Question: 对于一对相似图形，求绿色图形的面积。

Answer: 9

1. 已知两个##四边形相似，两个四边形的对角线分别为8yd和4yd，对角线的比例为8:4，即2:1##。

2. ##根据相似多边形的面积比等于相似比的平方定理，如果两个相似多边形的边长比是k，那么它们的面积比等于k的平方。已知所以两个四边形的对角线比为2:1，所以两个四边形的面积比为2:1^2，即4:1##。

3. ##已知蓝色四边形的面积A=36yd^2，所以绿色四边形的面积为A/4，即36/4=9yd^2##。

####

四边形定义

四边形是由四条线段组成的封闭图形，这些线段称为四边形的边。四边形有四个顶点和四个内角。

<note>在本题图中</note>，设<note>蓝色四边形为ABCD</note>，<note>绿色四边形为EFGH</note>。在本题图中，<note>四边形ABCD由四条线段AB, BC, CD和DA组成</note>，这些线段称为<note>四边形的边</note>。<note>四边形ABCD有四个顶点，分别是点A, 点B, 点C和点D</note>，并且有<note>四个内角，分别是角ABC, 角BCD, 角CDA和角DAB</note>。<note>四边形EFGH由四条线段EF, FG, GH和HE组成</note>，这些线段称为<note>四边形的边</note>。<note>四边形EFGH有四个顶点，分别是点E, 点F, 点G和点H</note>，并且有<note>四个内角，分别是角EFG, 角FGH, 角GHE和角HEF</note>。

相似多边形的面积比等于相似比的平方定理

如果两个相似多边形的边长比是k，那么它们的面积比等于k的平方

<note>多边形ABCD和多边形EFGH是相似图形</note>，<note>边BD和边FH的比值为2</note>，即相似比为2。所以，<note>图形ABCD的面积与图形EFGH的面积的比值等于2的平方</note>。即：<note>面积比 = 2的平方</note>。


Answer: 70°

1. 已知△ABC内接于⊙O，且∠C=20°。

2. ##根据圆周角得定义，∠C是圆周角，根据圆心角的定义，∠AOB是圆心角##，根据圆周角定理，##圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半##，因此得出##∠C=?∠AOB，计算得##∠AOB=2∠C=40°。

3. ##根据半径的定义，得OA=OB，根据等腰三角形的定义##，所以△OAB是等腰三角形，##根据等腰三角形的性质##，∴∠OAB=∠OBA。

4. 在△OAB中，##根据三角形内角和定理##，故得出∠OAB+∠OBA+∠AOB=180°。

5. 由于∠OAB=∠OBA，且∠AOB=40°，则有2∠OAB+40°=180°。

6. 经过简单计算，得出2∠OAB=140°，∴∠OAB=70°。

7. 由此推理，得出∠OAB的度数为70°。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

<note>圆O中，角ACB的顶点C在圆周上</note>，<note>角ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B</note>。因此，<note>角ACB是一个圆周角</note>。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

<note>圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O</note>。连线<note>OA和OB组成的角∠AOB</note>称为圆心角。

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

<note>在本题图中，圆O中，点A、B、C在圆上，弧AC与弧CB对应的圆心角为∠AOB</note>，<note>圆周角为∠ACB</note>。根据圆周角定理，<note>∠AOB等于它所对的弧AC所对应的圆周角∠ACB的两倍</note>，即<note>∠AOB = 2∠ACB</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

在本题图中，三角形OAB中，<note>角OAB</note>、<note>角OBA</note>和<note>角AOB</note>是三角形OAB的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>角OAB + 角OBA + 角AOB = 180°</note>。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

<note>等腰三角形OAB中</note>，<note>边OA和边OB相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>∠OAB = ∠OBA</note>。##

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段。

<note>在本题图中，圆O中，点O是圆心，点A、B是圆上的任意一点，线段OA、OB是从圆心到圆上任意一点的线段，</note>因此<note>线段OA、OB是圆的半径</note>##。


Question: 直线AB是圆O的切线。如果AB = 24且OB = 25，求DB。

Answer: 18

1. 已知条件为直线AB是圆O的切线，点B是切点，OB = 25，AB = 24。根据切线的性质，切线与经过切点的半径垂直，因此∠OAB为直角。

2. 因为∠OAB为直角，##根据直角三角形的定义得：##三角形OAB为直角三角形，应用勾股定理（即直角三角形斜边的平方等于其他两条边的平方和），可以得出OA的长度。

3. 勾股定理##应用##为：OB^2 = OA^2 + AB^2，其中OB = 25，AB = 24

4. 代入已知条件，得到25^2 = OA^2 + 24^2，通过计算625 = OA^2 + 576。

5. 解方程625 - 576 = OA^2，即OA^2 = 49，于是OA = 7。

6. OA是圆O的半径，OD也是圆O的半径，因此OD = OA = 7。

7. ##因为AO和OD为圆O的半径，所以OD = OA=7##，OB已知为25，##所以##DB = OB - OD。

8. 计算DB = 25 - 7 = 18。

9. 经过上述推理，最终得出答案为18。

切线; 直角三角形; 线段; 圆

圆的切线定义

圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。

<note>圆O与直线AB有且只有一个公共点B</note>，这个公共点叫做切点。因此，<note>直线AB是圆O的切线</note>。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

<note>点O是圆心</note>，点A和点D是圆上的任意一点，<note>线段OA和线段OD是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段OA和线段OD是圆O的半径</note>。

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

<note>圆O中，点B是直线AB与圆的切点</note>，<note>线段OB是圆的半径</note>。根据圆的切线性质，<note>切线AB与经过切点B的半径OB垂直</note>，即<note>∠OAB=90度</note>。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

在本题图中，<note>直角三角形OAB中，∠OAB是直角（90度）</note>，<note>边OA和AB是直角边</note>，<note>边OB是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>OB^2 = OA^2 + AB^2</note>。


Question: 在图中，m \angle 9 = 75。求 \angle 6 的度数。

Answer: 105

1. 已知 ##∠6## 与 ∠9 为同旁内角，因为直线 n 和直线 m 平行，直线 t 是它们的横截线，由##平行线的平行公理2，可以得出##同旁内角互补，所以 ##∠6## + ##∠9## = 180°。

2. 根据题意 ##∠9## = 75°，代入上式： ##∠6## + 75° = 180°，因此 ##∠6## = 105°。

####

##3##. 经过上述推理，最终得出答案为105°。

对顶角; 内错角; 平行线

同旁内角的定义

两条直线被第三条直线所截，在截线同侧，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角。若两直线平行，则同旁内角互补。若同旁内角互补，则两直线平行。

在本题图中，<note>直线 m 和直线 n 被第三条直线 t 所截</note>，<note>∠6 和 ∠9 在截线 t 同侧</note>，<note>且在被截线 m 和 n 之内</note>，所以<note>∠6 和 ∠9 是同旁内角</note>。<note>同旁内角 ∠6 和 ∠9 互补</note>，即 <note>∠6 + ∠9 = 180°</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>在本题图中，两条平行线m和n被第三条直线t所截</note>，形成了以下几何关系：<note>同旁内角：角6和角9互补</note>，即<note>角6 + 角9 = 180度</note>。这个关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，<note>同旁内角互补</note>。


Question: 一架飞机从Des Moines飞往Phoenix，再飞往Atlanta，最后飞回Des Moines，如下图所示。如果总行程为3482英里，求Phoenix到Atlanta的距离（单位：英里）。

Answer: 1591

1. 从题目中的图示和描述可以得到三条路径的总和是 3482 英里，其中 Des Moines 到 Phoenix 的距离是 110x + 53 英里，Phoenix 到 Atlanta 的距离是 150x + 91 英里，Atlanta 到 Des Moines 的距离是 73.8x 英里。

2. 根据题意，总距离为 3482 英里，即 (110x + 53) + (150x + 91) + 73.8x = 3482。

3. 将以上方程展开整理，得 110x + 150x + 73.8x + 53 + 91 = 3482。

4. 合并同类项，得到 333.8x + 144 = 3482。

5. 将方程简化，首先从两边减去 144，得到 333.8x = 3338。

6. 然后将两边同时除以 333.8，得到 x = 10。

7. 代入 x = 10 进 Phoenix 到 Atlanta 的距离公式 150x + 91。

8. 计算得 Phoenix 到 Atlanta 的距离为 150 * 10 + 91 = 1591 英里。

9. 经过上述推理，最终得出答案为 1591。

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

<note>三角形由Des Moines、Phoenix和Atlanta三个非共线点</note>及其连接<note>线段Des Moines到Phoenix的线段（110x + 53）</note>、<note>Phoenix到Atlanta的线段（150x + 91）</note>、<note>Atlanta到Des Moines的线段（73.8x）</note>组成的几何图形。<note>点Des Moines、Phoenix、Atlanta分别是三角形的三个顶点</note>，<note>线段Des Moines到Phoenix、Phoenix到Atlanta、Atlanta到Des Moines分别是三角形的三条边</note>。

三角形的周长公式

三角形的周长等于三条边的长度之和，即如果三角形的三条边分别为a、b、c，则周长P=a+b+c。

<note>在本题图中，已知三角形的三边分别为110x+53、73.8x、150x+91</note>，根据三角形的周长公式，三角形的周长等于其三边长度之和，即<note>周长P=(110x + 53) + (150x + 91) + 73.8x</note>。


Question: 四边形 D E F G 是一个矩形。如果 m \angle E D F = 5 x - 3 并且 m \angle D F G = 3 x + 7，求 m \angle E D F。

Answer: 22

1. 已知四边形 D E F G 是矩形，根据##平行线的平行公理2，内错角相等##，因此##∠ E D F = ∠ D F G##。

2. 根据已知条件，##∠ E D F的度数## = 5x - 3 和 ##∠ D F G的度数## = 3x + 7。

3. 由于##∠ E D F = ∠ D F G，因此##，5x - 3 = 3x + 7。

4. 通过解方程5x - 3 = 3x + 7，移动3x到左侧和常数项到右侧得：

   5x - 3x = 7 + 3。

5. 分类合并，得出2x = 10。

6. 将2x = 10的两边同时除以2，得出x = 5。

7. 再将x = 5代入##∠ E D F的度数## = 5x - 3，得到##∠ E D F的度数## = 5 * 5 - 3。

8. 计算结果为##∠ E D F的度数## = 25 - 3 = 22。

9. 由此最终得出##∠ E D F的度数## = 22。

矩形; 邻补角; 对顶角

矩形的定义

矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。

<note>四边形 D E F G 是一个矩形</note>，其内角<note>∠DGF</note>, <note>∠DEF</note>, <note>∠EFG</note>, <note>∠EDG</note>都是直角（90度），且边<note>DE</note>与边<note>FG</note>平行且等长，边<note>DG</note>与边<note>EF</note>平行且等长。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>两条平行线DE和GF</note>被<note>第三条直线DF所截</note>，形成了以下几何关系：内错角：<note>角EDF和角DFG相等</note>。这个关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，内错角相等。####

内错角的定义

当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。

在本题图中，<note>两条平行直线DE和GF被一条直线DF截交</note>，其中<note>角EDF和角DFG位于两平行线之间，且在截线DF的对侧</note>，因此<note>角EDF和角DFG是内错角</note>。内错角相等，即<note>角EDF等于角DFG</note>。


Question: \overrightarrow B A 和 \overrightarrow B C 是相反的射线，\overrightarrow B D 平分 \angle A B F。如果 m \angle F B C = 2 x + 25 且 m \angle A B F = 10 x - 1，求 m \angle D B F。

Answer: 64.5

1.已知条件为 ##射线BA 和 射线BC## 是相反射线，因此 ##∠ABC## 是一个平角，根据平角的定义，##∠ABC = 180°##。

2. 由题意 ##∠FBC## = 2x + 25 和 ##∠ABF## = 10x - 1，根据角度相加原理，##∠ABC## 可以表示为 ##∠ABF + ∠FBC = 180°## 。因此#### (10x - 1) + (2x + 25) = 180。

3. 解方程 (10x - 1) + (2x + 25) = 180，整理得到 12x + 24 = 180，然后通过线性方程的求解，得到 12x = 156，进一步解得 x = 13。

4. 因为 ##射线BD平分 ∠ABF, 所以 ∠ABD = ∠DBF = 1/2∠ABF。##

5. 将 x = 13 代入 ##∠ABF## = 10x _ 1，又 ##∠ABF ## = 10(13) - 1 = 129。

6. 因为 ##射线BD平分 ∠ABF，所以∠DBF = 1/2*129°= 64.5°##。

7. 经过上述推理，最终得出答案 ##∠DBF = 64.5°##。

射线; 邻补角; 对顶角

角平分线定义

角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。

<note>在本题图中，角ABF的顶点是点B，从点B引出一条线BD，这条线将角ABF分成两个相等的角，即角ABD和角DBF相等。</note> 因此，<note>线BD是角ABF的角平分线</note>。这意味着 <note>∠ABD = ∠DBF = 1/2∠ABF</note>。

角的定义

角是由两个有公共端点的射线组成的几何图形，其中的公共端点称为角的顶点，两条射线称为角的边。

在本题图中，<note>角ABC是由两条射线AB和BC组成</note>的几何图形，这两条射线有一个共同的端点<note>B</note>。这个共同的端点<note>B称为角ABC的顶点</note>，而<note>射线AB和BC称为角ABC的边</note>。在本题图中，<note>角FBC是由两条射线FB和BC组成</note>的几何图形，这两条射线有一个共同的端点<note>B</note>。这个共同的端点<note>B称为角FBC的顶点</note>，而<note>射线FB和BC称为角FBC的边</note>。在本题图中，<note>角ABF是由两条射线AB和BF组成</note>的几何图形，这两条射线有一个共同的端点<note>B</note>。这个共同的端点<note>B称为角ABF的顶点</note>，而<note>射线AB和BF称为角ABF的边</note>。在本题图中，<note>角ABD是由两条射线AB和BD组成</note>的几何图形，这两条射线有一个共同的

平角的定义

一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度。

在本题图中，<note>射线BA</note>绕着<note>端点B</note>旋转到与<note>起始边成一条直线，形成平角ABC</note>。根据平角的定义，<note>平角的度数为180度，即角ABC=180度</note>。##


Question: 求 x 使得 a \\parallel b。

Answer: 14

1. ##根据平行线的平行公理2和同旁内角的定义，当角(4x + 11)°和角(8x + 1)°互补时，a∥b##。

2. ##根据同旁内角的定义，得出方程：(4x + 11)° + (8x + 1) °= 180°##。

3. 解方程：##(4x + 11)° + (8x + 1) °= 180° 化简为 12x° + 12° = 180°##。

4. ##两边同时减去12°得到 12x° = 168°##。

5. ##两边同时除以12°得到 x° = 14°##。

6. 经过上述推理，当x = 14时，a平行于b，最终得出答案。

同旁内角的定义

<note>角(4x + 11)°</note>和<note>角(8x + 1)°</note>分别是直线<note>a</note>和直线<note>b</note>的同旁内角。直线<note>a</note>和直线<note>b</note>被一条横向的直线所截，并且这两个角都位于这两条直线的内侧。因此，<note>角(4x + 11)°</note>和<note>角(8x + 1)°</note>是同旁内角。同旁内角互补，即<note>角(4x + 11)° + 角(8x + 1)° = 180°</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>角(4x + 11)°和角(8x + 1)°是两条直线a和b被一条截线所截出的同旁内角</note>。这两个角互补，即<note>(4x + 11)° + (8x + 1)° = 180°</note>时，依据同旁内角定理，就能得出<note>a和b平行</note>。


Question: 如果一个三角形的两条边分别是12和7，以下哪一个不能是该三角形的周长？

Answer: 38

1. 根据##三角形三边关系定理，三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边##。

2. 设第三条边为x，根据##三角形三边关系定理，得到12 + 7 > x ＞12 - 7，即19 > x ＞ 5##。

3. ##根据三角形的周长公式，三角形的周长等于三条边的长度之和，即周长P=a+b+c。所以5+12+7＜P ＜19+12+7，即24＜x＜38##。

####

##4##. 由以上得知不符合三角形边公式的选项为38

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三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

在本题图中，设三角形为<note>三角形ABC</note>，<note>三角形ABC</note>是由<note>三个非共线点A、B、C及其连接线段AC、AB、BC</note>组成的几何图形。<note>点A、B、C分别是三角形的三个顶点</note>，<note>线段AC、AB、BC分别是三角形的三条边</note>。####

三角形三边关系定理

三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边。

在本题图中，设三角形为三角形ABC，<note>边AC、边AB和边BC</note>构成三角形。根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，即<note>边AB + 边AC > 边BC</note>，<note>边AC + 边BC > 边AB</note>，<note>边AB + 边BC > 边AC</note>。任意两边之差小于第三边，即<note>边AC - 边AB < 边BC</note>，<note>边BC - 边AB < 边AC</note>，<note>边BC - 边AC < 边AB</note>。####


Question: 求x。A = 357 in^2。

Answer: 21

1. 已知三角形面积 A = 357平方英寸，根据三角形的面积公式，任意三角形的面积用其底和高表示为A = 1/2 * 底 * 高。

2. 由于直角三角形的底是34英寸，设高为x英寸，则通过面积公式A = 1/2 * 34 * x可以计算出x。

3. 将已知面积值代入公式，即 357 = 1/2 * 34 * x。

4. 化简等式为357 = 17x，从而解出x=357/17。

5. 经过计算得出x = 21。

直角三角形; 普通三角形

三角形的面积公式

任意三角形的面积等于其底乘以高除以2

<note>三角形</note>中，<note>底边为34英寸</note>，<note>高为x英寸</note>。根据三角形的面积公式，三角形的面积等于<note>底边乘以高再除以2</note>，即面积 = <note>(34 * x) / 2</note>。<note>已知面积A = 357平方英寸</note>，因此面积公式表示为<note>357 = 1/2 * 34 * x</note>。

高的定义

从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。

<note>从上方顶点垂直于对边的线段是该顶点的高</note>。<note>线段与边34形成一个直角（90度）</note>，这说明<note>线段是从上方顶点到对边的垂直距离</note>。##


Question: 求作到斜边上的高的长度。

Answer: 4 \sqrt { 3 }

1. ##由图示可知，∠GEF为直角，而EH为高，即EH⊥GF，则∠GHE=∠EHF=90°。根据直角三角形的定义，三角形EGF、三角形GHE、三角形EHF都为直角三角形。根据直角三角形中斜边上的高性质，由大三角形EGF斜边GF上的高分成的两个小三角形都与大三角形EGF相似，则三角形EGH~三角形EGF，三角形EHF~三角形EGF，且三角形EGH~三角形EHF，且都为直角三角形。##

####

##2. 根据已求得信息：三角形GEH和三角形EFH相似，得到一个比例：GH/EH = EH/HF。##

##3. 已知GF = 16和HF = 12，所以GH=GF-HF=16-12=4。代入比例得：4/EH=EH/12。##

##4. 交叉相乘可得EH^2=4 * 12=48，则EH=√48=√（16 * 3）=4√3。##

##5. 三角形GEF斜边GF上的高EH的长度为4√3。##

直角三角形; 垂线; 垂直平分线

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

在本题图中，<note>三角形EGF是由三个非共线点E、G、F及其连接线段EG、GF、EF组成的几何图形</note>。<note>点E、G、F分别是三角形的三个顶点</note>，<note>线段EG、GF、EF分别是三角形的三条边</note>。<note>三角形EGH是由三个非共线点E、G、H及其连接线段EG、GH、EH组成的几何图形</note>。<note>点E、G、H分别是三角形的三个顶点</note>，<note>线段EG、GH、EH分别是三角形的三条边</note>。<note>三角形EHF是由三个非共线点E、H、F及其连接线段EH、HF、EF组成的几何图形</note>。<note>点E、H、F分别是三角形的三个顶点</note>，<note>线段EH、HF、EF分别是三角形的三条边</note>。##

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

##在本题图中，三角形EGF中，<note>角GEF是直角（90度）</note>，因此三角形EGF是一个直角三角形。<note>边EG和边EF是直角边</note>，<note>边GF是斜边</note>。三角形EGH中，<note>角GHE是直角（90度）</note>，因此三角形EGH是一个直角三角形。<note>边HG和边EH是直角边</note>，<note>边GE是斜边</note>。三角形EHF中，<note>角EHF是直角（90度）</note>，因此三角形EHF是一个直角三角形。<note>边HE和边HF是直角边</note>，<note>边EF是斜边</note>。##

高的定义

从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。

在本题图中，从顶点E垂直于对边GF的<note>线段GH是该顶点E的高</note>。<note>线段EH与边GH和边FH形成两个直角（90度）</note>，这说明<note>线段GH是从顶点E到对边GF的垂直距离</note>。

直角三角形中斜边上的高性质

在直角三角形中，高所形成的两个三角形与原三角形相似

##在本题图中，<note>直角三角形EGF中，角GEF是直角（90度）</note>，从<note>顶点E向斜边GF作高EH</note>。根据直角三角形中斜边上的高性质，<note>高EH将直角三角形EGF分成两个新的直角三角形EGH和EHF</note>。<note>三角形EGH相似于三角形EGF</note>，<note>三角形EHF也相似于三角形EGF</note>。因此，三角形EGH~三角形EGF，三角形EHF~三角形EGF，且<note>三角形EGH~三角形EHF</note>。##

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>三角形EGH和三角形EHF是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>∠EGH = ∠FEH</note>，<note>∠EHG = ∠FHE</note>，<note>∠GEH = ∠EFH</note>；<note>GH/EH = EH/HF = GE/EF</note>。


Question: U J = 9, V J = 3, 和 Z T = 18。求 S J。

Answer: 6

1. ##如图可知，ST=TU，SY=YZ，ZV=VU，所以J是三角形SZU中线的交点，为重心##。

2. ##因为JV=3，根据重心定理可知，S J=6##。

####

##3##. 经过上述推理，最终得出答案为 S J = 6。

等腰三角形; 线段; 中点

重心定理

重心是三角形三条中线的交点，并且将每条中线分成2:1的两段，其中较长的一段连接顶点。

<note>三角形SZU</note>中，点J是<note>三角形的重心</note>。三角形的<note>三条中线分别为线段SV、线段ZT和线段UY</note>，它们<note>相交于点J</note>。根据重心定理，点J将每条<note>中线分成2:1的两段，其中较长的一段连接顶点</note>。例如，在线段SV中，<note>点J将其分成两段</note>，<note>较长的一段为SJ（连接顶点），较短的一段为JV</note>。

三角形中线的定义

中线是从三角形一个顶点到对边中点的线段。

在本题图中，三角形SZU，<note>顶点S是三角形的一个顶点</note>，<note>对边ZU是与顶点S相对的边</note>。<note>点V是边ZU的中点</note>，<note>线段SV是从顶点S到对边ZU中点V的线段</note>，因此<note>SV是三角形SZU的一条中线</note>，同理可得<note>线段ZT和UY也是三角形SZU的中线</note>。####

线段中点

线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。

<note>线段SU的中点为点T</note>。根据线段中点的定义，<note>点T将线段SU平分为两个相等的部分</note>，即<note>线段ST=TU</note>，<note>线段SZ的中点为点Y</note>。根据线段中点的定义，<note>点Y将线段SZ平分为两个相等的部分</note>，即<note>线段SY=YZ</note>，<note>线段ZU的中点为点V</note>。根据线段中点的定义，<note>点V将线段ZU平分为两个相等的部分</note>，即<note>线段ZV=VU</note>。


Question: m \angle 3 = x - 12 和 m \angle 6 = 72。求 x。

Answer: 84

1. 根据图示观察，##作为角 3对顶角的角2## 和角 6 是两条平行线被一条横截线所截形成的同位角。

2. 根据##平行线的平行公理2##，如果两条平行线被一条横截线所截，那么每对同位角相等，故此可得 ##∠2 = ∠6##。

3. ##根据对顶角的定义，可知∠2= ∠3 = x - 12 ，同时  ∠6 = 72##。

4. 因为##  ∠2=  ∠3 =  ∠6##，所以 x - 12 = 72。

5. 解方程 x - 12 = 72，得到 x = 72 + 12。

6. 计算 x = 72 + 12 = 84。

7. 经过上述推理，最终得出答案为 84。

同位角; 平行线; 对顶角

平行线的定义

在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

在本题图中，<note>左边的竖直线和右边的竖直线</note>位于同一平面内，<note>并且它们没有交点</note>，因此根据<note>平行线的定义</note>，左边的竖直线和右边的竖直线是平行线。

同位角定义

当两条平行直线被一条直线截交时，其中两条同一位置的角称为同位角。同位角相等。

<note>在本题图中，两条平行直线分别为左侧的直线和右侧的直线被一条斜线截交</note>，其中<note>角2和角6位于截线的同旁</note>，<note>被截两直线的同一侧</note>，因此<note>角2和角6是同位角</note>。<note>同位角相等，即角2等于角6</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>左边竖直的平行线和右边竖直的平行线被斜线横截形成的角</note>中，<note>∠2和∠6是同位角</note>，因此<note>∠2 = ∠6</note>。

对顶角的定义

对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等

<note>两条直线相交</note>，形成四个角：<note>角1、角2、角3和角4</note>。根据对顶角的定义，<note>角1和角4是对顶角</note>，<note>角2和角3是对顶角</note>。由于对顶角的角度相等，所以<note>角1=角4</note>，<note>角2=角3</note>。


Question: 求 x。假设看起来是切线的线段都是切线。

Answer: 4

1. ##结合图和题目可知，圆外的线段与圆相切。设切线为线段AB，切线与圆的切点为点D##。

2. ##连接圆心和点D，构成三角形CDA。根据圆的切线性质，切线与经过切点的半径垂直，即CD⊥AB，所以∠CDA=90°。根据直角三角形的定义，三角形CDA则为直角三角形##。

3. ##根据勾股定理（毕达哥拉斯定理），直角三角形中斜边的平方等于两条直角边的平方和，即AC^2=AD^2+CD^2。##

4. ##由图可知：CD为圆C半径，所以CD=6，AD=8。代入公式得：AC^2=64+36=100，所以AC=10##。

6. ##图中x+6=AC，所以x=AC-6=10-6=4##。

7. 以上述推理得出x = 4

等腰三角形; 切线; 圆

圆的切线定义

圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>三角形ACD中，角ADC是直角（90度）</note>，因此三角形ACD是一个直角三角形。<note>边CD和边AD是直角边</note>，<note>边AC是斜边</note>。

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

<note>圆C</note>中，<note>点D是直线AB与圆的切点</note>，<note>线段CD是圆的半径</note>。根据圆的切线性质，<note>切线AB与经过切点D的半径CD垂直，即∠CDA=90度</note>。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>直角三角形CDA中</note>，<note>角CDA是直角（90度）</note>，<note>边CD和AD是直角边</note>，<note>边AC是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>AC² = AD² + CD²</note>。


Question: 一个正方形在上图中的点P处与一条直线相切。x的值是多少？

Answer: 30

1. 已知正方形与直线 l 在点 P 相切，##设正方形四个点分别为APCD，∠APC=90°##。

####

##2. 根据平角的定义，设平角为∠EPF，可知 x° + 2x°=  180°-∠ APC= 180°-90°=90°。##

##3##. 得出方程 x° + 2x° = 90°，即 3x° = 90°。

##4##. 解方程 3x° = 90°，得到 x = 30。

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为 30。

正方形; 直线; 切线; 垂线; 对称

正方形的定义

正方形是一种平面四边形，其四条边相等且四个内角均为直角（90度）。

<note>在本题图中，正方形的四条边相等，分别为AP、PC、CD和DA</note>，且<note>四个内角均为直角（90度）</note>，所以这是一个正方形。

平角的定义

<note>射线l</note>绕着端点<note>P</note>旋转到与起始边成一条直线，形成<note>平角EPF</note>。根据平角的定义，平角的度数为180度，即<note>角EPF=180度</note>。


Question: 求 x。

Answer: 9.5

1. 已知条件为三角形中线段等长，根据图中标记两条##线段##相等的条件（即\$3x+11=5x-8\$）。

2. 对上式进行移项和合并同类项，得到\$3x+11=5x-8\$ =>\$11+8=5x-3x\$ =>\$2x=19\$。

3. 将结果除以2得到\$x=\frac{19}{2}=9.5\$。

4. 经过上述推理，最终得出答案为\$x=9.5\$。

线段的定义

线段是一个直线的一部分，包含两个端点及其间的所有点

在本题图中，<note>线段AD</note> 是一个直线的一部分，包含 <note>端点A</note> 和 <note>端点D</note> 及其间的所有点。线段AD具有两个端点，这两个端点分别是 <note>A</note> 和 <note>D</note>，且 <note>线段AD上的每一个点都位于端点A和端点D之间</note>。<note>线段BD</note> 是一个直线的一部分，包含 <note>端点B</note> 和 <note>端点D</note> 及其间的所有点。线段BD具有两个端点，这两个端点分别是 <note>B</note> 和 <note>D</note>，且 <note>线段BD上的每一个点都位于端点B和端点D之间</note>。


Question: 求等腰三角形 riangle X Y Z 的 X Y。

Answer: 7

1. 已知条件为：给定的是等腰三角形 XY Z，X Y 和 Y Z 是等腰三角形的两个相等的边。####X Y 等于 Y Z。

2. 根据第一步结论，可以列出等式 2x + 3 = 4x - 1。

3. 将上述等式中的 4x 移到左边，并将 3 移到右边，得到 2x - 4x = -1 - 3。

4. 将 -2x = -4 简化，得到 x = 2。

5. 将 x = 2 代入边 X Y 的表达式 2x + 3，计算得：X Y = 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7。

6. 根据步骤5的计算结果，X Y = 7。

7. 将 x = 2 代入边 Y Z 的表达式 4x - 1，验证计算得：Y Z = 4(2) - 1 = 8 - 1 = 7。

8. 验证计算结果得出 Y Z = 7，符合题目条件。

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。


Question: 四边形 E F G H 是一个矩形。如果 E F = 4 x - 6 且 H G = x + 3，求 E F。

Answer: 6

1. 已知条件为：四边形 EFGH 是矩形，根据矩形的定义，矩形的对边相等，所以 EF=HG。

2. 根据题意，EF = 4x - 6，HG = x + 3，并且EF=HG。因此，4x - 6 = x + 3。

3. 解方程 4x - 6 = x + 3，首先两边同时减去x：3x - 6 = 3。

4. 接下来在两边同时加上6：3x = 9。

5. 最后在两边同时除以3：x = 3。

6. 将x = 3代入EF = 4x - 6，可以得到EF = 4*3 - 6 = 12 - 6 = 6。

7. 经过上述推理，最终得出答案为EF的长度为6。

矩形的定义

矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。

<note>四边形 EFGH 是一个矩形</note>，其内角 <note>∠EHG, ∠HGF, ∠GFE 和 ∠FEH 都是直角（90度）</note>，且<note>边 EF 与边 HG 平行且等长</note>，<note>边 EH 与边 FG 平行且等长</note>。


Question: 求 \\widehat A B 的长度。结果保留到小数点后两位。

Answer: 9.77

1. ##由图可得，圆心角∠AOB = 80°##，圆的直径是14米，##根据半径的定义##，则半径OA= 14/2 = 7米。

2. ##已知圆心角∠AOB = 80°，OA =7，根据角度与弧度的换算公式，算出圆心角θ =80*（π/180）=4π/9。再根据扇形的弧长公式：L = θr，（θ以弧度制表示），这里r是半径。##

3. 将已知数值代入公式得：弧长AB ##= θr= 4π/9 × 7##。

4. 计算得到弧长AB ≈ 9.772。

5. 经过上述计算得出答案，四舍五入到小数点后两位，因此弧长为9.77米。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

在本题图中，圆O中，<note>点O是圆心</note>，<note>点A和点B是圆上的任意一点</note>，<note>线段OA和线段OB是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段OA和线段OB是圆的半径</note>，它们的长度均为7米，因为<note>半径等于直径的一半（14米/2）</note>。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

扇形的弧长公式

扇形的弧长L等于圆心角θ（以弧度制表示）乘以半径r：L = θr。

在本题图中，<note>扇形AOB</note>中，<note>圆心角AOB为θ（以弧度制表示）</note>，<note>半径为r</note>。根据扇形的弧长公式，弧长L等于<note>圆心角θ</note>乘以<note>半径r</note>，即<note>L = θ * r</note>。######

角度与弧度的换算公式

弧度=角度*（π/180），角度=弧度*（180/π）。

<note>在本题图中，AOB的角度是80</note>，根据角度与弧度的换算公式，换算为弧度=角度*（π/180），即<note>80*（π/180）=4π/9</note>。

扇形的定义

由一个圆的两条半径与它们所夹的圆弧组成的图形称作扇形。

在本题图中，<note>扇形AOB</note>中，<note>半径OA</note>和<note>半径OB</note>是圆的两条半径，<note>圆弧AB</note>是由这两条半径所夹的圆弧，所以根据扇形的定义，由这两条半径和它们所夹的<note>圆弧AB</note>组成的图形为<note>扇形</note>。


Question: ABCD 是一个平行四边形，边长如右图所示。ABCD 的周长是 22。求 AB。

Answer: 7

1. 已知 A B C D 为平行四边形，##根据平行四边形的性质定理##，我们有 A B = C D 和 A D = B C。

2. 这些边的值分别为 A B = 2y + 1， ##C D = 3 - 4w， A D = 3x - 2， B C = x - w + 1。##

3. ##已知 A B = C D 和 A D = B C，则 2y + 1 = 3 - 4w ， 3x - 2 = x - w + 1。##

4. ##解方程组: 对于方程 2y + 1 = 3 - 4w，我们得到 2y + 4w = 2。##

5. ##对于方程 3x - 2 = x - w + 1，我们得到 3x - 2 - x + w = 1，即 2x + w = 3。##

6. 题目给出 A B C D 的周长为 22，因此我们有 2(A B) + 2(A D) = 22，代入已知条件，##得到 2(2y + 1) + 2(3x - 2) = 22，等式右边展开为 4y + 2 + 6x - 4 = 22。##

7. ##整理得到: 4y + 6x = 24。##

8. 解方程组: 使用2y + 4w = 2 和 2x + w = 3 ，##我们可以得出 w = 3 - 2x 和 2y + 4(3 - 2x) = 2，即 2y + 12 - 8x = 2，得到 2y = 8x - 10。##

9. ##代入到4y + 6x = 24中 得到: 2(8x - 10) + 6x = 24 ，即 16x - 20 + 6x = 24 ，即 22x = 44，最后得到 x = 2。##

10. 利用x = 2代入2x + w = 3，##得出 w = -1##。

11. 将 y = 3 代入A B的表达式 2y + 1 得到 A B = 2 × 3 + 1 = 7。

12. 经过上述推理，最终得出答案为 A B 的长度是7。

平行四边形的性质定理

在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。

##在本题图中，平行四边形ABCD中，<note>平行四边形ABCD</note>，对角<note>∠DAB和∠BCD相等</note>，对角<note>∠ABC和∠CDA相等</note>；边<note>AB和CD相等</note>，边<note>AD和BC相等</note>。因此我们有 <note>AB = CD</note> 和 <note>AD = BC</note>，即 <note>2y + 1 = 3 - 4w</note> 和 <note>3x - 2 = x - w + 1</note>。##


Question: 求解 x。

Answer: 70

1. 已知条件为##弧FG = 70°，FG = HJ，设O为圆心##。

2. ##根据圆心角的性质，圆心角的度数等于它所对的圆弧的度数，已知弧FG = 70°，则弧FG的圆心角∠FOG=70°##。

3. ##图中在FG和HJ两条边上各画一条短线，表示这两条边长度相等，即弦FG=弦HJ。根据圆心角定理，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，因为弦FG=弦HJ，所以弧HJ=弧FG##。

4. ##根据圆心角定理，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，因为弧HJ=弧FG，所以两个弧所对的圆心角也相等，即∠HOJ=∠FOG=70°，

####

##5##. 所以，x° = ##∠FOG## = 70°。

圆; 圆心角; 切线; 等腰三角形; 圆周角

圆的定义

到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。

<note>图中的圆的圆心为O</note>，<note>圆O中，点O是圆心</note>。图中所有<note>到点O的距离等于半径的点都在圆O上</note>。

弧的定义

弧是圆上两点之间的一段曲线。

在本题图中，圆O上有两点F和G，<note>弧FG</note>是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，<note>弧FG</note>是圆上两点F和G之间的一段曲线。圆O上有两点H和J，<note>弧HJ</note>是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，<note>弧HJ</note>是圆上两点H和J之间的一段曲线。####

弦的定义

弦是连接圆上任意两点的线段。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

圆心角的性质

圆心角的度数等于它所对的圆弧的度数。

在本题图中，已知<note>圆心角∠FOG</note>所对的<note>圆弧为弧FG</note>。根据圆心角的性质，圆心角的度数与所对圆弧的度数相等，即<note>∠FOG的度数=弧FG的度数</note>。已知<note>圆心角∠HOJ</note>所对的<note>圆弧为弧HJ</note>。根据圆心角的性质，圆心角的度数与所对圆弧的度数相等，即<note>∠HOJ的度数=弧HJ的度数</note>。

圆心角定理

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

在本题图中，圆O中，<note>圆心角∠FOG</note>和 <note>∠HOJ 相等</note>。根据<note>圆心角定理</note>：1. <note>两圆心角所对的弧相等，即弧FG = 弧HJ</note>；2. 所对的弦相等，即 <note>弦FG=弦HJ</note>。


Question: 求y。

Answer: 8 \sqrt { 3 }

1. 已知这是一个直角三角形，边和对应的角如图标注。设这个直角三角形ABC，其中∠ACB是直角，∠CAB为60度，边CA=16√3。

2. ##根据直角三角形的锐角互补性质，可以得到∠B=30°，因此，三角形ABC是30°-60°-90°三角形。##

3. 依据##30°-60°-90°三角形的性质，知AB=2*AC。代入，我们可得2y=16√3。##

4. ##因此，y=8√3。

5. 综上所述 ，##y=8√3。##

直角三角形; 正弦; 余弦

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

30°-60°-90°三角形的性质

在30°-60°-90°三角形中，30度角所对的边短，是斜边的一半，60度角所对的边则为短边的√3倍。

<note>30°-60°-90°三角形ABC</note>中，<note>角B是30度</note>，<note>角A是60度</note>，<note>角C是90度</note>。<note>边AB是斜边</note>，<note>边y是30度角所对的边</note>，<note>边x是60度角所对的边</note>。根据30°-60°-90°三角形的性质，<note>边y等于边AB的一半</note>，<note>边x等于边y的√3倍</note>。即：<note>y = 1/2 * 16√3</note>，<note>x = y * √3</note>。


Question: 求 G I，如果 G H = 9，G K = 6，且 K J = 4。

Answer: 15

1. 已知 G H = 9, G K = 6, K J = 4，##K H ∥ J I ##。

2. ##根据平行线的平行公理2、平行线的定义和同位角定义，可得∠GKH=∠GJI。根据相似三角形的判定定理(AA)，因为∠GKH=∠GJI，且∠KGH=∠JGI，所以△GKH∽△GJI##。根据相似三角形的定义：对应边成比例，对应角相等。

3. 设相似比例为 k，则有 G H / G I = G K / G J。

4. 根据已知，G K = 6，G J = G K + K J = 6 + 4 = 10。

5. ##将已知条件代入等式可得：9/GI=6/10##。

####

##6. 因此有： G I =90/6= 15##。

##7##. 故经过上述推理，最终得出答案为 G I = 15。

等腰三角形; 线段; 普通三角形

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>在本题图中，三角形 GKH 和三角形 GJI 是相似三角形。</note>根据相似三角形的定义有：<note>∠GKH = ∠GJI, ∠GHK = ∠GIJ, ∠KGH = ∠JGI</note>；<note>GH/GI = GK/GJ = KH/JI</note>。

平行线的定义

在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

<note>线段 KH 和线段 JI 位于同一平面内</note>，并且它们<note>没有交点</note>，因此根据平行线的定义，<note>线段 KH 和线段 JI 是平行线</note>，表示为 <note>KH ∥ JI</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>两条平行线KH和JI</note>被<note>第三条直线GJ所截</note>，形成了以下几何关系：1. <note>同位角：角GKH和角GJI相等</note>。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，<note>同位角相等</note>。

同位角定义

两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。

相似三角形的判定定理(AA)

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。


Question: 使用平行四边形 M N P R 求 m \angle R N P.

Answer: 38

1. 已知条件为平行四边形 M N P R 的内角度数和一些边长的代数表达式。依据##平行四边形的定义##，M N 平行于 RP，MR 平行于 NP。

####

##2. 根据题目中的信息，∠M R N = 38°##。

##3. 因为平行四边形M N P R的边MR平行于边NP，两条平行线被对角线RN所截，形成内错角∠MRN和∠PNR，根据平行线的平行公理2，互为内错角的∠MRN和∠PNR相等，即∠MRN=∠PNR。##

##4. 由图可知∠MRN=38°，则 ∠RNP=∠MRN= 38°##。

####

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为38°。

平行四边形; 对顶角; 邻补角; 内错角

平行四边形的定义

平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。

<note>四边形 M N P R 是一个平行四边形</note>，<note>边 M N 与边 R P 平行且相等</note>，<note>边 M R 与边 N P 平行且相等</note>。######

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

在本题图中，两条平行线<note>MR和NP</note>被第三条直线<note>RN</note>所截，形成了以下几何关系：
1. 同位角：无。
2. 内错角：<note>角MRN和角RNP相等</note>。
3. 同旁内角：<note>角MRP和角RPN互补，即角MRP + 角RPN = 180度</note>；<note>角RMN和角PNM互补，即角RMN + 角PNM= 180度</note>。
这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。####

内错角的定义

<note>两条平行直线MR和NP被一条直线RN截交</note>，其中<note>角MRN和角RNP位于两平行线之间，且在截线RN的对侧</note>，因此<note>角MRN和角RNP是内错角</note>。<note>内错角相等，即角MRN等于角RNP</note>。##


Question:
圆J的半径为10个单位，
\odot K的半径为8个单位，且B C = 5.4个单位。求C K。

Answer: 2.6

1. 已知条件为：##圆K的半径为8个单位，BC的长度为5.4个单位。##

2. ##在圆K中，根据半径的定义，B到K的距离为圆的半径，BK=8##。

3. ##根据图可知，BK=BC+CK##。

4. ##已知BK=8，BC=5.4，则8=5.4+CK，CK=8-5.4=2.6##。

####

##5. ##经过上述推理，最终得出答案为CK = 2.6个单位。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

<note>在本题图中，圆K中，点K是圆心</note>，<note>点B和点D是圆上的任意一点</note>，<note>线段BK和线段KD是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段BK和线段KD是圆K的半径</note>，长度为8个单位。

线段的定义

线段是一个直线的一部分，包含两个端点及其间的所有点。

<note>线段BC是一个直线的一部分</note>，包含<note>端点B和端点C</note>及其间的所有点。线段BC具有两个端点，这两个端点分别是<note>B和C</note>，且<note>线段BC上的每一个点都位于端点B和端点C之间</note>。


Question: 一个正五边形和一个正方形共享一个顶点 X。边 X Y 和 X Z 是第三个正多边形的边，该多边形的一个顶点在 X。这个多边形有多少边？

Answer: 20

1. 已知正五边形和正方形共顶点X，处于同一平面。

2. ##根据正多边形的内角定理可得：##正五边形内角为108度，正方形内角为90度####。

3. 以X为公顶点的角为360度，包含正五边形108度和正方形90度部分，第三个正多边形的##一个内角##为360度 - 108度 - 90度 = 162度。

##4. 根据正多边形的内角定理，正 n 边形的每一个内角等于 (n-2)×180°/n，n为边数。代入可得公式（n-2）*180/n=162，解为n = 20。##

##5##. 最终得出第三个正多边形有20条边。

正多边形; 五边形; 正方形

正多边形的定义

正多边形是指所有边长度相等且所有内角相等的多边形。

正多边形的内角定理

正 n 边形的每一个内角等于 (n-2)×180°÷n

<note>第三个正多边形的中心角为 162 度</note>，由等式 <note>(n-2)×180°÷n=162</note> 可以求得 <note>n = 20</note>。因此<note>第三个正多边形有 20 条边</note>。##


Question: \angle 1 和 \angle 2 形成一对线性对角，且 m \angle 2 = 67。求 \angle 1 的度数。

Answer: 113

1. 根据题意，∠1和∠2组成一对线性对。即∠1和∠2是相邻且互补的角。根据##邻补角的定义##，两个角的度数之和等于180度。

2. 已知∠2的度数为67度，因此可以用##邻补角的定义##求解∠1的度数。

3. 根据##邻补角的定义##，∠1 + ∠2 = 180度。

4. 代入已知条件，∠1 + 67度 = 180度。

5. 解此方程，得到∠1 = 180度 - 67度。

6. 计算180度 - 67度 = 113度。

7. 经过上述推理，最终得出答案为113度。

邻补角的定义

两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。

<note>∠1和∠2有一条公共边</note>，它们的另一边<note>互为反向延长线</note>，所以<note>∠1和∠2互为邻补角</note>。

补角的定义

如果两个角的和为180度，那么这两个角互为补角。

在本题图中，<note>线性对的性质表明，∠1和∠2是互补角</note>，<note>其度数之和为180度</note>。


Question: 求x。

Answer: 4 \sqrt { 2 }

1. ##已知在左上方的小三角形中，三角形的一个角为45度，且该三角形含有一个直角，因此该三角形是一个直角三角形。

2. 在直角三角形中使用正弦函数，有：x/8=sin（45度）。

3. 代入sin（45度）的值，得到x=4 \sqrt { 2 }。

4. 经过上述推理，最终得出答案为x = 4 \sqrt { 2 }。##

直角三角形; 等腰三角形; 三角形的外角

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>在本题图中，三角形中包含一个直角（90度）</note>，因此该三角形是一个直角三角形。<note>边x和未知边是直角边，边8是斜边</note>。

正弦函数定义

在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。

在本题图中，直角三角形中，<note>45度角是锐角</note>，<note>边x是45度角的对边</note>，<note>边8是斜边</note>。根据正弦函数定义，45度角的正弦值等于<note>对边x与斜边8的比值</note>，即<note>sin(45度) = x / 8</note>。


Question: 求从B到B'的比例。

Answer: \frac { 4 } { 3 }

1. ##设图中三角形为三角形QAB和三角形QA‘B'，其中点Q、点B、点B'在同一条线段上##。我们需要确定从B到B'的比例。

2. ##已知QB = 6，QB' = 8。,所以QB'/QB=8/6=4/3##。

####

##3##. 所以从B到B'的比例是4 : 3。

线段的定义

线段是一个直线的一部分，包含两个端点及其间的所有点。

在本题图中，<note>线段QB'是一个直线的一部分</note>，包含<note>端点Q和端点B'</note>及其间的所有点。<note>线段QB'具有两个端点，这两个端点分别是Q和B'</note>，且线段QB'上的每一个点都位于<note>端点Q和端点B'之间</note>。####


Question: 圆I是三角形ABC的内切圆,D,E,F为3个切点,若∠DEF=52°,则∠A的度数为()

Answer: 76°

1.## 已知圆 I 是三角形 ABC 的内切圆，D, E, F 分别是切点。连接DI,FI##。

2. ##由图可知，∠DEF符合圆周角定义，是弧DF所对的圆周角，∠DIF符合圆心角定义，是弧DF所对的圆心角##。

3. ##依据圆周角定理，有∠DIF＝2∠DEF＝52°×2＝104°##

4.##由圆的切线性质可知，∠IDA＝∠IFA＝90°##

5.##依据四边形的内角和定理，可知四边形ADIF的内角和为360°，即∠A＋∠IDA＋∠IFA＋∠DIF＝360°##

6.##将∠IDA＝∠IFA＝90°，∠DIF＝104°带入上式整理，可得∠A＝76°##

7.##经过上述推理，最终得出答案为 76°##

####

圆; 切线; 内错角; 普通三角形; 圆内接四边形

内切圆

内切圆是一个与多边形各边均相切的圆，其中心称为内心，且内心到多边形各边的距离相等。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

<note>在本题中，圆I中，点D、E、F在圆上</note>，<note>弧DEF与弧DF对应的圆心角为∠DIF</note>，圆周角为<note>∠DEF</note>。根据圆周角定理，<note>∠DEF等于它所对的弧DEF所对应的圆心角∠DIF的一半，即∠DEF = 1/2 ∠DIF</note>。

四边形的内角和定理

在任意四边形中，四个内角的和为360°。

<note>角IDA</note>、<note>角IFA</note>、<note>角DIF</note>和<note>角A</note>是四边形的四个内角，根据四边形的内角和定理，这四个内角的和为360°，即<note>角IDA + 角IFA + 角DIF + 角A = 360°</note>。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角

<note>圆I中，角DEF的顶点(点E)在圆周上</note>，<note>角DEF的两边分别与圆I相交于点D和点F</note>。因此，<note>角DEF是一个圆周角</note>##。##

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直


Question: 求 x。

Answer: 10 \sqrt { 3 }

1. 已知直角三角形中，一个角为60°，根据三角形内角和定理，得出最后一个角为30°。
<br####

##2##. 在本三角形中，角的对边关系是：边长x为##角30°的邻边##，已知长为20的边为##直角三角形的斜边##。##因此根据余弦函数: cos(30°) = x/ 20##。

####

##3. 计算方程，结果为 x = 10√3。##

##4. 经过以上推理，最终得到答案为 x = 10√3。##

直角三角形; 正弦; 余弦

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>边x和边y的夹角是直角（90度）</note>，因此该三角形是一个直角三角形。<note>边x和边y是直角边</note>，<note>边20是斜边</note>。

余弦函数

余弦函数是一个三角函数，它可以通过直角三角形中的边来定义，对于一个角α，它的余弦值等于角α的邻边与斜边的比值。

<note>直角三角形中，边x是角30°的邻边，边20是斜边</note>。因此，根据余弦函数的定义，<note>角30°的余弦值等于邻边x与斜边20的比值</note>，即<note>cos(30°) = x / 20</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

在本题图中，<note>直角三角形</note>中，<note>角90°</note>、<note>角60°</note>和<note>角30°</note>是三角形的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>角90° + 角60° + 角30° = 180°</note>。


Question: 求 y。

Answer: 6 \sqrt { 2 }

1. 已知条件为在直角三角形中，已知##斜边##为12，且一个锐角为45°####。

2. 因为在直角三角形中，一个锐角为45°，所以这是一个45°-45°-90°三角形。对于45°-45°-90°三角形，两条直角边相等，斜边等于直角边的根号2倍。

3. 根据以上性质，边x与##边y##等，于是##x=y=6√2##。

####

##4##. 经过上述推理，最终得出结果为y=##6√2##。

直角三角形; 正弦; 余弦; 正切

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>角为直角（90度）</note>，因此该三角形是一个直角三角形。<note>边y和边x是直角边，边12是斜边</note>。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>在本题图中</note>，直角三角中，<note>一个角是直角（90度）</note>，<note>边x和y是直角边</note>，<note>边12是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>12² = x² + y²</note>。

直角三角形的锐角互补性质

在直角三角形中，除了直角之外的两个角之和为90°。

<note>直角三角形中，一个角是直角（90度）</note>，根据<note>直角三角形的锐角互补性质</note>，另外<note>两个角的和为90度</note>，即<note>45度角 + 未知角 = 90°</note>。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

<note>等腰三角形中，两个锐角相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，<note>相等的角对应的边相等，即边x = 边y</note>。


Question: 在 \\odot B 中，C E = 13.5。求 B D。四舍五入到小数点后两位。

Answer: 4.29

1. ##已知圆 B 的半径 AB = 8，根据弦的定义，CE 为圆O上的弦， CE = 13.5，AF垂直于CE于点D。##

####

##2. AF 垂直于 CE 且经过圆心 B，按照垂径定理，CE 被 BD 垂直平分，所以 CD = DE。根据 CE = CD + DE，得 CD =13.5 / 2 = 6.75。##

####

##3. 在直角三角形 BDC 中，BC 为圆B的半径，BC =AB =8，根据勾股定理（毕达哥拉斯定理），BD^2 + CD^2 = BC^2。##

##4##. 将已知的 CD = 6.75 和 BC = 8 代入方程，得到 BD^2 + 6.75^2 = 8^2。

##5##. 计算 6.75^2 = 45.5625 和 8^2 = 64，代入得到 BD^2 = 64 - 45.5625。

##6##. 计算 64 - 45.5625 = 18.4375。

##7##. 最后，BD = √18.4375。

##8##. 计算 BD = 4.2935，四舍五入到最近的百分位 BD ≈ 4.29。

##9##. 经过上述推理，最终得出答案为 4.29。

圆; 垂线; 垂直平分线; 弦

弦的定义

弦是连接圆上任意两点的线段。

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

<note>线段 AF 是直径，连接了圆心 B 和圆周上的 C、E 两点</note>，长度为2倍的半径，即 <note>AF = 2 * AB</note>。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

<note>圆 B 中，点 B 是圆心，点 A 和点 F 是圆上的任意一点</note>，<note>线段 BA 和线段 BF 是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段 BA 和线段 BF 是圆 B 的半径</note>，长度为 8。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

在本题图中，三角形 BCD 中，<note>角 BDC 是直角（90度）</note>，因此<note>三角形 BCD 是一个直角三角形</note>。<note>边 BD 和边 CD 是直角边</note>，<note>边 BC 是斜边</note>。

垂径定理

如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>在直角三角形BDC中，∠BDC是直角（90度）</note>，<note>边BD和CD是直角边</note>，<note>边BC是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>BC^2 = BD^2 + CD^2</note>。


Question: 一个正方形内接于半径为6英寸的圆中。求正方形的边长。

Answer: 6 \sqrt 2

1. ##设正方形ABCD内接于圆O，根据直径的定义##，圆的直径等于两倍半径，所以圆的直径为12英寸。

2. ##根据正方形的定义，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC=CD=DA，连接对角顶点B、D形成对角线BD，根据(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角，得BD是直径，则BD=12##。

3. 因为AB=DA，∠BAD=90°，根据等腰直角三角形的定义，△ABD是等腰直角三角形，根据勾股定理（毕达哥拉斯定理），则有AB?+DA?=BD?，即AB?+AB?=BD?；2AB?=BD?##。

4. ##代入数值可得2AB?= 12^2##。

5. 经过计算，得出##2AB? ##= 144，简化得到##AB? ##= 72。

6. 进一步计算，得到##AB## = √72 = 6√2。故正方形的边长为6√2英寸。

7. 最终，我们得出结论：正方形的边长为6√2英寸。

正方形; 圆; 直角三角形; 线段

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

正方形的定义

正方形是一种平面四边形，其四条边相等且四个内角均为直角（90度）。

对角线的定义

对角线是连接多边形一顶点和非相邻顶点的线段。

<note>正方形ABCD</note>中，顶点分别为A、B、C、D，<note>对角线是连接顶点B和非相邻顶点D的线段</note>。因此，<note>线段BD就是正方形ABCD的对角线</note>。

等腰直角三角形的定义

等腰直角三角形是两个边相等且有一个角为90度的三角形。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>等腰直角三角形ABD中</note>，<note>角BAD是直角（90度）</note>，边AB和DA是直角边且相等，边<note>BD是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>BD² = AB² + DA²</note>，即<note>BD² = AB² + AB² = 2AB²</note>。

(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角

半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径


Question: \triangle W X Y \cong \triangle W X Z。求 y。

Answer: 4

####

##1##. 题目已知△WXY##≌##△WXZ，依据全等三角形的定义，##对应边相等，可以##得到XY = XZ。

##2##. 已知XY = 19，XZ = 3y + 7，依据全等边XY = XZ，可得19 = 3y + 7。

##3##. 根据方程19 = 3y + 7，化简得3y = 19 - 7。

##4##. 将19 - 7进行计算，可得3y = 12。

##5##. 解3y = 12得y = 4。

##6##. 经上述推导，最终可以得出答案y的值是4。

等腰三角形; 直角三角形

全等三角形的定义

两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等。

<note>在本题图中，三角形WXY和三角形WXZ是全等三角形</note>，三角形WXY的对应边和对应角与三角形WXZ相等，即：<note>边XY = 边XZ</note>，<note>边WX = 边WX</note>，<note>边WY = 边WZ</note>，同时，对应的角也相等：<note>角WXY = 角WXZ</note>，<note>角WYX = 角WZX</note>，<note>角YWX = 角ZWX</note>。


Question: 求 x。

Answer: 30

1. ##根据图得，T为圆周上的一点，RT是直径，根据圆周角的定义可知，∠RST为圆周角。根据(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角，得到∠RST=90°。##

2. ##根据三角形内角和定理可得，x+2x+∠RST=180°，整理得3x =180°- 90°=90°，即x = 30°。##

####

##3##. 经过上述推理，最终得出答案为30°。

圆的定义

到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。

在本题图中，<note>圆的圆心为圆的中心点</note>，所有点到<note>该中心点的距离相等</note>，其中包括<note>点R、S、T</note>。<note>圆心为图中蓝色点</note>，<note>半径为RT</note>，图中所有到<note>该圆心的距离等于RT的点</note>都在<note>该圆上</note>。

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角

半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。


Question: 求 x。

Answer: 4 \sqrt { 6 }

1. ##设图中有直角符号的三角形三个顶点分别为A、B、C##。

2. ##已知∠ABC = 90°，根据直角三角形的定义，三角形ABC为直角三角形##。

3. ##根据勾股定理##：在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边平方和。公式为：c^2 = a^2 + b^2。

4. 在题中，所求的x是该直角三角形的##直角边AB##，已知##直角边BC为10和斜边AC为14##。

5. 将##图中##提供的边长代入勾股定理公式：##14^2 ##= 10^2 + ##x^2##。

6. 计算得出：x^2 = ##196 -100##。

7. 将结果再开平方：x = ##√96##。

8. 计算出x = ##4√6##。

9. 最终经过计算得出答案为：##x = 4√6##。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

在本题图中，<note>三角形ABC中，角ABC是直角（90度）</note>，因此三角形ABC是一个直角三角形。<note>边BC和边AB是直角边</note>，<note>边AC是斜边</note>。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>直角三角形ABC中</note>，直角边分别为10和<note>4√6</note>，斜边为<note>x</note>。根据勾股定理，<note>14?</note> = 10? +<note>x?</note>。计算得出：<note>√x = 196-100</note>，最终<note>x = 4√6</note>。


Question: 求 T X，如果 E X = 24 且 D E = 7。

Answer: 32

1. ##观察图形可知，红色标注的为直角符号，则∠DEX=90°，根据直角三角形的定义，三角形DEX为直角三角形##。

2.  ##已知EX = 24 且DE = 7，根据勾股定理，可知在直角三角形DEX中，斜边的平方等于两条直角边的平方和，即XD? = EX? + DE?=24?+7?=625##。

3. ##依据上述可得XD?=625，即XD=√625=√25 * √25=25##。

4.  ##根据题意，DE是半径，根据半径的定义，DE = DT= 7##。

5. ##由图可得TX涉及两个部分：DT和XD，已知DT= 7，XD=25，可得出TX=DT+XD=7+25=32##。

####

##6. ##经过上述推理，最终得出答案为32。

直线; 圆; 弦; 垂线; 圆内接四边形

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

<note>在本题图中，圆中，点D是圆心，点E、A、T是圆上的任意一点，线段DE、DA、DT是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段DE、DA、DT是圆的半径</note>，它们的长度相等，都是7。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

线段的定义

线段是一个直线的一部分，包含两个端点及其间的所有点。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>在本题图中，直角三角形DXE中，∠DEX是直角（90度）</note>，<note>边DE和EX是直角边，边DX是斜边</note>，所以根据勾股定理，##DX? = EX? + DE?##。


Question: 用圆心角为120°,半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽(如图所示),则这个纸帽的底面周长是()

Answer: 4πcm

1. 已知该扇形纸片的圆心角为120°，半径为6厘米，##设图中扇形的三个顶点分别为A、O、B##。

2. ##根据圆锥的展开图可知##，圆锥形无底纸帽的底面圆周等于扇形的弧长。

3. ##根据角度与弧度的换算公式，将圆心角换算成弧度得 θ = 120° × (π/180°) = (2π/3)##。

4. ##根据扇形的弧长公式L = θr（其中L为弧长，θ为弧度制的圆心角，r为半径），则弧长L = (2π/3) × 6 = 4π ##cm。

5. ##计算得出纸帽的底面周长是##4π厘米。

6. 综上所述，纸帽的底面周长是4π厘米。

圆心角; 扇形; 圆锥; 圆

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

<note>圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O</note>。<note>连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角</note>，圆心角度数为120°。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

<note>圆心到圆周上任意一点的线段长度为6厘米</note>，因此该线段是扇形的半径。

扇形的弧长公式

扇形的弧长L等于圆心角θ（以弧度制表示）乘以半径r：L = θr。

在本题图中，<note>圆锥形无底纸帽的底面圆周等于扇形的弧长</note>。<note>扇形的圆心角为120°</note>，<note>半径为6厘米</note>。根据扇形的弧长公式，<note>弧长L等于圆心角θ（以弧度制表示）乘以半径r，即L = θ * r</note>。因此<note>弧长L= (2π/3) × 6</note>。

圆锥的展开图

一个圆锥体的展开图是一个扇形，扇形的半径是圆锥体的斜高，扇形的弧长是圆锥体底面圆的周长。

<note>圆锥体的展开图是一个扇形</note>。扇形的半径是<note>圆锥体的斜高OA</note>，扇形的弧长是<note>圆锥体底面圆的周长</note>。####

角度与弧度的换算公式

弧度 = 角度*（π/180），角度 = 弧度*（180/π）。

<note>图形OAB中</note>，<note>AOB的角度是120°</note>，根据<note>角度与弧度的换算公式</note>，换算为弧度 = 角度*（π/180），即<note>120°*（π/180）</note>。

扇形的定义

由一个圆的两条半径与它们所夹的圆弧组成的图形称作扇形。

<note>扇形OAB中，半径OA和半径OB是圆的两条半径，圆弧AB是由这两条半径所夹的圆弧</note>，所以根据扇形的定义，由这两条半径和它们所夹的<note>圆弧AB</note>组成的图形为<note>扇形</note>。####

圆锥

圆锥是一种几何图形，有一个圆形的底和一个顶点，它的侧面为一曲面。

<note>圆锥的底面是一个圆形</note>。<note>圆锥的顶点为点O</note>，顶点O与圆心之间的距离为圆锥的高。圆锥的侧面是一个曲面，<note>从顶点O到圆周上的任意一点的距离为6 cm</note>。


Question: 使用平行四边形 J K L M 找到 m \angle K J L.

Answer: 30

1. 已知平行四边形 J K L M，根据##平行四边形的定义，可以得出 J K 平行于 ML ##。

2. 根据##平行线的平行公理2，内错角相等，因此∠JLM=∠KJL##。

3. ##已知∠JLM=30°，所以∠KJL=30°##。

####

##4##. 经过上述推理，最终得出答案为 ∠K J L = 30°。

平行四边形; 对顶角; 邻补角; 内错角

平行四边形的定义

平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。

<note>四边形 JKLM 是一个平行四边形</note>，其中<note>边 JK 与边 ML 平行且相等</note>，<note>边 JM 与边 KL 平行且相等</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>在本题图中，两条平行线JK和ML</note>被第三条直线<note>JL所截</note>，形成了以下几何关系：内错角：<note>角JLM和角KJL相等</note>。这说明了在两条平行线被第三条直线所截时，内错角相等。


Question: 求 x。

Answer: \sqrt { 21 }

1. 设三角形三个顶点分别为A、B、C，##由图可得其中一个角为90度，根据直角三角形的定义，该三角形为直角三角形。并且图中##三角形的一条直角边长度为2，另一条直角边长度为未知的x，斜边的长度为5。

2. 依据勾股定理，在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。具体而言，若直角边分别为a, b，斜边为c，则有c^2 = a^2 + b^2。在本题中，令a=2, b=x, c=5。

3. 将已知的边长代入勾股定理，得到5^2 = 2^2 + x^2。

4. 计算5^2得25，2^2得4，将这些值代入方程，得到25 = 4 + x^2。

5. 通过解方程25 = 4 + x^2，首先将4移到等式的左边，得到25 - 4 = x^2，即x^2 = 21。

6. 通过对等式x^2 = 21取平方根可以得出x = √21。

7. 最终，得出直角三角形中x的值为√21。

直角三角形; 直线; 余弦

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>角是直角（90度）</note>，因此这个三角形是一个<note>直角三角形</note>。<note>边长为2和x的是直角边</note>，<note>边长为5的是斜边</note>。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

在本题中，三角形是一个直角三角形，其中<note>一个角标有直角符号</note>。已知一条直角边的长度为2，另一条直角边的长度为x，斜边的长度为5。根据勾股定理，有<note>5² = 2² + x²</note>，即25 = 4 + <note>x²</note>。


Question: 圆A有直径DF和PG。如果DF = 10，求DA。

Answer: 5

1. ##已知 D F 是圆 A 的直径，且 D F = 10。根据半径的定义，D A 为圆A的半径。##

2. 圆 A 的直径 D F = 10，那么根据直径的定义，圆 A 的半径等于直径的一半，即圆的半径为 10 / 2 = 5。

####

##3##. 经过上述推理，最终得出 D A 的值为 5。

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

<note>在本题图中，DF是直径</note>，连接了<note>圆心A</note>和<note>圆周上的D、F两点</note>，长度为<note>2倍的半径</note>，即<note>DF = 2 * DA</note>。

圆的定义

到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆

<note>圆A</note>中，<note>点A是圆心</note>，<note>半径为DA</note>。图中所有到<note>点A的距离等于 10/2 = 5 的点</note>都在<note>圆A</note>上。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

<note>圆A中，点A是圆心</note>，<note>点D是圆上的任意一点</note>，<note>线段AD是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段AD是圆的半径</note>。


Question: 求 x。

Answer: 9

1. ##设图中三角形为ABC，60°角顶点为A点，直角顶点为C点，第三个角的顶点为B点。##已知直角三角形中∠ACB=90°，∠BAC=60°。

2. 根据##三角形内角和定理##，三角形三个角的内角和是180°，所以∠CAB + ∠CBA + ∠ACB = 180°。

3. 已知∠ACB = 90°且∠BAC = 60°，代入得60° + ∠CBA + 90° = 180°。

4. 解方程得∠CBA = 30°。

5. 根据正弦定理，在直角三角形里，sin∠CBA = ##对边AC/斜边AB##，在本题中就是x/18。

6. sin(30°) = 1/2，代入等式得到1/2 = x/18。

7. 用交叉相乘法解方程得x = 18 * 1/2。

8. 经过上述推理，x = 9。

9. 最后得出答案为x = 9。

直角三角形; 正弦; 余弦

正弦函数定义

在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。

<note>直角三角形中，角60°是锐角</note>，<note>边x是角60°的对边</note>，<note>边18是斜边</note>。根据正弦函数定义，角60°的正弦值等于<note>对边x与斜边18的比值</note>，即<note>sin(60°) = x / 18</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形ABC中，角ACB、角BAC和角CBA是三角形ABC的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角ACB + 角BAC + 角CBA = 180°</note>。


Question: 求x。

Answer: 24 \sqrt { 3 }

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

在本题图中，三角形中，<note>直角位于左上角</note>，因此该三角形是一个直角三角形。<note>边24和边x是直角边</note>，<note>边y是斜边</note>。

30°-60°-90°三角形的性质

在本题图中，30°-60°-90°三角形中，<note>设角C是90度，AC=24，AB=y，BC=x</note>。根据30°-60°-90°三角形的性质，<note>边AC等于边AB的一半</note>，<note>边BC等于边AC的√3倍</note>。即：<note>AC = 1/2 * AB，BC = AC * √3</note>。

余弦函数

余弦函数是一个三角函数，它可以通过直角三角形中的边来定义，对于一个角α，它的余弦值等于角α的邻边与斜边的比值

<note>在本题图中，直角三角形中，边x是三角形的邻边，边y是斜边</note>。因此，根据余弦函数的定义，<note>角30°的余弦值等于邻边x与斜边y的比值，即cos(30°) = x/ y</note>。##


Question: 如图,已知⊙O中,圆心角∠AOB=100°,则圆周角∠ACB等于().

Answer: 130°

1. 已知劣角∠AOB = 100°，可知优角∠AOB=360°-100°＝260° 。

2. ##优弧AOB所对的圆心角是优角∠AOB＝260° ，所对的圆周角为∠ACB##。

3. ##由圆周角定理可知，∠ACB＝优角∠AOB/2＝130°##。

4. ##经过上述推理，最终得出答案为∠ACB = 130°##。

 ####

圆; 圆心角; 圆周角; 弧; 弦

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

在本题图中，圆O中，<note>角ACB的顶点C在圆周上</note>，<note>角ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B</note>。因此，<note>角ACB是一个圆周角</note>。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。


Question: 求 x。

Answer: 90

1. 已知图中角为直角，根据直角的定义，直角的度数为90°。

2. 根据图中给出的信息，角x是直线上的另一个角，与直角相邻。

3. 根据邻补角的定义，两个邻补角的和为180°。

4. 因此，角x + 90° = 180°。

5. 解这个方程，角x = 180° - 90°。

6. 经过计算，角x = 90°。

7. 所以，最终得出答案为90°。

邻补角的定义

<note>角x和直角有一条公共边</note>，它们的<note>另一边互为反向延长线</note>，所以<note>角x和直角互为邻补角</note>。根据邻补角的定义，<note>角x + 90° = 180°</note>。


Question: 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,则sinB的值等于()

Answer: \frac{4}{5}

1. 已知在直角三角形ABC中，##∠C##=90°，AC=4，BC=3。

2. 根据##勾股定理（毕达哥拉斯定理）##，在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和，即##AB?= AC?+ BC?##。

3. 代入已知条件，得到##AB? = 4? + 3?##。

4. 计算得出##AB? ##= 16 + 9 = 25。

5. 进而得出AB = √25 = 5。

6. 根据##正弦函数定义##，##sin∠B ##= 对边/斜边。

7. 在本题中，##sin∠B ##= AC/AB。

8. 将数值代入，得到##sin∠B ##= 4/5。

9. 经过上述推理，最终得出答案为4/5。

直角三角形; 正弦; 线段

正弦函数定义

在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>角C是直角（90度）</note>，边AC和BC是直角边，边AB是斜边，所以根据勾股定理，<note>AB?= AC?+ BC?</note>。


Question: 求图形的面积。如有必要，四舍五入到十分位。

Answer: 95

1. 题目已知条件为：一个梯形的上底是8公里，下底是11公里，高度是10公里。

2. 梯形的面积计算公式为：面积 = （上底 + 下底） * 高 / 2。

3. 代入已知条件，上底 = 8公里，下底 = 11公里，高 = 10公里，计算可得梯形的面积 = （8 + 11）* 10 / 2。

4. 计算步骤如下：

   a. 8 + 11 = 19。

   b. 19 * 10 = 190。

   c. 190 / 2 = 95。

5. 所以，梯形的面积为95平方公里。

梯形; 垂线; 普通四边形

梯形的定义

梯形是一种四边形，有且仅有一对平行边。

在本题图中，梯形由两条平行边，即<note>上底（8公里）</note>和<note>下底（11公里）</note>，以及两条非平行边构成。因此，根据<note>梯形的定义</note>，该图形是一种<note>梯形</note>，因为它<note>有且仅有一对平行边</note>。

高的定义

从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。

<note>从上底到下底的垂线距离10公里是梯形的高</note>。<note>该垂线与上底和下底形成一个直角（90度）</note>，这说明该垂线是从上底到下底的垂直距离。

梯形面积公式

给定梯形的两条平行边长度 a 和 b，以及它们之间的高度 h，梯形的面积为 (a + b) * h / 2。

<note>梯形的上底是8公里，下底是11公里，高度是10公里</note>，所以梯形的面积为(8 + 11) * 10 / 2。


Question: 求 m \angle Z。

Answer: 110

1. 已知四边形 WXYZ 是一个四边形，四个内角的度数分别为 ∠X = a°, ∠Y = (a-28)°, ∠Z = (a+2)°, 和 ∠W=(1/2a+8)°。

2. 根据##四边形的内角和定理##，四边形的四个内角和为 360°。因此，可以列出方程 a + (a - 28) + (a + 2) + (1/2a + 8) = 360。

3. 解方程：先合并同类项，得到 3.5a - 18 = 360。

4. 将方程左边和右边都加 18，得到 3.5a = 378。

5. 接下来，将方程两边除以 3.5，求解 a，即 a = 378 / 3.5。

6. 由此计算得出 a = 108。

7. 将 a 的值代入 ∠Z 的表达式 (a + 2)，得到 ∠Z = (108 + 2)°。

8. 经过计算得到 ∠Z = 110°。

9. 经过上述推理，最终得出答案为 ∠Z = 110°。

平行四边形; 三角形的外角; 邻补角

四边形定义

<note>四边形WXYZ</note>由四条线段<note>WX, XY, YZ和WZ</note>组成，这些线段称为四边形的边。<note>四边形WXYZ</note>有四个顶点，分别是<note>点W, 点X, 点Y和点Z</note>，并且有四个内角，分别是<note>角∠W, 角∠X, 角∠Y和角∠Z</note>。####

四边形的内角和定理

在任意四边形中，四个内角的和为360°。

<note>四边形 WXYZ</note> 中，<note>角 ∠X、角 ∠Y、角 ∠Z 和角 ∠W 是四边形的四个内角</note>，根据<note>四边形的内角和定理</note>，这四个内角的和为 360°，即 <note>∠X + ∠Y + ∠Z + ∠W = 360°</note>。


Question: 求解 x 使得四边形是平行四边形。

Answer: 34

1. ##设四边形为平行四边形ABCD（从左上角顺时针方向），根据平行四边形的性质定理和平行四边形的定义，对角相等，对边相等，对角线互相平分，对边平行，所以∠B=∠D，即（3y-4）°=（4x-8）°##。

2. ##根据平行线的平行公理2和内错角的定义，因为AB∥CD，且AB和CD被对角线AC所截，所以角BAC=角ACD（内错角相等），即（x-12）°=（1/2）y°##。

3. ##解方程：x-12=（1/2）y，解得：y=2x-24，将y=2x-24代入方程3y-4=4x-8可得：6x-76=4x-8，左右移动合并可得：6x-4x=-8+76，最终解得：x=34##。

####

##4##. 经过上述推理，x的值为34以使四边形成为平行四边形。

平行四边形; 同旁内角; 内错角; 平行线

平行四边形的定义

平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。

<note>四边形是一个平行四边形</note>，<note>边AB与边CD平行且相等</note>，<note>边AD与边BC平行且相等</note>。根据平行四边形的性质，<note>对角∠B与∠D相等</note>，且<note>对角∠DAB与∠BCD相等</note>。

平行四边形的性质定理

在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。

在本题图中，平行四边形中，<note>对角∠DAB与∠BCD相等，对角∠B与∠D</note>相等；边AB和CD相等，边BC和AD相等；对角线AC和BD互相平分，<note>设两条对角线相较于交点E，交点E</note>将对角线AC分成两段相等的线段AE和EC，将对角线BD分成两段相等的线段BE和ED。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>在本题图中，两条平行线AB和CD被第三条直线AC所截</note>，形成了以下几何关系：1. 同位角：无。2. <note>内错角：角BAC和角ACD相等</note>。3. 同旁内角：无。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，<note>内错角相等</note>。


Question: M N \\parallel B C. 求解 x.

Answer: 9

1. 已知条件为MN ∥ BC，##根据平行线的平行公理2，同位角相等，可以得到∠AMN = ∠ABC，∠ANM = ∠ACB##。

2. ##因为∠AMN = ∠ABC，∠ANM = ∠ACB，根据相似三角形的判定定理AA，所以△AMN与△ABC相似##。

3. 根据相似三角形的##定义，AM/AB = AN/AC##。

4. 由图可知，在△AMN 和△ABC中，已知 AM = 4x - 6, AB = ##24+4x - 6##, AN = 3x - 2, AC = ##20+3x - 2##，##代入AM/AB = AN/AC，得 4x - 6/(24+4x - 6） =3x - 2/(20+3x - 2)##。

5. ##将上述式子化简得4x - 6/18+4x =3x - 2/18+3x ##。

6. ##交叉相乘得到 (4x - 6) * (18+3x) = (3x - 2) * (18+4x)##。

7. 展开并化简方程，得到 ##12x?+54x-108 = 12x?+46x-36##。

8. 将所有x项移到一边，常数项移到另一边##12x?+54x-12x?-46x = 108-36##。

9. 化简得 8x = 72。

10. 解这个方程，得到 x = 9。

11. 经过上述推理，最终得出答案为 x = 9。

平行线的定义

在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

<note>直线MN和直线BC</note>位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，<note>直线MN和直线BC</note>是平行线。

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>在本题图中，三角形AMN和三角形ABC是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义，有：<note>∠MAN = ∠BAC</note>, <note>∠ANM = ∠ACB</note>, <note>∠AMN = ∠ABC</note>；<note>AM/AB = AN/AC = MN/BC</note>。

相似三角形的判定定理(AA)

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。

<note>在本题图中，三角形AMN和三角形ABC中，如果角AMN等于角ABC，且角ANM等于角ACB，所以三角形AMN相似于三角形ABC。</note>

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。


Question: 求 y 使得四边形是平行四边形。

Answer: 4

1. 已知四边形 PQRS 是平行四边形，根据平行四边形的性质，平行四边形内的对角线互相平分。

2. ##所以QT=ST，由图中可知QT=5y，ST=2y+12，所以5y=2y+12##。

3. ##解方程：5y=2y+12，将2y移至=号左方得：5y-2y=12，所以3y=12，最终解得：y=4##。

####

##4. 所以四边形是平行四边形时，y=4。逆向推敲则是当y=4时，四边形会是平行四边形##。

平行四边形; 平行线; 对顶角; 同旁内角

平行四边形的定义

平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。

在本题图中，<note>四边形PQRS是一个平行四边形</note>，<note>边PQ与边RS平行且相等</note>，<note>边PS与边QR平行且相等</note>。####

平行四边形的性质定理

在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。


Question: 如图,四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形,A、B、O是小正方形顶点,⊙O的半径为1,P是⊙O上的点,且位于右上方的小正方形内,则sin∠APB等于()

Answer: \frac{√{2}}{2}

1. 已知四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形的顶点。

2. ##已知圆心角AOB=90°，根据圆周角的定理，∠APB=45°##。

3. ##查表可知sin45°=√2/2##。

####

##3##. 经过上述推理，最终得出答案为√{2}/2。

圆; 正弦; 直角三角形; 正方形; 圆周角

圆的定义

到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。

在本题图中，<note>圆⊙O中，点O是圆心</note>，<note>半径为1</note>。<note>图中所有到点O的距离等于1的点都在圆⊙O上</note>。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

<note>圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O</note>。<note>连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角</note>。####

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。


Question: P Q R S 是一个内接于圆的菱形。求 m \widehat S P。

Answer: 90

1. 已知 PQRS 是一个菱形，且被内接于圆，##菱形的四个顶点都在圆上##。

2. 在圆中，##根据菱形的对角线性质##，菱形的对角线互相平分并且互相垂直。

3. ##设菱形的对角线PR和QS的交点为点O，因为PR⊥QS，所以∠POS为直角，即∠POS=90°##。

4. ##因为圆O为菱形PQRS的外接圆，所以菱形PQRS的对角线的交点为圆O的圆心。弧SP所对圆心角为∠POS，所以弧SP=90°##。

####

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为##弧SP= 90°##。

菱形; 圆; 圆内接四边形; 圆周角

圆的定义

到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。

<note>圆O中，点O是圆心</note>。图中<note>所有到点O的距离等于半径的点都在圆O上</note>。

菱形的定义

菱形是四边都相等的四边形，且对角线互相垂直平分。

<note>四边形 PQRS 中，所有的边 PQ、QR、RS 和 SP 都是相等的</note>，因此四边形 PQRS 是一个菱形。此外，<note>四边形 PQRS 的对角线 PR 和 QS 互相垂直平分</note>，即<note>对角线 PR 和 QS 相交于点 O</note>，且<note>角 POQ 是直角（90度）</note>，并且<note>PO=OR 和 QO=OS</note>。####

菱形的对角线性质

菱形的对角线互相平分且互相垂直。

<note>菱形 PQRS</note> 中，<note>对角线 PR 和对角线 QS 互相平分且互相垂直</note>。具体来说，<note>点 O 是对角线 PR 和 QS 的交点，且 PO = OR 和 QO = OS</note>。同时，<note>角 POS 和角 QOR 都是直角（90度）</note>，所以<note>对角线 PR 和 QS 互相垂直</note>。##

圆心角的性质

圆心角的度数等于它所对的圆弧的度数。

<note>在本题图中，已知圆心角∠POS所对的圆弧为弧SP。</note>根据圆心角的性质，<note>圆心角的度数与所对圆弧的度数相等，即∠POS的度数=弧SP的度数。</note>##


Question: 对于梯形 T R S V，M 和 N 是两条腿的中点。如果 T R = 32 且 M N = 25，求 V S。

Answer: 18

1. 已知条件为T R S V是一个梯形，M和N是梯形的##两腰##，即T V和R S的中点，T R = 32，M N = 25。

2. 根据##梯形中位线定理##，梯形中位线平行于两条底边，且长度为两条底边之和的一半。

3. 设V S为x，则依定理有M N = (T R + V S) / 2。

4. 将已知条件代入上述等式，得到25 = (32 + x) / 2。

5. 解方程25 = (32 + x) / 2，先将等式两边乘以2，得到50 = 32 + x。

6. 解出x，得到x = 50 - 32。

7. 计算结果为x = 18。

8. 因此，经过上述推理，最终得出答案为18。

梯形的定义

梯形是一种四边形，有且仅有一对平行边。

<note>四边形 T R S V</note>中，<note>边 T R 和边 V S 是平行的</note>，而<note>边 T V 和边 R S 不平行</note>。因此，根据梯形的定义，<note>四边形 T R S V 是一种梯形</note>，因为它有且仅有一对平行边。

线段中点

线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。

在本题图中，<note>M 是线段 T V 的中点</note>，即 <note>T M = M V</note>；<note>N 是线段 R S 的中点</note>，即 <note>R N = N S</note>。

梯形中位线定理

梯形的中位线是连接两腰中点的线段，这条线段平行于两条底边，并且长度等于两条底边长度和的一半。

<note>梯形 T R S V 中，边 T R 和边 V S 是梯形的两条底边</note>，<note>点 M 和点 N 是梯形两腰 T V 和 R S 的中点</note>，<note>线段 M N 是连接两腰中点的中位线</note>。根据梯形中位线定理，<note>线段 M N 平行于边 T R 和边 V S</note>，并且<note>线段 M N 的长度等于边 T R 和边 V S 长度和的一半</note>，即 <note>M N = (T R + V S) / 2</note>。


Question: 求平行四边形的周长。如果需要，四舍五入到最接近的十分位。

Answer: 76

1. 已知条件为：这是一个平行四边形，其中##一条##边长为21英尺，另##一条边长##为17英尺。##根据平行四边形的性质定理##，即平行四边形的两组对边相等。####

2. 由上一步，我们可以得出平行四边形的四条边分别为21英尺和17英尺各有两条，##根据平行四边形的周长，可知##平行四边形的周长公式为：周长 = 2*a + 2*b，其中a和b是平行四边形相邻边的长度。

3. 代入已知边长，平行四边形的周长计算为：周长 = 2*21 + 2*17 = 42 + 34 = 76英尺。

4. 经过上述推理，最终得出答案为76英尺。

平行四边形的定义

平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。

<note>平行四边形的两组对边分别为21英尺和17英尺</note>，21英尺的两条对边<note>平行且相等</note>，<note>17英尺的两条对边平行且相等</note>。

平行四边形的性质定理

在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。

平行四边形的周长

平行四边形的周长等于其两组邻边的两倍之和。公式为：P = 2(a + b)，其中a和b为平行四边形的两条邻边。

<note>平行四边形的两组对边长度分别为 21 英尺和 17 英尺</note>。根据<note>平行四边形的周长公式</note>，平行四边形的周长等于其两组邻边的两倍之和，即<note>周长P = 2(21 + 17) = 76 英尺</note>。


Question: 求x。

Answer: 16

1.根据已知条件，在三角形LMN中，角MLN = 65°，角LMN = 51°，我们可以使用三角形内角和定理求出角LNM。

2. 三角形内角和定理指出，三角形的内角和为180°。因此，角LNM = 180° - 角MLN - 角LMN。

3. 计算可得：角LNM = 180° - 65° - 51° = 64°。

4. ##已知角MLN=角YZX，角LMN=角ZYX，根据相似三角形的判定定理(AA)，得出三角形XYZ和三角形LMN相似。##

5. ##根据相似三角形的定义可以得出，∠LNM=∠ZXY=(4x)°=64°。##

6. 因此，我们可以得到4x = 64。解这个方程能得出x的值。

7. 计算得出x = 64° / 4。

8. 简化计算，得出x = 16。

普通三角形; 三角形的外角

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

相似三角形的判定定理(AA)

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形LMN中</note>，角MLN、角LMN和角LNM是<note>三角形LMN的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角MLN + 角LMN + 角LNM = 180°</note>。##

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>三角形XYZ和三角形LMN是相似三角形</note>。根据<note>相似三角形的定义</note>有：<note>角MLN = 角YZX</note>, <note>角LMN = 角ZYX</note>, <note>角LNM = 角ZXY</note>；<note>ML/YZ = LN/ZX = MN/YX</note>。##


Question: 如图,AB,CD是⊙O的两条弦,连接AD,BC,若∠BCD=50°,则∠BAD的度数为()

Answer: 50°

1. 已知∠BCD=50°。

2. ##圆周角定理推论1，在一个圆中，任意两个与同一弧相对应的圆周角相等，∠BAD和∠BCD对应同一弧BD，##因此∠BAD=∠BCD。

3. 由步骤2可得∠BAD=50°。

4. 经过上述推理，最终得出答案为50°。

圆; 弦; 圆周角; 内错角; 圆内接四边形

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

在本题图中，圆⊙O中，<note>角∠BCD的顶点C在圆周上</note>，<note>角∠BCD的两边分别与圆⊙O相交于点B和点D</note>。因此，<note>角∠BCD是一个圆周角</note>。同样，<note>角∠BAD的顶点A在圆周上</note>，<note>角∠BAD的两边分别与圆⊙O相交于点B和点D</note>。因此，<note>角∠BAD也是一个圆周角</note>。

圆周角定理推论1

在一个圆中，任意两个与同一弧相对应的圆周角相等


Question: 如图,△ABC是⊙O的内接三角形,∠OAB=35°,则∠ACB的度数为()

Answer: 55°

1已知∠OAB=35°，由于OA和OB都是半径，所以OA=OB，依据等腰三角形性质，得出∠OBA=∠OAB=35°。

2. 由于在△OAB中，三角形内角和为180°，根据内角和定理，即∠OAB + ∠OBA + ∠AOB=180°，得出∠AOB=180° - 35° - 35° = 110°。

3. 根据##圆周角定理，圆周角等于所对的弧所对应的##圆心角的一半，得出∠ACB=1/2 ∠AOB。

4. 代入得出∠ACB=1/2 * 110° = 55°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为：∠ACB = 55°。

圆; 圆周角; 三角形的外角; 普通三角形

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

<note>等腰三角形OAB中，边OA和边OB相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的<note>角相等，即角OAB = 角OBA = 35°</note>。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

在本题图中，圆O中，<note>角ACB的顶点C在圆周上</note>，<note>角ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B</note>。因此，<note>角ACB是一个圆周角</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形OAB中，∠OAB、∠OBA和∠AOB是三角形OAB的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>∠OAB + ∠OBA + ∠AOB = 180°</note>。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

在本题图中，圆O中，<note>点A、B、C在圆上</note>，<note>弧AC与弧CB对应的圆心角为∠AOB = 110°</note>，圆周角为<note>∠ACB</note>。根据圆周角定理，<note>∠ACB等于它所对的弧AC所对应的圆心角∠AOB的一半</note>，即<note>∠ACB = 1/2 ∠AOB</note>。

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

<note>圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O</note>。<note>连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角</note>。


Question: 求风筝中的 G H。

Answer: \sqrt { 369 }

1. ##已知筝形FGHJ，设对角线FH与GJ相交于O点，由图知GO=12，HO=15，根据筝形的性质，得FH⊥GJ，则∠GOH=90°##。

2. ##因为∠GOH=90°，根据直角三角形的定义，△GOH是直角三角形##。

3. ##在Rt△GOH中，根据勾股定理，得GH? = GO?  + HO? ##。

4. ##将数值代入等式得 GH? = 12?+15?=144 + 225 = 369，计算得GH = √369##。

5. 经过上述计算，最终得出答案为 √369。

菱形; 等腰三角形; 垂直平分线

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>直角三角形GOH中，角GOH是直角（90度）</note>，边<note>GO和HO是直角边</note>，边<note>GH是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>GH² = GO² + HO²</note>。

筝形的定义

筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边形

<note>四边形FGHJ</note>存在<note>一条对角线FH所在直线为对称轴</note>，使得四边形沿该直线对折后完全重合，因此该四边形为筝形。

筝形的性质

筝形的两条对角线互相垂直，并且其中只有一条对角线被另一条平分。

<note>筝形FGHJ的对角线FH和GJ相交于点O</note>。根据筝形的性质，<note>其两条对角线FH与GJ互相垂直，即FH⊥GJ</note>，且只有其中<note>一条对角线GJ被另一条对角线FH平分，即GO=JO</note>。


Question: 在 riangle C D F 中，K 是重心且 D K = 16。求 C D。

Answer: 18

1. ##已知DG = 9，K是三角形CDF的重心，依据重心定理，重心是三角形的三条中线交于一点，则FG为三角形 CDF 以F 为顶点，向CD 作出的一条中线。##

2. ##根据三角形中线的定义，FG 平分CD于点G，即 DG = GC。##

3. ## 因此DG = GC = 9，CD =DG +GC = 9+9 =18。##

####

##4##. 经过上述推理，最终得出答案为18。

普通三角形; 线段; 中点

三角形中线的定义

中线是从三角形一个顶点到对边中点的线段。

<note>顶点F是三角形的一个顶点，对边CD是与顶点F相对的边</note>。点G是<note>边CD的中点，线段FG是从顶点F到对边CD中点G的线段</note>，<note>点G平分CD，即DG = GC</note>。


Question: 如图,圆内接四边形ABCD中,圆心角∠1=100°,则圆周角∠ABC等于()

Answer: 130°

1. 已知圆心角∠AOD=100°。

2. ##根据圆周角定理，##圆周角∠ADC等于对应的圆心角∠AOC的一半，得∠ADC=1/2∠AOC=50°##。

3. 由于ABCD是圆内接四边形，根据##(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理##，即∠ABC+∠ADC=180°。

4. 已知∠ADC=50°，则∠ABC=180°-50°=130°。

5. 所以最终得出结论，∠ABC=130°。

圆内接四边形; 圆心角; 圆周角; 弦; 圆

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

在本题图中，圆O中，点A、B、C、D在圆上，<note>弧AD对应的圆心角为∠AOC，圆周角为∠ADC</note>。根据圆周角定理，<note>∠ADC等于它所对的弧AD所对应的圆心角∠AOC的一半，即∠ADC = 1/2 ∠AOC</note>。

(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理

在一个圆内接四边形中，每一对对角的和等于180°。并且任何一个外角都等于他的内对角。

<note>四边形ABCD是圆内接四边形，四边形的顶点A、B、C、D都在圆上</note>。根据圆内接四边形对角互补定理，<note>四边形ABCD的每一对对角的和等于180°</note>。具体来说，<note>∠ABC + ∠ADC = 180°；∠BAD + ∠BCD = 180°</note>。

内接四边形

内接四边形是指一个四边形的全部四个顶点都在同一个圆上。这个圆称为四边形的外接圆。

在本题图中，<note>四边形ABCD的四个顶点A、B、C和D都在同一个圆上</note>。这个圆称为<note>四边形ABCD的外接圆</note>。因此，<note>四边形ABCD是一个内接四边形</note>。根据内接四边形的性质，可以得出<note>对角相加等于180度</note>，即<note>角ABC + 角ADC = 180度</note>，<note>角BAD + 角BCD = 180度</note>。##

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

<note>圆O中，角ADB的顶点(点D)在圆周上</note>，<note>角ADC的两边分别与圆O相交于点A和点C</note>。因此，<note>角ADC是一个圆周角</note>。


Question: 求 x 使得 G J \\parallel F K。G H = x + 3.5, H J = x - 8.5, F H = 21, H K = 7。

Answer: 14.5

1. ##已知 GJ ∥ FK， GH = x + 3.5，HJ = x - 8.5，FH = 21，HK = 7##。

2. ##根据平行线的平行公理2和同位角定义，∠HGJ=∠HFK。根据相似三角形的判定定理(AA)，∠HGJ=∠HFK，∠GHJ=∠FHK，因此三角形 GHJ 相似于三角形 FHK##。

3. ##根据相似三角形的定义，因此有 GH/FH = HJ/HK。

4. 代入已知条件，(x + 3.5) / 21 = (x - 8.5) / 7。

5. 交叉相乘得到 7(x + 3.5) = 21(x - 8.5)。

6. 展开括号得到 7x + 24.5 = 21x - 178.5。

7. 整理方程，移项得 21x - 7x = 24.5 + 178.5。

8. 化简方程得 14x = 203。

9. 解方程，x = 203 / 14。

10. 进一步简化，x = 14.5。

11. 经过上述推理，最终得出答案为 x = 14.5。

平行线的定义

在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

在本题图中，<note>直线 GJ</note> 和 <note>直线 FK</note> 位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，<note>直线 GJ 和直线 FK 是平行线</note>。

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>三角形GHJ和三角形FHK是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>∠GHJ = ∠FHK</note>, <note>∠HGJ = ∠HFK</note>, <note>∠GJH = ∠FKH</note>；<note>GH/FH = HJ/HK = GJ/FK</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>两条平行线GJ和FK</note>被第三条<note>直线HF</note>所截，形成了以下几何关系：1. <note>同位角：角HGJ和角HFK</note>相等。这些关系说明了在<note>两条平行线被第三条直线所截</note>时，<note>同位角相等</note>，<note>内错角相等</note>，<note>同旁内角互补</note>。

相似三角形的判定定理(AA)

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。


Question: 求 X W。

Answer: 12

1. 已知条件为WZ = ZY，且XZ垂直于WY，Z为WY的中点，##所以根据垂直平分线的定义，##XZ为WY的##垂直平分线##。

2. 由于XZ是WY的##垂直平分线，根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等，因此WX = XY。##

####

##3##. 通过题目图示，给出XY的长度为12。

##4## 因此可以推断WX也等于12。

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为12。

等腰三角形; 垂直平分线; 中点; 直角三角形

线段中点

线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。

<note>线段WY的中点为点Z</note>。根据线段中点的定义，<note>点Z将线段WY平分为两个相等的部分</note>，即<note>线段WZ和线段ZY的长度相等</note>。即，<note>WZ = ZY</note>。

垂直平分线的定义

经过线段中点且垂直于该线段的直线。

垂直平分线的性质

垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等


Question: 利用平行四边形 A B C D 求 A D。

Answer: 18

1. ##由图可得在平行四边形A B C D中，边B C = 18##。

2. 根据平行四边形的##定义##，平行四边形对边相等，即A D = B C。

3. 由上述性质得出，A D = 18。

平行四边形的定义

平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。


Question: 在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后,截面如图．若油面的宽AB=160cm,则油的最大深度为()

Answer: 40cm

1.连接##OA，OB##，过圆心O作垂线OE垂足于AB的中点M。

2. 根据垂径定理，直径垂直于任一弦并且平分该弦，因此OM垂直于AB且M为AB的中点。

3. 根据题意，AB的长度为160cm，而M点为AB的中点，所以AM=80cm。

4. 圆的半径为200cm的一半，即OA=100cm。

5. 在直角三角形OAM中，依据勾股定理，##可得OM?=OA?-AM?=100?-80?=3600?。OM=√3600=60##

####

##6##. 因为油面的最高点是##M##，所以油槽的深度即为半径##OE减去OM##的长度，因此最大深度为100cm - 60cm = 40cm。

8. 经过上述推理，最终得出答案为油的最大深度为40cm。

圆; 弦; 直角三角形; 正弦; 垂线

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

在本题图中，<note>直径为AB</note>，<note>连接了圆心O和圆周上的A、B两点</note>，长度为2倍的半径，即<note>AB = 2 * 100cm = 200cm</note>。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段。

在本题图中，<note>圆O中，点O是圆心，点A和点B是圆上的任意一点，线段OA和线段OB是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段OA和线段OB是圆的半径</note>，其长度为100cm。

弦的定义

弦是连接圆上任意两点的线段。

<note>圆O中，点A和点B是圆上的任意两点</note>，<note>线段AB连接了这两个点</note>，所以<note>线段AB是圆O的弦</note>。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>在本题图中，三角形OAM中，角##∠OMA##是直角（90度）</note>，因此<note>三角形OAM是一个直角三角形</note>。<note>边OA和边OM是直角边</note>，<note>边AM是斜边</note>。

垂线定义

如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。

<note>直线OM和直线AB相交形成的角∠OMA是90度</note>，因此根据垂线定义，<note>直线OM和直线AB互相垂直</note>。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

在本题图中，直角三角形OAM中，<note>∠OMA是直角（90度）</note>，<note>边OM和AM是直角边</note>，<note>边OA是斜边</note>，所以根据勾股定理，##OM² = OA² - AM²##。

垂径定理

如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。


Question: 求阴影扇形的面积。结果四舍五入到十分位。

Answer: 182.6

扇形的定义

由一个圆的两条半径与它们所夹的圆弧组成的图形称作扇形。

<note>扇形RST</note>中，<note>半径SR</note>和<note>半径ST</note>是圆的两条半径，<note>圆弧RT</note>是由这两条半径所夹的圆弧，所以根据扇形的定义，由这两条半径和它们所夹的<note>圆弧RT</note>组成的图形为扇形。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

扇形的面积公式

扇形的面积A可以通过公式A = ##(θ/360) * π * r^2##计算，其中θ是圆心角度数，r是半径长度。

<note>在本题图中，扇形RST中，圆心角∠RST的度数为θ = 93°，半径SR和ST的长度为r = 15 mm</note>。根据扇形的面积公式，扇形的面积A可以通过公式<note>A = (θ/360) * π * r^2</note>计算，<note>其中θ是圆心角度数，r是半径长度</note>。所以<note>扇形RST的面积A = (93/360) * π * 15^2</note>。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段。

<note>在本题图中</note>，圆S中，<note>点S是圆心</note>，<note>点T是圆上的任意一点</note>，<note>线段ST是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段ST是圆的半径</note>。


Question: 在 \\odot O 中，E C 和 A B 是直径，且 \\angle B O D \\cong \\angle D O E \\cong \\angle E O F \\cong \\angle F O A。求 m \\widehat A E。

Answer: 90

1.##已知AB是圆O的直径，根据平角定义得∠AOB=180°，即 ∠BOD + ∠DOE + ∠EOF + ∠FOA = 180°。##

2. ##由题目可知∠BOD = ∠DOE = ∠EOF = ∠FOA，所以180°/4=45°就是半圆中每个角度的度数。##

3. ##根据上述步骤可以得出∠AOE=∠AOF+∠FOE=45°+45°=90°。

4. ##根据圆心角的性质,圆心角度数等于它岁对应的圆弧的度数，∠AOE是圆心角=90°所以弧AE=90°##。

5. 经过上述推理，得到弧AE为直角##90°##。

圆; 圆心角; 弧; 弦

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

<note>EC和AB是直径</note>，连接了圆心O和圆周上的<note>E、C和A、B两点</note>，长度为<note>2倍的半径</note>，即<note>EC = 2r，AB = 2r</note>。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

弧的定义

弧是圆上两点之间的一段曲线。

<note>圆O上有两点A和E</note>，<note>弧AE是连接这两点的一段曲线</note>。根据弧的定义，<note>弧AE是圆O上两点A和E之间的一段曲线</note>。

圆心角的性质

圆心角的度数等于它所对的圆弧的度数。

<note>圆心角∠AOE所对的圆弧为弧AE</note>。根据圆心角的性质，圆心角的度数与所对圆弧的度数相等，即<note>∠AOE的度数=弧AE的度数</note>。

平角的定义

<note>射线OB</note>绕着端点<note>O</note>旋转到与起始边成一条直线，形成<note>平角AOB</note>。根据平角的定义，平角的度数为180度，即<note>角AOB=180度</note>。##


Question:
本题考查了圆周角定理,关键是根据同弦所对圆心角与圆周角的关系解答．
4．如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点(A、B除外),∠AOD=136°,则∠C的度数是()

Answer: 22°

1. 已知AB是⊙O的直径，∠AOD=136°。

2. 根据平角的定义，在直线AB上，有∠AOD + ∠BOD = 180°。

3. 由此可以求得∠BOD = 180° - 136° = 44°。

4. 根据##圆周角定理，弧BD所对的圆周角∠BCD等于弧BD所对的圆心角∠BOD的一半，即∠BCD = ∠BOD## / 2。

5. 具体到本题中，##弧BD所对的圆心角∠BOD = 44°##。

6. 因此，##弧BD所对的圆周角∠BCD = 44° / 2 = 22°##。

####

##7##. 经过上述推理，最终得出答案为∠C的度数是 22°。

圆; 圆心角; 圆周角; 弦; 直角三角形

圆的定义

到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。

<note>图中的圆的圆心为O</note>，圆O中，<note>点O是圆心</note>。图中所有到<note>点O的距离等于半径的点都在圆O上</note>。####

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

在本题图中，<note>圆O中，角BCD的顶点(点C)在圆周上</note>，<note>角BCD的两边分别与圆O相交于点B和点D</note>。因此，角BCD是一个圆周角。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

<note>弧BD所对应的圆心角是∠BOD</note>。根据圆周角定理，<note>弧BD所对应的圆周角∠BCD等于∠BOD的一半，即∠BCD = 1/2 ∠BOD</note>。

平角的定义

<note>在本题图中，射线OA绕着端点O旋转到与起始边成一条直线，形成平角AOB</note>根据平角的定义，<note>平角的度数为180度，即角AOB=180度</note>。


Question: 求图形的面积（单位：英尺）。如有必要，四舍五入到十分位。

Answer: 34.6

1. ##已知图中四边形有且仅有一对底边平行，根据梯形的定义，该四边形为梯形，##梯形的上底为12英寸，下底为8英寸。

2. ##从梯形下底的两端分别作线段垂直于底边，两条线段为梯形的高h；根据矩形的定义，两条高与高所截两底边形成矩形，则矩形长边为8英尺。##

3. ##梯形的高与底边两个内角形成两个直角三角形，已知梯形两条斜边相等，则根据直角三角形全等判定（斜边、直角边），两个直角三角形全等。设这两个直角三角形的短边为x，则底边为2x+8=12，解得x=2。##

4. ##两个直角三角形有一个角为30°，则这两个直角三角形都是30°-60°-90°三角形。根据30°-60°-90°三角形的性质，长边是短边的√3倍，因此 h = 2√3≈3.464##

####

##5##. 梯形的面积A可通过公式计算，A = 0.5 × (上底 + 下底) × 高，即A = 0.5 × (12 + 8) × 3.464

##6##. 使用计算器进行计算，A ≈ 34.64平方英寸。

##7. 将结果四舍五入到最接近的十分位，得图形的面积为34.6英寸。##

梯形; 直角三角形; 正弦

梯形的定义

梯形是一种四边形，有且仅有一对平行边。

在本题图中，四边形中，<note>上下两底边是平行的</note>，而<note>另外两边不平行</note>。因此，根据梯形的定义，该四边形是一种梯形，因为<note>它有且仅有一对平行边</note>。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

在本题图中，梯形的两条垂线与底边和上底分别形成两个<note>直角三角形</note>。这两个<note>直角三角形</note>的<note>直角位于垂线与底边和上底的交点处</note>，两个<note>锐角分别是30度和60度</note>。

30°-60°-90°三角形的性质

<note>30度角是梯形左侧的角</note>，<note>60度角是直角三角形的另一个锐角</note>，<note>90度角是直角三角形的直角</note>。##<note>边x是30度角所对的边</note>，<note>边h是60度角所对的边</note>。根据30°-60°-90°三角形的性质，<note>边h等于边x的√3倍</note>。即：<note>x = 2英寸</note>，<note>h = x√3 = 2√3</note>。##

梯形面积公式

<note>梯形的上底是12英寸</note>，<note>下底是8英寸</note>，<note>高h约为3.464英寸</note>。根据梯形面积公式，面积 = 0.5 * (12 + 8) * 3.464。

矩形的定义

矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。

<note>梯形的两条高与高所截两底边形成矩形</note>，<note>其四个内角都是直角（90度）</note>，且<note>两条长边平行且等长</note>，<note>两条高h平行且等长</note>。##

直角三角形全等判定（斜边、直角边）

如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等。

<note>高垂直于底边形成的两个三角形中，高垂直于底边形成的两角都是直角（90度）</note>。<note>两斜边相等</note>，那么根据直角三角形全等判定（斜边、直角边），这两个直角三角形全等。

高的定义

从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。

在本题图中，<note>从梯形下底的两端分别作垂直于底边的线段是梯形的高</note>。<note>两条线段与底边形成一个直角（90度）</note>，这说明两条线段是从顶点到对边的垂直距离。##


Question: 求x。假设看起来相切的线段是相切的。如果有必要，四舍五入到最接近的十分位。

Answer: 10

1. ##设AB=5x-8，AC=72-3x##。

2. ##根据切线长定理，AB=AC，##则5x - 8 = 72 - 3x。

3. 解方程 5x - 8 = 72 - 3x 时，加上 3x 得 8x - 8 = 72。

4. 将等式两边加 8，得 8x = 80。

5. 将等式两边都除以 8，得到 x = 10。

6. 经过上述推理，最终得出 x 的值为 10。

切线; 普通三角形; 圆

切线长定理

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

在本题图中，从<note>圆外一点</note>引出的<note>两条切线</note>分别为 5x - 8 和 72 - 3x，<note>它们的切线长相等</note>，即 5x - 8 = 72 - 3x。<note>圆心 y 和这一点的连线平分两条切线的夹角</note>。

圆的切线定义

圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。

<note>圆与直线AB有且只有一个公共点B，这个公共点叫做切点</note>。因此，<note>直线AB是圆的切线</note>。<note>圆与直线AC有且只有一个公共点C，这个公共点叫做切点</note>。因此，<note>直线AC是圆的切线</note>。


Question: 将 \cos N 的比率用小数表示，精确到小数点后两位。

Answer: 0.38

1. ##已知角P=90度，所以##三角形 NPM 是直角三角形，且已知 PM = 36, PN = 15, NM = 39。

2. ##根据余弦函数，有cos（∠N）=NP/MN##。

3. ##已知PN = 15, NM = 39，代入可得：cos（∠N）=15/39≈0.384。根据题目要求精确到小数点后两位，所以cos（∠N）≈0.38##。

####

##4##. 经过上述推理，得出 ∠PNM 的余弦值为 0.38。

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

<note>三角形PNM是由三个非共线点P、N、M及其连接线段PN、PM、MN组成的几何图形</note>。<note>点P、N、M分别是三角形的三个顶点</note>，<note>线段PN、PM、MN分别是三角形的三条边</note>。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

余弦函数

余弦函数是一个三角函数，它可以通过直角三角形中的边来定义，对于一个角α，它的余弦值等于角α的邻边与斜边的比值。####

<note>直角三角形 NPM 中</note>，<note>边 NP 是角 ∠PNM 的邻边</note>，<note>边 NM 是斜边</note>。因此，根据余弦函数的定义，<note>角 ∠PNM 的余弦值等于邻边 NP 与斜边 NM 的比值</note>，即 <note>cos(∠PNM) = NP / NM</note> = 15 / 39。####


Answer: 20°

1. 已知∠AOB=40°，由题意可知点A、B、P是圆O上的三点。

2. 根据圆周角定理，圆周角等于其所对应的圆心角的一半，即∠APB=##1/2∠AOB##。

3. 代入已知条件∠AOB=40°，则∠APB=##1/2##×40°=20°。

4. 经过上述推理，最终得出答案为20°。

圆; 圆心角; 圆周角; 弦

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

<note>在本题图中，圆O中，角APB的顶点P在圆周上</note>，<note>角APB的两边分别与圆O相交于点A和点B</note>。因此，<note>角APB是一个圆周角</note>。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

<note>在本题图中，圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O</note>。<note>连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角</note>。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。


Question: 求 m \angle Y。

Answer: 80

1. 已知 WXYZ 是一个四边形，四边形各内角之和为 360°。

2. ∠W = (1/2)a + 8，∠X = a，∠Y = a - 28，∠Z = a + 2。

3. 根据四边形内角和定理，内角和为 360°。因此有 (1/2)a + 8 + a + (a - 28) + (a + 2) = 360。

4. 合并同类项，得 3.5a - 18 = 360。

5. 解方程 3.5a - 18 = 360，得 3.5a = 378，a = 108。

6. 代入 ∠Y = a - 28，得 ∠Y = 108 - 28。

7. 计算得 ∠Y = 80。

8. 经过上述推理，最终得出答案为 80°。

四边形定义

四边形是由四条线段组成的封闭图形，这些线段称为四边形的边。四边形有四个顶点和四个内角。

<note>四边形WXYZ</note>由四条<note>线段WX, XY, YZ和ZW组成</note>，这些线段称为四边形的边。四边形WXYZ有四个顶点，分别是<note>点W, 点X, 点Y和点Z</note>，并且有四个内角，分别是<note>角∠W, 角∠X, 角∠Y和角∠Z</note>。这些角的度数分别为(1/2)a + 8, a, a - 28, a + 2。

四边形的内角和定理

在任意四边形中，四个内角的和为360°。

在本题图中，<note>四边形WXYZ</note>中，<note>角∠W、角∠X、角∠Y和角∠Z是四边形的四个内角</note>，根据四边形的内角和定理，<note>这四个内角的和为360°</note>，即<note>∠W + ∠X + ∠Y + ∠Z = 360°</note>。具体地，(1/2)a + 8 + a + (a - 28) + (a + 2) = 360°。


Question: 如图,直线a与直线b被直线c所截,b⊥c,垂足为点A,∠1=70°．若使直线b与直线a平行,则可将直线b绕着点A顺时针旋转()

Answer: 20°

1. 已知直线b垂直直线c，垂足为点A，根据直角的定义，得##∠A## = 90°。

2. 已知##∠1## = 70°，且要求直线a与直线b平行，即##∠A和∠1为内错角##，根据平行线的同位角相等定理，得##∠A## = 70°时，a//b。

3. 为使直线a与直线b平行，需要使##∠A旋转至70°时停止##。

4. 因此，旋转角度为∠CAB - ∠BAC = 90° - 70° = 20°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为20°。

平行线; 垂线; 同位角; 旋转; 直线

内错角的定义

当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角

<note>两条平行直线a和b</note>被<note>一条直线c</note>截交，其中<note>角A和角1位于两平行线之间，且在截线c的对侧</note>，因此<note>角A和角1是内错角</note>。内错角相等，即需要<note>角A等于角1</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

在本题图中，为了使直线a与直线b平行，需要使得<note>内错角∠1=∠A</note>。已知<note>∠1 = 70°</note>，所以<note>∠A</note>需要等于 70°。


Question: 如图,四边形ABCD的一个外角∠DCE=70°,则∠BAD的度数为()

Answer: 70°

1. 已知四边形ABCD是圆O的内接四边形，根据##(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理##，四边形的对角互补。

2. 根据已知条件，外角∠DCE = 70°##因此，∠BCD=180°-∠DCE =180°- 70°=110°##。

3. ##根据圆周角定理推论3，∠DAB+∠BCD = 180°。##

4. 由此可得∠DAB = 70°。

5. 综上所述，通过圆内接四边形的性质得出∠BAD = 70°。

圆内接四边形; 三角形的外角; 圆周角; 邻补角

内接四边形

<note>四边形ABCD的四个顶点A、B、C和D都在同一个圆O上</note>。这个圆称为<note>四边形ABCD的外接圆</note>。因此，<note>四边形ABCD是一个内接四边形</note>。

(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理

<note>四边形ABCD是一个圆内接四边形</note>，根据圆内接四边形对角互补定理，<note>四边形ABCD的每一对对角的和等于180°</note>。具体来说，<note>∠BAD + ∠BCD = 180°</note>；<note>∠ABC + ∠ADC = 180°</note>。


Question: 求 m \angle 3。

Answer: 38

1.## 已知∠TWX，∠WXY为直角，有∠2＋∠3等于90°。在三角形WXY中，由三角形内角和定理可知，∠2＋∠WYX＋∠WXY＝180°。##

2. ##将∠WXY＝90°，∠WYX＝38°带入可得∠2＝52°。##

3.##因为∠2＋∠3等于90°，所以∠3＝90°-52°＝38°。##

####

##4##. 最终经过上述推理，得出∠3=38°。

矩形; 内错角; 直角三角形; 三角形的外角; 垂线

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形XYW中，角XYW、角XWY和角WXY是三角形XYW的三个内角</note>，根据<note>三角形内角和定理</note>，<note>角XYW + 角XWY + 角WXY = 180°</note>。


Question: 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,AB=5,则\cosA的值是()

Answer: \frac{4}{5}

1. 已知三角形ABC是直角三角形，其中∠ACB=90°，边AC的长度为4，边AB的长度为5。

2. ##在直角三角形ABC中##，可以使用##余弦函数##来计算∠BAC的余弦值。

3. ##余弦函数##指出在直角三角形中，某角的余弦值等于##邻边与斜边的比值##。对于∠BAC，其余弦值cos(∠BAC) = 邻边(AC) / 斜边(AB)。

4. 将已知数值代入公式，即cos(∠BAC) = AC / AB = 4 / 5。

5. 经过计算，得出cos(∠BAC) = 4 / 5。

6. 综上所述，余弦角A的值为4 / 5。

直角三角形; 余弦; 线段

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>在本题图中，三角形ABC中，角ACB是直角（90度）</note>，因此三角形ABC是一个直角三角形。<note>边AC和边BC是直角边，边AB是斜边</note>。


Question: 如图,AB∥CD,直线EF交AB于点E,交CD于点F,EG平分∠BEF,交CD于点G,∠1=50°,则∠2等于()

Answer: 65°

1. 已知AB∥CD，根据##平行线的平行公理2##，同旁内角互补，得出##∠1## + ∠BEF = 180°。

2. 由∠1 = 50°以及上一步的结论，可得∠BEF = 180° - 50° = 130°。

3. 由于EG平分∠BEF，根据##角平分线定义##，可得∠BEG = ∠GEF = 1/2 * 130° = 65°。

4. 直线AB与直线CD平行，##根据平行线的平行公理2，内错角相等，可得∠2 = ∠BEG = 65°##。

5. 经过上述推理，最终得出答案为65°。

平行线; 内错角; 直线

角平分线定义

角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

在本题图中，<note>AB∥CD</note>，<note>直线EF截这两条平行线</note>，形成了以下几何关系：####同旁内角：##<note>∠1和∠BEF</note>##互补，即##<note>∠1+ ∠BEF</note>## = 180度。##同理，<note>AB∥CD</note>，<note>直线EG截这两条平行线</note>，形成了以下几何关系：内错角：<note>∠2和∠BEG</note>相等。##这些关系说明了在<note>两条平行线被第三条直线所截时</note>，####内错角相等，同旁内角互补。##

同旁内角的定义

两条直线被第三条直线所截，在截线同侧，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角。若两直线平行，则同旁内角互补。若同旁内角互补，则两直线平行。

内错角的定义

当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。


Question: 把一尺与三角板如图放置,∠1=40°则∠2的度数为()

Answer: 130°

1. 已知∠BAC=90°，##而∠BCA和∠1是构成直角的两个角。根据直角三角形的锐角互余性质，即∠1+∠BCA=90°，得出∠BCA=90°-∠1。##

2. 根据已知条件，∠1=40°，得出##∠BCA=90°-40°=##50°。

3. ##根据邻补角的定义，得出∠BCE=180°-∠BCA=130°。##

4. ##因为直尺的两条边平行，根据平行线同位角相等，得出∠2=∠BCE=##130°。

####

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为130°。

平行线的定义

在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

<note>尺子上的##长直线##位于同一平面内</note>，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，<note>尺子上的##长直线##</note>是平行线。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>两条平行线（尺子）</note>被<note>三角板的长直角边BC</note>所截形成了以下几何关系：1. 同位角：<note>∠2和∠BCE相等</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>在本题图中，三角形BAC中</note>，<note>角BAC、角BCA和角1是三角形ABC的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角BAC + 角ACB + 角1 = 180°</note>。

同位角定义

两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。

<note>两条平行直线x被一条直线截交</note>，其中<note>∠2和∠BCE位于截线的同旁，被截两直线的同一侧</note>，因此<note>∠2和∠BCE是同位角</note>。同位角相等，即<note>∠2=∠BCE</note>。####

邻补角的定义

两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。


Question: 求平行四边形的面积。如果有必要，四舍五入到最接近的十分位。

Answer: 528

1. ##设平行四边形ABCD，由图知AE⊥BC，根据平行四边形的高的定义，得AE为平行四边形ABCD的高##，根据平行四边形的面积公式A = ##底边长 * 高##。

2. ##因为底边BC长等于22cm，AE=24cm，则代入公式得##A = 22 cm * 24 cm。

3. 进行计算，得A = 528平方厘米。

4. 最终，平行四边形的面积为528平方厘米，不需要四舍五入。

平行四边形; 平行线; 垂线

高的定义

从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。

<note>平行四边形ABCD中，边AD和边BC是平行的</note>。<note>顶点A到对边BC的垂直距离是平行四边形的高</note>。具体来说，<note>从顶点A作一条垂直于边BC的线段AE</note>，<note>该线段AE的长度即为平行四边形的高</note>。

平行四边形的面积公式

一个平行四边形的面积等于它的底边长乘以对应的高，即A = 底边长 × 高。

<note>平行四边形ABCD的底边BC</note>长为22 cm，<note>对应的高AE是从底边BC到对边的垂直距离</note>，为24 cm。因此，根据平行四边形的面积公式，平行四边形的面积等于<note>底边长22 cm</note>乘以<note>对应的高24 cm</note>，即A = 22 cm × 24 cm = 528平方厘米。


Question: 如图,AB是⊙O直径,点C为⊙O上一点,∠C=20°,则∠BOC度数为()

Answer: 40°

1. 已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ACB=20°。

2. 因为OA=OC，所以△OAC是等腰三角形，因此∠OCA=∠OAC=20°。

3. 依据圆周角定理，圆周角等于其所对的圆心角的一半，这里##圆周角BAC和是圆心角BOC的一半##。因此，##∠BOC=2∠BAC##。

4. 把已知角度带入，##∠BOC##=2×20°=40°。

5. 最终得到正确答案为40°。

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

<note>等腰三角形OAC中</note>，边<note>OA和边OC相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>角OAC = 角OCA</note>。


Question: 将一张宽度相等的长方形纸条按如图所示的方式折叠一下,如果∠1=140°,那么∠2的度数是()

Answer: 110°

1. ##设折叠开成的∠1的内错角为∠BAD=∠CAB + ∠ACD。##已知∠1=140°。

2. 根据##平行线的平行公理2##，可得∠CAB + ∠ACD = ∠1 = 140°。

3. 根据折叠图形的性质，当折叠一次后，∠CAB = ∠ACD。

4. 设∠CAB = ∠ACD = x。

5. 由步骤2和3得，2x = 140°。

6. 解得 x = 70°，即∠CAB = ∠ACD = 70°。

7. 根据##同旁内角互补##，可得##∠2## = 180° - ∠ACD = 180° - 70° = 110°。

8. 经过上述推理，最终得出答案为∠2 = 110°。

内错角的定义

<note>在本题图中，两条平行直线（纸条的上下两条边）</note>被一条直线截交，其中角 ∠1 和 <note>∠BAD</note>位于两平行线之间，且在截线（折痕）的对侧，因此角 ∠1 和<note>∠BAD</note>是内错角。内错角相等，即 ∠1 等于 <note>∠BAD</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>纸条的上下两条边形成平行关系，并且折痕是横截线</note>，所以<note>内错角∠1 =∠BAD</note>，<note>同旁内角 ∠2 + ∠BAD = 180°</note>。

角平分线的性质

角平分线上任意一点到角两边的距离相等。

<note>∠BAD</note>分成两个相等的角，即<note>∠CAB 和 ∠ACD</note>。根据角平分线的性质，设这两个角分别为 x，则 2x = ∠1 = 140°，所以 x = 70°，即这两个角各为 70°。

同旁内角的定义

<note>在本题图中，两条平行直线（纸条的上下两条边）</note>被<note>一条直线（折痕）</note>截交，两角<note>∠2 和 ∠BAD</note>在截线同侧，且在两条被截线之内，所以<note>∠2 和 ∠BAD是同旁内角</note>。同旁内角<note>∠2 和 ∠BAD互补</note>，即<note>∠2 + ∠BAD = 180度</note>。


Answer: 50°

1. 已知AD平分∠BAC, ∴ ∠BAD = ∠CAD。

2. 根据##平行线的平行公理2和内错角的定义，AB∥CD，平行线AB和CD被直线AD所截，所以内错角相等，而∠D与∠BAD互为内错角，所以∠D=∠BAD。又因为AD平分∠BAC，所以∠D=∠BAD = ∠CAD##。

3. 根据上述结论，得出∠CAD = ##∠D##。

4. 在△ACD中，根据三角形内角和定理可知，∠C + ∠CAD + ##∠D## = 180°。

5. 将已知∠C = 80°及∠CAD = ∠ADC代入，即80° + ##∠D + ∠D## = 180°。

6. 解以上方程，得##∠D## = 50°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为50°。

平行线; 内错角; 普通三角形

角平分线定义

角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。

平行线的定义

在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

<note>直线AB和直线CD位于同一平面内</note>，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，<note>直线AB和直线CD是平行线</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

在本题图中，<note>两条平行线AB和CD</note>被<note>第三条直线AD</note>所截，形成了以下几何关系：
1. 同位角：##无##。
2. 内错角：<note>∠BAD和∠D相等</note>。
3. 同旁内角：##无##。
这些关系说明了在<note>两条平行线被第三条直线所截时，内错角相等</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>角∠CAD、角∠ADC和角∠ACD是三角形ACD的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>∠CAD + ∠ADC + ∠ACD = 180°</note>。


Question: 如图是小刘做的一个风筝支架示意图,已知BC∥PQ,AB:AP=2:5,AQ=20cm,则CQ的长是()

Answer: 12cm

1. 已知BC∥PQ，##根据平行线的平行公理2和同位角定义，∠ABC=∠APQ，同时∠BAC=∠PAQ，根据相似三角形的判定定理(AA)，得出△ABC与△APQ相似。

2. 由于△ABC与△APQ相似，根据相似三角形的比例性质，有比例关系\(\frac{AB}{AP}=\frac{AC}{AQ}\)。

3. 根据已知条件AB:AP=2:5, AQ=20cm，可以代入比例关系\(\frac{AC}{20} = \frac{2}{5}\)。

4. 通过比例式进行计算，解得AC=8cm。

5. 由此可以得到CQ的长度为AQ - AC。

6. 计算得到 CQ = 20cm - 8cm = 12cm。

7. 经过上述推理，最终得出答案为12cm。

平行线; 普通三角形; 位似; 线段

平行线的定义

在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

<note>线段BC和线段PQ</note>位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，<note>线段BC和线段PQ</note>是平行线。

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>△ABC与△APQ相似</note>，即<note>对应角相等</note>，<note>对应边成比例</note>。如<note>∠BAC = ∠PAQ</note>、<note>∠ABC = ∠APQ</note>以及<note>∠ACB = ∠AQP</note>，且<note>\(\frac{AB}{AP}=\frac{BC}{PQ}=\frac{AC}{AQ}\)</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>两条平行线BC和PQ</note>被第三条直线AP所截，形成了以下几何关系：1. 同位角：<note>角ABC和角APQ相等</note>。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

相似三角形的判定定理(AA)

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。


Question: 如图,直线l∥m∥n,三角形ABC的顶点B,C分别在直线n和m上,边BC与直线n所夹的角为25°,且∠ACB=60°,则∠a的度数为()

Answer: 35°

1. 已知直线l∥m∥n，且点B在直线n上，点C在直线m上，因此BC与直线n所夹的角为25°。

2. 设AC与直线m的夹角为∠b，BC与直线m的夹角为∠c，根据平行线的平行公理2和同位角定义##，平行线之间的同位角相等，所以∠a与##∠b##相等，即 ∠a = ##∠b##。

3. ##根据平行线的平行公理2和内错角的定义，内错角相等，而边BC与直线n所夹的角与∠c互为内错角，所以∠c=25°##。根据题意，已知∠ACB=60°， ##∠a = ∠b，而∠ACB = ∠b + ∠c，所以∠ACB = ∠a + ∠c##。

4. 由上面一步得出∠ACB = 25° + ##∠a## = 60°，可以得到##∠a## = 60° - 25°。

5. 计算得##∠a## = 35°。

6. 经过上述推理，最终得出##∠a##的度数为35°。

平行线; 三角形的外角; 内错角; 同位角; 普通三角形

平行线的定义

在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

<note>直线l和直线m位于同一平面内，并且它们没有交点</note>，因此根据平行线的定义，<note>直线l和直线m是平行线</note>。<note>直线n和直线m位于同一平面内，并且它们没有交点</note>，因此根据平行线的定义，<note>直线n和直线m是平行线</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

在本题图中，##两条平行线<note>l和m</note>被第三条直线<note>AC</note>所截，形成了以下几何关系：1. 同位角：<note>角a和角b相等</note>。2. 内错角：无。3. 同旁内角：无。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等。两条平行线<note>m和n</note>被第三条直线<note>BC</note>所截，形成了以下几何关系：1. 同位角：无。2. 内错角：<note>角c和25°角相等</note>。3. 同旁内角：无。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，内错角相等##。

同位角定义

当两条平行直线被一条直线截交时，其中两条同一位置的角称为同位角。同位角相等。

在本题图中，<note>两条平行直线l和m被直线AC截交</note>，其中<note>角∠a和角∠b位于截线AC的同旁</note>，<note>被截两直线l和m的同一侧</note>，因此<note>角∠a和角∠b是同位角</note>。<note>同位角相等，即角∠a等于角∠b</note>。

内错角的定义

<note>两条平行直线m和n</note>被<note>一条直线BC截交</note>，其中<note>角c和25°角位于两平行线之间，且在截线BC的对侧</note>，因此<note>角c和25°角是内错角</note>。<note>内错角相等</note>，即<note>角c等于25°角</note>。


Question: 如图,直线AB∥CD,AE平分∠CAB,∠ACD=40°,则∠AEC的度数是()

Answer: 70°

1. 已知直线AB平行于直线CD，根据##平行线的平行公理2和同旁内角的定义##，得出∠CAB + ∠ACD = 180°。

2. 由已知条件∠ACD = 40°，以及上一条结论，得出∠CAB = 180° - 40° = 140°。

3. 根据题意，AE平分∠CAB，根据##角平分线定义，得出∠CAE = (1/2)∠CAB = (1/2) × 140° = 70°##。

4. 所以，根据三角形内角和定理，三角形AEC中，##∠AEC = 180°-∠CAE-∠ACE = 180°-70°-40°=70°##。

5. 经过上述推理，最终得出答案为70°。

平行线; 内错角; 同旁内角; 线段; 三角形的外角

角平分线定义

角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。

在本题图中，<note>角CAB的顶点是点A</note>，从<note>点A引出一条线AE</note>，这条线将角CAB分成两个相等的角，即<note>角BAE和角EAC相等</note>。因此，<note>线AE是角CAB的角平分线</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

在本题图中，<note>直线AB∥CD</note>，<note>直线AC截这两条平行线</note>，形成了以下几何关系：##1. 同旁内角：<note>∠CAB和∠ACD互补</note>，即<note>∠CAB + ∠ACD = 180度</note>##。这些关系说明了在<note>两条平行线被第三条直线所截</note>时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。##

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>角∠CAE、角∠AEC和角∠ACE是三角形AEC的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角∠CAE + 角∠AEC + 角∠ACE = 180°</note>。


Question: 如图,用一张半径为24cm的扇形纸板制作一顶圆锥形帽子(接缝忽略不计),如果圆锥形帽子的底面半径为10cm,那么这张扇形纸板的面积是()

Answer: 240πcm^{2}

1. 已知圆锥形帽子的底面半径为10cm，且使用的扇形纸板的半径为24cm，##设底面圆上一点为点A，圆锥顶点为点B，连接AO，则AO为圆的半径##。

2. ##扇形的半径是圆锥体的斜高##，即圆锥形帽子的母线长为24cm。

####

##3. 根据圆锥的表面积公式，侧面积等于扇形的面积，侧面积等于πrl，即πx底面圆半径×母线长。则扇形的面积公式：S = π × R × l = π × 10 × 24 = 240 π cm^2##。

##4##. 经过上述推理，最终得出答案为240π##cm^2##。

扇形; 圆锥; 圆; 弧; 弦

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

<note>圆锥形帽子的底面是一个圆，该圆的圆心为O</note>，<note>圆上的任意一点为A</note>，<note>线段OA是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OA是圆的半径</note>，且OA = 10cm。

母线

母线是指圆锥中从底面圆周上的一点到顶点的线段

<note>在本题图中，圆锥中，底面圆周上的一点为A，顶点为B，连接底面圆周上一点A和顶点B的线段AB就是母线</note>。母线是圆锥中从底面圆周上的一点到顶点的线段。

圆锥的表面积公式

圆锥的总表面积等于底面积加上侧面积。

在本题图中，圆锥中，底面是一个圆，其<note>半径为10</note>，<note>底面积为π×10²</note>。圆锥的侧面展开后是一个扇形，其<note>半径为斜高24</note>，<note>扇形的弧长等于底面的周长2π×10</note>。侧面积等于扇形的面积，即<note>π×10×24</note>。圆锥的总表面积等于底面积加上侧面积，所以<note>总表面积为π×10² + π×10×24</note>。##


Question: 如图,AB是⊙O的直径,点C、D是圆上两点,且∠AOC=126°,则∠CDB=()

Answer: 27°

1. 已知∠AOC=126°，##线段AB是直径，根据平角的定义，##因此∠AOB是平角，即 ∠AOB=180°。

2. 根据##邻补角的定义##，得出∠BOC = ∠AOB - ∠AOC = 180° - 126° = 54°。

3. 根据圆周角定理，在圆中，圆心角的度数是其所对弦所夹圆周角度数的两倍，因此∠CDB = 1/2 ∠BOC = 1/2 × 54° = 27°。

4. 经过上述推理，最终得出答案是∠CDB=27°。

圆; 圆心角; 圆周角; 弦; 圆内接四边形

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

邻补角的定义

在本题图中，<note>角AOC和角BOC有一条公共边OC</note>，<note>它们的另一边AO和OB互为反向延长线</note>，所以角AOC和BOC互为邻补角。####

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

平角的定义

一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度。

<note>射线AO</note>绕着端点<note>O</note>旋转到与起始边成一条直线，形成<note>平角AOB</note>。根据平角的定义，平角的度数为180度，即<note>角AOB=180度</note>。##

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

在本题图中，<note>∠CDB</note>是所对的<note>弧CB</note>的圆周角，而<note>∠BOC</note>是同弧<note>CB</note>的圆心角。因此，根据<note>圆周角定理</note>，<note>∠CDB = 1/2 ∠BOC</note> = 1/2 × 54° = 27°。


Question: 参照右图。如果 p \\parallel q，求 m \\angle F C E 的值。

Answer: 105

1. 已知直线p平行q，根据##平行线的平行公理2，可得∠DBF=∠ECF（同位角相等）##。

2. ##∠ECF的度数为(2x + 15)°，∠DBF##即y°。

3. 则可设##(2x + 15)## = y。同时##根据邻补角的定义和平角的定义##又知道##∠ABD和∠DBF##互补，所以##(3x - 60)## + y = 180°。

4. 由此得出两个方程：##(2x + 15)## = y 和##(3x - 60)## + y = 180°。

5. 解方程组，即首先从第一个方程中得到y=##(2x + 15)##。

6. 将y=##(2x + 15 )##代入第二个方程得出##(3x - 60) + (2x + 15) ##= 180° 。

7. 合并同类项得到5x - 45 = 180°。

8. 将45移到右边得到5x = 225 。

9. 两边同除以5得x = 45。

10. 再将x = 45代入y = ##(2x + 15)##，得出y = ##2(45) + 15 = 105°##。

##11. 最终求出∠FCE = ∠DBF= y =105°。##

####

##12##. 经过上述详细推理，最终求出答案∠FCE的度数为105°。

平行线; 内错角; 邻补角

同位角定义

两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角

<note>两条平行直线p和q被一条直线AF截交</note>，其中<note>角DBF和角ECF位于截线AF的同旁，被截两直线p和q的同一侧</note>，因此<note>角DBF和角ECF是同位角</note>。同位角相等，即<note>角DBF等于角ECF</note>。##

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>两条平行线p和q</note>被<note>第三条直线AF</note>所截，形成了以下几何关系：<note>同位角：角ABD和角BCE相等，角FCE和角CBD相等</note>。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

平角的定义

一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度

<note>射线AF绕着端点B旋转到与起始边成一条直线，形成平角ABF</note>。根据平角的定义，<note>平角的度数为180度，即角ABF=180度</note>。


Question: 如图,光源P在横杆AB的正上方,AB在灯光下的影子为CD,AB∥CD,AB=2m,CD=5m,点P到CD的距离是3m,则AB与CD的距离是()m．

Answer: \frac{9}{5}

1. ##过点P向CD作高，分别交线AB和CD与点E、F，则根据高的定义可以得出PE ⊥ AB，PF ⊥CD，则PEA=PFC=90度，又根据直角三角形的定义，三角形PEA和PFC为直角三角形##。

2. ##由图形可知，AB与CD平行，平行线的平行公理2，同位角相等，得∠PAE =
 ∠PCF##。

3. 根据##直角三角形的相似性和相似三角形的定义，△PEA和△PFC相似，有对应边成比例，即PE / PF = AE / CF##。

4. 已知AB = 2米，CD = 5米，##根据垂直平分线的定义，AE = 2/AB=1米， CF = 2/CD=2.5米，点P到CD的距离PF是3m，设点P到AB的距离为PE为x米。将数据代入上述比例式得x/3 = 1/2.5##。

5. 通过比例方程解得x =##(1/2.5)## * 3 = 6/5米。

6. ##解出x=6/5##，求得点P到AB的距离##PE##为6/5米。

7. ##依图可得##AB与CD的距离为##PF - PE =## 3 - 6/5米。

8. 经过计算得到AB与CD的距离为(15/5) - (6/5) = 9/5米。

9. 最终得出AB与CD的距离为1.8米。

平行线; 等腰三角形; 直角三角形

直角三角形的相似性

如果两个直角三角形的一个锐角相等，那么这两个直角三角形相似。

<note>直角三角形PEA和直角三角形PFC中，角PEA和角PFC是直角（90度）</note>，并且<note>角PEA等于角PFC</note>，因此根据直角三角形的相似性定理，这两个直角三角形相似。也就是说，<note>三角形PEA和三角形PFC的对应边成比例</note>。

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

在本题图中，<note>三角形PAB和三角形PCD是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>∠PEA = ∠PFC</note>, <note>∠PAE = ∠PCF</note>, <note>∠APE = ∠CPF</note>；<note>PE / PF = AE / CF</note>。已知AB = 2米，CD = 5米，<note>AE = 2/AB=1米</note>, <note>CF = 2/CD=2.5米</note>，设点P到AB的距离为x米，点P到CD的距离为3米，根据相似三角形的对应边比例关系：<note>x/3 = 1/2.5</note>。通过计算x =<note> (1/2.5)</note> * 3 = 6/5米，进而确定出AB与CD之间的距离。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

在本题图中，<note>两条平行线AB和CD被第三条直线PC所截</note>，形成了以下几何关系：<note>同位角：角PAE和角PCF相等</note>。

高的定义

从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。

<note>从顶点P垂直于对边CD（或其延长线）的线段PF是该顶点P的高</note>。<note>线段PF与边CD（或其延长线）形成一个直角（90度）</note>，这说明线段PF是从顶点P到对边CD（或其延长线）的垂直距离。####

垂直平分线的定义

经过线段中点且垂直于该线段的直线。

在本题图中，<note>直线PE经过线段AB的中点PE</note>，并且<note>直线PE垂直于线段AB</note>。因此，直线PE是线段AB的垂直平分线；<note>直线PF经过线段CD的中点PF</note>，并且<note>直线PF垂直于线段CD</note>。因此，直线PF是线段CD的垂直平分线。


Question: 如图,身高1.6米的学生小李想测量学校的旗杆的高度,当他站在C处时,他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合,并测得AC=2米,BC=8米,则旗杆的高度是()

Answer: 8米

1. 设旗杆的高度为h米。

2. 根据题意，小李头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，##设旗杆的顶点为E，小李的头顶交AE于点D。根据相似三角形的判定定理(AA)，∠ACD=ABE=90°，∠DAC=EAB，所以△ADC∽△ABE。

3. 依据相似三角形定义，##有AC/AB=DC/BE=AD/AE##。

4. ##已知AC=2，CB=8，AB=AC+BC=10，CD=1.6##。

5. 将已知量代入，得比值 ##(2米)/(8米+2米) =  1.6米/BE## 。

6. 化简比例式，得到：##1.6米/BE = 2米/10米##。

7. 解比例式，得：##BE = 8米##。

8. 经过上述推理，最终得出旗杆的高度为8米。

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>三角形ACB和三角形DCE是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>∠ACD = ∠ABE</note>，<note>∠ADC = ∠AEB</note>，<note>∠DAC = ∠EAB</note>；<note>AC/AB = DC/BE</note>，即<note>2/10 = 1.6/BE</note>，可以推出比例式<note>2/10 = 1.6/BE</note>，最后求出<note>BE = 8米</note>。

相似三角形的判定定理(AA)

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。


Question: 如图,△ABC中．∠C=90°,点D是边BC上一个动点(点D不与点C重合)．以CD为直径的圆交AD于点P．若AC=6．线段BP长度的最小值是2．则AB的长为()

Answer: 2√{13}

1. 已知 CD 为直径，根据##(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角##，得出∠CPD=90°。

2. ##因为以CD为直径的圆交AD于点P，根据平角的定义，∠CPD+∠APC=180°，所以 ∠APC=180°-∠CPD=180°-90°=90°，由##(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角##，得出点 P 在以 AC 为直径的圆上（记为⊙O）。

3. ##根据题目条件线段 BP 长度的最小值是 2，当B、P、O三点共线时，BP取得最小值，设 BP' = 2，则OB=OP'+BP'##。

4. ##以AC为直径的⊙O ##，AC = 6，故##半径 OA = OC = 3##。

5. ##所以根据半径的定义，OP'=3，代入等式中的OB=OP'+BP'=3+2=5##。

6. ##因为∠C=90°，根据直角三角形的定义，三角形ABC和三角形OBC是直角三角形。在直角三角形 OBC 中，OC = 3，OB = 5，根据勾股定理（毕达哥拉斯定理），得OB?=BC?+OC?，代入数值计算得，5?=BC?+3? => BC?=5?-3?=16 => BC  = √16 = 4##。

7. 在直角三角形##ABC## 中，∠C = 90°，AC = 6，BC = 4，##根据勾股定理（毕达哥拉斯定理），得AB?=BC?+AC?，代入数值得，AB?=4?+6?=52 => AB =  √52 = 2√13##。

8. 经过上述推理，最终得出 AB 的长度为 2√13。

直角三角形; 圆; 圆周角

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段。

<note>在本题图中</note>，以AC为直径的圆O中，<note>点O是圆心</note>，点A、C、P、P'是圆上的任意一点，线段<note>OA、OC、OP'</note>从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段<note>OA、OC、OP'</note>是圆的半径。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角

半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

<note>以CD为直径的圆中，直径CD所对的圆周角∠CPD是直角（90度）</note>，因为<note>∠APC=90°</note>，所以<note>点P是在以AC为直径的圆上（记为⊙O）</note>。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>直角三角形ABC中，角C是直角（90度）</note>，<note>边BC和边AC是直角边</note>，<note>边AB是斜边</note>，所以根据勾股定理，AB² = BC² + AC²。<note>直角三角形OBC中，角C是直角（90度）</note>，<note>边BC和边OC是直角边</note>，<note>边BO是斜边</note>，所以根据勾股定理，OB² = BC² + OC²。


Question: 求 A B。

Answer: 23

1. 已知条件为：边AB = 2x + 5，边BC = 3x - 4，边AC = 27。AB与BC的两个线段上分别有一个红色标记，这表示它们相等，##即AB=BC##。

####

##2##. 因此，我们可以得出2x + 5 = 3x - 4。

##3##. 解这个方程：将3x移至方程左侧并将常数移至方程右侧，得到2x - 3x = -4 - 5。

##4##. 简化方程，得到-x = -9，反之x = 9。

##5. 将x = 9代入边AB的表达式中，得出AB = 2x + 5 = 2*9 + 5 = 18 + 5 = 23。##

##6##. 经过上述推理，最终得出答案为AB = 23。

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

<note>在本题图中，等腰三角形ABC中，边AB和边BC相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>∠BAC = ∠BCA</note>。


Question: 如图,点A、B、C是⊙O上三点且AB=AC,连接BO、CO,若∠ABC=65°,则∠BOC的度数是()

Answer: 100°

1. 已知AB=AC，点A、B、C是⊙O上的点，##根据等腰三角形的定义，我们知道三角形ABC为等腰三角形##。

2. ##根据等腰三角形的性质，可知∠ABC=∠ACB。又根据三角形内角和定理可得##∠ABC + ∠ACB + ∠BAC = 180°。

3. 已知∠ABC = 65°，∠ACB = 65°，根据上述第2步，我们可以得到∠BAC = 180° - 65° - 65° = 50°。

4. ∠BOC为⊙O中AB和AC的对应圆心角，根据##圆周角##定理：圆周角等于对应圆心角的一半。所以，∠BOC = 2 * ∠BAC。

5. 由第3步得出，∠BAC=50°，因此∠BOC=2 * 50° = 100°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为∠BOC的度数是100°。

等腰三角形; 圆; 圆周角; 圆心角

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

在本题图中，三角形ABC中，<note>边AB和边AC相等</note>，因此<note>三角形ABC是一个等腰三角形</note>。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

在本题图中，圆O中，<note>角ABC的顶点B在圆周上</note>，<note>角ABC的两边分别与圆O相交于点A和点C</note>。因此，角ABC是一个圆周角。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

<note>在本题图中，等腰三角形ABC中，边AB和边AC相等。</note>因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>角ABC = 角ACB</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>在本题图中，三角形ABC中，角∠ABC、角∠ACB和角∠BAC是三角形ABC的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>∠ABC + ∠ACB + ∠BAC = 180°</note>。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

<note>∠BOC是弧BC所对应的圆心角</note>，<note>∠BAC是弧BC所对应的圆周角</note>。根据圆周角定理，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半，即<note>∠BAC = 1/2 ∠BOC</note>。因此，<note>∠BOC = 2 * ∠BAC = 2 * 50° = 100°</note>。


Question: 如图,点A、B、C是⊙O上的三点,若∠BOC=80°,则∠A的度数是()

Answer: 40°

1. 已知点A、B、C是⊙O上的三点，角BOC=80°。

2. 根据圆周角定理，圆周角等于所对圆心角的一半，即圆心角BOC对应的圆周角BAC为其一半。

3. 由圆周角定理可知：角BAC = 1/2 * 角BOC。

4. 所以，角BAC = 1/2 * 80° = 40°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为40°。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

在本题图中，圆 O 中，<note>角 BAC 的顶点 A 在圆周上</note>，<note>角 BAC 的两边分别与圆 O 相交于点 B 和点 C</note>。因此，<note>角 BAC 是一个圆周角</note>。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

<note>在本题图中，圆O中，点B和点C是圆上的两点，圆心是点O</note>。<note>连线OB和OC组成的角∠BOC称为圆心角</note>。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。


Question: 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,则\cosA的值为()

Answer: \frac{3}{5}

1. 已知在直角三角形ABC中，∠C = 90°，AC = 3，BC = 4，根据已知条件我们要计算边AB。

2. ##根据勾股定理（毕达哥拉斯定理）##，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，即：AB^2 = AC^2 + BC^2。

3. ##代入已知条件，##即：AB = √(AC^2 + BC^2) = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5。

4. 由此得出斜边AB的长度为5。

5. ##根据余弦函数，∠A的余弦值等于邻边长度除以斜边长度。##

6. ##具体在本题中，cos(∠A) = 邻边AC / 斜边AB = 3 / 5。##

7. 经过上述推理，最终得出答案为3/5。

直角三角形; 余弦; 线段

余弦函数

余弦函数是一个三角函数，它可以通过直角三角形中的边来定义，对于一个角α，它的余弦值等于角α的邻边与斜边的比值。在单位圆中，余弦值是指从圆心到圆上与x轴夹角为α的点的横坐标。

<note>在本题图中，直角三角形ABC中，边AC是∠A的邻边，边AB是斜边。</note> 因此，根据余弦函数的定义，<note>∠A的余弦值等于邻边AC与斜边AB的比值，即cos(∠A) = AC / AB = 3 / 5。</note>

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>直角三角形ABC中</note>，<note>角C是直角（90度）</note>，<note>边AC和BC是直角边</note>，<note>边AB是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>AB^2 = AC^2 + BC^2</note>。


Question: 求 x。

Answer: 12.5

1. 已知条件为：##三角形WXY中ZT平行于XY，其中XY = 16, ZT = 10, 以及WY = 20。##

2. ##根据平行线的平行公理2，角WZT=角X，又因为角W为公用角，根据相似三角形的判定定理(AA)，三角形TZW 相似于三角形WXY。##。

3. 根据相似三角形的性质得知：####

   ZT/XY = WT/WY##

4. 根据相似三角形的比例关系以及下列计算得出

   10/16 = x/20

   x = 10/16 * 20 = 12.5##

5. 经过上述推理,最终得出答案为12.5。##

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>三角形WZT和三角形WXY是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>∠W = ∠W</note>, <note>∠WZT = ∠WXY</note>, <note>∠WTZ = ∠WYX</note>；<note>ZT/XY = WT/WY</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>在本题图中，两条平行线ZT和XY</note>被<note>第三条直线WZ所截</note>，形成了以下几何关系：1. <note>同位角：角WZT和角X</note>相等。####

相似三角形的判定定理(AA)

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。


Answer: 130°

1. 已知点A、B、C、D是⊙O的内接四边形，并且角ABC等于115°。

2. ##根据(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理##，即∠ABC + ∠ADC = 180°，因此∠ADC = 180° - ∠ABC = 180° - 115° = 65°。

3. ##弧ABC对应∠AOC和∠ADC，根据圆心角的定义，∠AOC为圆心角；根据圆周角的定义，∠ADC为圆周角。根据圆周角定理，得∠AOC = 2∠ADC。##

4. 代入已知值，得到∠AOC = 2 × 65° = 130°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为130°。

圆内接四边形; 圆周角; 圆心角; 圆

弧的定义

弧是圆上两点之间的一段曲线。

<note>圆O上有两点A和C</note>，弧ABC是连接<note>这两点</note>的一段曲线。根据弧的定义，<note>弧ABC是圆上两点A和C之间的一段曲线</note>。

内接四边形

在本题图中，<note>四边形ABCD的四个顶点A、B、C和D都在同一个圆⊙O上</note>。这个圆称为<note>四边形ABCD的外接圆</note>。因此，<note>四边形ABCD是一个内接四边形</note>。根据<note>内接四边形的性质</note>，可以得出<note>对角相加等于180度</note>，即<note>∠ABC + ∠ADC = 180度</note>，<note>∠BAD + ∠BCD = 180度</note>。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理

<note>四边形ABCD是⊙O的内接四边形</note>，符合定理，因此<note>∠ABC + ∠ADC = 180°</note>。已知<note>∠ABC = 115°</note>，所以<note>∠ADC = 180° - 115° = 65°</note>。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。


Question: 如图,点AC是⊙O的直径,若∠OBC=40°,则∠AOB的度数是()

Answer: 80°

1. 已知OC=OB，由于它们是同一个圆中的两条半径，所以根据等腰三角形的性质，可以得出∠OBC=∠OCB=40°。

2. 在圆中，弧AB所对的圆周角是∠ACB，而所对的圆心角是∠AOB。

3. 根据圆周角定理，圆心角等于圆周角的两倍，所以有∠AOB=2×∠OCB。

4. 由于在步骤1中得出∠OCB=40°，因此∠AOB=2×40°=80°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为80°。

圆; 圆周角; 圆心角; 弧; 直角三角形

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

<note>点A和点C是圆O上的两个点</note>，<note>线段AC通过圆心O</note>，因此<note>AC是⊙O的直径</note>。根据直径的定义，直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

在本题图中，圆O中，<note>点O是圆心</note>，<note>点C和点B是圆上的任意一点</note>，<note>线段OC和线段OB是从圆心O到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段OC和线段OB是圆O的半径</note>。

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

在本题图中，三角形OBC中，<note>边OC和边OB相等</note>，它们是同一个圆的半径，因此<note>三角形OBC是一个等腰三角形</note>。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角

<note>在本题图中，圆O中，角ACB的顶点(点C)在圆周上</note>，<note>角ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B</note>。因此，<note>角ACB是一个圆周角</note>。####

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角

<note>在本题图中，圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O</note>。<note>连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角</note>。####

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

<note>在等腰三角形OBC中，边OB和边OC相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，<note>相等的两边所对的角相等</note>，即<note>角OBC = 角OCB</note>。


Question: 对于一对相似图形，使用给定的面积求从蓝色图形到绿色图形的比例因子。

Answer: \frac { 1 } { 2 }

1. ##已知蓝色图形和绿色图形为相似图形，且蓝色图形的面积为8平方英寸，绿色图形的面积为32平方英寸。##

2. ##根据相似多边形的面积比等于相似比的平方定理，可得 (S1/S2) = (l1/l2)^2，##其中S1和S2分别为两个相似图形的面积，l1和l2分别为两个相似图形的对应边长。

3. 把已知的面积代入面积比公式得：8/32 = (4/x)^2。

4. 计算得：1/4 = (4/x)^2。

5. 解方程：(4/x)^2 = 1/4，两边开平方后得：4/x = 1/2。

6. 解方程：4/x = 1/2，两端相乘得：2*4 = x，即x = 8。

7. 推导出x = 8，所以从蓝色图形到绿色图形的对应边长的##比例因子##为4/8 = 1/2。

8. 经过上述推理，最终得出答案为从蓝色图形到绿色图形的##比例因子##是1/2。

相似多边形的面积比等于相似比的平方定理

如果两个相似多边形的边长比是k，那么它们的面积比等于k的平方。

<note>蓝色图形和绿色图形为相似图形</note>，蓝色图形的面积为8平方英寸，绿色图形的面积为32平方英寸，<note>蓝色图形的边长为4英寸，对应绿色图形的边长为x英寸</note>，因此可得 <note>8/32 = (4/x)^2</note>。


Question: 求 x。

Answer: 4 \sqrt { 2 }

1. ##设三角形的三个顶点为A、B、C，已知∠ABC=90°，根据直角三角形的定义，△ABC为直角三角形。根据三角形内角和定理，已知∠BAC=45°，∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-90°-45°=45°##。

2. ##在直角三角形ABC中，因为∠BAC=∠ACB=45°，这说明这个三角形是一个45°-45°-90°的特殊直角三角形##，为等腰直角三角形##。

3. 根据##45°-45°-90°三角形的性质##，两个直角边长度相等，斜边则是直角边长度的√2倍。

4. ##在这个三角形中，BC的长度为4，根据##等腰直角三角形的定义##，AB的长度也是4##。

5. ##斜边AC的长度根据45°-45°-90°三角形的性质为AC=BC*√2=4 × √2，即x=4√2##。

6. 经过以上推理，最终得出答案为4√2。

直角三角形; 正弦; 余弦

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

在本题图中，<note>三角形中有一个角是直角（90度）</note>，因此这个三角形是一个直角三角形。已知其中<note>一条直角边的长度为4</note>。

等腰直角三角形的定义

等腰直角三角形是两个边相等且有一个角为90度的三角形。

<note>在本题图中，三角形ABC是等腰直角三角形</note>，其中<note>角ABC是直角（90度）</note>，<note>边AB和边BC是相等的直角边</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形ABC</note>中，<note>角ABC、角BAC和角BCA是三角形ABC的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角ABC + 角BAC + 角BCA = 180°</note>。####

45°-45°-90°三角形的性质

在45°-45°-90°三角形中，两个45度角所对的边相等，且斜边是任意一条直角边的√2倍。

<note>在本题图中，45°-45°-90°三角形ABC中，角BAC是45度，角BCA是45度，角ABC是90度</note>。<note>边AC是斜边，边AB和边BC是两个45度角所对的直角边</note>。根据45°-45°-90°三角形的性质，<note>边AB等于边BC的长度，边AC等于边BC的√2倍</note>。即：<note>AB = BC，AC = BC * √2</note>。


Question: 求 x。必要时四舍五入到十分位。假设看起来相切的线段是相切的。

Answer: 2

1. ##设圆内两条相交的弦分别为AB和CD，AB和CD相交的点为点E。已知圆内有弦AB和弦CD相交于点E，根据相交弦定理，可以得到AE * EB = CE * ED##。

2. ##已知AE=5，EB=4，CE=x，ED=x + 8，因此代入AE * EB = CE * ED得，5 * 4 = x * (x + 8)。将公式展开，得 20 = x^2 + 8x##。

3. ##把上述方程转化为## x^2 + 8x - 20 = 0 进行因式分解，得到 (x + 10)(x - 2) = 0。

4. 因此，我们可以得到两个根，x = -10 或 x = 2。

5. 由于几何图形中的长度不能为负数，因此舍去 x = -10。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 x = 2。

弦的定义

弦是连接圆上任意两点的线段。

<note>点A和点B是圆上的任意两点</note>，<note>线段AB连接了这两个点</note>，所以线段AB是圆的弦；<note>点C和点D是圆上的任意两点</note>，<note>线段CD连接了这两个点</note>，所以线段CD是圆的弦。

相交弦定理

若两条弦AB和CD相交于点E，则有AE * EB = CE * ED。

<note>圆内两条弦AB和CD相交于点E</note>，<note>弦AB被点E分成两段AE和EB</note>，<note>弦CD被点E分成两段CE和ED</note>，根据相交弦定理，可以得出<note>AE段的长度乘以EB段的长度等于CE段的长度乘以ED段的长度</note>。


Question: 求 m \angle 4。

Answer: 33

1. 已知条件为：一个角为123度的外角，根据三角形的外角定理，外角等于它所不相邻的##两个内角##之和。

2. ##设三角形为BCD，90度的直角为∠B，角123°为∠CDE##。

3. 根据##三角形的外角定理，得出∠CDE =∠B + ∠4## = 123°。

####

##4. 因为∠B=90°，那么得方程式：90° + ∠4 = 123°##。

##5##. 通过代数运算，得出##∠4## = 123° - 90° = 33°。

##6##. 经过上述推理，最终得出答案##m \angle 4即∠4的度数为33°##。

直角三角形; 三角形的外角; 邻补角

多边形的外角定义

多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。

<note>多边形BCD的一个内角为∠BDC</note>，延长该内角的相邻边<note>BD和CD形成的角123°称为内角∠BDC的外角</note>。

三角形的外角定理

三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。

<note>三角形的123度外角</note>等于与其不相邻的两个内角之和。<note>设三角形90度的直角为∠B，123度的外角为∠D，那么∠D=∠B + ∠4，即123° = 90°+ ∠4</note>。


Question: 这对多边形是相似的。求 x。

Answer: 6

1. 已知条件：##这对多边形是相似的，根据##相似图形的定义,相似图形的对应边的比相等##。

2. ##因此 AG/AD = AE/AB##。

3. 已知 ##DG## = 7.5, AD = x, ##EB## = 5##，AB=X-2。##

4. ####则有 ##(AD+DG)/AD = (AB+BE)/AB，代入得(7.5+x)/x = (x-2+5)/(x-2)##，结合相似性比例，我们得到相似比例方程。

5. 通过交叉相乘解方程：##(7.5+x)*(x-2)=x*(x+3)##。

6. 展开方程：##x^2+3x=7.5x-15+x^2-2x##。

7. 将 7.5x##，x^2和-2x## 移向方程左侧：5x - 7.5x = -15。

8. 化简方程：-2.5x = -15。

9. 两边同时除以 -2.5：x = -15 / -2.5。

10. 得到 x 的解：x = 6。

11. 经过上述推理，最终得出答案为 6。

矩形; 位似; 平行线; 线段; 普通多边形

相似图形的定义

如果两图形相似，那么它们对应边的比相等，对应角相等。

<note>在本题图中，图形 EFGA 和图形 ABCD 是相似图形</note>。根据相似图形的定义，它们对应边的比相等，即<note>边 AG 与边 AD 的比等于边 AE 与边 AB 的比</note>，即  <note>AG/AD = AE/AB</note>。同时，它们对应的角也相等，即 <note>∠AEF= ∠ABC</note>，<note>∠EFG = ∠BCD</note>，<note>∠AGF = ∠ADC</note>，<note>∠EAG = ∠BAD</note>。


Question: 求阴影部分的面积。四舍五入到十分位。

Answer: 157.1

1. 观察图形，发现这是一个直径为20的大圆，其中包含两个半径相同的小圆，且小圆与水平直径切于同一个点。

2. 根据题目条件，大圆的直径为20，因此大圆的半径为20/2 = 10。

3. 将直径20分成两部分，每部分为小圆的直径，从图中信息推测出，每个小圆的直径为10。因此，小圆的半径为10/2 = 5。

4. 大圆的面积公式为A = \pi \times r^2，因此大圆的面积为 A_大 = \pi \times 10^2 = 100\pi。

5. 每个小圆的面积公式同理可得 A_小 = \pi \times 5^2 = 25\pi。由于该图中有两个小圆，因此两个小圆的总面积为 50\pi。

6. 阴影部分（环状区域）的面积为大圆的面积减去两个小圆的面积，因此环状区域的面积为100\pi - 50\pi = 50\pi。

7. 使用 \pi \approx 3.14159，可得环状区域的面积为 50 \times 3.14159 = 157.0795。根据题意要求，最终将结果四舍五入到小数点后一位。

8. 经过计算和四舍五入，环状区域的面积为 157.1（近似到小数点后一位）。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

<note>在本题图中，大圆中，圆心是大圆的中心点，圆上的任意一点是大圆周上的任意一点，线段从##圆心##到圆周上的任意一点的距离是大圆的半径</note>，因此大圆的半径为10（由大圆的直径20得出，20/2=10）。<note>每个小圆中，圆心是小圆的中心点，圆上的任意一点是小圆周上的任意一点，线段从圆心到圆周上的任意一点的距离是小圆的半径</note>，因此每个小圆的半径为5（由小圆的直径10得出，10/2=5）。

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

<note>大圆的直径</note>为20，连接了圆心和圆周上的两点，长度为2倍的半径，即20 = 2 * 10。<note>每个小圆的直径</note>为10，连接了小圆的圆心和圆周上的两点，长度为2倍的小圆的半径，即10 = 2 * 5。

圆的面积公式

圆的面积公式为A = πr^2，其中A表示面积，π是圆周率，r是圆的半径。

在本题图中，大圆的<note>半径是10</note>，小圆的<note>半径是5</note>。根据圆的面积公式，<note>圆的面积A等于圆周率π乘以半径的平方</note>。大圆的面积<note>A_大 = π ×10^2= 100π</note>，小圆的面积<note>A_小 = π ×5^2 = 25π</note>。

两圆相切的定义

两圆相切是指两圆有一个公共切点且其切线重合。

<note>上下两个小圆与大圆均相切于一个公共点</note>，这意味着每个小圆的圆周与大圆的圆周在<note>这一个公共点处相切</note>。


Question: 求 x。

Answer: 5

1. 已知条件为一个直角三角形，##斜边为10，其中一个角为60°，根据三角形内角和定理可得另外一个角为30°##。

2. 在直角三角形中，##根据30°-60°-90°三角形的性质，可知30°所对的边是斜边的一半，即x=10/2=5##

####

##3##. 经过上述推理，最终得出答案为5.

直角三角形; 正弦; 余弦; 正切

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>角为直角（90度）</note>，因此该三角形是一个直角三角形。<note>边x和边y是直角边</note>，<note>边10是斜边</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°

<note>三角形中，三个角是三角形的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>三角和为180°</note>。

30°-60°-90°三角形的性质

在30°-60°-90°三角形中，30度角所对的边短，是斜边的一半，60度角所对的边则为短边的√3倍

在本题图中，三角形中，<note>三个角分别为30°-60°-90°</note>。<note>边10是斜边</note>，<note>边x是30度角所对的边</note>，<note>边y是60度角所对的边</note>。根据30°-60°-90°三角形的性质，<note>边x等于边10的一半</note>，<note>边y等于边x的√3倍</note>。即：<note>x= 1/2 * 10</note>，<note>y= x * √3</note>。##


Question: 求平行四边形的面积。

Answer: 552

1. 在题目中提供的图形为平行四边形，其一边长为23英尺，##该边上的高为24英尺##。

2. ##根据平行四边形的面积公式，##知道平行四边形的面积的计算公式为：面积 = 底边 * 高。

3. 因此，根据##平行四边形的面积公式##，可以得出平行四边形的面积为23英尺 * 24英尺 = 552平方英尺。

4. 由此推断出平行四边形的面积为552平方英尺。

平行四边形; 平行线; 垂线

平行四边形的定义

平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。

平行四边形的面积公式

一个平行四边形的面积等于它的底边长乘以对应的高，即A = 底边长 × 高。

<note>底边长为23英尺</note>，<note>对应的高是从底边到对边的垂直距离，为24英尺</note>。因此，根据平行四边形的面积公式，平行四边形的面积等于底边长乘以对应的高，即<note>A = 23英尺 × 24英尺 = 552平方英尺</note>。

平行四边形的高

平行四边形的高是从一条边的顶点到其对边的垂直距离。

<note>平行四边形ABCD中，边AB和边CD是平行的</note>。<note>顶点A到对边CD的垂直距离是平行四边形的高</note>。具体来说，<note>从顶点A作一条垂直于边CD的线段</note>，该线段的长度即为平行四边形的高。


Question: 求 \\angle 1 的度数。

Answer: 65

####

##1. 由图中在EG和DG两条线的交点处画一个直角标记，表示这两条线互相垂直，所以∠EGD为直角，即∠EGD=90°。在三角形DEG中，已知∠EGD=90°，∠E=25°##。

##2##. 根据三角形内角和定理，##任意三角形的三个内角的和为180°，所以∠E+∠1+∠EGD=180°。已知∠EGD=90°，∠E=25°，所以∠1=180°-∠E-∠EGD=180°-90°-25°=65°##。

####

##3##. 经过上述推理，最终得出答案为∠1=65°。

直角三角形; 三角形的外角

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形EDG中，角GED、角EGD和角EDG是三角形EFG的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角GED + 角EGD + 角EDG = 180°</note>。

垂线定义

如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。


Question: 求图形的周长。四舍五入到最接近的十分位。

Answer: 19.5

1. 已知条件为圆的直径为6.2厘米。

2. 根据圆周长的公式C = π * d，其中C表示圆周长，d表示直径，π一般取值为3.14。

3. 代入已知条件，得到圆的周长C = 3.14 * 6.2。

4. 计算得C = 19.468，四舍五入到小数点后一位，即得出答案为19.5。

5. 经过上述推理，最终得出答案为19.5厘米。

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

<note>在本题图中，设圆心为O</note>，<note>经过圆心的线段交圆周于A、B两点，则AB是直径</note>，连接了圆心O和圆周上的A、B两点，长度为2倍的半径，即<note>AB = 2AO</note>。

圆的周长公式

圆的周长是圆周的长度，可以通过公式C=2πr计算，其中C是周长，r是半径。

在本题图中，<note>圆的直径d为6.2厘米</note>。根据圆的周长公式<note>C =2πr= π * d</note>，其中C表示圆周长，<note>d表示直径</note>。将直径代入公式，得到圆的周长<note>C = 3.14 * 6.2</note>。通过计算得到了具体的圆的周长为19.468厘米，进一步四舍五入到小数点后一位，最终得出答案为19.5厘米。


Question: 弦 A C 和 D F 到圆心的距离相等。如果 \\odot G 的半径是 26，求 A C。

Answer: 48

1. 已知圆中心为G，半径GA=26，####由图知GE = 10 和 GB = 10。##因为弦 A C 和 D F 到圆心的距离相等，所以GB=GE=10。并且根据点到直线的距离可得：BG⊥AC，GE⊥DF。##

##2. 根据垂径定理，得AB=BC=?AC。 在△ABG中，∠ABG=90°，根据直角三角形的定义，△ABG为直角三角形，根据勾股定理，AG?=GB?+AB?。##

##3. 因为GA=26，GB=10，代入算式中得 26?=10?+AB?。进一步解方程可得AB?= 26?-10?=>AB=√(26?-10?)= √(676 - 100) = √576 = 24。##

##4. 因为AB=?AC，所以AC=2AB=2*24=48。##

5. 经过上述推理，####最终得出弦AC的长度为48。

圆; 弦; 对称; 垂直平分线; 直角三角形

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

在本题图中，圆G中，<note>点G是圆心</note>，<note>点A和点D是圆上的任意两点</note>，<note>线段GA和GD是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段GA和GD是圆的半径</note>。

垂径定理

如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。

点到直线的距离

点到直线的距离是指直线外一点到该直线的最短距离，即垂直距离

在本题图中，<note>点 G 是直线 AC 外的一点</note>，作<note>点 G 到直线 AC 的垂线段 GB</note>。根据点到直线距离的定义，<note>垂线段 GB 的长度是点 G 到直线 AC 的最短距离</note>，即 <note>d=GB</note>。<note>点 G 是直线 DF 外的一点</note>，作<note>点 G 到直线 DF 的垂线段 GE</note>。根据点到直线距离的定义，<note>垂线段 GE 的长度是点 G 到直线 DF 的最短距离</note>，即 <note>d=GE</note>。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。


Question: 线段与圆相切。求x。四舍五入到十分位。

Answer: 8.5

1. 已知条件为##线段 VU## 为圆的切线，圆心为点 T，##切点为U##，TV = 11。根据##圆的切线性质，圆的半径UT⊥VU##。

2. ##根据直角三角形的定义可得：三角形UVT是一个直角三角形##，根据勾股定理（直角三角形斜边的平方等于其他两条边的平方和），适用于直角三角形 UVT，因此 VU^2 = VT^2 ##-## UT^2。

3. 已知 UV = 7，VT = 11，设 UT = x。代入勾股定理公式：7^2 = 11^2 ##-## x^2，这可以转化为等式：49 = 121 ##-## x^2。

4. 将等式简化并解出平方根：49 = 121 ##-## x^2 => x^2 = ##121-49## => x^2 = ##72## => x =##√72##≈ 8.485。

5. 经过上述推理，####答案四舍五入为一位小数即为 8.5。

切线; 直角三角形; 圆

圆的切线定义

圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。

<note>圆与##线段 VU##有且只有一个##公共点 U##</note>，这个公共点叫做切点。因此，<note>##线段 VU##是圆的切线</note>。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>在本题图中，三角形 VUT 中，角 ∠VUT 是直角（90度），因此三角形 VUT 是一个直角三角形。</note><note>边 VU</note>和<note>边 UT 是直角边</note>，<note>边 VT 是斜边</note>。

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>三角形 VUT 是直角三角形</note>，<note>∠VUT 是直角（90度）</note>，边 UT 和 <note>边 VU 是直角边</note>，<note>边 VT 是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>VT^2= UT^2 + VU^2</note>。


Question: 求 J L。

Answer: 14

1. 题目给出的条件为三角形 JKL 中的三条边，分别为## JL = x + 12 、 KL = 11x - 8 、以及 JK = 7x## 。

2.## 根据边的相等关系，有：JK=JL=KL，即 x + 12 = 11x - 8 = 7x。##

3. ##解方程，得到x =2##

4. ##所以JL= x +12 =14##。

####

##5##. 最终得出答案，边 JL 的长度为 14。

等腰三角形; 线段; 三角形的外角

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

<note>三角形 JKL</note>是由<note>三个非共线点 J、K、L</note>及其<note>连接线段 JK、KL、JL</note>组成的几何图形。<note>点 J、K、L</note>分别是三角形的<note>三个顶点</note>，<note>线段 JK、KL、JL</note>分别是三角形的<note>三条边</note>。

等边三角形的定义

等边三角形是所有三条边长度相等并且所有内角都相等（均为60°）的三角形。


Question: 求解 x。

Answer: 9.6

1. 已知图中有一个大三角形和一个小三角形，##设大三角形的顶点分别为A、B、C，设小三角形的顶点分别为A、D、E##。

2. ##由图可得，角A为大三角形ABC和小三角形ADE的公共角，即∠DAE=∠BAC，DE平行于BC，根据平行线的平行公理2，同位角相等，∠ADE=∠ABC##。

3.##依上一步可得，∠DAE=∠BAC，∠ADE=∠ABC，根据相似三角形的判定定理(AA)，大三角形ABC与小三角形ADE相似##。

4. ##根据相似三角形的定义，三角形相似时，对应边成比例，即AD/AB=AE/AC##。

5. ##由图可知，AD=x，AB=4+x，AE=12，AC=12+5，代入比例式得：x/4+x=12/12+5##。

6. ##交叉相乘得到（4+x） * 12 = 17 * x，化简得48+12x=17x，整理得5x=48，x=9.6##。

7. 经过上述推理，最终得出答案为9.6。

普通三角形; 等腰三角形

相似三角形的定义

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。

<note>大三角形和小三角形相似</note>。根据相似三角形的定义，有：<note>大三角形和小三角形有一个公共角</note>，且<note>大三角形的两个角分别等于小三角形的两个角</note>。根据相似三角形的性质，<note>对应边成比例，即AD/AB=AE/AC</note>。##

相似三角形的判定定理(AA)

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>在本题图中，两条平行线DE和BC被第三条直线AB所截</note>，形成了以下几何关系：<note>同位角：角ADE和角ABC相等</note>。####


Question: m \angle B A C = 38, B C = 5, 和 D C = 5, 求 m \angle D A C.

Answer: 38

1. ##已知条件为∠BAC=38°，根据题目图示以及定义，∠ABC和∠ADC均为直角，即∠ABC=90°，∠ADC=90°##。

2. 在△ABC中，已知边BC=5，角∠ABC=90°，##根据直角三角形的定义，△ABC是直角三角形。BC和AB是直角边，AC是斜边##。

3. 同理在△ADC中，已知边DC=5，##角∠ADC=90°，根据直角三角形的定义，△ADC是直角三角形。DC和AD为直角边，AC为斜边##。

4. ##根据直角三角形全等判定（斜边、直角边），因为BC=DC=5，AC=AC，所以直角三角形ABC?直角三角形ADC##。

5. ##根据全等三角形的定义，∠DAC=∠BAC。由此可知，∠DAC=38°##。

6. 经以上步骤推理，最终的##∠DAC##等于38°。

普通三角形; 等腰三角形; 垂线

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

在本题图中，<note>三角形ABC是由三个非共线点A、B、C及其连接线段AB、BC、AC组成的几何图形</note>。<note>点A、B、C分别是三角形的三个顶点</note>，<note>线段AB、BC、AC分别是三角形的三条边</note>。<note>三角形ADC是由三个非共线点A、D、C及其连接线段AD、DC、AC组成的几何图形</note>。<note>点A、D、C分别是三角形的三个顶点</note>，<note>线段AD、DC、AC分别是三角形的三条边</note>。##

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

在本题图中，三角形ABC中，<note>角∠ABC是直角（90度）</note>，因此三角形ABC是一个直角三角形。边AB和边BC是直角边，边AC是斜边。同理，三角形ADC中，<note>角∠ADC是直角（90度）</note>，因此三角形ADC是一个直角三角形。边AD和边DC是直角边，边AC是斜边。

直角三角形全等判定（斜边、直角边）

在本题图中，直角三角形ABC和直角三角形ADC中，假设角ABC和角ADC都是直角（90度）。如果边AC等于边AC（斜边），并且边DC等于边BC（直角边），那么根据直角三角形全等判定（斜边、直角边），这两个直角三角形ABC和ADC全等。####name:全等三角形的定义content:两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等。

在本题图中，<note>三角形ABC和三角形ADC是全等三角形</note>，<note>三角形ABC的对应边和对应角与三角形ADC相等</note>，即：
<note>边AB = 边AD</note>，
<note>边BC = 边CD</note>，
<note>边AC = 边AC</note>，
同时，对应的角也相等：
<note>角ABC = 角ADC</note>,
<note>角ACB = 角ACD</note>,
<note>角DAC = 角BAC</note>。


Question: 如果 x = 32 且 r = 18，图中所示弧的长度是多少？

Answer: 16*\pi/5

1. 已知条件为角度x = 32和半径r = 18，##设圆心为O，图中上面的半径与圆交于A点，下面的半径与圆交于B点。根据扇形的弧长公式，弧长L = θ * r（θ以弧度制表示）##开始计算弧长。

2. ##依据角度与弧度的换算公式，将32度转换为弧度为32 * π / 180 = 16π / 90，和半径r = 18一起代入公式：L = (16π / 90) * 18##。

####

##3##. 经过上述计算，弧长的长度为(16/5)π。

##4##. 最终得出答案为16π/5。

扇形的弧长公式

扇形的弧长L等于圆心角θ（以弧度制表示）乘以半径r：L = θr。

在本题图中，扇形中，<note>圆心角为x = 32度</note>，<note>半径为r = 18</note>。根据扇形的弧长公式，<note>弧长L等于圆心角θ（以弧度制表示）乘以半径r</note>，即L = θ * r。将32度转换为弧度为<note>32 * π / 180 = 16π / 90</note>，代入公式<note>L = (16π / 90) * 18</note>。

圆的定义

到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。

在本题图中，圆中，<note>点O是圆心，半径为18</note>。<note>图中所有到点O的距离等于18的点都在圆上</note>。

弧的定义

弧是圆上两点之间的一段曲线。

<note>圆上有两点A和B</note>，弧AB是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，<note>弧AB是圆上两点A和B之间的一段曲线</note>。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角

<note>圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O</note>。<note>连线OA和OB组成的角∠AOB</note>称为圆心角。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

<note>圆O中，点O是圆心</note>，<note>点A是圆上的任意一点</note>，<note>线段OA是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段OA是圆的半径</note>。<note>点B是圆上的任意一点</note>，<note>线段OB是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段OB是圆的半径</note>。

扇形的定义

由一个圆的两条半径与它们所夹的圆弧组成的图形称作扇形

在本题图中，<note>扇形OAB</note>中，<note>半径OA和半径OB是圆的两条半径，圆弧AB是由这两条半径所夹的圆弧</note>，所以根据扇形的定义，由这两条半径和<note>它们所夹的圆弧AB组成的图形为扇形</note>。

角度与弧度的换算公式

弧度=角度*（π/180），角度=弧度*（180/π）

在本题图中，圆<note>O中，∠AOB=32°</note>，根据<note>角度与弧度的换算公式</note>，换算为<note>弧度=角度*（π/180），即32°*（π/180）</note>##


Question: \triangle L M N \cong \triangle Q R S。求 x。

Answer: 5

1. ##已知条件为△L M N ? △Q R S，根据全等三角形的定义，对应角相等，对应边相等，可以得到LN=SQ，因此有 3x + 5 = 2x + 10##。

####

##2##. 解方程 3x + 5 = 2x + 10，得到：x = 5。

##3##. 经过以上推理，最终得出答案为 x = 5。

普通三角形; 对称; 平移

全等三角形的定义

两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等。

<note>△LMN ≌ △QRS</note>，根据全等三角形的性质，可知：<note>∠LNM = ∠QSR</note>，<note>∠LMN = ∠QRS</note>，<note>∠MLN = ∠RQS</note>，并且对应边相等，即：<note>边LN = 边QS</note>，<note>边LM = 边QR</note>，<note>边MN = 边RS</note>。


Question: 求 m \angle 1.

Answer: 108

##1. 在△RQP中，利用三角形内角和定理，得到 ∠RQP + ∠QPR + ∠PRQ = 180°。##

2. 根据题目中的已知条件，##∠PQR = 90° ，此外还知道 ∠QRP = 33°##。

3. 代入上述已知条件到内角和公式：##90°  + ∠QPR + 33°= 180°##。

4. 化简方程可以求得 ##∠QPR = 180° - 90° - 33° = 57°##。

##5. △QPS中，∠PQS=51°，∠QPS=57°，根据三角形内角和定理，得到 ∠QSP =180° -∠SQP + ∠QPS=180°-57°-51°=72°  。##

##6. 根据邻补角的定义，∠1=∠QSR，可得∠1为∠QSP的邻补角，∠1=180°-∠QSP=180°-72°=108°。##

##7. 根据上面步骤得到的信息，最后得出 ∠1 = 108°。##

####

直角三角形; 三角形的外角; 内错角

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>在三角形RQP中，角RQP、角QPR和角PRQ 是三角形RQP的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角RQP + 角QPR + 角PRQ = 180°</note>。在三角形PQS中，<note>角PQS、角QPS和角PSQ是三角形PQS的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角PQS + 角QPS + 角PSQ = 180°</note>。


Answer: 25°

1.已知∠BOC=50°，根据##圆周角定理，我们知道圆周角是等于它的弧所对应的圆心角的一半，并即∠BAC = 1/2∠BOC## =25°。

2. 根据题中已知弦AC平行于半径OB，##根据平行线的平行公理2，内错角相等。得∠BAC=∠OBA=25°。##

3. ##因为OA和OB都是圆O的半径，所以三角形AOB是等腰三角形。##

4. 根据步骤1和步骤2，我们知道∠OBA=25°，故∠OAB=25°。

##5##. 经过上述推理，最终得出的答案为25°。

圆; 弧; 圆心角; 平行线

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

<note>圆O中</note>，<note>点A、B、C在圆上</note>，<note>弧BC对应的圆心角为∠BOC=50°</note>，<note>圆周角为∠BAC</note>。根据圆周角定理，<note>∠BAC等于它所对的弧BC所对应的圆心角∠BOC的一半</note>，即<note>∠BAC = 1/2 ∠BOC = 25°</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>弦AC平行于半径OB</note>，形成了以下几何关系：1. <note>内错角：∠BAC和∠OBAC相等，即∠BAC=∠OBA=25°</note>。根据平行线的平行公理2，<note>如果两条平行线被第三条直线所截，内错角相等</note>。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

在本题图中，<note>等腰三角形OAB中，边OA和边OB相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，<note>相等的两边所对的角相等，即∠OBA = ∠OAB</note>。

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

<note>在本题图中，三角形OAB中，边OA和边OB相等</note>，因此<note>三角形OAB是一个等腰三角形</note>。