角线 CE 和 DF 的交点。

3. 由于 FG = DG = 92，我们可以得出 DG 和 FG 长度相等，也就是说 G 是 DF 的中点，并且 DF = 2 * DG = 2 * 92 = 184。

4. 类似地，EG = CG = 98 得出 G 是 CE 的中点，并且 CE = 2 * EG = 2 * 98 = 196。

5. 矩形的判定定理4是对角线相等，即对于矩形而言，对角线 CE 和 DF 应该是相等的。

6. 但通过计算，我们发现 CE = 196 而 DF = 184，它们不相等。

7. 由于对角线不相等，CDEF 不符合矩形的定义，因此 CDEF 不是一个矩形。

8. 经过上述推理，最终得出答案为 no。

Definition of Parallelogram

<note>四边形 CDEF 是一个平行四边形</note>，边 <note>CD 与边 EF 平行且相等</note>，边 <note>CF 与边 DE 平行且相等</note>。

Definition of Rectangle

<note>CDEF</note> 是否为矩形，需要验证其内角是否都是<note>直角（90度）</note>，且相对的边是否互相平行并等长。由于图中未标注<note>角度</note>，且<note>对角线 CE 和 DF</note>不相等，无法确定<note>CDEF 是否为矩形</note>，因此<note>CDEF 不是矩形</note>。

Properties of Parallelogram Theorem

在本题图中，<note>平行四边形 CDEF</note> 中，<note>对角 ∠CDE 和 ∠EFC 相等</note>，<note>对角 ∠DEF 和 ∠FCD 相等</note>；<note>边 CD 和 EF 相等</note>，<note>边 CF 和 DE 相等</note>；<note>对角线 CE 和 DF 互相平分</note>，即<note>交点 G 将对角线 CE 分成两段相等的线段 CG 和 GE</note>，<note>将对角线 DF 分成两段相等的线段 DG 和 GF</note>。

Rectangle Criterion Theorem 4

A parallelogram with equal-length diagonals is a rectangle.

在本题图中，<note>平行四边形CDEF的对角线CE与DF不相等</note>，所以<note>平行四边形CDEF不是矩形</note>。


Question: 平行四边形 RSTU 是矩形吗？

Answer: - no

1. 在平行四边形 RSTU 中，由于对角线互相平分，因为 V 是对角线 SU 和 RT 的交点，所以 VU= VS 和 VT = VR。

2. 已知 RV = 54和TV = 54， RT = 2 × RV = 108。

3. 进一步已知 UV = 52 和 SV = 52， SU = 2 × UV = 104。

4. 在一个矩形中，对角线应该相等，因此若 RSTU 是矩形，应满足 SU = RT。

5. 但是由于 SU ≠ RT，根据矩形的性质，这意味着 RSTU 不是一个矩形。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 no。

Definition of Parallelogram

<note>四边形 RSTU 是一个平行四边形</note>，<note>边 RU 与边 ST 平行且相等</note>，边 RS 与边 TU 平行且相等。

Definition of Rectangle

<note>在本题图中，如果 RSTU 是矩形</note>，那么其对角线 <note>SU 和 RT</note> 应该相等。已知 <note>SU = 104 和 RT = 108</note>，显然 <note>SU ≠ RT</note>，因此根据<note>矩形的性质</note>可知 <note>RSTU 不是一个矩形</note>。

Properties of Parallelogram Theorem

<note>平行四边形 RSTU</note> 中，<note>对角 ∠RST 和 ∠TUR 相等</note>，<note>对角 ∠RSU 和 ∠TSR 相等</note>；<note>边 RS 和 TU 相等</note>，<note>边 ST 和 RU 相等</note>；<note>对角线 SU 和 RT 互相平分</note>，即<note>交点 V 将对角线 SU 分成两段相等的线段 UV 和 SV</note>，<note>将对角线 RT 分成两段相等的线段 RV 和 TV</note>。


Question: 平行四边形 STUV 是矩形吗？

Answer: - yes

1. 已知STUV是平行四边形，且对角线SU和TV相等，SU＝TV＝48。

2. 已知点R是对角线SU和TV的交点，且RS=RT=RU=RV=24。

3. 在平行四边形中，两条对角线互相平分。因此，R是SU和TV的中点。

4. 利用特征条件RS=RT=RU=RV=24，可以推知△SRU、△RTV、△SRT和△URV是全等的。

5. 角∠RSU、∠RUT、∠TRV、和∠VRS都是由相等的对角线被切割产生的，根据'全等三角形对应角相等'定理，这些角都是90度。

6. 平行四边形STUV中每个角度都是直角，由平行四边形的定义可知四边平行且对角相等。因此，STUV为直角平行四边形，即矩形。

7. 经过上述推理，最终得出答案为直角平行四边形，所以STUV是一个矩形。

Definition of Congruent Triangles

Two triangles are congruent if and only if their corresponding sides are equal and their corresponding angles are equal.


Question: 平行四边形 QRST 是矩形吗？

Answer: - yes

1. 已知PQ≅PR≅PS≅PT，可得点P到平行四边形各顶点的距离相等。

2. QS和RT为平行四边形 QRST 的对角线，结合步骤1可得出QS=RT，即平行四边形 QRST 对角线互相平分且相等。

3. 根据矩形的判定定理2：对角线互相平分且相等的四边形是矩形。得出平行四边形QRST是矩形。

4. 经过上述推理，最终得出答案为YES。

Definition of Parallelogram

在本题图中，四边形 QRST 是一个<note>平行四边形</note>，<note>边 QR 与边 ST 平行且相等</note>，<note>边 QT 与边 RS 平行且相等</note>。

Definition of Rectangle

在本题图中，四边形 QRST 是一个矩形，其<note>内角 ∠QRS, ∠RST, ∠STQ, ∠TQR 都是直角（90度）</note>，且<note>边 QR 与边 ST 平行且等长</note>，<note>边 QT 与边 RS 平行且等长</note>。

Properties of Parallelogram Theorem

<note>平行四边形 QRST</note> 中，<note>对角 ∠QRS 和 ∠QTS 相等</note>，<note>对角 ∠RQT 和 ∠RST 相等</note>；<note>边 QR 和 ST 相等</note>，<note>边 QT 和 RS 相等</note>；<note>对角线 QS 和 RT 互相平分</note>，即交点 P <note>将对角线 QS 分成两段相等的线段 QP 和 PS</note>，<note>将对角线 RT 分成两段相等的线段 RP 和 PT</note>。

Rectangle Identification Theorem 2

A quadrilateral is a rectangle if and only if its diagonals bisect each other and are equal in length.

在本题图中，<note>四边形QRST的对角线RT与QS互相平分且相等</note>，所以<note>四边形QRST为矩形</note>。


Question:
如果 \$\\overline{PQ}\$ 不平行于 \$\\overline{RS}\$ ，那么 m \$\\angle\$ R 是多少？

m \$\\angle\$ R= \$\\Box\$ °

Answer: m \$\angle \$ R=106°

1. 根据题目描述，四边形 PQRS 中有一对平行边且另一对边相等，我们首先确认平行边是 \overline{PS} 和 \overline{QR}，两条对角线之间夹着同角度的边为 \overline{PQ} 与 \overline{RS}。这些信息提示我们四边形 PQRS 是一个等腰梯形。

2. 等腰梯形是拥有一对平行边（底边）的四边形，并且另外一对边（腿）相等。此处已知 \overline{PQ} 与 \overline{RS} 相等，\overline{PS} 与 \overline{QR} 平行，因此 PQRS 符合等腰梯形的定义。

3. 等腰梯形有一个重要性质，即两个底角相等。在等腰梯形 PQRS 中，我们知道 \angle QPS 和 \angle PSR 是底角，同时 \angle SRQ 和 \angle RQP 也是底角。

4. 根据等腰梯形的性质，底角 \angle QRS 和 \angle PQR 相等。因此  \angle R =  \angle Q。

5. 从图中得知  \angle Q = 106°。

6. 由于底角相等，我们可以推断  \angle R = 106°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为 106°。

Properties of an Isosceles Trapezoid

<note>等腰梯形 PQRS 中，边 PS 和边 QR 是等腰梯形的两条底边，边 PQ 和边 RS 是等腰梯形的两条腰</note>。根据等腰梯形的性质，<note>底角 ∠QPS 和底角 ∠PSR 相等</note>，<note>底角 ∠PQR 和底角 ∠QRS 相等</note>。


Question:
你能证明这个四边形是平行四边形吗？

- 是
- 否

Answer: - yes

1. 观察图形，给定四边形ABCD，且其对角线AC和BD将彼此分为两部分。

2. 由图可知，AC与BD的交点O使得AO = OC且BO = OD，即OA = OC且OB = OD。

3. 利用线段中点的定义，如果一条对角线将一条线段分为相等的两部分，则其交点是线段的中点。

4. 得到结论：AC与BD的交点O是AC和BD的中点。

5. 根据平行四边形的判定定理4：如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形。

6. 在题目中，由于对角线AC和BD将彼此分为两部分，即互相平分，因此依据上面的判定定理，可以确定四边形ABCD是平行四边形。

7. 经过上述推理，最终得出答案为是平行四边形。

Parallelogram Determination Theorem 4

A quadrilateral is a parallelogram if and only if its diagonals bisect each other.


Question:
如果 \$\overline{BC}\$ 不平行于 \$\overline{AD}\$ ，那么 AD 是多少？

AD= \$\\Box\$

Answer: AD=72

1. 已知四边形 ABCD 中，只有一对边平行，即 AB 平行于 CD，且BC不平行AD，根据梯形的定义，四边形ABCD是梯形。

2. 由图知 ∠C 和 ∠D 是全等的底角。

3. 根据等腰梯形的性质，四边形ABCD是一个等腰梯形（因为有一对平行边和一对全等底角）。

4. 题目图中标明 BC = 72。

5. 由于 ABCD 是等腰梯形，因此 AD = BC。

6. 从第 4 步可知 BC = 72，所以 AD = 72。

7. 经过上述推理，最终得出答案为 AD=72。

Definition of Trapezoid

在本题图中，四边形 ABCD 中，<note>边 AB 和边 CD 是平行的</note>，而<note>边 BC 和边 AD 不平行</note>。因此，根据梯形的定义，四边形 ABCD 是一种梯形，因为<note>它有且仅有一对平行边</note>。

Properties of an Isosceles Trapezoid

在本题图中，等腰梯形ABCD中，边<note>AB和边CD是等腰梯形的两条底边</note>，边<note>AD和边BC是等腰梯形的两条腰</note>。根据等腰梯形的性质，<note>底角∠DAB和底角∠BCD相等</note>，<note>底角∠ADC和底角∠ABC相等</note>。


Question:
平行四边形 FGHI 是正方形吗？

- 是
- 否

Answer: - yes

1. 已知FH和GI为平行四边形 FGHI的两条对角线，FJ=GJ=HJ=IJ=65，FH=FJ+JH，GI=GJ+IJ，那么FH=GI。

2. 由于四边形FGHI的对角线交于一点J，已知∠HJI=90°，根据垂线定义，有FH⟂GI。

3. 根据正方形的对角线性质，正方形的对角线是连接相对角的线段。正方形的两个对角线相等，并互相垂直平分。可知上述推理满足该性质，FGHI为正方形。

4. 经过上述推理，最终得出答案为“Yes”。

Definition of Rectangle

在本题图中，四边形<note>FGHI</note>的对角线<note>FH</note>和<note>GI相等且平分于点J</note>。由对角线相等且平分的性质，四边形<note>FGHI是矩形</note>。矩形的定义为四边形中<note>每个内角都是直角（90度）</note>，且<note>相对的边互相平行并等长</note>。

Definition of Perpendicular Lines

Two lines are said to be perpendicular if and only if the angle formed by their intersection is 90 degrees.

<note>直线FH和直线GI相交形成的角∠IJH是90度</note>，因此根据垂线定义，<note>直线FH和直线GI互相垂直</note>。

Properties of Diagonals in a Square

The diagonals of a square are the line segments that connect opposite vertices. The diagonals of a square are equal in length, and they bisect each other perpendicularly.

在本题图中，正方形FGHI中，<note>对角线FH和GI是连接相对角的线段</note>。根据正方形的对角线性质，<note>FH和GI相等</note>，并且<note>FH和GI互相垂直平分</note>，即在它们的交点处形成<note>四个90度的角</note>。因此，<note>FH = GI</note>，并且它们<note>在交点处相互垂直</note>。


Question:
如果 \$\\overline{FG}\$ 不平行于 \$\\overline{EH}\$ ，那么 m \$\\angle \$ H 是多少？

m \$\\angle \$ H= \$\\Box\$ °

Answer: m \$\angle \$ H=134°

1. 根据题意，四边形 EFGH 中，边 EH 与 FG 是不平行的，EF 与 GH 平行，EH 与 FG 的长度相等。

2. 因为四边形 EFGH 中两条对边 EF 和 GH 平行，而另外两边 EH 和 FG 的长度相等，所以四边形 EFGH 是一个等腰梯形。

3. 根据等腰梯形的性质，等腰梯形中两条非平行边所对的角（也就是各组底角）相等。也就是说，∠EFG 与 ∠FEH 相等，以及∠FGH 与 ∠GHE 相等。

4. 题目中已知 ∠EFG = 46°，因此有 ∠FEH = 46°。

5. 通过四边形的内角和定理，一个四边形的内角之和为 360°，在四边形 EFGH 中，我们有：∠HEF + ∠EFG + ∠HGF + ∠GHE = 360°。

6. 根据等腰梯形的性质，得知 ∠FGH = ∠GHE。设 ∠FGH = x，则 ∠GHE 也是 x。

7. 将已知角度代入方程，得到 x + 46° + 46° + x = 360°。

8. 化简方程，得出 2x + 92° = 360°。

9. 解方程得 2x = 360° - 92° = 268°。

10. 再除以2得到 x = 134°。

11. 经过上述推理，最终得出答案为 ∠H = 134°。

Sum of Interior Angles of a Quadrilateral Theorem

In any quadrilateral, the sum of the four interior angles is 360°.

在本题图中，四边形EFGH中，<note>角HEF</note>、<note>角EFG</note>、<note>角FGH</note>和<note>角GHE</note>是四边形的四个内角，根据四边形的内角和定理，这四个内角的和为360°，即<note>角HEF + 角EFG + 角FGH + 角GHE = 360°</note>。


Question: \$\overline{RU}\$ 是梯形 QSTV 的中位线。 如果 RU=49 且 QV=62，ST 是多少？ ST= \$\Box\$

Answer: ST=36

1. 已知线段 \$\overline{RU}\$ 是梯形 \$QSTV\$ 的中位线，且 \$RU=49\$，\$QV=62\$。

2. 梯形中位线定理指出：在梯形中，与两腰平行的线段，即中位线的长度等于上底和下底长度的平均值。在本题中，中位线 \$\overline{RU}\$ 的长度可以表示为 \$RU = \frac{QV + ST}{2}\$。

3. 将已知量代入公式：\$49 = \frac{62 + ST}{2}\$。

4. 解这个方程：首先，将方程两边乘以2，以去掉分母，得出\$98 = 62 + ST\$。

5. 接下来，从方程的两边减去62，得到 \$ST = 36\$。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 \$ST = 36\$。

Definition of Trapezoid

<note>在本题图中，四边形 QSTV 中，边 QV 和边 ST 是平行的</note>，而<note>边 QS 和边 TV 不平行</note>。因此，根据梯形的定义，<note>四边形 QSTV 是一种梯形</note>，因为它有且仅有一对平行边。

Median Line Theorem of Trapezoid

The median line of a trapezoid is the line segment that connects the midpoints of the non-parallel sides. This line segment is parallel to the bases (the parallel sides of the trapezoid) and its length is equal to half the sum of the lengths of the two bases.

<note>在本题图中，梯形 QSTV 中，边 QV 和边 ST 是梯形的两条底边</note>，<note>点 R 和点 U 是梯形两腰的中点</note>，<note>线段 RU 是连接两腰中点的中位线</note>。根据梯形中位线定理，<note>线段 RU 平行于边 QV 和边 ST</note>，并且<note>线段 RU 的长度等于边 QV 和边 ST 长度和的一半，即 RU = (QV + ST) / 2</note>。


Question:
平行四边形 FGHI 是菱形吗？

- 是
- 不是

Answer: - yes

1. 已知四边形 FGHI 是一个平行四边形。我们需要判断它是否为菱形。根据菱形的判定定理1，菱形的判定条件之一是对角线互相垂直。

2. 观察图中，∠FEI 是直角，即 ∠FEI = 90°。

3. 根据菱形的判定定理1，在一个四边形中，如果相邻两边的对角线是互相垂直的，那么这个四边形是一个菱形。

4. 由于 ∠FEI = 90°，可以得出直线 FH 垂直于直线 GI。

5. 因此，通过对角线互相垂直以及对角线的中点是每一边的中点，使得 FGHI 是一菱形。

6. 通过上述推理，最终得出答案为YES，四边形 FGHI 是一个菱形。

Definition of Parallelogram

<note>四边形 FGHI 是一个平行四边形</note>，<note>边 FG 与边 HI 平行且相等</note>，<note>边 FI 与边 GH 平行且相等</note>。

Definition of Rhombus

在本题图中，<note>四边形 FGHI 中，所有的边 FG、GH、HI、IF 都是相等的</note>，因此四边形 FGHI 是一个菱形。此外，四边形 FGHI <note>的对角线 FH 和 GI 互相垂直平分</note>，即<note>对角线 FH 和 GI 相交于点 E，且角 ∠FEI 是直角（90度）</note>，并且<note>FE = EH 和 GE = EI</note>。

Rhombus Determination Theorem 1

A parallelogram is a rhombus if and only if its diagonals are perpendicular.

在本题图中，平行四边形FGHI的<note>对角线FH与GI垂直</note>，所以平行四边形FGHI为菱形。


Question: 如果 \$\\overline{SV}\$ 不平行于 \$\\overline{TU}\$ ，那么 TU 是多少？\\n\\nTU= \$\\Box\$

Answer: TU=51

1. 从图中已知，四边形STUV中边\overline{ST}和\overline{UV}平行。

2. 角\angle S和角\angle T它们是全等的。

3. 由于四边形STUV有一对底角全等，并且一组对边平行，由梯形的定义和等腰梯形的性质，STUV是等腰梯形。

4. 等腰梯形的定义告诉我们，两腰（非平行边）是全等的。

5. 因此边\overline{TU}和边\overline{SV}全等，即TU = SV。

6. 题目中给出的边\overline{SV}的长度为51。

7. 因此，经过上述推理，最终得出TU = 51。

Properties of an Isosceles Trapezoid

<note>等腰梯形 STUV 中</note>，<note>边 ST 和边 UV 是等腰梯形的两条底边</note>，<note>边 TU 和边 SV 是等腰梯形的两条腰</note>。根据等腰梯形的性质，<note>底角 ∠STU 和底角 ∠TSV 相等</note>，<note>底角 ∠SVU 和底角 ∠TUV 相等</note>。

Definition of Trapezoid

<note>边UV和边ST是平行的</note>，而<note>边UT和边SV不平行</note>。因此，根据梯形的定义，该<note>四边形STUV是一个梯形</note>，因为它有且仅有一对平行边。

Definition of Isosceles Trapezoid

在本题图中，梯形STUV中，<note>边UV和边ST是平行的</note>，<note>边UT和边SV是梯形的两腰</note>。根据等腰梯形的定义，<note>边UT和边SV相等</note>。因此，<note>梯形STUV是等腰梯形</note>。


Question:
如果 WX=36 且 UZ=72，那么 VY 是多少？

VY= \$ox\$

Answer: VY=54

1. 已知线段 WX = 36 和 UZ = 72。

2. 仔细观察图形，注意到四边形 UWXZ 是一个梯形，且其两底 WX 和 UZ 平行。

3. 在四边形 UWXZ 中，线段 VY 是一条中位线，这意味着 VY 平行于 WX 和 UZ 并位于其中间位置。

4. 根据梯形中位线定理，该定理指出：一个梯形的中位线平行于底边且其长度为两底边之和的一半。在本题中，线段 VY 是梯形 UWXZ 的中位线，因此有：VY = 1/2 * (WX + UZ)。

5. 将已知条件代入上式：VY = 1/2 * (36 + 72)。

6. 计算括号内的和：36 + 72 = 108。

7. 继续计算 VY 的长度：VY = 1/2 * 108。

8. 计算 VY 的具体值：VY = 54。

9. 经过上述推理，最终得出答案为 54。

Definition of Trapezoid

<note>在本题图中，四边形 UWXZ 中，边 WX 和边 UZ 是平行的</note>，而<note>边 WU 和边 XZ 不平行</note>。因此，根据梯形的定义，四边形 UWXZ 是一种梯形，因为它有且仅有一对平行边。

Median Line Theorem of Trapezoid

在本题图中，<note>梯形 UWXZ</note>中，<note>边 WX 和边 UZ 是梯形的两条底边</note>，<note>点 V 和点 Y 是梯形两腰的中点</note>，<note>线段 VY 是连接两腰中点的中位线</note>。根据梯形中位线定理，<note>线段 VY 平行于边 WX 和边 UZ</note>，并且<note>线段 VY 的长度等于边 WX 和边 UZ 长度和的一半</note>，即<note>VY = (WX + UZ) / 2</note>。


Question:
此图形是否具有旋转对称性？

- 是
- 否

Answer: - yes

1. 首先，分析给定的图形，这似乎是一个带有辐条的船舵形状，每个辐条等距分布。

2. 根据视觉观察，这个图形有多个辐条，且每个辐条的形状和大小都是相同的。

3. 如果一个图形经过一定角度的旋转后能够与原图形重合，我们称该图形具有旋转对称性。

4. 观察图中共有12个辐条，这表明每个辐条之间夹角为 360度/12=30度。

5. 旋转对称性的定义，如果图形能够以某个小于360度的角度旋转并与其自身重合，则图形具有旋转对称性。

6. 由于在旋转30度的角度下，图形看起来与原始图形相同，因此它显然具有旋转对称性。

7. 经过上述推理，最终得出答案为是。

Rotation Invariance Theorem

Certain geometric figures will coincide with their original position after being rotated by a specific angle. This property is known as rotational invariance.

<note>在本题图中</note>，当该图形<note>旋转30度（360度/12个辐条）后</note>，<note>图形会与原始图形重合</note>。这表明该图形具有旋转对称性。

Definition of Rotational Symmetry

A figure has rotational symmetry if it can be rotated through an angle less than 360 degrees to produce a figure that is identical to the original figure.

在本题图中，图形经过<note>顺时针/逆时针旋转30度</note>可以得到与原图形相同的图形，所以该图形具有旋转对称性。


Question: 平行四边形CDEF是矩形吗？

Answer: - yes

1. 已知BC≅BD≅BE≅BF，首先考虑这个特征，这意味着B是四边形CDEF内的一个对称中心，因为它到每个角的距离相等。

2. 我们知道如果一个四边形是一个平行四边形，并且其对角线互相平分并且相等，那么这个四边形是一个矩形。

3. 在平行四边形CDEF中，CE和DF是对角线。

4. 有BC≅BD≅BE≅BF且CE≅DF，由此可得，CE和DF互相平分且长度相等。

5. 根据矩形的判定定理2：如果一个平行四边形的对角线互相平分且相等，那么这个平行四边形是矩形。

6. 通过以上推理，我们可以确认平行四边形CDEF的对角线CE和DF不仅互相平分，而且相等，所以CDEF是一个矩形。

7. 经过上述推理，最终得出答案为是，CDEF是一个矩形。

Definition of Parallelogram

A quadrilateral is a parallelogram if and only if it has two pairs of opposite sides that are both parallel (∥) and congruent (≅).

Definition of Rectangle

A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).

Property of Diagonals in a Rectangle

<note>矩形CDEF</note>中，<note>对角线CE和FD相等且互相平分</note>。具体来说，<note>点B是对角线CE和对角线DF的交点</note>，因此<note>CB = BE</note>，并且<note>BF = BD</note>。根据<note>矩形的对角线性质</note>，<note>CB = BD</note>，且<note>BF = BE</note>。

Properties of Parallelogram Theorem

<note>在本题图中，平行四边形 CDEF 中</note>，<note>对角 FCD 和 DEF 相等，对角 CFE 和 CDE 相等</note>；<note>边 CD 和 EF 相等，边 CF 和 DE 相等</note>；<note>对角线 CE 和 DF 互相平分</note>，即交点 B 将<note>对角线 CE 分成两段相等的线段 CB 和 BE</note>，将<note>对角线 DF 分成两段相等的线段 BD 和 BF</note>。


Question:
你能证明这个四边形是平行四边形吗？

- 是
- 否

Answer: - yes

1. 已知四边形中有一对对边平行且等长，两条对边的长度均为51，因此可以考虑四边形平行四边形的判定方法。

2. 根据平行四边形的判定定理3：如果四边形一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形。

3. 在本题中，已知四边形的这对对边是平行且等长的，对于这些边，判定定理的条件已经满足。

4. 经过上述推理，我们可以得出结论，该四边形是平行四边形。

Definition of Parallelogram

<note>四边形中有一组对边平行且等长</note>，<note>这组对边的长度均为51</note>，满足平行四边形定义中的<note>对边平行且等长的条件</note>。

Parallelogram Criterion Theorem 3

If one pair of opposite sides of a quadrilateral are both parallel (∥) and congruent (≅), then the quadrilateral is a parallelogram.

<note>四边形的对边平行且相等</note>，所以<note>四边形为平行四边形</note>。


Question:
这个图形有旋转对称性吗？

- 是
- 否

Answer: - no

1. 旋转对称性的定义：若将图形绕中心点旋转角度θ (0° < θ < 360°)，而图形保持不变，则该图形具有旋转对称性。

2. 观察图中的飞机， 其形状和颜色分布是对称的，其中机翼、机头的颜色和形状是左右相同的。

3. 选择任意一点作为旋转中心，并以某个角度（如90°）旋转，观察图形的对比，我们发现旋转后的图形与原图形不同。

4. 更换不同的旋转中心点，尝试其他可能的旋转角度（如45°，180°），同样发现旋转后的图形始终和原图形不同。

5. 通过上述过程，我们无法找到任何一种小于360°的旋转能够使图形复原，说明图形不满足旋转对称性的条件。

6. 经过上述推理，最终得出答案为no, the picture does not have rotational symmetry.

Definition of Rotational Symmetry

在本题图中，<note>图形经过顺时针/逆时针旋转任意小于360度的角度</note>都<note>不可以得到与原图形相同的图形</note>，所以该图形<note>不具有旋转对称性</note>。


Question:
这个图形有旋转对称性吗？

- 是
- 否

Answer: - no

1. 在判断图形是否具有旋转对称性时，我们需要确定图形是否能够在小于360度的旋转后看起来与原图相同。

2. 分析给定的图形，该图形为昆虫形状，观察其各部分是否存在关于某一点的对称。

3. 虽然昆虫的左右身体看似对称，但在绕中心点进行旋转时，昆虫的各部分如腿、触角等的方向会发生改变，导致旋转后的图形与原图不一致。

4. 尝试从旋转90度、180度、270度来分析，每次旋转过程观察图形变化，对比原图发现旋转后图形的各部分偏转角度导致不再对称。

5. 因此，根据旋转对称性的定义，没有任何小于360度的旋转能够使该图形与原图形完全重合，即图形没有旋转对称性。

6. 经过上述推理，最终得出答案为no（图形没有旋转对称性）。

<note>在本题图中，图形经过顺时针/逆时针旋转90度</note>不可以得到与<note>原图形相同的图形</note>，所以<note>该图形不具有旋转对称性</note>。


Question: 这个图形有旋转对称性吗？

Answer: - no

1. 观察图像，识别图形的各个部分，以确定该图形是否具有旋转对称性。

2. 旋转对称性的定义为：在旋转图形一圈（360度）过程中，如果存在一个小于360度的旋转角度使得旋转后图形与原图形完全一致，则该图形具有旋转对称性。

3. 假设我们将该图形绕中心点逆时针旋转，不论旋转多少度（只要旋转角度小于360度），头部、四肢和尾巴都不会与原图中的位置和方向一致。

4. 经过对图形的细致观察及验证，确认在旋转小于360度前，图形始终无法与原来的样子重合。

5. 依据上述分析和旋转对称性的标准，该图形不符合旋转对称的条件。

6. 因此，最终得出结论该图形没有旋转对称性。

<note>图形经过顺时针/逆时针旋转90度</note>无法得到与原图形相同的图形，所以该图形不具有旋转对称性。


Question:
这个图形有旋转对称性吗？

- yes
- no

Answer: - no

1. 图中的旋转对称性是指图像在旋转小于360°的角度后，图形看起来与原图片相同。

2. 观察给定的图形，它是一个章鱼的形状。

3. 对于图形的旋转对称性，我们需要判断是否存在一个小于360°的旋转角度使得图像与原图重合。

4. 章鱼图像的结构不对称，特别是其触手和头部，导致无法在旋转小于360°的情况下让图像与原图重合。

5. 通过视觉检查，我们发现章鱼图像中的触手分布在左右两侧虽然均衡，但是任何小于360°的旋转都不能使该图形与原图重合。

6. 依据以上判断，图中的章鱼没有旋转对称性。

n. 经过上述推理，最终得出答案为No。

<note>章鱼图形</note>经过顺时针/逆时针旋转<note>任意小于360度的角度</note>都不可以得到与原图形相同的图形，所以<note>该图形不具有旋转对称性</note>。


Question: 这个图形有旋转对称性吗？

Answer: - yes

1. 首先观察图形的整体结构，它具有一个中心并包括若干重复的图案单元。

2. 将整个图形划分为若干等分区域，每个区域包含一个相同的重复图案单元。

3. 观察该图案单元的数量，在图中观察到有6个相同的单元。

4. 根据旋转不变性定理，从图形中心出发，旋转图形360度，当每个图案单元对齐到下一个相邻位置时，图形会看起来与旋转之前相同。

5. 对于一个包含6个相同图案单元的图形，能够每60度旋转一次仍然保持图形不变。此即为旋转对称。

6. 经过上述推理，可以得出该图案具有旋转对称性。

Rotation Invariance Theorem

<note>图中中心点标记为O</note>，如果我们围绕<note>该中心点旋转60度或其倍数角度（如120度、180度等）</note>，<note>整个图形将会呈现出与未旋转前完全相同的样子</note>。<note>旋转角度标记为60度</note>，在每次旋转该角度后，图形的每个部分例如<note>a、b、c、d、e、f（六个等分单元）</note>都将与未旋转前重合。


Question:
这幅图有旋转对称性吗？

- 是
- 否

Answer: - yes

1. 观察图片中的图形，该图形是一个中心对称的图案，形状类似于太阳花，由中心的圆形和外围的花瓣组成。

2. 太阳花图案大约由20片形状大小相同且均匀分布的花瓣组成，围绕中心的圆形对称排列。

3. 每片花瓣之间的角度都相同，可以通过将360度除以花瓣的数量进行计算，由此角度计算可知花瓣之间的角度为360度/20片=18度。

4. 依据旋转对称性的定义：如果一个图形经过少于360度的旋转可以得到与原图形相同的图形，则该图形具有旋转对称性。

5. 根据约翻转的角度基于计算的结果: 当图形绕中心顺时针或逆时针旋转18度的整数倍时，图形看起来与旋转前完全一样。

6. 因此，太阳花图案在图中可以至少在18度的最小非零角度下保持不变，符合旋转对称性的定义。

7. 经过上述分析过程，最终得出答案为图中所示图案具有旋转对称性。

<note>太阳花图案</note>经过18度的旋转后，形状和排列依旧保持不变，因此<note>太阳花图案</note>符合旋转对称充要条件，具有旋转对称性。

Definition of Rotational Symmetry

<note>在本题图中，图形经过顺时针/逆时针旋转18度</note>可以得到与原图形相同的图形，所以该图形具有旋转对称性。


Question:
这个图形有旋转对称性吗？

- 是
- 否

Answer: - no

1. 观察图形的整体构造，发现其基本形状由铲头和柄子组成。

2. 根据旋转对称性的定义，若一个图形存在旋转对称性，则在小于360度的旋转下，图形将与初态完全重合。

3. 图形中的铲子头部相对于柄子有一个固定方向，并且柄子的一端有一个特征性曲线手柄。

4. 假设对图形进行90度、180度和270度按顺时针或逆时针方向旋转。

5. 旋转90度后，铲头所在的位置朝向将改变，未与初始姿势重合。

6. 旋转180度后，铲头将上下颠倒，手柄的方向与原先不同，依然未重合。

7. 旋转270度后，铲头方向继续改变，手柄位置不符合初态方向。

8. 通过上述尝试，发现无论对铲子做任何小于360度的旋转，图形均无法保持与初态完全重合。

9. 因此，可以得出结论，该图形不具备旋转对称性。

10. 经过上述推理，最终得出答案为no。

Rotation Invariance Theorem

<note>铲子头部的位置</note>和<note>手柄的位置</note>在旋转<note>90度、180度和270度</note>后都未与初始位置重合，表明该图形并未满足<note>几何图形旋转不变性原理</note>，最终得出答案是:no。

Definition of Rotational Symmetry

<note>在本题图中，图形经过顺时针/逆时针旋转90度</note>不可以得到<note>与原图形相同的图形</note>，所以该图形不具有旋转对称性。


Question:
这个图形有旋转对称性吗？

- 是
- 否

Answer: - no

1. 为了判断图片是否具有旋转对称性，我们需要检查图片在旋转特定角度时，是否能与自身重合。

2. 分析图片时，我们发现在旋转90度、180度、270度时，图片的布局与原方向均不重合。

3. 具体来说，图片包含多个不同方向的形状，例如树和太阳，这些元素的排列在任何非完全旋转下（小于360度）均无法与原图匹配。

4. 因此，图片在小于360度的旋转下不具备与自身的重合性。

5. 根据旋转对称性的定义，无法与自身重合的任何旋转角度表明图片不具备旋转对称性。

Rotation Invariance Theorem

<note>通过旋转图片90度、180度、270度</note>来检查这些特定角度下是否能与原图重合。具体来说，观察每个角度下，<note>像树和太阳这样的元素</note>是否在任何小于360度的旋转后能够回到原来的位置，确定图片是否具有旋转对称性。

Definition of Rotational Symmetry

<note>图形经过顺时针/逆时针旋转90度</note>不可以得到与<note>原图形相同</note>的图形，所以该图形不具有<note>旋转对称性</note>。


Question:
写出围绕原点逆时针旋转90°后的顶点坐标。

J'( \$\\Box\$ , \$\\Box\$ )

K'( \$\\Box\$ , \$\\Box\$ )

L'( \$\\Box\$ , \$\\Box\$ )

M'( \$\\Box\$ , \$\\Box\$ )
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）

Answer:
J'(-8,-9)
K'(-8,-6)
L'(-9,-6)
M'(-9,-9)

1. 已知要将点绕原点逆时针旋转 90°，根据二维平面旋转公式：若点 P(x, y) 绕原点逆时针旋转 90° 后得到 P'(x', y')，则 x' = -y, y' = x。

2. 对于点 J(-9, 8)，代入旋转公式可得 J' 的坐标：x' = -8, y' = -9，所以 J' 的坐标为 (-8, -9)。

3. 对于点 K(-6, 8)，代入旋转公式可得 K' 的坐标：x' = -8, y' = -6，所以 K' 的坐标为 (-8, -6)。

4. 对于点 L(-6, 9)，代入旋转公式可得 L' 的坐标：x' = -9, y' = -6，所以 L' 的坐标为 (-9, -6)。

5. 对于点 M(-9, 9)，代入旋转公式可得 M' 的坐标：x' = -9, y' = -9，所以 M' 的坐标为 (-9, -9)。

6. 经过上述步骤，将四边形 JKLM 的各个顶点 J、K、L、M 按照旋转公式转换为新顶点，即 J'(-8, -9)，K'(-8, -6)，L'(-9, -6)，M'(-9, -9)。

7. 经过推理和计算，四边形 JKLM 经过 90° 逆时针旋转后的顶点坐标为：J'(-8, -9)、K'(-8, -6)、L'(-9, -6)、M'(-9, -9)。

2D Plane Rotation Formula

Consider a rotation transformation in a two-dimensional Euclidean plane about the origin. If a point (x, y) is rotated counterclockwise by an angle θ to a new position (x', y'), the coordinates of the new point are given by the formulas x' = x*cos(θ) - y*sin(θ) and y' = x*sin(θ) + y*cos(θ). Specifically, when θ = 90°, the formulas simplify to x' = -y and y' = x. Therefore, the formula for a 90° counterclockwise rotation is (x, y) -> (-y, x).

<note>点 J(-9, 8)</note>，代入旋转公式可得 <note>J' 的坐标：x' = -8, y' = -9</note>，所以 <note>J' 的坐标为 (-8, -9)</note>。依次对于 <note>K, L, M</note> 亦如此。最终得到 <note>四边形 JKLM 的旋转后的顶点坐标为：J'(-8, -9), K'(-8, -6), L'(-9, -6), M'(-9, -9)</note>。


Question:
写出围绕原点逆时针旋转90°后的顶点坐标。

J'( \$ox\$ , \$ox\$ )

K'( \$ox\$ , \$ox\$ )

L'( \$ox\$ , \$ox\$ )
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）

Answer:
J'(-3,-8)
K'(-9,-8)
L'(0,-2)

1. 已知点 J 的坐标为 (-8, 3)，我们需要以原点 (0, 0) 为中心，将它逆时针旋转 90°。

2. 根据二维平面旋转公式，点 (x, y) 逆时针旋转 90° 后的新坐标为 (-y, x)。

3. 应用公式对点 J，有 J 的新坐标 J' = (-3, -8)。

4. 类似地，对于点 K，其坐标为 (-8, 9)，应用同样的旋转公式。

5. 经过变换，K 的新坐标 K' = (-9, -8)。

6. 对点 L，其坐标为 (-2, 0)，应用旋转公式得到其新坐标。

7. 计算可得 L 的新坐标 L' = (0, -2)。

8. 经过上述推理，最终得到答案为 J'(-3, -8), K'(-9, -8), L'(0, -2)。

Rotation Transformation

A rotation involves rotating a geometric figure around a fixed point, known as the center of rotation, through a specified angle. The new coordinates of the points after rotation can be obtained using specific transformation formulas.

<note>三角形 JKL 的每个点都绕原点 (0, 0) 逆时针旋转了 90°</note>。

2D Plane Rotation Formula

<note>点 J(-8, 3)</note> 旋转后得到新坐标 <note>J'(-3, -8)</note>，<note>点 K(-8, 9)</note> 旋转后得到新坐标 <note>K'(-9, -8)</note>，<note>点 L(-2, 0)</note> 旋转后得到新坐标 <note>L'(0, -2)</note>。


Question:
你能证明这个四边形是平行四边形吗？

- 是
- 否

Answer: - no

1. 观察图形，发现给定的四边形中只有一对角标记为相等。

2. 根据平行四边形的性质定理：在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。此处仅有一对对角相等，无法满足该定理。

3. 另一种判定四边形为平行四边形的方法是：根据平行四边形的定义，平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。但是从图中没有相应的信息支持这两个条件。

4. 由于没有足够的关于边长和其他角的信息，所以无法通过平行四边形的相关定义或定理来确认此四边形为平行四边形。

5. 经过以上分析，结论是给定的信息不足以证明此四边形是平行四边形。

Definition of Parallelogram

<note>四边形的两组对边</note>没有<note>标注信息支持它们平行且相等</note>，因此无法满足<note>平行四边形的定义</note>。

Properties of Parallelogram Theorem

In a parallelogram, opposite angles are equal, opposite sides are equal, and the diagonals bisect each other.

在本题图中，四边形的中<note>仅有一对对角相等</note>，<note>另一对对角没有标注信息支持它们相等</note>，因此无法满足平行四边形的定义。


Question:
写出围绕原点逆时针旋转180°后的顶点坐标。

P'( \$ox\$ , \$ox\$ )

Q'( \$ox\$ , \$ox\$ )

R'( \$ox\$ , \$ox\$ )

S'( \$ox\$ , \$ox\$ )

Answer:
P'(-5,4)
Q'(-5,1)
R'(-10,1)
S'(-10,4)

1. 已知点P的坐标是(5, -4)，需要将它绕原点进行180°逆时针旋转。

2. 根据二维平面旋转公式，点(x, y)经过180°旋转后，其新坐标为(-x, -y)。

3. 应用该公式于点P(5, -4)，其旋转后的新坐标为P'(-5, 4)。

4. 同理，对于点Q(5, -1)，应用二维平面旋转公式后，得到Q'(-5, 1)。

5. 同样地，对于点R(10, -1)，应用二维平面旋转公式后，得到R'(-10, 1)。

6. 最后，对于点S(10, -4)，应用二维平面旋转公式后，得到S'(-10, 4)。

7. 经过上述推理，最终四个顶点的旋转后的坐标为：P'(-5, 4)，Q'(-5, 1)，R'(-10, 1)，S'(-10, 4)。

Rotation Transformation

<note>点P(5, -4)</note>、<note>点Q(5, -1)</note>、<note>点R(10, -1)</note>和<note>点S(10, -4)</note>都绕<note>原点</note>逆时针<note>旋转180°</note>。

2D Plane Rotation Formula

<note>在本题图中，点 (x, y) 经过 180° 旋转</note>后，简化公式得其新坐标为<note>(-x, -y)</note>，对于点<note>P(5, -4)</note>，代入旋转公式可得<note>P' 的坐标：x' = -5, y' = 4</note>，所以<note>P' 的坐标为 (-5, 4)</note>。依次对于<note>Q、R、S</note>亦如此。最终得到<note>四边形 QRSP 的旋转后的顶点坐标</note>为：<note>P' (-5, 4)</note>，<note>Q' (-5, 1)</note>，<note>R' (-10, 1)</note>，<note>S' (-10, 4)</note>。


Question:
写出围绕原点逆时针旋转90°后的顶点坐标。

S'( \$ox\$ , \$ox\$ )

T'( \$ox\$ , \$ox\$ )

U'( \$ox\$ , \$ox\$ )

V'( \$ox\$ , \$ox\$ )

Answer:
S'(-1,-7)
T'(-10,-7)
U'(-10,-2)
V'(-1,-2)

Rotation Transformation

<note>在本题图中，旋转的固定点是原点(0, 0)</note>，我们将矩形的顶点<note>(S, T, U, V)</note>绕这个固定点<note>逆时针旋转90°</note>，从而得到新的顶点<note>(S', T', U', V')</note>。

2D Plane Rotation Formula

在本题图中，<note>点S的坐标为(-7, 1)</note>，我们需要将<note>点S绕原点O逆时针旋转90°角</note>，得到<note>点S'的坐标(-1, -7)</note>。同理，<note>点T的坐标为(-7, 10)</note>，我们需要将<note>点T绕原点O逆时针旋转90°角</note>，得到<note>点T'的坐标(-10, -7)</note>。同理，<note>点U的坐标为(-2, 10)</note>，我们需要将<note>点U绕原点O逆时针旋转90°角</note>，得到<note>点U'的坐标(-10, -2)</note>。同理，<note>点V的坐标为(-2, 1)</note>，我们需要将<note>点V绕原点O逆时针旋转90°角</note>，得到<note>点V'的坐标(-1, -2)</note>。


Question:
写出围绕原点逆时针旋转90°后的顶点坐标。

D'( \$ox\$ , \$ox\$ )

E'( \$ox\$ , \$ox\$ )

F'( \$ox\$ , \$ox\$ )

G'( \$ox\$ , \$ox\$ )

Answer:
D'(-2,-8)
E'(-9,-8)
F'(-9,-4)
G'(-2,-4)

1. 已知点D的坐标为(-8,2)，我们需要将此点绕原点逆时针旋转90°。可以通过旋转矩阵得到新坐标：对任意点(x,y)，旋转后的坐标为(-y,x)。这基于二维平面旋转公式。

2. 应用以上旋转公式于点D：对于D(-8,2)，旋转后坐标为D'(-2,-8)。

3. 同样的方法用于点E。点E的原始坐标为(-8,9)。通过旋转公式，E'的坐标变为(-9,-8)。

4. 继续对点F应用旋转。点F的原始坐标为(-4,9)。经过旋转变换，得到F'的坐标为(-9,-4)。

5. 最后，应用同样的步骤于点G。点G的始坐标为(-4,2)。经过同样计算，G'的坐标变为(-2,-4)。

6. 经过上述推理，最终得出答案为D'(-2,-8), E'(-9,-8), F'(-9,-4), G'(-2,-4)。

Coordinates of a Point

In a Cartesian coordinate system, the position of a point is represented by an ordered pair (x, y), where x denotes the horizontal (x-coordinate) and y denotes the vertical (y-coordinate).

2D Plane Rotation Formula

<note>点D(-8,2)经过90°逆时针旋转得到D'(-2,-8)</note>；<note>点E(-8,9)经过90°逆时针旋转得到E'(-9,-8)</note>；<note>点F(-4,9)经过90°逆时针旋转得到F'(-9,-4)</note>；<note>点G(-4,2)经过90°逆时针旋转得到G'(-2,-4)</note>。

Rotation Transformation

<note>矩形DEFG</note> 的每个点都<note>绕原点 (0, 0)</note> 逆时针旋转了 <note>90°</note>。


Question:
写出绕原点逆时针旋转180°后的顶点坐标。

U'( \$ox\$ , \$ox\$ )

V'( \$ox\$ , \$ox\$ )

W'( \$ox\$ , \$ox\$ )

Answer:
U'(8,5)
V'(7,5)
W'(6,10)

1. 已知点U的坐标为(-8, -5)，V的坐标为(-7, -5)，W的坐标为(-6, -10)，需要将这些点以原点为中心进行180°逆时针旋转。

2. 根据二维平面旋转公式，x' = xcos(θ) - ysin(θ)，y' = xsin(θ) + ycos(θ)，θ=180°，因为cos180°=-1，sin180°=0，所以通过计算逆时针旋转180°的公式为（x，y）-> (-x, -y)。

3. 计算点U经过180°逆时针旋转后的坐标：

   根据旋转公式，U' = (-(-8), -(-5)) = (8, 5)。

4. 计算点V经过180°逆时针旋转后的坐标：

   根据旋转公式，V' = (-(-7), -(-5)) = (7, 5)。

5. 计算点W经过180°逆时针旋转后的坐标：

   根据旋转公式，W' = (-(-6), -(-10)) = (6, 10)。

6. 通过上述计算，我们得到旋转后点的坐标U'(8, 5)，V'(7, 5)，W'(6, 10)。

经过上述推理，最终得出答案为U'(8, 5), V'(7, 5), W'(6, 10)。

在本题图中，<note>点U、V和W</note>分别需要围绕<note>原点进行180°逆时针的旋转变换</note>。<note>原点作为旋转中心</note>，经过旋转变换后，新的点坐标可以根据公式<note>(u, v) -> (-u, -v)</note>进行计算。

2D Plane Rotation Formula

<note>θ=180°</note>时，cos180°=-1，sin180°=0，公式简化为x'=x*cos(180°) - y*sin(180°)=-x，y'=x*sin(180°) + y*cos(180°)=-y，因此，<note>旋转180°逆时针变换的公式为(x, y) -> (-x, -y)</note>。<note>点U的坐标为(-8, -5)</note>，根据旋转公式，U' = (-(-8), -(-5)) = (8, 5)。<note>点V的坐标为(-7, -5)</note>，根据旋转公式，V' = (-(-7), -(-5)) = (7, 5)。<note>点W的坐标为(-6, -10)</note>，根据旋转公式，W' = (-(-6), -(-10)) = (6, 10)。这些计算使用了旋转公式定理，并得出旋转后的新点坐标。


Question:
写出围绕原点逆时针旋转90°后的顶点坐标。

J'( \$ox\$ , \$ox\$ )

K'( \$ox\$ , \$ox\$ )

L'( \$ox\$ , \$ox\$ )

M'( \$ox\$ , \$ox\$ )
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）

Answer:
J'(8,-9)
K'(8,-2)
L'(3,-2)
M'(3,-9)

1. 已知点 J 的坐标为 (−9, −8)，我们需要将其绕原点旋转 90° 逆时针。根据二维平面旋转公式，坐标 (x, y) 逆时针旋转 90° 后的新坐标为 (−y, x)。

2. 根据上述旋转公式，将 J(−9, −8) 进行变换，得到 J' (8, −9)。

3. 接下来，我们考虑点 K，其坐标为 (−2, −8)。同样应用旋转公式，得到 K' (8, −2)。

4. 对于点 L，坐标为 (−2, −3)，旋转变换后的新坐标为 L' (3, −2)。

5. 最后，对点 M，其坐标为 (−9, −3)，应用相同的旋转公式，得到 M' (3, −9)。

6. 经过上述推理，最终得出旋转后的顶点坐标分别为：J'(8, −9)、K'(8, −2)、L'(3, −2)、M'(3, −9)。

Coordinates of a Point

<note>点 J 的坐标为 J(x, y) = J(-9, -8)</note>，<note>点 K 的坐标为 K(x, y) = K(-2, -8)</note>，<note>点 L 的坐标为 L(x, y) = L(-2, -3)</note>，<note>点 M 的坐标为 M(x, y) = M(-9, -3)</note>。

2D Plane Rotation Formula

<note>点 J 的坐标 (−9, −8) 通过旋转变换规则，绕原点逆时针旋转 90° 后的新坐标变为 J' (8, −9)</note>。<note>点 K 的坐标 (−2, −8) 旋转变换后变为 K' (8, −2)</note>。<note>点 L 的坐标 (−2, −3) 旋转变换后变为 L' (3, −2)</note>。<note>点 M 的坐标 (−9, −3) 旋转变换后变为 M' (3, −9)</note>。


Question:
写出围绕原点逆时针旋转270°后的顶点坐标。

D'( \$ox\$ , \$ox\$ )

E'( \$ox\$ , \$ox\$ )

F'( \$ox\$ , \$ox\$ )
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）

Answer:
D'(2,-2)
E'(2,-9)
F'(4,-3)

1. 已知点 D(2, 2)、E(9, 2)、F(3, 4)，需要将其绕原点 O(0, 0)逆时针旋转270°。

2. 根据二维平面旋转公式，x' = x*cos(θ) - y*sin(θ)，y' = x*sin(θ) + y*cos(θ)，θ=270°。又因为，cos270°=0，sin270°=-1。

3. 通过计算，即对于任何点(x, y)旋转270°逆时针后的点为(y, -x)。

4. 将点 D(2, 2)代入二维平面旋转公式，得到D'点坐标为(2, -2)。

5. 将点 E(9, 2)代入二维平面旋转公式，得到E'点坐标为(2, -9)。

6. 将点 F(3, 4)代入二维平面旋转公式，得到F'点坐标为(4, -3)。

7. 经过上述推理，最终得出答案为D'(2, -2)，E'(2, -9)，F'(4, -3)。

Coordinates of a Point

<note>点 D 的坐标为 (2, 2)</note>，<note>点 E 的坐标为 (9, 2)</note>，<note>点 F 的坐标为 (3, 4)</note>。它们分别表示这些点在 x 轴和 y 轴上的位置。

Rotation Transformation

<note>将点 D、E 和 F 绕原点 O 进行270°逆时针旋转</note>。

2D Plane Rotation Formula

<note>θ=270°</note>，<note>cos270°=0</note>，<note>sin270°=-1</note>，则旋转270°逆时针，公式为<note>x' = y</note>，<note>y' =-x</note>。对于点<note>D(2, 2)</note>，代入旋转公式可得<note>D' 的坐标：x' = 2, y' = -2</note>，所以<note>D' 的坐标为 (2, -2)</note>。依次对于<note>D、E、F</note>亦如此。最终得到四边形<note>DEF 的旋转后的顶点坐标</note>为：<note>D'(2, -2)</note>，<note>E'(2, -9)</note>，<note>F'(4, -3)</note>。


Question:
写出绕原点逆时针旋转180°后的顶点坐标。

E'( \$\\Box\$ , \$\\Box\$ )

F'( \$\\Box\$ , \$\\Box\$ )

G'( \$\\Box\$ , \$\\Box\$ )

H'( \$\\Box\$ , \$\\Box\$ )

Answer:
E'(6,-2)
F'(6,-10)
G'(0,-10)
H'(0,-2)

1. 已知点E的坐标为(-6, 2)，需要将其绕原点逆时针旋转180°。

2. 根据旋转变换的性质，绕原点逆时针旋转180°，点(x, y)的坐标变换为(-x, -y)。

3. 因此，点E的坐标(-6, 2)经过180°逆时针旋转后，变为E'(6, -2)。

4. 同样方法，点F的坐标为(-6, 10)，经过180°逆时针旋转后，F'(6, -10)。

5. 对点G(0, 10)，应用相同的旋转规则，得到G'(0, -10)。

6. 对点H(0, 2)，同样旋转得到H'(0, -2)。

7. 经过上述旋转操作，得到各顶点的新坐标：E'(6, -2)，F'(6, -10)，G'(0, -10)，H'(0, -2)。

Rotation Transformation

<note>旋转中心为原点(0, 0)</note>，<note>旋转角度为180°</note>。点E(-6, 2)、点F(-6, 10)、点G(0, 10)、点H(0, 2)分别经过变换得到<note>E'(6, -2)</note>、<note>F'(6, -10)</note>、<note>G'(0, -10)</note>、<note>H'(0, -2)</note>的坐标。


Question:
写出顶点绕原点逆时针旋转90°后的坐标。

B'( \$ox\$ , \$ox\$ )

C'( \$ox\$ , \$ox\$ )

D'( \$ox\$ , \$ox\$ )

Answer:
B'(9,-1)
C'(0,-1)
D'(9,-5)

1. 已知点 B 的坐标为 (-1, -9)。根据二维平面旋转公式，对于任意点 (x, y) 在原点逆时针旋转 90°后，新坐标为 (-y, x)。所以 B' 的坐标为 (-(-9), -1)，即 (9, -1)。

2. 对点 C，已知坐标为 (-1, 0)。通过使用相同的二维平面旋转公式，新坐标 C' 为 (-(0), -1)，即 (0, -1)。

3. 对点 D，已知坐标为 (-5, -9)。使用二维平面旋转公式得出 D' 的新坐标为 (-(-9), -5)，即 (9, -5)。

4. 经过上述推理，点 B、C、D 在逆时针旋转 90° 后的坐标分别为 B'(9, -1)、C'(0, -1) 和 D'(9, -5)。

Coordinates of a Point

在本题图中，<note>点 B 的坐标为(-1, -9)</note>，<note>点 C 的坐标为(-1, 0)</note>，<note>点 D 的坐标为(-5, -9)</note>。这些点都可以用他们的坐标表示，即分别为 <note>B(-1, -9)</note>、<note>C(-1, 0)</note>、<note>D(-5, -9)</note>。

Rotation Transformation

<note>点 B、C、D 绕原点逆时针旋转 90°</note> 作为示例。<note>旋转中心：原点</note>；<note>旋转角度：90°</note>。旋转后点的新坐标：通过公式得出 <note>B'(9, -1)</note>，<note>C'(0, -1)</note>，<note>D'(9, -5)</note>。

2D Plane Rotation Formula

<note>所有点都绕原点逆时针旋转 90°</note>，根据公式得到旋转后点的坐标。<note>点 B 的原坐标为(-1, -9)，旋转后坐标 B' = (9, -1)</note>。<note>点 C 的原坐标为(-1, 0)，旋转后坐标 C' = (0, -1)</note>。<note>点 D 的原坐标为(-5, -9)，旋转后坐标 D' = (9, -5)</note>。


Question: △BCD和△WXY全等吗？

Answer: - no

1. 首先，我们需要找到△BCD的三条边的长度。根据点B(–1,–1)和点D(–1,–10)有相同的x坐标，线段BD的长度为y坐标差的绝对值，即|–10–(–1)|=9。

2. 然后，我们找到线段BC的长度。因为点B(–1,–1)和点C(–10,–1)有相同的y坐标，线段BC的长度为x坐标差的绝对值，即|–10–(–1)|=9。

3. 接下来，计算线段CD的长度。因为点C(–10,–1)和点D(–1,–10)的x坐标和y坐标既不相同，所以我们需要使用两点之间的距离公式：距离公式√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)。

4. 将C(–10,–1)代入(x1,y1)，D(–1,–10)代入(x2,y2)后计算：CD=√((–1+10)^2+(–10+1)^2)=√(9^2+9^2)=√(81+81)=√162=9√2。

5. △BCD的三条边的长度分别为BD=9, BC=9, CD=9√2。

6. 接下来，我们计算△WXY的三条边的长度。首先，找出线段WY的长度。由于W(–10,10)和Y(–1,10)有相同的y坐标，线段WY的长度为x坐标差的绝对值，即|–1–(–10)|=9。

7. 接下来，我们找到线段WX的长度。因为W(–10,10)和X(–10,2)有相同的x坐标，线段WX的长度为y坐标差的绝对值，即|2–10|=8。

8. 然后，计算线段XY的长度。因为X(–10,2)和Y(–1,10)的x坐标和y坐标既不相同，所以我们使用距离公式：XY=√((–1+10)^2+(10–2)^2)=√(9^2+8^2)=√(81+64)=√145。

9. △WXY的三条边的长度分别为WY=9, WX=8, XY=√145。

10. 为了判断两个三角形是否全等，我们使用全等三角形判定定理(SSS)。该定理要求两个三角形的对应三边的长度相等。

11. 从计算结果我们可以看到，△BCD的边长分别为9, 9, 和9√2，而△WXY的边长分别为9, 8, 和√145。显然，这两个三角形的三边不对应相等。

12. 因此，根据三边相等定理，△BCD和△WXY不全等。

13. 经过上述推理，最终得出答案为'no'。

Distance Formula Between Two Points

In a Cartesian coordinate plane, the distance \( d \) between two points \((x_1, y_1)\) and \((x_2, y_2)\) can be calculated using the formula \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \).

<note>点C的坐标为 (–10,–1)</note>，<note>点D的坐标为 (–1,–10)</note>。使用距离公式得出：CD = √((–1+10)^2+(–10+1)^2) = √(9^2+9^2) = √(81+81) = √162 = 9√2。计算<note>线段XY的长度时，点X的坐标为 (–10,–2)</note>，<note>点Y的坐标为 (–1,10)</note>。使用距离公式得出：XY = √((–1+10)^2+(–10+2)^2) = √(9^2+8^2) = √(81+64) = √145 = √145。因此定义在本例中被应用于计算上述两个点之间的距离。

Triangle Congruence Theorem (SSS)

Two triangles are congruent if their three pairs of corresponding sides are equal in length.

<note>三角形BCD</note>和<note>三角形WXY</note>中，<note>边BD与边WY相等</note>，<note>边BC与边WX不相等</note>，<note>边CD与边XY不相等</note>。根据全等三角形判定定理(SSS)，当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形全等。因此，<note>三角形BCD不全等于三角形WXY</note>。


Question:
这个图形有旋转对称性吗？

- 是
- 否

Answer: - yes

1. 观察图像，我们可以看到图中包含一个规则多边形，它由10个完全相同的扇形构成。

2. 将图中的每个扇形标记为A1, A2, ..., A10，根据正多边形的中心角与内角公式，每个扇形的中心角为 360°/10 = 36°。

3. 平移或旋转一个几何图形并使其重回自身位置的最小旋转称为旋转对称。若能在小于360°时重合，则具有旋转对称性。

4. 对于此图形，当我们将其顺时针或逆时针旋转36°时，由于各扇形完全相同，图形看起来与开始时的图形完全相同。

5. 因此，该图形具有36°的旋转对称性，以及其他36°的倍数（如72°, 108°, ...,324°）的旋转对称性。

6. 根据旋转不变性定理及此图的分析，确定该图形具备旋转对称性。

Definition of Regular Polygon

A polygon is a regular polygon if and only if all its sides are of equal length and all its interior angles are equal.

<note>在本题图中</note>，整个圆图形包含一个由<note>10个完全相同的扇形构成的规则多边形</note>，即一个<note>正十边形</note>。每个扇形的<note>边长相等</note>，且每个扇形的<note>中心角都为36°</note>。

Definition of Central Angle

An angle formed by two radii connecting two points on the circumference of a circle to the center of the circle is called a central angle.

<note>在本题图中，每个扇形的中心角为36°</note>，计算方式为360°/10 = 36°。<note>图中每个扇形的圆心角由圆心O和两个相邻扇形的边组成。</note>

Rotation Invariance Theorem

<note>在本题图中，当将图形顺时针或逆时针旋转36°时，图形恢复到原来的样子</note>。这满足了旋转对称的定义，说明图形具有旋转对称性。也可以看到，<note>每旋转36°的倍数如72°, 108°, ...,324°，图形都能重合自己</note>。

Formulas for the Central Angle and Interior Angle of a Regular Polygon

For a regular polygon with \( n \) sides, the measure of each central angle is given by \( \frac{360^\circ}{n} \). The measure of each interior angle is given by \( \frac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n} \).

<note>正多边形有10条边</note>，其中<note>中心角的度数为360度除以边数</note>，每个<note>内角的度数为(边数 - 2)乘以180度再除以边数</note>。


Question:
你能证明这个四边形是平行四边形吗？

- 是
- 否

Answer: - yes

1. 首先观察图形，四边形的对角线被标记为平分，即对角线互相平分。

2. 根据平行四边形的判定定理4：如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形。

3. 在本题中，假设四边形各顶点为A、B、C和D，对角线AC和BD相交于点O。

4. 由题可知有AO = OC和BO = OD，即点O是AC和BD的中点。

5. 通过平行四边形的性质定理得出，四边形ABCD满足平行四边形的条件。

6. 经过上述推理，最终得出答案为yes。

Definition of Parallelogram

在本题图中，<note>四边形ABCD是一个平行四边形</note>，<note>边AB与边CD平行且相等</note>，<note>边AD与边BC平行且相等</note>。

Parallelogram Determination Theorem 4

A quadrilateral is a parallelogram if and only if its diagonals bisect each other.


Question: △EFG 和 △UVW 全等吗？

Answer: - yes

1. 已知△EFG具有顶点E(-1,10)、F(-1,0)、G(-10,10)和△UVW具有顶点U(10,-9)、V(0,-9)、W(10,0)，要求证这两个三角形是否全等。

2. 利用坐标计算公式计算△EFG的边长。计算边EF时，E和F具有相同的x坐标，所以EF的长度为y坐标的差的绝对值，即EF=|0-10|=10。

3. 计算边EG时，E和G具有相同的y坐标，所以EG的长度为x坐标的差的绝对值，即EG=|-10-(-1)|=9。

4. 计算边FG时，F和G具有不同的x和y坐标，因此使用距离公式计算FG长度。距离公式为: √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)，代入F(-1,0)、G(-10,10)，FG=√((-10-(-1))^2 + (10-0)^2)=√(81+100)=√181。

5. △EFG的三条边的长度分别为EF=10, EG=9, FG=√181。

6. 利用同样的方法计算△UVW的边长。计算边UV时，U和V具有相同的y坐标，所以UV的长度为x坐标的差的绝对值，即UV=|0-10|=10。

7. 计算边UW时，U和W具有相同的x坐标，所以UW的长度为y坐标的差的绝对值，即UW=|0-(-9)|=9。

8. 计算边VW时，V和W具有不同的x和y坐标，因此使用距离公式计算VW长度。代入V(0,-9)、W(10,0)，VW=√((10-0)^2 + (0-(-9))^2)=√(100+81)=√181。

9. △UVW的三条边的长度分别为UV=10, UW=9, VW=√181。

10. 根据全等三角形判定定理(SSS)，如果两三角形的三边对应相等，则两个三角形全等。此处EF=UV，EG=UW，FG=VW。

11. 经过上述推理，最终得出答案为：△EFG和△UVW全等。

Triangle Congruence Theorem (SSS)

在本题图中，三角形<note>△EFG</note>和三角形<note>△UVW</note>中，<note>边EF与边UV相等</note>，<note>边EG与边UW相等</note>，<note>边FG与边VW相等</note>。根据三角形全等的条件<note>SSS（边边边）</note>，当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形全等。因此，<note>三角形△EFG全等于三角形△UVW</note>。


Question:
你能证明这个四边形是平行四边形吗？

- 是
- 否
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）

Answer: - yes

1. 已知四边形的一对相对的边平行且长度相等为33。

2. 根据平行四边形的判定定理3，如果一个四边形有一对相对的边平行且相等，则此四边形为平行四边形。

3. 因此，依据此定理，给定的四边形是平行四边形。

Definition of Parallelogram

在本题图中，<note>四边形的一对对边平行且长度都为33</note>。这确认了<note>这对边平行且相等</note>，这恰好满足平行四边形的定义。

Parallelogram Criterion Theorem 3

<note>对边平行且相等</note>，所以该四边形为<note>平行四边形</note>。


Question:
平行四边形 DEFG 是菱形吗？

- 是
- 否
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）

Answer: - yes

1. 已知平行四边形 DEFG 的四个角的度数为相等，即 m∠DEG = m∠DGE = m∠EGF = m∠FEG = 30°，因此线段 EG 平分∠DEF 和∠DGF。

2. 由于 m∠DEG = m∠DGE = m∠EGF = m∠FEG = 30°，根据等边对等角原理，DE = DG 和 GF = GE。此时，DEFG 是一个等腰梯形，且满足对角线相等的条件。

3. 在平行四边形 DEFG 中，线段 EG 平分两个相邻角（即∠DEF 和∠DGF）的特性表明它是一条对角线，并且平分这两个对角，因此可以根据平行四边形的性质得出，四边形的所有边相等，DE = EF = FG = GD。

4. 根据菱形的定义（四个边长相等的平行四边形），四边形 DEFG 满足该定义中的条件，即 DE = EF = FG = GD。因此，平行四边形 DEFG 是一个菱形。

5. 经过上述推理，最终得出答案为 yes。

Definition of Rhombus

A quadrilateral is a rhombus if and only if all four sides are of equal length, and its diagonals are perpendicular bisectors of each other.

Definition of Isosceles Triangle

A triangle is an isosceles triangle if and only if it has at least two congruent (≅) sides.

<note>三角形DEG中，边DE和边DG相等</note>，因此三角形DEG是一个等腰三角形；同理，<note>三角形FEG中，边GF和边GE相等</note>，因此三角形FEG是一个等腰三角形。

Properties of Parallelogram Theorem

在本题图中，平行四边形DEFG中，<note>对角∠DEF和∠DGF相等，对角∠DGE和∠EGF相等</note>；<note>边DE和EF相等，边FG和GD相等</note>；<note>对角线EG和DF互相平分，即交点将对角线EG分成两段相等的线段EG和GE，将对角线DF分成两段相等的线段DF和FD</note>。

Definition of Rhombus

<note>所有的边DE、EF、FG、GD都是相等的</note>，因此四边形DEFG是一个菱形。此外，四边形DEFG的对角线EG和DF互相垂直平分，即<note>对角线EG和DF相交于点O，且角EOF是直角（90度）</note>，并且<note>DE=EF=FG=GD</note>。


Question:
你能证明这个四边形是平行四边形吗？

- 是
- 否
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）

Answer: - yes

1. 已知一个四边形中，一组对角的度数相等，为56°，另一个角的度数为124°。

2. 利用多边形内角和定理：一个多边形的内角之和等于 (n-2) × 180°，其中 n 是多边形的边数。得到四边形内角和为 (4-2) × 180°=360°。

3. 假设未知角的测量值为x，那么有56° + 124° + 56° + x = 360°。

4. 进行计算：236° +x = 360°。

5. 为了求得x，从两侧分别减去236°，得到 x = 124°。

6. 计算得出四边形另一组对角相等，为124°。因为四边形中，两组对角的角度相等（56°和124°），根据平行四边形的判定定理5，若四边形的两组对角分别相等，该四边形为平行四边形。可知该四边形为平行四边形。

7. 通过上述推理，最终得出答案为是。

Definition of Parallelogram

<note>四边形的四个角分别为56°、124°、56°和124°</note>。因为<note>两组对角相等 (56°和124°)</note>，所以这个四边形是平行四边形。

Polygon Interior Angle Sum Theorem

The sum of the interior angles of a polygon is equal to (n - 2) * 180°, where n represents the number of sides of the polygon.

在本题图中，<note>四边形的内角和为 (4 - 2) * 180° = 2 * 180° = 360°</note>。用到的公式是<note>四边形的内角和公式</note>。在图中，已知<note>三个角的度数分别为56°, 124°和56°</note>，设第四个角为x度。根据<note>内角和公式</note>，有<note>56° + 124° + 56° + x = 360°</note>。

Parallelogram Criterion Theorem 5

A quadrilateral is a parallelogram if and only if each pair of opposite angles are congruent.

<note>四边形的一组对角相等且为56°</note>，<note>另一组对角相等且为124°</note>，所以该四边形为平行四边形。


Question: △GHI 和 △DEF 全等吗？

Answer: - no

1. 根据题目提供的坐标点，确定△GHI的各边长度：G(2, -9), H(-8, -9), I(-8, 0)。

2. 边GH为水平线段，因为G和H的y坐标相同，计算GH的长度为|x_H - x_G| = |-8 - 2| = 10。

3. 边HI为竖直线段，因为H和I的x坐标相同，计算HI的长度为|y_I - y_H| = |0 - (-9)| = 9。

4. 边GI为斜线段，使用两点之间的距离公式计算：GI = sqrt((x_I - x_G)^2 + (y_I - y_G)^2) = sqrt((-8 - 2)^2 + (0 - (-9))^2) = sqrt(10^2 + 9^2) = sqrt(100 + 81) = sqrt(181)。

5. △GHI的三边长度为GH = 10, HI = 9, GI = sqrt(181)。

6. 接下来，确定△DEF的各边长度：D(1, -3), E(1, 8), F(10, 8)。

7. 边DE为竖直线段，因为D和E的x坐标相同，计算DE的长度为|y_E - y_D| = |8 - (-3)| = 11。

8. 边EF为水平线段，因为E和F的y坐标相同，计算EF的长度为|x_F - x_E| = |10 - 1| = 9。

9. 边DF使用距离公式计算：DF = sqrt((x_F - x_D)^2 + (y_F - y_D)^2) = sqrt((10 - 1)^2 + (8 - (-3))^2) = sqrt(9^2 + 11^2) = sqrt(81 + 121) = sqrt(202)。

10. △DEF的三边长度为DE = 11, EF = 9, DF = sqrt(202)。

11. 比较△GHI和△DEF的三边长度：GH = 10 ≠ DE = 11, HI = 9 = EF = 9, GI = sqrt(181) ≠ DF = sqrt(202)。

12. 根据全等三角形判定定理(SSS)，两个三角形的对应边相等才能判定两个三角形全等。由上述边长比较可知，△GHI和△DEF不满足SSS定理。

13. 通过上述分析，得出结论：△GHI和△DEF不全等。

Distance Formula Between Two Points

在本题图中，计算<note>边GI</note>的长度时使用到<note>两点之间的距离公式</note>，具体为 <note>GI = sqrt((x_I - x_G)^2 + (y_I - y_G)^2) = sqrt((-8 - 2)^2 + (0 - (-9))^2) = sqrt(10^2 + 9^2) = sqrt(100 + 81) = sqrt(181)</note>。同样地，计算<note>边DF</note>的长度时也使用了此公式，具体为<note>DF = sqrt((x_F - x_D)^2 + (y_F - y_D)^2) = sqrt((10 - 1)^2 + (8 - (-3))^2) = sqrt(9^2 + 11^2) = sqrt(81 + 121) = sqrt(202)</note>。

Triangle Congruence Theorem (SSS)

在本题图中，三角形GHI和三角形DEF中，<note>边GH与边ED不相等</note>，<note>边HI与边EF相等</note>，<note>边GI与边DF不相等</note>。根据全等三角形判定定理(SSS)，当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形全等。因此，<note>三角形GHI不全等于三角形DEF</note>。


Question:
平行四边形 UVWX 是矩形吗？

- 是
- 不是
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）

Answer: - yes

1. 已知四边形 UVWX 是平行四边形，根据平行四边形的性质，UV 平行于 WX，且 UW 平行于 VX。

2. 已知 UT = VT = WT = XT = 34，根据三角形的边长性质，四条线段 UT，VT，WT，XT 相等。

3. 由于 UT = VT = WT = XT，点 T 是四边形 UVWX 对角线的交点，根据对等的性质 T 是对角线的中点。

4. 连接 UW 与 VX，并注意到 UW = VX = 68，根据题目中的条件和斜边查找，UWT 与 VXT 是等腰直角三角形。

5. 根据等腰直角三角形的性质，∠UWT = ∠VXT = 90°，这是因为在等腰直角三角形中，两个同等的边长之间的角度为 90°。

6. 因为 ∠UWT = ∠VXT = 90°，这意味着四边形 UVWX 内部的每个角都是直角。

7. 因此，根据直角平行四边形的定义，UVWX 是一个矩形。

8. 经过上述推理，最终得出答案为 yes。

Definition of Parallelogram

A quadrilateral is a parallelogram if and only if it has two pairs of opposite sides that are both parallel (∥) and congruent (≅).

在本题图中，四边形 <note>UVWX</note> 是一个平行四边形，边 <note>UV</note> 与边 <note>WX</note> 平行且相等，边 <note>UW</note> 与边 <note>VX</note> 平行且相等。

Definition of Rectangle

A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).

<note>在本题图中，四边形 UVWX 是一个矩形</note>，其<note>内角 ∠VUW, ∠UVX, ∠VXW, ∠XWV 都是直角（90度）</note>，且<note>边 UV 与边 WX 平行且等长</note>，<note>边 UW 与边 VX 平行且等长</note>。

Properties of Parallelogram Theorem

<note>平行四边形 UVWX 中，对角 ∠UVX 和 ∠UWX 相等</note>，<note>对角 ∠VUW 和 ∠VWX 相等</note>；<note>边 UV 和 WX 相等</note>，<note>边 UW 和 VX 相等</note>；<note>对角线 UT 和 VX 互相平分</note>，即<note>交点 T 将对角线 UT 分成两段相等的线段 UT 和 XT</note>，<note>将对角线 VX 分成两段相等的线段 VT 和 WT</note>。

Definition of Rectangle

<note>四边形 UVWX 是一个矩形</note>，其<note>内角 ∠VUW, ∠UVX, ∠VXW, ∠XWV 都是直角（90度）</note>，且<note>边 UV 与边 WX 平行且等长</note>，<note>边 UW 与边 VX 平行且等长</note>。


Question:
△TUV 和 △ABC 是全等的吗？

- 是
- 不是

Answer: - no

1. 首先计算△TUV的边长。点T(1,8)和V(1,-1)的x坐标相同，因此TV是它们的y坐标之差的绝对值。故TV=|-1-8|=9。

2. 接着计算TU。点T(1,8)和U(10,8)的y坐标相同，因此TU是它们的x坐标之差的绝对值。故TU=|10-1|=9。

3. 最后计算UV。点U(10,8)和V(1,-1)的坐标既无相同的x坐标，也无相同的y坐标，因此使用两点之间的距离公式来计算UV。距离公式为：d=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)。代入U(10,8)为(x1,y1)和V(1,-1)为(x2,y2)，得到：UV=√((1-10)^2+(-1-8)^2)=√((-9)^2+(-9)^2)=√(81+81)=√162=9√2。

4. 如此，△TUV的边长为TV=9，TU=9，UV=9√2。

5. 现在计算△ABC的边长。点A(-2,10)和B(-2,1)的x坐标相同，因此AB是它们的y坐标之差的绝对值。故AB=|1-10|=9。

6. 接着计算AC。点A(-2,10)和C(-10,10)的y坐标相同，因此AC是它们的x坐标之差的绝对值。故AC=|-10-(-2)|=|-10+2|=8。

7. 由于三角形TUV的任意一条边的长度均不为8，而三角形ABC的边AC的长度为8，因此通过全等三角形判定定理(SSS)，△TUV与△ABC不全等。

8. 经过上述推理，最终得出答案为否（No）。

Triangle Congruence Theorem (SSS)

在本题图中，计算得出<note>△TUV的边长分别为TV = 9, TU = 9, UV = 9√2</note>，而<note>△ABC的边长分别为AB = 9, AC = 8</note>，<note>BC需要计算得出结果</note>。由于<note>三角形TUV的任意一条边的长度均不为8</note>，而<note>三角形ABC边AC的长度为8</note>，因此通过边边边全等定理，<note>△TUV与△ABC不全等</note>。


Question:
△QRS 和 △DEF 全等吗？

- 是
- 否

Answer: - yes

1. 根据题目中给出的坐标，计算△QRS的边长。首先计算边QS，点Q(-8, 1)与S(-8, 10)具有相同的x坐标，因此边QS的长度等于这两个点的y坐标的差的绝对值，即|10-1|=9。

2. 其次计算边RS，点R(1, 10)与S(-8, 10)具有相同的y坐标，因此边RS的长度等于这两个点的x坐标的差的绝对值，即|-8-1|=9。

3. 最后计算边QR，Q(-8, 1)和R(1, 10)的x坐标和y坐标均不相等，因此使用两点间距离公式计算QR。距离公式为：√((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)，代入x1=-8, y1=1, x2=1, y2=10，得QR = √((1 - (-8))^2 + (10 - 1)^2) = √(9^2 + 9^2) = √162 = 9√2。

4. 根据题目中的坐标，计算△DEF的边长。首先计算边DF，点D(10, -8)与F(1, -8)具有相同的y坐标，因此边DF的长度等于这两个点的x坐标的差的绝对值，即|1-10|=9。

5. 其次计算边EF，点E(1, 1)与F(1, -8)具有相同的x坐标，因此边EF的长度等于这两个点的y坐标的差的绝对值，即|-8-1|=9。

6. 最后计算边DE，D(10, -8)和E(1, 1)的x坐标和y坐标均不相等，因此使用两点间距离公式计算DE。距离公式为：√((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)，代入x1=10, y1=-8, x2=1, y2=1，得DE = √((1 - 10)^2 + (1 - (-8))^2) = √((-9)^2 + 9^2) = √162 = 9√2。

7. 通过计算，△QRS的三条边长分别为9, 9, 9√2，△DEF的三条边长也分别为9, 9, 9√2。

8. 使用:全等三角形判定定理(SSS)，该定理指出如果两三角形的三个对应边相等，则这两个三角形全等。由于三角形QRS和三角形DEF的对应边都相等，我们可以确认△QRS ≅ △DEF。

9. 经过上述推理，最终得出答案为yes。

<note>边QS与边DF相等</note>，<note>边RS与边EF相等</note>，<note>边QR与边DE相等</note>。根据全等三角形判定定理(SSS)，当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形全等。因此，<note>三角形QRS全等于三角形DEF</note>。


Question:
△FGH 和 △STU 全等吗？

- 是
- 否

Answer: - no

1. 给定了△FGH的顶点为F(–10,8), G(–1,8), H(–10,–1)以及△STU的顶点为S(10,–8), T(0,–8), U(10,1)。我们需要判断这两个三角形是否全等。

2. 首先计算△FGH的边长。由于点F(–10,8)和H(–10,–1)具有相同的x坐标，FH是y坐标差值的绝对值，因此FH = |–1–8| = 9。

3. 由于点F(–10,8)和G(–1,8)具有相同的y坐标，FG是x坐标差值的绝对值，因此FG = |–1 – (–10)| = 9。

4. 计算边GH，由于点G(–1,8)和H(–10,–1)的x坐标和y坐标均不相等，使用距离公式计算GH：

5. 距离公式为\(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)。代入G(–1,8)为(x1,y1)和H(–10,–1)为(x2,y2)，得：

6. GH = \(\sqrt{(–10 - (–1))^2 + (–1 - 8)^2}\) = \(\sqrt{(–9)^2 + (–9)^2}\) = \(\sqrt{81 + 81}\) = \(\sqrt{162}\) = 9\(\sqrt{2}\)。

7. 因此，△FGH的边长为FH = 9, FG = 9, GH = 9\(\sqrt{2}\)。

8. 接下来，计算△STU的边长。由于点S(10,–8)和U(10,1)具有相同的x坐标，SU是y坐标差值的绝对值，因此SU = |1 – (–8)| = 9。

9. 由于点S(10,–8)和T(0,–8)具有相同的y坐标，ST是x坐标差值的绝对值，因此ST = |0 – 10| = 10。

10. 计算边UT，使用距离公式计算UT：

11. 将点T(0,–8)设为(x1,y1)和U(10,1)设为(x2,y2)，代入距离公式得：

12. UT = \(\sqrt{(10 - 0)^2 + (1 - (–8))^2}\) = \(\sqrt{10^2 + 9^2}\) = \(\sqrt{100 + 81}\) = \(\sqrt{181}\) 。

13. △STU的边长为SU = 9, ST = 10, UT = \(\sqrt{181}\) 。

14. 根据全等三角形判定定理(SSS)，如果两个三角形对应边分别相等，则两个三角形全等。在此问题中，FH ≠ ST，因此两个三角形的对应边不全相等。

15. 经过以上推理，△FGH和△STU不全等。

Coordinates of a Point

<note>点F的坐标为(–10, 8)</note>，<note>点G的坐标为(–1, 8)</note>，<note>点H的坐标为(–10, –1)</note>，<note>点S的坐标为(10, –8)</note>，<note>点T的坐标为(0, –8)</note>，<note>点U的坐标为(10, 1)</note>。每个顶点的坐标明确表示其在平面直角坐标系中的位置。

Distance Formula Between Two Points

<note>在本题图中</note>，计算<note>边GH的长度</note>时，我们用到距离公式。<note>点G的坐标为(–1, 8)</note>，<note>点H的坐标为(–10, –1)</note>，根据距离公式，<note>GH = \(\sqrt{(–10 - (–1))^2 + (–1 - 8)^2}\)</note> = \(\sqrt{81 + 81}\) = \(\sqrt{162}\) = 9\(\sqrt{2}\)。计算<note>边UT的长度</note>时也是如此。<note>点T的坐标为(0, –8)</note>，<note>点U的坐标为(10, 1)</note>，<note>UT = \(\sqrt{(10 - 0)^2 + (1 - (–8))^2}\)</note> = \(\sqrt{181}\)。

Triangle Congruence Theorem (SSS)

<note>在本题图中</note>，三角形FGH和三角形STU中，<note>边FH与边SU相等</note>，<note>边FG与边ST不相等</note>，<note>边GH与边UT不相等</note>。根据<note>全等三角形判定定理(SSS)</note>，当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形全等。因此，三角形FGH不全等于三角形STU。


Question:
△FGH 和 △BCD 是全等的吗？

- 是
- 否

Answer: - no

1. 根据题意，需要判断△FGH和△BCD是否全等。

2. 首先通过计算两三角形的三边长度来验证是否符合边-边-边全等定理：三边对应相等。

3. 计算△FGH的边长。点F的坐标为(9,0)，点H的坐标为(9,-9)，FH的长度等于y坐标差值的绝对值：FH=|-9-0|=9。

4. 点G的坐标为(-2,-9)，点H的坐标为(9,-9)，GH的长度等于x坐标差值的绝对值：GH=|9-(-2)|=11。

5. 对于边FG，点F的坐标为(9,0)，点G的坐标为(-2,-9)，使用距离公式，即两点之间的距离d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)。代入值计算：FG=√(((-2)-9)²+((-9)-0)²)=√(((-11)²)+((-9)²))=√(121+81)=√202。

6. △FGH的三边长度为：FH=9，GH=11，FG=√202。

7. 现在计算△BCD的边长。

8. 点B的坐标为(-10,9)，点D的坐标为(-1,9)，BD的长度等于x坐标差值的绝对值：BD=|-1-(-10)|=9。

9. 点C的坐标为(-1,-3)，点D的坐标为(-1,9)，CD的长度等于y坐标差值的绝对值：CD=|9-(-3)|=12。

10. 对于边BC，点B的坐标为(-10,9)，点C的坐标为(-1,-3)，使用距离公式：BC=√(((-1)-(-10))²+( (-3)-9)²)=√(9²+(-12)²)=√(81+144)=√225=15。

11. △BCD的三边长度为：BD=9, CD=12, BC=15。

12. 比较两三角形的边长：

13. △FGH的边（FH, GH, FG）对应长度为 9, 11, √202，

14. △BCD的边（BD, CD, BC）对应长度为9, 12, 15。

15. 明显△FGH和△BCD中没有一个三边长度完全对应相等。

16. 根据全等三角形判定定理(SSS)，△FGH和△BCD三边不对应相等，因此不全等。

17. 经过上述推理，最终得出答案为no，△FGH 和 △BCD 不全等。

<note>比较△FGH和△BCD的边长</note>，发现<note>△FGH的边（FH, GH, FG）对应长度为9, 11, √202</note>，<note>△BCD的边（BD, CD, BC）对应长度为9, 12, 15</note>。这两组边长中没有一个完全对应相等，因此根据三角形全等的条件<note>SSS（边边边）</note>，当<note>两个三角形的三条边分别相等时</note>，这两个三角形全等。<note>△FGH和△BCD不全等。</note>


Question:
△DEF 和 △HIJ 全等吗？

- 是
- 否

Answer: - no

1. 已知三角形△DEF的顶点坐标为D(–4,–10), E(6,–1), F(6,–10)，以及三角形△HIJ的顶点坐标为H(–1,–3), I(–10,6), J(–1,6)。

2. 通过计算三角形△DEF的边长：

   a. 因为D(–4,–10)和F(6,–10)的y坐标相同，所以DF的长度是x坐标差的绝对值，即DF=|6+4|=10。

   b. 因为E(6,–1)和F(6,–10)的x坐标相同，所以EF的长度是y坐标差的绝对值，即EF=|-10+1|=9。

   c. 使用两点之间的距离公式计算DE的长度。距离公式为：d=√[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]。将D(–4,–10)视为(x1,y1)，E(6,–1)视为(x2,y2)，代入公式得到DE=√[(6+4)^2+(-1+10)^2]=√[100+81]=√181。

3. 通过计算三角形△HIJ的边长：

   a. 因为H(–1,–3)和J(–1,6)的x坐标相同，所以HJ的长度是y坐标差的绝对值，即HJ=|6+3|=9。

   b. 因为I(–10,6)和J(–1,6)的y坐标相同，所以IJ的长度是x坐标差的绝对值，即IJ=|-1+10|=9。

   c. 使用两点之间的距离公式计算HI的长度。将H(–1,–3)视为(x1,y1)，I(–10,6)视为(x2,y2)，代入公式得到HI=√[(-10+1)^2+(6+3)^2]=√[81+81]=√162。

4. 获得三角形△DEF的边长DF=10，EF=9，DE=√181；三角形△HIJ的边长HJ=9，IJ=9，HI=√162。

5. 根据全等三角形判定定理(SSS)，两个三角形全等当且仅当它们的对应边长相等。在此题中，△DEF和△HIJ有不同的边长分布，因此不满足全等三角形判定定理(SSS)。

6. 经过上述推理，最终得出答案为不全等。


Question:
△RST 和 △XYZ 是全等的吗？

- 是
- 不是

Answer: - yes

1. 已知△RST的顶点坐标为R(-9,2), S(-9,-9), T(0,-9)，以及△XYZ的顶点坐标为X(-2,1), Y(9,1), Z(9,10)。

2. 计算△RST的边长。由于点R和点S的x坐标相等，所以RS是y坐标差的绝对值，即：RS = |-9 - 2| = 11。

3. 计算△RST的边长。由于点S和点T的y坐标相等，所以ST是x坐标差的绝对值，即：ST = |0 - (-9)| = 9。

4. 计算△RST的边长。使用两点之间的距离公式计算RT：RT = √[(0 - (-9))^2 + (-9 - 2)^2] = √(9^2 + (-11)^2) = √(81 + 121) = √202。

5. 因此，△RST的边长为RS = 11, ST = 9, RT = √202。

6. 计算△XYZ的边长。由于点X和点Y的y坐标相等，所以XY是x坐标差的绝对值，即：XY = |9 - (-2)| = 11。

7. 计算△XYZ的边长。由于点Y和点Z的x坐标相等，所以YZ是y坐标差的绝对值，即：YZ = |10 - 1| = 9。

8. 计算△XYZ的边长。使用两点之间的距离公式计算XZ：XZ = √[(9 - (-2))^2 + (10 - 1)^2] = √(11^2 + 9^2) = √(121 + 81) = √202。

9. 因此，△XYZ的边长为XY = 11, YZ = 9, XZ = √202。

10. 通过对比两三角形的边长，RS ≅ XY, ST ≅ YZ, RT ≅ XZ。

11. 根据全等三角形判定定理(SSS)，如果两三角形的对应三边分别相等，则这两个三角形全等，因此△RST ≅ △XYZ。

12. 经过上述推理，最终得出答案为yes。

在本题图中，三角形RST和三角形XYZ中，<note>边RS与边XY相等</note>，<note>边ST与边YZ相等</note>，<note>边RT与边XZ相等</note>。根据全等三角形判定定理(SSS)，当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形全等。因此，<note>三角形RST全等于三角形XYZ</note>。


Question: 哪两个三角形通过SAS定理全等？完成全等声明。 △ \$ox\$ ≅△ \$ox\$

Answer: △EFG≅△RTS

1. 观察△EFG和△RTS，可以看到其中有标示的边和角。

2. 已知边FG ≅ 边 TS，此为两个三角形中第一对对应边。

3. 已知边EG ≅ 边 RS，此为两个三角形中第二对对应边。

4. 已知∠EGF ≅ ∠RST，此为两个三角形中对应的夹角。

5. 由上述已知条件可知，△EFG和△RTS分别有两对对应边及其夹角相等，符合全等三角形判定定理(SAS)。

6. 根据全等三角形判定定理(SAS)，若两三角形的两边及其夹角分别相等，则这两个三角形全等。本题中，△EFG和△RTS因符合全等三角形判定定理(SAS)而全等。

7. 完整的全等三角形书写为：△EFG ≅ △RTS。

Triangular Congruence Theorem (SAS)

If two sides and the included angle of one triangle are equal to two sides and the included angle of another triangle, then the two triangles are congruent.

<note>边EG ≅ 边 RS</note>，<note>边FG ≅ 边 TS</note>，且<note>夹角 ∠EGF ≅ ∠RST</note>，因此根据全等三角形判定定理(SAS)，<note>这两个三角形全等</note>，即 <note>△EFG ≅ △RTS</note>。


Question:
哪两个三角形通过SSS定理全等？完成全等语句。

△ \$ox\$ ≅△ \$ox\$

Answer: △VWX≅△PQR

1. 已知△VWX, △BCD 和 △PQR, 图中标出了这些三角形的对应边相等。

2. 首先处理△VWX 和 △PQR：

3. 根据图示，边VW与边PQ上有相同数量的标记，说明边VW ≅ 边PQ。

4. 继续观察图示，边VX与边PR上有相同数量的标记，说明边VX ≅ 边PR。

5. 最后，边WX与边QR上的标记数量相同，成立WX ≅ 边QR。

6. 以上所有三对边均相等，所以依据三边相等（SSS）全等定理，△VWX ≅ △PQR。

7. 接下来处理△BCD 和 △PQR：

8. 图示中，边BD与边PQ有相同数量的标记，成立边BD ≅ 边PQ。

9. 再看边BC与边PR上的标记，我们发现BC ≅ 边PR。

10. 最后，边CD与边QR的标记数相符，成立边CD ≅ 边QR。

11. 因此，利用全等三角形判定定理(SSS)，△BCD ≅ △PQR。

12. 总结上面两组对比，我们得出：△VWX 和 △PQR为一对全等三角形。根据课题要求，匹配顶点得到全等形式：

13. 经过上述推理，最终得出答案为△VWX ≅ △PQR.

Definition of Congruent Triangles

Two triangles are congruent if and only if their corresponding sides are equal and their corresponding angles are equal.

<note>三角形VWX和三角形PQR是全等三角形</note>，三角形VWX的对应边和对应角与三角形PQR相等，即： <note>边VW = 边PQ</note> <note>边VX = 边PR</note> <note>边WX = 边QR</note>，同时，对应的角也相等： <note>角VWX = 角PQR</note> <note>角V = 角P</note> <note>角X = 角R</note>。

Triangle Congruence Theorem (SSS)

<note>在本题图中，三角形VWX和三角形PQR中，边VW与边PQ相等，边VX与边PR相等，边WX与边QR相等。</note>根据全等三角形判定定理(SSS)，当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形全等。因此，<note>三角形VWX全等于三角形PQR。</note>


Question:
哪两个三角形通过SSS定理全等？完成全等声明。

△ \$ox\$ ≅△ \$ox\$

Answer: △DEF≅△YXZ

1. 已知全等三角形判定定理(SSS)：如果一个三角形的三条边分别和另一个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形是全等的。

2. 从图中可见：边EF、边DF和边DE，与边XZ、边YZ和边XY分别有对应相等的边长，EF≅XZ，DF≅YZ，DE≅XY。

3. 根据全等三角形判定定理(SSS)，三角形DEF和三角形XYZ的三条边分别相等，因此，△DEF≅△YXZ。

4. 通过观察可知，顶点D对应顶点Y，顶点E对应顶点X，顶点F对应顶点Z。

5. 因此，经过上述推理，最终得出三个三角形DEF和XYZ是全等的，△DEF≅△YXZ。

<note>三角形DEF和三角形XYZ的三条边分别相等：</note>边DE≅边XY，边DF≅边YZ，边EF≅边XZ。因此，根据<note>全等三角形判定定理(SSS)</note>，当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形全等。因此，<note>△DEF≅△YXZ</note>。


Question: 哪两个三角形通过SAS定理全等？完成全等陈述。 △ \$ox\$ ≅△ \$ox\$

Answer: △ABC≅△RTS

1. 观察给定的三角形图，可以看出△ABC和△RST是候选的可能满足SAS定理的两个三角形。

2. 在△ABC中，标记可见边和角：边AC与边RS等长，边BC与边ST等长，角∠ACB与角∠RST相等。

3. 根据全等三角形判定定理(SAS)，如果两个三角形的两组对应边相等且夹角相等，那么这两个三角形全等。此处具体指：边BC = 边ST，角∠ACB = 角∠RST，以及边AC = 边RS。

4. 利用条件得出：△ABC与△RST满足全等三角形判定定理(SAS)的条件。

5. 根据全等三角形的定义，写出完整的全等三角形的对应顶点：△ABC ≅△RTS。

6. 经过上述推理，最终得出答案为：△ABC ≅△RTS。

Definition of Congruent Triangles

<note>在本题图中，三角形ABC和三角形RST是全等三角形</note>，三角形ABC的对应边和对应角与三角形RST相等，即： <note>边AC = 边RS</note> <note>边BC = 边ST</note> <note>边AB = 边RT</note>,同时，对应的角也相等： <note>角∠ACB = 角∠RST</note> <note>角∠CAB = 角∠SRT</note> <note>角∠ABC = 角∠RTS</note>.

Triangular Congruence Theorem (SAS)

在本题图中，三角形ABC和三角形SRT中，<note>边AC与边SR相等</note>，<note>边BC与边RT相等</note>，且<note>夹角∠ACB与夹角∠RST相等</note>，因此根据全等三角形判定定理(SAS)，这两个三角形全等。因此，<note>△ABC ≅△SRT</note>。


Question: 哪两个三角形通过SSS定理全等？完成全等陈述。  △ \$ox\$ ≅△ \$ox\$

Answer: △QRS≅△IJH

1. 根据三角形的标记信息，确定三对合适的边：从图中标记来看，边QR上的标记与边IJ上的标记一致，表明QR ≅ IJ。

2. 同理，观察边RS和边HJ上的标记，发现两者的标记一致，因此RS ≅ HJ。

3. 最后，边QS和边HI上的标记一致，得出QS ≅ HI。

4. 根据全等三角形判定定理(SSS)，该定理表述为：如果一个三角形的三条边分别和另一三角形的三条边对应相等，则这两个三角形是全等的。

5. 在本题中，△QRS的三边QR, RS, QS分别与△HIJ的三边IJ, HJ, HI相等，根据全等三角形判定定理(SSS)，这两个三角形全等。

6. 为了完成全等的对应关系，确定角的对应关系。由于边QR对应着边IJ，因此顶点Q对应顶点I。

7. 同时，边RS对应着边HJ，因而顶点R对应着顶点J。

8. 最后，边QS对应着边HI，所以顶点S对应着顶点H。

9. 综合以上信息，完成全等关系的三角形表达式：△QRS ≅△IJH。

10. 经过上述推理，最终得出答案为“在SSS定理下全等的三角形为 △QRS ≅△IJH。”

Definition of Congruent Triangles

<note>三角形QRS</note>和<note>三角形HIJ</note>是全等三角形，三角形QRS的对应边和对应角与三角形HIJ相等，即：
边<note>QR</note> = 边<note>IJ</note>
边<note>RS</note> = 边<note>HJ</note>
边<note>QS</note> = 边<note>HI</note>，
同时，对应的角也相等：
角<note>QRS</note> = 角<note>IJH</note>
角<note>RSQ</note> = 角<note>JHI</note>
角<note>SQR</note> = 角<note>HIJ</note>。

Triangle Congruence Theorem (SSS)

在本题图中，三角形QRS和三角形HIJ中，<note>边QR与边IJ相等</note>，<note>边RS与边HJ相等</note>，<note>边QS与边HI相等</note>。根据全等三角形判定定理(SSS)，当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形全等。因此，<note>三角形QRS全等于三角形HIJ</note>。


Question:
哪两个三角形通过SAS定理全等？完成全等陈述。

△ \$ox\$ ≅△ \$ox\$

Answer: △WXY≅△GIH

1. 观察图形，根据图中标注的边长和角度，我们来确认是否存在两对边对应相等且夹角对应相等的三角形。

2. 观察△WXY和△GHI: 图中标明，边WY与边GH等长，即\( \overline{WY} \cong \overline{GH} \)。

3. 图中标明∠W与∠G相等，即\( \angle W \cong \angle G \)。

4. 图中标明，边WX与边GI等长，即\( \overline{WX} \cong \overline{GI} \)。

5. 依据全等三角形判定定理(SAS)，即如果两三角形的两边及其夹角分别对应相等，则两三角形全等。在本题中的应用可以表示为：△WXY的两边WY, WX及夹角∠W分别与△GHI的两边GH, GI及夹角∠G对应相等。

6. 因此，根据全等三角形判定定理(SAS)可得，△WXY≅△GIH。

7. 经过上述推理，最终得出答案为两三角形△WXY与△GIH全等。

Triangular Congruence Theorem (SAS)

<note>边WY与边GH相等</note>，<note>边WX与边GI相等</note>，且<note>夹角∠WXY与夹角∠IGH相等</note>，因此根据全等三角形判定定理(SAS)，这两个三角形全等。


Question: △WXY和△IJK全等吗？

Answer: - no

1. 根据题意，三角形 WXY 的顶点是 W(1,1), X(1,–8), Y(10,–8)。三角形 IJK 的顶点是 I(1,10), J(–8,10), K(–8,2)。

2. 先计算三角形 WXY 的边长。

3. 计算 WX 的长度。因为点 W(1,1) 和 X(1,–8) 的 x 坐标相同，WX 的长度为 y 坐标差的绝对值，即 WX=|–8–1|=9。

4. 计算 XY 的长度。因为点 X(1,–8) 和 Y(10,–8) 的 y 坐标相同，XY 的长度为 x 坐标差的绝对值，即 XY=|10–1|=9。

5. 计算 WY 的长度。因为 W(1,1) 和 Y(10,–8) 既不具备相同的 x 坐标，也不具备相同的 y 坐标，因此使用两点之间的距离公式计算 WY。根据距离公式，对于点 W(x1=1,y1=1) 和 Y(x2=10,y2=–8)，WY=√((x2–x1)²+(y2–y1)²)=√((10–1)²+(–8–1)²)=√(81+81)=√162=9√2。

6. 所以三角形 WXY 的边长分别为 WX=9, XY=9, WY=9√2。

7. 接下来计算三角形 IJK 的边长。

8. 计算 IJ 的长度。因为点 I(1,10) 和 J(–8,10) 的 y 坐标相同，IJ 的长度为 x 坐标差的绝对值，即 IJ=|–8–1|=9。

9. 计算 JK 的长度。因为点 J(–8,10) 和 K(–8,2) 的 x 坐标相同，JK 的长度为 y 坐标差的绝对值，即 JK=|2–10|=8。

10. 计算 KI 的长度。对于点 K(–8,2) 和 I(1,10)，根据两点之间的距离公式，KI=√((1–(–8))²+(10–2)²)=√(9²+8²)=√(81+64)=√145。

11. 所以三角形 IJK 的边长分别为 IJ=9, JK=8, KI=√145。

12. 依据全等三角形判定定理(SSS)，即两个三角形对应的三边长度分别相等，则这两个三角形全等。

13. 对比两个三角形的边长，可以发现三角形 WXY 的三边为 9, 9, 9√2， 而三角形 IJK 的三边为 9, 8, √145。

14. 因为没有满足条件：两个三角形的三边对应相等，无法使用边边边全等条件。

15. 因此， 三角形 WXY 和三角形 IJK 不是全等三角形。

16. 经过上述推理，最终得出答案为 no。

Triangle Congruence Theorem (SSS)

在本题图中，三角形WXY和三角形IJK中，<note>边WX与边IJ相等</note>，边XY与边JK不相等，边WY与边KI不相等。根据全等三角形判定定理(SSS)，当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形全等。因此，三角形WXY不全等于三角形IJK。


Question:
哪条规则解释了为什么这些三角形是全等的？

- ASA
- SAS
- AAS
- SSS
- 这些三角形不能被证明是全等的。

Answer: - These triangles cannot be proven congruent.

1. 已知线段 TU ≅ 线段 VW，根据题目中的符号标记得到这一结论。

2. 已知角 TUV ≅ 角 TWV，根据题目中的符号标记得到这一结论。

3. 观察到三角形 TUV 和三角形 VWT 共享边 TV，可以得出线段 TV ≅ 线段 TV。

4. 分别分析上述两个三角形中已知全等的线段和角，对于三角形 TUV: 线段 TU、角 TUV、线段 TV。在三角形 TWV 中对应的是线段 VW、角 TWV、线段 TV。

5. 根据以上分析，两个三角形按顺序形成的对应关系是 SSA（Side-Side-Angle）。

6. 在全等三角形判定定理(SAS)中，SSA并不是一个有效的方法，因为无法仅通过两个边和一个不包括在这两条边之间的角来证明三角形的全等性。

7. 经过上述分析，无法使用 ASA、SAS、AAS 或 SSS 证明这两个三角形全等。

8. 因此，这两个三角形无法被证明是全等的。

Triangular Congruence Theorem (SAS)

<note>边TU与边VW相等</note>，<note>边TV与边TV相等</note>，但<note>夹角UTV与夹角WVT相等</note>，因此根据全等三角形判定定理(SAS)，这两个三角形不全等。


Question:
哪两个三角形通过SAS定理全等？完成全等声明。

△ \$ox\$ ≅△ \$ox\$

Answer: △GHI≅△RQP

1. 已知线段 GH ≅ QR 和 HI ≅ PQ，同时给出角 ∠ H ≅ ∠ Q。根据全等三角形判定定理(SAS)，即若两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等，则这两个三角形全等。

2. 对于三角形GHI和三角形PQR，GH和QR是两三角形的两条对边，HI和PQ是另外两条对边，而∠ H和∠ Q是两条对边之间的夹角。

3. 因此，符合边-角-边定理的条件：△GHI 和△PQR的两条对应边分别相等，夹角也相等。因此，依据全等三角形判定定理(SAS)，可以推断△GHI ≅ △PQR。

4. 根据全等三角形的定义，对应顶点的顺序需保持一致。线段GH对应QR，线段HI对应PQ，因此三角形GHI的G对应三角形PQR的R，H对应Q，I对应P；最终得到的全等关系为：△GHI ≅ △RQP。

5. 经过上述推理，最终得出答案为△GHI ≅ △RQP。

Definition of Congruent Triangles

<note>三角形GHI和三角形PQR是全等三角形</note>，<note>三角形GHI的对应边和对应角与三角形PQR相等</note>，即： <note>边GH = 边QR</note> <note>边HI = 边PQ</note>，同时，对应的角也相等： <note>角GHI = 角RQP</note> <note>角HIG = 角QPR</note> <note>角IGH = 角RPQ</note>。


Question: 哪两个三角形通过SSS定理全等？完成全等语句。 △ \$ox\$ ≅△ \$ox\$

Answer: △CDE≅△WYX

1. 为了解决这个几何题，我们需要寻找两个三角形，使得它们满足全等的三边相等性（SSS）的条件。

2. 根据全等三角形判定定理(SSS)，如果一个三角形的三条边分别和另一个三角形的三条边相等，那么这两个三角形全等。

3. 查看给定的图，其中有三个三角形分别为△CDE, △WXY, 和△QRS。

4. 从图中标示的相等边中，我们可以观察到以下等长关系：

5. 线段DE ≅ 线段XY，这意味着在△CDE和△WXY中，边DE等于边XY。

6. 线段CE ≅ 线段WX，同时这表明在这两个三角形中，边CE等于边WX。

7. 线段CD ≅ 线段WY，这进一步确认在两个三角形中，边CD等于边WY。

8. 因此，三角形△CDE中的三条边都分别等于三角形△WXY中的对应三条边。

9. 根据全等三角形判定定理(SSS)，我们得出这两个三角形△CDE和△WXY是全等的。

10. 做全等三角形的顶点对应：由于边相对的顶点必须对应，因此顶点C对应顶点W，顶点D对应顶点Y，顶点E对应顶点X。

11. 经过上述推理，最终得出答案为△CDE≅△WXY。

<note>三角形△CDE</note>和<note>三角形△WXY是全等三角形</note>，三角形<note>△CDE的对应边和对应角与三角形△WXY相等</note>，即：
<note>边CD = 边WY</note>
<note>边DE = 边XY</note>
<note>边CE = 边WX</note>
同时，对应的角也相等：
<note>角CDE = 角WYX</note>
<note>角DCE = 角YWX</note>
<note>角DEC = 角YXW</note>。

Triangle Congruence Theorem (SSS)

<note>边CD与边WY相等</note>，<note>边DE与边XY相等</note>，<note>边CE与边WX相等</note>。根据全等三角形判定定理(SSS)，当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形全等。因此，<note>三角形△CDE全等于三角形△WXY</note>。


Question:
哪条规则解释了为什么这些三角形是全等的？

- SSS
- ASA
- SAS
- AAS
- 这些三角形不能被证明是全等的。

Answer: - These triangles cannot be proven congruent.

1. 题目给出的两三角形为△VTU和△XTW。已知角VTU和角WTX为对顶角，根据对顶角相等定理可知∠VTU = ∠XWT。

2. 同时，已知∠UVT和∠XWT为相对应的角，因为两个角的几何图示中都标记有相同的符号，故可知∠UVT = ∠XWT。

3. 接下来，需要验证是否有至少一对对应的边是相等的。观察△VTU和△XTW，发现没有任何线段标记为相等，因此无法确认△VTU和△XTW的任何一对边是相等的。

4. 常见的三角形全等判定定理是SSS（边边边）、ASA（角边角）、SAS（边角边）、AAS（角角边）。这些定理都需要至少一对边是相等的，但我们的几何题中没有数据支持任何边相等。

5. 因此，依据题目提供的几何信息，不能得出任何两个三角形的边相等，从而不能应用任何全等三角形判定定理证明这两三角形全等。

6. 经过上述推理，最终得出答案为These triangles cannot be proven congruent.

Definition of Vertical Angles

Vertical angles are the pair of opposite angles formed when two lines intersect. These angles are equal in measure.

<note>两条相交直线 VW 和 UX 相交于点 T</note>，形成两个角：<note>∠VTU和 ∠WTX</note>。根据对顶角的定义，<note>∠VTU 和 ∠WTX 是对顶角</note>。由于对顶角的角度相等，所以 <note>∠VTU = ∠WTX</note>。


Question: 哪两个三角形根据SAS定理是全等的？完成全等关系。△ \$ox\$ ≅△ \$ox\$

Answer: △PQR≅△VXW

1. 在问题中提供的图中，首先观察 △PQR 和 △VWX 的相应元素。

2. 已知线段 QR ≅ 线段 WX 和线段 PR ≅ 线段 VW，并且 ∠PRQ ≅ ∠VWX。根据题意，说明这些是三角形的两条边以及夹角。

3. 根据全等三角形判定定理(SAS)，两个三角形当且仅当两边及其夹角分别对应全等时，全等定理可以应用于这些三角形。

4. 在图中，观察 ∠PRQ 和 ∠VWX 是夹在两个已知全等边之间的夹角。

5. 因此，根据全等三角形判定定理(SAS)，三角形 △PQR 和 三角形 △VWX 是全等的。

6. 为了撰写全等陈述，匹配相应的顶点。因为 ∠R ≅ ∠W， 顶点 R 对应顶点 W。由于 P 的对边对应 V 的对边，顶点 P 对应顶点 V。同理，顶点 Q 对应顶点 X。

7. 经过上述推理，最终得出答案为 △PQR ≅ △VXW。

Definition of an Angle

An angle is a geometric figure formed by two rays sharing a common endpoint. This common endpoint is called the vertex of the angle, and the two rays are referred to as the sides of the angle.

在本题图中，<note>角PRQ是由两条射线PR和QR组成的几何图形</note>，这两条射线<note>有一个共同的端点R</note>。这个<note>共同的端点R称为角PRQ的顶点</note>，而<note>射线PR和QR称为角PRQ的边</note>。同理，<note>角VWX是由两条射线VW和WX组成的几何图形</note>，这两条射线<note>有一个共同的端点W</note>。这个<note>共同的端点W称为角VWX的顶点</note>，而<note>射线VW和WX称为角VWX的边</note>。

Definition of Line Segment

A line segment is a portion of a straight line that includes two endpoints and all the points between them.

<note>线段PQ是一个直线的一部分，包含端点P和端点Q及其间的所有点</note>。线段PQ具有两个端点，这两个端点分别是<note>P和Q</note>，且线段PQ上的每一个点都位于端点P和端点Q之间。<note>线段VX是一个直线的一部分，包含端点V和端点X及其间的所有点</note>。线段VX具有两个端点，这两个端点分别是<note>V和X</note>，且线段VX上的每一个点都位于端点V和端点X之间。<note>线段PR是一个直线的一部分，包含端点P和端点R及其间的所有点</note>。线段PR具有两个端点，这两个端点分别是<note>P和R</note>，且线段PR上的每一个点都位于端点P和端点R之间。<note>线段VW是一个直线的一部分，包含端点V和端点W及其间的所有点</note>。线段VW具有两个端点，这两个端点分别是<note>V和W</note>，且线段VW上的每一个点都位于端点V和端点W之间。


Question:
哪条规则解释了为什么这些三角形是全等的？

- SSS
- AAS
- SAS
- ASA
- 这些三角形无法被证明是全等的。

Answer: - These triangles cannot be proven congruent.

1. 已知线段 \overline{UV} ≅ \overline{UY}，根据题中的标记。

2. 观察图形，\angle VUW 和 \angle XUY 是对顶角，根据对顶角的定义，得：\angle VUW ≅ \angle XUY。

3. 根据以上条件，有一对对应线段相等及一对对应角相等。

4. 因三角形的判定中并不存在以'AS'为基础的判别定则，即至少需要一种方法得到三对相应部分相等。

5. 经过以上推理，无法通过已知条件判定三角形 \triangle VUW 和 \triangle XUY 是全等的，本题所给的信息不足以得出结论。

Congruence Theorems for Triangles

Two triangles are congruent if and only if one of the following conditions is satisfied:
1) Side-Side-Side (SSS): All three corresponding sides are equal.
2) Side-Angle-Side (SAS): Two corresponding sides and the included angle are equal.
3) Angle-Side-Angle (ASA): Two corresponding angles and the included side are equal.


Question:
哪两个三角形通过SAS定理全等？完成全等语句。

△ \$ox\$ ≅△ \$ox\$

Answer: △RST≅△DEC

1. 在三角形 △RST 中，边 ST 和边 RT 是已知二条边。

2. 在三角形 △CDE 中，边 CE 和边 CD 是已知二条边。

3. 根据题中图示，边 ST ≅ 边 CE，边 RT ≅ 边 CD。

4. 根据题中图示，∠RTS 与 ∠DCE 是被夹角。∠RTS ≅ ∠DCE。

5. △RST 和 △DEC满足全等三角形判定定理(SAS)，边、角、边的对应关系（两边与两边夹角对应相等），所以 △RST ≅ △DEC。

6. △RST 的顶点与 △DEC 的顶点对应为：∠T 对应 ∠C，∠R 对应 ∠D，∠S 对应 ∠E。

7. 因此，由以上对应关系可得，△RST ≅ △DEC。

Definition of Triangle

A geometric figure is called a triangle if it is formed by three non-collinear points and the line segments connecting them.

在本题图中，<note>三角形△RST</note>是由三个非共线点<note>R、S、T</note>及其连接线段<note>RS、ST、TR</note>组成的几何图形。<note>点R、S、T</note>分别是三角形的三个顶点，<note>线段RS、ST、TR</note>分别是三角形的三条边；<note>三角形△DEC</note>是由三个非共线点<note>D、E、C</note>及其连接线段<note>DE、EC、CD</note>组成的几何图形。<note>点D、E、C</note>分别是三角形的三个顶点，<note>线段DE、EC、CD</note>分别是三角形的三条边。

Definition of Congruent Triangles

<note>三角形RST和三角形DEC是全等三角形</note>，三角形RST的对应边和对应角与三角形DEC相等，即：<note>边ST = 边CE</note>，<note>边RT = 边CD</note>，同时，对应的角也相等：<note>角RST = 角DEC</note>。

Triangular Congruence Theorem (SAS)

在本题图中，三角形 <note>△RST</note> 和三角形 <note>△DEC</note> 中，<note>边 ST 与边 CE 相等</note>，<note>边 RT 与边 CD 相等</note>，且<note>夹角 ∠RTS 与夹角 ∠DCE 相等</note>，因此根据全等三角形判定定理(SAS)，这两个三角形全等。


Question:
图表显示了五边形DEFGH和D'E'F'G'H'。

哪一系列变换将DEFGH映射到D'E'F'G'H'？

- 沿x轴反射，然后绕原点顺时针旋转90°
- 绕原点顺时针旋转90°，然后向左平移9个单位
- 向左平移9个单位，然后沿x轴反射

Answer: - a reflection across the x-axis followed by a rotation 90° clockwise around the origin

1. 首先观察五边形DEFGH和D'E'F'G'H'的位置，DEFGH位于第一象限，而D'E'F'G'H'位于第三象限，并且其形状是DEFGH的倒置和旋转的结果。

2. 由于D'E'F'G'H'是DEFGH倒置后的结果，首先考虑将DEFGH绕x轴反射。根据反射的定义，反射后，DEFGH中的每一点（x, y）的y坐标变为-y，这样得到新的五边形D''E''F''G''H''，位于第四象限。

3. 接下来，需要将新的五边形D''E''F''G''H''顺时针旋转90°以匹配五边形D'E'F'G'H'的位置。

4. 旋转90°的规则是将每一点（x, y）变换为（y, -x）。应用此规则，五边形D''E''F''G''H''中的每一个顶点经过变换后转移到第三象限，从而匹配五边形D'E'F'G'H'的位置。

5. 经过上述两个变换：先x轴反射，再顺时针旋转90°，五边形DEFGH精确匹配到五边形D'E'F'G'H'。

6. 因此，映射DEFGH到D'E'F'G'H'的变换序列为：先通过x轴反射，然后围绕原点顺时针旋转90°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为反射关于x轴，然后围绕原点顺时针旋转90°。

Reflection Transformation

A reflection transformation is a type of geometric transformation that flips a figure over a specific line known as the line of reflection. After the reflection transformation, the coordinates of each point on the figure are changed to the coordinates of its corresponding point symmetrically across the line of reflection.

Rotation Transformation

A rotation involves rotating a geometric figure around a fixed point, known as the center of rotation, through a specified angle. The new coordinates of the points after rotation can be obtained using specific transformation formulas.


Question:
图表显示了三角形 VWX 和 V'W'X'。

哪种变换序列将 VWX 映射到 V'W'X'？

- 围绕原点旋转 180°，然后向右平移 1 单位和向上平移 2 单位
- 围绕 x 轴反射，然后围绕原点逆时针旋转 90°
- 向左平移 1 单位和向下平移 6 单位，然后围绕 y 轴反射

Answer: - a translation left 1 unit and down 6 units followed by a reflection across the y-axis

1. 已知点 V 的坐标为 (-8, 9)，将其向左平移1个单位得到 V'' 的坐标 (-9, 9)，再向下平移6个单位得到点 V''' 的坐标为 (-9, 3)。

2. 已知点 W 的坐标为 (-7, -2)，将其向左平移1个单位得到 W'' 的坐标 (-8, -2)，再向下平移6个单位得到点 W''' 的坐标为 (-8, -8)。

3. 已知点 X 的坐标为 (-3, 4)，将其向左平移1个单位得到 X'' 的坐标 (-4, 4)，再向下平移6个单位得到点 X''' 的坐标为 (-4, -2)。

4. 经过上述平移操作，得到三角形 V'''W'''X'''，坐标为 V'''(-9, 3), W'''(-8, -8), X'''(-4, -2)。

5. 现在对三角形 V'''W'''X''' 进行关于 y 轴的反射：反射后点 V''' 映射到点 V'，其新坐标为 (9, 3)。

6. 同理，点 W''' 映射到点 W'，其新坐标为 (8, -8)。

7. 最后，点 X''' 映射到点 X'，其新坐标为 (4, -2)。

8. 经过平移和反射变换操作后，最终形成的三角形 V'W'X' 的顶点坐标为 V'(9, 3)，W'(8, -8)，X'(4, -2)，这与题目中目标三角形 V'W'X' 的顶点坐标一致。

9. 经过上述推理，最终得出答案为 a translation left 1 unit and down 6 units followed by a reflection across the y-axis.

Definition of Translation

A translation is a geometric transformation where a figure is moved in the plane along a certain direction, without altering its shape and orientation.

<note>点V(-8, 9)</note>平移到<note>点V'''(-9, 3)</note>，<note>点W(-7, -2)</note>平移到<note>点W'''(-8, -8)</note>，<note>点X(-3, 4)</note>平移到<note>点X'''(-4, -2)</note>。这些点按照定义中的规则移动特定的距离，完成了指定方向的平移。

Reflection Transformation

<note>图形V'''W'''X'''经过反射轴y轴的反射变换后</note>，<note>点V'''变为点V'</note>，<note>点W'''变为点W'</note>，<note>点X'''变为点X'</note>。<note>反射轴y轴是图形翻转的基准线</note>。经过反射变换后，<note>点V'''的坐标(-9, 3)变为点V'的坐标 (9, 3)</note>，<note>点W'''的坐标(-8, -8)变为点W'的坐标(8, -8)</note>，<note>点X'''的坐标(-4, -2)变为点X'的坐标(4, -2)</note>。每一点的坐标都变为其对应点经过反射轴y轴对称的坐标。

Translation Invariance Theorem

After a translation transformation, the shape and size of the figure remain unchanged, but its position is altered.


Question:
图表显示了三角形UVW和U'V'W'。

哪种变换序列将UVW映射到U'V'W'？

- 向右平移10个单位和向上平移12个单位，然后绕原点逆时针旋转90°
- 绕原点旋转180°，然后向左平移9个单位和向下平移2个单位
- 绕y轴反射，然后向左平移9个单位和向上平移10个单位

Answer: - a reflection across the y-axis followed by a translation left 9 units and up 10 units

1. 首先观察三角形UVW和U'V'W'的位置，发现UVW在第三象限，而U'V'W'在第二象限。

2. 为了将UVW映射到U'V'W'，首先考虑在y轴上的反射。反射变换指出，若点(x, y)在y轴上反射后得到(-x, y)。

3. 应用反射，在y轴上反射三角形UVW得到三角形U''V''W''。其顶点坐标从U(-2, -6)变为U''(2, -6)，V(-5, -8)变为V''(5, -8)，W(-5, -6)变为W''(5, -6)。

4. 接下来，进行平移。根据题意，需要进行左9个单位，向上10个单位的平移。平移定理指出，如果一个图形平移(p, q)，则其点(x, y)变为(x+p, y+q)。

5. 因此我们对三角形U''V''W''的每个顶点进行平移。U''(2, -6)平移为U'(2-9, -6+10)=U'(-7, 4)；V''(5, -8)平移为V'(5-9, -8+10)=V'(-4, 2)；W''(5, -6)平移为W'(5-9, -6+10)=W'(-4, 4)。

6. 经过上述反射和平移，三角形UVW被准确映射到U'V'W'，U''V''W''平移到U'V'W'。

7. 经过上述推理，最终得出答案为：a reflection across the y-axis followed by a translation left 9 units and up 10 units。

Definition of Translation

<note>三角形U''V''W''进行左9个单位，向上10个单位的平移后得到三角形U'V'W'</note>。依据平移定义，<note>点U''(2, -6)平移到U'(-7, 4)</note>，<note>点V''(5, -8)平移到V'(-4, 2)</note>，<note>点W''(5, -6)平移到W'(-4, 4)</note>。

Reflection Transformation

在本题图中，<note>三角形UVW</note>经过<note>反射轴y的反射变换</note>后，<note>点U变为点U''</note>，<note>点V变为点V''</note>，<note>点W变为点W''</note>。<note>反射轴y是三角形UVW翻转的基准线</note>。经过反射变换后，<note>点U的坐标(-2, -6)变为点U''的坐标(2, -6)</note>，<note>点V的坐标(-5, y2)变为点V''的坐标(5, -8)</note>，<note>点W的坐标(-5, -6)变为点W''的坐标(5, -6)</note>。每一点的坐标都变为其对应点经过反射轴y对称的坐标。

Translation Invariance Theorem

在本题图中，<note>三角形U''V''W''</note>进行平移得到<note>三角形U'V'W'</note>，<note>三角形U''V''W''和U'V'W'形状和大小不变</note>，符合平移定理。


Question:
图表显示了三角形 VWX 和 V'W'X'。

哪种变换序列将 VWX 映射到 V'W'X'？

- 先沿 x 轴反射，然后绕原点逆时针旋转 90°
- 先绕原点旋转 180°，然后向右平移 1 个单位并向上平移 2 个单位
- 先向左平移 1 个单位并向下平移 6 个单位，然后沿 y 轴反射

Answer: - a translation left 1 unit and down 6 units followed by a reflection across the y-axis

1. 首先，考虑三角形 VWX 的顶点坐标：V(-8, 9)，W(-7, -2)，X(-3, 4)。目标是将其变换为 V'W'X' 的顶点坐标：V'(9, 3)，W'(8, -8)，X'(4, -2)。

2. 首先应用平移公式，将三角形 VWX 左移 1 个单位并下移 6 个单位。变换后的新顶点坐标为：V''(-9, 3)，W''(-8, -8)，X''(-4, -2)。

3. 接下来，将通过 y 轴反射变换 V''W''X''。反射后的坐标为：V'''(9, 3)，W'''(8, -8)，X'''(4, -2)。

4. 检查得到的三角形 V'''W'''X''' 的顶点坐标是否与 V'W'X' 的顶点坐标匹配：发现V'''W'''X'''的坐标完美匹配 V'W'X' 的坐标，因此该转换序列为：先平移左 1 单位和下 6 单位，随后在 y 轴进行反射。

5. 经过上述推理，最终得出答案为：a translation left 1 unit and down 6 units followed by a reflection across the y-axis.

Reflection Transformation

在本题图中，三角形 <note>V''W''X'' 在 y 轴反射</note>后，顶点 <note>V''(-9, 3) 的反射点是 V'''(9, 3)</note>，顶点 <note>W''(-8, -8) 的反射点是 W'''(8, -8)</note>，顶点 <note>X''(-4, -2) 的反射点是 X'''(4, -2)</note>。这些反射点均在 y 轴对面，且图形的形状和大小未改变。

Translation Formula

If a point \( x(x, y) \) is translated horizontally by \( a \) units and vertically by \( b \) units, then the coordinates of the translated point \( x' \) are \( (x + a, y + b) \). Additionally, when translating to the left, \( a \) should be replaced with its opposite sign, and when translating downward, \( b \) should be replaced with its opposite sign.


Question:
哪条规则解释了为什么这些三角形是全等的？

- AAS
- SAS
- ASA
- SSS
- 这些三角形不能被证明是全等的。

Answer: - These triangles cannot be proven congruent.

1. 已知 ∠JGH ≅ ∠KNM，∠GHJ ≅ ∠NMK，∠HJG ≅ ∠MKN，根据角的符号图示，可以得出这三个角分别在两个三角形中是相等的。

2. 三角形中外部角度的和为 180°。两个三角形中相对应的角度都分别相等。

3. 根据三角形的全等性定理（SSS，SAS，ASA，AAS），可以看出至少需要有一对边是相等的才能应用这些定理。

4. 在给定的图里，没有标识任何边相等的符号或者线段，所以说明不了三角形之间的相等边关系。

5. 由于没有提供任何已知的边长相等关系，无法利用AAS（角-角-边），SAS（边-角-边），ASA（角-边-角）或者SSS（边-边-边）证明两个三角形全等。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 These triangles cannot be proven congruent.

Naming of Angles

An angle can be named using three points, with the vertex point located in the middle, or it can be named solely by the vertex.

<note>∠JGH</note> ≅ <note>∠KNM</note>, <note>∠GHJ</note> ≅ <note>∠NMK</note>, <note>∠HJG</note> ≅ <note>∠MKN</note> 表示两个三角形中相应的角度是相等的。

Triangular Congruence Theorem (SAS)

<note>缺乏关于相等边的标识和描述</note>，无法应用<note>SAS</note>证明全等。

Angle-Side-Angle (ASA) Criterion for Congruence of Triangles

If two angles and the included side of one triangle are respectively equal to two angles and the included side of another triangle, then the two triangles are congruent.

在本题图中，三角形<note>GJH</note>和三角形<note>KNM</note>中，角<note>GJH等于角KNM</note>，角<note>JGH等于角NMK</note>，角<note>HJG等于角MKN</note>。由于这两个三角形的三对对应角分别相等，但没有标识任何边相等，所以不能应用全等三角形判定定理的<note>角边角准则（ASA）</note>证明全等。

Triangle Congruence Theorem (SSS)

Two triangles are congruent if their three pairs of corresponding sides are equal in length.

<note>三角形GHJ</note>和<note>三角形KNM</note>中，没有任何已知的边相等关系，因此无法应用<note>全等三角形判定定理(SSS)</note>。


Question:
图表显示了三角形 FGH 和 F'G'H'。

哪个变换序列将 FGH 映射到 F'G'H'？

- 绕原点顺时针旋转 90°，然后沿 y 轴反射
- 绕原点逆时针旋转 90°，然后沿 y 轴反射
- 绕原点旋转 180°，然后向右平移 3 个单位并向上平移 3 个单位

Answer: - a rotation 90° counterclockwise around the origin followed by a reflection across the y-axis

1. 首先，分析图中的三角形FGH和F'G'H'的位置坐标。

2. 三角形FGH的顶点坐标分别为: F(-4, 6), G(0, 3), H(-4, 3)。

3. 三角形F'G'H'的顶点坐标为: F'(6, -4), G'(3, 0), H'(3, -4)。

4. 首先进行一个90°逆时针旋转变换，中心为原点，可以由公式(x, y) -> (-y, x)得出。

5. 将三角形FGH的顶点代入旋转公式：

   - F(-4, 6) -> F''(-6, -4)

   - G(0, 3) -> G''(-3, 0)

   - H(-4, 3) -> H''(-3, -4)

6. 可以看到旋转后的三角形F''G''H''：F''(-6, -4), G''(-3, 0), H''(-3, -4)距离F'G'H'仍有一段距离，需要进一步通过反射来映射。

7. 继续进行关于y轴的反射变换，该变换会将点(x, y)变为(-x, y)。

8. 将三角形F''G''H''的顶点代入反射公式：

   - F''(-6, -4) -> F'''(6, -4)

   - G''(-3, 0) -> G'''(3, 0)

   - H''(-3, -4) -> H'''(3, -4)

9. 最后得到的三角形F'''G'''H'''的坐标为F'''(6, -5), G'''(3, 0), H'''(3, -4)，与F'G'H'的坐标一致，因此这些变换的序列能够将FGH映射到F'G'H'。

10. 经过上述推理，最终得出答案为90°逆时针旋转，其次是y轴的反射变换。

Rotation Transformation

在本题图中，<note>三角形FGH分别绕原点旋转90°逆时针变换后</note>，其顶点坐标由<note>F(-4, 6)、G(0, 3)和H(-4, 3)变为F''(-6, -4)、G''(-3, 0)、H''(-3, -4)</note>。具体公式为<note>(x, y) -> (-y, x)</note>。

Reflection Transformation

<note>三角形F''G''H''</note>通过<note>y轴反射变换</note>后，其<note>顶点坐标</note>由<note>F''(-6, -4)</note>、<note>G''(-3, 0)</note>、<note>H''(-3, -4)</note>变为<note>F'''(6, -4)</note>、<note>G'''(3, 0)</note>、<note>H'''(3, -4)</note>。具体公式为(x, y) -> <note>(-x, y)</note>。


Question:
图表显示了三角形RST和R'S'T'。

哪种变换序列将RST映射到R'S'T'？

- 先沿x轴对称反射，然后绕原点顺时针旋转90°
- 先绕原点旋转180°，然后向左平移3个单位并向上平移4个单位
- 先向右平移3个单位并向上平移10个单位，然后沿y轴对称反射

Answer: - a translation right 3 units and up 10 units followed by a reflection across the y-axis

1. 首先，观察图形，分别记录三角形 RST 的三个顶点和三角形 R'S'T' 的三个顶点的坐标。

2. 计算从图形 RST 到 R'S'T' 的一系列几何变换。

3. 首先对 RST 进行平移：将 RST 向右平移 3 个单位（这样使原点的 y 坐标保持不变），然后向上平移 10 个单位，使其与三角形 R'S'T' 在同一区域，得到三角形 R''T''S''，其中顶点 R 从 (-5, -3) 移动到 R''(-2, 7)，顶点 S 从 (-9, -5) 移动到S'' (-6, 5)，顶点 T 从 (-8, -2) 移动到T'' (-6, 8)。

4. 检查平移后的点是否与 R'S'T' 的点坐标通过反射变换能够对应。

5. 将平移后的三角形关于 y 轴反射，检验三角形是否和 R'S'T' 重合。

6. 计算所得的点坐标变换后，与 R'S'T' 的坐标比较，以确定变换的正确性。反射后，顶点 R'' 从  (-2, 7)移动到R' (2, 7)，顶点 S'' 从 (-6, 5) 移动到 S'(6, 5)，顶点 T'' 从  (-6, 8) 移动到T' (6, 8)。这些点与三角形 R'S'T' 的顶点的位置一致。

7. 确认变换的第一步为平移，第二步为关于 y 轴的反射得到与 R'S'T' 对应。

8. 经过上述推理，最终确定：从 RST 到 R'S'T' 的变换是先向右平移 3 个单位，向上平移 10 个单位，再关于 y 轴反射。

Definition of Translation

<note>在本题图中</note>，<note>三角形 RST</note> 通过<note>向右平移3个单位和向上平移10个单位</note>变成了<note>三角形 R''T''S''</note>。例如，<note>顶点 R 从 (-5, -3) 移动到 (-2, 7)</note>，<note>顶点 S 从 (-9, -5) 移动到 (-6, 5)</note>，<note>顶点 T 从 (-8, -2) 移动到 (-6, 8)</note>。

Reflection Transformation

<note>平移后的三角形 R''S''T''关于 y 轴进行反射</note>，得到<note>三角形 R'S'T'</note>。反射后，顶点 <note>R'' 从 (-2, 7)移动到 (2, 7)</note>，顶点 <note>S'' 从 (-6, 5) 移动到 (6, 5)</note>，顶点 <note>T'' 从 (-6, 8) 移动到 (6, 8)</note>。这些点与<note>三角形 R'S'T' 的顶点的位置</note>一致。


Question:
图显示了五边形 MNOPQ 和 M'N'O'P'Q'。

哪种变换序列将 MNOPQ 映射到 M'N'O'P'Q'？

- 绕原点顺时针旋转 90°，然后向上平移 6 个单位
- 向左平移 12 个单位，然后绕原点逆时针旋转 90°
- 绕 x 轴反射，然后绕原点逆时针旋转 90°

Answer: - a reflection across the x-axis followed by a rotation 90° counterclockwise around the origin

1. 观察五边形MNOPQ与M'N'O'P'Q'，发现MNOPQ是在右下角，而M'N'O'P'Q'是在左上角。

2. 考虑第一个步骤，将MNOPQ反射过x轴，这种变换将其沿x轴翻转，对应点的y坐标取反。例如，（x,y）变换为（x,-y）。

3. 将MNOPQ反射后得到的五边形标记为M''N''O''P''Q''，它位于原五边形的下方。

4. 反射后的五边形M''N''O''P''Q''与目标五边形M'N'O'P'Q'之间仅需旋转90°逆时针即可重合。

5. 以原点为旋转中心，将五边形M''N''O''P''Q''旋转90°逆时针，x坐标变为-y，y坐标变为x。

6. 经过上述两步变换，反射后并旋转90°逆时针后的五边形与M'N'O'P'Q'完全重合。

7. 根据上述推理步骤，唯一符合的变换序列是先反射过x轴，然后逆时针旋转90°。

<note>通过反射变换将五边形MNOPQ沿x轴反射</note>，原图形的每个点(x, y)变为(x, -y)。例如，<note>点M(9, 3)变为M''(9, -3)</note>，<note>点N(10, 0)变为N''(10, 0)</note>，以此类推得到新的五边形<note>M''N''O''P''Q''</note>。

Rotation Transformation

在本题图中，对反射后的五边形M''N''O''P''Q''进行<note>90°逆时针旋转</note>，所有点的坐标(x, y)变为<note>(-y, x)</note>。例如，<note>点M''(9, -3)变为M'(3, 9)</note>，<note>点N''(10, 0)变为N'(0, 10)</note>，以此类推得到新五边形<note>M'N'O'P'Q'</note>。


Question:
图表显示了三角形LMN和L'M'N'。

哪种变换序列将LMN映射到L'M'N'？

- 先沿x轴反射，然后向左平移12个单位
- 先向左平移1个单位，向上平移9个单位，然后绕原点逆时针旋转90°
- 先绕原点顺时针旋转90°，然后沿x轴反射

Answer: - a rotation 90° clockwise around the origin followed by a reflection across the x-axis

1. 首先观察到三角形 LMN 和三角形 L'M'N' 在图中的位置。三角形 LMN 位于第四象限，而三角形 L'M'N' 位于第二象限。

2. 为了将三角形 LMN 映射到三角形 L'M'N'，需要进行某些变换。首先，考虑将三角形 LMN 围绕原点旋转 90° 顺时针。旋转 90° 顺时针的法则是将每个点 (x, y) 转换为 (y, -x)。

3. 对点 L (10, -7) 应用旋转变换：(10, -7) 变为 (-7, -10)。

4. 对点 M (6, -6) 应用旋转变换：(6, -6) 变为 (-6, -6)。

5. 对点 N (5, -4) 应用旋转变换：(5, -4) 变为 (-4, -5)。

6. 经过旋转后的点坐标为 L''(-7, -10), M''(-6, -6), N''(-4, -5)。

7. 接下来的变换是沿 x 轴反射。反射沿 x 轴的法则是将每个点 (x, y) 转换为 (x, -y)。

8. 对点 L''(-7, -10) 应用反射变换：(-7, -10)变为 (-7, 10)。

9. 对点 M'' (-6, -6)应用反射变换：(-6, -6) 变为 (-6, 6)。

10. 对点 N'' (-4, -5) 应用反射变换：(-4, -5)变为 (-4, 5)。

11. 经过反射后的点坐标为 L'  (-7, 10), M' (-6, 6), N' (-4, 5)，这与三角形 L'M'N' 的顶点坐标一致。

12. 因此，通过先旋转 90° 顺时针围绕原点，再反射于 x 轴，三角形 LMN 被映射到三角形 L'M'N'。

13. 经过上述推理，最终得出答案为：先围绕原点旋转 90° 顺时针，再通过 x 轴反射。

<note>旋转变换将三角形 LMN 的顶点 L (10, -7)、 M (6, -6)、 N (5, -4)绕原点顺时针旋转90°</note>，得到新的点 <note>L''(-7, -10), M''(-6, -6), N''(-4, -5)</note>。旋转的法则是将每个点 <note>(x, y) 转换为 (y, -x)</note>。

Reflection Transformation

在本题图中，反射变换将三角形 <note>L'' (-7, -10), M'' (-6, -6), N'' (-4, -5)</note> 围绕 <note>x 轴</note> 反射变换，得到新的点 <note>L' (-7, 10), M' (-6, 6), N' (-4, 5)</note>。反射的法则是将每个点 <note>(x, y)</note> 转换为 <note>(x, -y)</note>。