Question: 如图,把平行四边形ABCD分成4个平行四边形,已知其中三个面积分别为8、10、30,则第四个平行四边形的面积是()

Answer: 24

1. 已知平行四边形ABCD被分成4个平行四边形，##设EF与AD和BC相交于E、F点；MN与AB、CD相交于M、N点，且EF与MN相交于O点，##根据题意AB∥EF∥CD，AD∥MN∥BC。

2. ##四边形AEOM##与四边形MBFO同高，其底分别为OE与OF。

3. 四边形EOND与四边形OFCN同高，其底分别为OE与OF。

4. 根据平行四边形的面积计算公式，##等高平行四边形，##面积比等于底比即：##\( \frac{S_{\text{四边形AEOM}}}{S_{\text{四边形MBFO}}} = \frac{OE}{OF} \)##。

5. 已知##\(S_{\text{四边形AEOM}} = 8\)##和\(S_{\text{四边形MBFO}} = 10\)，所以\( \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \)，即\( \frac{OE}{OF} = \frac{4}{5} \)。

6. 因此\( \frac{S_{\text{四边形EOND}}}{S_{\text{四边形OFCN}}} = \frac{OE}{OF} = \frac{4}{5} \)。

7. 已知\(S_{\text{四边形OFCN}} = 30\)，则\( \frac{S_{\text{四边形EOND}}}{30} = \frac{4}{5} \)。

8. 通过计算得出，\(S_{\text{四边形EOND}} = 30 \times \frac{4}{5} = 24\)。

9. 经过上述推理，最终得出答案为24。

平行四边形的定义

平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。

平行四边形的面积公式

一个平行四边形的面积等于它的底边长乘以对应的高，即A = 底边长 × 高。

<note>平行四边形AEOM</note>和平行四边形<note>MBFO</note>同高，其底分别为<note>OE</note>和<note>OF</note>。所以面积比等于底比，即<note> \( \frac{S_{\text{平行四边形AEOM}}}{S_{\text{平行四边形MBFO}}} = \frac{OE}{OF} \)</note>。具体为 <note>\( \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \)</note>，同理，平行四边形<note>EOND</note>和平行四边形<note>OFCN</note>同高，其底分别为<note>OE</note>和<note>OF</note>。所以面积比等于底比，即 <note>\( \frac{S_{\text{平行四边形EOND}}}{S_{\text{平行四边形OFCN}}} = \frac{OE}{OF} \)</note>。具体为 <note>\( \frac{S_{\text{平行四边形EOND}}}{30} = \frac{4}{5} \)</note>。


Question: 如图,CD是⊙O的直径,弦DE∥OA,若∠D的度数是50°,则∠C的度数是()

Answer: 25°

1. 已知CD是⊙O的直径，弦DE平行于OA，并且∠D的度数是50°。

2. 由于DE平行于OA，根据##平行线的平行公理2##，得到##∠AOD##等于∠D，因此##∠AOD##的度数也是50°。

3. ##∠AOD是劣弧AD圆心角，∠ACD是劣弧AD圆周角。##

4. 根据圆周角定理，圆周角为圆心角的一半。因此，∠C等于##∠AOD##的一半。

5. 由此计算得出，∠C = 50° / 2 = 25°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为25°。

圆; 圆周角; 平行线; 弦; 直角三角形

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

<note>圆O中，∠DCA的顶点C在圆周上</note>，<note>∠DCA的两边分别与圆O相交于点D和点A</note>。因此，<note>∠DCA是一个圆周角</note>。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

在本题图中，圆O中，点A和<note>点D</note>是圆上的两点，圆心是点O。连线OA和<note>OD</note>组成的<note>∠AOD</note>称为圆心角。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>在本题图中，两条平行线DE和OA被第三条直线DO所截</note>，形成了以下几何关系：1. <note>内错角：∠AOD和∠D相等</note>。因此，<note>∠AOD = ∠D = 50°</note>。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

内错角的定义

当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。

在本题图中，两条平行直线<note>OA和DE</note>被一条直线<note>OD</note>截交，其中<note>角D和角AOD位于两平行线之间，且在截线OD的对侧</note>，因此<note>角D和角AOD是内错角</note>。内错角相等，即<note>角D等于角AOD</note>。


Question: 如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,点E是CD的中点,△ABD的周长为16cm,则△DOE的周长是()

Answer: 8cm

1. 已知四边形ABCD是平行四边形，根据##平行四边形的性质定理##，平行四边形的对角线互相平分，得出点O是BD的中点。

2. ##根据平行四边形的性质定理，对边相等，AD=BC，AB=CD，又因为BD边公用，所以根据全等三角形判定定理(SSS)，得出三角形ABD全等于三角形CDB##。

3. ##因为点O是BD的中点，而且E是CD的中点，根据三角形中位线定理，线段OE是三角形CDB的中位线##。

4. 根据三角形中位线定理，##在三角形中，如果一条线段连接两边的中点，那么这条线段与第三条边平行且等于第三条边的一半##，得出OE=rac{1}{2}BC。

5. ##因为点O是BD的中点，E是CD的中点，OE=rac{1}{2}BC##，所以△DOE的周长等于rac{1}{2}△BCD的周长。

6. ##因为三角形ABD全等于三角形CDB##，得出△ABD的周长等于△CDB的周长。

7. 由此推导出△DOE的周长=rac{1}{2}×16=8cm。

8. 经过上述推理，最终得出答案为8cm。

平行四边形; 中点; 线段; 普通三角形; 点

三角形的周长公式

三角形的周长等于三条边的长度之和，即如果三角形的三条边分别为a、b、c，则周长P=a+b+c。

<note>三角形DEO的三边分别为DO、DE、OE</note>，根据三角形的周长公式，三角形的周长等于其三边长度之和，即<note>周长P=DO+DE+OE</note>，在<note>三角形ABD中三边分别为AB、AD、DB</note>，根据三角形的周长公式，三角形的周长等于其三边长度之和，即<note>周长P=AB+AD+DB</note>，在<note>三角形BCD三边分别为BC、DC、BD</note>，根据三角形的周长公式，三角形的周长等于其三边长度之和，即<note>周长P=BC+DC+BD</note>。

三角形中位线定理

在三角形中，如果一条线段连接两边的中点，那么这条线段与第三条边平行且等于第三条边的一半。

<note>点E是边CD的中点</note>，<note>点O是边BD的中点</note>，<note>线段OE连接了这两个中点</note>。根据三角形中位线定理，<note>线段OE与第三边BC平行</note>且<note>等于第三边BC的一半</note>，即<note>OE || BC</note>，并且<note>OE = 1/2 * BC</note>。

平行四边形的性质定理

在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。

全等三角形判定定理(SSS)

两个三角形的三组对应边分别相等，则两个三角形全等。

全等三角形的定义

两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等。

<note>三角形ABD和三角形CDB是全等三角形</note>，三角形ABD的<note>对应边和对应角与三角形CDB相等</note>，即：<note>边AB = 边CD</note>，<note>边BD = 边BD</note>，<note>边AD = 边CB</note>，同时，对应的角也相等：<note>角BAD = 角CDB</note>，<note>角ABD = 角BDC</note>，<note>角ADB = 角DCB</note>。


Question: 如图,⊙O是△ABC的外接圆,已知∠C=60°,则∠BAO的度数是()

Answer: 30°

1. 连接OB，形成△AOB。

2. 根据圆周角定理，圆心角是它所对的圆周角的2倍，即∠AOB = 2 × ∠ACB = 2 × 60° = 120°。

3. 在△AOB中，##由于OA和OB是半径，因此OA = OB，##所以△AOB是等腰三角形。

4. 在等腰三角形中，根据等腰三角形的性质，∠BAO = ∠ABO。

5. 根据三角形内角和定理，∠AOB + ∠BAO + ∠ABO = 180°。结合第4步，得到∠AOB + 2 × ∠BAO = 180°。

6. 代入第2步中的∠AOB = 120°，得到120° + 2 × ∠BAO = 180°。

7. 解此方程，得到2 × ∠BAO = 60°，所以 ∠BAO = 30°。

8. 经过上述推理，最终得出答案为∠BAO = 30°。

圆; 圆周角; 圆心角; 普通三角形; 等边三角形

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

在本题图中，圆⊙O中，<note>角ACB</note>的顶点C在圆周上，<note>角ACB</note>的两边分别与圆⊙O相交于点A和点B。因此，<note>角ACB</note>是一个圆周角。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形AOB</note>中，<note>角AOB、角BAO和角ABO</note>是<note>三角形AOB的三个内角</note>，根据<note>三角形内角和定理</note>，<note>角AOB + 角BAO + 角ABO = 180°</note>。


Question: 如图,已知AB、AD是⊙O的弦,∠B=20°,点C在弦AB上,连接CO并延长CO交于⊙O于点D,∠D=15°,则∠BAD的度数是()

Answer: 35°

1. 连接OA。因为OA=OB，且∠ABO=20°，根据等腰三角形性质，得出##∠OAB##=20°（等腰三角形的两底角相等）。

2.####因为OA=OD，且∠ADO=15°，根据等腰三角形性质，得出##∠OAD##15°（等腰三角形的两底角相等）。

####

##3. ##因为∠BAD由∠OAB和∠OAD组成，可以得到∠BAD=∠OAB + ∠OAD=20° + 15°=35°。

##4. ##经过上述推理，最终得出答案为∠BAD等于35°。

弦; 圆; 圆周角; 圆内接四边形; 内错角

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

在本题图中，<note>等腰三角形OAB中，边OA和边OB相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>角OAB = 角OBA</note>；<note>等腰三角形OAD中，边OA和边OD相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>角OAD = 角ODA</note>。##


Answer: 20°

1. 已知∠AOC=140°，##根据邻补角的定义，∠AOC+∠BOC=180° , 则∠BOC=180°-140°=40°。##

####

##2.根据圆周角定理，∠BDC为圆的圆周角，等于所对的圆心角的一半。##

##3. ##因此，∠BDC=1/2 * ∠BOC = 1/2 * 40° = 20°。

##4. ##经过上述推理，最终得出答案为20°。

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

在本题图中，<note>AB是直径</note>，连接了<note>圆心O</note>和<note>圆周上的A、B两点</note>，长度为<note>2倍的半径</note>，即<note>AB = 2 * r</note>。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

在本题图中，圆O中，<note>角BDC的顶点D在圆周上</note>，<note>角BDC的两边分别与圆O相交于点B和点C</note>。因此，<note>角BDC是一个圆周角</note>。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

在本题图中，圆O中，<note>点B、D、C在圆上</note>，<note>弧BC与弧BDC对应的圆心角为∠BOC</note>，<note>圆周角为∠BDC</note>。根据圆周角定理，<note>∠BDC等于它所对的弧BC所对应的圆心角∠BOC的一半，即∠BDC = 1/2 ∠BOC</note>。##

邻补角的定义

两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。

在本题图中，<note>角AOC和角BOC有一条公共边OC</note>，<note>它们的另一边OA和OB互为反向延长线</note>，所以角AOC和BOC互为邻补角。##


Question: 如图,AB是⊙O的直径,弦CD与AB相交,且∠ABC=32°,则∠CDB的度数为()

Answer: 58°

1. 已知AB是⊙O的直径，##根据(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角##，得出∠ACB=90°。

2. ##根据三角形内角和定理##，以及∠ACB=90°和∠ABC=32°，得出∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=58°。

3. ##根据圆周角定理推论1##，∠CDB与∠BAC均为弧BC的圆周角，因此∠CDB=∠BAC。

4. 代入前面计算得出的∠BAC的值，得出∠CDB=58°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为58°。

圆; 圆周角; 直角三角形; 弦

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

在本题图中，<note>AB是直径</note>，<note>连接了圆心O和圆周上的A、B两点</note>，长度为2倍的半径，即<note>AB = 2r</note>。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

在本题图中，圆O中，<note>角ACB的顶点C在圆周上</note>，<note>角ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B</note>。因此，<note>角ACB是一个圆周角</note>。同样，<note>角CDB的顶点D在圆周上</note>，<note>角CDB的两边分别与圆O相交于点C和点B</note>。因此，<note>角CDB是一个圆周角</note>##，<note>角CAB的顶点A在圆周上</note>，<note>角CAB的两边分别与圆O相交于点C和点B</note>。因此，<note>角CAB是一个圆周角</note>。##

(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角

半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

在本题图中，三角形ABC中，<note>角BAC、角ABC和角ACB是三角形ABC的三个内角</note>，根据<note>三角形内角和定理，角BAC + 角ABC + 角ACB = 180°</note>。##

圆周角定理推论1

在一个圆中，任意两个与同一弧相对应的圆周角相等。

在本题图中，圆O中，<note>弧CB对应的圆周角是∠CAB和∠CDB</note>。根据圆周角定理推论1，<note>与同一弧CB相对应的圆周角∠CAB和∠CDB相等</note>，即<note>∠CAB = ∠CDB</note>。##


Question: 如图,AB是⊙O的弦,过点A作⊙O的切线AC。如果∠BAC=55°,那么∠AOB等于()

Answer: 110°

1. 已知AC为⊙O的切线，依据切线的性质，得OA⊥AC。

2. 由此可得∠OAC=90°。

3. 已知∠BAC=55°，根据角的定义可得∠BAC与∠OAB##相加等于∠OAC##。

4. 因此∠OAB=∠OAC-∠BAC=90°-55°=35°。

5. ##根据半径的定义，可知##OA=OB，##根据等腰三角形的定义，ΔOAB为等腰三角形，##依据等腰三角形的性质，ΔOAB中∠OAB=∠OBA。

6. 故∠OBA=35°。

7. 在ΔOAB中，依据三角形内角和定理，得∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=180°-2×35°。

8. 最终∠AOB=110°。

圆; 切线; 圆心角; 弧; 圆周角

圆的切线定义

圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

在本题图中，圆 O 中，点 A 是直线 AC 与圆的切点，线段 OA 是圆的半径。根据圆的切线性质，<note>切线 AC 与经过切点 A 的半径 OA 垂直</note>，<note>即 ∠OAC = 90°</note>。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

<note>在本题图中，等腰三角形 OAB 中，边 OA 和边 OB 相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，<note>相等的两边所对的角相等，即 ∠OAB = ∠OBA</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>在本题图中，三角形 OAB 中</note>，<note>角OAB</note>、<note>角 OBA</note> 和<note>角 AOB</note> 是三角形 OAB 的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>角OAB</note> + <note>角 OBA</note> + <note>角 AOB</note> = 180°。

角的定义

角是由两个有公共端点的射线组成的几何图形，其中的公共端点称为角的顶点，两条射线称为角的边。

在本题图中，<note>角OAC是由两条射线AO和AC组成的几何图形</note>，这两条射线<note>有一个共同的端点A</note>。<note>这个共同的端点A称为角OAC的顶点</note>，而<note>射线AO和AC称为角OAC的边</note>。####

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段。

<note>圆O中，点O是圆心</note>，<note>点A是圆上的任意一点</note>，<note>线段OA是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段OA是圆的半径</note>。

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

<note>三角形OAB中，边OA和边OB相等</note>，因此三角形OAB是一个等腰三角形。


Question: 如图,线段AB过圆心O,交⊙O于点A、C,∠B=30°,直线BD与⊙O切于点D,则∠ADB的度数是()

Answer: 120°

1. 已知线段AB过圆心O，交⊙O于点A、C，并且直线BD与⊙O切于点D。连接OD。

2. 由于BD是⊙O的切线，于点D切⊙O，根据切线的性质，得出∠ODB=90°。

####

##3##. 根据三角形内角和定理，##因为∠B=∠OBD=30度，所以在△ODB中##，∠DOB=180°-∠ODB-##∠OBD##=180°-90°-30°=60°。

##4. 根据圆周角定理，∠DOC=∠DOB=2∠DAC。##

##5. 圆周角##∠DAC=1/2∠DOC=1/2 * 60°=30°。##

##6. 根据三角形的内角和定理，在△ADB中，∠ADB=180°-∠DAB-∠DBA=180°-30°-30°=120°。##

####

##7##. 经过上述推理，最终得出答案为120°。

圆; 切线; 圆心角; 圆周角; 等腰三角形

圆的定义

到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。

圆的切线定义

圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。

<note>圆O与直线BD有且只有一个公共点D</note>，这个公共点叫做切点。因此，<note>直线BD是圆O的切线</note>。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

<note>在本题图中，圆⊙O中，点O是圆心，点D是圆上的任意一点</note>，<note>线段OD是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段OD是圆的半径</note>。

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

在本题图中，圆O中，点D是直线BD与圆的切点，线段OD是圆的半径。根据圆的切线性质，<note>切线BD与经过切点D的半径OD垂直</note>，即<note>∠ODB=90°</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>角 ODB</note> + <note>角 DOB</note> + <note>角 OBD</note> = 180°。在三角形 ADB 中，<note>角 ADB</note>、<note>角 BAD</note> 和<note>角 DBA</note> 是三角形 ADB 的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>角 ADB</note> + <note>角 BAD</note> + <note>角 DBA</note> = 180°。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

<note>圆O中，点A、D、C在圆上</note>，<note>弧CD对应的圆心角为∠DOC</note>，<note>圆周角为∠DAC</note>。根据圆周角定理，<note>∠DAC等于它所对的弧CD所对应的圆心角∠DOC的一半，即∠DAC = 1/2 ∠DOC</note>。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

在本题图中，圆O中，<note>角DAC的顶点(点A)在圆周上</note>，<note>角DAC的两边分别与圆O相交于点D和点C</note>。因此，角DAC是一个圆周角。####

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

<note>在本题图中，圆O中，点D和点C是圆上的两点，圆心是点O</note>。<note>连线OD和OC组成的角∠DOC</note>称为圆心角。##


Question: 如图,AB是⊙O的直径,点C、点D在⊙O上,连结AC、BC、AD、CD,若∠BAC=50°,则∠ADC的度数等于()

Answer: 40°

1. 已知AB是⊙O的直径，根据“直径所对的圆周角是直角定理”，得出∠ACB=90°。

2. 由∠ACB=90°以及已知条件∠BAC=50°，根据“三角形内角和定理”，得到∠ABC=40°。

####

4. ##根据圆周角定理推论1，在一个圆中，任意两个与同一弧相对应的圆周角相等，##即∠ADC=∠ABC，##根据上面推理得到∠ABC=40°，所以∠ADC=40°。##

5. 经上述推理，最终得出答案为40°。

圆; 圆周角; 圆内接四边形; 直角三角形

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角

半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

<note>在本题图中，圆O中，直径AB所对的圆周角ACB是直角（90度）</note>。####

圆周角定理推论1

在一个圆中，任意两个与同一弧相对应的圆周角相等

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

在本题图中，<note>三角形ACB</note>中，<note>角ACB</note>、<note>角BAC</note>和<note>角ABC</note>是<note>三角形ACB的三个内角</note>，根据<note>三角形内角和定理</note>，<note>角ACB + 角BAC + 角ABC = 180°</note>。


Question: 如图,在平行四边形ABCD中,AC,BD为对角线,BC=6,BC边上的高为4,则图中阴影部分的面积为()

Answer: 12

1. 已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，并且BC=6，BC边上的高为4。##平行四边形的面积=4*6=24##

2. 通过平行四边形性质可知，对角线将平行四边形分成四个面积相等的三角形。

####

##3. 由于平行四边形是中心对称图形，根据中心对称 的性质，可以得到平行四边形上半部分的两个阴影三角形与下半部分的两个空白三角形全等，且由于对角线AC和BD将平行四边形分成了四个面积相等的三角形，可以得到阴影部分占据这些三角形中两个的面积，因此阴影部分的面积##=2/4*平等四边形ABCD的面积=12平方单位。##

##4. ##经过上述推理，最终得出答案为12。

平行四边形; 对称; 线段; 垂线; 普通三角形

平行四边形的定义

平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。

高的定义

从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。

<note>从顶点B垂直于对边AD（或其延长线）的线段</note>是该顶点B的高。<note>线段与边AD（或其延长线）形成一个直角（90度）</note>，这说明线段是从顶点B到对边AD（或其延长线）的垂直距离。

对角线的定义

对角线是连接多边形一顶点和非相邻顶点的线段。

在本题图中，平行四边形ABCD中，顶点A、B、C、D，<note>对角线是连接顶点A和非相邻顶点C的线段AC</note>，<note>以及连接顶点B和非相邻顶点D的线段BD</note>。因此，<note>线段AC和BD就是平行四边形ABCD的对角线</note>。

平行四边形的面积公式

一个平行四边形的面积等于它的底边长乘以对应的高，即A = 底边长 × 高。

<note>平行四边形ABCD中，边BC是底边</note>，<note>对应的高是从底边BC到对边AD的垂直距离，记为4</note>。因此，根据平行四边形的面积公式，平行四边形ABCD的面积等于<note>底边长BC乘以对应的高4</note>，即<note>S_{ABCD} = BC × 高 = 6 × 4 = 24</note>。

平行四边形的性质定理

在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。

在本题图中，平行四边形ABCD中，<note>对角∠A和∠C相等</note>，<note>对角∠B和∠D相等</note>；<note>边AB和边CD相等</note>，<note>边AD和边BC相等</note>；<note>对角线AC和BD互相平分，即交点O将对角线AC分成两段相等的线段AO和OC</note>，<note>将对角线BD分成两段相等的线段BO和OD</note>。

中心对称图形的定义

在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。

<note>图形 ABCD 绕点 O 旋转 180° 后与原图形完全重合</note>。根据中心对称图形的定义，<note>ABCD 是中心对称图形，点 O 是其对称中心</note>。

中心对称的定义

在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称，这个点叫做它的对称中心，旋转180°后重合的两个点叫做对称点。

<note>若将平行四边形上半部分的两个阴影三角形绕点 O 旋转 180°</note>后与<note>下半部的两个空白三角形完全重合</note>，则根据中心对称的定义，<note>它们两两关于点 O 成中心对称</note>，<note>点 O 是它们的对称中心</note>，对应点称为<note>对称点</note>。

中心对称的性质

连接中心对称图形上每一对对称点的线段都经过对称中心，且被对称中心平分。

在本题图中，中心对称图形<note>ABCD</note>中，每条经过<note>O点</note>的直线与平行四边形边相交的两点都是一对对称点。根据<note>中心对称</note>的性质，连接中心对称图形上每一对对称点的线段都经过<note>对称中心O</note>，且被<note>对称中心O</note>平分。


Question: 如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,以C为圆心,CB的长为半径画弧,交AB于点D,连接CD,则∠ACD等于()

Answer: 30°

1. 已知AB=AC和∠A=40°，##根据等腰三角形的定义，可得△ABC是等腰三角形。根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理##, 得出∠ABC=∠ACB=##(180°-40°)/2=70°##。

2. 以点C为圆心，BC的长为半径作弧，交AB于点D，再连接CD。

3. ##根据半径的定义，得##BC=CD，根据等腰三角形的性质，得出##∠CBD##=∠CDB。

4. 在ΔBCD中，##∠CDB=∠ABC##=70°，根据外角定理得到##∠ACD=∠CDB-∠A=70°-40°=30°##。

####

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为30°。

等腰三角形; 圆; 弧; 圆周角; 内错角

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

<note>在本题图中，三角形ABC中，边AB和边AC相等</note>，因此三角形ABC是一个等腰三角形。##同理，<note>三角形CDB中，边CB和边CD相等</note>，因此三角形CDB是一个等腰三角形。##

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

<note>等腰三角形BCD中，边BC和边CD相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>角BCD = 角CDB</note>。##同理，<note>等腰三角形ABC中，边AB和边AC相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>角ABC = 角ACB</note>。##

三角形的外角定理

三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段。

在本题图中，<note>圆C中，点C是圆心</note>，<note>点B是圆上的任意一点</note>，<note>线段CB是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段CB是圆的半径</note>。


Question: 如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠AOB=60°,则∠C的度数为()

Answer: 30°

####

##1##. 已知∠AOB=60°。

##2##. 根据圆周角定理，##圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半##。

##3##. 在本题中，##圆周角ACB等于它所对的弧AB所对应的圆心角AOB的一半##。

##4##. 因此，∠ACB =##1/2 ##× ∠AOB =## 1/2 ##× 60° = 30°。

##5##. 由上述推理得出最终答案为∠ACB=30°。

圆; 圆心角; 圆周角; 普通三角形; 弧

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

<note>在本题图中，圆O中，角ACB的顶点(点C)在圆周上</note>，<note>角ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B</note>。因此，<note>角ACB是一个圆周角</note>。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

<note>弧AB</note>与<note>弧ACB</note>对应的圆心角为∠AOB，圆周角为∠ACB。根据圆周角定理，∠ACB等于它所对的<note>弧AB</note>所对应的圆心角∠AOB的一半，即∠ACB = 1/2 ∠AOB。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

<note>在本题图中，圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O</note>。<note>连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角</note>。##


Answer: 60°

1. 已知AB是圆O的直径，点C在圆O上。根据##(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角##，得出∠ACB是直角，即∠ACB=90°。

2. 由∠ABC=30°以及∠ACB=90°，##依据三角形内角和定理##，即一个三角形的三个内角之和等于180°，计算得出∠CAB=180°-∠ACB-∠ABC=180°-90°-30°=60°。

圆; 圆周角; 直角三角形

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>在本题图中，三角形ACB中，角ACB、角ABC和角CAB是三角形ACB的三个内角</note>，根据<note>三角形内角和定理</note>，<note>角ACB + 角ABC + 角CAB = 180°</note>。##

(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角

半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

<note>在本题图中，圆O中，直径AB所对的圆周角ACB是直角（90度）</note>。（或<note>本题图中，圆周角ACB是90度，所以它所对的弦AB是直径</note>。）


Question: 如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的一条弦,且CD⊥AB于E,分别连接AD、BC,已知∠D=65°,则∠OCD=()

Answer: 40°

1. 已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，根据题意和已知∠D=65°。

2. 根据##圆周角定理推论1##，已知∠D=65°，即##∠ABC=∠EBC=65°##。

3. 由于CD⊥AB，且E是AB和CD的交点，因此∠CEB=90°。

4. 在ΔCEB中，##根据三角形的内角和定理，∠ECB=180°-∠CEB-∠EBC=180°-90°-65°=25°##。

5. ##因为OB和OC为圆O的半径，OB=OC，根据等腰三角形的定义，可得△OBC为等腰三角形##。

6. ##根据等腰三角形的性质，在等腰三角形△OBC中，∠OBC=∠OCB=65°##。

7. ##因为在△COB中，∠OCB=∠OCE+∠ECB，即∠OCE=∠OCB-∠ECB##。

8. 得出##∠OCD=∠OCE=65°-25°=40°##。

9. 经过上述推理，最终得出答案为40°

圆; 垂线; 直角三角形; 圆周角; 弧

圆周角定理推论1

在一个圆中，任意两个与同一弧相对应的圆周角相等。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

在本题图中，圆O中，<note>角∠ADC的顶点D在圆周上</note>，角∠ADC的两边分别与圆O相交于<note>点A和点C</note>。因此，<note>角∠ADC是一个圆周角</note>。<note>角∠ABC的顶点B在圆周上</note>，角∠ABC的两边分别与圆O相交于点A和点C。因此，<note>角∠ABC是一个圆周角</note>。

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

在本题图中，三角形OBC中，<note>边OB和边OC相等</note>，因此<note>三角形OBC是一个等腰三角形</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形CEB</note>中，<note>角CEB</note>、<note>角ECB</note>和<note>角CBE</note>是<note>三角形CEB的三个内角</note>，根据<note>三角形内角和定理</note>，<note>角CEB + 角ECB + 角CBE</note> = 180°。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

<note>在本题图中，等腰三角形△OBC中，边OB和边OC相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，<note>相等的两边所对的角相等，即∠OBC = ∠OCB</note>。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段。

<note>点O是圆心，点A是圆上的任意一点，线段OA是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OA是圆的半径</note>。<note>圆O中，点O是圆心，点B是圆上的任意一点，线段OB是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OB是圆的半径</note>。<note>圆O中，点O是圆心，点C是圆上的任意一点，线段OC是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OC是圆的半径</note>。


Question: 如图,在⊙O中,已知∠AOB=110°,C是圆周上的一点,则∠ACB为()

Answer: 125°

1. 在优弧AB上取一点D，连接AD和BD。

2. 根据圆周角定理，圆周角等于所对的圆心角的一半，可得∠ADB=∠AOB/2=110°/2=55°。

3. ##因为四边形ADBC的四个顶点都在圆O上，根据内接四边形的定义，四边形ADBC是圆内接四边形##。

4. 在圆内接四边形中，对角的度数和为180°，所以∠ACB+∠ADB=180°。

5. 将已知的∠ADB=55°代入，得∠ACB=180°-55°=125°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为125°。

圆; 圆心角; 圆周角; 弦

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

<note>在本题图中，圆O中，角∠ACB的顶点C在圆周上</note>，<note>角∠ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B</note>。因此，<note>角∠ACB是一个圆周角</note>。##<note>角∠ADB的顶点D在圆周上</note>，<note>角∠ADB的两边分别与圆O相交于点A和点B</note>。因此，<note>角∠ADB是一个圆周角</note>。##

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

在本题图中，圆O中，<note>点A和点B是圆上的两点</note>，<note>圆心是点O</note>。<note>连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角</note>。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

内接四边形

内接四边形是指一个四边形的全部四个顶点都在同一个圆上。这个圆称为四边形的外接圆。

<note>四边形ADBC的四个顶点A、D、B和C都在同一个圆上</note>。这个<note>圆称为四边形ADBC的外接圆</note>。因此，四边形ADBC是一个内接四边形。根据<note>内接四边形的性质</note>，可以得出<note>对角相加等于180度</note>，即<note>角ACB + 角ADB = 180度</note>，<note>角DAC + 角DBC = 180度</note>。

(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理

在一个圆内接四边形中，每一对对角的和等于180°。并且任何一个外角都等于他的内对角。

<note>圆内接四边形ADBC中，四边形的顶点ADBC都在圆上</note>。根据圆内接四边形对角互补定理，<note>四边形ADBC的每一对对角的和等于180°</note>。具体来说，<note>∠ADB + ∠ACB = 180°</note>；<note>∠DAC + ∠ABC = 180°</note>。


Answer: 35°

1. 已知∠AOC=110°。

2. ##根据平角的定义，∠AOB是平角，∠AOB=180°，##得∠BOC=180°-∠AOC。

3. 因此∠BOC=180°-110°=70°。

4. 根据圆周角定理，圆周角∠BDC等于所对弧所对应的圆心角的一半。

5. 因此∠BDC=1/2∠BOC。

6. 代入数值，得∠BDC=1/2*70°=35°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为35°。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

<note>圆O中</note>，角BDC的<note>顶点D在圆周上</note>，角BDC的两边分别与<note>圆O相交于点B和点C</note>。因此，角BDC是一个圆周角。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

<note>在本题图中，圆O中，点A和点C是圆上的两点，圆心是点O</note>。连线<note>OA和OC组成的角∠AOC称为圆心角</note>，连线<note>OB和OC组成的角∠BOC称为圆心角</note>。

平角的定义

一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度。

<note>射线OA绕着端点O旋转到与起始边成一条直线，形成平角AOB</note>。根据平角的定义，<note>平角的度数为180度</note>，即<note>角AOB=180度</note>。##

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。


Question: 如图,已知A、B、C三点在⊙O上,AC⊥BO于D,∠B=50°,则∠BOC的度数是()

Answer: 80°

1. 已知点A、B、C在⊙O上，AC垂直于BO并交于点D。

2. 根据##垂线的定义##，得出∠ADB=90°。

3. 由已知条件##∠B=∠ABD=50°##，##根据三角形的内角和定理，得出∠BAD=180°-∠ABD-∠ADB=180°-90°-50°=40°，且∠BAD=∠BAC##。

4. ##根据圆周角定理，∠BAC等于所对的弧BC所对的圆心角∠BOC的一半##。

5. 因此，∠BOC=2##∠BAC###。

6. 代入##∠BAC##=40°，得∠BOC=2*40°=80°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为80°。

圆; 圆周角; 圆心角; 垂线

垂线定义

如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

<note>在本题图中，圆O中，点A、B、C在圆上</note>，<note>弧BC对应的圆心角为∠BOC</note>，圆周角为<note>∠BAC</note>。根据圆周角定理，<note>∠BOC等于它所对的弧AC所对应的圆周角∠BAC的两倍，即∠BOC = 2 * ∠BAC</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形ABD</note>中，<note>角BAD、角ABD和角ADB</note>是三角形ABD的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>角BAD + 角ABD + 角ADB = 180°</note>。


Answer: 37°

1. 已知AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ABD=53°。

2. 连接##AD##，根据(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角，得出##∠BDA##=90°。

##3.由于∠ABD=53°，∠BDA=90°，由三角形内角和定理可知，∠DAB为180°-90°-53°＝37°##

4. ##因为∠DAB与∠BCD对应公共的弧DB，由圆周角定理推论1可知二者相等。##

##5.∠DAC＝∠BCD＝37°##

####

圆; 圆周角; 弧; 弦; 直角三角形

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

<note>AB是直径</note>，连接了圆心<note>O</note>和圆周上的<note>A</note>、<note>B</note>两点，长度为<note>2倍的半径</note>，即<note>AB = 2 * 半径</note>。

弦的定义

弦是连接圆上任意两点的线段。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

在本题图中，圆O中，点A、B、C在圆上，<note>弧AC####对应的圆心角为∠AOC</note>，<note>圆周角为##∠ABC##</note>。根据圆周角定理，<note>##∠ABC##等于它所对的弧AC所对应的圆心角∠AOC的一半</note>，即<note>##∠ABC##=1/2 ∠AOC</note>。

(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角

半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形ABD</note>中，角ABD、<note>角BDA</note>和<note>角BAD</note>是<note>三角形ABD</note>的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>角ABD + 角BDA + 角DAB</note> = 180°。

圆周角定理推论1

在一个圆中，任意两个与同一弧相对应的圆周角相等。

<note>圆O中，弧AD对应的圆周角∠ACD和∠ABD相等</note>。根据圆周角定理推论1，<note>与同一弧AD相对应的圆周角∠ACD和∠ABD相等</note>，即<note>∠ACD = ∠ABD</note>。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角


Question: 如图,已知AD与BC相交于点O,AB∥CD,如果∠B=40°,∠D=30°,则∠AOC的大小为()

Answer: 70°

1. 已知AB∥CD，##根据平行线的平行公理2##，得到∠DAB = ∠CDA = 30°。

2. ##由三角形的外角定理可知##，即三角形外角等于与其不相邻的两个内角之和，得到∠AOC = ∠DAB + ∠ABC。

3. 由已知条件，∠ABC = 40°，结合上述步骤，得到∠AOC = 30° + 40°。

4. 经过上述推理，最终得出答案为70°。

平行线; 内错角; 对顶角

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>两条平行线CD和AB</note>被第三条<note>直线AD</note>所截，形成了以下几何关系：内错角：<note>角DAB和角CDA相等</note>。这些关系说明了在<note>两条平行线被第三条直线所截时，内错角相等</note>。

三角形的外角定理

三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。

<note>三角形ABO</note>中，<note>角AOC是三角形ABO的一个外角</note>，<note>角DAB和角ABC是与外角AOC不相邻的两个内角</note>，根据三角形的外角定理，<note>外角AOC等于不相邻的两个内角DAB和ABC之和，即角AOC = 角DAB + 角ABC</note>。

多边形的外角定义

多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。


Question: 如图,⊙O中,弦AB的长为2,OC⊥AB于C,OC=1,若从⊙O外一点P作⊙O的两条切线,切点分别为A、B,则∠APB的度数为()

Answer: 90°

1. 已知弦AB的长为2，OC垂直于AB并交于点C，OC等于1。

2. 连结OA和OB，PA和PB是切线，则根据##圆的切线性质##，角OAP等于角OBP等于90度。

3. ##因为OC垂直于AB于点C，根据垂径定理得出AC等于BC等于1##，因此OC=AC=BC。

4. 由此可知三角形ACO和三角形BCO是等腰直角三角形

5.##因而结合三角形内角和定理可以得出∠AOC=∠OAC=（180°-90°）/2=45°，∠BOC=∠OBC=（180°-90°）/2=45°，继而算出∠AOB=∠AOC+∠BOC=45°+45°=90°##

6. ##根据四边形内角和定理可以得知，∠APB=360°-∠AOB-∠OAP-∠OBP=360°-90°-90°-90°=90°##

####

##7##. 经过上述推理，最终得出答案为90度。

圆; 切线; 弦; 圆周角; 等腰三角形

弦的定义

弦是连接圆上任意两点的线段。

圆的切线定义

圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。

在本题图中，<note>圆O与直线PA和PB有且只有一个公共点A和B，这两个公共点叫做切点</note>。因此，<note>直线PA和PB是圆O的切线</note>。

垂径定理

如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

<note>圆O中，点A和B是直线PA和PB与圆的切点</note>，<note>线段OA和OB是圆的半径</note>。根据圆的切线性质，<note>切线PA和PB与经过切点A和B的半径OA和OB垂直</note>，即<note>∠OAP = ∠OBP = 90度</note>。

等腰直角三角形的定义

等腰直角三角形是两个边相等且有一个角为90度的三角形。

四边形的内角和定理

在任意四边形中，四个内角的和为360°

在本题图中，<note>四边形AOBP</note>中，<note>角AOB</note>、<note>角OAP</note>、<note>角OBP</note>和<note>角APB</note>是四边形的四个内角，根据<note>四边形的内角和定理</note>，这四个内角的和为360°，即<note>角AOB + 角OAP + 角OBP + 角APB = 360°</note>。####

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°


Question: 如图,在△ABC中,AB=2,AC=1,以AB为直径的圆与AC相切,与边BC交于点D,则AD的长为()

Answer: \frac{2}{5}√{5}

1. 由于以AB为直径的圆与AC相切，所以∠CAB=90°。##因为AB是半径，∠ADB是直径所对的圆周角，根据圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角，可得∠ADB=90°。##

2. 已知AB=2, AC=1。##在直角三角形ABC中##，根据勾股定理，##得到BC=√(AB^2 + AC^2)=√(2^2 + 1^2) = √5##。

3. ##在三角形ADB中，∠DAB+∠DBA=180°-90°=90°。已知∠CAB=90°=∠CAD+∠DAB，结合可得出：∠DBA=∠CAD。根据相似三角形的判定定理(AA)可得三角形ADB相似于三角形CAB。##

4. ##根据相似三角形的定义可得：AD/AB = AC/BC##。

5. 根据前一步的结论：AD = AC * AB / BC = 1 * 2 / √5 = 2 / √5，化简后得AD = (2√5) / 5。

圆; 切线; 圆周角; 直角三角形; 弦

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

在本题图中，三角形ABC中，<note>角CAB是直角（90度）</note>，因此<note>三角形ABC是一个直角三角形</note>。<note>边AC和边AB是直角边，边BC是斜边</note>。三角形ADB中，<note>角ADB是直角（90度）</note>，因此<note>三角形ADB是一个直角三角形</note>。<note>边AD和边BD是直角边，边AB是斜边</note>。

(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角

半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>直角三角形ABC</note>中，<note>角∠CAB是直角（90度）</note>，<note>边AC和AB是直角边</note>，<note>边BC是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>BC^2 = AB^2 + AC^2</note>，即<note>BC = √{AB^2 + AC^2} = √{2^2 + 1^2} = √5</note>。

相似三角形的判定定理(AA)

相在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>三角形ADB和三角形ABC是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>∠ADB = ∠CAB, ∠DAB = ∠ACB, ∠DBA = ∠ABC</note>；<note>AC/BC = AD/AB</note>。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。


Question: 如图所示,在四边ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,若在BC和CD上分别找一点M,使得△AMN的周长最小,则此时∠AMN+∠ANM的度数为()

Answer: 120°

1. 如图，在BC和CD上分别找一点M，##点N##，使得△AMN的周长最小。作A关于BC和CD的对称点A'和A''，连接A'和A''，交BC于M，交CD于N，##因为两点之间线段最短，##则A'A''即为△AMN的周长最小值。

2. ##已知∠B = ∠D = 90°，且A关于BC和CD的对称点为A'和A''，而AB，AD是分别到BC和DC的距离，根据对称性的性质，得点A，点A‘，点B共线；点A，点A‘’，点C共线，所以∠BAD =∠A’AA‘’= 120°。##

3. ##在△A‘AA’‘中，∠A’AA‘’为120°，根据三角形内角和定理，得∠AA‘A’‘+∠AA’‘A’ = 180° - ∠A’AA‘’=180° - 120° = 60°。##

4. 由于A'是A关于BC的对称点，##根据对称性的性质，AM=A‘M，所以根据等腰三角形的性质得∠BA'M = ∠BAM##。

5. 同理，A''是A关于CD的对称点，##根据对称性的性质，AN=A’‘N，所以根据等腰三角形的性质得∠NAD = ∠NA''D##。

6.##已知∠BAM+∠NAD=∠NA''D+∠BA'M=∠AA‘A’‘+∠AA’‘A’=60°##。

7. 因此，##根据三角形内角和定理得∠AMN + ∠ANM = 180°-∠MAN ；而∠MAN= ∠BAD-∠BAM+∠NAD=120°-60°=60°。##

####

##8##. 经过上述推理，最终得出∠AMN + ∠ANM = 120°。

垂直平分线; 反射; 直角三角形; 邻补角; 普通三角形

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

在本题图中，<note>三角形AA‘A’‘中，∠AA‘A’‘，∠AA’‘A’ 和∠A’AA‘’是三角形AA‘A’‘的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>∠AA‘A’‘+∠AA’‘A’ +∠A’AA‘’ = 180°</note>，在<note>三角形AMN中，∠AMN，∠MAN 和∠ANM是三角形AMN的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>∠AMN+∠MAN +∠ANM = 180°</note>。

对称性的性质

在对称图形中，对称轴两侧的对应点在对称轴上的投影距离相等。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

在本题图中，<note>等腰三角形AA’M中，边AM和边A‘M相等。</note> 因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>∠BA'M = ∠BAM</note>，在<note>等腰三角形AA’’N中，边AN和边A‘‘N相等。</note> 因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>∠NAD = ∠NA''D</note>。

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

<note>在本题图中，三角形AA’M中，边AM和边A’M相等</note>，因此三角形AA’M是一个等腰三角形，<note>在三角形AA’’N中，边AN和边A’N相等</note>，因此三角形AA’N是一个等腰三角形。##


Answer: 50°

1. 已知AB=AC，##所以根据等腰三角形的定义可得：三角形ABC是一个等腰三角形。因为点D是BC中点，所以AD为三角形ABC的中线即BD=CD。##。

2. ##根据等腰三角形高线、中线、角平分线重合定理的：##AD是△ABC的顶角##BAC的##平分线####，AD也是BC的垂直平分线，所以AD垂直于BC。

3. 根据题意，∠B=40°。

4. 由于AD垂直于BC，即∠ADB是直角，∠ADB=90°。

5. 在直角三角形△ADB中，由于##三角形内角和定理##，又已知##∠ABD##=∠B=40°。

6. 因此，∠BAD=##180°-∠ADB-∠B=180°-90°-40°=50°##。

等腰三角形; 中点; 线段

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

垂直平分线的定义

经过线段中点且垂直于该线段的直线

线段中点

线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。

<note>线段BC的中点为点D</note>。根据线段中点的定义，<note>点D将线段BC平分为两个相等的部分，即线段BD和线段DC的长度相等</note>。即，<note>BD = DC</note>。

三角形中线的定义

中线是从三角形一个顶点到对边中点的线段

<note>三角形ABC中，顶点A是三角形的一个顶点</note>，<note>对边BC是与顶点A相对的边</note>。<note>点D是边BC的中点</note>，<note>线段AD是从顶点A到对边BC中点D的线段</note>，因此<note>AD是三角形ABC的一条中线</note>。

垂线定义

如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。

<note>直线AD和直线BC相交形成的角∠ADB是90度</note>，因此根据垂线定义，<note>直线AD和直线BC互相垂直</note>。

等腰三角形高线、中线、角平分线重合定理

等腰三角形的顶角平分线不仅平分顶角，还平分底边并垂直于底边

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°

在本题图中，<note>三角形ABD</note>中，<note>角ABD</note>、<note>角ADB</note>和<note>角BAD</note>是<note>三角形ABD的三个内角</note>，根据<note>三角形内角和定理</note>，<note>角ABD + 角ADB + 角BAD = 180°</note>。


Question: 如图,将长方形ABCD沿线段OG折叠到OB'C'G的位置,∠OGC'等于100°,则∠DGC'的度数为()

Answer: 20°

1. 已知将长方形ABCD沿线段OG折叠到OB'C'G的位置，∠OGC'等于100°。

2. 由于折叠过程中的对称性，∠OGC等于∠OGC'，即∠OGC = 100°。

3. 由平角性质可知，∠OGD = 180° - ∠OGC。

4. 将∠OGC的值代入，得∠OGD = 180° - 100° = 80°。

5. ####∠DGC' = ∠OGC'  - ∠OGD。

6. 将已知值代入，得∠DGC' = 100° - 80° = 20°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为20°。

反射; 邻补角; 矩形; 普通三角形

邻补角的定义

<note>∠OGD 和 ∠OGC 有一条公共边OG</note>，<note>它们的另一边OD和OC互为反向延长线</note>，所以<note>∠OGD 和 ∠OGC 互为邻补角</note>。######

平角的定义

一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度

<note>射线GC绕着端点G旋转到与起始边成一条直线，形成平角CGD</note>。根据平角的定义，平角的度数为180度，即<note>角CGD=180度</note>。


Answer: 120°

1. 已知角 A = 70°，## ∠2## = 130°。

####

##2. 由三角形 ABC## 的外角性质：外角等于不相邻的两个内角之和。因此 ##∠ABC = ∠2 - ∠A##。

##3.## 代入已知数据：∠CAB = 70°，##∠2 = 130°，则角 ##∠ABC = 130° - 70° = 60°##。

##4.设CB延长线上有一点D，角 ∠1 和 ∠ABC 互为邻补角，根据邻补角的定义得， ∠1 =180°-∠ABC=180°-60°=120°##。

三角形的外角定理

三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。

<note>在本题图中，三角形 ABC 中，角2是三角形的一个外角</note>，角 ∠CAB 和角 <note>∠ABC是与外角 ∠2 不相邻的两个内角</note>，根据三角形的外角定理，<note>外角 ∠2 等于不相邻的两个内角 ∠CAB 和 ∠ABC 之和</note>，即角 <note>∠1 = ∠CAB + ∠ABC</note>。

邻补角的定义

两个角有一条公共##边AB##，它们的另一边##BD和BC##互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。

<note>在本题图中，## ∠1 和 ∠ABC ##</note>有一条公共<note>边 AB</note>，它们的另一边<note>BD 和 BC</note>互为反向延长线，所以<note>##∠1 和 ∠ABC## 互为邻补角。</note>

多边形的外角定义

多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。


Question: 如图,将△ABC折叠,使点A与BC边中点D重合,折痕为MN,若AB=9,BC=6,则△DNB的周长为()

Answer: 12

1. 已知点D是BC边的中点，且BC=6。

2. 根据##线段中点的定义##，边BD等于BC的一半，即BD=3。

3. ####根据折叠性质，我们可以得到DN等于AN。

4. 根据三角形的周长公式，△DNB的周长等于DN+BN+BD。

5. 因为DN=AN，AN为折叠后形成的线段，可得△DNB的周长=AN+BN+BD。

6. 由图形中的关系得知，##AN+BN=AB##，AB=9，所以##AN+BN=9##。

####

##7##. 将已知值代入三角形△DNB的周长公式，则△DNB的周长=##9##+3。

##8##. 经过上述推理，最终得出答案为12。

中点; 对称; 普通三角形

线段中点

线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。

在本题图中，<note>线段BC的中点为点D</note>。根据线段中点的定义，点D将线段BC平分为两个相等的部分，即<note>线段BD和线段DC的长度相等</note>。即，BD = DC = 3。

三角形的周长公式

在本题图中，已知<note>三角形DBN</note>的<note>三边分别为DB、BN、ND</note>，根据三角形的周长公式，三角形的周长等于其三边长度之和，即<note>周长P=DB＋BN＋ND</note>。


Question: 如图, O是直线AB上一点, ∠1=40°, OD平分∠BOC, 则∠2的度数是()

Answer: 70°

1. 已知∠AOB####是一个平角，根据平角定义得出∠AOB=180°。

2. 已知∠1=40°，根据上述结论，得出∠COB=180°-40°=140°。

3. 已知OD平分∠BOC，根据角平分线定义，在本题中具体为OD平分∠BOC，得到∠BOD=∠COD。

4. 因为OD平分∠BOC，根据##角平分线定义##得出∠BOD=∠COD=1/2∠BOC。

5. 根据步骤2得出∠BOC=140°，则∠BOD=∠COD=1/2×140°=70°。

6. 根据图形得知∠2=∠BOD，因此∠2=70°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为70°。

对顶角; 邻补角; 直线; 射线

角平分线定义

角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。

平角的定义

<note>射线A绕着端点O旋转</note>到与<note>起始边成一条直线</note>，形成<note>平角AOB</note>。根据平角的定义，平角的度数为180度，即<note>角AOB=180度</note>。##


Question: 如图,在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q,则线段PQ长度的最小值是()

Answer: 4.8

1.##由于已知AB=10，AC=8，BC=6，所以根据##勾股定理的逆定理##可以得出∠ACB=90°。##

2.##由(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角，已知∠QCP为圆周角，且为90°，得QP为圆的直径。##

3.##如图，设PQ的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD、CF、CD。##

4. 根据题意，FC + FD = PQ，并且根据##三角形三边关系定理##，得出FC + FD > CD。

5. ##当点F在CD上时，才有FC + FD ＝ CD，CD为圆的直径。由圆的切线性质可知，CD⊥AB，即##当点F在直角三角形ABC的斜边AB上的高CD上时，PQ=CD有最小值。

6. 根据##三角形的面积公式##，CD = BC × AC ÷ AB。

7. 根据已知数据，CD = 6 × 8 ÷ 10 = 4.8。

8. 经过上述推理，最终得出答案为4.8。

圆; 切线; 线段; 垂线; 内错角

圆的切线定义

圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>三角形ABC中，角ACB是直角（90度）</note>，因此三角形ABC是一个直角三角形。<note>边AC和边BC是直角边</note>，<note>边AB是斜边</note>。

三角形三边关系定理

三角形的两边之和大于第三边

三角形的面积公式

任意三角形的面积等于其底乘以高除以2

<note>在本题图中，三角形ABC中，边AB是底，线段CD是高。</note>根据三角形的面积公式，<note>三角形ABC的面积等于底边AB乘以高CD再除以2</note>。####<note>三角形ABC中，边AC是底，线段BC是高。</note>根据三角形的面积公式，<note>三角形ABC的面积等于底边AC乘以高BC再除以2</note>####

勾股定理的逆定理

如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。最长边所对的角为直角

<note>已知三角形△ABC的三边分别为10、8、6</note>，且满足<note>10² = 8² + 6²</note>，则根据勾股定理的逆定理，<note>△ABC是直角三角形</note>，最长边<note>10所对的角ACB为直角</note>。

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直

<note>圆F中，点D是是直线AB与圆的切点</note>，<note>线段FD是圆的半径</note>。根据圆的切线性质，<note>切线AB与经过切点D的半径FD垂直</note>，即<note>∠ADF=90度</note>。

线段中点

线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点

<note>线段QP的中点为点F</note>。根据线段中点的定义，<note>点F将线段QP平分为两个相等的部分</note>，即<note>线段QF和线段FP的长度相等</note>。即，<note>QF = FP</note>。####

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

在本题图中，<note>圆F</note>中，<note>点F是圆心</note>，<note>点D是圆上的任意一点</note>，<note>线段DF是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段DF是圆的半径</note>。####

(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角

半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径

高的定义

从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段

在本题图中，从顶点C垂直于对边AB（或其延长线）的线段<note>CD是该顶点C的高</note>。线段<note>CD与边AB（或其延长线）形成一个直角（90度）</note>，这说明线段<note>CD是从顶点C到对边AB（或其延长线）的垂直距离</note>。


Question: 如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′(点B的对应点是点B′,点C的对应点是点C′),连接CC′.若∠CC′B′=32°,则∠AC′B′的大小是()

Answer: 13°

1. 已知在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°。根据##旋转的定义##，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB'C'。

2. ##根据旋转的性质##，得 AC=AC'。

3. 根据##旋转的性质##，∠BAC##顺时针##旋转90°后得 ∠B'AC'，所以 ∠B'AC'=####90°。

####

##4##. 此外，∠C'AC=90°，根据##等腰直角三角形的定义##，得出△ACC'是一个等腰直角三角形，##根据三角形内角和定理，所以##∠ACC'=##∠AC'C=(180°-∠C'AC)/2=(180°-90°)/2=45°##。

##5##. 又因为 ∠CC'B'=32°，所以 ∠AC'B'=##∠ACC'##-∠CC'B'=45°-32°。

##6##. 计算得：∠AC'B'=13°。

##7##. 经过上述推理，最终得出答案为∠AC'B'的大小是13°。

直角三角形; 旋转; 邻补角; 三角形的外角

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形AC'C</note>中，<note>角AC'C</note>、<note>角ACC'</note>和<note>角CAC'</note>是<note>三角形AC'C</note>的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>角AC'C</note> + <note>角ACC'</note> + <note>角CAC'</note> = 180°。

等腰直角三角形的定义

等腰直角三角形是两个边相等且有一个角为90度的三角形。

旋转的性质

<note>知识点名称：旋转的性质</note> <note>知识点内容：1.对应点到旋转中心的距离相等 2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 3.旋转前、后的图形全等。</note>
在本题图中，将图形 <note>ABC</note> 绕旋转中心 <note>A</note> 旋转 <note>90°</note> 后得到图形 <note>AB'C'</note>。根据旋转的性质：1. 对应点（如点 <note>C</note> 与点 <note>C'</note>）到旋转中心 <note>A</note> 的距离相等，即  <note>AC=AC'</note> ；2. 对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角 <note>90°</note>，即 <note>角CA'C' = 90°</note>；3. 旋转前的图形 <note>ABC</note> 与旋转后的图形 <note>AB'C'</note> 全等，即 <note>图形 ABC ≅ 图形 AB'C'</note>。

旋转的定义

在平面内,把一个图形绕点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转,点O叫做旋转中心,旋转的角叫做旋转角,如果图形上的点P经过旋转变为点P_,那么这两个点叫做这个旋转的对应点。

在本题图中，<note>AB'C'是图形ABC绕定点A顺时针（或逆时针）旋转 90° 得到的</note>。其中<note>点C与点C_是对应点</note>，<note>线段CA与CA_是对应线段</note>，<note>∠CBA与∠C'B'A是对应角</note>，<note>点A是旋转中心</note>，<note>∠C'AC的度数叫做旋转的角度</note>。


Question: 如图,点A、B、C、D在⊙O上,∠AOC=140°,点B是弧AC的中点,则∠D的度数是()

Answer: 35°

1. 已知：点A、B、C、D在⊙O上，##根据圆心角的定义，可知∠AOC为圆心角，##并且∠AOC=140°。

2. 连接OB，点B是弧AC的中点，因此弧AB和弧BC的长度相等。

3. 根据圆心角的性质，##已知圆心角∠AOB所对的圆弧为弧AB,圆心角∠BOC所对的圆弧为弧BC,因为弧AB=弧BC，∠AOB=∠BOC，所以##∠AOB是∠AOC的一半。

4. 因为∠AOC=140°，所以∠AOB=##1/2##∠AOC=70°。

5. 根据圆周角定理，知道圆周角等于它所对应的圆心角的一半，即对应##弧AB##的圆周角∠ADB=##1/2##∠AOB。

6. 因为∠AOB=70°，所以∠ADB=∠D=##1/2##70°=35°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为35°。

圆; 圆心角; 圆周角; 弧; 中点

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

<note>∠AOC，∠AOB 和∠BOC 是圆心角</note>。它们的顶点为 <note>O</note>，且它们的边分别经过圆周上的点 <note>A 和 C</note>，<note>A 和 B</note>，<note>B 和 C</note>。根据题意，<note>∠AOC = 140°</note>，<note>∠AOB = ∠BOC = 70°</note>。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

<note>在本题图中，圆 O 中</note>，<note>角 ADB 的顶点 D 在圆周上</note>，角 ADB 的两边分别与<note>圆 O 相交于点 A 和点 B</note>。因此，<note>角 ADB 是一个圆周角</note>。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

圆心角定理

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

<note>圆O中</note>，两<note>圆心角所对的弧相等，即弧AB = 弧BC</note>；他们所对的<note>圆心角也相等，即圆心角∠AOB= ∠BOC</note>。####

弧的定义

弧是圆上两点之间的一段曲线。

<note>圆O上有三点A，B和C</note>，弧AB是<note>连接A点和B点</note>的一段曲线，弧BC是<note>连接B点和C点</note>的一段曲线，弧AC是<note>连接A点和C点</note>的一段曲线。根据弧的定义，弧AB是<note>圆上两点A和B之间</note>的一段曲线，弧BC是<note>圆上两点B和C之间</note>的一段曲线，弧AC是<note>圆上两点A和C之间</note>的一段曲线。##


Question: 如图,AB是⊙O的直径,点C在AB的延长线上,CD与⊙O相切,切点为D．如果∠A=35°,那么∠C等于()

Answer: 20°

1. 根据题意，连接BD。因为AB是⊙O的直径，##根据(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角，##所以∠ADB是直角，即∠ADB=90°。

2. 由∠A=35°和∠ADB=90°，根据三角形内角和定理可得，∠ABD=##180°-##90°-∠A=55°。

3. 由于CD是切线，且切点为D，所以根据切线的性质，##∠ODC=90°##。

##4.因为OA，OD为圆的半径，因此OA=OD，根据等腰三角形的定义，三角形OAD是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，所以∠A=∠ADO=35°。##

##5. 根据以上结论，已知∠A=35°，∠ADC=∠ADO+∠ODC=35°+90°=125°,所以根据三角形内角和定理可得，∠ACD=180°-∠ADC-∠A=180°-125°-35°=20°。##

##6##. 经过上述推理，最终得出答案为20°。

圆; 切线; 圆周角; 直角三角形; 内错角

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

在本题图中，<note>AB 是 ⊙O 的直径</note>，连接了<note>圆心 O 和圆周上的 A、B 两点</note>，长度为<note>2 倍的半径，即 AB = 2r</note>。

圆的切线定义

圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。

<note>圆 ⊙O 与直线 CD 有且只有一个公共点 D</note>，<note>这个公共点叫做切点</note>。因此，<note>直线 CD 是圆 ⊙O 的切线</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

在本题图中，三角形 ABD 中，<note>∠BAD</note>、<note>∠ABD</note> 和<note>∠ADB</note> 是三角形 ABD 的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>∠BAD + ∠ABD + ∠ADB = 180°</note>。同理，三角形 ADC 中，<note>∠ADC</note>、<note>∠DAC</note> 和<note>∠ACD</note> 是三角形ADC 的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>∠ADC + ∠DAC + ∠ACD = 180°</note>。

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

<note>在本题图中，圆 O 中，点 D 是直线 CD 与圆的切点</note>，<note>线段 OD 是圆的半径</note>。根据圆的切线性质，<note>切线 CD 与经过切点 D 的半径 OD 垂直</note>，即 <note>∠ODC=90°</note>。##

(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角

半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

<note>在本题图中，圆O中，直径AB所对的圆周角ADB是直角（90度）</note>。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

<note>等腰三角形ADO</note>中，<note>边OA和边OD相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>角ADO = 角OAD</note>。

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

在本题图中，三角形ADO中，<note>边OA和边OD相等</note>，因此<note>三角形ADO是一个等腰三角形</note>。##


Answer: 100°

1. 已知: AB∥CD且∠C=40°。

2. 根据##平行线的平行公理2##，得: ∠ABC=∠C=40°。

3. 因为BC平分∠ABD, 根据角平分线的定义，得: ∠DBC=∠ABC=40°。

4. 在△BCD中，根据三角形内角和定理，得: ∠D=180°-∠DBC-∠C。

5. 代入已知条件，计算得: ∠D=180°-40°-40°=100°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为∠D=100°。

平行线; 内错角; 同旁内角; 三角形的外角

角平分线定义

角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>在本题图中</note>，两条平行线<note>AB和CD</note>被第三条<note>直线BC</note>所截，形成了以下几何关系：1. <note>内错角</note>：<note>∠ABC和∠BCD相等</note>。<note>∠ABC = ∠C = 40°</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

在本题图中，三角形BCD中的内角有∠DBC、<note>∠BDC</note>和∠C。根据三角形内角和定理，∠DBC + <note>∠BDC</note> + ∠C = 180°。


Question: 如图,把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上,若∠1=30°,则∠2是()

Answer: 60°

1. 已知∠1=30°，直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，##设直角三角形的直角点为∠3+∠1，根据直角三角形的定义##，得出∠1 + ∠3 = 90°。

2. 由步骤1的结论以及已知条件∠1=30°，依据角的代数和，得到∠3 = 90° - ∠1 = 60°。

3. 根据##同位角定义##，得到∠2和∠3为同位角。

4. ##根据平行线的平行公理2##，同位角相等，所以∠2 = ∠3。

5. 由步骤2和步骤4的结论，得出∠2 = 60°。

直角三角形; 对顶角; 邻补角

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>其中一个角为直角（90度 ∠1 + ∠3）</note>,另外两个内角的和也为90°。

同位角定义

两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。

<note>角2和角3位于截线的同旁，被截两直线的同一侧</note>，因此<note>角2和角3是同位角</note>。<note>同位角相等</note>，即<note>角2等于角3</note>。##

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

在本题图中，直尺的两边互相平行，而三角板所在的边与两条平行线相交，<note>∠2和∠3是平行线被第三条直线截得的同位角</note>。因此，根据<note>同位角相等定理</note>，<note>∠2 = ∠3</note>。


Question: 如图,AB是⊙O的直径,点C,D在⊙O上．若∠ABD=50°,则∠BCD的度数为()

Answer: 40°

1. 连接AD，根据题意可知：AB是⊙O的直径。

2. 根据##(圆周角定理推论2)##，直径所对的圆周角为直角，因此∠ADB等于90°。

3. 已知∠ABD等于50°，由三角形内角和定理，在△ADB中，可得∠DAB=##180°-∠ADB-∠ABD=180°-##90°-50°=40°。

4. 由于AC和AD是同一个圆的弦，##根据圆周角定理推论1，在一个圆中，任意两个与同一弧相对应的圆周角相等##，可得∠BCD=∠DAB=40°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为40°。

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

<note>AB是直径</note>，连接了<note>圆心O</note>和<note>圆周上的A、B两点</note>，长度为<note>2倍的半径，即AB = 2 * OA</note>。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

<note>在本题图中，圆O中，角∠ADB的顶点D在圆周上，角∠ADB的两边分别与圆O相交于点A和点B。因此，角∠ADB是一个圆周角。</note>
<note>圆O中，角∠ABD的顶点B在圆周上，角∠ABD的两边分别与圆O相交于点A和点D。因此，角∠ABD是一个圆周角。</note>
<note>圆O中，角∠DAB的顶点A在圆周上，角∠DAB的两边分别与圆O相交于点D和点B。因此，角∠DAB是一个圆周角。</note>
<note>圆O中，角∠BCD的顶点C在圆周上，角∠BCD的两边分别与圆O相交于点B和点D。因此，角∠BCD是一个圆周角。</note>

(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角

半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径

<note>在本题图中，圆O中，直径AB</note>所对的<note>圆周角ADB是直角（90度）</note>。（或<note>本题图中，圆周角ADB是90度</note>，所以它<note>所对的弦AB是直径</note>。）##

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

在本题图中，三角形ADB中，<note>角ABD</note>、<note>角ADB</note>和<note>角DAB</note>是三角形<note>ADB</note>的三个内角，根据<note>三角形内角和定理</note>，角ABD + 角ADB + 角DAB = 180°。

圆周角定理推论1

在一个圆中，任意两个与同一弧相对应的圆周角相等。

<note>圆O中，弧BD对应的圆周角∠BAD和∠BCD相等</note>。根据圆周角定理推论1，<note>与同一弧BD相对应的圆周角∠BAD和∠BCD相等，即∠BAD = ∠BCD</note>。


Question: 已知直线a∥b,∠1和∠2互余,∠3=121°,那么∠4等于()

Answer: 149°

1. 已知直线a∥b，##设∠2的邻补角为∠5，∠2和∠5的公共边是c，另一个边是a，互为反向延长线##，得出∠2 + ∠5 = 180°。

2. 已知∠3 = 121°，##根据平行线的平行公理2可知∠3和∠5是同位角##，所以∠5 = ∠3 = 121°。

3. 由上述结果，得出∠2 = 180° - 121° = 59°。

4. 根据题意，∠2和∠1互余，所以∠2 + ∠1 = 90°，从而∠1 = 90° - 59° = 31°。

5. 由于直线a∥b，根据##根据平行线的平行公理2可知∠1和∠4是通旁内角##，得出∠1 + ∠4 = 180°。

6. 已知∠1 = 31°，所以∠4 = 180° - 31° = 149°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为149°。

平行线; 同位角; 内错角; 邻补角; 对顶角

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>在本题图中，两条平行线a和b被第三条直线cd所截</note>，形成了以下几何关系：1. 同位角：<note>角3和角5</note>相等。2. 同旁内角：<note>角1和角4</note>互补，即<note>角1 + 角4 = 180度</note>。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，<note>同位角相等</note>，<note>同旁内角互补</note>。

邻补角的定义

<note>角2和角5有一条公共边c</note>，它们的<note>另一边a互为反向延长线</note>，所以<note>角2和5互为邻补角</note>。####

同位角定义

在本题图中，<note>两条平行直线a和b被一条直线c截交</note>，<note>其中角3和角5位于截线c的同旁，被截两直线a和b的同一侧</note>，因此<note>角3和角5是同位角</note>。同位角相等，即<note>角3等于角5</note>。

同旁内角的定义

两条直线被第三条直线所截，在截线同侧，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角。若两直线平行，则同旁内角互补。若同旁内角互补，则两直线平行。

在本题图中，<note>两条直线a和b被第三条直线d所截</note>，<note>两角1和角4在截线d同侧，且在被截线a和b之内</note>，所以<note>角1和角4是同旁内角</note>。<note>同旁内角1和角4互补，即角1 + 角4 = 180度</note>。


Question: 将一张长方形纸片按如图所示折叠后,再展开．如果∠1=56°,那么∠2等于()

Answer: 68°

1. 已知折叠所重合的两个角相等, 根据折叠的性质，∠1与与它重合的角相等，因此此角也为56°，##我们记为∠3=∠1=56°##。

2. 再根据##同旁内角的定义，∠1+∠3##与∠2构成同旁内角。

3. 根据##平行线的平行公理2##，两个同旁内角的和等于180°，所以我们可以得出2∠1+∠2=180°。

4. 由于∠1=56°，代入上述公式，我们可以解得：2∠1+∠2=## 2×56°## + ∠2=180°。

5. 因此 ∠2=180°-##2×56°## = 68°。

6. 经过上述推理，得出 ∠2的值为68°。

对顶角; 邻补角; 反射

在本题图中，长方形纸片的上下边被折痕（横截线）所截，<note>∠1+∠3和∠2在折痕的同侧，且在长方形纸片的上下边之内</note>，所以<note>∠1+∠3和∠2是同旁内角</note>。同旁内角<note>∠1+∠3和∠2互补，即∠1+∠3 + ∠2 = 180度</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

在本题图中，长方形纸片的两条平行边被折叠形成的折痕所截，形成了以下几何关系：<note>同旁内角：∠1+∠3和∠2互补</note>，即<note>2∠1 + ∠2 = 180°</note>。由已知 <note>∠1 = 56°</note>，代入公式，解得 <note>∠2=180°-2*56°=68°</note>。


Question: 如图,直线AB,CD被BC所截,若AB∥CD,∠1=45°,∠2=35°,则∠3=()

Answer: 80°

1. 已知AB∥CD, ∠1=45°。

2. 根据平行线的##内错角##相等定理，得出##∠BCD##=∠1=45°。

3. 已知∠2=35°。

####

##4. 设∠3的顶角为点O，在△OCD中，∠3作为△OCD的一个外角等于三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和##。

##5##. 因此，∠3 = ##∠C + ∠2##。

##6##. 根据步骤2和步骤3，∠3 = ## 45° +35°## = 80°。

##7##. 最终得出答案为∠3 = 80°。

平行线; 同位角; 内错角

平行线的定义

当在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

本题图中，<note>直线AB和直线CD位于同一平面内</note>，并且<note>它们没有交点</note>，因此根据平行线的定义，<note>直线AB和直线CD是平行线</note>。

三角形的外角定理

三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和

在本题图中，三角形OCD中，<note>∠3是三角形的一个外角</note>，<note>∠C和∠2是与外角∠3不相邻的两个内角</note>，根据<note>三角形的外角定理</note>，<note>外角∠3等于不相邻的两个内角∠C和∠2之和</note>，即<note>∠3 = ∠C + ∠2</note>。##

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补

<note>在本题图中，两条平行线AB和CD被第三条直线BC所截</note>，形成了以下几何关系：<note>内错角：∠BCD和∠1相等</note>。

内错角的定义

当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。

<note>两条平行直线AB和CD</note>被一条<note>直线BC</note>截交，其中<note>角1和角BCD位于两平行线之间，且在截线BC的对侧</note>，，因此<note>角1和角BCD是内错角</note>。内错角相等，即角1等于角<note>BCD=45°</note>。##


Question: 如图,直线a∥b,直线c与直线a,b分别相交于点A,B,AM⊥b,垂足为点M．如果∠1=58°,那么∠2=()

Answer: 32°

1. 已知直线a∥b，切线c与直线a、b分别相交于点A和B，且∠1=58°。

2. 根据##平行线的平行公理2，同位角相等##，因此∠ABM=∠1=58°。

3. 根据题意，AM垂直于直线b，垂足为点M，##根据垂线定义，##这意味着∠AMB=90°。

4. 根据三角形的内角和定理，三角形ABM的三个内角和为180°。

5. 在三角形ABM中，根据##三角形的内角和定理##可以表示：∠2+∠ABM+∠AMB=180°。

6. 替换角度值：∠2+58°+90°=180°。

7. 简化等式后得到：∠2=180°-58°-90°=32°。

8. 经过上述推理，最终得出答案为32°。

平行线; 同位角; 内错角; 垂线; 直角三角形

同位角定义

当两条平行直线被一条直线截交时，其中两条同一位置的角称为同位角。同位角相等。

垂足的定义

垂线和所垂直的线段的交点称为垂足。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形ABM</note>的内角为<note>∠ABM</note>、<note>∠AMB</note>和<note>∠BAM</note>，根据<note>三角形内角和定理</note>，<note>∠ABM + ∠AMB + ∠BAM = 180°</note>。

垂线定义

如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。

<note>直线AM和直线BM相交形成的角∠AMB是90度</note>，因此根据垂线定义，<note>直线AM和直线BM互相垂直</note>。####

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

在本题图中，<note>两条平行线a和b被第三条直线c所截</note>，形成了以下几何关系：1. 同位角：<note>角1和角ABM相等</note>。这个关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等。


Question: 在△ABC中,AB=AC,D、E分别在BC、AC上,AD=AE,∠CDE=20°,则∠BAD的度数为()

Answer: 40°

1. 已知AB=AC, AD=AE, 在三角形ABC中，AB=AC，##根据等腰三角形的定义，所以三角形ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等##，所以∠ABC=∠ACB。

2. ∠ADC是三角形ABD的外角，##根据三角形的外角定理##，∠ADC = ∠BAD + ∠B。

3. ∠AED是三角形DEC的外角，##根据三角形的外角定理##，∠AED = ∠EDC + ∠C。

4. 根据已知条件，∠CDE=20°，##又因为∠ADC=∠ADE + ∠EDC， 所以 ∠ADC=∠ADE + 20°##。

5. ##在三角形ADE中，AD=AE，根据等腰三角形的定义，所以三角形ADE是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，所以∠ADE=∠AED，由第三步可知，∠AED = ∠EDC + ∠C= 20°+∠C##。

6. 从第二步和第四步得到，∠BAD + ∠B=∠ADE + 20°，即∠BAD + ∠B=∠C + ##20° + 20°##=∠C + 40°。

7. ##由第一步可知##∠ABC=∠ACB，即∠B=∠C。

8. 将∠B=∠C代入第六步的等式，得到：∠BAD + ∠C=∠C + 40°。

9. 化简得到∠BAD = 40°。

10. 经过上述推理，最终得出答案为40°。

等腰三角形; 普通三角形; 三角形的外角; 线段

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

<note>三角形ABC中，边AB和边AC相等</note>，因此三角形ABC是一个等腰三角形，<note>三角形ADE中，边AD和边AE相等</note>，因此三角形ADE是一个等腰三角形。##

三角形的外角定理

三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。

在本题图中，三角形ABD中，<note>角ADC是三角形的一个外角</note>，<note>角BAD和角B是与外角ADC不相邻的两个内角</note>，根据三角形的外角定理，外角ADC等于不相邻的两个内角BAD和B之和，即<note>角ADC = 角BAD + 角B</note>。同样地，在三角形DEC中，<note>角AED是三角形的一个外角</note>，<note>角EDC和角C是与外角AED不相邻的两个内角</note>，根据三角形的外角定理，外角AED等于不相邻的两个内角EDC和C之和，即<note>角AED = 角EDC + 角C</note>。

多边形的外角定义

多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

<note>在等腰三角形ABC中，边AB和边AC相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>∠ABC = ∠ACB</note>。<note>在等腰三角形ADE中，边AD和边AE相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>∠ADE = ∠AED</note>。


Answer: 100m

1. 已知BD=120米, DC=60米, EC=50米，##根据垂线定义，∠ABD##=∠ECD=90°。

2. 由于##∠ABD##和∠ECD都是直角，且∠ADB和∠EDC为对顶角，##根据对顶角的定义，##因此∠ADB=∠EDC，##同时根据相似三角形的判定定理(AA)，##故△ABD相似于△ECD。

3. 根据##相似三角形的定义##，得出以下比例关系：##∠ADB##的对边(AB)与△ECD相应边(EC)的比例等于##∠BAD##的对边(BD)与△ECD相应边(CD)的比例，即##AB##/EC = BD/CD。

4. 将已知数值代入比例式：AB/50 = 120/60。

5. 解上述比例式，得到AB = (120 × 50) / 60。

6. 经计算，得AB = 100米。

7. 经过上述推理，最终得出河宽AB为100米。

直角三角形; 线段; 垂线

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

在本题图中，三角形ABD和三角形ECD是相似三角形。根据相似三角形的定义有：<note>角ABD = 角ECD</note>, <note>角ADB = 角EDC</note>, <note>角DAB = 角DEC</note>；<note>AB/EC = BD/CD = AD/ED</note>。

对顶角的定义

对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

垂线定义

如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。

<note>直线AB和直线BD相交形成的角∠ABD是90度</note>，因此根据垂线定义，直线AB和直线BD互相垂直。同理，<note>直线CE和直线CD相交形成的角∠ECD是90度</note>，因此根据垂线定义，直线CE和直线CD互相垂直。####

相似三角形的判定定理(AA)

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。


Question: 如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC边上的点,DE∥BC,∠ADE=35°,∠C=120°,则∠A为()

Answer: 25°

1. 已知DE∥BC，根据##平行线的平行公理2，得出∠AED=∠C（同位角相等）。##

2. 由∠C=120°，得出##∠AED##=120°。

3. 已知∠ADE=35°，##在三角形ADE中，根据三角形内角和定理，得到∠ADE+∠AED+∠A=180°。##

4. 将已知的各个角度代入等式：35°+120°+∠A=180°。

5. 解方程，得到∠A=180°-35°-120°。

6. 计算得，∠A=25°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为25°。

平行线; 内错角; 普通三角形; 三角形的外角

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形ADE</note>中，<note>角ADE</note>、<note>角AED</note>和<note>角DAE</note>是<note>三角形ADE的三个内角</note>，根据<note>三角形内角和定理</note>，<note>角ADE + 角AED + 角DAE = 180°</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补

在本题图中，<note>两条平行线BC和DE</note>被<note>第三条直线AC</note>所截，形成了以下几何关系：1. 同位角：<note>角AED和角C相等</note>。2. 内错角：无。3. 同旁内角：无。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。


Answer: 60°

1. 已知直线AB与直线CD垂直于点D，根据垂直的定义，可知∠BDC和##∠ADC##都是90°。

2. 已知直线DE与直线DF垂直于点D，根据垂直的定义，可知∠EDF##＝##90°。

3. 又因为∠BDE = 60°，####可以推知∠CDE = 90° - ∠BDE = 90° - 60° = 30°。

4. 由于∠CDF + ∠CDE = 90°，∠CDE = 30°，可以间接得出∠CDF = 90° - 30° = 60°。

5. 因此，经过上述推理，最终得出答案为60°。

垂线; 垂直平分线; 邻补角; 直线; 对顶角

垂线定义

如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。

<note>直线AB和直线CD相交形成的角∠BDC是90度</note>，因此根据垂线定义，直线AB和直线CD互相垂直。同理，<note>直线DE和直线DF相交形成的角∠EDF是90度</note>，因此根据垂线定义，直线DE和直线DF互相垂直。


Question: 如图,C、D是线段AB上两点,若CB=4cm,DB=7cm,且D是AC的中点,则AB的长等于()

Answer: 10cm

1. 已知BD=7cm，BC=4cm，根据减法运算，得到CD=BD-BC=3cm。

2. 由于题意中指出D是AC的中点，根据中点的定义，得出AC=2*CD=2*3cm=6cm。

3. ##因此##，AB=AC+CB，即AB=6cm+4cm=10cm。

4. 经过上述推理，最终得出答案为AB=10cm。

线段中点

线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。

<note>线段AC的中点为点D</note>。根据线段中点的定义，<note>点D将线段AC平分为两个相等的部分，即线段AD和线段DC的长度相等</note>。即，<note>AD = DC</note>。


Question: 如图,在△ABE中,AE的垂直平分线MN交BE于点C,∠E=30°,且AB=CE,则∠BAE的度数是()

Answer: 90°

1. 已知在△ABE中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，∠E=30°，且AB=CE。

2. 由于MN是AE的垂直平分线，##根据垂直平分线的性质得：##CE=CA。

3. 根据已知AB=CE，结合步骤2中的CE=CA，得出CA=AB。

4. 在△ACE中，CE=CA，##根据等腰三角形的定义得：△ACB和△ACE##是等腰三角形。

5. 因为△ACE是等腰三角形，所以可以使用等腰三角形的性质，##得##∠ACB=∠CEA##=30°##。

####

##6. 因为∠ACB是△EAC的一个外角，且△EAC的两个内角∠CEA和∠EAC都与其不相邻，所以##∠ACB=∠CEA+∠EAC（根据三角形的外角定理），可得∠ACB=30°##+30°=60°##。

####

##7. 在等腰三角形ABC中，##根据等腰三角形的性质，∠ACB=∠ABC。

##8##. ∠ACB=∠ABC=##60°##。

##9##. 在△BAC中，##根据三角形的内角和定理得：##∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=180°-##60°-60°=60°##。

##10##. 因∠CAB##是∠BAE##的一部分，##且∠CAB=60°，##∠CAE=30°。

##11##. 由于##∠BAE##=∠CAB+∠CAE。因此∠BAE=60°+30°=90°。

##12##. 经过上述推理，最终得出∠BAE的度数为90°。

垂直平分线; 等腰三角形; 直角三角形

垂直平分线的定义

经过线段中点且垂直于该线段的直线。

在本题图中，<note>直线MN经过线段AE的中点C</note>，并且<note>直线MN垂直于线段AE</note>。因此，<note>直线MN是线段AE的垂直平分线</note>。

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

在本题图中，<note>三角形ACE中，边CE和边CA相等</note>，因此<note>三角形ACE是一个等腰三角形</note>。三角形ACB中，<note>边AB和边CA相等</note>，因此<note>三角形ACB是一个等腰三角形</note>。

多边形的外角定义

多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

在本题图中，等腰三角形ACE中，<note>边CE和边CA相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>角CAE = 角CEA</note>。<note>等腰三角形ACB中，边AB和边CA相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>角ACB = 角ABC</note>。

垂直平分线的性质

垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等。

在本题图中，线段<note>AE的垂直平分线为直线MN</note>，点<note>C在直线MN上</note>。根据垂直平分线的性质，<note>点C到线段AE两端点A和E的距离相等</note>，即<note>CA=CE</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>在本题图中，三角形BAC中</note>，<note>角BAC、角ACB和角ABC是三角形BAC的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角BAC + 角ACB + 角ABC = 180°</note>。##

三角形的外角定理

三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和

<note>角ACB是三角形的一个外角</note>，<note>角CEA和角EAC是与外角ACB不相邻的两个内角</note>，根据三角形的外角定理，<note>外角ACB等于不相邻的两个内角CEA和EAC之和</note>，即<note>角ACB = 角CEA + 角EAC</note>。


Question: 如图,一个含有30°角的直角三角板的两个顶点放在一个矩形的对边上,如果∠1=25°,那么∠2的度数是()

Answer: 115°

1. 已知四边形ABCD是矩形##ABCD逆时针依次取矩形的顶点，A为左上角顶点。直角三角板与BC和AD分别交于F和E，另一角设为G。根据矩形的定义##，得出AD平行于BC。

2. ∠2和∠DEF在两条平行线AD和BC之间，根据平行线的平行公理2，得到∠2等于∠DEF。

3. 已知∠1=25°，通过角的代数关系，设辅助角角GEF等于90°。

4. 根据三角形DEF中的角度关系，得到∠DEF = ##∠DEG＋∠GEF##= 25° + 90°。

5. ####得出∠2 = 115°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为115°

直角三角形; 矩形; 邻补角; 三角形的外角; 平行线

矩形的定义

矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。

内错角的定义

在本题图中，<note>两条平行直线AD和BC</note>被一条直线<note>DF</note>截交，其中<note>角∠2和角∠DEF</note>位于两平行线之间，且在<note>截线DF的对侧</note>，因此<note>角∠2和角∠DEF是内错角</note>。内错角相等，即<note>角∠2等于角∠DEF</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

在本题图中，<note>三角形GEF中，角GEF、角GFE和角FGE是三角形GEF</note>的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>三者和为</note>180°。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。


Question: 如图所示,C、D是线段AB上两点,若AC=3cm,C为AD中点且AB=10cm,则DB=()

Answer: 4cm

1. 已知点C是线段AD的中点，且AC=3cm，根据线段中点的定义，得出CD=3cm。

2. 由已知线段AB=10cm，可以列出方程AC + CD + DB = AB。

3. 代入数值得到3cm + 3cm + DB = 10cm。

4. 解方程得DB = 10cm - 3cm - 3cm = 4cm。

5. 经过上述推理，最终得出答案为4cm。

线段中点

线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。

在本题图中，<note>线段AD的中点为点C</note>。根据线段中点的定义，<note>点C将线段AD平分为两个相等的部分</note>，即<note>线段AC和线段CD的长度相等</note>。即，<note>AC = CD = 3cm</note>。


Question: 如图一棵大树在离地面9米高的B处断裂,树顶A落在离树底部C的12米处,则大树断裂之前的高度为()

Answer: 24米

1. 由题意得，点B在离地面9米处，点A落在离树底部C的12米处，则BC=9, AC=12。

2. 在直角三角形ABC中，角BCA为直角，根据勾股定理，可得AB = ##√(BC^2 + AC^2)##。

3. 计算得AB =## √(9^2 + 12^2) ##= √(81 + 144) = √225 = 15米。

4. 所以，大树断裂之前的高度为BC + AB = 9 + 15 = 24米。

直角三角形; 线段; 点

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>在本题图中，三角形ABC中，角BCA是直角（90度）</note>，因此三角形ABC是一个直角三角形。<note>边BC和边CA是直角边</note>，<note>边AB是斜边</note>。####

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

```markdown
在本题图中，直角三角形<note>ABC</note>中，<note>角BCA是直角（90度）</note>，<note>边BC和AC是直角边</note>，<note>边AB是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>AB^2 = BC^2 + AC^2</note>。
```


Answer: 85°

1. 过点E作直线EF，使EF∥CD。

2. 根据##平行线的平行公理2，内错角相等，##可知∠CEF = ##∠ECD## = 25°。

3. 由于AB∥CD，根据##平行线的传递性##，得出EF∥AB。

4. 根据##平行线的平行公理2，同旁内角互补，因此##∠ABE + ∠BEF = 180°。

5. 因∠ABE = 120°，故∠BEF = 60°。

6. 由上面步骤可得，∠α = ∠BEF + ∠FEC = 60° + 25° = 85°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为85°。

平行线; 同位角; 内错角; 三角形的外角

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

在本题图中，两条平行线<note>AB</note>和<note>CD</note>被第三条直线<note>BE</note>所截，形成了以下几何关系：
1. 同位角：<note>∠ABE</note>和<note>∠FED</note>相等。
2. 内错角：<note>∠ECD</note>和<note>∠FEC</note>相等。
3. 同旁内角：<note>∠ABE</note>和<note>∠BEF</note>互补，即<note>∠ABE + ∠BEF = 180度</note>。
这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

平行线的传递性

若两条直线分别与第三条直线平行，则这两条直线互相平行。

<note>直线AB和直线EF分别与直线CD平行</note>。根据平行线的传递性，<note>直线AB平行于直线CD</note>，且<note>直线EF也平行于直线CD</note>，那么<note>直线AB和直线EF互相平行</note>。因此，<note>直线AB平行于直线EF</note>。


Question: 如图,直线a∥b,∠1=72°,则∠2的度数是()

Answer: 108°

1. 已知直线 a ∥ b，##设∠2的在直线b上方的邻补角为∠3，根据平行线的平行公理2##，得出 ∠1 = ∠3（同位角相等）。

2. 已知 ∠1 = 72°，所以根据步骤1得出 ∠3 = 72°。

3. 根据##邻补角的定义##，得出 ∠3 + ∠2 = 180°。

4. #### ∠3 = 72° 代入步骤3的等式中，得 ∠2 = ##180°-∠3=##180° - 72° = 108°。

5. 经上述推理，最终得出 ∠2 的度数为 108°。

同位角定义

当两条平行直线被一条直线截交时，其中两条同一位置的角称为同位角。同位角相等。

<note>直线 a ∥ b</note>，被<note>直线 c 截交</note>，其中在<note>直线 c 同侧的 ∠1 和 ∠3 是同位角</note>，根据定义，<note>同位角相等</note>，所以<note>∠1 = ∠3</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补

<note>两条平行线a和b被第三条直线c所截</note>，形成了以下几何关系：
1. 同位角：<note>角1和角3相等</note>。
2. 内错角：无。
3. 同旁内角：无。
这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。##

邻补角的定义

<note>在本题图中，##∠3##和####∠2有一条公共边c</note>，它们的另一边<note>a和b互为反向延长线</note>，所以<note>##∠3##和∠2互为邻补角</note>。


Question: 如图,⊙O中,AC为直径,MA,MB分别切⊙O于点A,B,∠BAC=25°,则∠AMB的大小为()

Answer: 50°

1. 已知AC为直径，MA切⊙O于点A，根据##圆的切线性质##得到∠MAC=90°。

2. 已知∠BAC=25°，##所以##∠MAB=∠MAC-∠BAC=90°-25°=65°。

3. 由于MA和MB分别切⊙O于点A和点B，根据##切线长定理##得到MA=MB。

4. 根据等腰三角形的性质，∠MAB=∠MBA=65°。

5. 在△MAB中，根据三角形内角和定理得∠AMB=180°-(∠MAB+∠MBA)=180°-(65°+65°)=50°。

圆; 切线; 圆周角; 等腰三角形; 直角三角形

角的定义

在本题图中，<note>∠BAC是由两条射线BA和CA组成的几何图形</note>，<note>这两条射线有一个共同的端点A</note>。<note>这个共同的端点A称为角BAC的顶点</note>，而<note>射线BA和CA称为角BAC的边</note>。

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

在本题图中，<note>三角形MAB</note>是由三个<note>非共线点M、A、B</note>及其<note>连接线段MA、AB、MB</note>组成的几何图形。<note>点M、A、B分别是三角形的三个顶点</note>，<note>线段MA、AB、MB分别是三角形的三条边</note>。

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

<note>圆O中，点A是直线MA与圆的切点</note>，<note>线段OA是圆的半径</note>。根据圆的切线性质，<note>切线MA与经过切点A的半径OA垂直</note>，即<note>∠MAC=90°</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形MAB中</note>，<note>角MAB</note>、<note>角MBA</note>和<note>角AMB</note>是<note>三角形MAB的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角MAB + 角MBA + 角AMB = 180°</note>。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

在本题图中，等腰三角形<note>MAB</note>中，边<note>MA</note>和边<note>MB</note>相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>∠MAB = ∠MBA = 65°</note>。

切线长定理

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

<note>在本题中，从圆外一点M引圆的两条切线MA和MB，它们的切线长相等，即MA=MB。</note> <note>圆心O和这一点M的连线平分两条切线MA和MB的夹角，即∠OMA=∠OMB。</note>


Question: 如图,直线m∥n,Rt△ABC的顶点A在直线n上,∠C=90°,AB,CB分别交直线m于点D和点E,且DB=DE,若∠B=25°,则∠1的度数为()

Answer: 65°

1. 如图，根据题意，直线m平行于直线n，Rt△ABC的顶点A在直线n上，∠C=90°，AB和CB分别交直线m于点D和点E，且DB=DE，∠B=25°。

2. 因为DB=DE，根据##等腰三角形定义得：△BDE是一个等腰三角形，∠B=∠BED（等腰三角形的性质），因此∠BED=25°##。

3. ##∠EDA是三角形BDE的一个外角，所以根据三角形的外角定理得：## ∠EDA=##∠BED##+∠B=25°+25°=50°。

4. ##设∠EDA的内错角为∠2，由直线m || n ，根据平行线的平行公理2，所以 ∠EDA=∠2（内错角相等），因此∠2=50°##。

5. ∠C=90°，在 △ABC 中，##根据三角形内角和定理得：##∠BAC + ##∠B+ ∠C##  = 180°，####则 ##∠BAC## = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 25° - 90° = 65°。

6. 在##直线n上，因为∠1+∠BAC+∠2=180°（根据平角的定义），所以∠1=180°-∠BAC-∠2=180°-65°-50°=65°##，因此∠1 = 65°。

平行线; 直角三角形; 同位角; 内错角; 三角形的外角

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

平行线的定义

在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

<note>直线m和直线n位于同一平面内，并且它们没有交点</note>，因此根据平行线的定义，<note>直线m和直线n是平行线，表示为m∥n</note>。

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

在本题图中，<note>三角形BDE中，边BD和边DE相等</note>，因此<note>三角形BDE是一个等腰三角形</note>。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

<note>等腰三角形BDE中，边BD和边DE相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>∠DBE = ∠BED = 25°</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

在本题图中，三角形ABC中，<note>角BAC</note>、<note>角ABC</note>和<note>角C</note>是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>角BAC + 角ABC + 角C = 180°</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补

在本题图中，<note>两条平行线m和n</note>被<note>第三条直线AB</note>所截，形成了以下几何关系：1. 同位角：无。2. 内错角：<note>角EDA和角2相等</note>。3. 同旁内角：无。这些关系说明了在<note>两条平行线被第三条直线所截</note>时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。####

平角的定义

<note>射线n绕着端点A旋转到与起始边成一条直线，形成平角</note>。根据平角的定义，平角的度数为180度，即<note>角1+角BAC+角2=180度</note>。

三角形的外角定理

三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和

多边形的外角定义

多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角


Question: 如图,已知直线AB,CD相交于点O,OE⊥AB,∠EOC=30°,则∠BOD的度数为()

Answer: 120°

1. 已知直线AB, CD相交于点O，且OE垂直于AB，##根据垂线定义可得∠EOB##=90°。

####

##2##. 因为∠EOC = 30°，且##∠EOB## = 90°，所以∠COB = 90° - 30° = 60°。

##3##. 根据平角的定义，直线AB和直线CD在点O处相交，形成的##平角∠COD，且∠COD## = ∠COB + ∠BOD。

##4##. 由平角的定义可知，##∠COD## = 180°，因此有180° = ∠COB + ∠BOD。

##5##. 因为∠COB = 60°，所以∠BOD = 180° - 60° = 120°。

##6##. 经过上述推理，最终得出答案为120°。

平角的定义

在本题图中，射线<note>CO绕着端点O旋转到与起始边成一条直线，形成平角COD</note>。根据平角的定义，<note>平角的度数为180度，即角COD=180度</note>。

垂线定义

如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。


Question: 如图,直线AB、CD相交于点O,OD平分∠AOE,∠BOC=50°,则∠EOB=()

Answer: 80°

1. 已知直线AB和CD相交于点O，且OD平分∠AOE。

2. 根据题意，∠BOC = 50°。

3. 因为OD是∠AOE的平分线，所以∠AOD = ∠DOE##=1/2∠AOE##。

4. 由直线AB和CD相交于点O，得到∠BOC = ∠AOD ##（对顶角相等）##。

5. 因∠BOC = 50°，所以∠AOD = 50°。

6. 由上步可知，∠AOE = 2×∠AOD = 2×50° = 100°。

7. ∠EOB 和 ∠AOE 是一对邻补角，根据邻补角的定义，两角之和为180°。

8. 所以，∠EOB = 180° - ∠AOE##= 180° - 100° = 80°##。

####

##9##. 经过上述推理，最终得出答案为80°。

对顶角; 邻补角; 直线; 射线

角平分线定义

角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。

对顶角的定义

对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。


Question: 如图,在△ABC中,DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E．若AD=2,DB=3,BC=6,则DE的长为()

Answer: \frac{12}{5}

1. 已知 AD=2, DB=3，利用线段相加，得出 AB=AD+DB=2+3=5。

2. 因为 DE∥BC，##根据平行线的平行公理2，同位角相等，即∠ADE=∠ABC，同时∠BAC和∠DAC为同一个角，根据相似三角形的判定定理(AA)，△ADE ∽ △ABC##。

3. 根据相似三角形的##定义##，在本题中表示为：\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}。

4. 将已知边长代入比例式，得出  \frac{2}{5} = \frac{DE}{6}。

5. 通过交叉相乘求解 DE，得到DE = \frac{2 \cdot 6}{5} = \frac{12}{5}。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 \frac{12}{5}

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this:##。

平行线; 普通三角形; 线段; 内错角; 等腰三角形

相似三角形的判定定理(AA)

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>在本题图中，三角形ADE和三角形ABC是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>∠ADE = ∠ABC</note>, <note>∠DEA = ∠BCA</note>, <note>∠EAD = ∠CAB</note>；<note>\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC} = \frac{AE}{AC}</note>。##

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。


Question: 如图,在直角三角形ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=4,则sin∠B的值为()

Answer: \frac{4}{5}

1. 已知在直角三角形ABC中, ∠C = 90°, AB = 5, AC = 4。

2. ##根据正弦函数定义##，sin∠B = 对边/斜边。

3. 在此题中，角B的对边为AC，斜边为AB。

4. 将已知条件代入，##sin∠ABC## = AC / AB = 4 / 5。

5. 经过上述推理，最终得出sin∠B的值为4/5。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

正弦函数定义

在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。

<note>在本题图中，直角三角形ABC中，##∠ABC##是锐角</note>，边AC是<note>##∠ABC##的对边</note>，边AB是<note>斜边</note>。根据正弦函数定义，<note>##∠ABC##的正弦值等于对边AC与斜边AB的比值</note>，即<note>##sin(∠ABC)## = AC / AB = 4 / 5</note>。

直角三角形的斜边

在直角三角形中，斜边是直角所对的边，同时也是这三个边中最长的一条边。


Question: 如图,在Rt△ABC中,∠C为直角,CD⊥AB于D,已知AC=3,AB=5,则tan∠BCD等于()

Answer: \frac{4}{3}

1. 已知△ABC为直角三角形，∠C为直角，CD垂直于AB于点D。

2. 由△ABC中，∠C为直角，得∠A与∠B互余，即∠A + ∠B = 90°。

3. 由CD垂直于AB可知，∠BCD + ∠B = 90°。

4. 根据以上结论，得出∠BCD = ∠A。

5. 由于∠C为直角，并且已知AC = 3和AB = 5，根据勾股定理，可以计算出BC的长度。

6. 根据勾股定理，##BC = √(AB^2 - AC^2) = √(5^2 - 3^2) = 4##。

7. 在直角三角形ABC中，tan∠A = BC / AC = 4 / 3。

8. 由于∠BCD = ∠A，因此tan∠BCD = 4 / 3。

9. 经过上述推理，最终得出答案为 4/3。

直角三角形; 垂线; 正切

正切函数的定义

在直角三角形中，一个锐角的正切值等于相对直角边长度除以相邻直角边长度。

在本题图中，<note>直角三角形ABC</note>中，<note>角∠A是锐角</note>，<note>边BC是角∠A的对边</note>，<note>边AC是角∠A的邻边</note>，所以<note>角∠A的正切值等于边BC的长度除以边AC的长度</note>，即<note>tan(∠A) = BC / AC = 4 / 3</note>。同理，由于<note>∠BCD = ∠A</note>，因此<note>tan∠BCD = 4 / 3</note>。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>在本题图中，直角三角形ABC中，角∠ACB是直角（90度）</note>，<note>边AC和BC是直角边，边AB是斜边</note>，所以根据勾股定理，AB^2 = AC^2 + BC^2。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

垂线定义

如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。

<note>直线CD和直线AB</note>相交形成的角<note>∠CDB是90度</note>，因此根据垂线定义，直线CD和直线AB互相垂直。


Question: 如图,在△ABC中,DE∥BC,若AD=3,DB=6,DE=2.5,则BC长为()

Answer: 7.5

1. ##已知DE∥BC，根据平行线的平行公理2，同位角相等可知，∠ADE=∠B，∠AED=∠C，根据相似三角形的判定定理(AA)##，得出△ADE ∽ △ABC。

2. ##相似三角形的定义，得出AD/AB = DE/BC##。

3. 已知AD=3，DB=6，则AB=AD+DB=3+6=9。

4. 将AB和DE的已知值代入比例式中，得到##3/9 = 2.5/BC##。

5. 通过解比例式，可以求得BC，即BC = ##2.5×{9/3}## = 7.5。

6. 经过上述推理，最终得出答案为7.5。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>两条平行线DE和BC被第三条直线AB和直线AC所截</note>，形成了以下几何关系：
同位角：<note>∠ADE=∠B</note>，<note>∠AED=∠C</note>。
这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等。

相似三角形的判定定理(AA)

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。


Answer: 6

1. 已知AB∥CD，根据##平行线的平行公理2，内错角相等##得到∠BAO = ##∠CDO## ，且∠ABO = ##∠DCO##。

2. 因为两个三角形的两个内角分别相等，依据##相似三角形的判定定理(AA)##，得出△AOB∽△DOC。

3. 由##相似图形的定义##，得出AB/CD = AO/OD。

4. 根据已知条件，代入长度AB=6，CD=9，AD=10，得到6/9 = (AD-OD)/OD。

5. 化简比例可以得到6/9 = (10-OD)/OD。

6. 通过解方程得出OD = 6。

7. 经过上述推理，最终得出答案为6。

平行线; 内错角; 位似

内错角的定义

在本题图中，<note>两条平行直线AB和CD</note>分别被<note>直线AD，直线BC截交</note>，其中<note>角A和角D位于两平行线之间</note>，<note>角B和角C位于两平行线之间</note>，且分别在<note>截线AD，截线BC的对侧</note>，因此<note>角A和角D是内错角</note>，<note>角B和角C是内错角</note>。内错角相等，即<note>角A等于角D</note>，<note>角B等于角C</note>。##

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

相似三角形的判定定理(AA)

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。

<note>三角形AOD和三角形COD</note>中，如果<note>∠BAO = ∠CDO</note>，且<note>∠ABO = ∠DCO</note>，所以<note>三角形AOD相似于三角形COD</note>。

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>在本题图中，三角形AOD和三角形COD是相似图形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>角A = 角D</note>, <note>角B = 角C</note>, <note>角AOB = 角COD</note>；<note>OA/OD = OB/OC = AB/CD</note>。##


Question: 如图,过⊙O上一点A作⊙O的切线,交直径BC的延长线与点D,连接AB,若∠B=25°,则∠D的度数为()

Answer: 40°

1. 已知BA是⊙O的一个弦， BC是⊙O的直径，AD是⊙O的一条切线，连接点O与A。根据题意，得知∠B = 25°。

2. 连接OD，依据圆周角定理，∠DOA等于2倍的∠B，因为∠B是圆周角且对应的圆心角是∠DOA，所以得到∠DOA = 2 * 25° = 50°。

3. 因为AD是⊙O的切线，根据##圆的切线性质##，得出∠OAD = 90°。

4. 因为△ODA是一个三角形，且其内角和为180°，因此∠D + ∠OAD + ∠DOA = 180°。

5. 将已知角度代入，得到 ∠D + 90° + 50° = 180°。

6. 解得∠D = 180° - 90° - 50° = 40°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为40°。

圆; 圆周角; 切线; 直角三角形; 三角形的外角

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

在本题图中，圆O中，<note>角∠BAC的顶点A在圆周上</note>，<note>角∠BAC的两边分别与圆O相交于点B和点C</note>。因此，<note>角∠BAC是一个圆周角</note>。圆O中，<note>角∠B的顶点B在圆周上</note>，<note>角∠B的两边分别与圆O相交于点A和点C</note>。因此，<note>角∠B是一个圆周角</note>。

圆的切线定义

圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。

在本题图中，<note>圆⊙O与直线AD有且只有一个公共点A，这个公共点叫做切点</note>。因此，<note>直线AD是圆⊙O的切线</note>。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

在本题图中，圆O中，<note>点O是圆心</note>，<note>点A和点B是圆上的任意一点</note>，<note>线段OA和OB是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段OA和OB是圆的半径</note>。

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

<note>BC是直径</note>，连接了圆心<note>O</note>和圆周上的<note>B、C两点</note>，长度为<note>2倍的半径</note>，即<note>BC = 2 * 半径</note>。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形ODA中，角∠ODA、角∠OAD和角∠DOA是三角形ODA的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>∠ODA + ∠OAD + ∠DOA = 180°</note>。##

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角

<note>在本题图中，圆O中，点C和点A是圆上的两点，圆心是点O</note>。<note>连线OC和OA组成的角∠AOC称为圆心角</note>。##


Question: 如图,DC∥EF∥AB,若\frac{EG}{AB}=rac{1}{2},DC=6,则GF的长为()

Answer: 3

1. 已知 DC∥EF∥AB。

2. 根据##∠DEG＝∠DAB，∠DGE＝∠DBA，相似三角形的判定定理(AA)##，三角形 DEG 与三角形 DAB 相似，记为 △DEG ∽ △DAB。

3. 因为 △DEG ∽ △DAB，根据相似三角形的定义，有 ##DG/DB= EG/AB##。

4. 由题意，可知##EG/AB = 1/2，则 DG/DB = 1/2##。

5. 因为 ##DG/DB = 1/2##，意味着点 G 是线段 DB 的中点。

6. 已知 DC∥EF，且点 G 为 DB 的中点##由平行线的平行公理2可知，∠GFB＝∠DCB，由∠GBF＝∠DBC，根据相似三角形的判定定理(AA)可知，三角形GFB与三角形DCB相似，再由相似三角形的定义可知，GF = 1/2DC。##

7. 由此可得，GF = ##1/2##DC。

8. 已知 DC = 6，因此 GF = ##（1/2）×## 6 = 3。

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>三角形 DEG 和三角形 DAB 是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>∠EDG = ∠ADB</note>, <note>∠DGE = ∠DBA</note>, <note>∠DEG = ∠DAB</note>；<note>DE/DA = DG/DB = EG/AB</note>。<note>三角形 GFB 和三角形 DCB 是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>角 GFB = 角 DCB</note>, <note>角 GBF = 角 DBC</note>, <note>角 CDB = 角 FGB</note>；<note>GB/DB = GF/DC = FB/CB</note>。

相似三角形的判定定理(AA)

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补

在本题图中，两条平行线<note>EF</note>和<note>DC</note>被第三条直线<note>CB</note>所截，形成了以下几何关系：
    1. 同位角：<note>角DCB和角GFB相等</note>。
    两条平行线<note>EF</note>和<note>AB</note>被第三条直线<note>DA</note>所截，形成了以下几何关系：
    1. 同位角：<note>角DEF和角DAB相等</note>。
    两条平行线<note>EF</note>和<note>AB</note>被第三条直线<note>DB</note>所截，形成了以下几何关系：
    1. 同位角：<note>角DGE和角DBA相等</note>。

线段中点

线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点

在本题图中，<note>线段DB的中点为点G</note>。根据线段中点的定义，<note>点G将线段DB平分为两个相等的部分</note>，即<note>线段DG和线段GB的长度相等</note>。即，<note>DG = GB</note>。

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形

在本题图中，<note>三角形DEG是由三个非共线点D、E、G及其连接线段DE、DG、EG组成的几何图形</note>。点<note>D、E、G分别是三角形的三个顶点</note>，线段<note>DE、DG、EG分别是三角形的三条边</note>。<note>三角形DAB是由三个非共线点D、A、B及其连接线段DA、DB、AB组成的几何图形</note>。点<note>D、A、B分别是三角形的三个顶点</note>，线段<note>DA、DB、AB分别是三角形的三条边</note>。<note>三角形GFB是由三个非共线点G、F、B及其连接线段GF、GB、FB组成的几何图形</note>。点<note>G、F、B分别是三角形的三个顶点</note>，线段<note>GF、GB、FB分别是三角形的三条边</note>。<note>三角形DBC是由三个非共线点D、B、C及其连接线段DB、BC、DC组成的几何图形</note>。点<

同位角定义

两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角


Question: 某几何体的三视图如图所示,其中主视图和左视图均为边长为2的等边三角形,则该几何体的表面积为()

Answer: 3π

1. 根据主视图和左视图均为边长为2的等边三角形，由三视图可以确定该几何体是一个圆锥，其中圆锥的轴截面是一个边长为2的正三角形。

2. 圆锥的底面积可以通过公式## S=πr^2## 计算出来，其中 r 为圆锥的底面半径，已知该圆锥的底面直径等于等边三角形的边长2，所以半径 r = 1，因此圆锥底面积 S =## π×1^2 ##= π。

3. 圆锥的侧面积可以通过公式 S=πrl 计算出来，其中 l 为母线长，r 为底面半径。通过##母线的定义，可知，母线l=等边三角形边长2。##

4. 所以圆锥的侧面积计算为 S=πr×l = ##π×1×2 =2 π##。

5. 所以圆锥的总表面积为底面积加侧面积，即 S圆锥总表面积 = ##π + 2π##= 3π。

6. 经过上述推理，最终计算结果表面积为3π。

等边三角形; 圆; 三视图; 圆锥

圆锥

圆锥是一种几何图形，有一个圆形的底和一个顶点，它的侧面为一曲面。

<note>主视图和左视图都为等边三角形</note>，确定几何体<note>为圆锥</note>。圆锥的<note>底面是一个圆形</note>，圆的半径<note>为1</note>，圆心<note>为O</note>。圆锥的<note>顶点为V</note>，顶点<note>V与圆心O之间的距离为圆锥的高，记作h</note>。圆锥的侧面是一个曲面，从<note>顶点V到圆周上的任意一点的距离为母线长度，记作l</note>。

等边三角形的定义

等边三角形是所有三条边长度相等并且所有内角都相等（均为60°）的三角形。

<note>主视图和左视图中的三角形是等边三角形</note>。<note>等边三角形的三条边长度均为2</note>，并且<note>每个内角均为60°</note>。####

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

<note>圆锥的底面圆中，圆心为圆锥的顶点</note>，圆上的任意一点为底面圆周上的一点，<note>线段从圆心到圆周上的任意一点的长度为1</note>，因此该线段是圆的半径。

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

<note>圆锥底面圆的直径</note>等于等边三角形的边长2，连接了<note>圆心O</note>和<note>圆周上的两点</note>，长度为<note>2倍的半径</note>，即<note>直径 = 2</note>。

母线

母线是指圆锥中从底面圆周上的一点到顶点的线段

在本题图中，圆锥中，<note>底面圆周上的一点为A</note>，<note>顶点为B</note>，<note>连接底面圆周上一点A和顶点B的线段AB</note>就是母线。母线是圆锥中从底面圆周上的一点到顶点的线段。

圆的面积公式

圆的面积公式为A = πr^2，其中A表示面积，π是圆周率，r是圆的半径。

<note>圆锥的底面是一个圆</note>，<note>圆的半径是1</note>，根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以<note>半径1的平方</note>，即A = ##π×1^2## = π。

圆锥的展开图

一个圆锥体的展开图是一个扇形，扇形的半径是圆锥体的斜高，扇形的弧长是圆锥体底面圆的周长。

<note>在本题图中，圆锥体的展开图是一个扇形</note>。<note>扇形的半径是圆锥体的斜高2</note>。

圆锥的表面积公式

圆锥的总表面积等于底面积加上侧面积。

<note>在本题图中，圆锥的底面是一个圆，其半径为1</note>，底面积为##π×1^2##=π。<note>圆锥的侧面展开后是一个扇形，侧面积等于扇形的面积</note>，即圆锥的侧面积计算为 S=πr×l = π×1×2 =2 π。<note>圆锥的总表面积等于底面积加上侧面积</note>，所以总表面积为3π。


Question: 如图所示,将含有30°角的三角板(∠A=30°)的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上,若∠1=38°,则∠2的度数()

Answer: 22°

1. 根据题意##和直角三角形的定义##，已知∠A=30°，##设直角顶点为C，另一个角为B，所以##∠ACB=90°，利用三角形内角和定理可以得出∠ABC=##180° - 30° - 90°=60°##。

2. ##设两条平行线为GH和EF，其中上面一条为GH，下面一条为EF。##延长AB，交##直线EF##于点E，根据题意知道∠1=38°。

3. 利用三角形的外角定理，##∠BEC##=∠ABC-∠1=60°-38°=22°。

4. 由于直线GH平行于直线EF，根据##平行线的平行公理2，内错角相等##，可知∠2=##∠BEC##=22°。

5. 最终得出∠2的度数为22°。

平行线; 同位角; 内错角; 直角三角形; 三角形的外角

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>角CAB</note>、<note>角ABC</note>和<note>角ACB</note>是三角形<note>ABC</note>的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>角CAB + 角ABC + 角ACB = 180°</note>。具体结合本题条件，已知<note>角CAB=30°</note>，<note>角ACB=90°</note>，最后可以求得<note>角ABC = 180° - 30° - 90° = 60°</note>。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

三角形的外角定理

三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>在本题图中，直线GH平行于直线EF</note>，因此<note>根据平行线的平行公理2</note>，可以得出以下几何关系：
1. 同位角：##无对应关系##。
2. 内错角：##<note>∠2和∠BEC相等</note>##。
3. 同旁内角：无对应关系。
因此可得<note>∠2 = ∠BEC = 22°</note>。

多边形的外角定义

多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。


Question: 如图,在⊙O中,直径AB⊥弦CD于点H,E是⊙O上的点,若∠BEC=25°,则∠BAD的度数为()

Answer: 25°

1. 连接AC，

2. ∵直径AB⊥弦CD于点H, ∴##由垂径定理可知，CH等于HD##

3. ##由全等三角形判定定理(SAS)，可知三角形ACH与三角形ADH全等##

4. ##由全等三角形的定义可知，∠CAH=∠HAD##

5. ∵##圆周角定理推论1∴∠BEC=∠BAC##=25°，

6. ∴∠BAD=##∠BEC##=25°。

圆; 弦; 垂线; 圆周角; 直角三角形

弦的定义

弦是连接圆上任意两点的线段。

在本题图中，圆O中，点C和点D是圆上的任意两点，<note>线段CD</note>连接了这两个点，所以<note>线段CD</note>是<note>圆O</note>的弦。

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

<note>AB是直径</note>，连接了<note>圆心O</note>和<note>圆周上的A、B两点</note>，长度为<note>2倍的半径</note>，即<note>AB = 2 * 半径</note>。

垂足的定义

垂线和所垂直的线段的交点称为垂足。

在本题图中，直线AB与直线CD相交于<note>点H</note>，且<note>直线AB垂直于直线CD</note>，因此<note>点H是直线AB在直线CD上的垂足</note>。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

<note>角BEC的顶点E在圆周上</note>，角BEC的两边分别与圆O相交于点B和点C。因此，<note>角BEC是一个圆周角</note>。圆O中，<note>角BAC的顶点A在圆周上</note>，角BAC的两边分别与圆O相交于点B和点C。因此，<note>角BAC是一个圆周角</note>。

垂径定理

如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。

<note>在本题图中，圆O中，直径AB垂直于弦CD于点H</note>，那么根据垂径定理，<note>直径AB平分弦CD，即CH = DH</note>，并且<note>直径AB平分弦CD所对的两条弧，即弧CB = 弧BD，弧CA = 弧AD</note>。

圆周角定理推论1

在一个圆中，任意两个与同一弧相对应的圆周角相等

全等三角形判定定理(SAS)

如果一个三角形的两边及其夹角分别与另一个三角形的两边及其夹角相等，那么这两个三角形全等

全等三角形的定义

两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等

在本题图中，<note>三角形ACH和三角形ADH是全等三角形</note>，三角形ACH的对应边和对应角与三角形ADH相等，即：
边<note>CH = 边HD</note>
边<note>AH = 边AH</note>
边<note>AC = 边AD</note>，
同时，对应的角也相等：
角<note>AHC = 角AHD</note>
角<note>ACH= 角ADH</note>
角<note>HAC= 角HAD</note>##.##

弧的定义

弧是圆上两点之间的一段曲线

在本题图中，圆O上有两点C和B，<note>弧CB是连接这两点的一段曲线</note>。根据弧的定义，<note>弧CB是圆上两点C和B之间的一段曲线</note>##。


Question: 如图,在△ABC中,DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E．若AE=3,EC=6,则\frac{DE}{BC}的值为()

Answer: \frac{1}{3}

1. 已知在△ABC中，DE∥BC，分别交AB, AC于点D, E。

2. 根据##平行线的平行公理2，同位角相等，即角ADE=角B，又因为角A为共用角，所以△ADE∽△ABC，根据相似三角形的定义##，有：\frac{DE}{BC} = \frac{AE}{AC}。

3. 根据已知条件，得AE=3, EC=6。

4. 因此AC = AE + EC = 3 + 6 = 9。

5. 代入比值可得\frac{DE}{BC} = \frac{AE}{AC} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}。

6. 经过上述推理，最终得出答案为1/3。

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

在本题图中，由于<note>DE∥BC</note>，根据相似三角形的定义可知，<note>△ADE ∽ △ABC</note>。根据相似三角形的定义，有<note>∠ADE = ∠ABC</note>，<note>∠DEA = ∠BCA</note>，<note>∠DAE = ∠BAC</note>；<note>\(\frac{DE}{BC} = \frac{AE}{AC} = \frac{AD}{AB}\)</note>。

相似三角形的判定定理(AA)

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>在本题图中，两条平行线DE和BC被第三条直线AB所截</note>，形成了以下几何关系：<note>同位角：角ADE和角ABC相等</note>。


Question: 如图,在△ABC中,DE∥BC,\frac{AD}{DB}=\frac{1}{2},DE=4,则BC的长()

Answer: 12

1. 已知DE∥BC，根据##平行线的平行公理2##可得∠ADE = ∠ABC, ∠DEA = ∠BCA，从而根据##相似三角形的判定定理(AA)##，得出△ADE ∽ △ABC。

2. 根据##相似三角形的定义##，可以得到：DE / BC = AD / AB。

3. 已知AD / DB = 1 / 2，那么AD / (AD + DB) = AD / AB = 1 / 3。

4. 将以上结论代入相似比例关系DE / BC = 1 / 3，根据已知DE = 4，得到4 / BC = 1 / 3，从而计算得出BC = 12。

5. 经过上述推理，最终得出答案为12。

平行线; 普通三角形; 线段

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>三角形ADE和三角形ABC是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>∠ADE = ∠ABC</note>, <note>∠DEA = ∠BCA</note>, <note>∠DAE = ∠BAC</note>；<note>DE/BC = AD/AB = AE/AC</note>。

相似三角形的AA判别定理

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。

<note>DE ∥ BC</note>，由<note>平行线的平行公理2</note>得出<note>∠ADE = ∠ABC</note>，<note>∠DEA = ∠ACB</note>，从而满足<note>AA相似定理的条件</note>，得出<note>△ADE ∽ △ABC</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补

<note>两条平行线DE和BC被第三条直线AB所截</note>，形成了以下几何关系：
1. 同位角：<note>角ADE和角ABC相等</note>。
####<note>两条平行线DE和BC被第三条直线AC所截</note>，形成了以下几何关系：
1. 同位角：<note>角AED和角ACB相等</note>。

同位角定义

在本题图中，<note>两条平行直线DE和BC被一条直线AB截交</note>，其中<note>角ADE和角ABC位于截线AB的同旁</note>，被截两直线DE和BC的同一侧，因此<note>角ADE和角ABC是同位角</note>。同位角相等，即<note>角ADE等于角ABC</note>。<note>两条平行直线DE和BC被一条直线AC截交</note>，其中<note>角AED和角ACB位于截线AC的同旁</note>，被截两直线DE和BC的同一侧，因此<note>角AED和角ACB是同位角</note>。同位角相等，即<note>角AED等于角ACB</note>。


Question: 如图,在平行四边形ABCD中,E为BC的中点,AE、BD相交于点F．若△BFE的面积为3,则△ABF的面积是()

Answer: 6

1. 已知四边形ABCD是平行四边形，因此AD∥BC且AD=BC。

2. 由E是BC的中点可知，BE=1/2BC=1/2AD。

3. 考虑△AFD和△EFB，因为AD∥BC且点E为BC中点, ##由平行线的平行公理2可知∠DAF=∠BEF且∠ADF=∠FBE##。根据相似三角形的判定定理(AA)，有△AFD∽△EFB。

4. 根据相似三角形的定义，相似三角形的对应边成比例，即AF/EF=AD/BE=AD/(1/2AD)=2。

5. 利用相似三角形的面积比等于相似比的平方定理，有##S△AFD/S△EFB##=(AF/EF)^2=2^2=4。

6. 因为##△ABD和△ABE等高(过A点作AH垂直于BC于H，二者高均为AH），且底边比是2:1，△ABD和△ABE面积之比是2:1##

7. ##由△AFD＋△ABF＝2△ABF＋2△BFE##

8.##带入数字 经过上述运算，##最终得出答案为6。

平行四边形; 中点; 普通三角形

平行四边形的定义

平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。

在本题图中，四边形<note>ABCD是一个平行四边形</note>，边<note>AB与边CD平行且相等</note>，边<note>AD与边BC平行且相等</note>。

线段中点

线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。

<note>线段BC的中点为点E</note>。根据线段中点的定义，<note>点E将线段BC平分为两个相等的部分</note>，即线段BE和线段EC的长度相等。即，<note>BE = EC</note>。

相似三角形的判定定理(AA)

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。

<note>三角形AFD和三角形EFB是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>∠DAF = ∠EFB</note>, <note>∠ADF = ∠BEF</note>；<note>AF/EF = AD/BE = AD/(1/2AD) = 2</note>。

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>三角形AFD和三角形EFB是相似三角形</note>。根据<note>相似三角形的定义</note>有：<note>∠DAF = ∠EFB</note>, <note>∠ADF = ∠BEF</note>；<note>AF/EF = AD/BE = AD/(1/2AD) = 2</note>。

平行四边形的性质定理

在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。

相似三角形的面积比等于相似比的平方定理

如果两个相似三角形的边长比是k，那么它们的面积比等于k的平方

<note>三角形AFD和三角形EFB是相似三角形</note>，边<note>AD和边BE的比值为2, 即相似比为2</note>。所以，<note>三角形AFD的面积与三角形EFB的面积的比值等于4</note>。##

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补

<note>两条平行线AD和BC被第三条直线BD所截</note>，形成了以下几何关系：<note>内错角：角ADF和角EBF相等</note>。在本题图中，<note>两条平行线AD和BC被第三条直线AE所截</note>，形成了以下几何关系：<note>内错角：角DAF和角BEF相等</note>。

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形

<note>三角形ADF是由三个非共线点A、D、F及其连接线段AD、AF、DF组成的几何图形</note>。<note>点A、D、F</note>分别是三角形的三个顶点，<note>线段AD、AF、DF</note>分别是三角形的三条边。<note>三角形BEF是由三个非共线点B、E、F及其连接线段BE、EF、BF组成的几何图形</note>。<note>点B、E、F</note>分别是三角形的三个顶点，<note>线段BE、EF、BF</note>分别是三角形的三条边。<note>三角形ABD是由三个非共线点A、B、D及其连接线段AD、AB、BD组成的几何图形</note>。<note>点A、B、D</note>分别是三角形的三个顶点，<note>线段AD、AB、BD</note>分别是三角形的三条边。<note>三角形ABE是由三个非共线点A、B、E及其连接线段AE、AB、BE组成的几何图形</note>。<note>点A、B、

三角形的面积公式

任意三角形的面积等于其底乘以高除以2

<note>三角形ABD中，边AD是底，线段AH是高</note>。根据三角形的面积公式，<note>三角形ABD的面积等于底边AD乘以高AH再除以2</note>，即面积 = (AD * AH) / 2。<note>三角形ABE中，边BE是底，线段AH是高</note>。根据三角形的面积公式，<note>三角形ABE的面积等于底边BE乘以高AH再除以2</note>，即面积 = (BE * AH) / 2。


Question: 如图,在离地面高度5m处引拉线固定电线杆,拉线和地面成60°角,则拉线AC的长是()

Answer: \frac{10√{3}}{3}m

1. 根据题意，已知在点C处拉线和地面AB成60°角，并且CD垂直AB，且CD的长度为5米。

2. 根据##正弦函数##，sin(##角CAD##) = 对边（即CD）/斜边（即AC），其中对边为5米，##角CAD##=60°。

3. 应用##正弦函数##得出AC的长度：AC = CD/sin(##角CAD##) = 5/sin(60°)。

4. 通过计算，sin(60°) = √3/2，因此替换到公式中得到：AC = 5/(√3/2) = 5 * 2/√3 = 10/√3。

5. 将结果有理化，得到AC = 10√3/3。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 10√3/3 米。

直角三角形; 正弦; 线段

正弦函数定义

在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>角∠CDA是直角（90度）</note>，因此三角形ACD是一个直角三角形。<note>边CD和边AD是直角边</note>，<note>边AC是斜边</note>。


Question: 如图,长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°,为了改善楼梯的安全性能,准备重新建造楼梯,使其倾斜角∠ACD为45°,则调整后的楼梯AC的长为()

Answer: 2√{6}m

1. ##由图中可知，∠ADB被标注为直角，根据直角三角形的定义可知三角形ABD为直角三角形。三角形ABD中，AB是斜边，BD是底边，AD是高，即AB=4m，∠ABD=60°##。

2. 根据正弦函数定义，在直角三角形ABD中，sin∠ABD = AD/AB。

3. 代入已知条件，sin∠ABD = sin60° = AD/4，

4. 由sin60°的值为√3/2，得到AD = 4 * (√3/2) = 2√3(m)。

5. 接下来分析调整后的直角三角形ACD，在直角三角形ACD中，AD是高，AC是斜边，底边为CD。

6. 根据正弦函数定义，在直角三角形ACD中，sin∠ACD = AD/AC。

7. 代入已知条件，sin∠ACD = sin45° = AD/AC。

8. 由sin45°的值为√2/2，得到(√2/2) = 2√3/AC。

9. 解上述等式，得到AC = 2√3 / (√2/2) = ##（2√3 * 2）/√2## = 2√6(m)。

10. 经过上述推理，最终得出答案为2√6(m)。

直角三角形; 正弦; 余弦; 正切; 线段

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

在本题图中，三角形ABD中，<note>角∠BDA是直角（90度）</note>，因此<note>三角形ABD是一个直角三角形</note>。<note>边BD和边AD是直角边</note>，边AB是斜边。三角形ACD中，<note>角∠CDA是直角（90度）</note>，因此<note>三角形ACD是一个直角三角形</note>。<note>边CD和边AD是直角边</note>，边AC是斜边。

正弦函数定义

在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。


Question: 如图,BE,CF为△ABC的两条高,若AB=6,BC=5,EF=3,则AE的长为()

Answer: \frac{18}{5}

1. 已知BE和CF为△ABC的两条高，##根据高的定义，角AEB和角AFC都是90°直角##。

2. 因为角AEB和角AFC都是直角，且角A是共享角，根据相似三角形的判定定理(AA)，##两个三角形中相对应的两个角度数相等则两个三角形相似，所以△AEB相似于△AFC##。

3. 由于△AEB∽△AFC，根据相似三角形的定义##可得知AE/AF = AB/AC。

4. 同样，由于角A是共享角，##AE/AF = AB/AC，根据相似三角形的判定定理(SAS)，可得知三角形AEF相似于三角形ABC。又根据相似三角形的定义，可得知：EF/BC = AE/AB##。

5. 代入已知条件，AB = 6, BC = 5, EF = 3，计算得到3/5 = AE/6。

6. 通过交叉相乘求解AE，得AE = (18/5)。

7. 经过上述推理，最终得出答案为AE的长为18/5。

垂线; 直角三角形; 线段; 普通三角形

高的定义

从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。

在本题图中，<note>从点B垂直于对边AC的线段BE</note>是该顶点B的高。<note>从顶点C垂直于对边AB的线段CF</note>是顶点C的高。<note>线段BE与边AC形成一个直角（90度）</note>，<note>线段CF与边AB形成一个直角（90度）</note>，这说明<note>线段BE和CF分别是从顶点B和顶点C到对边AC和AB的垂直距离</note>。

相似三角形的判定定理(AA)

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>三角形AEB和三角形AFC是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>角AEB = 角AFC</note>, <note>角BAE = 角CAF</note>, <note>角ABE = 角ACF</note>；<note>AE/AF = AB/AC = BE/CF</note>。<note>三角形AEF和三角形ABC是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>角AEF = 角ABC</note>, <note>角FAE = 角CAB</note>, <note>角AFE = 角ACB</note>；<note>AE/AB = AF/AC = EF/BC</note>。

相似三角形的判定定理(SAS)

如果两三角形有两对应边的长度成比例且包括的对应夹角相等，那么这两个三角形相似。


Question: 如图,△ABC中,D、E分别为AB、AC的中点,已知△ADE的面积为1,那么△ABC的面积是()

Answer: 4

1. 已知D和E分别是边AB和边AC的中点，根据三角形中位线定理，DE是△ABC的中位线。

2. 由三角形中线定理可知，DE∥BC且DE的长度是BC长度的一半。

##3. 根据相似三角形的判定定理(SSS)，△ADE和△ABC相似，因为它们的对应边成比例。##

4. 因为DE是BC的一半，所以比例系数为1/2，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方定理，有##S△ADE/S△ABC=(1/2)^2=1/4##。

5. 已知△ADE的面积为1，可以得出△ABC的面积是4倍的△ADE的面积，即S△ABC=4。

6. 经过上述推理，最终得出结论：△ABC的面积为4。

中点; 普通三角形; 平行线

线段中点

线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。

<note>线段AB的中点为点D</note>，<note>线段AC的中点为点E</note>。根据线段中点的定义，<note>点D将线段AB平分为两个相等的部分，即线段AD和线段DB的长度相等</note>，<note>点E将线段AC平分为两个相等的部分，即线段AE和线段EC的长度相等</note>。即，<note>AD = DB = AB/2</note>，<note>AE = EC = AC/2</note>。

三角形中位线定理

在三角形中，如果一条线段连接两边的中点，那么这条线段与第三条边平行且等于第三条边的一半。

在本题图中，三角形ABC中，<note>点D是边AB的中点</note>，<note>点E是边AC的中点</note>，<note>线段DE连接了这两个中点</note>。根据三角形中位线定理，<note>线段DE与第三边BC平行</note>且<note>等于第三边BC的一半</note>，即<note>DE || BC</note>，并且<note>DE = 1/2 * BC</note>。

相似三角形的面积比等于相似比的平方定理

如果两个相似三角形的边长比是k，那么它们的面积比等于k的平方。

<note>三角形△ADE和三角形△ABC是相似三角形</note>，边<note>DE和边BC的比值为1/2</note>, 即<note>相似比为1/2</note>。所以，<note>三角形△ADE的面积与三角形△ABC的面积的比值等于##(1/2)^2##=1/4</note>。

相似三角形的判定定理(SSS)

三边成比例的两个三角形相似。


Answer: 100°

1. 已知在圆O中，∠ABC=130°。##根据圆心角的定义和圆周角的定义可知，对于优弧AC，∠AOC的反向角为圆心角，∠ABC为圆周角。##

2. 根据圆周角定理，圆周角等于所对的圆心角的一半，所以有∠AOC##的反向角##=2∠ABC。

3. 由##圆周角定理##, 我们可以得出∠AOC##的反向角##=2×130°=260°。

####

##4##. ##因为实际所求的是劣弧AC所对应的圆心角度数，因此需要计算差值，##所以∠AOC = 360° -##∠AOC的反向角## =##360° - 260°=100°##。

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为100°。

圆; 圆周角; 圆心角; 弧; 三角形的外角

圆的定义

到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。

在本题图中，<note>圆O中，点O是圆心</note>。<note>图中所有到点O的距离等于定长的点</note>都在<note>圆O上</note>。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。


Answer: 46°

1. 已知四边形ABCD中，AB=AC=AD，##所以B、C、D三点在以A为圆心的，AD为半径的圆周上##。

2. 根据##圆周角定理##：圆心角的角度是圆周角的两倍。

3. 由已知条件∠CBD=23°，且AD是圆的半径，所以在此圆中，∠CAD对∠CBD是##圆心角##和圆周角的关系。

4. 因此根据此定理，在此题中可以得到：∠CAD=2∠CBD=2×23°=46°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为46°。

等腰三角形; 对顶角; 普通三角形

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

<note>在本题图中，以点A为圆心，AD为半径的圆中</note>，<note>角CBD的顶点B在圆周上</note>，<note>角CBD的两边分别与圆相交于点C和点D</note>。因此，<note>角CBD是一个圆周角</note>。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。


Question: 如图,A、B、C是⊙O上的三个点,∠ABC=25°,则∠AOC的度数是()

Answer: 50°

1. 已知点A、B、C是⊙O上的点，根据题意∠ABC=25°。

2. 在圆内，圆心角是它所对的弦所夹圆周角的两倍，根据圆周角定理，得出∠AOC=2∠ABC。

3. 将∠ABC=25°代入，得出∠AOC=2×25°。

4. 经过计算，得出∠AOC=50°。

5. 最终得出的答案为∠AOC=50°。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

在本题图中，<note>圆O中，角ABC的顶点B在圆周上</note>，<note>角ABC的两边分别与圆O相交于点A和点C</note>。因此，<note>角ABC是一个圆周角</note>。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

<note>在本题图中，圆O中</note>，点A和点C是圆上的两点，<note>圆心是点O</note>。<note>连线OA和OC组成的角∠AOC</note>称为圆心角。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

<note>∠ABC 所对的弧 AC</note> 的圆心角是 <note>∠AOC</note>，根据圆周角定理，圆心角 <note>∠AOC 是圆周角 ∠ABC 的两倍</note>，即 <note>∠AOC = 2 × ∠ABC</note>。


Question: 如图,△ABC中有一正方形DEFG,其中D在AC上,E、F在AB上,直线AG分别交DE、BC于M、N两点．若∠B=90°,AB=8,BC=6,EF=2,则BN的长度为()

Answer: \frac{24}{7}

1. 已知四边形DEFG为正方形，因此∠AED=∠AFG=90°。

2. ∵ ∠B=90°，####∠DAE=∠CAB，∠GAF=∠NAB。

3. 由以上条件，根据两个角相等的三角形相似（AA相似），可得△DAE∽△CAB和△GAF∽△NAB。

4. 因为 AB=8, BC=6, EF=2，并且DE=EF=2。根据相似三角形的定义，得到##AE/AB=DE/BC，即AE/8=2/6，从而得出AE=8/3##。

5. 有了AE之后，求得AF = AE + EF = ##8/3## + 2 =##14/3##。

6. 由△GAF∽△NAB，根据相似三角形的定义，得到##BN/GF=AB/AF，即BN/2=8/14/3##。

7. 解方程得，BN=##24/7##。

8. 经过上述推理，最终得出答案为##24/7##。

直角三角形; 正方形; 线段; 垂线

正方形的定义

正方形是一种平面四边形，其四条边相等且四个内角均为直角（90度）。

相似三角形的AA判别定理

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。

在本题图中，三角形DAE和三角形CAB中，如果<note>∠DAE=∠CAB</note>，且<note>∠AED=∠ABC</note>（都是90°），所以三角形DAE相似于三角形CAB。类似地，三角形GAF和三角形NAB中，如果<note>∠GAF=∠NAB</note>，且<note>∠AFG=∠ABN</note>（都是90°），所以三角形GAF相似于三角形NAB。

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

在本题图中，<note>三角形DAE和三角形CAB是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>∠DAE = ∠CAB</note>, <note>∠ADE = ∠ACB</note>, <note>∠DEA = ∠CBA</note>；<note>AE/AB= DE/BC= AD/AC</note>。同样，<note>三角形GAF和三角形NAB是相似三角形</note>。 根据相似三角形的定义有：<note>∠GAF = ∠NAB</note>, <note>∠AGF = ∠ANB</note>, <note>∠AFG = ∠ABN</note>；<note>BN/GF = AB/AF = AN/AG</note>。


Question: 如图,在△ABC中,点D,E分别为边AB,AC上的点,且DE∥BC,若AD=5,BD=10,DE=3,则BC的长为()

Answer: 9

1. 已知AD=5，BD=10，点D在边AB上，所以AB=AD+BD=5+10=15。

2. 已知DE∥BC，##根据平行线的平行公理2可知，∠ADE = ∠ABC（同位角相等），∠DEA = ∠BCA（同位角相等），所以△ADE∽△ABC（根据相似三角形的判定定理(AA)）##。

3. ##根据相似三角形的定义##，得到：\( \frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC} \)。

4. 将已知数值代入，得：\( \frac{5}{15}=\frac{3}{BC} \)。

5. 通过解比例式，可以求出BC的长度： ##BC=9##。

6. 经过上述推理，最终得出答案为9。

平行线; 普通三角形; 位似

同位角定义

<note>在本题图中，两条平行直线DE和BC被一条直线AB截交，其中角ADE和角ABC位于截线AB的同旁，被截两直线DE和BC的同一侧</note>，因此<note>角ADE 和角ABC是同位角</note>。同位角相等，即<note>角ADE等于角ABC</note>，同理，<note>两条平行直线DE和BC被一条直线AC截交，其中角DEA和角BCA位于截线AC的同旁，被截两直线DE和BC的同一侧</note>，因此<note>角DEA 和角BCA是同位角</note>。同位角相等，即<note>角DEA等于角BCA</note>。

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>在本题图中，△ADE∽△ABC</note>。根据相似三角形的定义，<note>∠ADE = ∠ABC</note>，<note>∠DEA = ∠BCA</note>，<note>∠EAD = ∠CAB</note>；<note>\( \frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC} \)</note>。将已知数值代入，得：<note>\( \frac{5}{15}=\frac{3}{BC} \)</note>。解比例式后，得到<note>BC=9</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补

<note>两条平行线DE和BC</note>被<note>第三条直线AB</note>所截，形成了以下几何关系：
1. 同位角：<note>角ADE和角ABC相等，角DEA=角BCA</note>。
2. 内错角：无。
3. 同旁内角：无。
这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

相似三角形的判定定理(AA)

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似


Question: 如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠BCO=40°,则∠A的度数等于()

Answer: 50°

1. 已知⊙O是△ABC的外接圆，OC=OB，且∠BCO=40°。

2. 由于OC=OB，##根据等腰三角形的定义得：△OBC为等腰三角形，因此根据等腰三角形的性质得出∠OBC=∠BCO=40°。##

3. 根据三角形内角和定理得出，∠BOC=180° - ∠OBC - ∠BCO = 180° - 40° - 40° = 100°。

4. 根据圆周角定理，在同一圆中，##圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半，故圆周角∠BAC为∠BOC的一半##，即∠BAC=100° × 1/2 = 50°。

5. 综上所述，∠BAC的度数为50°。

圆; 圆周角; 三角形的外角; 圆内接四边形

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

<note>三角形OBC中，边OC和边OB相等</note>，因此三角形OBC是一个等腰三角形。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

<note>等腰三角形OBC中，边OC和边OB相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>角OBC = 角BCO = 40°</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形OBC中，角BOC、角OBC和角BCO是三角形OBC的三个内角</note>，根据<note>三角形内角和定理</note>，<note>角BOC + 角OBC + 角BCO = 180°</note>。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

在本题图中，<note>圆O中，点B和点C是圆上的两点，圆心是点O</note>。<note>连线OB和OC组成的角∠BOC</note>称为圆心角。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角


Answer: 70°

1. 已知点A、B、C在圆O上，##根据圆周角的定义和圆心角的定义可知，∠ABC为圆周角，∠AOC为圆心角，已知##∠ABC=35°。

2. 根据圆周角定理，同一弧所对的圆周角是其所对的圆心角的一半。因此，我们有∠AOC=2∠ABC。

3. 通过计算，得出∠AOC=2×35°=70°。

4. 经过上述推理，最终得出答案为∠AOC的度数为70°。

圆; 圆周角; 圆心角; 弧; 弦

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

<note>在本题图中，圆O中，角ABC的顶点B在圆周上</note>，<note>角ABC的两边分别与圆O相交于点A和点C</note>。因此，角ABC是一个圆周角。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

<note>在本题图中，圆O中</note>，点A和点C是圆上的两点，<note>圆心是点O</note>。连线<note>OA和OC组成的##∠AOC##称为圆心角</note>。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

在本题图中，点A、B、C在圆O上，弧AC与弧CA对应的圆心角为<note>∠AOC</note>，圆周角为<note>∠ABC</note>。根据圆周角定理，<note>∠ABC等于它所对的弧AC所对应的圆心∠AOC的一半</note>，即<note>∠ABC = 1/2 ∠AOC</note>。


Question: 如图,将直角三角板45°角的顶点放在圆心O上,斜边和一直角边分别与⊙O相交于A、B两点,C是优弧AB上任意一点(与A、B不重合),则∠ACB的度数是()

Answer: 22.5°

1. 已知直角三角板的45°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A、B两点。

2. ##根据圆心角的定义和圆周角的定义，可知∠AOB为圆心角，∠ACB为圆周角，同时##根据圆周角定理，圆心角∠AOB所对的弧在圆周上的角度是其一半。

3. 由已知条件，∠AOB=45°。

4. 依据圆周角定理，得出∠ACB=1/2∠AOB。

5. 计算得出∠ACB=1/2×45°=22.5°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为22.5°。

圆; 圆周角; 直角三角形; 弧

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

在本题图中，<note>圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O</note>。<note>连线OA和OB组成的角∠AOB</note>称为圆心角。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

在本题图中，圆O中，<note>角ACB的顶点(点C)在圆周上</note>，<note>角ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B</note>。因此，<note>角ACB是一个圆周角</note>。


Answer: 64°

1. 如图所示，已知点A、B、C在⊙O上，∠ACB = 32°。

2. 根据圆周角定理，圆周角∠ACB所对的弧是AB，对应的圆心角是∠AOB。

3. 圆周角定理表明：在圆内，某一弧所对应的圆心角等于该弧所对应的圆周角的两倍。

4. 因此，∠AOB = 2 * ∠ACB。

5. 代入已知条件，∠AOB = 2 * 32° = 64°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为64°。

圆的定义

到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

<note>在本题图中，圆⊙O中，##∠ACB##的顶点C在圆周上，##∠ACB##的两边分别与圆⊙O相交于点A和点B</note>。因此，<note>##∠ACB##是一个圆周角</note>。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

在本题图中，圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O。连线<note>OA</note>和<note>OB</note>组成的<note>∠AOB</note>称为圆心角。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。


Question: 如图,△ABC内接于⊙O,∠BAC=120°,AB=AC,BD为⊙O的直径,AB=3,则AD的值为()

Answer: 3√{3}

1. 已知∠BAC=120°，且AB=AC，根据等腰三角形的性质，得出∠ABC=∠ACB。

2. ##根据等腰三角形的性质，△ABC中AB=AC，∠ACB=30°，∠ACB=∠ADB=30°。

3. (圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角##，当BD为⊙O的直径时，∠BAD为直角，即∠BAD=90°。

4. 因为∠ACB=30°，##根据圆周角定理推论1##，∠ACB=∠ADB，所以∠ADB=30°。

5. 由步骤3和步骤4可知，在直角三角形△BAD中，∠BAD=90°，∠ADB=30°。

6. 在直角三角形中，根据##正切函数的定义##，tan(∠ADB)=对边/邻边，即tan(30°)=AB/AD。

7. 由于tan30°=√3/3，且已知AB=3，所以可解得AD=AB/tan30°。

8. 将已知数值代入，得到AD=3/(√3/3)=3√3。

##9##. 经过上述推理，最终得出答案为3√3。

圆; 等腰三角形; 圆周角; 线段; 垂线

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形

正切函数的定义

在直角三角形中，一个锐角的正切值等于相对直角边长度除以相邻直角边长度。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

在本题图中，<note>等腰三角形ABC中</note>，<note>边AB和边AC相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，<note>相等的两边所对的角相等</note>，即<note>角ABC = 角ACB</note>。####

##圆周角定理推论1

在一个圆中，任意两个与同一弧相对应的圆周角相等。

(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角

半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径

<note>在本题图中，圆O中，直径BD所对的圆周角BAD是直角（90度）</note>。（或<note>本题图中，圆周角BAD是90度，所以它所对的弦BD是直径</note>。）

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

在本题图中，圆O中，<note>角ADB的顶点(点D)</note>在圆周上，<note>角ADB的两边分别与圆O相交于点A和点B</note>。因此，<note>角ADB是一个圆周角</note>。在本题图中，圆O中，<note>角BAD的顶点(点A)</note>在圆周上，<note>角BAD的两边分别与圆O相交于点B和点D</note>。因此，<note>角BAD是一个圆周角</note>。在本题图中，圆O中，<note>角ABD的顶点(点B)</note>在圆周上，<note>角ABD的两边分别与圆O相交于点A和点D</note>。因此，<note>角ABD是一个圆周角</note>。在本题图中，圆O中，<note>角ACB的顶点(点C)</note>在圆周上，<note>角ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B</note>。因此，<note>角ACB是一个圆周角</note>。在本题图中，圆O中，<note>角BAC的顶点(点A


Answer: 30°

1. 已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，##∠C##=15°。

2. ##因为OA = OC，所以△OAC是等腰三角形##（根据等腰三角形的定义），∴∠OAC = ##∠C## = 15°##（根据等腰三角形的性质）##。

3. 根据圆周角定理：在圆内，##圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半##，得出∠BOC = 2∠OAC。

4. 将∠OAC的值代入，得出∠BOC = 2×15° = 30°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为30°。

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

在本题图中，<note>三角形OAC中，边OA和边OC相等</note>，因此<note>三角形OAC是一个等腰三角形</note>。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等

<note>在本题图中，等腰三角形OAC中，边OA和边OC相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>角OCA = 角OAC</note>。####

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角

<note>圆O中，角BAC的顶点(点A)在圆周上</note>，<note>角BAC的两边分别与圆O相交于点B和点C</note>。因此，角BAC(角OAC)是一个圆周角。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角


Answer: 68°

1. 已知点 A、点 B 和点 C 都在圆 O 上，∠ACB=34°。

2. 根据圆周角定理，同弧所对的圆周角为圆心角的一半。具体来说就是，如果弧 AB 所对的圆周角为 ∠ACB，那么圆心角 ∠AOB 是圆周角 ∠ACB 的两倍。

3. 由已知 ∠ACB=34°，则 ∠AOB=2 * 34°=68°。

4. 经过上述推理，最终得出答案为 ∠AOB=68°。

圆; 圆周角; 圆心角; 弦

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

在本题图中，<note>圆 O 中，角 ∠ACB 的顶点 C 在圆周上</note>，<note>角 ∠ACB 的两边分别与圆 O 相交于点 A 和点 B</note>。因此，角 ∠ACB 是一个圆周角。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

<note>在本题图中，圆 O 中</note>，<note>点 A、点 B 和点 C 都在圆上</note>，<note>弧 AB 对应的圆心角为 ∠AOB</note>，<note>圆周角为 ∠ACB</note>。根据<note>圆周角定理</note>，<note>∠ACB 等于它所对的弧 AB 所对应的圆心角 ∠AOB 的一半</note>，即 <note>∠ACB = 1/2 ∠AOB</note>。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角


Question: 如图,AB、CD是⊙O的两条弦,连结AD、BC。若∠BCD=70°,则∠BAD的度数为()

Answer: 70°

1. 已知角BCD度数为70度。

2. 根据##圆周角定理推论1##，圆周角等于同弧所对的圆周角。

3. 因为角BCD和角BAD同样对弧BD，依据##圆周角定理推论1##，可以知道角BCD等于角BAD。

4. 由此可以得出角BAD等于70度。

圆; 圆周角; 弦; 对顶角; 圆内接四边形

圆周角定理推论1

在一个圆中，任意两个与同一弧相对应的圆周角相等

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。


Question: 如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,弦AD平分∠BAC,交BC于点E,AB=6,AD=5,则DE的长为()

Answer: 2.2

1. 如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD为弦，且AD平分∠BAC。连接BD、CD。

2. 由于AB为⊙O的直径，##根据(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角##，所以∠ADB = 90°。

3. 在△ADB中，可以使用勾股定理计算BD的长度。####在本题中，AB是斜边，AD是直角边之一，BD是另一直角边。所以有：BD = ##√{AB? - AD?} = √{6? - 5?}## = √{36 - 25} = √{11}。

4. 由于弦AD平分∠BAC，##所以∠CAD=∠DAB##。

5. ##根据圆周角定理推论1##得出∠CBD = ##∠DAC##。##由第四步可以得出##：∠BAD = ∠EBD。

6. 在△ABD和△BED中，可以观察到以下角相等：∠BAD = ∠EBD，∠ADB = ∠BDE。

7. 因为两个三角形有两个角对应相等，根据##相似三角形的判定定理(AA)##，△ABD ∽ △BED。

8. ##根据相似三角形的定义##，得：DE / DB = DB / AD，即DE / √{11} = √{11} / 5。

9. 解上述比例方程，DE = 11 / 5。

10. 经过上述推理，最终可以得出DE的长度为11/5。

圆; 弦; 圆周角; 直角三角形; 等腰三角形

圆周角定理推论1

在一个圆中，任意两个与同一弧相对应的圆周角相等。

<note>在本题图中，圆O中，弧CD对应的圆周角是∠CAD和∠CBD。</note>根据圆周角定理推论1，<note>与同一弧CD相对应的圆周角∠CAD和∠CBD相等，即∠CAD = ∠CBD。</note>####

(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角

半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

<note>在本题图中，圆O中，直径AB所对的圆周角ADB是直角（90度）</note>和<note>圆周角ACB是直角（90度）</note>。##

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

在题中直角三角形△ADB中，<note>∠ADB是直角（90度）</note>，<note>边AD和BD是直角边</note>，<note>边AB是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>AB? = AD? + BD?</note>，即<note>BD = √{AB? - AD?} = √{6? - 5?}</note> = √(36 - 25) = √11。

相似三角形的AA判别定理

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。

<note>△ABD和△BED</note>中，<note>∠BAD = ∠EBD</note>，且<note>∠ADB = ∠BDE</note>，所以根据<note>相似三角形的AA判别定理</note>，<note>△ABD ∽ △BED</note>。

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>三角形ABD</note>和<note>三角形BED</note>是相似三角形。根据相似三角形的定义有：<note>∠BAD = ∠EBD</note>，<note>∠ADB = ∠BDE</note>；<note>DE/BD = BD/AD</note>。

相似三角形的AA判别定理

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。

<note>△ABD和△BED中</note>，<note>∠BAD = ∠EBD</note>，且<note>∠ADB = ∠BDE</note>，所以根据相似三角形的AA判别定理，<note>△ABD ∽ △BED</note>。

角平分线定义

角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

在本题图中，圆O中，<note>角CAD的顶点(点A)在圆周上</note>，角CAD的两边分别与<note>圆O</note>相交于点C和点D。因此，<note>角CAD是一个圆周角</note>，<note>角CBD的顶点(点B)在圆周上</note>，角CBD的两边分别与<note>圆O</note>相交于点C和点D。因此，<note>角CBD是一个圆周角</note>，<note>角ADB的顶点(点D)在圆周上</note>，角ADB的两边分别与<note>圆O</note>相交于点A和点B。因此，<note>角ADB是一个圆周角</note>。


Question: 量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合,其中量角器O刻度线的端点N与点A重合,射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转,CP与量角器的半圆弧交于点E,当第20秒时,点E在量角器上对应的读数是()

Answer: 120°

1. 已知量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，并且量角器O刻度线的端点N与点A重合。射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，因此第20秒时，∠PCA = 3°×20 = 60°。

2. 因为∠ACB = 90°，##AB是圆O的直径，所以由(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角，可知∠ACB是圆周角，##即点C在圆O上。

3. 根据圆周角定理，在圆内，##圆##心角等于两倍的圆周角，##因C在圆O上，所以根据圆周角的定义∠ECA是弧EA的圆周角，∠EOA是弧EA的圆心角##， ∠EOA = 2∠ECA = 2×60° = 120°。

4. 通过上述推理，最终得出点E在量角器上对应的读数为120°。

射线; 旋转; 圆; 圆周角; 直角三角形

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>三角形ABC中，角ACB是直角（90度）</note>，因此三角形ABC是一个直角三角形。<note>边AC和边BC是直角边</note>，<note>边AB是斜边</note>。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

在本题图中，圆O中，角∠ECA的<note>顶点C</note>在圆周上，角∠ECA的两边分别与圆O相交于点A和<note>点E</note>。因此，角∠ECA是一个圆周角。<note>角∠ACB的顶点C在圆周上，角∠ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B。因此，角∠ACB是一个圆周角</note>。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

<note>∠EOA是中心角，∠ECA是其对应的圆周角</note>，根据圆周角定理，<note>中心角∠EOA = 2 × ∠ECA</note>，因此<note>∠EOA = 2 × 60° = 120°</note>。

(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角

半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角

<note>在本题图中，圆O中，点E和点A是圆上的两点，圆心是点O</note>。<note>连线OA和OE组成的角∠EOA称为圆心角</note>。


Answer: 75°

1. 已知△ABC内接于⊙O,∠A=15°。

2. 连接OB和OC。

3. 根据圆周角定理，##同一个弦对应的圆周角是圆心角的一半##，所以∠BOC=2∠A。

4. 由∠A=15°，可得∠BOC=2×15°=30°。

5. 因为OB=OC，所以△BOC是等腰三角形。

6. 等腰三角形的性质告诉我们，两底角相等，因此∠OBC=∠OCB。

7. 三角形内角和定理指出，∠BOC + 2∠OBC = 180°。

8. 将已知条件带入，30° + 2∠OBC = 180°。

9. 解方程得2∠OBC = 150°，因此∠OBC = 75°。

10. 综上所述，∠OBC=75°。

圆周角; 圆; 线段; 弧

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形BOC中</note>，<note>角BOC、角OBC和角OCB是三角形BOC的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角BOC + 角OBC + 角OCB = 180°</note>。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

在本题图中，圆O中，<note>角BAC的顶点(点A)在圆周上</note>，<note>角BAC的两边分别与圆O相交于点C和点B</note>。因此，<note>角BAC是一个圆周角</note>。


Answer: 48°

1. 已知点A、B、C在圆O上，∠BAC=24°。

2. 通过观察，∠BOC被弦BC所对。

3. 根据圆周角定理，在圆内的一条弦所对的圆心角是它所对圆周角的两倍，即在本题中∠BOC是∠BAC的两倍。

4. 因此，∠BOC = 2 × ∠BAC。

5. 代入已知条件，得∠BOC = 2 × 24° = 48°。

6. 所以，∠BOC的度数是48°。

圆; 圆心角; 圆周角; 弧

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

在本题图中，圆O中，<note>角BAC的顶点A在圆周上</note>，<note>角BAC的两边分别与圆O相交于点B和点C</note>。因此，<note>角BAC是一个圆周角</note>。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。


Question: 如图,直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O(0,0),B是y轴右侧⊙A优弧上一点,则∠OBC的度数为()

Answer: 30°

1. 设⊙A与x轴交于另一点D，连接CD。

2. ∵ ∠COD=90°，根据##(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角##，CD是⊙A的直径。

3. 由题意给出的直径为10，得出CD=10。

4. ∵ 点C的坐标为(0,5)，点O的坐标为(0,0)，所以线段OC的长度为5。

5. 应用正弦定义，得sin∠ODC=OC/CD。

6. 将已知条件代入，得sin∠ODC=5/10=1/2。

7. ∵ sin∠ODC=1/2，####得出∠ODC=30°。

8. ∵ ∠OBC为同一个已知弧COD相应的圆周角，由##圆周角定理推论1可知，∠OBC也为30°##。

9. 经过上述推理，最终得出角OBC的度数为30°。

圆; 圆周角; 弧; 直角三角形

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

在本题图中，圆A中，<note>点A是圆心</note>，<note>点C是圆上的任意一点</note>，<note>线段AC是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段AC是圆的半径</note>。

正弦函数定义

在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。

(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角

半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

圆周角定理推论1

在一个圆中，任意两个与同一弧相对应的圆周角相等。

在本题图中，<note>圆O中</note>，<note>弧OC对应的圆周角∠OBC和∠ODC相等</note>。根据圆周角定理推论1，<note>与同一弧OC相对应的圆周角∠OBC和∠ODC相等</note>，即<note>∠OBC = ∠ODC = 30°</note>。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角

在本题图中，圆A中，<note>角COD的顶点(点O)在圆周上</note>，<note>角COD的两边分别与圆A相交于点C和点D</note>。因此，<note>角COD是一个圆周角</note>。圆A中，<note>角OBC的顶点(点B)在圆周上</note>，<note>角OBC的两边分别与圆A相交于点C和点O</note>。因此，<note>角OBC是一个圆周角</note>。圆A中，<note>角ODC的顶点(点D)在圆周上</note>，<note>角ODC的两边分别与圆A相交于点O和点C</note>。因此，<note>角ODC是一个圆周角</note>。


Answer: 80

1. 已知在圆O中，∠ABC=40°。

2. 根据圆周角定理，圆周角等于所对的圆心角的一半。也就是说在一个圆中，圆周角等于其所对应的圆心角的一半。

3. 在本题中，∠ABC是圆周角，其所对的圆心角为∠AOC。

4. 由圆周角定理，∠AOC=2∠ABC。

5. 将已知条件代入，∠AOC=2×40°=80°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为∠AOC=80°。

圆; 圆周角; 圆心角; 弧; 弦

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

<note>圆O中，角ABC的顶点B在圆周上</note>，<note>角ABC的两边分别与圆O相交于点A和点C</note>。因此，角ABC是一个圆周角。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。


Question: 如图,点A,B,C在⊙O上,连接AB,AC,若∠BOC=100°,则∠B+∠C的度数为()

Answer: 50°

1. 已知∠BOC=100°，根据##圆周角定理，得∠A=1/2∠BOC=50°。在图中连接AO。##

2. 由于OA=OB=OC为半径，从而三角形OAB和三角形OAC是等腰三角形，所以∠BAO=∠B和∠CAO=∠C。

3.##因此∠B+∠C＝∠BAO+∠CAO=∠A＝50°##

####

##4##.经过上述推理，最终得出答案为50°。

圆; 圆心角; 圆周角; 圆内接四边形

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

在本题图中，圆O中，<note>点O是圆心</note>，<note>点A、B、C是圆上的任意一点</note>，<note>线段OA、OB、OC是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段OA、OB、OC是圆的半径</note>。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

<note>边OA和边OB相等</note>，因此三角形OAB是一个等腰三角形；同样地，<note>边OA和边OC相等</note>，因此三角形OAC是一个等腰三角形。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

在本题图中，<note>等腰三角形OAB中，边OA和边OB相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>∠BAO = ∠OBA</note>。<note>等腰三角形OAC中，边OA和边OC相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>∠CAO = ∠OCA</note>。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

<note>在本题图中，圆O中，角BAC的顶点(点A)在圆周上</note>，角BAC的两边分别与圆O相交于<note>点C和点B</note>。<note>因此，角BAC是一个圆周角</note>。


Question: 如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是直径,若∠BOC=70°,则∠A等于()

Answer: 35°

####

##1##. 已知##圆心角∠BOC = 70°。（根据圆心角的定义）##

##2##. 在圆中，圆心角等于其所对的弧所对的圆周角的两倍，即 ∠A = 1/2 ∠BOC。（根据圆周角定理）

##3##. 根据 ∠BOC = 70°，得到 ∠A = 1/2 x 70° = 35°。

##4##. 经过上述推理，最终得出答案为 35°。

圆; 圆周角; 圆心角; 圆内接四边形

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角

在本题图中，圆O中，<note>角BAC的顶点(点A)在圆周上</note>，<note>角BAC的两边分别与圆O相交于点B和点C</note>。因此，角BAC是一个圆周角。##

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

在本题图中，圆O中，<note>点B和点C是圆上的两点</note>，<note>圆心是点O</note>。<note>连线OB和OC组成的角∠BOC称为圆心角</note>。####

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。


Question: 如图,A、B、C、是⊙O上的三点,且∠CAO=25°,∠BCO=35°,则∠AOB的度数为()

Answer: 120°

1. 延长线段 CO 交圆 O 于点 D。

2. 根据已知条件∠BCO=35°，根据##圆周角定理##，得到∠BOD=2##∠BCD##=70°。

3. 根据已知条件∠CAO=25°，由于 CO=OA，##根据等腰三角形的定义得到##三角形 ACO 是等腰三角形，因此##由等腰三角形的性质得##∠ACO=∠CAO=25°。

4. 根据##圆周角定理##，得到∠AOD=2##∠ACD##=2×25°=50°。

5. ####最终得到∠AOB=∠AOD+∠BOD=50°+70°=120°。

圆; 圆心角; 圆周角; 弧; 弦

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

<note>圆 O 中，## ∠ACD ## 的顶点 C 在圆周上</note>，<note>## ∠ACD ## 的两边分别与圆 O 相交于##点 A## 和 ##点 D##</note>。因此，<note>## ∠ACD ## 是一个圆周角</note>。类似地，<note>## ∠BCD ## 的顶点 C 在圆周上</note>，<note>## ∠BCD ## 的两边分别与圆 O 相交于##点 B## 和 ##点 D##</note>。因此，<note>## ∠BCD ## 也是一个圆周角</note>。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

<note>在本题图中，圆O中，点A和点D是圆上的两点，圆心是点O</note>。连线<note>OA和OD</note>组成的角<note>∠AOD</note>称为圆心角。##同样地，<note>圆O中，点D和点B是圆上的两点，圆心是点O</note>。连线<note>OD和OB</note>组成的角<note>∠BOD</note>称为圆心角。##

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

在本题图中，三角形ACO中，<note>边CO和边OA相等</note>，因此<note>三角形ACO是一个等腰三角形</note>。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

在本题图中，圆 O 中，<note>点 A、B、C 、D</note>在圆上，弧 AD 与弧 DB 对应的圆心角为 ∠AOD 和 ∠BOD，圆周角分别为<note> ∠ACD和 ∠BCD</note>。根据圆周角定理，∠BOD 等于它所对的弧 DB 所对应的圆周角 <note>∠BCD</note> 的两倍，即 ∠BOD = 2<note>∠BCD</note> = 2 × 35° = 70°。同理，∠AOD 等于它所对的弧 AD 所对应的圆周角 <note>∠ACD</note> 的两倍，即 ∠AOD = 2<note>∠ACD</note> = 2 × 25° = 50°。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等

<note>等腰三角形OAC中，边OC和边OA相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>角OAC = 角OCA</note>。


Question: 如下图,点C在以AB为直径的半圆O上,∠BAC=20°,则∠BOC等于()

Answer: 40°

####

##1.##根据圆周角定理，同一弧所对的圆心角等于该弧所对的圆周角的二倍，即∠BOC=2∠BAC。

##2.## 由于∠BAC=20°，代入公式可得∠BOC=2*20°=40°。

##3.##由此我们最终得到∠BOC=40°。

圆; 圆周角; 直角三角形; 圆心角

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。


Answer: 1.5cm

1. 如图，##过点O作OD垂直于直径AC于点D##，连接BC。##根据垂径定理，线段OD平分弦AC##，AD等于CD，也即点D是弦AC的中点。

2. 由于AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角定理，得到∠ACB=90°。

3. 由勾股定理，在直角三角形△ACB中，可以求得BC的长度，即BC等于##√(AB? - AC?)##。

4. 已知AB=5cm，弦AC=4cm，代入计算得BC=##√(5? - 4?)##=3 cm。

5. 由于点O是直径AB的中点，##依据三角形中位线定理，OD：BC=1/2,OD的长度等于BC的一半，已知BC=3，即OD=BC/2=3/2=1.5cm##。

6. 经过上述推理，最终得到点O到直线AC的距离为1.5cm。

圆; 垂线; 弦; 直角三角形; 线段

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

弦的定义

弦是连接圆上任意两点的线段。

三角形中位线定理

<note>三角形ABC</note>中，<note>点D是边AC的中点</note>，<note>点O是边AB的中点</note>，<note>线段OD连接了这两个中点</note>。根据三角形中位线定理，<note>线段OD与第三边BC平行</note>且<note>等于第三边BC的一半</note>，即<note>OD || BC</note>并且<note>BC = 1/2 * OD</note>。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>在本题图中，直角三角形△ACB中，∠ACB是直角（90度）</note>，<note>边AC和BC是直角边，边AB是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>AB² = AC² + BC²</note>。

垂径定理

如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。


Answer: 65°

1. 已知AB为⊙O直径，##根据圆周角定理推论2，直径所对的圆周角是直角##，故∠ACB为直角，即90°。

2. 根据已知条件∠ABC = 25°，利用三角形内角和定理，得∠CAB = ##∠ACB##- ∠ABC = 90° - 25° = 65°。

3.##依据圆周角定理推论1，弧BC对应的圆周角相等，则∠CAB =∠CDB=65°##。

4. 依据上一步得##∠CDB = 65°##，可以得出∠D = 65°。

5. 最终我们可以得出，∠D的度数为65°。

圆; 圆周角; 直角三角形; 圆内接四边形

圆周角定理推论1

在一个圆中，任意两个与同一弧相对应的圆周角相等。

(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角

半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

<note>圆O中，直径AB所对的圆周角∠ACB是直角（90度）</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形ABC中，角CAB、角ABC和角ACB是三角形ABC的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角CAB + 角ABC + 角ACB = 180°</note>。


Answer: 55°

1. 已知AB为⊙O的直径，由于直径所对的圆周角为直角，可得∠ACB=90°。

2. ∵∠BAC=35°，由∠ACB=90°，得∠CAB + ∠ACB + ##∠CBA ##= 180°，即##∠CBA## = 180°-35°-90° = 55°。

####

##3. ∵同弧所对的圆周角相等，∴∠ADC=∠ABC。故∠ADC=55°。##

圆; 圆周角; 直角三角形; 线段; 圆内接四边形

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角

半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>在本题图中，三角形ABC中，角CAB、角ACB和角CBA是三角形ABC的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角CAB + 角ACB + 角CBA = 180°</note>。

圆周角定理推论1

在一个圆中，任意两个与同一弧相对应的圆周角相等。


Question: 如图,已知⊙O是△ABC的外接圆,∠AOB=110°,则∠C的度数为()

Answer: 55°

1. 已知⊙O是△ABC的外接圆，点O为圆心，∠AOB=110°。

2. 因为点A、点B、点C在⊙O上，所以弧AC和弧BC是⊙O的两条弧。

3. 在圆中，同一弧所对的圆心角与弧所对的##圆周角##之间满足圆心角的度数等于##圆周角##的度数的两倍。

4. 在本题中，圆心角∠AOB所对弧的##圆周角##是∠ACB。

5. 因此，根据定理，##圆周角##∠ACB的度数等于圆心角∠AOB的一半，具体表示为∠ACB = 1/2 × ∠AOB。

6. 代入已知条件∠AOB=110°，得∠ACB = 1/2 × 110° = 55°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为55°。

圆; 圆心角; 圆周角; 三角形的外角

圆的定义

到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

在本题图中，圆O中，点A、B、C在圆上，<note>弧AB</note>对应的圆心角为∠AOB=110°，圆周角为∠ACB。根据圆周角定理，∠ACB等于它所对的<note>弧AB</note>所对应的圆心角∠AOB的一半，即∠ACB = 1/2 ∠AOB。


Question: 如图,点A、B、C是⊙O上的三点,∠BAC=40°,则∠BOC的度数是()

Answer: 80°

1. 已知点A、B、C是圆O上的三点，且∠BAC=40°。

2. 根据圆周角定理，##在圆中，圆周角等于它所对应的弧所对应的圆心角的一半。##

3. 在本题中，圆心角∠BOC对应的弧是##弧BC##，圆周角∠BAC也对应同一弧BC。

4. 因此，根据圆周角定理，∠BOC=2×∠BAC。

5. 代入已知条件，得∠BOC=2×40°=80°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为80°。

圆; 圆周角; 圆心角; 弧

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

弧的定义

弧是圆上两点之间的一段曲线。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

<note>圆O中</note>，点A、B、C在圆上，<note>弧BC对应的圆心角为∠BOC</note>，<note>圆周角为∠BAC</note>。根据圆周角定理，∠BOC等于它所对的弧BC所对应的圆周角∠BAC的2倍，即<note>∠BOC = 2 × ∠BAC</note>。


Question: 如图,AB、CD是⊙O的弦,且AB∥CD,若∠BAD=36°,则∠AOC等于()

Answer: 72°

1. 已知AB∥CD，##依据平行线的平行公理，两条平行线被第三条直线所截，那么内错角相等。##得出∠ADC=∠BAD=36°。

2. ##根据圆周角定理，在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。##

3.##本题中，圆心角∠AOC与圆周角∠ADC所对应的的弧都是弧AC，所以得出∠AOC=2×∠ADC。##

##4##. 将已知的∠ADC的值代入上一步公式，即∠AOC=2×36°。

##5##. 经过计算，得出∠AOC=72°。

##6##. 由此可知，∠AOC等于72°。

平行线; 圆; 弦; 圆心角; 圆周角

##内错角的定义

当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

在本题图中，圆O中，<note>角∠BAD的顶点A在圆周上</note>，<note>角∠BAD的两边分别与圆O相交于点B和点D</note>。因此，<note>角∠BAD是一个圆周角</note>。同样地，<note>角∠ADC的顶点D在圆周上</note>，<note>角∠ADC的两边分别与圆O相交于点A和点C</note>。因此，<note>角∠ADC也是一个圆周角</note>。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>在本题图中，两条平行线AB和CD</note>被第三条直线AD所截，形成了以下几何关系：
1. ##内错角##：<note>角BAD和角ADC相等</note>，即<note>∠BAD = ∠ADC = 36°。</note>

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

在本题图中，圆O中，点A、B、C、D在圆上，<note>弧AC对应的圆心角为∠AOC</note>，<note>圆周角为∠ADC</note>。根据圆周角定理，<note>∠ADC等于它所对的弧AC所对应的圆心角∠AOC的一半</note>，即<note>∠ADC = 1/2 ∠AOC</note>。


Question: 如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,若∠A=40°,则∠B的度数为()

Answer: 50°

1. 已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，根据直径所对的圆周角定理，得∠ACB = 90°。

2. 已知∠CAB = 40°，根据三角形内角和定理，即三角形内三个内角的和等于180°，得出∠CBA = 180° - ∠ACB - ∠CAB。

3. 将已知角度代入，得出∠CBA = 180° - 90° - 40°。

4. 计算得∠CBA = 50°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为50°。

圆; 圆周角; 直角三角形

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>角CAB</note>、<note>角CBA</note>和<note>角ACB</note>是<note>三角形ACB的三个内角</note>，根据<note>三角形内角和定理</note>，<note>角CAB + 角CBA + 角ACB = 180°</note>。

(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角

半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

在本题图中，圆O中，<note>直径AB</note>所对的<note>圆周角∠ACB是直角（90度）</note>。


Question: 如图,在半径为5的⊙O中,如果弦AB的长为8,那么它的弦心距OC等于()

Answer: 3

1. 已知圆O的半径OA等于5，并且弦AB的长度为8。为了求弦心距OC，我们首先连接OA。

2. ##从圆心点O向弦AB做垂线OC##，设C为垂足。##由垂径定理可知##，OC垂直且平分弦AB，因此AC等于AB的一半，即AC为4。

3. 在Rt△OAC中，已知OA=5，AC=4。根据勾股定理，在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。可以得出OC的长度：OC^2 = OA^2 - AC^2。

4. 将已知数值代入勾股定理公式中，得OC^2 = 5^2 - 4^2。

5. 计算得OC^2 = 25 - 16，即OC^2 = 9。

6. 取OC的正值，得OC = √9 = 3。

7. 经过上述推理，最终得出答案为3。

圆; 弦; 垂线; 直角三角形

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

<note>圆O中，点O是圆心</note>，<note>点A是圆上的任意一点</note>，<note>线段OA是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OA是圆的半径</note>，且<note>OA=5</note>。

弦的定义

弦是连接圆上任意两点的线段。

在本题图中，圆O中，<note>点A和点B是圆上的任意两点</note>，<note>线段AB连接了这两个点</note>，所以<note>线段AB是圆O的弦</note>，且AB=8。

弦心距

圆心到弦的垂直距离称为弦心距。

在本题图中，圆O中，<note>点O是圆心</note>，<note>线段AB是圆的弦</note>，<note>线段OC是从圆心O到弦AB的垂线段</note>。根据弦心距的定义，<note>线段OC的长度即为圆心到弦AB的垂直距离</note>，称为弦心距。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

垂径定理

如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

在本题图中，直角三角形OAC中，<note>∠OCA是直角（90度）</note>，<note>边OC和AC是直角边，边OA是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>OC^2 = OA^2 - AC^2</note>。


Question: 如图,点O是⊙O的圆心,点A、B、C在⊙O上,AO∥BC,∠AOB=40°,则∠OAC的度数等于()

Answer: 20°

1. 已知点O是⊙O的圆心，点A、B、C在⊙O上，AO∥BC，且∠AOB=40°。

2. 依据圆周角定理，在圆中同弧所对的圆周角等于该弧所对中心角的一半。已知∠AOB=40°，则∠ACB=1/2×40°=20°。

3. 由已知条件AO∥BC，根据##平行线的平行公理2##，内错角相等。所以∠OAC=∠ACB。

4. 因此，∠OAC=20°。

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为20°。

圆; 圆心角; 圆周角; 平行线; 垂线

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

<note>圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O</note>。<note>连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角</note>。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

<note>圆O中</note>，<note>角ACB的顶点C在圆周上</note>，<note>角ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B</note>。因此，角ACB是一个圆周角。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

在本题图中，圆O中，点A、B、C在圆上，<note>弧AB</note>与<note>弧ACB</note>对应的圆心角为∠AOB。根据圆周角定理，∠ACB等于它所对的<note>弧AB</note>所对应的圆心角∠AOB的一半，即<note>∠ACB = 1/2 ∠AOB</note>。


Question: 如图,若AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,∠ABD=55°,则∠BCD的度数为()

Answer: 35°

1. 已知AB是⊙O的直径，连接AD。

2. 根据##圆周角定理推论2##，直径所对的圆周角是直角，所以∠ADB等于90°。

3. 已知∠ABD等于55°。

4. 由于∠ADB是直角，可以通过三角形的内角和定理，即三角形的三个内角之和为180°，得到：∠A + ∠ABD等于90°。

5. 代入已知条件∠ABD等于55°，所以∠A等于90° - ∠ABD等于90° - 55°等于35°。

6. ##在圆O中，由圆周角定理推论1可知：∠BAD和∠BCD对应同一弧BD，所以，∠BCD等于∠BAD##。

7. 最终得出∠BCD等于##∠BAD##等于35°。

圆; 直角三角形; 圆周角; 弦; 线段

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

<note>角∠DAB的顶点A在圆周上</note>，角∠DAB的两边分别与圆O相交于<note>点D和点B</note>。因此，角∠DAB是一个圆周角。同样地，<note>角∠BCD的顶点C在圆周上</note>，角∠BCD的两边分别与圆O相交于<note>点B和点D</note>。因此，角∠BCD是一个圆周角。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

在本题图中，三角形ABD中，<note>角BAD、角ABD和角ADB是三角形ABD的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角BAD + 角ABD + 角ADB = 180°</note>。

(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角

半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

圆周角定理推论1

在一个圆中，任意两个与同一弧相对应的圆周角相等。