Question:
求WY和△VWX的面积。

将你的答案写成整数或四舍五入到最接近的十分位的十进制数。
WY= \$ox\$  mm
Area= \$ox\$  mm ^ 2

Answer: WY=13.1 mmArea=91.7 mm ^ 2

1. 从题目图示中，已知在△VWY中，∠VYW为90°，那么△VWY是一个直角三角形。

2. 使用正弦函数定义: 在一个直角三角形中，sin(θ) = 对边 / 斜边。

3. 在△VWY中，已知∠WVY = 55°，斜边VW = 16 mm，需要求出对边WY。

4. 根据正弦定义，sin(55°) = WY / 16。

5. 代入sin(55°) ≈ 0.8191，得到0.8191 = WY / 16。

6. 通过移项得到WY = 0.8191 × 16。

7. 计算得到WY ≈ 13.1 mm。

8. 现在计算△VWX的面积。由于YW是△VWX中的高，所以△VWX的底边为VX = 14 mm，且高WY = 13.1 mm。

9. 使用三角形面积公式: 面积 = 1/2 × 底 × 高。

10. 代入底为14 mm，高为13.1 mm，得到面积 = 1/2 × 14 × 13.1。

11. 计算得到面积 ≈ 91.7 mm²。

12. 经过上述推理，最终得出答案为WY ≈ 13.1 mm，面积 ≈ 91.7 mm²。

Definition of Right Triangle

在本题图中，三角形VWY中，<note>角VYW是直角（90度）</note>，因此<note>三角形VYW是一个直角三角形</note>。


Question:
求 VY 和 △WXY 的面积。

请将答案写成整数或四舍五入到最接近的十分位的小数。
VY= \$ox\$  km
Area= \$ox\$  km ^ 2

Answer: VY=2.4 kmArea=14.4 km ^ 2

1. 已知角 ∠VXY = 90°，说明△VXY 是直角三角形。

2. 在直角三角形△VXY中，已知 ∠XYV = 20°，XY = 7 km。根据正弦定义，sin ∠VXY= 对边 (VY) / 斜边 (XY)。

3. 带入已知条件计算，sin 20° = VY / 7。

4. 查表或计算得 sin 20° ≈ 0.3420，所以 0.3420 = VY / 7。

5. 变形求解 VY 得 VY = 7 × 0.3420 ≈ 2.394 km。

6. 计算△WXY的面积。已知 WX = 12 km，所以面积 = 1/2 × WX × VY。

7. 代入数值，面积 = 1/2 × 12 × 2.394 = 14.364 km²。

8. 将面积结果四舍五入到小数点后1位得到 14.4 km²。

9. 经过上述推理，最终得出答案为 VY = 2.4 km, Area = 14.4 km²。

A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.

Definition of Sine Function

In a right-angled triangle, the sine of an acute angle is defined as the ratio of the length of the side opposite the angle to the length of the hypotenuse.

在本题图中，直角三角形VXY中，<note>角∠XYV是锐角</note>，<note>边VY是角∠XYV的对边</note>，<note>边XY是斜边</note>。根据正弦函数定义，<note>角∠YXV的正弦值等于对边VY与斜边XY的比值，即sin(∠YXV) = VY / XY</note>。

Area Formula of a Triangle

The area of any triangle is equal to its base multiplied by its height, divided by 2.

<note>边WX是底</note>，<note>线段YV是该底上的高</note>，所以三角形WXY的面积等于底WX乘以高YV除以2，即面积 = <note>(WX* YV) / 2</note>。


Question:
求 VY 和 △WXY 的面积。

请将答案写成整数或四舍五入到最接近的十分位。
VY= \$ox\$ mm
Area= \$ox\$ mm ^ 2

Answer: VY=31.3 mmArea=438.2 mm ^ 2

1. 已知△VXY是直角三角形，且∠VXY=67°，边XY的长度为34毫米。

2. 为便于计算∠XVY对边VY的长度，我们依据正弦定义：在直角三角形中，某个锐角的正弦值等于该角对边的长度除以斜边的长度。

3. 因此，sin(∠VXY) = VY / XY。

4. 将已知数值代入，sin(67°) = VY / 34。

5. 查找或计算sin(67°)约等于0.9205，带入上式，得到0.9205 = VY / 34。

6. 解方程得到VY = 0.9205 * 34 = 31.2971毫米。

7. 我们近似取VY = 31.3毫米。

8. 接下来，计算△WXY的面积，已知WX=28毫米。

9. 根据三角形面积公式：面积 = 1/2 * 底 * 高，其中底是WX，高是VY，从而面积 = 1/2 * WX * VY。

10. 代入数值得到：面积 = 1/2 * 28毫米 * 31.3毫米。

11. 计算得出：面积 = 438.2平方毫米。

12. 综上所述，VY的长度为31.3毫米，△WXY的面积为438.2平方毫米。

Definition of Right Triangle

<note>在本题图中，三角形VXY中，角∠XVY是直角（90度）</note>，因此三角形VXY是一个直角三角形。<note>边VX和边VY是直角边</note>，<note>边XY是斜边</note>。


Question: 求△XYZ的面积。请将答案写成整数或四舍五入到最接近的十分位的小数。\$ox\$ m ^ 2

Answer: 2.8 m ^ 2

1. 已知 m ∠ Y = 26°，m ∠ X = 132°。根据三角形内角和定理，三角形内角之和为 180°，得出 m ∠ Y + m ∠ X + m ∠ Z = 180°。

2. 代入已知角度，得到 26° + 132° + m ∠ Z = 180°。

3. 求解以上方程，得到 158° + m ∠ Z = 180°，因此 m ∠ Z = 22°。

4. 根据正弦定理，计算边 ZX 的长度 |ZX| = y。正弦定理公式为 a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)，其中 a、b、c 分别为三角形的边长，对应的 A、B、C 为对边的角度。

5. 应用已知条件并代入正弦定理 x/sin(X) = y/sin(Y)。

6. 已知 |YZ| = 5 m，是 ∠ X 的对边，对应角度 ∠ X = 132°和 ∠ Y = 26°。

7. 代入数值：5/sin(132°) = y/sin(26°)。

8. 计算 sin(132°) ≈ 0.7431 和 sin(26°) ≈ 0.4384。

9. 整理得到 5/0.7431 = y/0.4384。

10. 解方程得到 y = 5 * (0.4384/0.7431) ≈ 2.9498。

11. 使用三角形面积公式（使用正弦函数）计算 ∆XYZ，面积公式为 (1/2)ab⋅sin(C)，其中 a、b 为已知边，C 为夹角。

12. 在本题中 a = |YZ| = 5 m，b ≈ 2.9498 m，夹角 C 为 ∠ Z = 22°。

13. 代入面积公式，得到面积 = (1/2) * 5 * 2.9498 * sin(22°)。

14. 计算 sin(22°) ≈ 0.3746。

15. 计算面积 = 0.5 * 5 * 2.9498 * 0.3746。

16. 进行计算得到面积 ≈ 2.7625。

17. 将结果四舍五入至小数点后一位，面积 ≈ 2.8 m²。

18. 经过上述推理，最终得出答案为 2.8 m²。

Definition of an Angle

An angle is a geometric figure formed by two rays sharing a common endpoint. This common endpoint is called the vertex of the angle, and the two rays are referred to as the sides of the angle.

在本题图中，角 <note>∠XYZ 是由射线 XY 和 YZ 组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点Y</note>。这个共同的端点 Y 称为<note>角 ∠XYZ 的顶点</note>，而射线 XY 和 YZ 称为<note>角 ∠XYZ 的边</note>。角 <note>∠YXZ 是由射线 YX 和 XZ 组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点X</note>。这个共同的端点 X 称为<note>角 ∠YXZ 的顶点</note>，而射线 YX 和 XZ 称为<note>角 ∠YXZ 的边</note>。角 <note>∠XZY 是由射线 XZ 和 YZ 组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点Z</note>。这个共同的端点 Z 称为<note>角 ∠XZY 的顶点</note>，而射线 XZ 和 YZ 称为<note>角 ∠XZY 的边</note>。

Triangle Angle Sum Theorem

The sum of the interior angles of any triangle is 180°.

在本题图中，三角形XYZ中，<note>角∠X、角∠Y和角∠Z是三角形XYZ的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角∠X + 角∠Y + 角∠Z = 180°</note>。

Sine Theorem

In any triangle, the ratio of the length of each side to the sine of its opposite angle is constant and equal to the diameter of the circumcircle, i.e., \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2r = D \) (where \( r \) is the radius of the circumcircle, and \( D \) is its diameter).

<note>任意三角形△XYZ中，边XZ、YZ和XY分别对应角∠Y、∠X和∠Z</note>。根据正弦定理，各边的长度与其所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径，即：<note>XZ/sin(∠Y)=YZ/sin(∠X)=XY/sin(∠Z) = 2r = D（其中r为外接圆半径，D为直径）</note>。在本题中，已知对边<note>YZ=5 m，对应角度∠X=132°</note>；对边<note>XZ=y对应角度∠Y=26°</note>，应用正弦定理可得<note>5/sin(132°)=y/sin(26°)</note>。

Triangle Area Formula (Using Sine Function)

The area \( S \) of any triangle can be expressed as \( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C) \), where \( a \) and \( b \) are the lengths of two sides, and \( C \) is the angle between these two sides.

<note>边ZY和边XZ分别为a和b</note>，<note>角XZY为这两边的夹角C</note>。根据三角形面积公式，三角形XYZ的面积S可以表示为S = (1/2) * a * b * sin(C)，即<note>S = (1/2) *ZY *XZ * sin(XZY)</note>。


Question:
求TV和△UVW的面积。

将答案写成整数或四舍五入到最接近的十分位的十进制数。
TV= \$ox\$  m
Area= \$ox\$  m ^ 2

Answer: TV=5.7 mArea=51.3 m ^ 2

1. 已知△TUV是一个直角三角形，其中∠UTV为90°，∠VUT为26°，边长UV=13米。

2. 根据正弦函数定义，sin(θ)表示对边与斜边之比。因此，对于△TUV，我们有sin(∠VUT)=TV/UV。

3. 将已知信息代入，sin(26°)=TV/13。

4. 计算出sin(26°)=0.4384（四舍五入取小数点后四位），因此我们得到0.4384=TV/13。

5. 解方程0.4384=TV/13，得出TV=0.4384×13=5.6992米。

6. 因此，TV细化到小数点后第一位为5.7米。

7. 现在计算△UVW的面积。我们将UW看作三角形的底，TV看作高。所以，△UVW的面积A为：A=1/2×UW×TV。

8. 已知UW=18米，TV=5.7米，因此面积A=1/2×18×5.7=51.3平方米。

9. 经过上述推理，最终得出答案为TV=5.7米，△UVW的面积为51.3平方米。

Definition of Right Triangle

在本题图中，<note>三角形TUV中，角VTU是直角（90度）</note>，因此<note>三角形TUV是一个直角三角形</note>。<note>边TU和边TV是直角边，边UV是斜边</note>。

Area Formula of a Triangle

在本题图中，三角形UVW中，<note>边UW是底</note>，<note>线段TV是该底上的高</note>，所以三角形UVW的面积等于<note>底UW乘以高TV除以2</note>，即面积 = <note>(UW * TV) / 2</note>。


Question:
求 TU 和 △UVW 的面积。

请将答案写为整数或四舍五入到最接近的十分位的十进制数。
TU= \$ox\$ km
Area= \$ox\$ km ^ 2

Answer: TU=10.6 kmArea=243.8 km ^ 2

1. 已知 △TUW 为直角三角形，直角位于∠WTU，UW = 20 km，∠W = 32°。

2. 由于角 ∠W 是直角三角形的一个角且不是直角，因此可以使用正弦函数定义：sin(∠W) = 对边 / 斜边 = TU / UW。

3. 代入已知值 sin(32°) = TU / 20。

4. 查表或使用计算器得到 sin(32°) ≈ 0.5299。

5. 所以 TU = 20 * sin(32°) ≈ 20 * 0.5299 = 10.598 km。

6. 计算△UVW 的面积，已知 VW = 46 km，TU 是三角形的高。

7. 使用三角形面积公式：面积 = 1/2 * 底 * 高。

8. 代入已知值：面积 = 1/2 * 46 * 10.598 ≈ 243.8 km²。

9. 经过上述推理，最终得出答案为 TU = 10.6 公里和 △UVW 的面积为 243.8 平方公里。

Definition of Sine Function

<note>直角三角形 TUW</note> 中，<note>∠TWU 是锐角</note>，边 <note>TU 是角 ∠TWU 的对边</note>，边 <note>UW 是斜边</note>。根据正弦函数定义，<note>角 ∠TUW 的正弦值</note> 等于对边 <note>TU 与斜边 UW 的比值</note>，即 sin(32°) = <note>TU / UW</note>。

Definition of Right Triangle

在本题图中，三角形TUW中，<note>角∠UTW是直角（90度）</note>，因此三角形TUW是一个直角三角形。<note>边TU和边TW是直角边</note>，<note>边UW是斜边</note>。


Question:
求WX和△XYZ的面积。

请将答案写成整数或四舍五入到最接近的十分位的十进制数。
WX= \$ox\$  yd
Area= \$ox\$  yd ^ 2

Answer: WX=36.9 ydArea=738.0 yd ^ 2

1. 通过观察三角形△WXZ，发现其为直角三角形，其中∠W为直角。

2. 在直角三角形△WXZ中，已知边XZ=44 yd，∠XZW = 57°，需要求边WX。

3. 根据正弦函数定义，sin(∠XZW) = 对边WX / 斜边XZ。

4. 将已知条件代入公式：sin(57°) = WX / 44。

5. 查找sin(57°)的近似值，得到sin(57°) ≈ 0.8386。

6. 代入计算：0.8386 = WX / 44，解得WX = 0.8386 * 44。

7. 计算得：WX ≈ 36.9015 yd。

8. 现在，计算△XYZ的面积。

9. 根据三角形的面积公式，面积 = 1/2 * 底 * 高。

10. 在△XYZ中，YZ为底，WX为高，因此面积 = 1/2 * YZ * WX。

11. 代入已知值，YZ = 40 yd, WX ≈ 36.9015 yd，面积 = 1/2 * 40 * 36.9015。

12. 计算得：面积 ≈ 738.0300 yd²。

13. 将答案分别取到小数点后1位，即WX约为36.9 yd，面积约为738.0 yd^2。

14. 经过上述推理，最终得出答案为WX=36.9 yd，面积=738.0 yd²。

Area Formula of a Triangle

<note>三角形XYZ中</note>，<note>边YZ是底，线段WX是该底上的高</note>，所以<note>三角形XYZ的面积</note>等于<note>底YZ乘以高WX除以2</note>，即<note>面积 = (YZ * WX) / 2</note>。


Question:
这个图形的面积是多少？

 \$oxed{ext{平方公里}}\$

Answer: 38 square kilometers

1. 分析给定的图形，其形状复杂，因此考虑将其分为易于计算的矩形部分。

2. 根据图示信息，可以将该图形分割为两个相互独立的长方形：分别为长方形A和长方形B。

3. 观察长方形A，其宽为5公里，高为4公里。根据矩形的面积公式Area = width × height, 得出长方形A的面积为5公里 × 4公里 = 20平方公里。

4. 接下来，观察长方形B，其宽为6公里，高为3公里。根据矩形的面积公式，得出长方形B的面积为6公里 × 3公里 = 18平方公里。

5. 将两个长方形的面积相加，以获得整个图形的面积。计算：20平方公里 + 18平方公里 = 38平方公里。

6. 经过上述推理，最终得出答案为38平方公里。

Definition of Rectangle

A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).

在本题图中，长方形A和长方形B都属于<note>矩形</note>。<note>长方形A的宽为5公里，高为4公里</note>，而<note>长方形B的宽为6公里，高为3公里</note>。<note>矩形的定义是一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），</note>且相对的边互相平行并等长。<note>长方形A和长方形B的四个内角均为直角，且相对的边分别平行且等长。</note> 因此，我们可以将图形分割为这两个长方形进行面积计算。

Formula for the Area of a Rectangle

The area of a rectangle is equal to its length multiplied by its width.

<note>矩形A中，边5公里和边4公里是矩形的长和宽</note>，所以矩形的面积 = 5公里 * 4公里 = 20平方公里。<note>矩形B中，边6公里和边3公里是矩形的长和宽</note>，所以矩形的面积 = 6公里 * 3公里 = 18平方公里。


Question:
这个图形的面积是多少？

 \$ox\$ 平方英尺

Answer: 60 square feet

1. 分析图形，发现其可分为两个矩形：矩形A和矩形B。根据已经标注的边长，将该图形分解为矩形A和矩形B。

2. 矩形A的宽为8英尺，高为3英尺。根据矩形的面积公式，矩形的面积等于宽乘高，计算矩形A的面积：8×3＝24平方英尺。

3. 矩形B的宽为4英尺，高为9英尺。根据矩形面积公式，计算矩形B的面积：4×9＝36平方英尺。

4. 计算整个图形的总面积，即两个矩形面积之和。将矩形A的面积和矩形B的面积相加：24＋36＝60。

5. 经过上述推理，最终得出答案为60平方英尺。

Definition of Rectangle

在本题图中，矩形A和矩形B都是矩形。矩形A的边长分别为8英尺和3英尺，矩形B的边长分别为4英尺和9英尺。<note>矩形A的内角都是直角（90度），且边长8英尺与边长8英尺平行且等长，边长3英尺与边长3英尺平行且等长</note>。<note>矩形B的内角也是直角（90度），且边长4英尺与边长4英尺平行且等长，边长9英尺与边长9英尺平行且等长</note>。

Formula for the Area of a Rectangle

<note>矩形A</note>的宽为8英尺，高为3英尺，所以<note>矩形A的面积 = 8英尺 × 3英尺 = 24平方英尺</note>。<note>矩形B</note>的宽为4英尺，高为9英尺，所以<note>矩形B的面积 = 4英尺 × 9英尺 = 36平方英尺</note>。


Question:
这个图形的面积是多少？

 \$ox\$ 平方厘米

Answer: 57 square centimeters

1. 根据题目所给图形，用辅助线将其分割成两个矩形。第一个矩形A的边界为上方和左方，总宽度为6厘米，总高度为8厘米。第二个矩形B的边界为右方和下方，宽度为3厘米，高度为3厘米。

2. 计算矩形A的面积。依据矩形面积公式，面积等于宽乘以高，因此矩形A的面积为6厘米乘以8厘米，即得到48平方厘米。

3. 确定矩形B的面积。根据相同的矩形面积公式，矩形B的面积为3厘米乘以3厘米，算得9平方厘米。

4. 为得出整个图形的面积，将矩形A和矩形B的面积相加。也就是48平方厘米加上9平方厘米，得到的总面积为57平方厘米。

5. 经过上述推理，最终得出答案为57平方厘米。

Definition of Rectangle

<note>矩形A的顶边长为6厘米</note>，<note>高为8厘米</note>，<note>具有四个直角</note>。<note>矩形B的底边长和高均为3厘米</note>，<note>具有四个直角</note>。

Formula for the Area of a Rectangle

在本题图中，矩形A中，<note>边6厘米和边8厘米是矩形的长和宽</note>，所以<note>矩形的面积 = 6厘米 * 8厘米 = 48平方厘米</note>；矩形B中，<note>边3厘米和边3厘米是矩形的长和宽</note>，所以<note>矩形的面积 = 3厘米 * 3厘米 = 9平方厘米</note>。


Question:
求 UX 和 △UVW 的面积。

请将答案写成整数或四舍五入到最接近的十分位的小数。
UX= \$ox\$  yd
Area= \$ox\$  yd ^ 2

Answer: UX=19.9 ydArea=258.7 yd ^ 2

1. 在△UWX中，根据题目条件，已知UW=24 yd，∠UWX=56°。

2. 为了求得UX的长度，因为∠UXW为直角，根据直角三角形的定义，△UWX是直角三角形，根据正弦函数定义，即sin∠UWX=对边（UX）/斜边（UW）。

3. 根据正弦函数定义，sin(∠UWX)=UX/UW，因此：sin(56°)=UX/24。

4. 计算sin(56°)，可得sin(56°)≈0.8290。

5. 将正弦值代入方程：0.8290=UX/24。

6. 解方程UX=0.8290×24，得到UX=19.896 yd。

7. 四舍五入至十分位，得到UX≈19.9 yd。

8. 接下来计算△UVW的面积，使用三角形的面积公式：面积 = 1/2 × 底 × 高。

9. 选择VW作为底，根据高的定义，UX为高，因此面积为1/2 × VW × UX。

10. 已知VW=26 yd，因此面积=1/2 × 26 × 19.9。

11. 计算得：面积=258.7平方码。

12. 经过上述推理，最终得出UX=19.9 yd，△UVW的面积为=258.7平方码。

Area Formula of a Triangle

<note>三角形UVW</note>中，<note>边VW是底</note>，<note>线段UX是该底上的高</note>，所以三角形UVW的面积等于底<note>VW乘以高UX</note>除以2，即面积 = (<note>VW * UX</note>) / 2。

Definition of Altitude

An altitude is a perpendicular line segment extending from a vertex of a triangle to the opposite side (or to the extension of the opposite side).

在本题图中，<note>顶点U</note>垂直于<note>对边VW</note>（或其延长线）的<note>线段UX</note>是该<note>顶点U的高</note>。<note>线段UX与边VW（或其延长线）形成一个直角（90度）</note>，这说明<note>线段UX是从顶点U到对边VW（或其延长线）的垂直距离</note>。


Question:
这个图形的面积是多少？

 \$ox\$ square miles

Answer: 50 square miles

1. 观察图形，我们可以将其分割为两个矩形，称为矩形A和矩形B。

2. 矩形A的底边长为2英里，高为4英里。

3. 使用矩形面积公式：面积 = 底 × 高，矩形A的面积为2英里 × 4英里 = 8平方英里。

4. 矩形B的底边长为7英里，高为6英里。

5. 使用矩形面积公式：面积 = 底 × 高，矩形B的面积为7英里 × 6英里 = 42平方英里。

6. 图形的总面积为矩形A和矩形B的面积之和：8平方英里 + 42平方英里 = 50平方英里。

7. 经过上述推理，最终得出答案为50平方英里。

Definition of Rectangle

在本题图中，<note>矩形A和矩形B两个几何图形均可视为矩形</note>，满足定义中每<note>两个相邻边都是垂直的，每个内角都是直角</note>。<note>矩形A的底边长为2英里，高为4英里</note>；<note>矩形B的底边长为7英里，高为6英里</note>。

Formula for the Area of a Rectangle

<note>第一个矩形的长为2英里</note>，<note>宽为4英里</note>，所以面积 = <note>2英里 × 4英里 = 8平方英里</note>。<note>第二个矩形的长为7英里</note>，<note>宽为6英里</note>，所以面积 = <note>7英里 × 6英里 = 42平方英里</note>。


Question:
这个图形的面积是多少？

 \$ox\$ 平方米

Answer: 42 square meters

1. 首先考虑图形的形状。图中由两部分构成，不规则的形状如字母L。

2. 通过辅助线将该不规则形状分成两个矩形，记为矩形A和矩形B。

3. 矩形A：长度为8米，高度为4米的位置。找到矩形A的面积。

4. 根据矩形面积公式：矩形面积 = 长 × 宽，计算矩形A的面积为：8米 × 4米 = 32平方米。

5. 矩形B：宽度2米，高度为5米的位置。找到矩形B的面积。

6. 同样使用矩形面积公式：矩形面积 = 长 × 宽，计算矩形B的面积为：2米 × 5米 = 10平方米。

7. 总面积为两个矩形面积的和，即：32平方米 + 10平方米 = 42平方米。

8. 经过上述推理，最终得出答案为42平方米。

<note>矩形A的长度为8米，宽度为4米</note>，因此其面积为<note>8米 × 4米 = 32平方米</note>。<note>矩形B的长度为2米，高度为5米</note>，因此其面积为<note>2米 × 5米 = 10平方米</note>。两矩形面积相加得总面积<note>42平方米</note>。

Definition of Rectangle

<note>在本题图中，四边形A中，每个内角都是直角（90度）</note>，且<note>边8m与边8m平行并等长</note>，<note>边4m与边4m平行并等长</note>。因此，四边形A是一个矩形。<note>四边形B中，每个内角都是直角（90度）</note>，且<note>边5m与边5m平行并等长</note>，<note>边2m与边2m平行并等长</note>。因此，四边形B是一个矩形。


Question:
这个图形的面积是多少？

 \$ox\$ square miles

Answer: 19 square miles

1. 给出图形，根据题目的提示和给出的图形，我们可以看到该图形由两个相邻的长方形对齐形成。

2. 考虑左上角的小长方形A，它的左右边长各2英里，上下边长各2英里，这个边长信息给予我们一个清晰的矩形A大小。

3. 使用矩形面积公式：面积 = 长 × 宽，计算矩形A的面积：2英里 × 2英里 = 4平方英里。

4. 接下来考虑右边的大长方形B。这个矩形横向是5英里，纵向是3英里，因此确认这个矩形的尺寸。

5. 使用相同的矩形面积公式，计算出矩形B的面积：5英里 × 3英里 = 15平方英里。

6. 通过将两部分面积相加，我们可以得到整个图形的总面积，即：4平方英里 + 15平方英里 = 19平方英里。

7. 经过上述推理，最终得出答案为19。

<note>小矩形A和大矩形B均符合矩形的定义：它们的四个角度都是直角（90度），且相对边相等并平行</note>。因此，A和B均为矩形。

Formula for the Area of a Rectangle

<note>左上角的小矩形的边长分别为2英里和2英里</note>，所以小矩形的面积 = 2英里 × 2英里 = 4平方英里。<note>右边的大矩形的边长分别为5英里和3英里</note>，所以大矩形的面积 = 5英里 × 3英里 = 15平方英里。


Question:
这个正方形的面积是多少？

 \$ox\$ 平方毫米

Answer: 625 square millimeters

1. 题目已知一个正方形，其边长为25毫米。

2. 根据正方形的定义，正方形是四边相等且每个内角均为90度的一种四边形。我们知道正方形的面积可以通过：面积 = 边长 × 边长 来进行计算。

3. 因此，该正方形的面积 = 25毫米 × 25毫米。

4. 计算得：面积 = 625平方毫米。

5. 通过上述计算过程，最终得出正方形的面积为625平方毫米。

Definition of Square

A quadrilateral is a square if and only if all four sides are congruent (≅) and all four interior angles are right angles (90°).

<note>四条边长度均为25毫米</note>，且<note>每个内角均为90度</note>，所以该四边形是一个正方形。

Area Formula for Square

The area of a square is equal to the square of its side length, that is, Area = side length × side length.

在本题图中，我们知道<note>正方形的边长为25毫米</note>，因此可以使用公式计算面积：<note>面积 = 25毫米 × 25毫米 = 625平方毫米</note>。


Question:
这个图形的面积是多少？

 \$ox\$ 平方英寸

Answer: 22 square inches

1. 已知题图为由两个长方形组成的图形，其中长方形 A 的底边长 7 英寸，高 2 英寸；长方形 B 的宽 2 英寸，高 4 英寸与底边平行。题图角点标明尺寸。

2. 首先计算长方形 A 的面积。使用矩形的面积公式：面积 = 长 × 宽 。因此，长方形 A 的面积为 7 英寸 × 2 英寸 = 14 平方英寸。

3. 然后，计算长方形 B 的面积。同样使用矩形的面积公式：面积 = 长 × 宽 。因此，长方形 B 的面积为 2 英寸 × 4 英寸 = 8 平方英寸。

4. 将两个长方形的面积相加，以获得整体形状的面积：14 平方英寸（长方形 A）+ 8 平方英寸（长方形 B） = 22 平方英寸。

5. 经过上述推理，最终得出答案为 22 平方英寸。

Definition of Rectangle

<note>在本题图中，四边形中，每个内角都是直角（90度）</note>，且<note>对边平行并等长</note>。因此，图中四边形是两<note>矩形</note>。

Formula for the Area of a Rectangle

<note>使用长方形的面积公式：面积 = 长 × 宽</note>。长方形 A 的面积计算为 <note>7 英寸 × 2 英寸</note> = 14 平方英寸。长方形 B 的面积计算为 <note>2 英寸 × 4 英寸</note> = 8 平方英寸。


Question:
这个图形的面积是多少？

 \$ox\$ 平方毫米

Answer: 96 square millimeters

1. 根据给定图形，观察到图形可以被分割成两个矩形，分别标记为矩形A和矩形B。

2. 确定矩形A的尺寸。根据题目中的描述，矩形A的宽为6毫米，高为4毫米。

3. 利用矩形面积公式：面积 = 长 × 宽，计算矩形A的面积为6毫米 × 4毫米 = 24平方毫米。

4. 确定矩形B的尺寸。根据题目中的描述，矩形B的宽为8毫米，高为9毫米。

5. 利用矩形面积公式：面积 = 长 × 宽，计算矩形B的面积为8毫米 × 9毫米 = 72平方毫米。

6. 两个矩形构成了整个图形，因此整个图形的面积为矩形A和矩形B的面积之和。

7. 将矩形A和矩形B的面积相加：24平方毫米 + 72平方毫米 = 96平方毫米。

8. 经过上述推理，最终得出答案为96平方毫米。

Definition of Rectangle

在本题图中，两个被标记的矩形分别是<note>矩形A与矩形B</note>。<note>矩形A的宽为6毫米，高为4毫米</note>，<note>矩形B的宽为8毫米，高为9毫米</note>。每个矩形都符合<note>矩形的定义</note>，即<note>具有四个直角</note>并且<note>相对边长相等</note>。

Formula for the Area of a Rectangle

<note>矩形A的面积</note>根据公式计算为：<note>长6毫米</note>乘以<note>宽4毫米</note>，得到24平方毫米。<note>矩形B的面积</note>根据公式计算为：<note>长8毫米</note>乘以<note>宽9毫米</note>，得到72平方毫米。最后，<note>将两个矩形的面积相加</note>得到整个图形的总面积96平方毫米。


Question:
面积是多少？

 \$ox\$ square yards

Answer: 960 square yards

1. 题目提供了一个矩形，我们需要找到这个矩形的面积。

2. 根据矩形的定义，矩形的面积等于其底边长乘以高，即 A = base * height。

3. 从题目的解题步骤，我们知道矩形的底边长是32码，记作base = 32。

4. 同样从题目的解题步骤，我们知道矩形的高是30码，记作height = 30。

5. 代入上述公式，面积A = base * height = 32 * 30。

6. 进行乘法运算，32 * 30 = 960。

7. 由于题目中长度的单位是码，面积的单位应该是平方码。

8. 因此，矩形的面积为960平方码。

Definition of Rectangle

<note>四边形是一个矩形</note>，其内角都是<note>直角（90度）</note>，且<note>相对的边互相平行并等长</note>。根据题目提供的<note>底边长32码和高30码</note>，矩形的面积为960平方码。

Formula for the Area of a Rectangle

<note>矩形的底边长为32码</note>，<note>高为30码</note>。根据矩形的面积公式，<note>矩形的面积A = 底边长 * 高 = 32码 * 30码 = 960平方码</note>。


Question:
这个图形的面积是多少？

 \$ox\$ 平方英寸
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）

Answer: 84 square inches

1. 观察给定图形，发现可以通过一条水平线将图形分割为两个矩形：矩形A和矩形B。

2. 确认矩形A的尺寸：底边长度为8英寸，高度为9英寸。

3. 依据矩形面积公式，矩形的面积等于底边长度乘以高度。计算矩形A的面积，得：8英寸 × 9英寸 = 72平方英寸。

4. 确认矩形B的尺寸：底边长度为4英寸，高度为3英寸。

5. 再次应用矩形面积公式计算矩形B的面积，得：4英寸 × 3英寸 = 12平方英寸。

6. 将矩形A和矩形B的面积相加得到原图形的总面积：72平方英寸 + 12平方英寸 = 84平方英寸。

7. 经过上述详细推理步骤，最终得出原图形的面积为84平方英寸。

Definition of Rectangle

<note>通过水平线将图形分割为两个矩形，矩形A和矩形B</note>。<note>矩形A的底边长度为8英寸，高度为9英寸</note>。<note>矩形B的底边长度为4英寸，高度为3英寸</note>。<note>矩形A和矩形B的内角都是直角（90度）</note>，且相对的边互相平行并等长。

Formula for the Area of a Rectangle

<note>矩形A的底边长度是8英寸，高度是9英寸</note>，应用矩形面积公式得：<note>矩形A的面积 = 8英寸 × 9英寸 = 72平方英寸</note>。<note>矩形B的底边长度是4英寸，高度是3英寸</note>，应用矩形面积公式得：<note>矩形B的面积 = 4英寸 × 3英寸 = 12平方英寸</note>。


Question:
面积是多少？

 \$ox\$ 平方英里
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）

Answer: 324 square miles

1. 根据图中信息，我们知道这是一个正方形，即所有边长均相等，且每个角为直角。

2. 观察图中给出的边长，正方形的每条边长为18英里。

3. 求正方形的面积需要用到正方形面积公式：面积 = 边长 × 边长。

4. 代入我们已知的边长值18英里：面积 = 18英里 × 18英里。

5. 计算得到面积为324平方英里。

6. 所有相关计算的单位是英里，因此面积的单位是平方英里。

7. 经过上述推理，最终得出答案为324平方英里。

Definition of Square

<note>边长均为18英里</note>，且<note>四个角均为直角（90度）</note>，所以这是一个正方形。

Area Formula for Square

<note>边长为18英里</note>，即面积 = <note>18英里 × 18英里</note> = 324平方英里。


Question:
这个正方形的面积是多少？

 \$ox\$ 平方毫米
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）

Answer: 625 square millimeters

1. 已知正方形的一边长为25毫米。

2. 根据正方形的定义，正方形是四边相等且四个内角为90度的四边形。

3. 因此，正方形的面积公式为side×side，即边长的平方。

4. 套用公式，正方形面积=25毫米×25毫米。

5. 计算得出625平方毫米。

6. 经过上述推理，最终得出答案为625平方毫米。

Definition of Square

在本题图中，我们<note>有一个正方形</note>，<note>其边长为25毫米</note>，<note>每条边的长度均为25毫米</note>，并且<note>四个内角均为90度</note>。

Area Formula for Square

<note>边长为25毫米</note>，因此套用面积公式，正方形的面积 = <note>25毫米</note> × <note>25毫米</note> = 625平方毫米。


Question:
面积是多少？

 \$ox\$ 平方英里
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）

Answer: 323 square miles

1. 已知题目的长方形的长为19英里，宽为17英里。

2. 根据矩形面积计算公式：面积=长×宽，可以得出面积为面积=19×17。

3. 计算19×17等于323。

4. 因为长和宽的单位是英里，面积的单位为平方英里。

5. 经过上述推理，最终得出答案为323平方英里。

Definition of Rectangle

<note>四边形的两条对边分别是19英里和17英里</note>，<note>每个内角都是90度直角</note>，<note>相对的边互相平行并等长</note>。

Formula for the Area of a Rectangle

<note>矩形中，边长为19英里，边宽为17英里</note>，所以矩形的面积 = 19 * 17 = 323平方英里。


Question:
面积是多少？

 \$ox\$ 平方英里

Answer: 88 square miles

1. 从题目中提供的图形可以看出，已知图形是一个矩形。

2. 在矩形中，计算面积的公式为：面积 = 长 × 宽。

3. 从图中可以看到，矩形的长为11英里，宽为8英里。

4. 将已知的长和宽代入面积公式，得出面积 = 11 mi × 8 mi。

5. 进行乘法计算，11 mi × 8 mi = 88平方英里。

6. 由于面积的单位为平方英里，最终得出矩形的面积为88平方英里。

Definition of Rectangle

在本题图中，<note>四边形是一个矩形</note>，<note>其内角都是直角（90度）</note>，且边长为11英里和8英里。<note>矩形的对边平行且等长</note>，符合矩形的定义。

Formula for the Area of a Rectangle

在本题图中，<note>矩形的长为11英里，宽为8英里</note>。根据矩形的面积公式，矩形的面积等于其长和宽的乘积，即<note>面积 = 11英里 × 8英里 = 88平方英里</note>。


Question:
这个图形的面积是多少？

 \$ox\$ 平方米

Answer: 70 square meters

1. 将给定图形分割为两个矩形，称为矩形甲和矩形乙。

2. 观察矩形甲，其宽度为8米，高度为2米。

3. 依据矩形面积计算公式，面积=宽度×高度，可以求得矩形甲的面积为：8米×2米=16平方米。

4. 接下来，查看矩形乙的尺寸，其宽度为9米，高度为6米。

5. 依据同样的面积计算公式，计算矩形乙的面积为：9米×6米=54平方米。

6. 将两个矩形的面积相加得到总面积：16平方米+54平方米=70平方米。

7. 经过上述推理，最终得出答案为70平方米。

Definition of Rectangle

<note>矩形甲</note>和<note>矩形乙</note>都符合矩形的定义。<note>矩形甲的四个内角都是直角（90度）</note>，其边长分别为<note>8米和2米</note>，且<note>相对的边互相平行并等长</note>。<note>矩形乙的四个内角也是直角（90度）</note>，其边长分别为<note>9米和6米</note>，且<note>相对的边互相平行并等长</note>。

Formula for the Area of a Rectangle

<note>矩形甲的宽度为8米</note>，<note>高度为2米</note>，所以<note>矩形甲的面积=8米×2米=16平方米</note>。<note>矩形乙的宽度为9米</note>，<note>高度为6米</note>，所以<note>矩形乙的面积=9米×6米=54平方米</note>。总面积=<note>矩形甲面积+矩形乙面积=16平方米+54平方米=70平方米</note>。


Question:
这个正方形的面积是多少？

 \$ox\$ 平方英尺

Answer: 4 square feet

1. 首先观察图中所标示的边长，我们发现正方形的一个边长为2英尺。

2. 根据正方形的定义，正方形的四个边都是相等的，因此，本题中正方形的每条边长均为2英尺。

3. 计算正方形面积的公式为：S=边长×边长。

4. 将已知的边长代入公式：S=2英尺×2英尺。

5. 计算得：S=4平方英尺。

6. 经过上述推理，最终得出答案为4平方英尺。

Definition of Square

在本题图中，我们观察到一个<note>边长标示为2英尺的正方形</note>。根据正方形的定义，这个正方形的<note>四个边都是相等的，即每条边长均为2英尺</note>，并且<note>四个角都是直角（90°）</note>。

Area Formula for Square

<note>边AB的长度为2英尺</note>。根据正方形的定义，<note>边BC, CD, DA也都是2英尺</note>。使用正方形面积公式计算面积：<note>S = AB × BC = 2英尺 × 2英尺 = 4平方英尺</note>。


Question:
面积是多少？

 \$ox\$ 平方公里
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）

Answer: 20 square kilometers

1. 已知题目是要求一个矩形区域的面积，并且图中标明矩形的长为5公里，宽为4公里。

2. 根据矩形的面积公式：面积 = 长 × 宽，我们可以用已知的长和宽代入这个公式。

3. 将长5公里和宽4公里代入矩形面积公式，得到：面积 = 5公里 × 4公里。

4. 计算结果为：面积 = 20平方公里。

5. 经过上述推理，最终得出答案为20平方公里。

Definition of Rectangle

<note>矩形的长为5公里</note>，<note>宽为4公里</note>。矩形四个角都是<note>直角</note>，且<note>相对的边互相平行并等长</note>。<note>矩形的相对边长分别为5公里和4公里</note>。

Formula for the Area of a Rectangle

<note>矩形的长为5公里</note>，<note>宽为4公里</note>。根据矩形面积定理，将长和宽代入公式得到：面积 = <note>5公里 × 4公里</note> = <note>20平方公里</note>。


Question:
面积是多少？

 \$ox\$ 平方英里
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）

Answer: 1080 square miles

1. 已知长方形的长为40英里，宽为27英里。

2. 根据矩形的面积公式：面积 = 长 × 宽。

3. 将题目中提供的长和宽代入公式：面积 = 40英里 × 27英里。

4. 计算得到：面积 = 1080平方英里。

5. 因此，长方形的面积为1080平方英里。

Definition of Rectangle

<note>四边形ABCD是一个矩形</note>，<note>其内角∠A、∠B、∠C、∠D都是直角（90度）</note>，且<note>边AB与边CD平行且等长</note>，<note>边AD与边BC平行且等长</note>。长方形的长为40英里，对应<note>边AB和边CD</note>；长方形的宽为27英里，对应<note>边AD和边BC</note>。

Formula for the Area of a Rectangle

<note>矩形中，边长为40英里和边宽为27英里是矩形的长和宽</note>，所以<note>矩形的面积 = 40英里 * 27英里 = 1080平方英里</note>。


Question:
这个正方形的面积是多少？

 \$ox\$ 平方米

Answer: 1156 square meters

1. 已知一个正方形的边长为34米。根据正方形的定义，所有的边长相等，因此这正方形的边长均为34米。

2. 正方形的面积计算公式是边长的平方，即边长乘以边长。

3. 将边长数值代入公式：面积 = 34米 × 34米。

4. 通过计算可得，34 × 34 = 1,156。

5. 面积的单位是边长单位的平方，因此此正方形的面积为1,156平方米。

6. 因此，经过上述推理，最终得出答案为：1,156平方米。

Definition of Square

<note>四条边均为34米</note>，且<note>四个内角均为直角（90度）</note>，因此该四边形是一个正方形。

Area Formula for Square

<note>正方形的边长为34米</note>，据此公式，面积 = <note>34米 × 34米</note>。


Question:
这个菱形的对角线分别是10英尺和2英尺。

这个菱形的面积是多少？
\$ox\$ 平方英尺

Answer: 10 square feet

1. 已知菱形的对角线为10英尺和2英尺。菱形的对角线互为垂直且平分，依据对角线性质定义，菱形的对角线将把菱形分成四个全等的直角三角形。

2. 设对角线长为d1=10英尺，d2=2英尺。由于对角线互相平分，根据对角线性质可得，每一对角线分别被分成5英尺和1英尺的两部分。

3. 考虑一个由两条对角线形成的直角三角形，直角三角形的两条直角边分别为5英尺和1英尺。

4. 依据三角形面积公式（A=0.5×base×height），可得一个直角三角形的面积为0.5×5×1=2.5平方英尺。

5. 由于对角线分割菱形形成了四个相同的直角三角形，因此整个菱形的面积A=4×2.5=10平方英尺。

6. 经过上述推理，最终得出答案为10平方英尺。

Definition of Rhombus

A quadrilateral is a rhombus if and only if all four sides are of equal length, and its diagonals are perpendicular bisectors of each other.

<note>在本题图中，四边形的对角线分别为10英尺和2英尺（d1=10英尺，d2=2英尺）</note>，根据<note>菱形的对角线性质定义</note>，<note>这两条对角线相互垂直且平分</note>，每对角线分别被分成<note>5英尺和1英尺的两部分</note>。<note>每条对角线将菱形分成四个全等的直角三角形</note>。

Area Formula of a Triangle

在本题图中，三角形中，<note>5ft长边是底</note>，<note>1ft长的边是该底上的高</note>，所以三角形的面积等于底5乘以高1除以2，即面积 = (5* 1) / 2。


Question: 这个菱形的对角线分别为6英寸和8英寸。这个菱形的面积是多少？\$ox\$ 平方英寸

Answer: 24 square inches

1. 已知菱形的对角线分别为6英寸和8英寸，根据菱形的对角线性质，其对角线互相垂直且平分。

2. 辅助线：令菱形的对角线相交于点O，则对角线AC和BD的中点即为点O，并且∠AOB, ∠BOC, ∠COD, ∠DOA均为直角，即90°。

3. 菱形的面积可以通过将对角线乘积的一半来计算。根据菱形的面积公式：面积 = 1/2 * AC * BD，其中AC和BD分别是菱形的两条对角线的长度。

4. 代入已知的对角线长度，计算得面积 = 1/2 * 6 * 8。

5. 继续简化得到面积 = 1/2 * 48。

6. 计算得最终面积为24平方英寸。

7. 经过上述推理，最终得出答案为24平方英寸。

Definition of Rhombus

在本题图中，<note>菱形的四边相等</note>且<note>对角线互相垂直和平分</note>。对角线分别为<note>6英寸和8英寸</note>，<note>对角线的交点为点O</note>，且<note>∠AOB, ∠BOC, ∠COD, ∠DOA均为直角</note>。

Definition of Diagonal

A diagonal is a line segment connecting one vertex of a polygon to another vertex that is not adjacent to it.

<note>菱形的对角线分别为6英寸和8英寸</note>。对角线是连接菱形一顶点和非相邻顶点的线段。因此，<note>线段AC和BD就是菱形的对角线</note>。<note>对角线AC和BD互相垂直且平分，并且分别为6英寸和8英寸</note>。<note>点O是对角线的交点，也是对角线的中点</note>。

Rhombus Area Formula

The area of a rhombus is equal to half the product of its diagonals.

<note>菱形的对角线分别为6英寸和8英寸</note>。根据菱形面积公式，菱形的面积等于两条对角线的乘积的一半，即<note>面积 = (6 * 8) / 2 = 24平方英寸</note>。

Properties of the Diagonals of a Rhombus

In a rhombus, the diagonals bisect each other and are perpendicular to each other.

<note>菱形的对角线分别为6英寸和8英寸</note>。<note>对角线互相平分且互相垂直</note>。具体来说，<note>点O是对角线的交点</note>，且<note>AO=OC=3英寸</note>，<note>BO=OD=4英寸</note>。同时，<note>角AOB、角BOC、角COD和角DOA都是直角（90度）</note>，所以<note>对角线互相垂直</note>。


Question:
这个菱形的对角线分别是3毫米和10毫米。

这个菱形的面积是多少？
 \$ox\$ 平方毫米

Answer: 15 square millimeters

1. 根据菱形的对角线性质，菱形的对角线相互垂直且平分。所以在此菱形中，已知对角线d1=3毫米，对角线d2=10毫米。

2. 因为对角线互相垂直且平分，故菱形被对角线分成了四个全等的直角三角形。

3. 利用菱形的面积公式：菱形的面积等于对角线乘积的一半。即A=1/2×d1×d2。

4. 将已知的数据带入公式：A=1/2×3毫米×10毫米。

5. 计算得：A=1/2×30=15。

6. 经过上述推理，最终得出菱形的面积为15平方毫米。

Definition of Rhombus

<note>所有的边都是相等的</note>，因此该四边形是一个菱形。此外，<note>该四边形的对角线互相垂直平分</note>，即对角线相交于<note>点O</note>，且<note>角∠AOB是直角（90度）</note>，并且<note>AO=OC</note>和<note>BO=OD</note>。

Rhombus Area Formula

<note>菱形中，对角线d1和d2分别是菱形的两条对角线</note>。根据菱形面积公式，菱形的面积可以由其对角线求得，即面积 = (d1 × d2) / 2。因此，菱形的面积 = <note>(3 × 10) / 2</note>。


Question: 这个菱形的对角线分别是4 miles和9 miles。这个菱形的面积是多少？\$ox\$ square miles

Answer: 18 square miles

1. 已知：菱形的对角线分别为4英里和9英里，设对角线交点为O，菱形为ABCD，AC为水平对角线，BD为垂直对角线。

2. 根据菱形面积公式，菱形的面积可以由其对角线求得，即面积 = (d1 × d2) / 2，其中d1和d2是菱形的两条对角线。

3.将d1＝4，d2＝9代入公式计算，得(4 × 9) / 2＝18

4.经过上述推理，最终得出答案为18。

<note>菱形的对角线分别为4英里和9英里</note>。根据菱形面积公式，菱形的面积等于两条对角线的乘积的一半，即面积 = (<note>4英里</note> * <note>9英里</note>) / 2 = 18平方英里。


Question:
这个菱形的对角线分别为 1 公里和 4 公里。

这个菱形的面积是多少？
 \$ox\$ 平方公里

Answer: 2 square kilometers

1. 已知菱形ABCD的两条对角线分别为1千米和4千米。假设这些对角线分别为对角线AC和对角线BD。

2. 菱形的面积等于其两条对角线长度的乘积的一半，公式为面积 = 1/2 × AC × BD。

3. 代入已知对角线长度：面积 = 1/2 × 1千米 × 4千米 = 2平方千米。

4. 经过上述推理，最终得出答案为2平方千米。

Definition of Rhombus

<note>菱形的所有边长相等</note>，并且<note>对角线互相垂直平分</note>。即<note>对角线相交于点O</note>，并且形成<note>直角（90度）</note>。

在本题图中，菱形ABCD中，<note>对角线AC和BD互相平分且互相垂直</note>。具体来说，<note>点O是对角线AC和BD的交点</note>，且<note>OA = OC = 0.5千米，OB = OD = 2千米</note>。同时，<note>角AOB、角BOC、角COD和角DOA都是直角（90度）</note>，所以<note>对角线AC和BD互相垂直</note>。

Rhombus Area Formula

<note>菱形的两条对角线分别为1千米和4千米</note>。根据<note>菱形面积公式</note>，菱形的面积等于两条对角线的乘积的一半，即面积 = (<note>1千米</note> * <note>4千米</note>) / 2 = <note>2平方千米</note>。


Question:
这个菱形的对角线分别是4米和2米。

这个菱形的面积是多少？
 \$ox\$ 平方米

Answer: 4 square meters

1. 已知菱形的对角线分别为4米和2米。

2. 根据菱形的性质：菱形的对角线互相垂直且平分。设菱形的对角线分别为AC和BD，交于点O。因此，OA=OC=2米，OB=OD=1米。

3. 从而该菱形被对角线分割成四个全等的直角三角形：三角形AOB、三角形BOC、三角形COD、三角形DOA。

4. 考虑其中一个直角三角形，例如三角形AOB，直角位于点O，且有AO=2米，BO=1米。

5. 根据直角三角形的面积公式：面积 = (1/2) × 邻直角边长的乘积，可得三角形AOB的面积为(1/2) × 2米 × 1米 = 1平方米。

6. 由于这些直角三角形面积相等，且共有四个，所以菱形的总面积为4 × 1平方米 = 4平方米。7. 经过上述推理，最终得出答案为4平方米。

Definition of Rhombus

<note>在本题图中，四边形的各边都相等</note>，因此该四边形是一个菱形。<note>此外，该菱形的对角线互相垂直平分</note>，即对角线交于中心点。

Definition of Right Triangle

<note>菱形中的四个三角形都是直角三角形</note>。<note>中间四个角都是直角（90度）</note>，因此这些三角形都是直角三角形。

Area Formula of a Triangle

<note>2m长边是底</note>，<note>1m长的边是该底上的高</note>，所以三角形的面积等于底2乘以高1除以2，即面积 = <note>(2* 1) / 2</note>。


Question:
这个菱形的对角线分别是8厘米和3厘米。

这个菱形的面积是多少？
 \$ox\$ 平方厘米

Answer: 12 square centimeters

1. 已知菱形的对角线长度分别为8厘米和3厘米。

2. 根据菱形面积公式，面积 = (d1 × d2) / 2，其中d1和d2是菱形的两条对角线，即8厘米和3厘米。

3. 因此菱形面积 = (8厘米 * 3厘米) / 2 = 12平方厘米。

4. 经过上述推理，最终得出答案为12。

Rhombus Area Formula

<note>菱形的两条对角线分别为8厘米和3厘米</note>，因此面积 = (8厘米 * 3厘米) / 2 = 12平方厘米。


Question:
一个圆的半径是6公里。由一个180°弧所围成的扇形面积是多少？

请给出最简形式的精确答案。
\$ox\$ 𝜋/ 平方公里

Answer: 18𝜋 square kilometers

1. 已知圆的半径为6公里，首先使用圆的面积公式：面积A=𝜋r²，其中r是圆的半径。

2. 将圆的半径r=6代入公式得到A = 𝜋 × 6² = 36𝜋平方公里。因此，整个圆的面积为36𝜋平方公里。

3. 题目要求确定的是由180°圆弧界定的扇形的面积。由已知，圆周角对应的圆中心角θ取值为180°。

4. 根据圆的扇形的面积公式，扇形面积K = (θ/360) × A，其中θ为圆心角，A为整圆的面积。

5. 将θ = 180°和A = 36𝜋平方公里代入公式得到：K = (180/360) × 36𝜋 = 0.5 × 36𝜋 = 18𝜋平方公里。

6. 经过上述推理，最终得出答案为18𝜋平方公里。

Definition of Radius

A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.

<note>在本题图中，圆心为圆心点</note>，<note>圆周上任意一点为圆周点</note>，<note>线段从圆心到圆周点的长度为6公里</note>。圆的半径是指从圆心到圆周上任意一点的线段的长度。

Area Formula of a Circle

The area of a circle is given by the formula A = πr², where A represents the area, π (pi) is the mathematical constant approximately equal to 3.14159, and r is the radius of the circle.

<note>圆的半径是6公里</note>，根据<note>圆的面积公式</note>，<note>圆的面积A等于圆周率π乘以半径6的平方</note>，即A = π × 6² = 36π平方公里。

Definition of Central Angle

An angle formed by two radii connecting two points on the circumference of a circle to the center of the circle is called a central angle.

<note>圆心角θ</note>为180°，由<note>圆心到圆周上的两点的连线组成</note>。

Formula for the Area of a Sector

The area \( X \) of a sector can be calculated using the formula \( X = \frac{\theta}{360} \times \pi \times r^2 \), where \( \theta \) is the measure of the central angle in degrees, and \( r \) is the radius length.

在本题图中，扇形中，<note>圆心角的度数为θ</note>，<note>半径的长度为r</note>。根据扇形的面积公式，扇形的面积A可以通过公式A = (<note>θ/360</note>) * π * <note>r²</note>计算，其中<note>θ是圆心角度数</note>，<note>r是半径长度</note>。所以<note>扇形的面积A = (θ/360) * π * r²</note>。


Question:
这个菱形的对角线分别是9英里和6英里。

这个菱形的面积是多少？
 \$ox\$ 平方英里

Answer: 27 square miles

1. 题目已知菱形的两条对角线分别长为9英里和6英里。

2. 根据菱形的对角线性质，菱形的对角线彼此垂直平分。因此，添加辅助线，使两条对角线相交于点O，将该菱形分成四个全等的直角三角形。

3. 设菱形的对角线AC为9英里，BD为6英里，且O为对角线的交点，由平分性质可知：AO = OC = 9/2 = 4.5英里，BO = OD = 6/2 = 3英里。

4. 选取一个直角三角形AOB进行计算，根据三角形面积公式，三角形面积 = 1/2 × 底 × 高，对于直角三角形AOB，底AO = 4.5英里，高BO = 3英里。

5. 用三角形面积公式计算AOB的面积：面积 = 1/2 × 4.5 × 3 = 6.75平方英里。

6. 因为菱形被分成4个全等的直角三角形，所以菱形的总面积为4倍的单个三角形面积，菱形面积 = 4 × 6.75 = 27平方英里。

7. 经过上述推理，最终得出答案为27平方英里。

Definition of Diagonal

在本题图中，多边形中，顶点A和顶点C是非相邻顶点，<note>线段AC是连接顶点A和顶点C的线段</note>，因此<note>线段AC是多边形ABCD的一条对角线</note>。类似地，顶点B和顶点D是非相邻顶点，<note>线段BD是连接顶点B和顶点D的线段</note>，因此<note>线段BD也是多边形ABCD的一条对角线</note>。

Definition of Right Triangle

A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.

<note>角AOB是直角（90度）</note>，因此三角形AOB是一个直角三角形。

Area Formula of a Triangle

The area of any triangle is equal to its base multiplied by its height, divided by 2.

<note>三角形AOB中，边AO是底，线段BO是该底上的高</note>，所以<note>三角形AOB的面积等于底AO乘以高BO除以2</note>，即面积 = (4.5 * 3) / 2。


Question:
一个圆的半径是7厘米。由180°弧线所围成的扇形的面积是多少？

请给出最简形式的精确答案。
 \$ox\$ 𝜋/ 平方厘米

Answer: 49/2𝜋 square centimeters

1. 根据题意，圆的半径为7厘米。

2. 根据圆的面积公式A=πr²，代入r=7得：A=π×7²=49π平方厘米。

3. 已知扇形的弧度数为180°，故扇形部分面积占整个圆周的比率为180°/360°=1/2。

4. 扇形面积K为：K=49π×(1/2)=49π/2平方厘米。

5. 经过上述推理，最终得出答案为49π/2。

Area Formula of a Circle

在本题图中，<note>圆的半径是7厘米</note>，根据圆的面积公式，圆的面积A等于<note>圆周率π乘以半径7的平方，即A = π × 7² = 49π平方厘米</note>。

Formula for the Area of a Sector

<note>在本题图中</note>，<note>扇形中，圆心角的度数为180°</note>，<note>半径的长度为7</note>。根据扇形的面积公式，扇形的面积A可以通过公式A = (θ/360) * π * r²计算，<note>其中θ是圆心角度数</note>，<note>r是半径长度</note>。所以<note>扇形的面积A = (180/360) * π * 7²</note>。


Question:
一个圆的半径是4厘米。由一个45°弧所界定的扇形面积是多少？

给出最简形式的精确答案。
 \$ox\$ 𝜋/ 平方厘米

Answer: 2𝜋 square centimeters

1. 设圆心为O，圆左侧半径为OA，右侧半径为OB，扇形为AOB。已知圆的半径为4厘米，根据圆的面积公式A=πr^2，代入r=4，得出圆的面积为16π平方厘米。

2. 题目中给出的扇形的弧长对应的圆心角为45°，根据扇形的面积公式K=(θ/360)×A，其中θ为圆心角度数，A为圆的面积。

3. 将A=16π和θ=45°代入扇形的面积公式，K=(45/360)×16π，化简可得K=(1/8)×16π。

4. 进一步计算得到K=2π。

5. 经过上述推理，最终得出答案为2π平方厘米.

Definition of Circle

A circle is the locus of all points in a plane that are at a fixed distance from a given point.

在本题图中，<note>圆的圆心为点O</note>，<note>半径长度为4厘米</note>。图中所有到<note>点O距离等于4厘米的点都在圆上</note>。

Definition of Radius

<note>圆的半径长度r=4厘米</note>，<note>点O是圆心</note>，<note>圆周上的任意一点到圆心O的距离均为4厘米</note>，因此<note>线段从圆心O到圆周上的任意一点的距离均为4厘米</note>。

Definition of Central Angle

<note>圆心角</note>为45°，其两边分别延伸到圆周形成的弧。

Definition of Sector

A sector is a figure formed by two radii of a circle and the arc enclosed between them.

Area Formula of a Circle

<note>圆的半径是4厘米</note>，根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以<note>半径4的平方</note>，即<note>A = π*4²</note>。

Formula for the Area of a Sector

在本题图中，<note>扇形AOB</note>中，<note>圆心角AOB的度数为θ</note>，<note>半径OA的长度为r</note>。根据扇形的面积公式，扇形的面积A可以通过公式A = (θ/360) * π * r²计算，其中θ是圆心角度数，r是半径长度。所以<note>扇形AOB的面积A = (θ/360) * π * r²</note>。


Question:
这个菱形的对角线分别是10英尺和2英尺。

这个菱形的面积是多少？
 \$ox\$ 平方英尺

Answer: 10 square feet

1. 已知菱形的对角线长度分别为10英尺和2英尺，设对角线交点为O，菱形为ABCD，水平对角线为AC，垂直对角线为BD。

2.依据菱形面积公式: 菱形的面积可以由其对角线求得，即面积 = (d1 × d2) / 2，其中d1和d2是菱形的两条对角线。

3.将d1＝10，d2＝2代入公式计算，得面积 = (10 × 2) / 2＝10.

4.经过上述推理，最终得出答案为10平方英尺。

Rhombus Area Formula

<note>菱形的面积等于两条对角线的乘积的一半</note>，即面积 = <note>(10 * 2) / 2 = 10 平方英尺</note>。


Question:
一个圆的半径是10英寸。由90°弧所限定的扇形面积是多少？

给出最简形式的确切答案。
 \$ox\$ 𝜋/ 平方英寸

Answer: 25𝜋 square inches

1. 设圆心为O，点A、B为圆上的一点（从上往下）。已知：圆的半径 r = 10 英寸，以及扇形所对应的弧长角度为 90°。

2. 根据圆的面积公式，A = πr²，计算整个圆的面积。代入 r = 10 得到 A = π * 10² = 100π 平方英寸。

3. 扇形的面积 K 的计算取决于圆心角 m 与整个圆的面积 A 的关系。根据扇形的面积公式 K = A * (m/360)，其中 m 是圆心角度数。

4. 将已知值代入扇形的面积公式：A = 100π 和 m = 90°，即 K = 100π * (90/360)。

5. 计算 K = 100π * (1/4) = 25π 平方英寸。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 25π 平方英寸。

Definition of Radius

<note>圆心是图中橙色扇形的顶点</note>，<note>圆周上任意一点是圆周上的任意一点</note>，<note>线段从圆心到圆周上任意一点的长度是 10 英寸</note>，因此<note>线段 r = 10 英寸 是圆的半径</note>。

Definition of Central Angle

<note>圆的圆心是点O</note>，<note>圆上两点A和B到圆心O的连线OA和OB组成的角∠AOB</note>称为圆心角。在本题中，<note>圆心角∠AOB的度数为90°</note>。

Definition of Sector

在本题图中，扇形由<note>两条半径和它们之间的弧</note>组成，<note>半径分别为 r = 10 英寸</note>，<note>圆心角为 90°</note>，<note>弧长为该圆周的四分之一</note>。

Area Formula of a Circle

<note>圆的半径是10英寸</note>，根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以半径10的平方，即<note>A = π * 10²</note>。

Formula for the Area of a Sector

在本题中，扇形的面积公式 <note>K = A * (m/360)</note>。已知<note>圆的面积 A = 100π</note>，<note>圆心角 m = 90°</note>，代入公式得到 <note>K = 100π * (90/360) = 25π</note>。


Question:
梯形的面积是多少？

 \$ox\$ 平方英寸
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题，无需其他内容（也无需用‘问题：’开头）

Answer: 24square inches

1. 已知梯形的上底为3英寸，下底为9英寸，高为4英寸。

2. 梯形的面积可以通过公式A = 1/2 * (b1 + b2) * h计算，其中b1和b2分别为梯形的底边，上底和下底，h为梯形的高。

3. 将已知数值代入公式，计算得A = 1/2 * (3 + 9) * 4。

4. 计算上底和下底的和：3 + 9 = 12。

5. 将结果代入面积公式，计算A = 1/2 * 12 * 4。

6. 乘以高度：12 * 4 = 48。

7. 再乘以1/2，最终得到面积为A = 24。

8. 经过上述推理，最终得出答案为24。

Definition of Trapezoid

A quadrilateral is a trapezoid if and only if it has exactly one pair of parallel sides.

<note>边3英寸和边9英寸是平行的</note>，而边5英寸和边5英寸不平行。因此，根据梯形的定义，四边形是一种梯形，因为<note>它有且仅有一对平行边</note>。

Trapezoid Area Formula

Given a trapezoid with the lengths of its two parallel sides as \(a\) and \(b\), and the height between these sides as \(h\), the area of the trapezoid is given by \(\frac{(a + b) \cdot h}{2}\).

<note>梯形的上底b1 = 3英寸</note>，<note>下底b2 = 9英寸</note>，<note>高h = 4英寸</note>。通过公式，<note>A = 1/2 * (b1 + b2) * h = 1/2 * (3 + 9) * 4</note>。


Question:
一个圆的半径是3公里。由一个180°弧所围成的扇形的面积是多少？

给出最简形式的精确答案。
 \$ox\$ 𝜋/平方公里

Answer: 9/2𝜋 square kilometers

1. 题目已知圆的半径为3公里，且圆的半径r的长度为3公里。

2. 根据圆的面积公式，圆的面积A=πr^2，进而计算得到整个圆的面积为：A=π×(3)^2=9π平方公里。

3. 所要计算的扇形由弧度为180°的弧限定，该弧在圆的周长中占的比例为180°/360°=1/2。

4. 根据扇形的面积公式A = (θ/360°)×πr^2，其中θ为圆弧的角度，将θ=180°代入公式得：A = (180°/360°)×π(3)^2。

5. 进一步化简得此扇形的面积A = 1/2×9π=9π/2平方公里。

6. 经过上述推理，最终得出答案为9π/2平方公里。

Definition of Radius

在本题图中，圆中，<note>点为圆心</note>，<note>圆周上任意一点的距离为3公里</note>，<note>线段是从圆心到圆周上任意一点的线段</note>，因此<note>线段是圆的半径</note>。

Formula for the Area of a Sector

<note>在本题图中，扇形中，圆心角的度数为θ，半径的长度为r</note>。根据扇形的面积公式，扇形的面积A可以通过公式A = (θ/360) * π * r²计算，其中<note>θ是圆心角度数</note>，<note>r是半径长度</note>。所以扇形的面积A = (θ/360) * π * r²。


Question:
一个圆的半径是3厘米。求一个由90°弧线围成的扇形的面积？

给出最简形式的准确答案。
 \$ox\$ 𝜋/ 平方厘米

Answer: 9/4𝜋 square centimeters

1. 已知半径 r = 3 厘米，设圆心为O，OA为圆的上部分半径，OB为圆的下部分半径，扇形为AOB。我们首先根据面积公式 A = πr² 计算整个圆的面积。

2. 将半径 r = 3 代入公式，得到 A = π(3)² = 9π 平方厘米。

3. 根据扇形的面积公式 K = A * (θ/360°)，这里 θ 表示扇形的圆心角。题目中已知 θ = 90°。

4. 代入 A = 9π 和 θ = 90° 到扇形的面积公式，得到 K = 9π * (90/360)。

5. 计算 90/360 = 1/4，将其代入得 K = 9π * 1/4 = 9π/4。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 9π/4 平方厘米。

Definition of Circle

在本题图中，<note>圆的半径为 r = 3 厘米</note>，<note>圆心是圆的中心点</note>。<note>图中所有到圆心的距离等于 3 厘米的点都在圆上</note>。

Definition of Sector

<note>扇形中，半径 r = 3 厘米和半径 r = 3 厘米是圆的两条半径</note>，<note>圆弧是由这两条半径所夹的圆弧</note>，所以根据<note>扇形的定义</note>，由这两条半径和它们所夹的圆弧组成的图形为扇形。

Area Formula of a Circle

<note>圆的半径是3厘米</note>，根据圆的面积公式，<note>圆的面积A等于圆周率π乘以半径3的平方</note>，即A = π(3)²。

Formula for the Area of a Sector

<note>扇形AOB</note>中，<note>圆心角AOB</note>的度数为θ，<note>半径OA</note>的长度为r。根据扇形的面积公式，扇形的面积A可以通过公式A = (θ/360) * π * r²计算，其中<note>θ是圆心角度数</note>，<note>r是半径长度</note>。所以<note>扇形AOB的面积A = (θ/360) * π * r²</note>。


Question:
梯形的面积是多少？

 \$ox\$ 平方英寸
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）

Answer: 24square inches

1. 根据题目中给出的信息，梯形的上底b1=3英寸，下底b2=9英寸，高h=4英寸。

2. 梯形的面积公式为A=1/2*(b1+b2)*h。

3. 将已知的b1、b2和h代入面积公式，得A=1/2×(3+9)×4。

4. 计算括号内的和：3+9=12。

5. 代入计算结果，公式转化为A=(1/2)×12×4。

6. 继续计算乘法：12×4=48。

7. 计算A=1/2×48，结果为A=24。

8. 经过上述推理，最终得出梯形的面积为24平方英寸。

Definition of Trapezoid

<note>四边形的上底为3英寸，下底为9英寸</note>，<note>两个腿分别为5英寸</note>。根据梯形的定义，<note>四边形具有一对平行边（上底和下底）</note>，因此该四边形是梯形。

Trapezoid Area Formula

<note>上底b1=3英寸</note>，<note>下底b2=9英寸</note>，<note>高h=4英寸</note>，所以梯形的面积为(3 + 9) * 4 / 2。


Question:
梯形的面积是多少？

 \$ox\$ 平方英里
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）

Answer: 7square miles

1. 已知梯形的两个底边分别为b1=5英里和b2=2英里，以及梯形的高h=2英里。

2. 根据梯形面积公式A=1/2*(b1+b2)*h，可以计算梯形的面积。

3. 将已知数据代入公式，其中b1=5英里，b2=2英里，h=2英里:

   A=1/2 * (5+2) * (2)。

4. 首先计算两个底边之和：5+2=7。

5. 然后计算7乘以2得出14。

6. 最后计算14乘以1/2得出7。

7. 经过上述推理，最终得出答案为7平方英里。

Definition of Trapezoid

<note>梯形的平行边分别为底边5英里和上底2英里</note>。<note>高2英里垂直于这两个平行边</note>。

Trapezoid Area Formula

<note>梯形的上底边为2英里</note>，<note>下底边为5英里</note>，<note>高为2英里</note>，所以梯形的面积为<note>(2 + 5) * 2 / 2</note>。


Question:
一个圆的半径是4英寸。由135°弧线围成的扇形的面积是多少？

给出最简形式的精确答案。
 \$oxed{ rac{9}{2} }\$ 𝜋/ 平方英寸

Answer: 6𝜋 square inches

1. 已知圆的半径为4英寸，根据圆面积公式A=πr^2，计算整个圆的面积。

2. 代入r=4，计算得出圆的面积A=π×(4)^2=16π平方英寸。

3. 题目中给定圆心角为135°，这是扇形的圆心角。

4. 扇形面积的公式为：K=(A·θ)/360，其中A是圆的面积，θ是圆心角的角度。

5. 代入A=16π和θ=135，计算扇形的面积：K=(16π×135)/360。

6. 简化分数：(16×135)/(360)=2160/360=6。

7. 得出扇形的面积为6π平方英寸。

8. 经过上述推理，最终得出答案为6π平方英寸。

Definition of Radius

<note>圆的半径</note>在本题图中，<note>圆的半径为r=4英寸</note>，圆心到圆周的距离为<note>4英寸</note>，这个距离<note>在图中由从圆心到圆周画出的线段表示</note>。

Definition of Central Angle

在本题图中，<note>圆心角为135°</note>，<note>顶点在圆心</note>，表示扇形的<note>两条边分别从圆心延伸到圆周</note>。圆心角的<note>两条边分别是从圆心到圆周的两条半径</note>。

Area Formula of a Circle

<note>圆的半径是4英寸</note>，根据圆的面积公式，<note>圆的面积A等于圆周率π乘以半径4的平方</note>，即<note>A = π4²</note>。

Formula for the Area of a Sector

<note>圆的面积A=16π平方英寸</note>，<note>圆心角θ=135°</note>。代入公式计算扇形的面积：K=(16π×135)/360。


Question:
求△UVW的面积。

请将答案写成整数或四舍五入到十分位的小数。
 \$\\Box\$  m ^ 2

Answer: 8.0 m ^ 2

1. 已知三角形△UVW中，∠U = 136°，∠W = 23°，UV = 5 m。

2. 根据三角形内角和定理，三角形内角和为180°，即∠U + ∠V + ∠W = 180°。代入已知角度得136° + ∠V + 23° = 180°。

3. 化简方程得∠V = 180° - 159°，即∠V = 21°。

4. 根据正弦定理，在任意三角形中，边长与其对角正弦值的比值相等，即 a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)。

5. 应用正弦定理，利用已知∠W及其对边UV的长度，求出∠U的对边VW长度。设VW=u ，则5/sin(23°) = u/sin(136°)。

6. 计算sin(23°) ≈ 0.3907，sin(136°) = sin(180° - 136°) = sin(44°) ≈ 0.6946。

7. 代入计算，5/0.3907 = u/0.6946，解出u ≈ 5 * 0.6946 / 0.3907 ≈ 8.8892。

8. 现在已知VW = 8.8892 m，UV = 5 m，以及所夹角∠V = 21°。可以利用三角形面积公式（使用正弦函数）。

9. 三角形△UVW的面积公式为Area = 1/2 * UV * VW * sin(∠V)。代入得Area = 1/2 * 8.8892 * 5 * sin(21°)。

10. 计算sin(21°) ≈ 0.3583，代入得Area ≈ 1/2 * 8.8892 * 5 * 0.3583 ≈ 7.9640。

11. 最终计算结果需取至小数点后一位，即三角形的面积为8.0 m²。

12. 经过上述推理，最终得出答案为8.0 m²。

Definition of Triangle

A geometric figure is called a triangle if it is formed by three non-collinear points and the line segments connecting them.

<note>三角形UVW是由三个非共线点U、V、W及其连接线段UV、VW、WU组成的几何图形</note>。<note>点U、V、W分别是三角形的三个顶点</note>，<note>线段UV、VW、WU分别是三角形的三条边</note>。

Definition of an Angle

An angle is a geometric figure formed by two rays sharing a common endpoint. This common endpoint is called the vertex of the angle, and the two rays are referred to as the sides of the angle.

在本题图中，<note>角∠UVW是由两条射线UV和VW组成的几何图形</note>，这两条射线<note>有一个共同的端点V</note>。这个<note>共同的端点V称为角∠UVW的顶点</note>，而<note>射线UV和VW称为角∠UVW的边</note>。

Triangle Angle Sum Theorem

The sum of the interior angles of any triangle is 180°.

<note>三角形UVW中，角∠U、角∠V和角∠W是三角形UVW的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角∠U + 角∠V + 角∠W = 180°</note>。

Sine Theorem

In any triangle, the ratio of the length of each side to the sine of its opposite angle is constant and equal to the diameter of the circumcircle, i.e., \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2r = D \) (where \( r \) is the radius of the circumcircle, and \( D \) is its diameter).

<note>三角形△UVW</note>中，<note>边UV、VW和UW分别对应角∠W、∠U和∠V</note>。根据正弦定理，各边的长度与其所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径，即：<note>UV/sin(∠W)=VW/sin(∠U)=UW/sin(∠V) = 2r = D</note>（其中r为外接圆半径，D为直径）。在本题中，计算<note>三角形△UVW中边VW的长度</note>时，设<note>VW = u</note>，根据已知<note>角∠W = 23°</note>和<note>对应边UV = 5 m</note>，利用正弦定理有: <note>5/sin(23°) = u/sin(136°)</note>。

The area \( S \) of any triangle can be expressed as \( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C) \), where \( a \) and \( b \) are the lengths of two sides, and \( C \) is the angle between these two sides.

在本题图中，三角形UVW中，边<note>UV</note>和边<note>VW</note>分别为<note>a和b</note>，<note>角UVW</note>为这两边的<note>夹角C</note>。根据三角形面积公式，三角形UVW的面积<note>S</note>可以表示为<note>S = (1/2) * a * b * sin(C)</note>，即<note>S = (1/2) * UV * VW * sin(UVW)</note>。


Question:
这个菱形的对角线分别是10公里和7公里。

这个菱形的面积是多少？
 \$ox\$ 平方公里

Answer: 35 square kilometers

1. 已知菱形的对角线长度分别为10千米和7千米。

2. 根据菱形的对角线性质，对角线互相垂直且平分，因此两条对角线把菱形分成了四个全等的直角三角形，每个直角三角形的两条直角边分别为对角线的一半。

3. 对角线分别为10千米和7千米，所以每个直角三角形的直角边分别为5千米（即10/2）和3.5千米（即7/2）。

4. 根据三角形面积公式，三角形的面积等于1/2乘以两条直角边的乘积。

5. 计算出一个直角三角形的面积：1/2 × 5 × 3.5 = 1/2 × 17.5 = 8.75 平方千米。

6. 因为四个直角三角形全等，所以整个菱形的面积为4倍的一个直角三角形的面积。

7. 计算菱形的面积：4 × 8.75 = 35 平方千米。

8. 综上所述，菱形的面积为35平方千米。

Definition of Rhombus

A quadrilateral is a rhombus if and only if all four sides are of equal length, and its diagonals are perpendicular bisectors of each other.

<note>四边形的所有边都相等</note>，因此该四边形是一个菱形。此外，该四边形的<note>对角线互相垂直平分</note>，即<note>对角线相交于一点，且形成的角为直角（90度）</note>。

Definition of Diagonal

A diagonal is a line segment connecting one vertex of a polygon to another vertex that is not adjacent to it.

<note>菱形中，对角线是连接顶点的一条线段</note>。因此，<note>线段分别为10公里和7公里的两条线段</note>就是菱形的对角线。

In a rhombus, the diagonals bisect each other and are perpendicular to each other.

在本题图中，<note>菱形的对角线分别为10 km和7 km</note>，<note>对角线互相垂直且平分</note>。具体来说，<note>交点O是对角线的交点</note>，且<note>AO = OC = 5 km</note>和<note>BO = OD = 3.5 km</note>。同时，<note>∠AOB和∠COD都是直角（90度）</note>，所以<note>对角线互相垂直</note>。

Definition of Congruent Triangles

Two triangles are congruent if and only if their corresponding sides are equal and their corresponding angles are equal.

在本题图中，由于<note>四个小三角形全等</note>，因此每个面积都为8.75平方千米。具体来说，<note>菱形的对角线分别为10公里和7公里</note>，<note>交点处将菱形分成四个全等的直角三角形</note>。每个直角三角形的<note>直角边分别为5公里和3.5公里</note>，<note>对应边相等</note>，<note>对应角相等</note>。

Area Formula of a Triangle

<note>三角形的面积</note>等于1/2乘以<note>两条直角边的乘积</note>。


Question:
梯形的面积是多少？

 \$ox\$ 平方毫米
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）

Answer: 70square millimeters

1. 已知梯形的上底长为4毫米，下底长为10毫米。

2. 已知梯形的一侧高为10毫米。根据题目附带的图示，图中一条垂线表示从上底到下底的垂直距离，即为梯形的高。

3. 梯形的面积可以通过梯形面积公式计算：A = 1/2 *(b1 + b2) * h，其中b1和b2分别是上底和下底的长，h是梯形的高。

4. 将已知的数值代入面积公式得：A = 1/2 * (4毫米 + 10毫米) * 10毫米。

5. 计算括号内的和：4毫米 + 10毫米 = 14毫米。

6. 将结果代入公式：A = 1/2 * 14毫米 * 10毫米。

7. 继续进行乘法计算：1/2 * 14毫米 = 7毫米。

8. 进行最后的乘法计算：7毫米 * 10毫米 = 70平方毫米。

9. 经过上述推理，最终得出答案为70平方毫米。

Definition of Trapezoid

<note>四边形中</note>，<note>梯形的上下两条底边分别是平行的</note>，长度分别为4毫米和10毫米。<note>梯形的两条侧边是不平行的</note>。因此，根据<note>梯形的定义</note>，该四边形是一个梯形，因为它有且仅有一对平行边。

Trapezoid Area Formula

在本题图中，梯形中，<note>上底和下底是两条平行边</note>，长度分别为<note>a 和 b</note>，它们之间的高度长度为<note>h</note>，所以梯形的面积为<note>(a + b) * h / 2</note>。


Question:
梯形的面积是多少？

 \$ox\$ 平方英里

Answer: 30square miles

1. 根据题图，梯形上底为3英里，下底为9英里，斜边长度为7英里，高为5英里。

2. 梯形的面积公式为：面积 = 1/2 × (上底 + 下底) × 高。

3. 代入已知数据，上底 = 3英里，下底 = 9英里，高 = 5英里。得到面积 = 1/2 × (3 + 9) × 5。

4. 计算括号内的和，3 + 9 = 12。

5. 计算公式：面积 = 1/2 × 12 × 5。

6. 进一步计算，1/2 × 12 = 6。

7. 最后一步计算，面积 = 6 × 5 = 30。

8. 经过以上推理，得出梯形的面积为30平方英里。

Definition of Trapezoid

<note>在本题图中</note>，四边形中，<note>上底为3英里，下底为9英里，两个边是平行的</note>，高度为5英里，斜边长度为7英里。因此，<note>根据梯形的定义</note>，该四边形是一种<note>梯形，因为它有且仅有一对平行边</note>。

Trapezoid Area Formula

<note>梯形的上底为3英里</note>，<note>下底为9英里</note>，<note>高为5英里</note>。根据梯形面积公式，代入已知数据，计算如下：面积 = 1/2 × (3 + 9) × 5，因此，<note>梯形的面积为30平方英里</note>。


Question:
梯形的面积是多少？

 \$ox\$ 平方英里
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题，无需其他内容（也无需用‘问题：’开头）

Answer: 30square miles

1. 已知梯形有两个底边，分别为上底b1=3英里和下底b2=9英里。梯形的高h=5英里。我们需要计算梯形的面积。

2. 梯形面积公式是A=1/2 * (b1+b2) * h，其中b1和b2为梯形的两条平行边，h为它们之间的距离。

3. 将已知的b1、b2和h代入面积公式，得到：A=1/2 * (3+9) * 5。

4. 计算括号内的和：3+9=12。

5. 继续计算面积：A=1/2 * 12 * 5。

6. 将12乘以5：12 * 5=60。

7. 最后将60乘以1/2，得到：A=1/2 * 60=30。

8. 经过上述推理，最终得出答案为30平方英里。

Definition of Trapezoid

<note>边3 mi和边9 mi是平行的</note>，而其他两边不平行。因此，根据梯形的定义，该四边形是一种梯形，因为它<note>有且仅有一对平行边</note>。

Trapezoid Area Formula

<note>边3 mi和边9 mi是两条平行边</note>，长度分别为a和b，它们之间的高度长度为h，所以<note>梯形的面积为(a + b) * h / 2</note>。


Question: m \$\\angle \$ PSQ是多少？

Answer: m \$\angle \$ PSQ=140°

1. 在题目中，点S是圆形的中心，∠PSR和∠QSR是由线段PS、SR和SQ构成的圆心角，给出了∠PSR = 140°和∠QSR = 80°。

2. 根据圆的角度性质，圆内同一中心的各弧对应的圆心角之和等于360°。因此∠PSQ、∠PSR和∠QSR的和是360°。

3. 将已知角度代入，得到等式：∠PSQ + ∠PSR + ∠QSR = 360°。即，∠PSQ + 140° + 80° = 360°。

4. 合并同类项，得到∠PSQ + 220° = 360°。

5. 两边同时减去220°，得到∠PSQ = 140°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为∠PSQ = 140°。

Angle Properties of a Circle

The total measure of the angles in a complete circular arc is 360 degrees, and the sum of the central angles subtended by the entire circumference of a circle is 360 degrees.


Question:
m \$\\overset{\\frown}{FH}\$ 是多少？

m \$\\overset{\\frown}{FH}\$ = \$\\Box\$ °

Answer: m \$\overset{\frown}{FH}\$ =90°

1. 根据圆的角度性质，得圆的整周的弧度和为360度。

2. 圆的周长对应360°，因此在圆中，所有圆心角所包含的弧的度数之和为360°。

3. 题目中给出的圆弧为弧FG、弧GH和弧FH，已知弧FG的度数=150°和弧GH的度数=120°。

4. 根据步骤2中的结论，弧FG、弧GH和弧FH的度数之和为360°，因此可以写出如下等式：弧FG + 弧GH + 弧FH = 360°。

5. 代入已知数据，即150° + 120° + 弧FH = 360°。

6. 将150°和120°相加，得出270° + 弧FH = 360°。

7. 为了求出弧FH，将270°从两边同时减去，得到弧FH = 360° - 270°。

8. 经过运算，弧FH = 90°。

9. 经过上述推理，最终得出答案为90°。

在本题图中，<note>弧GH弧HF弧GF绕圆一周，弧度和为360度</note>。


Question:
m \$rown{GI}\$ 是多少？

m \$rown{GI}\$ = \$ox\$ °

Answer: m \$\overset{\frown}{GI}\$ =130°

1. 根据圆的角度性质，∡GH + ∡HI + ∡GI = 360°，因为它们构成了一个整圆。

2. 已知μ(∡GH) = 120°，μ(∡HI) = 110°，将这些值代入方程：120° + 110° + μ(∡GI) = 360°。

3. 计算右边的和，120° + 110° = 230°。

4. 将230°移到方程另一边得到μ(∡GI) = 360° - 230°。

5. 进行减法运算得到μ(∡GI) = 130°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为130°。


Question: m \$\\angle \$ EDG是多少？

Answer: m \$\angle \$ EDG=140°

1. 已知∠FDG, ∠EDG和∠EDF都是围绕点D的角，那么它们的角度和是360°。

2. 根据题意，已知∠FDG=100°，∠EDF=120°。

3. 根据圆的角度性质，可得 ∠FDG + ∠EDG + ∠EDF = 360°。

4. 将已知的角度代入得到：100° + ∠EDG + 120° = 360°。

5. 化简上述等式：∠EDG + 220° = 360°。

6. 从两边都减去220°以解出∠EDG，得∠EDG = 140°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为140°。

在本题图中，<note>弧FG，弧GE，弧EF绕圆一周，弧度和为360度</note>，<note>其对应的圆周角之和也为360度</note>，即<note>∠FDG + ∠EDG + ∠EDF = 360°</note>，则<note>∠EDG = 140°</note>。


Question:
梯形的面积是多少？

\$
Box
\$ 平方厘米

Answer: 18square centimeters

1. 根据题目条件，设梯形为ABCD（逆时针依次取顶点，A为左上顶点），AD为上底，BC为下底，梯形的上底为 AD = 4 厘米，下底为 BC = 8 厘米，高为 h = 3 厘米。

2. 梯形的面积公式为：\( A = \frac{1}{2} (b_1 + b_2) \times h \)，其中 b1 和 b2 是梯形的两条平行边的长度，h 是高度。

3. 将已知的上底和下底长度代入公式：\( A = \frac{1}{2} (4 + 8) \times 3 \)。

4. 计算括号中的值：\( 4 + 8 = 12 \)。

5. 将上一步中的结果代入公式继续计算：\( A = \frac{1}{2} \times 12 \times 3 \)。

6. 先计算乘积：\( 12 \times 3 = 36 \)。

7. 求面积：\( A = \frac{1}{2} \times 36 = 18 \)。

8. 经过上述推理，最终得出答案为（单位平方厘米）：

Definition of Trapezoid

<note>在本题图中，四边形 ABCD 中，边 AD 和边 BC 是平行的</note>，而边 AB 和边 CD 不平行。因此，根据梯形的定义，<note>四边形 ABCD 是一种梯形，因为它有且仅有一对平行边</note>。

Trapezoid Area Formula

<note>梯形的上底 AD 的长度为 b1 = 4 厘米</note>，<note>下底 BC 的长度为 b2 = 8 厘米</note>，<note>高度 h = 3 厘米</note>。根据梯形面积公式 A = \( \frac{1}{2} (b_1 + b_2) \times h \)，代入已知值得到面积 A = \( \frac{1}{2} (4 + 8) \times 3 = 18 \) 平方厘米。


Question: m \$\overset{\frown}{FG}\$ 是多少？

Answer: m \$\overset{\frown}{FG}\$ =90°

1. 已知，弧GH度数为120°，弧FH度数为150°，设圆心为O，他们所对的圆心角也分别为120°，150°。

2. 求弧FG的度数，也即其所对圆心角的度数，有360°-150°-120°＝90°。

Definition of Central Angle

An angle formed by two radii connecting two points on the circumference of a circle to the center of the circle is called a central angle.


Question:
m \$\\angle \$ QPR是多少？

m \$\\angle \$ QPR= \$\\Box\$ °

Answer: m \$\angle \$ QPR=70°

1. 圆心角性质：在一个圆中，同一条弧的圆心角等于360°。

2. 首先，观察图中，点 P 是圆心，分别有两条线段 PR 和 PS 经过该点。

3. 由题目条件，m∠RPS = 150°，m∠QPS = 140°，我们需要求 m∠QPR 的度数。

4. 根据圆心角的性质，m∠RPS + m∠QPR + m∠QPS = 360°。

5. 将已知的角度代入方程式，得到 150° + m∠QPR + 140° = 360°。

6. 将已知度数相加，得出 150° + 140° = 290°。

7. 方程化简为 m∠QPR + 290° = 360°。

8. 从两边同时减去 290°，以解决方程，m∠QPR = 360° - 290°。

9. 经过减法运算，得出 m∠QPR = 70°。

10. 经过上述推理，最终得出答案为70°。


Question:
m \$rown{RS}\$ 是多少？

m \$rown{RS}\$ = \$ox\$ °

Answer: m \$\overset{\frown}{RS}\$ =120°

1. 由题图可知，圆心分别连接至点R、Q、S，并将圆周分割成三段弧即\overset{\frown}{RS}，\overset{\frown}{QR}和\overset{\frown}{QS}。

2. 根据圆的角度性质（即在一个圆中，从圆心出发形成的三个扇形的角度之和为360°），可得出如下等式：m \overset{\frown}{RS} + m \overset{\frown}{QR} + m \overset{\frown}{QS} = 360°。

3. 已知m \overset{\frown}{QR} = 110°，m \overset{\frown}{QS} = 130°，将其代入上式，因此可以得：m \overset{\frown}{RS} + 110° + 130° = 360°。

4. 通过计算可得：m \overset{\frown}{RS} + 240° = 360°。

5. 通过从方程两边同时减去240°，可得：m \overset{\frown}{RS} = 120°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为120°。


Question:
梯形的面积是多少？

 \$ox\$ 平方英寸
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题，无需其他内容（也无需用‘问题：’开头）

Answer: 40square inches

1. 根据题意，梯形的两条底边分别为b1=10英寸和b2=6英寸。

2. 梯形的高度h从上底到下底垂直，高度为5英寸。

3. 选定一个点，从上底的右端向下底垂直，形成一个直角三角形（设直角三角形为ABC，AB＝5，BC是另一个直角边，AC为斜边）。

4. 梯形的面积计算公式为：A=1/2 * (b1+b2) * h。

5. 将已知值代入公式：A = 1/2 * (10 + 6) * 5。

6. 计算括号中的和：b1+b2=16英寸。

7. 将括号内结果带入公式：A = 1/2 * 16 * 5。

8. 进行乘法运算：A = 8 * 5。

9. 计算最后结果：A = 40。

10. 经过上述推理，最终得出答案为40平方英寸。

Definition of Trapezoid

<note>梯形的上底边为6英寸，下底边为10英寸</note>；其他两边不平行，分别为两条斜边。因此，<note>根据梯形的定义，该四边形是一种梯形，因为它有且仅有一对平行边</note>。

Definition of Right Triangle

A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.

<note>选定一个点，从上底右端垂直到下底</note>，形成一个<note>直角三角形</note>。<note>直角在该垂线与下底的交点处</note>。该直角三角形的两条<note>直角边分别是梯形的高度（5英寸）和BC</note>，<note>斜边是从上底右端到下底右端的线段</note>。

Trapezoid Area Formula

<note>边6英寸和边10英寸是两条平行边</note>，<note>边5英寸是它们之间的高度</note>，所以梯形的面积为(6 + 10) * 5 / 2。


Question:
m \$rown{RS}\$ 是多少？

m \$rown{RS}\$ = \$ox\$ °

Answer: m \$\overset{\frown}{RS}\$ =90°

1. 已知圆中，设圆心为O，弧RT的度数为 120°，弧ST的度数为 150°，要求弧RS的度数。

2. 由圆的角度性质可知，圆的整周的弧度和为360度，整周的弧所对圆心角之和为360度。

3.所以有弧RT＋弧ST＋弧RS＝360°

4.整理可得弧RS＝360°-120°-150°＝90°

5.经过上述推理，最终得出答案为 90°。

Definition of Circle

在本题图中，<note>圆的圆心是圆心点</note>，<note>半径为从圆心到圆周上任意一点的距离，例如从圆心到点 R、S、T 的距离为半径</note>。<note>图中所有到圆心点的距离等于半径的点都在这个圆上</note>。

Definition of Arc

An arc is a curve on a circle that is defined by two distinct points on the circle.

在本题图中，圆上有<note>三点 R、S 和 T</note>，<note>弧RT是连接点 R 和点 T 的曲线</note>，<note>弧ST是连接点 S 和点 T 的曲线</note>，<note>弧RS是连接点 R 和点 S 的曲线</note>。根据弧的定义，<note>弧RT, ST和RS都是圆上两点之间的一段曲线</note>。


Question:
梯形的面积是多少？

 \$ox\$ 平方厘米
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）

Answer: 28square centimeters

1. 已知梯形的上底 b1 = 4 厘米，梯形的下底 b2 = 10 厘米，高 h = 4 厘米。

2. 梯形的面积可以通过以下公式计算：A = 1/2 * (b1 + b2) * h。

3. 将题中给定的已知条件代入公式，得到 A = 1/2 * (4 + 10) * 4。

4. 计算括号内的和，得到 A = 1/2 * 14 * 4。

5. 先计算 1/2 * 14，得到结果为 7。

6. 然后计算 7 * 4，得到结果为 28。

7. 经过上述推理，最终得出答案为 28 平方厘米。

Definition of Trapezoid

<note>四边形的上底为 4 厘米，下底为 10 厘米，高度为 4 厘米</note>。根据梯形的定义，梯形是指一种四边形，且<note>具有一对平行边</note>。<note>在此图中，上底和下底是平行的</note>，而其他两边不平行。因此，该四边形是一种梯形。

Trapezoid Area Formula

<note>梯形的上底边为 4 厘米</note>，<note>下底边为 10 厘米</note>，<note>高为 4 厘米</note>，所以梯形的面积为 (4 + 10) * <note>4 / 2</note> = <note>28 平方厘米</note>。


Question:
m \$\\angle \$ HGJ是多少？

m \$\\angle \$ HGJ= \$\\Box\$ °

Answer: m \$\angle \$ HGJ=100°

1. 已知弧IJ的圆心角∠IGJ＝120°，弧IH的圆心角∠IGH＝140°

2. 依据圆的角度性质，圆的整周的弧度和为360度，整周的弧所对圆心角之和为360度。

3.可知∠HGJ＝360°-∠IGJ-∠IGH

4.整理可知，∠HGJ＝360°-120°-140°＝100°

5.因此，经过上述推理，最终得出答案为：∠HGJ = 100°。

Definition of Radius

A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.

在本题图中，圆中，<note>点G是圆心</note>，<note>点H、I、J是圆上的任意一点</note>，<note>线段GH、GI和GJ是从圆心G到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段GH、GI和GJ是圆的半径</note>。

Definition of Central Angle

<note>圆中，点I和点J是圆上的两点，圆心是点G</note>。连线<note>GI和GJ组成的角∠IGJ称为圆心角</note>。同理，连线<note>GH和GI组成的角∠HGI</note>，连线<note>GH和GJ组成的角∠HGJ也称为圆心角</note>。

Angle Properties of a Circle

在本题图中，<note>弧HI弧IJ弧JH绕圆一周，弧度和为360度</note>，<note>其对应的圆周角之和也为360度，即角IGJ+角HGI+角JGH=360度</note>。


Question: m \$\\overset{\\frown}{FG}\$ ？

Answer: m \$\overset{\frown}{FG}\$ =90°

1. 已知圆周上的点E, F, G，设圆心为O，并且这三个点是顺时针排列的。因此圆周角所对应的圆心角总和为360°。

2. 根据圆的角度性质，弧EF, 弧FG和弧EG覆盖了一整个圆周，因此弧EF+弧FG+ 弧EG= 360°。

3. 题目给出弧EF= 140°，弧EG= 130°。

4. 将已知的弧度代入公式得：140° + 弧FG + 130° = 360°。

5. 合并已知的弧EF和弧EG的角度，有140° + 130° = 270°。

6. 将270°代入方程，得到 270° + 弧FG = 360°。

7. 移项求得 弧FG= 360° - 270° = 90°。

8. 经过上述推理，最终得出答案为90°。

Definition of Arc

<note>圆周上有三点E, F和G</note>，弧EF是<note>连接点E和点F的一段曲线</note>，弧FG是<note>连接点F和点G的一段曲线</note>，弧EG是<note>连接点E和点G的一段曲线</note>。


Question:
求阴影部分的面积。

将你的答案四舍五入到最接近的十分位。

\$
Box\$ 平方厘米

Answer: 4.6 square centimeters

1. 已知圆的半径为 4 厘米，圆心角 ∠ABC 为 90°，计算扇形 ABC 的面积是求阴影部分面积的第一步。

2. 扇形的面积公式是：面积 = 圆心角度数/360° × 圆的面积，其中圆的面积为 πr²。

3. 将已知数据代入公式：扇形 ABC 的面积 = 90°/360° × π × 4² = 4π 平方厘米。

4. 接下来计算三角形 ABC 的面积。因为三角形 ABC 是直角三角形，且两条直角边是圆的半径，长度均为 4 厘米。

5. 直角三角形的面积计算公式是：面积 = 1/2 × 底 × 高。

6. 将已知数据代入公式：三角形 ABC 的面积 = 1/2 × 4 × 4 = 8 平方厘米。

7. 阴影部分的面积等于扇形面积减去三角形的面积。

8. 计算阴影部分的面积：阴影部分面积 = 4π - 8 平方厘米。

9. 近似计算，π 取 3.14159，得 4 × 3.14159 = 12.56636。

10. 阴影部分的面积 = 12.56636 - 8 = 4.56636 平方厘米。

11. 将结果四舍五入到最近的小数位，得到阴影部分的面积约为 4.6 平方厘米。

12. 经过上述推理，最终得出答案为约 4.6 平方厘米。

Definition of Sector

A sector is a figure formed by two radii of a circle and the arc enclosed between them.

<note>扇形 ABC 中，半径 AB 和半径 BC 是圆的两条半径</note>，<note>圆弧 AC 是由这两条半径所夹的圆弧</note>，所以根据扇形的定义，由这两条半径和它们所夹的<note>圆弧 AC 组成的图形为扇形</note>。

Definition of Right Triangle

在本题图中，三角形 ABC 中，<note>角 ∠ABC 是直角（90度）</note>，因此<note>三角形 ABC 是一个直角三角形</note>。<note>边 AB 和边 BC 是直角边</note>，<note>边 AC 是斜边</note>。

Area Formula of a Circle

The area of a circle is given by the formula A = πr², where A represents the area, π (pi) is the mathematical constant approximately equal to 3.14159, and r is the radius of the circle.

<note>圆的半径是 4 厘米</note>，根据<note>圆的面积公式</note>，圆的面积A等于圆周率π乘以<note>半径4的平方</note>，即A = π4²。

Formula for the Area of a Sector

The area \( X \) of a sector can be calculated using the formula \( X = \frac{\theta}{360} \times \pi \times r^2 \), where \( \theta \) is the measure of the central angle in degrees, and \( r \) is the radius length.

在本题图中，<note>扇形ABC中，圆心角ABC的度数为θ</note>，<note>半径AB的长度为r</note>。根据扇形的面积公式，扇形的面积A可以通过公式<note>A = (θ/360) * π * r²</note>计算，其中<note>θ是圆心角度数，r是半径长度</note>。所以<note>扇形ABC的面积A = (θ/360) * π * r²</note>。

Area Formula of a Triangle

The area of any triangle is equal to its base multiplied by its height, divided by 2.

<note>三角形ABC中，边AB是底</note>，<note>线段BC是该底上的高</note>，所以三角形ABC的面积等于底<note>AB乘以高BC除以2</note>，即面积 = <note>(AB * BC) / 2</note>。


Question:
求阴影区域的面积。

将答案四舍五入到最接近的十分位。
 \$ox\$ 平方米

Answer: 10.3 square meters

1. 题目提供的图形为圆，圆心为点Y，两点S和T在圆上。已知圆的半径YS=YT=6米，且在SYT三角形中，角SYT为直角（90°），则三角形SYT是直角三角形。

2. 用于定义扇形SYT的弧ST的角度是∠SYT=90°。

3. 根据圆的面积公式A=πr^2，整个圆的面积为π* 6^2=36π平方米。

4. 使用扇形的面积公式K=(m/360)* A，其中m是中心角度。对于扇形SYT，m=90°，于是扇形SYT的面积为(90/360)* 36π=9π平方米。

5. 三角形SYT是直角三角形，且两条直角边（YS和YT）都是6米。使用三角形面积公式A=(YS * YT) / 2，计算得出三角形SYT的面积为（6 *6）/2=18平方米。

6. 阴影区域的面积是扇形SYT的面积减去三角形SYT的面积：9π-18平方米。

7. 代入π的近似值（约为3.14159），计算9π-18约等于10.27433平方米。

8. 将结果四舍五入到最近的十分位，得到阴影区域的面积为10.3平方米。

9. 经过上述推理，最终得出答案为10.3平方米。

Definition of Circle

A circle is the locus of all points in a plane that are at a fixed distance from a given point.

在本题图中，圆中，<note>点Y是圆心</note>，<note>半径为6米</note>。图中所有<note>到点Y的距离等于6米的点都在圆上</note>。

Definition of Arc

<note>圆上有两点S和T</note>，<note>弧ST是连接这两点的一段曲线</note>。根据弧的定义，<note>弧ST是圆上两点S和T之间的一段曲线</note>。

Definition of Sector

<note>扇形SYT中，半径YS和半径YT是圆的两条半径，圆弧ST是由这两条半径所夹的圆弧</note>，所以根据扇形的定义，由这两条半径和它们所夹的<note>圆弧ST</note>组成的图形为扇形。

Definition of Right Triangle

在本题图中，三角形SYT中，<note>角SYT是直角（90度）</note>，因此三角形SYT是一个直角三角形。<note>边YS和边YT是直角边</note>，<note>边ST是斜边</note>。

Formula for the Area of a Sector

<note>扇形SYT的中心角度m=90°</note>，整个圆的面积A=36π平方米，因此<note>扇形SYT的面积为(90/360)* 36π=9π平方米</note>。

Area Formula of a Triangle

在本题图中，三角形SYT中，<note>边YS是底，线段YT是该底上的高</note>，所以<note>三角形SYT的面积等于底YS乘以高YT除以2</note>，即<note>面积A=(YS * YT) / 2</note>。


Question:
在圆G中，\$riangle\$ RGS的角度为t°，半径\$riangle\$RG的长度为b。

如果圆G以其中心为中心按2.5的比例因子扩展，\$riangle\$RS的新长度是多少？

- 𝜋b ^ 2t/72
- 𝜋b ^ 2t/144
- 𝜋bt/144
- 𝜋bt/72

Answer: - 𝜋bt/72

1. 首先，根据题意，圆G的半径是\( \overline{RG} = b \)，弧所对的圆心角是\( \angle RGS = t^\circ \)。

2. 对圆G进行以其中心为中心的2.5倍比例放大，根据相似图形的性质，半径\( \overline{RG'} = 2.5 \times b \)。

3. 由于伸缩变换不改变角的度量，所以\( \angle R'G'S' = \angle RGS = t^\circ \)。

4. 通过放大后，我们得到新的圆周长\( C' = 2 \pi \times 2.5b = 5\pi b \)。

5. 通过圆上弧长公式，弧长\( \overset{\frown}{R'S'} \) 的计算公式为：\( \frac{m}{360^\circ} \times C \)，其中\( m \)为弧对应的圆心角的度数。

6. 因此，弧长\( \overset{\frown}{R'S'} = \frac{t}{360} \times 5\pi b \)。

7. 进一步简化可得\( \frac{t}{360} \times 5\pi b = \frac{5t \pi b}{360} = \frac{\pi bt}{72} \)。

8. 经过上述推理，最终得出答案为\( \frac{\pi bt}{72} \)。

Circumference Formula of Circle

The circumference of a circle is the length around the circular boundary. It can be calculated using the formula \( C = 2\pi r \), where \( C \) represents the circumference and \( r \) represents the radius.

在本题图中，<note>圆G中，点G是圆心</note>，<note>线段RG是半径b</note>。根据<note>圆的周长公式</note>，圆的周长C等于2π乘以<note>半径b</note>，即C=2πb。经放大后<note>新的圆周长为C' = 2π × 2.5b = 5πb</note>。

Arc Length Formula of a Circle

The arc length refers to the length of a segment of the circumference of a circle. It can be calculated using the formula 𝓁 = C × (m/360), where m is the measure of the central angle in degrees.

<note>弧长\( \overset{\frown}{RS} \)</note>的计算公式为：<note>\( \frac{t}{360^\circ} \times 5\pi b \)</note>。

Definition of an Angle

An angle is a geometric figure formed by two rays sharing a common endpoint. This common endpoint is called the vertex of the angle, and the two rays are referred to as the sides of the angle.

在本题图中，<note>角\( \angle RGS \)</note>是由两条<note>射线\( \overline{RG} \)和\( \overline{GS} \)</note>组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点<note>G</note>。这个共同的端点<note>G</note>称为<note>角\( \angle RGS \)的顶点</note>，而<note>射线\( \overline{RG} \)和\( \overline{GS} \)</note>称为<note>角\( \angle RGS \)的边</note>，其度数为t°。

Definition of Central Angle

在本题图中，<note>圆G</note>中，<note>点R和点S是圆上的两点</note>，<note>圆心是点G</note>。<note>连线GR和GS组成的角∠RGS称为圆心角</note>，其度数为t°。

Similarity Theorem for Triangles (AA)

Two triangles are similar if two of their corresponding angles are congruent.

在本题图中，圆进行2.5倍比例放大，新的圆的半径<note>\( \overline{RG'} \)</note> 与原圆半径<note>\( \overline{RG} \)</note> 成比例，<note>\( \overline{RG'} = 2.5 \times b \)</note>，对应角 <note>\( \angle RGS \)</note> 度数保持不变，为t°。

Arc Length Formula of a Circle

<note>弧 \( \overset{\frown}{RS} \)</note> 的长度计算公式为：<note>\( \frac{t}{360} \times 5\pi b \)</note>。


Question:
在圆G中，\$heta\$ RGS的角度为t°，半径\$heta\$ RG的长度为b。

如果圆G以其中心为缩放中心按比例因子2.5进行缩放，\$heta\$ RS的新长度是多少？

- 𝜋bt/144
- 𝜋b ^ 2t/72
- 𝜋b ^ 2t/144
- 𝜋bt/72

Answer: - 𝜋bt/72

1. 首先，我们需要明确圆 G 的性质：圆心是 G，半径长度为 b。

2. 题目中提到 ∠RGS 测量为 t°，这意味着弧 RS 在圆 G 中对应的圆心角为 t°。

3. 根据题目要求，圆 G 以其圆心为中心放大，缩放因子为 2.5。由此，新的圆，记为 G'，其半径 R'G' 的长度为 2.5b。

4. 由于放大是关于圆心 G 进行的，因此圆心角 ∠R'G'S' 的大小不变，仍为 t°。

5. 现在我们来计算放大后的圆 G' 的周长。根据周长公式：C = 2πr，其中 r 是半径。因此，G' 的周长 C' = 2 × π × 2.5b = 5πb。

6. 根据圆周角的定义，弧 R'S' 的长度可以用公式计算：𝓁 = m/360 × C，其中 m 是圆心角的度数，C 是圆的周长。

7. 对于圆 G'，弧 R'S' 的长度为：𝓁 = t/360 × 5πb。

8. 对上式进行化简：𝓁 = (5πbt)/360。

9. 进一步化简得：𝓁 = πbt/72。

10. 经过上述推理，最终得出答案为 πbt/72。

Definition of Circle

<note>圆G中，点G是圆心</note>，<note>半径为b</note>。图中所有到<note>点G的距离等于b的点都在圆G上</note>。圆G‘中，<note>点G’是圆心</note>，<note>半径为b</note>。图中所有到<note>点G‘的距离等于b的点都在圆G’上</note>。

Definition of Arc

在本题图中，圆 <note>G</note> 上有两点 <note>R</note> 和 <note>S</note>，<note>弧 RS</note> 是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，<note>弧 RS</note> 是圆上两点 <note>R</note> 和 <note>S</note> 之间的一段曲线。圆 <note>G'</note> 上有两点 <note>R'</note> 和 <note>S'</note>，<note>弧 R'S'</note> 是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，<note>弧 R'S'</note> 是圆上两点 <note>R'</note> 和 <note>S'</note> 之间的一段曲线。

Arc Length Formula of a Circle

<note>圆 G</note> 上，弧 <note>R'S'</note> 的长度 <note>L = (t/360) × 5πb</note>，化简后得出 <note>L = πbt/72</note>。


Question:
求阴影部分的面积。

将答案四舍五入到十分位。
 \$ox\$ 平方米

Answer: 10.3 square meters

1. 已知圆心是Y，半径YS = YT = 6米，圆心角∠SYT = 90°。

2. 根据圆心角性质，扇形SYT的弧的度数是90°，而整个圆的面积为π乘以半径的平方，因此整圆的面积为π×6^2 = 36π平方米。

3. 通过计算部分扇形面积，可以使用扇形的面积公式：扇形面积= (圆心角度数 / 360°)×整圆面积，得出扇形SYT面积为(90°/360°)×36π = 9π平方米。

4. 由∠SYT为直角三角形知，计算△SYT的面积需要用到三角形的面积公式：面积 = 1/2×底×高，得出△SYT的面积是1/2×YS×YT = 1/2×6×6 = 18平方米。

5. 为求得阴影部分面积，需要从扇形的面积中减去△SYT的面积，因此阴影部分面积 = 扇形SYT面积 - △SYT面积 = 9π - 18平方米。

6. 将结果9π - 18计算为十进制近似值，得出阴影部分的面积约为10.27433。

7. 将结果四舍五入到十分位，得到的最终答案是10.3平方米。

Formula for the Area of a Sector

在本题图中，<note>扇形SYT</note>中，<note>圆心角SYT的度数为90°</note>，<note>半径SY的长度为6</note>。根据<note>扇形的面积公式</note>，扇形的面积A可以通过公式A = (θ/360) * π * r²计算，其中θ是圆心角度数，r是半径长度。所以<note>扇形SYT的面积A = (90/360) * π * 6²</note>。

Area Formula of a Circle

<note>圆Y中，半径SY表示圆的半径</note>，面积A表示圆的面积。根据圆的面积公式，圆的面积A = πr^2，其中π是圆周率。因此，<note>圆Y的面积可以通过半径SY计算得出，即A = π(SY)^2</note>。

Area of Right Triangle

The area of a right triangle is equal to half the product of the two legs that form the right angle, i.e., Area = 1/2 * base * height.

在本题图中，直角三角形<note>SYT</note>中，<note>角SYT是直角（90度）</note>，边<note>SY</note>和<note>TY</note>是直角边，其中一条直角边作为底，另一条直角边作为高，所以直角三角形的面积等于这两条直角边乘积的一半，即面积 = 1/2 * 边<note>SY</note> * 边<note>TY</note>。

Property of Central Angle

The degree measure of an arc is equal to the degree measure of the central angle that subtends the arc.


Question:
在下图中，有两个以L为圆心的圆。半径\$\overline{LN}\$的长度为4.5厘米，直径\$\overline{OQ}\$的长度为12厘米。\$\overset{rown}{OQP}\$的度数为240°。

求阴影部分的面积。
将你的答案精确到十分位。
 \$\\Box\$ 平方厘米

Answer: 16.5 square centimeters

1. 已知圆心L，半径LN为4.5厘米，那么较小圆的半径为4.5厘米。已知直径OQ为12厘米，所以较大圆的半径LO为6厘米。

2. 已知弧OQP的测量为240°。因为整圆的测量是360°，所以弧OP的测量是360° - 240° = 120°。

3. 根据扇形的面积公式A = (m/360°) * π * r^2，其中m为弧度数，r为半径，算出扇形OLP的面积。

4. 扇形OLP的弧OP测量为120°，半径为6厘米。故扇形OLP面积为(120/360) * π * 6^2 = 12π平方厘米。

5. 由于M点和N点分别在线段OL和线段PL上，即圆心角MLN与OQP同为240°，所以弧MN的测量也是360° - 240° = 120°。

6. 扇形MLN的弧MN也是120°，半径为4.5厘米。故扇形MLN面积为(120/360) * π * 4.5^2 = 6.75π平方厘米。

7. 求阴影区域对应扇形面积的差异，即阴影区域面积是扇形OLP面积减去扇形MLN面积。

8. 计算阴影区域面积：12π - 6.75π = 5.25π平方厘米。

9. 计算结果数值，5.25π约为5.25 * 3.14159 ≈ 16.49336平方厘米。

10. 将结果四舍五入到小数点后一位，得到阴影区域面积为16.5平方厘米。

11. 经过上述推理，最终得出答案为16.5平方厘米。

Definition of Circle

<note>点L是圆心</note>，半径分别为<note>4.5厘米和6厘米</note>。图中所有到<note>点L的距离等于4.5厘米的点</note>都在<note>较小的圆上</note>，所有到<note>点L的距离等于6厘米的点</note>都在<note>较大的圆上</note>。

Definition of Radius

在本题图中，圆中，<note>点L是圆心</note>，<note>点N是圆上的任意一点</note>，<note>线段LN是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段LN是圆的半径</note>；同样，圆中，<note>点L是圆心</note>，<note>点O是圆上的任意一点</note>，<note>线段LO是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段LO是圆的半径</note>。

Definition of Diameter

A diameter is a line segment that passes through the center of a circle and has its endpoints on the circle. It is the longest chord of the circle, with a length equal to twice the radius of the circle.

<note>线段OQ是大圆的直径</note>，连接了<note>圆心L</note>和圆周上的<note>O、Q两点</note>，长度为2倍的半径，即<note>OQ = 2 * LO = 12厘米</note>。

Definition of Central Angle

在本题图中，圆中，<note>点O和点P是圆上的两点</note>，<note>圆心是点L</note>。<note>连线LO和LP组成的角∠OLP称为圆心角</note>。

Definition of Sector

在本题图中，<note>扇形OLP中，半径OL和半径PL是圆的两条半径，圆弧OP是由这两条半径所夹的圆弧</note>，所以根据扇形的定义，由这两条半径和它们所夹的圆弧OP组成的图形为<note>扇形OLP</note>。<note>扇形MLN中，半径ML和半径NL是圆的两条半径，圆弧MN是由这两条半径所夹的圆弧</note>，所以根据扇形的定义，由这两条半径和它们所夹的圆弧MN组成的图形为<note>扇形MLN</note>。

Inscribed Angle Theorem

In a circle, an inscribed angle is equal to half of the central angle that subtends the same arc.

Formula for the Area of a Sector

<note>较大圆的扇形OLP的面积</note>可以用公式A = (120/360) * π * 6^2计算，得到12π平方厘米；<note>较小圆的扇形MLN的面积</note>可以用公式A = (120/360) * π * 4.5^2计算，得到6.75π平方厘米。


Question:
\$\overline{LK}\$ 是圆 Z 的直径。

 求阴影部分的面积。
 将你的答案四舍五入到最接近的十分位。
 \$\Box\$ 平方英寸

Answer: 57.1 square inches

1. 确定圆的半径为 10 米。因此，三角形 LJK 的斜边LK是LJ与JK之和，他们均为圆的半径，长度为 10 米，得LK为20。

2. 计算圆 Z 的面积公式为 πr^2 ，其中 r 是圆的半径。由于 r = 10 米，圆的面积为 100π 平方米。

3. 由于LK是直径，则弧LJK所成的扇形为半圆，其面积为 50π 平方米。

4. 三角形 LJK 的面积计算公式为 A = 1/2 · b · h，其中 b =LK= 20 米，h = ZJ＝10 米。因此，三角形的面积为 1/2 · 20 · 10 = 100 平方米。

5. 阴影区域的面积为半圆扇形的面积减去三角形 LJK 的面积，即 50π - 100。

6. 将上述表达式计算得到 50π - 100 ≈ 57.07963。

7. 将计算结果保留到小数点后第一位，最终阴影区域的面积为 57.1 平方米。

Definition of Diameter

<note>LK是直径</note>，连接了<note>圆心 Z</note>和<note>圆周上的 L、K 两点</note>，长度为<note>2 倍的半径</note>，即<note>LK= 20 米</note>。

Definition of Radius

在本题图中，圆 Z 中，<note>点 Z 是圆心</note>，<note>点 L 和 K 和 J 是圆上的任意一点</note>，<note>线段 LZ 和 KZ 和 JZ 是从圆心 Z 到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段 LZ 和 KZ 和 JZ 是圆的半径</note>。

Definition of Sector

<note>扇形LJK</note>中，<note>半径LZ和半径KZ</note>是圆的两条半径，<note>圆弧LJK</note>是由这两条半径所夹的圆弧，所以根据扇形的定义，由这两条半径和它们所夹的<note>圆弧LJK</note>组成的图形为扇形。

Area Formula of a Circle

在本题图中，<note>圆 Z 的半径是 10 米</note>，根据<note>圆的面积公式</note>，<note>圆的面积 A 等于圆周率 π 乘以半径 10 的平方</note>，即 A = π * 10² = 100π 平方米。

Area Formula of a Triangle

<note>三角形LJK中，边LK是底</note>，<note>线段JZ是该底上的高</note>，所以三角形LJK的面积等于<note>底LK乘以高JZ除以2</note>，即面积 = <note>(LK * JZ) / 2</note>。


Question:
四边形 ABCD 内接于圆 E。\$\overline{AC}\$ 和 \$\overline{BD}\$ 是圆的直径。

请选择所有必须为真的陈述。

- \$\angle \$ C 和 \$\angle \$ A 是互补角。
- \$\angle \$ C 和 \$\angle \$ D 是互补角。
- △ABD 是直角三角形。
- △AED 是直角三角形。

Answer:
-  \$\angle \$ C and  \$\angle \$ A are supplementary angles.
-  \$\angle \$ C and  \$\angle \$ D are supplementary angles.
- △ABD is a right triangle.
- △AED is a right triangle.

1. 已知四边形ABCD内切于圆E，且AC和BD为该圆的直径。在圆内接四边形中，对角相加为180°{(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理}，所以角CDA和角ABC是互补角，角DAB和角BCD是互补角。

2. 由于BD为直径，弧DAB的度数为180°，根据圆周角定理，相应的圆周角BCD为90°，即角C为90°。同时，由于AC是直径，弧ABC的度数也为180°，相应的圆周角D为90°，故角ADC为90°。

3. 因为角C和角D都是90°，它们的和为180°，因此角C和角D是互补角。

4. △ABD中，BD是直径，根据(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角，角DAB为直角。因此△ABD是直角三角形。

5. 在△AED中，角BEC是圆心角，对应弧BC的度数，与弧DC相对的角DEC是垂直的，因此根据对顶角的定义可知，角AED为直角，因此△AED是直角三角形。

6. 综上所述，所有选项均为真：角C和角A是互补角；角C和角D是互补角；△ABD是直角三角形；△AED是直角三角形。

Cyclic Quadrilateral

A quadrilateral is called a cyclic quadrilateral if and only if all four vertices lie on the circumference of a single circle. This circle is referred to as the circumcircle of the quadrilateral.

在本题图中，四边形<note>ABCD的四个顶点A、B、C和D都在同一个圆E上</note>。这个<note>圆称为四边形ABCD的外接圆</note>。因此，<note>四边形ABCD是一个内接四边形</note>。根据内接四边形的性质，可以得出<note>对角相加等于180度</note>，即<note>角A + 角C = 180度</note>，<note>角B + 角D = 180度</note>。

Corollary 3 of the Inscribed Angle Theorem: Diagonal Supplementary Theorem for Cyclic Quadrilateral

In a cyclic quadrilateral (a quadrilateral inscribed in a circle), the sum of each pair of opposite angles is equal to 180°. Additionally, any exterior angle is equal to its interior opposite angle.

<note>在本题图中，四边形ABCD是圆内接四边形，四边形的顶点A、B、C、D都在圆上</note>。根据圆内接四边形对角互补定理，<note>四边形ABCD的每一对对角的和等于180°</note>。具体来说，<note>∠A + ∠C = 180°</note>；<note>∠B + ∠D = 180°</note>。

Corollary to the Inscribed Angle Theorem 2: The Angle Subtended by the Diameter

The angle subtended by the diameter of a semicircle is a right angle; conversely, if an inscribed angle is 90°, then the chord subtending that angle is a diameter.

在本题图中，<note>圆E中，直径AC所对的圆周角∠ADC是直角（90度）</note>，<note>直径BD所对的圆周角∠BCD是直角（90度）</note>。

Definition of Right Triangle

A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.

<note>在本题图中，三角形ABD中，角DAB是直角（90度）</note>，因此三角形ABD是一个直角三角形。<note>边AD和边AB是直角边，边DB是斜边</note>。<note>三角形AED中，角AED是直角（90度）</note>，因此三角形AED是一个直角三角形。<note>边AE和边ED是直角边，边AD是斜边</note>。


Question:
Allie画了下面的四边形。

求m的值，使得Allie可以在四边形外接一个圆。
m= \$ox\$

Answer: m=-23

1. 题目要求Allie画出的四边形能够被外接圆 circumscribe 包围；在这样的情况下，该四边形满足内接四边形定义，即四边形的对角相加等于180度。

2. 已知四边形的两个对角一个为 (−6m−90)°，另一个为 (−5m+17)°。

3. 根据内接四边形定义：对角 A 和 C 的和应该等于180°，因此设∠A 表示(−6m−90)°和∠C 表示(−5m+17)°，有：∠A + ∠C = 180 °。

4. 将角度的表达式代入，得到方程： (−6m−90) + (−5m+17) = 180 。

5. 化简方程：(−6m−90) + (−5m+17) = -11m−73 = 180。

6. 通过解方程步骤，进行移项，得出：−11m = 180 + 73，得-11m=253。

7. 解m：m=−253/11；

8. 经过上述推理，最终得出答案为m= -23。

Cyclic Quadrilateral

<note>四边形的四个顶点都在同一个圆上</note>。这个圆称为四边形的外接圆。因此，四边形是一个内接四边形。根据内接四边形的性质，可以得出<note>对角相加等于180度，即角A + 角C = 180度</note>。

<note>在本题图中，四边形的顶点都在圆上</note>。根据<note>圆内接四边形对角互补定理</note>，四边形的<note>每一对对角的和等于180°</note>。


Question: 四边形QUAD内接于一个圆。请选择所有必须为真的陈述。- m \$\\overset{\\frown}{QU}\$ =m \$\\overset{\\frown}{UA}\$ -  \$\\angle \$ Q 和  \$\\angle \$ D 是余角。- m \$\\angle \$ U=140° - m \$\\overset{\\frown}{QPD}\$ =180°

Answer:
- m \$\overset{\frown}{QU}\$ =m \$\overset{\frown}{UA}\$
-  \$\angle \$ Q and  \$\angle \$ D are complementary angles.
- m \$\angle \$ U=140°

1. 已知四边形 QUAD 是一个圆内接四边形，根据(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理，得出 ∠U 和 ∠D 互补。

2. 根据题意，弧 UA 的度数与弧 QU 的度数是否相等。由于 ∠A 是弧 UQD 上的内接角，∠A 的度数为 (130°)，则弧 UQD 的度数为 2 × 130° = 260°。

3. 由于弧 UQ 和弧 QPD 共同构成弧 UQD，因此弧 QPD 的度数为 260° - 40° = 220°。

4. 圆周总度数为 360°，弧 QPD，弧 AD、弧 UA 和弧 UQ 构成整个圆，因此弧 UA 的度数为 360° - 220° - 60° - 40° = 40°。

5. 由以上计算，弧 UA 的度数与弧 QU 的度数均为 40°，因此 弧 QU =  弧 UA。

6. ∠Q 和 ∠D 的关系分析：∠Q 的内接角截弧为弧 UD，弧 UD 的总度数为 40° + 60° = 100°，因此 ∠Q 的度数为 100° ÷ 2 = 50°。

7. ∠D 的内接角截弧为弧 QA，弧 QA 的总度数为 40° + 40° = 80°，因此 ∠D 的度数为 80° ÷ 2 = 40°。

8. 由于 ∠Q + ∠D = 50° + 40° = 90°，根据直角的定义，∠Q 和 ∠D 互为余角，因此互为补角的结论成立。

9. 检查 ∠U 的度数：∠U 的内接角截弧为弧 QPA，弧 QPA 的度数为 220° + 60° = 280°，因此 ∠U 的度数为 280° ÷ 2 = 140°。

10. 检查题中的 弧 QPD 是否等于 180°，从前述计算可知，弧 QPD 实际度数为 220°，不是 180°。

11. 经过上述推理，最终得出答案为：弧 QU = 弧 UA，∠Q 和 ∠D 为补角，∠U = 140°。上述陈述是正确的，而 弧 QPD = 180° 是错误的。

Definition of Circle

<note>圆是图中蓝色圆周</note>，圆心未标明，<note>半径为从圆心到任意圆周上点的距离</note>。<note>图中所有到圆心距离相等的点都在该圆上</note>。

Definition of Arc

An arc is a curve on a circle that is defined by two distinct points on the circle.

<note>在本题图中，圆上有点 Q、U、A 、P和 D</note>。<note>弧 QU 是连接点 Q 和 U 的一段曲线</note>，<note>弧 UA 是连接点 U 和 A 的一段曲线</note>，<note>弧 UQD 是连接点 U 和 D 的一段曲线</note>，<note>弧 QPD 是连接点 Q 和 D 的一段曲线</note>。

Cyclic Quadrilateral

在本题图中，<note>四边形 QUAD 的四个顶点 Q、U、A 和 D 都在同一个圆上</note>。这个圆称为<note>四边形 QUAD 的外接圆</note>。因此，<note>四边形 QUAD 是一个内接四边形</note>。根据<note>内接四边形的性质</note>，可以得出<note>对角相加等于180度</note>，即<note>角 QUA + 角 QDA = 180度</note>，<note>角 UQD + 角 UAD = 180度</note>。

Definition of Inscribed Angle

An inscribed angle is an angle whose vertex lies on the circumference of a circle and whose sides intersect the circle at two points.

<note>四边形 QUAD 是圆内接四边形</note>，因此 <note>∠QUD 和 ∠QAD 的度数和为 50° + 130° = 180°</note>，因此它们互补。

Circumference Formula of Circle

<note>圆O中，点O是圆心</note>，<note>线段OA、OU、OQ、OD、OP是半径r</note>。根据圆的周长公式，圆的周长C等于2π乘以半径r，即C=2πr。


Question:
三角形 PQR 内接于圆 C。

 选择所有必须为真的陈述。

- \$\\angle \$ P, \$\\angle \$ Q 和 \$\\angle \$ R 的平分线在 C 处相交。
- 三角形 CMR 是一个直角三角形。
- 三角形 QCR 是一个等腰三角形。
- \$\\overline{PQ}\$ , \$\\overline{QR}\$ 和 \$\\overline{RP}\$ 的垂直平分线在 C 处相交。

Answer:
Triangle QCR is an isosceles triangle.
 The perpendicular bisectors of \$\overline{PQ}\$ , \$\overline{QR}\$ , and \$\overline{RP}\$ intersect at C.

1. 根据题目已知信息，三角形 PQR 内接于圆 C，点 C 是圆心。

2. 由于点 C 是圆的圆心，因此线段 QC 和线段 RC 都是圆的半径，长度相等。

3. 由 QC = RC，可得三角形 QCR 是等腰三角形。

4. 关于三角形 PQR 的垂直平分线：根据‘垂直平分线定理中的圆心描述’，三角形的外心是其各边的垂直平分线的交点。

5. 因为题中说明圆 C 是三角形 PQR 的外接圆，所以圆心 C 是三角形 PQR 三边的垂直平分线的交点，即三角形 PQR 的外心。

6. 根据上述推理，选项‘三角形 QCR 是等腰三角形’ 和 ‘线段 PQ、QR、RP 的垂直平分线交于 C’ 必然成立。

7. 选项‘角 P、角 Q 和角 R 的平分线交于 C’ 代表这些角的平分线交于三角形的内心。由于未提供额外信息表明圆心 C 也是三角形 PQR 的内心，因此这一陈述不一定成立。

8. 选项‘三角形 CMR 是直角三角形’ 需证明角 M 为直角，由于缺乏关于点 M 具体位置或三角形 CMR 特性的进一步信息，因此无法确定该选项成立。

9. 综上所述，可以确定成立的陈述为 ‘三角形 QCR 是等腰三角形’ 和 ‘PQ、QR、RP 的垂直平分线交于 C’。

Definition of Isosceles Triangle

A triangle is an isosceles triangle if and only if it has at least two congruent (≅) sides.


Question:
四边形ABCD内接于圆E。\$\overline{AC}\$和\$\overline{BD}\$是圆的直径。

选择所有必须为真的陈述。

- \$\angle\$ C 和 \$\angle\$ A 是补角。
- △ABD 是直角三角形。
- \$\angle\$ C 和 \$\angle\$ D 是补角。
- △AED 是直角三角形。

Answer:
-  \$\angle \$ C and  \$\angle \$ A are supplementary angles.
- △ABD is a right triangle.
-  \$\angle \$ C and  \$\angle \$ D are supplementary angles.
- △AED is a right triangle.

1. 因为四边形ABCD内接于圆E，所以得出角∠A和∠C是四边形内接圆上的对角，依据内接四边形的对角互补定理，对角的和为180°。公式具体为：∠A + ∠C = 180°，因此∠A与∠C是补角。

2. 因为线段AC和线段BD是直径，根据(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角，直径的每个端点形成的圆周角是直角，因而四边形中与直径交叉线段对应的角是直角。

3. 因为直径BD通过点A和D,然则△ABD中的角∠A是90°，根据直角三角形的锐角互余性质，能够验证出∠ADB和∠ABD为锐角，故△ABD为直角三角形。

4. 由直径AC和直径BD交叉，因此∠ABC和∠ADC互为对应角，这给出∠B + ∠D=180°，所以，∠D和∠B也是补角。

5. 对△AED做类似步骤，利用直径导致的直角判定，线段AE和线段ED与直径BD形成直角（根据(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角），从而得∠AED是90°，故三角形AED是一个直角三角形。

6. 经过上述推理，最终得出答案为所给的所有选项都成立。

<note>在本题图中，圆内接四边形ABCD中，四边形的顶点A、B、C、D都在圆上</note>。根据圆内接四边形对角互补定理，<note>四边形ABCD的每一对对角的和等于180°</note>。具体来说，<note>∠A + ∠C = 180°</note>；<note>∠B + ∠D = 180°</note>。

Complementary Acute Angles in a Right Triangle

In a right triangle, the sum of the two non-right angles is 90°.

<note>直角三角形ABD中，角DAB是直角（90度）</note>，<note>角ADB和角ABD是直角以外的两个锐角</note>，根据直角三角形的锐角互余性质，<note>角ADB和角ABD的和为90度，即角ABD + 角ADB = 90°</note>。

<note>圆E中，直径BD所对的圆周角DAB是直角（90度）</note>。<note>圆E中，直径BD所对的圆周角DCB是直角（90度）</note>。


Question:
在下图中，四边形PQRS内接于圆T。

选择所有必须为真的陈述。

- m \$\\angle \$ R=70°
- m \$\\overset{\\frown}{PQ}\$ =50°
- m \$\\angle \$ S+m \$\\angle \$ Q=180°
- m \$\\angle \$ Q=110°

Answer:
- m \$\angle \$ R=70°
- m \$\overset{\frown}{PQ}\$ =50°
- m \$\angle \$ S+m \$\angle \$ Q=180°

1. 四边形PQRS被圆T所内接，依据圆内接四边形的性质，可以得出∠S和∠Q是对角，因此∠S + ∠Q = 180°。因此，m∠S + m∠Q = 180°为真。

2. 已知m∠P = 110°，于是根据圆内接四边形性质：对角互补可知，m∠R + m∠P = 180°，因此，m∠R = 180° - m∠P = 70°。所以，m∠R = 70°为真。

3. 已知m∠P = 110°，∠P的对角弧为弧QRS，根据圆心角定义，弧QRS所对角QTS为圆心角；根据圆周角定义，∠P为圆周角。根据圆周角定义，弧QRS所对角∠QTS等于2倍的∠P，即弧QRS = 2 × 110° = 220°。

4. 我们可以知道总圆周为360°，把这个360° = 弧PQ + 弧QRS + 弧PS进行划分。

5. 根据步骤3，弧QRS = 220°。弧PS = 360° - 弧QRS - 弧PQ。已知对角弧PS = 90°。

6. 因此，根据步骤4和步骤5，可求得弧PQ = 360° - 220° - 90° = 50°。于是，弧PQ = 50°为真。

7. 对于选项m∠Q = 110°，我们没有足够的信息来确定m∠Q的度数，因此它并不一定是真的。

8. 综上所述，以下陈述是必须正确的：m∠R = 70°，弧PQ = 50°，以及m∠S + m∠Q = 180°。而m∠Q = 110°不一定成立。

n. 经过上述推理，最终得出答案为：m∠R = 70°，弧PQ = 50°，m∠S + m∠Q = 180°。

Definition of Central Angle

An angle formed by two radii connecting two points on the circumference of a circle to the center of the circle is called a central angle.

<note>圆内接四边形 PQRS</note> 中，<note>四边形的顶点 P、Q、R、S</note> 都在<note>圆 T 上</note>。根据<note>圆内接四边形对角互补定理</note>，<note>四边形 PQRS</note> 的每一对对角的和等于 180°。具体来说，<note>∠PQR + ∠PSR = 180°</note>；<note>∠QPS + ∠QRS = 180°</note>。


Question: AD是\$heta\$A的角平分线，CE是\$heta\$C的角平分线。构造△ABC的内切圆。

1. 已知 AD 是 ∠BAC的平分线，CE 是 ∠ACB 的平分线。根据角平分线的定义，AD 和 CE 的交点就是三角形 ABC 的内心。交点 F 满足 AF、BF 以及 CF 到相应边 BC、AC、AB 的距离相等。

2. 由于 F 是 AD 和 CE 的交点，根据角平分线定义，F 是 ∠BAC 和 ∠ACB 的平分线交点，因此是三角形 ABC 的内心。

3. 确定 F 点之后，因为内心 F 到三角形三边 BC、AC 和 AB 的距离相等，所以可以画出与三边都相切的圆，即为三角形 ABC 的内切圆。

4. 为构造内切圆，需要做一条过点 F 且垂直于其中一边 AC 的线，这条线与 AC 的交点即为切点之一，记作 I。

5. 确定切点 I 之后，以 F 为圆心，FI 为半径作圆，该圆即为三角形 ABC 的内切圆，因为该圆过 I 点并且与三边都相切。

n. 经过上述推理，最终得出该圆即为所要求构造的三角形 ABC 的内切圆。

Definition of Angle Bisector

An angle bisector is a line that originates from the vertex of an angle and divides the angle into two congruent angles.

Incenter of a Triangle

The incenter of a triangle is the intersection point of the angle bisectors of the three interior angles of the triangle. It is also the center of the triangle's inscribed circle (incircle).

在本题图中，三角形ABC中，<note>点F是三角形的内心</note>。三角形的内心是由三角形的<note>三个内角平分线交于一点而成</note>的。具体来说，<note>角BAC的平分线AD</note>、<note>角ACB的平分线CE</note>和<note>角ABC的平分线相交于点F</note>。<note>点F是三角形内切圆的圆心</note>，且到<note>三角形的三条边BC、AC和AB的距离相等</note>。

Properties of the Perpendicular Bisector

Any point on the perpendicular bisector of a line segment is equidistant from the endpoints of the segment.

<note>点 F 是三角形 ABC 的内心</note>，过<note>点 F 作一直线垂直于三角形的一边 AC</note>，<note>交点为 I</note>，即为该边上的切点。<note>FI 为内切圆的半径</note>。然后<note>以 F 为圆心，FI 为半径作圆</note>，该圆即为所求的内切圆。


Question:
在圆 S 中，\$
abla \$ OSP 的度数为 q°，半径 \$
abla{OS}\$ 的长度为 h。

如果圆 S 以其中心为缩放中心按比例因子 1/2 缩放，扇形 OSP 的新面积是多少？

- 𝜋h ^ 2q/360
- 𝜋hq/360
- 𝜋hq/1,440
- 𝜋h ^ 2q/1,440

Answer: - 𝜋h ^ 2q/1,440

1. 观察题意，原圆S的半径OS的长度是h，且∠OSP的度数是q°。

2. 圆S经以其圆心为中心的放大变换，缩放因子为1/2，根据圆的缩放定理，因此新圆（记为S'）的半径长度为原圆半径长度的1/2，即O'S' = 1/2 * h。

3. 由于放大变换是关于圆心S的，所有角度保持不变，因此∠O'S'P'的度数仍为q°。

4. 根据圆的面积公式，圆的面积A = πr²，其中r为圆的半径，则新圆S'的面积为A' = π(1/2h)² = πh²/4。

5. 扇形的面积公式如下：扇形面积 = (弧度/360) * 圆的总面积。因为弧OSP的角度是q°，所以扇形O'S'P'的面积为K = (q/360) * (πh²/4)。

6. 因此，经过的计算，缩放后的扇形O'S'P'的新面积为K  = πh²q/1440。

7. 经过上述推理，最终得出答案为πh²q/1,440。

Definition of Circle

A circle is the locus of all points in a plane that are at a fixed distance from a given point.

Definition of Radius

A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.

在本题图中，圆S中，<note>点S是圆心</note>，<note>点O是圆上的任意一点</note>，<note>线段OS是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段OS是圆的半径</note>，长度为h。

Definition of Sector

A sector is a figure formed by two radii of a circle and the arc enclosed between them.

<note>扇形OSP</note>中，<note>半径OS和半径SP</note>是圆的两条半径，<note>圆弧OP</note>是由这两条半径所夹的圆弧，所以根据扇形的定义，由这两条半径和它们所夹的<note>圆弧OP</note>组成的图形为扇形。

Area Formula of a Circle

The area of a circle is given by the formula A = πr², where A represents the area, π (pi) is the mathematical constant approximately equal to 3.14159, and r is the radius of the circle.

<note>圆S中</note>，圆的半径是<note>h</note>，根据圆的面积公式，圆的面积<note>A</note>等于圆周率<note>π</note>乘以<note>半径h的平方</note>，即<note>A = πh²</note>。新<note>圆S'</note>的面积为<note>A' = π(1/2h)² = πh²/4</note>。

Formula for the Area of a Sector

The area \( X \) of a sector can be calculated using the formula \( X = \frac{\theta}{360} \times \pi \times r^2 \), where \( \theta \) is the measure of the central angle in degrees, and \( r \) is the radius length.

在本题中，<note>原扇形OSP的面积为K = (q/360) * πh²</note>，<note>新扇形O'S'P'的面积为K' = (q/360) * πh²/4 = πh²q/1440</note>。

Circle Scaling Theorem

If a circle undergoes scaling transformation with its center as the reference point and the scaling factor is k, then the radius of the scaled circle is k times the radius of the original circle, and all angles remain equal before and after the scaling.


Question:
在圆S中，\$riangle\$ OSP的角度为q°，半径\$riangle\$OS的长度为h。

如果圆S围绕其中心按比例因子1/2进行扩展，扇形OSP的新面积是多少？

- 𝜋h ^ 2q/360
- 𝜋hq/1,440
- 𝜋hq/360
- 𝜋h ^ 2q/1,440

Answer: - 𝜋h ^ 2q/1,440

1. 根据题意，我们需要将圆S按比例因子1/2关于其圆心放缩。原圆的半径OS的长度是h。

2. 根据圆的缩放定理，放缩后新圆S'的半径变为O'S' = 1/2 * h，因此半径的长度是h/2。

3. 根据圆的缩放定理，中心角的度数不变，因此在新圆S'中，角O'S'P'仍然是q°。

4. 要计算新圆中扇形O'S'P'的面积。扇形的面积可以通过扇形的面积公式K = m/360 * A求得，其中m是扇形对应的圆心角度数，A是圆的总面积。

5. 根据圆的面积公式，计算新圆S'的面积：S' = π * (h/2)^2 = π * h^2 / 4。

6. 扇形O'S'P'的面积计算为：K = q/360 * (π * h^2 / 4)。

7. 经过化简得：K = π * h^2 * q / 1440。

8. 故，新圆S'中扇形O'S'P'的面积为：π * h^2 * q / 1440。

Formula for the Area of a Sector

<note>在本题图中，扇形OSP的面积</note>计算公式为<note>(q°/360) * πh^2</note>。新圆S'的<note>扇形O'S'P'的面积</note>计算公式为<note>(q°/360) * (π * (h/2)^2/4)</note>。

Area Formula of a Circle

<note>在本题图中，圆S中，圆的半径是h</note>，根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以<note>半径h的平方，即A = πh²</note>。<note>新圆S'的半径是h/2</note>，因此<note>新圆S'的面积为 π * (h/2)² = πh²/4</note>。

Circle Scaling Theorem

<note>半径为h的圆S</note>以圆心为中心，做<note>缩放因子为1/2的缩放变换</note>，<note>缩放后的圆半径为1/2*h</note>，<note>角OSP度数不发生变化</note>。


Question:
梯形的面积是多少？

 \$ox\$ 平方厘米

Answer: 54square centimeters

1. 根据题意已知：梯形的上底 b1 为 3 厘米，下底 b2 为 9 厘米，高 h 为 9 厘米。

2. 梯形的面积公式为：面积 = 1/2 × (上底 + 下底) × 高。

3. 代入已知的底和高，得到面积 = 1/2 × (3 + 9) × 9。

4. 计算括号内的和：3 + 9 = 12。

5. 将和代入面积公式，得到面积 = 1/2 × 12 × 9。

6. 计算1/2 × 12 = 6。

7. 用上一步的结果乘以高，得到面积 = 6 × 9。

8. 计算乘积：6 × 9 = 54。

9. 根据以上步骤，最终得出梯形的面积为54平方厘米。

Definition of Trapezoid

A quadrilateral is a trapezoid if and only if it has exactly one pair of parallel sides.

<note>在本题图中，梯形的上底边为 3 厘米</note>，<note>下底边为 9 厘米</note>，高为 9 厘米，一侧为10 厘米。根据梯形的定义，梯形是一种四边形，且具有<note>一对平行边</note>。

Trapezoid Area Formula

Given a trapezoid with the lengths of its two parallel sides as \(a\) and \(b\), and the height between these sides as \(h\), the area of the trapezoid is given by \(\frac{(a + b) \cdot h}{2}\).

<note>梯形的上底为3厘米</note>，<note>下底为9厘米</note>，<note>高为9厘米</note>，所以梯形的面积为(3 + 9) * 9 / 2 = 54平方厘米。


Question:
△ABC的外心部分构造如下。

将构造的剩余步骤按正确顺序排列。
标记DE和FG的交点为H。标记圆A和较小的圆B的交点为F和G。以B为圆心，AB为半径画一个圆，并以A为圆心，AB为半径画一个圆。画一条通过F和G的直线。

Answer: Draw a circle with radius AB centered at B and a circle with radius AB centered at A.Mark the intersections of circle A and the smaller circle B with points F and G.Draw a line through F and G.Mark the intersection of DE and FG with point H.

1. 已知：角A、角B、角C是△ABC的顶点。需要构造△ABC的外心H。外心是三角形各边的垂直平分线的交点。图中已经给出了边BC的垂直平分线DE。

2. 接下来构造另一边AB的垂直平分线。首先，依据圆的定义，绘制以B为圆心，AB为半径的圆；再绘制以A为圆心，同半径AB的圆。

3. 根据圆的交点定义，标记上述两个圆的交点为点F和点G。这使得FG线段成为AB的垂直平分线。

4. 依据两个点确定一条唯一直线的几何原理，作通过点F和点G的直线，即FG直线。

5. 根据几何性质，垂直平分线DE和FG的交点即为外心H。标记DE和FG的交点为点H。

6. 经过上述推理，最终得出答案为标记DE和FG的交点为点H。

Circumcenter of a Triangle

In a triangle, the circumcenter is the point where the three perpendicular bisectors of the sides intersect. This point is equidistant from the three vertices of the triangle.

<note>在本题图中，三角形ABC中，点H是三角形的外心</note>。三角形ABC的三条边AB、BC和CA的垂直平分线分别交于<note>点H</note>。根据三角形的外心的定义，<note>点H到三角形ABC的三个顶点A、B和C的距离相等</note>。

Definition of Circle

<note>在本题图中，圆B中，点B是圆心，半径为AB</note>；<note>圆A中，点A是圆心，半径为AB</note>。<note>图中所有到点B的距离等于AB的点都在圆B上</note>，<note>所有到点A的距离等于AB的点都在圆A上</note>。<note>这两个圆的交点即为点D和点E</note>。

在本题图中，<note>线段BC的垂直平分线为直线DE</note>，<note>点H在直线DE上</note>。根据垂直平分线的性质，<note>点H到线段BC两端点B和C的距离相等，即HB = HC</note>。


Question:
\$\overline{LK}\$ 是圆 Z 的直径。

求阴影部分的面积。
将你的答案精确到十分位。
\$\Box\$ 平方英寸

Answer: 57.1 square inches

1. 已知 \$\overline{LK}\$ 是圆 \$Z\$ 的直径，\$\overline{ZL} = \overline{ZK} = \overline{ZJ} = 10\$ 米（因为它们是半径），且圆心角 \$\angle LZK = 180^\circ\$。

2. 圆心角 \$\angle LZK\$ 对应的扇形面积可以表示为整个圆面积的一半，因为 \$\angle LZK = 180^\circ\$，所以是半圆；圆 \$Z\$ 的面积是 \$\pi \cdot r^2 = \pi \cdot 10^2 = 100\pi\$ 平方米。因此，扇形面积是 \$\frac{1}{2} \times 100\pi = 50\pi\$ 平方米。

3. 由于 \$\overline{LK}\$ 是直径，且 \$\angle LJK\$ 为直角 （根据(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角），三角形 \$LJK\$ 是直角三角形，其中 \$\overline{LK}\$ 为斜边，长为 \$20\$ 米。

4. 三角形 \$LJK\$ 的面积可以用直角三角形面积公式计算：面积 \$A = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height}\$。设 \$\overline{LK}\$ 和 \$\overline{JZ}\$ 为直角三角形的底边和高，底为 \$20\$ 米，高为 \$10\$ 米。所以： \$A = \frac{1}{2} \times 20 \times 10 = 100\$ 平方米。

5. 阴影区域是扇形区域与三角形区域的面积差，因此阴影区域的面积为 \$50\pi - 100\$ 平方米。

6. 计算 \$50\pi - 100\$，得到约 \$57.07963\$ 平方米。

7. 将该数值四舍五入到小数点后一位，得到阴影区域的面积约为 \$57.1\$ 平方米。

<note>圆 $Z$</note> 中，<note>点 $Z$ 是圆心</note>，<note>半径为 $10$ 米</note>。图中所有到<note>点 $Z$ 的距离等于 $10$ 米</note>的点都在<note>圆 $Z$</note> 上，包括<note>线段 $\overline{ZL}$</note>、<note>线段 $\overline{ZK}$</note> 和<note>线段 $\overline{ZJ}$</note>。

Definition of Diameter

A diameter is a line segment that passes through the center of a circle and has its endpoints on the circle. It is the longest chord of the circle, with a length equal to twice the radius of the circle.

<note>LK是直径</note>，连接了<note>圆心 Z 和圆周上的 L、K 两点</note>，长度为<note>2 倍的半径</note>，即<note>LK = 20 米</note>。

Definition of Sector

<note>扇形LJK</note>中，<note>半径LZ和半径KZ</note>是圆的两条半径，<note>圆弧LJK</note>是由这两条半径所夹的圆弧，所以根据扇形的定义，由这两条半径和它们所夹的<note>圆弧LJK</note>组成的图形为<note>扇形</note>。

The angle subtended by the diameter of a semicircle is a right angle; conversely, if an inscribed angle is 90°, then the chord subtending that angle is a diameter.

<note>圆Z中，直径LK所对的圆周角LJK是直角（90度）</note>。（或<note>圆周角LJK是90度，所以它所对的弦LK是直径</note>。）

Area Formula of a Circle

<note>圆 Z 的半径是 10 米</note>，根据圆的面积公式，圆的面积 A 等于圆周率 π 乘以半径 10 的平方，即 A = π * 10² = 100π 平方米。

Area Formula of a Triangle

The area of any triangle is equal to its base multiplied by its height, divided by 2.

<note>三角形LJK中，边LK是底，线段JZ是该底上的高</note>，所以三角形LJK的面积等于底<note>LK乘以高JZ除以2，即面积 = (LK * JZ) / 2</note>。


Question: 圆 H 内切于 △JKL。 请选择所有必定为真的陈述。 - \$\\angle \$ L 的平分线经过点 H。 - 经过点 H 和 \$\\overline{JL}\$ 中点的直线垂直于 \$\\overline{JL}\$。 - △LHM 是一个直角三角形。 - △JHL 是一个等腰三角形。

Answer:
- The bisector of  \$\angle \$ L passes through point H.
- △LHM is a right triangle.

1. 从题目可知，圆 H 是 △JKL 的内切圆。由三角形的内切圆性质，内切圆的圆心（内心）是三角形内部所有角平分线的交点。

2. 因此，可以得出：∠JLK、∠KJL 和 ∠JKL 的角平分线必须通过圆心 H。因此角 L 的平分线必定通过点 H。

3. 因此可以得出第一个结论：∠L 的平分线通过点 H。

4. 分析 △LHM，点 H 是内心，因此线段 LM 切于 △JKL 的内切圆。由圆的切线性质， ∠LMH 必定为直角，因为切线与半径垂直。

5. 因此可以得出第二个结论：△LHM 是直角三角形。

6. 而对于“通过点 H 和线段 JL 的中点的直线垂直于 JL”的陈述，无法从现有信息中得出，因为关于 H 的具体位置与 JL 的中点相对位置没有足够的信息来确认垂直关系。

7. 关于三角形 JHL 是否是等腰三角形，由于缺乏关于边长信息的一致性数据，因此无法确认三角形 JHL 是否符合等腰三角形的特性。

8. 经综合上述分析，正确的陈述为：

   a) ∠L 的平分线通过点 H。

   b) △LHM 是直角三角形。

Definition of Angle Bisector

在本题图中，<note>角 ∠KJL、∠JKL 和 ∠JLK 的顶点分别是点 J、K 和 L</note>，<note>从这些顶点引出的角平分线分别经过点 H</note>，这些角平分线将各自的角分成<note>两个相等的角</note>。因此，<note>∠L 的平分线必定通过点 H</note>。

Definition of Right Triangle

A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.

<note>角 ∠LMH是直角（90度）</note>，因此三角形 LHM 是一个直角三角形。边 LM 和边 HM 是直角边，边 LH 是斜边。

Definition of Isosceles Triangle

A triangle is an isosceles triangle if and only if it has at least two congruent (≅) sides.

<note>三角形 JHL</note>是否是等腰三角形无法确认，因为没有<note>边长信息</note>的一致性数据。

Property of the Tangent Line to a Circle

A tangent line to a circle is perpendicular to the radius that passes through the point of tangency.

<note>圆 H 中，点 M 是直线 LM 与圆的切点</note>，<note>线段 HM 是圆的半径</note>。根据圆的切线性质，<note>切线 LM 与经过切点 M 的半径 HM 垂直</note>，<note>即 ∠LMH = 90 度</note>。

Property of Incircle in Triangle

The point where the angle bisectors of all three angles of a triangle intersect is the center of the incircle.

在本题图中，<note>圆H是三角形KJL的内切圆</note>，则<note>角J的平分线与角L的平分线相交于圆H的圆心H</note>。


Question:
题目：在菱形KLMN中，对角线\$\overline{KM}\$和\$\overline{NL}\$在点O处相交，m \$\\angle \$ OKL=(9x)°，m \$\\angle \$ KNM=(7x+5)°。

m \$\\angle \$ NML是多少？

 \$\\Box\$ °

Answer: 126°

1. 在菱形KLMN中，已知角 OKL = (9x)°，角 KNM = (7x+5)°。

2. 根据菱形的对角线性质，菱形的对角线互相垂直平分，并且对角线平分菱形的内角，所以角 OKL 和角 OKN 是相等的，即角 OKN = (9x)°。

3. 根据菱形的邻角互补，菱形的相邻角互补，因此，角 KNM + 角 NKL = 180°。

4. 由于角 OKN = (9x)°且角 OKL = (9x)°，角 NKL 是这两个角的和，故角 NKL = 2 * (9x)° = (18x)°。

5. 将角 KNM 和角 NKL的关系带入补角关系中，有：(7x+5)° + (18x)° = 180°。

6. 解方程：

   25x + 5 = 180

   25x = 175

   x = 7。

7. 现在计算出角 KNM 的度数：角 KNM =(7x+5)° = (7*7+5)° = 54°。

8. 根据菱形的邻角互补，因此角 NML = 180°-角 KNM=180°-54°=126°。

9. 因此，角 NML = 126°。

10. 经过上述推理，最终得出答案为126°。

Definition of Rhombus

A quadrilateral is a rhombus if and only if all four sides are of equal length, and its diagonals are perpendicular bisectors of each other.

Definition of Diagonal

A diagonal is a line segment connecting one vertex of a polygon to another vertex that is not adjacent to it.

在本题图中，<note>菱形KLMN的对角线分别是KM和NL，这两条线段连接了菱形的非相邻顶点K和M，以及N和L</note>。

In a rhombus, the diagonals bisect each other and are perpendicular to each other.

Adjacent Angles of Rhombus are Supplementary

Any pair of adjacent angles in a rhombus are supplementary.

<note>菱形KLMN中，角KNM和角NKL是一对邻角</note>，根据菱形的性质，<note>菱形的任意一对邻角互补</note>，即<note>角 KNM + 角 NKL = 180°</note>。同理，<note>角KNM和角NML也是一对邻角</note>，满足<note>角KNM + 角NML = 180度</note>。


Question:
在平行四边形 GHIJ 中，m \$\\angle \$ G=(5y)°，m \$\\angle \$ H=(5x)°，和 m \$\\angle \$ J=(3y)°。

x 和 y 的值是多少？

x= \$\\Box\$

y= \$\\Box\$

Answer:
x=13.5
y=22.5

1. 已知图形GHIJ为平行四边形，根据平行四边形的邻角互补定理。因此，∠G与∠J是相邻的角，它们互补。

2. 补角的和为180°。所以有方程∠G + ∠J = 180°。

3. 代入给定条件中的角度表达式，我们有5y + 3y = 180°。

4. 联立方程并计算得出8y = 180, 解得y = 22.5。

5. 计算得出∠J的具体度数，代入已知∠J = 3y，则∠J = 3(22.5) = 67.5°。

6.根据平行四边形的性质定理，在平行四边形中，对角相等。即∠H与∠J相等，即∠H = ∠J。

7. 由已知条件∠H = 5x和∠J = 67.5°，得出方程5x = 67.5。

8. 解方程得出x = 67.5 ÷ 5 = 13.5。

9. 经过上述推理，最终得出答案为x = 13.5, y = 22.5。

Definition of Parallelogram

A quadrilateral is a parallelogram if and only if it has two pairs of opposite sides that are both parallel (∥) and congruent (≅).

Properties of Parallelogram Theorem

In a parallelogram, opposite angles are equal, opposite sides are equal, and the diagonals bisect each other.

Adjacent Angles Supplementary Theorem of Parallelogram

In a parallelogram, each pair of adjacent interior angles are supplementary, meaning their sum is 180°.

<note>平行四边形GHIJ</note>中，<note>角G和角J是相邻的内角</note>，<note>角H和角I也是相邻的内角</note>。根据平行四边形的邻角互补定理，<note>角G + 角J = 180°</note>，<note>角H + 角I = 180°</note>。


Question:
在图中，\$\overline{SU}\$ 是平行四边形 STUV 的对角线。同时，m \$\\angle \$ VSU=43°，m \$\\angle \$ UST=(6x–2)°，以及 m \$\\angle \$ T=(23x–6)°。

m \$\\angle \$ SUV 是多少？

 \$\\Box\$ °

Answer: 28°

1. 已知四边形 STUV 是平行四边形，∠VSU=43°，∠UST=(6x–2)°，∠T=(23x–6)°。

2. 根据平行四边形的邻角互补定理。因此，∠VSU + ∠UST + ∠T = 180°。

3. 将已知的角度代入方程得：43 + (6x–2) + (23x–6) = 180。

4. 化简方程：6x + 23x + 43 - 2 - 6 = 180。

5. 合并同类项得到：29x + 35 = 180。

6. 解关于 x 的方程：29x = 180 - 35。

7. 更进一步化简：29x = 145。

8. 计算得到 x = 145 ÷ 29 = 5。

9. 代入 x 计算角 ∠UST，∠UST = 6x - 2 = 6 × 5 - 2 = 30 - 2 = 28°。

10. 依据平行四边形的定义，有ST ∥ VU，且 SU 是对角线，因此 ∠SUV = ∠UST（互为内错角，依据平行线的平行公理2）。

11. 因此，∠SUV = 28°。

12. 经过上述推理，最终得出答案为 28°。

Definition of Parallelogram

<note>在本题图中，四边形 STUV 是一个平行四边形</note>，<note>边 ST 与边 UV 平行且相等</note>，<note>边 SV 与边 TU 平行且相等</note>。

Definition of Alternate Interior Angles

When a straight line (referred to as a transversal) intersects two parallel lines, the angles that are located between the two parallel lines but on opposite sides of the transversal are called alternate interior angles.

<note>两条平行直线 ST 和 VU</note>被<note>一条直线 SU 截交</note>，其中<note>角 ∠UST 和角 ∠SUV 位于两平行线之间，且在截线 SU 的对侧</note>，因此<note>角 ∠UST 和角 ∠SUV 是内错角</note>。内错角相等，即<note>角 ∠UST 等于角 ∠SUV</note>。

Parallel Postulate 2 of Parallel Lines

If two parallel lines are cut by a transversal, then the corresponding angles are equal, the alternate interior angles are equal, and the consecutive interior angles on the same side of the transversal are supplementary.

在本题图中，<note>两条平行线ST和VU</note>被第三条<note>直线SU</note>所截，形成了以下几何关系：<note>内错角：角∠SUV和角∠UST相等</note>。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，内错角相等。

<note>在本题图中，平行四边形 STUV 中，角S和T是相邻的内角，角U和角V也是相邻的内角</note>。根据平行四边形的邻角互补定理，<note>角S + 角T = 180°，角U + 角V = 180°</note>。


Question:
Meg正在为她的学校戏剧制作道具，包括一个由纸板制成的大铅笔，如下图所示。

制作铅笔后，她计划将整个表面涂上油漆。Meg计划涂漆的总表面积是多少？
将你的答案四舍五入到小数点后两位。

 \$ox\$ 平方英寸

Answer: 195.56 square inches

1. 将大铅笔分为两部分：锥体和圆柱体。

2. 计算锥体部分的侧面积。锥体的底部在圆柱体内嵌，因此只需要考虑其侧面面积。

3. 根据圆锥的侧面积公式 S = πrℓ，其中 r 是半径，ℓ 是斜高。在本题中，锥体的直径为3英寸，所以其半径 r = 1.5英寸，斜高 ℓ = 4英寸。

4. 代入公式得到 S = π × 1.5 × 4 = 6π。锥体部分的表面积为 6π 平方英寸。

5. 计算圆柱体部分的表面积。圆柱体的左边的底面被锥体覆盖，因此只需考虑其侧面积和右底面的面积。

6. 根据圆柱体表面积公式 S = πr^2 + 2πrh，其中 r 是半径，h 是高。在本题中，圆柱体的直径是3英寸，所以其半径 r = 1.5英寸，圆柱体的高度 h = 18英寸。

7. 代入公式得到 S = π × 1.5^2 + 2 × π × 1.5 × 18 = 56.25π。圆柱体部分的表面积为 56.25π 平方英寸。

8. 将两部分的表面积相加得到大铅笔的总表面积。总表面积为 6π + 56.25π = 62.25π。

9. 计算并四舍五入到小数点后两位，得到 Meg 计划涂漆的总表面积为 195.56 平方英寸。

Definition of Cone

A cone in three-dimensional space is a surface generated by rotating a line segment (generatrix) around a fixed straight line (axis) belonging to a plane of a circle, which is not collinear with the endpoint (vertex). The surface consists of the conical surface and the base (circle).

<note>圆锥体的底面是直径为3英寸的圆</note>，它的<note>顶点在铅笔尖处</note>。<note>圆锥体的斜高 ℓ = 4英寸</note>，<note>半径 r = 1.5英寸（底面直径的二分之一）</note>，<note>侧面积公式 S = πrℓ</note>。

Cylinder

A cylinder is a geometric solid consisting of two parallel and congruent circular bases and a curved lateral surface connecting the bases.

<note>圆柱体由两个平行且相同的圆形基底和一个侧面组成</note>。基底的<note>直径为3英寸</note>，因此其<note>半径 r = 1.5英寸</note>，<note>圆柱体的高度 h = 18英寸</note>。其侧面积公式 <note>S = 2πrh</note>，底面面积公式 <note>S = πr²</note>。

Lateral Surface Area of a Cone

The lateral surface area \(A\) of a cone is calculated using the formula \(A = \pi r l\), where \(r\) is the radius of the base circle and \(l\) is the slant height of the cone.

<note>圆锥部分的底面直径为3英寸（所以半径 r = 1.5英寸）</note>，<note>斜高 ℓ = 4英寸</note>。代入公式得到圆锥的侧面积为 S = π × 1.5 × 4 = 6π 平方英寸。

Surface Area Formula for a Cylinder

The surface area of a cylinder is equal to the sum of the areas of the two bases and the lateral surface area. The total surface area (SA) is given by the formula: SA = 2πr² + 2πrh, where r is the radius of the base circle, and h is the height of the cylinder.

<note>圆柱体的底面直径为3英寸（所以半径 r = 1.5英寸），高度 h = 18英寸</note>。由于一面底被锥体覆盖，只考虑侧面积和另一底面面积，公式为 <note>S = 2πrh + πr²</note>，代入得到 <note>S = 2 × π × 1.5 × 18 + π × 1.5² = 56.25π 平方英寸</note>。


Question:
图中显示了四边形ABCD，其对角线\$\overline{AC}\$和\$\overline{BD}\$在点E处相互平分。

为了证明当四边形的对角线相互平分时它是平行四边形，Regan首先想证明△AEB≅△CED和△AED≅△CEB。Regan将使用哪个全等定理？

- 边-角-边
- 角-边-角
- 角-角-边
- 边-边-边
在证明△AEB≅△CED和△AED≅△CEB之后，Regan如何证明ABCD是平行四边形？完成以下陈述。
因为△AEB≅△CED和\$ox\$，\$\\angle\$ABE≅\$\\angle\$CDE。因此，通过\$ox\$，\$ox\$。同样，由于△AED≅△CEB，因此\$\\angle\$ADE≅\$\\angle\$CBE，\$ox\$。因此，ABCD是平行四边形，因为它的对边平行。

Answer:
- Side-Angle-Side
Because △AEB≅△CED and corresponding parts of congruent triangles are congruent,  \$\angle \$ ABE≅ \$\angle \$ CDE. So, by the Converse of the Alternate Interior Angles Theorem,  \$\overline{AB}\$ ∥ \$\overline{DC}\$ . Similarly, since △AED≅△CEB and therefore  \$\angle \$ ADE≅ \$\angle \$ CBE,  \$\overline{AD}\$ ∥ \$\overline{BC}\$ . So, ABCD is a parallelogram since its opposite sides are parallel.

1. 题目中已知，四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 在点 E 处互相平分。因此，根据线段平分的定义，我们有线段 AE ≅ CE 和线段 BE ≅ DE。

2. 观察到 ∠AEB 和 ∠CED 是对顶角，根据对顶角相等定理，我们得到 ∠AEB ≅ ∠CED。

3. 通过以上两点，△AEB 和 △CED 具有两对全等的边和夹在它们之间的全等角。根据边-角-边（Side-Angle-Side）全等性定理，△AEB ≅ △CED。

4. 同样的方法，∠AED 和 ∠CEB 为对顶角，根据对顶角相等定理，我们得到 ∠AED ≅ ∠CEB。

5. 再次运用线段 AE ≅ CE 和线段 BE ≅ DE，△AED 和 △CEB 同样具有两对全等的边和夹在它们之间的全等角。依据边-角-边（Side-Angle-Side）全等性定理，△AED ≅ △CEB。

6. 由于全等三角形对应部分全等，得 ∠ABE ≅ ∠CDE。

7. 根据交叉内错角相等的逆定理，若横切线形成的交叉内错角相等，则被该横切线所截的两条直线平行。因此 ∠ABE ≅ ∠CDE 导致线段 AB ∥ 线段 DC。

8. 同样，由于∠ADE ≅ ∠CBE，也根据交叉内错角相等的逆定理，导致线段 AD ∥ 线段 BC。

9. 因为四边形 ABCD 的两对相对边平行，所以根据平行四边形的定义，四边形 ABCD 是一个平行四边形。

经过上述推理，最终得出答案为: ABCD 是一个平行四边形。

Definition of Vertical Angles

Vertical angles are the pair of opposite angles formed when two lines intersect. These angles are equal in measure.

Triangular Congruence Theorem (SAS)

If two sides and the included angle of one triangle are equal to two sides and the included angle of another triangle, then the two triangles are congruent.

<note>边AE与边CE相等</note>，<note>边BE与边DE相等</note>，且<note>夹角AEB与夹角CED相等</note>，因此根据全等三角形判定定理(SAS)，这两个三角形全等。同理，在三角形AED和三角形CEB中，<note>边AE与边CE相等</note>，<note>边BE与边DE相等</note>，且<note>夹角AED与夹角CEB相等</note>，因此根据全等三角形判定定理(SAS)，这两个三角形全等。

Definition of Congruent Triangles

Two triangles are congruent if and only if their corresponding sides are equal and their corresponding angles are equal.

在本题中，三角形<note>AEB</note>和三角形<note>CED</note>是全等三角形，三角形<note>AEB</note>的对应边和对应角与三角形<note>CED</note>相等，即：边<note>AE = CE</note>，边<note>BE = DE</note>，边<note>AB = CD</note>，同时，对应的角也相等：角<note>AEB = CED</note>，角<note>BAE = DCE</note>，角<note>ABE = CDE</note>。同样，三角形<note>AED</note>和三角形<note>CEB</note>是全等三角形，三角形<note>AED</note>的对应边和对应角与三角形<note>CEB</note>相等，即：边<note>AE = CE</note>，边<note>DE = BE</note>，边<note>AD = CB</note>，同时，对应的角也相等：角<note>AED = CEB</note>，角<note>DAE = BCE</note>，角<note>ADE = CBE</note>。

Parallel Postulate 2 of Parallel Lines

<note>在本题图中，两条平行线xx和xx被第三条直线xx所截</note>，形成了以下几何关系：
1. <note>同位角：角xxx和角xxx相等</note>。
2. <note>内错角：角xxx和角xxx相等</note>。
3. <note>同旁内角：角xxx和角xxx互补，即角xxx + 角xxx = 180度</note>。
这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。


Question:
在正方形 JKLM 中，对角线 \$\overline{JL}\$ 和 \$\overline{MK}\$ 在点 N 处相交，m \$\\angle \$ LNK=(8x+2)°，m \$\\angle \$ MJN=(5x–2y)°。

x 和 y 的值是多少？

x= \$\\Box\$

y= \$\\Box\$

Answer:
x=11
y=5

1. 已知四边形 JKLM 是正方形，根据正方形的对角线性质，可以判断其对角线互相垂直，即 \(\overline{JL} \perp \overline{MK}\)，所以 \(\angle LNK = 90^\circ\)。

2. 题目还给出 \(\angle LNK = (8x + 2)^\circ\)，由此可以设置方程：(8x + 2) = 90。

3. 解步骤 2 的方程：

   (1) 移项：8x + 2 - 2 = 90 - 2，得到 8x = 88。

   (2) 两边同时除以 8：x = 11。

4. 四边形 JKLM 的一个内角 \(\angle MJK = 90^\circ\)，而 \(\overline{JL}\) 是对角线，因此 \(\angle MJN = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ\)。

5. 题目中 \(\angle MJN = (5x - 2y)^\circ\)，根据步骤 4 中的结论，设方程：(5x - 2y) = 45。

6. 解步骤 5 的方程：

   (1) 已知 x = 11，代入方程：(5(11) - 2y) = 45。

   (2) 计算：55 - 2y = 45。

   (3) 移项：-2y = 45 - 55。

   (4) 简化：-2y = -10。

   (5) 两边同时除以 -2：y = 5。

7. 经过上述推理，最终得出答案为 x = 11 和 y = 5。

Definition of Square

A quadrilateral is a square if and only if all four sides are congruent (≅) and all four interior angles are right angles (90°).

<note>四边形 JKLM 是正方形</note>，因此 <note>\(JK = KL = LM = MJ\)</note>，且<note>\( \angle JKL = \angle KLM = \angle LMJ = \angle MJK = 90^\circ \)</note>。

Definition of an Angle

An angle is a geometric figure formed by two rays sharing a common endpoint. This common endpoint is called the vertex of the angle, and the two rays are referred to as the sides of the angle.

<note>角 \(\angle LNK\)</note> 是由 <note>射线 \(\overline{NL}\) 和 \(\overline{NK}\)</note> 组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点 <note>N</note>。这个共同的端点 <note>N</note> 称为 <note>角 \(\angle LNK\) 的顶点</note>，而 <note>射线 \(\overline{NL}\) 和 \(\overline{NK}\)</note> 称为 <note>角 \(\angle LNK\) 的边</note>。<note>角 \(\angle MJN\)</note> 是由 <note>射线 \(\overline{JM}\) 和 \(\overline{JN}\)</note> 组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点 <note>J</note>。这个共同的端点 <note>J</note> 称为 <note>角 \(\angle MJN\) 的顶点</note>，而 <note>射线 \(\overline{JM}\) 和 \(\overline{JN}\)</note> 称为 <note>角 \(\angle MJN\) 的边</note>。

Properties of Diagonals in a Square

The diagonals of a square are the line segments that connect opposite vertices. The diagonals of a square are equal in length, and they bisect each other perpendicularly.

在本题图中，正方形JKLM中，<note>对角线JL和MK是连接相对角的线段</note>。根据正方形的对角线性质，<note>JL和MK相等</note>，并且<note>JL和MK互相垂直平分</note>，即<note>在它们的交点处形成四个90度的角</note>。因此，<note>JL = MK</note>，并且<note>它们在交点处相互垂直</note>。


Question: 一个圆柱体的表面积为384𝜋平方英寸。其底面如下图所示。圆柱体的高度是多少？ \$ox\$ 英寸

Answer: 16 inches

1. 已知圆柱的直径长度为16英寸，因此可以得到半径r为直径的一半，即r = 16 / 2 = 8英寸。

2. 圆柱的表面积S已知为384𝜋平方英寸。圆柱的表面积公式为S = 2πr² + 2πrh，其中r是圆柱底面半径，h是圆柱的高。

3. 将已知的半径r = 8英寸代入表面积公式S = 2πr² + 2πrh中，得到384𝜋 = 2π(8)² + 2π(8)h。

4. 计算2π(8)²，得2π*64 = 128π，因此公式变为384π = 128π + 16πh。

5. 将128π从等式的左边移到右边，即384π - 128π = 16πh，得256π = 16πh。

6. 两边同时除以16π，得到256π / 16π = h，简化得h = 16。

7. 经过上述推理，最终得出答案为16英寸。

Cylinder

在本题图中，圆柱体由<note>两个平行且相同的圆形基底</note>和<note>一个侧面</note>组成。<note>基底是两个完全相同的圆形</note>，它们的<note>半径为r</note>，<note>直径为16英寸</note>，且它们的<note>中心在同一条直线上</note>。<note>侧面是一个矩形，当展开时，其高度等于圆柱体的高h，宽度等于底面圆的周长</note>。<note>已知底面圆的直径长度为16英寸</note>，因此可以得到<note>半径r为直径的一半，即r = 16 / 2 = 8英寸</note>。

Surface Area Formula for a Cylinder

<note>圆柱的底面半径r已知为8英寸</note>，<note>表面积S已知为384π平方英寸</note>，代入公式 <note>S = 2π(8)² + 2π(8)h</note> 中，得到 <note>384π = 2π(8)² + 2π(8)h</note>，通过计算和代数变换最终得出答案 <note>h = 16英寸</note>。


Question:
这个球体的表面积是多少？

请用𝜋表示精确答案。

 \$ox\$ 𝜋/平方厘米

Answer: 289𝜋 square centimeters

1. 已知球的直径为17厘米。

2. 根据球的半径，半径等于直径的一半，因此球的半径为17厘米 ÷ 2 = 8.5厘米。

3. 根据球的表面积公式S = 4πr²，其中r是半径。

4. 将已知半径r = 8.5厘米代入公式，得出S = 4 × π × (8.5)²。

5. 计算平方，(8.5)² = 72.25。

6. 将平方结果代入表面积公式，S = 4 × π × 72.25。

7. 计算乘法，4 × 72.25 = 289。

8. 因此，球的表面积为289π平方厘米。

9. 经过上述推理，最终得出答案为289π平方厘米。

Diameter of a Sphere

The diameter of a sphere is a line segment that passes through the center of the sphere and connects two points on the surface of the sphere.

在本题图中，<note>球的直径</note>为<note>17厘米的线段</note>。<note>17厘米的线段穿过球心</note>并且<note>连接球面上的两点</note>。

Radius of a Sphere

The radius R of a sphere is the distance from the center of the sphere to any point on its surface.

在本题图中，球体中，<note>球体表面上的任意一点到球的中心的线段是球的半径</note>。根据球的半径的定义，<note>球的半径R是球体从中心到任意表面点的距离</note>，因此<note>线段的长度就是球的半径R</note>。

Sphere Surface Area Formula

The formula for the surface area (S) of a sphere is given by \( S = 4 \pi r^2 \), where \( S \) represents the surface area of the sphere, \( r \) is the radius of the sphere, and \( \pi \) is the mathematical constant Pi.

在本题图中，<note>球体中，半径r表示球的半径，表面积S表示球的表面积</note>，根据<note>球的表面积公式，S = 4 * π * r^2，其中π是圆周率</note>。因此，<note>球体的表面积S等于4倍的π乘以半径r的平方</note>。