Question: 对于一对相似图形，使用给定的面积求x。

Answer: 16

1.已知两个相似图形的面积分别为##400 mm?和64 mm?##。其中较大的图形的一条边为40 mm。因为图形是相似的，所以它们的对应边的比例等于相似比k。

2. 根据##相似多边形的面积比等于相似比的平方定理##，相似形的面积之比等于相似比的平方，即A1 / A2 = ##k?##，其中A1和A2分别是两个图形的面积。

3. 将已知条件代入公式##400 mm? / 64 mm? = k?##，得到##k?## = 400 / 64。

4. 计算400 / 64得结果为6.25，因此##k?## = 6.25。

5. 求k的值，k = √6.25，计算得k = 2.5。

6. 由于相似形的边长比等于相似比k，所以较小图形中对应边的长度为x mm，与较大图形的边长比为x / 40 = 1 / k。

7. 由此得出x / 40 = 1 / 2.5，解方程x = 40 / 2.5。

8. 计算40 / 2.5得x = 16。

9. 经过上述推理，最终得出答案为x = 16 mm。

相似图形的定义

如果两图形相似，那么它们对应边的比相等，对应角相等。

<note>左边的多边形和右边的多边形是相似图形</note>。根据相似图形的定义，它们对应边的比相等，即<note>边40mm与边16(x)mm的比相似比k</note>。同时，它们对应的角也相等，即<note>左边的底角等于右边的底角</note>，<note>左边的顶角等于右边的顶角</note>。####

相似多边形的面积比等于相似比的平方定理

如果两个相似多边形的边长比是k，那么它们的面积比等于k的平方。

<note>多边形A1和多边形A2是相似图形</note>，<note>边40mm和边Xmm的比值为k，即相似比为k</note>。所以，<note>图形A1的面积与图形A2的面积的比值等于k的平方</note>。即：<note>面积比 = k²</note>。


Question: 使用平行四边形 P Q R S 找到 Q P。

Answer: 5

1. 已知条件为平行四边形 PQRS，其中 ##∠PQR = 128°，PS=3，RS=5##。

2. ##根据平行四边形的定义##，平行四边形的对边平行且等长，所以 ##QP = RS=5 和 QR = PS=3##。

####

##3##. 经过上述推理，最终得出答案为##QP## = 5。

平行四边形; 对顶角; 内错角; 同旁内角; 线段

平行四边形的定义

平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。

在本题图中，四边形PQRS是一个平行四边形，<note>边PQ与边RS平行且相等</note>，<note>边QR与边PS平行且相等</note>。


Question: 如图所示,直线a,b相交于点O,若∠1等于50°,则∠2等于()

Answer: 50°

1. 已知直线a和直线b相交于点O，根据∠1等于50°的已知条件。

2. 由##对顶角的定义##可知，####在本题中，##∠2 和 ∠1##是一对对顶角，因此它们相等。

3. 根据##对顶角的定义##，得到##∠2 = ∠1## = 50°。

4. 经过上述推理，最终得出答案为50°。

对顶角的定义

对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。

<note>在本题图中，直线a和直线b相交于点O</note>，形成了四个角。根据对顶角的定义，<note>∠1和∠2是对顶角</note>，<note>另外两个角是对顶角</note>。由于对顶角的角度相等，所以<note>∠1=∠2</note>。


Question: 直线a、b、c、d的位置如图所示,如果∠1=58°,∠2=58°,∠3=70°,那么∠4等于()

Answer: 110°

1. 已知∠1 = 58°，∠2 = 58°，依据##同位角定义##，如果两条直线被第三条直线所截，同位角相等，则这两条直线平行。因此，直线a平行于直线b。

2. ##设∠4的对立角为∠5，根据对顶角的定义，∠4=∠5##。

3. ##依题意得∠3 = 70°，由于直线a平行于直线b，根据平行线的平行公理2，同旁内角互补，则∠5+∠3=180°，得∠5+70°=180° ，即∠5=180°-70°=110°##。

4. ##又因第二步得∠4= ∠5##，因此，∠4 = ∠5 = 110°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为110°。

平行线; 内错角; 同位角

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

在本题图中，<note>直线a和直线b被直线d所截</note>，形成了以下几何关系：1. <note>同位角：∠1和∠2相等</note>。2. <note>同旁内角：∠3和∠5互补，即∠3 + ∠5 = 180度</note>。这些关系说明了在<note>两条平行线被第三条直线所截时</note>，<note>同位角相等</note>，<note>同旁内角互补</note>。

同旁内角的定义

两条直线被第三条直线所截，在截线同侧，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角。若两直线平行，则同旁内角互补。若同旁内角互补，则两直线平行。

在本题图中，两条直线<note>a和b</note>被第三条<note>直线d</note>所截，两角<note>3和5在截线d同侧，且在被截线a和b之内</note>，所以<note>角3和5是同旁内角</note>。同旁内角<note>3和5互补</note>，即<note>角3 + 角5 = 180度</note>。

同位角定义

两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。

<note>两条平行直线a和b</note>被<note>一条直线c截交</note>，其中<note>角1和角2位于截线c的同旁，被截两直线a和b的同一侧</note>，因此<note>角1和角2是同位角</note>。<note>同位角相等，即角1等于角2</note>。

对顶角的定义

对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。

在本题图中，两条相交直线<note>b和d相交于一点</note>，形成<note>两个角：角4、角5</note>。根据对顶角的定义，<note>角4和角5是对顶角</note>。由于对顶角的角度相等，所以<note>角4=角5</note>。


Question: (4分)如图,直线a∥b,直线c分别与a,b相交,∠1=50°,则∠2的度数为()

Answer: 130°

1. ##设直线c与直线a相交于O点##。

2. ##根据对顶角的定义，∠1与∠DOa是对顶角且角度相等，∠DOa=∠1=50°。因为直线a∥b，根据同旁内角的定义，得∠2和∠DOa是同旁内角，根据平行线的平行公理2，得同旁内角互补，则∠2+∠DOa=180°##。

3. ##将数值代入等式中得∠2+50°=180°##。

4. ##计算得 ∠2= 180°-50°=130°##。

####

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为130°。

对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。

<note>两条相交直线a和c相交于点O</note>，形成的角：<note>∠DOa、∠1</note>。根据对顶角的定义，<note>∠1和∠DOa是对顶角</note>，由于对顶角的角度相等，所以<note>∠DOa=∠1</note>##。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。


Question: 在图中，C P 是高，C Q 是 \\angle A C B 的角平分线，R 是 A B 的中点。求 m \\angle A C Q 如果 m \\angle A C B = 123 - x 并且 m \\angle Q C B = 42 + x。

Answer: 55

1.根据问题，##CQ是角ACB的角平分线##，因此角 A C Q 和角 Q C B 分割角 A C B。

2. 已知 ∠ A C B = 123 - x 和 ∠ Q C B = 42 + x，####得∠A C Q = ∠A C B - ∠Q C B = (123 - x) - (42 + x)。

3. 由上述计算，∠A C Q = 123 - x - 42 - x = 81 - 2x。

4. 根据角平分线的定义，C Q 是 ∠ A C B 的角平分线，故有 ∠ A C Q = ∠ Q C B。

5. 结合步骤4, 此时我们通过等式得到∠A C Q = 42 + x = 81 - 2x。

6. 在等式 81 - 2x = 42 + x 中解出 x，81 - 42 = 3x，得 x = 13。

7. 代入 x = 13 到 ∠ A C Q = 81 - 2x ，即为 81 - 2(13) = 81 - 26 = 55。

####

经过以上计算最终得出∠A C Q的度数为 55。

垂线; 中点; 三角形的外角

角平分线定义

角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。

在本题图中，<note>角 A C B 的顶点是点 C</note>，从<note>点 C 引出一条线 C Q</note>，这条<note>线将角 A C B 分成两个相等的角，即角 A C Q 和角 Q C B 相等</note>。因此，<note>线 C Q 是角 A C B 的角平分线</note>。


Question: 如图,为测量学校旗杆的高度,小东用长为3.2米的竹竿作测量工具,移动竹竿,使竹竿顶端与旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点,此时,竹竿与这一点相距8米,与旗杆相距22米,则旗杆的高度为()米.

Answer: 12

1. ##设竹竿的高度是BC=3.2（字母顺序从上往下），旗杆高度为EF=x （字母顺序从上往下），竹竿顶端与旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点设为A点##。

2. 由于竹竿和旗杆的影子顶部在同一点重合，##即△ABC 和△AEF共用∠A，因为BC、EF分别是竹竿和旗杆的高度，根据高的定义，所以BC⊥AE，EF⊥AE，所以∠BCA=∠EFA=90°，根据相似三角形的判定定理(AA)，得△ABC∽△AEF##。

####

##3. 由题意可知AF= AC + CF = 8 + 22 = 30##。

####

##4. 根据相似三角形的定义，得到关系式：AC/AF = BC/EF##。

##5##. 将已知的长度代入比例关系式得：## 8 / 30=3.2 / x ##。

##6##. 解方程得：##x = 3.2 * （30 / 8）##。

##7##. 计算得：x = 12。

##8##. 经过上述推理，最终得出答案为12米。

普通三角形; 直角三角形

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

在本题图中，<note>△ABC和△AEF是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>AC/AF = BC/EF = AB/AE</note>。

相似三角形的判定定理(AA)

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。

在本题图中，设竹竿的高度是<note>BC=3.2（字母顺序从上往下）</note>，旗杆高度为<note>EF=x （字母顺序从上往下）</note>，竹竿顶端与旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点设为A点，在△<note>ABC</note>和△<note>AEF</note>中，因为<note>∠A=∠A</note>，且<note>∠BCA=∠EFA=90°</note>，所以△<note>ABC相似于△AEF</note>。

高的定义

从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。


Question: 如图,C是⊙O上一点,O是圆心,若∠C=35°,则∠AOB的度数为()

Answer: 70°

1. 以O为圆心，####C为圆周上任意一点。

2. ##根据圆周角的定义，∠C为圆周角且等于35°##。

3. ##根据圆心角的定义，∠AOB 是圆心角。根据圆周角定理，得∠C=?∠AOB##。

4. 计算得出 ##∠AOB =2 ∠C=2 × 35° = 70°##。

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为∠AOB = 70°。

圆; 圆周角; 圆心角; 弧; 三角形的外角

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

<note>圆 O 中，角 ACB 的顶点 C 在圆周上</note>，<note>角 ACB 的两边分别与圆 O 相交于点 A 和点 B</note>。因此，<note>角 ACB 是一个圆周角</note>。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。


Question: 求 \\widehat J K 的长度。四舍五入到小数点后两位。

Answer: 1.05

1. ##已知弧长JK对应的圆心角∠KCJ＝30°，应用角度与弧度的换算公式，弧度=角度*（π/180）＝30*（π/180）＝π/6。##

2. ##利用扇形的弧长公式计算弧长JK，扇形的弧长L等于圆心角θ（以弧度制表示）乘以半径r：L = θr，将θ= π/6，r＝2代入，L＝π/3。##

3.##π取近似值3.1415926，计算结果四舍五入到小数点后两位最终得1.05。##

4.##经过上述推理，最终得出答案为1.05英尺。##

####

圆的定义

到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。

<note>圆C中，点C是圆心</note>，半径为<note>2英尺</note>。图中所有到<note>点C的距离等于2英尺的点都在圆C上</note>。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

<note>圆心为点C</note>，点J和点K是圆上的两点，<note>连线CJ和CK组成的角∠JCK称为圆心角</note>，其顶点在<note>圆心C</note>，且该角度为<note>30°</note>。

扇形的弧长公式

扇形的弧长L等于圆心角θ（以弧度制表示）乘以半径r：L = θr。

<note>弧长JK</note>就是要计算的弧度对应的圆弧长度。<note>圆心角∠JCK为30°</note>，其弧度数为<note>θ（弧度） = θ（度数） × π / 180</note>，即<note>30° = 30 × π / 180 = π / 6</note>。将<note>半径2英尺</note>和<note>弧度π / 6</note>代入弧长公式，弧长=<note>2 × π / 6 = π / 3</note>。

角度与弧度的换算公式

弧度=角度*（π/180），角度=弧度*（180/π）

<note>∠KCJ的角度是 30°</note>，根据角度与弧度的换算公式，换算为弧度=角度*（π/180），即<note>30*（π/180）</note>。


Question: 如图,在平地上种植树木时,要求株距(相邻两树间的水平距离)为4m．如果在坡度为0.75的山坡上种树,也要求株距为4m,那么相邻两树间的坡面距离为()

Answer: 5m

1. ##已知坡度为0.75，株距即水平距离为4米，设坡面的斜角为∠BAC，画辅助线AB为水平距离，CB垂直于AB，则∠B=90°，根据直角三角形的定义，三角形ABC为直角三角形。##

2. 因为坡度为0.75，即tan(∠BAC)=0.75，根据正切函数定义，##tan(∠BAC)=CB/AB##。

3. 因AB=4米，并且tan(∠BAC)=0.75，由以上方程可得：##CB = 0.75 × AB = 0.75 × 4 = 3米##。

4. ##根据勾股定理（毕达哥拉斯定理），在直角三角形ABC中，AC的长度（即坡面距离）可以表示为：AC=√(AB^2+CB^2)##

5. 代入已知的AB和CB的长度，得到##AC=√(4^2+3^2)=√(16+9)=√25=5米##。

6. 经过上述推理，最终得出答案为5米。

直角三角形; 正弦; 余弦

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

在本题图中，三角形ABC中，<note>角B是直角（90度）</note>，因此三角形ABC是一个<note>直角三角形</note>。<note>边AB和边CB是直角边，边AC是斜边</note>。##

正切函数的定义

在直角三角形中，一个锐角的正切值等于相对直角边长度除以相邻直角边长度。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>直角三角形ABC中</note>，<note>∠ABC是直角（90度）</note>，边<note>AB和CB是直角边</note>，边<note>AC是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>AC^2 = AB^2 + CB^2</note>。


Answer: 134°

1. ##过点E作FE平行于AB，已知AB∥CD，那么FE∥CD。##

2. ##根据内错角的定义，∠FEC 和∠C为内错角，∠BAE和∠AEF为内错角；根据平行线的平行公理2可得，∠FEC = ∠C，∠BAE=∠AEF。##

3. ##已知∠C = 44°，可得∠FEC = 44°。##

4. ##由图示和已知条件，∠AEC = ∠AEF+∠FEC=90°，则代入已知条件可得，∠AEF=∠AEC-∠FEC=90° - 44° = 46°。##

5. ##根据步骤2可得，∠AEF=∠BAE=46°##

6. ##根据平角的定义，A点所形成的角为平角，即∠1+∠BAE=180°。##

7. ##得到∠1 = 180° - ∠BAE = 180° - 46° = 134°。##

##8. 经过上述推理，最终得出答案为134°。##

####

平行线; 同位角; 内错角; 直角三角形

内错角的定义

当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>EF平行于AB</note>，直线<note>AE</note>截这两条平行线，形成了以下几何关系：<note>内错角：∠BAE和∠AEF相等</note>。同样，<note>EF平行于CD</note>，直线<note>CE</note>截这两条平行线，形成了以下几何关系：<note>内错角：∠FEC和∠C相等</note>。

平角的定义

一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度。

<note>射线绕着端点A旋转到与起始边成一条直线</note>，形成平角。根据平角的定义，<note>平角的度数为180度</note>，即<note>A点形成的平角为180度</note>。####

平行线的传递性

若两条直线分别与第三条直线平行，则这两条直线互相平行。

<note>直线EF和直线CD分别与直线AB平行</note>。根据平行线的传递性，如果<note>直线EF平行于直线AB</note>，且<note>直线CD也平行于直线AB</note>，那么<note>直线EF和直线CD互相平行</note>。因此，<note>直线EF平行于直线CD</note>。##


Question: 如图所示,D是△ABC的角平分线BD和CD的交点,若∠A=50°,则∠D=()

Answer: 115°

1. 已知角A等于50度，根据三角形内角和定理，得出角ABC加上角ACB等于180度减去角A，即180度减去50度等于130度。

2. 由上述结论，以及D是三角形ABC的角平分线BD和CD的交点，根据##角平分线定义##，得出角DBC加上角DCB等于1/2乘以（角ABC加上角ACB），即1/2乘以130度等于65度。

3. 在三角形BCD中，根据三角形内角和定理，角D等于180度减去（角DBC加上角DCB），即180度减去65度等于115度。

4. 经过上述推理，最终得出答案为角D等于115度。

角平分线定义

角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>在本题图中，三角形ABC中，角A、角B和角C是三角形ABC的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>∠A + ∠B + ∠C = 180°</note>。
<note>在三角形BCD中，角B、角C和角D是三角形BCD的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>∠B + ∠C + ∠D = 180°</note>。####


Question: 如图,a//b,将一块三角板的直角顶点放在直线a上,∠1=42°,则∠2的度数为()

Answer: 48°

1. 已知∠1=42°，##因为三角板的直角顶点在直线a上，即∠CAB=90°，∠3=∠CAB-∠1=90°-42°=48°##。

2. 由于直线a平行于直线b，根据##平行线的平行公理2和内错角的定义，∠3=∠2，因此得出∠2=48°##。

3. 经过上述推理，##最终得出∠2的度数为48°##。

平行线; 同位角; 直角三角形

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>角∠CAB是直角（90度）</note>，因此三角形ABC是一个直角三角形。<note>边AC和边AB是直角边，边BC是斜边</note>。

内错角的定义

<note>在本题图中，两条平行直线a和b被一条直线AB截交</note>，其中<note>角3和角2位于两平行线之间，且在截线AB的对侧</note>，因此<note>角2和角3是内错角</note>。<note>内错角相等，即角2等于角3</note>。######

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

##在本题图中，两条平行线<note>a和b</note>被第三条直线<note>AB</note>所截，形成了以下几何关系：1. <note>同位角相等</note>。2. <note>内错角：角2和角3相等</note>。3. <note>同旁内角互补</note>。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，<note>同位角相等</note>，<note>内错角相等</note>，<note>同旁内角互补</note>##。


Question: 如图,□ABCD的周长为16cm,AC、BD相交于点O,OE⊥AC交AD于点E,则△DCE的周长为()

Answer: 8cm

1. 如图所示，四边形ABCD是一个平行四边形，周长为16厘米。

2. 根据平行四边形的##定义##，边AD等于边BC，边AB等于边CD。##根据平行四边形的周长，平行四边形的周长等于其两组邻边的两倍之和。公式为：P = 2(a + b)，已知边AD和边CD为一组相邻的边，所以边AD + 边CD等于ABCD的一半周长，即8厘米##。

3. 因为线段AC与线段BD相交于点O，并且OE垂直于AC交于点E，所以##∠AOE = ∠COE = 90°##。

4. ##因为点O为平行四边形ABCD的对角线的交点，根据平行四边形的性质定理，对角线互相平分，所以AO=CO。又因为∠AOE = ∠COE = 90°，△AOE和△COE共用OE为边，根据全等三角形判定定理(SAS)，两个三角形的对应两边及其夹角相等，那么这两个三角形全等，所以△AOE≌△COE##。

5. ##根据全等三角形的定义，对应边相等，所以AE=EC##。

6. 为了计算△DCE的周长，我们需要分别求出线段DC、线段DE和线段CE的长度，##即P=DC+CE+DE##。

####

##7. 已知AE=EC，AD=AE+DE，所以△DCE的周长P=DC+AE+DE=DC+AD##。

##8. 已知边AD + 边CD等于ABCD的一半周长，即8厘米##。所以最后得出△DCE的周长为8厘米。

正方形; 垂线; 线段; 三角形的外角; 普通三角形

平行四边形的定义

平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。

平行四边形的周长

平行四边形的周长等于其两组邻边的两倍之和。公式为：P = 2(a + b)，其中a和b为平行四边形的两条邻边。

<note>平行四边形ABCD中</note>，边<note>AD和CD是相邻的两条边</note>，边<note>AB和BC也是相邻的两条边</note>。根据平行四边形的周长公式，平行四边形的周长等于其两组邻边的两倍之和，即<note>周长P = 2(AD + CD)</note>。##

平行四边形的性质定理

在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。

全等三角形判定定理(SAS)

如果一个三角形的两边及其夹角分别与另一个三角形的两边及其夹角相等，那么这两个三角形全等。

<note>在本题图中，三角形AOE和三角形COE中</note>，<note>边AO与边CO相等</note>，<note>边OE与边OE相等</note>，<note>且夹角AOE与夹角COE相等</note>，因此根据全等三角形判定定理(SAS)，这两个三角形全等。####

三角形的周长公式

三角形的周长等于三条边的长度之和，即如果三角形的三条边分别为a、b、c，则周长P=a+b+c。

全等三角形的定义

两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等。

<note>三角形AOE和三角形COE是全等三角形</note>，三角形AOE的对应边和对应角与三角形COE相等，即：
<note>边AO = 边OC</note>
<note>边AE = 边CE</note>
<note>边OE = 边OE</note>
同时，对应的角也相等：
<note>角AOE = 角COE</note>
<note>角AEO = 角CEO</note>
<note>角EAO = 角ECO</note>.


Question: 求 m \angle 6。

Answer: 35

##1. 在含有锐角角5和35°的三角形中，根据三角形内角和定理（一个三角形的内角和是180度），得出角5 = 180° - 35° - 90° = 55°。##

##2. 因为角5+角6=90°，所以角6 = 90° - 角5。##

####

##3. 通过步骤1可知角5 = 55°，所以角6 = 90° - 55° = 35°。##

##4##. 经过上述推理，最终得出答案为角6 = 35°。

直角三角形; 三角形的外角

角的定义

角是由两个有公共端点的射线组成的几何图形，其中的公共端点称为角的顶点，两条射线称为角的边。

在本题图中，例如，<note>∠1 是由两条射线组成的几何图形，这两条射线有一个共同的端点</note>。这个<note>共同的端点称为角1的顶点</note>，而<note>射线称为角1的边</note>。同理，<note>∠3、∠2、∠4、∠5、∠6等角也是由相应的射线组成</note>，并且均以度数表示。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>##在本题图中，三角形中，90°角、35°角和角5是三角形的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>90° + 35° + 角5 = 180°</note>。####


Answer: 55°

1. 已知AB∥CD，##根据平行线的平行公理2，内错角相等，得出∠AEC=∠ECD=35°##。

2. 已知∠CED = 90°，并且##∠ECD## = 35°。

3. ##根据三角形内角和定理##，在△CED中，∠CED + ## ∠ECD + ∠EDC ## = 180°。

4. ##代入已知条件得90° +  35° + ∠EDC  = 180°##。

5. ##根据上一步得##∠BED = 180° - 90° - 35° = 55°。

6. ##计算出∠BED = 55°##。

##7. ##经过上述推理，最终得出答案为55°。

平行线; 同旁内角; 直角三角形

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>在本题图中，三角形CED中，角CED、角ECD和角EDC是三角形CED的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角CED + 角ECD + 角EDC = 180°</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>在本题图中，两条平行线AB和CD</note>被第三条直线<note>EC所截</note>，形成了以下几何关系：<note>内错角：角AEC和角ECD相等</note>。


Question: 上图扇形的面积是多少？

Answer: 49*\pi/3

1. ##假设扇形由圆心O、半径OA和OB以及弧AB围成，已知条件为扇形的半径OA是7，圆心角AOB是120度##。

2. ##根据扇形面积公式，扇形面积 = π × r?× (θ / 360)，其中r是半径，θ是圆心角的角度##。把已知条件代入扇形面积公式，得出：扇形面积 = π × ##7?## × (120 / 360)。

3. 首先计算7的平方，即##7?## = 49。

4. 计算角度的比例，120 / 360 = 1 / 3。

5. 因此，扇形面积 = π × 49 × 1 / 3 = 49π / 3。

6. 经过上述推理，最终得出答案为49π / 3。

扇形的定义

由一个圆的两条半径与它们所夹的圆弧组成的图形称作扇形。

<note>扇形由圆心O</note>、<note>半径OA和OB</note>以及<note>弧AB</note>围成。<note>圆心角 ∠AOB = 120°</note>，<note>半径OA = OB</note> = 7。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

扇形的面积公式

扇形的面积A可以通过公式A = (θ/360) * π *## r?##计算，其中θ是圆心角度数，r是半径长度。

<note>在本题图中，扇形的半径 r = 7，圆心角 θ = 120°</note>，根据扇形的面积公式，扇形的面积A可以通过公式<note>A = (θ/360) * π * r2</note>计算，其中<note>θ是圆心角度数</note>，<note>r是半径长度</note>。所以<note>扇形的面积A = (120/360) * π * 72</note>。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段。

在本题图中，圆O中，<note>点O是圆心</note>，<note>点A是圆上的任意一点</note>，<note>线段OA是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段OA是圆的半径</note>。####

弧的定义

弧是圆上两点之间的一段曲线。

<note>圆O上有两点A和B</note>，弧AB是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，<note>弧AB是圆上两点A和B之间的一段曲线</note>。


Question: 如图所示,△ABC是⊙O的内接三角形.若∠ABC=70°,则∠AOC的度数等于()

Answer: 140°

1. 以点O为圆心，以任意长度为半径画一个圆，称为⊙O。

2. 取圆周上三个不同点A、B、C，使得经过A、B、C的△ABC是⊙O的内接三角形。

3. 已知∠ABC = 70°。

4. 根据圆周角和圆心角的定理，在一个圆或者同一个圆的等弧所对的圆周角和圆心角之间存在关系：圆心角的度数是该弧所对的圆周角的两倍。

5. 在本题中，∠ABC是弧AC所对的圆周角，∠AOC是弧AC所对的圆心角。

6. 应用上述定理，我们可以得出： ∠AOC = 2 × ∠ABC。

7. 将已知的∠ABC = 70°代入上述公式，得到： ∠AOC = 2 × 70° = 140°。

8. 经过上述推理，最终得出答案为140°。

圆周角; 圆心角; 圆; 普通三角形; 弧

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角

在本题图中，圆O中，<note>点A和点C是圆上的两点</note>，<note>圆心是点O</note>。<note>连线OA和OC组成的角∠AOC称为圆心角</note>。##


Question: 将 \cos X 的比率用小数表示，并精确到小数点后两位。

Answer: 0.28

1.已知条件：直角三角形 VWX，其中 ∠VWX 为直角，WV 为 72，WX 为 21，VX 为 75。

2. 根据##直角三角形的定义##，∠VWX 为直角，##因此三角形VWX是一个直角三角形。边VW和边WX是直角边，边VX是斜边##。

3. 根据##余弦函数##：在直角三角形中，某个锐角的余弦等于该角####的邻边长度除以斜边的长度。

4. 确定 ##∠VXW## 为锐角，使用##余弦函数##，得 ##∠VXW## 的余弦为邻边 WX 长度 21 除以斜边 VX 长度 75，即##COS（∠VXW）=WX/VX=21/75##。

5. 计算 ##21/75## 的值为 0.28。

6. 最终将结果四舍五入至小数点后两位，得到 ##COS（∠VXW）##的值为 0.28。

余弦函数

余弦函数是一个三角函数，它可以通过直角三角形中的边来定义，对于一个角α，它的余弦值等于角α的邻边与斜边的比值。在单位圆中，余弦值是指从圆心到圆上与x轴夹角为α的点的横坐标。

<note>直角三角形 VWX</note> 中，边 <note>WX 是角 ∠VXW 的邻边</note>，边 <note>VX 是斜边</note>。因此，根据余弦函数的定义，角 <note>∠VXW 的余弦值等于邻边 WX 与斜边 VX 的比值</note>，即<note>COS（∠VXW）=WX/VX</note>。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

在本题图中，三角形 VWX 中，<note>角 ∠VWX 是直角（90度）</note>，因此三角形 VWX 是一个直角三角形。<note>边 WV 和边 WX 是直角边</note>，<note>边 VX 是斜边</note>。


Question: 如图,△ABC≌△DEF,点A与D,B与E分别是对应顶点,且测得BC=5cm,BF=7cm,则EC长为()

Answer: 3cm

1. 已知△ABC≌△DEF，且点A与点D、点B与点E分别是对应顶点，根据全等三角形的定义，对应边相等，因此有边BC=边EF=5cm。

2. 已知边BF=7cm，边BC=5cm。

3. ##由图知EC=EF-CF，又因为CF=BF-BC=7cm-5cm=2cm，EF=5cm，所以EC=EF-CF=5cm-2cm=3cm##。

线段; 普通三角形; 平移

全等三角形的定义

两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等。

<note>三角形ABC和三角形DEF是全等三角形</note>，三角形ABC的对应边和对应角与三角形DEF相等，即： <note>边AB = 边DE</note> <note>边BC = 边EF</note> <note>边CA = 边FD</note>，同时，对应的角也相等： <note>角A = 角D</note> <note>角B = 角E</note> <note>角C = 角F</note>。####


Question: 如图,一个底面圆周长为24m,高为5m的圆柱体,一只蚂蚁沿表面从点A到点B所经过的最短路线长为()

Answer: 13m

1. ##将圆柱体的侧面展开为四边形，由于圆柱体上下底面相同，则该四边形的一组对边为底面圆周长=24m，另一组对边为圆柱的高=5m，两组对边互相平行，根据矩形的定义，可得圆柱体的侧面展开是一个矩形，矩形的宽为5m，矩形的长为圆柱体底面的周长24m。##

2. ##根据图示，在这个矩形中，点A和点B在圆柱对侧，分别处于顶部和底部的一个顶点，即A位于展开后矩形的一个顶点 ，B位于矩形底边的中点。##

3. ##设点B到点A的平行距离为BO，则点A到点O的高度AO为5m，AO垂直于BO，即∠AOB=90°，根据直角三角形的定义，三角形AOB为直角三角形；BO=底面圆周长/2=24/2=12m##

4. ##通过勾股定理（毕达哥拉斯定理），我们可以推导出在三角形AOB中，AB^2=BO^2+AO^2。##

5. ##代入已知数据得：AB = √(OB^2+ AO^2)= √(12^2+ 5^2) = √(144 + 25) = √169 = 13m。##

6. 因此，蚂蚁沿表面从点A到点B所经过的最短路线长为13m。

圆柱; 平移; 圆; 直角三角形

圆柱体

圆柱体是由两个平行且相同的圆形基底和一个侧面组成的几何体。

在本题图中，<note>圆柱体由两个平行且相同的圆形基底和一个侧面组成</note>。<note>圆柱体的底面周长为24米</note>，高为5米。<note>圆柱体的两个圆形基底分别是点A所在的圆形平面和点B所在的圆形平面</note>。<note>圆柱体的侧面展开后形成一个高度为5米，宽度为24米的矩形</note>。

矩形的定义

矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。

<note>经过圆柱体展开后，形成的四边形是一个矩形</note>，其<note>内角都是直角（90度）</note>，且<note>相对的边互相平行并等长</note>。矩形的<note>高度为5米</note>，<note>底边的长度为圆柱体底面的周长24米</note>。<note>点A和点B分别处于矩形的顶点和边长中点上</note>。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>直角三角形</note>的定义:
'''有一个<note>内角为90度</note>的三角形称为<note>直角三角形。</note>'''

<note>重点</note>描述:
'##在本题图中，通过将<note>圆柱体侧面展开形成的矩形</note>，将<note>点A到点B</note>的最短路线描述为一条穿过<note>矩形的斜线</note>，使得形成了一个<note>直角三角形</note>，其中<note>AO是直角边</note>，<note>OB是另一条直角边</note>，<note>AB是斜边。</note>##'

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

在本题图中，要求点A到点B的最短路线。通过将圆柱体侧面展开形成矩形，并利用<note>形成的直角三角形</note>，可以应用<note>勾股定理</note>。设矩形的高度为5米，<note>矩形底边的一半为12米</note>，根据<note>勾股定理得出斜边的长度</note>为：√(12^2+ 5^2) = √(144 + 25)  = √169 = 13m。


Question: 在上图中，两条线段在直线l上的一个点相交。如果y的值等于x的值的平方，y的值是多少？

Answer: 100

1. 观察图示，已知x°和y°分别是两个相交线段所夹的角，其中##y°等于x°##的平方。

2. 根据##平角的定义##，可以得到x° + y° + 70° = 180°。

3. 将y用x的平方表示，即x+ x^2 + 70 = 180。

4. 将70移到等式右侧，得到x + x^2 = 110。

5. 化简方程，得到x^2 + x - 110 = 0。

6. 解方程x^2 + x - 110 = 0，使用二次方程求根公式，x = [-b ± ##√(b^2 - 4ac)##] / 2a，其中a=1，b=1，c=-110。

7. 代入取得解：x = [-1 ± ##√(1 + 440)##] / 2，简化得到x = [-1 ± ##√(441)##] / 2。

8. ##√(441) = 21，因此x = [-1 + 21] / 2=10 或 x = [-1 - 21] / 2=-11##，只有x = 10是正数解。

9. 进一步得出y = x的平方，因此y = 10^2，即y = 100。

10. 经过上述推理，最终得出答案为y = 100。

线段; 对顶角; 邻补角

平角的定义

<note>在本题图中，设直线l上的黑点为点O，直线l的一端为点M，另一端为点N</note>，<note>射线l从点M端绕着点O旋转到与起始边成一条直线，形成一个平角</note>。根据平角的定义，<note>平角的度数为180度，即角NOM=180度</note>。##


Question: 求x。

Answer: 7

1. ##由图示可知三角形RQS有一个内切圆，圆心为W。根据内切圆可知圆心W到三角形RQS三条边的距离相等。边RQ和边QS与圆W的相切点分别为点U和点T，所以UW⊥QR，TW⊥QS，即∠WUQ=∠WTQ=90°。连接UW、TW和QW，构成三角形QWU和三角形QWT，根据直角三角形的定义，因为∠WUQ=∠WTQ=90°，所以三角形QWU和三角形QWT都是直角三角形##。

2. ##根据直角三角形全等判定（斜边、直角边），直角三角形QWU和直角三角形QWT中的UW=TW，边UW和边TW是两个直角三角形的直角边，QW为两个直角三角形的共用斜边，所以直角三角形QWU全等于直角三角形QWT##

3. ##根据全等三角形的定义，QU=QT。由图中标注可知：QT=2x in.，QU=14 in.，所以2x=14##。

####

##4. 解得：x = 7 ##。

##5. 经过上述推理，我们可以确定地最终得出答案为7##。

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

<note>三角形\( \triangle RQS \)</note> 是由三个非共线点<note>\( R \)、\( Q \)、\( S \)</note>及其连接线段<note>\( RQ \)、\( QS \)、\( RS \)</note>组成的几何图形。<note>点\( R \)、\( Q \)、\( S \)</note>分别是三角形的三个顶点，<note>线段\( RQ \)、\( QS \)、\( RS \)</note>分别是三角形的三条边。

圆的定义

到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。

<note>圆W中，点W是圆心</note>。图中<note>所有到点W的距离等于半径的点都在圆C上</note>。

内切圆

内切圆是一个与多边形各边均相切的圆，其中心称为内心，且内心到多边形各边的距离相等。

在本题图中，<note>圆 \( W \) 与三角形 \( \triangle RQS \) 的边 \( RQ \)、\( QS \) 和 \( RS \) 均相切</note>，因此<note>圆 \( W \) 是 \( \triangle RQS \) 的内切圆</note>。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

直角三角形全等判定（斜边、直角边）

如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等。

<note>直角三角形QUW和直角三角形QTW中</note>，假设<note>角WUQ和角WTQ都是直角（90度）</note>。如果<note>边QW等于边QW（斜边）</note>，并且<note>边WU等于边TW（直角边）</note>，那么根据<note>直角三角形全等判定（斜边、直角边）</note>，这<note>两个直角三角形QUW和QTW全等</note>。####

全等三角形的定义

两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等。

<note>三角形QWT和三角形QUT是全等三角形</note>，三角形QWT的对应边和对应角与三角形QUT相等，即：
边<note>QU = 边QT</note>
边<note>QW = 边QW</note>
边<note>WU = 边WT</note>，同时，对应的角也相等：
<note>角WUQ = 角WTQ</note>
<note>角WQU= 角WQT</note>
<note>角QWU = 角QWT</note>。


Question: 如图,AB∥CD,CP交AB于O,AO=PO,若∠C=50°,则∠A的度数为()

Answer: 25°

1. 已知AB∥CD，CP交AB于O，根据##平行线的平行公理2，同位角相等##。因此∠POB=∠C。

2. 根据已知条件∠C=50°，可得∠POB=50°。

3. 由于AO=PO，根据等腰三角形的##定义##，三角形AOP为等腰三角形。因此∠OAP=∠A。

4. 在三角形AOP中，##根据三角形的外角定理，有∠A + ∠P = ∠POB。##

5. 因为AO=PO，∠A=∠P，所以可以写成##2∠A = ∠POB ##。

6. 将已知的∠POB = 50°代入，得到##2∠A =50°## 。

7. 解此方程，##得∠A = 25°##。

8. ####所以正确答案为25°。

平行线; 同位角; 内错角; 等腰三角形

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

<note>在本题图中，三角形AOP中，边AO和边PO相等</note>，因此三角形AOP是一个等腰三角形。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

在本题图中，<note>两条平行线AB和CD被第三条直线CP所截</note>，形成了以下几何关系：1. 同位角：<note>∠POB和∠C相等</note>。2. 内错角：<note>∠AOC和∠C相等</note>。3. 同旁内角：<note>∠BOC和∠COD互补</note>，即<note>∠BOC + ∠COD = 180度</note>。这些关系说明了在<note>两条平行线被第三条直线所截时</note>，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形AOP</note>中，<note>角AOP、角PAO和角OAP是三角形AOP的三个内角</note>，根据<note>三角形内角和定理</note>，<note>角AOP + 角PAO + 角OAP = 180°</note>。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

<note>等腰三角形AOP中，边AO和边PO相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，<note>相等的两边所对的角相等</note>，即<note>角A = 角P</note>。

同位角定义

在本题图中，<note>两条平行直线AB和CD</note>被<note>一条直线PC截交</note>，其中<note>角POB和角C位于截线PC的同旁，被截两直线AB和CD的同一侧</note>，因此<note>角C和角POB是同位角</note>。<note>同位角相等，即角C等于角POB</note>。####

三角形的外角定理

三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。

在本题图中，三角形AOP中，<note>角POB是三角形的一个外角</note>，<note>角A和角P是与外角POB不相邻的两个内角</note>，根据三角形的外角定理，<note>外角POB等于不相邻的两个内角角A和角P之和</note>，即<note>角POB = 角A + 角P</note>。####

多边形的外角定义

多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。

<note>多边形OAP的一个内角为∠AOP</note>，延长该内角的相邻边<note>AP和PO形成的角∠POB</note>称为内角∠AOP的外角。


Question: 求 x。将边长四舍五入到最接近的十分位。

Answer: 69.8

1. 观察给定的三角形，其中一个角为60°，另一个角为55°。

2. 根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°，因此另一个角的度数为180° - 60° - 55° = 65°。

3. 使用正弦定理，其公式为：(边长a/ sinA) = (边长b/ sinB) = (边长c / sinC)。在此题中，其中一边为73，##与其对角为65°##。寻找的边长x与其对角分别为60°。

4. 根据正弦定理， x/sin(60°) = 73/sin(65°)。

5. 对比计算x = 73 * sin(60°) / sin(65°)。

6. 使用计算器求出 sin(60°) ≈ 0.8660, sin(65°) ≈ 0.9063。

7. 将 sin 值代入公式, x ≈ 73 * 0.8660 / 0.9063。

8. 进行计算, x ≈ ##69.7539##。

9. 将 x 的值四舍五入到最近的整数，得到 x ≈ 69.8。

10. 最终得出答案为 x ≈ 69.8。

普通三角形; 正弦; 余弦

正弦函数定义

在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。

<note>sin(60°)</note> 和 <note>sin(65°)</note> 的值。<note>sin(60°) = 0.8660</note>，<note>sin(65°) = 0.9063</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

在本题图中，<note>三角形的两个内角分别为60°、55°</note>。根据<note>三角形内角和定理</note>，<note>第三个内角 = 180°-60° -55°=65°</note>。

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

<note>三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形</note>。三个点分别是<note>三角形的三个顶点</note>，三条线段分别是<note>三角形的三条边</note>。##

正弦定理

在任意三角形中，各边的长度与其所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径，即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=D（r为外接圆半径，D为直径）。

<note>设三角形的三个顶点分别为A、B、C，其中∠A = 60°，∠B = 55°，∠C = 65°</note>。<note>边BC = 73，对应的角为∠C = 65°，边BC = x，对应的角为∠A = 60°</note>。根据正弦定理，各边的长度与其所对角的正弦值的比相等，即：<note>x / sin(60°) = 73 / sin(65°)</note>。计算得x ≈ 69.8。


Question: 在上图中，直线EF和GH平行，且直线AB垂直于直线EF和GH。直线AB的长度是多少？

Answer: 5*\sqrt{3}

1. 已知条件有：直线EF平行于直线GH，直线AB垂直于直线EF和GH，##角DAF##为120度，线段AC为10。

##2. 根据平行线的平行公理2和同位角定义，可得∠ACH也为120°。同时∠ACB为∠ACH的邻补角，所以∠ACB=180°-120°=60°##

##3. 根据垂线的定义，因为AB⊥GH，所以∠ABC=90°。根据直角三角形的定义，三角形ABC中，∠ABC=90°，所以三角形ABC为直角三角形。##

##4.根据三角形内角和定理，∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-90°-60°=30°。##

##5. 根据30°-60°-90°三角形的性质，AB=√3/2AC=√3/2*10=5√3。##

####

6. 综上所述，最终得出答案为选择项c，即AB的长度是5√3。

平行线; 垂线; 直角三角形; 内错角

平行线的定义

在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

在本题图中，<note>直线EF和直线GH位于同一平面内</note>，并且<note>它们没有交点</note>，因此根据平行线的定义，<note>直线EF和直线GH是平行线</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>两条平行线EF和GH</note>被<note>第三条直线DC</note>所截，形成了以下几何关系：
1. 同位角：<note>角DAF和角ACH相等</note>。
2. 内错角：<note>角EAC和角ACH相等</note>。
3. 同旁内角：<note>角FAC和角ACH互补</note>，即<note>角FAC + 角ACH = 180度</note>。

这些关系说明了在<note>两条平行线被第三条直线所截时</note>，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

垂线定义

如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。

邻补角的定义

两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。

<note>角ACH和角ACB有一条公共边AC</note>，<note>它们的另一边CH和CB互为反向延长线</note>，所以角ACH和ACB互为邻补角。####

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>在本题图中，三角形ABC中，角ABC、角BAC和角BCA是三角形ABC的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角ABC + 角BAC + 角BCA = 180°</note>。####

30°-60°-90°三角形的性质

在30°-60°-90°三角形中，30度角所对的边短，是斜边的一半，60度角所对的边则为短边的√3倍。

<note>在本题图中，30°-60°-90°三角形ABC中，角BAC是30度</note>，<note>角BCA是60度</note>，<note>角ABC是90度</note>。<note>边AC是斜边</note>，<note>边BC是30度角所对的边</note>，<note>边AB是60度角所对的边</note>。根据30°-60°-90°三角形的性质，<note>边BC等于边AC的一半</note>，<note>边AB等于边BC的√3倍</note>。即：<note>BC = 1/2 * AC</note>，<note>AB = BC * √3</note>。######


Question: AB 是直径，AC = 8 英寸，BC = 15 英寸。求圆的周长。

Answer: 17 \pi

1. 首先，已知 A B 是圆的直径。设圆心为 O，因此 O 是 A B 的中点，并且 O A = O B 是圆的半径。

2. 根据##圆周角的定义和(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角，因为AB为直径##，这里可推知 ∠A C B 是直角。

3. ##根据直角三角形的定义，因为∠ACB=90°，所以△ABC为直角三角形。##在直角三角形 A C B 中，我们知道 A C = 8 英寸和 B C = 15 英寸。因此由勾股定理，我们可以得到 A B 的长度。勾股定理为：在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，即 A B^2 = A C^2 + B C^2。

4. 计算 A B：A B^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289。因此 A B = √289 = 17 英寸。

5. A B 是直径，因此圆的直径是 17 英寸。

6. ##圆的周长公式为 C = 2πr，其中 r 是半径，因为圆的直径为两倍的半径。因此圆的周长公式也可为 C = πd=π × 17 = 17π 英寸，d为直径##。

7. 最终计算得到此圆的周长为 17π 英寸。

圆; 直角三角形; 线段

圆的周长公式

圆的周长是圆周的长度，可以通过公式C=2πr计算，其中C是周长，r是半径。

<note>圆O中，点O是圆心</note>，<note>线段AO是半径r</note>。根据圆的周长公式，圆的周长C等于2π乘以半径r，即<note>C=2πr</note>。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角

半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>直角三角形 ACB 中</note>，<note>∠ACB 是直角（90度）</note>，边 <note>AC 和 BC 是直角边</note>，边 <note>AB 是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>AB^2 = AC^2 + BC^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289</note>，因此 <note>AB = √289 = 17 英寸</note>。

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。


Question: 如图,点B,E,C,F在同一条直线上,△ABC≌△DEF,∠B=45°,∠F=65°,则∠COE的度数为()

Answer: 70°

1. 已知△ABC≌△DEF，根据##全等三角形的定义##，得出∠BAC = ∠EDF, ∠ACB = ∠DFE, ∠ABC = ∠DEF。

2. 根据已知条件∠B = 45°和∠F = 65°，可以得到∠DEF = ∠ABC = 45°，∠ACB = ∠DFE = 65°。

3. ##已知点B、E、C、F在同一条直线上，由图知点O是在AC与DE的相交线上，则∠OEC=∠DEF，∠OCE=∠ACB##。

4. ##在△OEC中##，根据三角形内角和定理，##得∠OEC+∠OCE+∠COE=180°，即∠DEF+∠ACB+∠COE=180°，计算得##∠COE = 180° - ∠DEF - ∠ACB。

5. 将已知角度代入公式，计算得∠COE = 180° - 45° - 65° = 70°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为70°。

普通三角形; 邻补角; 三角形的外角; 对顶角; 直线

全等三角形的定义

两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等。

<note>三角形ABC和三角形DEF是全等三角形</note>，三角形ABC的<note>对应边和对应角与三角形DEF相等</note>，即：
<note>边AB = 边DE</note>
<note>边BC = 边EF</note>
<note>边AC = 边DF</note>
同时，对应的角也相等：
<note>角BAC = 角EDF</note>
<note>角ACB = 角DFE</note>
<note>角ABC = 角DEF</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

在本题图中，三角形OEC中，角OEC、角ECO和<note>角OCE</note>是三角形OEC的三个内角，根据三角形内角和定理，角OEC + <note>角OCE</note> + 角COE = 180°。


Question: 求 m \angle N C L.

Answer: 120

1. ##图中给出∠MCN=##60°。

2. ##在本题图中，根据邻补角的定义，∠NCL 和 ∠MCN 具有一条公共边NC，它们的另一边CL和CM互为反向延长线，因此它们是邻补角。##

3. ##根据平角的定义，∠NCL + ∠MCN = 180°，因此可以得出∠NCL = 180° - ∠MCL。##。

4. 代入数值##∠MCN## = 60°，得到∠NCL = 180° - 60°。

5. 计算180° - 60°，得到∠NCL = 120°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为120°。

圆心角; 圆周角; 普通三角形

平角的定义

<note>射线MC绕着端点C旋转到与起始边成一条直线</note>，形成<note>平角MCL</note>。根据平角的定义，平角的度数为180度，即<note>角MCL=180度</note>。


Question: 求x的值。

Answer: 23

1. ##设圆上的点分别为A、B、C、D，而圆心为点O##。

2. ##观察图形可知，红色标注的为直角符号，可以说明∠AOB是一个90度的直角##。

3. ##已知图形中圆心角∠BOC = 67°，∠AOB=90°##。

4. ##又因为点D、O、C在同一直线上，根据平角的定义，∠BOC +∠AOB+x=180°，即x=180°-∠BOC-∠AOB=180°-67°-90°=23°。##

5. 计算得## x ##= 23°。

6. 因此，通过上述分析，最终得出答案为x = 23°。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角this在本题图中，圆O中，点B和点C是圆上的两点，圆心是点O。连线OB和OC组成的角∠BOC称为圆心角。####name:平角的定义content:一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度。

<note>圆O中，点B和点C是圆上的两点，圆心是点O。连线OB和OC组成的角∠BOC称为圆心角。</note>

<note>射线OD绕着端点O旋转到与起始边成一条直线，形成平角DOC</note>。根据平角的定义，平角的度数为180度，即<note>角DOC=180度</note>。


Question: 求 x 的值。

Answer: 4 \sqrt { 15 }

1.已知该图形是一个直角三角形，其中一条直角边的长度为4，斜边的长度为16。##设斜边16与直角边X角的顶点为A，设90°角顶点为B，设斜边16和直角边4的角顶点为C。##

2. 根据直角三角形性质，即勾股定理，该定理表述为：在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。数学表达式为##AC?=AB?+BC?##。

3. 代入已知条件到勾股定理中：##16? = x? + 4?##。

4. 进行计算得：256 = ##x?## + 16。

5. 解方程以求出x的值：256 - 16 = ##x?，即240 = x?##。

6. 最终得出x的结果为：x = √240 = 4√15。

7. 因为x表示的是边长，边长不能为负值，所以x = 4√15。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>角∠ABC是直角（90度）</note>，因此三角形ABC是一个直角三角形。边AB和边BC是直角边，边AC是斜边。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和

<note>直角三角形</note>中，<note>一条直角边的长度为4</note>，<note>斜边的长度为16</note>，<note>另一条直角边的长度为x</note>。所以根据<note>勾股定理</note>，##16² = 4² + x²##，即256 = 16 + x²，解得<note>x² = 240</note>，因此<note>x = √240，即4√15</note>。


Question: 如图,已知圆周角∠A=50°,则∠OBC的大小是()

Answer: 40°

1. 已知∠A = 50°，根据圆周角定理，得出∠BOC = 2∠A = 100°。##根据圆心角的定义，∠BOC为圆O的圆心角。##

2. ##根据圆的定义，OB = OC，在△BOC中，根据等腰三角形的定义，△BOC为等腰三角形；再根据等腰三角形的性质，两腰对的底角相等，因此有∠OBC = ∠OCB。##

3. 根据三角形内角和定理，三角形的三个内角之和为180°，所以在△BOC中有∠BOC + ∠OBC + ∠OCB = 180°。

4. 代入已知条件和上步结论得100° + 2∠OBC = 180°。

5. 通过解方程得出2∠OBC = 80°，即∠OBC = 40°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为40°。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

<note>在本题图中，圆O中，点O是圆心</note>，<note>点B和点C是圆上的任意一点</note>，<note>线段OB和线段OC是从圆心O到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段OB和线段OC是圆的半径</note>。

圆的定义

到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

<note>等腰三角形BOC中，边OB和边OC相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>∠OBC = ∠OCB</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形BOC</note>中，<note>角BOC、角OBC和角OCB</note>是<note>三角形BOC的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角BOC + 角OBC + 角OCB = 180°</note>。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

在本题图中，圆O中，<note>角BAC的顶点(点A)在圆周上</note>，<note>角BAC的两边分别与圆O相交于点C和点B</note>。因此，<note>角BAC是一个圆周角</note>。


Question: 求 y。

Answer: 10

1. ##设该直角三角形三个顶点分别为A、B、C，其中∠A=60°，∠C=90°，AB=20，根据直角三角形的定义可得，该三角形为直角三角形。根据三角形内角和定理可得，∠B=30°，由此可以理解这是一个30°-60°-90°三角形。##

2. ##根据30°-60°-90°三角形的性质，该类型的三角形中，三边比例为1:√3:2。##

3. ##为了找到y的长度，使用y与斜边的比值，即1:2，那么y=斜边/2。##

4. ##代入题中已知斜边为20，计算出y = 20 / 2 = 10。##

5. 经过上述推理，最终得出答案为10。

直角三角形; 正弦; 余弦

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

在本题图中，<note>三角形中有一个内角为90度</note>，因此该三角形是一个直角三角形。<note>y和x是直角边，斜边为20</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

30°-60°-90°三角形的性质

<note>∠B=30°</note>，<note>∠A=60°</note>，<note>∠C=90°</note>。边<note>AB是斜边</note>，边<note>AC是30度角所对的边</note>，边<note>BC是60度角所对的边</note>。y等于斜边的一半，x等于y的√3倍。即：<note>AC = 1/2 * AB</note>，<note>BC = AC * √3</note>。


Question: 四边形 W X Y Z 是一个矩形。如果 m \\angle 1 = 30，求 \\angle 6 的度数。

Answer: 60

1. 已知 WXYZ 是一个矩形，##根据矩形的定义得：WX∥YZ，WY∥XZ，又根据内错角定义和平行线的平行公理2，所以∠1=∠5=30°（内错角相等）##。

##2. 由直角标记可知，∠WYZ =90度。##

##3. 由图可得，∠6+∠5=∠WYZ，现已知∠5=30°，∠WYZ=90°，则∠6=∠WYZ-∠5=90°-30°=60°。##

####

##4##. 经过上述推理，最终得出答案为60度。

矩形; 垂线; 邻补角; 内错角

矩形的定义

矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。

<note>四边形 WXYZ 是一个矩形</note>，其内角<note>∠WYZ, ∠YWX, ∠WXZ, ∠XZY</note>都是直角（90度），且<note>边 WX 与边 YZ 平行且等长，边 WY 与边 XZ 平行且等长</note>。

内错角的定义

<note>在本题图中，两条平行直线WX和YZ被一条直线XY截交，</note><note>其中∠1和∠5位于两平行线之间，且在截线XY的对侧，</note><note>因此∠1和∠5是内错角。</note><note>内错角相等，即∠1等于∠5。</note>####

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

在本题图中，<note>两条平行直线WY和XZ</note>被<note>一条直线XY所截</note>，形成了以下几何关系：<note>内错角：∠1和∠5相等</note>。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。


Question: 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,将△ABC绕AC所在的直线旋转一周得到一个旋转体,则该旋转体的侧面积为()

Answer: 15π

1. 已知在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3。

2. 根据勾股定理##（毕达哥拉斯定理）##得出，AB = √(AC^2 + BC^2) = √(4^2 + 3^2) = √(16 + 9) = √25 = 5。

3. 直角三角形ABC绕AC所在的直线旋转一周得到一个旋转体，即一个圆锥。

4. ##三角形的直角边BC为圆锥的底面周长中的半径，所以r=3##。

5. 设旋转体的母线长为AB，则母线长为5。

6. 根据圆锥的##表##面积公式，S = π * 底面半径 * 母线长。为 S = π * 3 * 5 = 15π。

7. 经过上述推理，最终得出答案为15π。

直角三角形; 旋转; 圆锥; 圆; 圆柱

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

在本题图中，三角形ABC中，<note>角ACB是直角（90度）</note>，因此三角形ABC是一个直角三角形。<note>边AC和边BC是直角边</note>，<note>边AB是斜边</note>。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>在本题图中，直角三角形ABC中，角ACB是直角（90度）</note>，<note>边AC和BC是直角边，边AB是斜边</note>，所以根据勾股定理，##AB^2 = AC^2 + BC^2，即 AB = √(AC^2 + BC^2) = √(4^2 + 3^2)## = √(16 + 9) = √25 = 5。

圆锥

圆锥是一种几何图形，有一个圆形的底和一个顶点，它的侧面为一曲面。

在本题图中，<note>圆锥是将直角三角形ABC绕AC所在的直线旋转一周得到的几何体</note>。<note>圆锥的底面是一个圆形</note>，<note>圆的半径为BC，即3</note>，<note>圆心为旋转轴上的点C</note>。<note>圆锥的顶点为点A</note>，<note>顶点A与圆心C之间的距离为圆锥的高，记作AC，即4</note>。<note>圆锥的侧面是一个曲面</note>，<note>从顶点A到圆周上的任意一点的距离为母线长度，记作AB，即5</note>。

圆锥的表面积公式

圆锥的总表面积等于底面积加上侧面积。

在本题图中，圆锥中，底面是一个圆，其<note>半径为3</note>，<note>底面积为πx3²</note>。圆锥的侧面展开后是一个扇形，其<note>半径为斜高5</note>，扇形的<note>弧长等于底面的周长2πx3</note>。侧面积等于扇形的面积，即<note>πx3×5</note>。圆锥的总表面积等于底面积加上侧面积，所以总表面积为<note>πx3² + πx3×5</note>。

母线

母线是指圆锥中从底面圆周上的一点到顶点的线段。

在本题图中，圆锥中，<note>底面圆周上的一点为B</note>，<note>顶点为A</note>，<note>连接底面圆周上一点B和顶点A的线段AB就是母线</note>。母线是<note>圆锥中从底面圆周上的一点到顶点的线段</note>。


Question: 求x。

Answer: 8 \sqrt { 5 }

1. 已知条件为直角三角形，其中一条直角边为38，另外一条直角边为x，斜边为42。

2. 根据勾股定理，即直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，即a^2 + b^2 = c^2，其中b和a是直角边，c是斜边。

3. 代入题目中的已知值到勾股定理中，得出方程x^2 + 38^2 = 42^2。

4. 计算38^2 = 1444。

5. 计算42^2 = 1764。

6. 代入计算结果，得到方程x^2 + 1444 = 1764。

7. 解方程x^2 + 1444 = 1764，得到x^2 = 1764 - 1444。

8. 计算1764 - 1444 = 320。

9. 得到方程x^2 = 320，取x的正值，得到x = √320。

10. 进一步计算，√320=##√(64×5)= 8 × √5 = 8√5##。

11. 由于保留根号形式，因此我最后的答案为x = ##8√5##。

12. 经过上述推理，最终得出答案为##8√5##。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

在本题图中，<note>直角三角形</note>中，一条<note>直角边为38</note>，另一条<note>直角边为x</note>，<note>斜边为42</note>。根据<note>勾股定理</note>，斜边的平方等于两条直角边的平方和，即<note>38^2 + x^2 = 42^2</note>。


Question: 如果 D B = 24, A E = 3, 和 E C = 18, 求 A D.

Answer: 4

1. ##已知DE平行BC，根据平行线的平行公理2，角ADE=角B##。

2. ##因为角ADE=角B，角A公用，所以根据相似三角形的判定定理(AA)，三角形ADE和三角形ABC相似##。

3. ##根据相似三角形的定义，AD/AB=AE/AC，即AD/（AD+24）=3/3+18##。

4. 解该方程 AD = ##4##。

####

##5##. 经过上述推理，确定计算正确，得出 AD = 4。

相似三角形的判定定理(AA)

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

在本题图中，<note>两条平行线DE和BC</note>被<note>第三条直线AB</note>所截，形成了以下几何关系：同位角：<note>角ADE=角B</note>。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等。####

同位角定义

在本题图中，<note>两条平行线DE和BC被第三条直线AB所截</note>，其中<note>角ADE和角B位于截线AB的同旁</note>，<note>被截两直线DE和BC的同一侧</note>，因此<note>角ADE和角B是同位角</note>。同位角相等，即<note>角ADE=角B</note>。

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。


Question: 绍兴是著名的桥乡．如图,圆拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m,桥拱半径OC为5m,则水面宽AB为()

Answer: 8m

1. 连接点O到点A。

2. 由于CD垂直于AB，根据已知条件AD等于BD##以及垂径定理，可得##AD等于BD等于AB的一半。

3. 在直角三角形ADO中，OA等于OC为5米，OD等于CD减去OC，即OD等于8米减去5米，等于3米。

4. 由于角ADO为90度，根据勾股定理，在直角三角形ADO中，AD等于√(OA##^2## - OD##^2##)=√(5##^2## - 3##^2##) = 4米。

5. 由此得到AB等于2倍的AD，即AB等于2 × 4米 = 8米。

圆; 弦; 线段; 垂线; 直角三角形

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

在本题图中，<note>圆O中，点O是圆心</note>，<note>点A和点C是圆上的任意一点</note>，<note>线段OA和OC是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段OA和OC是圆的半径</note>，且<note>OA等于OC等于5米</note>。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

垂径定理

如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧


Question: 求 K J，如果 G J = 8，G H = 12，H I = 4。

Answer: 2

1. ##由图中箭头标识可知：KH ∥ IJ。##

2. ##由图示可知，线段KH在三角形GJI内，且KH ∥ IJ并与边GJ和边GI相交于点K和点H。根据平行线分线段成比例定理##，KH在边GJ和边GI上截得的线段GK和GH于三角形GJI的对应边成比例。##

3. 得到式子：##GK/GJ=GH/GI##。

4. 已知GH = 12，HI = 4，且GJ = 8，##其中线段GH和线段HI组成线段GI，即GI=GH+HI=12+4=16##。

5. 代入具体的值到比例式，可得：GK / 8 = 12 / 16

6. ##交叉相乘可得：16GK=8 * 12##。

7. ##解得：GK=96/16=6##

8. ##由图示可知GJ由GK和KJ构成，即GJ=GK+KJ，所以KJ=GJ-GK##。

10.代入 ##GK=6, 得KJ=GJ-GK=8-6=2##

11.解得##KJ## = 2.

12. 经过上述推理，最终得出答案为2.

线段; 等腰三角形; 平行线

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

平行线的定义

在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

在本题图中，<note>直线KH和直线JI位于同一平面内</note>，并且<note>它们没有交点</note>，因此根据平行线的定义，<note>直线KH和直线JI是平行线</note>。

平行线分线段成比例定理

如果一条直线与一个三角形的一条边平行，并截它的其他两边或两边的延长线，那么它截得的线段与原三角形相对应的线段成比例。

<note>三角形GJI中</note>，<note>直线KH与边IJ平行</note>，并截它的其他两边<note>GJ和GI于点K和H</note>，那么根据平行线分线段成比例定理，有：<note>GH/GI = GK/GJ</note>。即12/16 = GK/8。


Question: 如图,在⊙O中,AB是直径,CD是弦,AB⊥CD,垂足为点E,连接CO,AD,若∠BOC=30°,则∠BAD的度数是()

Answer: 15°

1.已知AB是直径且AB垂直于CD，垂足是点E，##根据垂径定理直径AB垂直于弦CD那么直径AB平分弦CD对应的弧CB和DB。##，得出BC=BD且CE=DE。

2. 连接CO，依据已知条件∠BOC=30°。

####

##3. 根据圆心角的性质，弧BC等于它所对应圆心角的度数，即弧BC=∠BOC=30°。从上述步骤得出AB平分弧CB可以得出弧DB=弧CB=30°##

##4. 已知弧BD=弧CB=30°，那么圆周角BAD所对应的弧BD等于弧CB所对应的圆心角的一半，即：∠BAD=1/2角BOC。##

####

##5. 计算公式：∠BAD = (1/2) ∠BOC = (1/2) × 30° = 15°。##

##6##.经过上述推理，最终得出答案为15°。

圆; 直角三角形; 垂线; 圆周角; 圆心角

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

垂径定理

如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。

##圆心角的性质

圆心角的度数等于它所对的圆弧的度数。

<note>圆心角∠BOC所对的圆弧为弧BC</note>。根据圆心角的性质，<note>圆心角的度数与所对圆弧的度数相等</note>，即<note>∠BOC的度数 = 弧BC的度数</note>。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

在本题图中，圆O中，点A、B、C、D在圆上，<note>弧BD对应的圆心角为∠BOD</note>，<note>圆周角为∠BAD</note>。根据圆周角定理，<note>∠BAD等于它所对的弧BD所对应的圆心角∠BOD的一半</note>，即<note>∠BAD = 1/2 ∠BOD</note>。


Question: 将 \tan L 的比率表示为小数，精确到小数点后两位。

Answer: 0.42

1. ##在三角形 LJK中 ，∠JKL 为直角，根据直角三角形的定义，得△LJK是直角三角形##。

####

##2##. 确定了直角三角形后，要求的∠L 的正切值 tan L，##根据正切函数的定义##，得出 tan L = JK / LK = 5 / 12。

##3##. 将比值 5/12 进行计算，得到 tan L ≈ 0.41666...。

##4##. 将计算结果保留到小数点后第二位，四舍五入后，tan L = 0.42。

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为 tan L 的比值为 0.42。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

在本题图中，三角形 LJK 中，<note>角 ∠JKL 是直角（90度）</note>，因此<note>三角形 LJK 是一个直角三角形</note>。<note>边 JK 和边 LK 是直角边，边 LJ 是斜边</note>。

正切函数的定义

在直角三角形中，一个锐角的正切值等于相对直角边长度除以相邻直角边长度。

<note>直角三角形 LJK</note> 中，<note>角 ∠L 是锐角</note>，<note>边 JK 是角 ∠L 的相对直角边</note>，<note>边 LK 是角 ∠L 的相邻直角边</note>，所以<note>角 ∠L 的正切值等于边 JK 的长度除以边 LK 的长度</note>，即 tan(<note>∠L</note>) = <note>JK / LK</note> = 5 / 12。####


Question: 如图,已知圆锥的底面半径为6,母线长为10,则此圆锥的侧面积为()

Answer: 60π

1. 圆锥底面的半径为6，底面周长为底面半径的2倍乘以π，即2×6π。

2. 计算得到底面周长为12π。

3. 圆锥的母线长为10。

4. 圆锥的侧面积等于底面周长乘以母线长再除以2，具体计算过程为：1/2×12π×10。

5. 计算得到圆锥的侧面积为60π。

圆锥

圆锥是一种几何图形，有一个圆形的底和一个顶点，它的侧面为一曲面。

<note>圆锥的底面是一个圆形</note>，<note>圆的半径为6</note>，<note>圆心为底面的中心点</note>。<note>圆锥的顶点为圆锥上部的点</note>，<note>顶点与圆心之间的距离为圆锥的高</note>。<note>圆锥的侧面是一个曲面</note>，<note>从顶点到圆周上的任意一点的距离为母线长度，为10</note>。

圆锥的展开图

一个圆锥体的展开图是一个扇形，扇形的半径是圆锥体的斜高，扇形的弧长是圆锥体底面圆的周长。

在本题图中，<note>圆锥体的展开图是一个扇形</note>。<note>扇形的半径是圆锥体的斜高10</note>，<note>扇形的弧长是圆锥体底面圆的周长12π</note>。因此，<note>扇形的半径10等于圆锥体的斜高</note>，<note>扇形的弧长12π等于圆锥体底面圆的周长，即2πr</note>，其中<note>r是底面圆的半径6</note>。

圆的周长公式

圆的周长是圆周的长度，可以通过公式C=2πr计算，其中C是周长，r是半径。

<note>圆锥底面是一个圆</note>，<note>圆的半径为6</note>。根据圆的周长公式，<note>圆的周长C等于2π乘以半径r，即C=2πr</note>，所以底面周长为2π×6 = 12π。

圆锥的表面积公式

圆锥的总表面积等于底面积加上侧面积。

<note>在本题图中，圆锥中，底面是一个圆，其半径为6</note>，<note>底面积为πx6?</note>。<note>圆锥的侧面展开后是一个扇形，其半径为斜高10</note>，<note>扇形的弧长等于底面的周长2πx6</note>。<note>侧面积等于扇形的面积，即πx12×10</note>。圆锥的总表面积等于底面积加上侧面积，所以总表面积为<note>πx6? + πx12×10</note>。##


Question: 在图中，m \angle 3 = 110 和 m \angle 12 = 55。求 \angle 13 的度数。

Answer: 55

1. ##已知 ∠12 = 55°，∠10 与∠12 所在的两条直线平行。##

2. ##由于 ∠10 与∠12 所在的两条直线平行，根据同位角的定义，可以得出 ∠10 与∠12 是同位角；再根据平行线的平行公理2可得，∠10 = ∠12 =55°。##

3. ##∠13 与∠10 为两条直线相交形成，根据对顶角的定义，∠10 = ∠13。##

4. ##由以上信息得，∠13 = ∠10 = ∠12 =55°。##

####

####

####

####

####

##5. 根据计算得出答案为55°##

内错角; 平行线; 对顶角

对顶角的定义

对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。

<note>两条相交直线</note>形成四个角：<note>∠9、∠10、∠13 和∠14</note>。根据<note>对顶角的定义</note>，<note>∠13 与∠10 是对顶角</note>，由于对顶角的角度相等，所以 <note>∠13 =∠10</note>。

同位角定义

<note>∠10 与∠12 所在的两条直线平行且被同一条直线所截</note>，<note>∠10 与∠12 在截线同侧</note>，所以<note>∠10 与∠12是同位角</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>∠10 与 ∠12 是同位角</note>，所以<note>∠10 = ∠12</note>。####


Question: 如图,直线a∥b,点B在直线b上,且AB⊥BC,∠2=65°,则∠1的度数为()

Answer: 25°

1. 由题中给出的条件，已知直线a平行于直线b。

2. ##根据平行线平行公理2和同位角定义，∠2和∠CBD相等，所以∠CBD=∠2=65°##。

3. ##根据垂线定义，AB⊥BC，∠ABC=90°##。

4. ##根据平角的定义，∠1+∠ABC+∠CBD=180°##。

5. 根据已知条件，##∠ABC = 90°，∠CBD=65°，所以代入得：∠1+90°+65°=180°##。

6. 由此计算得：##∠1 = 180°-90° - 65° = 25°##。

7. 因此，角1的度数为25°。

8. 综上所述，我们最终得出∠1的度数为25°。

平行线; 内错角; 邻补角

平行线的定义

在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

<note>直线a和直线b位于同一平面内</note>，并且<note>它们没有交点</note>，因此根据平行线的定义，<note>直线a和直线b是平行线，记作a∥b</note>。

平角的定义

<note>射线BD</note>绕着端点<note>B</note>旋转到与起始边成一条直线，形成平角。根据<note>平角的定义</note>，平角的度数为<note>180度</note>。##

垂线定义

如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。

在本题图中，<note>直线AB和直线BC相交形成的角∠ABC是90度</note>，因此根据垂线定义，<note>直线AB和直线BC互相垂直</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>两条平行线a和b被第三条直线BC所截</note>，形成了以下几何关系：1. <note>同位角：角2和角CBD相等</note>。这些关系说明了在<note>两条平行线被第三条直线所截时</note>，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

同位角定义

<note>在本题图中，两条平行直线a和b被一条直线BC截交，其中角2和角CBD位于截线BC的同旁，被截两直线a和b的同一侧，因此角2和角CBD是同位角。</note>同位角相等，即角2等于角CBD。


Question: 如图所示为农村一古老的捣碎器,已知支撑柱AB的高为0.3米,踏板DE长为1米,支撑点A到踏脚D的距离为0.6米,原来捣头点E着地,现在踏脚D着地,则捣头点E上升了()

Answer: 0.5米

1. 已知支撑柱AB的高度为0.3米，踏板DE的长度为1米，支撑点A到踏脚D的距离为0.6米，根据图示可作出△DAB和△DEF。

2. ##已知角ABD=角EFD=90度，角D为公共角，因此△DAB ∽ △DEF。##

3. 根据相似三角形的性质，相应边的比值相等，则AD:DE = AB:EF。

4. 代入已知数据，得0.6:1 = 0.3:EF，由此可以求得EF = 0.5米。

5. 因为原来捣头点E着地，现在踏脚D着地，所以捣头点E上升的高度等于EF的长度，即0.5米。

普通三角形; 线段; 旋转

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>三角形DAB和三角形DEF是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>∠DAB = ∠DEF</note>, <note>∠ADB = ∠DFE</note>, <note>∠ABD = ∠EDF</note>；<note>AD/DE = AB/EF = DB/DF</note>。

相似三角形的判定定理(AA)

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。


Answer: 32°

1. 已知AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE。

2. 因为CD=CE，所以在△CDE中，∠D和∠E是对应的角。根据等腰三角形的性质，底角相等，因此，##∠D = ∠CED= 74°##。

 ####

##3. 根据三角形内角和定理，△CDE 中的各角和为180°。因此，可以得到方程：∠D + ∠C + ∠CED = 180°。##

##4. 代入已知条件，替换∠D和∠CED，得：74° + 74° +  ∠C  = 180°。##

####

##5 . 解方程，得到∠C = 32°。##

####

##6. 根据平行线的平行公理2，内错角相等，∠B=∠C= 32°。##

####

##7##. 经过上述推理，最终得出答案为53°。

平行线; 内错角; 普通三角形; 等腰三角形

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

<note>在本题图中，三角形CDE中，边CD和边CE相等</note>，因此三角形CDE是一个等腰三角形。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

<note>等腰三角形CDE中，边CD和边CE相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>∠D = ∠DEC</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

在本题图中，三角形CDE中，角D、角ECD和<note>角DEC</note>是三角形CDE的三个内角，根据三角形内角和定理，角D + 角ECD + <note>角DEC</note> = 180°。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>平行线AB和CD</note>被第三条<note>直线BC所截</note>，形成了以下几何关系：
##1. <note>内错角：∠C和∠B相等</note>。
######


Question: 求 m \angle A。

Answer: 60

####

##1. 根据四边形的内角和定理：##在任意四边形中，四个内角的和是360°，即∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°。

##2##. 代入已知角度表达式，得到x° + 2x° + 2x° + x° = 360°。

##3##. 整理方程，得到6x° = 360°。

##4##. 将方程两边同时除以6，得到x = 60°。

##5##. 因为∠A = x°，代入x的值得∠A = 60°。

##6##. 经过上述推理，最终得出答案为60°。

梯形; 三角形的外角; 同旁内角

四边形的内角和定理

在任意四边形中，四个内角的和为360°。

在本题图中，<note>四边形ABCD</note>中，<note>角A</note>、<note>角B</note>、<note>角C</note>和<note>角D</note>是四边形的四个内角，根据四边形的内角和定理，这四个内角的和为360°，即<note>∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°</note>。


Question: 如图,在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片,使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆的半径为1,扇形的圆心角等于90°,则扇形的半径是()

Answer: 4

1. 已知圆的半径为1，根据定义，圆的周长可以表示为2π。

2. 设扇形的半径为r，扇形的圆心角等于90°。##设矩形为ABCD（从左上开始逆时针依次取顶点），从上到下，扇形的弧长分别从两侧交矩形为X，Y##

3. 根据扇形的弧长公式，##扇形的弧长L等于圆心角θ（以弧度制表示）乘以半径r：L = θr，因此此处θ = 90°，利用角度与弧度的换算公式，弧度=90*（π/180）＝π/2##。

4. 代入已知条件，扇形的弧长可以表示为L = ##πr/2##。

####

##5##. 因为题目描述中扇形的弧长等于底面圆的周长，因此有(1/2)πr = 2π。

##6##. 解此方程得：r = 2π / ((1/2)π) = 2π * (2/π) = 4。

##7##. 经过上述推理，最终得出扇形的半径是4。

圆; 扇形; 圆心角; 圆锥

圆的周长公式

圆的周长是圆周的长度，可以通过公式C=2πr计算，其中C是周长，r是半径。

在本题图1中，<note>圆的半径为1</note>，根据圆的周长公式，<note>圆的周长C等于2π乘以半径r</note>，即C=2πr。因此，<note>C=2π×1=2π</note>。

扇形的定义

由一个圆的两条半径与它们所夹的圆弧组成的图形称作扇形。

<note>在本题中，扇形的圆心角等于90°</note>，两条半径分别为<note>扇形的半径r和圆心到弧长的另一端点的距离</note>，<note>圆弧为扇形的弧长</note>。因此，根据扇形的定义，由<note>这两条半径和它们所夹的圆弧组成的图形为扇形</note>。

扇形的弧长公式

扇形的弧长L等于圆心角θ（以弧度制表示）乘以半径r：L = θr。

<note>扇形的半径为r</note>，<note>圆心角θ = 90°</note>。根据扇形的弧长公式，弧长L等于圆心角θ乘以半径r，其中<note>θ以弧度制表示</note>，即<note>θ = 90° * (π/180) = π/2</note>。因此，<note>L = (π/2) * r</note>。

圆锥的展开图

<note>纸片剪下的圆形将作为圆锥的底面</note>，<note>底面圆的周长2π</note>必须等于<note>扇形的弧长(1/2)πr</note>。因此有<note>(1/2)πr = 2π</note>。

角度与弧度的换算公式

弧度=角度*（π/180），角度=弧度*（180/π）

<note>扇形圆心角的角度是 90°</note>，根据角度与弧度的换算公式，换算为弧度=角度*（π/180），即 <note>90*（π/180）</note>###

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角


Question: 如图,把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上,如果∠1=27.5°,那么∠2等于()

Answer: 17.5°

1. 已知AB平行于CD，##设CF与AB交于点G，根据平行线的平行公理2和内错角定义，∠AEC=∠1##。

2. ##已知三角形FCE是45°-45°-90°的直角三角形，∠FCE=∠AEC+∠2=45°##。

3. ##代入第1步的结论，∠AEC=∠1=27.5°##。

4. ##即27.5°+∠2=45°，解得∠2=17.5°。##

####

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为17.5°。

直角三角形; 邻补角; 内错角

平行线的定义

在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

<note>直线AB和直线CD位于同一平面内</note>，并且<note>它们没有交点</note>，因此根据平行线的定义，<note>直线AB和直线CD是平行线</note>。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>在本题图中，三角形FEC中，角EFC是直角（90度）</note>，因此三角形FEC是一个直角三角形。<note>边FE和边FC是直角边，边EC是斜边</note>。

内错角的定义

<note>两条平行直线AB和CD</note>被一条<note>直线CE</note>截交，其中<note>角1和角AEC位于两平行线之间，且在截线CE的对侧</note>，因此<note>角AEC和角1是内错角</note>。内错角相等，即<note>角AEC等于角1</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>在本题图中，两条平行线AB和CD被第三条直线CE所截，形成了以下几何关系：</note>1. ##内错角##：<note>角AEC和角1相等。</note>####


Question: 如图,AB是圆O的直径,CD是圆O的弦,AB、CD的延长线交于点E,已知AB=2DE,∠E=16°,则∠ABC的度数是()

Answer: 24°

1. 连接OD，已知AB是圆O的直径，根据直径的定义，得出AB=2OD。

2. 由已知条件AB=2DE，结合上述结论AB=2OD，因此可以推导出OD=DE。

3. ##三角形DOE中，有OD=DE，所以由等腰三角形的定义可知，三角形DOE是等腰三角形##

4.##再由等腰三角形的性质可知，∠DOE＝∠DEO##

5. ##∠DOE是弧BD所对的圆心角，∠DCB是弧BD所对的圆周角，由圆周角定理可知，∠DCB＝∠DOE/2＝∠DEO/2＝8°##

6. ##∠ABC是三角形CBE的外角，由三角形的外角定理可知，∠ABC＝∠DCB＋∠E＝24°##

7. 经过上述推理，最终得出答案为24°。

圆; 圆周角; 弦; 直线; 等腰三角形

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

<note>AB是圆O的直径</note>，连接了圆心<note>O</note>和圆周上的<note>A、B</note>两点，长度为2倍的半径，即<note>AB = 2 * OA</note>。

弦的定义

弦是连接圆上任意两点的线段。

在本题图中，圆O中，<note>点C和点D是圆上的任意两点</note>，<note>线段CD连接了这两个点</note>，所以<note>线段CD是圆O的弦</note>。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

<note>∠DCB是由弦BD所对的圆周角</note>。根据圆周角定理，圆周角等于其对应的圆心角的一半，也就是<note>∠DCB = 1/2∠DOB = 1/2 × 16° = 8°</note>。

三角形的外角定理

三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。

<note>在本题图中，三角形BCE中，角∠ABC是三角形的一个外角</note>，角∠BCE和角∠BEC是与外角∠ABC不相邻的两个内角，根据三角形的外角定理，<note>外角∠ABC等于不相邻的两个内角∠BCE和∠BEC之和，即角∠ABC = 角∠BCE + 角∠BEC。</note>

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形

在本题图中，三角形ODE中，<note>边DO和边DE相等</note>，因此<note>三角形ODE是一个等腰三角形</note>。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等

<note>等腰三角形ODE中，边DO和边DE相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，<note>相等的两边所对的角相等</note>，即<note>角DOE = 角DEO</note>。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

<note>圆O中，点D和点B是圆上的两点，圆心是点O</note>。<note>连线OD和OB组成的角∠DOB称为圆心角</note>。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

在本题图中，圆O中，<note>角BCD的顶点(点C)在圆周上</note>，<note>角BCD的两边分别与圆O相交于点D和点B</note>。因此，角BCD是一个圆周角。####

多边形的外角定义

多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。

<note>在本题图中，多边形BCE的一个内角为∠CBE</note>，延长该内角的相邻边<note>EB和CB形成的角∠ABC称为内角∠BCE的外角</note>。####

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

<note>在本题图中，等腰三角形ODE中，边OD和边DE相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，<note>相等的两边所对的角相等</note>，即<note>角DOE = 角DEO</note>。


Question: 如果 W X Y Z 是一个风筝，求 W P。

Answer: \sqrt { 20 }

1. ##已知四边形 WXYZ 是一个筝形，WX = 6，XP = 4。根据筝形的性质，可知WY垂直XZ于点P，∠XPW=90°。##

2. ##根据直角三角形的定义可得，三角形XPW为直角三角形。##

3. ##根据勾股定理（毕达哥拉斯定理），在三角形XPW中，WX^2=XP^2+WP^2，则WP=√(WX^2-XP^2)##

4. ##代入已知内容，得WP=√(WX^2-XP^2)=√(6^2-4^2)##

5. ##计算得出 x = √20。##

6. ##根据以上计算步骤得出，WP = √20 = 2√5。##

7. 经过上述推理，最终得出答案为 2√5。

线段; 菱形; 垂直平分线

筝形的性质

筝形的两条对角线互相垂直，并且其中只有一条对角线被另一条平分。

<note>在本题图中，已知筝形WXYZ的对角线XZ和WY相交于点P</note>。根据筝形的性质，其两条对角线<note>XZ与WY互相垂直，即XZ⊥WY</note>，且只有其中一条对角线<note>WY被另一条对角线XZ平分，即WP=YP</note>。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>在本题图中，直角三角形 WPX 中，∠WPX 是直角（90度）</note>，<note>边 WP 和 XP 是直角边</note>，<note>边 WX 是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>WX^2=XP^2+WP^2</note>，即 6^2 = 4^2+WP^2，从而解出 WX 的长度。


Question: 在图中找到 x 的值。

Answer: 71

普通多边形; 同旁内角; 内错角

多边形的外角定义

多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。

多边形外角和定理

任意多边形的外角和等于360°。

在本题图中，##<note>多边形ABCDEFG</note>中，每个顶点的外角分别是 <note>(x-20)°</note>,  21°, 42°, 29°, <note>(x+14)°</note>，<note>x°</note>，<note>(x-10)°</note>。根据<note>多边形外角和定理</note>，这些外角的和等于360°，即 <note>(x-20)° + 21° + 42° + 29° + (x+14)° + x° +(x-10)°= 360°</note>##。


Answer: 65°

1. 连接OA和OB，这是因为我们需要利用它们来分析角度关系。

2. 连接OB和OA，依据题意我们知道∠ACB = 25°。

3. 根据圆周角定理，圆周角的度数是所对的圆心角的一半。因此，圆心角∠AOB = 2 * ∠ACB = 2 * 25° = 50°。

4. ##因为OA和OB是圆的半径，它们的长度相等，所以OA = OB##，因此△OAB是等腰三角形。

5. 等腰三角形中，两个底角相等，所以我们设∠OAB = ∠OBA。

6. 在△OAB中，因为它是三角形，内角和等于180°，所以有∠OAB + ∠OBA + ∠AOB = 180°。

7. 代入已知条件和####角度数值，有∠OAB + ∠OAB + 50° = 180°。

8. 化简得2∠OAB = 180° - 50°，即2∠OAB = 130°。

9. 继续化简得∠OAB = 65°。

10. 故∠BAO = 65°。

圆; 圆周角; 圆心角; 弧; 点

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

在本题图中，圆O中，<note>角ACB的顶点C在圆周上</note>，<note>角ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B</note>。因此，<note>角ACB是一个圆周角</note>。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

<note>在本题图中，圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O</note>。<note>连线OA和OB组成的角∠AOB</note>称为圆心角。

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>角OAB、角OBA和角AOB是三角形OAB的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角OAB + 角OBA + 角AOB = 180°</note>。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

<note>等腰三角形OAB中，边OA和边OB相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>角OAB = 角OBA</note>。


Question: 如图,在⊙O中,弦AB的长为10,圆周角∠ACB=45°,则这个圆的直径AD为()

Answer: 10√{2}

1. 已知∠ACB = 45°，根据圆周角定理，圆周角∠ACB所对的圆心角为2倍的∠ACB。因此，∠AOB = 2 * 45° = 90°。

2. 在圆O中，连接OA和OB，因为OA和OB是半径，##所以OA＝OB，又因∠AOB= 90°，由等腰直角三角形的定义可知，三角形AOB是等腰直角三角形##。

3. ##由勾股定理可知，等腰直角三角形三边有关系，OA^2＋OB^2＝2OA^2＝AB^2，整理得√2OA＝AB##。

4. ##已知AB＝10，所以OA＝10/√2＝5√2##。

5.##所以AD＝2OA＝10√2##。

6. ##经过上述推理，最终得出答案为10√2。##

####

圆; 弦; 圆周角; 直角三角形; 直线

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

<note>圆O中，角ACB的顶点C在圆周上</note>，角ACB的两边分别与圆O相交于点<note>A和点B</note>。因此，<note>角ACB是一个圆周角</note>。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

<note>在本题图中，圆O中，点A、C、B在圆上，弧AB与弧ACB对应的圆心角为∠AOB，圆周角为∠ACB</note>。根据圆周角定理，<note>∠ACB等于它所对的弧AB所对应的圆心角∠AOB的一半，即∠ACB = 1/2 ∠AOB</note>。##

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

<note>圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O</note>。<note>连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角</note>。

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。


Question: m \angle 4 = 2 y + 32 和 m \angle 5 = 3 y - 3。求 y。

Answer: 35

1. ##已知 ∠4 = 2y + 32 和 ∠5 = 3y - 3 。设左侧上下方向的为l，右侧与其平行的线为m，横向截线为n，左侧交点记为A,右侧交点记为B。##

2.## 平行线的平行公理2可知，∠4与∠8互为同位角，所以∠4＝∠8##

3. ##∠5与∠8互为对顶角，所以∠5＝∠8##

4.##综上所述有∠4＝∠8＝∠5，将∠4 = 2y + 32＝∠5 = 3y - 3 联立 为2y + 32 = 3y - 3##

5.## 简化方程得到 35 = y。##

##6. 经过上述推理，最终得出答案为 y = 35##。

####

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>两条平行线l和m被第三条直线n所截</note>，形成了以下几何关系：1. 同位角：<note>角4和角8相等</note>。

对顶角的定义

对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等

在本题图中，两条相交直线<note>m和n相交于点B</note>，形成四个角：<note>角5、角6、角7和角8</note>。根据对顶角的定义，<note>角5和角8是对顶角</note>，<note>角6和角7是对顶角</note>。由于对顶角的角度相等，所以<note>角5=角8</note>，<note>角6=角7</note>。####

同位角定义

两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角

在本题图中，<note>两条平行直线l和m被一条直线n截交</note>，其中<note>角4和角8位于截线n的同旁</note>，<note>被截两直线l和m的同一侧</note>，因此角4和角8是同位角。同位角相等，即<note>角4等于角8</note>。##


Question: 切线 M P 被画到 \\odot O。若 M O = 20，求 x。

Answer: 12

1. 已知线段 M P 是圆心 O 的切线，根据切线的性质，切线与圆心的连线垂直于过该切点的半径，即##∠MPO##为直角。

2. 因为M O = 20，M P = 16，根据勾股定理在直角三角形 MOP 上使用，即 M O^2 = M P^2 + OP^2，可以得出 OP 即为圆的半径，并且 OP = x。

3. 将已知数据代入勾股定理公式，得出 20^2 = 16^2 + x^2。

4. 计算具体值：400 = 256 + x^2。

5. 解此方程，得到 x^2 = 400 - 256 = 144。

6. 取 x 的正值，得 x =##√144 ##= 12。

7. 以上计算结果显示，最终得出答案为 12

切线; 圆; 直角三角形

圆的切线定义

圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。

<note>圆 O 与直线 MP 有且只有一个公共点 P</note>，这个公共点叫做切点。因此，<note>直线 MP 是圆 O 的切线</note>。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>在本题图中，三角形 MOP 中，角 MPO 是直角（90度）</note>，因此三角形 MOP 是一个直角三角形。<note>边 MP 和边 OP 是直角边，边 MO 是斜边</note>。

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

在本题图中，圆 O 中，点 P 是直线 <note>MP</note> 与圆的切点，线段 <note>OP</note> 是圆的半径。根据圆的切线性质，切线 <note>MP</note> 与经过切点 <note>P</note> 的半径 <note>OP</note> 垂直，即 <note>∠MPO = 90°</note>。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>直角三角形 MOP</note>中，<note>∠MPO 是直角（90度）</note>，边 <note>MP 和 OP 是直角边</note>，边 <note>MO 是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>MO^2= MP^2+ OP^2</note>。


Question: 如图,在△ABC中,已知∠A=80°,∠B=60°,DE∥BC,那么∠CED的大小是()

Answer: 140°

1. 首先，已知在三角形ABC中，角BAC等于80度，角ABC等于60度。

2. 根据三角形内角和定理，三角形ABC的三个内角的和为180度，##角BAC+角ABC+角ACB=180度，即80度+60度+角ACB=180度##。因此，角ACB等于180度减去角BAC减去角ABC，即##角ACB=180度-80度-60度=40度##。

3. 由于线段DE与线段BC平行，根据平行线的平行公理2，同旁内角互补，角CED加上角ACB等于180度。

4. 所以，角CED等于180度减去角ACB即180度减去40度等于140度。

5. 经过上述推理，最终得出答案为140度。

平行线; 同位角; 内错角; 普通三角形

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形ABC中</note>，<note>角BAC</note>、<note>角ABC</note>和<note>角ACB</note>是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>角BAC + 角ABC + 角ACB = 180°</note>。##

同旁内角的定义

两条直线被第三条直线所截，在截线同侧，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角。若两直线平行，则同旁内角互补。若同旁内角互补，则两直线平行。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>两条平行线DE和BC</note>被<note>第三条直线AC</note>所截，形成了以下几何关系：1. 同位角：<note>角ADE和角ABC相等</note>。###### 2. 同旁内角：<note>角CED和角ACB互补，即角CED + 角ACB = 180度</note>。这些关系说明了在<note>两条平行线被第三条直线所截时</note>，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。####


Question: 如图,AB是斜靠在墙上的梯子,梯脚距墙2米,梯子上的D点距墙1.8米,BD长0.6米,则梯子的长为()

Answer: 6.00米

1. 如图，设墙为竖直的AC，地面为水平的BC，AB是斜靠在墙上的梯子，D点是梯子AB上的一点，使得DE垂直于AC，且DE与墙的距离为1.8米。

2. 根据题意，DE与BC均垂直于AC，所以DE与BC平行，即DE∥BC。

3. 因为DE∥BC，##根据平行线的平行公理2，同位角相等，则∠ADE=∠ABC##。

4. ##又由图可知，∠A为三角形ADE与ABC的公共角，根据相似三角形的判定定理(AA)，得出##△ADE∽△ABC。

5. 依据相似三角形的##定义##，对应边成比例，即##AD：AB =DE：BC##。

6. 由题意，BC=2米，DE=1.8米，##BD=0.6米##。AB为梯子的长度，设AD为x，##则AB=x+0.6##。

7. ##已知数据代入比例式得##x：x+0.6 = 1.8：2。

8. ##解比例式得：x=5.4##。

9. ##因此AB =5.4+0.6=6##。

####

##10.## 显然，梯子的长度AB=6米。

##11.## 最后确认，AB = 6米完全符合题意。

相似三角形的判定定理(AA)

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。

垂线定义

如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。

平行线的定义

在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

在本题图中，<note>直线DE和直线BC位于同一平面内</note>，<note>并且它们没有交点</note>，因此根据平行线的定义，<note>直线DE和直线BC是平行线</note>。

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>三角形ADE和三角形ABC是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>∠ADE = ∠ABC</note>, <note>∠DEA = ∠BCA</note>, <note>∠EAD = ∠CAB</note>；<note>AB/AD = BC/DE</note>。


Question: 如图,点A、B、C在⊙O上,∠ABO=40°,∠ACO=30°,则∠BOC的度数为()

Answer: 140°

1. 根据题意，在点A作⊙O的直径，交⊙O于点D。

2. 在△OAB中，由于OA = OB，所以△OAB是等腰三角形，这意味着∠OBA = ∠OAB。

3. 由题意已知∠ABO = 40°，所以∠OBA = ∠OAB = 40°。

4. 在△OAB中，∠BOD是外角，根据三角形外角定理，∠BOD = ∠ABO + ∠OAB = 2 × 40° = 80°。

5. 同理，在△OAC中，由于OA = OC，所以△OAC是等腰三角形，同理可得 ∠OCA = ∠OAC。

6. 由题意已知∠ACO = 30°，所以∠OCA = ∠OAC = 30°。

7. 在△OAC中，∠COD是外角，根据三角形外角定理，∠COD = ∠ACO + ∠OAC = 2 × 30° = 60°。

8. 由前述推理可知，∠BOC = ∠BOD + ∠COD = 80° + 60° = 140°。

9. 经过上述推理，最终得出答案为140°。

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

<note>在本题图中，三角形OAB中，边OA和边OB相等</note>，因此三角形OAB是一个等腰三角形。同理，<note>在三角形OAC中，边OA和边OC相等</note>，因此三角形OAC也是一个等腰三角形。

圆的定义

到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。

<note>圆O中，点O是圆心</note>，半径为<note>OA</note>。图中所有到<note>点O的距离等于OA的点都在圆O上</note>，即<note>A、B、C均在圆周上</note>，且<note>OA = OB = OC</note>。

多边形的外角定义

多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

<note>等腰三角形OAB中，边OA和边OB相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>∠OAB = ∠OBA = 40°</note>。同样，<note>在等腰三角形OAC中，边OA和边OC相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>∠OAC = ∠OCA = 30°</note>。

三角形的外角定理

三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。

<note>三角形OAB中，∠BOD是三角形OAB的一个外角</note>，<note>∠OAB和∠OBA是不相邻的两个内角</note>，根据三角形的外角定理，<note>外角∠BOD等于不相邻的两个内角∠OAB和∠OBA之和</note>，即<note>∠BOD = ∠OAB + ∠OBA = 40° + 40° = 80°</note>；同样在<note>三角形OAC中，∠COD是三角形OAC的一个外角</note>，<note>∠OAC和∠OCA是不相邻的两个内角</note>，根据三角形的外角定理，<note>外角∠COD等于不相邻的两个内角∠OAC和∠OCA之和</note>，即<note>∠COD = ∠OAC + ∠OCA = 30° + 30° = 60°</note>。


Question: 某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度,在点F处竖立一根长为1.5米的标杆DF,如图所示,量出DF的影子EF的长度为1米,再量出旗杆AC的影子BC的长度为6米,那么旗杆AC的高度为()

Answer: 9米

1. 已知标杆DF的高度为1.5米，影子EF的长度为1米，以及旗杆AC的影子BC的长度为6米。

2. 因为太阳光的入射角相同，所以标杆与其影子以及旗杆与其影子的高和影长形成相似的直角三角形。

3. 依据相似三角形对应边成比例：在△DEF和△ABC中，##AC/DF=BC/EF=AB/ED##。

4. 由相似三角形的对应边成比例定理，我们可以得到比例关系：##DF / AC = EF / BC。##

5. 将已知值代入上述比例关系：##1.5 /AC = 1 / 6##。

6. 通过求解上式，可以得出AC = 1.5 × 6。

7. 最终计算得出AC的长度为9米。

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>三角形DEF和三角形ABC是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>∠DFE = ∠BCA</note>, <note>∠EDF = ∠CAB</note>, <note>∠DEF = ∠ABC</note>；<note>DF/AC = EF/BC</note>。

相似三角形的判定定理(AA)

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。


Question: 如图,在Rt△ABC中,已知∠A=90°,AC=3,AB=4,则sinB等于()

Answer: \frac{3}{5}

1. 已知∠A = 90°, AC = 3, AB = 4，##根据勾股定理（毕达哥拉斯定理），在Rt△ABC中有BC^2 = AC^2 + AB^2，即BC = √(AC^2  + AB^2 )。##

2. 将已知条件代入，##得BC = √(3^2  + 4^2 ) = √(9 + 16) = √25 = 5。##

3. ##由正弦函数定义得##，sinB = 对边/斜边，在Rt△ABC中，sin∠ABC = AC/BC。

4. 代入已知值，得sin∠ABC = 3/5。

5. 经过上述推理，最终得出答案为3/5。

直角三角形; 正弦; 线段

正弦函数定义

在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>直角三角形ABC中，角A是直角（90度）</note>，<note>边AC和AB是直角边</note>，<note>边BC是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>BC^2 = AC^2 + AB^2</note>。


Question: 如图,在一场羽毛球比赛中,站在场内M处的运动员林丹把求从N点击到了对方内的B点,已知网高OA=1.52m,OB=4m,OM=5m,则林丹起跳后击球点离地面的距离NM=()

Answer: 3.42m

1. 已知 AO 垂直于 BM，NM 垂直于 BM，##根据垂线定义，∠AOB=NMB=90°##。

2. ##根据相似三角形的判定定理(AA)，因为∠AOB=NMB，∠ABO=NBM，可以得到 △ABO 与 △NBM 相似，依据相似三角形的定义##，可以得到 AO/NM = OB/BM。

3. 根据题目已知条件，OA = 1.52米，OB = 4米，OM = 5米。

4. 计算 BM，BM = OB + OM = 4米 + 5米 = 9米。

5. 根据比例关系 AO/NM = OB/BM，得到 1.52/NM = 4/9。

6. 解这个比例方程，得到 NM = 3.42米。

7. 经过上述推理，最终得出 NM 为 3.42米。

直角三角形; 点; 线段

垂线定义

如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。

在本题图中，<note>线段 AO 垂直于线段 BM</note>，<note>线段 NM 垂直于线段 BM</note>，对应于定义中的两条垂直线段，形成<note>两个90度的角，∠AOB 和 ∠NMB</note>。

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>在本题图中，三角形ABO和三角形NBM是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>∠BAO = ∠BNM</note>, <note>∠ABO = ∠NBM</note>, <note>∠AOB = ∠NMB</note>；<note>AO/NM = OB/BM</note>。

相似三角形的判定定理(AA)

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。


Question: 如图,在四边形ABCD中,E、F分别是AB、AD的中点,若EF=2,BC=5,CD=3,则tanC等于()

Answer: \frac{4}{3}

1. ##在四边形ABCD中，E和F分别是边AB和AD的中点，连接BD作为辅助线。##

2. ##由于E和F分别是AB和AD的中点，那么在三角形AEF和三角形ABD中，AE:AB=1:2，AF:AD=1:2，两三角形共用∠A，根据相似三角形的判定定理(SAS)，三角形AEF和三角形ABD相似。##

3. ##根据相似图形的定义，有EF:BD=1:2，已知EF=2，则BD=EF*2=4##

####

##4. 由于BD = 4，CD = 3，BC = 5，根据勾股定理的逆定理，BD、CD、BC之间满足BD^2 + CD^2 = BC^2，所以三角形BCD是直角三角形，直角位于点D。##

##5##. 在直角三角形BCD中，tan∠BCD等于BD与CD的比值。

##6##. 所以，tan∠BCD = BD / CD = 4 / 3。

##7##. 经过上述推理，最终得出tan∠C等于4/3。

中点; 普通四边形; 线段; 正切

线段中点

线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。

正切函数的定义

在直角三角形中，一个锐角的正切值等于相对直角边长度除以相邻直角边长度。

<note>直角三角形BCD中</note>，<note>角∠BCD是锐角</note>，<note>边BD是角∠BCD的对边</note>，<note>边CD是角∠BCD的邻边</note>，所以<note>角∠BCD的正切值等于边BD的长度除以边CD的长度</note>，即<note>tan(∠BCD) = BD / CD = 4 / 3</note>。

相似三角形的判定定理(SAS)

如果两三角形有两对应边的长度成比例且包括的对应夹角相等，那么这两个三角形相似。

勾股定理的逆定理

如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。最长边所对的角为直角。

<note>三角形BCD的三边分别为BD、CD、BC</note>，且满足<note>BD^2 + CD^2 = BC^2</note>，则根据勾股定理的逆定理，<note>三角形BCD是直角三角形</note>，<note>最长边BC所对的角BDC为直角</note>。

相似图形的定义

如果两图形相似，那么它们对应边的比相等，对应角相等。


Question: 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,若AC=3,BC=4,则tanα等于()

Answer: \frac{3}{4}

1. ##在三角形ABC和三角形ACD中，∠A=∠A,，∠ACB=∠ADC=90°，所以三角形ABC~三角形ACD（相似三角形的判定定理(AA)），进而可知∠α=∠B##

####

##2##. 根据定义，tanα表示的是对边长度与邻边长度的比值，在此图中，tanα=tan∠B。

##3##. 在直角三角形ABC中，tan∠B=对边的长度/邻边的长度=AC/BC，根据题中给出的AC=3，BC=4，可以求得tan∠B=3/4。

##4##. 经过上述推理，最终得出tanα的值为3/4。

直角三角形; 垂线; 正切

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

正切函数的定义

在直角三角形中，一个锐角的正切值等于相对直角边长度除以相邻直角边长度。

相似三角形的判定定理(AA)

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似

<note>在本题图中，三角形ABC和三角形ACD中，角A等于角A，且角ACB等于角ADC</note>，所以三角形ABC<note>相似于三角形ACD</note>。##

垂线定义

如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。

<note>直线CD和直线AB相交形成的角∠ADC是90度</note>，因此根据垂线定义，<note>直线CD和直线AB互相垂直</note>。######

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

在本题图中，<note>三角形ACD和三角形ABC是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>角ACD = 角B</note>，<note>角A = 角A</note>，<note>角ACB = 角ADC</note>；<note>AC/AB = AD/AC = CD/BC</note>。


Question: 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=\frac{1}{3},则\cosB的值为()

Answer: \frac{1}{3}

1. 已知∠ACB=90°，这是一个直角三角形。

2. 由于三角形内角和为180°，根据三角形内角和定理，得出：∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°。

3. 代入已知条件∠ACB = 90°，得出∠BAC + ∠ABC = 90°。

4. 因为已知sin(∠BAC) = \frac{1}{3}，我们知道与之互余的角度之间的正弦和余弦关系，即sin(∠BAC) = cos(∠ABC)。这是根据互余角的三角函数性质得出的。

5. 因此，得出cos(∠ABC) = \frac{1}{3}。

6. 经过上述推理，最终得出答案为\frac{1}{3}。

直角三角形; 正弦; 余弦

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

正弦函数定义

在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。

<note>直角三角形ABC</note>中，<note>角BAC是锐角</note>，<note>边BC是角BAC的对边</note>，<note>边AB是斜边</note>。根据<note>正弦函数定义</note>，<note>角BAC的正弦值</note>等于<note>对边BC与斜边AB的比值</note>，即<note>sin(∠BAC) = BC / AB = 1 / 3</note>。

余弦函数

在本题图中，直角三角形ABC中，<note>边BC是角∠ABC的邻边</note>，<note>边AB是斜边</note>。因此，根据余弦函数的定义，<note>角∠ABC的余弦值等于邻边BC与斜边AB的比值，即cos(∠ABC) = BC / AB</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形ABC</note>中，<note>角BAC</note>、<note>角ABC</note>和<note>角ACB</note>是<note>三角形ABC的三个内角</note>，根据<note>三角形内角和定理</note>，<note>角BAC + 角ABC + 角ACB = 180°</note>。


Question: 求解 x。

Answer: 5

1. 已知条件为##角HEG = 8x + 6 和角HGF = 10x _ 4##。

2. 根据##圆周角定理推论1，在一个圆中，任意两个与同一弧相对应的圆周角相等。##

3. 因为##角HEF 和角HFG所对的弧 都是弧HG##。

4. 因此，##角HEF和角HFG##是相等的，由此可得等式：8x + 6 = 10x - 4。

5. 解这个方程: 第一步，进行移项：8x + 6 = 10x - 4，可以化简为 10x - 8x = 6 + 4。

6. 由此可以得到：2x = 10。

7. 接着，解这个方程，得到 x = 5。

8. 经过上述推理，最终得出答案为 x = 5。

圆; 圆周角; 圆内接四边形

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

<note>在本题图中，圆 EFGH 中，角 EHF 的顶点 E 在圆周上，角 EHF 的两边分别与圆 EFGH 相交于点 H 和点 F</note>。因此，角 EHF 是一个圆周角。同理，<note>角 FGE 的顶点 F 在圆周上，角 FGE 的两边分别与圆 EFGH 相交于点 G 和点 E</note>。因此，角 FGE 也是一个圆周角。##<note>在本题图中，圆 EFGH 中，角 HEG 的顶点(点 E)在圆周上，角 HEG 的两边分别与圆圆 EFGH 相交于点 H 和点 G</note>。因此，角 HEG 是一个圆周角。<note>在本题图中，圆 EFGH 中，角 HFG 的顶点(点 H)在圆周上，角 HFG 的两边分别与圆 EFGH 相交于点 H 和点 G</note>。因此，角 HFG 是一个圆周角。##

## 圆周角定理推论1

在一个圆中，任意两个与同一弧相对应的圆周角相等。

<note>在本题图中，圆EFGH中，弧HG对应的圆周角∠HEG和∠HFG相等</note>。根据圆周角定理推论1，<note>与同一弧HG相对应的圆周角∠HEG和∠HFG相等</note>，即<note>∠HEG = ∠HFG</note>。######


Answer: 62°

1. 连接AD。

2. 根据题意，AB是直径，##∠ADB是直径所对的圆周角，因此根据(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角##，∠ADB=90°。

3. 已知∠ABD=28°，则由三角形内角和定理∠DAB=##180°-##90°-28°=62°。

4. ##∠C和∠DAB都是弧DB所对的圆周角，依据圆周角定理推论1，∠C＝∠DAB##。

5. 综上所述，∠C的度数为62°。

圆周角; 圆; 弦; 线段

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

<note>在本题图中，圆O中，角∠DCB的顶点C在圆周上</note>，角∠DCB的两边分别与圆O相交于点D和点B。因此，<note>角∠DCB是一个圆周角</note>。<note>角∠DAB的顶点A在圆周上</note>，角∠DAB的两边分别与圆O相交于点D和点B。因此，<note>角∠DAB是一个圆周角</note>。<note>角∠ADC的顶点D在圆周上</note>，角∠ADC的两边分别与圆O相交于点A和点B。因此，<note>角∠ADC是一个圆周角</note>。

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角

半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

<note>在本题图中，圆O中，直径AB所对的圆周角∠ADB是直角（90度）</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

在本题图中，三角形 ABD 中，<note>∠ABD</note>、<note>∠ADB</note> 和 <note>∠DAB</note> 是三角形 ABD 的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>∠ABD + ∠ADB + ∠DAB = 180°</note>。

圆周角定理推论1

在一个圆中，任意两个与同一弧相对应的圆周角相等


Question: 求 Q M。

Answer: 12

1. 已知条件是，我们需要找到线段QM的长度，并且图中四边形NPQM中有两个角是直角。

2. ##由图标注可知∠MNQ=∠PNQ，又因为∠NMQ和∠NPQ都为直角，两个三角形共有一个斜边NQ，根据全等三角形判定定理(AAS)，三角形MNQ≌三角形PNQ##。

3. ##根据全等三角形的定义，三角形MNQ和三角形PNQ的对应边相等，即MQ=PQ##。

4. ##图中已知：MQ=2x+2，PQ=4x-8，代入MQ=PQ可得方程##：4x - 8 = 2x + 2。

5. 求解方程4x - 8 = 2x + 2，可以得到2x = 10，得出x = 5。

6. 将x = 5代入2x + 2以计算QM的长度，结果为2(5) + 2 = 10 + 2 = 12。

7. 经过上述推理，最终得出答案为12。

垂线; 直角三角形; 平行四边形

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

全等三角形判定定理(AAS)

两个三角形的两角及一角的对边对应相等，则两个三角形全等。

全等三角形的定义

两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等。

在本题图中，<note>三角形MNQ和三角形PNQ是全等三角形</note>，<note>三角形MNQ与三角形PNQ的对应边和对应角相等</note>，即：
<note>边MN = 边PN</note>
<note>边NQ = 边NQ</note>
<note>边MQ = 边PQ</note>
同时，对应的角也相等：
<note>角MNQ等于角PNQ</note>
<note>角NMQ等于角NPQ</note>
<note>角MQN = 角PQN</note>。


Question: 如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于E,连结OC、AD,且∠A=35°,则∠AOC=()

Answer: 110°

1. 连接OD，由∠A = 35°, 根据圆周角定理，圆周角是其所对弧所对的圆心角的一半，得出##∠BOD## = 2∠A = 70°。

2. 已知AB是⊙O的直径，弦CD垂直AB于E，根据##直角三角形全等判定（斜边、直角边），可知三角形ODE全等于三角形OCE##。

3. ##根据全等三角形的定义，∠BOC = ∠BOD = 70°##。

4. ##根据邻补角的定义，##∠AOC + ∠BOC = 180°。

5. 根据前述推理，得∠BOC = ∠BOD = 70°。

6. 代入步骤4公式得：∠AOC = 180° - ∠BOC = 110°。

##7##. 经过上述推理，最终得出答案为110°。

圆; 圆心角; 直角三角形; 垂线; 弦

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

<note>AB是直径</note>，连接了<note>圆心O</note>和<note>圆周上的A、B两点</note>，长度为<note>2倍的半径</note>，即<note>AB = 2 * OA</note>。

弦的定义

弦是连接圆上任意两点的线段。

在本题图中，圆O中，<note>点C和点D是圆上的任意两点</note>，<note>线段CD连接了这两个点</note>，所以<note>线段CD是圆O的弦</note>。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

垂线定义

如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

在本题图中，##圆O中，点D、B、A在圆上，<note>弧BD对应的圆心角为∠BOD</note>，<note>圆周角为∠BAD</note>。根据圆周角定理，<note>∠BAD等于它所对的弧BD所对应的圆心角∠BOD的一半</note>，即<note>∠BAD = 1/2 ∠BOD</note>。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

在本题图中，圆O中，<note>角BAD的顶点(点A)在圆周上</note>，<note>角BAD的两边分别与圆O相交于点B和点D</note>。因此，<note>角BAD是一个圆周角</note>。####

直角三角形全等判定（斜边、直角边）

如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等。

<note>直角三角形ODE和直角三角形OCE</note>中，假设<note>角ODE和角OEC都是直角（90度）</note>。如果<note>边OD等于边OC（斜边）</note>，并且<note>边OE等于边OE（直角边）</note>，那么根据<note>直角三角形全等判定（斜边、直角边）</note>，这两个<note>直角三角形ODE和OCE全等</note>。

全等三角形的定义

两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等。

<note>三角形ODE和三角形OCE是全等三角形</note>，三角形ODE的对应边和对应角与三角形OCE相等，即：<note>角DOE = 角COE</note>.####


Question: 求三角形中的 h。

Answer: 11

1. ##设三角形为ABC，根据直角三角形的定义，△ABC是直角三角形，直角边AB=h，斜边AC=22，根据正弦函数定义##，sin(30°) = ##对边AB/斜边AC##，得到sin(30°) = h/22。

2. ##计算##sin(30°) = 1/2，将其代入上述方程，得到1/2 = h/22。

3. 通过等式两边同时乘以22，得到h = 22 * (1/2)。

4. 计算得出结果h = 11。

5. 经过上述推理，最终得出答案为11。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

##在本题图中，<note>三角形ABC中，角B是直角（90度）</note>，因此<note>三角形ABC是一个直角三角形</note>。<note>边AB和边BC是直角边</note>，<note>边AC是斜边</note>。####

正弦函数定义

在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。


Question: 如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠A=70°,则∠BOC的大小是()

Answer: 140°

1. 已知圆O是△ABC的外接圆，由题目已知条件∠A = 70°。

2. 依据圆周角定理，圆周角等于它所对的圆心角的一半，即∠BOC = 2×∠BAC。

3. 由已知条件，∠BAC = 70°，代入前一步公式得到∠BOC = 2×70° = 140°。

4. 经过上述推理，最终得出答案为140°。

圆; 圆周角; 圆心角; 弧; 普通三角形

三角形外接圆

三角形的外接圆是通过三角形的三个顶点的圆。

<note>三角形ABC的三个顶点分别是点A、点B和点C</note>。通过这三个顶点可以画一个圆，这个圆称为<note>三角形ABC的外接圆</note>。<note>圆心O是三角形ABC的外接圆的圆心</note>，且<note>点A、点B和点C都在这个圆上</note>。因此，<note>圆O的半径分别等于OA、OB和OC，即OA=OB=OC</note>。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

在本题图中，圆O中，<note>点B和点C是圆上的两点</note>，<note>圆心是点O</note>。<note>连线OB和OC组成的角∠BOC称为圆心角</note>。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。


Answer: 40°

1. 已知点A、B、C都在⊙O上，∠ABO=50°。

2. ##根据半径的定义，可知图中OA和OB是圆O的半径，且##OA=OB。

3. ##因OA=OB，根据等腰三角形的定义，三角形AOB为等腰三角形##。

4. ##再根据等腰三角形的性质，得出∠OAB = ∠ABO = 50°##。

5. ##根据三角形内角和定理，∠ABO + ∠OAB+ AOB = 180°，即50°+ 50°+∠AOB=180°##，得出∠AOB=180°-50°-50°=80°。

6. 根据圆周角定理，在同一圆中，同一弧所对的圆心角的度数是圆周角度数的两倍。因此，∠ACB=∠AOB/2。

7. 代入数据，得出∠ACB=80°/2=40°。

8. 经过上述推理，最终得出∠ACB = 40°。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

<note>在本题图中，圆⊙O中，点O是圆心，点A和点B是圆上的任意一点</note>，<note>线段OA和OB是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段OA和OB是圆的半径</note>。

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

<note>角C的顶点(点C)在圆周上</note>，角ACB的两边分别与<note>圆O相交于点A和点B</note>。因此，<note>角ACB是一个圆周角</note>。##

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

在本题图中，三角形OAB中，<note>角OAB</note>、<note>角ABO</note>和<note>角AOB</note>是三角形OAB的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>角OAB + 角ABO + 角AOB = 180°</note>。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

:在本题图中，<note>等腰三角形AOB中，边OA和边OB相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，<note>相等的两边所对的角相等，即角ABO = 角OAB</note>。####

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

<note>在本题图中，圆O中，点A和点B是圆上的两点，圆心是点O</note>。<note>连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角</note>。##


Question: 如图,点A、B、C、P在⊙O上,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E,∠DCE=40°,则∠P的度数为()

Answer: 70°

1. 已知点A、B、C、P在圆O上，CD垂直于OA，CE垂直于OB，垂足分别为D和E。

2. ##在四边形ODCE中，根据多边形的内角和定理，四边形ODCE得内角和为(4-2) × 180° = 360°，即∠DOE + ∠OEC + ∠ECD + ∠CDO = 360°。##

####

##3. 已知∠DCE=40°。因为CD垂直于OA，因此∠CDO=90°；同理，CE垂直于OB，因此∠OEC=90°。##

##4. 代入已知条件，得∠DOE = 360°-∠OEC -∠ECD -∠CDO = 360°-90°-40°-90° = 140°。##

##5. 弧ACB对应∠AOB和∠P，根据圆心角的定义，∠AOB为圆心角；根据圆周角的定义，∠P为圆周角。##

##6. 根据圆周角定理，∠P=1/2 * ∠AOB=1/2 * 140°=70°##

####

##7##. 经过上述推理，最终得出答案为70°。

圆; 垂线; 圆周角; 圆心角; 直角三角形

弧的定义

弧是圆上两点之间的一段曲线。

<note>圆O上有两点A和B</note>，<note>弧ACB是连接这两点的一段曲线</note>。根据弧的定义，<note>弧ACB是圆上两点A和B之间的一段曲线</note>。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

<note>在本题图中，圆O中，角P的顶点P在圆周上</note>，<note>角P的两边分别与圆O相交于点A和点B</note>。因此，角P是一个圆周角。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

<note>圆O中，点A、P、B在圆上</note>，弧ACB对应的<note>圆心角为∠AOB，圆周角为∠P</note>。根据圆周角定理，<note>∠P等于它所对的弧ACB所对应的圆心角∠AOB的一半</note>，即<note>∠P = 1/2 ∠AOB</note>。##

多边形内角和定理

一个多边形的内角之和等于 (n-2) × 180°，其中 n 是多边形的边数。

<note>四边形ODEC是一个有4条边的多边形，其中4表示多边形的边数</note>。根据多边形内角和定理，<note>该多边形的内角之和等于 (4-2) × 180° = 360°</note>。故有 <note>∠DOE + ∠OEC + ∠ECD + ∠CDO = 360°</note>。


Question: 求 \\angle Z 的度数，精确到十分位。

Answer: 33.7

1. ##已知条件为YX = 5, XZ = 9，∠Y=90°，根据直角三角形的定义可知，△XYZ为直角三角形，YX是直角边，XZ是斜边。##

####

##2. 根据正弦函数定义，##sin(∠XZY) = YX / XZ = 5 / 9。

##3##. 计算∠XZY，利用##反正弦函数##：∠XZY = arcsin(5/9)。

##4##. 用计算器求解：∠XZY ≈ 33.7度（四舍五入到十分位）。

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为33.7度。

直角三角形; 正弦; 余弦; 正切

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

在本题图中，三角形XYZ中，<note>角Y是直角（90度）</note>，因此三角形XYZ是一个直角三角形。<note>边YX和边YZ是直角边</note>，<note>边XZ是斜边</note>。

正弦函数定义

在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。

<note>∠XZY是锐角</note>，<note>边YX是∠XZY的对边</note>，<note>边XZ是斜边</note>。根据正弦函数定义，<note>∠XZY的正弦值等于对边YX与斜边XZ的比值</note>，即<note>sin(∠XZY) = YX / XZ</note>。


Question: x的值是多少？

Answer: 60

##1.设X°角顶点为A，70°角顶点为B，130°外角的顶点为C。##

##2##. 已知∠ABC = 70°，##三角形ACB的外角 = 130°##

##3##. 根据三角形外角定理，任意三角形的某一外角等于与它不相邻的两个内角的和。应用到此题中，##三角形ACB的外角是∠CAB = x°与∠ABC= 70°的和##。

##4##. 基于三角形外角定理，可以得出方程：130° = x° + 70°，因此得出结论x° = 130° - 70°。

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为60。

三角形的外角; 普通三角形

多边形的外角定义

多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。

在本题图中，<note>三角形ABC的一个内角为∠ACB</note>####，延长该内角的相邻边<note>AC</note>和<note>BC</note>形成的角称为内角∠ACB的外角，也就是<note>130°的角</note>。##

三角形的外角定理

三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。

<note>三角形ABC中，130°的角是三角形ABC</note>的一个外角，<note>∠CAB</note> = x°和<note>∠ABC</note> = 70°是与<note>外角130°</note>不相邻的两个内角，根据三角形的外角定理，<note>外角130°</note>等于不相邻的两个内角<note>∠CAB和∠ABC</note>之和，即<note>130° = ∠CAB +∠ABC</note>。


Question: 平行四边形 M N P Q 中，m \angle M = 10 x 和 m \angle N = 20 x，求 \angle M。

Answer: 60

1. 已知平行四边形 MNPQ 中，##∠M = 10x 和 ∠N = 20x。根据平行四边形的邻角互补定理，相邻角互补，即 ∠M + ∠N = 180°##。

2. 由第一步结论 ##∠M + ∠N= 180°，代入已知 ∠M = 10x 和 ∠N = 20x##，得到 10x + 20x = 180°。

3. 解方程 30x = 180°，得到 x = 6。

4. 代入 ##∠M = 10x，得到 ∠M## = 10 * 6 = 60°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为 60°。

平行四边形的定义

平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。

<note>边 MQ</note> 与 <note>边 NP</note> 平行且相等。

平行四边形的邻角互补定理

在平行四边形中，相邻的内角互补，即它们的和为180°。

<note>平行四边形MNPQ</note>中，<note>角M和角N是相邻的内角</note>，<note>角N和角P也是相邻的内角</note>。根据平行四边形的邻角互补定理，<note>角M + 角N = 180°</note>，<note>角N + 角P = 180°</note>。


Question: 如图,四边形ABCD内接于⊙O,E为BC延长线上一点,∠A=50°,则∠DCE的度数为()

Answer: 50°

1. 已知四边形ABCD内接于圆O，∠A=50°，连接OB, OD。

2. ∠DOB与∠A都对弧BD，根据圆周角定理，得到∠DOB=2∠A，##即∠DOB=100°##。

3. ∠DOB和∠BCD都对弧DAB，根据圆周角定理，得到∠DOB（大于平角的角）=2∠BCD。

4. ∠DOB（小于平角的角）+∠DOB（大于平角的角）=360°，##根据周角的定义，已知∠DOB=100°，所以∠DOB（大于平角的角）=360°-∠DOB（小于平角的角）=360°-100°=260°##。

5. ##已知∠DOB（大于平角的角）=2∠BCD，所以∠BCD=∠DOB（大于平角的角）/2=260°/2=130°##。

6. 由∠DCE+∠BCD=180°，##根据平角的定义可得∠DCE=180°-∠BCD##。

7. 因为##∠BCD=130°##，所以∠DCE=50°。

n. 经过上述推理，最终得出答案为∠DCE=50°。

圆内接四边形; 圆周角; 邻补角; 对顶角

圆的定义

到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

在本题图中，圆O中，<note>角BAD的顶点A在圆周上</note>，<note>角BAD的两边分别与圆O相交于点B和点D</note>。因此，<note>角BAD是一个圆周角</note>。##同理，圆O中，<note>角BCD的顶点C在圆周上</note>，<note>角BCD的两边分别与圆O相交于点B和点D</note>。因此，<note>角BCD是一个圆周角</note>##。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

周角的定义

一条射线绕着它的端点旋转一周所形成的角，叫做周角。

平角的定义

一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度。

<note>射线BC绕着端点C旋转到与起始边成一条直线</note>，形成<note>平角BCE</note>。根据<note>平角的定义，平角的度数为180度，即角BCE=180度</note>。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

在本题图中，圆O中，<note>点D和点B是圆上的两点</note>，<note>圆心是点O</note>。<note>连线OD和OB组成的角∠DOB称为圆心角</note>。


Question: 在上图的三角形中，x的值是多少？

Answer: 2*\sqrt{3}

1. ##设图中三角形的60°角的顶点为点A，直角顶点为点B，三角形的另一个顶点为点C，所以有∠A=60°，∠B=90°。根据三角形内角和定理，因此∠C=180°-90°-60°=##30°。

2. ##已知直角三角形的一个直角边长BC=6，可求出另一个直角边AB的长度##。

3. 在一个30°-60°-90°的直角三角形中，##根据30°-60°-90°三角形的性质，AB边、BC边和AC边的长度比例为1:√3:2##。

4. 在本题中，##BC##为√3倍对应的边，因此与##60°角相邻的AB边应该是1倍的，即x=6/√3##。

5. 经过化简，##x = 6*(√3 / 3) = 2√3##。这是由30°-60°-90°三角形的边长比例定理推导出的结论。

6. 因此，根据比例定理，得出x = 2√3。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

在本题图中，三角形中有一个<note>角B</note>是直角（90度），因此该三角形是一个直角三角形。<note>BC和AB是直角边，AC是斜边。</note>

30°-60°-90°三角形的性质

在本题图中，<note>在30°-60°-90°三角形ACB中，边AC是斜边，边AB是30度角所对的边，边BC是60度角所对的边</note>。根据30°-60°-90°三角形的性质，<note>边AB等于边AC的一半</note>，<note>边BC等于边AB的√3倍</note>。即：<note>AB = 1/2 * AC</note>，<note>BC = √3 * AB</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

在本题图中，三角形中，<note>∠A=60°</note>，<note>∠B=90°</note>，根据三角形内角和定理，<note>∠C=180°-∠B-∠A=180°-90°-60°=30°</note>。


Question: 求图中x的值。如有必要，四舍五入到十分位。

Answer: 3

1. 已知题目中有一个等腰梯形，其上底为6x + 4，中线为5x + 10，下底为10x - 2，左右两侧边相等。##设等腰梯形四个顶点为ABCD，中线为EF。##

2. 根据##梯形中位线定理##，等腰梯形中线长度等于上底与下底长度之和的一半。即中线 == (上底 + 下底) / 2。

3. 代入已知条件：5x + 10 = [(6x + 4) + (10x - 2)] / 2。

4. 将方程展开并化简：5x + 10 = (6x + 4 + 10x - 2) / 2。

5. 进一步简化右侧：5x + 10 = (16x + 2) / 2。

6. 去除分母：5x + 10 = 8x + 1。

7. 将所有x项移到等式一侧，将常数项移到另一侧：5x - 8x = 1 - 10。

8. 合并同类项得到：-3x = -9。

9. 两边同除以-3得到：x = 3。

10. 将x = 3代入三段长度公式检查正确性：上底6x + 4 = 6##x##(3) + 4 = 22，中线5x + 10 = 5##x##(3) + 10 = 25，下底10x - 2 = 10##x##(3) - 2 = 28。中线25确实等于上底22和下底28和的一半(25 = (22 + 28) / 2 = 25)。

等腰梯形的定义

等腰梯形是指两腰相等的梯形。

在本题图中，<note>等腰梯形ABCD</note>中，<note>边AB和边DC是平行的（即为梯形的两条平行边）</note>，<note>边AD和边BC是梯形的两腰</note>，并且<note>边AD等于边BC（即两腰相等）</note>。因此，<note>ABCD是一个等腰梯形</note>。

梯形中位线定理

梯形的中位线是连接两腰中点的线段，这条线段平行于两条底边，并且长度等于两条底边长度和的一半。

<note>在本题图中，梯形ABCD中，边AB和边DC是梯形的两条底边，点E和点F是梯形两腰的中点，线段EF是连接两腰中点的中位线</note>。根据梯形中位线定理，<note>线段EF平行于边AB和边DC</note>，并且<note>线段EF的长度等于边AB和边DC长度和的一半，即EF = (AB + DC) / 2</note>。


Question: 直线AB是圆O的切线。如果AB = 8且OB = 10，求圆的直径。

Answer: 12

1. 已知条件为AB是圆O的切线，##OA##是圆O的半径，根据##圆的切线性质##，得出角OAB为90度。

2. ##根据直角三角形的定义，因为∠OAB=90°，所以三角形OAB为直角三角形。在直角三角形OAB中，根据勾股定理，得出OA^2 + AB^2 = OB^2##。

3. ##因为AB=8，OB=10，所以OA^2 + 8^2 = 10^2##。

4. 解该方程，OA^2 + 64 = 100。

5. 将64移到右侧，得到OA^2 = 100 - 64。

6. 计算得出OA^2 = 36。

7. 取平方根，得出OA = 6，即圆的半径为6。

8. 由于直径是半径的两倍，因此圆的直径为6 * 2 = 12。

9. 经过上述推理，最终得出答案为12。

直角三角形; 切线; 圆

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

<note>点O是圆心</note>，<note>点A是圆上的任意一点</note>，<note>线段OA是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段OA是圆的半径</note>。

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

<note>直径是通过圆心O并且两端连接圆周的线段</note>。例如，如果<note>半径OA = 6</note>，则直径是<note>2倍的OA</note>，即<note>2 × 6 = 12</note>。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

圆的切线定义

圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。

<note>圆O与直线AB有且只有一个公共点A</note>，这个公共点叫做切点。因此，<note>直线AB是圆O的切线</note>。

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>直角三角形OAB中，角OAB是直角（90度）</note>，<note>边OA和AB是直角边，边OB是斜边</note>，所以根据勾股定理，##<note>OB^2 = OA^2 + AB^2</note>##，即 10^2 = OA^2 + 8^2。通过计算，可以得出OA^2 = 36，因此OA = √36 = 6，即<note>圆的半径为6</note>。最后，<note>直径是2倍的半径</note>，因此直径为2×6=12。


Question: A B \\cong D F。求 x。

Answer: 2

1. 已知线段 AB##≌##线段 DF，即线段 AB 和线段 DF 全等，这意味着它们的长度相等。

2. ##设图中的圆的圆心为O，直线CE的左端延长线交于圆O一点M，直线CE的右端延长线交于圆O一点N，由图中标识可知线段CE分别垂直弦AB和弦DF。因为线段CE与图中圆O的直径重合，根据垂径定理，直径若垂直于圆O中的一条弦，则直径平分该条弦，所以直径平分图中圆O内的弦AB和弦DF，即线段CE垂直平分弦AB和弦DF。而图中直径与弦AB和弦DF相交于点C和点E，所以AC=BC=1/2AB、DE=FE=1/2DF。又因为线段 AB 和线段 DF 全等，即AB=DF，所以BC=DE##。

3. ##已知 BC = 9x 和 DE = 2x + 14，代入BC=DE可得：9x=2x + 14##。

4. ##简化可得：7x=14##

5. ##最终算得：x=2##

####

弦的定义

弦是连接圆上任意两点的线段

在本题图中，圆O中，<note>点A和点B是圆上的任意两点，线段AB连接了这两个点</note>，所以<note>线段AB是圆O的弦</note>。<note>点D和点F是圆上的任意两点，线段DF连接了这两个点</note>，所以<note>线段DF是圆O的弦</note>。####

圆的定义

到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。

<note>设图中的圆的圆心为O</note>，圆O中，<note>点O是圆心</note>。<note>图中所有到点O的距离等于半径的点都在圆xxx上</note>。

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径

垂径定理

如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。


Question: 如图,某隧道的截面是一个半径为3.4m的半圆形,一辆宽3.2m的卡车恰好能通过该隧道,连车带货一起最高为多少米()

Answer: 3m

1. ##设半圆的圆心为O，直径为AB，矩形为QWER(左上角开始逆时针依次取矩形顶点）过O做垂直QR的直线，交矩形上边为H，交圆周于J##。

2.##显然OJ是一条半径，由垂径定理可知，OJ垂直平分QR，QH＝HR##。

3.##已知卡车宽3.2m，所以QR＝3.2，HR＝3.2/2＝1.6，连接OR，可知OR为半径，OR＝3.4，三角形ORH符合直角三角形定义，三角形ORH是直角三角形##

4.##在直角三角形ORH中，由勾股定理可知，OR^2＝RH^2＋OH^2，代入OR，RH整理可得OH = √(3.4^2 - 1.6^2) = 3米##

5.##因此连车带货一起最高为3米##。

####

圆; 垂线; 直角三角形; 弦

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>在本题图中，三角形ORH中，角OHR是直角（90度）</note>，因此三角形ORH是一个直角三角形。<note>边OH和边RH是直角边，边OR是斜边</note>。

垂线定义

如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。

<note>线段OH和线段QR相交形成的角∠OHR是90度</note>，因此根据垂线定义，<note>线段OH和线段QR互相垂直</note>。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>在直角三角形△ORH中，∠OHR是直角（90度）</note>，边OH和RH是直角边，边OR是斜边，所以根据勾股定理，<note>OR^2＝RH^2＋OH^2</note>。已知<note>OR=3.4米，HR=1.6米</note>，通过此定理求得OH的长度。

垂径定理

如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧


Question: 圆O的半径为13英寸。半径OB垂直于弦CD，弦CD的长度为24英寸。求OX。

Answer: 5

1.已知圆 O 的半径为 13 英寸，半径 OB 垂直于弦 CD，弦 CD 的长度为 24 英寸。

2. 根据##垂径定理##，圆的半径垂直于弦时，该半径平分弦。即 CD 被分成两段，每段的长度为(m=)CD/2 = 24/2 = 12 英寸。因此，C X 和 D X 的长度均为 12 英寸。

3. 由于 OX 垂直于 CD，##∠OXC=90°，所以根据直角三角形的定义得：三角形OXC是直角三角形。##根据勾股定理####，在直角三角形 OXC 中，##OC?= XC?+ XO?=144+ XO?=166##。

##4##.得出方程式：XO?=169?144=OX?=25，OX=√25=5。

##5##.经过上述推理，最终得出答案为：OX的长度为 5英寸。

圆; 垂线; 直角三角形; 弦; 中点

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段。

<note>在本题图中，圆O中，点O是圆心，点B是圆上的任意一点，线段OB是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OB是圆的半径。</note>

弦的定义

弦是连接圆上任意两点的线段。

垂径定理

如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。

在本题图中，圆 O 中，<note>半径 OB 垂直于弦 CD</note>，那么根据垂径定理，<note>半径 OB 平分弦 CD</note>，即<note>CX = XD = CD/2 = 12 英寸</note>，并且<note>半径 OB 平分弦 CD 所对的两条弧</note>，即<note>弧 CB = 弧 DB</note>。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

在本题图中，直角三角形 OXC 中，<note>∠OXC 是直角（90度）</note>，<note>边 OX 和 CX 是直角边</note>，<note>边 OC 是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>OC² = OX² + CX²</note>，即 13² = OX² + 12²。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形


Question: 求四边形ABCD的\\angle C。

Answer: 90

1. ##根据图中的直角符号可知BC垂直于CD，因此角C＝90度。##

####

##2. 得最终结论：\\angle C的值为90##。

普通四边形; 邻补角; 直角三角形

垂线定义

如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。

<note>直线BC和直线DC相交形成的角∠C是90度</note>，因此根据垂线定义，<note>直线BC和直线DC互相垂直</note>。


Question: 求该图形的面积。

Answer: 144

1. 已知条件为矩形的长为16英寸，宽为9英寸，根据矩形的定义可得矩形的对边相等，并且每个角都是直角（90度），##设矩形的四个角分别为∠A、∠B 、∠C 、∠D ##。

2. 根据矩形面积公式：矩形的面积 = 长 × 宽。

3. 代入已知条件，得到面积 = 16 英寸 × 9 英寸 = 144 平方英寸。

4. 经过上述推理，最终得出答案为144平方英寸。

矩形的定义

矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。

<note>四边形是一个矩形</note>，其内角都是直角（90度），且边长为 16 英寸，宽为 9 英寸。由于矩形的定义，<note>每个内角都是直角(90度)，即∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90度</note>。

矩形的面积公式

矩形的面积等于其长度乘以其宽度。

在本题图中，<note>矩形中，边长16英寸和边宽9英寸是矩形的长和宽</note>，所以<note>矩形的面积 = 16 英寸 × 9 英寸</note>。


Question: 将 \sin N 的比率表示为小数，精确到小数点后两位。

Answer: 0.92

1.在直角三角形 PMN 中，##∠NPM## 是直角，根据直角三角形的性质，##sin(∠N)## 表示对边 PM 与斜边 MN 的比值。

2. 直角三角形 PMN 的对边 PM 长为 36，斜边 MN 长为 39，根据所给数据可直接读取。

3. 由 sin Definition（即##正弦函数定义##），得：##sin(∠N) ##= PM / MN。

4. 因此 ##sin(∠N) ##= 36 / 39。

5. 简化 36 / 39，以小数形式表示：36 ÷ 39 ≈ 0.923。

6. 经过上述计算，第四步应遵从精确##到小数点后两位##，所得为 0.92。

##7##. 经过上述推理，最终得出答案## sin∠N≈ 0.923##。

正弦函数定义

在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。

<note>直角三角形 PMN 中</note>，##∠N## 是锐角，边 <note>PM 是角 ##∠N## 的对边</note>，边 <note>MN 是斜边</note>。根据正弦函数定义，<note>##∠N##的正弦值等于对边 PM 与斜边 MN 的比值</note>，即 sin(<note>##∠N##</note>) = <note>PM / MN</note> = 36 / 39。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>∠NPM</note> 是直角（90度），因此三角形 PMN 是一个直角三角形。边<note>PN</note>和边<note>PM</note>是直角边，边<note>MN</note>是斜边。


Question: 如果 A B \\perp B C，求 \\angle 2 的度数。

Answer: 68

####

##1. 设∠2所在的三角形为ADE，即∠ADE=36°。##

##2##. 根据题目的图示，##∠AEC = 104°##。

##3. 在三角形 ADE 中，根据三角形的外角定理：任一三角形的外角等于不相邻的两个内角之和。##

 ##4.由于 ∠AEC 是 ∠AED的外角，∠AED=∠1，因此根据三角形的外角定理， ∠AEC = ∠ADE + ∠DAE。因此 ∠2 =∠DAE= ∠AEC - ∠ADE。##

##5. 将 ∠AEC 和 ∠ADE 已知值代入∠2 = ∠AEC - ∠ADE，得：∠2 = 104° - 36° = 68°。##

##6##. 经过上述推理，最终得出答案为：68°。

垂线; 直角三角形; 邻补角

三角形的外角定理

三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。

<note>三角形ADE中，角AEC是三角形的一个外角，角ADE和角DAE是与外角AEC不相邻的两个内角</note>，根据三角形的外角定理，<note>外角AEC等于不相邻的两个内角ADE和DAE之和，即角AEC = 角ADE + 角DAE</note>。

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

多边形的外角定义

多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。


Question: 如图,在圆的内接四边形ABCD中,∠ABC=120°,则四边形ABCD的外角∠ADE的度数是()

Answer: 120°

1. 已知四边形ABCD是圆的内接四边形，根据##(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理##，得到角ADC与角ABC互补，即：∠ADC + ∠ABC = 180°。

2. 已知∠ABC = 120°，则根据第1步的结论，得到∠ADC = 180° - 120° = 60°。

3. ##∠ADE和∠ADC符合邻补角的定义，互为邻补角##。

4. 由第2步得出∠ADC = 60°，所以∠ADE = 180° - 60° = 120°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为∠ADE = 120°。

圆内接四边形; 圆周角; 三角形的外角; 邻补角; 弧

内接四边形

内接四边形是指一个四边形的全部四个顶点都在同一个圆上。这个圆称为四边形的外接圆。

<note>四边形ABCD的四个顶点A、B、C和D都在同一个圆上</note>。这个圆称为<note>四边形ABCD的外接圆</note>。因此，<note>四边形ABCD是一个内接四边形</note>。根据内接四边形的性质，<note>可以得出对角相加等于180度</note>，即<note>∠ABC + ∠ADC = 180度</note>，<note>∠BAD + ∠BCD = 180度</note>。

(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理

在一个圆内接四边形中，每一对对角的和等于180°。并且任何一个外角都等于他的内对角。

在本题图中，四边形<note>ABCD是圆内接四边形</note>，四边形的<note>顶点A、B、C、D都在圆上</note>。根据圆内接四边形对角互补定理，四边形ABCD的每一对对角的和等于180°。具体来说，<note>∠ABC + ∠ADC = 180°</note>；<note>∠BAD + ∠BCD = 180°</note>。##

邻补角的定义

两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角


Question: 如图,已知圆周角∠BAC=40°,那么圆心角∠BOC的度数是()

Answer: 80°

1. 已知圆周角 ∠BAC = 40°。

2. 圆心角 ∠BOC 所对的弧与 ∠BAC 所对的弧是相同的。

3. 根据圆周角定理，圆心角 ∠BOC 与圆周角 ∠BAC 的关系是：圆心角等于圆周角的两倍，即 ∠BOC = 2∠BAC。

4. 将已知的 ∠BAC 代入上式，得到 ∠BOC = 2 × 40° = 80°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为 80°。

圆; 圆周角; 圆心角; 弦

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

<note>在本题图中，圆O中，角BAC的顶点A在圆周上</note>，角BAC的两边分别与圆O相交于点B和点C。因此，<note>角BAC是一个圆周角</note>。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角


Question: 圆 G, J 和 K 都在 L 处相交。如果 G H = 10，求测量值。求 J L。

Answer: 5

1. ##已知条件为三圆G、J、K交于一点L，并且GH = 10。##

2. ##根据题中图形可知，G、J、K的圆心分别是点G、J和K，G、J、L在同一条直线上，并且点H和点L都为圆G上的一点，点G和点L都为圆J上的一点。根据半径的定义，GH和LG为圆G的半径，JL为圆J的半径，GH=LG，GJ=LJ，即LJ=LG/2。##

3. ##代入LG=GH=10可得，JL = 10/2 = 5。##

####

####

##4##. 经过上述推理，最终得出答案为5。

圆的定义

到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段


Question: Q是重心且B E = 9。求B Q。

Answer: 6

1. 已知条件为Q是三角形ABC的重心（Q is the centroid of triangle ABC），B到E的长度BE=9。需要求BQ的长度。

2. 根据##重心定理##，重心将每一条中线分成2:1的比例（重心到顶点的距离是重心到边中点距离的两倍）。

3. 在三角形ABC中，BE为边AC上的中点分线，Q是三角形的重心，所以BQ:QE=2:1。

4. 设QE=x，则BQ=2x。

5. ##根据线段的定义，点Q是线段BE上的点##，所以BQ + QE = BE。

6. 代入已知数据，得到2x + x = 9。

7. 合并同类项，3x=9。由此可得出x=3。

8. 根据x=3，得出BQ=2*3=6。

9. 经过上述推理，最终得出答案为BQ=6。

点; 线段; 中点; 普通三角形

重心定理

重心是三角形三条中线的交点，并且将每条中线分成2:1的两段，其中较长的一段连接顶点。

<note>在本题图中，三角形ABC中，点Q是三角形的重心</note>。<note>三角形的三条中线分别为线段AD、线段BE和线段CF，它们相交于点Q</note>。根据重心定理，<note>点Q将每条中线分成2:1的两段，其中较长的一段连接顶点</note>。例如，<note>在线段BE中，点Q将其分成两段，较长的一段为BQ（连接顶点B），较短的一段为QE</note>。类似地，<note>在线段AD和线段CF中，点Q也将它们分别分成2:1的两段</note>。

线段的定义

线段是一个直线的一部分，包含两个端点及其间的所有点。


Question: 求 C F，如果 B F 平分 \angle A B C 且 A C \\parallel E D，B A = 6，B C = 7.5，A C = 9，和 D E = 9。

Answer: 5

1. ##已知∠ABF=∠CBF，根据角平分线定义可得，线段 BF为∠ABC的角平分线；依据角平分线定理，可得 AF/FC = AB/BC。##

2. ##代入 AB = 6，BC = 7.5，可以得出 AF / FC = 6 / 7.5。##

3. 转换6/7.5为更精确的小数比例，得 AF / FC = 4 / 5。

4. 定出 AF = 4k，FC = 5k，其中k为比例因子。

5. 联合总长度 A C = 9，得到 4k + 5k = 9，从而得出 k = 1。

6. 根据k=1求解，得 AF = 4 × 1 = 4, FC = 5 × 1 = 5。

####

##7.经过上述推理，最终得出答案为 CF = 5。##

平行线; 内错角; 普通三角形

角平分线定义

角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。

在本题图中，<note>角ABC的顶点是点B</note>，<note>从点B引出一条线BF</note>，这条线将角ABC分成两个相等的角，即<note>角ABF和角CBF相等</note>。因此，<note>线BF是角ABC的角平分线</note>。

角平分线定理

在一个三角形中，角的平分线将与之相对的边分成的两部分的比等于这个角两边的比。

<note>三角形 ABC 中</note>，角ABC 的平分线 <note>BF</note> 交对边 <note>AC</note> 于点 <note>F</note>。边 <note>AB</note> 和 <note>BC</note> 是角ABC 的两边，线段 <note>AF</note> 和 <note>FC</note> 是角平分线 <note>BF</note> 将对边 <note>AC</note> 分成的两部分。根据角平分线定理，边 <note>AB</note> 与边 <note>BC</note> 的比等于边 <note>AF</note> 与边 <note>FC</note> 的比，即 <note>AF / FC</note> = <note>AB / BC</note>。


Question: 如图,已知圆心角∠AOB的度数为110°,则圆周角∠ACB等于()

Answer: 125°

1. 根据题意，已知圆心角∠AOB的度数为110°。

2. 设点E位于圆弧AB上，且连接点E到点A和点B，即连接EA和EB。

3. 根据圆周角定理，圆心角∠AOB在对应的优弧AB上的圆周角为其一半，即∠AEB=1/2∠AOB。

4. 将已知条件代入，得∠AEB=1/2×110°=55°。

5. ##根据(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理，∠AEB+∠ACB=180°。

6. 所以##∠ACB=180°-∠AEB=180°-55°=125°##。

##6. 最终得出答案为125°。##

圆; 圆心角; 圆周角; 弧; 弦

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

在本题图中，圆O中，<note>角ACB的顶点C在圆周上</note>，<note>角ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B</note>。因此，角ACB是一个圆周角。##圆O中，<note>角APB的顶点C在圆周上</note>，<note>角APB的两边分别与圆O相交于点A和点B</note>。因此，角APB是一个圆周角##。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理

<note>圆内接四边形ACBP</note>中，<note>四边形的顶点ACBP都在圆上</note>。根据<note>圆内接四边形对角互补定理</note>，四边形ACBP的每一对对角的和等于180°。具体来说，<note>∠ACB + ∠APB = 180°；∠PAC + ∠PBC = 180°</note>。


Question: 求 m \angle 2。

Answer: 90

1.观察给定图形，可以发现图中的三角形是一个直角三角形，直角位于右下角。圆心在斜边上，这离它是圆的一部分。

####

##2. 根据(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角，半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。所以给定的 ∠2 实际上被表现为 90°。

##3##. 经过上述推理，最终得出答案为 90°。

圆; 圆周角; 直角三角形

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

<note>斜边是直径</note>，连接了<note>圆心和圆周上的两点</note>，长度为<note>2倍的半径</note>。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

<note>在本题图中，圆中，角2的顶点在圆周上</note>，<note>角2的两边分别与圆相交于两点</note>。因此，角2是一个圆周角。

(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角

半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

<note>直角三角形斜边是直径</note>，所以<note>圆周角2是90度</note>。


Question: 如图,点A、B、C、D在圆O上,点E在AD的延长线上,若∠ABC=60°,则∠CDE的度数为()

Answer: 60°

1. 已知四边形ABCD为圆O的内接四边形，##所以依据(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理##，得出∠ABC + ∠ADC = 180°。

2. 由于E点在AD的延长线上，所以∠CDE和∠ADC为##邻补角##，根据##邻补角的定义##，得出∠CDE + ∠ADC = 180°。

3. 已知∠ABC = 60°，由第一步推理可得∠ADC = 180° - ∠ABC = 180° - 60° = 120°。

4. 将∠ADC的值代入第二步的推理，得到∠CDE + 120° = 180°，得出∠CDE = 180° - 120° = 60°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为∠CDE = 60°。

圆; 圆周角; 圆内接四边形; 三角形的外角

内接四边形

在本题图中，四边形<note>ABCD的四个顶点A、B、C和D都在同一个圆O上</note>。这个<note>圆称为四边形ABCD的外接圆</note>。因此，四边形ABCD是一个内接四边形。根据内接四边形的性质，可以得出<note>对角相加等于180度</note>，即<note>∠ABC + ∠ADC = 180度</note>，<note>∠BAD + ∠BCD = 180度</note>。

(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理

<note>在本题图中，四边形ABCD是圆O的内接四边形，四边形的顶点A、B、C、D都在圆上</note>。根据圆内接四边形对角互补定理，<note>四边形ABCD的每一对对角的和等于180°</note>。具体来说，<note>∠ABC + ∠ADC = 180°</note>；<note>∠BAD + ∠BCD = 180°</note>。

邻补角的定义

两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角


Question: 在图中，m \angle 1 = 50 和 m \angle 3 = 60。求 \angle 8 的度数。

Answer: 120

1. ##图中在m和n两条线上各画一个箭头，表示这两条线平行。在p和q两条线上各画三个箭头，表示这两条线平行。即m∥n，p∥q。

2. ##设直线n与直线q相交于点o，直线n与直线q在直线q下方形成的钝角夹角为∠9，在直线q上方形成的钝角夹角为∠10，直线n与直线q在直线q下方形成的锐角夹角为∠11，在直线q上方形成的锐角夹角为∠12。根据平行线的平行公理2和同旁内角的定义，m∥n且平行线m和n被直线q所截，所以∠3与∠9互为同旁内角，二者互补，即∠3+∠9=180°。已知∠3=60°，所以∠9=180°-∠3=180°-60°=120°##。

3. ##根据对顶角的定义，由直线n与直线q相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等，所以∠9=∠10，即∠10=120°##。

4. ##根据平行线的平行公理2和同位角的定义，p∥q且平行线p和平行线q被直线n所截，所以∠10与∠8互为同位角，即∠8=∠10=120°##。

5. 经过上述推理，最终得出##∠##8 的度数为 120°。

平行线; 内错角; 同位角

对顶角的定义

对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。

在本题图中，<note>直线n和q 相交于点 k</note>，形成四个角：∠9、∠10、∠11和 ∠12。根据对顶角的定义，<note>∠9 和 ∠10是对顶角</note>，<note>∠11 和 ∠12是对顶角</note>。由于对顶角的角度相等，所以 <note>∠9 = ∠10</note>，<note>∠11 = ∠12</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>在本题图中，两条平行线m和n被第三条直线q所截，形成了以下几何关系：</note>1. 同位角：无。2. 内错角：无。3. 同旁内角：<note>角3和角9互补，即角3 + 角9 = 180度</note>。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同旁内角互补。<note>两条平行线p和q被第三条直线n所截，形成了以下几何关系：</note>1. 同位角：<note>角8和角10相等</note>。2. 内错角：无。3. 同旁内角：无。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等。

同位角定义

两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。

在本题图中，<note>两条平行直线p和q</note>被<note>一条直线n</note>截交，其中<note>角10和角8位于截线n的同旁</note>，被截<note>两直线p和q的同一侧</note>，因此<note>角10和角8是同位角</note>。同位角相等，即<note>角10等于角8</note>。##


Question: ∠ABC的度数是多少？

Answer: 75 degrees

1. 已知条件为△ABC，其中角BAC、角ABC和角ACB分别为4x°、5x°和3x°，根据三角形内角和定理（任意三角形的三个内角之和为180°），得出方程：4x + 5x + 3x = 180。

2. 化简方程：4x + 5x + 3x = 12x，因此12x = 180。

3. 对方程12x = 180两边同时除以12，可以得到x = 15。

4. 角ABC的度数为5x°，将x的值代入得到角ABC = 5 × 15 = 75°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为75°。

角的定义

角是由两个有公共端点的射线组成的几何图形，其中的公共端点称为角的顶点，两条射线称为角的边。

<note>角BAC是由射线AB和射线AC组成的几何图形</note>，这两条射线有一个共同的<note>端点A</note>，这个共同的<note>端点A称为角BAC的顶点</note>，而射线AB和射线AC称为<note>角BAC的边</note>。<note>角ABC是由射线AB和射线BC组成的几何图形</note>，这两条射线有一个共同的<note>端点B</note>，这个共同的<note>端点B称为角ABC的顶点</note>，而射线AB和射线BC称为<note>角ABC的边</note>。<note>角ACB是由射线AC和射线BC组成的几何图形</note>，这两条射线有一个共同的<note>端点C</note>，这个共同的<note>端点C称为角ACB的顶点</note>，而射线AC和射线BC称为<note>角ACB的边</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

在本题图中，三角形ABC中，<note>角BAC、角ABC和角ACB</note>是三角形ABC的三个内角，根据<note>三角形内角和定理</note>，<note>角BAC + 角ABC + 角ACB = 180°</note>。


Question: 如图,AB是⊙O的直径,C、D是⊙O上的两点,分别连结AC、BC、CD、OD.若∠DOB=140°,则∠ACD=()

Answer: 20°

1. 已知∠DOB = 140°。##根据邻补角的定义，∠AOD=180°-∠DOB=180°-140°=40°。

2. ##根据圆心角的定义，∠AOD为圆心角##。

3. ##根据圆周角的定义和圆周角定理，∠ACD=1/2∠AOD=1/2*40°=20°##。

4. 因此，最终得出结论∠ACD = 20°。

圆; 圆周角; 圆心角; 线段; 弧

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

<note>AB是直径</note>，连接了<note>圆心O</note>和圆周上的<note>A、B两点</note>，长度为<note>2倍的半径</note>，即<note>AB = 2 * OA</note>。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

在本题图中，圆O中，<note>点D和点B是圆上的两点</note>，<note>圆心是点O</note>。<note>连线OD和OB组成的角∠DOB</note>称为圆心角。圆O中，<note>点D和点A是圆上的两点</note>，<note>圆心是点O</note>。<note>连线OD和OA组成的角∠DOA</note>称为圆心角。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。


Question: 在菱形ABCD中，AB = 2x + 3 且 BC = 5x。求AD。

Answer: 5

1. 已知菱形 A B C D，##根据菱形的定义，##边 A B 和 B C 相等，即 A B = B C。已知 A B = 2 x + 3，B C = 5 x。

2. 根据##菱形的定义##，四个边相等，因此 A B=D C ##=A D##=B C。

3. 我们可以列出方程 2 x + 3 = 5 x。

4. 将 2 x 移到方程##右侧##，结果为 3 = 3 x。

5. 解方程 x = 1。

6. 将 x 的值代入 A B = 2 x + 3，我们可以得到 A B = ##2*(1)## + 3 = 5。

7. 因为菱形的所有边都相等，所以 A D 也等于 5。

8. 因此, A D 的长度为 5。

菱形的定义

菱形是四边都相等的四边形，且对角线互相垂直平分。

<note>菱形ABCD的所有边AB、BC、CD、DA都是相等的</note>，因此<note>AB = BC = CD = DA</note>。此外，<note>菱形ABCD的对角线AC和BD互相垂直平分</note>，即<note>对角线AC和BD相交于点E</note>，且<note>∠AED是直角（90度）</note>，并且<note>AE = EC和BE = ED</note>。####


Answer: 55°

1. 已知直线a平行于直线b，且∠1 = 55°，##设∠2的对顶角为∠3##。

2. ##根据平行线的平行公理2，同位角相等 ##，得出∠3 = ∠1 = 55°。

3. ##根据对顶角的定义##，∠2和∠3是对顶角，得出∠2=∠3=55°。

4. 经过上述推理，最终得出答案为55°。

对顶角的定义

对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。

在本题图中，直线c与直线b相交于点Y，形成<note>两个角：∠2、∠3</note>。根据对顶角的定义，<note>∠2和∠3是对顶角</note>。由于对顶角的角度相等，所以<note>∠2=∠3</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

在本题图中，<note>两条平行线a和b</note>被<note>第三条直线c</note>所截，形成了以下几何关系：<note>同位角：角1和角3相等</note>。

同位角定义

<note>两条平行直线a和b</note>被<note>一条直线c</note>截交，其中<note>角1和角3位于截线c的同旁，被截两直线a和b的同一侧</note>，因此<note>角1和角3是同位角</note>。<note>同位角相等，即角1等于角3</note>。##


Question: 求 P N。

Answer: 30

1. ##由图示可知∠LMP = 25°和∠NMP = 25°，且∠MLP = 90°和∠MNP = 90°##。

2. ##根据全等三角形判定定理(AAS)，已知∠LMP =∠NMP = 25°，∠MLP = ∠MNP = 90°，且两个三角形中的∠MLP和∠MNP的对边同为MP，所以三角形MPL≌三角形MPN##。

3. ##全等三角形的定义，两个三角形的对应边相等，所以LP=NP，即3x+6=4x-2##。

4. ##解方程：6+2=4x-3x，最终解得：x=8##。

5. ##将已求得x的值代入：4x-2求PN，解得：PN=4 * 8-2=30##。

####

##6##. 经过上述推理，最终得出答案为 P N 的长度是 30。

直角三角形; 内错角; 同位角; 垂线

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

<note>三角形MLP是由三个非共线点M、L、P及其连接线段ML、LP、MP组成的几何图形</note>。点<note>M、L、P分别是三角形的三个顶点</note>，线段<note>ML、LP、MP分别是三角形的三条边</note>。<note>三角形MNP是由三个非共线点M、N、P及其连接线段MN、NP、MP组成的几何图形</note>。点<note>M、N、P分别是三角形的三个顶点</note>，线段<note>MN、NP、MP分别是三角形的三条边</note>。####

全等三角形判定定理(AAS)

两个三角形的两角及一角的对边对应相等，则两个三角形全等。。

<note>角LMP等于角NMP</note>，<note>角MLP等于角MNP</note>，且<note>边MP等于MP</note>。由于这两个三角形的两角及一角的对边对应相等，根据全等三角形判定定理的角角边准则(AAS)，可以得出<note>三角形MPL全等于三角形MPN</note>。####

全等三角形的定义

两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等。

<note>三角形MPL和三角形MPN是全等三角形</note>，<note>三角形MPL的对应边和对应角与三角形MPN相等</note>，即：

<note>边ML</note> = <note>边MN</note>
<note>边MP</note> = <note>边MP</note>
<note>边PL</note> = <note>边PN</note>

同时，对应的角也相等：
<note>角LMP</note> = <note>角NMP</note>
<note>角MLP</note> = <note>角MNP</note>
<note>角MPL</note> = <note>角MPN</note>


Answer: \frac{3}{4}

1. 已知三角形ABC中，AB = AC = 4cm，BC = 6cm。

2. 作辅助线AD，垂直于BC于点D。

3.##三角形ABD和三角形ACD由直角三角形的定义可知，均为直角三角形##

4.##依据直角三角形全等判定（斜边、直角边），AB＝AC，AD＝AD，可知直角三角形ABD与直角三角形ACD全等##。

5.##依据全等三角形的定义，可知，BD＝6/2＝3##

6.##在直角三角形ABD中，由余弦函数可知，cosB＝BD/AC＝4/6＝3/4##。

7.##通过上述推理，最终得出cos∠B = 3 / 4##。

####

等腰三角形; 余弦; 普通三角形; 线段

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

在本题图中，三角形ABD和三角形ACD中，<note>角∠ADB和角∠ADC是直角（90度）</note>，因此<note>三角形ABD和三角形ACD是直角三角形</note>。<note>边AD和边BD是直角边，边AB是斜边</note>；<note>边AD和边DC是直角边，边AC是斜边</note>。######

余弦函数

余弦函数是一个三角函数，它可以通过直角三角形中的边来定义，对于一个角α，它的余弦值等于角α的邻边与斜边的比值

在本题图中，直角三角形ABD中，<note>边BD是角B的邻边</note>，<note>边AB是斜边</note>。因此，根据余弦函数的定义，<note>角B的余弦值等于邻边BD与斜边AB的比值</note>，即cos(B) = <note>BD / AB</note>##。##

直角三角形全等判定（斜边、直角边）

如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等

在本题图中，直角三角形<note>ABD</note>和直角三角形<note>ACD</note>中，假设<note>角ADB和角ADC都是直角（90度）</note>。如果<note>边AB等于边AC（斜边）</note>，并且<note>边AD等于边AD（直角边）</note>，那么根据直角三角形全等判定（斜边、直角边），这两个直角三角形<note>ABD和ACD全等</note>。

全等三角形的定义

两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等。

<note>三角形ABD和三角形ACD是全等三角形</note>，三角形ABD的对应边和对应角与三角形ACD相等，即： <note>边AB = 边AC</note> <note>边AD = 边AD</note> <note>边BD = 边CD</note>，同时，对应的角也相等： <note>角B = 角C</note> <note>角ADB = 角ADC</note> <note>角BAD = 角CAD</note>.


Answer: 80°

1. 已知AB∥CD，∠B=20°和∠D=60°。

2. 过点E做EF∥AB，##根据平行线的传递性，##得到CD∥EF。

3. ##根据平行线的平行公理2和内错角的定义，内错##角相等，得∠BEF=∠B=20°。

4. ##根据平行线的平行公理2和内错角的定义，内错##角相等，得∠DEF=∠D=60°。

5. ##因为∠BED被平行线EF分割成∠BEF和∠DEF，所以##得出∠BED=∠BEF+∠DEF=20°+60°=80°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为80°。

平行线; 内错角; 同旁内角

平行线的定义

在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

在本题图中，<note>直线AB和直线EF</note>位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，<note>直线AB和直线EF是平行线</note>。<note>直线CD和直线EF</note>位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，<note>直线CD和直线EF是平行线</note>。##

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

在本题图中，<note>两条平行线AB和EF被第三条直线BE所截</note>，形成了以下几何关系：1. 同位角：无。2. 内错角：<note>角B和角BEF相等</note>。3. 同旁内角：无。这些关系说明了在<note>两条平行线被第三条直线所截时，内错角相等</note>。<note>两条平行线CD和EF被第三条直线DE所截</note>，形成了以下几何关系：1. 同位角：无。2. 内错角：<note>角D和角DEF相等</note>。3. 同旁内角：无。这些关系说明了在<note>两条平行线被第三条直线所截时，内错角相等</note>。

内错角的定义

当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。

平行线的传递性

若两条直线分别与第三条直线平行，则这两条直线互相平行。

在本题图中，<note>直线EF和直线CD</note>分别与<note>直线AB</note>平行。根据平行线的传递性，如果<note>直线EF平行于直线AB</note>，且<note>直线CD也平行于直线AB</note>，那么<note>直线EF和直线CD互相平行</note>。因此，<note>直线EF平行于直线CD</note>。##


Question: 如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,则tanB的值为()

Answer: \frac{4}{3}

1. 已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=8。

2. 根据勾股定理，在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。设BC的长度为x，由勾股定理得：x^2 = AB^2 - AC^2。

3. 代入数值，得到x^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64。

4. 计算得到x^2 = 36，因此x = 6。

5. 由正切函数的定义，在直角三角形中，一个锐角的正切值等于该角的对边长度与邻边长度之比。对于角BAC，tan(BAC) = AC/BC。

6. 将AC和BC的值代入，得到tan(BAC) = 8/6 = 4/3。

7. 经过上述推理，最终得出答案为4/3。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>三角形ABC中，角ACB是直角（90度）</note>，因此<note>三角形ABC是一个直角三角形</note>。边AC和边BC是直角边，<note>边AB是斜边</note>。

正切函数的定义

在直角三角形中，一个锐角的正切值等于相对直角边长度除以相邻直角边长度。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

在本题图中，直角三角形ABC中，<note>角ACB是直角（90度）</note>，<note>边AC和BC是直角边</note>，<note>边AB是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>AB^2 = AC^2 + BC^2</note>。已知<note>AB = 10</note>，<note>AC = 8</note>，我们可以通过勾股定理计算<note>BC的长度</note>，即<note>BC = √(AB^2 - AC^2) = √(10^2 - 8^2) = √36 = 6</note>。


Question: 求 S T。

Answer: 19

1. 已知条件为△SRT是一等腰三角形，SR=4x-4，RT=3x+3。根据等腰三角形的性质，SR=RT，所以有方程 4x-4 = 3x+3。

2. 解方程 4x-4 = 3x+3，首先将所有x移到方程的一边，得到 x - 4 = 3。

3. 继续解方程，得到 x = 7。

####

##4##. 现在，根据题意找到 ST 的长度，已知 ST = 12 + x，代入 x = 7 得到 ST = 12 + 7 = 19。

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为 ST = 19。

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

<note>在本题图中，等腰三角形SRT中，边SR和边RT相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>∠RST = ∠RTS</note>。


Question: 如图,AB和CD是⊙O的两条直径,弦DE∥AB,若弧DE为40°的弧,则∠BOC=()

Answer: 110°

1. 连接OE，根据题意，知道弧DE为40°的弧。

2. 根据##圆心角的定义##，得出∠DOE=40°。

3. 因为OD=OE，##根据等腰三角形的定义##，所以△ODE是等腰三角形，依据等腰三角形的性质，得出∠ODE=(180°-∠DOE)/2=(180°-40°)/2=70°。

4. 因弦DE平行于AB，根据##平行线的平行公理2和同位角定义##，得出∠AOC=∠ODE=70°。

5. 根据邻补角的定义，∠BOC=180°-∠AOC##，得出∠BOC=180°-70°=110°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为∠BOC=110°。

圆; 圆心角; 弧; 弦; 平行线

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

弧的定义

弧是圆上两点之间的一段曲线。

<note>在本题图中，圆O上有两点D和E</note>，弧DE是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，<note>弧DE是圆上两点D和E之间的一段曲线</note>，且<note>题目说明其度数为40°</note>。

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

<note>在本题图中，等腰三角形ODE中，边OD和边OE相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>∠ODE = ∠OED</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

在本题图中，<note>两条平行线DE和AB被直线OD所截</note>，形成了以下几何关系：##1. <note>同位角：∠ODE和∠AOC相等</note>。2. 内错角相等。3. 同旁内角互补。##这些关系说明了在<note>两条平行线被第三条直线所截</note>时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。##

邻补角的定义

两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形OED</note>中，<note>角EOD、角OED和角ODE</note>是<note>三角形OED的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角EOD + 角OED + 角ODE = 180°</note>。


Question: 如图,AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上．若∠BOD=130°,则∠ACD的度数为()

Answer: 25°

1. 已知点A和点B是⊙O的直径的两端点，##根据平角的定义，∠AOB=180°，∠AOB=∠BOD+∠AOD。##

2. ##已知∠BOD=130°，得出∠AOD=∠AOB-∠BOD=180°-∠BOD=50°。##

3. ##根据圆周角的定义，∠ACD为圆O的圆周角；根据圆心角的定义，∠AOD为圆O的圆心角。再根据圆周角定理，∠ACD等于所对应的圆心角∠AOD的一半，所以∠ACD=1/2∠AOD。##

4. 将∠AOD=50°代入，得∠ACD=1/2×50°=25°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为25°。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

<note>在本题图中，圆O中，角ACD的顶点C在圆周上</note>，<note>角ACD的两边分别与圆O相交于点A和点D</note>。因此，<note>角ACD是一个圆周角</note>。##

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。


Question: 如图,在⊙O中,OA⊥BC,∠AOB=48°,D为⊙O上一点,则∠ADC的度数是()

Answer: 24°

1. 已知OA⊥BC，且OA为⊙O的半径，##点B和点C均为⊙O上的点，根据弦的定义，BC为⊙O的弦。##

2. ##根据垂径定理，得OA平分弧CAB，即弧CA=弧AB。连接OC，根据圆心角的定义，∠AOC和∠AOB为圆心角；再根据圆心角定理，∠AOC=∠AOB。##

3. ##弧AC对应的圆心角为∠AOC，圆周角为∠ADC。由圆周角定理可以得到，∠ADC=1/2 * ∠AOC。##

4. ##代入已知条件，得∠ADC=1/2 * 48°=24°。##

####

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为24°。

圆; 圆心角; 圆周角; 垂线; 弧

弦的定义

弦是连接圆上任意两点的线段。

<note>圆O中，点C和点B是圆上的任意两点</note>，<note>线段BC连接了这两个点</note>，所以<note>线段BC是圆O的弦</note>。####

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

<note>圆O中，点C和点A是圆上的两点，圆心是点O</note>。<note>连线OA和OC组成的角∠AOC</note>称为圆心角；<note>圆O中，点B和点A是圆上的两点，圆心是点O</note>。<note>连线OA和OB组成的角∠AOB</note>称为圆心角。####

圆心角定理

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

在本题图中，圆O中，<note>角ADC的顶点D在圆周上</note>，角ADC的两边分别<note>与圆O相交于点A和点C</note>。因此，<note>角ADC是一个圆周角</note>。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

垂径定理

如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。


Question: 求y。

Answer: 45

1. 该图形是一个以对角线为13的正方形，四个边等长，即每条边长为x。##因此对角线将正方形分为两个等腰直角三角形##。

2. ##在等腰直角三角形中，根据三角形内角和定理，可以求出锐角的度数=1/2(180°-90°)=45°。##

####

##3##. 综上所述，根据对角线将正方形的一个内角平均分为45度角，所以 y 即为45度。

正方形; 直角三角形; 三角形的外角; 对称

正方形的定义

正方形是一种平面四边形，其四条边相等且四个内角均为直角（90度）。

<note>四边形的四条边相等，分别为x</note>，并且<note>所有内角都是90度</note>，所以该四边形是一个正方形。

对角线的定义

对角线是连接多边形一顶点和非相邻顶点的线段。

<note>在本题图中，正方形中</note>，<note>对角线</note>是连接一个顶点和其非相邻顶点的线段。####

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>正方形的对角线</note>将<note>正方形分为两个直角三角形</note>。每个直角三角形的两个直角边分别是<note>正方形的边长x</note>，斜边是<note>正方形的对角线13</note>。因此，这两个<note>三角形都是直角三角形</note>。

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

<note>在本题图中，两个直角三角形中，两条直角边相等</note>，因此两个三角形都是等腰三角形。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>等腰直角三角形中，两个锐角和一个直角是三角形的三个内角</note>，根据<note>三角形内角和定理</note>，三个内角的<note>和等于180°</note>。##


Question: 如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,若∠C=140°,则∠BOD的度数为()

Answer: 80°

1.已知四边形 ABCD 是⊙O的内接四边形，因此根据##(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理，在一个圆的内接四边形中，每一对对角的和等于180°##，得出 ∠C + ∠A = 180°。

2. 由已知条件 ∠C = 140°，代入上一步得出的结论，可得##∠A =180°-∠C=180°-140°=40°##。

3. 根据圆周角定理，圆心角等于##等于它所对的弧所对应的##圆周角的两倍。在本题中，圆心角 ∠BOD 对应的圆周角为∠BAD。

4. 因此，圆心角 ∠BOD = 2 × ∠BAD = 2 × ∠A。

5. 代入前面计算的 ∠A = 40°，可得 ∠BOD = 2 × 40° = 80°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 80°。

圆内接四边形; 圆心角; 圆周角; 圆

内接四边形

在本题图中，<note>四边形ABCD</note>的<note>四个顶点A、B、C和D都在同一个圆上</note>。这个圆称为<note>四边形ABCD的外接圆</note>。因此，<note>四边形ABCD是一个内接四边形</note>。####

(圆周角定理推论3)圆内接四边形对角互补定理

在本题图中，四边形ABCD是内接四边形，<note>四边形的顶点A、B、C、D都在圆上。</note>根据圆内接四边形对角互补定理，四边形ABCD的每一对对角的和等于180°。具体来说，∠C + ∠A = 180°，∠B + ∠D = 180°。题目已知 <note>∠C = 140°</note>，因此 <note>∠A = 180° - ∠C</note> = <note>180° - 140° = 40°。</note>

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。


Question: 求从W到W'的比例因子。

Answer: \frac { 1 } { 3 }

线段的定义

线段是一个直线的一部分，包含两个端点及其间的所有点。

<note>线段FW是一个直线的一部分，包含端点F和端点W及其间的所有点</note>，长度为12单位。<note>线段FW'</note>是一个直线的一部分，包含端点F和端点W'及其间的所有点，长度为x单位。<note>线段W'W是一个直线的一部分，包含端点W'和端点W及其间的所有点</note>，长度为8单位。

比例因子

比例因子是指在缩放图形时，缩放后图形的对应线段长度与原图形对应线段长度的比值。如果比例因子为k，则缩放后的图形的每一条边的长度是原图形对应边长度的k倍。

<note>以W'为顶点的三角形</note>是通过将<note>以W为顶点的三角形按比例因子k缩放得到的</note>。根据比例因子的定义，<note>缩放后的三角形的每一条边的长度等于原三角形对应边长度的k倍</note>。即：<note>缩放后的边长 = k × 原边长</note>。


Question: 如果 A B = 12, A C = 16, 和 E D = 5, 求 A E.

Answer: 15

1. 已知条件为AB = 12，AC = 16，ED = 5####。

####

##2##. 记BC = x，因为AC = BC + AB，所以可以得出x + 12 = 16，因此x = 4。

##3##. ##根据平行线分线段成比例定理，已知在△ADC中，BE平行CD，因此AB/BC = AE/ED，代入相应数值得## AE / 5 = 12 / 4

6. 解这个比例方程：AE / 5 = 12 / 4 。 那么 AE = 5 * (12 / 4) = 15 。

7. 经过上述推理，最终得出答案为AE = 15。

普通三角形; 内错角; 平移

平行线分线段成比例定理

<note>在本题图中，三角形ADC中，直线BE与边CD平行，并截它的其他两边AC和AD（或其延长线）于点B和点E</note>，那么根据平行线分线段成比例定理，有：<note>AB/BC = AE/ED</note>，即截得的线段与原三角形相对应的线段成比例。####

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

<note>三角形ADC是由三个非共线点A、D、C及其连接线段AD、AC、CD组成的几何图形</note>。点A、C、D分别是三角形的三个顶点，<note>线段AD、AC、CD分别是三角形的三条边</note>。

平行线的定义

在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

在本题图中，<note>直线BE和直线CD</note>位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，<note>直线BE和直线CD是平行线</note>。##


Question: 如图,小明设计两个直角,来测量河宽BC,他量得AB=2米,BD=\frac{7}{3}米,CE=9米,则河宽BC为()

Answer: \frac{40}{7}米

1. ##在△ABD与△ACE中，已知∠DBA=90°，∠ECA=90°，∠A共用，根据相似三角形的判定定理(AA)##，△ABD相似于△ACE。

2. 根据##相似三角形的定义##，有AB/AC = BD/CE。

3. 由题目中已知AB=2米，BD=7/3米，CE=9米，##代入等式可得：2/AC = （7/3）/9##。

4. ##计算可得##：AC = 2 * 9 / (7/3) = 54 / 7。

5. ##由图知AC=BC+AB，那么##BC = AC - AB。

6. 代入数值得：BC = 54/7 - 2 = 54/7 - 14/7 = 40/7米。

7. 经过上述推理，最终得出答案为: BC = 40/7米。

直角三角形; 垂线; 平行线

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>三角形ABD和三角形ACE是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>∠BAD = ∠CAE</note>, <note>∠ABD = ∠ACE</note>, <note>∠ADB = ∠AEC</note>；<note>AB/AC = BD/CE</note>。

相似三角形的判定定理(AA)

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。


Answer: 60°

1. 观察并理解题图，已知∠ABC = 30°。

2. 在圆中，∠AOC是圆心角，而∠ABC是其所对的##弧AC##的圆周角。

3. 根据圆周角定理，##在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半##，即∠AOC = 2∠ABC。

4. 由此可以得出∠AOC = 2 × 30°。

5. 计算得出∠AOC = 60°。

6. 因此，最终的答案为60°。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

在本题图中，<note>圆O中，角ABC的顶点B在圆周上</note>，<note>角ABC的两边分别与圆O相交于点A和点C</note>。因此，角ABC是一个圆周角。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

在本题图中，<note>圆O中，点A和点C是圆上的两点，圆心是点O</note>。<note>连线OA和OC组成的角∠AOC称为圆心角</note>。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

在本题图中，圆O中，点A、B、C在圆上，<note>弧AC</note>对应的圆心角为∠AOC，圆周角为∠ABC。根据圆周角定理，∠AOC等于它所对的<note>弧AC</note>所对应的圆周角<note>∠ABC</note>的两倍，即<note>∠AOC = 2 × ∠ABC</note>。


Question: 求下图中x的值，精确到十分位？

Answer: 22.5

1. ##由图中标注可知存在一个直角，根据直角三角形的定义，##该三角形是一个直角三角形，已知直角边为12，斜边为25.5，要找到另一条直角边x的长度。

2. 根据##勾股定理（毕达哥拉斯定理）##，对于任意直角三角形，其斜边的平方等于两直角边平方和，即## a^2 + b^2 = c^2##。

3. 设12为直角边a，x为直角边b，25.5为斜边c，代入勾股定理可得 ##12^2 + x^2 = 25.5^2##。

4. 计算##12^2和25.5^2，得到 12^2 = 144 和 25.5^2 = 650.25##。

5. 将结果代入方程，得到 144 +## x^2## = 650.25。

6. 解这个方程，首先移项得到 ##x^2## = 650.25 - 144。

7. 计算得 ##x^2## = 506.25。

8. 对506.25取平方根，得到 x = √506.25 ##=## 22.5。

9. 因此求得直角边x的长度约为22.5。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>该三角形是一个直角三角形</note>，<note>其中一个内角为90度</note>。已知<note>一条直角边为12</note>，<note>另一条直角边为x</note>，<note>斜边为25.5</note>。

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

在本题图中，设三角形为<note>三角形ABC</note>，<note>三角形ABC</note>是由<note>三个非共线点A、B、C</note>及其连接线段<note>AC、AB、BC</note>组成的几何图形。<note>点A、B、C分别是三角形的三个顶点</note>，<note>线段AC、AB、BC分别是三角形的三条边</note>。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>直角三角形中，直角边分别为12和x，斜边为25.5</note>，根据勾股定理，<note>斜边的平方等于两条直角边的平方和</note>，即 <note>25.5^2 = 12^2 + x^2</note>。


Question: \triangle R S V \cong \triangle T V S。求 x。

Answer: 12

1. 已知∠RVS = 78°，∠RSV = 90°，##在三角形RVS中，由三角形内角和定理得出∠R = 12°##。

2. ##由于Δ RSV和Δ TVS是全等的直角三角形，由全等三角形的定义可知∠R=∠T=12°##。

3. ##所以X=12##。

####

普通三角形; 直角三角形; 反射

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

在本题图中，三角形RSV中，<note>角RSV是直角（90度）</note>，因此三角形RSV是一个直角三角形。<note>边RS和边SV是直角边</note>，<note>边RV是斜边</note>。三角形TVS中，<note>角TVS是直角（90度）</note>，因此三角形TVS是一个直角三角形。<note>边TV和边VS是直角边</note>，<note>边TS是斜边</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>在本题图中，三角形RSV中，角RVS、角RSV和角R是三角形RSV的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角RVS + 角RSV + 角R = 180°</note>。

全等三角形的定义

两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等。

<note>Δ RSV和Δ TVS</note>是全等三角形，<note>Δ RSV和Δ TVS对应的角相等： ∠R=∠T</note>。##


Question: 求 C D ，如果 A C = x - 3, B E = 20, A B = 16, 且 C D = x + 5。

Answer: 40

1. 已知 ##△ABC 和 △AED ##中，AC = x - 3，CD = x + 5，AB = 16，BE = 20。

2. 观察图形，##BC与ED平行，根据平行线的平行公理2，∠BCA=∠EDA,∠ABC=∠AED##。

3. ##因∠BCA=∠EDA,∠ABC=∠AED，由相似三角形的判定定理(AA)，因此 △ABC 与 △AED 为相似三角形##。

4. 根据相似三角形的对应边成比例，我们有 AB/##AE## = AC/##AD##。

5. 将已知数值代入比例式中，得到 ##16/36 = (x - 3)/(2x + 2)##。

6. 化简比例式，##16 * (2x + 2) =36 * (x - 3)##。

7. 展开方程，得到 ##32x + 32 = 36x - 108##。

8. 整理方程式，##32x - 36x = -108 - 32##。

9. 整理得到 -4x = -140。

10. 解方程，得出 x = 35。

11. 代入计算 CD，CD = x + 5 = 35 + 5。

12. 经过上述推理，最终得出答案为 CD = 40。

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>在本题中，三角形 ABC 和三角形 AED 相似</note>。根据相似三角形的定义，有：<note>AB/AE = AC/AD</note>。利用已知的边长，我们推导出一个比例方程 <note>16/36 = (x - 3)/(2x + 2)</note>，从而解出 <note>x = 35</note>，再进一步计算 CD。<note>在本题图中，两条平行线BC和ED被第三条直线AD以及AE所截</note>，形成了以下几何关系： <note>同位角：角ACB和角ADE相等</note>，<note>角ABC和角AED相等</note>。

相似三角形的判定定理(AA)

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似