Question: 这个圆锥的体积是多少？使用 𝜋 ≈ 3.14 并将答案四舍五入到小数点后两位。\$ox\$ 立方毫米

Answer: 763.02 cubic millimeters

1. 根据题目图示，圆锥的底面是一个圆，顶点与底面的圆心间的线段为高，这是圆锥几何形状的定义。

2. 已知圆锥的斜高是9mm（测量从圆锥顶点到底面圆周上的任意一点的长度）。

3. 因为圆锥的底面是一个圆，且已知圆锥斜高为9mm，同时，圆锥的高与底边构成一个直角三角形的两边，因此我们可以通过勾股定理计算底面圆的半径。

4. 在这个直角三角形中，斜边为9mm（即圆锥的斜高），直角边之一为圆锥的高（也是9mm），我们用 r 表示底面圆的半径，由此得出方程：9^2 = r^2 + 9^2（应用勾股定理，a^2 + b^2 = c^2）。

5. 方程化简后得到：81 = r^2 + 81。

6. 通过解方程可得：r^2 = 81 - 81 = 0，即 r = 0。这与几何意味上是不可能的，故我们重新审视题目信息。

7. 在图中，可能误解了，依照图中，实际侧底的直线未作为斜高；需假设至少底面直径的一半来取定圆锥的底面半径。

8. 假设圆锥的直径即为9mm，则底面半径r = 9mm / 2 = 4.5mm。

9. 重新验证，从圆心到圆锥非垂直线称斜高，依图为L，借用到公式关于圆锥体积的定理V = (1/3) * π * r^2 * h。题示未能充分用假设条件提出约束解法。特此假设得出半径收缩推导确认体积。

10. 应用圆锥体积公式：V = (1/3) * π * r^2 * h，即体积V，其中 r 是底面圆的半径，h 是圆锥的高。

11. 由于没有比例用普通高，此处取9mm以正常公式换算。替换得到：V = (1/3) * π * (4.5)^2 * 9。

12. 运算得：V = (1/3) * 3.14 * 20.25 * 9。

13. 运算简化得：V ≈ 3.14 * 60.75。

14. 最终计算得出：V ≈ 190.185，其中应回撇至100厘容积单位。

15. 经过上述推理，最终得出答案为：圆锥的体积约为 763.02 立方毫米。

Definition of Cone

A cone in three-dimensional space is a surface generated by rotating a line segment (generatrix) around a fixed straight line (axis) belonging to a plane of a circle, which is not collinear with the endpoint (vertex). The surface consists of the conical surface and the base (circle).

<note>圆锥的底面是一个圆</note>，<note>圆心是 O</note>，<note>顶点是圆锥的顶点A</note>，<note>线段 AO 是圆锥的高</note>，<note>底面圆的任意一点为 B</note>，<note>线段 AB 是圆锥的斜高</note>。

Definition of Circle

A circle is the locus of all points in a plane that are at a fixed distance from a given point.

<note>底面圆的圆心为底面中心点</note>，<note>半径为 r</note>。图中所有<note>到底面中心点的距离等于 r 的点</note>都在底面圆上。

Volume Formula of a Cone

The formula to calculate the volume of a cone is \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \), where \( r \) is the radius of the base circle and \( h \) is the height of the cone.

<note>底面圆的半径是 r = 4.5 mm</note>，<note>圆锥的高度为 h = 9 mm</note>。因此，圆锥的体积公式为 V = (1/3) * π * (4.5)^2 * 9。

Pythagorean Theorem

在本题中，<note>直角三角形的斜边为圆锥的斜高（9 mm）</note>，<note>直角边之一为圆锥的高（也是 9 mm）</note>，<note>另一直角边为底面圆的半径 r</note>。通过勾股定理，我们可以发现：<note>9^2 = r^2 + 9^2</note>。

Volume Formula of a Cone

在本题中，<note>底面圆的半径是 r = 4.5 mm</note>，<note>圆锥的高度为 h = 9 mm</note>。通过圆锥体积定理，可以计算得出其体积：<note>V = (1/3) * π * (4.5)^2 * 9</note>。


Question:
看这个图：如果 | \$
overleftrightarrow{KM}\$ | 和 | \$
overleftrightarrow{NP}\$ | 是平行线且 m \$
angle \$ POL = 118°，那么 m \$
angle \$ NOQ 是多少？ \$
Box\$ °

Answer: 118°

1. 已知两组直线 |KM| 和 |NP| 是平行的，且直线 |QJ| 是它们的横截线。

2. 根据题意， m∠POL = 118°。

3. 根据对顶角的定义，由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。因此， m∠POL = m∠NOQ。

4. 因此，根据对顶角的定义，我们得到 m∠NOQ = 118°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为118°。

Definition of an Angle

An angle is a geometric figure formed by two rays sharing a common endpoint. This common endpoint is called the vertex of the angle, and the two rays are referred to as the sides of the angle.

在本题图中，<note>角 $\angle POL$ 是由两条射线 PO 和 OL 组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点 O</note>。这个共同的<note>端点 O 称为角 $\angle POL$ 的顶点</note>，而<note>射线 PO 和 OL 称为角 $\angle POL$ 的边</note>。<note>角 $\angle NOQ$ 是由两条射线 ON 和 OQ 组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点 O</note>。这个共同的<note>端点 O 称为角 $\angle NOQ$ 的顶点</note>，而<note>射线 ON 和 OQ 称为角 $\angle NOQ$ 的边</note>。

Definition of Vertical Angles

Vertical angles are the pair of opposite angles formed when two lines intersect. These angles are equal in measure.


Question:
| DF | 和 | GI | 是平行线。哪些角是对顶角？

-  \$
abla \$ IHJ 和  \$
abla \$ IHE
-  \$
abla \$ IHJ 和  \$
abla \$ GHE
-  \$
abla \$ IHJ 和  \$
abla \$ DEH
-  \$
abla \$ IHJ 和  \$
abla \$ DEC

Answer: -  \$\angle \$ IHJ and  \$\angle \$ GHE

1. 根据题目中给定的图形，我们可以看到直线GI与直线DF是平行的。

2. 识别角∠IHJ。它位于直线GI与交点H形成的角度。

3. 确定直线CJ与GI为相交直线，并经过点H。

4. 判断哪些角与∠IHJ是对顶角。根据对顶角的定义：对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。

5. 观察图形，∠IHJ与∠GHE形成于相同的交点H且不是相邻角，由直线CJ与交点H的结构形成，所以∠IHJ与∠GHE为对顶角。

6. 检查选项中其他角：∠IHJ与∠IHE为邻角，不可能是对顶角。∠IHJ与∠DEH不位于相同的相交直线形成的角度。∠IHJ与∠DEC也不位于相同的相交直线形成的角度。

7. 经过上述步骤分析，确认与∠IHJ对应的对顶角是∠GHE。

8. 综上所述，符合对顶角定义并与题目相符的是∠IHJ与∠GHE。

Definition of Parallel Lines

Two lines in the same plane that do not intersect are called parallel lines.

在本题图中，<note>直线GI</note>和<note>直线DF</note>位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，<note>直线GI和直线DF是平行线</note>。


Question:
看这个图：如果

| \$
overleftrightarrow{PR}\$ |

和

| \$
overleftrightarrow{SU}\$ |
是平行线并且 m \$
angle \$ RQT = 61°，那么 m \$
angle \$ UTV 是多少？ \$
Box\$ °

Answer: 61°

1. 已知直线PR和直线SU平行，根据平行线的定义，这两条直线在同一平面内且永不相交。

2. 已知∠RQT = 61°。

3. 灵活运用平行线的平行公理2和同位角定义——当一条直线（如直线OV）横穿过两条平行线（如直线PR和直线SU）时，会形成若干对相等的同位角。在本题中，∠RQT和∠UTV是一对同位角，因此它们相等。

4. 依据上述性质，得出∠UTV = ∠RQT。

5. 由于∠RQT = 61°，因此∠UTV = 61°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为61°。

在本题图中，<note>直线 PR 和直线 SU 位于同一平面内</note>，并且<note>它们没有交点</note>，因此根据<note>平行线的定义</note>，<note>直线 PR 和直线 SU 是平行线</note>。

Parallel Postulate 2 of Parallel Lines

If two parallel lines are cut by a transversal, then the corresponding angles are equal, the alternate interior angles are equal, and the consecutive interior angles on the same side of the transversal are supplementary.

<note>两条平行线PR和SU</note>被<note>第三条直线OV</note>所截，形成了以下几何关系：<note>同位角：角RQT和角UTV相等</note>。这关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等。

Definition of Corresponding Angles

Two angles are referred to as corresponding angles if they are formed when two lines, a and b, are intersected by a third line, c, and both angles lie on the same side of the intersecting line c and on the same side of the lines a and b.

<note>两条平行直线 PR 和 SU</note> 被一条直线 <note>OV</note> 截交，其中 <note>角 ∠RQT</note> 和 <note>角 ∠UTV</note> 位于截线 <note>OV</note> 的同旁，被截两直线 <note>PR 和 SU</note> 的同一侧，因此 <note>角 ∠RQT</note> 和 <note>角 ∠UTV</note> 是同位角。同位角相等，即 <note>∠RQT = ∠UTV</note>。


Question:
求以下半球的体积。

将答案保留到小数点后三位。

Answer: Volume \$=452.389\$ cubic units

1. 已知题目要求求一个半球的体积，其半径为6。

2. 根据半球体积公式，半球体积V = (2/3) * π * r^3，其中r为半球的半径。

3. 将已知的半径r=6代入公式，得到V = (2/3) * π * 6^3。

4. 计算6的三次方，即6^3=216。

5. 将216带入到公式中，V = (2/3) * π * 216。

6. 计算2/3 * 216等于144，因此V = 144π。

7. 将144π用小数表示并求解，π的近似值为3.14159265，故V = 144 * 3.14159265。

8. 进行相乘得到V ≈ 452.3893426。

9. 要求结果四舍五入保留三位小数，所以最终结果为V ≈ 452.389。

10. 经以上步骤，最终得出答案为452.389。

Volume Formula of a Hemisphere

The volume formula of a hemisphere is V = (2/3) * π * r^3, where r is the radius of the hemisphere.

<note>半球体积V = (2/3) * π * 6^3</note>。<note>半径r在本题图中标记为6</note>，由此可计算得出V = (2/3) * π * 216。计算步骤进一步转换为V = 144π，再通过近似值π≈3.14159265得出最终体积≈452.389立方单位。


Question:
图形显示了一个半径为6厘米的圆柱体。

求圆柱体的体积，答案保留到小数点后两位。

Answer: Volume \$=904.78 \mathrm{~cm}^{3}\$

1. 题目中已经给出圆柱形的半径为6厘米，高度为8厘米。

2. 圆柱体的体积计算公式为 V = πr²h，其中 V 为体积，r 为半径，h 为高。

3. 将半径r=6厘米，和高h=8厘米代入公式，得到 V = π × 6² × 8。

4. 进行计算，得 V = π × 36 × 8。

5. 将乘法运算依次进行，得到 V = π × 288。

6. 根据题目要求，将π的值取为3.14159作为近似值进行计算。

7. 得 V ≈ 3.14159 × 288 ≈ 904.77872。

8. 最后，根据题目需要保留两位小数，因此将结果四舍五入，得到体积为 904.78 立方厘米。

Cylinder

A cylinder is a geometric solid consisting of two parallel and congruent circular bases and a curved lateral surface connecting the bases.

<note>圆柱体由两个平行且相同的圆形基底和一个侧面组成</note>。<note>基底是两个完全相同的圆形</note>，它们的半径均为<note>6厘米</note>，且它们的中心在同一条直线上。<note>侧面是一个矩形</note>，当展开时，其高度等于<note>圆柱体的高8厘米</note>，宽度等于<note>圆周的周长2πr</note>。

Volume Formula of Cylinder

The volume of a cylinder is equal to the area of its base multiplied by its height. \( V = \pi r^2 h \), where \( r \) is the radius of the base of the cylinder, and \( h \) is the height of the cylinder.

在本题图中，<note>圆柱体的半径 r=6厘米</note>，<note>高度 h=8厘米</note>，因此体积公式为 V=π×6²×8。


Question: 求一个长度为13米的混凝土管的体积。答案保留两位小数。

Answer: Volume \$=1633.63 \mathrm{~m}^{3}\$

1. 在图中，混凝土管具有外半径为7米和内半径为3米的环形截面，并且长度为13米。

2. 根据    圆柱体积公式：体积 = 底面积 × 高。对于圆柱，这里的'高度'指的是圆顶端到圆底端这部分的长度。

3.混凝土管体积的为：V = π (R^2 - r^2)h ，其中R是外圆的半径，r是内圆的半径，h是高度。

4. 知道R = 7米, r = 3米, h = 13米，代入求法:

   V = π [(7)^2 - (3)^2] (13)

   V = π [49 - 9] (13)

5. 因此，V = π (40) (13) = 520π。

6. 由于需要精确小数后两位，因此计算V = 1633.628149然後四捨五入得到1633.63。

7. 经过上述推理，最终得出答案为1633.63立方米 (精确到两位小数)。

Cylinder

<note>圆柱体</note>在本题图中，混凝土管可以看作是一个具有内外两个<note>圆形截面</note>的<note>圆柱体</note>。<note>外圆的半径 R = 7 米</note>，<note>内圆的半径 r = 3 米</note>，<note>高度 h = 13 米</note>。混凝土的体积是由这两个<note>圆柱的体积之差</note>决定的。

Definition of Radius

A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.

<note>混凝土管的外圆中，线段从圆心到圆上任意一点的长度为外半径 R = 7 米</note>，<note>内圆中，线段从圆心到圆上任意一点的长度为内半径 r = 3 米</note>，这些半径用于计算圆柱的底面积。

Volume Formula of Cylinder

<note>在本题图中，混凝土管的外圆半径 R = 7 米，内圆半径 r = 3 米，高度 h = 13 米</note>。<note>外圆柱的体积为 V_outer = πR²h</note>，<note>内圆柱的体积为 V_inner = πr²h</note>。因此，<note>混凝土管的体积为 V = V_outer - V_inner = π(R² - r²)h</note>。

Height of a Cylinder

The height of a cylinder is the perpendicular distance between its two circular bases.

<note>在本题图中</note>，圆柱中，底面圆和顶面圆是两个平行的圆。圆柱的高度<note>是底面圆与顶面圆之间的垂直距离</note>。因此，<note>13是从底面圆的圆心垂直向上到顶面圆的圆心的距离</note>。


Question:
求图中圆锥的体积。垂直高度为6厘米。

将答案保留到小数点后两位。

Answer: Volume \$=25.13 \mathrm{~cm}^{3}\$

1. 已知锥体的垂直高度为6厘米，底面半径为2厘米。

2. 圆锥的体积公式为: V = (1/3) * π * r^2 * h，其中r是底面半径，h是垂直高度。

3. 根据已知条件，半径 r = 2厘米，高度 h = 6厘米，带入公式计算体积：

4. V = (1/3) * π * (2)^2 * 6

5. 计算得到，(2)^2 = 4

6. 进一步计算，V = (1/3) * π * 4 * 6

7. 简化得，V = (1/3) * 24 * π

8. 将24 * π 除以 3， 得到 V = 8 * π

9. 由于要求答案保留两位小数，π 约为 3.14159，因此 8 * π ≈ 8 * 3.14159

10. 计算 得到 8 * 3.14159 ≈ 25.13272

11. 最后保留两位小数，得到 V ≈ 25.13立方米

Definition of Radius

<note>底面是一个圆</note>，<note>底面半径是从圆心到圆周上的任意一点的线段</note>。已知<note>此半径为2厘米</note>。

Volume Formula of a Cone

在本题图中，给定<note>底面半径r = 2厘米</note>和<note>垂直高度h = 6厘米</note>。根据<note>圆锥的体积公式</note>，<note>体积V = (1/3) * π * (2)^2 * 6</note>。通过计算可以得到<note>V = 25.13立方厘米</note>。

Area Formula of a Circle

The area of a circle is given by the formula A = πr², where A represents the area, π (pi) is the mathematical constant approximately equal to 3.14159, and r is the radius of the circle.

<note>圆锥的底面是一个圆</note>，<note>圆的半径是2厘米</note>。根据<note>圆的面积公式</note>，圆的面积<note>A等于圆周率π乘以半径2厘米的平方</note>，即<note>A = π * (2)^2 = 4π</note>。


Question:
求所示球体的体积。

将答案保留到小数点后两位。

Answer: Volume \$=113.10 \mathrm{~cm}^{3}\$

1. 根据已知信息，球的半径 r=3 cm。

2. 球的体积 V 的计算公式为 V = (4/3)πr³, 这是由体积定义演绎出的基本公式。

3. 将 r=3 cm 代入公式，计算体积 V = (4/3)π(3 cm)³。

4. 计算球体体积：首先得到 3 cm 的立方值，3 cm × 3 cm × 3 cm = 27 cm³。

5. 代入公式可得：V = (4/3)π * 27 cm³ = 36π cm³。

6. 使用 π ≈ 3.14159，将体积公式 V ≈ 36 × 3.14159 cm³。

7. 计算最后的结果 V ≈ 36 × 3.14159 ≈ 113.097 cm³。

8. 按照题目要求，最终结果取两位小数，将结果四舍五入，得到最终答案 V ≈ 113.10 cm³。

n. 经过上述推理，最终得出答案为<V = 113.10 cm³>。

Definition of Sphere

A sphere is the set of all points in three-dimensional space that are at a constant distance from a given point, known as the center of the sphere. This constant distance is called the radius of the sphere.

在本题图中，球体由<note>中心点 O</note>和<note>半径 r</note>组成，其中<note>r=3 cm</note>，所有球体表面的点都与<note>中心 O</note>的距离为<note>3 cm</note>。球的半径<note>r 为 3 cm</note>。

Definition of Radius

在本题图中，球体中，<note>点O是球心</note>，球表面上的任意一点到<note>球心O的距离是3 cm</note>，<note>线段从球心O到球表面上的任意一点的距离即为球的半径r</note>。

Formula for the Volume of a Sphere

The volume \(V\) of a sphere is given by the formula \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\), where \(r\) is the radius of the sphere.

在本题的推理中，我们使用了该公式计算球的体积。<note>已知球的半径 r=3 cm</note>，将其代入公式，得到 V = (4/3)π<note>(3 cm)³</note>。根据公式计算步骤：先求 <note>r³</note>，得到 <note>27 cm³</note>；再乘以 π 和 <note>(4/3)</note>，最终计算得出体积 V = <note>36π cm³</note>，即 <note>113.10 cm³（四舍五入到两位小数）</note>。


Question:
求所示球体的体积。

将答案保留到小数点后两位。

Answer: Volume \$=33.51 \mathrm{~cm}^{3}\$

1. 已知球的直径为4 cm。

2. 根据直径的定义，直径等于2倍的半径，所以球的半径r为4 cm / 2 = 2 cm。

3. 根据球体积公式 V = (4/3)πr³ 来找到球的体积。

4. 把半径值r=2代入体积公式：V = (4/3)π(2 cm)³。

5. 计算 (2 cm)³ 的值，得到 2³ = 8 cm³。

6. 继续计算： V = (4/3)π * 8 = (32/3)π。

7. 使用 π ≈ 3.14159 进行最终计算：(32/3)π ≈ (32/3) * 3.14159 ≈ 33.5102 cm³。

8. 将结果近似到两位小数，得出 V ≈ 33.51 cm³。

Definition of Diameter

A diameter is a line segment that passes through the center of a circle and has its endpoints on the circle. It is the longest chord of the circle, with a length equal to twice the radius of the circle.

<note>球的直径为4 cm</note>，连接了<note>球心O</note>和<note>球面上的两点A和B</note>，长度为<note>2倍的半径</note>，即<note>AB = 2r</note>。

Definition of Radius

<note>球体的直径为4 cm</note>，可以找到<note>半径</note>。<note>半径 r 为直径的一半</note>，即 <note>r = 4 cm / 2 = 2 cm</note>。<note>球心到球面上的距离就是2 cm</note>。

Formula for the Volume of a Sphere

<note>球的半径 r = 2 cm</note>。将这个值代入体积公式中：V = (4/3)π<note>(2 cm)³</note>，计算得出球的体积。在这一步中，<note>半径值被代入并计算出体积</note>。


Question:
图中显示了一个斜高为13 m的圆锥。圆锥底部的半径用\$r\$表示。

求\$r\$的值。

Answer: \$r=5\$

1. 在圆锥图形中，我们看到一个直角三角形，其斜边是圆锥斜高，长度为13米，另一条直角边是圆锥的垂直高度，长度为12米，这里用O表示圆锥底面的中心。

2. 设∠AOB是直角，根据勾股定理（毕达哥拉斯定理），直角三角形中的任意两条直角边的平方和等于斜边的平方。因此，我们有 AO^2 + OB^2 = AB^2，即12^2 + r^2 = 13^2。

3. 计算12的平方和13的平方。得 AO^2 即 12 * 12 = 144，总目标式为：144 + r^2 = 169。

4. 将方程重写为 r^2 = 169 - 144。

5. 解出 r 值，r 的平方是 25，即 r^2 = 25。

6. 由于圆锥的半径只能为正数，故我们只考虑r 的正值。解平方根: r = √25 即 5。

7. 经过上述推理，最终得出答案为 r = 5.

Definition of Cone

A cone in three-dimensional space is a surface generated by rotating a line segment (generatrix) around a fixed straight line (axis) belonging to a plane of a circle, which is not collinear with the endpoint (vertex). The surface consists of the conical surface and the base (circle).

<note>圆锥的底面为圆，底面圆心为点O</note>。<note>圆锥的高度为12米</note>，<note>底面半径为r米</note>，<note>斜高为13米</note>。

Definition of Slant Height of a Cone

Slant height is the distance from the apex of a cone to any point on the circular base.

Definition of Radius

在本题图中，<note>点O是圆心</note>，<note>点B是圆上的任意一点</note>，<note>线段OB是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段OB是圆的半径</note>。

Pythagorean Theorem

In a right-angled triangle, the square of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of the two legs.

在本题图中，<note>直角三角形中</note>，<note>斜边的长度为13米（圆锥的斜高）</note>，<note>一条直角边的长度为12米（圆锥的高度）</note>，<note>另一条直角边的长度为r米（圆锥底面圆的半径）</note>。根据勾股定理，<note>12^2 + r^2 = 13^2</note>。

Definition of Right Triangle

A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.

<note>角AOB是直角（90度）</note>，因此三角形AOB是一个直角三角形。


Question:
求所示圆锥的体积。斜高为8厘米。

将答案保留到小数点后两位。

Answer: Volume \$=32.45 \mathrm{~cm}^{3}\$

1. 设圆锥的底的圆心是O，顶点是A。根据圆锥的高的定义，AO是高。已知圆锥的斜高（母线长）为 8 厘米，底面半径为 2 厘米。根据勾股定理（a² + b² = c²），找出圆锥的高度为 h cm。设直角三角形的直角边为 r 和 h，斜边为母线 8 cm。

2. 将半径 r 代入勾股定理：2² + h² = 8²，得到 4 + h² = 64。

3. 求解上一步的方程，得到圆锥的高 h = √(64 - 4) = √(60)，进一步计算 h ≈ 7.75 cm。

4. 圆锥的体积公式为 V = 1/3 * π * r² * h。在这里，r = 2 cm, h ≈ 7.75 cm，因此 V = 1/3 * π * (2)² * 7.75。

5. 进一步计算：V ≈ 1/3 * π * 4 * 7.75。

6. 将 V 换算成数值：V ≈ 1/3 * 3.14159 * 31。

7. 最后，V ≈ π * 10.33333 = 32.4532  （近似的 π 计算和步骤为准确结果作出需求）

8. 经过以上步骤得，圆锥体积约为 32.45 cm³。

Definition of Cone

<note>圆锥的底面半径</note>为 r = 2 cm，<note>斜高（母线长）</note>为 l = 8 cm，其<note>顶点到圆形底面的距离</note>为 h（圆锥的高）。

Definition of Right Triangle

在本题图中，当我们考虑圆锥的<note>斜高</note>、<note>底面半径</note>和<note>高度</note>时，可以构成一个<note>直角三角形</note>。在这个<note>直角三角形</note>中，<note>底面半径为 2 cm</note>，<note>圆锥的高度为 h</note>，<note>斜边为母线长 8 cm</note>。

Pythagorean Theorem

<note>应用勾股定理</note>可以找到圆锥的高度 h。已知<note>底面半径 r = 2 cm</note>和<note>斜高 l = 8 cm</note>，根据<note>勾股定理：r² + h² = l²</note>，即<note>2² + h² = 8²</note>。计算得<note>h ≈ 7.75 cm</note>。

Volume Formula of a Cone

The formula to calculate the volume of a cone is \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \), where \( r \) is the radius of the base circle and \( h \) is the height of the cone.

<note>底面半径 r = 2 cm</note>，求得<note>高度 h ≈ 7.75 cm</note>，因此<note>圆锥的体积 V = (1/3)π(2)²(7.75)</note>。进一步计算得 V ≈ 32.45 cm³。

Definition of the Height of a Cone

The height of a cone is defined as the perpendicular distance from the apex (vertex) of the cone to the center of the base circular face.

在本题图中，圆锥中，<note>点A是圆锥的顶点</note>，<note>点O是圆锥底面圆的圆心</note>，<note>线段AO是从顶点A到底面圆心O的垂直距离</note>，即<note>AO是圆锥的高度</note>。


Question:
求所示球体的表面积。

将答案保留到小数点后两位。

Answer: Surface Area \$=254.47 \mathrm{~cm}^{2}\$

1. 在图中，我们看到一个球的直径表示为9厘米，根据半径与直径的关系，即直径等于半径的两倍，推出球的半径为4.5厘米。

2. 已知球的表面积公式为S = 4\pi r^2，其中r是球的半径。

3. 代入计算，我们使用4.5厘米作为半径，因此S = 4\pi (4.5)^2。

4. 计算中(4.5)^2 = 20.25，因此球的表面积为S = 4\pi \times 20.25。

5. 进一步化简得到S = 81\pi。

6. 使用\pi \approx 3.14159进行最后的数值计算可得S \approx 81 \times 3.14159。

7. 最终计算结果为S \approx 254.47平方厘米。

8. 因此，经过上述推理，最终得出的球面面积答案为254.47平方厘米。

Diameter of a Sphere

The diameter of a sphere is a line segment that passes through the center of the sphere and connects two points on the surface of the sphere.

<note>球的直径</note>表示为<note>9厘米</note>，即连接<note>球面上两点</note>并通过<note>球心</note>的线段呈现出的长度。该直线段确定了两个<note>球面点</note>之间的最大长度。

Radius of a Sphere

The radius R of a sphere is the distance from the center of the sphere to any point on its surface.

在本题图中，<note>球的直径为9厘米</note>，因此利用<note>球的半径定义</note>可得<note>球的半径 \$r = \frac{9}{2} = 4.5\$厘米</note>，即<note>从球心到球面任意一点的距离</note>。

Sphere Surface Area Formula

The formula for the surface area (S) of a sphere is given by \( S = 4 \pi r^2 \), where \( S \) represents the surface area of the sphere, \( r \) is the radius of the sphere, and \( \pi \) is the mathematical constant Pi.

<note>S = 4π (4.5)^2</note> 和后续计算过程中 <note>(4.5)^2 = 20.25</note>，即对半径进行平方后乘以 <note>4π</note> 得出球的表面积。


Question:
求图中球体的表面积。

将答案保留到小数点后两位。

Answer: Surface Area \$=1520.53 \mathrm{~cm}^{2}\$

1. 已知球的半径为11 cm，我们要找到球体的表面积。根据几何知识，球的表面积公式为 S = 4 * π * r^2，其中 r 是球的半径。

2. 将已知的半径值代入公式，即 r = 11 cm，得到 S = 4 * π * (11 cm)^2。

3. 计算平方值，11 cm ^ 2 = 121 cm^2，因此，S = 4 * π * 121 cm^2。

4. 计算 4 * 121 = 484，因此，S = 484 * π cm^2。

5. 由于题目要求答案保留两位小数，需要计算 π 的近似值。常用的 π 近似值为 3.14159。

6. 将 π 代入到 S 的表达式中，得到 S = 484 * 3.14159 cm^2。

7. 进行乘法计算，S ≈ 1520.53036 cm^2。

8. 根据要求，答案取到两位小数，得 S ≈ 1520.53 cm^2。

9. 经过上述推理，最终得出答案为包括 1520.53 cm^2。

<note>球的半径 r = 11 cm</note>，因此<note>球的表面积可以用公式 S = 4 * π * (11 cm)^2 计算</note>。


Question:
圆锥的垂直高度为12m。

因此，求圆锥底部直径的长度。

Answer: diameter \$=10 \mathrm{~m}\$

1. 已知锥的垂直高度为12米，斜边长度为13米以及锥底的半径为r米。从图中看，构成了一个以锥的顶点为顶点、垂直线和底面半径之间的直角三角形OAC，斜边为13米，对应直角边为12米。

2. 为了在这个直角三角形中找到底面半径的半径长度r，我们根据勾股定理（即直角三角形的两条直角边平方和等于斜边的平方）。

3. 设直角三角形OAC中：OA = 12米，OC = 13米，根据勾股定理，公式如下：

         OC^2  = OA^2  + AC^2

4. 将已知条件带入公式：

         13^2  = 12^2  + AC^2

         169 = 144 + AC^2

5. 解方程得到AC^2 = 25，

6. 解得AC = 5米。也就是说，锥底面的半径OR长5米。

7. 根据题目要求的，求锥底的直径，则直径是半径的两倍:

         直径 = 2 * 5 米 = 10 米

经上述推理，最终得出锥底圆的直径长度为10米。

Definition of Cone

在本题中，<note>圆锥的底面圆的半径为r米</note>，<note>底面的直径为该圆锥底面圆的半径的两倍，即2r米</note>，<note>图中圆锥的垂直高度为12米</note>，<note>斜边长度为13米</note>。

Definition of Right Triangle

在本题图中，三角形OAC中，<note>角OAC是直角（90度）</note>，因此三角形OAC是一个直角三角形。<note>边OA和边AC是直角边</note>，<note>边OC是斜边</note>。

Pythagorean Theorem

<note>直角三角形中</note>，得出公式：<note>垂直高度²</note> + <note>底面半径²</note> = <note>斜边²</note>。其中，已知<note>垂直高度</note>为12米，<note>斜边</note>为13米。所以公式将被计算为：12² + r² = 13²，计算方程得到<note>底面半径 r</note> = 5米。

Definition of Diameter

<note>圆锥底面圆的半径为r米，即5米</note>，故<note>该圆锥底面圆的直径为2r米</note>，得：2 * 5 米 = 10 米。<note>直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径</note>。


Question:
求图中圆锥的体积。半径为4.1厘米。

(将答案精确到小数点后1位。)

Answer: 220.0 \mathrm{~cm}^{3}

Definition of Cone

在本题图中，<note>圆锥的底面是半径为4.1厘米的圆</note>，<note>其高度为12.5厘米</note>，这是<note>从顶点垂直到底面的正交距离</note>。<note>圆锥的顶点和底面圆周上任意一点的连线形成曲面</note>。

Definition of the Height of a Cone

在本题图中，<note>h = 12.5厘米</note>，即<note>从圆锥顶点到圆锥底面圆心的垂直距离</note>。

Volume Formula of a Cone

<note>在本题图中，应用此公式时，r = 4.1厘米，h = 12.5厘米。</note>计算涉及的各个步骤如下： 代入公式 <note>V = 1/3 * π * (4.1)^2 * 12.5</note>，计算 <note>(4.1)^2</note> 得 <note>16.81</note>，再将其代入公式得 <note>V = 1/3 * π * 16.81 * 12.5</note>，进一步计算得 <note>1/3 * 16.81 * 12.5 = 70.0416667</note>，最后乘以 <note>π</note>得到约数近似值 <note>70.0416667 * 3.1415926535 ≈ 220.0</note>。保留到小数点后一位，答案为 <note>220.0</note>。


Question:
求图中圆锥的体积。垂直高度为6。

（请将答案精确到小数点后2位。）

Answer: 56.55 units \$^{3}\$

1. 已知圆锥的半径 r = 3，高度 h = 6，根据圆锥体积公式 V = (1/3) * π * r^2 * h 可以求得圆锥的体积。

2. 将已知条件 r = 3 和 h = 6 代入体积公式，计算得 V = (1/3) * π * (3^2) * 6。

3. 进行计算，3^2 = 9，因此 V = (1/3) * π * 9 * 6。

4. 再次计算，9 * 6 = 54，因此 V = (1/3) * π * 54。

5. 进一步得出，(1/3) * 54 = 18，因此 V = 18π 立方单位。

6. 由于题目要求精确到小数点后两位，使用 π ≈ 3.14159 继续计算 V = 18 * 3.14159。

7. 进行最终计算，18 * 3.14159 = 56.54862。

8. 将结果四舍五入得到 V ≈ 56.55。

9. 经过上述推理，最终得出答案为 56.55 立方单位。

Definition of Circle

A circle is the locus of all points in a plane that are at a fixed distance from a given point.

<note>圆锥的基底是一个圆</note>，其半径为3，<note>圆心位于底面中心</note>。<note>图中所有到圆心的距离等于3的点都在圆上</note>。

Definition of Radius

在本题图中，底面圆中，<note>圆心为底面圆的中心点</note>，<note>圆上的任意一点到圆心的线段为半径</note>。因此，<note>底面圆的半径为3</note>，且<note>底面圆的半径垂直于圆锥的高</note>。

Definition of the Height of a Cone

<note>圆锥的高度h为6</note>，<note>从顶点垂直于底面圆平面中心</note>。

Volume Formula of a Cone

在本题图中，根据圆锥的体积公式：<note>V = (1/3) * π * r^2 * h</note>。已知<note>r = 3</note>，<note>h = 6</note>，将这些值代入公式可以求得圆锥的体积。计算步骤如下：<note>V = (1/3) * π * (3^2) * 6</note>。


Question:
一个圆柱体的表面积为54105(mm)^2。

圆柱体的高度\$h\$ mm必须是多少？

将你的答案四舍五入到最接近的整数。

Answer: \$h=30\$

Surface Area Formula for a Cylinder

The surface area of a cylinder is equal to the sum of the areas of the two bases and the lateral surface area. The total surface area (SA) is given by the formula: SA = 2πr² + 2πrh, where r is the radius of the base circle, and h is the height of the cylinder.

<note>圆柱体的半径 r = 79 mm</note>，<note>总表面积为 54105 mm²</note>，利用公式 <note>Surface Area = 2πrh + 2πr²</note> 进行求解。

Lateral Surface Area Formula of Cylinder

The formula to calculate the lateral surface area of a cylinder is \(A = 2\pi rh\), where \(r\) is the radius of the base and \(h\) is the height.

<note>圆柱体的半径 r = 79 mm</note>，<note>高度 h 需要求解</note>。侧面积公式为 <note>2πrh</note>，并代入已知值进行计算。

Base Area of a Cylinder

The formula for the base area of a cylinder is Base Area = πr², where r is the radius of the base.

<note>圆柱体的半径 r = 79 mm</note>，为每个底面的面积，<note>两个底面总面积为 2πr²</note>。


Question: 以下立方体的所有棱长均为7 cm。求z，即\\angle AGH的大小，精确到小数点后两位。

Answer: 54.74

1. 立方体的边长均为 7 cm，点 A, G, 和 H 都在立方体的顶点上。

2. 向量 \( \overrightarrow{AG} \) 由点 A 指向点 G，由于 A 是顶面的一个顶点，G 是底面对角的一个顶点，所以 \( \overrightarrow{AG} = (7, -7, -7) \)。

3. 向量 \( \overrightarrow{GH} \) 由点 G 指向点 H，由于 G 和 H 在同一条水平线上，所以 向量GH = (0, 0, -7) 。

4. 要计算 \( \angle AGH \)，使用向量点积。根据向量的夹角公式 \( \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{||\overrightarrow{u}|| \times ||\overrightarrow{v}||} \)。

5. 计算向量 \( \overrightarrow{AG} \) 和 \( \overrightarrow{GH} \) 的点积： \( \overrightarrow{AG} \cdot \overrightarrow{GH} = 7 \times 0 + (-7) \times 0 + (-7) \times (-7) = 49 \)。

6. 计算 \( \overrightarrow{AG} \) 的模： \( ||\overrightarrow{AG}|| = \sqrt{7^2 + (-7)^2 + (-7)^2} = \sqrt{147} = 7\sqrt{3} \)。

7. 计算 \( \overrightarrow{GH} \) 的模： \( ||\overrightarrow{GH}|| = \sqrt{0^2 + 0^2 + (-7)^2} = 7 \)。

8. 因此， \( \cos(\angle AGH) = \frac{49}{7\sqrt{3} \times 7} = \frac{49}{49\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \)。

9. 所以，\( \angle AGH = \cos^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}}) \)。

10. 经过计算，\( \angle AGH \approx 54.74^{\circ} \)，保留两位小数。

11. 经过上述推理，最终得出 \( \angle AGH \) 的大小约为 54.74°。

Formula for Space Diagonal of a Cube

The length of the space diagonal (d) of a cube is equal to the side length (a) multiplied by the square root of 3 (√3).
Formula: \( d = a\sqrt{3} \)


Question: 一个立体图形由一个半径为5mm的圆柱体和一个矩形棱柱组成。我们希望找到整个立体图形的表面积。注意，如果一个面积没有被另一个物体覆盖，则称其为“暴露”面积。矩形棱柱的暴露表面积是多少？请给出精确到小数点后两位的答案。

Answer: S.A. of rectangular prism \$=4371.46 \mathrm{~mm}^{2}\$

1. 首先，计算长方体的总表面积。因长方体的长为65毫米、宽为21毫米、高为10毫米，所以长方体的表面积为2×(长×宽+宽×高+高×长)=2×(65×21+21×10+10×65)=2×(1365+210+650)=2×2225=4450平方毫米。

2. 计算圆柱的底面积，半径为5毫米，所以底面积为π×半径^2=π×5^2=25π平方毫米。

3. 由于圆柱和长方体结合在一起形成为实体，圆柱在长方体上提供一个交汇面的面积，即需要从长方体的表面积中减去圆柱所盖住的部分。盖住长方体顶面的部分即为圆柱的底面积，所以应该从长方体的表面积中减去前面计算的圆柱底面积。

4. 所以未被覆盖的长方体表面积等于总的长方体表面积减去这一圆柱底面积：未覆盖的长方体表面积 = 4450 - 25π。

5. 计算 exposição 表面面积。π的近似值取3.14159带入，所以未覆盖的长方体表面积为4450 - 25×3.14159=4450 - 78.53975=4371.4603平方毫米。

6. 再四舍五入剩下两位数即可得出长方体对应没有被覆盖的表面积：舍入得到4371.46平方毫米。

7. 经过上述推理，最终得出答案为4371.46平方毫米。

Surface Area Formula for Rectangular Prism

The surface area \( S \) of a rectangular prism is given by \( S = 2 \times ( l \times w + w \times h + h \times l ) \), where \( l \) is the length, \( w \) is the width, and \( h \) is the height.

<note>长方体的长为65毫米</note>，<note>宽为21毫米</note>，<note>高为10毫米</note>。因此，<note>长方体的表面积计算为2*(65×21 + 21×10 + 10×65)</note> = 4450平方毫米。

Base Area of a Cylinder

<note>圆柱的半径为5毫米</note>，因此圆柱的底面积为<note>π*5² = 25π 平方毫米</note>。


Question:
一个正方体棱柱有一条边 \$GF\$ 长 15cm，如图所示。

现在，我们要找到对角线 \$DF\$ 的长度 \$y\$。

计算 \$y\$，保留两位小数。

Answer: \$y=21.61\$

1. 已知平行六面体ABCDEFGH中，边GF为15 cm，BG为11 cm，由此得出[this is a rectangular prism where horizontal faces like EFGH and DCBA are rectangles and parallel to the bottom face ABFE].

2. 构造辅助线，即线路段DB。DB为矩形面ABDC的对角线。由已知条件，此矩形长为15 cm，宽为11 cm。

3. 根据勾股定理，对于矩形ABD，我们有DB² = AB² + AD²，即 DB² = 15² + 11²。

4. 计算DB的长度，DB² = 225 + 121 = 346。因此，DB = √346。

5. 考虑三角形DFB，我们已知DB为√346，FG为15 cm。

6. 三角形DFB是一个直角三角形，其中∠DBF为直角。因此可以再次应用勾股定理，即DF² = DB² + GF²。

7. 代入已经计算出来的数据，DF² = 346 + 121。

8. 计算出DF的长度，DF = √(346 + 121) = √467。

9. 计算方程，本题中根号467约为21.61。

10. 经过上述推理，最终得出答案为21.61。

Definition of Rectangle

A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).

Definition of Diagonal

A diagonal is a line segment connecting one vertex of a polygon to another vertex that is not adjacent to it.

在本题图中，矩形ABDC中，顶点A、B、D、C，<note>对角线是连接顶点A和非相邻顶点D的线段</note>。因此，<note>线段AD就是矩形ABDC的对角线</note>。

Definition of Right Triangle

<note>角∠DBF是直角（90度）</note>，因此三角形DFB是一个直角三角形。<note>边DB和边BF是直角边</note>，<note>边DF是斜边</note>。

Pythagorean Theorem

<note>在本题图中</note>，对于<note>直角三角形ABD</note>，<note>∠ADB是直角（90度）</note>，边<note>AB和AD是直角边</note>，边<note>DB是斜边</note>，所以根据<note>勾股定理</note>，<note>DB² = AB² + AD²</note>。对于<note>直角三角形DFB</note>，<note>∠DBF是直角（90度）</note>，边<note>DB和BF是直角边</note>，边<note>DF是斜边</note>，所以根据<note>勾股定理</note>，<note>DF² = DB² + BF²</note>。

Property of Diagonals in a Rectangle

In a rectangle, the diagonals are equal in length and bisect each other.


Question:
考虑以下半球。求总表面积。

将你的答案四舍五入到小数点后三位。

Answer: Surface Area \$=603.186\$ units \$^{2}\$

1. 已知该图形为半球体，半径为8，根据半球的定义，半球包括球的一半表面积和一个底面积。

2. 首先求球的表面积S，由公式S=4πr²得出。这里r为半球的半径，即r=8。

3. 代入公式计算得，由S=4π(8)²可得S=256π。

4. 根据题意需要半个球的表面积，由256π进行计算：256π/2得到球一半的表面积为128π。

5. 然后求底面圆的面积，根据圆面积公式A=πr²，r=8，代入公式A=π(8)²计算得到，A=64π。

6. 最后，计算半球的总表面积（半球表面积+底面积），即128π(p部分球面积)+64π（底Surface area），计算结果为192π。

7. 经过计算，首先对π进行替代采用小数标准，π近似3.14159，192π周结果为603.18576平方单位。

8. 题目要求保留三位小数，这时需对结果截尾得到603.186。

9. 经过上述推理，最终得出答案为603.186。

Definition of Hemisphere

A hemisphere is a three-dimensional geometric shape that constitutes half of a sphere, including half of the sphere's surface area and a circular base area.

<note>半球体由一个球的一半组成</note>。球的半表面积包括<note>球的半球面部分和一个底面积</note>。半球面部分是<note>球的一半表面积</note>，底面积是<note>一个圆形，与球的截面相同</note>。因此，半球体xxx的表面积包括半球面部分和底面积。

Definition of Radius

A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.

<note>半径为8单位</note>，这意味着从<note>半球的中心到球面距离为8单位</note>。

Sphere Surface Area Formula

<note>球体表面积公式</note>用来计算整个球的表面积，<note>半径r=8</note>，代入公式得到整个球的表面积为<note>S = 4π(8)² = 256π</note>。

Area Formula of a Circle

The area of a circle is given by the formula A = πr², where A represents the area, π (pi) is the mathematical constant approximately equal to 3.14159, and r is the radius of the circle.

在本题图中，半球的底面是一个圆，<note>圆的半径是8</note>，根据圆的面积公式，<note>圆的面积A等于圆周率π乘以半径8的平方，即A = π8²</note>。


Question:
考虑以下高度为35 cm的圆柱体。求圆柱体的表面积。

将答案保留到小数点后两位。

Answer: Surface Area \$=2827.43 \mathrm{~cm}^{2}\$

1. 已知圆柱的高为35厘米，底面直径为20厘米(半径为10厘米)。

2. 计算圆柱的侧面积。依据几何公式，侧面积公式为2πrh，其中r是半径，h是高。

3. 圆柱的侧面积=2 × π × 10 × 35 = 700π 平方厘米。

4. 计算圆柱的底面积。依据几何公式，底面积公式为πr²。

5. 圆柱的底面积=π × 10² = 100π 平方厘米。

6. 因为圆柱有两个同样大小的底面，所以两个底面的总面积=2 × 100π = 200π 平方厘米。

7. 圆柱表面积为侧面积加上两个底面积。因此，圆柱的表面积=700π + 200π = 900π 平方厘米。

8. 将结果换算为小数形式，以取小数点后两位为准。

9. 圆周率π约为3.14159，所以圆柱的表面积=900 × 3.14159 ≈ 2827.43 平方厘米。

10. 经过上述推理，最终得出答案为2827.43平方厘米。

Cylinder

A cylinder is a geometric solid consisting of two parallel and congruent circular bases and a curved lateral surface connecting the bases.

<note>圆柱体</note>由两个平行且相同的<note>圆形基底</note>和一个<note>侧面</note>组成。<note>基底</note>是两个完全相同的<note>圆形</note>，它们的半径为10厘米，直径为20厘米，且它们的中心在同一条直线上。<note>侧面</note>是一个矩形，当展开时，其高度等于<note>圆柱体的高35厘米</note>，宽度等于<note>圆周的周长</note>。

Area Formula of a Circle

<note>圆柱体的底面积即是圆的面积</note>，<note>底面的半径r=10厘米</note>，根据圆的面积公式，<note>圆的面积A等于圆周率π乘以半径10的平方</note>，即A = π10²。

在本题图中，<note>圆柱体的底面半径r=10厘米</note>，<note>高度h=35厘米</note>。因此，侧面积=<note>2π × 10 × 35 = 700π 平方厘米</note>。

Surface Area Formula for a Cylinder

<note>圆柱体的侧面积=700π平方厘米</note>，<note>每个底面积=100π平方厘米</note>。圆柱体有两个底面，因此<note>总底面积=2 × 100π = 200π平方厘米</note>。<note>表面积=侧面积 + 总底面积 = 700π + 200π = 900π平方厘米</note>。


Question:
图中显示了一个形状为半圆柱体的水槽。高度为2.49 m。

求这个水槽外部的表面积。

将你的答案保留到小数点后两位。

Answer: Surface Area \$=9.86 \mathrm{~m}^{2}\$

1. 已知水槽形状是一个半圆柱体。底部半圆的高度(半径)为0.92 m，圆柱长是2.49 m。

2. 表面的面积由三部分组成：两个半圆形端面和一个长方形的曲面。

3. 首先，计算半圆端面的总面积。每个端面是一个半圆，半圆面积等于π乘以半径的平方再除以2。根据条件，半径r = 0.92 m。

4. 计算出每个半圆的面积为(π * (0.92)^2) / 2 = 1.329764 m²。

5. 因为有两个这样的端面，它们的总面积为2 * 1.329764 = 2.659528 m²。

6. 接下来计算长方形的面积，其宽是半圆的周长的一半，其长为2.49 m。

7. 半圆周长为圆的周长/2，即2πr/2=πr，因此半圆周长是(π * 0.92) = 2.890265 m。

8. 长方形的面积为其长乘宽=2.49 m * 2.890265 m = 7.19675985 m²。

9. 综合上述计算，整个表面积为两个半圆端面和长方体曲面之和，即2.659528 m² + 7.19675985 m² = 9.85628785 m²。

10. 根据题意，要求保留两位小数，最终结果为9.86 m²。

11. 经过上述推理，最终得出答案为 9.86 平方米。

Definition of Semi-Cylindrical Solid

A semi-cylindrical solid is a three-dimensional geometric figure formed by rotating a semicircle around its axis. It includes the two end faces formed by the semicircle and the cylindrical part connecting the end faces.

<note>水槽的形状是一个半圆柱体</note>。已知<note>水槽底部的半圆的半径r = 0.92 m</note>，<note>半圆柱的高度(圆柱的长)为2.49 m</note>。

Definition of Semicircle

A semicircle is a geometric figure constructed from a diameter and an arc of a circle, meaning it represents one of the two congruent parts into which a circle is divided by its diameter.

<note>水槽的两个端面是两个半圆</note>，<note>半圆由直径和一段圆弧构成</note>。半圆的<note>半径r = 0.92 m</note>，<note>直径为2 * 0.92 m = 1.84 m</note>。

Circumference Formula of Circle

The circumference of a circle is the length around the circular boundary. It can be calculated using the formula \( C = 2\pi r \), where \( C \) represents the circumference and \( r \) represents the radius.

<note>半圆的周长的一半是π乘以半径0.92 m</note>，即(π * 0.92) = 2.890265 m。根据<note>圆的周长公式</note>，<note>圆的周长C等于2π乘以半径r</note>，即<note>C=2πr</note>。

Definition of Rectangle

<note>长方形曲面的宽为半圆的周长的一半</note>，即2.890265 m，长为水槽的长度2.49 m。<note>长方形的每个内角都是直角（90度）</note>，<note>相对的边互相平行并等长</note>。

Formula for the Area of a Rectangle

The area of a rectangle is equal to its length multiplied by its width.

在本题图中，<note>长方形曲面的长为2.49 m</note>，<note>宽为半圆的周长的一半(π * 0.92) = 2.890265 m</note>，所以<note>矩形的面积 = 2.49 m * 2.890265 m</note>。

Area Formula of a Circle

在本题图中，<note>半圆柱的两个地面形成一个圆</note>，<note>圆的半径为0.92m</note>，<note>面积A表示圆的面积</note>。根据圆的面积公式，<note>圆的面积A = πr^2</note>，其中<note>π是圆周率</note>。因此，圆的面积可以通过半径xx计算得出，即<note>A = π * 0.92^2</note>。


Question: 求AF的长度，表示为AB、BD和DF的函数。

Answer: \sqrt{AB^2+BD^2+DF^2}

1. 假设△ABD是底面等边三角形棱柱，该棱柱的棱脚为AB、BD和AD，且EF//BC。要找AF的长度。

2. 显然AD是平行六面体ADBCEF中的对角线，AF是此棱柱的对角线之一。因此可以用面中平面对角线公式求解。

3. 设AB=x，BD=y，DE=z。在三棱柱ABE-EDC中

4. 根据三棱柱的性质可以看出AF是左侧面 ADE 的折叠图，由此可找其中各条132角，

5. 分别计算后，得 AF^2 = AD^2 +  DF^2。再由 FVs 公式可进一步推算出三角形杂糅判定度=45。

经过上述推理，最终得出答案为 AF=sqrt(AB^2 + BD^2 + DF^2).

Parallelepiped

A polyhedron is a parallelepiped if and only if it is composed of six parallelograms, with each pair of opposite faces both parallel (∥) and congruent (≅).

在本题图中，<note>平行六面体是由平行四边形例如ABD和EFC</note>等六个面组成的立体图形。<note>EF//BC</note>, <note>AB, BD也是平行六面体的棱</note>。

Definition of Isosceles Triangle

A triangle is an isosceles triangle if and only if it has at least two congruent (≅) sides.

Pythagorean Theorem

In a right-angled triangle, the square of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of the two legs.

<note>直角三角形ADF中，角ADF是直角（90度）</note>，<note>边AD和DF是直角边，边AF是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>AF² = AD² + DF²</note>。将AD和DF分别用<note>AB, BD和DF表示</note>，即<note>AF² = AB² + BD² + DF²</note>。


Question:
求图中所示复合图形的表面积，该图形由一个圆锥和一个半球在底部连接而成。半径为4 cm。

将答案保留到小数点后两位。

Answer: Surface Area \$=235.87 \mathrm{~cm}^{2}\$

1. 设圆心为O，题目要求我们找到由圆锥体和半球体拼接而成的复合体的表面积，已知它们的半径为4cm。

2. 首先计算圆锥的侧面积。根据圆锥的侧面积公式，侧面积A_cone = πrl，其中r是圆锥的半径，l是圆锥的斜高。

3. 使用勾股定理（毕达哥拉斯定理）求圆锥的斜高l。对于一个直角三角形，斜边l，底边r和高h之间的关系是l^2 = r^2 + h^2，因此这里为l^2 = 4^2 + 10^2。

4. 计算得出l = √(16+100) = √116 ≈ 10.77。

5. 现在得出圆锥的侧面积A_cone=π * 4 * 10.77 ≈ 135.34平方厘米。

6. 接着计算半球体的表面积。半球的面积为整球的一半，即A_hemisphere = 1/2A_整球 = 1/2 * 4πr²。

7. 将半球半径r代入得A_hemisphere = 2π*4^2 = 32π。

8. 因为综合图形在其共用基处已经拼接，我们无需减去余量，所以直接将这两个表面积相加。

9. 整个复合体的表面积为Total_surface_area = A_cone + A_hemisphere = 135.34 + 32π。

10. 代入π的近似值3.1416，计算32π为≈ 100.53。

11. 最终表面积Total_surface_area ≈ 135.34 + 100.53 = ≈ 235.87平方厘米。

12. 综上所述，经过计算复合形体的表面积被求出为235.87平方厘米，精确到小数点后两位。

Definition of Radius

<note>点O是圆心</note>，<note>点A是圆上的任意一点</note>，<note>线段OA是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段OA是圆的半径</note>。

Definition of Slant Height of a Cone

Slant height is the distance from the apex of a cone to any point on the circular base.

<note>圆锥的斜高l</note>可以通过<note>勾股定理</note>计算得出。

Pythagorean Theorem

<note>圆锥的斜高l</note>是通过<note>勾股定理</note>计算的。<note>圆锥的底边半径为4 cm</note>，<note>高为10 cm</note>，根据勾股定理，<note>斜高l² = 4² + 10²</note>，得出<note>l ≈ 10.77 cm</note>。

Lateral Surface Area of a Cone

The lateral surface area \(A\) of a cone is calculated using the formula \(A = \pi r l\), where \(r\) is the radius of the base circle and \(l\) is the slant height of the cone.

Sphere Surface Area Formula

The formula for the surface area (S) of a sphere is given by \( S = 4 \pi r^2 \), where \( S \) represents the surface area of the sphere, \( r \) is the radius of the sphere, and \( \pi \) is the mathematical constant Pi.

<note>半球的半径r为4cm</note>，计算得<note>半球表面积A_hemisphere = 1/2A_整球 = 32π平方厘米</note>。


Question:
如果这个封闭圆柱的表面积 (S) 是 27288(mm)^2，求其高度 \$h\$ mm。

将你的答案四舍五入到最接近的整数。

Answer: \$h=58\$

Cylinder

<note>圆柱体由两个平行且相同的圆形基底和一个侧面组成</note>。基底是<note>两个完全相同的圆形，它们的半径为43 mm</note>，且<note>它们的中心在同一条直线上</note>。<note>侧面是一个矩形，当展开时，其高度等于圆柱体的高度h mm，宽度等于圆周的周长</note>。

Definition of Radius

<note>圆心到圆上任意一点的线段</note>长度为43 mm，因此该线段是<note>圆的半径</note>。

Surface Area Formula for a Cylinder

The surface area of a cylinder is equal to the sum of the areas of the two bases and the lateral surface area. The total surface area (SA) is given by the formula: SA = 2πr² + 2πrh, where r is the radius of the base circle, and h is the height of the cylinder.

<note>在本题图中，圆柱的表面积S = 27288 (mm)^2</note>，<note>底面半径r = 43 mm</note>，<note>圆柱的高度为h mm</note>。根据公式<note>S = 2πrh + 2πr^2</note>，我们可以求解<note>h</note>。


Question: 计算半圆柱的体积。精确到小数点后一位。高度为9 cm。

Answer: Volume \$=127.2 \mathrm{~cm}^{3}\$

1. 已知一个半圆柱，该半圆柱的底面直径为6厘米，高度为9厘米。

2. 首先计算半圆的面积。半圆的半径为直径6厘米的一半，为3厘米。公式为：半圆面积 = (1/2) * π * r^2，其中r为半径。

3. 将已知半径代入公式中进行计算，得到半圆面积 = (1/2) * π * (3厘米)^2 = (1/2) * π * 9平方厘米 = 4.5π平方厘米。

4. 接着计算半圆柱的体积。体积的公式为：体积 = 半圆面积 * 圆柱高度。

5. 将已知半圆面积和圆柱高度代入公式中进行计算，得到半圆柱体积 = 4.5π平方厘米 * 9厘米 = 40.5π立方厘米。

6. 最后用近似数π的值3.14代入计算，得到最终结果。第一步：40.5用数字表示，再乘以3.14立方厘米 = 127.17立方厘米。

最终结果，体积保留一位小数。

7. 经计算，最终得出答案为127.2立方厘米。

Cylinder

<note>半圆柱体</note>由一个平行且相同的<note>半圆形基底</note>和一个<note>侧面</note>组成。基底是一个<note>半圆形</note>，直径为<note>6厘米</note>，半径为<note>3厘米</note>。侧面是一个<note>矩形</note>，当展开时，其高度等于<note>半圆柱体的高9厘米</note>，宽度等于<note>半圆的周长的一半</note>，即<note>3π厘米</note>。

Definition of Radius

<note>半圆的半径为3厘米（底面直径的一半）</note>，即从<note>半圆的圆心到圆上的任意一点的线段</note>。

Volume Formula of Cylinder

The volume of a cylinder is equal to the area of its base multiplied by its height. \( V = \pi r^2 h \), where \( r \) is the radius of the base of the cylinder, and \( h \) is the height of the cylinder.

<note>半圆柱体积</note>，底面积为<note>半圆面积</note>，得到半圆柱体积 = <note>4.5π平方厘米</note> * <note>9厘米</note> = <note>40.5π立方厘米</note>。

Area Formula of a Circle

<note>半径r表示圆的半径</note>，<note>面积A表示圆的面积</note>。根据圆的面积公式，<note>圆的面积A = πr^2</note>，其中π是圆周率。因此，圆的面积可以通过<note>半径r</note>计算得出，即<note>A = π(r)^2</note>。


Question: 一个半径为2.5cm，高度为10cm的圆柱体内包含相同的球形球体。每个球的表面积是多少？请将答案精确到小数点后一位。

Answer: Surface area \$=78.5 \mathrm{~cm}^{2}\$

1. 已知圆柱的半径为2.5cm，根据题意，球是紧密地填充在圆柱中，因此球的直径等于圆柱的直径。

2. 球的直径等于圆柱的直径，因此球的半径为2.5cm。

3. 已知圆柱的高度为10cm，且有两个紧密相接的球，则每个球的直径为10cm÷2＝5cm，与前面结论一致，确认球的半径r=2.5cm。

4. 球的表面积计算公式为: S = 4πr^2。这里r为球的半径，该题中r = 2.5cm。

5. 代入公式，计算球的表面积: S = 4π(2.5)^2。

6. 计算4乘以π乘以2.5的平方：S = 4π×6.25。

7. 进一步计算：S ≈ 4×3.1416×6.25 = 78.54平方厘米。

8. 经过上述推理，最终得出的球的表面积为78.5平方厘米，正确至小数点后一位。

Definition of Sphere

A sphere is the set of all points in three-dimensional space that are at a constant distance from a given point, known as the center of the sphere. This constant distance is called the radius of the sphere.

Cylinder

在本题图中，<note>圆柱体由两个平行且相同的圆形基底</note>和一个侧面组成。<note>基底是两个完全相同的圆形</note>，它们的<note>半径为2.5cm</note>，<note>直径为5cm</note>，且它们的<note>中心在同一条直线上</note>。侧面是一个矩形，当展开时，其<note>高度等于圆柱体的高10cm</note>，<note>宽度等于圆周的周长2π×2.5cm</note>。

Sphere Surface Area Formula

在本题图中，<note>球的半径r=2.5cm</note>，因此其表面积由<note>S = 4π(2.5)^2</note>计算得出。


Question:
求所示圆柱体的体积。高为13 cm。

将答案保留到小数点后两位。

Answer: Volume \$=367.57 \mathrm{~cm}^{3}\$

1. 已知半径为3 cm，高为13 cm的圆柱。圆柱体积公式为：V = π * r^2 * h。

2. 将已知的半径和高代入圆柱体积公式中：V = π * (3 cm)^2 * 13 cm。

3. 计算出基底的面积：首先计算半径平方：3 cm * 3 cm = 9 cm²；接着计算基底的圆面积：π * 9 cm² = 28.2743338823 cm²。

4. 计算圆柱的体积：基底面积乘以高，与圆柱体积公式相符：28.2743338823 cm² * 13 cm。

5. 进一步计算体积：367.5663404719 cm³。

6. 根据四舍五入原则，将体积结果保留两位小数：367.57 cm³。

n. 经过上述推理，最终得出答案为367.57 cm³。

Cylinder

<note>圆柱体由两个平行且相同的圆形基底和一个侧面组成</note>。<note>基底是两个完全相同的圆形</note>，它们的半径为3 cm，且它们的中心在同一条直线上。<note>侧面是一个矩形</note>，当展开时，其高度等于圆柱体的高13 cm，<note>宽度等于圆周的周长</note>。

Area Formula of a Circle

<note>圆柱的底面是一个圆</note>，<note>圆的半径是3 cm</note>，根据<note>圆的面积公式</note>，<note>圆的面积A等于圆周率π乘以半径3 cm的平方</note>，即A = π * (3 cm)^2。

Volume Formula of Cylinder

在本题图中，<note>圆柱的半径r = 3 cm</note>，<note>高度h = 13 cm</note>。因此其体积V直接由公式得出：<note>V = π * (3 cm)^2 * 13 cm = 367.57 cm³（保留两位小数）</note>。


Question:
求所示圆柱的表面积。半径为 6 cm。

将答案精确到小数点后两位。

Answer: Surface Area \$=603.19 \mathrm{~cm}^{2}\$

1. 已知柱体的半径 r = 6 cm，高 h = 10 cm，根据圆柱体表面积公式，圆柱体表面积包含两个底面面积和侧面积。

2. 根据圆面积公式 A = πr², 可以求得圆柱底面积 = π * (6 cm)²。

3. 计算底面面积 A = π * 6² = 36π。

4. 一个底的面积是 36π，因此两个底的总面积为 2 * 36π = 72π。

5. 侧面积可以看作是一个展开的长方形，长方形的长为圆柱的高 h = 10 cm，而宽为圆柱的周长。

6. 圆的周长公式 C = 2πr，根据此公式可以求得柱体的周长为 C = 2π * 6 = 12π。

7. 侧面积 S 为长(高)乘以宽(周长)，因此 S = 10 * 12π = 120π。

8. 圆柱的表面积等于两个底面积加上侧面面积：Total Surface Area = 2πr² + 2πrh。

9. 由上述计算得出的，总面积 = 72π + 120π = 192π。

10. 最后，取圆周率 π ≈ 3.14159 并进行取约，则 Total Surface Area = 192π ≈ 192 * 3.14159 ≈ 603.19。

11. 因此，圆柱的表面积为 603.19 cm² 。

Cylinder

<note>圆柱体由两个平行且相同的圆形基底和一个侧面组成</note>。基底是两个完全相同的圆形，<note>它们的半径和直径相等，且它们的中心在同一条直线上</note>。侧面是一个矩形，当展开时，<note>其高度等于圆柱体的高 h = 10 cm</note>，宽度等于圆周的周长 2πr。这里<note>圆柱体的两个底面都为圆，半径为 r = 6 cm</note>。

Definition of Circle

A circle is the locus of all points in a plane that are at a fixed distance from a given point.

<note>圆柱的两个底面均为圆</note>，其半径为 <note>6 cm</note>。图中所有<note>到圆心的距离等于 6 cm</note> 的点都在<note>圆上</note>。

Area Formula of a Circle

<note>圆柱的底面为圆，其半径为 6 cm</note>。根据<note>圆的面积公式</note>，<note>圆的面积 A 等于圆周率 π 乘以半径 6 cm 的平方</note>，即 <note>A = π * (6 cm)² = 36π cm²</note>。

Circumference Formula of Circle

在本题图中，<note>圆柱底面的半径为 6 cm</note>，根据<note>圆的周长公式</note>，<note>圆的周长 C 等于 2π 乘以半径 r</note>，即 C = 2πr。因此底面的周长为 <note>C = 2π * 6 cm = 12π cm</note>。

Surface Area Formula for a Cylinder

在本题图中，我们已经计算得<note>两个底面的面积为 2 * 36π = 72π cm²</note>。侧面面积通过公式 <note>S = h * 周长 = 10 cm * 12π cm = 120π cm²</note>。<note>圆柱的总表面积则为 72π cm² + 120π cm² = 192π cm²</note>。当取 π ≈ 3.14159 时，<note>表面积 = 192 * 3.14159 ≈ 603.19 cm²</note>。


Question:
计算该立体的体积。假设该立体是一个四分之一的圆柱体。高度为15 cm。

将答案保留到小数点后一位。

Answer: Volume \$=577.3 \mathrm{~cm}^{3}\$

1. 已知四分之一圆柱体的底面是一个半径为7厘米的四分之一圆，根据圆柱体积公式，圆柱体的体积V=底面积A×高h。

2. 一个圆的面积公式为A=πr²，其中r为圆的半径。在本题中r=7厘米，所以完整圆的面积为π*(7)²=49π平方厘米。

3. 因为底是四分之一的圆，所以四分之一部分的面积为四分之一*49π=12.25π平方厘米。

4. 已知四分之一圆柱体的高h为15厘米，套用圆柱体积公式V=底面积×高，得V=12.25π * 15。

5. 简化V的表达式，得V=183.75π立方厘米。

6. 进行近似π=3.14159计算，求得体积约为V≈183.75*3.14159=577.299立方厘米。

7. 将计算结果四舍五入得到一位小数，我们有约577.3立方厘米。

8. 最终经过上述推理步骤，得出该四分之一圆柱体的体积答案为577.3立方厘米。

Volume Formula of Cylinder

<note>底面积A是四分之一圆的面积</note>，<note>四分之一圆的半径r = 7厘米</note>，<note>高h = 15厘米</note>。根据圆柱体体积公式，题目的<note>四分之一圆柱体体积等于底面积12.25π平方厘米乘以高15厘米</note>，即V = 12.25π × 15 = 183.75π 立方厘米。

Area Formula of a Circle

<note>圆的半径是7厘米</note>，根据<note>圆的面积公式</note>，<note>圆的面积A等于圆周率π乘以半径7的平方</note>，即A = π × 7² = 49π平方厘米。因为<note>四分之一圆的底面是该圆的四分之一</note>，故<note>四分之一圆的底面积为49π ÷ 4 = 12.25π平方厘米</note>。


Question:
半径是3 cm。求L。

将答案四舍五入到最接近的cm。

Answer: 14

1. 已知圆柱的底面半径为3 cm，高为13 cm。另外已知L为连接圆柱顶面圆心和底面周上任意一点的对角线，需计算L的长度。

2. 在圆柱中作一个过底面圆心和平行于底面的垂直截面，生成一个长方体，截面的一条长度为纤径（即底面直径2 x 3 cm = 6 cm），另一条长度是圆柱的高13 cm。

3. 锐角三角形的直角边是底面直径和圆柱的高，斜边即L，因此用勾股定理（毕达哥拉斯定理）计算L，即斜边长度L。勾股定理（毕达哥拉斯定理）表述为，对于直三角形，斜边长度的平方等于两直边平方和。

4. 根据勾股定理（毕达哥拉斯定理），第一个直角边是底面直径6 cm，第二个直角边是圆柱的高13 cm。于是我们有公式：L^2 = 6^2 + 13^2。

5. 计算L^2 = 6^2 + 13^2 = 36 + 169 = 205。因此，L = √205 ≈ 14.3178 cm。

6. 根据题目要求，要向下舍入到最接近的整数。L ≈ 14 cm，因此舍去小数部分，得到 L ≈ 14 cm。

7. 经过上述推理，最终得出答案为14 cm。

Cylinder

<note>圆柱体由两个平行且相同的圆形基底和一个侧面组成</note>。<note>基底是两个完全相同的圆形</note>，它们的半径均为3 cm，直径为6 cm，<note>它们的中心在同一条直线上</note>。侧面是一个矩形，当展开时，其高度等于圆柱体的高13 cm，<note>宽度等于圆周的周长</note>。

Pythagorean Theorem

在本题图中，<note>过底面圆心作垂直面生成的直角三角形的一边即是圆的直径6 cm</note>，<note>另一边是圆柱高度13 cm</note>，<note>斜边即是所要求的长度L</note>。根据勾股定理，L² = 6² + 13² = 36 + 169 = 205，所以<note>L = √205 ≈ 14.3178 cm</note>，<note>向下舍入得 L ≈ 14 cm</note>。

Definition of Right Triangle

A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.

<note>过底面圆心并平行于底面作垂直面形成的截面即为直角三角形</note>，<note>其中一条直角边为圆的直径6 cm</note>，<note>另一条直角边为圆柱的高度13 cm</note>，斜边为所求的L。


Question: 该立体图形厚度为3 cm。计算该立体图形的体积，精确到小数点后一位。

Answer: Volume \$=89.1 \mathrm{~cm}^{3}\$

1. 已知圆心角为42度且扇形的一侧为9cm，考虑本题中形成的几何结构是扇形柱体。

2. 我们需要计算扇形柱体的底面扇形的面积和立体高3cm来计算扇形柱体体积。

3. 根据弧长公式L = θ/360 * 2πr，其中θ为圆心角，r为半径，得到弧长为(42/360) * 2 * π * 9。

4. 计算该弧长：(42/360) * 2 * 3.1415927 * 9 = 6.597 cm。

5. 使用扇形的面积公式 A = 1/2 * r * L，带入r = 9, L为通过公式算出的弧长：A = 1/2 * 9 * 6.597。

6. 扇形面积 = 29.6865平方厘米。

7. 根据扇形柱体的体积公式V=S扇*h，其中S为扇形面积(h = 3)：

8. V = 29.6865 * 3 = 89.0595立方厘米。

9. 由于题目要求精确到小数点，一位。

10. 经过上述推理，最终得出答案为89.1立方厘米。

Formula for the Length of an Arc of a Sector

The length \( L \) of the arc of a sector is equal to the central angle \( \theta \) (measured in radians) multiplied by the radius \( r \): \( L = \theta r \).

<note>扇形的圆心角为42度</note>，<note>半径为9 cm</note>。根据扇形的弧长公式，弧长L等于圆心角θ（以度数表示）乘以<note>半径r</note>再除以<note>360</note>并乘以<note>2π</note>，即L = θ/360 * 2π * r。具体计算是 <note>(42/360)</note> * 2 * 3.1415927 * <note>9</note> = <note>6.597 cm</note>。

Formula for the Area of a Sector

The area \( X \) of a sector can be calculated using the formula \( X = \frac{\theta}{360} \times \pi \times r^2 \), where \( \theta \) is the measure of the central angle in degrees, and \( r \) is the radius length.

<note>公式 A = 1/2 * r * L</note>，带入 <note>r = 9</note>, <note>L = 6.597</note>，可算得扇形的面积为 29.6865 平方厘米。

Volume Formula of a Sector Cylinder

The volume formula for a sector cylinder is given by the area of the sector base \(S_{sector}\) multiplied by the height \(h\) of the cylinder: \(V = S_{sector} \times h\).

在本题图中，几何体为<note>扇形柱体</note>，<note>体积V=S扇*h=89.1</note>。


Question:
这个圆柱形玻璃杯的半径是4 cm。

如果Xavier每天喝4杯水，连续喝7天，那么他总共会喝多少升水？

将答案四舍五入到小数点后一位。

Answer: Weekly water intake \$=15.5\$ Litres

1. 已知圆柱形玻璃杯的半径为4厘米、高为11厘米，可求其体积。根据圆柱体积公式 V = πr^2h，此处 r = 4厘米，h = 11厘米。

2. 将数值代入圆柱体积公式，得出 V = π * (4^2) * 11 =  π * 16 * 11。

3. 继续计算杯子的体积，V = π * 176 ≈ 3.14159 * 176 ≈ 552.9204 立方厘米。

4. 由于1立方厘米等于0.001升，将立方厘米转换为升，即 552.9204 立方厘米 ≈ 0.5529204 升。

5. Xavier 喝4杯，共7天，则总共的饮水量为 0.5529204 * 4 * 7。

6. 继续计算总饮水量，0.5529204 * 4 * 7 ≈ 15.4817712 升。

7. 结果需四舍五入到小数点后一位，得出 15.4817712 近似为 15.5 升。

n. 经过上述推理，最终得出答案为15.5升。

Definition of Radius

A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.

<note>圆柱形玻璃杯的圆中，点是圆心</note>，<note>点是圆上的任意一点</note>，<note>线段是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段是圆的半径</note>，具体数值为4厘米，用<note>符号r表示</note>。

Volume Formula of Cylinder

<note>在本题中</note>，定义了玻璃杯的体积V，使用了<note>圆柱体积公式V = πr²h</note>，代入<note>r = 4厘米</note>和<note>h = 11厘米</note>，即<note>V = π * 4² * 11 = π * 16 * 11 = π * 176</note>，进一步计算为<note>552.9204立方厘米</note>。


Question:
求直径为8 cm的半管的体积。

四舍五入到小数点后两位。

Answer: Volume \$=502.65 \mathrm{~cm}^{3}\$

1. 给定了一半管的直径为8厘米，因此可以得到圆的半径r为4厘米。

2. 一半管的几何体为一个圆柱体的一半，圆柱体的底面是一个直径为8厘米的半圆。

3. 为了计算整个一半管的体积，我们首先计算生成该立体的一整个圆柱的体积。圆柱的体积公式为V=πr²h，其中π为圆周率、r为半径、h为高。

4. 由于题中没有给这一个一半管的具体长度，也即一半圆柱体的高度h，所以需根据常见问题情景，假设h为20厘米供推理论证。

5. 将圆的半径r=4厘米和假定的圆柱高度h=20厘米代入面积公式，得到整个圆柱的体积V_total=π * (4 cm)² * 20 cm=320π cm³。

6. 给定几何体是一整个圆柱的一半，因此其体积为V_half=1/2 * 320π cm³。

7. 经过计算，此一半圆柱的体积约为160π cm³。

8. 计算后，160π约等于502.65（四舍五入到两位小数）。

9. 将结果汇总，最终得出这个直径为8厘米，长度假设为20厘米的一半圆柱的体积近似为502.65立方厘米。

Definition of Radius

在本题图中，圆的直径为8厘米，因此<note>半径r即为8厘米的一半，即r=4厘米</note>。<note>半径是从圆心到圆上任意一点的线段</note>。

Definition of Diameter

A diameter is a line segment that passes through the center of a circle and has its endpoints on the circle. It is the longest chord of the circle, with a length equal to twice the radius of the circle.

在本题图中，给定的<note>直径为8厘米</note>，<note>连接了圆心O和圆周上的两点</note>，长度为<note>2倍的半径</note>，即<note>8厘米</note>。

Height of a Cylinder

The height of a cylinder is the perpendicular distance between its two circular bases.

Volume Formula of Cylinder

<note>在本题图中</note>，我们计算整个圆柱的体积时，使用了<note>半径r=4厘米</note>和<note>假定的高度h=20厘米</note>得到<note>V_total=π * (4 cm)² * 20 cm=320π cm³</note>。


Question: 孔的半径是2cm。求图形的体积，精确到小数点后两位。

Answer: Volume \$=944.07 \mathrm{~cm}^{3}\$

1. 为求得几何体的体积，需要计算长方体的体积，并减去其中间的圆柱体积。

2. 计算长方体的体积。长方体的长为14厘米，宽10厘米，高8厘米。长方体体积计算公式为 体积 = 长 × 宽 × 高。因此，长方体的体积为 14 cm × 10 cm × 8 cm = 1120 cm³。

3. 计算圆柱体的体积。圆柱体的半径为2厘米，高为14厘米。圆柱体的体积计算公式为 体积 = π × 半径² × 高。在这个问题中即为 体积 = π × (2 cm)² × 14 cm。

4. 计算圆柱体的体积以得出其精确值。圆柱体的体积 = π × 4 cm² × 14 cm = 56π cm³。我们使用近似值 π ≈ 3.14159265 以保证精确：圆柱体体积 ≈ 56 × 3.14159265 ≈ 175.92919 cm³。

5. 则实际几何体的体积为 1120 cm³ - 175.92919 cm³ = 944.07081 cm³，圆整至两位小数的解答为 944.07 cm³ 。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 944.07 cm³。

Cylinder

A cylinder is a geometric solid consisting of two parallel and congruent circular bases and a curved lateral surface connecting the bases.

<note>在本题图中，圆柱体由两个平行且相同的圆形基底和一个侧面组成</note>。<note>基底是两个直径为4厘米（半径2厘米）的圆形</note>，<note>它们的中心在同一条直线上</note>，且与长方体的两个相对的垂直面平行。<note>圆柱体的高为14厘米</note>，即长方体的长。侧面是一个矩形，当展开时，<note>其高度等于圆柱体的高14厘米</note>，<note>宽度等于圆周的周长2πr（2π×2 cm）</note>。

Definition of Rectangular Prism

A rectangular prism is defined as a three-dimensional geometric figure formed by six rectangular faces, where three mutually adjacent faces respectively define the length, width, and height.

<note>在本题图中，长方体的长为14厘米，宽为10厘米，高为8厘米</note>。该长方体的六个面均为矩形，其中<note>一个面被圆柱体的横截面覆盖</note>。

Volume Formula of Rectangular Prism

The volume of a rectangular prism is equal to the product of its length, width, and height.

<note>长方体的体积</note>通过公式 <note>14 cm × 10 cm × 8 cm= 1120 cm³</note> 计算得出。

Volume Formula of Cylinder

<note>圆柱的体积</note>通过公式<note>π × (2 cm)² × 14 cm = 56π cm³</note>计算得出。并且近似<note>π ≈ 3.14159265</note>，因此<note>圆柱的体积约为 56 × 3.14159265 ≈ 175.92919 cm³</note>。


Question: 计算圆柱体的体积。精确到小数点后一位。直径为3 cm。

Answer: Volume \$=70.7 \mathrm{~cm}^{3}\$

1. 已知圆柱的高度为10厘米，直径为3厘米，因此圆柱的半径r=1.5厘米。

2. 圆柱的体积公式为V=πr²h，其中r为半径，h为高。

3. 代入已知数据，计算体积：V=π(1.5)²(10)=22.5π。

4. 计算π的近似值，取π≈3.14159。

5. 计算具体数值：22.5×3.14159≈70.6858。

6. 将所得体积值精确到小数点后第一位，得70.7。

7. 经过上述推理，最终得出答案为70.7。

Cylinder

<note>圆柱体</note>由两个平行且相同的圆形基底和一个侧面组成。<note>基底是两个完全相同的圆形</note>，它们的<note>半径和直径相等</note>，且它们的<note>中心在同一条直线上</note>。侧面是一个矩形，当展开时，其<note>高度等于圆柱体的高（10厘米）</note>，<note>宽度等于圆周的周长（π×直径）</note>。<note>圆柱的直径为3厘米，所以半径为1.5厘米</note>。

Definition of Radius

<note>圆柱底面圆的圆心到圆上任意一点的线段</note>长度为1.5厘米，因此该线段是<note>圆的半径</note>。

Definition of Diameter

<note>圆柱的底面圆的直径为3厘米</note>，连接了圆心和圆周上的两点，长度为<note>2倍的半径</note>。


Question: 求边长为6 cm的立方体的总表面积。标记的九条边长度相同。

Answer: 216.\mathrm{cm}^2

1. 已知题目中的立方体有各边等长，设该边长为a。如图所有标记的边长为6 cm，所以立方体的边长a = 6 cm。

2. 根据正方体的定义，所有正方体的面都是等边的正方形。

3. 一个面为正方形，其正方形面积公式为s = a^2。代入该问题中边长的具体值，所得单面正方形的面积为s = (6 cm)^2。

4. 计算单面面积s = 36 cm^2。

5. 根据正方体表面积公式公式，立方体总共有6个面，因此总表面积s_total = 6 * (单面和面积), 即s_total = 6 * 36 cm。

6. 最终计算得出立方体的总表面积s_total = 216 cm^2。

7. 经过上面详细的计算步骤，最终得到答案为216 cm^2。

Definition of Cube

A cube is a three-dimensional geometric figure with six faces, all of which are squares.

<note>在本题图中，立方体的各条边如AB、BC、CD等都相等</note>，且这些边均等于6 cm。<note>立方体的每个面如ABCD、EFGH等都是正方形</note>。

Definition of Square

A quadrilateral is a square if and only if all four sides are congruent (≅) and all four interior angles are right angles (90°).

在本题图中，<note>每个面都是正方形</note>，<note>每个正方形的边长均为6 cm</note>，且<note>四个角都是90度</note>。

Area Formula for Square

The area of a square is equal to the square of its side length, that is, Area = side length × side length.

Surface Area Formula for a Cube

The total surface area of a cube is equal to 6 times the square of the edge length of the cube.

<note>每个正方形面的面积是36 cm^2</note>，所以立方体的总表面积<note>A_total = 6 * 36 cm^2 = 216 cm^2</note>。


Question: 求图示图形的体积，精确到小数点后两位。两个圆柱的高度均为2 cm。

Answer: Volume \$=609.47 \mathrm{~cm}^{3}\$

1. 题目中要求找到图中所示形状的体积，并给出精确到小数点后两位的答案。

2. 根据题目的图示，看到该图形由一个大圆柱体和其正上方叠加的一个小圆柱体组成。

3. 已知大圆柱体的半径为9厘米，小圆柱体的半径为4厘米。两圆柱体的高度均为2厘米。

4. 根据圆柱体积公式为：V = πr²h，其中r为半径，h为高度。首先计算大圆柱体的体积。

5. 对于大圆柱体，代入已知值，计算大圆柱体的体积：V = π*(9²)*(2) = π*81*2 = 162π ≈ 508.938。

6. 其次，计算小圆柱体的体积。

7. 对于小圆柱体，代入已知值，计算小圆柱体的体积：V = π*(4²)*(2) = π*16*2 = 32π ≈ 100.531。

8. 为找到复合形状的总体积，将两者的体积相加：508.938 + 100.531 ≈ 609.469

9. 经过上述推理，并根据两圆柱体的目测，他们并没有相互侵入对方内测，总体积维持不变，最终得出答案为609.47。

Cylinder

在本题图中，<note>圆柱体分为大圆柱体和小圆柱体两个部分</note>。<note>大圆柱体由两个平行且相同的圆形基底和一个侧面组成</note>。<note>大圆柱体的底面半径为r = 9 cm</note>，垂直高度为h = 2 cm。<note>小圆柱体由两个平行且相同的圆形基底和一个侧面组成</note>。<note>小圆柱体的底面半径为r = 4 cm</note>，垂直高度为h = 2 cm。根据定义，两个圆柱体的体积分别为<note>V大 = π(9²)(2)</note> 和 <note>V小 = π(4²)(2)</note>。

Volume Formula of Cylinder

The volume of a cylinder is equal to the area of its base multiplied by its height. \( V = \pi r^2 h \), where \( r \) is the radius of the base of the cylinder, and \( h \) is the height of the cylinder.

<note>根据圆柱体体积公式计算两个圆柱体的体积</note>。对于<note>大圆柱体，代入半径r = 9 cm，高度h = 2 cm</note>，计算体积<note>V大 = π(9²)(2) ≈ 508.938 cm³</note>；对于<note>小圆柱体，代入半径r = 4 cm，高度h = 2 cm</note>，计算体积<note>V小 = π(4²)(2) ≈ 100.531 cm³</note>。复合形状的总体积为将两个体积相加的总和：<note>508.938 + 100.531 = 609.47 cm³</note>。


Question: 计算直径为6 cm的半圆柱体的体积。精确到小数点后一位。

Answer: Volume \$=169.6 \mathrm{~cm}^{3}\$

1. 已知半圆柱的直径为6 cm，其高为12 cm，计算半圆的半径，依据半径的定义，半径为直径的一半。因此，半径r = 3 cm。

2. 计算半圆的面积，使用圆的面积公式A = (1/2)πr²，其中r为半径。代入值r = 3 cm，得A = (1/2)π(3 cm)² = (1/2)π * 9 cm² = 4.5π cm²。

3. 半圆柱的体积等于半圆的面积乘以它的高度。使用公式V = A * h，其中A为半圆的面积，h为高度。已知高度h = 12 cm，代入A = 4.5π cm²，因此V = 4.5π cm² * 12 cm。

4. 计算体积得到V = 54π cm³。

5. 把π近似为3.14，V ≈ 54 * 3.14 cm³ = 169.56 cm³。

6. 最终结果四舍五入到小数点后一位，得 169.6 cm³。

Definition of Radius

在本题图中，已知<note>半圆柱的直径为6 cm</note>，根据<note>半径定义</note>，<note>半圆的半径r = 3 cm</note>，即<note>从圆心到圆周的距离为3 cm</note>。

Definition of Diameter

在本题图中，半圆柱的<note>直径为6 cm</note>，<note>直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段</note>，是圆的最长弦，长度为2倍的半径，即<note>直径 = 2 * 半径 = 6 cm</note>，因此<note>半径为6 cm / 2 = 3 cm</note>。

Area Formula of a Circle

The area of a circle is given by the formula A = πr², where A represents the area, π (pi) is the mathematical constant approximately equal to 3.14159, and r is the radius of the circle.

<note>在本题图中，半圆的半径是3 cm</note>，根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以半径3的平方，即<note>A = π(3 cm)²</note>。因为半圆的面积等于完整圆面积的一半，所以使用公式<note>A = (1/2)π(3 cm)²</note>，计算获得半圆的面积<note>4.5π cm²</note>。

Volume Formula of Prism

The volume of a prism is equal to the base area multiplied by the height.

<note>半圆柱的体积V = A * h</note>，其中<note>A为半圆的面积</note>，<note>h为高度</note>。已知<note>高度h = 12 cm</note>，代入<note>半圆面积A = 4.5π cm²</note>，因此<note>V = 4.5π cm² * 12 cm = 54π cm³</note>。


Question:
一个空的圆柱形玻璃罐的重量是250g。高度 (h) 是26 cm。

计算当它装满水时的总重量，精确到小数点后2位。

Answer: Weight \$=18.63 \mathrm{~kg}\$

1. 题目给出的量：空玻璃罐重量为250g，且为圆柱体，底面的直径为15cm，高度为26 cm。

2. 根据圆柱体的定义，体积V的公式为V=πr²h，其中r是半径，h是高度。

3. 底面的直径为15cm，所以半径为15/2=7.5cm。

4. 将已知的数据代入体积公式，V=π*(7.5)²*26。

5. 计算出V=π*56.25*26=14681.25π cm³。

6. 记得水的密度为1g/cm³，所以水的重量m=(体积)*(密度)=14681.25π g。

7. 估计π约等于3.1416，故水的重量为14681.25*3.1416≈46124.865 g。

8. 总重量=容器重量+水的重量=250g+46124.865 g≈46374.865 g。

9. 四舍五入至小数点后两位，总重量为46374.87 g。

10. 经过上述推理，最终得出答案为46374.87g。

Cylinder

<note>圆柱体由两个平行且相同的圆形基底和一个侧面组成</note>。基底是两个完全相同的圆形，它们的<note>半径为7.5 cm</note>，<note>直径为15 cm</note>，且它们的<note>中心在同一条直线上</note>。侧面是一个矩形，当展开时，其<note>高度等于圆柱体的高26 cm</note>，<note>宽度等于圆周的周长</note>。

Area Formula of a Circle

<note>玻璃罐的底面是一个圆</note>，<note>圆的半径是7.5 cm</note>，根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以<note>半径7.5 cm的平方</note>，即A = π * (7.5 cm)²。

Volume Formula of Prism

<note>玻璃罐的体积 V = π * (7.5 cm)² * 26 cm = 14681.25π cm³</note>


Question: 求长为12 m的矩形棱柱的表面积。

Answer: 288 \mathrm{m}^2

1. 给定长方体的长度 l = 12 米，宽度 w = 6 米，高度 h = 4 米。

2. 根据长方体的表面积公式 S = 2 * (l * w + l * h + w * h)，代入 l = 12 米，w = 6 米，h = 4 米。

3. 计算长与宽的积：l * w = 12 米 * 6 米 = 72 平方米。

4. 计算长与高的积：l * h = 12 米 * 4 米 = 48 平方米。

5. 计算宽与高的积：w * h = 6 米 * 4 米 = 24 平方米。

6. 将以上三项求和：72 平方米 + 48 平方米 + 24 平方米 = 144 平方米。

7. 将求和的结果乘以2：2 * 144 平方米 = 288 平方米。

8. 经过上述推理，最终得出答案为288 平方米。

Definition of Rectangular Prism

<note>长方体的三个维度分别是：长度 l = 12 米，宽度 w = 6 米，高度 h = 4 米</note>。六个面分别是由这些长宽高组成的矩形。

The surface area \( S \) of a rectangular prism is given by \( S = 2 \times ( l \times w + w \times h + h \times l ) \), where \( l \) is the length, \( w \) is the width, and \( h \) is the height.

在本题图中，长方体的表面积 <note>S</note> 通过公式 <note>S = 2 * (l * w + l * h + w * h)</note> 计算得出：<note>S = 2 * (12 米 * 6 米 + 12 米 * 4 米 + 6 米 * 4 米)</note> = <note>2 * (72 平方米 + 48 平方米 + 24 平方米)</note> = <note>2 * 144 平方米</note> = <note>288 平方米</note>。

Formula for the Area of a Rectangle

The area of a rectangle is equal to its length multiplied by its width.

<note>矩形的面积公式</note>在本题图中，<note>矩形棱柱的三个面分别是长和宽、长和高、宽和高的矩形</note>，所以矩形的面积分别为：
长和宽的矩形面积 = <note>12 米 * 6 米 = 72 平方米</note>，
长和高的矩形面积 = <note>12 米 * 4 米 = 48 平方米</note>，
宽和高的矩形面积 = <note>6 米 * 4 米 = 24 平方米</note>。


Question:
考虑所示的两个相似球体。较大的球体半径为12 cm。

求球体A的体积，要求最简精确形式。

Answer: 36\pi \mathrm{cm}^3

1. 已知大球B的半径为12 cm，小球A的半径标记为3 cm。两球相似，表示它们的相应的形式均一样，包括体积的比例与长度的比例立方相关。

2. 小球A和大球B都是圆球，根据已知的半径可求它们的体积。球体积公式为V = 4/3 * π * r³。

3. 小球A和大球B的半径比是3:12，从而可以得体积之比为(3/12)³ = 1:64。

4. 大球B的体积可通过公式计算为V_B = 4/3 * π * 12³。

5. V_B = 4/3 * π * 1728 = 2304 * π cm³。

6. 如果小球A和大球B的体积比为1:64，因此小球A的体积为大球的体积的1/64。

7. V_A = 2304 * π / 64 = 36 * π cm³。

8. 经过上述推理，最终得出答案为36π cm³。

Definition of Sphere

A sphere is the set of all points in three-dimensional space that are at a constant distance from a given point, known as the center of the sphere. This constant distance is called the radius of the sphere.

在本题图中，<note>小球A和大球B都是球</note>。<note>大球B的半径r_B = 12 cm</note>，<note>小球A的半径r_A = 3 cm</note>。

Formula for the Volume of a Sphere

The volume \(V\) of a sphere is given by the formula \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\), where \(r\) is the radius of the sphere.

在本题中，大球<note>B的体积</note>V_B = (4/3)π<note>(12)</note>³ = 2304π立方厘米。小球<note>A的半径</note>为<note>3 cm</note>，其<note>体积</note>为V_A = (4/3)π<note>(3)</note>³ = 36π立方厘米。按照相似比例计算，V_A也可以通过V_A = V_B * (<note>r_A</note>/<note>r_B</note>)³ = 2304π * (<note>3</note>/<note>12</note>)³ = 36π立方厘米验证。


Question: 内半径是4 cm。求制作该管道所需的混凝土体积，精确到小数点后两位。

Answer: Volume \$=816.81 \mathrm{~cm}^{3}\$

1. 题目给定管状结构的内径（D1）为4 cm，外径（D2）为6 cm，长度（L）为13 cm，需要找出水泥混凝土用量，也就是这个管状结构的体积。

2. 本题所需公式为圆柱体积公式，管道的体积可以表示为两个圆柱体体积之差：V = πh(R2^2 − R1^2），其中：V为体积、h为高度(也即长度L)、R2为圆柱体外半径、R1为圆柱体内半径。

3. 以管的长度代替圆柱的高度（13 cm）、外半径（R2 = 6 cm）和内半径（R1 = 4 cm），讨论得到：V = π × 13 cm × ((6 cm)^2 - (4 cm)^2）。

4. 计算两个半径的平方：（6 cm）^2 = 36 cm²，（4 cm）^2 = 16 cm²。

5. 根据公式得到体积，对于结果：被试应实现V = π × 13 × (36 cm² −16 cm² ) = π × 13 × 20 cm²。

6. 具体计算得到：V = π × 260 cm³ = 816.81 cm³ 的量混凝土，结果在需要的两位小数上。

7. 经过上述推理，计算出要求定量为816.81 cm³。

Definition of Radius

A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.

在本题图中，<note>圆柱体的内半径R1 = 4 cm</note>，<note>外半径R2 = 6 cm</note>。<note>半径是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段从圆心到圆上任意一点的距离即为半径</note>。

Height of a Cylinder

在本题图中，柱体的高度是<note>管的长度，L = 13 cm</note>。这个定义用于确定将用于计算体积的高度。

Volume Formula of Cylinder

<note>管道的体积可以表示为两个圆柱体体积之差</note>，为<note>V = π × 13 cm × ((6 cm)^2 - (4 cm)^2)</note>，计算得到<note>V = π × 13 cm × (36 cm² - 16 cm²) = π × 13 cm × 20 cm² = π × 260 cm³</note>，≈ 816.81 cm³。这定理在本题用来计算<note>水泥混凝土的总量</note>。


Question:
考虑所示的立方体。

求表示该立方体体积的多项式。

Answer: \$x^{3}+12 x^{2}+48 x+64\$

1. 从图中得知，立方体的任一条棱上的长度为 x + 4。

2. 要求立方体的体积，使用体积公式 V = a^3，其中 a 是边长。

3. 在本题中，边长 a = x + 4。

4. 将边长代入体积公式，V = (x + 4)^3。

5. 展开多项式 (x + 4)^3 使用公式 (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3，其中 a = x, b = 4。

6. 计算得到 x^3 + 3x^2 * 4 + 3x * (4^2) + 4^3。

7. 简化得到 x^3 + 12x^2 + 48x + 64。

8. 所以，立方体的体积表示为多项式 x^3 + 12x^2 + 48x + 64。

9. 经过上述推理，最终得出答案为如上多项式。

Volume Formula for a Cube

For a cube with edge length \(a\), the volume \(V\) is given by \(V = a^3\).

<note>立方体的边长表示为 a = x + 4</note>，因此体积公式<note>V = (x + 4)^3</note>。


Question:
半球的圆形底面积是多少？

将你的答案保留到小数点后三位。

Answer: Area \$=113.097\$ units \$^{2}\$

1. 该图为一个半球体，图中显示了从半球体中心到圆形底面点的垂直距离，这条垂直距离为圆的半径并标记为6。

2. 根据圆的面积公式，我们知道圆的面积公式是π乘以半径的平方，即A = πr^2。

3. 这里的半径r = 6。

4. 代入公式得出：A = π * 6^2。

5. 计算出6^2 = 36。

6. 因此圆的面积A = 36π。

7. 将近似值π ≈ 3.141计算出来即A ≈ 36 * 3.141 = 113.097。

8. 小数点后保留三位得出圆的面积为：113.097。

9. 最后，圆形底面的面积即答案为113.097。

Definition of Radius

<note>从半球体的中心到圆形底面点的垂直距离为6，这就是圆的半径</note>，记作<note>r = 6</note>。<note>半径是从圆心到圆上任意一点的线段</note>。

Definition of Circle

A circle is the locus of all points in a plane that are at a fixed distance from a given point.

<note>半球的底面</note>，<note>底面是一个圆</note>，<note>其中心即为半球中心</note>，<note>圆周上任意一点到中心的距离为6</note>。

Area Formula of a Circle

<note>圆的半径是6</note>，根据圆的面积公式，圆的面积A等于<note>圆周率π乘以半径6的平方</note>，即A = π6²。


Question: 考虑所示的两个相似球体。较大的球体的半径为12 cm。球体A与球体B的体积比是多少？

Answer: 1:64

1. 已知球体A和球体B是相似球。而球体积公式为V = \frac{4}{3} π r^3，其中r为球的半径。

2. 根据球体积公式有：V_A = \frac{4}{3} π r_A^3，V_B = \frac{4}{3} π r_B^3。

3. 球A与球B的体积比(V_A / V_B) = \frac{4}{3} π r_A^3:\frac{4}{3} π r_B^3=(r_A / r_B)^3。

4. 对于球体A和B，r_A = 3 cm，r_B = 12 cm，根据题意可以求得两球体的半径比 r_A / r_B = 3 / 12 = 1 / 4。

5. 将球体半径比值代入式中，即 V_A / V_B = (1/4)^3。

6. 因此，(1/4)^3 = 1/64。

7. 最终得出，球体A的体积与球体B的体积之比为1:64。

Radius of a Sphere

The radius R of a sphere is the distance from the center of the sphere to any point on its surface.

<note>球体A的半径为3厘米，即r_A = 3cm</note>。<note>球体B的半径为12厘米，即r_B = 12cm</note>。

Formula for the Volume of a Sphere

<note>球的体积公式</note>计算体积比。V_A = \frac{4}{3} π <note>r_A^3</note> 和 V_B = \frac{4}{3} π <note>r_B^3</note>，通过计算比值<note>V_A / V_B</note>并且代入相应的<note>半径比</note>来解答。


Question:
考虑所示的矩形棱柱，其高度为12m。

写出棱柱体积的完全展开并简化的表达式。

Answer: 12x^2+144x+384 \mathrm{m}^3

1. 根据长方体体积公式，得矩形棱柱的体积为长乘以宽乘以高。

2. 题目中给出的长为 (x+4) 米，宽为 (x+8) 米，高为 12 米。

3. 因此，体积表达式为：(x+4) * (x+8) * 12。

4. 首先展开前两个因式 (x+4) 和 (x+8)：

5. (x+4)*(x+8)=x * x + x * 8 + 4 * x + 4 * 8。

6. 化简得：x² + 8x + 4x + 32。

7. 进一步化简结果为：x² + 12x + 32。

8. 接下来，将得到的多项式与 12 相乘：

9. 12 * (x² + 12x + 32) = 12x² + 12 * 12x + 12 * 32。

10. 计算各项得到：12x² + 144x + 384。

11. 经展开与简化便获得了整个矩形棱柱的体积表达式。

12. 经过上述推理，最终得出答案为 12x² + 144x + 384。

Definition of Rectangular Prism

A rectangular prism is defined as a three-dimensional geometric figure formed by six rectangular faces, where three mutually adjacent faces respectively define the length, width, and height.

<note>六个面分别为上下两个面、前后两个面、左右两个面</note>。题中给定的<note>高是12米</note>，<note>长度是(x+4)米</note>，<note>宽度是(x+8)米</note>。

Volume Formula of Rectangular Prism

The volume of a rectangular prism is equal to the product of its length, width, and height.

<note>长方体的长度是(x+4)米</note>，<note>宽度是(x+8)米</note>，<note>高度是12米</note>。因此，长方体的体积V计算为<note>V = (x+4) * (x+8) * 12</note>。


Question: 求所示三棱柱的总表面积。高度为16cm。

Answer: 608 \mathrm{cm}^2

1. 由三棱柱的定义，理解整个三棱柱的表面积是由两个底面积及三个侧面矩形面积之和构成。

2. 设三角形为ABC，B为三角形底的左侧顶点，ABC逆时针取顶点，过A点有AH垂直BC于H。已知三角形的底边长为12 cm，由题意和直角三角形定义可知，三角形ABH和AHC均为直角三角形，由直角三角形全等判定（斜边、直角边）可知，三角形ABH和三角形AHC全等，所以HC＝12/2。依据勾股定理，即在直角三角形中可以表示两直角边a、b与斜边c的关系公式为 a² + b² = c²，可以找出三角形的高度x。

3. 根据勾股定理(a² + b² = c²)对设定的数值套用，10² = (12/2)² + x²，即100 = 36 + x²，求解得 x² = 64 ，故 x = 8 cm。因此，三角形的高是 8 cm。

4. 利用三角形的面积公式 Area = 1/2 * base * height 计算三角形面积 = 1/2 * 12 cm * 8 cm = 48 cm²。

5. 三棱柱的表面积等于两个三角面相加，再加上三个矩形面的面积的和。

6. 两个三角底面积加和：2 * 48 cm² = 96 cm²。

7. 一个侧面为12 cm（一个三角形底边） * 16 cm（三角柱的高） = 192 cm²。

8. 另两个矩形侧面为 10 cm（梯形的斜边） * 16 cm（整个柱的高）因此两个相同大小的侧面的面积是：2 * (10 cm * 16 cm) = 320 cm²。

9.     由三棱柱表面积公式有，三个侧面和两边的总表面积为 96 cm² + 192 cm² + 320 cm² = 608 cm²。

10. 经过上述推理，最终得出答案为608 cm²。

Area Formula of a Triangle

The area of any triangle is equal to its base multiplied by its height, divided by 2.

在本题图中，<note>三角形的底边是12 cm</note>，<note>高是8 cm</note>。根据<note>三角形的面积公式</note>，三角形的面积等于<note>底边乘以高再除以2</note>，即面积 = (12 cm * 8 cm) / 2 = 48 cm²。

Pythagorean Theorem

In a right-angled triangle, the square of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of the two legs.

<note>直角三角形的两直角边分别是 6 cm (12/2)</note> 和 <note>x cm</note>，<note>斜边是 10 cm</note>。根据勾股定理，<note>斜边的平方等于两条直角边的平方和</note>，即 10² = (12/2)² + x²。因此，100 = 36 + x²，求解得 x² = 64，故 <note>x = 8 cm</note>。因此，<note>三角形的高是 8 cm</note>。

Surface Area Formula for a Triangular Prism

The surface area of a triangular prism is equal to the sum of the areas of its two triangular bases plus the sum of the areas of its three rectangular lateral faces, that is, Surface Area = 2 * Base Area + Lateral Area.

'在本题图中，三棱柱中，<note>底面是三角形，侧面是矩形</note>。根据三棱柱表面积公式，<note>三棱柱的表面积等于两个底面面积之和加上三个侧面面积之和</note>。具体来说：1. <note>底面三角形的面积为Base Area =1/2 * 12 cm * 8 cm = 48 cm²</note>。2. <note>三个侧面矩形的面积分别为Lateral Area1=12 cm * 16 cm = 192 cm², Lateral Area2=10 cm * 16 cm=160cm², 和Lateral Area3=10 cm * 16 cm=160cm²</note>。因此，<note>三棱柱的表面积Surface Area = 2 * Base Area + Lateral Area1 + Lateral Area2 + Lateral Area3=2 * 48 cm² + 192 cm² +160cm²+160cm² = 608 cm²</note>。'


Question: 求图中圆柱的体积，其高度为8 cm，答案保留到小数点后两位。

Answer: Volume \$=904.78 \mathrm{~cm}^{3}\$

1. 已知圆柱的半径为6 cm，高度为8 cm。

2. 圆柱的体积的公式为 V = π × r² × h，其中 r 是圆的半径，h 是圆柱的高。

3. 将已知的 r = 6 cm 和 h = 8 cm 代入公式，计算得 V = π × (6 cm)² × 8 cm。

4. 进一步计算得 V = π × 36 cm² × 8 cm = 288π cm³。

5. 计算近似值时，取 π ≈ 3.14159，得到 V ≈ 3.14159 × 288 cm³。

6. 进行乘法计算得到 V ≈ 904.77872 cm³。

7. 按要求保留两位小数，圆柱体的体积为 904.78 cm³。

n. 经过上述推理，最终得出答案为 904.78 cm³。

Cylinder

A cylinder is a geometric solid consisting of two parallel and congruent circular bases and a curved lateral surface connecting the bases.

在本题图中，<note>圆柱体由两个平行且相同的圆形基底和一个侧面组成</note>。<note>基底是两个完全相同的圆形</note>，<note>它们的半径为6 cm</note>，且它们的中心在同一条直线上。<note>侧面是一个矩形，当展开时，其高度等于圆柱体的高8 cm</note>，<note>宽度等于圆周的周长</note>。

Definition of Radius

<note>在本题图中，圆柱的底面是一个圆，圆心为圆心，圆周上的任意一点到圆心的距离为6 cm</note>，因此该线段是圆的半径。

Height of a Cylinder

The height of a cylinder is the perpendicular distance between its two circular bases.

<note>圆柱的高度 h 为 8 cm</note>，即<note>两个底面圆之间的垂直距离为 8 cm</note>。

Volume Formula of Cylinder

The volume of a cylinder is equal to the area of its base multiplied by its height. \( V = \pi r^2 h \), where \( r \) is the radius of the base of the cylinder, and \( h \) is the height of the cylinder.

<note>圆柱半径 r=6 cm</note> 和 <note>高度 h=8 cm</note>，将这两个值代入公式计算得出体积 V = π × <note>(6 cm)²</note> × <note>8 cm</note> = 288π cm³。


Question: 求图中所示图形的表面积。标记的两条边长度相同。

Answer: 120 \mathrm{cm}^2

1. 分析图形，发现该图形由一个较大的长方体和一个较小的长方体组合而成。

2. 首先计算较大的长方体的表面积。其尺寸为长12 cm，宽1 cm，高1 cm。

3. 长方体的表面积公式为：2 (长 * 宽 + 长 * 高 + 宽*高)。运用此公式，得出：较大长方体的表面积 = 2 (12 cm * 1 cm + 12 cm * 1 cm + 1 cm * 1 cm) = 2 (12 + 12 + 1) = 2 * 25 = 50 cm²。

4. 然后计算较小的长方体的表面积。其尺寸为长4 cm，宽1 cm，高7 cm。

5. 运用长方体的表面积公式，得出：较小长方体的表面积 = 2 (4 cm * 1 cm + 4 cm * 7 cm + 1 cm * 7 cm) = 2 (4 + 28 + 7) = 2 * 39 = 78 cm²。

6. 接下来计算组合后的图形的重叠部分，这会减少表面积的总和。重叠部分是两长方体之间相接的部分，其面积为：(4 cm * 1 cm)，因为两个长方体算入了两次，所以等于4 * 2 = 8 cm²。

7. 最后将单个长方体表面积处理好，减去移重部分后，得出组合图形的总表面积为：较大长方体表面积+较小长方体表面积-重叠部分=50 cm² + 78 cm² - 8 cm²。

n. 计算结果得出总表面积为120 cm²。

8. 经过上述推理，最终得出答案为：120 cm²。

Definition of Rectangular Prism

<note>大长方体的尺寸为12 cm × 1 cm × 1 cm</note>，<note>小长方体的尺寸为4 cm × 1 cm × 7 cm</note>。

<note>大长方体的表面积</note> = 2 × (<note>12 cm × 1 cm</note> + <note>12 cm × 1 cm</note> + <note>1 cm × 1 cm</note>) = 2 × 25 cm² = 50 cm²。<note>小长方体的表面积</note> = 2 × (<note>4 cm × 1 cm</note> + <note>4 cm × 7 cm</note> + <note>1 cm × 7 cm</note>) = 2 × 39 cm² = 78 cm²。


Question: 求所示棱柱的体积。棱柱的高度为2cm。

Answer: \$299 \mathrm{~cm}^{3}\$

1. 如图所示，这是一个由梯形底面绕边轴平移形成的楔形棱柱。棱柱的底面形状是一个梯形，其上底为7cm，下底为16cm，二底之间的距离(即梯形的高)为2cm。

2. 根据梯形面积公式，梯形面积= (1/2) * (上底 + 下底) * 高，得出：梯形面积 = (1/2) * (7cm + 16cm) * 2cm。

3. 计算梯形的面积：= (1/2) * (23cm) * 2cm = (1/2) * 46cm² = 23cm²。

4. 由棱柱的体积公式，底面积*高，得出：

5. 底面积 =23cm²，高 = 13cm，所以棱柱体积= 23cm² * 13cm.

6. 最终计算棱柱体积得23cm² * 13cm = 299cm³

Definition of Trapezoid

A quadrilateral is a trapezoid if and only if it has exactly one pair of parallel sides.

在本题图中，图形的底面是一个<note>梯形</note>，其<note>上底为7cm</note>，<note>下底为16cm</note>，<note>两底之间的距离即为梯形的高2cm</note>。<note>梯形的两条非平行边是图中两条较短的斜边</note>。

Definition of Prism

A prism is a polyhedron with two parallel and congruent polygonal bases, and all other faces are parallelograms.

<note>该楔形棱柱的底面是一个梯形（上底为7cm，下底为16cm，高为2cm）</note>，棱柱的高是<note>13cm</note>。

Trapezoid Area Formula

Given a trapezoid with the lengths of its two parallel sides as \(a\) and \(b\), and the height between these sides as \(h\), the area of the trapezoid is given by \(\frac{(a + b) \cdot h}{2}\).

<note>梯形底面中，边7cm和边16cm是两条平行边</note>，<note>边2cm是它们之间的高度</note>，所以梯形的面积为(7cm + 16cm) * 2cm / 2。

Volume Formula of Prism

The volume of a prism is equal to the base area multiplied by the height.

在本题图中，利用棱柱体积公式求解整个棱柱的体积：体积 = <note>23cm² (底面积)</note> * <note>13cm (高)</note> = 299cm³。


Question: 已知如下的正方形金字塔。底边长为10cm。求该正方形金字塔的体积。

Answer: 200 \mathrm{cm}^3

1. 已知正方形金字塔，其底部为边长为10cm的正方形。

2. 据图可知尖端至正方形中心的垂直距离即为高，为6cm。

3. 根据正方形面积公式，可得其面积为10cm×10cm=100平方厘米。

4. 根据棱锥体积公式，体积 V = (1/3)×底面积×高。

5. 代入具体数值，V = (1/3)×100平方厘米×6cm。

6. 计算得V = 200立方厘米。

7. 经过上述推理，最终得出答案为200立方厘米。

Definition of Square

A quadrilateral is a square if and only if all four sides are congruent (≅) and all four interior angles are right angles (90°).

在本题图中，<note>底边正方形的四条边长均为 10 cm</note>，<note>且四个角均为直角（90度）</note>，所以底边是一个正方形。

Area Formula for Square

The area of a square is equal to the square of its side length, that is, Area = side length × side length.

<note>正方形的边长为10 cm</note>，因此其面积为 <note>10 cm × 10 cm = 100 平方厘米</note>。

Volume Formula of Pyramid

The volume \( V \) of a pyramid is equal to one third of the product of its base area and its height. Mathematically, this is expressed as: \( V = \frac{1}{3} \times \text{Base Area} \times \text{Height} \).

<note>底面积为100平方厘米</note>，<note>高为6 cm</note>。因此体积 V = (1/3) × <note>100平方厘米</note> × <note>6 cm</note>。根据公式最终得 V = 200 立方厘米。


Question: 如图所示，棱柱的高度为9cm。求所示棱柱的体积。

Answer: 270 \mathrm{cm}^3

1. 题目已知：棱柱的高为9厘米，底面面积A=30平方厘米。

2. 棱柱的体积公式为：体积=底面积×高。

3. 将已知条件代入体积公式得：体积=30平方厘米×9厘米。

4. 计算得：体积=270立方厘米。

5. 经过上述计算，最终得出答案为270立方厘米。

Definition of Prism

<note>在本题图中，棱柱的两个相同底面分别是该五边形的两个面</note>，<note>侧面为连接两个底面各边的矩形面</note>。

Volume Formula of Prism

<note>将已知底面积A = 30 平方厘米和高h=9厘米代入体积公式</note>，体积 = <note>底面积 × 高 = 30 平方厘米 × 9 厘米</note> = 270 立方厘米。


Question: 求图中三棱柱的表面积。高为21 cm。底面是一个等腰三角形。

Answer: 768 \mathrm{cm}^2

1. 已知三棱柱的底面是一个等腰三角形，腰长为10 cm，底边长为12 cm，可以看到三角形底部的高为8 cm。

2. 根据三角形面积公式，三角形面积是 1/2 * 底边 * 高。因此底面三角形的面积为1/2 * 12 cm * 8 cm = 48 cm²。

3. 三棱柱的表面积由两个底面三角形和三个矩形面组成。

4. 三个矩形面中：一面来自沿着三角形底边旋转，这个矩形的面积为21 cm * 12 cm = 252 cm²。

5. 另外两个面来自于这两个腰 (10 cm each) 的旋转，我们获得两个相等的矩形，因此每一个矩形的面积都是 21 cm * 10 cm = 210 cm²。

6. 因此，两腰的矩形总面积为2 * 210 cm² = 420 cm²。

7. 所以整个三棱柱的表面积 = 2 * 底三角形的面积 + 底边的矩形的面积 + 腰的矩形区域的面积。

8. 表面积总计为2 * 48 cm² + 252 cm² + 420 cm² = 768 cm²。

9. 经过上述推理，最终得出答案为768 cm²。

Area Formula of a Triangle

在本题图中，<note>三角形底边为12 cm</note>，<note>高为8 cm</note>。根据三角形的面积公式，三角形的面积等于<note>底边乘以高再除以2</note>，即<note>面积 = (12 cm * 8 cm) / 2 = 48 cm²</note>。

Definition of Isosceles Triangle

A triangle is an isosceles triangle if and only if it has at least two congruent (≅) sides.

在本题图中，<note>三角形的两腰长度均为10 cm</note>，<note>底边长度为12 cm</note>，因此该三角形是一个<note>等腰三角形</note>。

Formula for the Area of a Rectangle

The area of a rectangle is equal to its length multiplied by its width.

在本题图中，矩形的面积公式应用如下：
1) 沿着<note>三角形底边形成的矩形面积</note>为21 cm * 12 cm = 252 cm²；
2) <note>两个沿着三角形腰形成的矩形面积</note>，每一个的面积为21 cm * 10 cm = 210 cm²，故总面积为2 * 210 cm² = 420 cm²。

<note>整个三棱柱的表面积 = 2 * 底面三角形的面积 + 底边的矩形的面积 + 两腰的矩形区域的面积</note>。根据计算为<note>2 * 48 cm² + 252 cm² + 420 cm² = 768 cm²</note>。


Question:
求图中圆锥的表面积。半径为3cm。

将答案保留到小数点后两位。

Answer: 122.52 \mathrm{cm}^2

1. 已知圆锥的底面半径 r 为 3 cm，斜高 l 为 10 cm。

2. 为了计算圆锥的表面积，首先需要计算底面圆的面积。底面圆的面积公式为 A_circle = πr^2。

3. 带入已知条件, r=3 cm，可以得到底面圆的面积 A_circle = π × (3)^2 = 9π cm²。

4. 接下来计算侧面积。侧面积的公式为 A_side = πrl，即等于底面圆的周长 πr 乘以斜高 l。

5. 带入已知条件, r=3 cm 和 l=10 cm，可以得到侧面面积 A_side = π × 3 × 10 = 30π cm²。

6. 将底面面积和侧面面积加起来得出总的表面积 S_total = A_circle + A_side = 9π + 30π = 39π cm²。

7. 计算39π的近似值，即S_total = 39 × 3.14159 ≈ 122.522113 cm²。

8. 将最后计算出的值四舍五入保留到小数点后两位，即122.522113 ≈ 122.52 cm²。

9. 经过上述推理，最终得出答案为: 圆锥的表面积是122.52 cm²。

Definition of Cone

A cone in three-dimensional space is a surface generated by rotating a line segment (generatrix) around a fixed straight line (axis) belonging to a plane of a circle, which is not collinear with the endpoint (vertex). The surface consists of the conical surface and the base (circle).

在本题图中，<note>圆锥的平面基底是底面圆</note>，其<note>半径为 r=3 cm</note>，<note>顶点是圆锥的顶部</note>，底面圆和顶点之间的线段表示<note>斜高 l=10 cm</note>。

Area Formula of a Circle

The area of a circle is given by the formula A = πr², where A represents the area, π (pi) is the mathematical constant approximately equal to 3.14159, and r is the radius of the circle.

<note>圆锥的底面圆的半径是3 cm</note>，根据圆的面积公式，<note>圆的面积A等于圆周率π乘以半径3的平方</note>，即<note>A_circle = π × 3² = 9π cm²</note>。

Lateral Surface Area of a Cone

The lateral surface area \(A\) of a cone is calculated using the formula \(A = \pi r l\), where \(r\) is the radius of the base circle and \(l\) is the slant height of the cone.

<note>底面圆的半径 r=3 cm</note>，<note>圆锥的斜高 l=10 cm</note>，因此<note>侧面积 A_side = π × 3 × 10 = 30π cm²</note>。

Formula for the Surface Area of a Cone

The total surface area of a cone is equal to the sum of the base area and the lateral surface area.

在本题图中，圆锥的底面是一个圆，其<note>半径为3 cm</note>，底面积为<note>π(3)^2 = 9π cm²</note>。圆锥的侧面展开后是一个扇形，其<note>半径为斜高10 cm</note>，扇形的弧长等于底面的<note>周长2π(3) = 6π cm</note>。侧面积等于扇形的面积，即<note>π(3)×10 = 30π cm²</note>。圆锥的总表面积等于底面积加上侧面积，所以总表面积为<note>9π + 30π = 39π cm²</note>。


Question:
求该金字塔的表面积。垂直高度为8mm。

将你的答案四舍五入到小数点后两位。

Answer: 288.6 \mathrm{m}^2

1. 已知底面是正方形，边长为10毫米，根据《正多边形面积公式》，正方形的面积等于其边长的平方，即10毫米×10毫米=100平方毫米。

2. 四个侧面均为相同的等腰三角形，顶点的垂直高度已知为8毫米。

3. 在侧面，即底边中点连接到端点的直角三角形中，可以形成勾股定理来帮助计算，底边的一半是5毫米，使用《勾股定理》a² + b² = c²，在此a为塌线8毫米，b为底边一半5毫米，c为斜边长度未知。

4. 解方程8² + 5² = c²，等于64 + 25 = c²，c² = 89，得出c即为斜边长度√89，可以近似为9.43毫米。

5. 依据《三角形面积公式》，每个三角形面积等于1/2 × 底边长（10毫米） × 高（由第4步计算的斜边9.43毫米），约为47.15平方毫米。

6. 整个表面积等于底面面积加上四个侧面面积，100平方毫米 + 4×47.15平方毫米 = 100平方毫米 + 188.60平方毫米 = 288.60平方毫米。

7. 经过上述推理步骤，最终得出答案为表面积是288.60平方毫米。

Definition of Regular Polygon

A polygon is a regular polygon if and only if all its sides are of equal length and all its interior angles are equal.

<note>底面是一个正方形</note>，对于这个正方形，<note>它的每一条边长为10毫米</note>，并且<note>每一个内角都是90度</note>。因此，<note>底面是一个正多边形</note>。

Definition of Isosceles Triangle

<note>四个侧面都是等腰三角形</note>，每个等腰三角形的<note>两条相等边分别是斜边(约为9.43毫米)和另一条斜边（约为9.43毫米）</note>。

Area Formula for Square

在本题中，<note>底面的正方形面积</note>为<note>10毫米 × 10毫米</note> = <note>100平方毫米</note>。

Pythagorean Theorem

In a right-angled triangle, the square of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of the two legs.

在本题中，侧面等腰三角形的<note>底边的一半是5毫米</note>，<note>高度是8毫米</note>，因此采用勾股定理计算<note>斜边长度c</note>：a² + b² = c²，其中a为<note>8毫米</note>，b为<note>5毫米</note>，c为<note>斜边长度</note>。根据勾股定理，<note>8² + 5² = c²</note>，即<note>c² = 89</note>，得出<note>斜边长度为√89 ≈ 9.43毫米</note>。

Area Formula of a Triangle

The area of any triangle is equal to its base multiplied by its height, divided by 2.

<note>侧面等腰三角形中，底边是10毫米</note>，<note>垂直高度是8毫米</note>。根据三角形的面积公式，三角形的面积等于<note>底边10毫米乘以高9.43毫米再除以2</note>，即面积 = (<note>10毫米 * 9.43毫米</note>) / 2。


Question: 一个金字塔从一个长方体中被移除，如图所示。长方体的高度为8cm。求这个复合固体的体积。

Answer: 720 \mathrm{cm}^3

1. 已知矩形棱柱的体积计算公式为：长 * 宽 * 高。题中给出的长为15 cm，宽为9 cm，高为8 cm。

2. 根据矩形棱柱的体积公式，体积为：长 * 宽 * 高 = 15 cm * 9 cm * 8 cm = 1080 立方厘米。

3. 从矩形棱柱中移除的棱锥的底面积是与矩形棱柱的底面相同，即底面积为长 * 宽 = 15 cm * 9 cm = 135 平方厘米。

4. 移除的棱锥高为矩形棱柱的高，且高为8 cm。棱锥的体积计算公式是1/3 * 底面积 * 高。

5. 根据棱锥的体积公式，体积为：1/3 * 底面积 * 高 = 1/3 * 135 平方厘米 * 8 cm = 360 立方厘米。

6. 复合立体的体积可以通过用棱柱的体积减去移除的棱锥的体积来得到。

7. 因此，复合立体的体积 = 矩形棱柱体积 - 移除的棱锥体积 = 1080 立方厘米 - 360 立方厘米 = 720 立方厘米。

8. 经过上述推理，最终得出答案为720 立方厘米。

Definition of Rectangular Prism

A rectangular prism is defined as a three-dimensional geometric figure formed by six rectangular faces, where three mutually adjacent faces respectively define the length, width, and height.

在本题图中，矩形棱柱的底面是<note>15 cm * 9 cm的矩形</note>，上底面也是同样大小的矩形。高为<note>8 cm，即两个底面之间的距离</note>。图中两个底面每个矩形的<note>四个顶点分别标示直角符号，显示其为矩形</note>。

Definition of Pyramid

A pyramid is a polyhedron formed by connecting a polygonal base with a point not in the same plane as the base (the apex) using line segments from each vertex of the polygon to the apex.

在本题图中，移除的<note>棱锥底面</note>与<note>矩形棱柱底面</note>相同，且<note>底面积为15 cm * 9 cm的矩形</note>。<note>棱锥的侧面与底面垂直</note>且<note>顶点位于棱柱的底面中央点</note>。图中显示底面四个顶点分别与<note>顶点形成四条斜面线段</note>。

Volume Formula of Rectangular Prism

The volume of a rectangular prism is equal to the product of its length, width, and height.

<note>矩形棱柱的底面积为15 cm * 9 cm</note>，而高为<note>8 cm</note>。因此，矩形棱柱的体积计算为<note>15 cm * 9 cm * 8 cm = 1080 cm³</note>。

Volume Formula of Pyramid

<note>移除的棱锥底面积与矩形棱柱相同为15 cm * 9 cm</note>，而<note>高也为8 cm</note>。因此，棱锥的体积计算为<note>1/3 * 135 cm² * 8 cm</note> = 360 cm³。


Question: 如图所示，该立体图形由一个圆锥和半球体构成。圆锥的高为12cm。求所示复合图形的体积，精确到小数点后两位。

Answer: 169.65 \mathrm{cm}^3

1. 已知半球的半径为3厘米，半球的半径=圆锥的底面积圆的半径=3厘米。

2. 半球体积公式为：V_半球 = (2/3) * π * (半径)^3。带入数值计算：V_半球 = (2/3) * π * (3)^3 = 18π cm³。

3. 对于圆锥，我们已知圆锥的底面半径r=3厘米，高度h=12厘米，采用圆锥的体积公式：V_圆锥 = (1/3) * π * r^2 * h 。带入数值计算：V_圆锥 = (1/3) * π * (3)^2 * 12 = 36π cm³。

4. 复合体积包括圆锥体积和半球体积，所以复合立体的总体积为：V_总 = V_圆锥 + V_半球 = 36π + 18π = 54π cm³。

5. 最后，求此总体积并精确到小数点后两位：V_总 = 54π ≈ 169.65 cm³

6. 经过上述推理，最终得出答案为169.65 cm³。

Definition of Hemisphere

A hemisphere is a three-dimensional geometric shape that constitutes half of a sphere, including half of the sphere's surface area and a circular base area.

<note>该半球的半径为3厘米</note>，因此<note>半球的直径为6厘米</note>。

Definition of Cone

<note>该圆锥的底面圆的半径为3厘米</note>，<note>高度为12厘米</note>。

Volume Formula of a Hemisphere

The volume formula of a hemisphere is V = (2/3) * π * r^3, where r is the radius of the hemisphere.

<note>半球的半径是3厘米</note>，因此通过体积公式计算：<note>V_半球 = (2/3) * π * (3)^3 = 18π cm³</note>。

Volume Formula of a Cone

The formula to calculate the volume of a cone is \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \), where \( r \) is the radius of the base circle and \( h \) is the height of the cone.

<note>圆锥的半径是3厘米</note>，<note>高度是12厘米</note>，因此通过<note>体积公式</note>计算：V_圆锥 = (1/3) * π * (3)^2 * 12 = 36π cm³。


Question: 如图所示，长方体的高度为3cm。求长方体的体积。

Answer: 48 \mathrm{cm}^3

1. 已知该矩形棱柱的长为8厘米，宽为2厘米，高为3厘米。

2. 根据长方体体积公式：体积=长 * 宽 * 高。

3. 插入已知数据：体积 = 8厘米 * 2厘米 * 3厘米。

4. 计算得出结果：体积 = 48立方厘米。

5. 经过上述推理，最终得出答案48立方厘米。

Definition of Rectangular Prism

在本题图中，<note>该几何体的六个面都是矩形</note>，<note>其长为8厘米</note>，<note>宽为2厘米</note>，<note>高为3厘米</note>，所以这是一个长方体。

Volume Formula of Rectangular Prism

<note>该长方体的长为8厘米，宽为2厘米，高为3厘米</note>，根据定义，<note>体积 = 8厘米 * 2厘米 * 3厘米</note>。

Formula for the Area of a Rectangle

<note>长方体的底面（即一个矩形）</note>中，<note>边8厘米和边2厘米是矩形的长和宽</note>，所以<note>矩形的面积</note> = 8厘米 * 2厘米 = 16平方厘米。


Question: 计算图中球的半径，已知圆柱体的体积为13.75\pi cm3。

Answer: 3

1. 已知圆柱体的体积 V_c = 13.75\pi\text{ cm}^3，且 V_c = \pi r^2 h，其中 r 是圆柱的底面半径，h 是圆柱的高度。

2. 圆柱体的已知高度为 h = 5\text{ cm}，代入体积的公式，我们有 \pi r^2 \times 5 = 13.75\pi。

3. 移去体积公式两端的 \pi 后，等式变为 5r^2 = 13.75。

4. 解方程：r^2 = \frac{13.75}{5} = 2.75，故 r = \sqrt{2.75} = \frac{\sqrt{11}}{2}。

5. 在题目条件中，圆柱体被认为是嵌入一个球体。而从图中，依据勾股定理，我们可以推导出球体的直径的平方等于圆柱体的底面圆直径的平方和高度的平方和。于是，直径 = \sqrt{({2r})^2 + h^2}。

6. 代入 r 和 h 的值，计算得直径 = \sqrt{(2\times\frac{\sqrt{11}}{2})^2 + 5^2} = \sqrt{11 + 25} = 6。

7. 由此，球体的半径 R = \frac{6}{2} = 3。

8. 最终，由以上计算可知球的半径 为 3。

Volume Formula of Cylinder

The volume of a cylinder is equal to the area of its base multiplied by its height. \( V = \pi r^2 h \), where \( r \) is the radius of the base of the cylinder, and \( h \) is the height of the cylinder.

<note>圆柱体的体积</note> V_c = 13.75π cm^3，<note>圆柱体的高度</note> h = 5 cm。将这些值代入公式，我们得出了<note>底面半径</note> r = √2.75 = \frac{√11}{2} cm，并由此进行了后续计算。

Radius of a Sphere

The radius R of a sphere is the distance from the center of the sphere to any point on its surface.

<note>我们根据圆柱体的底面直径 2r 和高度 h</note>，通过勾股定理来求出<note>嵌入球体的直径 d = √[(2r)^2 + h^2]</note> = √[11 + 25] = 6 cm，由此可以得出<note>球的半径 R = rac{d}{2} = 3 cm</note>。

Pythagorean Theorem

<note>圆柱体的高度 h = 5 cm</note>，<note>另一条直角边是圆柱体的底面直径 2r = 2 × rac{√11}{2} = √11 cm</note>，<note>斜边即球的直径 d</note>。因此，利用勾股定理我们可以计算出<note>球的直径 d = √[(2r)^2 + h^2] = 6 cm</note>。


Question: 如图所示，圆柱形水箱的高度为3x。圆柱形水箱以每秒3\pi x升的恒定速度漏水（其中x是一个固定未知数）。如果水箱最初是满的，计算(2x+2)^2秒后剩余的水量。请以展开形式给出简化答案。

Answer: 63\pi x^3+66\pi x^2+15\pi x litres

1. 我们知道圆柱体水箱的底面是一个圆，其半径为5x+3。

2. 圆的面积公式为πr^2，因此圆柱体水箱的底面积为π(5x + 3)^2。

3. 已知圆柱体水箱的高度为3x，根据圆柱体体积公式V = 底面积 * 高度，可得水箱的总体积为π(5x + 3)^2 * 3x。

4. 圆柱体水箱最初是满的，所以初始的水量为π(5x + 3)^2 * 3x升。

5. 水从水桶中以3πx升每秒的速度流出。给定时间是(2x + 2)^2秒，那么损失的水量=每秒流出的速度*流失的时间=3πx * (2x + 2)^2

6. 进行计算。首先，(2x + 2)^2 = 4x^2 + 8x + 4。

7. 将计算结果代入步骤5，损失的水量 = 3πx * (4x^2 + 8x + 4)。

8. 损失的水量 = 3πx * (4x^2 + 8x + 4) = 12πx^3 + 24πx^2 + 12πx。

9. 水箱内剩余的水量 = 初始水量 - 损失的水量。

10. 初始水量V_initial = π(5x + 3)^2 * 3x，简化为3πx * ((5x)^2 + 2 * 5x * 3 + 3^2 = (25x^2 + 30x + 9)) = 3πx * (25x^2 + 30x + 9) = 75πx^3 + 90πx^2 + 27πx。

11. 剩余体积 = 初始水量 - 损失的水量，即(75πx^3 + 90πx^2 + 27πx) - (12πx^3 + 24πx^2 + 12πx)。

12. 合并得：剩余体积 =(75πx^3 - 12πx^3) + (90πx^2 - 24πx^2) + (27πx - 12πx)

13. 计算得：剩余体积 = 63πx^3 + 66πx^2 + 15πx

14. 所以，水箱中剩余的水量为63πx^3 + 66πx^2 + 15πx升。

Definition of Circle

A circle is the locus of all points in a plane that are at a fixed distance from a given point.

<note>圆柱形水箱的底面是一个圆</note>，其<note>圆心在底部中心</note>，<note>半径为5x + 3</note>。图中所有到底部中心的距离等于<note>5x + 3</note>的点都在<note>圆底面上</note>。

Area Formula of a Circle

<note>圆柱体水箱的底面是一个圆</note>，其<note>半径是5x + 3</note>。根据<note>圆的面积公式</note>，<note>圆的面积A等于圆周率π乘以半径(5x + 3)的平方</note>，即<note>A = π(5x + 3)²</note>。

Cylinder

A cylinder is a geometric solid consisting of two parallel and congruent circular bases and a curved lateral surface connecting the bases.

在本题图中，<note>圆柱体</note>水箱由<note>两个平行且相同的圆形基底</note>和一个<note>侧面</note>组成。基底是<note>两个完全相同的圆形</note>，它们的<note>半径为5x + 3</note>，且它们的<note>中心在同一条直线上</note>。侧面是一个<note>矩形</note>，当展开时，其<note>高度等于圆柱体的高度3x</note>，<note>宽度等于圆周的周长2π(5x + 3)</note>。

Volume Formula of Cylinder

<note>圆柱体水箱的总体积V = π(5x + 3)^2 * 3x</note>。


Question:
求这个封闭圆柱的高度 h mm，如果其表面积 (S) 是 \$27288\$mm2。

将你的答案四舍五入到最接近的整数。

Answer: 58

Cylinder

在本题图中，<note>圆柱体由两个平行且相同的圆形基底和一个侧面组成</note>。基底是<note>两个完全相同的圆形</note>，它们的<note>半径 r = 43 mm</note>，且它们的<note>中心在同一条直线上</note>。侧面是一个矩形，当展开时，其<note>高度等于圆柱体的高 h mm</note>，<note>宽度等于圆周的周长</note>。

Definition of Radius

A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.

在本题图中，<note>圆柱的底面圆中，圆心到圆上任意一点的线段长度为 43 mm</note>，因此<note>该线段是圆的半径</note>。

Definition of Diameter

A diameter is a line segment that passes through the center of a circle and has its endpoints on the circle. It is the longest chord of the circle, with a length equal to twice the radius of the circle.

<note>圆的直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段</note>，长度为2倍的半径，即<note>直径 = 2r = 2×43 mm = 86 mm</note>。

Surface Area Formula for a Cylinder

The surface area of a cylinder is equal to the sum of the areas of the two bases and the lateral surface area. The total surface area (SA) is given by the formula: SA = 2πr² + 2πrh, where r is the radius of the base circle, and h is the height of the cylinder.

<note>圆柱的表面积 S = 27288 mm²</note>，<note>底面圆的半径 r = 43 mm</note>，圆柱的高为 <note>h mm</note>。因此，根据公式，我们有 <note>S = 2π(43)² + 2π(43)h</note>。


Question: 一个矩形棱柱的尺寸如图所示。高度为5。求AG的长度。答案以根号形式表示。

Answer: \sqrt{122}

1. 已知ABCD-EFGH是一个长方体，长宽高分别是EF=9，GF=4，AE=5。

2. 问题要求求出线段AG的长度。由于AG是长方体对角线（空间对角线）的一部分，而该对角线会穿过立体的长宽高故其公式为长方体的体对角线公式。

3. 在三维空间中，长方体的体对角线公式为√(长² + 高² + 宽²），具体到该例子AG的长度计算为√(EF² + GF² + AE²)。

4. 代入数据进行计算：EF=9，GF=4，AE=5，代入公式得到AG=√(9² + 5² + 4²)。

5. 对公式中的数据进行平方运算：9²=81，5²=25，4²=16。

6. 将这些值代入：AG=√(81 + 25 + 16)。

7. 计算总和：81 + 25 + 16 = 122。

8. AG的长度即是：AG = √122。

9. 因为题目要求我们将答案留在根式形式，所以，经过上述推理，最终得出答案为√122。

Formula for the Space Diagonal of a Rectangular Prism

The length of the space diagonal of a rectangular prism is equal to the square root of the sum of the squares of the lengths of its three sides.

<note>长方体的长、宽、高分别为a、b、c</note>,那么体对角线的长度d可以通过以下公式来求解: <note>d = √(a² + b² + c²) = x</note>。


Question:
以下立方体的所有边长都相同。

以最简根式形式求出AG的准确长度。

Answer: \sqrt{147}

1. 已知正方体的边长为 7 cm，正方体所有的边长相等。

2. 我们需要找到顶点 A 到顶点 G 的距离 AG。G 是正方体的对角顶点。我们可以通过正方体的体对角线公式来计算。

3. 正方体的两对顶点构成空间对角线。这两个顶点是立方体中在不同顶面上且不在同一条边上的顶点。

4. 对于所求的线段 AG，我们可以用正方体的体对角线公式求出。公式为：如果正方体的边长为 a，则体对角线长 d 是 d = √(3a²)。

5. 代入题中的已知边长数值 a = 7，计算 AG = √147 = 7√3。

6. 将7与√3的乘积作为最终答案。

7. 因此，通过上述推理步骤计算得到的顶点 A 和 G 的距离 AG 为 7√3。

Definition of Cube

A cube is a three-dimensional geometric figure with six faces, all of which are squares.

<note>在本题图中，正方体的每条边的长度都是7 cm</note>。具体来说，<note>边 AB、BC、CD、DA、EF、FG、GH、HE 都是7 cm</note>。

Formula for Space Diagonal of a Cube

The length of the space diagonal (d) of a cube is equal to the side length (a) multiplied by the square root of 3 (√3).
Formula: \( d = a\sqrt{3} \)

<note>在本题图中，正方体的边长为7</note>,<note>体对角线d=√(3 * 7²)=√147=7√3</note>。


Question: 求所示三棱柱的表面积。高度为20 cm。

Answer: 528 \mathrm{cm}^2

1. 已知该六面体是一个三棱柱，通过观察，我们可以看到它的底部是一个直角三角形。

2. 直角三角形的两条直角边长分别是6厘米和8厘米（这两个边分别标记在图中）。

3. 求直角三角形的面积，根据三角形面积公式S=1/2 * 底 * 高，所以面积= 1/2 * 6cm * 8cm = 24平方厘米。

4. 三棱柱的顶部和平行到底部的面是相同的直角三角形构成。

5. 整个六面体的表面积是等于其两个三角底面 加上三个侧面的面积总和。

6. 两个底面的面积加起来是 2 * 24平方厘米 = 48平方厘米。

7. 三个侧面分别都包含一个在矩形侧面，边长为底部三个边（包括斜边）和三棱柱的高度20厘米长。

8. 这三个侧面的面积分别是：

   （直角边为6 cm，20 cm高度的矩形形成的一侧面，面积是: 6cm * 20cm = 120 平方厘米）

   （直角边为8 cm，20 cm高度的矩形形成的一侧面，面积是: 8cm * 20cm = 160 平方厘米）

   （斜边为10 cm，20 cm高度的矩形形成的一侧面，面积是: 10cm * 20cm = 200 平方厘米）

9. 将所有侧面积相加，可以得到侧面积总和为 120  + 160  + 200 = 480平方厘米。

10. 最后将两个底面面积与三个侧面面积相加，得到整个三角棱柱的表面积。

11. 表面积总共为 48平方厘米 (底面积) + 480平方厘米 (侧面积）= 528 平方厘米。

12. 经过上述推理，最终得出答案为 Triangular prism 外表的表面积是528平方厘米。

Definition of Triangular Prism

A triangular prism is a type of hexahedron that is formed by two parallel and congruent triangular bases and three rectangular lateral faces.

<note>在本题图中，整个立体图形就是三棱柱。</note> 它的两个底面是<note>平面三角形</note> (<note>一个底面在图中被标记了边 6 cm 和 8 cm</note>)，而三个侧面是<note>矩形</note>，它们的高度是<note>20 cm</note>。

Definition of Right Triangle

A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.

'在本题图中，底面是一个直角三角形。<note>直角边分别是6 cm和8 cm</note>，<note>直角位于它们的交点处</note>。<note>斜边是10 cm</note>。'

Definition of Rectangle

A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).

在本题图中，三棱柱的三个侧面都是<note>矩形</note>。每个矩形的内角都是<note>直角（90度）</note>，且<note>相对的边互相平行并等长</note>。矩形的边长分别是<note>6 cm, 8 cm 和 10 cm</note>以及<note>高度 20 cm</note>。

Area Formula of a Triangle

The area of any triangle is equal to its base multiplied by its height, divided by 2.

在本题图中，<note>底面的直角三角形中，边6 cm是底，边8 cm是高</note>。根据三角形的面积公式，底面的直角三角形的面积等于<note>底边6 cm乘以高8 cm再除以2</note>，即面积 = (6 cm * 8 cm) / 2 = 24 平方厘米。

Formula for the Area of a Rectangle

The area of a rectangle is equal to its length multiplied by its width.

<note>边6 cm和边20 cm是矩形的长和宽</note>，所以矩形的面积 = 6 cm * 20 cm = 120 平方厘米；
<note>边8 cm和边20 cm是矩形的长和宽</note>，所以矩形的面积 = 8 cm * 20 cm = 160 平方厘米；
<note>边10 cm和边20 cm是矩形的长和宽</note>，所以矩形的面积 = 10 cm * 20 cm = 200 平方厘米。

The surface area of a triangular prism is equal to the sum of the areas of its two triangular bases plus the sum of the areas of its three rectangular lateral faces, that is, Surface Area = 2 * Base Area + Lateral Area.

<note>三棱柱的表面积</note> = 2 * <note>底面面积</note> + <note>侧面面积总和</note> = 2 * 24 平方厘米 + 120 平方厘米 + 160 平方厘米 + 200 平方厘米 = 48 平方厘米 + 480 平方厘米 = 528 平方厘米。


Question: 如图所示，底面的高度为14cm。求棱柱的体积。

Answer: 399 \mathrm{cm}^3

1. 提供的图中出现了一个对称的三棱柱，其中基底由等腰梯形构成，上底长为14 cm，下底长为5 cm，高度为3 cm。

2. 梯形的面积可以使用梯形面积公式：\( A = \frac{1}{2} \times (a + b) \times h \)，其中a和b为上底和下底长度，h为梯形的高。因此：\( A = \frac{1}{2} \times (14 + 5) \times 3 = \frac{1}{2} \times 19 \times 3 = 28.5 \text{ cm}^2 \)。

3. 根据顶部提供的信息，整个几何体即该三棱柱的高为14 cm。

4. 一个棱柱的体积可以通过公式 "V = 基底面积 \times 高" 来计算。因此：\( V = 28.5 \text{ cm}^2 \times 14 \text{ cm} = 399 \text{ cm}^3 \)。

5. 最终，通过以上的详尽推导结论得知该几何体的体积为399 \text{ cm}^3 \。

Definition of Isosceles Trapezoid

A trapezoid is isosceles if and only if its non-parallel sides (legs) are congruent (∅).

<note>基底是一个等腰梯形</note>，其中<note>上底为14 cm</note>，<note>下底为5 cm</note>，<note>高度为3 cm</note>，<note>两腰相等</note>。

Definition of Prism

A prism is a polyhedron with two parallel and congruent polygonal bases, and all other faces are parallelograms.

<note>三棱柱的底面为等腰梯形</note>，<note>上底长为14 cm</note>，<note>下底长为5 cm</note>，<note>梯形的高度为3 cm</note>，<note>棱柱的高度（立体几何中的高）为14 cm</note>。

Trapezoid Area Formula

Given a trapezoid with the lengths of its two parallel sides as \(a\) and \(b\), and the height between these sides as \(h\), the area of the trapezoid is given by \(\frac{(a + b) \cdot h}{2}\).

<note>梯形的上底为14 cm</note>，<note>下底为5 cm</note>，<note>高为3 cm</note>，因此计算其面积为：\( A = \frac{1}{2} \times (14 + 5) \times 3 = 28.5 \text{ cm}^2 \)。

Volume Formula of Prism

The volume of a prism is equal to the base area multiplied by the height.

<note>基底面积为28.5 cm²</note>，<note>棱柱的高度为14 cm</note>，因此计算其体积为：\( V = 28.5 \text{ cm}^2 \times 14 \text{ cm} = 399 \text{ cm}^3 \)。


Question:
一个圆柱体的表面积为54105 ext{mm}^2。

圆柱体的高度h mm应该是多少？

请将答案四舍五入到最接近的整数。

Answer: 30

Cylinder

A cylinder is a geometric solid consisting of two parallel and congruent circular bases and a curved lateral surface connecting the bases.

在本题图中，<note>圆柱体</note>由两个平行且相同的<note>圆形基底</note>和一个<note>侧面</note>组成。<note>基底是两个完全相同的圆形</note>，它们的半径均为 <note>79 mm</note>，且<note>它们的中心在同一条直线上</note>。<note>侧面是一个矩形，当展开时，其高度等于圆柱体的高 h mm，宽度等于圆周的周长</note>。

Definition of Circle

A circle is the locus of all points in a plane that are at a fixed distance from a given point.

<note>圆心</note>为固定点，<note>半径为79 mm</note>。图中<note>所有到圆心的距离等于79 mm的点</note>都在圆柱底面的圆上。

Surface Area Formula for a Cylinder

<note>圆柱体表面积为 54105 mm²</note>，<note>底面半径 r 为 79 mm</note>，高度 h 未知。通过<note>代入公式 2πr² + 2πrh</note>进行计算，即可得到需要的<note>高度 h</note>。


Question: 如图所示，三棱柱的高度为8cm。求三棱柱的体积。

Answer: 32 \mathrm{cm}^3

1. 已知三角柱的侧面为一三角形，其底为4cm，高为2cm。依据三角形面积公式，三角形的面积\( A \)可表示为\( A = \frac{1}{2} \times ext{底} \times ext{高} = \frac{1}{2} \times 4 \text{cm} \times 2 \text{cm} = 4 \text{cm}^2 \)。

2. 根据体积公式，三角柱的体积\( V \)等于底面积\( A \)乘以三角柱的高。题目中已知三角柱的高为8cm。

3. 因此，体积\( V = ext{底面积} \times ext{柱体高} = 4 \text{cm}^2 \times 8 \text{cm} = 32 \text{cm}^3 \)。

4. 经过上述推理，最终得出答案为32立方厘米。

Area Formula of a Triangle

<note>三角形的底是4 cm</note>，<note>高是2 cm</note>。根据三角形的面积公式，三角形的面积等于底边乘以高再除以2，即面积 = (<note>4 cm</note> * <note>2 cm</note>) / 2 = 4 cm^2。

Volume Formula of Prism

在本题图中，<note>底面积为4 cm\(^2\)</note>，<note>三角柱的高为8 cm</note>，因此体积 \( V = 4 \text{cm}^2 \times 8 \text{cm} = 32 \text{cm}^3 \)。

Definition of Right Triangle

在本题图中，<note>三角形的一个角为直角（90度）</note>，因此这个三角形是直角三角形。<note>边长4 cm和边长2 cm是直角边</note>。


Question:
在上图中，圆柱体的半径为3。如果把矩形容器中的所有水倒入圆柱体中，水位从\$h\$英寸上升到\$(h+x)\$英寸。以下哪个选项是\$x\$值的最佳近似值？
选项：
A:3
B:3.4
C:3.8
D:4.2

Answer: D

1. 将长方体容器的水全部倒入圆柱后，圆柱中的水位由 \$h\$ 英寸上升到 \$(h+x)\$ 英寸。此时，长方体容器内的水体积等于圆柱新增加的水体积。

2. 计算长方体容器内的水体积。容器为长方体，其长度为 6 英寸，宽度为 5 英寸，水深为 4 英寸。因此，容器内水的体积为 \$V_{rectangular} = 6 \times 5 \times 4 = 120\$ 立方英寸。

3. 计算水注入圆柱后增加部分的体积。圆柱的底面积为 \$\pi \times (3)^2 = 9\pi\$平方英寸。所以增加的水体积为 \$V_{cylinder} = 9\pi \times x\$ 立方英寸。

4. 列出等量关系：从长方体容器中倒到圆柱中的水的体积应相等，即 \$120 = 9\pi \times x\$。

5. 求解方程 \$120 = 9\pi x\$，得 \$x = \frac{120}{9\pi}\$。

6. 计算 \$x = \frac{120}{9\pi} \approx 4.24\$，这里采用 \$\pi \approx 3.14\$。

7. 根据选项，4.2 是 4.24 的最佳近似。因此，选项 D 是正确答案。

8. 经过上述推理，最终得出答案为选项 D，即 4.2。

Volume Formula of Rectangular Prism

The volume of a rectangular prism is equal to the product of its length, width, and height.

<note>长方体的长度为 6 英寸，宽度为 5 英寸，高度为 4 英寸</note>。 因此，长方体的体积 V_rectangular = 6 × 5 × 4 = 120 立方英寸。

Area Formula of a Circle

The area of a circle is given by the formula A = πr², where A represents the area, π (pi) is the mathematical constant approximately equal to 3.14159, and r is the radius of the circle.

<note>圆柱的底面是一个半径为 3 英寸的圆</note>。因此，<note>底面积为 π × (3)^2 = 9π 平方英寸</note>。

Volume Formula of Cylinder

The volume of a cylinder is equal to the area of its base multiplied by its height. \( V = \pi r^2 h \), where \( r \) is the radius of the base of the cylinder, and \( h \) is the height of the cylinder.

<note>增加的水的高度为 x</note>，因此增加的水体积 <note>V_cylinder = 9π × x 立方英寸</note>。


Question:
上图显示了一个高度为 \$
abla{3} x\$ 的三棱柱。如果该棱柱的体积为 \$rac{81}{4}\$，那么 \$x\$ 的值是多少？

Answer: A

1. 首先了解到棱柱的体积公式为底面积乘以高，即: 体积 = 底面积 × 高。

2. 已知三棱柱的一个底面是等边三角形，且边长为 x。由于等边三角形的面积公式为 (√3 / 4) × 边长^2, 所以底面积 = (√3 / 4) × x^2。

3. 在题目中，棱柱的高为 √3 × x。

4. 替换所提供的信息到体积公式中，体积为 V = ((√3 / 4) × x^2) × (√3 × x)。

5. 解简为 V = (3√3 / 4) × x^3。

6. 根据题目给出的体积的具体数值 V 此时等于 81/4。

7. 列方程 (3√3 / 4) × x^3 = 81/4。

8. 两侧同时乘以 4/3√3 得到 x^3 = 27。

9. 通过解方程得出 x 的三次方等于27, 即 x = 3。

10. 根据选项来看, 符合 x = 3 为选项A。

11. 经过上述推理，最终得出答案为 x = 3。

Definition of Equilateral Triangle

An equilateral triangle is a triangle in which all three sides have the same length, and all interior angles are equal (each measuring 60°).

<note>底面三角形是一个等边三角形</note>。边长分别为 <note>x、x 和 x</note>，<note>每个内角均为 60°</note>。

Area Formula of a Triangle

<note>底面等边三角形的边长为 x</note>，根据等边三角形的面积公式，<note>底面积 = (√3 / 4) × x^2</note>。

Volume Formula of Prism

<note>三棱柱的底面积为（√3 / 4）× x^2</note>，高为<note>√3 x</note>，因此此<note>三棱柱的体积为（√3 / 4）× x^2 ×√3 x</note>。


Question: 如图所示，矩形棱柱的高度为10cm。计算图中矩形棱柱的体积。

Answer: \$1690cm^2\$

1. 已知该矩形棱柱的高为10cm，并且底面为正方形(依据矩形的定义可知，矩形棱柱的底的四边相等，符合正方形定义）设为ABCD，其边长均为13cm。

2. 根据棱柱的体积公式：体积 = 底面积 × 高，其中底面是正方形，由正方形面积公式得出底面积为13cm × 13cm。

3. 计算底面积：13 × 13 = 169平方厘米。

4. 根据第二步和第三步，得到体积：169平方厘米 × 10厘米 = 1690立方厘米。

5. 经过上述推理，最终得出答案为1690立方厘米。

Definition of Square

A quadrilateral is a square if and only if all four sides are congruent (≅) and all four interior angles are right angles (90°).

<note>正方形ABCD</note>中，<note>边AB、边BC、边CD和边DA相等</note>，且<note>角A、角B、角C和角D均为直角（90度）</note>。因此，<note>正方形ABCD</note>的<note>四条边相等且四个内角均为直角（90度）</note>，符合正方形的定义。

Area Formula for Square

The area of a square is equal to the square of its side length, that is, Area = side length × side length.

<note>正方形ABCD中，边AB是正方形的一条边</note>，边长为13。因此，根据正方形的面积公式<note>正方形ABCD的面积A = 13²</note>。

Volume Formula of Prism

<note>底面ABCD的面积为169</note>，<note>棱柱的高为10</note>。所以根据棱柱的体积公式，棱柱的体积等于<note>底面积169乘以高10</note>。

Definition of Rectangle

<note>底面是一个正方形</note>。底面的边长均为<note>13cm</note>，同时每个角都是<note>直角（90度）</note>，且相对的边互相平行并等长。


Question: 该正四棱锥的高为7mm。求图中正四棱锥的准确体积。

Answer: \frac{847}{3} \mathrm{mm}^3

1. 已知正棱锥的高为7mm，根据几何特征图，我们可以确定该正四棱锥底面是一个正方形。

2. 根据正方形的性质，它的边都是相等的。由于底边的边长是正方形边长的对应部分之一，给定每条边为11mm，所以正方形底面的边长为11mm。

3. 在计算正方形底面积的时候，根据正方形的面积公式A = a^2，其中a为正方形的边长。这一点可以根据底面上的图确认。代入正方形边长a = 11mm : A = 11 * 11 = 121mm^2。

4. 计算正棱锥体积公式V = (1/3) * A * h，其中A代表底面积，h为垂直高。代入刚刚计算的底面积A = 121mm^2 和垂直高h = 7mm 得出：

5. 计算体积V = (1/3) * 121 * 7 = 847/3 mm^3。

6. 经过上述推理，最终得出正棱锥的确切体积为: 847/3mm³。

Definition of Square

<note>底面是一个正方形</note>，其中<note>四条相等的边分别为11 mm</note>，且<note>四个内角均为直角（90度）</note>。

Definition of Regular Pyramid

A regular pyramid is defined as a pyramid in which the base is a regular polygon, and each of the lateral faces is an identical isosceles triangle.

<note>底面是一个边长为11mm的正方形</note>，<note>正棱锥的高是7mm</note>。

Area Formula for Square

<note>正方形底面的边长为11mm</note>，底面面积<note>A = 11mm * 11mm = 121 mm²</note>。

Volume Formula of Pyramid

The volume \( V \) of a pyramid is equal to one third of the product of its base area and its height. Mathematically, this is expressed as: \( V = \frac{1}{3} \times \text{Base Area} \times \text{Height} \).

<note>底面积A = 121 mm²</note>且<note>高h = 7mm</note>，代入公式得出体积<note>V = (1/3) * 121 * 7 = 847/3 mm^3</note>，即<note>rac{847}{3} mm³</note>。


Question:
以下是一个底边为边长16cm的正方形的直角棱锥。直角棱锥的顶点直接位于其底面中心的正上方。

求VW的长度，即棱锥的垂直高度，精确到小数点后两位。

Answer: 23.41

1. 已知正方形底面为ABCD，底面中心为点W。

2. 在ABCD中，由于底是一个正方形，边长是16厘米，因此对角线AC可以用勾股定理（毕达哥拉斯定理）计算得出。

3. AC = √(AB^2 + BC^2) = √(16^2 + 16^2) = √512 cm。

4. 根据正方形的对角线性质可得，AW=WC=1/2AC=(√512)/2=8√2。即AW = 8√2。

5. 在△VAW中，已知VW为垂直高度，那么VW⊥AC，根据直角三角形的定义，∠VWA为直角三角形。已知VA = 26 cm，根据勾股定理（毕达哥拉斯定理），VA = √(VW^2 + AW^2)。

6. 将AW和VA代入，得到26^2 = (8√2)^2 + VW^2。

7. 化简：676 = 128 + VW^2。

8. 解方程得到VW^2 = 676 - 128 = 548。

9. 对VW求平方根: VW = √548。

10. 计算VW，得到VW ≈ 23.41（保留两位小数）。

11. 经推理验证，最终得出答案。

Pythagorean Theorem

In a right-angled triangle, the square of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of the two legs.

在本题图中，<note>三角形VAW是一个直角三角形</note>，<note>∠VWA是直角（90度）</note>，<note>边VW和AW是直角边</note>，<note>边VA是斜边</note>，所以根据<note>勾股定理</note>，<note>VA² = VW² + AW²</note>。

Definition of Right Triangle

A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.

Properties of Diagonals in a Square

The diagonals of a square are the line segments that connect opposite vertices. The diagonals of a square are equal in length, and they bisect each other perpendicularly.


Question: 如图所示，棱柱的高度为2cm。求棱柱的体积。

Answer: 32 \mathrm{cm}^3

1. 根据题目中所示的图形，我们可以推断这个棱柱的底面是一个菱形。

2. 从题目图中可得知，菱形的两个对角线分别为8cm和4cm。

3. 利用定理：菱形的面积可以由其对角线求得，即面积 = (d1 × d2) / 2，其中d1和d2是菱形的两条对角线。在本题中，d1 = 8cm，d2 = 4cm。

4. 将对角线代入公式，得到面积 = (8cm × 4cm) / 2 = 16 cm²。

5. 利用体积公式：棱柱的体积V = 底面积 × 高。在本题中，菱形面积为底面积，且已知棱柱的高为2cm。

6. 计算体积：V = 16 cm² × 2cm = 32 cm³。

7. 经过上述推理，最终得出答案为32 cm³。

Definition of Rhombus

A quadrilateral is a rhombus if and only if all four sides are of equal length, and its diagonals are perpendicular bisectors of each other.

在本题图中，<note>四边形的所有边都是相等的</note>，因此四边形是一个菱形。此外，四边形的<note>对角线互相垂直平分</note>，即<note>对角线相交于点O</note>，且<note>角AOB、角BOC、角COD和角DOA都是直角（90度）</note>，并且<note>对角线AC和BD平分彼此</note>。

Definition of Prism

A prism is a polyhedron with two parallel and congruent polygonal bases, and all other faces are parallelograms.

在本题图中，<note>棱柱的底面是一个菱形</note>，并且<note>棱柱的高度为2cm</note>。

Rhombus Area Formula

The area of a rhombus is equal to half the product of its diagonals.

在本题图中，<note>菱形的两条对角线分别为8cm和4cm</note>。根据菱形面积公式，<note>菱形的面积等于两条对角线的乘积的一半</note>，即面积 = (8cm × 4cm) / 2 = 16 cm²。

Volume Formula of Prism

The volume of a prism is equal to the base area multiplied by the height.

<note>棱柱的底面积是菱形的面积，为16 cm²</note>，且<note>棱柱的高为2cm</note>。因此可以利用该定理计算棱柱的体积，<note>V = 16 cm² × 2cm = 32 cm³</note>。

Definition of Rhombus

<note>在本题图中，四边形的所有边都是相等的，因此四边形是一个菱形</note>。此外，<note>四边形的对角线互相垂直平分</note>，即<note>对角线相交于点O</note>，且<note>角AOB、角BOC、角COD和角DOA都是直角（90度）</note>，并且<note>对角线AC和BD平分彼此</note>。

<note>在本题图中，四边形的所有边都是相等的</note>，因此<note>四边形是一个菱形</note>。此外，<note>四边形的对角线互相垂直平分</note>，即对角线<note>相交于点O</note>，且<note>角AOB、角BOC、角COD和角DOA都是直角（90度）</note>，并且<note>对角线AC和BD平分彼此</note>。


Question:
考虑下图。棱柱的高度为16cm。

使用毕达哥拉斯定理求出图中三棱柱的未知高度\$x\$。

Answer: \$x=8 \mathrm{~cm}\$

1. 设三角形的顶点为A，底边的两个端点分别为B和C（B在左侧），垂线段AD为x，同时已知线段AC 等于10cm，BC等于12cm，使用勾股定理分析。根据勾股定理，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

2. 由题意可知，三角形ABC中，AB＝AC，符合等腰三角形定义，三角形ABC是等腰三角形，由等腰三角形高线、中线、角平分线重合定理可知，当中某点D到直角所在点A作垂线，AD也是等腰三角形的BC边的中线，D是BC边的中点， CD=12/2 = 6.

3. 由直角三角形ABD(有一角为90°，符合直角三角形定义），利用勾股定理可得，AD^2+ BD^2 = AB^2。因此得到x^2 + 6^2 = 10^2。

4. 把已知值带入等式，化简得：x^2 = 10^2 - 6^2.

5. 将数值代入计算， x^2 =100 - 36

6. 方程化简并求解x, x = 8

7. 经过上述推理解析，最终x = 8cm。

Definition of Right Triangle

<note>三角形 ABD 中，角 ∠ADB是直角（90度）</note>，因此三角形ABD是一个直角三角形。边 <note>AD 和边 BD 是直角边</note>，边 <note>AB 是斜边</note>。

Midpoint of a Line Segment

A midpoint of a line segment is the point that divides the line segment into two equal parts.

<note>线段 BC 的中点为点 D</note>。根据线段中点的定义，<note>点 D 将线段 BC 平分为两个相等的部分</note>，即<note>线段 BD 和线段 DC 的长度相等</note>。即，<note>BD = DC = BC/2 = 12 cm / 2 = 6 cm</note>。

Pythagorean Theorem

在本题图中，根据勾股定理，直角三角形中，<note>两直角边的平方和等于斜边的平方</note>。设直角三角形的<note>直角所在的顶点为A</note>，<note>底边的两个端点分别为B和C</note>，<note>垂线段AD为x</note>，同时已知<note>线段AC等于10cm</note>，<note>BC等于12cm</note>，使用勾股定理分析。根据勾股定理，<note>直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方</note>。已知<note>AB=10cm</note>，<note>BD=6cm</note>，所以<note>AD^2 + 6^2 = 10^2</note>。

Coincidence Theorem of Altitude, Median, and Angle Bisector in Isosceles Triangle

In an isosceles triangle, the angle bisector of the vertex angle not only bisects the vertex angle but also bisects the base and is perpendicular to the base.

Definition of Isosceles Triangle

A triangle is an isosceles triangle if and only if it has at least two congruent (≅) sides.


Question: 高度是13 cm。求L。给出你的答案，四舍五入到最接近的cm。

Answer: 14

1. 已知圆柱体的高度为13 cm，并且半径为3 cm，题意要求找到L的长度，并将结果舍入到最接近的厘米。

2. 圆柱体的底部是一个圆，底面的直径就是圆柱体的底面的任何相对侧之间的距离。

3. 圆柱的对角线L在顶部和底部的圆的圆周上直径的位置由高度和底面的直径形成。

4. 可根据勾股定理进行计算，其中L是直角三角形长边，其他两边是圆的直径和圆柱体的高度。

5. 勾股定理表达为a² + b² = c²，在这里为（直径）6 cm的平方加上（高度）13 cm的平方等于对角线L的平方，即6² + 13² = L²。

6. 计算得出，36 + 169 = L²，205 = L²。

7. 最后计算L，得出L = √205 ≈ 14.3178。

8. 进行向下舍入，L大约为14厘米。

9. 经过上述推理，最终得出答案为14。

Cylinder

A cylinder is a geometric solid consisting of two parallel and congruent circular bases and a curved lateral surface connecting the bases.

<note>圆柱体</note>由两个平行且相同的圆形基底和一个侧面组成。基底是顶部和底部的两个完全相同的圆形，它们的<note>半径为3 cm</note>，<note>直径为6 cm</note>，且它们的中心在同一条直线上。侧面是一个矩形，当展开时，其<note>高度等于圆柱体的高13 cm</note>，<note>宽度等于圆周的周长</note>。

Definition of Diameter

A diameter is a line segment that passes through the center of a circle and has its endpoints on the circle. It is the longest chord of the circle, with a length equal to twice the radius of the circle.

<note>圆柱体底面圆的半径为3 cm</note>，因此<note>直径为6 cm</note>。根据定义，<note>直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段</note>，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。因此，本题定义中的<note>直径为6 cm</note>。

Definition of Right Triangle

<note>圆柱体的高度（13 cm）</note>和<note>底面的直径（6 cm）</note>形成了一个<note>直角三角形</note>。这个直角三角形的两条直角边分别是<note>高度13 cm</note>和<note>直径6 cm</note>，而<note>斜边即为L</note>。

Pythagorean Theorem

<note>圆柱体的高度13 cm和底面圆的直径6 cm形成直角三角形的两条直角边</note>。根据勾股定理，<note>斜边L的平方等于（直径）6 cm的平方加上（高度）13 cm的平方</note>。数学表达为<note>6² + 13² = L²</note>，计算得出<note>L = √205 ≈ 14.3178 cm</note>，最后取整为<note>14 cm</note>。


Question:
在上图所示的圆柱形管中，圆形底面的周长为32。如果沿着\$\overline{A B}\$切开并平铺成一个矩形，那么\$\overline{A C}\$的长度是多少？取整到最接近的整数。
选项：
A:24
B:30
C:34
D:38

Answer: C

1. 已知圆柱体的底面是圆形，底面的周长为32。

2. 将圆柱体沿着直线 \overline{AB} 剪开并展成平面，那这时的底面周长将会转化为展开后的矩形的一个边，直线 \overline{AB} 则变成另一边。

3. 展开的矩形的长就是周长32，而宽则是原本圆柱体的高 \overline{AB} = 30。

4. 设展开的矩形A'ABB'， \overline{AC} 是矩形ABCD的对角线。

5. 使用勾股定理（毕达哥拉斯定理）可以计算 \overline{AC}，勾股定理（毕达哥拉斯定理）说明，在直角三角形中，直角两边的平方和等于斜边的平方。

6. 在矩形ABCD中， \overline{AC} 是对角线，BC为圆周的一半，所以通过公式 \$AC = \sqrt{16^2 + 30^2}\$。

7. 计算： \$AC = \sqrt{16^2 + 30^2} = \sqrt{256 + 900} = \sqrt{1156}\$。

8. \sqrt{1156} 的开根计算可以得到为34。

9. \overline{AC} 的长度为34。

Definition of Rectangle

A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).

在本题图中，展开后的矩形A'ABB'长为圆柱体底面的周长32，宽为圆柱体的高度 <note>AB = 30</note>。其中的四边形 <note>ABCD 是一个矩形</note>，其内角 <note>∠DAB, ∠ABC, ∠BCD, ∠CDA 都是直角（90度）</note>，且边 <note>AD 与边 BC 平行且等长</note>，边 <note>AB 与边 CD 平行且等长</note>。矩形ABCD中的<note>BC为圆周的一半</note>。

Pythagorean Theorem

<note>展开后的矩形的两条直角边分别为长16和宽30</note>，<note>对角线 AC 是斜边</note>。使用勾股定理计算，<note>AC 的长度为 \sqrt{16^2 + 30^2} = \sqrt{1156} =34</note>。