Question: 求图形的面积。

Answer: 60

1. 已知题目中三角形的两条腰长为13，且底边的长度为10。##根据等腰三角形的定义，题目中的三角形为等腰三角形##。

2. ##我们从顶点向底边作高线，设此高线为线段AD，底边为BC，根据等腰三角形高线、中线、角平分线重合定理，线段AD垂直平分底边BC，已知BC=10，即BD=5##。

3. ##因高线AD垂直平分底边BC，则角ADB为90度。根据直角三角形的定义，三角形ABD为直角三角形##。在直角三角形ABD中，利用勾股定理，即##c? = a? + b?##，其中c为斜边AB，a为BD，b为AD。

4. 根据题意，AB = 13，BD = 5，代入即得到##13? = 5? + AD?##。求解， 169 = 25 + ##AD?##。

5. 即##AD?## = 144， 由此可得AD = ##√144 ##= 12。

6. 三角形的面积公式: Area = 1/2 * base * height，根据已知条件代入即 Area = 1/2 * 10 * 12。

7. 经计算，面积为60。

##8.##经过上述推理，最终得出答案为60。

等腰三角形; 直角三角形; 线段

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

线段的定义

线段是一个直线的一部分，包含两个端点及其间的所有点。

<note>线段AD是一个直线的一部分</note>，包含<note>端点A和端点D及其间的所有点</note>。<note>线段AD具有两个端点，这两个端点分别是A和D</note>，且<note>线段AD上的每一个点都位于端点A和端点D之间</note>。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>在本题图中，三角形ABD中，角ADB是直角（90度），因此三角形ABD是一个直角三角形</note>。<note>边AD和边BD是直角边，边AB是斜边</note>。同理，<note>三角形ACD中，角ADC是直角（90度），因此三角形ACD是一个直角三角形</note>。<note>边AD和边CD是直角边，边AC是斜边</note>。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>在本题图中，直角三角形ABD中，∠ADB是直角（90度），边BD和AD是直角边，边AB是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>AB? = BD? + AD?</note>。

等腰三角形高线、中线、角平分线重合定理

等腰三角形的顶角平分线不仅平分顶角，还平分底边并垂直于底边。

在本题图中，<note>等腰三角形ABC中，顶角为∠BAC</note>，底边为边BC。顶角的<note>角平分线AD不仅平分顶角∠BAC，还平分底边BC，使得BD = DC = 5，并且垂直于底边BC，即形成直角∠ADB（90度）</note>。因此，线段<note>AD既是顶角的角平分线，又是底边的中线和高线</note>。

三角形的面积公式

任意三角形的面积等于其底乘以高除以2。

<note>三角形ABC</note>中，<note>边BC是底</note>，<note>线段AD是高</note>。根据三角形的面积公式，<note>三角形ABC的面积等于底边BC乘以高AD再除以2</note>，即面积 = (10 * 12) / 2。

三角形中线的定义

中线是从三角形一个顶点到对边中点的线段。

在本题图中，三角形ABC中，<note>顶点A</note>是三角形的一个顶点，<note>对边BC</note>是与顶点A相对的边。<note>点D是边BC的中点</note>，<note>线段AD</note>是从顶点A到对边BC中点D的线段，因此<note>AD是三角形ABC的一条中线</note>。####

高的定义

从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。

<note>从顶点A垂直于对边BC（或其延长线）的线段AD是该顶点A的高</note>。<note>线段AD与边BC（或其延长线）形成一个直角（90度）</note>，这说明<note>线段AD是从顶点A到对边BC（或其延长线）的垂直距离</note>。


Question: 如图,已知⊙O的半径为5,弦AB、CD所对的圆心角分别是∠AOB,∠COD,且∠AOB与∠COD互补,弦CD=8,则弦AB的长为()

Answer: 6

1. 已知⊙O的半径为5，弦AB、CD所对的圆心角分别是∠AOB、∠COD，且∠AOB与∠COD互补。

2. ##反向延长AO交⊙O于点E##，连接BE。

3. 由∠AOB与∠COD互补，得到∠AOB + ∠COD = 180°。根据平角的定义，##平角AOE为180°。根据邻补角的定义，∠AOB+EOB=180°。

4. ##因为∠AOB+EOB=180°，∠AOB + ∠COD = 180°，所以∠BOE = ∠COD##。

5. ##根据全等三角形判定定理(SAS)，OD=OE，OC=OB，∠BOE = ∠COD，所以△OCD?△OBE。根据全等三角形的定义，CD=BE=8##。

6. ##根据圆周角的定义和(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角，∠ABE=90°。根据直角三角形的定义，三角形ABE为直角三角形##。

7. ##在直角三角形ABE中##，利用勾股定理可以得到AB的长度。

8. 勾股定理为##a^2 + b^2 = c^2##，其中a和b是直角边，c是斜边。在此题中，AE是斜边，AB和BE是直角边。

9. ##代入已知条件，AE为直径，所以AE=10，得到AB = √(AE^2 - BE^2) = √(10^2 - 8^2) = √(100 - 64) = √36 = 6##。

10. 经过上述推理，最终得出答案为弦AB的长为6。

圆; 弦; 圆心角; 邻补角; 余弦

圆的定义

到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。

在本题图中，<note>圆⊙O中，点O是圆心</note>，<note>半径为5</note>。图中<note>所有到点O的距离等于5的点都在圆⊙O上</note>。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

<note>在本题图中，圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O。</note>连线<note>OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角。</note>同样，<note>点C和点D是圆上的两点，连线OC和OD组成的角∠COD称为圆心角。</note>

弦的定义

弦是连接圆上任意两点的线段。

在本题图中，<note>圆O中，点A和点B是圆上的任意两点，线段AB</note>连接了这两个点，所以<note>线段AB是圆O的弦</note>。同理，<note>点C和点D是圆上的任意两点，线段CD</note>连接了这两个点，所以<note>线段CD也是圆O的弦</note>。

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

<note>AE是直径</note>，连接了<note>圆心O</note>和圆周上的<note>A、E两点</note>，长度为2倍的半径，即<note>AE = 2 * 5=10</note>。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>三角形ABE中，角∠ABE是直角（90度）</note>，因此三角形ABE是一个直角三角形。<note>边AB和边BE是直角边</note>，<note>边AE是斜边</note>。

平角的定义

一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度。

<note>射线AO</note>绕着端点<note>O</note>旋转到与起始边成一条直线，形成<note>平角AOE</note>。根据平角的定义，<note>平角的度数为180度，即角AOE=180度</note>。

邻补角的定义

两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。

全等三角形判定定理(SAS)

如果一个三角形的两边及其夹角分别与另一个三角形的两边及其夹角相等，那么这两个三角形全等。

(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角

半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

<note>在本题图中，圆O中，直径AE所对的圆周角∠ABE是直角（90度）。</note>

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>在本题图中，△ABE是直角三角形</note>，<note>∠ABE是直角（90度）</note>，<note>边AB和BE是直角边</note>，<note>边AE是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>AE^2 = AB^2 + BE^2</note>。

全等三角形的定义

两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等。

<note>三角形DOC和三角形BOE是全等三角形</note>，三角形DOC的<note>对应边和对应角与三角BOE相等</note>，即： <note>边OD = 边OE</note> <note>边OC = 边OB</note> <note>边BD = 边CE</note>，同时，<note>对应的角也相等</note>： <note>角DOC = 角BOE</note> <note>角ODC= 角OEB</note> <note>角OCE = 角OBE</note>.##


Question: 求 T Q。

Answer: 12

1. ##已知RS = 7，ST = 7，因此RS = ST，S为RT中点。且QS⊥QT，交点为RT中点S，所以依据垂直平分线的定义可知，QS是QT的垂直平分线。##

2.##因为Q点在QS上，由垂直平分线的性质可知，QR＝QT##

3.##所以有x+3＝2x-6，整理后得到x等于9##

4.##将x＝9带入2x-6，得到QT＝12##

####

等腰三角形; 垂线; 直角三角形

线段中点

线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。

<note>线段RT的中点为点S</note>。根据线段中点的定义，<note>点S将线段RT平分为两个相等的部分</note>，即线段RS和线段ST的长度相等。即，<note>RS = ST</note>。####

垂直平分线的定义

经过线段中点且垂直于该线段的直线

垂直平分线的性质

垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等

在本题图中，<note>线段RT的垂直平分线为直线QS</note>，<note>点Q在直线QS上</note>。根据垂直平分线的性质，<note>点Q到线段RT两端点R和T的距离相等，即QR = QT##</note>。


Question: 求 x。

Answer: 8

1.##设左边三角形两侧斜边的夹角为A，单弧标志的角为B，双弧标志的角为C，底边BC的中点为D。设右边三角形两侧斜边的夹角为X，单弧标志的角为Y，双弧标志的角为Z，底边YZ的中点为W。##

2. ##由图可得BC=12，AD=x，YZ=15，XW=10，角ABC=角XYZ，角ACB=角XZY，且BD=CD=1/2 BC，YW=ZW=1/2 YZ。所以根据相似三角形的判定定理(AA)得：三角形ABC~三角形XYZ。##

3.##依据相似三角形的定义：BC/YZ = AD/XW。##

4. 把对应的数据代入相似三角形的公式，12/15 = x/10。

5. 解以上比例式以求解x：12/15 = x/10。

6. 通过交叉相乘得到：12 * 10 = 15 * x。

7. 将得到的式子化简：120 = 15x。

8. 两边除以15计算出x：x = 120/15。

9. 对算式进行计算，得到x = 8。

10. 经过上述推理，最终得出答案为8。

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>在本题图中，三角形ABC和三角形XYZ是相似三角形。根据相似三角形的定义有：角ABC = 角XYZ, 角ACB = 角XZY, 角BAC = 角YXZ；AB/XY = BC/YZ = AD/XW。</note>

相似三角形的判定定理(AA)

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。


Question: 在H中，直径为18，L M = 12，且m \widehat L M = 84。求H P。结果保留到小数点后两位。

Answer: 6.71

1. ##已知条件为: 圆的直径为 18，则半径为9。连接HL，可知HL符合半径定义，HL为圆H的半径且为9，JK为圆H的直径且为18。##

2.##已知LM为圆H上的弦，直径JK垂直LM，由垂径定理可知，JK垂直平分LM，即∠LPH=90°，LP=PM＝1/2 * LM，已知LM＝12，所以LP=1/2 * 12=6。##

3.##在三角形LHP中，∠LPH为90°，根据直角三角形的定义，所以该三角形是直角三角形。##

4.##在直角三角形LHP中，由勾股定理可知：LH^2＝LP^2＋HP^2，将LH＝9，LP＝6带入整理，可得HP＝√（LH^2-LP^2）=√（9^2-6^2）＝3√5。##

5.##取√5近似值为2.236，结果为6.708，结果保留到小数点后两位，四舍五入得6.71。##

6.##经过上述推理，最终得出答案为 H P 的长度为 6.71 (四舍五入至小数点后两位)。##

####

圆; 垂线; 直角三角形; 圆周角; 弧

圆的定义

到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。

<note>圆H中，点H是圆心</note>，半径为9。<note>图中所有到点H的距离等于9的点都在圆H上</note>。

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

在本题图中，<note>线段 J K 是直径</note>，连接了<note>圆心 H 和圆周上的 J、K 两点</note>，长度为 2 倍的半径，即<note>J K = 18</note>。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

在本题图中，圆H中，<note>点H是圆心</note>，<note>点J和K是圆上的任意一点</note>，<note>线段HJ和HK是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段HJ和HK是圆的半径</note>，且其长度为18/2 = 9。<note>点L是圆上的任意一点</note>，<note>线段HL是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段HL是圆的半径</note>，且其长度为18/2 = 9。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>在本题图中，直角三角形 LHP 中，角 LPH 是直角（90度），边 PL 和 PH 是直角边，边 LH 是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>LH^2＝LP^2＋HP^2</note>。

弦的定义

弦是连接圆上任意两点的线段

在本题图中，圆H中，<note>点L和点M是圆上的任意两点</note>，<note>线段LM连接了这两个点</note>，所以<note>线段LM是圆H的弦</note>。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形

在本题图中，三角形LHP中，<note>角LPH是直角（90度）</note>，因此三角形LHP是一个直角三角形。<note>边LP和边HP是直角边</note>，<note>边LH是斜边</note>。

垂径定理

如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧


Question:
在上图的三角形中，斜边的长度是多少？
a. √11
b. 8
c. √65
d. 11
e. 65

Answer: \sqrt{65}

1. 已知三角形为直角三角形，直角边分别为7和4，根据勾股定理，设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则有公式：##c?= a? + b?##。

2. 将已知条件代入勾股定理公式中：a = 7，b = 4，则##c? = 7? + 4?##。

3. 计算公式中的各项：##7? #= 49，##4?##= 16，所以##c?## = 49 + 16 = 65。

4. 求出c的值：c = √65。

5. 经过上述推理，最终得出答案为√65。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>三角形的一个角是直角（90度）</note>，因此该三角形是一个直角三角形。<note>边长为7和4的线段是直角边</note>，<note>斜边是长度为√65的线段</note>。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>在本题图中</note>，直角三角形中，<note>直角边分别为7和4，斜边为c</note>，所以根据勾股定理，<note>##c? = 7? + 4?##= 49 + 16 = 65</note>，因此<note>c = √65</note>。


Question: 求梯形的面积。

Answer: 678.5

1. 已知梯形的上边为22英尺，下边为37英尺，高为23英尺。根据梯形面积公式，面积等于1/2乘以上底加下底再乘以高。

2. 套入数据：面积 = 1/2 * (22英尺 + 37英尺) * 23英尺。

3. 计算括号内的和：22英尺 + 37英尺 = 59英尺。

4. 将上述结果代入公式：面积 = 1/2 * 59英尺 * 23英尺。

5. 计算59乘以23，结果为1357。

6. 再除以2，得到梯形的面积：1357/2 = 678.5。

7. 因此，梯形的面积为678.5平方英尺。

梯形的定义

梯形是一种四边形，有且仅有一对平行边。

<note>梯形的上底为22英尺，表示平行的上边</note>，<note>下底为37英尺，表示平行的下边</note>。根据梯形的定义，梯形是一种四边形，有且仅有一对平行边。

高的定义

从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。

<note>在本题图中，从上底22英尺的一点垂直于下底37英尺的线段23英尺是该梯形的高</note>。<note>线段23英尺与下底37英尺形成一个直角（90度）</note>，这说明<note>线段23英尺是从上底22英尺到下底37英尺的垂直距离</note>。

梯形面积公式

给定梯形的两条平行边长度 a 和 b，以及它们之间的高度 h，梯形的面积为 (a + b) * h / 2。

<note>梯形的上底为22英尺</note>，<note>下底为37英尺</note>，<note>高为23英尺</note>，所以梯形的面积为(22英尺 + 37英尺) * 23英尺 / 2。


Question: 如图是小莹设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后,刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD,CD⊥BD．且测得AB=1.4米,BP=2.1米,PD=12米．那么该古城墙CD的高度是()

Answer: 8米

1. 已知光线从点A出发经平面镜P反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处，根据##反射定律，光线在反射时，入射角等于反射角##，得出∠APB=∠CPD。

2. 已知AB⊥BD，CD⊥BD，即∠ABD=∠CDB=90°，推得∠ABP=∠CDP。

3. ##相似三角形的判定定理(AA)##，由∠APB=∠CPD 和 ∠ABP=∠CDP 得 ##三角形ABP ∽ 三角形CDP##。

4. 根据##相似三角形的定义##，相似三角形的对应边成比例，得出 ##AB/CD=BP/PD##。

5. 根据题目已知条件 AB=1.4米, BP=2.1米, PD=12米，代入比例关系式## 1.4/CD=2.1/12##。

6. 解比例方程得 CD=8米。

7. 经过上述推理，最终得出答案为8米。

反射; 直角三角形; 垂线; 平行线

反射定律

光线在反射时，入射角等于反射角，且反射光线位于法线和入射光线所在平面的同一侧。

<note>光线从点A射向反射面P</note>，在<note>点P发生反射</note>。<note>入射角∠APB是光线AP与法线之间的夹角</note>，<note>反射角∠CPD是反射光线PC与法线之间的夹角</note>。根据反射定律，<note>入射角∠APB等于反射角∠CPD</note>，且<note>反射光线PC位于法线和入射光线AP所在平面的同一侧</note>。####

相似三角形的判定定理(AA)

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。####

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

在本题图中，三角形<note>ABP</note>和三角形<note>CDP</note>是相似三角形。根据相似三角形的定义有：<note>∠APB = ∠CPD</note>, <note>∠ABP = ∠CDP</note>, <note>∠PAB = ∠PCD</note>； <note>AB/CD=BP/PD</note>。


Question: 如图,直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB,垂直为点O,∠BOD=50°,则∠COE=()

Answer: 140°

1. 已知EO垂直于直线AB，根据垂直的定义，得∠AOE = 90°。

2. 由于直线AB和CD相交于点O，根据题意可知∠BOD = 50°。

3. 由##对顶角的定义##，即直线相交所形成的对顶角相等，得∠AOC = ∠BOD = 50°。

4. 由于∠COE = ∠AOC + ∠AOE，代入已知值，得∠COE = 50° + 90° = 140°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为140°。

对顶角; 垂线; 直线; 射线

垂线定义

如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。

对顶角的定义

对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。


Question: 如果 c = 5，求 b。

Answer: 2.5 \sqrt { 3 }

1.已知条件为：直角三角形####ABC中，∠C = 90°，∠B = 60°，∠A = 30°，斜边c = 5。

2. 根据##30°-60°-90°三角形的性质##，##30度角所对的边短，是斜边的一半，60度角所对的边则为短边的√3倍##。

3. 由已知##斜边AB(c) = 5，则BC(a)=5/2=2.5##。

4. 因为##AC(b)是60°角的对边，所以AC(b)=2.5*√3##。

5. 故##b =2.5*√3##。

##6.##通过上述推理，最终得出答案为##2.5*√3##。

直角三角形; 正弦; 余弦

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

在本题图中，三角形ABC中，<note>角ACB是直角（90度）</note>，因此<note>三角形ABC是一个直角三角形</note>。<note>边AC和边BC是直角边，边AB是斜边</note>。####

30°-60°-90°三角形的性质

在30°-60°-90°三角形中，30度角所对的边短，是斜边的一半，60度角所对的边则为短边的√3倍。


Question: E B \\parallel D C。求 x。

Answer: 9.5

1. 已知 E B 与 D C 平行，根据##平行线分线段成比例定理##，三角形的两边被平行线分成的对应部分成比例。

2. 由##平行线分线段成比例定理##得出，##DE/AE = BC/AB##。

3. 给定信息中，DE = 4, ##BC## = 5。

4. ##AE## 的值等于 ##AD## - ED，所以 ##AE = 6##。

5. AB 的值等于 x - 2 ####。

6. 由确定的比值 ##4/6 = 5/(x - 2)## 。

7. 进行简单比例交叉公式：##(4 * (x - 2)) = 5 * 6##。

8. 进一步简化得到 ##4x - 8 = 30##。

9. 解方程时，把##8##移到另一边并简化,得到 4x = 38。

10. 继续化简得到 x = 38/4 = 9.5。

11. 经过上述的推理，最终得出答案 x 的值为9.5。

平行线分线段成比例定理

如果一条直线与一个三角形的一条边平行，并截它的其他两边或两边的延长线，那么它截得的线段与原三角形相对应的线段成比例。

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

在本题图中，<note>三角形ADC</note>是由<note>三个非共线点A、D、C及其连接线段AD、AC、DC</note>组成的几何图形。<note>点A、D、C分别是三角形的三个顶点，线段AD、AC、DC分别是三角形的三条边。</note>##


Question: 将\cos A的比值用小数表示，精确到小数点后两位。

Answer: 0.6

1. 已知△ABC为直角三角形，∠ABC为直角，AB=15，BC=20且AC=25。

2. 在直角三角形中，斜边为最长边。这里，AC为斜边。

####

##3. 根据余弦函数##，在直角三角形中，一个锐角的余弦比是邻边长度和斜边长度的比值。

##4##. 因为要求的是cos∠CAB，则要使用AB与AC两边比较，cos A是∠CAB的余弦比。

##5. 即##cos∠CAB = 邻边 AB/斜边 AC = 15/25。

##6##. 化简比15/25，得出cos∠CAB = 3/5。

##7##. 将化简后的比值3/5转化为小数，结果为0.6。

##8##. 经过上述推理，最终得出答案为0.60。

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>三角形ABC中，角ABC是直角（90度）</note>，因此三角形ABC是一个直角三角形。<note>边AB和边BC是直角边</note>，<note>边AC是斜边</note>。####

余弦函数

余弦函数是一个三角函数，它可以通过直角三角形中的边来定义，对于一个角α，它的余弦值等于角α的邻边与斜边的比值。####

在本题图中，<note>直角三角形ABC</note>中，<note>边AB是角∠CAB的邻边</note>，<note>边AC是斜边</note>。因此，根据余弦函数的定义，<note>角∠CAB的余弦值等于邻边AB与斜边AC的比值，即cos(∠CAB) = AB / AC</note>。####


Question: 如果 A B \\parallel D C，求 x。

Answer: 115

1.已知条件为 AB 平行于 DC，根据##平行线的平行公理2，同旁边内角互相，因此x° + 65° = 180°。

####

##2##. 通过解方程得 x = 180° - 65°。

##3##. x = 115°。

##4##. 经过上述推理，最终得出答案为 115°。

平行线; 同位角; 对顶角

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>两条平行线AB和CD被第三条直线AD所截</note>，形成了以下几何关系：同旁内角：<note>角A和角D互补，即x° + 65° = 180°</note>。##

同旁内角的定义

两条直线被第三条直线所截，在截线同侧，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角。若两直线平行，则同旁内角互补。若同旁内角互补，则两直线平行。


Question: 求 x 使得该四边形是平行四边形。

Answer: 5

1. 已知一个四边形为平行四边形####。

2. ##设平行四边形的四个顶点为ABCD，对角线相交于O点##。

3. ##根据平行四边形的性质定理，得AO=CO，BO=DO##。

4. ##由图中我们可知：AO=x+4，CO=3x-6##。

####。

##5. 因为AO=CO##，则有以下方程：

##   x + 4 = 3x - 6##

##6##. 解方程## x + 4 = 3x - 6##，##移项得4+6=3x-x，##得 2x = 10，解得 x = 5。

##7##. 由此得出x的值为5。

平行四边形; 内错角; 对顶角; 同旁内角; 邻补角

平行四边形的性质定理

在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。


Question: 在上图中，两条线段在直线l上的一点相交。x的值是多少？

Answer: 45

1. 已知条件为##两##条线段相交于一直线上形成的三个角分别为x°, 2x°, x°，####依据平角的定义，得出x° + 2x° + x° = 180°。

2. 化简方程x° + 2x° + x° = 180°为4x = 180，由此推导出x = 180 / 4。

3. 计算180 / 4 = 45。

4. 经过上述推理，最终得出答案为x = 45。

对顶角; 邻补角; 直线

角的定义

角是由两个有公共端点的射线组成的几何图形，其中的公共端点称为角的顶点，两条射线称为角的边。

<note>角x°</note>, <note>2x°</note>, <note>x°</note>是由两条射线组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点。这个共同的端点称为<note>角的顶点</note>，而<note>射线称为角的边</note>。

平角的定义

一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度

在本题图中，<note>射线绕着端点旋转到与起始边成一条直线</note>，形成<note>平角</note>。根据<note>平角的定义</note>，<note>平角的度数为180度</note>。


Answer: \frac{4}{5}

1. 已知在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=4，AB=5。

####

##2. 根据正弦函数的定义，sin∠ABC = 对边AC/斜边AB##。

##3. 将边长代入，sin∠ABC = 4/5##。

##4. 经过上述推理，最终得出答案为4/5##。

直角三角形; 正弦; 线段

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

在本题图中，三角形ABC中，<note>角ACB是直角（90度）</note>，因此三角形ABC是一个直角三角形。<note>边AC和边BC是直角边</note>，<note>边AB是斜边</note>。

正弦函数定义

在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。

<note>直角三角形ABC中</note>，<note>角B是锐角</note>，<note>边AC是角B的对边</note>，<note>边AB是斜边</note>。根据正弦函数定义，<note>角B的正弦值等于对边AC与斜边AB的比值</note>，即<note>sin∠ABC = AC / AB</note>。


Question: 如图,如果∠1=∠3,∠2=60°,那么∠4的度数为()

Answer: 120°

1. ##设两条水平直线从上往下分别为直线a、b，另外两条直线从左到右分别为直线c、d。##已知∠1=∠3，根据两直线平行的一个充分条件（##内错角##相等）得出直线a∥直线b。

2. 因为直线a∥直线b且∠2=60°，##设∠4在直线d上的邻补角为∠5， 因为∠4和∠6在直线d上互为邻补角，根据平角的定义，所以有∠4+∠5=180°##。

3. ##根据平行线的平行公理2和内错角的定义，∠2=∠5=60°（内错角相等）##。

4. 由于∠5=60°，所以∠4=##180°-∠5=##180°-60°=120°。

5. 最终得出答案为120°。

内错角; 同位角; 平行线

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>两条平行线分别为直线a和直线b</note>，被第三条<note>直线c所截</note>，形成了以下几何关系：
1. 同位角：##无##。
2. 内错角：<note>角2和角5相等，即∠2=∠5</note>。
3. 同旁内角：##无##。##

内错角的定义

当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角

<note>在本题图中，两条平行直线a和b被一条直线c截交</note>，<note>其中角1和角3位于两平行线之间，且在截线c的对侧</note>，因此<note>角1和角3是内错角</note>。<note>内错角相等，即角1等于角3</note>。<note>两条平行直线a和b被一条直线d截交</note>，<note>其中角2和角5位于两平行线之间，且在截线d的对侧</note>，因此<note>角2和角5是内错角</note>。<note>内错角相等，即角2等于角5</note>。

邻补角的定义

在本题图中，<note>∠4和∠5有一条公共边</note>，并且<note>它们的另一边互为反向延长线</note>，所以<note>∠4和∠5互为邻补角</note>，<note>∠4 + ∠5 = 180°</note>。

平角的定义

<note>射线d绕着端点旋转到与起始边成一条直线，形成平角x</note>。根据平角的定义，平角的度数为180度，即<note>角4+角5=180度</note>。##


Question: 求解 x。

Answer: 18 \sqrt { 6 }

1. 已知条件为：在一个直角三角形中，斜边的对边的边长为18√3，夹角为45°。

2. 根据45°-45°-90°三角形定理，45°-45°-90°三角形的两直角边相等，且任何一边乘以√2等于斜边。

3. 两直角边相等为18√3，根据等腰直角三角形性质可得斜边x = 18√3 * √2。

4. 计算得到x = 18√3 * √2 = 18 * √3 * √2 = 18 * √6。

5. 因此，经过上述推理，最终得出答案为18√6。

直角三角形; 等腰三角形

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>在本题图中</note>，三角形中，<note>一个角是直角（90度）</note>，因此该三角形是一个<note>直角三角形</note>。<note>边长为18√3的两条边是直角边</note>，<note>边长为x的边是斜边</note>。

45°-45°-90°三角形的性质

在45°-45°-90°三角形中，两个45度角所对的边相等，且斜边是任意一条直角边的√2倍

<note>在本题图中，45°-45°-90°三角形中，两个锐角是45度，直角是90度</note>。<note>边x是斜边，两条长为18√3的边是两个45度角所对的直角边</note>。根据45°-45°-90°三角形的性质，<note>边x等于边18√3的√2倍</note>。即：<note>x = 18√3* √2</note>。

等腰直角三角形的定义

等腰直角三角形是两个边相等且有一个角为90度的三角形。

<note>三角形是等腰直角三角形</note>，<note>其中一个角是直角（90度）</note>，长度为<note>18√3两边是相等的直角边</note>。


Question: 在平行四边形中找到 x。

Answer: 37

1. ##已知题中所示四边形是一个平行四边形，设115°角为角A，以点A逆时针顺序设平行四边形四个角，得到一个平行四边形ABCD##。

2. ##根据平行四边形的性质定理，平行四边形的对角相等，∠A=∠C，即115°=（2x+41）°##。

##3.解方程：2x+41=115，得2x=74，即x=37。##

####

##4##. 经过上述推理，最终得出答案为37。

平行四边形; 同旁内角; 邻补角

平行四边形的定义

平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。

<note>四边形ABCD是一个平行四边形</note>，其中<note>AB ∥ CD且AB = CD</note>，<note>AD ∥ BC且AD = BC</note>。

平行四边形的性质定理

在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。


Question: 求三角形中的 h。

Answer: 8

1. ##设图中三角形的三个顶点分别为A、B、C##。

2. ##由图可知，∠A=60°，∠B=90°。根据三角形内角和定理，可知∠A+∠B+∠C=60°+90°+∠C=180°，即∠C=180°-60°-90=30°##。

3. ##又根据30°-60°-90°三角形的性质，在30°-60°-90°三角形中，30度角所对的边短，是斜边的一半##。

4. ##已知图中短边AB=4，斜边=h，根据上述性质，则h/2=4，即h=2*4=8##。

5. 经过上述推理，最终得出答案为8。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>在本题图中，三角形ABC中，角ABC是直角（90度）</note>，因此三角形ABC是一个直角三角形。<note>边AB和边BC是直角边，边AC是斜边</note>。

30°-60°-90°三角形的性质

<note>在本题图中，30°-60°-90°三角形中，##∠ACB##是30度，##∠CAB##是60度，##∠ABC##是90度。</note><note>##边AC##是斜边，边AB是30度角所对的边，##边BC##是60度角所对的边。</note>根据30°-60°-90°三角形的性质，<note>##边AB##等于##边AC##的一半，##边BC##等于边AB的√3倍。即：##AC## = 2 * AB，##BC## = AB * √3。</note>

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>角ABC、角BCA和角CAB是三角形ABC的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角ABC + 角BCA + 角CAB = 180°</note>。


Question: \triangle L M N \cong \triangle Q R S。求 x。

Answer: 20

1. ##已知条件为△LMN 全等于 △QRS，根据全等三角形的定义，△LMN和△QRS的对应边和对应角相等，即∠M =∠R，LM = QR。##

####

####

####

####

##2. 将LM =2x + 11 和 QR =3x - 9 代入等式，有：2x+11 = 3x-9。##

##3. ##解出这个方程：首先移项得到：2x - 3x = -9 - 11。

##4.## 进一步化简得到：-x = -20。

##5.## 解得x的值：x = 20。

##6.## 经过上述推理，最终得出答案为x = 20。

普通三角形; 对称; 平移

全等三角形的定义

两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等。

<note>在本题图中，三角形LMN和三角形QRS是全等三角形</note>，<note>三角形LMN的对应边和对应角与三角形QRS相等</note>，即：<note>边LM = 边QR</note>，<note>边LN = 边QS</note>，<note>边MN = 边RS</note>；同时，<note>对应的角也相等</note>：<note>角L = 角Q</note>，<note>角M = 角R</note>，<note>角N = 角S</note>。在题目中给出的<note>LM = 2x + 11</note>，<note>QR = 3x - 9</note>，因此有<note>2x + 11 = 3x - 9</note>。


Question: 求 m \\angle K.

Answer: 100

1. ##已知四边形JKLM中，JK∥ML且边JM = 6、KL = 6。根据等腰梯形的定义，四边形JKLM为等腰梯形##。

2. ##题中图形标注∠M为80°，根据等腰梯形的性质，在等腰梯形中，两底角相等，即∠M = ∠L，∠J=∠K##。

3. 代入∠M = 80°，##得∠L = 80°##。

4. ##由于JK∥ML，根据平行线的平行公理2，∠L+∠K=180°##。

5. 因此得到∠K = 100°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为100°。

等腰梯形的定义

等腰梯形是指两腰相等的梯形。

在本题图中，等腰梯形JKLM中，<note>边JK和边ML是平行的</note>（即为梯形的两条平行边），<note>边JM和边KL是梯形的两腰</note>，并且<note>边JM等于边KL</note>（即两腰相等）。因此，JKLM是一个等腰梯形。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>梯形JKLM的上底边JK与下底边ML平行</note>。根据平行线的性质，如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。这里，<note>直线JM和KL分别是截线</note>，<note>形成的同旁内角∠K和∠L互补</note>。因此，<note>∠K=180°-∠L</note>。由此得出<note>∠K=100°</note>。

同旁内角的定义

在本题图中，<note>两条直线JK和ML被第三条直线KL所截</note>，<note>两角K和L在截线KL同侧，且在被截线JK和ML之内</note>，所以<note>角K和L是同旁内角</note>。<note>同旁内角K和L互补，即角K + 角L = 180度</note>。


Question: x的值是多少？

Answer: 10

##1.设三角形6X°的顶点为A，4X°的顶点为B，8X°的顶点为C。##

##2##. 在△ABC中, 已知∠BAC = 6x°， ∠ABC = 4x°， ∠BCA = 8x°。

##3##. 根据三角形内角和定理，三角形的三个内角之和等于180°，即∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°。

##4##. 将具体的角度表达式代入，得到6x + 4x + 8x = 180°。

##5##. 合并同类项，得到 18x = 180°。

##6##. 两边同时除以18，得到x = 10°。

##7##. 经过上述推理，最终得出答案为x = 10。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形的三个内角分别为6x°、4x°和8x°</note>，根据三角形内角和定理，<note>这三个内角的和应等于180°</note>。我们用数学表达式表示为：<note>6x° + 4x° + 8x° = 180°</note>。


Question: 如图,在⊙O中,弦AB与CD交于点E,BE=DE,∠B=40°,则∠A的度数是()

Answer: 40°

1. ##已知BE=DE，∠B=40°，根据等腰三角形的定义，三角形BED为等腰三角形；根据等腰三角形的性质，得出∠DBE=∠EDB=40°。##

2. ##根据圆周角的定义，∠CDB和∠CAB为圆周角；又因为弧CB对应圆周角∠CDB和∠CAB，根据圆周角定理推论1，可得∠CDB=∠CAB。##

####

##3. 由以上推论可得，∠CDB=∠CAB=40°。##

####

##4. ∠A的度数为40°。##

圆; 弧; 圆周角; 弦; 等腰三角形

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

<note>等腰三角形BED</note>中，<note>边BE和边DE相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，<note>即角EDB = 角DBE</note>。

弧的定义

弧是圆上两点之间的一段曲线。

<note>在本题图中，圆O上有两点B和C</note>，<note>弧BC是连接这两点的一段曲线</note>。根据弧的定义，<note>弧BC是圆上两点B和C之间的一段曲线</note>。####

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

<note>圆O中，角BAC的顶点(点A)在圆周上，角BAC的两边分别与圆O相交于点B和点C</note>。因此，角BAC是一个圆周角；<note>圆O中，角BDC的顶点(点D)在圆周上，角BDC的两边分别与圆O相交于点B和点C</note>。因此，角BDC是一个圆周角。####

圆周角定理推论1

在一个圆中，任意两个与同一弧相对应的圆周角相等。


Question: 在图中，一个正多边形内接于一个圆。求一个中心角的度数。

Answer: 60

1. 已知条件为图中所示的正多边形和它内接于一个圆。观测图形，##正六边形PNMLKJ##每条边对应一个圆周上的等分弧。

2. ##中心角的定义是指一个正多边形的相邻的两个顶点与它的中心的连线的夹角。中心角也可以表示为正多边形每一边所对的外接圆的圆心角##。

3.##利用中心角的计算公式来计算。##

4. ##正多边形的中心角等于360° /n，其中n是正多边形的边数##

5. ##已知n＝6，所以该正多边形的中心角等于360° /6＝60°##。

6. 经过上述推理，最终得出答案为60°。

正多边形; 圆; 圆心角

正多边形的定义

正多边形是指所有边长度相等且所有内角相等的多边形。

内接多边形

一个多边形的所有顶点都在一个圆上，称这个多边形为圆的内接多边形。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

<note>圆中，点K和点L是圆上的两点，圆心是点R</note>。连线<note>RK和RL组成的∠KRL称为圆心角</note>。

中心角的定义

中心角是指一个正多边形的相邻的两个顶点与它的中心的连线的夹角。中心角也可以表示为正多边形每一边所对的外接圆的圆心角

在本题图中，<note>角KRL是一个中心角</note>，<note>它由正多边形的中心R与相邻两个顶点K和L的连线所形成</note>。根据<note>中心角的定义</note>，角KRL是正多边形的中心角，且<note>它的大小等于正多边形每一边所对应的外接圆的圆心角</note>。

中心角的计算公式

正多边形的中心角等于360° /n，其中n是正多边形的边数

<note>PJKLMN是一个有6条边的正多边形</note>，其中6表示正多边形的边数。根据中心角的计算公式，<note>该正多边形的每个中心角的度数等于360° /6</note>，即<note>中心角=360° /6</note>。


Question: 求菱形的面积。

Answer: 132

1. 已知菱形一条对角线长度为12 mm，##另一条对角线长22mm##。

####

##2. 已知菱形的面积计算方式为：面积= (d1 *  d2 / 2)。d1和d2代指菱形的两条对角线。##

##3##. 将值代入公式得到：面积 = (12 * 22) / 2。

##4. 计算得到面积 = 264 / 2 = 132 mm^2。##

##5. 经过上述推理，最终得出答案为132 mm^2。##

菱形的定义

菱形是四边都相等的四边形，且对角线互相垂直平分。

<note>四边形中，所有的边都是相等的</note>，因此四边形是一个菱形。此外，<note>四边形的对角线互相垂直平分</note>。

对角线的定义

对角线是连接多边形一顶点和非相邻顶点的线段。

<note>菱形的对角线有一条长度为12 mm，另一条长度为22 mm</note>。根据<note>对角线的定义，对角线是连接多边形一顶点和非相邻顶点的线段</note>。因此，这两条线段就是<note>菱形的对角线</note>。

菱形面积公式

菱形的面积等于两条对角线的乘积的一半。

<note>菱形的对角线分别为12 mm和22 mm</note>。根据菱形面积公式，菱形的面积等于两条对角线的乘积的一半，即面积 = (<note>12 mm * 22 mm</note>) / 2 = <note>132 mm²</note>。


Question: 求该三角形的面积。结果保留到小数点后两位。

Answer: 7.51

1. ##设三角形的三个顶点分别为A、B、C，其中∠ACB是直角，根据直角三角形的定义，△ABC为直角三角形。且∠ABC等于59°。边AC的长度为5英寸。

2. 在直角三角形中，利用正弦函数定义：sin(∠ABC) = 对边 / 斜边。其中∠ABC = 59°，边AC为对边，边AB为斜边。因此，sin(59°) = AC / AB。

3. 计算sin(59°)，得sin(59°) ≈ 0.8572。因此，0.8572 = 5 / AB，解出AB = 5 / 0.8572 ≈ ##5.83##。

4. 在直角三角形中，利用余弦函数定义：cos(∠ABC) = 邻边 / 斜边。其中∠ABC = 59°，边BC为邻边，边AB为斜边。因此，cos(59°) = BC / AB。

5. 计算cos(59°)，得cos(59°) ≈ 0.5150。因此，##0.5150 = BC / 5.83##，解出##BC = 0.5150 * 5.83 ≈ 3.00245##。

6. 计算三角形面积。直角三角形ABC的面积公式为：##面积 = 1/2 * 底 * 高。这里，底为BC（约3.00245），高为AC（5）##。

7. 代入计算面积公式，##得面积 = 1/2 * 3.00245 * 5 ≈ 7.506##。

8. 将结果保留两位小数，最终面积为7.51。

直角三角形; 普通三角形; 正弦; 余弦

正弦函数定义

在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。

余弦函数

余弦函数是一个三角函数，它可以通过直角三角形中的边来定义，对于一个角α，它的余弦值等于角α的邻边与斜边的比值。在单位圆中，余弦值是指从圆心到圆上与x轴夹角为α的点的横坐标。

<note>直角三角形ABC</note>中，边<note>BC是角∠ABC的邻边</note>，边<note>AB是斜边</note>。因此，根据余弦函数的定义，<note>角∠ABC的余弦值等于邻边BC与斜边AB的比值</note>，即<note>cos(∠ABC) = BC / AB</note>。

直角三角形的面积

直角三角形的面积等于两条直角边乘积的一半，即面积 = 1/2 * 底 * 高。

在本题图中，直角三角形ABC中，<note>角ACB是直角（90度）</note>，边AC和边BC是直角边，<note>其中一条直角边AC作为高，另一条直角边BC作为底</note>，所以直角三角形的面积等于这两条直角边乘积的一半，即面积 = 1/2 * 边AC * 边BC。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

在本题图中，三角形ABC中，<note>角ACB是直角（90度）</note>，因此三角形ABC是一个直角三角形。<note>边AC和边BC是直角边</note>，<note>边AB是斜边</note>。


Question: 求图形的面积。结果四舍五入到十分位。

Answer: 28.3

1. 已知条件为圆的半径为3英寸，根据##圆的面积公式##，圆的面积可以用公式A = πr^2计算。

2. 代入已知半径r = 3英寸，得到面积A = π * (3)^2。

3. 计算得A = 9π平方英寸。

4. 使用π ≈ 3.141592653，得出A ≈ 9 * 3.141592653。

5. 计算得到A ≈ 28.274333877。

6. 将结果四舍五入到小数点后一位得A ≈ 28.3。

7. 经过上述推理，最终得出答案为28.3。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段##。##

在本题图中，圆中，<note>圆心为黑点</note>，<note>圆上的任意一点为圆周上的任意一点</note>，<note>线段从圆心到圆周上任意一点的线段为3英寸</note>，因此<note>线段为圆的半径</note>。以符号表示，<note>半径为r = 3英寸</note>。

圆的面积公式

圆的面积公式为A = πr^2，其中A表示面积，π是圆周率，r是圆的半径。

<note>圆的半径是3英寸</note>，根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以<note>半径3的平方</note>，即<note>A = π * 3^2</note>。

圆的定义

到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。

<note>圆中，黑点是圆心</note>，<note>半径为3英寸</note>。图中所有到黑点的距离等于<note>3英寸的点都在圆上</note>。


Question: 在 \\odot P 中，半径是2英寸，求 \\widehat R S 的长度。四舍五入到小数点后两位。

Answer: 4.54

1. 已知条件为圆P的半径为2英寸，角RPS为130°。

2. ##由图已知弧RS对应圆心角图形区域内的角度为130°。根据扇形的弧长公式##，弧RS的长度公式为：弧长 = 半径 × 圆心角弧度数。

3. 因此需要将角度130°转换为弧度。##根据角度与弧度的换算公式，采用公式：弧度 = 角度 ×（π/180）。计算得弧度= 130 ×（π/180） = (13/18) π##。

4. 使用上述公式计算弧RS的长度，弧RS = 半径 × 圆心角弧度数 = 2 × (13/18) π。

5. 计算此表达式，具体为：2 × (13/18) π = (26/18) π = (13/9) π。##π约为为3.14159##。

6. ##(13/9) × 3.14159##计算结果为约4.5378。

7. 四舍五入到##小数点后两位##得出弧RS的长度为4.54英寸。

8. 最终得出答案为4.54英寸。

弧的定义

弧是圆上两点之间的一段曲线。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

角度与弧度的换算公式

弧度=角度*（π/180），角度=弧度*（180/π）。

在本题图中，圆P的扇形<note>RPS</note>中，扇形<note>RPS的角度是 130°</note>，根据角度与弧度的换算公式，换算为弧度=角度*（π/180），即 <note>130°*（π/180）</note>。

扇形的弧长公式

扇形的弧长L等于圆心角θ（以弧度制表示）乘以半径r：L = θr。

<note>弧RS</note>的长度计算公式为：<note>弧RS = 半径 × 圆心角弧度数 = 2 × {130 × (π / 180)}</note>。


Answer: 35°

1. 已知OA垂直于BC，##根据垂径定理，弧CA=弧AB，所以弧CA所对应的圆周角等于弧AB对应的圆周角##。

2. ##根据圆周角定理，以及第一步结论可知∠AOB=2∠ADC##。

####

##3##. 因为∠AOB=70°，所以∠ADC=∠AOB/2=35°。

圆; 垂线; 圆心角; 圆周角; 圆内接四边形

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

<note>圆O中，角ADC的顶点D在圆周上</note>，<note>角ADC的两边分别与圆O相交于点A和点C</note>。因此，<note>角ADC是一个圆周角</note>。

垂径定理

如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。

在本题图中，圆O中，<note>直径OA垂直于弦BC</note>，那么根据垂径定理，<note>半径OA平分弦BC</note>，并且<note>半径OA平分弦BC所对的两条弧</note>，即<note>弧CA=弧AB</note>，所以<note>弧CA所对应的圆周角等于弧AB对应的圆周角</note>。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

在本题图中，<note>∠ADC是弧AC所对的圆周角</note>，<note>∠AOB是弧AB所对的圆心角</note>，因为<note>弧CA=弧AB</note>。因此，根据圆周角定理，<note>∠ADC=∠AOB / 2=70° / 2=35°</note>。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。


Question: 求 y。

Answer: 4 \sqrt { 2 }

1. 在ΔABC 中，角ACB是90度已知，AC = z，##AB## = 12，##CB## = x##，设线段y与AB的交点为P，由图示可知，∠CPA=90°##。

2. ##因为在直角三角形ACB中，∠ACB=90°，且∠A是ΔACP与ΔACB的公共角，因此根据相似三角形的判定定理(AA)，ΔACP与ΔACB相似##。

3. ##根据相似三角形的定义，可得##AP / AC = AC / AB，可以求出##AC##的长度。##已知AP=AB-PB=12-8=4，代入已知条件得4/AC=AC/12，因此AC=4 √3。##

4. 然后，##根据勾股定理，AC^2 = AP^2 + CP^2 ，得(4 √3)^2=4^2+CP^2##。

5. 解上式得到##CP=y= 4 √2##。

####

##6##. 最终通过上面步骤，确定y = 4 √2。

直角三角形; 中点; 内错角

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>在本题图中，三角形ACB和三角形ACP是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>∠ABC = ∠ACP</note>, <note>∠BAC = ∠CAP</note>, <note>∠BCA = ∠CPA</note>；<note>AP/AC = AC/AB</note>。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>直角三角形ACP</note>中，<note>角APC是直角（90度）</note>，<note>边AP和边PC是直角边</note>，<note>边AC是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>AC^2 = AP^2 + CP^2</note>。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>在本题图中，三角形ACB中，角ACB是直角（90度）</note>，因此三角形ACB是一个直角三角形。边AC和边CB是直角边，边AB是斜边。同理，<note>三角形ACP中，角APC是直角（90度）</note>，因此三角形ACP是一个直角三角形。边AP和边PC是直角边，边AC是斜边。

相似三角形的判定定理(AA)

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。


Question: 在图形中找到变量x的值。

Answer: 125

1. ##已知条件为两条平行线被一条直线截交于两点，截线上形成的夹角为55°，设x°所在角为∠X，y°所在角为∠Y，根据内错角的定义，∠X与∠Y为内错角。##

2. ##根据平行线的平行公理2可得，内错角相等，因此∠X = ∠Y 。##

3. ##根据邻补角的定义，∠X和∠55°互为邻补角，再根据平角的定义得出，∠X+55°=180°。##

####

##4. 计算得到∠X = 125°。##

####

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为x = 125°。

内错角的定义

当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。

<note>在本题图中，两条平行直线被一条直线截交</note>，其中<note>∠X和∠Y位于两平行线之间，且在截线的对侧</note>，因此<note>∠X和∠Y是内错角</note>。##

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>两条平行线被第三条直线所截，形成了内错角：∠X和∠Y相等</note>。这些关系说明了在<note>两条平行线被第三条直线所截</note>时，<note>同位角相等，内错角相等，同旁内角互补</note>。

邻补角的定义

在本题图中，<note>∠X和∠55°有一条公共边</note>，<note>它们的另一边互为反向延长线</note>，所以<note>∠X和∠55°互为邻补角</note>。

平角的定义

<note>射线绕着端点X旋转到与起始边成一条直线</note>，形成平角。平角的度数为180度，即<note>∠X+55°=180°</note>。


Question: 求 \\widehat J K 的长度。四舍五入到百分位。

Answer: 13.74

1. 已知条件为圆的直径为15 cm，#### \angle JCK = 105°，并且 \angle JCK 是圆心角。由此得出##弧JK##为该圆心角所对的弧。

2. 依据圆的直径为15 cm，可以得到圆的半径 r 为直径的一半，即 r = 15 / 2 = 7.5 cm。

3. 根据##扇形的##弧长公式：弧长 l = r \theta，其中 \theta 是弧的圆心角的弧度制表示。需要将 \angle JCK = 105° 转化为弧度，##根据角度与弧度的换算公式：弧度=角度*（π/180），即\theta = 105° *  π/180##。

4. 计算 \theta = \theta = ##105° *  π/180 = 7π/12##。

5. 根据##扇形的弧长公式计算弧JK的长度：l = 7.5 * 7π/12##。

6. 理论计算得出##l = 7.5 * 7π/12=4.375π##。

7. 计算上述表达式，得出近似值## l =13.74406##。

8. 进行四舍五入处理，得到的最终答案为## l =13.74cm##。

圆的定义

到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。

在本题图中，<note>圆中，点C是圆心</note>，<note>半径为7.5 cm</note>。图中<note>所有到点C的距离等于7.5 cm的点都在圆上</note>。

弧的定义

弧是圆上两点之间的一段曲线。

在本题图中，圆上有两点J和K，<note>弧JK</note>是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，<note>弧JK</note>是圆上两点J和K之间的一段曲线。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

在本题图中，圆中，<note>点J和点K是圆上的两点</note>，<note>圆心是点C</note>。<note>连线CJ和CK组成的角∠JCK称为圆心角</note>。

扇形的弧长公式

扇形的弧长L等于圆心角θ（以弧度制表示）乘以半径r：L = θr。

在本题图中，已知<note>圆的半径为7.5 cm</note>，<note>\angle JCK = 105°</note>。我们需要将角度转换为弧度来使用弧长公式。<note>弧长JK的计算公式为: l = 7.5 * （7π/12）</note>。

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

<note>AJ是直径</note>，连接了<note>圆心C</note>和圆周上的<note>A、J两点</note>，长度为2倍的半径，即<note>AJ = 15 cm</note>。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段。

<note>圆C中，点C是圆心</note>，<note>点J是圆上的任意一点</note>，<note>线段CJ是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段CJ是圆的半径</note>。####

角度与弧度的换算公式

弧度=角度*（π/180），角度=弧度*（180/π）。

<note>圆C</note>中，<note>∠JCK的角度是105°</note>，根据角度与弧度的换算公式，换算为弧度=角度*（π/180），即<note>105*（π/180）</note>。


Question: 在 \\odot O 中，E C 和 A B 是直径，且 \\angle B O D \\cong \\angle D O E \\cong \\angle E O F \\cong \\angle F O A。求 m \\widehat A C。

Answer: 90

1. ##图中在半径AO与半径CO的交点处画一个直角标记，表示这两条线互相垂直，所以∠AOC为直角，即∠AOC=90°##。

2. ##圆心角的性质，因为O为圆心，所以∠AOC为圆心角。又因为圆心角的度数等于它所对的圆弧的度数，∠AOC所对圆弧为弧AC，所以弧AC=90°##。

####

##3##. 经过上述推理，最终得出答案为 AC 的弧度数为90°。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

<note>圆O中，点A和点C是圆上的两点，圆心是点O</note>。<note>连线AO和CO组成的角∠AOC称为圆心角</note>。

圆心角的性质

圆心角的度数等于它所对的圆弧的度数。

<note>在本题图中</note>，已知<note>圆心角∠AOC所对的圆弧为弧AC</note>。根据圆心角的性质，<note>圆心角∠AOC的度数与所对弧AC的度数相等</note>，即<note>∠AOC的度数 = 弧AC的度数</note>。


Question: 使用计算器求 \\angle J 的度数，精确到最接近的度数。

Answer: 40

1. ##已知∠JLK=90°，根据直角三角形的定义，三角形JLK为直角三角形，并且 \overline{JK} = 14 和 \overline{KL} = 9。要求计算 \angle J 的度数。

2. 根据勾股定理，在Rt三角形中，直角两边的平方和等于斜边的平方，即 \overline{JL}^2 + \overline{KL}^2 = \overline{JK}^2。在此题中，我们需要寻找 \overline{JL}。

3. 将已知边代入勾股定理： \overline{JL}^2 + 9^2 = 14^2，即 \overline{JL}^2 + 81 = 196。

4. 解上述等式得：\overline{JL}^2 = 196 - 81 = 115。因此 \overline{JL} = \sqrt{115}。

5. 为解出 \angle J，可以使用正弦函数的定义，即在Rt三角形中，sin(\angle J) = \frac{对边}{斜边} = \frac{KL}{JK} = \frac{9}{14}。

6. 利用计算器求得 \angle J 的值为 sin^{-1}(\frac{9}{14})，从而得出 \angle J \approx 39.77^\circ。

7. 将 \angle J 四舍五入至最接近的整数度数，得到其为 40 度。

8. 经过上述推理，最终得出答案为 40 度。

直角三角形; 正弦; 余弦; 正切

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

在本题图中，三角形JKL中，<note>角JLK是直角（90度）</note>，因此三角形JKL是一个直角三角形。<note>边JL和边KL是直角边</note>，<note>边JK是斜边</note>。

正弦函数定义

在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

在本题图中，<note>三角形JKL是由三个非共线点J、K、L</note>及其<note>连接线段JL、LK、JK</note>组成的几何图形。<note>点J、K、L分别是三角形的三个顶点</note>，<note>线段JL、LK、JK分别是三角形的三条边</note>。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>直角三角形JKL中</note>，<note>角L是直角（90度）</note>，<note>边JL和KL是直角边</note>，<note>边JK是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>JK^2 = JL^2 + KL^2</note>。


Question: 求该三角形的面积。

Answer: 285

1. ##由图示可知所求面积的三角形为钝角三角形，图中沿19英寸长的短边向右做虚线辅助线，以41英寸长的斜边的顶点向上虚线辅助线，且与三角形短边的虚线辅助线垂直。其中一条虚线边长度为27英寸，另一条虚线边长度为30英寸##。

####

##2. 根据三角形的面积公式，面积 = 1/2 * 底边 * 高。而图中钝角三角形的底为19英寸长的短边，高为30英寸长的虚线辅助线##。带入实际数值，我们计算得：面积 = 1/2 * 19英寸 * 30英寸。

##3##. 经过计算得出面积值为: 1/2 * 570平方英寸 = 285平方英寸。

##4##. 综合以上计算与已知条件，最终确认三角形的面积为285平方英寸。

直角三角形; 普通三角形; 线段

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

<note>在本题图中，设三角形为三角形ABC</note>，三角形ABC是由三个非共线点<note>A、B、C</note>及其连接线段<note>AC、AB、BC</note>组成的几何图形。点<note>A、B、C分别是三角形的三个顶点</note>，线段<note>AC、AB、BC分别是三角形的三条边</note>。##

三角形的面积公式

任意三角形的面积等于其底乘以高除以2

<note>三角形的底边为19英寸</note>，<note>高为30英寸</note>。根据三角形的面积公式，三角形的面积等于底边乘以高再除以2，即面积 = (<note>19英寸</note> * <note>30英寸</note>) / 2。######

高的定义

从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。

<note>在本题图中</note>，从<note>三角表下方的顶点</note>垂直于对边<note>19的延长线的线段30</note>是该顶点的<note>高</note>。<note>线段30与边19的延长线形成一个直角（90度）</note>，这说明<note>线段30是从下方的顶点到对边19的延长线的垂直距离</note>。##


Question: 在图中，m \angle 3 = 110 和 m \angle 12 = 55。求 \angle 1 的度数。

Answer: 110

1. 已知##∠ 3 ##的度数为 110°。

2. ##根据同位角定义，两条平行线被第三条直线所截，∠1和∠3在截线的同旁，且在被截两直线同一侧，所以∠1和∠3为同位角。##

3. ##根据平行线的平行公理2可知，如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，则∠1=∠3=110°。##

####

##4.根据以上推断可知，∠1=110°。##

内错角; 同位角; 平行线

同位角定义

##两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角##。

<note>∠1和∠3位于截线的同旁，被截两直线的同一侧</note>，因此<note>∠1和∠3是同位角</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>在本题图中，两条平行线被第三条直线所截，形成了同位角：∠1和∠3相等。</note>


Question: 求 x。

Answer: 6

1. ##圆内有两条弦相交，设其中一条弦为AB，另一条弦为CD，弦AB和弦CD交于点P##，PA = x，PB = x，PC = 4，PD = 9。

2. 根据圆的相交弦定理，如果两条弦在圆内相交，则彼此的分段的乘积相等，具体指的是 PA * PB = PC * PD。

3. 在本题中，我们将已知条件代入相交弦定理公式: PA = x，PB = x，PC = 4，PD = 9，得到 x * x = 4 * 9。

4. 计算方程4 * 9，得到等式的右边为36，因此等式成为 x^2 = 36。

5. 解方程 x^2 = 36，得到 x = √36 或 x = -√36。

6. 因为 x 代表长度，负值没有物理意义，所以 x = √36 = 6。

7. 经过上述推理，最终得出答案为 6。

弦的定义

弦是连接圆上任意两点的线段。

<note>点A和点B是圆上的任意两点</note>，<note>线段AB连接了这两个点</note>，所以<note>线段AB是圆的弦</note>。同理，<note>点C和点D是圆上的任意两点</note>，<note>线段CD连接了这两个点</note>，所以<note>线段CD是圆的弦</note>。

相交弦定理

若两条弦AB和CD相交于点E，则有AE * EB = CE * ED。


Question: 如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB交BC于D,DE⊥AB于E,若AB=6cm,则△DBE的周长是()

Answer: 6cm

1. 已知△ABC中，∠ACB=90°。##又因为DE⊥AB，所以∠AED为直角，即∠AED=90°##。

2. 由于##AD平分∠CAB，所以∠CAD=∠EAD##。

3. ##根据全等三角形判定定理(AAS)，因为∠ACB=90°=∠AED，∠CAD=∠EAD，AD=AD，所以△ACD≌△AED##。

####

##4. 因为##△ACD≌△AED，得出AC=AE，##CD=ED##。

##5##. 由于AC=BC，由以上结论可以得出BC=AE。

##6##. 由图得出，△DBE的周长为DE+BD+EB。

##7##. 由于DE=CD，且DE+CD=BC，而BC即为AE，并且加上EB得出△DBE的周长为AE+EB。

##8##. 由此可以得到ΔDBE的周长为AB=6cm。

##9##. 经过上述推理，最终得出答案为6cm。

直角三角形; 等腰三角形; 垂线; 垂直平分线; 线段

角平分线定义

角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。

全等三角形判定定理(AAS)

两个三角形的两角及一角的对边对应相等，则两个三角形全等。

在本题图中，三角形<note>ADC</note>和三角形<note>ADE</note>中，<note>∠CAD等于∠EAD，角ACD等于角AED，且边AD等于AD</note>。由于这两个三角形的两角及一角的对边对应相等，根据全等三角形判定定理的角角边准则<note>AAS</note>，可以得出<note>三角形ADC全等于三角形ADE</note>。####

全等三角形的定义

两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等。

在本题图中，<note>三角形ACD和三角形ADE是全等三角形</note>，<note>三角形ACD的对应边和对应角与三角形ADE相等</note>，即：
    <note>边AC = 边AE</note>
    <note>边AD = 边AD</note>
    <note>边CD = 边ED</note>，
    同时，对应的角也相等：
    <note>角CAD = 角EAD</note>
    <note>角DAC = 角EAC</note>
    <note>角ADC = 角ADE</note>.##


Question: 如果 C E = t - 2，E B = t + 1，C D = 2，且 C A = 10，求 C E。

Answer: 1

1. ##题目给出的已知条件为 C E = t - 2, E B = t + 1, C D = 2, C A = 10，CB=CE+EB=(t - 2)+(t + 1)=2t - 1。##

2. ##已知图中，AB∥DE，根据同位角定义，∠A与∠EDC为同位角，∠B与∠DEC为同位角；根据平行线的平行公理2可得，∠A=∠EDC，∠B=∠DEC。根据相似三角形的判定定理(AA)可得，三角形CDE和三角形CAB相似。##

3. ##根据相似图形的定义可得，CD:CA=CE:CB，代入已知条件，有2:10=( t - 2):(2t - 1)。##

4. ##解方程得10*( t - 2)=2*(2t - 1)##

5. ##解得t=3##

6. ##代入 C E = t - 2，得CE=1##

####

##7. 通过以上步骤，得出CE=1。##

同位角定义

两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。

<note>两条平行直线AB和DE</note>被一条<note>直线AC</note>截交，其中<note>∠A与∠EDC位于截线AC的同旁，被截两直线AB和DE的同一侧，因此∠A与∠EDC是同位角</note>。同位角相等，即<note>∠A=∠EDC</note>；在本题图中，两条平行直线AB和DE被一条<note>直线CB</note>截交，其中<note>∠B与∠DEC位于截线CB的同旁，被截两直线AB和DE的同一侧，因此∠B与∠DEC是同位角</note>。同位角相等，<note>∠B=∠DEC</note>。####

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>两条平行线AB和DE</note>被<note>第三条直线AC所截</note>，形成了以下几何关系：<note>同位角：∠A和∠EDC相等</note>；在本题图中，<note>两条平行线AB和DE</note>被<note>第三条直线CB所截</note>，形成了以下几何关系：<note>同位角：∠B和∠DEC相等</note>。

相似三角形的判定定理(AA)

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。

相似图形的定义

如果两图形相似，那么它们对应边的比相等，对应角相等。

在本题图中，<note>图形CDE和图形CAB是相似图形</note>。根据相似图形的定义，它们对应边的比相等，即<note>边CD与边CA的比等于边CE与边CD的比，且等于边DE与边AB的比</note>。


Question: 求 x。

Answer: 30

1. 已知ΔABC中，∠CAB=2x°, ∠CBA=2x°，##边AB=边AC，因此三角形为等腰三角形##。

2. ##根据等腰三角形的性质，得∠ACB=∠CBA=2x°。##

3. 根据##三角形的内角和定理，∠CAB+∠CBA+∠ACB=180°，解方程得到6x=180，因此x=30。##

####

##4##. 最终，经过上述推理，可以得出答案为：##x = 30##。

等腰三角形; 三角形的外角

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形ABC</note>中，<note>角CAB</note>、<note>角CBA</note>和<note>角BCA</note>是<note>三角形ABC的三个内角</note>，根据<note>三角形内角和定理</note>，<note>角CAB + 角CBA + 角BCA = 180°</note>。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。


Question: 如图,小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A到水平地面BD的距离),在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE(DE=BC=0.6米,求A、B、C三点共线),把一面镜子水平放置在平台上的点G处,测得CG=12米,然后沿直线CG后退到点E处,这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A,测得GE=2米,小明身高EF=1.6米,则凉亭的高度AB约为()

Answer: 10.2米

1. 已知∠AGC和∠FGE是镜面成像所对应的相等角，由题意得出∠AGC=∠FGE。

2. 根据已知条件，∠ACG和∠FEG均为直角，即∠ACG=∠FEG=90°。

3. ##根据相似三角形的判定定理(AA)##，可以得出△ACG和△FEG是相似三角形。

4. 根据##相似三角形的定义##，我们有AC:EF=CG:GE。

5. 将已知数值代入相似三角形的比例关系，得比例式AC:1.6=12:2。

6. 解比例式得出AC=9.6米。

7. 根据已知条件BC=0.6米，而AB=AC+BC。

8. 所以AB=9.6+0.6=10.2米。

9. 经过上述推理，最终得出答案为10.2米。

直角三角形; 反射; 对称

##相似三角形的判定定理(AA)##

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>△ACG和△FEG是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>∠ACG = ∠FEG</note>, <note>∠CAG = ∠EFG</note>, <note>∠CGA = ∠FGE</note>；<note>AC/EF = CG/GE = AG/FG</note>。


Question: 求这个平行四边形的周长。如有必要，四舍五入到最接近的十分位。

Answer: 76

1. 已知平行四边形的对边相等，其一对边长为20英尺和18英尺。

2. 因此，平行四边形的另一对对边也分别为20英尺和18英尺。

3. 根据##平行四边形的周长##，周长公式为：2×(长边 + 短边)。

4. 将长边和短边带入公式：周长 = 2 × (20 + 18) 英尺。

5. 计算得出：周长 = 2 × 38 英尺。

6. 即，周长 = 76 英尺。

7. 因此，最终得出平行四边形的周长为76英尺。

平行四边形的定义

平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。

<note>在本题图中，四边形的两组对边分别是20英尺与20英尺平行且相等</note>，以及<note>18英尺与18英尺平行且相等。</note>

平行四边形的周长

平行四边形的周长等于其两组邻边的两倍之和。公式为：P = 2(a + b)，其中a和b为平行四边形的两条邻边。

在本题图中，平行四边形的<note>两组邻边分别为20英尺和18英尺</note>。根据平行四边形的周长公式，平行四边形的周长等于其两组邻边的两倍之和，即<note>周长P = 2(a + b) = 2(20 + 18) = 76英尺</note>。


Question: 直线a、b、c、d的位置如图,如果∠1=100°,∠2=100°,∠3=125°,那么∠4等于()

Answer: 55°

1. ##设∠1的对顶角为∠5，∠2的互补角为∠6，∠3的对顶角∠7，四条直线相交构成的四边形为四边形ABCD##。设已知∠1=100°, ∠2=100°, 根据##对顶角的定义##，得到∠1##=∠5=100°，∠3=∠7=125°##。

2. ##根据平角的定义，设直线b的两端分别为点E、F。因为∠2和∠6构成平角EDF，所以∠2和∠6互补，即∠2+∠6=180°。已知∠2=100°，所以∠6=180°-∠2=180°-100°=80°##。

3. ##根据四边形的内角和定理，在任意四边形中，四个内角的和为360°。所以∠5+∠6+∠7+∠4=360°。已知∠5=100°，∠7=125°，∠6=80°，所以∠4=360°-∠5-∠6-∠7=360°-100°-125°-80°=55°##。

####

##4. ##根据以上推理，得出答案∠4=55°。

同旁内角; 平行线; 内错角; 对顶角

对顶角的定义

对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。

平角的定义

一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度。

<note>在本题图中，射线FD绕着端点D旋转到与起始边成一条直线，形成平角EDF</note>。根据平角的定义，<note>平角的度数为180度</note>，即<note>角EDF=180度</note>。

四边形的内角和定理

在任意四边形中，四个内角的和为360°

在本题图中，<note>四边形ABCD中，角5、角6、角7和角4是四边形的四个内角</note>，根据四边形的内角和定理，这四个内角的和为360°，即<note>角5 + 角6 + 角7 + 角4 = 360°</note>。##


Question: 求 x。

Answer: 3 \sqrt { 35 }

1. ##设三角形为ABC，根据直角三角形的定义，得ΔABC是一个直角三角形，其中∠BAC是一个直角，BC是斜边，AB和AC分别是直角边##。

2. ####设AB = x, AC = 13, BC = 22。

3. 根据##勾股定理（毕达哥拉斯定理）##，得：AB^2 + AC^2 = BC^2，即x^2 + 13^2 = 22^2。

4. 计算AC^2 和 BC^2得到：13^2 = 169, 22^2 = 484。

5. 将####数据代入等式得到：x^2 + 169 = 484。

6. 解这个方程：x^2 = 484 - 169，得到x^2 = 315。

7. 求解x得到x = √315。

8. 简化√315，得到x = √(9*35) = 3√35。

9. 经过上述推理，最终得出答案为3√35。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

在本题图中，三角形ABC中，<note>角A是直角（90度）</note>，因此三角形ABC是一个直角三角形。<note>边AB和边AC是直角边</note>，<note>边BC是斜边</note>。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>∠BAC是直角（90度），边AB和边AC是直角边，边BC是斜边</note>，所以根据勾股定理，BC^2=AB^2 + AC^2 。


Question: 如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,tanA=\frac{1}{2},则BC的长是()

Answer: 2

1. 已知Rt△ABC中，∠C=90°，根据##正切函数的##定义，##直角三角形中一个锐角的正切值等于相对直角边长度除以相邻直角边长度##。

2. 根据题意，##tanA=1/2##，用三个字母表示角，得tan∠BAC=##BC/AC##。

3. 已知AC=4，根据上述公式代入，##1/2=BC/AC##。

4. 解方程，得##1/2=BC/4，则##BC=2。

##5. ##经过上述推理，最终得出答案为BC的长度是2。

直角三角形; 正切; 线段

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>三角形ABC中，角ACB是直角（90度）</note>，因此三角形ABC是一个直角三角形。<note>边AC和边BC是直角边，边AB是斜边</note>。

正切函数的定义

在直角三角形中，一个锐角的正切值等于相对直角边长度除以相邻直角边长度。

在本题中，<note>tan∠BAC</note> = <note>BC / AC</note>。根据题意，<note>tan∠BAC = 1/2</note>，表示<note>BC和AC的比值是1:2</note>。


Question: 已知平行四边形的面积为2000平方单位，求其高。

Answer: 40

平行四边形; 平行线; 垂线

平行四边形的面积公式

一个平行四边形的面积等于它的底边长乘以对应的高，即A = 底边长 × 高

<note>边x+10是底边</note>，对应的高是从<note>底边x+10到对边的垂直距离</note>，记为<note>x</note>。因此，根据平行四边形的面积公式，平行四边形的面积等于底边长<note>x+10</note>乘以对应的高<note>x</note>，即<note>A = x(x+10)</note> = 2000。##

高的定义

从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。

<note>从平行四边形左上方的顶点垂直于底边的线段x</note>是该顶点的高。<note>线段x与底边形成一个直角（90度）</note>，这说明<note>线段x是从平行四边形左上方的顶点到底边的垂直距离</note>。


Answer: 65°

1. 已知AB∥CD，##∠BAE 和∠AFD互为同旁内角，根据平行线的平行公理2##，可以得出∠BAE + ∠AFD = 180°。

2. 由题意可知∠1=115°，即∠BAE=115°，所以根据上一步的推理，∠AFD = 65°。

3. 由于∠2和∠AFD是对顶角，根据##对顶角的定义##，我们可以得出∠2 = ∠AFD。

4. 因此，根据前述推理可得∠2 = 65°。

对顶角的定义

对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。

在本题图中，F点是直线CD和射线AE相交的点，形成四个角：∠AFD、∠CFE、<note>∠AFC</note>和∠EFD。根据对顶角的定义，∠AFD和∠CFE是对顶角，<note>∠AFC</note>和∠EFD是对顶角。由于对顶角的角度相等，所以∠AFD = ∠CFE，<note>∠AFC</note> = ∠EFD。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>AB∥CD</note>，并且有横截线<note>AE</note>，所以根据平行线的同旁内角互补定理，<note>∠BAE + ∠AFD = 180°</note>。######

同旁内角的定义

两条直线被第三条直线所截，在截线同侧，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角。若两直线平行，则同旁内角互补。若同旁内角互补，则两直线平行


Question: 图中显示了Elm、Plum和Oak街道的布局。求x的值。

Answer: 125

1. ##图中在两条线上各画一个箭头的标注表示这两条线平行，即Elm∥Plum，且直线Elm和直线Plum被第三条线Oak所截##。

2. ##根据平行线的平行公理2，同旁内角互补。由图可知，55°角和x°角互为同旁内角，所以55°角和x°角互补，即55°+x°=180°##。

3. ##解得x°=180°-55°=125°，所以x=125##。

####

##4##. 经过上述推理，最终得出x = ##125##。

同位角; 平行线; 内错角

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

在本题图中，<note>Elm和Plum为平行线</note>，被<note>Oak街</note>所截，形成了以下几何关系：同旁内角：<note>Elm街与Oak街相交形成的55°角和Plum街与Oak相交形成的同旁内角互补</note>，即<note>55° + x° = 180°</note>。

同旁内角的定义

<note>两条直线Elm和Plum被第三条直线Oak所截</note>，<note>两角55°和x°在截线Oak同侧，且在被截线Elm和Plum之内</note>，所以<note>角55°和x°是同旁内角</note>。<note>同旁内角角55°和x°互补，即55° + x° = 180°</note>。######


Question: 如图,AB//CD,EF分别为交AB,CD于点E,F,∠1=50°,则∠2的度数为()

Answer: 130°

1. 已知AB平行于CD，且##∠1##=50°。

2. ##根据对顶角的定义，∠CFE=∠1=50°。##

3. 由于 ∠2 和 ##∠CFE## 为同旁内角，根据##平行线的平行公理2，同旁内角互补，可知##两者和为180°，即∠2 + ##∠CFE##= 180°。

4. 代入已知## ∠CFE## = 50°，得 ∠2 + 50° = 180°。

5. 通过计算，得到 ∠2 = 180° - 50° = 130°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为130°。

平行线的定义

在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

在本题图中，<note>直线AB和直线CD位于同一平面内</note>，并且<note>它们没有交点</note>，因此根据平行线的定义，<note>直线AB和直线CD是平行线</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>AB平行于CD，被直线EF所截</note>。##<note>∠CFE和∠2是同旁内角</note>，根据同旁内角互补定理，<note>∠CFE + ∠AEF = 180°</note>。已知<note>∠CFE = 50°</note>，所以<note>∠AEF = 180° - 50° = 130°</note>。##

对顶角的定义

对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。

<note>两条相交直线CD和EF相交于点F</note>，根据对顶角的定义，<note>角1和角CFE是对顶角</note>。由于对顶角的角度相等，所以<note>角1=角CFE</note>。


Question: 如图,CD是⊙O的弦,O是圆心,把⊙O的劣弧沿着CD对折,A是对折后劣弧上的一点,∠CAD=110°,则∠B的度数是()

Answer: 70°

1. 已知CD是⊙O的弦，####∠CAD=110°。

2. ##设点A关于CD的对称点为A'，因为把⊙O的劣弧沿着CD对折，A是对折后劣弧上的一点,，所以点A'在圆O上##。

3. 辅助线：连结A'和C，连结A'和D。

4. ##根据对称性可得，△A'CD和△ACD是对称图形，故∠CA'D =∠CAD =  110°##。

5. ##因为点A' 、B、C、D都在圆O上，根据内接四边形##可得四边形A'CBD是⊙O的内接四边形。

6. 根据##(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理，得∠CBD + ∠CA'D = 180°。

7. ##因为∠CA'D=110°##，得##∠CBD ##= 180° - 110° = 70°。

8. 经过上述推理，最终得出##∠CBD即∠B##的度数为70°。

圆; 弦; 圆周角; 对称; 反射

对称性

对称性指的是一个几何图形或模式在某些操作（如旋转、反射或平移）下保持不变。

<note>设点A关于CD的对称点为A'</note>，△ACD关于<note>点CD</note>对称，那么<note>CD就是△ACD的对称中心</note>。△ACD的每一部分在对称中心的另一侧都有一个对称的对应部分。所以<note>∠CA'D =∠CAD = 110°</note>。

(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理

在一个圆内接四边形中，每一对对角的和等于180°。并且任何一个外角都等于他的内对角。

在本题图中，<note>四边形A'CBD</note>是<note>圆O的内接四边形</note>，根据<note>圆内接四边形对角互补定理</note>，<note>四边形A'CBD</note>的每一对对角的和等于180°。具体来说，<note>∠CBD + ∠CA'D = 180°</note>。<note>内接四边形</note>是指一个四边形的全部四个顶点都在同一个圆上。这个圆称为四边形的<note>外接圆</note>。在本题图中，<note>四边形A'CBD的四个顶点A' 、B、C、D都在同一个圆上</note>。这个圆称为四边形<note>A'CBD的外接圆</note>。因此，<note>四边形A'CBD是一个内接四边形</note>。


Question: 求图形中变量x的值。

Answer: 54

1. ##设图中四边形为四边形ABCD（从左上角顺时针方向），边DC向点C方向的延长线为CE。由图中在AB和CD两条线上各画一个箭头，表示这两条线平行##。

2. ##根据平行线的平行公理2和内错角的定义，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角，并且内错角度数相等。所以（2x）°=108°##。

####

##3##. 解方程2x = 108，得x = 108/2 = 54。

##4##. 经过上述推理，最终得出答案为x = 54。

平行四边形; 内错角; 同旁内角

四边形定义

四边形是由四条线段组成的封闭图形，这些线段称为四边形的边。四边形有四个顶点和四个内角。

<note>四边形ABCD由四条线段AB, BC, CD和DA组成</note>，这些线段称为四边形的边。四边形ABCD有四个顶点，分别<note>是点A, 点B, 点C和点D</note>，并且有四个内角，分别<note>是角A, 角B, 角C和角D</note>。####

平行线的定义

在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

<note>直线AB和直线CD</note>位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，<note>直线AB和直线CD是平行线</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

在本题图中，设图中四边形为四边形ABCD，边DC向点C方向的延长线为CE。<note>两条平行线AB和CD被第三条直线BC所截</note>，形成了以下几何关系：

1. 同位角：无。
2. 内错角：<note>角ABC和角BCE相等</note>。
3. 同旁内角：无。

这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，<note>内错角相等</note>。


Question: 如图,AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,且点C是弧BD的中点,过点C作AD的垂线EF交直线AD于点E,若⊙O的半径为2.5,AC长为4,则CE的长度为()

Answer: \frac{12}{5}

1. 已知AB是⊙O的直径，AC长为4，⊙O的半径为2.5，连接BC。

2. ##根据(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角，∠ACB=90°##。

3. ##根据直角三角形的定义，∠ACB=90°，所以△ABC为直角三角形##。

4. ##已知圆的半径为2.5，所以圆的直径AB=5，AC=4，根据勾股定理（毕达哥拉斯定理），BC^2=AB^2-AC^2=5^2-4^2=25-16=9，所以BC=3##。

5. ##由于EF⊥AE，根据垂线定义，角AEC=90°。点C是弧BD的中点，所以弧DC=弧BC，得出∠DAC=∠CAB，∠DAC=∠EAC。根据相似三角形的判定定理(AA)，△EAC∽△CAB##。

6. ##根据相似三角形的定义，∴AC/AB=EC/BC##。

7. ##已知AC=4，AB=5，BC=3。

8. ##∴EC=(AC×BC)/AB=(4×3)/5=12/5##。

9. 经过上述推理，最终得出答案为2.4。

圆; 直角三角形; 垂线; 弧; 圆周角

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

<note>在本题图中，圆O中，角ACB的顶点C在圆周上</note>，角ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B。因此，<note>角ACB是一个圆周角</note>。
在本题图中，<note>圆O中，角CAB的顶点A在圆周上</note>，角CAB的两边分别与圆O相交于点C和点B。因此，<note>角CAB是一个圆周角</note>。
在本题图中，<note>圆O中，角DAC的顶点A在圆周上</note>，角DAC的两边分别与圆O相交于点C和点D。因此，<note>角DAC是一个圆周角</note>。

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

<note>AB是直径，连接了圆心O和圆周上的A、B两点</note>，长度为2倍的半径，即AB = 2×2.5 = 5。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

<note>圆O中，点O是圆心，点A和点B是圆上的任意一点</note>，<note>线段OA和线段OB是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段OA和线段OB是圆的半径</note>，且OA=OB=2.5。

垂线定义

如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。

<note>直线EF和直线AE相交形成的角∠AEC是90度</note>，因此根据垂线定义，<note>直线EF和直线AE互相垂直</note>。

(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角

半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

<note>在本题图中，圆O中，直径AB所对的圆周角##∠ACB##是直角（90度）</note>。

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>三角形EAC和三角形CAB是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>角EAC = 角CAB</note>，<note>角AEC = 角BCA</note>，<note>角ACE = 角CBA</note>；<note>\(\frac{AC}{AB} = \frac{EC}{BC}\)</note>。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>直角三角形ABC</note>中，<note>角∠ACB是直角（90度）</note>，<note>边AC和BC是直角边</note>，<note>边AB是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>AB^2 = AC^2 + BC^2</note>。


Question: 如图所示,直线AB、CD被直线EF所截,若AB∥CD,∠1=100°,则∠2的大小是()

Answer: 80°

1. 已知直线AB平行于直线CD，##设##直线EF与直线AB、直线CD相交于点G和点H。####

2. 根据已知条件，##∠1## = 100°，##依据平角的定义，∠1 + ∠AGH =100°+ ∠AGH = 180°，即∠AGH = 180°-100°= 80°##。

3. ##再根据平行线的平行公理2，同位角相等，得到：∠2 = ∠AGH = 80°##。

4.  ##经过上述推理，最终得出答案为∠2 = 80°##。

####

平行线的定义

在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

<note>直线AB和直线CD</note>位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据<note>平行线的定义</note>，<note>直线AB和直线CD是平行线</note>。

平角的定义

<note>射线GA绕着端点G旋转到与起始边成一条直线，形成平角AGB</note>。根据平角的定义，<note>平角的度数为180度，即角AGB=180度</note>。##

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>直线AB</note>和<note>直线CD</note>被<note>直线EF</note>所截，形成了以下几何关系：
1. 同位角：<note>∠AGH</note>和<note>∠CHF(∠2)</note>相等。
2. 内错角：<note>∠BGH(∠1)和∠CHG</note>相等。
3. 同旁内角：<note>∠HGC和∠CHG</note>互补，即<note>∠HGC + ∠CHG</note> = 180度。

这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。


Question: 四边形 W X Y Z 是一个矩形。如果 m \\angle 1 = 30，求 \\angle 5 的度数。

Answer: 30

1. 已知条件为四边形 WXYZ 是一个矩形，##且 角 1 = 30°##。

2. ##依据矩形的定义，WX 和 YZ 平行，根据平行线的平行公理2，角1=角5##。

3. ##经过上述推理，最终得出答案为 角 5 = 30°##。

####

矩形; 对顶角; 邻补角

矩形的定义

矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。

<note>四边形 WXYZ 是一个矩形</note>，<note>边 WX 与边 YZ 平行且等长</note>，<note>边 WY 与边 XZ 平行且等长</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>两条平行线WX和YZ</note>被<note>第三条直线YX</note>所截，形成了以下几何关系：<note>内错角：角1=角5</note>。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，内错角相等。####

内错角的定义

<note>两条平行线WX和YZ</note>被<note>第三条直线YX所截</note>，其中<note>角1和角5位于两平行线之间</note>，且在<note>截线YX的对侧</note>，因此<note>角1和角5是内错角</note>。<note>内错角相等，即角1=角5</note>。##


Question: 如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB为⊙O的直径,连结BD．若∠BCD=120°,则∠ABD的大小为()

Answer: 30°

1. 已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，根据##(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补##定理，得出∠BAD + ∠BCD = 180°。

2. 由于题目已知∠BCD=120°，所以可以通过计算得到∠BAD=180°-120°=60°。

3. 又由于AB是⊙O的直径，根据##(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角##，得出∠ADB=90°。

4. 由上面的结论，我们可以在△ABD中用三角形内角和定理得出，##∠BAD + ∠ADB + ∠ABD = 60° +90° + ∠ABD° =180°##，∠ABD=180°-∠ADB-∠BAD=180°-90°-60°=30°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为30°。

圆内接四边形; 圆周角; 直角三角形; 圆; 弦

内接四边形

内接四边形是指一个四边形的全部四个顶点都在同一个圆上。这个圆称为四边形的外接圆。

<note>四边形ABCD的四个顶点A、B、C和D都在同一个圆上</note>。这个圆称为<note>四边形ABCD的外接圆</note>。因此，<note>四边形ABCD是一个内接四边形</note>。根据内接四边形的性质，可以得出<note>对角相加等于180度</note>，即<note>角BAD + 角BCD = 180度</note>，<note>角ABC + 角ADC = 180度</note>。

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

<note>AB是直径</note>，连接了<note>圆心O</note>和<note>圆周上的A、B两点</note>，长度为<note>2倍的半径</note>，即<note>AB = 2 * r</note>。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理

<note>四边形ABCD是内接四边形</note>，按照圆内接四边形对角互补定理，<note>四边形ABCD的每一对对角的和等于180°</note>。具体来说，<note>∠BAD + ∠BCD = 180°</note>，<note>∠ABC + ∠ADC = 180°</note>。<note>已知∠BCD=120°</note>，所以<note>∠BAD=180°-120°=60°</note>。

(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角

半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形ABD中，角BAD、角ADB和角ABD是三角形ABD的三个内角</note>，根据<note>三角形内角和定理</note>，<note>角BAD + 角ADB + 角ABD = 180°</note>。


Question: 求a，如果F G = 18, G H = 42, 和 F K = 15。

Answer: 57

1. ##设圆心为O##，已知线段 F G = 18，##G H = 42##和线段 F K = 15，根据割线定理，即如果两条割线从一个外部点开始，并分别在这个圆上截出两个线段，则这两条割线##在圆外截取的线段与其割线的##积相等:
 F K × ( F K + K J ) = F G × ( F G + G H )。

2. 根据已知 G H = 42，计算:
 F G + G H = 18 + 42 = 60。

3. 由割线定理的表达式 F K × ( F K + K J ) = F G × ( F G + G H ), 有:
 15 × ( 15 + a ) = 18 × 60。

4. 计算式子：##1080## = 15 × ( 15 + a )。

5. 左右两边分别除以 15，得到方程式：15 + a = ##1080/15##。

6. 计算:a = 72 ##-## 15。

7. 经过计算，最终得出 a = 57。

8. ##经过以上推理，最终得出答案为a=57##。

圆; 弦; 弧; 圆周角

割线

与圆有两个交点的直线称为圆的割线。

在本题图中，<note>直线FH与圆O有两个交点，分别是点G和点H</note>。根据割线的定义，<note>直线FH与圆O相交于两个不同的点</note>，所以<note>直线FH是圆O的割线</note>。<note>直线FJ与圆O有两个交点，分别是点K和点J</note>。根据割线的定义，<note>直线FJ与圆O相交于两个不同的点</note>，所以<note>直线FJ是圆O的割线</note>。

割线定理

在圆内，如果两条割线相交于一圆外一点，则这两条割线的外部部分乘以其内部部分的积是相等的。

<note>圆O内有两条割线FH和FJ，它们相交于圆外一点F</note>。割线FH的外部部分为FG，内部部分为GH；割线FJ的外部部分为FK，内部部分为KJ。根据割线定理，<note>割线FH的外部部分乘以整条割线的积等于割线FK的外部部分乘以整条割线的积，即FG * FH = FK * FJ</note>。


Question: 如图,AB∥CD,点E在CA的延长线上.若∠BAE=40°,则∠ACD的大小为()

Answer: 140°

1. 已知AB∥CD，点E在CA的延长线上，以及∠BAE = 40°。

2. ##作CF为DC的延长线，即由图可得AB∥DF，根据平行线的平行公理2，同位角相等，则∠BAE = ∠ECF = 40° ##。

3. ##根据平角的定义，∠ACD = 180° - ∠ECF##。

4. ##将已知条件代入，得到∠ACD = 180° - 40° = 140°##。

5. ##计算得出∠ACD= 140°##。

6. 经过上述推理，最终得出答案为140°。

平行线; 内错角; 对顶角

平行线的定义

在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

在本题图中，<note>直线AB和直线CD</note>位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，<note>直线AB和直线CD</note>是平行线；<note>直线AB和直线DF</note>位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，<note>直线AB和直线DF</note>是平行线。

平角的定义

在本题图中，<note>射线CD绕着端点C旋转到与起始边成一条直线</note>，形成<note>平角DCF</note>。根据平角的定义，<note>平角的度数为180度，即角DCF=180度</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>在本题图中，两条平行线 AB 和 CD 被第三条直线 CE 所截</note>，形成了以下几何关系： 同位角：<note>∠BAE 和 ∠ECF 相等</note>。


Question: 四边形 A B D C 是一个矩形。如果 m \angle 1 = 38，求 m \angle 2。

Answer: 52

1. ##已知四边形 A B D C 是一个矩形，∠1 = 38°。##

2. ##根据矩形的定义，∠CAB = 90°。##

3. ##那么∠CAB = ∠1 +∠2 = 90°。##

4. ##代入∠1 = 38°，解得∠2 = 52°。##

####

##5. 由以上步骤得到，∠2 = 52°。##

矩形; 邻补角; 对顶角

矩形的定义

矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。

<note>四边形 ABCD 是一个矩形</note>，其内角<note>∠ABD, ∠BDC, ∠DCA, ∠CAB 都是直角（90度）</note>，<note>边AB与边CD平行且等长</note>，<note>边AC与边BD平行且等长</note>。


Question: 用圆心角为120°,半径为3cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸冒(如图所示),则这个纸冒的高是()

Answer: 2√{2}cm

1. 已知圆心角为120°，半径为3 cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸冒。

2. 设圆锥的底面半径为x cm，根据周长关系得出等式：2πx = (120/360) * 2π * 3。

3. 计算得出x = 1 cm。

4. 因为组成圆锥的扇形的半径为圆锥的母线长3 cm，所以我们可用勾股定理计算高h。

5. 在直角三角形中，母线长为3 cm，底面半径为1 cm，高h为未知，根据勾股定理 a^2 + b^2 = c^2。

6. 这里a = h，b = 1，c = 3，代入得h^2 + 1^2 = 3^2。

7. 解得h^2 = 3^2 - 1^2。

8. 进一步计算得h^2 = 9 - 1 = 8，故h = √{8} = 2√{2}。

9. 经过上述推理，最终得出答案为2√{2} cm。

扇形; 圆锥; 圆心角; 直角三角形

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

<note>扇形纸片的圆心角为120°</note>。这个<note>圆心角</note>是形成圆锥的扇形的一个角，<note>圆心为扇形的中心点</note>。

扇形的定义

由一个圆的两条半径与它们所夹的圆弧组成的图形称作扇形。

在本题图中，<note>半径为3 cm和半径为3 cm是圆的两条半径</note>，<note>圆弧是由这两条半径所夹的圆弧</note>，所以根据扇形的定义，由<note>这两条半径和它们所夹的圆弧组成的图形为扇形</note>。

圆锥

圆锥是一种几何图形，有一个圆形的底和一个顶点，它的侧面为一曲面。

在本题图中，圆锥中，<note>底面是一个圆形</note>，圆的<note>半径为1 cm</note>。<note>圆锥的顶点为圆锥的顶点</note>，顶点与<note>圆心之间的距离为圆锥的高</note>，记作h。<note>圆锥的侧面是一个曲面</note>，从顶点到<note>圆周上的任意一点的距离为母线长度</note>，记作3 cm。

扇形的弧长公式

扇形的弧长L等于圆心角θ（以弧度制表示）乘以半径r：L = θr。

<note>在本题图中，扇形中，圆心角为120°，半径为3 cm</note>。根据扇形的弧长公式，<note>弧长L等于圆心角θ乘以半径r，即L = θ * r</note>。<note>已知圆心角为120°，即θ = 120° = 2π/3（弧度），半径r = 3 cm</note>，因此<note>弧长L = (2π/3) * 3 = 2π cm</note>。这个<note>弧长就是圆锥底部圆周的周长</note>，所以<note>2πx = 2π</note>，解得<note>底面半径x = 1 cm</note>。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>圆锥的母线长为3 cm</note>，<note>底面半径为1 cm</note>，通过勾股定理求得<note>高h</note>。设高为h，应用勾股定理，<note>a为高h</note>，<note>b为底面半径1 cm</note>，<note>c为母线长3 cm</note>，可得 h^2 + 1^2 = 3^2。然后解得 h^2 = 9 - 1 = 8，最终 <note>h = √{8} = 2√{2}</note>。##

母线

母线是指圆锥中从底面圆周上的一点到顶点的线段。

<note>在本题图中，圆锥中，取底面圆周上的一点和顶点，连接底面圆周上一点和顶点的线段</note>就是母线。<note>母线是圆锥中从底面圆周上的一点到顶点的线段</note>。##


Question: 求 m \angle D.

Answer: 80

1. 圆中四边形ABCD是一个圆内接四边形，因此根据##(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理##。

2. 由此，我们有∠ABC + ∠ADC = 180°。

3. ##∠ABC = （3y + 4）°，∠ADC = （2y + 16）°##。

4. 将已知角的表达式代入对边的角互补关系得： ##(3y + 4) °+ (2y + 16)° = 180°##。

5. 简化方程得到##（5y + 20）° = 180°##。

6. 通过去掉常数项，得到##（5y）° = 160°##。

7. 通过除法求得##y = 32##。

8. 确定y的值后，##代入∠ADC = （2y + 16）°，得 ∠ADC = （2*32 + 16）° = （64 + 16）° = 80°##。

9. 经过上述推理，最终得出答案为∠ADC = 80°。

圆内接四边形; 圆周角; 三角形的外角

(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理

<note>圆内接四边形ABCD中，四边形的顶点A、B、C、D都在圆上</note>。根据圆内接四边形对角互补定理，<note>四边形ABCD的每一对对角的和等于180°</note>。具体来说，<note>∠ABC + ∠ADC = 180°</note>；<note>∠BAD + ∠BCD = 180°</note>。

内接四边形

<note>在本题图中，四边形ABCD的四个顶点A、B、C和D都在同一个圆上</note>。<note>这个圆称为四边形ABCD的外接圆</note>。因此，四边形ABCD是一个内接四边形。根据内接四边形的性质，可以得出<note>对角相加等于180度，即角ABC + 角ADC = 180度，角BAD + 角BCD = 180度</note>。##


Question: 求该图形的面积。

Answer: 120

1. ##由图可得，图形的四个角都为90度，根据矩形的定义，该图形为矩形。并且图中##矩形的长为12英尺，宽为10英尺。

2. ##根据矩形的面积公式##为长乘以宽，因此本题中矩形的面积为12英尺乘以10英尺。

3. 计算得出矩形的面积为120平方英尺。

4. 经过上述推理，最终得出答案为120平方英尺。

矩形的定义

矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。

在本题图中，四边形是一个<note>矩形</note>，其<note>内角都是直角（90度）</note>，且<note>边长为12英尺的两条边互相平行且等长</note>，<note>边长为10英尺的两条边互相平行且等长</note>。

矩形的面积公式

矩形的面积等于其长度乘以其宽度。

<note>矩形的长为12英尺，宽为10英尺</note>，所以<note>矩形的面积</note> = <note>12 * 10 = 120平方英尺</note>。


Answer: 105°

1. ##设图中构成三角形的第三个角为∠4##，已知直线a平行直线b，根据##平行线的平行公理2和同位角定义，同位角相等，而∠1和∠4互为同位角##，得出∠1=∠4。

2. 根据已知条件∠2=35°，∠3=40°，##根据三角形内角和定理##，在三角形中，内角和为180°，得出∠4=180°-∠2-∠3。

3. 将已知角度代入得出∠4=180°-35°-40°=105°。

4. 根据步骤1，得出∠1=∠4。因此∠1=105°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为105°。

平行线; 同旁内角; 三角形的外角

平行线的定义

在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

<note>直线a和直线b</note>位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，<note>直线a和直线b是平行线</note>。##

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

在本题图中，<note>两条平行线a和b被第三条直线所截</note>，形成了以下几何关系：
1. <note>同位角：角1和角4相等</note>。
2. 内错角：无。
3. 同旁内角：无。
这些关系说明了在<note>两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等</note>。

同位角定义

在本题图中，<note>两条平行直线a和b</note>被一条直线截交，其中<note>角1和角4位于截线的同旁</note>，<note>被截两直线a和b的同一侧</note>，因此<note>角1和角4是同位角</note>。同位角相等，即<note>角1等于角4</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>角∠2、角∠3和角∠4是该三角形的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角∠2 + 角∠3 + 角∠4 = 180°</note>。


Question: 使用平行四边形 A B C D 找到 m \angle A F D.

Answer: 97

####

##1##. 在三角形 AFD 中，已知##角FAD## = 49° 和角 ADF = 34°。根据三角形内角和定理可知，三角形 AFD 中各内角的和为 180°，即##角AFD+角FAD+角ADF=##角 AFD + 49° + 34° = 180°。

##2##. 解方程可得：角 AFD = 180° - 49° - 34°。

##3##. 经过计算，角 AFD = 97°。

##4##. 因此，经过上述推理，最终得出答案为角 AFD 的度数为 97°。

平行四边形; 对顶角; 三角形的外角

任意三角形的三个内角的和为180°。

在本题图中，三角形AFD中，<note>角AFD</note>、<note>角FAD</note>和<note>角ADF</note>是三角形AFD的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>角AFD + 角FAD + 角ADF = 180°</note>。


Question: 如图,AB是⊙O的弦,OC⊥AB,交⊙O于点C,连接OA,OB,BC,若∠ABC=25°,则∠AOB的大小是()

Answer: 100°

1. 已知OC垂直于AB，且OC交⊙O于点C，##设AB 与OC相交于D点##，根据垂径定理，得OC平分弦AB，即##AD=BD##。

2. ##根据半径的定义得OA=OB，OD为共用边，所以根据全等三角形判定定理(SSS)，得△AOD和△BOD全等，根据全等三角形的定义，得∠BOC=∠AOC##。

3. 由题意，已知∠ABC=25°。

4. ##根据圆周角的定义，∠ABC为圆周角，根据圆心角的定义，知∠AOC是圆心角##，根据圆周角定理，##得∠ABC=?∠AOC，则##∠AOC=2∠ABC。

5. 将∠ABC的值代入，得∠AOC=2×25°=50°。

6. ##由图知##∠AOB = ∠AOC + ∠BOC。

7. ##因为##∠AOC = ∠BOC，得∠AOB=2∠AOC。

8. 代入∠AOC的值，得∠AOB=2×50°=100°。

9. 经过上述推理，最终得出答案为∠AOB=100°。

圆; 圆周角; 圆心角; 垂线; 弦

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段。

在在本题图中，<note>圆O</note>中，<note>点O是圆心</note>，<note>点A、B是圆上的任意一点</note>，<note>线段OA、OB是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段OA、OB是圆的半径</note>，则OA=OB##。

垂径定理

如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。

在本题图中，<note>AB 与OC相交于D点</note>，圆O中，直径OC垂直于弦AB，那么根据垂径定理，直径OC平分弦AB，即<note>AD = BD</note>，并且直径OC平分弦AB所对的两条弧，即<note>弧AC = 弧CB</note>。

全等三角形判定定理(SSS)

两个三角形的三组对应边分别相等，则两个三角形全等。。

全等三角形的定义

两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等。

<note>在本题图中，三角形AOD和三角形BOD是全等三角形</note>，三角形AOD的对应边和对应角与三角形BOD相等，同时，对应的角也相等：<note>∠BOC=∠AOC</note>##。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

<note>在本题图中，圆O中，点A和点C是圆上的两点，圆心是点O</note>。<note>连线OA和OC组成的角∠AOC称为圆心角</note>。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

<note>在本题图中，圆O中，角ABC的顶点(点B)在圆周上</note>，角ABC的两边分别与圆O相交于<note>点A和点C</note>。因此，<note>角ABC是一个圆周角</note>。


Question: 求x。四舍五入到最接近的十分位。

Answer: 30.7

1. 已知直角三角形ABC，其中角B为直角，角A的对边为边BC，边AB的长度为11。

2. 角C为21°，所以在直角三角形中，##角ACB##的对边为11，斜边为x。根据##正弦函数定义##，可以使用三角函数中的正弦函数，由于正弦函数的定义为：sin(θ) = 对边/斜边。

3. 对于角C，sin(21°) = ##对边AB##/ 斜边AC，因此有sin(21°) = 11 / x。

4. 查找或计算sin(21°) ≈ 0.3584 。

5. 将sin(21°)的值代入方程，得：0.3584 = 11 / x。

6. 解方程得到x = 11 / 0.3584 ≈ 30.691。

7. 将结果四舍五入到最接近的十分位，得到x ≈ 30.7。

8. 经过上述推理，最终得出答案为30.7。

正弦函数定义

在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

在本题图中，三角形ABC中，<note>角B是直角（90度）</note>，因此<note>三角形ABC是一个直角三角形</note>。<note>边BC和边AB是直角边</note>，<note>边AC是斜边</note>。


Question: 如图,有一圆心角为120°、半径长为6cm的扇形,若将OA、OB重合后围成一圆锥侧面,那么圆锥底面的直径是()

Answer: 4cm

1. 已知扇形的圆心角为120°，半径长为6cm。##根据角度与弧度的换算公式，将圆心角换算成弧度得 θ = 120° × (π/180°) = (2π/3)。根据扇形的弧长公式L = θr（其中L为弧长，θ为弧度制的圆心角，r为半径），则弧长L = (2π/3) × 6 = 4π cm##。

2. 由于将OA、OB重合后形成圆锥侧面，##根据圆锥的展开图##，圆锥底面周长等于扇形的弧长4π cm。

3. 设圆锥底面半径为r，则圆锥底面周长公式为C = 2πr。

4. 根据已知条件，得到等式2πr = 4π，解得r = 2 cm。

5. ##设##圆锥底面直径##为d##，##根据直径的定义##，d= 2r = 2 × 2 = 4 cm。

6. 经过上述推理，最终得出答案为4 cm。

扇形; 圆心角; 圆锥; 圆; 弧

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

<note>圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O</note>。<note>连线OA和OB组成的角∠AOB</note>称为圆心角，圆心角度数为120°。

扇形的定义

由一个圆的两条半径与它们所夹的圆弧组成的图形称作扇形。

<note>扇形OAB</note>中，<note>半径OA</note>和<note>半径OB</note>是圆的两条半径，<note>圆弧AB</note>是由这两条半径所夹的圆弧，所以根据扇形的定义，由这两条半径和它们所夹的<note>圆弧AB</note>组成的图形为<note>扇形</note>。

圆锥

圆锥是一种几何图形，有一个圆形的底和一个顶点，它的侧面为一曲面。

<note>圆锥的底面是一个圆形</note>，圆的半径为<note>2 cm</note>，<note>圆心为底面的中心</note>。圆锥的顶点为<note>点O</note>，顶点O与<note>圆心之间的距离为圆锥的高</note>。<note>圆锥的侧面是一个曲面</note>，从顶点O到<note>圆周上的任意一点的距离为6 cm</note>。

扇形的弧长公式

扇形的弧长L等于圆心角θ（以弧度制表示）乘以半径r：L = θr。

在本题图中，扇形<note>OAB</note>中，<note>圆心角∠AOB为120°，以弧度制表示则为(2π/3)</note>，<note>半径OA为6 cm</note>。根据扇形的弧长公式，<note>弧长L等于圆心角θ乘以半径r，即L = θ * r</note>。因此，<note>弧长L = (2π/3) × 6 = 4π cm</note>。

圆的周长公式

圆的周长是圆周的长度，可以通过公式C=2πr计算，其中C是周长，r是半径。

<note>圆锥底面是一个圆，设其半径为r</note>。根据<note>圆的周长公式</note>，<note>圆的周长C等于2π乘以半径r，即C=2πr</note>。由于<note>将扇形OA、OB重合后形成圆锥侧面</note>，<note>圆锥底面周长等于扇形的弧长4π cm</note>，因此有<note>2πr = 4π</note>，解得<note>r = 2 cm</note>。

圆锥的展开图

一个圆锥体的展开图是一个扇形，扇形的半径是圆锥体的斜高，扇形的弧长是圆锥体底面圆的周长。

在本题图中，圆锥体的展开图是一个扇形。<note>扇形的半径是圆锥体的斜高OA</note>，<note>扇形的弧长是圆锥体底面圆的周长</note>。因此，<note>扇形的半径OA等于圆锥体的斜高</note>，<note>扇形的弧长AB等于圆锥体底面圆的周长</note>，即2πr，其中r是底面圆的半径。

角度与弧度的换算公式

弧度=角度*（π/180），角度=弧度*（180/π）。

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

<note>d是直径</note>，连接了圆心和圆周上的两点，长度为2倍的半径，即<note>d = 2r</note>。


Question: 如图,在△ABC中,∠C=36°,将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AED,AD与BC交于点F,则∠AFC的度数为()

Answer: 84°

1. 已知∠C = 36°，并且将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AED。

2. ##所以∠DAC=60°，点F在边AD上，所以∠FAC=60°##。

3. ##根据三角形内角和定理，任意三角形的三个内角的和为180°，所以∠C+∠FAC+∠AFC=180°##。

4. ##已知∠C = 36°，∠FAC=60°，所以∠AFC=180°-∠C-∠FAC=180°-36°-60°=84°##。

####

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为84°。

旋转; 点; 普通三角形; 内错角; 对顶角

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

在本题图中，三角形AFC中，<note>角AFC</note>、<note>角CAF</note>和<note>角FAC</note>是三角形AFC的三个内角，根据<note>三角形内角和定理</note>，<note>角AFC + 角CAF + 角FAC = 180°</note>。

旋转的定义

在平面内,把一个图形绕点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转,点O叫做旋转中心,旋转的角叫做旋转角,如果图形上的点P经过旋转变为点P_,那么这两个点叫做这个旋转的对应点。


Answer: \frac{3}{5}

1. 由题意，已知△ABC中∠C是直角，根据勾股定理，得出AB##^2##=AC##^2##+BC##^2##。

2. 将已知条件AB=5，AC=4带入到勾股定理中，得到5##^2##=4##^2##+BC##^2##。

3. 计算得出25=16+BC##^2##，因此BC##^2##=9，得出BC=3。

4. 由上面计算结果得出BC=3。

5. 在直角三角形中，sinA的定义是对边长度与斜边长度的比值。

6. 在这种情况下，sinA=BC/AB。

7. 根据上述计算结果和已知条件，得出sinA=3/5。

8. 经过上述推理，最终得出答案为3/5。

直角三角形; 正弦; 线段

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

正弦函数定义

在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。


Question: 如图,△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形,若点D恰好落在AB上,且∠AOC的度数为100°,则∠DOB的度数是()

Answer: 40°

1. ##根据题意，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，根据旋转的性质，△ODC和△OAB全等，点A与点D，点B与点C分别为对应点，所以∠AOD = ∠BOC=30°。##

####

##2. 已知∠AOC = 100°，∠AOC = ∠AOD + ∠DOB + ∠BOC##

##3. 将已知角度代入等式##，可以得到：100° = 30° + ∠DOB + 30°。

##4##. 通过计算，我们得出：∠DOB = 100° - 30° - 30° = 40°。

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为40°。

旋转; 普通三角形; 普通四边形; 邻补角; 对顶角

旋转的性质

1.对应点到旋转中心的距离相等 2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 3.旋转前、后的图形全等。

<note>在本题图中，将图形 OAB 绕旋转中心 O 旋转</note> 30° <note>后得到图形 ODC</note>。根据旋转的性质：1. <note>对应点（如点 A 与点 D）到旋转中心 O 的距离相等</note>，即 <note>OA = OD</note>；2. <note>对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角 30°</note>，即<note>∠AOD = 30°</note>，<note>∠BOC = 30°</note>；3. <note>旋转前的图形 OAB 与旋转后的图形 ODC 全等</note>，即 <note>图形 OAB ≅ 图形 ODC</note>。


Question: 如图,已知O是四边形ABCD内一点,OA=OB=OC,∠ABC=∠ADC=65°,则∠DAO+∠DCO=()

Answer: 165°

1. 已知OA=OB=OC，根据等腰三角形的##定义，三角形OAB和三角形OBC都是等腰三角形##。得出∠OAB=∠OBA和∠OBC=∠OCB。

2. ##已知∠ABC=65°，而∠ABC=∠OBA+∠OBC，因为∠OAB=∠OBA、∠OBC=∠OCB，所以∠ABC=∠OAB+∠OCB=65°##。

3. ##根据四边形的内角和定理，在任意四边形中，四个内角的和为360°，即∠BAD+∠ADC+∠DCB+∠ABC=360°。已知∠ABC=∠ADC=65°，所以∠BAD+∠DCB=360°-∠ABC-∠ADC=360°-65°-65°=230°##。

4. 由于∠OAB+##∠OCB=65°，∠BAD=∠OAB+∠OAD，∠DCB=∠OCB+∠OCD##。

5. ##所以∠OAD=∠BAD-∠OAB，∠OCD=∠DCB-∠OCB。则∠DAO+∠DCO=∠BAD-∠OAB+∠DCB-∠OCB=（∠BAD+∠DCB）-（∠OAB+∠OCB）##。

6. ##已知∠BAD+∠DCB=230°，∠OAB+∠OCB=65°，代入∠DAO+∠DCO=（∠BAD+∠DCB）-（∠OAB+∠OCB）得：∠DAO+∠DCO=230°-65°=165°##。

####

##7##. 经过上述推理，最终得出答案为165°。

等腰三角形; 圆内接四边形; 普通四边形; 圆周角; 直线

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

在本题图中，三角形OAB中，<note>边OA和边OB相等</note>，因此<note>三角形OAB是一个等腰三角形</note>。同样，三角形OBC中，<note>边OB和边OC相等</note>，因此<note>三角形OBC也是一个等腰三角形</note>。######

四边形的内角和定理

在任意四边形中，四个内角的和为360°。

<note>四边形ABCD</note>中，<note>角ABC</note>、<note>角BCD</note>、<note>角CDA</note>和<note>角DAB</note>是四边形的四个内角，根据<note>四边形的内角和定理</note>，这四个内角的和为360°，即<note>角ABC + 角BCD + 角CDA + 角DAB = 360°</note>。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

<note>在本题图中，等腰三角形OAB中，边OA和边OB相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，<note>相等的两边所对的角相等，即角OAB= 角OBA</note>。同理，<note>等腰三角形OBC中，边OC和边OB相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，<note>相等的两边所对的角相等，即角OCB= 角OBC</note>。


Question:
在下图中，
angle A B C 被平行线 l 和 m 相交。
angle A B C 的度数是多少？请用度数表示你的答案。

Answer: 71

1. ##过点B做一条直线z，并且直线z平行于直线 l ，已知 l 平行于 m ，根据平行线的传递性可以得到 z 平行于 m。##。

2.  ##根据平行线的平行公理2，内错角相等，得到∠ ABC = 38° +33°。##

3. ##所以∠ABC=38°+33°=71°##

####

##4##. 最终角 A B C 的值为71°。

平行线; 同位角; 内错角

平行线的定义

在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

<note>过点B做一条直线z</note>，且<note>直线z平行于两条平行线l和m</note>。<note>直线l和直线z位于同一平面内，并且它们没有交点</note>，因此根据平行线的定义，<note>直线l和直线z是平行线</note>。<note>直线m和直线z位于同一平面内，并且它们没有交点</note>，因此根据平行线的定义，<note>直线m和直线z是平行线</note>。<note>直线l和直线m位于同一平面内，并且它们没有交点</note>，因此根据平行线的定义，<note>直线l和直线m是平行线</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

##在本题图中，过点B做一条<note>直线z</note>，且<note>直线z平行于两条平行线 l 和 m</note>。两条平行线<note>l和z被第三条直线AB所截</note>，形成了以下几何关系：1. 同位角：无。2. 内错角：<note>∠ABz和∠BAl相等</note>，即<note>38°</note>。3. 同旁内角：<note>∠ABz和∠BAl的横向互补角互补</note>。两条平行线<note>z和m被第三条直线BC所截</note>，形成了以下几何关系：1. 同位角：无。2. 内错角：<note>∠zBC和∠BCm相等</note>，即<note>33°</note>。3. 同旁内角：<note>∠zBC和∠BCm的横向互补角互补</note>##。######

内错角的定义

<note>在本题图中，过点B做一条直线z，且直线z平行于两条平行线 l 和 m</note>。两条平行直线<note>l和z被一条直线AB截交，其中∠ABz和∠BAl位于两平行线之间，且在截线AB的对侧</note>，因此<note>∠ABz和∠BAl是内错角</note>。内错角相等，即<note>∠ABz和∠BAl</note>。两条平行直线<note>z和m被一条直线BC截交，其中∠zBC和∠BCm位于两平行线之间，且在截线BC的对侧</note>，因此<note>∠zBC和∠BCm是内错角</note>。内错角相等，即<note>∠zBC和∠BCm</note>。####

平行线的传递性

若两条直线分别与第三条直线平行，则这两条直线互相平行。

在本题图中，<note>直线m和直线z分别与直线l平行</note>。根据平行线的传递性，如果<note>直线m平行于直线l</note>，且<note>直线z也平行于直线l</note>，那么<note>直线z和直线m互相平行</note>。因此，<note>直线z平行于直线m</note>。


Question: riangle E F G 是等边三角形，且 E H 平分 \\angle E。求 m \\angle 2。

Answer: 30

1.已知条件为△EFG为等边三角形，根据##等边三角形的角性质##，每个角都是60°，即∠EFG、∠FEG、##∠EGF##均为60°。

2. E H是∠GEF的角平分线，##根据角平分线定义，得出∠2=(1/2)∠GEF##。

3. ##已知∠GEF=60°，代入∠2=(1/2)∠GEF得，∠2=(1/2)*60°=30°。##

####

##4##. 最终结果为∠2 = 30°。

等边三角形; 内错角; 对称

等边三角形的定义

等边三角形是所有三条边长度相等并且所有内角都相等（均为60°）的三角形。

在本题图中，三角形EFG是一个等边三角形。<note>边EF、边FG和边GE的长度相等</note>，并且<note>角EFG、角FEG和角EGF的度数相等，均为60°</note>。

角平分线定义

角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。

在本题图中，<note>角GEF的顶点是点E</note>，从<note>点E引出一条线EH</note>，<note>这条线将角GEF分成两个相等的角，即角GEH和角HEF相等</note>。因此，<note>线EH是角GEF的角平分线</note>。

等边三角形的角性质

等边三角形的每一个内角都是60°。

在本题图中，等边三角形EFG中，<note>边EF、FG和GE相等</note>，因此根据等边三角形的性质，<note>三角形EFG的每一个内角都是60°</note>。也就是说，<note>角EFG、角FEG和角EGF均为60°</note>。


Question: a = 14, b = 48, 和 c = 50, 求 \sin A.

Answer: 0.28

1. 已知条件为三角形ABC中a = 14, b = 48, c = 50，其中∠C = 90°。

##2. 根据直角三角形的定义可知，三角形ABC为直角三角形。##

####

##3. 根据正弦函数定义，sinA即∠A的对边与斜边的比值，sinA = 对边/斜边。##

####

##4. 因此sinA =a/c = 14/50 = 7/25 = 0.28 ##

##5. 经过上述推理，最终得出答案为0.28。##

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>在本题图中，三角形ABC中，角ACB是直角（90度）</note>，因此三角形ABC是一个直角三角形。<note>边AC和边BC是直角边</note>，<note>边AB是斜边</note>。####

正弦函数定义

在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。

<note>直角三角形ABC</note><note>角∠BAC是锐角</note><note>边BC是角∠BAC的对边</note><note>边AC是斜边</note>根据正弦函数定义，<note>角∠BAC的正弦值等于对边BC与斜边AC的比值</note>，即<note>sin(∠BAC) = BC / AC = a / c = 14 / 50</note>。


Question: 求平行四边形的面积。如有必要，四舍五入到最接近的十分位。

Answer: 207.8

1. ##已知平行四边形的底边长度为12 cm，根据平行四边形的高可知，题中高与底边形成的两个角均为90°。根据直角三角形的定义，在此题中，高的线段与一个60°的角和一个20 cm的侧边形成直角三角形。根据三角形内角和定理可得，该直角三角形的另一锐角为180°-90°-60°=30°。##

2. ##记该直角三角形的斜边为c (其中c = 20 cm), 底边为d, 高为h。根据正弦函数定义可知，sin(60°) = h / 20。因此， h = 20 * sin(60°)。##

####

##3.根据30°-60°-90°三角形的性质能够得到，##sin(60°) = √3/2。因此，h = 20 * √3/2 = 20 * 0.8660254 = 17.32 cm。

##4.## 平行四边形的面积计算公式为：底边长度乘以高（其中高为从底边到对边的垂直距离）。所以，面积A = 底边长度 * 高。

##5. ##在本题中，A = 12 cm * 17.32 cm。

##6. ##经过计算，A ≈ 207.8（四舍五入到小数点后一位）。

##7. ##经过上述推理，最终得出答案为207.8。

平行四边形的定义

平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。

<note>四边形是一个平行四边形</note>，<note>底边是12 cm</note>，且有<note>一个侧边是20 cm</note>。<note>两组对边分别平行且相等</note>。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>三角形中，一个角为90°</note>，另一个角为60°，因此，该三角形是一个直角三角形。

平行四边形的高

平行四边形的高是从一条边的顶点到其对边的垂直距离。

<note>平行四边形中，上下两条边平行</note>。<note>从上边的顶点作一条垂直于12cm边的线段</note>，该线段的长度即为平行四边形的高。#

平行四边形的面积公式

一个平行四边形的面积等于它的底边长乘以对应的高，即A = 底边长 × 高。

在本题图中，<note>平行四边形的底边长为12 cm</note>，对应的高是从<note>底边到对边的垂直距离，##通过计算可得高为17.32 cm##</note>。因此，根据平行四边形的面积公式，<note>平行四边形的面积等于底边长12 cm乘以对应的高17.32 cm，即A = 12 cm × 17.32 cm</note>。

正弦函数定义

在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。

<note>直角三角形中，60°是锐角</note>，<note>边h是角60°的对边</note>，<note>边20 cm是斜边</note>。根据正弦函数定义，角60°的正弦值等于<note>对边h与斜边20 cm的比值</note>，即<note>sin(60°) = h / 20</note>。

30°-60°-90°三角形的性质

在30°-60°-90°三角形中，30度角所对的边短，是斜边的一半，60度角所对的边则为短边的√3倍。

<note>在本题图中，30°-60°-90°三角形中</note>，<note>高h是60°角的对边</note>，<note>20cm边是斜边</note>，根据30°-60°-90°三角形的性质，设短边为1，则<note>h为√3</note>，<note>斜边为2</note>，<note>则sin(60°) = √3/2</note>。####

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

在本题图中，以20cm边、高h与底边相交形成的三角形中，根据三角形内角和定理，<note>60° + 90° + 另一内角 = 180°</note>，则<note>另一内角为30°</note>。


Question: 求平行四边形的面积。如果有必要，四舍五入到最接近的十分位。

Answer: 180

1. 已知平行四边形的底边长为15英寸，高为未知值。依据平行四边形的性质，平行四边形的高可以通过直角三角形的性质计算得出。

2. 在平行四边形内作一条从一顶点垂直于对边的辅助线（已在图中显示），将平行四边形分割为一个直角三角形和一个##梯形##。直角三角形的斜边是13英寸，直角边之一是5英寸。

3. 根据勾股定理（也称为毕达哥拉斯定理），在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。勾股定理公式为：##a^2 + b^2 = c^2##，在此题中c = 13英寸，a = 5英寸，求b。

4. 将已知值代入勾股定理公式：##5^2+ b^2= 13^2，计算得 25 + b^2##= 169，进一步计算得##b^2##= 144，因此b = √144 = 12英寸。

5. 经过上述计算，得出高为12英寸。

6. 根据平行四边形的面积公式：面积 = 底 × 高，因此本平行四边形的面积为15英寸 × 12英寸 = 180平方英寸。

7. 最终答案是平行四边形的面积为180平方英寸。

平行四边形; 平行线; 直角三角形; 线段

平行四边形的定义

平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。

在本题图中，四边形是一个<note>平行四边形</note>，<note>两组对边分别平行且相等</note>。<note>底边长为15英寸</note>，<note>对边也为15英寸</note>。另一组<note>对边分别为13英寸</note>。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>通过从平行四边形的一个顶点画辅助线到对边，形成了一个直角三角形</note>。这个直角三角形中，<note>一个直角边长为5英寸</note>，<note>另一条直角边长为12英寸</note>，<note>斜边长为13英寸</note>。因此，该三角形是一个直角三角形。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

在本题图中，<note>直角三角形</note>中，一条<note>直角边长为5英寸</note>，<note>斜边长为13英寸</note>，另一条<note>直角边为高</note>。根据勾股定理，<note>斜边的平方等于两条直角边的平方和</note>，即 <note>13^2 = 5^2 + 高^2</note>。代入计算得：<note>13^2 = 5^2 + 高^2</note> -> <note>169 = 25 + 高^2</note> -> <note>高^2 = 144</note> -> <note>高 = √144 = 12英寸</note>。

平行四边形的面积公式

一个平行四边形的面积等于它的底边长乘以对应的高，即A = 底边长 × 高。

<note>平行四边形的底边长是15英寸</note>，对应的<note>高是从底边到对边的垂直距离</note>，记为<note>12英寸</note>。因此，根据平行四边形的面积公式，平行四边形的面积等于底边长<note>15英寸</note>乘以对应的高<note>12英寸</note>，即A = 15英寸 × 12英寸。##

平行四边形的高

平行四边形的高是从一条边的顶点到其对边的垂直距离。

在本题图中，平行四边形中，<note>上下两条边平行</note>。从上边的顶点<note>作一条垂直于下底边的线段</note>，<note>该线段的长度即为平行四边形的高</note>。


Question: 在上图中，3 < a < 5 和 6 < b < 8。以下哪一项表示 c 的所有可能值？

Answer: 1 < c < 13

1. 已知不等式3 < a < 5和6 < b < 8，根据##三角形三边关系定理##，任意一个边长都必须小于其他两个边长之和且大于两边之差####。

2. ##依据三角形三边关系定理，c边应该大于b-a的最小值，显然应该大于1。同理c边应该小于b＋a的最大值，显然应该小于13##。

3.##所以c的范围应该是1 < c < 13。##

####

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

在本题图中，三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形。<note>a、b和c分别是三角形的三条边</note>。<note>a和b是已知边</note>，在其区间<note>3 < a < 5和6 < b < 8内</note>，<note>c表示第三条边</note>。##

三角形三边关系定理

三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边

<note>边a、边b和边c构成三角形</note>。根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，即<note>边a + 边b > 边c</note>，<note>边a + 边c > 边b</note>，<note>边b + 边c > 边a</note>。任意两边之差小于第三边，即<note>边a - 边b < 边c</note>，<note>边a - 边c < 边b</note>，<note>边b - 边c < 边a</note>。


Question: 求 m \angle H.

Answer: 97

1. 已知五边形EFGHJ，其内角分别为：∠E = x°，∠F = (x + 20)°，∠G = (x + 5)°，∠H = (x - 5)°，∠J = (x + 10)°。

2. ##根据多边形内角和定理##，一个五边形的内角和是：(n - 2) * 180°，其中n为边的数目。在本题中，n = 5，所以五边形的内角和是：(5 - 2) * 180° = 3 * 180° = 540°。

3. 设置方程求解内角和等于540°： x + (x + 20) + (x + 5) + (x - 5) + (x + 10) = 540。

4. 合并同类项得到：5x + 30 = 540。

5. 解此方程：5x + 30 = 540，得到：5x = 510，进而 x = 102。

6. 得到各角的值：∠E = 102°，∠F = 122°，∠G = 107°，∠H = 97°，∠J = 112°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为97°。

多边形内角和定理

一个多边形的内角之和等于(n - 2) * 180°，其中 n 是多边形的边数。

<note>多边形EFGHJ</note>中，<note>EFGHJ是一个有n条边的多边形</note>，其中<note>n表示多边形的边数</note>，<note>n=5</note>。该<note>五边形的内角之和等于 (5 - 2) * 180°= 540°</note>。


Question: 如果线段BC是圆的半径且线段AB与圆相切，图中线段AB的长度是多少？

Answer: 6*\sqrt{3}

##1. 已知BC是圆C的半径，AB是圆C的切线，由圆的切线性质，可得∠CBA=90°。##

2. 已知∠CAB=30°，结合上一步的结论，##根据三角形的内角和定理，推得∠ACB=180°-∠CBA-∠CAB=180°-90°-30°=60°##。

##3. 根据直角三角形的定义，得△ABC为Rt△，且∠ACB=30°，根据30°-60°-90°三角形的性质，可得AB为BC的√3倍，即AB=√3×BC。##

4. 根据已知条件，BC的长度为6，由上一步计算，##AB=√3×6=6√3##。

5. 能经过以上推理步骤，得出AB的长度为##6√3##。

切线; 直角三角形; 圆; 正弦

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>在本题图中，三角形ABC中，角CBA是直角（90度）</note>，因此三角形ABC是一个直角三角形。<note>边AB和边BC是直角边，边AC是斜边</note>。

圆的切线定义

圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。

<note>圆C</note>与直线AB有且只有一个公共点<note>B</note>，这个公共点叫做切点。因此，直线AB是<note>圆C</note>的切线。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

<note>在本题图中，圆C中，点C是圆心，点B是圆上的任意一点，线段BC是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段BC是圆的半径</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>在本题图中，三角形ABC中，角ABC、角CBA和角ACB是三角形ABC的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角ABC + 角CAB + 角ACB = 180°</note>。##

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

在本题图中，圆C中，点B是直线AB与圆的切点，<note>线段BC是圆的半径</note>。根据圆的切线性质，<note>切线AB与经过切点B的半径BC垂直</note>，即<note>∠ABC=90°</note>。

30°-60°-90°三角形的性质

<note>三角形ABC是一个30°-60°-90°三角形</note>，其中<note>∠CAB=30°</note>，<note>∠ACB=60°</note>，<note>∠ABC=90°</note>。<note>边BC是30度角所对的边</note>，边AB是60度角所对的边，<note>边AC是斜边</note>。根据30°-60°-90°三角形的性质，<note>边BC等于边AC的一半</note>，边AB等于边BC的√3倍。即：<note>BC = 1/2 * AC</note>，<note>AB = BC * √3</note>。


Question: 求 m \angle 1.

Answer: 70

1. 已知角35度、角75度和角1所在的##图形##是一个三角形。##设这个三角形为△ABC，##根据三角形内角和定理，三角形的内角和为180度。

2. 根据已知条件，我们可以写出方程：35度 + 75度 + 角1 = 180度。

3. 求解该方程可以得到：角1 = 180度 - 35度 - 75度 = 70度。

####

##4##. 最终，经过上述步骤，得出##角1##的值为##70度##。

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

在本题图中，三角形中，<note>角35度、角75度和角1</note>是该三角形的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>角35度 + 角75度 + 角1 = 180°</note>。同时，<note>包含角3和角28度的另一个三角形</note>也遵循这一定理，它们的内角和也为180度。####


Question: 对于一对相似图形，使用给定的面积来求x。

Answer: 8

1. 已知两图形为相似图形，且第一个图形##ABCD(逆时针顶点顺序A为左上顶点）##的面积为8平方英寸，第二个图形##EFGH(逆时针顶点顺序E为左上顶点）##的面积为32平方英寸。

2. ##由图可得：第一个图形和第二个图形的面积比##为8:32，即1:4。

3. ##根据相似多边形的面积比等于相似比的平方定理得：##长度比的平方为1:4，即(比率)^2 = 1/4。

4. 解出对应的长度比，需要开平方根，故长度比为1:2。

5. 由已知条件，第一个图形的对应边长度为4英寸，使用长度比1:2，则第二个图形对应边x满足 4: x = 1:2。

6. 通过比例计算 x = 4 × 2 = 8。

7. 经过上述推理，最终得出第二个图形x的长度答案为8英寸。

相似图形的定义

如果两图形相似，那么它们对应边的比相等，对应角相等。

<note>在本题图中，图形ABCD和图形EFGH是相似图形</note>。根据相似图形的定义，<note>它们对应边的比相等，即边AD与边EH的比等于边AB与边EF的比</note>。

相似多边形的面积比等于相似比的平方定理

如果两个相似多边形的边长比是k，那么它们的面积比等于k的平方

<note>多边形ABCD和多边形EFGH是相似图形</note>，<note>AD边和EH边的比值为4/x，即相似比为4/x</note>。所以，<note>图形EFGH的面积与图形ABCD的面积的比值等于4/x的平方</note>。即：面积比 = （4/x）?。


Question: 四边形 A B C D 是一个菱形。如果 A B = 2 x + 3 且 B C = x + 7，求 C D。

Answer: 11

1. 已知条件为四边形 A B C D 是一个菱形，根据##菱形的定义##，所有的边相等，因此 A B = B C = C D = D A。

2. 已知 A B = 2 x + 3, B C = x + 7，####可得到等式 2 x + 3 = x + 7。

3. 通过解方程 2 x + 3 = x + 7，可以得到 2 x - x = 7 - 3，即 x = 4。

4. 将 x = 4 代入 B C = x + 7，可以得到 B C = 4 + 7 = 11。

5. ##因为CD=BC##，所以 C D = 11。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 C D = 11。

菱形的定义

菱形是四边都相等的四边形，且对角线互相垂直平分。

在本题图中，四边形 A B C D 是一个菱形，因此<note>四边 AB、BC、CD、DA 都是相等的</note>。<note>即A B = B C = C D = D A</note>。


Question: 直线 l, m 和 n 是 riangle P Q R 的垂直平分线，并在 T 点相交。如果 T Q = 2 x, P T = 3 y - 1, 且 T R = 8，求 z。

Answer: 3

1. ##设直线l与PR的交点为A，##已知直线 l, m, n 是 ##△ PQR## 的垂直平分线，并且它们在点 T 交汇。####

####

##2##. ##因为##点 P 到##点 A ##的距离 z + 4 以及已知 AR = 7。####

##3. 根据垂直平分线的性质，得出AP = AR，因此z + 4 = 7 。##

##4##. 解得 z = 3。

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为 z = 3。

垂直平分线; 直角三角形; 对称; 等腰三角形

垂直平分线的定义

经过线段中点且垂直于该线段的直线。

在本题图中，<note>直线l经过线段PR的中点A</note>，并且<note>直线l垂直于线段PR</note>。因此，<note>直线l是线段PR的垂直平分线</note>。##


Question: 求 y。

Answer: \frac { 5 \sqrt { 2 } } { 2 }

1. 在△ABC中，已知∠CAB = 45°，∠ACB = 90°，##根据直角三角形的定义，△ABC为直角三角形，根据正切函数的定义，tan∠CAB=CB/CA=tan45°=1，由图知CB=5，所以CA=CB=5。根据等腰三角形的定义，得直角△ABC为等腰直角三角形。

2. ##根据等腰三角形的性质，得∠CBA=∠CAB=45°##。

3. ##已知CD⊥AB，则∠CDA和∠CDB等于90°。根据直角三角形的定义，△ACD和△CDB都是直角三角形。根据正切函数的定义，tan∠CAD=CD/AD，tan∠DBC=CD/BD，因为∠CAD=∠DBC=45°，tan45°=1，所以y=CD=AD=BD=?AB=?x。

4. ##在等腰直角△ABC中，根据勾股定理，CA?+CB?=AB?，即5?+5?=x?，计算得x=5√2##。

##5. 由此得y=?x=5√2／2##。

##6##. 根据上述推导，我们得出最终的解为 ##y = 5√2／2##。

直角三角形; 等腰三角形; 余弦; 正弦

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

在本题图中，<note>直角三角形ABC</note>中，<note>边CA和边CB相等</note>，因此直角三角形ABC是一个等腰三角形。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

在本题图中，<note>等腰三角形ABC</note>中，<note>边CA和边CB相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>∠CBA=∠CAB=45°##</note>。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>在本题图中，三角形ABC中，∠ACB是直角（90度）</note>，因此三角形ABC是一个直角三角形。边CA和边CB是直角边，边AB是斜边。<note>在△ACD和△CDB中，∠CDA和∠CDB等于90°</note>，那么△ACD和△CDB为直角三角形，边AD、CD、BD为直角边，CA、CB为斜边。

正切函数的定义

在直角三角形中，一个锐角的正切值等于相对直角边长度除以相邻直角边长度。

<note>在本题图中，等腰直角三角形ABC中，∠CAB = 45°</note>，<note>边CB是∠CAB 的相对直角边</note>，<note>边CA是∠CAB 的相邻直角边</note>，所以∠CAB 的正切值等于边CB的长度除以边CA的长度，即<note>tan∠CAB  = CB / CA=tan45°=1</note>，所以<note>CA=CB=5</note>。在直角△ACD中，<note>∠CAD=45°</note>，<note>边CD是∠CAD的相对直角边</note>，<note>边AD是∠CAD的相邻直角边</note>，所以∠CAD 的正切值等于边CD的长度除以边AD的长度，即<note>tan∠CAD  = CD / AD=tan45°=1</note>，所以<note>AD=CD=y</note>。在直角△BCD中，<note>∠DBC=45°</note>，<note>边CD是∠DBC的相对直角边</note>，<note>边BD是∠DBC的相邻直角边</note>，所以∠DBC


Question: 求 m \angle R。

Answer: 58

####

##1. ##通过对四边形及其角关系的理解，任何四边内角和为 360°（四边形内角和定理），即 ∠R + ∠Q + ∠S + ∠T = 360°。

##2##. 又因为 ∠R = ∠T，所以 2∠R + (2x + 5) + (2x + 7) = 360°。

##3##. 合并角度，得到 2x + 5 + 2x + 7 = 4x + 12，然后 2∠R + 4x + 12 = 360°。

##4##. 整理为 2∠R = 360 - 4x - 12，化简得到 2∠R = 348 - 4x。

##5##. ∠R = 174 - 2x，现在我们需要通过 x 的限定条件来解决 x，求出具体的 x 值。

##6##. ∠R 和 ∠T 相等且为 x°，得出方程 x = 174 - 2x。

##7##. 解方程 x = 174 - 2x 为 3x = 174，即 x = 58°。

##8##. 现得 ∠R = x = 58°，所以最终得出角 ∠R 的度数为 58°。

四边形定义

<note>四边形QRST</note>由四条线段<note>QR, RS, ST和TQ</note>组成，这些线段称为四边形的边。四边形QRST有四个顶点，分别是<note>点Q, 点R, 点S和点T</note>，并且有四个内角，分别是<note>角Q, 角R, 角S和角T</note>。##

四边形的内角和定理

在任意四边形中，四个内角的和为360°。

在本题图中，四边形 <note>RQTS</note> 中，<note>角 R、角 Q、角 S 和角 T</note> 是四边形的四个内角，根据四边形的内角和定理，这<note>四个内角的和为 360°</note>，即 <note>∠R + ∠Q + ∠S + ∠T = 360°</note>。


Question: 如图,AB是斜靠在墙壁上的长梯,梯脚B距墙1.6米,梯上点D距墙1.4米,BD长0.55米,则梯子长为()

Answer: 4.40米

1. 已知梯子斜靠在墙壁上，设梯子顶端为点A，梯子的底部为点B，且AB为梯子的长度，B点距墙壁底部的距离为BC=1.6米，D点至墙壁的距离为DE=1.4米，##BD##=0.55米。

2. 根据题意，AB和地面以及竖直墙壁形成直角三角形△ABC，而梯子的每级踏板均与地面平行，也就是说DE平行于BC。

3. ##根据平行线分线段成比例定理，因为直线DE与三角形ABC的边BC平行，并截它的其他两边AB和AC，那么它截得的线段与原三角形相对应的线段成比例，所以AD/AB=DE/BC##。

####

##4##. 设梯子AB的长度为x米，则##（x-0.55）/x = 1.4/1.6##。

##5##. 解这个比例关系方程，可以得出：##1.6（x-0.55）=1.4x，因此x =## 4.4##。

####

##6##. 最后我们得出梯子的长度为4.40米。

直角三角形; 线段; 余弦

平行线的定义

在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

<note>直线DE和直线BC</note>位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据<note>平行线的定义</note>，<note>直线DE和直线BC</note>是平行线。

平行线分线段成比例定理

如果一条直线与一个三角形的一条边平行，并截它的其他两边或两边的延长线，那么它截得的线段与原三角形相对应的线段成比例。

<note>三角形ABC</note>中，<note>直线DE与边BC平行</note>，并截它的其他两边AB和AC于<note>点D和E</note>，那么根据平行线分线段成比例定理，有：<note>AD/AB=DE/BC</note>，即截得的线段与原三角形相对应的线段成比例。


Question: 如果 A E = m - 2, E C = m + 4, A D = 4, 并且 A B = 20, 求 m。

Answer: 4

1. ##在△ABC中，DE∥BC，根据平行线的平行平行公理2和同位角的定理，可得∠AED=∠ACB。且∠DAE=∠BAC，根据相似三角形的判定定理(AA)，△ADE∽△ABC##。

2. 已知 AE = m - 2, EC = m + 4, AD = 4, AB = 20，##根据相似三角形的定义，可得AE/AC=AD/AB，且AC=AE+EC=(m-2)+(m+4)=2m+2##。

3. ##将已知条件带入等式可得：(m - 2) / (2m + 2) = 4 / 20 ##。

####

##4. 解方程 (m - 2) * 20 = (2m + 2) * 4。##

##5. 化简方程得到 20m - 40 = 8m + 8。##

##6. 移项并合并同类项得到 20m - 8m = 40 + 8。##

##7. 化简后结果为 12m = 48。##

##8. 解 m = 48/12。##

##9##. 最终得出 m = 4。

线段; 三角形的外角; 普通三角形

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

在本题图中，<note>两条平行线DE和BC</note>被第三条直线<note>AC</note>所截，形成了以下几何关系：
    1. 同位角：<note>角AED和角ACB相等</note>。
    这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。####

同位角的定义

在本题图中，<note>两条平行直线DE和BC被一条直线AC截交</note>，其中<note>角AED和角ACB位于截线AC的同旁，被截两直线DE和BC的同一侧</note>，因此<note>角AED和角ACB是同位角</note>。<note>同位角相等，即角AED等于角ACB</note>。####

相似三角形的判定定理(AA)

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>三角形ADE和三角形ABC是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>角DAE = 角BAC</note>, <note>角AED = 角ACB</note>, <note>角ADE = 角ABC</note>；<note>AD/AB = AE/AC = DE/BC</note>。##


Question: 求x的值。四舍五入到十分位。

Answer: 30.2

余弦定理

在任意三角形中，任意一边的平方等于另外两边的平方之和减去这两边与该角所夹角的两倍余弦乘积，即 ##c?= a? + b?##- 2ab * cos(角C)。

<note>在本题图中，三角形△DGF中，边DG、GF、DF分别对应三角形的三条边</note>，<note>角∠GDF是由边DG和边GF所夹的角</note>。根据余弦定理，<note>边DF的平方等于另外两边DG和GF的平方之和减去这两边与该角∠GDF所夹角的两倍余弦乘积</note>，即<note>##DF? = DG? + GF?## - 2 * DG * GF * cos(∠GDF)</note>。


Question: 求平行四边形的面积。如果有必要，四舍五入到最接近的十分位。

Answer: 10.2

1. 已知这是一个平行四边形，##由图中平行四边形内一角标注一个直角标记，表示这两条线互相垂直，即该角为直角。并且和四个边上各画了一条短线，表示这两条边长度相等##。

2. ##根据平行四边形的性质定理和平行四边形的邻角互补定理得，该直角和对角相等，和两个邻角互补，所以四边形内四个角均为直角##。

3. ##根据反推矩形的定义，矩形是一种四边形，其四条边相等且四个内角均为直角（90度）。因为该平行四边形的四个内角都为直角，所以该平行四边形同时也是一个矩形##。

4. ##根据矩形的面积公式，矩形的面积 = 长 * 高。已知该平行四边形的边长为3.2m且四边等长，所以平行四边形的面积 = 3.2 * 3.2=10.24##。根据指定要求将面积保留到小数点后一位, 10.24四舍五入后得到10.2平方米。

5. 经过上述推理，最终得出答案为10.2平方米。

平行四边形的性质定理

在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。

平行四边形的定义

平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。

##在本题图中，<note>四边形ABCD是一个平行四边形</note>，<note>边AB与边CD平行且相等</note>，<note>边AD与边BC平行且相等</note>##。##

平行四边形的邻角互补定理

在平行四边形中，相邻的内角互补，即它们的和为180°。

<note>平行四边形ABCD</note>中，<note>角A</note>和<note>角D</note>是相邻的内角，<note>角C</note>和<note>角D</note>也是相邻的内角。根据平行四边形的邻角互补定理，<note>角A + 角D = 180°</note>，<note>角C + 角D = 180°</note>。

矩形的定义

矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。

<note>四边形ABCD是一个矩形</note>，其内角<note>∠A, ∠B, ∠C, ∠D都是直角（90度）</note>，且<note>边AB与边CD平行且等长</note>，<note>边AD与边BC平行且等长</note>。

矩形的面积公式

矩形的面积等于其长度乘以其宽度。

在本题图中，<note>矩形的面积等于其长度乘以其宽度</note>。由于<note>图形是一个矩形</note>，其边长均为3.2米，所以<note>面积 = 长 × 宽</note> = 3.2米 × 3.2米 = 10.24平方米。


Question: 如图,点A、B、C是⊙O上的三点,若∠A=40°,则∠BOC的度数是()

Answer: 80°

1. 已知点A、B、C是圆O上的三点，角A=40°。

2. ##根据圆周角定理##，在圆内，圆心角等于它所对的圆周角的两倍。因此，角BOC=2×角A。

3. 具体到本题中，角BOC=2×40°。

4. 计算得出，角BOC=80°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为80°。

圆的定义

到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

在本题图中，圆O中，<note>角BAC的顶点A在圆周上</note>，<note>角BAC的两边分别与圆O相交于点B和点C</note>。因此，<note>角BAC是一个圆周角</note>。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。


Question: 求 \\angle 2 的度数。

Answer: 76

1. 我们需要计算##∠2##的角度。

2. 首先，结合三角形的内角和定理，该定理指出三角形的内角和为180°。

3. 考虑第一个三角形，其中已知两角分别为47°和57°。

4. 根据三角形的内角和定理计算第三个内角∠1的度数：180° - 47° - 57° = 76°。

5. 由题目中的图形，我们观察到 ##∠1 和 ∠2是对顶角## 。

6. ##根据对顶角的定义，因此有∠1 = ∠2##。

7. 因此，##∠2##的度数为76°。

8. 经过上述推理，最终得出答案为76°。

对顶角; 三角形的外角; 普通三角形

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

在本题图中，三角形中，<note>角47°</note>、<note>角57°</note>和<note>角1是三角形的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角47° + 角57° + 角1 = 180°</note>。

对顶角的定义

对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。

<note>两个角：∠1、∠2</note>。根据对顶角的定义，<note>∠1 和 ∠2 是对顶角</note>。由于对顶角的角度相等，所以<note>∠1 = ∠2</note>。


Question: 如图,A、B、C三点在圆上,在△ABC中,∠ABC=70°,∠ACB=30°,D是弧BAC的中点,连结DB,DC,则∠DBC的度数为()

Answer: 50°

1. 在△ABC中，已知∠ABC=70°，∠ACB=30°。根据三角形内角和定理，得出∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-70°-30°=80°。

2. 因为D是弧BAC的中点，所以##弧BD=弧CD。由图可知∠DCB为弧BD的圆周角，∠DBC为弧CD的圆周角。已知弧BD=弧CD，则∠DCB=∠DBC##。

3. ##根据等腰三角形的定义，已知∠DCB=∠DBC，则三角形BDC为等腰三角形##。

####

##4. 根据三角形内角和定理，任意三角形的三个内角的和为180°。在三角形BDC中，∠DBC+∠BDC+∠DCB=180°##，因为根据圆周角定理推论1，有：∠BDC=∠BAC=80°。则##∠DBC=(1/2)×(180°-∠BDC)= (1/2)×(180°-80°)=50°。

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为50°。

圆; 圆周角; 弧; 中点; 等腰三角形

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

<note>圆O中，角BAC的顶点(点A)在圆周上</note>，角BAC的两边分别与圆O相交于<note>点B和点C</note>。因此，<note>角BAC是一个圆周角</note>。<note>圆O中，角BDC的顶点(点D)在圆周上</note>，角BDC的两边分别与圆O相交于<note>点B和点C</note>。因此，<note>角BDC是一个圆周角</note>。

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

在本题图中，三角形BDC中，<note>边BD和边CD相等</note>，因此<note>三角形BDC是一个等腰三角形</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形ABC中，角ABC、角ACB和角BAC是三角形ABC的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角ABC + 角ACB + 角BAC = 180°</note>。##同理，<note>三角形DBC中，角DBC、角DCB和角BDC是三角形DBC的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角DBC + 角DCB + 角BDC = 180°</note>。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

圆周角定理推论1

在一个圆中，任意两个与同一弧相对应的圆周角相等。

<note>圆O中，弧BC对应的圆周角∠BAC和∠BDC相等</note>。根据圆周角定理推论1，<note>与同一弧BC相对应的圆周角∠BAC和∠BDC相等</note>，即<note>∠BAC=∠BDC</note>。##


Question: 线段与圆相切。求 x 的值。

Answer: 3

1. ##已知线段WX与线段XY分别和圆Z相切于W和Y，连接WZ、ZY、ZX。##。

2. ##根据圆的切线定义和圆的切线性质，切线WX和切线XY分别与经过切点W、切点Y的半径WZ和半径YZ垂直，即∠ZWX=90°，∠ZYX=90°##。

3. ##根据直角三角形的定义，△WZX和△ZYX为直角三角形##。

4. ##因为WZ和ZY为圆Z的半径，所以WZ=ZY。根据直角三角形全等判定（斜边、直角边），∠ZWX=∠ZYX=90°，ZX=ZX，WZ=ZY，直角三角形WZX和直角三角形ZYX全等。##。

5. ##根据全等三角形的定义，直角三角形WZX和直角三角形ZYX全等，所以WX=XY，即2x+9=3x+6##。

6. 简化方程：##3x-2x=9-6##。

7. 求解该方程：##x=3##。

####

##8##. 经过上述推理，最终得出答案为 x = 3。

圆的切线定义

圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。

<note>圆 Z 与直线 WX 有且只有一个公共点 W，这个公共点叫做切点</note>。因此，直线 WX 是圆 Z 的切线。<note>圆 Z 与直线 XY 有且只有一个公共点 Y，这个公共点叫做切点</note>。因此，直线 XY 是圆 Z 的切线。

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

<note>在本题图中，圆Z中，点W是直线WX与圆的切点，线段WZ是圆的半径。</note>根据圆的切线性质，<note>切线WX与经过切点W的半径WZ垂直，即∠ZWX=90度。</note><note>圆Z中，点Y是直线XY与圆的切点，线段ZY是圆的半径。</note>根据圆的切线性质，<note>切线XY与经过切点Y的半径ZY垂直，即∠ZYX=90度。</note>

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段。

<note>圆Z中，点Z是圆心</note>，点W是圆上的任意一点，<note>线段WZ是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段WZ是圆的半径</note>。<note>圆Z中，点Z是圆心</note>，点Y是圆上的任意一点，<note>线段YZ是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段YZ是圆的半径</note>。####

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

直角三角形全等判定（斜边、直角边）

如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等。

在本题图中，直角三角形<note>ZWX和直角三角形ZYX</note>中，假设<note>角ZWX和角ZYX都是直角（90度）</note>。如果<note>边ZX等于边ZX（斜边）</note>，并且<note>边ZW等于边ZY（直角边）</note>，那么根据直角三角形全等判定（斜边、直角边），这两个直角三角形<note>ZWX和ZYX全等</note>。####

全等三角形的定义

两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等。

<note>三角形ZWX和三角形ZYX是全等三角形</note>，三角形ZWX的<note>对应边和对应角与三角形ZYX相等</note>，即：
<note>边WZ = 边ZY</note>，
<note>边WX = 边YX</note>，
<note>边ZX = 边ZX</note>，
同时，<note>对应的角也相等</note>：
<note>角ZWX = 角ZYX</note>，
<note>角WZX = 角YZX</note>，
<note>角WXZ = 角YXZ</note>.


Question: m \angle 9 = 2 x - 4, m \angle 10 = 2 x + 4。求 \angle 10 的度数。

Answer: 94

1. 已知条件为##∠9## = 2x - 4和##∠10## = 2x + 4##，设竖向线段为AB，横向线段为CD，两条线段相交于O点##。

2. ##根据邻补角的定义∠9和∠10互为邻补角。##所以我们可以建立方程(2x - 4) + (2x + 4) = 180。

3. 简化方程得到4x = 180。

4. 由此得到x = 45。

5. 将x的值45代入∠10的表达式##∠10## = 2x + 4中，得到##∠10## = 2(45) + 4 = 90 + 4 = 94。

6. 经过上述推理，最终得出答案为∠10的度数为94度。

邻补角的定义

两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。

<note>在本题图中，∠9和∠10有一条公共边</note>，<note>它们的另一边互为反向延长线</note>，<note>所以∠9和∠10互为邻补角</note>。因此根据定理可以有<note>∠9 + ∠10 = 180度</note>。具体为(2x - 4) + (2x + 4) = 180度。

角的定义

角是由两个有公共端点的射线组成的几何图形，其中的公共端点称为角的顶点，两条射线称为角的边。

在本题图中，<note>角9是由两条射线BO和CO组成的几何图形</note>，这两条射线有一个<note>共同的端点O</note>。这个<note>共同的端点O称为角9的顶点</note>，而<note>射线BO和CO称为角9的边</note>。同理，<note>角10是由两条射线AO和CO组成的几何图形</note>，这两条射线有一个<note>共同的端点O</note>。这个<note>共同的端点O称为角10的顶点</note>，而<note>射线AO和CO称为角10的边</note>。


Question: 求 P S。

Answer: 9

1. 已知条件为：PR是三角形PQS的高，PR垂直于SQ，SQ=14，PQ=9，QR=7，SR=7。

2. ##因为PR垂直于SQ，所以∠PRQ=∠PRS=90°，根据直角三角形的定义可判定三角形PRQ和三角形PRS都是直角三角形##。

3.
##由于RQ和SR均为7，则RQ=SR。三角形PRQ和三角形PRS又共用PR为直角边。根据全等三角形判定定理(SAS)，因为RQ=SR，PR=PR，∠PRQ=∠PRS=90°，所以三角形PRQ≌三角形PRS##。

##4. 根据全等三角形的定义，两个三角形的对应边相等，所以PS=PQ，已知PQ=9，所以PS=9##。

####

等腰三角形; 垂线; 直角三角形; 中点

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

<note>三角形PRS是由三个非共线点P、R、S及其连接线段PR、PS、SR组成的几何图形</note>。<note>点P、R、S分别是三角形的三个顶点</note>，<note>线段PR、PS、SR分别是三角形的三条边</note>。<note>三角形PRQ是由三个非共线点P、R、Q及其连接线段PR、PQ、QR组成的几何图形</note>。<note>点P、R、Q分别是三角形的三个顶点</note>，<note>线段PR、PQ、QR分别是三角形的三条边</note>。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

在本题图中，三角形PQR中，<note>角PRQ是直角（90度）</note>，因此三角形PQR是一个直角三角形。<note>边PR和边QR是直角边，边PQ是斜边</note>。三角形PSR中，<note>角PRS是直角（90度）</note>，因此三角形PSR是一个直角三角形。<note>边PR和边SR是直角边，边PS是斜边</note>。

全等三角形判定定理(SAS)

如果一个三角形的两边及其夹角分别与另一个三角形的两边及其夹角相等，那么这两个三角形全等。

<note>边PR与边PR相等</note>，<note>边SR与边QR相等</note>，且<note>夹角PRS与夹角PRQ相等</note>，因此根据全等三角形判定定理(SAS)，这两个三角形全等。

全等三角形的定义

两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等。

<note>三角形PRQ和三角形PRS是全等三角形</note>，三角形PRQ的对应边和对应角与三角形PRS的相等，即：
边<note>PS = PQ</note>
边<note>PR = PR</note>
边<note>SR = QR</note>，
同时，对应的角也相等：
角<note>PRS = PRQ</note>
角<note>PSR = PQR</note>
角<note>SPR = QPR</note>。##


Question: 如图,在菱形ABCD中,M,N分别为AB、CD上,且AM=CN,MN与AC交于点O,连接BO.若∠DAC=28°,则∠OBC的度数为()

Answer: 62°

1. 已知四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质，AB平行且等于CD，AD平行且等于BC。

2. 已知点M和点N分别在边AB和边CD上，且AM等于CN。连接MN，并延长MN使其与AC相交于点O。连接BO。

3. 在△AMO和△CNO中，有∠MAO=∠NCO（##内错角##相等），∠AMO=∠CNO（##内错角##相等），AM=CN（已知），

4. 根据ASA（角边角）全等三角形判定法，可以得出△AMO≌△CNO。

5. 由于对应边相等，所以AO=CO。

6. 又根据菱形ABCD的性质，AB=BC，并且菱形的对角线互相垂直平分。

7. 所以，BO垂直AC，并交于O点，得∠BOC=90°。

8. 已知∠DAC=28°，由于BC平行AD，所以∠BCA=∠DAC=28°（##内错角##相等）。

9. 在△BOC中，由于BO垂直AC，∠BOC=90°，所以∠OBC=90°-∠BCA=90°-28°。

10. 经过上述推理，最终得出∠OBC的度数为62°。

菱形; 内错角; 等腰三角形; 平行线

菱形的定义

菱形是四边都相等的四边形，且对角线互相垂直平分。

内错角的定义

当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

全等三角形判定定理(ASA）

如果一个三角形的两角和它们夹着的一边分别等于另一个三角形的两角和它们夹着的一边，则这两个三角形全等。

<note>三角形AOM和三角形CON中</note>，<note>∠AMO=∠CNO</note>，<note>∠MAO=∠OCN</note>，且<note>边AM等于边CN</note>。由于这两个三角形的两角和它们夹着的一边分别相等，根据全等三角形判定定理的角边角准则（ASA），可以得出<note>三角形AMO全等于三角形CNO</note>。


Question: 如图,已知圆周角∠BAD=50°,那么圆周角∠BCD的度数为()

Answer: 130°

1. ##有图知，点A、B、C、D都在圆O上，根据内接四边形，得##四边形ABCD内接于圆O。

2. 根据##(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理##，∠BAD与∠BCD互补，即∠BAD + ∠BCD = 180°。

3. 已知∠BAD = 50°，代入前一步的方程得到：50° + ∠BCD = 180°。

4. 解方程得：∠BCD = 180° - 50° = 130°。

5. 因此，圆周角∠BCD的度数为130°。

圆; 圆周角; 圆内接四边形

内接四边形

在本题图中，四边形<note>ABCD</note>的四个顶点<note>A、B、C和D</note>都在同一个<note>圆O</note>上。这个圆称为四边形<note>ABCD</note>的外接圆。因此，四边形<note>ABCD</note>是一个内接四边形。根据内接四边形的性质，可以得出<note>对角相加等于180度</note>，即<note>∠BAD + ∠BCD = 180度</note>，<note>∠ABC + ∠ADC = 180度</note>。

(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理

<note>在本题图中，圆内接四边形ABCD中，四边形的顶点A、B、C、D都在圆上</note>。根据圆内接四边形对角互补定理，四边形ABCD的每一对对角的和等于180°。具体来说，<note>∠BAD + ∠BCD = 180°</note>；<note>∠ABC + ∠ADC = 180°</note>。


Question: 求解 x。

Answer: 14

1. ##设三角形三个顶点分别为A、B、C，已知∠CAB=30°，∠ACB=90°。根据直角三角形的定义，△ABC为直角三角形##。

2. ##根据三角形内角和定理，∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=180°-30°-90°=60°##。

3. ##依据30°-60°-90°三角形的性质，60°角所对的边是短边的√3倍，即AC=√3*BC##。

4. ##已知AC=14√3，BC=14√3/√3=14，即x=14##。

####

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为x = 14。

直角三角形; 正弦; 余弦

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形ABC</note>中，<note>角ABC</note>、<note>角ACB</note>和<note>角BAC</note>是<note>三角形ABC的三个内角</note>，根据<note>三角形内角和定理</note>，<note>角ABC + 角ACB + 角BAC = 180°</note>。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

在本题图中，<note>三角形ABC中，角ACB为直角（90度）</note>，因此该三角形是一个直角三角形。<note>边14√3和边x是直角边，边y是斜边</note>。

30°-60°-90°三角形的性质

<note>在本题图中，30°-60°-90°三角形ABC中</note>，<note>角BAC是30度</note>，<note>角ABC是60度</note>，<note>角ACB是90度</note>。<note>边AB是斜边</note>，<note>边BC是30度角所对的边</note>，<note>边AC是60度角所对的边</note>。根据30°-60°-90°三角形的性质，<note>边BC等于边AB的一半</note>，<note>边AC等于边BC的√3倍</note>。即：<note>BC = 1/2 * AB</note>，<note>AC = BC * √3</note>。


Question: 求 \\angle A 的度数，精确到十分位。

Answer: 41.8

1. ##根据直角三角形定义，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，边 BC 和边 AC 是直角边，边 AB 是斜边##。

2. 已知边 BC=18，边 AB=27。根据##正弦函数定义##，∠CAB 的正弦值为对边与斜边的比，即 ##sin(∠CAB)= BC/ AB=18/27##。

3. 通过计算，##sin(∠CAB)=18/27=2/3##。

4. 使用反正弦函数（表示为 sin^{-1} 或 ##arcsin##），可以求得 ∠CAB 的具体度数为 ##sin^{-1}(2/3)##。

5. 计算## sin^{-1}(2/3)##，##精确到十分位##，得到 ∠CAB 的近似值为 41.8°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 ∠CAB ≈ 41.8°，##即∠A 的度数约为41.8°##。

直角三角形; 正弦; 余弦; 正切

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

在本题图中，<note>在 △ABC 中，∠ACB 是直角（90度）</note>，因此 △ABC 是一个直角三角形。<note>边 BC 和边 AC 是直角边，边 AB 是斜边</note>。

正弦函数定义

在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。

在本题图中，<note>直角三角形 ABC 中，∠CAB 是锐角，边 BC 是∠CAB 的对边，边 AB 是斜边。根据正弦函数定义，∠CAB 的正弦值等于对边 BC 与斜边 AB 的比值</note>，即 sin(∠CAB) = BC / AB = 18 / 27。


Answer: \frac{4}{5}

1. 已知∠α是锐角，且cosα=##4/5##。

2. 根据锐角互余特性，设∠α的互余角为∠B，则∠B=90°-∠α。

3. ##根据余弦函数，cos(∠α)=b/c。根据正弦函数，sin(∠B)=b/c，所以cos(∠α)=sin(∠B)。已知∠B=90°-∠α，则cos(∠α)=sin(90°-∠α)##。

4. 将已知条件cosα=##4/5##代入上式，得到sin(90°-∠α)=##4/5##。

5. 经过上述推理，最终得出答案为##4/5##。

直角三角形; 正弦; 余弦

在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。

<note>在本题图中，直角三角形ABC中，</note>角B是锐角，<note>边AC是角B的对边，边AB是斜边</note>。根据正弦函数定义，<note>角B的正弦值等于对边AC与斜边AB的比值，即sin(B) = AC / AB = b / c。</note>

余弦函数

余弦函数是一个三角函数，它可以通过直角三角形中的边来定义，对于一个角α，它的余弦值等于角α的邻边与斜边的比值。####

在本题图中，直角三角形<note>ABC</note>中，边<note>AC</note>是角<note>∠α</note>的邻边，边<note>AB</note>是斜边。因此，根据余弦函数的定义，角<note>∠α</note>的余弦值等于邻边<note>AC</note>与斜边<note>AB</note>的比值，即cos(∠α) = AC / AB = <note>b</note> / <note>c</note>。


Question: 如果 C W = W F 且 E D = 30，求 D F?

Answer: 15

1. ##两边延长WF交劣弧ED于点X，交优弧ED于点Y，由直径定义可知，XY是圆W的直径##。

2.##已知XY⊥ED，由垂径定理可知，XY平分ED，EF＝FD＝ED/2##

3.##因为ED＝30，所以FD＝30/2＝15##

####

圆; 弦; 垂线; 垂直平分线; 圆心角

垂径定理

如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧

弦的定义

弦是连接圆上任意两点的线段。

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径


Question: 如图,直线AB,CD相交于点O,射线OM平分∠AOC,ON⊥OM．若∠AOC=70°,则∠CON的度数为()

Answer: 55°

1. 已知ON垂直于OM，##根据垂线定义##，得出∠MON=90°。

2. 由已知OM平分∠AOC，且∠AOC=70°，根据角平分线定义，得出##∠MOC=∠AOM=?∠AOC=?*70°##=35°。

3. ##由图知∠MON=∠MOC+∠CON##，得出∠CON=∠MON-∠MOC。

4. 代入数值，∠CON=90°-35°=55°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为55°。

对顶角; 射线; 垂线; 直角三角形

垂线定义

如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。

角平分线定义

角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。


Question: 求x的值。四舍五入到十分位。

Answer: 14.1

1. ##由图知三角形有两个相等的边长为x，斜边为20，且有一个角是直角，根据等腰直角三角形的定义，得图为等腰直角三角形##。

2. 根据##勾股定理（毕达哥拉斯定理）##，即##等腰直角三角形##的两个直角边的平方和等于斜边的平方，可以写出方程：x^2 + x^2 = 20^2。

3. 计算方程：2x^2 = 400 => x^2 = 200。

4. 取x的正值（因为边长不能为负），得x =## √(200)##。

5. 进一步计算得出x ≈ 14.142，最后根据要求四舍五入到最近十分位，x ≈ 14.1。

6. 经过上述推理，最终得出答案为x ≈ 14.1。

直角三角形; 等腰三角形; 余弦

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>等腰直角三角形</note>中，设两直角边为<note>x和x</note>，斜边为<note>20</note>，根据勾股定理，<note>x^2 + x^2 = 20^2</note>。

等腰直角三角形的定义

等腰直角三角形是两个边相等且有一个角为90度的三角形。

<note>其中一个角是直角（90度）</note>，<note>两条相等的直角边分别为x</note>，斜边为20。<note>根据等腰直角三角形的定义</note>，可得此图为等腰直角三角形。


Question: 四边形 W X Y Z 内接于 \\odot V。求 m \\angle X。

Answer: 120

1. ##已知条件为四边形 WXYZ 四个顶点内接于圆 V，则WXYZ 是圆V的内接四边形。∠ YZW = 60°。##

2. ##根据(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理，圆内接四边形对角的内角和等于 180 度。因此可以得出 ∠WXY + ∠WZY = 180°  和 ∠XWZ + ∠XYZ = 180°。##

####

##3. 由 ∠WXY + ∠WZY = 180°  可得：∠WXY = 180° - ∠WZY = 180° - 60° = 120°。##

##4##. 经过上述推理，最终得出答案为 ##∠WXY = 120°##。

圆内接四边形; 圆周角; 圆

内接四边形

在本题图中，<note>四边形 WXYZ 的四个顶点 W、X、Y、Z 都在圆 V 上</note>。因此，<note>四边形 WXYZ 是一个内接四边形</note>。

(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理

在一个圆内接四边形中，每一对对角的和等于180°。并且任何一个外角都等于他的内对角。

在本题图中，四边形 WXYZ 内接于圆 V。因此，<note>∠WXY</note> + <note>∠WZY</note> = 180° 和 <note>∠XWZ</note> + <note>∠XYZ</note> = 180°。根据定理，<note>∠XWZ</note> + <note>∠XYZ</note> = 180° 可得 <note>∠XYZ</note> = 180° - <note>∠XWZ</note> = 180° - 95° = 85°，<note>∠WXY</note> + <note>∠WZY</note> = 180° 可得 <note>∠WXY</note> = 180° - <note>∠WZY</note> = 180° - 60° = 120°。


Question: 在 \\odot R 中，求 T V。四舍五入到小数点后两位。

Answer: 18.44

1. ##已知R为圆 R 的圆心，点T，U，V在圆 R上，UR为圆 R的半径。根据圆的定义，UR =TR = VR；根据弦的定义，TV为圆R上的一条弦；TV垂直于 UR 且交于点 S，根据垂径定理，TS = SV。##

2. ##已知 US = 5 且 SR = 6，那么 TR = UR = VR = US +SR = 5 + 6 = 11。##

####

3. ##由于TV垂直于 UR 且交于点 S，根据直角三角形的定义，三角形TSR为直角三角形。根据勾股定理（毕达哥拉斯定理）可得，TS^2+SR^2=TR^2，即TS^2+6^2=11^2。##

####

##4. 计算出: TS = √(121 - 36) = √85 ≈ 9.22。##

##5. 已知 TS =SV，因此计算 TV 为： TV = 2 * TS =2 * 9.22 = 18.44。##

####

##6. ## 将 TV 的值四舍五入到最近的百分位，最终计算结果是 18.44。

圆; 垂线; 直线; 直角三角形; 弦

弦的定义

弦是连接圆上任意两点的线段。

圆的定义

到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。

在本题图的圆中，<note>点R是圆心</note>，半径为<note>UR</note>，点<note>T，U，V在圆R上</note>，那么<note>UR = TR = VR</note>。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>角TSR是直角（90度）</note>，因此三角形TSR是一个直角三角形。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>∠TSR 是直角（90°）</note>，<note>边 TS 和 SR 是直角边，边 TR 是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>TS^2+SR^2=TR^2</note>。

垂径定理

如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段。

<note>圆R中，点R是圆心</note>，<note>点T、点U、点V是圆上的任意一点</note>，<note>线段RT、RU、RV是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段RT、RU、RV是圆的半径</note>。


Answer: 114°

1. 已知AB是⊙O的直径，根据圆周角定理，∠BDC=33°。

2. 圆周角定理告诉我们同弧所对的圆心角是圆周角的两倍，所以∠BOC=2∠BDC=66°。

3. AB是直径，因此∠AOB=180°。

4. ##∠AOC##+∠BOC=180°，由此可得∠AOC=180°-∠BOC。

5. 将∠BOC的值代入，得∠AOC=180°-66°=114°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为114°。

圆; 圆心角; 圆周角; 直角三角形; 线段

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

<note>在本题图中，圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O</note>。<note>连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角</note>。同样，<note>点B和点C是圆上的两点</note>，<note>连线OB和OC组成的角∠BOC称为圆心角</note>。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。


Question: 如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,AE平分∠DAC,∠B=50°,求∠DAE的度数为()

Answer: 25°

1. 在△ABC中，已知∠BAC=90°，∠B=50°。

2. 根据三角形内角和定理，△ABC中∠C=180°-∠BAC-∠B=180°-90°-50°=40°。

3. 由于AD⊥BC于点D，##根据垂线定义，所以∠ADC=90°。

####

##4##. 在△ADC中，已知∠ADC=90°，∠C=40°。

##5##. 根据三角形内角和定理，△ADC中∠DAC=180°-∠ADC-∠C=180°-90°-40°=50°。

7. 由于AE平分∠DAC，##根据角平分线定义，因此∠DAE=1/2*∠DAC=1/2×50°=25°##。

8. 经过上述推理，最终得出答案为25°。

直角三角形; 垂线; 普通三角形; 三角形的外角

角平分线定义

角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。

垂线定义

如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。

<note>直线AD和直线BC相交形成的##角∠ADC##是90度</note>，因此根据垂线定义，<note>直线AD和直线BC互相垂直</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形ABC中，角ABC、角BAC和角BCA是三角形ABC的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角ABC + 角BAC + 角BCA = 180°</note>。<note>三角形ADC中，角ADC、角DAC和角DCA是三角形ADC的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角ADC + 角DAC + 角DCA = 180°</note>。


Question: 如图,AB是⊙O的直径,∠ADC的度数是35°,则∠BOC的度数是()

Answer: 110°

1. 已知∠ADC的度数是35°，根据圆周角定理，得出##∠AOC## = 2 × ∠ADC = 2 × 35° = 70°。

2. 由于AB是直径，根据##平角定义##得出∠AOC + ∠BOC = 180°。

3. 由∠AOC = 70° 和 ∠AOC + ∠BOC = 180°，得出∠BOC = 180° - 70° = 110°。

4. 经过上述推理，最终得出答案为110°。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

平角的定义

一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度。

在本题图中，<note>射线x绕着端点x旋转到与起始边成一条直线</note>，形成<note>平角AOB</note>。根据平角的定义，平角的度数为180度，即<note>角AOB=180度</note>。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

<note>在本题图中，圆O中，点A和点C是圆上的两点，圆心是点O</note>。<note>连线OA和OC组成的角∠AOC称为圆心角</note>。


Question: 四边形 W X Y Z 是一个矩形。如果 m \\angle 1 = 30，求 \\angle 3 的度数。

Answer: 60

1. 已知条件为四边形 WXYZ 是一个矩形，##设对角线 WZ 和 YX 相交于 O，根据矩形的对角线性质，在矩形中，对角线相等且互相平分，因此 WZ =XY，WO = ZO = XO = YO。##

####

##2. 由于四边形 WXYZ 是矩形，根据矩形的定义，∠WXZ = 90°。已知∠1 = 30°，那么∠2= 90°- 30° =60°。##

##3. 已知ZO = XO，根据等腰三角形的定义，三角形XOZ为等腰三角形；又根据等腰三角形的性质可得，∠2 =∠3。##

##4. 由以上内容可知，∠2 =∠3 =60°。##

####

##5. 经过以上计算，∠3 =60°。##

矩形; 邻补角; 内错角

矩形的定义

矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。

<note>四边形 WXYZ 是一个矩形</note>，其<note>内角 ∠WXZ、∠XZY、∠ZYW、∠YWX 都是直角（90度）</note>。

矩形的对角线性质

在矩形中，对角线相等且互相平分。

在本题图中，矩形WXYZ中，<note>边WX与边YZ平行且相等</note>，<note>边WY与边XZ平行且相等</note>。<note>对角线WZ和XY相等且互相平分</note>，即<note>对角线WZ与对角线XY的交点O是两条对角线的中点</note>。因此，<note>线段WO等于线段ZO</note>，<note>线段YO等于线段XO</note>。

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

<note>三角形XOZ中，边XO和边ZO相等</note>，因此三角形XOZ是一个等腰三角形。####

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

<note>等腰三角形XOZ中，边XO和边ZO相等</note>，因此，根据等腰三角形的性质，<note>相等的两边所对的角相等，即∠2 = ∠3</note>。


Question: 如图,四边形ABCD内接于⊙O,如果它的一个外角∠DCE=64°,那么∠BOD=()

Answer: 128°

1. 已知四边形ABCD内接于圆O，##根据(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理##，得出∠BAD + ∠BCD = 180°。

2. ##由平角的定义得∠BCD + ∠DCE = 180° ，又因为## ∠DCE = 64°得到∠BCD = 116°。

3. 因∠BAD + ∠BCD = 180°，所以∠BAD = 180° - 116° = 64°。

4. ##根据圆周角定理##，故∠BOD = 2 × ∠BAD = 2 × 64° = 128°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为128°。

圆; 圆内接四边形; 三角形的外角; 对顶角; 圆心角

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

<note>在本题图中，圆O中，角BAD的顶点(点A)在圆周上，角BAD的两边分别与圆O相交于点B和点D。</note> 因此，<note>角BAD是一个圆周角</note>。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

<note>在本题图中，圆O中，点B和点D是圆上的两点，圆心是点O。连线OB和OD组成的角∠BOD称为圆心角。</note>

平角的定义

<note>射线BC</note>绕着<note>端点C</note>旋转到与起始边成一条直线，形成<note>平角BCE</note>。根据平角的定义，平角的度数为180度，即<note>角BCE=180度</note>。####

(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理

在本题图中，圆内接四边形<note>ABCD</note>中，四边形的顶点<note>ABCD</note>都在圆上。根据圆内接四边形对角互补定理，<note>四边形ABCD的每一对对角的和等于180°</note>。具体来说，<note>∠BAD + ∠BCD = 180°</note>。


Question: 在给定的平行四边形中找到 z。

Answer: 4.5

1. ##设平行四边形的四个顶点分别为A、B、C、D，两条对角线AC和BD相交于点O##。

2. ##已知条件为给定图形是一个平行四边形，根据平行四边形的性质定理，我们知道对角线相交时互为平分##。

3. ##根据上一步可得：AO=OC，又由图可知AO=3z - 4，OC= z + 5 ##。

4. 通过等式 3z - 4 = z + 5 设立方程，##整理方程：3z - z = 5 + 4##。

5. ##这简化为 2z = 9##。

6. ##进一步简化得到 z = 4.5##。

7. ##经过上述推理，最终得出答案为 z = 4.5##。

####

平行四边形的定义

平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。

平行四边形的性质定理

在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。

在本题图中，平行四边形中，<note>对角∠ABC和∠ADC</note>相等。<note>对角线AC和BD互相平分</note>，即交点将<note>对角线AC分成两段相等的线段AO和OC</note>，将<note>对角线BD分成两段相等的线段BO和OD</note>。


Question: 求 x。

Answer: 6 \sqrt { 6 }

1. ##设三角形为三角形ABC，图中在AB和AC两条线的交点处画一个直角标记，表示这两条线互相垂直。所以角BAC为直角三角形，斜边为BC。图中过点A有一条线段连接BC，设交点为点D。图中也在AD和BC两条边的交点处画一个直角标记，表示这两条线互相垂直，即AD⊥BC，所以∠ADB和∠ADC都是直角##。

2. ##根据直角三角形的定义，因为∠ADB=∠ADC=90°，所以三角形ADB和三角形ADC都是直角三角形##。

3. ##根据直角三角形中斜边上的高性质，因为AD⊥BC，所以AD为直角三角形ABC的斜边BC上的高，所以斜边上的高所形成的两个三角形与原三角形相似，即三角形ADB相似于三角形ABC，三角形ADC相似于三角形ABC，所以三角形ADB相似于三角形ADC##。

4. ##根据相似三角形的定义，两个相似三角形的对应边成比例，所以CD/AD=AD/BD。已知CD=x，AD=36，BD=6x，代入为：x/36=36/6X，交叉相乘得：6x^2=36^2##。

5. 解方程：##6x^2=36^2 ，6x^2=1296，x^2=216，x=√216=6√6##。

####

直角三角形; 正弦; 余弦

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

<note>三角形ABC是由三个非共线点A、B、C及其连接线段AC、AB、BC组成的几何图形。</note>点<note>A、B、C分别是三角形的三个顶点</note>，<note>线段AC、AB、BC分别是三角形的三条边</note>。<note>三角形ABD是由三个非共线点A、B、D及其连接线段AD、AB、BD组成的几何图形。</note>点<note>A、B、D分别是三角形的三个顶点</note>，<note>线段AD、AB、BD分别是三角形的三条边</note>。<note>三角形ADC是由三个非共线点A、D、C及其连接线段AC、AD、DC组成的几何图形。</note>点<note>A、D、C分别是三角形的三个顶点</note>，<note>线段AC、AD、DC分别是三角形的三条边</note>。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

直角三角形中斜边上的高性质

在直角三角形中，斜边上的高所形成的两个三角形与原三角形相似

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

在本题图中，<note>三角形ADB和三角形ADC是相似三角形</note>。根据<note>相似三角形的定义</note>有：<note>角ADB = 角ADC</note>，<note>角BAD = 角DAC</note>，<note>角ABD = 角CAD</note>；<note>CD/AD = AD/BD = AC/AB</note>。


Question: 如图,△ABC≌△ADE,若∠B=70°,∠C=30°,∠DAC=35°,则∠EAC的度数为()

Answer: 45°

1. 已知角B等于70度，角C等于30度，根据三角形内角和定理，得出∠BAC##=180度-角B-角C=180度-70度-30度##，即∠BAC = 80度。

2. 由已知条件△ABC全等于△ADE，根据##全等三角形的定义##，得到∠EAD等于∠BAC，因此∠EAD等于80度。

3. 因为∠EAC等于∠EAD减去∠DAC，即∠EAC = 80度减去35度，所以∠EAC等于45度。

4. 经过上述推理，最终得出答案为45度。

普通三角形; 三角形的外角; 对顶角

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形ABC中，角B、角C和角BAC是三角形ABC的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角B + 角C + 角BAC = 180°</note>，即<note>∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 70° - 30° = 80°</note>。

全等三角形的定义

两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等。

在本题图中，<note>三角形ABC和三角形ADE是全等三角形</note>，<note>三角形ABC的对应边和对应角与三角形ADE相等</note>，即：
<note>边AB = 边AD</note>
<note>边BC = 边DE</note>
<note>边CA = 边AE</note>
同时，对应的角也相等：
<note>角BAC = 角DAE</note>
<note>角ABC = 角ADE</note>
<note>角BCA = 角DEA</note>。


Question: 如图,一同学在湖边看到一棵树,他目测出自己与树的距离为20m,树的顶端在水中的倒影距自己5m远,该同学的身高为1.7m,则树高为()m．

Answer: 5.1

1. 如图，一名学生在湖边看到一棵树，他测量到自己与树的距离为20米，树的顶端在水中的倒影距离他5米，他的身高为1.7米。

2. 我们可以将树的高度设为x米。

3. 根据题意，树和人形成了两个相似的直角三角形。通过相似三角形的性质，两三角形的对应边成比例，可以得到：[树的倒影距离] / [人与树的距离减去倒影距离] = [人的身高] / [树的高度]。

4. 设立比值关系，等式为：\( \frac{5}{20-5} = \frac{1.7}{x} \)。

5. 计算得出：\( 5 \times x = 1.7 \times 15 \)。

6. 进一步计算 x = \( \frac{1.7 \times 15}{5} \)。

7. 最终结果是 x = 5.1。

8. 因此，树高为 5.1 米。

普通三角形; 反射; 直角三角形

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>三角形ABC（A为树顶，B为树底，C为倒影点）</note>和<note>三角形DEF（D为同学的眼睛，E为同学的脚，F为倒影点）</note>是相似三角形。根据相似三角形的定义有：<note>∠BAC = ∠EDF</note>, <note>∠BCA = ∠DFE</note>, <note>∠ABC = ∠DEF</note>；<note>AB/DE = BC/EF = AC/DF</note>。即，##<note>5/(20-5)</note> = <note>1.7/x</note>##.######

相似三角形的判定定理(AA)

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。


Question: 四边形 W X Y Z 是一个矩形。如果 m \\angle 1 = 30，求 \\angle 2 的度数。

Answer: 60

1. 已知条件为WXYZ是矩形。##依据矩形的定义可知，∠WXZ为矩形的一个内角，所以∠WXZ＝90°##

2.##由于∠WXZ＝∠1＋∠2，∠1＝30°，∠WXZ＝90°，整理可得∠2＝60°##。

3.##经过上述推理，最终得出答案为60度##。

####

矩形; 对顶角; 邻补角

矩形的定义

矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。


Question: 求正多边形的面积。四舍五入到最接近的十分位。

Answer: 23.4

1. 题中已知正六边形边长为3米。根据正六边形的定义，正六边形可以分割为6个全等的等边三角形。

2. 每个等边三角形的边长均为3米，由三角形内角和定理得出一个等边三角形的每个内角为60度。

3. 如图所示，以顶点B为中心点，连接相邻两个顶点A和C，得到等边三角形ABC。其中AD垂直于BC，且##AD##=DC。##在三角形BCD中，由三角形内角和定理可知∠BDC=180°-90°-60°=30°，根据30°-60°-90°三角形的性质##，BC的一半即##DC##等于1.5米。

4. 利用勾股定理计算BD####的长度，其中勾股定理的表达式为c^2 = a^2 + b^2。设B到D的垂直高度为h，则(3)^2 = (1.5)^2 + h^2。解得####h = 1.5√3。

5. 接下来计算每个等边三角形的面积。等边三角形的面积A可以通过公式A = 1/2 * 基底 * 高度，其中基底为3米，高度为1.5√3米。因此等边三角形的面积为1/2 * 3 * 1.5√3 ≈ 3.9平方米。

6. 整个正六边形由六个等边三角形组成，面积为6乘以其中一个等边三角形的面积。所以正六边形的面积为6 * 3.9 ≈ 23.4平方米。

7. 因此，最终得出正六边形的面积约为23.4平方米。

正多边形; 直角三角形; 正弦

正六边形

正六边形是一种每个内角都相等且每条边的长度都相等的六边形。

<note>正六边形</note>中，每个内角都相等且每条边的长度都相等。具体来说，正六边形的每个内角都是<note>120度</note>，每条边的长度相等，即<note>AB=BC=CD=DE=EF=FA=3米</note>。正六边形可以分割为<note>6个全等的等边三角形</note>。

等边三角形的定义

等边三角形是所有三条边长度相等并且所有内角都相等（均为60°）的三角形。

<note>三角形ABC是一个等边三角形</note>。<note>边AB、边BC和边CA的长度相等，均为3米</note>，并且<note>角BAC、角ABC和角BCA的度数相等，均为60°</note>。

高的定义

从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。

<note>在本题图中，从顶点B垂直于对边AC的线段BD是该顶点B的高</note>。<note>线段BD与边AC形成一个直角（90度）</note>，这说明<note>线段BD是从顶点B到对边AC的垂直距离</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形BCD中</note>，角∠BDC、角∠BCD和角∠DBC是<note>三角形BCD</note>的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>角∠BDC+ 角∠BCD+ 角∠DBC</note> = 180°。

垂直平分线的定义

经过线段中点且垂直于该线段的直线。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>直角三角形BCD中，∠BDC是直角（90度）</note>，<note>边BD和DC是直角边</note>，<note>边BC是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>BC^2 = BD^2 + DC^2</note>。

三角形的面积公式

任意三角形的面积等于其底乘以高除以2

<note>边AC是底</note>，<note>线段BD是高</note>。根据三角形的面积公式，三角形ABC的面积等于<note>底边AC乘以高BD再除以2</note>，即面积 = (AC * BD) / 2 = (3 * 1.5√3) / 2 ≈ 3.9平方米。