Question: 哪两个三角形通过AAS定理全等？完成全等语句。 △ \$ox\$ ≅△ \$ox\$

Answer: △HIJ≅△XWY

1. 已知角 H ≅ 角 X，且角 J ≅ 角 Y，根据全等三角形判定定理(AAS)，若两个三角形的两个角和非夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

2. 观察图形，寻找与角 H 和角 J 对应的两个角和相应的非夹边，发现三角形 WXY 中，角 X 和角 Y 分别与角 H 和角 J 对应。

3. 检查三角形 HIJ 和三角形 WXY 的非夹边，边 IJ ≅ 边 WY，这与 全等三角形判定定理(AAS)的要求一致。

4. 根据上述步骤，两角与非夹边分别对应相等，所以根据全等三角形判定定理(AAS)，△HIJ ≅ △XWY。

5. 为了写全等语句，根据角 H 对应角 X，角 J 对应角 Y，边 IJ 对应边 WY，可以进一步确认全等关系为 △HIJ ≅ △XWY。

Congruence Theorem for Triangles (AAS)

Two triangles are congruent if two angles and the included side of one triangle are respectively equal to two angles and the included side of the other triangle.

<note>角X与角H相等</note>，<note>角Y与角J相等</note>，<note>边WY与边JI相等，并且这条边不是夹在两个已知角之间</note>。因此，根据全等三角形判定定理(AAS)，<note>三角形HIJ与三角形WXY全等</note>。


Question:
哪两个三角形通过ASA定理全等？完成全等语句。

△ \$ox\$ ≅△ \$ox\$

Answer: △DEF≅△UWV

1. 观察给定的图片，发现三角形DEF和三角形UVW已经标注有相等的角和边。

2. 已知∠D≅∠U, 可以在图中看到这两个角的标记一致。

3. 已知 DE ≅ UW, 可以在图中看到边DE和边UW有相同的刻线标记，表示长度相等。

4. 同样可以观察到∠E≅∠W, 因为这两个角也有相同的标记。

5. 利用全等三角形判定定理的角边角准则（ASA）：如果两个三角形的两个角和夹在这两个角之间的边分别对应全等，那么这两个三角形全等。在此特定问题中，三角形DEF和UVW满足这个条件。

6. 通过对比已知的对应角和对应边，得出三角形DEF和三角形UVW是全等的。

7. 在满足ASA条件下，由于∠D≅∠U和∠E≅∠W，顶点D对应到U，顶点E对应到W，因此顶点F对应到V。

8. 因此，最终我们可以确认：△DEF≅△UWV。

Angle-Side-Angle (ASA) Criterion for Congruence of Triangles

If two angles and the included side of one triangle are respectively equal to two angles and the included side of another triangle, then the two triangles are congruent.

在本题图中，三角形DEF和三角形UVW中，<note>∠EDF≅∠WUV</note>，<note>∠DEF≅∠UWV</note>，且<note>边DE≅边UW</note>。由于这两个三角形的两角和它们夹着的一边分别相等，根据全等三角形判定定理的角边角准则（ASA），可以得出<note>三角形DEF全等于三角形UVW</note>。


Question:
哪两个三角形通过AAS定理全等？完成全等声明。

△ \$ox\$ ≅△ \$ox\$

Answer: △IJK≅△EDC

1. 已知：在△IJK中，∠I ≅ ∠E 和 ∠K ≅ ∠C，且边 IJ ≅ 边 DE。

2. 根据全等三角形判定定理(AAS)：如果两个三角形有一对对应的两角分别相等并且一对与这两角不相连的对应边相等，那么这两个三角形全等。

3. 在本题中，我们可以看到△IJK和△CDE满足全等三角形判定定理(AAS)，因为：∠I ≅ ∠E，∠K ≅ ∠C，以及边 IJ ≅ 边 DE

4. 经过上述推理，最终得出答案为△IJK≅△EDC。

Naming of Angles

An angle can be named using three points, with the vertex point located in the middle, or it can be named solely by the vertex.

<note>∠I</note> 表示角 <note>KIJ</note>，<note>∠E</note> 表示角 <note>CED</note>，<note>∠K</note> 表示角 <note>IKJ</note>，<note>∠C</note> 表示角 <note>DCE</note>，<note>∠J</note> 表示角 <note>IJK</note>，以及 <note>∠D</note> 表示角 <note>EDC</note>。

Congruence Theorem for Triangles (AAS)

<note>△IJK</note> 和 <note>△CDE</note> 满足 AAS 定理：
1. <note>∠I ≅ ∠E</note>
2. <note>∠K ≅ ∠C</note>
3. <note>边 IJ ≅ 边 DE</note>

因此，得出 <note>△IJK ≅ △EDC</note>。


Question:
哪两个三角形通过AAS定理全等？完成全等语句。

△ \$ox\$ ≅△ \$ox\$

Answer: △PQR≅△GEF

1. 观察已知图形，我们需要找到两组三角形，其中每组三角形的两个角和一个非夹角边分别对应相等。

2. 根据题目提供的已知条件，首先确定两对角相等：∠Q ≅ ∠E 和 ∠P ≅ ∠G。

3. 接下来，找到与另外两个角不相邻的边相等：已知 QR ≅ EF。

4. 根据全等三角形判定定理(AAS)，该定理表明如果两个三角形的两个角分别与另一个三角形的对应两个角相等，且其非夹角边分别与另一个三角形的对应非夹角边相等，则这两个三角形全等。

5. 应用全等三角形判定定理(AAS)，选择符合条件的两组三角形：△PQR 和 △EFG。

6. 定位对应顶点来完成全等表述：由于 ∠Q 对应 ∠E，∠P 对应 ∠G 并且边 QR 对应边 EF，因此，R 必须对应 F。

7. 最后，结合上述推理和匹配关系，得到三角形的全等声明为：△PQR ≅ △GEF。

8. 经过上述推理，最终得出答案为 △PQR ≅ △GEF。

Definition of an Angle

An angle is a geometric figure formed by two rays sharing a common endpoint. This common endpoint is called the vertex of the angle, and the two rays are referred to as the sides of the angle.

<note>∠PQR 是由射线 PQ 和 QR 以顶点 Q 构成的角</note>；<note>∠FEG 是由射线 EF 和 EG 以顶点 E 构成的角</note>；<note>∠P 是由射线 PQ 和 PR 以顶点 P 构成的角</note>；<note>∠G 是由射线 FG 和 GE 以顶点 G 构成的角</note>。

Definition of Congruent Triangles

Two triangles are congruent if and only if their corresponding sides are equal and their corresponding angles are equal.

在本题图中，三角形<note>PQR</note>和三角形<note>GEF</note>是全等三角形，三角形<note>PQR</note>的对应边和对应角与三角形<note>GEF</note>相等，即：
    边<note>PQ</note> = 边<note>GE</note>
    边<note>QR</note> = 边<note>EF</note>
    边<note>RP</note> = 边<note>FG</note>，同时，对应的角也相等：
    角<note>PQR</note> = 角<note>GEF</note>
    角<note>QRP</note> = 角<note>EFG</note>
    角<note>RPQ</note> = 角<note>FGE</note>。

Congruence Theorem for Triangles (AAS)

<note>△PQR 和 △GEF 满足 AAS 全等定理</note>，因为 <note>∠Q ≅ ∠E</note>, <note>∠P ≅ ∠G</note> 和 <note>QR ≅ EF</note>。因此，根据该定理，<note>△PQR ≅ △GEF</note>。


Question: 将一个10°的角平分后，Olivia得到两个角。每个新角的度数是多少？\$ox\$ °

Answer:
| --- |
| 5° |

1. 设被平分的10°角为∠ABC，BD为角平分线。

2. 根据角平分线定义，当一条射线平分一个角时，它将该角划分为两个相等的角，即 ∠ABD = ∠DBC。

3. 因为 ∠ABC被平分为两个相等的角，且总度数为10°，所以每个新角度数为∠ABC/2=10°/2=5°。

4. 因此，根据上述推理过程可得，每个新的角的度数均为 5°。

Definition of Angle Bisector

An angle bisector is a line that originates from the vertex of an angle and divides the angle into two congruent angles.

<note>角的顶点是点B</note>，从<note>点B引出一条线BD</note>将<note>角10°分成两个相等的角</note>，即每个角为5°。因此，<note>线BD是角10°的角平分线</note>。


Question: 哪两个三角形通过AAS定理全等？完成全等声明。 △ \$ox\$ ≅△ \$ox\$

Answer: △TUV≅△GFH

1. 根据题目，寻找两个三角形，使得每个三角形有两对对应相等的角和一对相等的非夹边。

2. 观察图中，三角形TUV、三角形FGH和三角形EDC。发现：角V = 角H，角T = 角G。此时点T对应于点G，点V对应于点H。

3. 边UV和边FH为非夹边，边UV=边FH。

4. 使用AAS定理，边UV与边FH同一位置，并且两个对应角角V与角H和角T与角G相等，因此△TUV和△GFH通过AAS定理全等。

5. 经过上述推理，最终得出答案为△TUV≅△GFH。

Congruence Theorem for Triangles (AAS)

在本题图中，<note>三角形TUV和三角形GFH中，角V = 角H，角T = 角G，且边UV = 边FH</note>。因此，根据<note>AAS定理</note>可以得到<note>△TUV ≅ △GFH</note>。

Definition of Congruent Triangles

<note>通过AAS定理</note>，可以证明<note>三角形TUV</note>和<note>三角形GFH全等</note>。根据图中标注，<note>角V = 角H</note>，<note>角T = 角G</note>，且<note>边UV = 边FH</note>。<note>因此△TUV ≅ △GFH</note>。


Question:
哪两个三角形通过AAS定理全等？完成全等声明。

△ \$ox\$ ≅△ \$ox\$

Answer: △HIJ≅△CAB

1. 根据题意，AAS（角角边）定理指出，当两个三角形的两个内角分别对应相等，且与这两个角不相邻的一条对应边也相等时，两个三角形全等。

2. 我们需要在图中找到两组三角形，使其满足AAS定理的条件：有两对对应的相等角和一对对应的非夹边相等。

3. 在△HIJ中，根据图中标记可知，角∠I ≅ 角∠A，角∠H ≅ 角∠C。此外，边IJ ≅ 边AB。

4. 因此，△HIJ和△ABC有两对对应的角相等（∠I ≅  ∠A, ∠H ≅ ∠C），与这两个角不相邻的边IJ与边AB也相等。

5. 根据AAS（角角边）定理，这意味着△HIJ和△ABC是全等的。

6. 在匹配相应顶点时，由于∠I≅∠A且∠H≅∠C，因此 I 对应 A，H 对应 C，最终 J 则对应 B。

7. 因此，全等三角形对应顶点的顺序为△HIJ ≅ △CAB。

8. 经过上述推理，最终得出答案为△HIJ ≅ △CAB。

在本题图中，<note>△HIJ 和 △CAB 是全等的</note>，因为它们满足 AAS 定理。两个三角形的<note>对应边分别为边 IJ 和边 AB 相等</note>，两个三角形的<note>对应角分别为 ∠HIJ 和 ∠CAB 相等</note>，<note>∠HJI 和 ∠CBA 相等</note>。

Congruence Theorem for Triangles (AAS)

在本题图中，△HIJ 和△CAB，<note>∠I =∠A</note>, <note>∠H =∠C</note>，<note>边IJ=边AB</note>。由于这两个三角形的两角及一角的对边对应相等，根据全等三角形判定定理的角角边准则(AAS)，可以得出<note>△HIJ全等于△CAB</note>。


Question: 哪两个三角形通过AAS定理全等？完成全等声明。 △ \$ox\$ ≅△ \$ox\$

Answer: △FGH≅△ZXY

1. 已知\( \angle G \cong \angle X \)，这是第一组相等的角。

2. 已知\( \angle F \cong \angle Z \)，这是第二组相等的角。

3. 已知线段\( \overline{GH} \cong \overline{XY} \)，这是不包含在这两组角之间的对边。

4. 根据两角与一非夹边相等的三角形全等三角形判定定理(AAS)，如果两组三角形的两个角与一个不包含在这些角之间的对边相等，那么这两个三角形全等。

5. 在此题中，三角形\( \triangle FGH \)和三角形\( \triangle XYZ \)分别满足上述条件，因此它们是全等的。

6. 为了明确全等三角形的对应顶点，已知\( \angle G \cong \angle X \), \( \angle F \cong \angle Z \)，所以G对应X，F对应Z，因此H对应Y。

7. 根据以上分析和推理，三角形的全等关系可以写为\( \triangle FGH \cong \triangle ZXY \)。

8. 经过上述推理，最终得出答案为\( \triangle FGH \cong \triangle ZXY \)。

Definition of an Angle

<note>角G是由两条射线HG和FG组成的几何图形</note>，<note>这两条射线有一个共同的端点G</note>。这个<note>共同的端点G称为角G的顶点</note>，而<note>射线HG和FG称为角G的边</note>。<note>角F是由两条射线HF和FG组成的几何图形</note>，<note>这两条射线有一个共同的端点F</note>。这个<note>共同的端点F称为角F的顶点</note>，而<note>射线HF和FG称为角F的边</note>。<note>角X是由两条射线XZ和XY组成的几何图形</note>，<note>这两条射线有一个共同的端点X</note>。这个<note>共同的端点X称为角X的顶点</note>，而<note>射线XZ和XY称为角X的边</note>。<note>角Z是由两条射线XZ和ZY组成的几何图形</note>，<note>这两条射线有一个共同的端点Z</note>。这个<note>共同的端点Z称为

Definition of Congruent Triangles

在本题图中，三角形 \( \triangle FGH \) 和三角形 \( \triangle ZXY \) 是全等三角形，<note>三角形 \( \triangle FGH \) 的对应边和对应角与三角形 \( \triangle ZXY \) 相等</note>，即： <note>\( \overline{FG} = \overline{ZX} \)</note>，<note>\( \overline{GH} = \overline{XY} \)</note>，<note>\( \overline{FH} = \overline{ZY} \)</note>，同时，<note>对应的角也相等</note>： <note>\( \angle FGH = \angle ZXY \)</note>，<note>\( \angle GHF = \angle XYZ \)</note>，<note>\( \angle HFG = \angle YZX \)</note>。

Congruence Theorem for Triangles (AAS)

<note>角G与角Z相等</note>，<note>角F与角Z相等</note>，<note>边GF与边XZ相等，并且这条边不是夹在两个已知角之间</note>。因此，根据全等三角形判定定理(AAS)，<note>三角形FGH与三角形ZXY全等</note>。


Question: 如果一个60°的角被平分形成两个新的角，那么每个新角的度数是多少？\$ox\$ °

Answer:
| --- |
| 30° |

1. 已知角ABC的度数为60°。

2. 根据角平分线的定义，角平分线将一个角分成两个相等的角。

3. 通知角平分线定义，在图中，我们引入一条射线BD，使得它是角ABC的角平分线。

4. 因此，根据角平分线的定义，可得角ABD和角DBC相等。

5. 由于角ABD + 角DBC = 角ABC，并且角ABD = 角DBC，根据角平分线定义，得出 2 * 角ABD = 角ABC。

6. 代入已知角ABC = 60°，计算得：2 * 角ABD = 60°。

7. 解方程可得 角ABD = 60° / 2。

8. 计算得到 角ABD = 30°。

9. 同理，角DBC = 30°。

10. 经过上述推理，最终得出答案为30°。

Definition of Angle Bisector

<note>在本题图中，已知∠ABC的度数为60°</note>。引入一条射线BD，使得它是<note>∠ABC的角平分线</note>。根据角平分线的定义，<note>∠ABD和∠DBC被角平分线BD分成两个相等的角</note>。因此，<note>∠ABD = ∠DBC</note>。


Question: 哪两个三角形通过ASA定理全等？完成全等声明。△ \$ox\$ ≅△ \$ox\$

Answer: △WXY≅△CBD

1. 在三角形 △WXY 和 △BCD 中，观察已知条件有：∠W ≃ ∠C，∠X ≃ ∠B，以及 WX ≃ BC。

2. 根据全等三角形判定定理的角边角准则（ASA）：如果两个三角形有两对对应角相等并且夹角的边也对应相等，则这两个三角形全等。

3. 在△WXY 中，∠W 和 ∠X 是已知相等角，而对应的夹边是 WX。

4. 在△BCD 中，∠C 和 ∠B 是已知相等角，而对应的夹边是 BC。

5. 因此，根据全等三角形判定定理的角边角准则（ASA），三角形 △WXY 全等于三角形 △CBD。

6. 要书写全等关系式，需将对应的顶点对齐：由于 ∠W ≃ ∠C 且 ∠X ≃ ∠B，故 W 对应 C，X 对应 B，所以 Y 对应 D。因此，全等关系式为：△WXY ≃ △CBD。

7. 经过上述推理，最终得出答案为：△WXY ≃ △CBD。

Definition of an Angle

在本题图中，<note>∠WXY 是由射线 WX 和 XY 组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点 X。</note> 这个共同的端点 X 称为<note>角 ∠WXY 的顶点</note>，而<note>射线 WX 和 XY 称为角 ∠WXY 的边</note>。类似地，<note>∠XWY 是由射线 XW 和 WY 组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点 W。</note> 这个共同的端点 W 称为<note>角 ∠XWY 的顶点</note>，而<note>射线 XW 和 WY 称为角 ∠XWY 的边</note>。

<note>∠W ≃ ∠C</note>，<note>∠X ≃ ∠B</note>，并且<note>边 WX ≃ 边 BC</note>。由于这两个三角形的两角和它们夹着的一边分别相等，根据全等三角形判定定理的角边角准则（ASA），可以得出<note>三角形 WXY 全等于三角形 BCD</note>，因此有<note>△WXY ≃ △BCD</note>。

Definition of Congruent Triangles

在本题图中，<note>三角形 WXY 和 三角形 CBD 是全等三角形</note>，<note>三角形 WXY 的对应边和对应角与三角形 CBD 相等</note>，即：
    <note>边 WX = 边 BC</note>
    <note>边 XY = 边 BD</note>
    <note>边 WY = 边 CD</note>
    同时，对应的角也相等：
    <note>角 WXY = 角 CBD</note>
    <note>角 XYW = 角 BDC</note>
    <note>角 YWX = 角 DCB</note>。


Question: 一个角被平分，形成两个新角。每个新角的度数为72°。原角的度数是多少？\$ox\$ °

Answer:
| --- |
| 144° |

1. 已知一角被平分形成两个新的角，而每个新角的度数为72°。

2. 根据角平分线的定义，原角被等分为两个角。因此，两个新的角的度数和等于原角的度数。

3. 因为两个新角的度数都是72°，所以原角度数可以表示为：72° + 72°。

4. 由此计算可得，原角的度数为72° + 72° = 144°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为144°。

Definition of Angle Bisector

在本题图中，<note>原角被平分，形成两个新角</note>，<note>原角的度数为72° + 72° = 144°</note>。


Question:
哪两个三角形通过ASA定理全等？完成全等声明。

△ \$ox\$ ≅△ \$ox\$

Answer: △TUV≅△RSQ

1. 根据题目提供的图形信息，注意到如下已知条件：角 T 和角 R 是全等的，因此有 ∠T = ∠R。

2. 再观察边长信息，可以看到边 TV 和边 QR 是等长的，因此有边 TV = 边 QR。

3. 继续观察，注意到角 V 和角 Q 也是全等的，因此有 ∠V = ∠Q。

4. 根据“角边角全等定理（ASA）”，如果两个三角形的两个角及夹在这两个角之间的一条边分别对应全等，那么这两个三角形全等。在题中具体表示为：△TUV 的 ∠T = △QRS 的 ∠R，边 TV =边 QR，并且 ∠V =∠Q。

5. 因此，通过“角边角全等定理”，我们可以推出 △TUV ≅ △RSQ。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 △TUV ≅ △RSQ。

在本题图中，三角形TUV和三角形QRS中，<note>角T等于角R</note>，<note>角V等于角Q</note>，且<note>边TV等于边QR</note>。由于这两个三角形的<note>两角和它们夹着的一边分别相等</note>，根据全等三角形判定定理的角边角准则（ASA），可以得出<note>三角形TUV全等于三角形QRS</note>。


Question: 哪两个三角形通过ASA定理全等？完成全等陈述。△ \$ox\$ ≅△ \$ox\$

Answer: △ABC≅△SRT

1. 观察图形，确定需要验证的三角形组。候选的三角形有△ABC和△RST。

2. 题目给出的信息中，∠B与∠R，AB与RS，∠A与∠S分别是对应全等的，分别表示为：

   - ∠B =∠R

   - AB =RS

   - ∠A =∠S

3. 根据角边角全等定理 (ASA Theorem)，如果一个三角形的两个角和它们之间的夹边分别与另一个三角形的对应角和夹边对应全等，那么这两个三角形全等。

4. 在△ABC中，∠B与∠A分别是夹边AB的两个角。

5. 在△RST中，∠R与∠S分别是夹边RS的两个角。

6. 由此可见，两个三角形在两个角和夹边上是对应全等的。

7. 匹配对应的顶点：

   - 顶点B对应于R

   - 顶点A对应于S

   - 因此，顶点C对应于T

8. 根据角边角全等判定条件，得出△ABC ≅ △SRT。

9. 经过上述推理，最终得出答案为△ABC ≅ △SRT。


Question: 一个角被平分，形成两个新角。如果原角的度数为90°，每个新角的度数是多少？\$ox\$ °

Answer:
| --- |
| 45° |

1. 已知一个角，它的角度为90°。

2. 题目中指出该角被平分，即通过一条射线将该角分成两个相等的角。

3. 根据角平分线的定义，角平分线是从角的顶点引出并且将该角分成两个相等的角的射线。

4. 设原角为∠AOB，被平分后形成的两个新角分别为∠AOC和∠COB。

5. 根据角平分线的定义，∠AOC = ∠COB。

6. 由于原角∠AOB的角度为90°，且∠AOB被平分，所有∠AOC和∠COB的和为90°。

7. 使用方程求解：若设∠AOC = ∠COB = x，则x + x = 90°。

8. 解此方程得到：2x = 90°，因此x = 90° ÷ 2 = 45°。

9. 经过上述推理，得到∠AOC和∠COB均为45°。

10. 因此，每个新角的度数为45°。

<note>角的顶点是点O</note>，从<note>点O引出一条射线</note>将角分成<note>两个相等的角</note>，即<note>两个新角的度数均为45°</note>。因此，<note>这条射线是角的角平分线</note>。


Question: Erica将一个角平分后，得到两个新的角，每个角的度数为97°。原来的角的度数是多少？\$ox\$ °

Answer:
| --- |
| 194° |

1. 已知Erica将一个角平分，得到两个新角，每个角的度数为97°。假设原角为\( \angle ABC \)，经平分后得到\( \angle ABD \)和\( \angle DBC \)。

2. 根据角平分线定义，\( \angle ABD = \angle DBC \)。

3. 题目给出的条件是每个新的角的度数都是97°，即\( \angle ABD = 97° \)且\( \angle DBC = 97° \)。

4. 根据题意，原角\( \angle ABC \)的度数为：\( \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC \)。

5. 将\( \angle ABD \)和\( \angle DBC \)的值代入，得\( \angle ABC = 97° + 97° \)。

6. 因此，\( \angle ABC = 194° \)。

7. 经过上述推理，最终得出答案为\( \angle ABC = 194° \)。

在本题图中，已知原角为 <note> \( \angle ABC \) </note>。经过角平分线<note>BD</note>的平分后，得到两个新的角为 <note> \( \angle ABD \) </note> 和 <note> \( \angle DBC \) </note>。根据角平分定义， <note> \( \angle ABD \) </note> 和 <note> \( \angle DBC \) </note> 的度数相等。即 <note> \( \angle ABD = \angle DBC \) </note>。

Definition of an Angle

在本题图中，<note>角ABC是由两条射线AB和AC组成的几何图形</note>，这两条射线有一个<note>共同的端点A</note>。这个<note>共同的端点A称为角ABC的顶点</note>，而<note>射线AB和AC称为角ABC的边</note>。


Question: 如果一个角被平分成两个新的5°角，那么原来的角度是多少？\$ox\$ °

Answer:
| --- |
| 10° |

1. 设原角为∠ABC，且一条角平分线BD将∠ABC平分成两个等角。

2.已知∠ABD和∠DBC均为5°。

3. 那么∠ABC = ∠ABD + ∠DBC。

4. 由此可得 ∠ABC = 5° + 5° = 10°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为10°。


Question: 如果一个角被平分成两个新的11°角，原始角的度数是多少？\$ox\$ °

Answer:
| --- |
| 22° |

1. 设原角为∠ABC，其中BD是角平分线，将∠ABC分为∠ABD和∠DBC。

2. 根据题意，∠ABD = 11° 且 ∠DBC = 11°。

3. 根据角平分线的定义，∠ABD = ∠DBC。

4. 代入给定条件∠ABD = 11° 和 ∠DBC = 11°，可得∠ABD = ∠DBC = 11°。

5. 由于∠ABD + ∠DBC = ∠ABC，代入已知的∠ABD 和∠DBC的度数，可得∠ABC = 11° + 11°。

6. 计算得∠ABC = 22°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为22°。

Definition of Angle Bisector

<note>角的顶点是点B</note>，从<note>点B引出一条射线</note>将角分成两个相等的角，即<note>两个11°的角</note>。因此，这条射线是角的角平分线。


Question: 如果一个角被平分成两个新的18°角，原始角的度数是多少？\$ox\$ °

Answer:
| --- |
| 36° |

1. 已知角ABC被平分，形成两个角ABD和DBC，并且角ABD等于18°，角DBC也等于18°。

2. 根据角平分线的定义，角平分线将角分成两个相等的角。因此，角ABD等于角DBC。

3. 根据角的加法原理，角ABC等于角ABD加上角DBC，即m∠ABC = m∠ABD + m∠DBC。

4. 将角ABD和角DBC的度数代入计算，m∠ABD = 18°，m∠DBC = 18°，因此m∠ABC = 18° + 18°。

5. 由此可知，原始的角ABC的度数为36°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为36°。


Question: 如果一个角被平分形成两个新的34°角，那么原来的角度是多少？\$ox\$ °

Answer:
| --- |
| 68° |

1. 已知一个角被平分成两个新的角，每个角的度数为34°。

2. 由于这个角被平分为两个相等的角，根据角平分线定义，原角的度数等于这两个相等角度数的和。

3. 因为这两个新的角的度数都是34°，所以原角的度数等于34°加上34°的和。

4. 计算原角的度数，34° + 34° = 68°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为原角的度数是68°。

<note>在本题图中，一个角被线平分形成两个相等的角，且每个角的度数为34°</note>。因此，<note>这条线是该角的角平分线</note>。


Question:
看图。

哪个方程可以用来求解 x？

- 5x+65=90
- 5+x=65
- 5x+65=180
- 5x=65
求解 x。

x= \$ox\$

Answer:
- 5x=65
x=13

1. 已知 ∠AEB = (5x)° 和 ∠CED = 65°，根据对顶角的定义，∠AEB 和 ∠CED 是对顶角且角度相等。

2. 因此，在本题中有 ∠AEB = ∠CED。

3. 代入已知条件，可得 (5x)° = 65°。

4. 为了求解 x，方程 (5x)° = 65° 两边同时除以5，得到 x = 13。

5. 经过上述推理，最终得出答案为 x = 13。

Definition of Vertical Angles

Vertical angles are the pair of opposite angles formed when two lines intersect. These angles are equal in measure.


Question:
看图。

哪个方程可以用来求解 x？

- 4x=76
- 4x+76=180
- 4+x=76
- 4x+76=90
求解 x。

x= \$\\Box\$

Answer:
- 4x=76
x=19

1. 在图中，我们看到直线 DG 和直线 EF 相交于点 H。

2. 根据对顶角的定义。因此，∠DHF 和 ∠EHG 的度数相等，即 ∠DHF = ∠EHG。

3. 已知 ∠DHF 的度数为 76°，而 ∠EHG 用 4x 表示，根据以上两点可以得到方程：4x = 76。

4. 解方程 4x = 76：

5. 两边都除以4，得到 x =76/4。

6. 计算得出 x = 19。

7. 经过上述推理，最终得出答案为 x = 19。


Question: 这个角度的测量值是多少？ \$ox\$ °

Answer: 110°

1. 观察给定的图形，设角为AOB，水平线为OA，看到其中一个射线与量角器的内侧圆0°刻度对齐，即该射线与量角器的水平线重合。

2. 另一条射线与量角器的内圆刻度形成一个角度，根据量角器的内圆刻度，这条射线的延长线在量角器的内圆110°位置。

3. 将这条射线命名为射线OB，以角AOB表示所形成的角。

4. 根据射线OA与射线OB在量角器上交叉处的刻度，量角器内刻度110°决定了角AOB的角度测量值为110°。

5. 因此，角AOB的大小即为从量角器的内圈刻度中读取的110°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为<110°>。

Measurement of Angle

Align the baseline of the protractor with one side of the angle, then extend the other side to the protractor's scale. Determine the angle by reading the difference between the graduations of the two sides.

在本题图中，设<note>角AOB的顶点是点O</note>，<note>角的两边分别是线段AO和线段BO</note>。使用量角器测量<note>角AOB</note>时，将<note>量角器的中心点对齐角AOB的顶点</note>，将<note>量角器的内刻度线对齐线段AO，使其与量角器的内刻度线重合</note>。然后，将<note>线段BO延伸到量角器的刻度盘上，通过读取线段AO和线段BO之间的刻度差来确定角AOB的度数</note>。


Question: 如果一个角被平分形成两个新的82°角，那么原始角的度数是多少？\$ox\$ °

Answer:
| --- |
| 164° |

1. 已知角 \( \angle ABC \) 被平分，形成两个角：\( \angle ABD \) 和 \( \angle DBC \)，且 \( \angle ABD = \angle DBC = 82^\circ \)。

2. 根据角平分线定义，角平分线将一个角平分为两个相等的角，因此 \( \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC \)。

3. 将已知条件代入，由于 \( \angle ABD = 82^\circ \) 和 \( \angle DBC = 82^\circ \)，我们得到 \( \angle ABC = 82^\circ + 82^\circ \)。

4. 计算得到 \( \angle ABC = 164^\circ \)。

5. 因此，经过上述推理，最终得出答案为 \( 164^\circ \)。

Definition of an Angle

在本题图中，<note>角 \( \angle ABC \)</note> 是由两条<note>射线 \(AB\) 和 \(BC\)</note> 组成的几何图形，这两条射线有一个<note>共同的端点 \(B\)</note>。这个<note>共同的端点 \(B\)</note> 称为<note>角 \( \angle ABC \) 的顶点</note>，而<note>射线 \(AB\) 和 \(BC\)</note> 称为<note>角 \( \angle ABC \) 的边</note>。

Definition of Angle Bisector

在本题图中，<note>角 \( \angle ABC \) 的顶点是点 B</note>，从<note>点 B 引出一条线 BD</note>，<note>这条线将角 \( \angle ABC \) 分成两个相等的角</note>，即<note> \( \angle ABD \) 和 \( \angle DBC \) 相等</note>。因此，<note>线 BD 是角 \( \angle ABC \) 的角平分线</note>。


Question:
看图。

哪个方程可以用来求解 x？

- 5+x=65
- 5x+65=90
- 5x+65=180
- 5x=65
求解 x。

x= \$ox\$

Answer:
- 5x=65
x=13

1. 根据题干和图中的标记，我们注意到点E是两条交叉直线的交点，从而形成两个对顶角。

2. 根据对顶角定义，当两条直线相交时，组成的两个互相对立的角为对顶角，它们的度数相等。

3. 图中可知，∠AEB = (5x)°，∠CED = 65°，且这两个角是对顶角，故有(5x)° = 65°。

4. 由等式(5x)° = 65°，两边除以5，计算得x = 13。

5. 经过上述推理，最终得出答案为x=13。


Question:
看图。

哪个方程可以用来求解x？

- 5x+65=180
- 5+x=65
- 5x=65
- 5x+65=90
求解x。

x= \$ox\$

Answer:
- 5x=65
x=13

1. 已知图中的直线交于点 E，形成了两个对顶角，即角 AEB 和角 CED。

2. 根据对顶角的定义，角 AEB 和角 CED 的角度相等。因此可以得到等式：∠AEB = ∠CED。此时，∠AEB=(5x)°，∠CED=65°。

3. 依据对顶角的定义，在本题中具体表示为 (5x)° = 65°。

4. 解方程 5x = 65，得到 x = 65/5。

5. 计算得 x = 13。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 x = 13。


Question: 这个角的度数是多少？ \$ox\$ °

Answer: 85°

1. 根据题目中的量角器图像，确认量角器的底边（水平）已经对齐0°刻度。

2. 找到形成角的两条射线，一条射线沿着0°刻度展开，另一条射线指向量角器上的某一刻度。

3. 仔细观察量角器，找到第二条射线与上半圆刻度相交的点。

4. 十分注意量角器上刻度的读法，确认第二条射线与85°刻度的交点，这表示测得的角度为85°。

5. 由以上观察和测量可以确定该角的大小为85°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为85°。


Question: 这个角的度数是多少？ \$ox\$ °

Answer: 155°

1. 观察给定的图像，发现其中有一个半圆形量角器用于测量角的大小。

2. 根据角的测量，将量角器的中心点与角的顶点对齐，并且使量角器的水平底边与角的一条边重合，这条边起始于0°标记。

3. 由图可得，量角器的底边从左至右对应的度数从0°递增至180°。

4. 对于另一边从0°开始，读取与量角器底边刻度对应相交点的位置，可以直观地看到此边所指的刻度为155°。

5. 因为量角器没有反向或反转读取的要求，所以测得的度数为正向读取。

6. 已知正方向从0°开始，直至量角器与另一角边相交，读数是155°，故该角为155°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为155°。

Definition of an Angle

<note>角是由两条射线组成的几何图形</note>，这两条射线<note>有一个共同的端点（图中心点）</note>。这个共同的端点称为<note>角的顶点</note>，而<note>射线分别是从0°标记开始的水平黑线和延伸至155°标记位置的另一条射线</note>，它们构成了我们需要测量的角。

Measurement of Angle

在本题图中应用角度测量法则，<note>量角器的中心点与角顶点对齐</note>，<note>将量角器的底边与角的一边（水平黑线）对准0°刻度</note>，读取量角器另一边（斜射线）与刻度相交的位置，这里显示为<note>155°</note>，因此该角的度数就是<note>155°</note>。


Question: 这个角的度数是多少？\$ox\$ °

Answer: 130°

1. 首先观察量角器的刻度，发现内环刻度从左到右逐渐增大，而外环刻度则从右到左增大。

2. 题图中右侧射线与内环上的0°内径对齐，再观察左侧射线穿过的刻度线，发现该射线穿过内环上的130°。

3. 因此，该角的角度在内环上直接读取为130°。

4. 由于射线的位置确保了测量是在内环上进行的，因此无需再对角度进行修正。

5. 通过上述分析，可以确认图中角的度数为130°。

6. 由量角器的使用规则，量出的角度直接反映两个射线之间的夹角。

7. 经过上述推理，最终得出答案为130°。

Definition of an Angle

在本题图中，角是由两条射线组成的几何图形，这两条射线分别是<note>从量角器中心指向内环0°</note>和<note>内环130°的射线</note>。这两条射线有一个共同的端点，称为<note>角的顶点，位于量角器的中心位置</note>。<note>射线从量角器中心指向内环0°和内环130°称为角的边</note>。

Measurement of Angle

<note>量角器的中心点与角的顶点对齐</note>，使<note>其中一条半直线与内环的0°刻度线对齐</note>，另一条半直线穿过<note>内环的130°</note>，因此测得角度为<note>130°</note>。


Question:
看图。

哪个方程可以用来求解 x？

- 3(5+x)+60=180
- 3(5+x)=60
- 3(5x)+60=90
- 3(5x)=60
求解 x。

x= \$ox\$

Answer:
- 3(5+x)=60
x=15

1. 从图中可以看出，直线AD和直线FC在点G相交，形成对顶角∠AGF和∠CGD。

2. 根据对顶角的定义，因此∠AGF = ∠CGD。

3. 已知∠AGF的度数为60度，而∠CGD的度数为3(5+x)。

4. 因为∠AGF = ∠CGD = 60度，所以3(5+x) = 60。

5. 解方程3(5+x) = 60，首先除以3：5+x = 20。

6. 然后从等式两边减去5，得到x = 15。

7. 经过上述推理，最终得出答案为x=15。

Definition of Vertical Angles

<note>由直线AD和直线FC在点G相交形成对顶角</note>，根据对顶角相等定理，我们可以得出<note>对顶角∠AGF等于对顶角∠CGD</note>。因此有<note>∠AGF = ∠CGD</note>。在本题中，已知<note>∠AGF = 60度</note>，而<note>∠CGD = 3(5+x)</note>。


Question: 这个角的度数是多少？\$ox\$ °

Answer: 100°

1. 观察量角器上的两条射线，其中一条射线与量角器内圈的0°线重合，这与外圈的180°线相同，该点位于量角器的右侧。

2. 另一条射线从量角器中心出发并向上指向外圈80°的位置。

3. 根据量角器的测量方式，角被量度在内圈上，因此需要读取内圈上另一条射线穿过量角器的角度。

4. 从内圈的0°开始，逆时针方向查找第二条射线穿过内圈的位置，可以看到该射线穿过内圈刻度100°。

5. 因此，由两条射线形成的角的量度为100°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为100°。

Definition of an Angle

<note>角是由两条射线0°线和100°线组成的几何图形</note>，<note>这两条射线有一个共同的端点</note>。这个<note>共同的端点称为角的顶点</note>，而<note>射线0°线和100°线称为角的边</note>。

Measurement of Angle

<note>量角器的中心点与角的顶点重合</note>，一条边与<note>量角器内圈0°线对齐</note>，另一条边指向<note>内圈100°刻度位置</note>，这表明角的度数为<note>100°</note>。


Question: 这个角的度数是多少？\$ox\$ °

Answer: 75°

1. 使用量角器测量给定的角。在图中，一条射线与量角器的内圈的0°线对齐，这对应于外圈的180°。

2. 观察另一条射线在量角器的内圈与之相交的位置。

3. 从量角器内圈读取该角的位置，其刻度显示为75°。

4. 经过上述步骤得出结论，所测量的角的度数为75°。

Definition of an Angle

<note>角是由两条射线组成的几何图形</note>，这两条射线有一个共同的端点，即<note>量角器的中心点</note>。这个共同的端点称为<note>角的顶点</note>，而射线分别是<note>与量角器的内圈0°线对齐的射线</note>和<note>与量角器内圈75°线相交的射线</note>，称为<note>角的边</note>。

Measurement of Angle

<note>在本题图中</note>，我们通过<note>将一条射线与量角器内圈0°线对齐</note>，然后观察<note>另一条射线与量角器内圈75°线相交的位置</note>，从而得出<note>角度为75°</note>。


Question: 这个角的度数是多少？ \$ox\$ °

Answer: 120°

1. 在量角器上找到与0°重合的光线，即其中的一条光线，标记为OX。

2. 找到另一条光线，这条光线从量角器的中心沿另一方向延伸，标记为OY。

3. 使用量角器的外圈度数，从OX到OY之间，沿着顺时针方向读数，可以看出，光线OY指向120°。

4. 根据角的测量，得角∠XOY的大小就是从0°到120°的度数。

5. 因此，我们可以直接读取此角的度数为120°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为120°。

Definition of an Angle

<note>角∠XOY是由射线OX和射线OY组成的几何图形</note>，<note>这两条射线有一个共同的端点O</note>。<note>这个共同的端点O称为角∠XOY的顶点</note>，而<note>射线OX和OY称为角∠XOY的边</note>。

Measurement of Angle

<note>量角器的中心点对准顶点O</note>，光线OX对准量角器上的<note>0°刻度</note>，光线OY指向量角器上的<note>120°刻度</note>。因此，角度<note>∠XOY的大小是120°</note>。


Question:
看图。

哪个方程可以用来求解 x？

- 4x=76
- 4x+76=90
- 4x+76=180
- 4+x=76
求解 x。

x= \$ox\$

Answer:
- 4x=76
x=19

1. 观察图，已知 ∠DHF 和 ∠EHG 互为对顶角。

2. 根据对顶角的定义，∠DHF=∠EHG。对顶角的定义：当两条直线相交时，形成的对顶角相等。

3. 题目中已知 ∠DHF=76°，因此 ∠EHG=76°。

4. 根据图中标示的信息，∠EHG=4x 度。

5. 我们有等式：4x = 76。

6. 通过等式求解 x，得到 4x = 76。

7. 用代数方程解法，首先两边同时除以4，得到 x = 76 / 4。

8. 计算 76/4，得到 x = 19。

9. 经过上述推理，最终得出答案为 x = 19。


Question:
看这个角度：

顶点是什么？
 \$ox\$

Answer: X

1. 根据角的定义，一个角由两条射线组成，这两条射线有一个公共的端点，我们称这个公共端点为角的顶点。

2. 在题目提供的图形中，有两条射线XY和XW。

3. 观察射线XY和射线XW相交于点X，故点X是两条射线的公共端点。

4. 因此，根据角的定义，点X是角YXW的顶点。

5. 经过以上推理，最终得出答案为点X。

Definition of Ray

A ray is a part of a line that starts at a specific point and extends infinitely in one direction. It has a starting point but no endpoint.

<note>射线XY从点X出发并沿Y方向无限延伸</note>，而<note>射线XW也是从点X出发沿W方向无限延伸</note>。

Naming of Angles

<note>角YXW用三个字母表示</note>，其中<note>字母X代表角的顶点</note>，<note>字母Y和W分别代表角两条边的其他端点</note>，即<note>射线XY和射线XW的终点</note>。


Question:
看这个角度：

给这个角度命名： \$\\Box\$  \$\\angle \$

Answer: \$\angle \$ TSR

1. 在几何图形中，我们首先识别组成角的三点：R、S、T。

2. 在角的命名中，角的名称通常为构成该角的三点，且顶点字母夹在中间。依据这一规定，我们需要找到角的顶点。

3. 观察图形可以看到，S是两条射线的公共点，因此S为该角的顶点。

4. 为了完整地命名角，我们需要确定这个角的两条边，分别为从顶点S出发向左到点R的线段SR，以及从顶点S出发向右到点T的线段ST。

5. 因此，该角可以命名为∠TSR，也可以命名为∠RST，只要确保S在中间即可。

6. 根据几何中角的命名原则，还可仅用顶点来标识角，故该角也可以命名为∠S。

7. 经过上述推理，得出答案为∠TSR或∠S。

Definition of an Angle

<note>角∠TSR是由两条射线SR和ST组成的几何图形</note>，这两条射线有一个共同的端点<note>S</note>。这个共同的端点<note>S称为角∠TSR的顶点</note>，而射线<note>SR和ST称为角∠TSR的边</note>。


Question:
观察这个角度：

顶点是什么？
 \$ox\$

Answer: T

1. 在几何中，角是由两个射线共同起始于一点组成的图形。该共同起始点被称为角的顶点。

2. 观察图中给出的角，由两个射线ST和TU组成，其中S, T, U为这些射线上的点。

3. 在射线ST和射线TU中，共同的起始点为点T。

4. 根据角的定义，点T为这两条射线的共同起始点，因此点T是这个角的顶点。

5. 经过上述推理，最终得出答案为T。

<note>角∠STU是由两条射线ST和TU组成的几何图形</note>，这两条射线有一个共同的端点<note>T</note>。这个共同的端点<note>T称为角∠STU的顶点</note>，而射线<note>ST和TU称为角∠STU的边</note>。


Question:
这个角度的测量值是多少？ \$
abla\$ °

Answer: 135°

1. 已知量角器的一条射线与内侧圆周上的0°对齐，该位置即为外侧圆周上的180°。

2. 观察另一条射线在内侧圆周上的读数，即为此角的角度大小。

3. 另一条射线在内侧圆周上交于135°处。

4. 因此，∠ABC = 135°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为135°。

<note>角是由两条射线组成的几何图形</note>，这两条射线<note>有一个共同的端点，即量角器的中心点</note>。射线一端<note>对齐内侧圆周上的0°</note>，另一端<note>对齐内侧圆周上的135°</note>，因此形成的角度为<note>135°</note>。

Definition of Ray

<note>两条射线</note>，其中<note>一条射线与内侧圆周上的0°对齐</note>，<note>另一条射线与内侧圆周上的135°对齐</note>，这两条射线构成了<note>角∠ABC</note>。

Measurement of Angle

<note>一条射线与内侧圆周上的0°对齐</note>，<note>另一条射线与内侧圆周上的135°对齐</note>，因此，读出显示的角度便是<note>135°</note>。


Question:
观察这个角度：

给这个角度命名： \$ox\$ \$riangle\$

Answer: \$\angle \$ IKJ

1. 观察给定的角，发现角的顶点位于点K。

2. 根据几何角的定义，一个角由两个有共同端点的射线组成，且该共同端点即为角的顶点。

3. 确认构成该角的两条射线分别为从点K出发通过点I和从点K出发通过点J的射线。

4. 按照几何命名规则，一个角可以通过三个点来命名，中间的点是该角的顶点。

5. 因此，该角可以命名为∠IKJ，其中点K为顶点。

6. 根据另一种命名方法，只需用角的顶点来命名该角，因此另一个有效的名称为∠K。

7. 经过上述步骤，可以确定该角的名称为∠IKJ或∠K。

Naming of Angles

在本题图中，根据命名规则，该<note>角的顶点为点K</note>，角可以命名为<note>∠IKJ或∠K</note>。<note>中间的点K是顶点</note>，<note>点I和J是角的两端点</note>。


Question: 这个角的度数是多少？\$ox\$ °

Answer: 125°

1. 首先识别图中所给的量角器的两个刻度环，内侧刻度环为逆时针方向度数，外侧刻度环为顺时针方向度数。

2. 确定基准射线的位置，在该图中，一条射线与内侧刻度环的0°线重合，这条射线也与外侧刻度环的180°线重合。

3. 观察另一条射线与内侧刻度环的交点，从而确定角的度数。

4. 该射线通过内侧刻度环上125°的位置。

5. 根据角的测量，得到∠AOB的度数为125°。

经过上述推理，最终得出答案为125°。

Definition of an Angle

<note>顶点O</note>和从<note>顶点O</note>出发的<note>两条射线</note>组成，其中一条射线与<note>内侧刻度环的0°线</note>重合，另一条射线通过<note>内侧刻度环上125°的位置</note>。所以，这个角的度数是<note>125°</note>。

Measurement of Angle

<note>基准射线与内侧刻度环的0°线重合</note>，<note>另一条射线通过内侧刻度环上125°的位置</note>，根据量角器的使用定理，<note>角∠AOB的度数就是125°</note>。


Question:
看这个角度：

给这个角命名： \$ox\$  \$riangle\$

Answer: \$\angle \$ SRQ

1. 从题目图像中可以观察到，该角的两条射线是点S和点Q分别与公共点R连接形成的。

2. 在几何学中，角的命名通常采用三点命名法，即角的顶点作为中央字母，例如在给定的图中，顶点是R。

3. 首先可以命名为角S-R-Q, 在数学符号中记为∠SRQ，其中S和Q分别是这个角的两条射线在R点的延伸。

4. 其次，可以从右往左命名这三个点形成的角，即角Q-R-S, 数学符号为∠QRS。

5. 由于顶点是R，可以忽略两端的字母而仅用顶点字母来命名角，即角R，数学符号为∠R。

6. 在几何学中，重要的是确保中间字母始终代表角的顶点，因此在此情境下，∠SRQ和∠QRS都正确命名角。避免了歧义。

7. 通过上述推理，确认该角的名称为∠SRQ或∠QRS，也可简写为∠R。

Naming of Angles

<note>顶点为R，两个射线的端点分别为S和Q</note>。因此，角的命名可以为<note>∠SRQ或∠QRS</note>。


Question:
观察这个角度：

给这个角度命名：\$ox\$ \$riangle\$

Answer: \$\angle \$ ABC

1. 根据题目给出的图形，我们可以看到有一个由三个点A、B和C构成的角。

2. 在几何中，角的名称通常由形成角的两条线中间的那个点作为顶点开始表示。因此，角的顶点是点B。

3. 角的命名规则是：以符号∠开头，然后依次写出角的一个边上的点、顶点和另一条边上的点。

4. 根据题目给出的图，点A和点C是连接到顶点B的两点，因此我们可以按顺序表示这个角为∠ABC。

5. 我们也可以根据角的命名规则，将此角写为∠CBA，表示的是同一个角。

6. 最后，由于点B是这个角的顶点，也可以简写为∠B，但是为了避免歧义，通常使用三个字母。

7. 经过上述分析和描述，我们可以得出该角的名称为∠ABC或∠CBA。


Question:
观察这个角度：

命名这个角度： \$ox\$ \$riangle\$

Answer: \$\angle \$ WXY

1. 图中显示的角是在点 X 处形成的，X 是这个角的顶点。

2. 确定角的名称时需要三点，其中顶点必须位于中间。这个角的两边分别通过点 W 和点 Y。

3. 根据角的定义，通过这三个点可命名角为: 角 WXY，确保顶点 X 在中间。

4. 同样的角也可以命名为: 角 YXW，仍然保持顶点 X 在中间。

5. 根据角的名称也可以仅用顶点表示。在这种情况下，可以简化为角 X。

6. 综上所述，角的名称可以为：角 WXY，角 YXW 或角 X。

7. 经过上述推理，最终得出答案为多个表示角的名称：角 WXY、角 YXW、角 X。

Definition of an Angle

<note>角 WXY 是由两条射线 WX 和 XY 组成的几何图形</note>，<note>这两条射线有一个共同的端点 X</note>。<note>这个共同的端点 X 称为角 WXY 的顶点</note>，而<note>射线 WX 和 XY 称为角 WXY 的边</note>。

Naming of Angles

<note>顶点 X</note> 和边上的点 <note>W 和 Y</note>，可以命名角为<note>角 WXY或角 YXW</note>，确保<note>顶点 X 在中间</note>；也可以简化为仅用顶点表示，即<note>角 X</note>。


Question:
观察这个角度：

命名这个角度： \$ox\$  \$riangle\$

Answer: \$\angle \$ TSU

1. 已知角的顶点在一点，名称为S，且该角由通过点T、S、U的两条射线构成。

2. 根据三点确定一个角的原理，其中顶点为中间的一个点。因此角可以表示为∠TSU。

3. 角的名称也可以用顶点S的身份唯一确定，因为这是明确指出的唯一顶点。由此该角也可以表示为∠S。

4. 经过上述推理，最终得出答案为∠TSU，也可以用∠S表示。

Definition of an Angle

<note>角∠TSU是由两条射线ST和SU组成的几何图形</note>，这两条射线有一个共同的端点<note>S</note>。这个共同的端点<note>S称为角∠TSU的顶点</note>，而<note>射线ST和SU称为角∠TSU的边</note>。

Naming of Angles

在本题图中，<note>角的顶点为点S</note>，<note>两条射线分别为ST和SU</note>，因此角的名称可以定义为<note>∠TSU</note>。由于<note>顶点S是唯一的</note>，这个角也可以简单地称为<note>∠S</note>。


Question:
看这个角度：

顶点是什么？
 \$ox\$

Answer: U

1. 观察题目给出的图示，该图示中有一个角。

2. 根据几何定义，角是由两个射线从一个公共端点出发形成的图形。

3. 在图示中，射线 UT 和射线 UV 分别由点 U 向 T 和点 U 向 V 延伸。

4. 由此可知，两条射线 UT和 UV 的公共端点是点 U。

5. 根据角的定义，角的顶点是两条射线的公共端点。

6. 因此，角的顶点是点 U。

7. 经过上述推理，最终得出答案为 U。

Definition of an Angle

<note>角 ∠TUV 是由两条射线 UT和 UV 组成的几何图形</note>，这两条射线<note>有一个共同的端点 U</note>。这个共同的端点<note>U 称为角 ∠TUV 的顶点</note>，而射线<note>UT和 UV 称为角 ∠TUV 的边</note>。


Question:
观察这个角度：

请命名这个角度： \$ox\$  \$riangle\$

Answer: \$\angle \$ ACB

1. 观察该图形，注意到有三个点：A、B和C，并且它们不是共线的。

2. 根据几何角的定义，两个射线有一个公共端点时，它们形成一个角。此处，射线CA和射线CB的公共端点是点C。

3. 要命名这个角，我们使用三个点来描述，其中公共端点（顶点）必须位于中间。因此，该角可以表示为∠ACB或∠BCA。

4. 另一个命名方式是只用顶点来命名角，特别是在没有歧义的情况下。因此，该角也可以简化命名为∠C。

5. 经过上述分析，此角可以命名为∠ACB、∠BCA或∠C。

<note>角∠ACB是由两条射线CA和CB组成的几何图形</note>，这两条射线有一个共同的端点<note>C</note>。这个共同的<note>端点C称为角∠ACB的顶点</note>，而<note>射线CA和CB称为角∠ACB的边</note>。

Naming of Angles

<note>角的顶点是点C</note>，且涉及的三个点为<note>点A、点B和点C</note>。因此角可以命名为<note>∠ACB或∠BCA</note>。此外，在没有歧义时角也可以命名为<note>∠C</note>。


Question: 这个角度的度量是多少？ \$ox\$ °

Answer: 90°

1. 首先根据量角器的刻度，可以看到左边的刻度以0°为起点，并随着顺时针方向增加；右边的刻度以180°为起点，并随着逆时针方向减小。

2. 观察图中两条线射，发现一条线与量角器的0°刻度线重合，即这条线作为角的起始边。

3. 观察另一条射线与量角器刻度的交点，可以看到该射线通过量角器的0°到180°标记线。通过这一点，在内圈的刻度中，该射线指向90°的位置。

4. 根据垂直角的定义：垂直的两条射线之间形成一个90°的角。

5. 进一步结合从图示判断，确认另一条射线确实经过内圈刻度90°的标记，因此角的度数是90°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为90°。

Definition of an Angle

在本题图中，角是由两条射线组成的几何图形，<note>这两条射线有一个共同的端点</note>。这个<note>共同的端点是量角器的中心点</note>，称为<note>角的顶点</note>，而射线分别是<note>与量角器的0°刻度线重合的一条射线</note>和<note>指向90°位置的另一条射线</note>。


Question:
△JKL 和 △MNO 如下图所示。

哪个陈述是正确的？

- △JKL 与 △MNO 相似。
- △JKL 与 △MNO 不相似。
- 没有足够的信息来确定三角形是否相似。

Answer: - △JKL is not similar to △MNO.

1. 根据题目图片信息，已知△JKL中∠K = 27°，∠L = 37°。

2. 使用三角形内角和定理，即三角形的三个内角之和为180°，求出∠J的度数。具体步骤如下：

   根据三角形内角和定理，有：∠J + ∠K + ∠L = 180°。

   将已知角度代入方程：∠J + 27° + 37° = 180°。

   计算得：∠J + 64° = 180°。

   两边同时减去64°得到：∠J = 116°。

3. 因此，三角形△JKL的角为：∠J = 116°，∠K = 27°，∠L = 37°。

4. 参考题目图形，△MNO中，各内角为：∠M = 126°，∠N = 27°，根据三角形内角和定理求得∠O = 180° - ∠M - ∠N = 180° - 126° - 27° = 27°。

5. 三角形△MNO的角为：∠M = 126°，∠N = 27°，∠O = 27°。

6. 通过角的对比可以发现：△JKL和△MNO不具有相同的内角集合，因为△JKL中不存在126°的角，而△MNO中不存在116°的角。

7. 根据相似三角形的判定条件，本题中如用角角（AA）相似定理，即如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形相似，无法满足。

8. 经过上述推理，最终得出答案为△JKL is not similar to △MNO。

Definition of Triangle

A geometric figure is called a triangle if it is formed by three non-collinear points and the line segments connecting them.

Triangle Angle Sum Theorem

The sum of the interior angles of any triangle is 180°.

在本题图中，三角形<note>△JKL</note>中，<note>角J</note>、<note>角K</note>和<note>角L</note>是三角形<note>△JKL</note>的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>角J + 角K + 角L = 180°</note>。具体计算为 <note>∠J + 27° + 37° = 180°</note>，所以 <note>∠J = 116°</note>。相对应，三角形<note>△MNO</note>中，<note>角M</note>、<note>角N</note>和<note>角O</note>是三角形<note>△MNO</note>的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>角M + 角N + 角O = 180°</note>。具体计算为 <note>126° + 27° + ∠O = 180°</note>，所以 <note>∠O = 27°</note>。

Similarity Theorem for Triangles (AA)

Two triangles are similar if two of their corresponding angles are congruent.

<note>角K等于角N=27°</note>，所以三角形JKL和三角形MNO不相似。


Question:
△CDE 和 △FGH 如下图所示。

 哪个陈述是正确的？

- △CDE 与 △FGH 相似。
- △CDE 与 △FGH 不相似。
- 没有足够的信息来确定三角形是否相似。

Answer: - △CDE is not similar to △FGH.

1. △CDE中，已知∠C=48°，∠E=80°。

2. 根据三角形内角和定理，即一个三角形的三个内角之和为180°，有∠C+∠D+∠E=180°。

3. 代入已知角度，得到48°+∠D+80°=180°。

4. 求解上述等式，∠D=180°-48°-80°=52°。

5. 所以三角形△CDE的三个角分别为48°，80°，52°。

6. 观察△FGH的角度，已知∠F=48°，∠G=62°。

7. 类似的方法，计算∠H使用三角形内角和定理：∠F+∠G+∠H=180°。

8. 代入已知角度，得到48°+62°+∠H=180°。

9. 求解上述等式，∠H=180°-48°-62°=70°。

10. 所以三角形△FGH的三个角分别为48°，62°，70°。

11. 判断两三角形相似需要满足角度对应相等，根据上述结果，三角形△CDE和△FGH的内角不全对应相等。

12. 观察三角形△CDE的角48°，80°，52°以及△FGH的角48°，62°，70°。

13. 由于两个三角形的内角不相同，故根据相似三角形的判定定理(AA)：如果两个三角形的有两组内角对应相等，则两个三角形相似），可知△CDE不与△FGH相似。

14. 经过上述推理，最终得出答案为"△CDE is not similar to △FGH."。

Definition of Triangle

在本题图中，三角形<note>△CDE</note>是由三个非共线点<note>C、D、E</note>及其连接线段<note>CD、DE、EC</note>组成的几何图形。点<note>C、D、E</note>分别是三角形的三个顶点，线段<note>CD、DE、EC</note>分别是三角形的三条边。三角形<note>△FGH</note>是由三个非共线点<note>F、G、H</note>及其连接线段<note>FG、GH、HF</note>组成的几何图形。点<note>F、G、H</note>分别是三角形的三个顶点，线段<note>FG、GH、HF</note>分别是三角形的三条边。

Triangle Angle Sum Theorem

在本题图中，三角形<note>△CDE</note>中，<note>角C</note>、<note>角D</note>和<note>角E</note>是三角形<note>△CDE</note>的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>角C + 角D + 角E = 180°</note>。代入已知角度，得到<note>48°+∠D+80°=180°</note>，从而求得<note>∠D=52°</note>；对于三角形<note>△FGH</note>，有<note>∠F + ∠G + ∠H = 180°</note>。代入已知角度，得到<note>48°+62°+∠H=180°</note>，从而求得<note>∠H=70°</note>。

Similarity Theorem for Triangles (AA)

<note>三角形△CDE的角分别为48°、80°、52°</note>；<note>三角形△FGH的角分别为48°、62°、70°</note>。比较两个三角形的内角，由于这两个三角形的内角不全对应相等，因此根据相似三角形的判定定理(AA)可知，<note>△CDE不与△FGH相似</note>。


Question:
△RST 和 △UVW 如下图所示。

哪个陈述是正确的？

- △RST 与 △UVW 相似。
- △RST 与 △UVW 不相似。
- 没有足够的信息来确定三角形是否相似。

Answer: - △RST is similar to △UVW.

1. 已知三角形RST中，∠S = 36°，∠T = 72°，求∠R的角度。根据三角形内角和定理，三角形的三个内角之和为180°。

2. 运用三角形内角和定理，设∠R为x，则x + 36° + 72° = 180°。因此得出x = 180° - 108° = 72°，即∠R = 72°。

3. 经过计算，△RST的三个角分别为∠R = 72°，∠S = 36°，∠T = 72°。

4. 已知△UVW中，∠V = 72°，∠W = 72°，根据三角形内角和定理，第三个角∠U = 180° - 72° - 72° = 36°。

5. △RST和△UVW各有两对对应角相等，分别是∠R = ∠U = 72°，∠T = ∠W = 72°，∠S = ∠V = 36°。

6. 根据相似三角形的判定定理(AA)，当两个三角形的两个对应内角相等时，这两个三角形是相似三角形，因此△RST和△UVW相似。

7. 经过上述推理，最终得出答案为△RST is similar to △UVW。

Triangle Angle Sum Theorem

在本题图中，<note>三角形RST</note>中，<note>角S、角T和角R</note>是<note>三角形RST</note>的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>角S + 角T + 角R = 180°</note>。同样，<note>三角形UVW</note>中，<note>角U、角V和角W</note>是<note>三角形UVW</note>的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>角U + 角V + 角W = 180°</note>。

Similarity Theorem for Triangles (AA)

<note>△RST和△UVW分别有两个对应角相等：</note>∠R = ∠U = 72°，<note>∠T = ∠W = 72°</note>，并且<note>第三个角也相等</note>，∠S = ∠V = 36°。所以根据<note>AA定理</note>，<note>△RST和△UVW是相似三角形</note>。


Question: 求 \$\\angle \$ ILJ 的度数。\\n\\n\\n请将答案写成整数或小数。\\n\\nm \$\\angle \$ ILJ= \$\\Box\$ °

Answer: m \$\angle \$ ILJ=102°

1. 已知弦HI和弦JK于点L相交，要求角ILJ的度数。

2. 根据圆内角定理，推得m∠ILK=1/2(弧JH+弧IK)。

3. 代入已知的弧度数，得出：m∠ILK=1/2(67°+89°)=78°。

4. 注意到角ILJ和角ILK位于一条直线之上，角JLK为平角，因此角ILJ和角ILK之和为180°。

5. 因此，m∠ILJ=180°-m∠ILK=180°-78°。

6. 计算得出，m∠ILJ=102°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为102°。

Inscribed Angle Theorem

The measure of an inscribed angle in a circle is equal to half the sum of the measures of the arcs that the angle intercepts.

Definition of Straight Angle

A straight angle is formed when a ray rotates around its endpoint and the initial side and terminal side lie on the same line but in opposite directions. A straight angle measures 180 degrees.


Question: 求 \$riangle \$ MPO 的度数。 请将答案写成整数或小数。 m \$riangle \$ MPO= \$ox\$ °

Answer: m \$\angle \$ MPO=116°

1. 已知弧 LO 的度数为 96°，弧 NM 的度数为 32°，并且弦 LM 和弦 NO 在点 P 处相交。

2. 根据圆内角定理，圆内的角 LPO 的度数等于圆周上与该角对应的两弧之和的一半，即 ∠LPO = 1/2(弧LO + 弧NM)。

3. 将已知的弧度带入公式，得到 ∠LPO = 1/2(96° + 32°) = 1/2(128°) = 64°。

4. 由于 ∠LPO 和 ∠MPO 在直线 NO 上互为邻补角。

5. 因此，∠MPO = 180° - m∠LPO。

6. 代入 ∠LPO 的值，得 ∠MPO = 180° - 64° = 116°。

7. 经过上述推理，最终得出 ∠MPO 的度数为 116°。

Definition of Linear Pair of Angles

Two angles are in a linear pair if they share a common side, and their other sides are extensions of one another in opposite directions.

在本题图中，<note>角LPO和角MPO有一条公共边PO</note>，<note>它们的另一边LP和PM互为反向延长线</note>，所以角LPO和MPO互为邻补角。


Question:
求弧 \$\\overset{\\frown}{WY}\$ 的度数。

请将答案写成整数或小数。

m \$\\overset{\\frown}{WY}\$ = \$\\Box\$ °

Answer: m \$\overset{\frown}{WY}\$ =13°

1. 已知 ∠VXZ = 50°，且从图中得出 m ∠VXZ 是由割线 XV 和 XZ 在点 X 交于圆外形成的。图中的弧 VZ 的度数是 113°。

2. 根据圆外角定理，圆的外部角等于其所对的两个弧的度数差的一半：m ∠VXZ = 1/2(m 弧 VZ - m 弧 WY)。

3. 代入已知条件，得到方程：m ∠VXZ = 1/2(m 弧 VZ - m 弧 WY) ，即 50° = 1/2(113° - m 弧 WY)。

4. 通过简单的代数运算解方程：将方程两边同时乘以 2，得到 100° = 113° - m 弧 WY。

5. 解方程：将 113° 移到等号另一边，得到 100° - 113° = -m 弧 WY，化简得 -13° = -m 弧 WY。

6. 消去负号，得到 m 弧 WY = 13°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为 13°。

External Angle Theorem of a Circle

The measure of an exterior angle of a circle is equal to one-half the difference of the measures of the intercepted arcs.

<note>圆O</note>中，<note>角VXZ是圆的外角</note>，弧VZ和弧WY是<note>角VXZ所对的两个弧</note>。根据圆外角定理，<note>角VXZ等于弧VZ的度数与弧WY的度数差的一半</note>，即<note>角VXZ = (弧VZ的度数 - 弧WY的度数) / 2</note>。

Secant Line

A straight line that intersects a circle at two distinct points is called a secant line of the circle.

在本题图中，<note>直线 XV 与圆有两个交点，分别是点 V 和点 W</note>；<note>直线 XZ 与圆有两个交点，分别是点 Z 和点 Y</note>。根据割线的定义，<note>直线 XV 与圆相交于两个不同的点 V 和 W，所以直线 XV 是圆的割线</note>；同理，<note>直线 XZ 与圆相交于两个不同的点 Z 和 Y，所以直线 XZ 是圆的割线</note>。


Question:
△BCD 和 △FED 如下图所示。

哪个陈述是正确的？

- △BCD 与 △FED 相似。
- △BCD 与 △FED 不相似。
- 没有足够的信息来确定三角形是否相似。

Answer: - △BCD is similar to △FED.

1. 已知△BCD中，∠B的度数为49°，∠C是直角，即90°。

2. 根据三角形内角和定理，即三角形的三个内角之和为180°，可以得知：∠B + ∠C + ∠BDC = 180°。

3. 将已知角度代入，即49° + 90° + ∠BDC = 180°，可以解得∠BDC = 41°。

4. 因此，△BCD的三个内角分别为49°，90°和41°。

5. 观察△FED，已知∠FED=90°，∠EDF=41°。

6. 比较△FED与△BCD的角度，可以发现两者具有两个相同的角度：即∠FED = ∠C和∠EDF = ∠BDC。

7. 根据相似三角形的判定定理(AA)，若两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。此定义常称为“相似三角形的判定定理(AA)”。

8. 根据上述定义，由于△BCD和△FED具有两个对应相等的角，因此可以判定△BCD相似于△FED。

9. 经过上述推理，最终得出答案为△BCD 相似于 △FED。

Triangle Angle Sum Theorem

在本题图中，三角形BCD中，<note>角B</note>、<note>角C</note>和<note>角BDC</note>是三角形BCD的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>角B + 角C + 角BDC = 180°</note>。


Question:
△RST 和 △TUV 如下图所示。

哪个陈述是正确的？

- △RST 相似于 △TUV。
- △RST 不相似于 △TUV。
- 没有足够的信息来确定三角形是否相似。

Answer: - △RST is not similar to △TUV.

1. 已知△RST中，角R等于54°，角S为直角等于90°。

2. 根据三角形内角和定理，三角形的三个内角之和为180°。由此我们可以求出角RTS的度数。设角RTS为x度，则有54°+90°+x=180°。

3. 解方程得出x=36°。故角RTS等于36°。

4. 在△TUV中，已知角TVU为46°，角U为直角等于90°。

5. 根据相似三角形的判定定理(AA)，即两个三角形的对应角相等，可以判断两个三角形是否相似。

6. 比较△RST和△TUV的各内角：

7. 若△RST的角R=54°，角S=90°，角RTS=36°。

8. △TUV中的角TVU=46°显然不同于△RST的任何一个角，因此无法通过三角形的相似条件确认△RST和△TUV相似。

9. 经过上述推理，最终得出答案为△RST不相似于△TUV。

Definition of Triangle

在本题图中，三角形<note>RST是由三个非共线点R、S、T及其连接线段RS、ST、RT组成的几何图形</note>。点<note>R、S、T分别是三角形的三个顶点</note>，线段<note>RS、ST、RT分别是三角形的三条边</note>。三角形<note>TUV是由三个非共线点T、U、V及其连接线段TU、UV、VT组成的几何图形</note>。点<note>T、U、V分别是三角形的三个顶点</note>，线段<note>TU、UV、VT分别是三角形的三条边</note>。

Definition of Right Triangle

A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.

<note>在本题图中，三角形RST中，∠RST是直角（90度）</note>，因此三角形RST是一个直角三角形。<note>边RS和边ST是直角边</note>，<note>边RT是斜边</note>。三角形TUV中，<note>∠TUV是直角（90度）</note>，因此三角形TUV是一个直角三角形。<note>边TU和边UV是直角边</note>，<note>边TV是斜边</note>。

Triangle Angle Sum Theorem

<note>三角形RST</note>中，<note>角R（∠SRT）</note>、<note>角S（∠RST）</note>和<note>角RTS</note>是三角形RST的三个内角，根据<note>三角形内角和定理</note>，<note>角R + 角S + 角RTS = 180°</note>。


Question:
△ABC 和 △DEF 如下图所示。

 哪个陈述是正确的？

- △ABC 与 △DEF 相似。
- △ABC 与 △DEF 不相似。
- 没有足够的信息来确定三角形是否相似。

Answer: - △ABC is similar to △DEF.

1. 在△ABC中，已知∠BAC=15°和∠ACB=45°，根据三角形内角和定理，三角形的三个内角之和为180°。

2. 根据三角形内角和定理，设∠ABC为x，则有：∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°，即15° + x + 45° = 180°。

3. 计算得到x = 180° - 15° - 45° = 120°，因此∠ABC=120°。

4. 在△DEF中，已知∠EFD=45°和∠FED=120°。

5. 比较两三角形的对应角度，∠ABC与∠FED对应且相等（120°），∠ACB与∠EFD对应且相等（45°）。

6. 根据相似三角形的判定定理(AA)，两个三角形如果有两组对应角相等，则这两个三角形相似。在本题中，∠ABC和∠FED相等，∠ACB和∠EFD相等，因此△ABC和△DEF相似。

7. 经上述推理，可以得出结论：△ABC与△DEF是相似的。

<note>三角形△ABC</note>中，<note>角∠BAC</note>、<note>角∠ACB</note>和<note>角∠ABC</note>是三角形△ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>角∠BAC + 角∠ACB + 角∠ABC = 180°</note>。

Similarity Theorem for Triangles (AA)

在本题图中，通过验证△ABC和△DEF的对应角：<note>∠ABC和∠DEF相等</note>，<note>∠ACB和∠DFE相等</note>。因此根据相似三角形的判定定理，这两个三角形相似，结论为<note>△ABC和△DEF相似</note>。


Question:
IJ是圆在点J处的切线。求 \$riangle\$ HIJ 的度数。

请将答案写成整数或小数。

m \$riangle\$ HIJ= \$ox\$ °

Answer: m \$\angle \$ HIJ=44.5°

1. 已知 IJ 是与圆的切线，并在 J 点相切，根据题意，圆周上的三条弧分别是 \overset{\frown}{GH} (93°)、\overset{\frown}{GJ} (178°) 和 \overset{\frown}{HJ}，可通过相加得到整个圆的度数和是 360°。

2. 根据圆的角度性质，可知 93° + 178° + m \overset{\frown}{HJ} = 360°。

3. 通过计算可得 m \overset{\frown}{HJ} = 360° - 93° - 178° = 89°。

4. 已知切线 IJ 与圆的弦 IG 相交于 I，根据圆外角定理，切线与弦所夹的角（m \angle HIJ）等于弦所截弧（m \overset{\frown}{GJ}）与相应的弦所对的另一弧（m \overset{\frown}{HJ}）差的一半。

5. 由圆外角定理，m \angle HIJ = \frac{1}{2}(m \overset{\frown}{GJ} - m \overset{\frown}{HJ})。

6. 将已知各弧的度数代入得 m \angle HIJ = \frac{1}{2}(178° - 89°)。

7. 计算得到 m \angle HIJ = \frac{1}{2}(89°) = 44.5°。

8. 经过上述推理，最终得出答案为 44.5°。

Angle Properties of a Circle

The total measure of the angles in a complete circular arc is 360 degrees, and the sum of the central angles subtended by the entire circumference of a circle is 360 degrees.

External Angle Theorem of a Circle

<note>设圆心为O</note>，圆O中，<note>角HIJ是圆的外角</note>，<note>弧HJ和弧GJ是角HIJ所对的两个弧</note>。根据圆外角定理，<note>角HIJ等于弧GJ的度数与弧HJ的度数差的一半</note>，即<note>角HIJ = (弧GJ的度数 - 弧HJ的度数) / 2</note>。


Question: 求小弧 \$rown{JN}\$ 的度量。请将答案写成整数或小数。m \$rown{JN}\$ = \$ox\$ °

Answer: m \$\overset{\frown}{JN}\$ =129°

1. 已知LJ和LN是圆的割线，点L在圆外，与圆的交点分别为J和N。

2. 根据圆外角定理，我们知道，角JLN的度数等于被它截出的两条弧（即弧JN和弧KM）度数差的一半。

3. 已知∠JLN=41°，∠JLN=1/2(弧JN的度数−弧KM得度数)。

4. 将已知条件代入公式：41°=1/2(弧JN的度数−47°)。

5. 解方程，先两边同时乘以2，得到82°=弧JN的度数−47°。

6. 将47°移项并加到方程两边，得到弧JN的度数=82°+47°。

7. 计算后，得弧JN的度数=129°。

8. 经过上述推理，最终得出答案为129°。

<note>∠JLN是圆的外角</note>，<note>弧KM和弧JN是∠JLN所对的两个弧</note>。根据圆外角定理，<note>∠JLN等于弧JN的度数与弧KM的度数差的一半</note>，即<note>∠JLN=1/2(弧JN的度数−弧KM的度数)</note>。

Definition of Arc

An arc is a curve on a circle that is defined by two distinct points on the circle.

<note>圆上有两点J和N</note>，<note>弧JN是连接这两点的一段曲线</note>。根据弧的定义，<note>弧JN是圆上两点J和N之间的一段曲线</note>。

Definition of an Angle

An angle is a geometric figure formed by two rays sharing a common endpoint. This common endpoint is called the vertex of the angle, and the two rays are referred to as the sides of the angle.

<note>角JLN是由两条射线LJ和LN组成的几何图形</note>，这两条射线有一个共同的端点<note>L</note>。这个共同的端点<note>L称为角JLN的顶点</note>，而<note>射线LJ和LN称为角JLN的边</note>。


Question:
求小弧 \$rown{SW}\$ 的度数。

请将答案写为整数或小数。

m \$rown{SW}\$ = \$ox\$ °

Answer: m \$\overset{\frown}{SW}\$ =137°

1. 题图中给出了切割线 US 和 UW 在点 U 相交。

2. 已知角 ∠SUW = 42°，弧 m( ⌒ TV ) = 53°。

3. 根据圆外角定理，切割线形成的角等于其截弧的差的一半。该定理的公式为：m(∠SUW) = 1/2 [m( ⌒ SW ) - m( ⌒ TV )]。

4. 代入已知值：42° = 1/2 [m( ⌒ SW ) - 53°]。

5. 解方程：将方程两边乘2得：84° = m( ⌒ SW ) - 53°。

6. 继续解方程：84° + 53° = m( ⌒ SW )。

7. 计算得到：m( ⌒ SW ) = 137°。

8. 经过上述推理，最终得出答案为137°。

Definition of Arc

在本题图中，圆上有两点 <note>T 和 V</note>，<note>弧TV</note> 是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，<note>弧TV</note> 是圆上两点 <note>T 和 V</note> 之间的一段曲线。

External Angle Theorem of a Circle

<note>角SUW是圆的外角</note>，<note>弧TV和弧SW是角SUW所对的两个弧</note>。根据圆外角定理，角SUW等于弧TV的度数与弧SW的度数差的一半，即<note>角SUW = (弧SW的度数 - 弧TV的度数) / 2</note>。


Question:
求 \$riangle \$ NQO 的度数。

请将答案写成整数或小数。

m \$riangle \$ NQO= \$ox\$ °

Answer: m \$\angle \$ NQO=102°

1. 给定条件中弦 MN 和 OP 在点 Q 相交，并且给出了两个弧长：弧 MO= 62°，弧 NP= 94°。

2. 依据圆内角定理 圆内角的度数等于圆内角所对的两条弧的度数和的一半，可以计算角 MQO。那么， ∠MQO = 1/2( 弧MO+ 弧NP )。

3. 将弧度数代入公式，得到 ∠MQO = 1/2( 62° + 94° ) = 1/2(156°)。

4. 计算 1/2 *156° 确定 ∠MQO = 78°。

5. 因为 ∠MQO 和 ∠NQO 是直线上的一对邻补角，即相邻的两个角之和为180度。所以，根据 邻补角的定义，我们可以写：∠NQO = 180° - ∠MQO。

6. 将已知 ∠MQO = 78° 代入方程，得到 ∠NQO = 180° - 78° = 102°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为102°。

Definition of Arc

在本题图中，圆上有两点<note>M和O</note>，<note>弧MO</note>是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，<note>弧MO</note>是圆上<note>两点M和O</note>之间的一段曲线。圆上有两点<note>P和N</note>，<note>弧PN</note>是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，<note>弧PN</note>是圆上<note>两点P和N</note>之间的一段曲线。

Definition of Linear Pair of Angles

<note>角MQO和角NQO有一条公共边QO，它们的另一边MQ和NQ互为反向延长线</note>，所以角MQO和角NQO互为邻补角，即相邻的两个角之和为180度。


Question:
△DEF 和 △JKL 如下图所示。

哪个陈述是正确的？

- △DEF 与 △JKL 相似。
- △DEF 与 △JKL 不相似。
- 没有足够的信息来确定三角形是否相似。

Answer: - △DEF is not similar to △JKL.

1. 已知∠E = 90°，∠F = 32°，根据三角形内角和定理，所有内角的和为180°。

2. 根据三角形内角和定理，设∠D为x，则x + ∠E + ∠F = 180°。

3. 代入已知值，得出x + 90° + 32° = 180°。

4. 解方程x + 122° = 180°，得到x = 58°，即∠D = 58°。

5. 所以△DEF的内角分别为∠D = 58°，∠E = 90°，∠F = 32°。

6. 观察△JKL，其中已知∠J = 52°，∠K = 90°。

7. 如果△DEF和△JKL相似，依据相似三角形的判定定理(AA)，则必须满足对应内角相等。

8. 检查对应内角：∠J和△DEF中任意角都不为52°，所以不能有两个三角形的对应内角相等。

9. 综上所述，由于没有两个三角形的对应内角相等，△DEF不可能与△JKL相似。

10. 经过上述推理，最终得出答案为△DEF is not similar to △JKL.

Similarity Theorem for Triangles (AA)

<note>在本题图中，若要判断是否△DEF与△JKL相似，需要满足AA条件，即两个对应内角分别相等</note>。检查发现<note>∠E=90°与∠K=90°相等</note>，但另一个角不满足，比如<note>∠F=32°和∠L不等于52°</note>，因此这两个三角形不相似。

Triangle Angle Sum Theorem

<note>三角形DEF中，角D、角E和角F是三角形DEF的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角D + 角E + 角F = 180°</note>。同理，<note>三角形JKL中，角J、角K和角L是三角形JKL的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角J + 角K + 角L = 180°</note>。


Question:
求 \$riangle\$ JNM 的度数。

请将答案写成整数或小数。

m \$riangle\$ JNM= \$ox\$ °

Answer: m \$\angle \$ JNM=117.5°

1. 已知弦 \overline{JK} 和 \overline{LM} 在点 N 相交，求 \angle JNM 的度数。

2. 根据圆内角定理，对于圆内的相交弦，其交点的角度(如 \angle MNK)等于由其角所对的两条弧的度数（\overset{\frown}{LJ}与\overset{\frown}{KM}）的半和：\angle MNK = \frac{1}{2} (m \overset{\frown}{LJ} + m \overset{\frown}{KM})。

3. 将上述条件应用于已知弧度情况，得出：m \angle MNK = \frac{1}{2} (52° + 73°) = 62.5°。

4. 认识到\angle JNM与\angle MNK组成一个平角，根据平角的定义，平角总和为180°，所以：m \angle JNM = 180° - m \angle MNK。

5. 即：m \angle JNM = 180° - 62.5° = 117.5°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为m \angle ∠JNM = 117.5°。

Definition of Chord

A chord is defined as a line segment that connects any two points on a circle.

Inscribed Angle Theorem

在本题图中，<note>角MNK是圆的两条弦KJ与LM在圆内相交所形成的角</note>，所以<note>角MNK是圆内角</note>，即<note>角MNK度数=1/2（弧KM度数+弧LJ度数）</note>。


Question:
△DEF 和 △JKL 如下图所示。

哪个陈述是正确的？

- △DEF 与 △JKL 相似。
- △DEF 与 △JKL 不相似。
- 没有足够的信息来确定三角形是否相似。

Answer: - △DEF is not similar to △JKL.

1. 已知在△DEF中，∠E是90°，∠F是32°。我们需要求解∠D的角度。

2. 根据三角形内角和定理，三角形的内角和为180°，我们得到∠D + ∠E + ∠F = 180°。

3. 代入已知数值：∠D + 90° + 32° = 180°。

4. 解这个方程，得到∠D = 180° - 122° = 58°。

5. 因此，△DEF的三个内角分别是∠D = 58°，∠E = 90°，∠F = 32°。

6. 对于△JKL，已知∠K = 90°和∠J = 52°。

7. 若△DEF与△JKL相似，根据相似三角形的判定定理(AA)，则需要检验对应角是否相等。

8. 检查与△DEF的角对应的△JKL的角：对于∠E = 90°，相对∠K = 90°，对应；但∠F = 32°与∠J = 52°不对应。

9. 因此，△DEF的任一角不与△JKL的另一个角对应，所以△DEF与△JKL不相似。

10. 经过上述推理，最终得出答案为△DEF 不相似 △JKL.

Definition of Triangle

<note>三角形DEF是由三个非共线点D、E、F及其连接线段DE、EF、FD组成的几何图形</note>。<note>点D、E、F分别是三角形的三个顶点</note>，<note>线段DE、EF、FD分别是三角形的三条边</note>。<note>三角形JKL是由三个非共线点J、K、L及其连接线段JK、KL、LJ组成的几何图形</note>。<note>点J、K、L分别是三角形的三个顶点</note>，<note>线段JK、KL、LJ分别是三角形的三条边</note>。

Definition of an Angle

在本题图中，<note>∠DEF是由两条射线DE和EF组成的几何图形</note>，这两条射线有一个<note>共同的端点E</note>。这个<note>共同的端点E称为∠DEF的顶点</note>，而射线DE和EF称为<note>∠DEF的边</note>。类似地，<note>∠JKL是由两条射线JK和KL组成的几何图形</note>，这两条射线有一个<note>共同的端点K</note>。这个<note>共同的端点K称为∠JKL的顶点</note>，而射线JK和KL称为<note>∠JKL的边</note>。<note>∠DFE是由两条射线DF和EF组成的几何图形</note>，这两条射线有一个<note>共同的端点F</note>。这个<note>共同的端点F称为∠DFE的顶点</note>，而射线DF和EF称为<note>∠DFE的边</note>。<note>∠EDF是由两条射线DE和DF组成的几何图形</note>，这两条射

Triangle Angle Sum Theorem

在本题图中，<note>三角形DEF</note>中，<note>角D</note>、<note>角E</note>和<note>角F</note>是三角形DEF的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>角D + 角E + 角F = 180°</note>。同样地，在<note>三角形JKL</note>中，<note>角J</note>、<note>角K</note>和<note>角L</note>是三角形JKL的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>角J + 角K + 角L = 180°</note>。

Similarity Theorem for Triangles (AA)

<note>△DEF 和 △JKL 要相似</note>，则需要<note>∠D=∠J</note>, <note>∠E=∠K</note>, <note>∠F=∠L</note>。检查发现虽然 <note>∠E 和 ∠K 都为90度</note>，但<note>∠F 和 ∠J 不对应</note>，即<note>32度不等于52度</note>，因此<note>△DEF 和 △JKL 不相似</note>。


Question: UV 在 V 点处与圆相切。求小弧 \$rown{TV}\$ 的度数。请将答案写成整数或小数。m \$rown{TV}\$ = \$ox\$ °

Answer: m \$\overset{\frown}{TV}\$ =58°

1. 已知UV是切线，且在点V与圆相切。由图可得∠TUV = 90°。

2. 已知US是割线，且US与切线UV在点U相交，并且弧TV和弧SV在圆内的相应角∠TUV = 90°。

3. 根据圆外角定理，切线与割线的交点处的角（∠TUV）等于截弧差的一半，即m∠TUV = 1/2(弧SV - 弧TV)。

4. 题中已知弧SV = 238°。由之前信息得知∠TUV = 90°。

5. 将已知数据代入圆外角定理的等式：90° = 1/2(238° - 弧TV)。

6. 将等式两边乘以2，得到180° = 238° - 弧TV。

7. 整理方程，弧TV = 238° - 180°。

8. 计算得到弧TV = 58°。

9. 经过上述推理，最终得出答案为58°。

Definition of Tangent to a Circle

A line is a tangent to a circle if and only if it has exactly one point of intersection with the circle. This point of intersection is called the point of tangency.

在本题图中，<note>圆与直线UV有且只有一个公共点V</note>，<note>这个公共点叫做切点</note>。因此，<note>直线UV是圆的切线</note>。

Definition of Arc

<note>圆上有三点T、S和V</note>，<note>弧TV是连接点T和点V的一段曲线</note>，<note>弧SV是连接点S和点V的一段曲线</note>。根据弧的定义，<note>弧TV是圆上两点T和V之间的一段曲线</note>，<note>弧SV是圆上两点S和V之间的一段曲线</note>。

External Angle Theorem of a Circle

<note>角TUV是圆的外角</note>，<note>弧TV和弧SV是角TUV所对的两个弧</note>。根据圆外角定理，<note>角TUV等于弧TV的度数与弧SV的度数差的一半</note>，即角TUV = (弧SV的度数 - 弧TV的度数) / 2。


Question:
m \$riangle\$ Q 是多少？

m \$riangle\$ Q= \$ox\$ °

Answer: m \$\angle \$ Q=95°

1. 已知Q、R、S、T在圆上，可知四边形QRST是一个圆内接四边形。

2. 根据(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理"，可以得到∠S和∠Q互补，即∠S + ∠Q = 180°。

3. 题目中已知∠S = 85°。

4. 由此可以列出方程：∠S + ∠Q = 180°，将已知条件代入方程，得到85° + ∠Q = 180°。

5. 解这个方程，得出∠Q = 180° - 85°。

6. 计算180° - 85°，得到∠Q = 95°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为∠Q = 95°。

Cyclic Quadrilateral

A quadrilateral is called a cyclic quadrilateral if and only if all four vertices lie on the circumference of a single circle. This circle is referred to as the circumcircle of the quadrilateral.

<note>四边形QRST的四个顶点Q、R、S和T都在同一个圆上</note>。这个圆称为四边形QRST的外接圆。因此，<note>四边形QRST是一个内接四边形</note>。根据<note>内接四边形的性质</note>，可以得出<note>对角相加等于180度</note>，即<note>角QRS + 角QTS = 180度，角RQT+ 角RST = 180度</note>。

Corollary 3 of the Inscribed Angle Theorem: Diagonal Supplementary Theorem for Cyclic Quadrilateral

In a cyclic quadrilateral (a quadrilateral inscribed in a circle), the sum of each pair of opposite angles is equal to 180°. Additionally, any exterior angle is equal to its interior opposite angle.

在本题图中，<note>圆内接四边形QRST中，四边形的顶点Q、R、S、T都在圆上</note>。根据<note>圆内接四边形对角互补定理</note>，四边形QRST的<note>每一对对角的和等于180°</note>。具体来说，<note>∠QRS + ∠QTS = 180°</note>；<note>∠RQT + ∠RST = 180°</note>。


Question:
m \$riangle\$ H 是多少？

m \$riangle\$ H= \$ox\$ °
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题，无需其他内容（也无需用‘问题：’开头）

Answer: m \$\angle \$ H=73°

1. 已知四边形EFGH是圆内接四边形，根据(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理，圆内接四边形的对角互补，即∠EFG+∠EHG=180°。

2. 已知∠EFG=107°，将其代入对角互补的公式得到， 107° + ∠EHG = 180°。

3. 由步骤2计算可得∠EHG = 180°-107°。

4. 计算结果∠EHG = 73°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为∠EHG=73°。

<note>圆内接四边形EFGH</note>中，四边形的顶点E、F、G、H都在圆上。根据<note>圆内接四边形对角互补定理</note>，<note>四边形EFGH</note>的每一对对角的和等于180°。具体来说，<note> ∠EFG + ∠EHG = 180°</note>；<note>∠FEH + ∠FGH = 180°</note>。


Question: MN是圆在N点的切线。求 \$riangle \$ LMN的度数。请将答案写为整数或小数。m \$riangle \$ LMN= \$ox\$ °

Answer: m \$\angle \$ LMN=39°

1. 设圆O，已知MN是圆的切线，切点为N，MK是与MN相交于M的割线，K和L是圆上的两点。

2. 根据圆外角定理，此时∠LMN的角度满足公式：∠LMN = 1/2 (弧KN的度数 - 弧LN的度数)。

3. 因为弧KN的度数 = 152°且弧LN的度数= 74°，所以根据上述公式∠LMN = 1/2 (152° - 74°)。

4. 计算上一步中的表达式：1/2 (152° - 74°) = 1/2 × 78° = 39°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为39°。

Definition of Tangent to a Circle

<note>在本题图中，圆与直线MN有且只有一个公共点N</note>，这个公共点叫做切点。因此，<note>直线MN是圆的切线</note>。

Secant Line

<note>直线MK与圆有两个交点，分别是点K和点L</note>。根据割线的定义，<note>直线MK与圆相交于两个不同的点</note>，所以<note>直线MK是圆的割线</note>。

Definition of Arc

<note>圆上有两点K和N，弧KN是连接这两点的一段曲线</note>；<note>圆上还有两点L和N，弧LN是连接这两点的一段曲线</note>。根据弧的定义，<note>弧KN是圆上两点K和N之间的一段曲线</note>，<note>弧LN是圆上两点L和N之间的一段曲线</note>。<note>弧KN的度数为152°</note>，<note>弧LN的度数为74°</note>。

External Angle Theorem of a Circle

<note>圆O中，∠LMN是圆的外角</note>，<note>弧KN和弧LN是∠LMN所对的两个弧</note>。根据圆外角定理，<note>∠LMN等于弧KN的度数与弧LN的度数差的一半</note>，即<note>∠LMN = (弧KN的度数 - 弧LN的度数) / 2</note>。


Question:
m \$riangle\$ G是多少？

m \$riangle\$ G= \$ox\$ °

Answer: m \$\angle \$ G=82°

1. 已知四边形 FGHI 是一个内接四边形，依据(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理，在四边形 FGHI 中，∠I 和 ∠G 是互补的。这是因为对于一个内接四边形，其对角的和为 180°。

2. 根据已知条件，∠I = 98°。

3. 依据(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理，在本题中具体表示为：∠I + ∠G = 180°。

4. 代入已知条件 ∠I = 98°，得到方程式：98° + ∠G = 180°。

5. 解方程，得到 ∠G = 180° - 98°。

6. 计算得出 ∠G = 82°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为 82°。

Cyclic Quadrilateral

<note>四边形FGHI的四个顶点F、G、H和I都在同一个圆上</note>。这个圆称为四边形FGHI的外接圆。因此，<note>四边形FGHI是一个内接四边形</note>。根据内接四边形的性质，可以得出<note>对角相加等于180度，即角∠I + 角∠G = 180度，角∠F + 角∠H = 180度</note>。

<note>在本题图中，圆内接四边形FGHI中，四边形的顶点F、G、H、I都在圆上。</note>根据圆内接四边形对角互补定理，<note>四边形FGHI的每一对对角的和等于180°。</note>具体来说，<note>∠I + ∠G = 180°；∠F + ∠H = 180°。</note>在本题中，<note>已知 ∠I = 98°，代入得 ∠G = 180° - 98° = 82°。</note>


Question: m \$\\angle \$ S 是多少？ m \$\\angle \$ S= \$\\Box\$ °

Answer: m \$\angle \$ S=87°

1. 已知四边形 PQRS 是一个圆内接四边形。

2. 根据(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理：四边形的对角互补，即∠Q和∠S是互为补角的，说明∠Q + ∠S = 180°。

3. 已知∠Q的度数为93°，代入已知条件，可以得到方程：∠Q + ∠S = 180°，即93° + ∠S = 180°。

4. 通过计算，∠S = 180° - 93°。

5. 计算得出∠S = 87°。

6. 因此，经过上述推理，最终得出答案为87°。

<note>四边形 PQRS 的四个顶点 P、Q、R 和 S 都在同一个圆上</note>。这个圆称为<note>四边形 PQRS 的外接圆</note>。因此，<note>四边形 PQRS 是一个内接四边形</note>。根据内接四边形的性质，可以得出对角相加等于180度，即<note>角 PQR + 角 PSR = 180度</note>，<note>角 QPS + 角 QRS = 180度</note>。

在本题图中，<note>圆内接四边形PQRS</note>中，四边形的顶点<note>P、Q、R、S都在圆上</note>。根据<note>圆内接四边形对角互补定理</note>，四边形PQRS的每一对对角的和等于180°。具体来说，<note>∠PQR + ∠PSR = 180°</note>；<note>∠QPS + ∠QRS = 180°</note>。


Question:
m \$\\angle \$ I是多少？

m \$\\angle \$ I= \$\\Box\$ °
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）

Answer: m \$\angle \$ I=100°

1. 根据内接四边形，得四边形 GHIJ 是一个内接四边形。

2. 根据(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理，当一个四边形内接于圆时，其对角的角是互补的，即它们的和为 180°。

3. 设对角 G 和 I 的角分别为 ∠G 和 ∠I，根据上述性质，我们有：∠G + ∠I = 180°。

4. 已知 ∠G = 80°，将其代入对角互补关系，得到：80° + ∠I = 180°。

5. 解方程 80° + ∠I = 180°，两边同时减去 80°，得：∠I = 180° - 80°。

6. 计算得：∠I = 100°。

7. 因此，∠I 的度数为 100°。

8. 经过上述推理，最终得出答案为 100°。

<note>四边形 GHIJ 的四个顶点 G、H、I 和 J 都在同一个圆上</note>。<note>这个圆称为四边形 GHIJ 的外接圆</note>。因此，四边形 GHIJ 是一个内接四边形。根据内接四边形的性质，可以得出<note>对角相加等于180度</note>，即<note>角 ∠G + 角 ∠I = 180度</note>，<note>角 ∠H + 角 ∠J = 180度</note>。

<note>圆内接四边形 GHIJ 中，四边形的顶点 G、H、I 和 J 都在圆上</note>。根据圆内接四边形对角互补定理，<note>四边形 GHIJ 的每一对对角的和等于180°</note>。具体来说，<note>∠GHI + ∠GJI = 180°</note>；<note>∠HGJ + ∠HIJ = 180°</note>。


Question:
m \$riangle \$ H是多少？

m \$riangle \$ H= \$ox\$ °
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）

Answer: m \$\angle \$ H=104°

1. 根据内接四边形，得四边形 HIJK 是一个圆内接四边形。根据(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理，如果一个四边形是圆内接四边形，那么它的每对对角互为补角。

2. 根据上述定理，在圆内接四边形 HIJK 中，角 H 和角 J 是互为补角，所以有 ∠H + ∠J = 180°。

3. 已知 ∠J = 76°，将其代入补角的等式，可以得到 ∠H + 76° = 180°。

4. 解这个等式，减去76°，得到 ∠H = 180° - 76° = 104°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为104°。

在本题图中，<note>四边形 HIJK 的四个顶点 H、I、J 和 K 都在同一个圆上</note>。这个圆称为<note>四边形 HIJK 的外接圆</note>。因此，<note>四边形 HIJK 是一个内接四边形</note>。根据内接四边形的性质，可以得出<note>对角相加等于180度，即角 H + 角 J = 180度，角 I + 角 K = 180度</note>。

<note>圆内接四边形 HIJK</note> 中，<note>四边形的顶点 H、I、J、K 都在圆上</note>。根据<note>圆内接四边形对角互补定理</note>，<note>四边形 HIJK 的每一对对角的和等于 180°</note>。具体来说，<note>∠H + ∠J = 180°</note>；<note>∠I + ∠K = 180°</note>。


Question:
m \$riangle \$ U 是多少？

m \$riangle \$ U= \$ox\$ °

Answer: m \$\angle \$ U=72°

1. 知道四边形TUVW是圆内接四边形，且题目提供的角∠TWV = 108°。

2. 根据圆内接四边形性质，四边形内对的角互补，即∠TWV + ∠TUV = 180°。

3. 已经知道∠TWV = 108°，代入互补条件可得∠TUV + 108° = 180°。

4. 解方程：∠TUV + 108° = 180°，得到∠TUV = 180° - 108°。

5. 计算得到∠TUV = 72°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为72°。

在本题图中，<note>四边形TUVW的四个顶点T、U、V和W都在同一个圆上</note>。这个<note>圆称为四边形TUVW的外接圆</note>。因此，四边形TUVW是一个内接四边形。根据内接四边形的性质，可以得出<note>对角相加等于180度</note>，即<note>角∠TWV + 角∠TUV = 180度</note>，<note>角∠UVW + 角∠UTW = 180度</note>。

<note>四边形TUVW是圆内接四边形</note>，根据圆内接四边形对角互补定理，四边形TUVW的每一对对角的和等于180°。具体来说，<note>∠TUV + ∠TWV = 180°</note>；<note>∠UTW + ∠UVW = 180°</note>。


Question: △CDE 和 △FGH 如下图所示。 哪个陈述是正确的？ - △CDE 与 △FGH 相似。 - △CDE 与 △FGH 不相似。 - 没有足够的信息来确定三角形是否相似。

Answer: - △CDE is not similar to △FGH.

1. 在△CDE中，已知∠C = 48° 和 ∠E = 80°。

2. 根据三角形内角和定理，三角形内的三个角的和为180°，即 ∠C + ∠D + ∠E = 180°。

3. 代入已知数值，可得 48° + ∠D + 80° = 180°。

4. 化简方程得 ∠D + 128° = 180°。

5. 解方程可得 ∠D = 52°，所以△CDE的三个角是48°，52°和80°。

6. 在△FGH中，已知∠F = 48° 和 ∠G = 62°。

7. 同样根据三角形内角和定理，得到 ∠F + ∠G + ∠H = 180°。

8. 代入已知数值，可得 48° + 62° + ∠H = 180°。

9. 化简方程得 ∠H + 110° = 180°。

10. 解方程可得 ∠H = 70°，所以△FGH的三个角是48°，62°和70°。

11. 比较△CDE和△FGH的内角，发现∠D与∠G不相等（52° ≠ 62°），因此两个三角形的对应内角不全等。

12. 根据相似三角形的判定定理(AA)，若两个三角形相似，则其对应角相等。

13. 由于△CDE和△FGH的对应内角不完全相等，故△CDE不相似于△FGH。

14. 经过上述推理，最终得出答案为△CDE 不相似于 △FGH。

Triangle Angle Sum Theorem

在本题图中，<note>三角形CDE中，角C、角D和角E是三角形CDE的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角C + 角D + 角E = 180°</note>。同样在<note>三角形FGH中，角F、角G和角H是三角形FGH的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角F + 角G + 角H = 180°</note>。

Similarity Theorem for Triangles (AA)

<note>在本题图中，三角形CDE和三角形FGH中，如果角C等于角F，且角E等于角H</note>，所以三角形CDE不相似于三角形FGH。<note>根据相似三角形的判定定理(AA)，两个三角形的对应角不完全相等</note>，因此△CDE和△FGH不相似。


Question: m \$\\angle \$ K 是多少？

Answer: m \$\angle \$ K=91°

1. 根据内接四边形，得出四边形HIJK是圆内接四边形，四边形的顶点H、I、J、K都在圆上。

2. 根据(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理，圆内接四边形的对角互补，即对角的和等于180°。

3. 在此题中，∠I与∠K互为对角，因此∠I + ∠K = 180°。

4. 已知∠I = 89°，代入得：89° + ∠K = 180°。

5. 从方程89° + ∠K = 180°中，两边同时减去89°，得到∠K = 180° - 89°。

6. 计算右边式子，得出∠K = 91°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为∠K = 91°。

Cyclic Quadrilateral

<note>在本题图中，四边形HIJK的四个顶点H、I、J和K都在同一个圆上</note>。<note>这个圆称为四边形HIJK的外接圆</note>。因此，四边形HIJK是一个内接四边形。根据内接四边形的性质，可以得出<note>对角相加等于180度，即角I + 角K= 180度，角H+ 角J = 180度</note>。

在本题图中，<note>圆内接四边形HIJK</note>中，<note>四边形的顶点H、I、J、K都在圆上</note>。根据<note>圆内接四边形对角互补定理</note>，四边形HIJK的每一对对角的和等于180°。具体来说，<note>角I + 角K= 180度，角H+ 角J = 180度</note>。


Question:
m \$riangle\$ S是多少？

m \$riangle\$ S= \$ox\$ °
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题，无需其他内容（也无需用‘问题：’开头）

Answer: m \$\angle \$ S=63°

1. 观察图中可以看到四边形 PQRS 是一个内接四边形。

2. 根据(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理，该定理指出，如果一个四边形是内接四边形，则其对角的角度之和为 180 度。

3. 应用此定理于四边形 PQRS，即 ∠PQR 和 ∠PSR 是对角，依据定理可知 ∠PQR + ∠PSR = 180°。

4. 已知 ∠PQR = 117°，代入上一步的等式：117° + ∠PSR = 180°。

5. 解方程得到：∠PSR = 180° - 117° = 63°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 63°。

<note>四边形PQRS的四个顶点P、Q、R和S都在同一个圆上</note>。这个圆称为<note>四边形PQRS的外接圆</note>。因此，<note>四边形PQRS是一个内接四边形</note>。根据内接四边形的性质，可以得出<note>对角相加等于180度</note>，即<note>角PQR + 角PSR = 180度</note>。

<note>圆内接四边形PQRS中，四边形的顶点P、Q、R、S都在圆上</note>。根据<note>圆内接四边形对角互补定理</note>，四边形PQRS的每一对对角的和等于180°。具体来说，<note>∠PQR + ∠PSR = 180°</note>；已知<note>∠PQR = 117°</note>，依据定理可以求出∠PSR。


Question:
m \$riangle \$ H是多少？

m \$riangle \$ H= \$ox\$ °
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）

Answer: m \$\angle \$ H=52°

1. 已知线段FH是圆的直径，根据(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角，得出角FGH 是直角，即 ∠FGH = 90°。

2. 因为角FGH 是直角，根据直角三角形的定义，三角形FGH 是直角三角形。根据直角三角形的锐角互余性质，并且∠ F 和 ∠ H 是互余的角，两角之和为 90°。

3. 已知 ∠F = 38°，根据直角三角形的锐角互余性质，∠ F + ∠ H =
 90°。

4. 代入已知条件，38° + ∠ H = 90°。

5. 解方程，得到 ∠ H = 90° - 38° = 52°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 ∠ H = 52°。

Definition of Right Triangle

<note>三角形 FGH 中，角 FGH 是直角（90度）</note>，因此三角形 FGH 是一个直角三角形。<note>边FG和边GH是直角边，边FH是斜边</note>。

Definition of Inscribed Angle

An inscribed angle is an angle whose vertex lies on the circumference of a circle and whose sides intersect the circle at two points.

在本题图中，圆中，<note>角FGH的顶点(点G)在圆周上</note>，<note>角FGH的两边分别与圆相交于点H和点F</note>。因此，<note>角FGH是一个圆周角</note>。

Complementary Acute Angles in a Right Triangle

In a right triangle, the sum of the two non-right angles is 90°.

<note>直角三角形FGH中，角FGH是直角（90度）</note>，角F和角H是直角以外的两个锐角，根据直角三角形的锐角互余性质，<note>角F和角H的和为90度</note>，即<note>角F + 角H = 90°</note>。

Corollary to the Inscribed Angle Theorem 2: The Angle Subtended by the Diameter

The angle subtended by the diameter of a semicircle is a right angle; conversely, if an inscribed angle is 90°, then the chord subtending that angle is a diameter.

Definition of Diameter

A diameter is a line segment that passes through the center of a circle and has its endpoints on the circle. It is the longest chord of the circle, with a length equal to twice the radius of the circle.

<note>在本题图中，圆中，线段FH是圆的直径</note>。线段FH通过圆心，并且两端点F和H都在圆上。根据直径的定义，<note>线段FH是圆的最长弦，长度为2倍的半径，即FH = 2 * 半径</note>。


Question:
m \$riangle\$ I 是多少？

m \$riangle\$ I= \$ox\$ °
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）

Answer: m \$\angle \$ I=52°

1. 已知线段 \overline{IK} 是圆的直径，点 I、J、K 在圆上。因此，根据(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角，得出 \angle IJK 是直角，即 \angle IJK = 90°。

2. 在直角三角形 \triangle IJK 中，根据三角形内角和定理，可知三个内角的和为 180°，因此 \angle I + \angle IKJ + \angle IJK = 180°。

3. 根据步骤1中已知的 \angle IJK = 90°，代入得到 \angle I + \angle IKJ + 90° = 180°。

4. 根据以已知条件中 \angle IKJ = 38°，代入得到 \angle I + 38° + 90° = 180°。

5. 化简方程，得到 \angle I + 128° = 180°。

6. 两边同时减去 128°，得到 \angle I = 52°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为 \angle I = 52°。

Triangle Angle Sum Theorem

The sum of the interior angles of any triangle is 180°.

在本题图中，三角形 <note>\triangle IJK</note> 中，角 <note>\angle I</note>、角 <note>\angle IKJ</note> 和角 <note>\angle IJK</note> 是三角形 <note>\triangle IJK</note> 的三个内角，根据三角形内角和定理，角 <note>\angle I</note> + 角 <note>\angle IKJ</note> + 角 <note>\angle IJK</note> = 180°。


Question:
m \$\\angle \$ I是多少？

m \$\\angle \$ I= \$\\Box\$ °
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）

Answer: m \$\angle \$ I=33°

1. 根据题意，线段IJ是圆的直径，依据(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角，因此∠IHJ是直角。

2. 由于∆HIJ是直角三角形，依据直角三角形的锐角互余性质，即在直角三角形中两个剩余角（即锐角）的和为90°。因此，∠HIJ + ∠IJH = 90°。

3. 已知∠IJH = 57°，代入上式可得：57° + ∠HIJ = 90°。

4. 解方程57° + ∠HIJ = 90°，得到∠HIJ = 90° - 57° = 33°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为33°。

Definition of Right Triangle

在本题图中，三角形HIJ中，<note>角IHJ是直角（90度）</note>，因此三角形HIJ是一个直角三角形。<note>边HI和边HJ是直角边</note>，<note>边IJ是斜边</note>。

<note>直角三角形HIJ中</note>，<note>角IHJ是直角（90度）</note>，角HIJ和角HJI是直角以外的两个锐角，根据直角三角形的锐角互余性质，<note>角HIJ和角HJI的和为90度</note>，即<note>角HIJ + 角HJI = 90°</note>。

在本题图中，圆中，<note>直径IJ</note>所对的<note>圆周角IHJ是直角（90度）</note>。


Question:
m \$riangle\$ J是多少度？

m \$riangle\$ J= \$ox\$ °

Answer: m \$\angle \$ J=57°

1. 根据直径的定义，直线JK是圆的直径；根据圆周角的定义，∠JIK为圆周角；根据(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角，得出∠JIK是直角，即 ∠JIK = 90。

2. 根据直角三角形的定义， △IJK 是直角三角形，并且∠JIK = 90。根据三角形内角和定理，∠JIK + ∠ IKJ +∠IJK=180°，即 ∠IJK + ∠ IKJ=180°-90°=90°。

3. 已知 ∠IKJ = 33°，则∠IJK + 33° = 90。

4. 解得∠IJK = 90° - 33° = 57°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为 ∠ J = 57°。

Definition of Diameter

<note>JK是直径</note>，连接了<note>圆心</note>和圆周上的<note>J、K 两点</note>，长度为<note>2倍的半径</note>，即 <note>JK = 2r</note>。

Definition of Inscribed Angle

在本题图中，圆中，<note>角JIK的顶点I在圆周上</note>，<note>角JIK的两边分别与圆相交于点J和点K</note>。因此，<note>角JIK是一个圆周角</note>。


Question: m \$\\angle \$ R? m \$\\angle \$ R= \$\\Box\$ °

Answer: m \$\angle \$ R=53°

1. 已知线段 PR 是圆的直径，根据圆周角定理，直径所对的圆周角为直角。因此，角 PQR 是直角，即 m∠PQR = 90°。

2. 三角形 PQR 是一个直角三角形，因此根据三角形的内角和定理，三角形的三个内角之和为 180°，所以 m∠PQR + m∠QRP + m∠RPQ = 180°。

3. 由前两步可知，m∠PQR = 90°，且已知 m∠RPQ = 37°，因此我们可以求出 m∠QRP。

4. 根据步骤2的三角形内角和等式，以及已经知道的角度，可得 90° + 37° + m∠QRP = 180°。

5. 解上述等式：m∠QRP = 180° - 90° - 37° = 53°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为53°。

Definition of Right Triangle

<note>角 PQR 是直角（90度）</note>，因此三角形 PQR 是一个直角三角形。边 PR 和边 QR 是直角边，边 PQ 是斜边。

Inscribed Angle Theorem

In a circle, an inscribed angle is equal to half of the central angle that subtends the same arc.

Triangle Angle Sum Theorem

<note>在本题图中，三角形 PQR 中，角 PQR、角 QRP 和角 RPQ 是三角形 PQR 的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角 PQR + 角 QRP + 角 RPQ = 180°</note>。


Question:
m \$\\angle \$ F?

m \$\\angle \$ F= \$\\Box\$ °
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）

Answer: m \$\angle \$ F=37°

1. 根据题目给出的图形，以及圆周上一点G和直径\overline{EF}，由于\overline{EF}是直径，因此根据(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角: \angle EGF是直角。因此，△EFG是直角三角形。

2. 在直角三角形△EFG中，根据直角三角形的锐角互余性质，所以\angle E和\angle F是互余的，即\angle E + \angle F = 90°。

3. 已知\angle E = 53°，因此可以利用上一步得出的结论：\angle E + \angle F = 90°，代入已知条件得到53° + \angle F = 90°。

4. 通过方程53° + \angle F = 90°，可得\angle F = 90° - 53°。

5. 计算得：\angle F = 37°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为\angle F的度数为37°。

Definition of Right Triangle

在本题图中，三角形EFG中，<note>角EGF是直角（90度）</note>，因此三角形EFG是一个直角三角形。<note>边EG和边GF是直角边</note>，<note>边EF是斜边</note>。

在本题图中，直角三角形<note>EFG</note>中，<note>角EGF是直角（90度）</note>，角<note>E</note>和角<note>F</note>是直角以外的两个锐角，根据直角三角形的锐角互余性质，<note>角E和角F的和为90度</note>，即<note>角E + 角F = 90°</note>。


Question:
m \$riangle\$ G 是多少？

m \$riangle\$ G= \$ox\$ °
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）

Answer: m \$\angle \$ G=39°

1. 已知\( \overline{GH} \)是圆的直径，根据(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角，圆周角\( \angle GFH \)是直角，即\( 90^\circ \)。

2. 由第一步结论，\( \triangle FGH \)是一个直角三角形，其中直角为\( \angle GFH \)。

3. 根据三角形内角和定理，任意三角形内角和为\( 180^\circ \)，因此在\( \triangle FGH \)中，有\( \angle FGH + \angle GHF + \angle GFH = 180^\circ \)。

4. 代入已知值，\( \angle GFH = 90^\circ \)和\( \angle FHG= 51^\circ \)，则：\( 51^\circ + \angle G + 90^\circ = 180^\circ \)。

5. 解此方程，得\( \angle G = 180^\circ - 90^\circ - 51^\circ = 39^\circ \)。

6. 经过上述推理，最终得出答案为\( \angle G = 39^\circ \)。

Definition of Inscribed Angle

在本题图中，圆中，<note>角\( \angle GFH \)的顶点F在圆周上</note>，角\( \angle GFH \)的两边分别<note>与圆相交于点G和点H</note>。因此，<note>角\( \angle GFH \)是一个圆周角</note>。

Definition of Right Triangle

<note>\( \triangle FGH \)</note>中，<note>\( \angle GFH \)是直角（90度）</note>，因此<note>\( \triangle FGH \)</note>是一个直角三角形。边<note>\( FG \)</note>和边<note>\( FH \)</note>是直角边，边<note>\( GH \)</note>是斜边。

<note>直径HG所对的圆周角GFH是直角（90度）</note>。（或<note>圆周角GFH是90度，所以它所对的弦HG是直径</note>。）

Triangle Angle Sum Theorem

<note>\( \triangle FGH \)</note>是一个三角形，因此满足三角形内角和定理，即<note>\( \angle FGH + \angle HGF + \angle GFH = 180^\circ \)</note>。代入已知值<note>\( \angle GFH = 90^\circ \)</note>和<note>\( \angle FGH = 51^\circ \)</note>，解得<note>\( \angle HGF = 39^\circ \)</note>。


Question:
一个圆的半径是6公里。一个45°弧的长度是多少？

给出最简形式的确切答案。
 \$ox\$ 𝜋/公里

Answer: 3/2𝜋 kilometers

1. 已知半径 r = 6 公里，首先根据圆的周长公式 C = 2πr 计算整个圆的周长。

2. 将已知的半径值代入周长公式，C = 2π × 6 = 12π 公里。因此，圆的周长为 12π 公里。

3. 给定弧长对应的圆心角为 45°。

4. 使用圆的弧长公式 l = C × (m/360)，其中 m 是圆心角的度数，将已知值代入公式。

5. 将 C = 12π 和 m = 45 代入弧长公式得到 l = 12π × (45/360)。

6. 进一步化简弧长计算，l = 12π × 1/8 = 3π/2 公里。

7. 经过上述推理，最终得出答案为 3π/2 公里。

Definition of Circle

A circle is the locus of all points in a plane that are at a fixed distance from a given point.

<note>点是圆心</note>，<note>半径为6公里</note>。图中所有到<note>点的距离等于6公里的点都在圆上</note>。

Definition of Arc

<note>圆上有两点分别为弧的两个端点</note>，<note>弧是连接这两点的一段橘黄色曲线</note>。根据弧的定义，<note>弧是圆上两点之间的一段曲线</note>。

Definition of Central Angle

An angle formed by two radii connecting two points on the circumference of a circle to the center of the circle is called a central angle.

<note>圆心是点O</note>，圆上的两点<note>A和B到圆心的连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角</note>，且<note>该圆心角为45°</note>。

Circumference Formula of Circle

The circumference of a circle is the length around the circular boundary. It can be calculated using the formula \( C = 2\pi r \), where \( C \) represents the circumference and \( r \) represents the radius.

<note>圆的半径 r = 6 公里</note>。根据圆的周长公式，圆的周长 C 等于 2π 乘以<note>半径 r</note>，即 <note>C = 2πr</note>。

Arc Length Formula of a Circle

The arc length refers to the length of a segment of the circumference of a circle. It can be calculated using the formula 𝓁 = C × (m/360), where m is the measure of the central angle in degrees.

<note>弧长 l = 12π × (45/360)</note>。通过计算得到结果为 <note>l = 12π × 1/8 = 3π/2 公里</note>。


Question:
m \$\\angle \$ G是多少？

m \$\\angle \$ G= \$\\Box\$ °
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）

Answer: m \$\angle \$ G=56°

1. 已知线段GH是圆的直径，根据(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角，角GIH是直角（90°）。

2. 在ΔGHI中，由于∠GIH是直角且等于90°，根据三角形内角和定理，三角形内的三个角之和为180°。

3. 由于ΔGHI是直角三角形且∠GIH为90°，可以得出∠GHI和∠HGI的和等于90°。

4. 已知∠GHI等于34°，根据第3步结论，∠HGI = 90° - ∠GHI。

5. 代入已知条件，计算∠HGI = 90° - 34° = 56°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为∠HGI = 56°。

Definition of Right Triangle

A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.

<note>在本题图中，三角形GHI中，角GIH是直角（90度）</note>，因此三角形GHI是一个直角三角形。<note>边GI和边HI是直角边</note>，<note>边HG是斜边</note>。

Triangle Angle Sum Theorem

<note>在本题图中，三角形GHI中，角GIH、角GHI和角HGI是三角形GHI的三个内角</note>，根据<note>三角形内角和定理</note>，<note>角GIH + 角GHI + 角HGI = 180°</note>。

Definition of Inscribed Angle

<note>角GIH的顶点I在圆周上</note>，<note>角GIH的两边分别与圆相交于点G和点H</note>。因此，角GIH是一个圆周角。


Question:
m \$riangle\$ D是多少？

m \$riangle\$ D= \$ox\$ °
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）

Answer: m \$\angle \$ D=58°

1. 已知DE是圆的直径，根据圆周角的定义和(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角，得出∠DFE是直角。(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角指出，直径所对的圆周角为直角。

2. 根据直角三角形的定义，三角形DEF为直角三角形，其中∠DFE为90°。

3. 在一个三角形中，三个内角和为180°。对于三角形DEF，因为∠DFE = 90°，所以剩下∠EDF和∠DEF的和应为90°，即∠EDF + ∠DEF = 90°。

4. 已知∠DEF = 32°，根据上述结论得出32° + ∠EDF = 90°。

5. 解方程32° + ∠EDF = 90°，我们可以通过从两边减去32°得到∠EDF = 58°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为58°。

Triangle Angle Sum Theorem

在本题图中，<note>三角形DEF中，∠DEF、∠EDF和∠DFE是三角形DEF的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>∠DEF + ∠EDF + ∠DFE = 180°</note>。


Question:
一个圆的半径是9英寸。135°弧的长度是多少？

请给出最简形式的精确答案。
 \$ox\$ 𝜋/ 英寸

Answer: 27/4𝜋 inches

1. 已知圆的半径是9英寸，根据圆的周长公式C=2πr得出圆的周长C=2×π×9=18π英寸。

2. 圆中某一弧的长度与周长的比例等于该弧对应的圆心角与整个圆360°的比例，公式为：l = C * (m/360)，其中l为弧长，C为周长，m为圆心角。

3. 题目中给出的圆心角是135°，将C=18π英寸和m=135代入圆的弧长公式中，得到l = 18π * (135/360)。

4. 化简括号内的分数，135/360等于3/8。

5. 将化简后的分数代入弧长公式中，得出l = 18π * (3/8) = (18 * 3/8)π。

6. 计算括号内的乘法，18 * 3 = 54，然后54除以8，得到简化结果l = 27π/4英寸。

7. 经过上述推理，最终得出答案为27π/4英寸。

Definition of Circle

在本题图中，<note>圆中，图中心的点是圆心</note>，<note>半径为9英寸</note>。图中所有<note>到圆心的距离等于9英寸的点都在圆上</note>。

Circumference Formula of Circle

<note>在本题图中，圆的半径r=9英寸</note>。根据圆的周长公式，圆的周长C等于2π乘以半径r，<note>即C=2πr</note>。因此，<note>圆的周长C=2π×9=18π英寸</note>。

Arc Length Formula of a Circle

<note>在本题图中</note>，<note>圆中</note>，圆心角的度数为<note>135度</note>，圆周长为<note>C</note>。根据圆的弧长公式，弧长可以表示为𝓁 = C × (m/360)。因此，弧长等于<note>圆周长18π</note>乘以<note>圆心角的度数135</note>除以<note>360度</note>。


Question:
m \$riangle\$ I是多少？

m \$riangle\$ I= \$ox\$ °
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）

Answer: m \$\angle \$ I=36°

1. 设图为圆O，根据直径的定义，得IK 是圆的直径，根据圆周角的定义，得∠I、∠J、∠K是圆周角，根据(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角，得出 ∠J为直角，即 ∠J= 90°。

2. 根据三角形内角和定理，即三角形内三个角之和为 180°，我们得到 ∠I+∠J+∠K= 180°。

4. 知道 ∠J= 90°和 ∠K= 54°，将其代入上式，得 ∠I + 54° + 90° = 180°。

5. 化简上式，得到 ∠I+ 144° = 180°。

6. 经过计算，∠I= 180° - 144° = 36°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为 36°。

Definition of Diameter

<note>KJ是直径</note>，连接了圆心并且端点在圆上的点K和J。

Definition of Inscribed Angle

<note>角IJK的顶点I在圆周上</note>，角IJK的两边分别与圆相交于点J和点K。因此，<note>角IJK是一个圆周角</note>。

Triangle Angle Sum Theorem

<note>三角形IJK中，角I、角J和角K是三角形IJK的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>∠I + ∠J + ∠K = 180°</note>。

<note>在本题图中</note>，圆O中，<note>直径IK所对的圆周角 ∠J是直角（90度）</note>，即<note> ∠J= 90°</note>。


Question:
一个圆的半径是1英里。一个45°弧的长度是多少？

请给出最简形式的精确答案。
 \$ox\$ 𝜋/ 英里

Answer: 1/4𝜋 miles

1. 已知圆的半径 r = 1 英里，我们要计算圆的周长。根据圆的周长公式：C = 2πr，代入已知 r = 1 英里，可得圆的周长 C = 2π 英里。

2. 需计算弧长 l，其中弧对应的圆心角为 45°。弧长公式为：l = C * (θ/360°)，其中 C 是圆周长，θ 是弧对应的圆心角。

3. 将已知条件和上一步结果代入弧长公式，得 l = 2π * (45°/360°)。

4. 化简上式：l = 2π * (1/8) = π/4。

5. 经过上述推理，最终得出答案为 π/4 英里。

Definition of Radius

A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.

在本题图中，<note>圆的半径 r = 1 英里</note>，即<note>从圆心到圆周上的任意一点的线段的长度为 1 英里</note>。<note>圆心为点O，圆周上的任意一点为A</note>，则<note>线段OA是圆的半径</note>，表示为<note>r = 1 mi</note>。

Definition of Arc

An arc is a curve on a circle that is defined by two distinct points on the circle.

在本题图中，圆上有两点<note>A和B</note>，<note>弧AB</note>是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，<note>弧AB</note>是圆上两点A和B之间的一段曲线，<note>弧度为 θ = 45°</note>。

Circumference Formula of Circle

在本题图中，<note>圆的半径 r = 1 英里</note>。根据<note>圆的周长公式</note>，<note>圆的周长 C 等于 2π 乘以半径 r</note>，即 <note>C = 2πr</note>。因此，<note>C = 2π * 1 = 2π 英里</note>。

Arc Length Formula of a Circle

在本题图中，<note>圆周长 C = 2π 英里</note>，<note>弧对应的圆心角 θ = 45°</note>，所以弧长 l = 2π * (45° / 360°) = <note>π/4 英里</note>。


Question:
一个圆的半径是3英寸。一个45°弧的长度是多少？

给出最简形式的准确答案。
 \$ox\$ 𝜋/ 英寸

Answer: 3/4𝜋 inches

1. 题目给定圆的半径为3英寸，需计算出该圆的周长。

2. 根据周长公式：C = 2𝜋r，在本题中r = 3，因此C = 2 × 𝜋 × 3 = 6𝜋英寸。

3. 已知圆的弧长公式为：𝓁 = C × m/360，其中𝓁为弧长，m为圆心角度数。

4. 题目中弧的圆心角为45°，因此将m = 45代入弧长公式。

5. 得到𝓁 = 6𝜋 × 45/360。

6. 简化𝓁的值：6𝜋 × 45/360 = 6𝜋 × 1/8 = 3𝜋/4英寸。

7. 经过上述推理，最终得出答案为3𝜋/4英寸。

Definition of Circle

在本题图中，圆的定义中<note>“某一点”对应题目中圆心（图中蓝色点）</note>，所有<note>“直线”对应题目中半径（图中标注为r=3 in）</note>。题目中给定的圆的<note>半径r=3英寸</note>，确定了圆的大小。图中<note>所有到圆心的距离等于3英寸的点都在圆上</note>。

Definition of Radius

<note>点为圆心</note>，<note>点为圆上的任意一点</note>，<note>线段是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段是圆的半径</note>。题目给定<note>“半径为3英寸”</note>，即<note>r=3英寸</note>，确定了圆的尺寸。

Circumference Formula of Circle

<note>点O是圆心</note>，<note>线段OA和OB是半径r</note>。根据圆的周长公式，圆的周长C等于2π乘以半径r，即C=2πr，因此<note>圆周长C=6𝜋英寸</note>。

Arc Length Formula of a Circle

在本题图中<note>弧的圆心角为45°即m=45°</note>，因此将其代入公式：<note>𝓁 = 6𝜋 × 45/360</note>，简化后结果为3𝜋/4英寸。


Question:
△QRS 和 △UVW 如下所示。

哪个陈述是正确的？

- △QRS 相似于 △UVW。
- △QRS 不相似于 △UVW。
- 没有足够的信息来确定三角形是否相似。

Answer: - △QRS is not similar to △UVW.

1. 已知△QRS中，∠Q = 104°，∠R = 23°。

2. 根据三角形内角和定理，三角形的内角和为180°。因此在△QRS中，∠Q + ∠R + ∠S = 180°。

3. 将已知角度代入方程，得104° + 23° + ∠S = 180°。

4. 解方程得∠S = 180° - 127° = 53°。

5. 因此，△QRS的三个内角分別是∠Q = 104°，∠R = 23°，∠S = 53°。

6. 在给出的数据中，△UVW中，已知∠U = 49°，∠V = 23°。

7. 如果△QRS与△UVW相似，那么它们应有两个对应角相等。

8. 通过检查看是否存在两个角相等，可以观察到△UVW中最大角为49°并且△QRS中最接近49°的角为53°，它们并不相等。

9. 因此，至少有一个必要条件不满足，这意味着△QRS和△UVW不能相似。

10. 经过上述推理，最终得出答案为△QRS is not similar to △UVW。

Definition of Triangle

A geometric figure is called a triangle if it is formed by three non-collinear points and the line segments connecting them.

<note>三角形QRS是由三个非共线点Q、R、S及其连接线段QR、RS、SQ组成的几何图形</note>。点<note>Q、R、S分别是三角形的三个顶点</note>，线段<note>QR、RS、SQ分别是三角形的三条边</note>。同样，<note>三角形UVW是由三个非共线点U、V、W及其连接线段UV、VW、WU组成的几何图形</note>。点<note>U、V、W分别是三角形的三个顶点</note>，线段<note>UV、VW、WU分别是三角形的三条边</note>。

Similarity Theorem for Triangles (AA)

Two triangles are similar if two of their corresponding angles are congruent.

<note>三角形QRS</note>和<note>三角形UVW</note>中，如果<note>角Q等于角U</note>，且<note>角R等于角V</note>，那么<note>三角形QRS相似于三角形UVW</note>。通过已经知道的角度（<note>∠Q = 104°</note>，<note>∠R = 23°</note>，<note>∠S = 53°</note> 和 <note>∠W = 49°</note>，<note>∠V = 23°</note>），可知满足不了这条定理的条件。

Triangle Angle Sum Theorem

在本题图中，三角形QRS中，<note>角Q</note>、<note>角R</note>和<note>角S</note>是三角形QRS的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>角Q + 角R + 角S = 104° + 23° + 角S</note> = 180°。同样的逻辑应用于三角形UVW，<note>角U</note>、<note>角V</note>和<note>角W</note>是三角形UVW的三个内角，<note>角U + 角V + 角W = 49° + 23° + 角U</note> = 180°。


Question:
一个圆的半径是3米。一个45°弧的长度是多少？

给出最简形式的精确答案。
 \$ox\$ 𝜋/ 米

Answer: 3/4𝜋 meters

1. 已知圆的半径为3米，我们首先需要计算出这个圆的周长。

2. 根据圆的周长公式C = 2πr，其中r是圆的半径，我们代入r = 3得到C = 2π * 3。

3. 计算得到圆的周长C = 6π米。

4. 题目要求计算一个45°弧的长度。

5. 根据圆的弧长公式l = C * (θ/360)，其中θ是圆心角的度数，我们代入C = 6π和θ = 45。

6. 计算弧长l = 6π * (45/360)。

7. 将分数简化，得到45/360 = 1/8。

8. 所以弧长l = 6π * 1/8。

9. 计算得l = 3π/4。

10. 经过上述推理，最终得出答案为3π/4米。

Definition of Radius

<note>圆的半径为3米，记为r</note>。<note>圆心为图中的橙色点</note>，<note>圆周上任一蓝色点到橙色点的距离均为3米</note>。<note>线段从橙色点到圆周上的任意蓝色点的长度为3米</note>，因此<note>该线段是圆的半径</note>。

Definition of Central Angle

在本题图中，<note>圆的圆心是点O</note>，<note>橙色线段是从圆心O到圆上两点的连线</note>。<note>橙色线段间的角∠AOB为45°</note>，称为圆心角。

Definition of Arc

在本题图中，圆上有两点分别是<note>橙色线段的两个端点</note>，<note>弧是连接这两点的一段曲线</note>。根据弧的定义，这段弧是圆上两点之间的一段曲线，且<note>对应的圆心角为45°</note>。

Arc Length Formula of a Circle

在本题图中，<note>圆心角θ为45°</note>，<note>圆周长C为6π米</note>，因此<note>弧长l = 6π * (45/360) = 3π/4米</note>。


Question:
一个圆的半径是1米。135°弧的长度是多少？

给出最简形式的准确答案。
 \$ox\$ 𝜋/ 米

Answer: 3/4𝜋 meters

1. 设圆心为O，135°角为∠AOB，根据题目已知条件，圆的半径为1米。

2. 根据圆的周长公式C = 2πr，其中r是圆的半径。将r = 1代入，得到C = 2π × 1 = 2π米。

3. 圆弧的长度与圆的周长以及圆心角的度数有关，根据圆弧长度公式𝓁 = C × (m/360)，其中m是圆心角的度数。

4. 将已知圆心角m = 135°和之前计算的周长C = 2π米代入圆弧长度公式，得到𝓁 = 2π × (135/360)。

5. 计算2π × (135/360)，等于2π × (3/8) = 3π/4。

6. 经过上述推理，最终得出答案为3π/4米。

Definition of Radius

在本题图中，圆中，<note>点O是圆心</note>，<note>点A是圆上的任意一点</note>，<note>线段OA是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段OA是圆的半径</note>，长度为1米。

Arc Length Formula of a Circle

<note>弧长𝓁</note> = 2π × (135/360)，计算得<note>𝓁 = 3π/4米</note>。

Definition of Arc

在本题图中，圆上有两点<note>A和B</note>，<note>弧AB</note>是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，弧AB是圆上两点<note>A和B</note>之间的一段曲线。


Question:
 \$oxed{ext{RS}}\$ 的度数是多少？

 m \$oxed{ext{RS}}\$ = \$oxed{ext{}}\$ °

Answer: m \$\overset{\frown}{RS}\$ =67°

1. 已知线段QT和RS是相应的圆周上的弦，并且两条弦的长度都是48。

2. 根据圆心角定理，得出弦QT和RS所对的圆心角是相等的。

3.根据圆心角性质，弦QT和弧QT所对的圆心角为67°。

4. 由于弦QT和RS的长度相等，根据圆心角定理，得出弧QT和弧RS是相等的。

5. 依据圆心角定理，弧RS所对的圆心角的度数等于弧QT所对的圆心角，即67°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为67°。

Definition of Circle

<note>圆O中，点O是圆心</note>，<note>半径为定长</note>。图中所有到<note>点O的距离等于定长的点都在圆O上</note>。

Definition of Chord

A chord is defined as a line segment that connects any two points on a circle.

在本题图中，圆中，<note>点Q和点T是圆上的任意两点，线段QT连接了这两个点，所以线段QT是圆的弦</note>。同样，<note>点R和点S是圆上的任意两点，线段RS连接了这两个点，所以线段RS是圆的弦</note>。

Definition of Central Angle

在本题图中，圆中，<note>点Q和点T是圆上的两点，圆心是点O</note>。<note>连线OQ和OT组成的角∠QOT称为圆心角</note>。同样，<note>点R和点S是圆上的两点</note>，<note>连线OR和OS组成的角∠ROS称为圆心角</note>。

Property of Central Angle

The degree measure of an arc is equal to the degree measure of the central angle that subtends the arc.

Central Angle Theorem

In the same circle or in congruent circles, arcs corresponding to equal central angles are equal, chords corresponding to equal central angles are equal, and the perpendicular distances from the center to these chords are also equal.


Question:
一个圆的半径是1英寸。一个45°弧的长度是多少？

给出最简形式的精确答案。
 \$ox\$ 𝜋/ 英寸

Answer: 1/4𝜋 inches

1. 已知圆的半径 r 为 1 英寸，角度为 45°。

2. 根据圆的周长公式 C = 2πr，且 r = 1 代入得到 C = 2π(1) = 2π。

3. 确定圆的弧长公式为 l = C * (m/360)，其中 C 为圆周常，m 为弧的度数。

4. 已知弧的度数 m 为 45°，因此将已知值代入弧长公式，得到 l = 2π * (45/360)。

5. 简化表达式，45/360 = 1/8，因此 l = 2π * (1/8)。

6. 计算得到 l = π/4。

7. 经过上述推理，最终得出答案为 π/4 。

Definition of Circle

<note>点 O 是圆心</note>，<note>半径为 1 英寸</note>。图中所有到<note>点 O 的距离等于 1 英寸的点</note>都在圆上。

Circumference Formula of Circle

<note>点为圆心</note>，<note>线段为半径r</note>。根据圆的周长公式，<note>圆的周长C等于2π乘以半径r</note>，即C=2πr，其中<note>r=1英寸</note>，因此C=2π(1)=2π英寸。

Definition of Arc

在本题图中，圆上有<note>两点分别与圆心形成45°角</note>，这段弧是<note>连接这两点的一段曲线</note>。根据<note>弧的定义</note>，这段弧是<note>圆上两点之间的一段曲线</note>。

Arc Length Formula of a Circle

<note>圆中，所求弧的圆心角的度数为45度</note>，<note>圆周长为2π</note>。根据<note>圆的弧长公式𝓁 = C × (m/360)</note>，弧长可以表示为<note>𝓁 = C × (m/360)</note>。因此，弧长等于<note>圆周长2π乘以圆心角的度数45°</note>除以<note>360度</note>。


Question:
一个圆的半径是3厘米。一个90°弧的长度是多少？

给出最简形式的精确答案。
 \$ox\$ 𝜋/ 厘米

Answer: 3/2𝜋 centimeters

1. 已知圆的半径为3厘米。根据圆的周长公式C=2πr，其中r是圆的半径，得出C=2π×3=6π厘米。

2. 圆的周长为6π厘米。由于圆的周长表示的是整个圆周的长度，因此该圆的360°对应于周长6π厘米。

3. 题目要求计算的是90°弧的长度。根据弧长公式，弧长l与圆的周长C及弧对应中心角m之间的关系为 l = C × (m/360)。

4. 将已知条件代入弧长公式：已知C=6π厘米和m=90°，因此弧长l = 6π × (90/360)。

5. 简化弧长的计算： l = 6π × (1/4) = (6π/4) = (3π/2)。

6. 经过上述推理，最终得出答案为3π/2。

Definition of Circle

<note>圆的圆心在图的中心</note>，标记为点，<note>半径为3 cm</note>。图中所有到圆心距离等于3 cm的点都在这个圆上。

Definition of Radius

在本题图中，<note>圆的半径标记为r=3 cm</note>，表示<note>从圆心到圆周上任意一点的线段的长度为3厘米</note>。

Definition of Arc

<note>紫色部分表示90°弧</note>，两点在圆周上且通过角度90度连接这两个点的圆周部分。根据<note>弧的定义</note>，紫色弧是圆上两点之间的一段曲线。

Circumference Formula of Circle

<note>圆的半径r为3厘米</note>，圆的周长C等于<note>2π乘以半径r</note>，即<note>C=2πr</note>。通过计算<note>C = 2π × 3 = 6π cm</note>，可以得出圆的完整周长为<note>6π厘米</note>，表示图中的<note>绿线圆周长度</note>。

Arc Length Formula of a Circle

<note>在本题中，通过计算90°弧长 l = 6π × (90/360)=3π/2 cm</note>，可以得出最终弧长3π/2厘米，<note>表示图中的紫色弧片长度</note>。


Question:
求 \$\\overline{UV}\$ 的长度？

UV= \$\\Box\$

Answer: UV=14

1. 已知：圆周上有弦\overline{TW}和\overline{UV}，并且它们所对应的圆周弧是全等的，即弧\overset{\frown}{WT} \cong \overset{\frown}{UV}。

2. 根据圆心角定理，如果两条弧相等，则它们所对的弦也相等。

3. 由此可知\overline{TW} \cong \overline{UV}，即\overline{TW}的长度与\overline{UV}的长度相等。

4. 已知\overline{TW} = 14，那么\overline{UV}的长度也为14。

5. 经过上述推理，最终得出答案为：UV的长度为14。


Question:
求 \$rown{TW}\$ 的度数是多少？

m \$rown{TW}\$ = \$ox\$ °

Answer: m \$\overset{\frown}{TW}\$ =89°

1. 观察图形，已知圆内的两条弦UV和TW是相等的，即弦UV ≅ 弦TW。

2. 根据圆心角定理为：在同一个圆或相等的圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，故两条弦所对的圆弧也相等。

3. 由此性质得出结论，弧TW ≅ 弧UV。

4. 给定弧UV的度数为89°，根据步骤3的结论可知，弧TW的度数与弧UV相同。

5. 经过以上推理，最终得出弧TW的度数为89°。

Definition of Arc

在本题图中，圆上有两点<note>T和W</note>，<note>弧TW</note>是连接这两点的一段曲线。圆上有两点<note>U和V</note>，<note>弧UV</note>是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，<note>弧TW</note>是圆上两点<note>T和W</note>之间的一段曲线，<note>弧UV</note>是圆上两点<note>U和V</note>之间的一段曲线。

Definition of Chord

<note>点U和点V是圆上的任意两点</note>，线段<note>UV</note>连接了这两个点，所以线段<note>UV</note>是圆的弦；同理，<note>点T和点W是圆上的任意两点</note>，线段<note>TW</note>连接了这两个点，所以线段<note>TW</note>是圆的弦。


Question:
一个圆的半径是7公里。一个180°弧的长度是多少？

给出最简形式的精确答案。
 \$ox\$ 𝜋/公里

Answer: 7𝜋 kilometers

1. 已知半径 r = 7 公里，根据周长公式 C = 2πr, 我们可以计算出圆的周长。

2. 将半径代入周长公式得到：C = 2π(7) = 14π 公里。

3. 已知待求圆弧的圆心角为 180°。根据圆弧长度公式 l = C * (m/360)，其中 m 为圆心角的度数。

4. 代入己知值，得出弧长 l = 14π * (180/360)。

5. 将分数化简，180/360 = 1/2。

6. 因此，l = 14π * (1/2) = 7π。

7. 经过上述推理，最终得出答案为 7π 公里。

Definition of Circle

<note>圆心为图中蓝色点</note>，半径为7公里。图中所有到<note>该蓝色点</note>的距离等于7公里的点都在圆上。

Definition of Radius

在本题图中，圆中，<note>点O是圆心</note>，<note>点A和点B是圆上的任意两点</note>，<note>线段OA和线段OB是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段OA和线段OB是圆的半径</note>，且长度为7公里。

Circumference Formula of Circle

<note>圆的半径r=7公里</note>。根据圆的周长公式，圆的周长<note>C等于2π乘以半径r</note>，即<note>C=2π*7=14π公里</note>。

Definition of Central Angle

<note>在本题图中，圆中，圆上的两点到圆心的连线组成的角称为圆心角</note>。图中<note>圆心角的度数为180°</note>。

Arc Length Formula of a Circle

在本题图中，<note>已知圆心角为180°</note>，<note>圆周长C=14π公里</note>，代入公式得：<note>l = 14π * (180/360) = 7π公里</note>。因此，圆弧的长度为7π公里。


Question:
求 \$\overline{BC}\$ 的长度？

BC= \$\\Box\$

Answer: BC=36

1. 已知弧DE=74°，弧BC=74°，DE和BC是圆的弦，且对应的圆弧相等。

2. 通过圆心角定理，知道如果两个弦在圆上所对的圆弧相等，则这两个弦相等。在此题中，弦DE和弦BC对同一圆弧且圆周角相等，故得出DE=BC。

3. 已知弦DE=36，所以根据上一步得出的结论，弦BC=36。

4. 经过上述推理，最终得出答案为36。

Definition of Inscribed Angle

An inscribed angle is an angle whose vertex lies on the circumference of a circle and whose sides intersect the circle at two points.

<note>在本题图中，圆O中，角DCE的顶点C在圆周上</note>，角DCE的两边分别与<note>圆O相交于点D和点E</note>。因此，角DCE是一个圆周角。同样，<note>角BDC的顶点D在圆周上</note>，角BDC的两边分别与<note>圆O相交于点C和点B</note>。因此，角BDC也是一个圆周角。

Definition of Chord

在本题图中，圆中，<note>点D和点E是圆上的任意两点</note>，<note>线段DE连接了这两个点</note>，所以<note>线段DE是圆的弦</note>，长度为36；同理，<note>点B和点C是圆上的任意两点</note>，<note>线段BC连接了这两个点</note>，所以<note>线段BC是圆的弦</note>。


Question:
求 \$\\overline{SV}\$ 的长度是多少？

SV= \$\\Box\$

Answer: SV=26

1. 给定在圆周上有弧SV和TU，设圆心为O，且它们对应的圆心角SOV 和TOU均为63°。

2. 根据圆心角定理。因此，弧SV和TU所对的圆心角相同，表明它们所对的弧相等。

3. 根据圆心角定理，若在同一个圆中两个弧相等，则它们所对的弦也相等。故弦SV 与TU相等。

4. 已知弦TU= 26，根据第3步的结论，弦SV = 弦TU= 26。

5. 经过上述推理，最终得出答案为 弦SV的长度是26。

<note>点S和点V是圆上的任意两点</note>，<note>线段SV连接了这两个点</note>，所以<note>线段SV是圆的弦</note>。同样地，<note>点T和点U是圆上的任意两点</note>，<note>线段TU连接了这两个点</note>，所以<note>线段TU也是圆的弦</note>。

Definition of Arc

<note>圆上有两点 S 和 V</note>，弧 SV是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，<note>弧SV是圆上两点 S 和 V 之间的一段曲线</note>。<note>圆上有两点 T 和 U</note>，弧 TU是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，<note>弧TU是圆上两点 T 和U 之间的一段曲线</note>。

Central Angle Theorem

在本题图中，<note>角SOV和角TOU是同圆内相等的两个圆心角</note>，所以<note>相对的弧SV与TU相等</note>，<note>相对的弦SV与TU相等</note>。


Question:
一个圆的半径是6英寸。一个180°弧的长度是多少？

给出最简形式的精确答案。
 \$ox\$ 𝜋/ 英寸

Answer: 6𝜋 inches

1. 已知圆的半径为6英寸，要求出180°弧长。根据弧长公式，即弧长l = C * (m/360)，其中C为圆的周长，m为圆心角。

2. 首先，我们需要求出圆的周长C。根据圆周长公式C = 2πr，其中r为圆的半径。代入已知的r = 6，得到C = 2π * 6。

3. 计算C = 2π * 6，得到C = 12π。因此圆的周长为12π英寸。

4. 弧长l的公式为l = C * (m/360)。已知圆心角m = 180°，代入C = 12π和m = 180，得到l = 12π * (180/360)。

5. 计算l = 12π * (180/360)，化简为l = 12π * (1/2)。

6. 得到l = 6π。因此，这条180°弧的长度是6π英寸。

n. 经过上述推理，最终得出答案为6π。

Definition of Radius

在本题图中，圆中，<note>点是圆心</note>，<note>点是圆上的任意一点</note>，<note>线段是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段是圆的半径</note>。已知<note>圆的半径r = 6英寸</note>，即<note>从圆心到圆上任意一点的距离为6英寸</note>。

Circumference Formula of Circle

<note>点为圆心</note>，<note>线段为半径r</note>。根据圆的周长公式，圆的周长C等于2π乘以<note>半径r</note>，即C=2πr。已知<note>圆的半径r = 6英寸</note>，因此<note>圆的周长C = 2π * 6 = 12π英寸</note>。

Definition of Central Angle

<note>圆的圆心角为180°</note>，即对应了圆的半圆弧。圆心角是由<note>圆上两点到圆心的连线组成的角</note>。

Arc Length Formula of a Circle

在本题图中，要求出<note>180°弧长l</note>，需要计算<note>l = 12π * (180/360)</note> = 6π英寸。

Definition of Angle Bisector

An angle bisector is a line that originates from the vertex of an angle and divides the angle into two congruent angles.

<note>圆的直径</note>将圆周分为两个<note>弧长相等的部分</note>，每个<note>弧长对应的圆心角为180°</note>。


Question:
求 \$\\overline{XY}\$ 的长度？

XY= \$\\Box\$

Answer: XY=38

1. 由图知弧XY = 弧VW。

2. 根据圆心角定理，圆周上相等的弧，则可得出XY和VW是相等的弦，因为在圆中，与相同弧对称的弦相等。

3. 由已有条件给出弦VW的长度为38，则弦XY的长度也为38。

4. 经过上述推理，最终得出答案为38。

Definition of Central Angle

在本题图中，圆O中，<note>点X、Y、V、W是圆上的一点</note>，<note>圆心是点O</note>。<note>连线OX和OY组成的角∠XOY称为圆心角</note>。<note>连线OV和OW组成的角∠VOW称为圆心角</note>。

Definition of Arc

<note>圆上有两点X和Y</note>，<note>弧XY是连接这两点的一段曲线</note>。同样，<note>圆上有两点V和W</note>，<note>弧VW是连接这两点的一段曲线</note>。根据弧的定义，<note>弧XY是圆上两点X和Y之间的一段曲线</note>，<note>弧VW是圆上两点V和W之间的一段曲线</note>。

Definition of Chord

在本题图中，圆中，<note>点X和点Y是圆上的任意两点</note>，<note>线段XY连接了这两个点</note>，所以<note>线段XY是圆的弦</note>。同理，<note>点V和点W是圆上的任意两点</note>，<note>线段VW连接了这两个点</note>，所以<note>线段VW是圆的弦</note>。


Question:
求△UVW的面积。

将答案写成整数或四舍五入到小数点后一位的十进制数。
 \$ox\$  yd ^ 2

Answer: 814.0 yd ^ 2

1. 已知三角形△UVW中，m ∠U = 27°，m ∠W = 37°，以及边长UV = 49 yd。

2. 根据三角形内角和定理，三角形的三个内角之和为180°：m ∠U + m ∠W + m ∠V = 180°。

3. 代入已知值：27° + 37° + m ∠V = 180°，得到 64° + m ∠V = 180°。

4. 通过运算可得：m ∠V = 180° - 64° = 116°。

5. 现在知道了两个内角m ∠W 和 m ∠U，及其对边长UV，应用正弦定理求解边长u：w/sin ∠W = u/sin ∠U。

6. 使用已知值计算：49/sin(37°) = u/sin(27°)。

7. 查找正弦值：sin(37°) ≈ 0.6018, sin(27°) ≈ 0.4540。

8. 带入正弦值代入式子: 49/0.6018 = u/0.4540。

9. 解方程得到：u ≈ 49 * 0.4540 / 0.6018 ≈ 36.9658 yd。

10. 现在已知两边长及其夹角，应用三角形面积公式（使用正弦函数）：面积 = 1/2 * u * w * sin( ∠V)。

11. 计算sin( ∠V)的值，其中m ∠V=116°，得sin(116°) ≈ 0.8988。

12. 带入公式计算面积：面积 = 1/2 * 36.9658 * 49 * 0.8988。

13. 计算结果为：面积 ≈ 814.091 yd²。

14. 将结果四舍五入到最接近的十分位：面积 = 814.1 yd²。

n. 经过上述推理，最终得出答案为814.1 yd²。

Triangle Angle Sum Theorem

<note>三角形UVW</note>中，<note>角WVU、角VWU和角WUV</note>是<note>三角形UWV的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角WVU + 角VWU + 角WUV = 180°</note>。

Sine Theorem

In any triangle, the ratio of the length of each side to the sine of its opposite angle is constant and equal to the diameter of the circumcircle, i.e., \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2r = D \) (where \( r \) is the radius of the circumcircle, and \( D \) is its diameter).

<note>任意三角形UVW</note>中，<note>边UW、VW和UV分别对应角∠V、∠U和∠W</note>。根据<note>正弦定理</note>，各边的长度与其所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径，即：<note>UW/sin(∠V)=VW/sin(∠U)=UV/sin(∠W) = 2r = D</note>（其中r为外接圆半径，D为直径）。已知<note>边长UV = 49 yd</note>及<note>对角∠W = 37°</note>，可以求解<note>边长VW及其对角∠U = 27°</note>。即：<note>49 / sin(37°) = VW / sin(27°)</note>，解得：<note>VW ≈ 49 * sin(27°) / sin(37°) ≈ 36.9658 yd</note>。

Triangle Area Formula (Using Sine Function)

The area \( S \) of any triangle can be expressed as \( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C) \), where \( a \) and \( b \) are the lengths of two sides, and \( C \) is the angle between these two sides.

<note>在本题图中，三角形UVW中，边WV和边UV分别为u和w，角WVU为这两边的夹角C</note>。根据三角形面积公式，三角形UVW的面积S可以表示为S = (1/2) * a * b * sin(C)，即<note>S = (1/2) * WV * UV * sin(WVU)</note>。


Question:
求 \$\overline{TW}\$ 的长度？

TW= \$\\Box\$
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）

Answer: TW=16

1. 作圆心O点，连接OU、OV、OT、OW，根据圆心角定义得，∠UOV、∠TOW是圆心角，由图知弧TW 与弧 UV相等，根据圆心角的性质，得∠UOV=∠TOW，已知线段 TW和 UV是同一圆上的弦。

2. 根据圆心角的定理2，如果两个弧相等，则弦长也相等，因此线段 TW 和 UV相等。

3. 在题目中已经标明线段 UV= 16\$。

4. 因此，根据步骤 2 中的结论，TW=UV= 16。

5. 经过上述推理，最终得出答案为 16。

Properties of Central Angles

The measure of a central angle is equal to the measure of the arc that it intercepts.

Definition of Central Angle

<note>圆O中，点U、V、T、W是圆上的一点，圆心是点O</note>。连线<note>OU和OV组成的角∠UOV称为圆心角</note>。连线<note>OT和OW组成的角∠TOW称为圆心角</note>。

Definition of Arc

在本题图中，圆上有两点<note> T 和 W</note>，<note>弧 TW</note>是连接这两点的一段曲线。圆上有两点<note> U 和 V</note>，<note>弧 UV</note>是连接这两点的一段曲线。

Definition of Chord

在本题图中，圆中，<note>点 T 和点 W 是圆上的任意两点</note>，<note>线段 TW连接了这两个点</note>，所以<note>线段 TW是圆的弦</note>。<note>点 U 和点 V 是圆上的任意两点</note>，<note>线段 UV 连接了这两个点</note>，所以<note>线段 UV是圆的弦</note>。


Question:
求 \$\overline{BE}\$ 的长度？

BE= \$\\Box\$

Answer: BE=48

1. 如图所示，设圆心为O，圆中有弧BE和CD，已知它们度数均为75°，由圆心角性质可知，对应的圆心角∠BOE和∠COD相等，均为75°。

2. 依据圆心角定理，弦BE＝弦CD＝48

3.经过上述推理，最终得出答案为BE= 48。

<note>圆中，点B和点E是圆上的任意两点</note>，<note>线段BE连接了这两个点</note>，所以<note>线段BE是圆的弦</note>。同理，<note>点C和点D是圆上的任意两点</note>，<note>线段CD连接了这两个点</note>，所以<note>线段CD是圆的弦</note>。


Question:
求△VWX的面积。

请将答案写成整数或四舍五入到十分位的十进制数。
 \$ox\$  m ^ 2

Answer: 11.5 m ^ 2

1. 已知：m∠V = 26°，m∠X = 120°，以及边 XW = 9m，根据三角形内角和定理，得知三角形内角和等于180°。

2. 设 m∠W 为未知数，则有 m∠V + m∠X + m∠W = 180°，代入已知角度得：26° + 120° + m∠W = 180°。

3. 计算得到：146° + m∠W = 180°，整理出 m∠W = 180° - 146° = 34°。

4. 根据正弦定理，三角形中边与其对角的正弦值之比相等，所以有 XW/sin(m∠V) = VW/sin(m∠X)，代入已知数值得：XW/sin(26°) = 9/sin(120°)。

5. 计算正弦值：sin(26°) ≈ 0.4383，sin(120°) ≈ 0.8660，代入计算得：XW/0.4383 = 9/0.8660。

6. 求解 XW，通过交叉相乘得到：XW ≈ 9 * 0.4383 / 0.8660 ≈ 4.5550，得出边 XW = 4.5550 m。

7. 现已求出两边 VW，XW 及其夹角 m∠W = 34°，可以用三角形面积公式计算面积：面积 = 1/2 * VW * XW * sin(m∠W)。

8. 代入已知数值和计算结果，面积 = 1/2 * 4.5550 * 9 * sin(34°)。

9. 计算 sin(34°) ≈ 0.5591，面积 = 1/2 * 4.5550 * 9 * 0.5591 ≈ 11.4601。

10. 四舍五入到小数点后一位得，三角形 △VWX 的面积约为 11.5 平方米。

Definition of Triangle

在本题图中，<note>三角形 △VWX 是由三个非共线点 V、W、X 及其连接线段 VW、WX、XV 组成的几何图形</note>。<note>点 V、W、X 分别是三角形的三个顶点</note>，<note>线段 VW、WX、XV 分别是三角形的三条边</note>。

<note>三角形 △VWX</note> 中，<note>边 VW 和边 XW 分别为 a 和 b</note>，<note>角 ∠VWX 为这两边的夹角 C</note>。根据三角形面积公式，<note>三角形 △VWX 的面积 S 可以表示为 S = (1/2) * a * b * sin(C)</note>，即 <note>S = (1/2) * VW * XW * sin(∠VWX)</note>。

Triangle Angle Sum Theorem

The sum of the interior angles of any triangle is 180°.

<note>三角形VWX中，角V、角X和角W是三角形VWX的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角V + 角X + 角W = 180°</note>。

Sine Theorem

<note>在本题图中，任意三角形VWX中，边XW、VW和VX分别对应角∠V、∠X和∠W</note>。根据正弦定理，<note>各边的长度与其所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径</note>，即：<note>XW/sin(∠V)=VW/sin(∠X)=VX/sin(∠W) = 2r = D（其中r为外接圆半径，D为直径）</note>。


Question:
求△TUV的面积。

将答案写成整数或四舍五入到十分位的小数。
 \$ox\$  m ^ 2

Answer: 85.0 m ^ 2

1. 已知 m∠V = 129°，m∠U = 24°，以及边 TV = 14 m。

2. 我们需要计算 m∠T。根据三角形内角和定理，三角形的内角之和为 180°。

3. 由 m∠V + m∠U + m∠T = 180°，代入已知的角度，得到 129° + 24° + m∠T = 180°。

4. 解方程 129° + 24° + m∠T = 180°，得到 m∠T = 27°。

5. 接下来，使用正弦定理求解边长 UT，即 V 点对边的长度。正弦定理为 a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) 适用于任何三角形 ABC。

6. 对于三角形 TUV，已知边 TV 的长度（14 m）和对应角 U（24°），以及角 V（129°），利用正弦定理 TV/sin(U) = UT/sin(V)，即 14/sin(24°) = UT/sin(129°)。

7. 计算得到 sin(24°) ≈ 0.4067，sin(129°) ≈ 0.7771。

8. 将值代入方程，14/0.4067 = UT/0.7771，解这个方程得到 UT ≈ 26.7504 m。

9. 现在我们知道了两边 TV = 14 m, UT ≈ 26.7504 m，以及夹角 ∠T = 27°。

10. 使用三角形面积公式（使用正弦函数），对于两边和夹角已知：Area = 1/2·ab·sin(C)，即 Area = 1/2·TV·UT·sin(T)。

11. 代入三个值 Area = 1/2·14·26.7504·sin(27°), 其中 sin(27°) ≈ 0.4540。

12. 计算面积 Area = 1/2·14·26.7504·0.4540 ≈ 85.0128 m²。

13. 四舍五入到最近的十分位，最后计算出三角形 TUV 的面积约为 85.0 平方米。

Triangle Angle Sum Theorem

<note>三角形TUV中，角∠T、角∠U和角∠V是三角形TUV的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角∠T + 角∠U + 角∠V = 180°</note>。

Sine Theorem

<note>三角形 TUV</note>中，边<note> TU、TV 和 UV</note>分别对应角<note> ∠V、∠U 和 ∠T</note>。根据<note>正弦定理</note>，各边的长度与其所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径，即：<note>VT/sin(∠U) = UT/sin(∠V) = UV/sin(∠T) = 2r = D（其中 r 为外接圆半径，D 为直径）</note>。已知<note> TV = 14 m，∠U = 24°，∠V = 129°</note>，可以求边<note> UT</note>的长度。

在本题图中，三角形 <note>TUV</note> 中，边 <note>VT</note> 和边 <note>TU</note> 分别为 14 m 和 26.7504 m，<note>∠T</note> 为这两边的夹角 27°。根据三角形面积公式，三角形 <note>TUV</note> 的面积 <note>S</note> 可以表示为 <note>S = (1/2) * a * b * sin(C)</note>，即 <note>S = (1/2) * 14 * 26.7504 * sin(27°)</note>。


Question:
求△VWX的面积。

请将答案写成整数或四舍五入到最接近的十分位的小数。
 \$ox\$  yd ^ 2

Answer: 296.5 yd ^ 2

1. 已知 \( m \angle W = 21^\circ \), \( m \angle V = 121^\circ \)，以及边 \( WX = 48 \) yd。要求三角形 \( \triangle VWX \) 的面积，我们需要两个边长及其夹角。

2. 首先确定 \( \angle X \) 的度数，根据三角形内角和定理，三角形的三个内角之和为 \( 180^\circ \)。

3. 设 \( m \angle X = x \)，根据方程 \( m \angle W + m \angle V + m \angle X = 180^\circ \)，我们有 \( 21^\circ + 121^\circ + x = 180^\circ \)。

4. 计算得出 \( 142^\circ + x = 180^\circ \)，因此 \( x = 38^\circ \)，即 \( m \angle X = 38^\circ \)。

5. 现在使用正弦定理求出 \( \angle W \) 对边 \( w \) 的长度，公式为 \( \frac{v}{\sin(V)} = \frac{w}{\sin(W)} \)。

6. 替入已知值，\( \frac{48}{\sin 121^\circ} = \frac{w}{\sin 21^\circ} \)。

7. 计算 \( \sin 121^\circ \approx 0.8571 \) 和 \( \sin 21^\circ \approx 0.3583 \)，得到 \( \frac{48}{0.8571} = \frac{w}{0.3583} \)。

8. 解得 \( 55.9984 = \frac{w}{0.3583} \)，因此 \( w \approx 20.066 \) yd。

9. 根据已知的两个边长 \( w \approx 20.066 \) yd、\( v = 48 \) yd，以及夹角 \(  m \angle X = 38^\circ \)，应用三角形面积公式 \( \text{Area} = \frac{1}{2}ab\sin(C) \)。

10. 替入对应值：面积 \( = \frac{1}{2} \times 20.066 \times 48 \times \sin 38^\circ \)。

11. 计算得出 \( \sin 38^\circ \approx 0.6156 \)，所以面积 \( \approx \frac{1}{2} \times 20.066 \times 48 \times 0.6156 = 296.4631 \text{ yd}^2 \)。

12. 将得到的面积四舍五入到小数点后一位，得到 \( 296.5 \text{ yd}^2 \)。

经过上述推理，最终得出答案为 296.5 \text{ yd}^2。

Triangle Angle Sum Theorem

在本题图中，三角形 \(\triangle VWX\) 中，<note>\(\angle W\), \(\angle V\) 和 \(\angle X\) 是三角形 \(\triangle VWX\) 的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>\(\angle W + \angle V + \angle X = 180^\circ\)</note>。

Sine Theorem

<note>在本题图中</note>，三角形<note>WVX</note>中，<note>边WV、VX和WX分别对应角X、W和V</note>。根据正弦定理，各边的长度与其所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径，即：<note>WX/sin(V)=WV/sin(X)=VX/sin(W)</note> = 2r = D（<note>其中r为外接圆半径，D为直径</note>）。

在本题图中，三角形<note>WVX</note>中，边<note>VX</note>和边<note>WX</note>分别为<note>a</note>和<note>b</note>，角<note>X</note>为这两边的夹角<note>C</note>。根据三角形面积公式，三角形<note>WVX</note>的面积<note>S</note>可以表示为<note>S = (1/2) * a * b * sin(C)</note>，即<note>S = (1/2) * WX * VX * sin(X)</note>。


Question:
求 \$rown{UV}\$ 的度数是多少？

m \$rown{UV}\$ = \$ox\$ °

Answer: m \$\overset{\frown}{UV}\$ =53°

1. 观察图中圆内的两条弦，设圆心角为O，弦VU与弦WT长相等，分别为22个单位。

2. 依据圆心角定理:        同圆或等圆中，如果两条弦相等，则它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等。

3.弦VU与弦WT所对的弧分别为弧VU和弧WT，由步骤2可知，弧VU＝弧WT＝53°,

4. 经过上述推理，最终得出答案为53°。

Definition of Chord

在本题图中，圆中，<note>点V和点W是圆上的任意两点</note>，<note>线段VW连接了这两个点</note>，所以<note>线段VW是圆的弦</note>。同理，<note>点U和点T是圆上的任意两点</note>，<note>线段UT连接了这两个点</note>，所以<note>线段UT是圆的弦</note>。

Definition of Arc

在本题图中，圆上有两点T和W，<note>弧TW</note>是连接这两点的一段曲线。同样，圆上有两点U和V，<note>弧UV</note>是连接这两点的一段曲线。根据<note>弧的定义</note>，弧TW是圆上两点T和W之间的一段曲线，弧UV是圆上两点U和V之间的一段曲线。


Question:
求△UVW的面积。

将答案写成整数或四舍五入到最接近的十分位的小数。
 \$ox\$  km ^ 2

Answer: 313.7 km ^ 2

1. 已知三角形UVW中的角的测量：∠ V = 21° 和 ∠ U = 28°，设VW长为u，UW长为v，以及边长 u = 33 km。

2. 通过多边形内角和定理，三角形的内角和为180°，所以 ∠ V + ∠ U + ∠ W = 180°。

3. 代入已知角度值：21° + 28° + ∠ W = 180°，可以求得  ∠ W = 180° - 49° = 131°。

4. 现在使用正弦定理来求解边长 v。根据正弦定理，u/sin(U) = v/sin(V)，因此 33/sin(28°) = v/sin(21°)。

5. 计算正弦值：sin(28°) ≈ 0.4695 和 sin(21°) ≈ 0.3584。

6. 代入计算：33/0.4695 ≈ v/0.3584，因此 v ≈ 33/0.4695 * 0.3584 ≈ 25.1903 km。

7. 现在已经得到边长 v 和边长 u 以及所包含的角 ∠ W，可以使用:三角形面积公式（使用正弦函数）求解面积：Area = 1/2 * u * v * sin(W)。

8. 计算正弦值：sin(131°) ≈ 0.7547。

9. 代入面积公式：Area = 0.5 * 33 * 25.1903 * 0.7547 ≈ 313.6877 km²。

10. 将面积结果四舍五入到最接近的十分位：313.7。

11. 经过上述推理，最终得出答案为313.7平方公里。

Definition of Triangle

在本题图中，<note>三角形UVW是由三个非共线点U、V、W及其连接线段UV、VW、WU组成的几何图形</note>。<note>点U、V、W分别是三角形的三个顶点</note>，<note>线段UV、VW、WU分别是三角形的三条边</note>。

Measurement of Angle

Align the baseline of the protractor with one side of the angle, then extend the other side to the protractor's scale. Determine the angle by reading the difference between the graduations of the two sides.

<note>角 m∠V = 21°</note>, <note>角 m∠U = 28°</note>, 可以求得 <note>角 m∠W = 180°-21°-28°=131°</note>。

Polygon Interior Angle Sum Theorem

The sum of the interior angles of a polygon is equal to (n - 2) * 180°, where n represents the number of sides of the polygon.

<note>三角形UVW</note>中，<note>UVW是一个有3条边的多边形</note>，其中<note>n表示多边形的边数</note>。根据多边形内角和定理，该多边形的内角之和等于 <note>(3-2) × 180°</note>。通过已知的两内角的度数可以计算出第三个内角：<note>m∠W</note> = <note>180° - (m∠U + m∠V) = 180° - 49° = 131°</note>。

Sine Theorem

<note>任意三角形UVW</note>中，<note>边UV、VW和WU</note>分别对应<note>角∠W、∠U和∠V</note>。根据<note>正弦定理</note>，各边的长度与其所对角的正弦值的比相等且等于<note>外接圆的直径</note>，即：<note>UV/sin(∠W)=VW/sin(∠U)=WU/sin(∠V) = 2r = D</note>（其中<note>r为外接圆半径</note>，<note>D为直径</note>）。在本题中，通过<note>正弦定理</note>可以求得<note>边长VW</note>。已知<note>边UV和其对角的正弦值</note>：<note>UV/sin(∠W) = VW/sin(∠U)</note>，即<note>33/sin(28°) = VW/sin(21°)</note>。然后通过正弦值的计算可以得出<note>VW ≈ 25.1903 km</note>。

在本题图中，三角形UVW中，<note>边UV和边VW分别为u和v</note>，<note>角∠UVW为这两边的夹角W</note>。根据三角形面积公式，三角形UVW的面积S可以表示为<note>S = (1/2) * u * v * sin(W)</note>，即S = (1/2) * <note>33</note> * <note>25.1903</note> * <note>sin(131°)</note> ≈ 313.6877 km²。


Question: 求△XYZ的面积。请将答案写成整数或四舍五入到最接近的十分位的十进制数。\$ox\$ mm ^ 2

Answer: 63.4 mm ^ 2

1. 已知 ∠Z=23° 和 ∠Y=28°，通过三角形内角和定理（即三角形的三个内角之和为180°），可以求得 ∠X。

2. 三角形内角和定理表示：∠X + ∠Y + ∠Z = 180°。

3. 将已知角度代入：∠X + 28° + 23° = 180°。

4. 计算得到 ∠X = 180° - 28° - 23° = 129°。

5. 设∠Y所对的边为y，∠X所对边为x，∠Z所对边为z，现在已知 y=14mm，∠Y=28° 和 ∠Z=23°，根据正弦定理可以求得 z 的值。

6. 正弦定理表示：y/sin(∠Y) = z/sin(∠Z)。

7. 将已知边长和角度代入正弦定理：14/sin(28°) = z/sin(23°)。

8. 解方程得 z = [14 * sin(23°)] / sin(28°)。

9. 计算得到 z ≈ 11.65 mm。

10. 现在已知 z ≈ 11.65 mm，y = 14 mm 和 ∠X = 129°，因此可以使用三角形的面积公式（使用正弦函数）计算面积。

11. 三角形面积：S= (1/2) * z * y * sin(∠X)。

12. 将已知值代入面积公式：S = (1/2)  * 11.65 * 14 * sin(129°)。

13. 通过计算，得到 S ≈ 63.4 mm^2。

14. 经过上述推理，最终得出答案为63.4 mm^2。

Triangle Angle Sum Theorem

<note>三角形XYZ</note>中，<note>角X、角Y和角Z是三角形XYZ的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角X + 角Y + 角Z = 180°</note>。

Sine Theorem

<note>在本题图中，任意三角形XYZ中，边YZ、XY和XZ分别对应角∠X、∠Y和∠Z</note>。根据正弦定理，各边的长度与其所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径，即：<note>YZ/sin(∠X)=XY/sin(∠Y)=XZ/sin(∠Z) = 2r = D</note>（其中r为外接圆半径，D为直径）。通过<note>14/sin(28°) = z/sin(23°)</note>，得出 z ≈ 11.65 mm。

在本题图中，三角形XYZ中，<note>边XY</note>和<note>边YZ</note>分别为<note>11.65 mm和14 mm</note>，<note>角∠XYZ为这两边的夹角129°</note>。根据三角形面积公式，三角形XYZ的面积S可以表示为<note>S = (1/2) * 11.65 * 14 * sin(129°)</note>，即<note>S = (1/2) * 11.65 * 14 * sin(129°)</note>。


Question:
求TU和△UVW的面积。

请将答案写成整数或四舍五入到小数点后一位的十进制数。
TU= \$ox\$  mmArea= \$ox\$  mm ^ 2

Answer: TU=13.1 mmArea=314.4 mm ^ 2

1. 已知△TUW是直角三角形，其中∠T是直角，根据三角函数的定义，对于直角三角形中的任意非直角，正弦函数值等于对边与斜边的比值。

2. 在△TUW中，已知∠W = 25°，UW = 31 mm。根据正弦函数定义，sin(W) = 对边TU / 斜边UW，即 sin(25°) = TU / 31。

3. 计算sin(25°)，得到 sin(25°) ≈ 0.4226。

4. 根据sin(25°) = TU / 31，得到 TU = 31 × sin(25°) ≈ 31 × 0.4226 ≈ 13.1 mm。

5. 确定△UVW的面积。已知VW = 48 mm，TU为△UVW的高。

6. 根据三角形面积公式：面积 = 1/2 × 底 × 高，得：

7. △UVW的面积 = 1/2 × VW × TU ≈ 1/2 × 48 × 13.1 = 314.4 平方毫米。

8. 经过上述推理，最终得出答案为TU = 13.1 mm，△UVW的面积为314.4 mm²。

Definition of Right Triangle

在本题图中，三角形TUW中，<note>角∠UTW是直角（90度）</note>，因此三角形TUW是一个直角三角形。<note>边TU和边TW是直角边</note>，<note>边UW是斜边</note>。

Definition of Sine Function

In a right-angled triangle, the sine of an acute angle is defined as the ratio of the length of the side opposite the angle to the length of the hypotenuse.

在本题图中，直角三角形△TUW中，<note>角∠W是锐角</note>，<note>边TU是角∠W的对边</note>，<note>边UW是斜边</note>。根据正弦函数定义，角∠W的正弦值等于对边TU与斜边UW的比值，即<note>sin(∠W) = TU / UW</note>。

Area Formula of a Triangle

The area of any triangle is equal to its base multiplied by its height, divided by 2.

<note>三角形UVW中</note>，<note>边VW是底</note>，<note>线段UT是该底上的高</note>，所以三角形UVW的面积等于底VW乘以高UT除以2，即面积 = <note>(VW* UT) / 2</note>。


Question:
求△UVW的面积。

请将答案写为整数或四舍五入到小数点后一位的十进制数。
 \$ox\$  cm ^ 2

Answer: 86.4 cm ^ 2

1. 已知角 V 的度数为 20°，角 W 的度数为 42°，以及边 WU = 10 cm。为了求出三角形 △UVW 的面积，我们需要知道两边的长度以及夹角的度数。

2. 先求角 U 的度数。根据三角形内角和定理，三角形的三个内角之和为 180°。因此，角 U 的度数可以通过公式 ∠U = 180° - ∠V - ∠W = 180° - 20° - 42° = 118° 得出。

3. 接下来利用正弦定理求边UV的长度。正弦定理表述为一个三角形中，任意一边与其对角的正弦比值等于其他边与其对角的正弦比值，因此 WU/sin(∠V) = UV/sin(∠W)。代入已知数值得 10/sin(20°) = UV/sin(42°)。

4. 计算得到 sin(20°) ≈ 0.3420 和 sin(42°) ≈ 0.6691，然后代入得到 10/0.3420 = UV/0.6691。

5. 继续解方程得到 UV = (10 × 0.6691) / 0.3420 = 19.564 cm。

6. 我们现在得到边长 UV = 19.564 cm，边长 WU = 10 cm，夹角 U 的度数是 118°。

7. 使用三角形面积公式 A = 1/2 × a × b × sin(C)，其中 a 和 b 是两条边，C 是它们的夹角。因此，△UVW 的面积 A = 1/2 × 19.564 × 10 × sin(118°)。

8. 计算 sin(118°) ≈ 0.8829，然后代入得面积 A = 1/2 × 19.564 × 10 × 0.8829 = 86.3704。

9. 对计算结果 86.3704 进行四舍五入，最后得到三角形 △UVW 的面积为 86.4 平方厘米。

Definition of an Angle

An angle is a geometric figure formed by two rays sharing a common endpoint. This common endpoint is called the vertex of the angle, and the two rays are referred to as the sides of the angle.

在本题图中， <note>∠V 是由射线 UV 和 VW 组成的几何图形</note>，<note>这两条射线有一个共同的端点 V</note>。<note>这个共同的端点 V 称为∠V 的顶点</note>，而<note>射线 UV 和 VW 称为 ∠V 的边</note>。<note>∠W 是由射线 UW 和 VW 组成的几何图形</note>，<note>这两条射线有一个共同的端点 W</note>。<note>这个共同的端点 W 称为 ∠W 的顶点</note>，而<note>射线 UW 和 VW 称为∠W 的边</note>。<note>∠U 是由射线 UV 和 UW 组成的几何图形</note>，<note>这两条射线有一个共同的端点 U</note>。<note>这个共同的端点 U 称为∠U 的顶点</note>，而<note>射线 UV 和 UW 称为 ∠U 的边</note>。

Definition of Sine Function

<note>三角形UVW中，角V、角W和角U分别是20°、42°和118°</note>。根据正弦函数定义，<note>sin(20°) ≈ 0.3420</note>, <note>sin(42°) ≈ 0.6691</note>, <note>sin(118°) ≈ 0.8829</note>。

Triangle Angle Sum Theorem

<note>三角形UVW中</note>，<note>角V、角W和角U是三角形UVW的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角V + 角W + 角U = 180°</note>。

Sine Theorem

<note>△UVW</note>中，边<note>UV、VW和WU</note>分别对应<note>∠W、∠U和∠V</note>。根据<note>正弦定理</note>，各边的长度与其所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径，即：<note>UV/sin(∠W)=VW/sin(∠U)=WU/sin(∠V) = 2r = D</note>（其中<note>r为外接圆半径，D为直径</note>）。在本题中，利用正弦定理我们有 <note>UV/sin(∠W) = WU/sin(∠V)</note>，代入已知数值得 <note>10/sin(20°) = UV/sin(42°)</note>。通过计算得到边 <note>UV ≈ 19.564 cm</note>。

<note>在本题图中，三角形UVW中，边WU和边UV分别为u和w</note>，<note>角WUV为这两边的夹角C</note>。根据三角形面积公式，<note>三角形UVW的面积S可以表示为S = (1/2) * u * w * sin(WUV)</note>，即<note>S = (1/2) * WU * VU * sin(WUV)</note>。


Question:
求△TUV的面积。

将答案写成整数或四舍五入到小数点后一位的十进制数。
 \$ox\$ cm ^ 2

Answer: 16.4 cm ^ 2

1. 已知m∠V=20°，m∠U=113°，以及边TV的长为11 cm。

2. 根据三角形内角和定理，三角形内角的和为180°，即m∠V + m∠U + m∠T = 180°。

3. 将已知角度代入公式，20° + 113° + m∠T = 180°，得到m∠T = 180° - 133° = 47°。

4. 确定m∠T=47°后，三角形△TUV的三个内角分别为m∠V=20°，m∠U=113°，m∠T=47°。

5. 利用正弦定理：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)。在本题中，已知TV=11 cm（对应m∠U=113°），TU=未知（对应m∠V=20°）。应用正弦定理，得到TU/sin(20°) = 11/sin(113°)。

6. 求出sin(113°) ≈ 0.9205 和 sin(20°) ≈ 0.3420，将其代入正弦定理公式，TU/0.3420 ≈ 11/0.9205。

7. 解上式得：TU ≈ 11 * 0.3420 / 0.9205 ≈ 4.0869 cm。

8. 现在知道边长TU ≈ 4.0871 cm，边长TV = 11 cm，以及包括的角m∠T=47°。

9. 根据三角形面积公式（使用正弦函数）：Area = 1/2 * TU*TV * sin(T)。

10. 将已知量代入公式得：Area = 1/2 * 4.0869 * 11 * sin(47°)。

11. 计算得出sin(47°) ≈ 0.7314，进一步得Area ≈ 1/2 * 4.0869 * 11 * 0.7314 ≈ 16.4404 cm²。

12. 最终，将面积四舍五入至小数点后一位，得出△TUV的面积为16.4 cm²。

在本题图中，三角形TUV中，边<note>TU</note>和边<note>TV</note>分别为<note>a</note>和<note>b</note>，角<note>UTV</note>为这两边的夹角<note>C</note>。根据三角形面积公式，三角形TUV的面积S可以表示为S = (1/2) * a * b * sin(C)，即S = (1/2) * <note>TU</note> * <note>TV</note> * sin(<note>UTV</note>)。

Triangle Angle Sum Theorem

在本题图中，三角形<note>TUV</note>中，<note>角V</note>、<note>角U</note>和<note>角T</note>是三角形TUV的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>角V + 角U + 角T = 180°</note>。

Sine Theorem

在本题图中，任意三角形<note>△TUV</note>中，<note>边TU、TV和VU分别对应角∠V、∠U和∠T</note>。根据正弦定理，<note>各边的长度与其所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径</note>，即：<note>TU/sin(∠V)=TV/sin(∠U)=VU/sin(∠T) = 2r = D（其中r为外接圆半径，D为直径）</note>。


Question:
求WZ和△WXY的面积。

请将答案写成整数或四舍五入到最接近的十分位的小数。
WZ= \$ox\$  m
面积= \$ox\$  m ^ 2

Answer: WZ=3.7 mArea=22.2 m ^ 2

1. 已知角 WZY 是直角三角形中的一个直角，WY=6米，角 Y=38°。

2. 根据正弦函数定义，在直角三角形 WYZ 中，sin(angle Y) = 对边/斜边，即 sin(Y) = WZ/WY。

3. 代入已知条件 sin(38°) = WZ/6，根据计算，sin(38°)大约为0.6157。

4. 解方程 WZ/6 = 0.6157，可以得到 WZ ≈ 3.6942 米。

5. 我们继续求△WXY的面积。此三角形的底边为 XY=12 米，高为 WZ。

6. 根据三角形的面积公式，Area = 1/2 * base * height，即 Area = 1/2 * XY * WZ。

7. 代入具体值，得到 Area = 1/2 * 12 * 3.6942。

8. 计算得 Area ≈ 22.1652 平方米。

9. 对面积结果取小数点后一位，得到 Area ≈ 22.2 平方米。

10. 经过上述推理，最终得出答案为 WZ ≈ 3.7 米，△WXY 的面积大约为 22.2 平方米。

Definition of Right Triangle

A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.

Definition of Sine Function

<note>在本题图中，直角三角形WYZ中，角WYZ是锐角</note>，<note>边WZ是角WYZ的对边</note>，<note>边WY是斜边</note>。根据正弦函数定义，角WYZ的正弦值等于对边WZ与斜边WY的比值，即<note>sin(WYZ) = WZ / WY</note>。

Area Formula of a Triangle

<note>三角形WXY</note>中，<note>边XY是底</note>，<note>线段WZ是该底上的高</note>，所以<note>三角形WXY的面积</note>等于<note>底XY乘以高WZ除以2</note>，即面积 = <note>(XY* WZ) / 2</note>。