Question: 如图,△ABC是⊙O的内接三角形,BD为直径,若∠DBC=18°,则∠A的度数是()

Answer: 72°

1. 如图，连接OC。

2. ∵##OB=OC##为⊙O的半径，∴##∠OBC=∠OCB=18°##。

####

##3##. ∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-18°-18°=144°。

##4##. 根据圆周角定理，△ABC是⊙O的内接三角形，圆周角∠A等于弧BC所对圆心角∠BOC的一半。

##5##. ∴∠A=1/2 ∠BOC=1/2 × 144°=72°。

##6##. 经过上述推理，最终得出答案为72°。

圆; 圆周角; 直角三角形

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

在本题图中，圆O中，点O是圆心，点B和<note>点C</note>是圆上的任意一点，线段OB和<note>线段OC</note>是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段OB和<note>线段OC</note>是圆O的半径。

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

在本题图中，三角形BOC中，<note>边OB和边OC相等</note>，因此<note>三角形BOC是一个等腰三角形</note>。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

在本题图中，<note>等腰三角形BOC中，边OB和边OC相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，<note>相等的两边所对的角相等</note>，即<note>∠OBC = ∠OCB = 18°</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>△BOC</note>中，根据<note>三角形内角和定理</note>，该三角形的内角之和等于180°。由此可得<note>∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB</note>。####

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

<note>在本题图中，圆O中，角A的顶点(点A)在圆周上</note>，<note>角A的两边分别与圆O相交于点C和点B</note>。因此，<note>角A是一个圆周角</note>。


Answer: 30°

1. 已知MN切⊙O于点A，根据切线的性质，切线与圆的半径垂直，所以∠MAO=90°。

2. 已知∠AOB=60°，因为OB=OA，所以△AOB是等腰三角形。

3. 在等腰三角形中，##两个底角度数相等。因此, ∠OAB=∠OBA=（180°-∠AOB）÷2，即∠OAB=∠OBA=（180°-60°）÷2=60°##。

4. 因为∠MAO=90°，并且##∠OAB=60°，所以∠BAM=∠MAO-∠OAB##，可以得到∠BAM=90°-##60°##。

5. 经过上述推理，得出∠BAM=30°。

切线; 圆心角; 圆周角

圆的切线定义

圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

<note>边OA和边OB相等</note>，因此三角形AOB是一个等腰三角形。

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

<note>圆O中，点A是直线MN与圆的切点</note>，<note>线段OA是圆的半径</note>。根据圆的切线性质，<note>切线MN与经过切点A的半径OA垂直</note>，即<note>∠MAO=90°</note>。


Question: 如图,⊙O的半径为10,AB为弦,OC⊥AB,垂足为E。如果CE=4,那么AB的长是()

Answer: 16

1. 已知圆O的半径为10，连接OA。因为半径OC垂直于弦AB，##根据垂径定理##，所以AE等于BE且等于AB的一半。

2. 已知OC=10，CE=4，因此OE的长度为OC-CE##=10-4=##6。

3. 在直角三角形AOE中，根据勾股定理（直角三角形中斜边的平方等于两条直角边的平方和），可以得出：OA的平方等于OE的平方加上AE的平方。

4. 具体计算：AE的平方等于OA的平方减去OE的平方，那么AE##=√(OA? - OE?)=√(10? - 6?)=##8。

5. 因为AE等于AB的一半，因此AB##=2AE=2×8=##16。

6. 经过上述推理，最终得出答案为16。

圆; 弦; 垂线; 直角三角形; 线段

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

<note>圆O中，点O是圆心</note>，点A、B、C是圆上的任意一点，<note>线段OA、OB、OC是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段OA、OB、OC是圆的半径</note>。例如，<note>OA是⊙O的半径</note>，其长度为10。

弦的定义

弦是连接圆上任意两点的线段。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

垂径定理

如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>△AOE是直角三角形</note>，<note>∠AEO是直角（90度）</note>，边OE和<note>AE是直角边</note>，<note>边OA是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>OC? = OE? + EC?</note>。已知OC=10，OE=6，因此<note>EC=√(10? - 6?)</note>=√(100 - 36)=√64=8。


Question: 如图,正方形ABCD的边长为3,以CD为一边向CD两侧作等边三角形PCD和等边三角形QCD,那么PQ的长是()

Answer: 3√{3}

1. 在正方形ABCD中，边长AB=BC=CD=DA=3。

2. 根据题意，以CD为一边分别向CD两侧作等边三角形PCD和等边三角形QCD。

##3. 由等边三角形的性质可知，在等边三角形DCQ中，DC=DQ=CQ=3。##

##4. 连接PQ，注意到由于两边分别是等边三角形，PD=DQ=QC=CP，所以四边形PCQD为菱形，PQ和CD为菱形PCQD的对角线。##

##5. 根据菱形的定义，线段PQ和CD相互垂直平分，并且交于E点，∠DEP = ∠DEQ = 90°，DE =1/2DC= 1.5##。

####

##6. 由直角三角形的性质可知，因为∠DEQ=90°，所以三角形DEQ为直角三角形。##

7. 计算三角形中的边长：在直角三角形DEQ中，由勾股定理得: ##QE = √(DQ^2- ##DE^2##) = √(3^2 - 1.5^2) = √(9 - 2.25) = √6.75 = (3√3)/2## 。

8. 因为PQ = 2 * QE，最终得到PQ = 2 * (3√3)/2 = 3√3。

9. 经过上述推理，最终得出答案为3√3。

等边三角形; 正方形; 旋转; 对称; 平移

正方形的定义

正方形是一种平面四边形，其四条边相等且四个内角均为直角（90度）。

等边三角形的定义

等边三角形是所有三条边长度相等并且所有内角都相等（均为60°）的三角形。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>三角形DEQ中，角DEQ是直角（90度）</note>，因此<note>三角形DEQ是一个直角三角形</note>。<note>边DE和边EQ是直角边，边DQ是斜边</note>。

菱形的定义

菱形是四边都相等的四边形，且对角线互相垂直平分。

<note>在本题图中，四边形DPCQ中，所有的边DP、CP、CQ、DQ都是相等的</note>，因此四边形DPCQ是一个菱形。此外，<note>四边形DPCQ的对角线PQ和CD互相垂直平分</note>，<note>对角线PQ和CD相交于点E</note>，且角DEQ是直角（90度），<note>DE=CE和QE=PE</note>。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>直角三角形DEQ</note>中，<note>∠DEQ是直角（90度）</note>，<note>边DE和EQ是直角边</note>，<note>边DQ是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>DQ^2 = DE^2 + EQ^2</note>。


Question: 已知:如图,⊙O中直径AB垂直于弦CD,垂足为E,若AB=10,CD=6,则BE的长是()

Answer: 1

1. 已知AB为⊙O的直径，AB=10，##根据直径定义##，那么半径OA=OB=10÷2=5。

2. 根据题意，AB垂直于弦CD，垂足为E，##依据垂径定理，直径AB平分弦CD##，所以E是CD的中点。

3. 由此可知，CE=CD÷2=6÷2=3。

4. 连接##OC，因AB垂直于CD，形成直角E，即∠OEC为90度，根据直角三角形的定义，三角形△OCE为直角三角形，在直角三角形△OCE中，根据勾股定理，OE=√(OC?-CE?)=√(5?-3?)=√(25-9)=√16=4##。

5. ##已知OB=5，OE=4，又因OB=BE+OE=BE+4=5，所以BE=1##。

6. 经过上述推理，最终得出BE=1。

圆; 垂线; 直角三角形; 弧; 弦

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

<note>AB是⊙O的直径</note>，连接了<note>圆心O</note>和<note>圆周上的A、B两点</note>，长度为2倍的半径，即<note>AB = 2 * OA</note>。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

<note>在本题图中，圆O中，点O是圆心，点A和点B是圆上的任意一点，线段OA和线段OB是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段OA和线段OB是圆的半径</note>，长度都是5。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>直角三角形△OCE</note>中，<note>∠OEC是直角（90度）</note>，<note>边OE和CE是直角边</note>，<note>边OC是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>OC² = OE² + CE²</note>。

垂径定理

如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。


Question: 如图,在正方形ABCD中,E是DC上一点,F为BC延长线上一点,∠BEC=70°,且△BCE≌△DCF．连接EF,则∠EFD的度数是()

Answer: 25°

1. 已知四边形ABCD是正方形，根据正方形的性质，得出∠BCE=90°和∠DCF=90°。

2. 由已知条件，∠BEC=70°且△BCE≌△DCF，根据##全等三角形的定义，两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等。##则有∠DFC=70°。

3. 辅助线：连接EF。

4. ##由已知条件，∠BEC=70°且△BCE≌△DCF，根据全等三角形的性质，对应边相等，对应角相等，##因此CE=CF

####

##5. 在等腰直角三角形△ECF中，由于其两个底角相等，可以得出∠EFC=45°。##

##6##. ∠EFD由∠DFC和∠EFC之差得出，∠EFD=∠DFC-∠EFC=70°-45°=25°。

##7##. 经过上述推理，最终得出答案为25°。

正方形; 等腰三角形; 直角三角形; 邻补角; 三角形的外角

正方形的定义

正方形是一种平面四边形，其四条边相等且四个内角均为直角（90度）。

全等三角形的定义

两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等。

##等腰直角三角形的定义

等腰直角三角形是指至少有两条边相等且有一个角为90度的三角形。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>角ECF、角CEF和角EFC</note>是三角形ECF的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>角ECF + 角CEF + 角EFC = 180°</note>。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

<note>等腰三角形ECF中，边CE和边CF相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，<note>相等的两边所对的角相等</note>，即<note>角ECF = 角EFC</note>。


Question: 如图,PA、PB分别切⊙O于A、B,点C和点D分别是线段PA、PB上的动点,并且CD始终保持与圆O相切,若PA=8cm,则△PCD的周长是()

Answer: 16

1. 已知PA、PB分别切⊙O于A、B，并且PA=8 cm，##根据切线长定理，##PB=8 cm。

2. 连接CD，并且CD切⊙O于点E。

3. 因为CD切⊙O于点E，根据##切线长定理##，CA=CE，DE=DB。

4. 因为点C在PA上，点D在PB上，所以△PCD的周长为PC+PD+CD。

5. 由于CA=CE，DE=DB，所以CD=CE+DE##=CA+DB##。

6. 根据上述等量关系，可以得出△PCD的周长=PC+PD+##CA+CD##=PA+PB=8 cm + 8 cm。

7. 经过上述推理，最终得出答案为16 cm。

圆; 切线; 等腰三角形; 线段

圆的切线定义

圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。

<note>圆O与直线PA有且只有一个公共点A，这个公共点叫做切点</note>。因此，<note>直线PA是圆O的切线</note>。同理，<note>圆O与直线PB有且只有一个公共点B，这个公共点叫做切点</note>。因此，<note>直线PB是圆O的切线</note>。<note>圆O与直线CD有且只有一个公共点E，这个公共点叫做切点</note>。因此，<note>直线CD是圆O的切线</note>。####

切线长定理

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

三角形的周长公式

三角形的周长等于三条边的长度之和，即如果三角形的三条边分别为a、b、c，则周长P=a+b+c。

<note>已知三角形PCD的三边分别为PC、PD、CD</note>，根据三角形的周长公式，<note>三角形的周长等于其三边长度之和</note>，即<note>周长P=PC+PD+CD</note>。


Question: 如图,从⊙O外一点P引圆的切线PA和PB,切点分别是A和B,如果∠APB=70°,那么这两条切线所夹劣弧AB的度数是()

Answer: 110°

1. 已知PA和PB是从⊙O外一点P引出的切线，##由圆的切线性质可知##，切点A和切点B都是直角，即∠PAO=∠PBO=90°。

2. 因为∠APB=70°，##由四边形的内角和定理可知四边形APBO内角和为360°##。

3. ##所以∠AOB＝360°-90°-90°-70°等于110°##。

##4.题干中问两条切线所夹劣弧AB的度数，显然由圆心角的性质可知，这段劣弧AB度数就是所对的圆心角就是∠AOB等于110°##

####

圆; 切线; 弧; 圆周角; 等腰三角形

圆的切线定义

圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

在本题图中，圆O中，<note>点O是圆心</note>，<note>点A和点B是圆上的任意一点</note>，<note>线段OA和线段OB是从圆心O到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段OA和线段OB是圆O的半径</note>。

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

在本题图中，圆O中，点A是直线<note>PA与圆的切点</note>，线段<note>OA是圆的半径</note>。根据圆的切线性质，<note>切线PA与经过切点A的半径OA垂直</note>，即<note>∠PAO=90度</note>。同理，点B是直线<note>PB与圆的切点</note>，线段<note>OB是圆的半径</note>。<note>切线PB与经过切点B的半径OB垂直</note>，即<note>∠PBO=90度</note>。######

四边形的内角和定理

在任意四边形中，四个内角的和为360°

<note>四边形APBO</note>中，<note>角A、角P、角B和角O是四边形的四个内角</note>，根据四边形的内角和定理，<note>这四个内角的和为360°</note>，即<note>角A + 角P+ 角B + 角O = 360°</note>。####

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角

圆心角的性质

圆心角的度数等于它所对的圆弧的度数

<note>圆心角∠AOB</note>所对的圆弧为<note>弧AB</note>。根据圆心角的性质，圆心角的度数与所对圆弧的度数相等，即<note>∠AOB的度数=弧AB的度数</note>。


Answer: 80°

1. 已知AB是⊙O的直径，且∠BDC=40°。

2. 根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半。因此，∠BDC是圆周角，对应圆心角为∠BOC。

3. 由圆周角定理中，已知∠BDC=40°，则圆心角∠BOC是其两倍，即∠BOC=2×∠BDC。

4. 计算得到∠BOC=2×40°=80°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为80°。

圆; 圆周角; 圆心角; 弧

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

在本题图中，圆O中，<note>角BDC的顶点D在圆周上</note>，<note>角BDC的两边分别与圆O相交于点B和点C</note>。因此，<note>角BDC是一个圆周角</note>。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

在本题图中，圆O中，点B、D、C在圆上，<note>弧BC与弧DC对应的圆心角为∠BOC</note>，<note>圆周角为∠BDC</note>。根据圆周角定理，<note>∠BDC等于它所对的弧BC所对应的圆心角∠BOC的一半，即∠BDC = 1/2 ∠BOC</note>。


Question: 如图,PB切⊙O于点B,PO交⊙O于点E,延长PO交⊙O于点A,连结AB,⊙O的半径OD⊥AB于点C,BP=6,∠P=30°,则CD的长度是()

Answer: √{3}

1. 已知PB切⊙O于点B，##连接BO##，根据##圆的切线性质##，得出∠OBP = 90°。

2. 由△POB中已知BP = 6，##∠OPB = 30°，根据三角形内角和定理得出∠POB =180°- ∠OPB - ∠OBP = 180°-30° - 90° = 60°##。

3. 使用正切函数公式OD = OB * tan(∠POB)，由正切值表查得tan(30°) = √3/3

4. 计算得出OD = OB = BP * tan(30°) = 6 * √3/3 = 2√3。

##5. 因为OA和OB为圆O的半径，所以OA = OB，根据等腰三角形的定义，可得△OAB为等腰三角形。因为∠POB = 60°，根据邻补角的定义，可得∠AOB=120°。根据等腰三角形的性质，在等腰三角形△OAB中，∠OAB = ∠OBA = 30°。##

6. 已知OD ⊥ AB，故∠OCB = 90°，##根据三角形内角和定理得出∠COB =180°- ∠OBC - ∠OCB = 180°-30° - 90° = 60°##。

##7. 根据30°-60°-90°三角形的性质，在△OBC中，OC是OB的一半，故OC = 1/2 * OB = 1/2 * 2√3 = √3。##

##8. 因此，CD = OD-OC = 2√3-√3= √3。##

圆; 垂线; 切线; 直角三角形; 正弦

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

在本题图中，圆O中，点B是直线PB与圆的切点，<note>线段OB是圆的半径</note>。根据圆的切线性质，<note>切线PB与经过切点B的半径OB垂直</note>，即<note>∠OBP=90度</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形POB中，角OPB、角OBP和角POB是三角形POB的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角OPB + 角OBP + 角POB = 180°</note>，<note>三角形OCB中，角OCB、角CBO和角COB是三角形OCB的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角OCB + 角CBO + 角COB = 180°</note>，<note>三角形OAB中，角OAB、角ABO和角AOB是三角形OAB的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角OAB + 角ABO + 角OBA = 180°</note>。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>在本题图中，三角形OPB中，角OBP是直角（90度），因此三角形OPB是一个直角三角形。边OB和边BP是直角边，边OP是斜边。</note>
<note>三角形OCB中，角OCB是直角（90度），因此三角形OCB是一个直角三角形。边OC和边BC是直角边，边OB是斜边。</note>

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段。

在本题图中，<note>圆O中，点O是圆心</note>，<note>点A和点B是圆上的任意一点</note>，<note>线段OA和线段OB是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段OA和线段OB是圆的半径</note>。

正切函数的定义

在直角三角形中，一个锐角的正切值等于相对直角边长度除以相邻直角边长度。

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

<note>等腰三角形AOB中，边AO和边OB相等</note>。因此，根据<note>等腰三角形的性质</note>，相等的两边所对的角相等，即<note>角OAB = 角OBA</note>。

邻补角的定义

两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。

<note>角AOB和角POB有一条公共边AE</note>，<note>它们的另一边AO和OE互为反向延长线</note>，所以角AOB和POB互为邻补角。####

30°-60°-90°三角形的性质

在30°-60°-90°三角形中，30度角所对的边短，是斜边的一半，60度角所对的边则为短边的√3倍。

<note>30°-60°-90°三角形OCB</note>中，<note>角OBC是30度</note>，<note>角BOC是60度</note>，<note>角OCB是90度</note>。<note>边OB是斜边</note>，<note>边OC是30度角所对的边</note>，<note>边CB是60度角所对的边</note>。根据30°-60°-90°三角形的性质，<note>边OC等于边OB的一半</note>，<note>边CB等于边OC的√3倍</note>。即：<note>OC = 1/2 * OB</note>，<note>CB = OC * √3</note>。##


Question: 如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,CD=4,BC=5,则AC=()

Answer: \frac{20}{3}

1. ##已知CD垂直于AB于点D，根据直角三角形的定义，我们得知三角形BDC为直角三角形。又根据勾股定理（毕达哥拉斯定理），我们可以得到：BC^2=BD^2+CD^2##。

2. ##变化公式可得：BD^2 = BC^2 - CD^2，代入已知条件：CD=4，BC=5，可得到BD = √{5^2-4^2} = √{25-16} = √9 = 3##。

####

##3##. ##由CD垂直于AB可推证∠BDC=∠ADC=90°##。

##4##. ##由于三角形BCD和三角形ABC共享∠B，又因为∠BDC和∠ACB都为90°，根据相似三角形的判定定理(AA)可得△BDC∽△ABC，又根据相似三角形的定义可得BC/AC = BD/CD。##

##5##. ##BC/AC = BD/CD##，根据已知：BC = 5，BD = 3，CD = 4，

##6##. 代入得：##5/AC=3/4##，

##7##. 解方程即得AC=4*(5/3)=20/3。

##8##. 经过上述推理，最终得出答案为20/3。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

垂线定义

如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。

<note>直线CD和直线AB相交形成的角∠CDA是90度</note>，因此根据垂线定义，<note>直线CD和直线AB</note>互相垂直。

垂足的定义

垂线和所垂直的线段的交点称为垂足。

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>△BDC和△ABC是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>∠BDC = ∠BCA</note>, <note>∠CBD = ∠ACB</note>, <note>∠BCD = ∠BAC</note>；<note>BC/AC = BD/CD</note>。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>直角三角形BDC中</note>，<note>∠BDC是直角（90度）</note>，<note>边BD和CD是直角边</note>，<note>边BC是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>BC^2 = BD^2 + CD^2</note>。

相似三角形的判定定理(AA)

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。


Question: 在上图中，角OBC与角OCB全等。角A的度数是多少？

Answer: 35

1. 已知条件为角 OBC 与角 OCB 全等，即 ∠OBC = ∠OCB，####。

2. 在△OBC中，角OBC=55°，角OCB=55°，##由三角形内角和定理##，可得角BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-55°-55°=70°。

3. 因为 AB 和 AC 是圆的弦，且角BOC是圆心角，对应的周角为 ∠BAC，根据圆周角定理，圆周角等于对应圆心角的一半，所以 ∠BAC = 1/2 * ∠BOC。

4. 因此，∠BAC = 1/2 * 70° = 35°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为 ∠BAC = 35°。

等腰三角形; 圆周角; 圆

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形 OBC</note> 中，<note>角 OBC</note>、<note>角 OCB</note> 和<note>角 BOC</note> 是<note>三角形 OBC 的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角 OBC + 角 OCB + 角 BOC = 180°</note>。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

在本题图中，<note>∠BAC 为圆周角</note>，<note>∠BOC 为对应的圆心角</note>。根据圆周角定理，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半，即<note>∠BAC = 1/2 × ∠BOC</note>，且<note>∠BOC = 70°</note>，所以<note>∠BAC = 1/2 × 70° = 35°</note>。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角


Question: 如上图所示，三角形BDC的面积为48。如果ABCD是一个矩形，圆的面积是多少？

Answer: 36*\pi

1. ##已知ABCD是一个矩形，由图可得：CD=8##。

2. ##根据矩形的定义，CD=AB=8，∠BCD=90°##。

3. ##根据直角三角形的定义得：三角形BCD是一个直角三角形，且BC和CD为直角边，所以边BC为直角三角形BCD的底边，边CD为直角三角形BCD的高线（或边CD为直角三角形BCD的底边，边BC为直角三角形BCD的高线）。已知三角形BDC的面积等于48，根据##直角三角形的面积公式##得，48=1/2×CD×BC，得CD×BC=8×BC=96，即BC=12。再次根据矩形的定义得BC=AD=12##。

4. ##因图中矩形的边长AD与圆的直径AD重合##。故圆的直径为12，##根据直径的定义##，半径便是12/2 = 6。

5. ##根据圆的面积公式：##π乘以半径的平方，即π * ##r?##。在这里，半径r为6。因此，圆的面积为 π * ##6? = 36π##。

6. 最终得出答案为36π。

矩形; 直角三角形; 圆; 圆内接四边形

矩形的定义

矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。

在本题图中，四边形ABCD是一个矩形，<note>其内角∠DAB, ∠ABC, ∠BCD, ∠CDA都是直角（90度）</note>，且<note>边AB与边CD平行且等长，边AD与边BC平行且等长</note>。

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

在本题图中，圆中，<note>点O是圆心</note>，<note>点A和点D是圆上的任意两点</note>，<note>线段OA和线段OD是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段OA和线段OD是圆的半径</note>。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形

直角三角形的面积公式

直角三角形的面积等于两条直角边乘积的一半，即面积 = 1/2 * 底 * 高

<note>在本题图中，直角三角形BCD中，角BCD是直角（90度）</note>，<note>边BC和CD是直角边</note>，其中一条直角边作为底，另一条直角边作为高，所以直角三角形的面积等于这两条直角边乘积的一半，即面积 = 1/2 * <note>边CD</note> * <note>边BC</note>。######

圆的面积公式

圆的面积公式为A = πr^2，其中A表示面积，π是圆周率，r是圆的半径。

<note>圆的半径是6</note>，根据圆的面积公式，<note>圆的面积A等于圆周率π乘以半径6的平方</note>，即<note>A = π * 6^2 = 36π</note>。


Question: 求 W R。

Answer: 8

1. 已知WR=x+6, ##RT=2x+6##, VT=10, SW=8####。

2. ##根据对顶角的定义，角WRS和角TRV是对顶角##，因此我们有 ##∠WRS## = ∠TRV。

3. ##因为∠W=∠T（图中有相同标记），∠WRS = ∠TRV，根据相似三角形的判定定理(AA)，我们知道三角形WSR和三角形RTV是相似三角形##。

####

##4##. ##根据相似三角形的定义，得SW/VT=WR/RT, 代入题目中对应的边长得出: 8/10 = (x+6)/(2x+6) ##。

##5##. ####我们可以解这个比例公式。首先进行交叉乘法，得到: 10*(x+6) = 8*(2x+6)。

##6##. 展开交叉乘法： 10x + 60 = 16x + 48。

##7##. 移项并合并同类项，得出：10x - 16x = 48 - 60, 得出：-6x = -12。

##8##. 解x, 得出: x = 2。

##9##. 因此，我们代入x=2计算WR，得出: WR=x+6=2+6=8。

等腰三角形; 线段; 三角形的外角

对顶角的定义

对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。

<note>在本题图中，两条相交直线SR和RT相交于点R，形成四个角：角WRS、角TRV、角SRT和角WRV。</note>根据对顶角的定义，<note>角WRS和角TRV是对顶角，角SRT和角WRV是对顶角</note>。所以<note>角WRS=角TRV，角SRT=角WRV</note>。

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

相似三角形的判定定理(AA)

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。

<note>∠W=∠T（图中有相同标记）</note>, <note>∠WRS = ∠TRV</note>, 所以<note>三角形WSR和三角形RTV是相似三角形</note>。


Question: 关于上面的正方形，下列哪项必须为真？ I. a = b II. AC = BD III. b = c 要求： 1. 务必严格保持所有数学符号不翻译 2. 图形标注（如ABCD）不翻译 3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）

Answer: I, II, and III

1. 已知条件为：##四边形ABCD##是一个正方形，且对角线AC和BD相交于点O。根据##正方形的对角线性质，正方形的两个对角线相等，并互相垂直平分。因此，点O为AC和BD的中点。##

2. 因为正方形的对角线相等，所以AC = BD。根据选项II，可以确定这一选项为真。

3. ##从正方形的定义可知，四个内角都为90度。由于正方形的四边相等且对角线互相平分，根据等腰直角三角形的定义，因为AD=CD，∠ADC=90°，所以三角形ADC为等腰直角三角形。再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，我们可以得出a = b=（180°-∠ADC）/2=（180°-90°）/2=90°/2=45°。这表明选项I为真。##

4. ##同理，因为BC=CD且∠BCD=90°，所以三角形BCD为等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得：c=∠BDC=45°，因此所有a、b、c都相等，即a = b = c=45°，所以选项III为真##。

正方形; 对称; 等腰三角形

正方形的定义

正方形是一种平面四边形，其四条边相等且四个内角均为直角（90度）。

在本题图中，四边形ABCD中，<note>边AB、边BC、边CD和边DA相等</note>，且<note>角∠DAB、角∠ABC、角∠BCD和角∠CDA均为直角（90度）</note>，所以ABCD是一个正方形。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°

在本题图中，三角形ADC中，<note>角ADC</note>、<note>角a</note>和<note>角b</note>是三角形ADC的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>角ADC + 角a + 角b = 180°</note>。三角形BCD中，<note>角BDC</note>、<note>角c</note>和<note>角BCD</note>是三角形BCD的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>角BDC + 角c + 角BCD = 180°</note>。##

等腰直角三角形的定义

等腰直角三角形是两个边相等且有一个角为90度的三角形。

在本题图中，<note>三角形ADC是等腰直角三角形</note>，其中<note>角ADC是直角（90度）</note>，<note>边AD和边CD是相等的直角边</note>。<note>三角形BDC是等腰直角三角形</note>，其中<note>角DCB是直角（90度）</note>，<note>边BC和边CD是相等的直角边</note>。

正方形的对角线性质

正方形的对角线是连接相对角的线段。正方形的两个对角线相等，并互相垂直平分。

在本题图中，正方形ABCD中，<note>对角线AC和BD是连接相对角的线段</note>。根据正方形的对角线性质，<note>AC和BD相等</note>，并且<note>AC和BD互相垂直平分</note>，即在它们的交点处形成<note>四个90度的角</note>。因此，<note>AC = BD</note>，并且它们在交点处<note>相互垂直</note>。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

<note>等腰三角形ADC中，边AD和边CD相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>角DAC = 角DCA</note>。<note>在等腰三角形BCD中，边BC和边DC相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>角CBD = 角CDB</note>。##


Question: 在图中找到 x 的值。

Answer: 68

三角形的外角; 普通三角形; 线段

多边形的外角定义

多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。

多边形外角和定理

任意多边形的外角和等于360°。

<note>四边形的外角</note>分别是<note>(x-1)°</note>、<note>79°</note>、<note>(x+10)°</note>和<note>2x°</note>。根据<note>多边形外角和定理</note>，这些外角的和等于<note>360°</note>，即<note>(x-1)° + 79° + (x+10)° + 2x° = 360°</note>。


Question: 求 m \angle 1。

Answer: 79

1. ##设三角形的三个顶点分别为A、B、C，已知角度 ∠ABC = 27° 和 ∠BCA = 52°，设∠1为∠DAC，求 ∠1 的度数##。

2. 根据三角形内角和定理（一个三角形的三个内角之和等于180°），可以计算 ∠CAB 的度数。

3. 根据已知条件，得出：∠CAB = 180° - ∠ABC - ∠BCA = 180° - 27° - 52° = 101°。

4. ##根据邻补角的定义，∠CAD和∠CAB有一条公共边AC，AD、AB互为反向延长线，所以∠CAD和∠CAB互为邻补角##。

5. ##根据平角的定义，##由此得出：##∠1=∠CAD = 180° - ∠CAB = 180° - 101° = 79°##。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 ##∠1## = 79°。

普通三角形; 三角形的外角; 邻补角

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

在本题图中，<note>三角形ABC是由三个非共线点A、B、C及其连接线段AB、BC、AC组成的几何图形</note>。<note>点A、B、C分别是三角形的三个顶点</note>，<note>线段AB、BC、AC分别是三角形的三条边</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>在本题图中，三角形ABC中，角CAB、角ABC和角BCA是三角形ABC的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角CAB + 角ABC + 角BCA = 180°</note>。##

平角的定义

一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度。


Question: 求平行四边形的面积。如有必要，四舍五入到十分位。

Answer: 169.7

1. 已知平行四边形的底边长为14 mm，##设平行四边形的顶点（从左上点顺时针方向设）分别为ABCD。根据平行四边形的性质定理得：上边和底边的长度均为7mm，过右上侧顶点做底边的高h。##

2. 根据题目图中的信息，可以看到平行四边形的##边BC##和##底边CD##形成60°的角。从##顶点B作出垂线到底边CD，设垂足为E点，此垂线把底边的长度分成CE=7 mm和DE=14-7=7mm##。

3. ##根据直角三角形定义，右边三角形BCE为直角三角形##，我们可以使用##正切函数计算高h##。

4. ##这里 tan(60°) = BE/CE=h/7=√3，因此h =7* √3。##

5. ##化简得高 h= 7* 1.732= 12.12 mm##。

6. 问题要求求这个平行四边形的面积。平行四边形的面积公式为 '底 * 高'，在此底边是14 mm，高是12.12mm。因此，面积是14 * 12.12。

7. 计算出面积14 * 12.12 = ##169.68 mm^2##, 由于题中要求取到小数点后1位，这儿四舍五入后为169.7。

8. 基于上述讨论，我们得出最后答案: 该平行四边形的面积近似等于##169.7 mm^2##。

平行四边形; 垂线; 正弦

平行四边形的定义

平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。

<note>在本题图中，这个图形的两对对边分别平行且相等</note>，底边长为14 mm，且<note>上边与底边平行</note>。

平行四边形的性质定理

在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分

垂线定义

如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。

<note>顶点B</note>作到<note>底边CD</note>的垂线，与底边形成一个<note>直角</note>。因此根据垂线定义，这条<note>垂线与底边互相垂直</note>。

高的定义

从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段

在本题图中，从<note>顶点B垂直于对边CD（或其延长线）的线段BE</note>是<note>该顶点B的高</note>。<note>线段BE与边CD（或其延长线）形成一个直角（90度）</note>，这说明<note>线段BE是从顶点B到对边CD（或其延长线）的垂直距离</note>。##

平行四边形的面积公式

一个平行四边形的面积等于它的底边长乘以对应的高，即A = 底边长 × 高。

<note>平行四边形的底边长为14 mm</note>，<note>对应的高是从底边到对边的垂直距离，记为12.12 mm</note>。因此，根据平行四边形的面积公式，平行四边形的面积等于<note>底边长14 mm</note>乘以<note>对应的高12.12 mm</note>，即A = 14 mm × 12.12 mm。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>顶点B</note>作出的垂线与底边形成一个直角三角形。该直角三角形的<note>一个内角为90度</note>，因此它是一个直角三角形。垂线的长度为<note>直角三角形较长的直角边长BE</note>（12.12 mm），<note>直角三角形较短的直角边长CE</note>为7 mm。

正切函数的定义

在直角三角形中，一个锐角的正切值等于相对直角边长度除以相邻直角边长度

<note>在本题图中，直角三角形BCE中，角C是锐角，边BE是角C的相对直角边，边CE是角C的相邻直角边</note>，所以角C的正切值等于边BE的长度除以边CE的长度，<note>即tan(C) = BE / CE</note>。


Question: 在上图中，点B位于边AC上。如果55 < x < 60，y的一个可能值是多少？

Answer: 123

1. 题目中给出的图形表示在三角形ACD中，点B位于边AC上。

2. 根据位置关系，三角形ABD和三角形BCD共享边BD。

3. 已知条件55 < x < 60。

4. 由于三角形ABD和三角形BCD是邻接的，且共用边BD。##根据邻补角的定义，角ABD和角CBD互补，即##角ABD和角CBD的和为180度。

####

##5. 由图示已知：∠ABD = x°，且55° < x° < 60°##。

##6##. 根据公式180°- x = y，##y°=角CBD=180°-x°##。

##7##. 因为x的范围是55 < x < 60，那么计算角CBD的范围即为：##120## < y < ##125##。

##8##. 为符合条件55 < x < 60, ##选择x的一个可能值，例如57°，从而得出角ABD的度数，即y的度数##。

##9##. 计算对应的y值则为：180° - 57° = 123°。

##10. y的值为123，满足120 < y < 125的范围##。

##11##. 经过上述推理，##最终得出答案为y的值可以是123##。

三角形的外角; 普通三角形

邻补角的定义

<note>角ABD和角CBD有一条公共边BD</note>，<note>它们的另一边AB和CB互为反向延长线</note>，所以角ABD和角CBD互为邻补角。


Question: 求该图形的面积。结果保留到小数点后一位。

Answer: 30.2

1. 已知条件是圆的直径为6.2厘米。根据##半径的定义##，半径等于直径的一半，即圆的半径为3.1厘米。

2. 根据圆的面积公式\$A = πr^2\$，这其中\$A\$表示面积，\$r\$表示半径。

3. 圆的半径\$r = 3.1厘米\$。将半径代入面积公式，即\$A = π(3.1)^2\$。

4. 计算\$3.1\$的平方，得到\$3.1^2 = 9.61\$。

5. 将\$9.61\$代入圆的面积公式，得到\$A = π × 9.61\$。

6. 估算π的值为\$3.14\$，则\$A ≈ 3.14 × 9.61 = 30.1674\$。

7. 将计算出的面积保留一位小数，得到该圆的面积近似为30.2平方厘米。

8. 经过上述推理，最终得出答案为30.2平方厘米。

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

在本题图中，<note>红色线段是直径</note>，连接了<note>圆心和圆周上的两点</note>，长度为2倍的半径，即<note>直径 = 6.2厘米</note>。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

<note>圆心为黑点</note>，<note>圆周上任意一点与圆心之间的线段即为半径</note>，其长度为圆的直径的一半，即3.1厘米。

圆的面积公式

圆的面积公式为A = πr^2，其中A表示面积，π是圆周率，r是圆的半径。

<note>圆的直径为6.2厘米</note>，根据圆的性质，<note>半径为直径的一半，即圆的半径r为3.1厘米</note>。根据圆的面积公式，<note>圆的面积A等于圆周率π乘以半径3.1厘米的平方，即\$A = π(3.1)^2\$</note>，即<note>\$A = π × 9.61\$</note>，代入π的近似值3.14，得到<note>\$A ≈ 3.14 × 9.61 = 30.1674\$平方厘米</note>。


Question: 在上图中，线段AB的长度与线段AC的长度的比是2 : 5。如果AC = 25，线段AB的长度是多少？

Answer: 10

1. 已知条件为线段AB的长度与线段AC的长度之比为2:5，也就是说线段AB:线段AC=2:5。

2. 已知AC=25，根据应用比的定义，即相等关系式AB/AC=2/5，可以求出AB的长度。

3. 将已知AC=25代入相等关系式，得到AB/25=2/5。

4. 解方程AB/25=2/5，乘以25得到AB=25*(2/5)。

5. 计算25*(2/5)，等于10。

6. 经过上述推理，最终得到答案为AB=10。

线段的定义

线段是一个直线的一部分，包含两个端点及其间的所有点。

在本题图中，<note>线段AC是一个直线的一部分，包含端点A和端点C及其间的所有点</note>。<note>线段AB具有两个端点，这两个端点分别是A和B，且线段AB上的每一个点都位于端点A和端点B之间</note>。<note>线段BC具有两个端点，这两个端点分别是B和C，且线段BC上的每一个点都位于端点B和端点C之间</note>。


Question: 求阴影部分的面积。结果保留到十分位。

Answer: 10.7

1. 已知长方形的长为10厘米，##设左侧圆的圆心为O1，右侧圆的圆心为O2，长方形的四个顶点为A，B，C和D，同时已知圆的直径等于长方形的宽##，也是5厘米，所以长方形包含两个直径为5厘米的圆。

2. 圆的直径为5厘米，因此半径为2.5厘米。利用##圆的面积公式，## A = π##r^2##，圆的面积为 π*(2.5)^2 = 6.25π 平方厘米。

3. 因为有两个相同的圆，它们的总面积为 2*6.25π = 12.5π 平方厘米。

4. ##根据矩形的面积公式，##长方形的面积为长乘宽，即 10厘米 * 5厘米 = 50 平方厘米。

5. 阴影区域的面积等于长方形的面积减去两个圆的面积，即 50 - 12.5π。

6. 用近似值计算，采用 π ≈ 3.1416，得 12.5π ≈ 12.5 * 3.1416 = 39.27。

7. 计算阴影区域面积：50 - 39.27 ##=## 10.73。

8. 结果精确到小数点后一位为 10.7。

圆的定义

到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。

<note>左侧圆的圆心为O1</note>，<note>右侧圆的圆心为O2</note>，半径均为2.5厘米。图中所有<note>到O1的距离等于2.5厘米的点都在左侧圆上</note>，所有<note>到O2的距离等于2.5厘米的点都在右侧圆上</note>。

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

<note>两圆的直径均为5厘米</note>，连接了<note>圆心和圆周上的两点</note>，长度为<note>2倍的半径</note>，即<note>直径 = 2 * 半径 = 5厘米</note>。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

在本题图中，<note>每个圆的半径为2.5厘米</note>。这表示从<note>每个圆的圆心到圆周上的任意点的距离为2.5厘米</note>。

矩形的面积公式

矩形的面积等于其长度乘以其宽度。

<note>矩形的长为10厘米</note>，<note>宽为5厘米</note>，所以<note>矩形的面积 = 10厘米 * 5厘米</note> = 50平方厘米。

圆的面积公式

圆的面积公式为A = πr^2，其中A表示面积，π是圆周率，r是圆的半径。

<note>每个圆的半径是2.5厘米</note>，根据圆的面积公式，<note>圆的面积A等于圆周率π乘以半径2.5的平方</note>，即<note>A = π * (2.5)^2 = 6.25π平方厘米</note>。##

矩形的定义

矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。


Question: 矩形内接于圆。求圆的精确周长。

Answer: 10 \pi

1. 已知矩形内接于圆，##根据内接四边形，图中矩形的四个顶点都在圆上。设矩形为矩形ABCD（从最左侧点顺时针方向），圆心为点O。根据直径的定义，直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，而根据矩形的对角线性质，在矩形中，对角线相等且互相平分，所以对角线的交点到四个顶点的距离相等。所以矩形对角线的交点即圆心，根据(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角可得：##矩形的对角线即为该圆的直径。

2. 矩形的长为8英寸，宽为6英寸。##根据矩形的定义和直角三角形的定义##，对角线可被看作是直角三角形的斜边，两直角边分别为8英寸和6英寸。

3. 由##勾股定理（毕达哥拉斯定理）：直角三角形ABD中##，斜边的平方等于两直角边平方和。并且勾股定理表达为：##BD^2 = AB^2 + AD^2##。

4. 在本题中，##AB= 8英寸, AD= 6英寸##, 因此有：##BD^2## = 8^2 + 6^2。

5. 根据计算得到：##BD^2## = 64 + 36 = 100，即##斜边BD## = √100 = 10英寸。

6. 因此，矩形的对角线为10英寸，即圆的直径为10英寸。

7. ##根据圆的周长公式##，由圆周长公式C = πd (其中d为直径)。

8. 所以本题中圆的周长为：C = π × 10 = 10π 英寸。

9. 经过上述推理，最终得出答案为：10π 英寸。

圆; 矩形; 线段; 弧

矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。

<note>矩形的长为8英寸</note>，<note>宽为6英寸</note>，因此是一个<note>对边相等</note>且<note>内角为直角</note>的四边形。矩形的<note>对边分别为8英寸和6英寸</note>，且<note>每个内角都是直角（90度）</note>。

(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角

半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径

<note>在本题图中，圆O中，直径AC所对的圆周角ABC和圆周角ADC均是直角（90度）</note>。（或<note>本题图中，圆周角ABC和圆周角ADC均是90度，所以它所对的弦AC是直径</note>。）<note>圆O中，直径BD所对的圆周角BAD和圆周角BCD均是直角（90度）</note>。（或<note>本题图中，圆周角BAD和圆周角BCD均是90度，所以它所对的弦BD是直径</note>。）

圆的定义

到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆

<note>在本题图中，圆O中，半径为d/2=10/2=5</note>。图中<note>所有到点O的距离等于5的点都在圆O上</note>。

内接四边形

内接四边形是指一个四边形的全部四个顶点都在同一个圆上。这个圆称为四边形的外接圆。

<note>在题目提供的几何图形中，矩形的四个顶点均在同一个圆上，</note>这个圆称为矩形的外接圆。因此，矩形是一个内接四边形。根据内接四边形的性质，<note>可以得出对角相加等于180度</note>。

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

<note>直径是矩形的对角线</note>，因为<note>矩形内接于圆</note>，其中<note>对角线通过圆心且连接两个在圆周上的对角顶点</note>。<note>矩形的对角线长度为10英寸</note>，即<note>圆的直径为10英寸</note>。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>矩形的对角线</note>将矩形分成两个直角三角形，其中矩形的<note>长为8英寸，宽为6英寸</note>。根据勾股定理，<note>斜边（即对角线）</note>的平方等于两条直角边的平方和，即<note>BD^2 = 8^2 + 6^2</note> = 64 + 36 = 100，因此<note>斜边BD</note> = √100 = 10英寸。

圆的周长公式

圆的周长是圆周的长度，可以通过公式C=2πr计算，其中C是周长，r是半径。

<note>矩形内接于圆，矩形的对角线即为该圆的直径</note>。矩形的长为8英寸，宽为6英寸，<note>对角线为10英寸，即圆的直径为10英寸</note>。根据圆的周长公式，圆的周长C等于π乘以直径d，<note>即C=πd</note>。因此，<note>圆的周长为10π英寸</note>。

矩形的对角线性质

在矩形中，对角线相等且互相平分。


Question: 求 x。

Answer: 30

1. ##根据直角三角形的定义，图中三角形一个角为直角，所以这个三角形是直角三角形##，另外两个角分别为x°和(2x)°。

2. 根据三角形内角和定理，三角形的三个内角之和等于180°。

3. 设三角形三个内角的度数分别为x°、2x°和90°，根据内角和定理有：##x° + 2x° + 90° = 180°##。

4. 化简方程##x° + 2x° + 90° = 180°##，得到##3x° + 90° = 180°##。

5. ##从方程3x° + 90° = 180°，减去90°得到3x° = 90°##。

6. 解方程##3x° = 90°##，得到##x° = 30°##。

7. 经过上述推理，最终得出答案为x = 30。

直角三角形; 三角形的外角

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>一个角是直角（90度）</note>，因此该三角形是一个直角三角形。<note>边x和边2x是直角边</note>，<note>边对角线是斜边</note>。

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

在本题图中，三角形由<note>三个内角x°、2x°和90°</note>构成。该三角形的<note>三个顶点</note>分别是三个内角的顶点，<note>三条边</note>分别是连接这些顶点的线段。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

在本题图中，三角形的三个内角分别为<note>x°</note>、<note>2x°</note>和<note>90°</note>，根据三角形内角和定理，<note>x° + 2x° + 90° = 180°</note>。


Question:
圆 J 的半径为 10 个单位，
\odot K 的半径为 8 个单位，且 B C = 5.4 个单位。求 J K。

Answer: 12.6

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

在本题图中，<note>圆J中，点J是圆心</note>，点A和C是<note>圆上的任意一点</note>，<note>线段JA和JC是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段JA和JC是圆J的半径</note>。同样地，<note>圆K中，点K是圆心</note>，点B和D是<note>圆上的任意一点</note>，<note>线段KB和KD是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段KB和KD是圆K的半径</note>。


Question: 求 m \angle W。

Answer: 76

1. 已知图中是一个五边形UVWYZ，其中各内角分别为∠U, ∠V, ∠W, ∠Z, ∠Y，且这些角分别表达为(x-8)°, (3x-11)°, (x+8)°, (2x+7)°和x°。

2. 根据##多边形##的内角和定理，##多边形##的内角和公式为：(n-2)×180°，其中n为边数。对于五边形来说，n=5，因此其内角和为：(5-2)×180°=540°。

3. 使用已知的五个内角的表达式相加，设方程为：(x-8)° + (3x-11)° + (x+8)° + (2x+7)° + x°=540°。

####

##4##. 合并同类项，得到x系数相加为8x，常数项相加为-4，即方程变为：8x - 4 = 540。

##5##. 解方程8x - 4 = 540，先左右两边加4，得：8x = 544。

##6##. 再左右两边同时除以8，得：x = 68。

##7##. 将x = 68代入∠W = (x + 8)°中的表达式，得到∠W = (68 + 8)° = 76°。

##8##. 经过上述推理，最终得出答案#∠W=76°#。

多边形内角的定义

多边形的内角是多边形相邻两条边之间的角，即指多边形内部的角。

多边形内角和定理

一个多边形的内角之和等于 (n-2) × 180°，其中 n 是多边形的边数。

<note>五边形UVWYZ</note>中，<note>UVWYZ是一个有5条边的多边形，其中5表示多边形的边数</note>。根据<note>多边形内角和定理</note>，该多边形的内角之和等于 <note>(5-2) × 180°</note>。##

多边形

多边形是平面上的闭合图形，由多条线段顺次连接而成，且每两条线段只在端点相交。

在本题图中，<note>多边形UVWYZ是一个平面上的闭合图形</note>。它由多条线段<note>UV, VW, WY, YZ, ZU</note>顺次连接而成，并且每两条线段只在<note>端点U, V, W, Y, Z</note>相交。多边形的每个顶点都是两条线段的公共端点，且这些线段形成一个封闭的路径，没有交叉。


Question: 三角形 L M N 是等边三角形，且 M P 平分 L N。求 riangle L M N 的边长。

Answer: 10

1. 已知条件为三角形L M N是等边三角形，##根据等边三角形的定义得：##所有的边相等，即L M等于M N等于L N。

2. ##已知LM=3x+1，MN=4x-2，LM=MN，即3x+1=4x-2##。

####

##3. 解方程得到：1 + 2 = 4x - 3x，3 = x。##

##4. 将x=3代入到3x+1,得到L N的边长是：3*3 + 1 = 9 + 1 = 10。##

##5##. 所以三角形L M N的边长是10，即各边长度为10。

##6##. 经过上述推理，最终得出答案为三角形L M N的边长为10。

等边三角形; 线段; 垂线

等边三角形的定义

等边三角形是所有三条边长度相等并且所有内角都相等（均为60°）的三角形。

<note>三角形L M N是一个等边三角形</note>。<note>边L M、边M N和边L N的长度相等</note>，并且<note>角∠L M N、角∠M N L和角∠N L M的度数相等，均为60°</note>。####


Question: 求从Q到Q'的比例因子。

Answer: 3

1.在此问题中，中心C是两图形之间放缩的中心，CQ是放缩前的距离，CQ'是放缩后的距离。

2. 根据量距可知，CQ = 5。

3. 由题目信息给出直线CQ' = CQ + x = 15。

4. 又由于CQ' = CQ + 10，所以x = 10。

5. ##因此，从 Q 到 Q′ 的比例因子可以由这两条段的长度的比例表示为：比例因子=Q‘C/QC=X/5##

6. ##解方程：比例因子=Q‘C/QC=X/5=10/5=3##

7. 所以，Q到Q'之间的比例因子为3。

##比例因子

比例因子是指在缩放图形时，缩放后图形的对应线段长度与原图形对应线段长度的比值。如果比例因子为k，则缩放后的图形的每一条边的长度是原图形对应边长度的k倍。

在本题图中，<note>图形Q'</note>是通过将<note>图形Q</note>按<note>比例因子k</note>缩放得到的。根据比例因子的定义，<note>缩放后的图形Q'</note>的每一条边的长度等于<note>原图形Q对应边长度</note>的<note>k倍</note>。即：<note>缩放后的边长 = k × 原边长</note>。


Question: m \angle 2 = 2 x, m \angle 3 = x. 求 m \angle 3.

Answer: 30

####

##1. 根据直角三角形的定义，△GHJ中的∠GHJ=90°，所以△GHJ是直角三角形，且∠2和∠3是△GFJ的两个内角，故根据直角三角形的锐角互补性质得出：∠2+∠3=90°。##

##2##. 已知## ∠2## = 2x 和 ## ∠3## = x，将这些值代入得到：2x + x = 90°。

##3##. 通过计算得到：3x = 90°，解得x = 30°。

##4. 因此，∠3 = x = 30°。##

##5##. 经过上述推理，最后得出答案为 30°。

圆周角; 直角三角形; 弧

##直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

##直角三角形的锐角互补性质

在直角三角形中，除了直角之外的两个角之和为90°。

<note>直角三角形GHJ</note>中，<note>角GHJ是直角（90度）</note>，<note>角HGJ(角2)和角GJH(角3)是直角以外的两个锐角</note>，根据直角三角形的锐角互补性质，角HGJ(角2)和角GJH(角3)的和为90度，即<note>角HGJ(角2) + GJH(角3) = 90°</note>。


Question: 求 x 使得四边形是平行四边形。

Answer: 4

1. 已知条件：一个四边形是平行四边形。根据平行四边形的性质，平行四边形的对边相等。

2. 根据上面的性质，我们可以设左边的边和右边的边相等，可以写出方程式：2x + 3 = x + 7。

3. 解上述方程: 2x + 3 = x + 7 -> 2x - x = 7 - 3 -> x = 4。

####

##4##. 经过上述推理，最终得出答案为 x = 4。

平行四边形; 平行线; 线段

平行四边形的定义

平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。

在本题图中，四边形被给定为平行四边形。根据定义，这意味着<note>左边的边（2x + 3）和右边的边（x + 7）相等且平行</note>，<note>上边的边（3y - 5）和下边的边（y + 11）也相等且平行</note>。

平行四边形的性质定理

在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。

<note>平行四边形的对边2x + 3和x + 7相等</note>，设2x + 3 = x + 7；<note>对边3y - 5和y + 11相等</note>，设3y - 5 = y + 11。


Question: 求 \\widehat W N 如果 \\triangle I W N 是等边三角形且 W N = 5。

Answer: \frac { 5 } { 3 } \pi

1. 已知条件 三角形I W N 是等边三角形且 W N = 5，根据等边三角形的定义：在等边三角形中，三个内角都相等且均为60度，因此∠IWN=∠INW=∠WIN=60°.得到结论∠WIN=60°。

2. 根据角度与弧度的换算公式，换算为弧WN的弧度为角度60*（π/180）=π/3，进一步代入扇形的弧长公式，得到弧WN的弧长L=θr=π/3*5=5π/3。

3. 经过上述推理，最终得出答案为5π/3。

等边三角形; 圆; 中点

等边三角形的定义

等边三角形是所有三条边长度相等并且所有内角都相等（均为60°）的三角形。

扇形的弧长公式

扇形的弧长L等于圆心角θ（以弧度制表示）乘以半径r：L = θr。

<note>扇形WIN</note>中，<note>圆心角WIN为π/3（以弧度制表示）</note>，<note>半径为5</note>。根据扇形的弧长公式，弧长L等于<note>圆心角θ乘以半径r</note>，即<note>L = θ * r = π/3 * 5</note>。

角度与弧度的换算公式

弧度=角度*（π/180），角度=弧度*（180/π）。

<note>圆I中，WN的角度是 60°</note>，根据角度与弧度的换算公式，换算为弧度=角度*（π/180），即 <note>60°*（π/180）=π/3</note>。


Question: 三角形 L M N 是等边三角形，且 M P 平分 L N。求 y。

Answer: 18

1. 三角形L M N是等边三角形，根据等边三角形的定义，所有边上的角都是相等的即: \(\angle L = \angle M = \angle N = 60°\) 。

2. ##因为MP平分LN，根据等腰三角形高线、中线、角平分线重合定理可得（等边三角形是特殊的等腰三角形）：MP是三角形LMN的高线、中线、角平分线，所以\(\angle LMP = \angle NMP\)，##且每个都等于##\(\frac{\angle LMN}{2} = 30°\)##。

3. 在##\(\triangle LMP\)，应用三角形内角和定理: \(\angle L +  \angle LPM + \angle LMP= 180°\)，代入已知值##可以得知 \(60° + 5y° + 30° = 180°\)。

4. 求解\(5y + 90 = 180\)，我们可以得到：\(5y = 90\)。

5. 两边都除以5，\(y = 18\)。确定y的值。

6. 最终答案可得，\(y = 18\)。

等边三角形; 线段; 中点

等边三角形的定义

等边三角形是所有三条边长度相等并且所有内角都相等（均为60°）的三角形。

<note>在本题图中，三角形LMN是一个等边三角形</note>。<note>边LM、边MN和边LN的长度相等</note>，并且<note>角LMN、角MLN和角MNL的度数相等，均为60°</note>。

等腰三角形高线、中线、角平分线重合定理

等腰三角形的顶角平分线不仅平分顶角，还平分底边并垂直于底边

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形LMP</note>中，<note>角LMP、角L和角LPM是三角形LMP的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角LMP + 角L + 角MPL = 180°</note>。


Question: 求等腰三角形A B C中A C的长度。

Answer: 7

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

在本题图中，三角形ABC中，<note>边AC和边BC相等</note>，因此<note>三角形ABC是一个等腰三角形</note>。####


Question: 求 m \angle A B C.

Answer: 51

1. 已知条件为：##直线BC沿点C方向的延长线与线段AC构成的夹角##角度为148°，三角形的内角分别为∠BAC=##(2x-15)°，∠ABC=(x-5)°，要求∠ABC。根据三角形的外角定理，因为148°角为三角形ACB中∠ACB的外角，所以∠BAC+∠ABC=148°##。

2. ##由图可知：∠BAC=(2x-15)°，∠ABC=(x-5)°，代入关系式可得：2x-15+x-5=148##。

3. ##解方程得：3x-20=148，合并数字得：3x=168，最终可得：x=56##。

####

##4##. 因此，x=##56##时，∠ABC的值为51°。

##5##. 最终，依题意得出∠ABC的度数是51°。

普通三角形; 三角形的外角

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

在本题图中，<note>三角形ABC是由三个非共线点A、B、C及其连接线段AC、AB、BC组成的几何图形</note>。<note>点A、B、C分别是三角形的三个顶点</note>，<note>线段AC、AB、BC分别是三角形的三条边</note>。

多边形的外角定义

多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。

三角形的外角定理

三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。

<note>148°的角是三角形的一个外角</note>，<note>角BAC和角ABC是与外角148°角不相邻的两个内角</note>，根据三角形的外角定理，<note>148°角等于不相邻的两个内角BAC和内角ABC之和</note>，即<note>148°角 = 角BAC和角ABC</note>。


Question: 在菱形 L M P Q 中，m \angle Q L M = 2 x^{2} - 10，m \angle Q P M = 8 x，并且 M P = 10。求 L M P Q 的周长。

Answer: 40

1. ##根据菱形的定义，在菱形 LMPQ 中，所有边都是相等的，已知条件 M P = 10，得出 L M = M P = P Q = Q L = 10##。

####

##2. 根据菱形的周长公式可得菱形的周长= 4 × 边长##，根据已经求得的边长为 10，因此周长为 4 × 10 = 40。

##3##. 经过上述推理，最终得出答案为 40。

菱形; 邻补角; 平行四边形

菱形的定义

菱形是四边都相等的四边形，且对角线互相垂直平分。

菱形的周长公式

菱形的周长等于其边长的四倍，即C=4*a。

在本题图中，<note>菱形LMPQ中，边MP是菱形的边</note>，根据<note>矩形的周长等于其边长的4倍，即 C = 4MP</note>。##


Question: 使用矩形 L M N P 和平行四边形 L K M J 来解决问题。如果 L N = 10，L J = 2 x + 1，P J = 3 x - 1，求 x。

Answer: 2

1. 已知矩形 L M N P，##根据矩形的对角线性质，在矩形中，对角线相等且互相平分，所以LN=PM，且对角线LN和PM的交点J平分对角线LN和PM，即LJ=NJ=1/2*LN##。

2. ##已知LN=10，LJ=2 x + 1，代入已知值得：2 x + 1=1/2*10##。

3. ##解方程得：2 x + 1=5，最终解得：x=2##。

####

##4##. 经过上述推理，最终得出答案为x = 2。

矩形; 平行四边形; 线段

矩形的定义

矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。

<note>四边形 L M N P 是一个矩形</note>，其内角<note>∠LMN</note>, <note>∠MNP</note>, <note>∠NPL</note>, <note>∠PLM</note> 都是直角（90度），且<note>边 LM 与边 NP 平行且等长</note>，<note>边 MN 与边 LP 平行且等长</note>。

矩形的对角线性质

在矩形中，对角线相等且互相平分。

在本题中，矩形 L M N P 中，<note>边 L M 与边 P N 平行且相等</note>，<note>边 L P 与边 M N 平行且相等</note>。<note>对角线 L N 和 P M 相等且互相平分</note>，即<note>对角线 L N 与对角线 P M 的交点 J 是两条对角线的中点</note>。因此，<note>线段 L J 等于线段 J N</note>，<note>线段 P J 等于线段 J M</note>。


Question: 求 x。

Answer: 14

1. 已知条件为直角三角形，##较短的##直角边为7，##边长为x的斜边与边长为y的直角边的##夹角为30°，需求得##斜边长x##。

2. 根据三角函数中正弦的定义，正弦角等于对边比斜边，在此题中为##sin30°##，所以有sin30°=对边/斜边。

3. 知sin30°=1/2，根据正弦的定义：sin∠=对边/斜边，故7/x = 1/2。

4. 由7/x=1/2，解得x=7×2=14。

5. 经过上述推理，最终得出答案为14。

直角三角形; 正弦; 余弦

正弦函数定义

在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。

<note>直角三角形中，角30°是锐角</note>，<note>边7是角30°的对边</note>，<note>边x是斜边</note>。根据正弦函数定义，<note>角30°的正弦值等于对边7与斜边x的比值</note>，即<note>sin(30°) = 7 / x</note>。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>三角形中有一个内角为90度</note>，因此该三角形是一个直角三角形。<note>边7和边y是直角边</note>，<note>边x是斜边</note>。


Question: 求 x，如果 A E = 3, A B = 2, B C = 6, 和 E D = 2 x - 3。

Answer: 6

1. 由##图示可得：BE∥CD，根据平行线分线段成比例定理可得：AE/AD=AB/AC。已知 AB = 2，AE=3，BC=6，ED=2x-3。因为点A、E、D在同一直线上，所以AD=AE+DE=3+2x-3=2x；同理，因为点A、B、C在同一直线上，所以AC=AB+BC=2+6=8。##

##2. 带入比例得： 3/2x = 2/8。##

##3. 化简得：  3/2x = 1/4。##

4. 对该比例交叉相乘，得到 ##2x = 3*4##。

####

##5##. 把两边除以 2 得到 x = 6。

##6##. 经过上述推理，最终得出答案为 6。

线段; 普通三角形; 内错角

平行线分线段成比例定理

如果一条直线与一个三角形的一条边平行，并截它的其他两边或两边的延长线，那么它截得的线段与原三角形相对应的线段成比例

<note>三角形ADC</note>中，<note>直线EB与边DC平行</note>，并截它的其他两边<note>AD和AC（或其延长线）于点E和点B</note>，那么根据<note>平行线分线段成比例定理</note>，有：<note>线段AE/线段AD = 线段AB/线段AC</note>。即截得的线段与原三角形相对应的线段成比例。######


Question: 求 x。

Answer: 8

1. ##已知直角三角形中的一个锐角为60°，根据三角形的内角和定理，可以求得另一个锐角为30°。##

2. ####根据三角形30°-60°-90°的性质，斜边是短边的2倍，而短边和长边的比是1:√3。

3. 题目给出长边是8√3，根据30-60-90直角三角形的性质，设短边为a，则有长边 = a√3，因此a√3 = 8√3。

4. 解方程a√3 = 8√3，可以得到a = 8。

5. 由于短边即为x，所以x等于8。

6. 最后，x的值是8。

直角三角形; 正弦; 余弦

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>三角形中有一个角是直角（90度）</note>，因此该三角形是一个直角三角形。<note>边x和边8√3是直角边</note>，<note>边y是斜边</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

在本题图中，<note>直角三角形的三个内角分别是60°、90°和30°</note>，根据三角形内角和定理，<note>60° + 90° + 30° = 180°</note>。

30°-60°-90°三角形的性质

在本题图中，30°-60°-90°三角形中，角60°是30度，角30°是60度，直角是90度。<note>边y是斜边</note>，边x是30度角所对的边，<note>边8√3</note>是60度角所对的边。根据30°-60°-90°三角形的性质，边x等于<note>边y</note>的一半，<note>边8√3</note>等于边x的√3倍。即：<note>x = 1/2 * y</note>，<note>8√3 = x * √3</note>。


Question: 等边五边形 P Q R S T 内接于 \\odot U。求 m \\widehat Q R。

Answer: 72

1.已知条件为：等边五边形 PQRST 内接于##点U为圆心的圆##。根据等边五边形的定义，五边形的边长相等，即 PQ = QR = RS = ST = TP。

2. 五边形的##内角和##是(n - 2)180度, 其中 n 是边的数量，所以对于五边形，内部角和是 (5 - 2)180 = 540度。

3. 由于五边形 PQRST 是等边五边形，它的每个内部角的角度是相等的。即每个内部角度为 540 / 5 = 108 度。

4. ##根据圆心角的性质，圆心角的度数等于它所对的圆弧的度数。然后根据圆周角定理，圆周角的度数是其所对的圆心角的度数的一半。可以得出公式：弧PS=PS对应的圆心角=2*∠PTS=2 * 108°=216°##

5. ##应为PQRST是正五边形，所以弧PS被点PQRS均分成3个弧PQ、弧QR、弧RS，得出公式弧QR=216°/3=72°。##

6. 故而，##弧QR## 等于 72 度。

##7##.经过上述推理，最终得出答案为 72 度。

正多边形; 圆; 圆周角

多边形内角和定理

一个多边形的内角之和等于 (n-2) × 180°，其中 n 是多边形的边数。

<note>PQRST 是一个有5条边的多边形，其中5表示多边形的边数</note>。根据多边形内角和定理，该多边形的内角之和等于 <note>(5-2) × 180°</note> = <note>540°</note>。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

在本题图中，<note>已点U为圆心的圆中</note>，角PTS的<note>顶点T在圆周上</note>，角PTS的<note>两边分别与圆U相交于点P和点S</note>。因此，<note>角PTS</note>是一个圆周角。

## 弧的定义

弧是圆上两点之间的一段曲线。

在本题图中，已<note>点U为圆心的圆</note>中有两点<note>P和S</note>，<note>弧PS</note>是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，<note>弧PS是圆上两点P和S之间的一段曲线</note>。在本题图中，已<note>点U为圆心的圆</note>中有两点<note>P和Q</note>，<note>弧PQ</note>是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，<note>弧PQ是圆上两点P和Q之间的一段曲线</note>。在本题图中，已<note>点U为圆心的圆</note>中有两点<note>Q和R</note>，<note>弧QR</note>是连接这两点的一段曲线。根据弧的定义，<note>弧QR是圆上两点Q和R之间的一段曲线</note>。在本题图中，已<note>点U为圆心的圆</note>中有两点<note>R和S</note>，<note>弧RS</note>是连接这两点的一段曲线。根据弧

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

圆心角的性质

圆心角的度数等于它所对的圆弧的度数。content: 在本题图中，已知圆心角∠PUS所对的圆弧为弧PS。根据圆心角的性质，圆心角的度数与所对圆弧的度数相等，即∠PUS的度数=弧PS的度数。####name:正多边形的定义content: 正多边形是指所有边长度相等且所有内角相等的多边形。content: 在本题图中，正五边形 PQRST中，所有边PQ = QR = RS = ST = TP。因此，五边形 PQRST是一个正多边形。####name: 圆周角定理content:在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

<note>在本题图中，圆U中，点P、T、S在圆上，优弧PS对应的圆心角为∠PUS，圆周角为∠PTS。</note> 根据圆周角定理，<note>∠PTS等于它所对的弧PS所对应的圆心角∠PUS的一半，即∠PTS = 1/2 ∠PUS。</note>


Question: 四边形 D E F G 是一个矩形。如果 m \angle E F D = 2 x - 3 且 m \angle D F G = x + 12，求 m \angle E F D。

Answer: 51

1. 已知条件为四边形 D E F G 是一个矩形，因此 ∠E F D 和 ∠D F G 是组成直角的两个邻角。根据##矩形的定义##，所以 ∠E F D + ∠D F G = 90°。

2. 根据题目中的条件，∠E F D = 2x - 3 和 ∠D F G = x + 12。

3. 将角的表达式代入直角的关系式中，有 (2x - 3) + (x + 12) = 90。

4. 将表达式展开并简化，得到 3x + 9 = 90。

5. 两边同时减去 9，得到 3x = 81。

6. 两边同时除以 3，得到 x = 27。

7. 将 x = 27 代入 ∠E F D = 2x - 3，得到 ∠E F D = 2(27) - 3 = 54 - 3 = 51。

8. 经过上述推理，最终得出答案为 ##∠EFD## = 51°。

矩形; 邻补角; 对顶角

矩形的定义

矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。

在本题图中，四边形 DEFG 是一个矩形，其<note>内角 ∠DEF, ∠EFG, ∠FGD 和 ∠GDE 都是直角（90度）</note>，且<note>边 DE 与边 FG 平行且等长</note>，<note>边 DG 与边 EF 平行且等长</note>。


Question: m \angle 2 = 2 x, m \angle 3 = x. 求 m \angle 2.

Answer: 60

1. 已知条件为##∠ 2## = 2x, ##∠ 3## = x。####

2. 观察图形，可以看到在△GHJ中，∠GHJ 是一个直角(90度)####。

3. ##在三角形GHJ中，根据三角形内角和定理有 ∠GHJ + ∠HJG + ∠ JGH = 180度##。

4. 代入已知##∠GHJ ##= 90度，可以得到：##90° + ∠HJG + ∠JGH = 180°##。

5. 因此，根据等式可得：##∠HJG + ∠JGH = 180° - 90° = 90°##。

6. 根据题意，在△GJH中，##∠HJG = ∠ 3 = x，∠JGH =  ∠ 2 = 2x##。

####

##7. 将∠HJG = x，∠JGH = 2x代入方程中，##解方程：x + 2x = 90 => 3x = 90。

##8##. 求解出x = 30。因此，## ∠2 ##= 2 * 30 = 60。

##9##. 经过上述推理，最终得出答案为60。

圆内接四边形; 垂线; 直角三角形; 圆周角

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>角GHJ、角HJG和角JGH是三角形GHJ的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角GHJ + 角HJG + 角JGH = 180°</note>。####


Question: 在图中，m \angle 3 = 43。求 \angle 11 的度数。

Answer: 43

1. 已知条件为 ## ∠3## = 43°。根据图中信息， ##因为直线 c ∥ d， b 是横截线，所以∠3 和 ∠11是同位角（根据同位角的定义）。根据平行线的平行公理2，有 ∠3 = ∠11（同位角相等）##。

2. 由此可得， ##∠11## = 43°。

3. 经过上述推理，最终得出答案为 43°。

同位角定义##

两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。

在本题图中，<note>两条平行直线 c 和 d 被一条直线 b 截交</note>，其中<note>角3和角11位于截线 b 的同旁，被截两直线 c 和 d 的同一侧</note>，因此<note>角3和角11是同位角</note>。同位角相等，即<note>角3等于角11</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>两条平行线 c 和 d 被第三条直线 b 所截</note>，形成了以下几何关系：<note>同位角：角3和角11相等</note>。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。


Question: 求 y 使得四边形是平行四边形。

Answer: 14

1. ##根据题意，假设图中四边形为平行四边形，平行四边形的四个顶点分别为A、B、C、D。根据平行四边形的性质定理##，对角相等有##角CAB## = 8x - 8°与##角CDB## = 6x + 14°，所以有8x - 8 = 6x + 14。

2. ##化简得8x - 6x =14 + 8##，整理后得2x = 22，因此x = 11。

3. ##又根据平行四边形的性质定理##，有##角ABD## = 7y + 2°与##角DCA## = 6y + 16°，所以有7y + 2 = 6y + 16。

4. ##化简得7y - 6y= 16 - 2##，整理后得y = 14。

5. 经过上述推理，最终得出答案为y = 14。

平行四边形; 对顶角; 邻补角; 同旁内角

平行四边形的定义

平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。

在本题图中，四边形<note>ABCD是一个平行四边形</note>，<note>边AB与边CD平行且相等</note>，<note>边AC与边BD平行且相等</note>。

平行四边形的性质定理

在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。

四边形定义

四边形是由四条线段组成的封闭图形，这些线段称为四边形的边。四边形有四个顶点和四个内角。

<note>四边形ABCD由四条线段AB, CD, AC和BD组成</note>，这些线段称为四边形的边。<note>四边形ABCD有四个顶点，分别是点A, 点B, 点C和点D</note>，并且<note>有四个内角，分别是角CAB , 角ABD, 角DCA和角CDB。</note>


Question: 求 \\parallelogram J K L M 的面积。

Answer: 24

1. 根据题意，##给定平行四边形 JKLM 的底边长为 ML=4 cm 。设高为JJ'，即JJ'=6 cm##。

2. 知道平行四边形的面积公式为：底边长乘以高，即 Area = base * height。

3. 由已知条件，##底边 ML ##的长度为 4 cm，高 JJ' 的长度为 6 cm，代入公式则得出： Area = 4 cm * 6 cm。

4. 经过计算，得到平行四边形 JKLM 的面积为 24 平方厘米。

平行四边形; 垂线; 线段

平行四边形的定义

平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。

在本题图中，四边形 JKLM 是一个平行四边形，<note>边 JK 与边 LM 平行且相等</note>，<note>边 JM 与边 KL 平行且相等</note>。

平行四边形的高

平行四边形的高是从一条边的顶点到其对边的垂直距离。

在本题图中，平行四边形JKLM中，<note>边JK和边ML是平行的</note>。<note>顶点J到对边ML的垂直距离是平行四边形的高</note>。具体来说，从<note>顶点J作一条垂直于边ML的线段，该线段的长度即为平行四边形的高</note>。

平行四边形的面积公式

一个平行四边形的面积等于它的底边长乘以对应的高，即A = 底边长 × 高。

在本题图中，<note>平行四边形 JKLM</note>中，<note>边 ML 是底边</note>，对应的高是<note>从底边 ML 到对边 JK 的垂直距离，记为 JJ'</note>。因此，根据平行四边形的面积公式，平行四边形 JKLM 的面积等于<note>底边长 ML 乘以对应的高 JJ'</note>，即<note>A = ML × JJ'</note>。


Question: 求z。

Answer: 3 \sqrt { 19 }

直角三角形; 对顶角; 直线

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>在本题图中，三角形中，一个内角为90度</note>，因此该三角形是一个直角三角形。<note>边长5和z是直角边</note>，<note>边长14是斜边</note>。

直角三角形的斜边

在直角三角形中，斜边是直角所对的边，同时也是这三个边中最长的一条边。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

在本题图中，直角三角形中，<note>边5和边z是直角边</note>，<note>边14是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>14^2 = 5^2 + z^2</note>。


Question: 求 m \angle W.

Answer: 108

1. ##由图可得在##四边形 XYZW 中，角 X = x°，角 Y = 2x°，角 W = 3x°，角 Z = 4x°。

2. 根据##四边形的内角和定理##，##四边形的四个内角之和为 360°，则有角 X+角Y+角Z+ 角W =## x° + 2x° + 3x° + 4x° = 360°。

3. 将方程简化，得到 10x° = 360°。

4. 通过解方程，可以得出 x = 36°。

5. 已经知道角 W = 3x°，代入 x = 36°，可以得到角 W = 3 * 36° = 108°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为108°。

多边形内角的定义

多边形的内角是多边形相邻两条边之间的角，即指多边形内部的角。

在本题图中，四边形 XYZW 的内角分别是<note>∠WXY</note>，<note>∠XYZ</note>，<note>##∠XWZ##</note>，<note>##∠YZW##</note>，分别对应<note> x°</note>，<note> 2x°</note>，<note> 3x°</note> 和<note> 4x°</note>。

四边形的内角和定理

在任意四边形中，四个内角的和为360°。

<note>四边形 XYZW 的四个内角 ∠X, ∠Y, ∠W, 和 ∠Z</note> 满足 <note>∠X + ∠Y + ∠W + ∠Z = 360°</note>。

四边形定义

在本题图中，<note>四边形XYZW由四条线段XY, WZ, XW和YZ组成</note>，这些线段称为四边形的边。<note>四边形XYZW有四个顶点，分别是点X, 点Y, 点W和点Z</note>，并且<note>有四个内角，分别是角XWZ, 角XYZ, 角YZW和角YXW</note>。


Question: 以下哪项陈述是正确的？

Answer: BC < AB < AC

1. 在三角形ABC中，已知∠B为61°，∠A为59°。因为三角形的内角和为180°，所以可以根据##三角形##内角和定理计算∠C的度数，即∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 59° - 61° = 60°。

2. 在三角形中，边长与对角的大小具有对应关系：即对较大角的边较长。这是##由正弦定理可知##，该定理指出在三角形中，如果一个角比另一个角大，则与较大角相对的边也相应较长。

3. 比较三角形ABC的各角之间的大小关系，已知∠C = 60°、∠B = 61°和∠A = 59°，所以∠B > ∠C > ∠A。

4. 根据##正弦定理##，与∠B相对的边AC最长，与∠C相对的边AB次长，与∠A相对的边BC最短。因此，边的大小关系为BC < AB < AC。

5. 对照选项，可以确定正确的顺序是选项B：BC < AB < AC。

6. 经过上述推理，最终得出答案为BC < AB < AC。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

在本题图中，三角形ABC中，<note>角A、角B和角C是三角形ABC的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角A + 角B + 角C = 180°</note>。

正弦定理

在任意三角形中，各边的长度与其所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径，即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=D（r为外接圆半径，D为直径）


Question:
y - x =
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）

Answer: 10

1. 根据已知三角形内角和定理，任何一个三角形的内角和为180度。

2. 在图中上部的三角形中，有一个角为80度和一个角为50度，##第三个角为x##，根据三角形内角和定理计算出：x = 180 - 80 - 50 = 50度。

3. 再看图中下部的三角形，其中有一个角为70度，##另一个角根据对顶角的定义为50度，第三个角为y°##，因此可以通过三角形内角和定理由下部三角形算出：y = 180 - 70 - 50 = 60度。

4. 下一步是计算 y - x，通过上部##和##下部三角形已知x = 50和y = 60，计算方程：y - x = 60 - 50 = 10度。

5. 经过上述推理，最终得出答案为10。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>上部的三角形中有一个角80度和一个角50度</note>，记其中的<note>第三个角为x</note>，可以通过三角形内角和定理算出：<note>x = 180 - 80 - 50 = 50度</note>。同理，<note>在下部的三角形中有一个角70度</note>，<note>另一个角根据对顶角的定义为50度</note>，<note>第三个角为y</note>，因此可以通过三角形内角和定理算出：<note>y = 180 - 70 - 50 = 60度</note>。

对顶角的定义

对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。

<note>两条相交直线相交于中心点</note>，根据对顶角的定义，它们的角度相等，上一个三角形的<note>一个角为50度</note>，那么下一个三角形<note>与之对立的角也为50度</note>。


Question: 求 Q P。

Answer: 3

1. 已知线段 QN ∥ PO，在△MPO中，根据平行线分线段成比例定理，有MQ/PQ=MN/NO。

2. 代入已知数值：5/x=6/（18/5）

3. 解方程，得到x=3

4. 经过经过上述推理，最终得出答案为 QP = 3。

等腰三角形; 平行线; 线段

平行线分线段成比例定理

如果一条直线与一个三角形的一条边平行，并截它的其他两边或两边的延长线，那么它截得的线段与原三角形相对应的线段成比例。

在本题图中，三角形MPO中，<note>直线QN与边PO平行</note>，并<note>截它的其他两边MP和MO于点Q和点N</note>，那么根据平行线分线段成比例定理，有：
\[
\frac{<note>线段MQ</note>}{<note>线段PQ</note>} = \frac{<note>线段MN</note>}{<note>线段NO</note>}
\]
即截得的线段与原三角形相对应的线段成比例。


Question: 在上图中，AC = 6。线段AB的长度是多少？

Answer: 6

1. 已知条件为△ABC中∠BAC = 60°，##∠ABC = 60°，根据三角形内角和定理，∠ACB+∠BAC +∠ABC = 180°，已知∠BAC = 60°，∠ABC = 60°，所以∠ACB=180°-∠BAC -∠ABC=180°-60°-60°=60°。根据等边三角形的角性质可知△ABC是一个等边三角形##。

2. ##根据等边三角形的定义##，在等边三角形中，三条边的长度相等。此处具体应用为：AB = AC = BC。

3. 已知 AC = 6，##所以##AB = 6。

4. 通过上述推理过程，得出△ABC的所有边长度均为6，包括AB。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

在本题图中，三角形ABC中，<note>角ABC、角BCA和角BAC是三角形ABC的三个内角</note>，根据<note>三角形内角和定理</note>，<note>角ABC + 角BCA + 角BAC = 180°</note>。

等边三角形的角性质

等边三角形的每一个内角都是60°。

在本题图中，<note>等边三角形ABC中，边AB、BC和AC相等</note>，因此根据等边三角形的性质，<note>三角形ABC的每一个内角都是60°</note>。也就是说，<note>角ABC、角BAC和角ACB均为60°</note>。

等边三角形的定义

等边三角形是所有三条边长度相等并且所有内角都相等（均为60°）的三角形。

<note>三角形ABC是一个等边三角形</note>。<note>边AB、边BC和边AC的长度相等</note>，并且<note>角BAC、角ABC和角ACB的度数相等，均为60°</note>。已知<note>AC = 6</note>，因此<note>AB = 6</note>。


Question: 这个多边形的周长是60厘米。求多边形每条边的长度。

Answer: 12

1. 已知该五边形的周长是60厘米，且根据图中对各边的标注，##该五边形的五条边相等，根据正多边形的定义，该五边形为正五边形##。

####

##2. 根据正多边形的周长公式，设五边形中每条边的长度为x，则该正五边形周长为5x。##

##3. ##根据已知条件，周长为60厘米，所以5x = 60。

##4.## 解方程5x = 60，可以得到x = 60 / 5 = 12。

##5. ##因此，每条边的长度为12厘米。

正多边形的定义

正多边形是指所有边长度相等且所有内角相等的多边形。

在本题图中，<note>五边形所有边长度相等</note>，因此，该五边形是一个<note>正五边形</note>。

正多边形的周长公式

正多边形的周长等于边长乘以边的数量。

在本题图中，<note>正五边形</note>中，设<note>每条边的长度为x</note>，<note>正多边形边的数量为5</note>，所以该正五边形的<note>周长 = 5x</note>。


Question: 如上图所示，矩形ABCD的宽度为w，长度l是宽度的两倍。如果w = 2，矩形的面积是多少？

Answer: 8

1. 已知条件为矩形 ABCD 的宽 w = 2，根据矩形的定义，矩形的对边相等且相互平行得出宽 ##AB## = ##CD## = w = 2。

2. 题目中给出了矩形的长 l 是宽 w 的 2 倍，因此根据给定条件可以得出 ##BC## = ##AD## = l = 2 * w = 2 * 2 = 4。

##3. 矩形ABCD的面积计算公式为长乘以宽，即 S矩形ABCD = AB * BC。##

4. 代入具体的数值，得出 ##S矩形ABCD = AB * BC = 4 * 2=8##。

5. 经过上述计算过程，最终得出矩形的面积为 8。

矩形的定义

矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。

<note>四边形 ABCD 是一个矩形</note>，其内角 <note>∠DAB, ∠ABC, ∠BCD, ∠CDA 都是直角（90度）</note>，且边 <note>AD 与边 BC 平行且等长</note>，边 <note>AB 与边 CD 平行且等长</note>。

矩形的面积公式

矩形的面积等于其长度乘以其宽度。

<note>边 AD</note>和<note>边 AB</note>是矩形的长和宽，所以矩形的面积 = AB * <note>边 AC</note>。


Question: 求平行四边形的周长。如有必要，四舍五入到十分位。

Answer: 64

1. 已知条件为：平行四边形的一组邻边分别为20 cm和12 cm，且其夹角为60度。##根据平行四边形的周长公式，得：周长=2*(20+12)=64 cm##。

####

##2##. 经过推理，我们算出平行四边形的周长为64 cm。

平行四边形; 平行线; 普通三角形

平行四边形的定义

平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。

<note>在本题图中的四边形是一个平行四边形</note>，<note>两组对边平行且相等</note>。

平行四边形的周长

平行四边形的周长等于其两组邻边的两倍之和。公式为：P = 2(a + b)，其中a和b为平行四边形的两条邻边。

<note>平行四边形的两组邻边分别为20 cm和12 cm</note>，因此周长P = 2(20 + 12) = 64 cm。


Question: J K L M 是一个矩形。M L P R 是一个菱形。\angle J M K \cong \angle R M P, m \angle J M K = 55, 和 m \angle M R P = 70。求 m \angle K M L。

Answer: 35

1. ##已知条件为JKLM是一个矩形，根据矩形的定义，得出∠ JML是直角，即∠JML = 90°##。

2. ##根据题意∠ JMK= 55°##，

##3. 所以∠KML=∠ JML-∠ JMK=90°- 55°＝35°##

####

矩形的定义

矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。


Question: 求y，使得四边形是平行四边形。

Answer: 31

1. 已知四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质，平行四边形中的对角##相等。因此，角(6y - 57)° = 角(3y + 36)° ##。

2. ##解方程，得到：3y = 93。

####

##3##. 解出y的值，得到##y = 31##。

####

##4##. 根据计算结果，我们得出答案为##y = 31##。

平行四边形; 同旁内角; 邻补角; 平行线

平行四边形的定义

平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。

<note>在本题图中，四边形是一个平行四边形</note>，<note>上方边与下方边平行且相等</note>，<note>左方边与右方边平行且相等</note>。

平行四边形的性质定理

在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。

<note>平行四边形中</note>，对角<note>(6y - 57)° 和 (3y + 36)°相等。</note>


Question: 求阴影区域的面积。四舍五入到十分位。

Answer: 58.9

1.根据图形，三个小半圆排列在一条直线上，并且它们的直径之和为15。假设每个小半圆的直径为d，那么3d = 15，求出d = 5。

2. 基于已知条件，三个小半圆的直径都是5，因此每个小半圆的半径r = 2.5。

3. 由此可求出每个小半圆的面积A = π * ##r?## / 2，其中r = 2.5，因此A = π *## (2.5) ?## / 2。

4. 计算得到每个小半圆的面积A = (π * 6.25) / 2 ≈ 9.821。

5. 计算三个小半圆的总面积为3 * A ≈ 3 * 9.821 = 29.463。

6. 依据图形的大半圆，直径也是15，因此大半圆的半径R = 7.5。

7. 通过几何公式求出大半圆的面积为##B = π * R? / 2，其中R = 7.5，所以B = π * (7.5) ? / 2##。

8. 计算得到大半圆的面积##B = (π * 56.25) / 2 ≈ 88.358##。

9. 最后，阴影区域的面积即为大半圆面积减去三个小半圆总面积，即阴影区域面积 = ##B## - 3 * A ≈ 88.358 - 29.463 = 58.895

10. 四舍五入到最近的十分位，阴影区域的面积为58.9。

半圆的定义

半圆是由直径和一段圆弧构成的几何图形，即一个圆被直径分割成的两个面积相等的部分。

<note>每个小半圆由直径（d=5）和与之相对应的圆弧构成</note>；<note>大半圆由直径（15）和其对应的圆弧构成</note>。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段。

<note>小半圆的半径为2.5</note>，即从小半圆的圆心到圆上的任意一点的线段长度为2.5；<note>大半圆的半径为7.5</note>，即从大半圆的圆心到圆上的任意一点的线段长度为7.5。

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

<note>小半圆的直径</note>为5，<note>大半圆的直径</note>为15。<note>小半圆的直径连接了圆心和圆周上的两点</note>，长度为2倍的半径，即<note>小半圆的直径</note>为2 * 2.5 = 5。<note>大半圆的直径连接了圆心和圆周上的两点</note>，长度为2倍的半径，即<note>大半圆的直径</note>为2 * 7.5 = 15。

圆的面积公式

圆的面积公式为A = ##πr?##，其中A表示面积，π是圆周率，r是圆的半径。

<note>在本题图中，三个小半圆和一个大半圆中，圆的半径分别是2.5和7.5</note>。根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以半径的平方。<note>每个小半圆的面积为A = π * ##(2.5) ?## / 2</note>，<note>大半圆的面积为##B = π * (7.5) ?## / 2</note>。


Question: 求 m \angle C A M。

Answer: 28

1. ##设图中，上面的三角形直角是角ABM，下面的三角形直角是角TDM，由直角三角形的定义可得：∠ABM=∠TDM=90°，所以三角形ABM和三角形TMD均为直角三角形。由直角三角形全等判定（斜边、直角边）可知，MT＝MA（均为圆的半径），MB＝MD，所以三角形TDM和三角形MBA全等。##

2. ##由全等三角形的定义可得，∠MTD=∠CAM＝28°。##

####

圆; 垂线; 圆内接四边形; 圆周角; 对顶角

直角三角形全等判定（斜边、直角边）

如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等

全等三角形的定义

两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等

<note>三角形TDM和三角形MBA是全等三角形</note>，三角形TDM的对应边和对应角与三角形MBA相等，即： <note>边MT = 边MA</note>，<note>边MD = 边MB</note>，<note>边TD = 边AB</note>，同时，对应的角也相等： <note>角MTD = 角MAB</note>，<note>角MDT= 角MBA</note>，<note>角TMD = 角AMB</note>。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

<note>圆M中，点M是圆心</note>，点A是圆上的任意一点，<note>线段MA是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段MA是圆的半径</note>。<note>圆M中，点M是圆心</note>，点T是圆上的任意一点，<note>线段MT是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段MT是圆的半径</note>。####

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形

<note>三角形ABM中，角ABM是直角（90度）</note>，因此三角形ABM是一个直角三角形。<note>边AB和边MB是直角边</note>，<note>边MA是斜边</note>。<note>三角形TMD中，角TDM是直角（90度）</note>，因此三角形TDM是一个直角三角形。<note>边TD和边MD是直角边</note>，<note>边MT是斜边</note>。######


Question: 求 x。将角度值四舍五入到最接近的度数。

Answer: 98

1. 已知这是一个包含角和边长的三角形，根据图示中未标出直角，可得该三角形是一个任意角三角形。##设边长为29和61的两条边的夹角为∠B，x°对应的角为∠C，第三个角为∠A。∠A对应边为a，边长29，∠B对应边为b，边长50，∠C对应边为c，边长61##。

2. 根据余弦定理，c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(γ)，其中a、b、c分别为三角形的三边，且γ为####边a和b的夹角。

3. 对于三角形中已经给出的边长61（c），50（b），和29（a），使用余弦定理求角 x 对应的余弦值：61^2 = 29^2 + 50^2 - 2 * 29 * 50 * cos(x)。

4. 计算61^2 = 3721，29^2 = 841，50^2 = 2500。

5. 将所有计算代入公式，得：3721 = 841 + 2500 - 2900 * cos(x)。

6. 简化计算：3721 = 3341 - 2900 * cos(##x°##)，由此得到2900 * cos(##x°##) = 3341 - 3721 = -380。

7. 根据以上结果，求得cos(##x°##) = -380 / 2900。

8. 计算cos(x)得到：cos(##x°##) ≈ -0.13103448。

9. 在三角函数表或用计算器对余弦值取反三角函数求出x°，可得 ##x°## ≈ 97.546度。

10. 求出的角度需四舍五入得到最近的整数度数，故 ##x°## ≈ 98度。

11. 经过上述推理，最终得出答案为##x°##大约为98度。

直角三角形; 正弦; 余弦; 正切

余弦定理

在任意三角形中，任意一边的平方等于另外两边的平方之和减去这两边与该角所夹角的两倍余弦乘积，即 ##c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(角C)##。

<note>在本题图中，三角形的三边分别为29、50和61</note>，<note>角x是由边29和边50所夹的角</note>。根据余弦定理，<note>边61的平方等于另外两边29和50的平方之和减去这两边与该角x所夹角的两倍余弦乘积</note>，即<note>61^2 = 29^2 + 50^2 - 2 * 29 * 50 * cos(x)</note>。

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

在本题图中，<note>三角形ABC</note>是由<note>三个非共线点A、B、C</note>及其连接<note>线段AB、BC、CA</note>组成的几何图形。<note>点A、B、C</note>分别是三角形的三个顶点，<note>线段AB、BC、CA</note>分别是三角形的三条边。


Question: 使用一个毕达哥拉斯三元组来找到x。

Answer: 70

1. ##由图示的图形可知，三角形中一角标有直角标记，根据直角三角形的定义，该三角形是一个直角三角形，设该三角形为ABC，其中∠ACB为直角，直角短边BC长为24，斜边长AB为74。##

2. 根据##勾股定理（毕达哥拉斯定理）##，该定理表述为：在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，即c^2 = a^2 + b^2。在本题中，##已知##a = 24，b = x，c = 74。

3. 将a = 24和c = 74代入勾股定理公式，得出74^2 = 24^2 + x^2。

4. 计算74^2 = 5476和24^2 = 576。

5. 代入计算，5476 = 576 + x^2，因此x^2 = 5476 - 576。

6. 计算得x^2 = 4900。

7. 对x^2取平方根，得到x = √4900。

8. 计算√4900，得x = 70。

9. 根据上述计算，我们已得知x的值为70。

直角三角形; 线段; 直线

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

<note>三角形ABC是由三个非共线点A、B、C</note>及其<note>连接线段AB、BC、CA</note>组成的几何图形。<note>点A、B、C分别是三角形的三个顶点</note>，<note>线段AB、BC、CA分别是三角形的三条边</note>。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

在本题图中，设三角形ABC，其中<note>∠ACB为直角（90度）</note>，因此<note>三角形ABC是一个直角三角形</note>。<note>边AC和边BC是直角边</note>，<note>边AB是斜边</note>。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>直角三角形中，直角边分别为24和x，斜边为74</note>，所以根据勾股定理，<note>74^2 = 24^2 + x^2</note>。


Question: 求由圆和正多边形形成的阴影区域的面积。结果四舍五入到十分位。

Answer: 76.4

1.已知图形为正五边形内接于圆中，圆的半径为10cm。

2. 计算圆的面积，使用圆面积公式##A=πr?##，其中r为半径。

3. 圆的半径r为10 cm，因此圆的面积A = π ×## (10 cm) ? = 100π cm?=314.159 cm?##。

4. 由正五边形是一种正多边形的事实出发，可以将其分割成5个全等的等腰三角形。

5. 在此等腰三角形中，##圆心为顶点的每个三角形的顶角为##360°/5 = 72°。

6. 使用##三角形面积公式（使用正弦函数）##来计算单个等腰三角形的面积，用到公式: A = 1/2 × a × b × sin(C)，其中a和b为两个半径，相邻者为两腰，也等于半径10cm，角C为顶角72°。

7. 三角形的面积 = 1/2 × 10 cm × 10 cm × sin(72°) = 50 × ##sin(72°) cm?##。

8. 我们计算sin(72°), 值接近0.9511，因此, 三角形的面积 ≈ ##47.55 cm?##。

9. 计算五边形是由5个等腰三角形构成的，因此五边形的面积: 5 × ##47.55 cm? = 237.75 cm?##。

10. 找出被阴影覆盖的区域，该区域为整个圆面积减去内部五边形的面积，因此计算: ##314.159 cm? - 237.75 cm?=76.4cm?##。

####

##11##. 经过上述推理，最终得出答案为约##76.4cm?##。

圆; 正多边形; 扇形; 弦; 圆心角

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

<note>圆心是黑点</note>，<note>正五边形的一个顶点是圆上的任意一点</note>，<note>红色线段是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>红色线段是圆的半径</note>，长度为10 cm。

正多边形的定义

正多边形是指所有边长度相等且所有内角相等的多边形。

在本题图中，<note>正五边形内接于圆中</note>，<note>所有边的长度相等，且所有内角相等</note>。因此，<note>正五边形是一个正多边形</note>。

正弦函数定义

在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。

<note>等腰三角形的顶角为72°</note>，两腰为<note>圆的半径10 cm</note>。根据<note>正弦函数定义</note>，<note>sin(72°) = 对边 / 斜边</note>。

圆的面积公式

圆的面积公式为A = πr^2，其中A表示面积，π是圆周率，r是圆的半径。

<note>在本题图中，圆的半径是10 cm</note>，根据圆的面积公式，<note>圆的面积A等于圆周率π乘以半径10 cm的平方</note>，即<note>A = π(10 cm)^2</note>。

三角形面积公式（使用正弦函数）

任何三角形的面积可以表示为S = (1/2) * a * b * sin(C)，其中a和b是两边长，C是这两边的夹角。

<note>在本题图中</note>，正五边形被分割成<note>5个全等的等腰三角形</note>，每个三角形的顶角为<note>72°</note>，两腰为<note>圆的半径10 cm</note>。根据三角形的面积公式计算单个个等腰三角形的面积，具体公式为<note>A = 1/2 × a × b × sin(C)</note>，这里<note>a和b都是圆的半径（10 cm）</note>，<note>角C为72°</note>，因此面积 = 1/2 × 10 cm × 10 cm × sin(72°)。


Question: 将 \sin P 的比率表示为小数，精确到小数点后两位。

Answer: 0.88

1. ##已知∠QRP=90°，根据直角三角形的定义，△QRP为直角三角形##。

2. 从图中可以看出，ΔPQR的斜边是PQ，长度为17；直角边RP为8，RQ为15。我们据此可以确认图中标注无误。

3. 所要求的sin∠P实际上是直角三角形ΔPQR中∠P的正弦值，根据定义，正弦值为对边与斜边的比值，即RQ/PQ。

4. 根据前述分析，RQ为15，PQ为17。因此sin∠P = RQ/PQ = 15/17。

5. 将分数15/17转化为小数，计算得0.882352941。

6. 将小数的结果四舍五入至小数点后两位，得到0.88。

7. 经过上述推理，最终得出答案为0.88。

正弦函数定义

在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。

<note>直角三角形PQR</note>中，<note>角∠P是锐角</note>，<note>边RQ是角∠P的对边</note>，<note>边PQ是斜边</note>。根据正弦函数定义，<note>角∠P的正弦值</note>等于<note>对边RQ与斜边PQ的比值</note>，即<note>sin(∠P) = RQ / PQ = 15 / 17</note>。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。


Question: 求 x。

Answer: 90

1. 已知四个角如下示意图所示，根据已知条件，四个角相等且均为x°。

2. ##根据对顶角的定义##，通过两条相交的直线形成的对顶角相等。在这道题中，由于给出的角度均为x°，验证了这一点。

3. 根据##邻补角的定义##，一条直线所形成的##邻补角##和为180°。

####

##4. 则相邻的两角构成： ##x° + x° = 180°。

##5##. 合并同类项可得 ##2x°## = 180°。

##6##. 将方程两边同时除以2，解得 x° = 90°。

##7##. 经过上述推理，最终得出答案为90°。

对顶角的定义

对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。

<note>两条相交直线</note>形成四个角：<note>左上角</note>、<note>右上角</note>、<note>左下角</note>和<note>右下角</note>。根据对顶角的定义，<note>左上角和右下角是对顶角</note>，<note>右上角和左下角是对顶角</note>。由于对顶角的角度相等，所以<note>左上角 = 右下角 = x°</note>，<note>右上角 = 左下角 = x°</note>。####

邻补角的定义

<note>水平线上的两个邻角 x° 和 x°</note> 有一条公共边 <note>（水平线）</note>，它们的另一边 <note>（垂直线）互为反向延长线</note>，所以这两个角互为邻补角。


Question: 在菱形 A B C D 中，A B = 2 x + 3 且 B C = 5 x。求 m \angle A E B。

Answer: 90

1. 已知条件为##菱形 ABCD## 中, ##对角线AC和BD相交于点E##。

####

##2##. ##根据菱形的对角线性质，得出##角 AEB 和角 CEB 均为直角 (90度)。

##3##. 由此可以得出角 AEB = 90 度。

经过上述推理，最终得出答案为90度。

菱形的定义

菱形是四边都相等的四边形，且对角线互相垂直平分。

菱形的对角线性质

菱形的对角线互相平分且互相垂直。


Question: 求x，使得四边形是平行四边形。

Answer: 4

1. ##设图中四边形为平行四边形ABCD，已知图中的四边形给出了内角∠BAC = 25x°, ∠ACB = 10y°, ∠ACD = 100°, ∠DAC = 40°##。

2. 为了四边形ABCD是平行四边形，##根据平行四边形的定义，平行四边形的对边平行且相等。又平行线的平行公理2和内错角的定义，内错角相等，而∠BAC和∠ACD互为内错角，所以25x°=100°##。

####

##3##. 解方程25x = 100，将等式两边同乘以1/25，得到x = 4。

##4. 所以当x=4时，该四边形为是一个平行四边形##。

####

平行四边形; 内错角; 邻补角

平行四边形的定义

平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。

平行线的定义

在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

在本题图中，<note>直线AB和直线CD位于同一平面内</note>，并且<note>它们没有交点</note>，因此根据平行线的定义，<note>直线AB和直线CD是平行线</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>两条平行线AB和CD</note>被<note>第三条直线BC</note>所截，形成了以下几何关系：1. 同位角：无。2. 内错角：<note>∠BAC和∠ACD相等</note>。3. 同旁内角：无。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，内错角相等。####

内错角的定义

当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。


Question: 如果 m \\angle 5 = 7 x - 5 和 m \\angle 4 = 2 x + 23，求 x。

Answer: 18

1. ##已知线l与线m平行且被直线p切割，且得∠5 = 7x - 5和∠4 = 2x + 23##。

2. 根据##平行线的平行公理2和同旁内角的定义， ∠5 和 ∠4 是同旁内角##，它们之和应是180°。

3. 因此，可以建一个方程: (7x - 5) + (2x + 23) = 180。

4. 化简这个方程后，得到9x + 18 = 180。

5. 通过减18的操作建立等式9x = 162。

6. 通过最后一部除以9，计算得x = 18。

7. 经过上述推理，最终得出答案为x = 18。

平行线的定义

在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

<note>直线l和直线m</note>位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，<note>直线l和直线m</note>是平行线。####

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>在本题图中，两条平行线l和m被第三条直线p所截</note>，形成了以下几何关系：<note>同旁内角：角4和角5互补，即角4 + 角5 = 180度</note>。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同旁内角互补。##

同旁内角的定义

两条直线被第三条直线所截，在截线同侧，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角。若两直线平行，则同旁内角互补。若同旁内角互补，则两直线平行。

在本题图中，<note>直线l和直线m被直线p所截</note>，<note>角4和角5在截线p的同侧，且在被截线l和m之内</note>，所以角4和角5是同旁内角。<note>同旁内角角4和角5互补，即角4 + 角5 = 180度</note>。


Question: \overrightarrow Q P 和 \overrightarrow Q R 是相反的射线，并且 \overrightarrow Q T 平分 \angle S Q R。如果 m \angle S Q R = 6 x + 8 和 m \angle T Q R = 4 x - 14，求 m \angle S Q T。

Answer: 58

1. 已知 \overrightarrow{QP} 和 \overrightarrow{QR} 为相反射线，根据射线的定义，\angle PQR 是一条直线，因此 ##\angle PQR## 是一个平角，##\angle PQR ##的度数是180度。

2. 已知 \overrightarrow{QT} 平分 \angle SQR，根据角平分线定义，\angle SQT = \angle TQR。由此，我们可以得出 \angle SQT = \angle TQR = \frac{1}{2} \angle SQR。

3. 根据题意，\angle SQR = 6x + 8 和 \angle TQR = 4x - 14。结合平分线的定义得出 \angle TQR = \frac{1}{2} \angle SQR = \frac{1}{2}(6x + 8)。

4. 设 \frac{1}{2}(6x + 8) = 4x - 14，解方程：

   \frac{1}{2}(6x + 8) = 3x + 4，

   3x + 4 = 4x - 14，

   18 = x。

5. 通过 x = 18 代入 \angle SQR = 6x + 8，得到 \angle SQR = 6(18) + 8 = 116。

6. 因为 \overrightarrow{QT} 是 \angle SQR 的平分线，所以 \angle SQT = \frac{1}{2}(116) = 58。

7. 因此，通过步骤推导可以得出 \angle SQT = 58。

角平分线定义

角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。

<note>角 \( \angle SQR \) 的顶点是点 Q</note>，从点 Q 引出一条线 <note>QT</note>，这条线将<note>角 \( \angle SQR \) 分成两个相等的角</note>，即 <note>\( \angle SQT \) 和 \( \angle TQR \) 相等</note>。因此，线 <note>QT 是角 \( \angle SQR \) 的角平分线</note>。代数表示时为：<note>\( \angle SQT = \angle TQR = \frac{1}{2} \angle SQR \)</note>。

平角的定义

<note>射线QP绕着端点Q</note>旋转到与起始边成一条直线，形成<note>平角PQR</note>。根据平角的定义，平角的度数为180度，即<note>角PQR=180度</note>。##


Question: 在图中找到 x。

Answer: 14

同旁内角的定义

<note>两条平行线P、Q被第三条线OM所截</note>，<note>两角∠A 和∠B在截线OM同侧，且在被截线P、Q之内</note>，所以<note>∠A 和∠B是同旁内角</note>。<note>同旁内角∠A和∠B互补，即∠A+∠B= 180度</note>。同理，<note>两条平行线Q、Z被ON所截</note>，<note>∠C 和∠D在截线ON同侧，且在被截线Q、Z之内</note>，所以<note>∠C 和∠D是同旁内角</note>。<note>同旁内角∠C和∠D互补，即∠C+∠D= 180度</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

在本题图中，<note>两条平行线P和Q被第三条线OM所截</note>，<note>形成了同旁内角：∠A和∠B互补</note>，即<note>∠A+∠B=180°</note>。<note>两条平行线Q和Z被第三条线ON所截</note>，<note>形成了同旁内角：∠C和∠D互补</note>，即<note>∠C +∠D=180°</note>。这些关系说明了<note>在两条平行线被第三条直线所截时，同旁内角互补</note>。


Question: 求等边三角形 R S T 的 x，如果 R S = x + 9，S T = 2 x，R T = 3 x - 9。

Answer: 9

1. 已知条件为RS = x + 9，ST = 2x，以及RT = 3x - 9。

2. ##根据等边三角形定义，三角形R S T的三条边相等##，所以有RS = ST = RT，即x + 9 = 2x = 3x - 9。

3. 首先，解方程组x + 9 = 2x：将x移到等号的一边得9 = ##2x - x##，所以##9 = x##。

4. ##接着验证，将x=9代入方程x + 9 = 3x - 9得9 + 9 = 3 x 9 - 9，简化得18 = 18，则x = 9是正确的##。

5. 经过上述推理，最终得出答案为x = 9。

等边三角形的定义

等边三角形是所有三条边长度相等并且所有内角都相等（均为60°）的三角形。


Question: 如果 R L = 5, R T = 9, 和 W S = 6, 求 R W.

Answer: 7.5

1. 正确理解题意：已知线段 RL = 5，RT = 9，WS = 6，要求求出 RW 的长度。

2. ##已知线段LW平行于三角形RTS的一条边TS，根据平行线分线段成比例定理，得出RL/LT = RW/WS。##

3. ##因为线段LT=RT-RL，代入已知条件得LT=9-5=4。##

4. ##将相应数值代入RL/LT = RW/WS得，5/4=RW/6。##

5. ##等式交叉相得：4RW=30。##

6. ##左右两边同除以4得，RW=30/4=7.5。##

####

##7##. 经过上述步骤，最终求出 RW 的长度为 7.5。

普通四边形; 平行线; 内错角; 三角形的外角

线段的定义

线段是一个直线的一部分，包含两个端点及其间的所有点。

在本题图中，<note>线段RL</note>、<note>线段RT</note>、<note>线段LT</note>、<note>线段WS</note>和<note>线段RW</note>是线段。<note>线段RL</note>具有两个端点R和L，且<note>线段RL</note>上的每一个点都位于端点R和端点L之间。<note>线段RT</note>具有两个端点R和T，且<note>线段RT</note>上的每一个点都位于端点R和端点T之间。<note>线段LT</note>具有两个端点L和T，且<note>线段LT</note>上的每一个点都位于端点L和端点T之间。<note>线段WS</note>具有两个端点W和S，且<note>线段WS</note>上的每一个点都位于端点W和端点S之间。<note>线段RW</note>具有两个端点R和W，且<note>线段RW</note>上的每一个点都位于端点R和端点W之间。

平行线分线段成比例定理

在本题图中，三角形RTS中，直线LW与<note>边 TS</note>平行，并截它的其他两边RT和<note>RS</note>于点L和W，那么根据平行线分线段成比例定理，有：<note>RL/LT = RW/WS</note>。即截得的线段与原三角形相对应的线段成比例。

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

<note>三角形RTS是由三个非共线点R、T、S及其连接线段RT、RS、TS组成的几何图形</note>。<note>点R、T、S分别是三角形的三个顶点</note>，<note>线段RT、RS、TS分别是三角形的三条边</note>。####

平行线的定义

在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

<note>直线LW和直线TS</note>位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，<note>直线LW和直线TS</note>是平行线。##


Question: 在 \\odot M 中, F L = 24, H J = 48, 和 m \\widehat H P = 65。求 F G。

Answer: 48

1. ##已知KM⊥FG##。

2. ##点F、G、K都在圆M上，其中KM为圆M的半径，FG为圆M的弦。已知KM⊥FG，根据垂径定理，一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧##。

3. ##已知KM平分FG且KM与FG相交于点L，则L为FG中点，所以FL=GL=(1/2)FG。已知FL=24，所以FG=2FL=2*24=48##。

####

##4##. 经过上述推理，最终得出答案为##FG##=48。

圆; 弦; 圆心角; 垂直平分线; 直角三角形

圆的定义

到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段。

<note>在本题图中，圆M中，点M是圆心，点K是圆上的任意一点，线段KM是从圆心到圆上任意一点的线段，因此线段KM是圆的半径。</note>####弦的定义content:弦是连接圆上任意两点的线段。this:<note>在本题图中，圆M中，点F和点G是圆上的任意两点，线段FG连接了这两个点，所以线段FG是圆M的弦。</note>######

垂径定理

如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。


Question: 求x使得m \\parallel n。

Answer: 20

1. 已知直线 m 和 n, 以及一个截线形成的角 (4x - 23)° 和 (2x + 17)°。##设直线m为AB，直线n为CD，截线为EF，截线EF交AB为M，交CD为N。##

2. ##根据平行线的平行公理2：如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。##

3. ##根据对顶角的定义，可知角 (4x - 23)° 的对顶角为∠FMB，因此角 (4x - 23)°=∠FMB。根据同位角定义，∠FMB 和 (2x + 17)° 是同位角, 因为它们在截线的同一边并且在两直线之间。##

4. 依据##平行线的平行公理2##，若 m || n, 则##∠FMB= (2x + 17)°，已知角 (4x - 23)°=∠FMB，所以## (4x - 23)° = (2x + 17)°。

5. 解方程: 4x - 23 = 2x + 17。

6. 将 2x 移至方程左边并将 -23 移至方程右边，得出: 4x - 2x = 17 + 23。

7. 化简得到: 2x = 40。

8. 求得 x = 20。

9. 经过以上推理，若要使 m ∥ n，则 x = 20。

平行线的定义

在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

<note>直线 m 和直线 n 位于同一平面内</note>，并且<note>它们没有交点</note>，因此根据平行线的定义，<note>直线 m 和直线 n 是平行线</note>。

对顶角的定义

对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

##在本题图中，<note>两条平行线AB和CD被第三条直线EF所截</note>，形成了以下几何关系：<note>同位角：角FMB和角FND相等</note>。这些关系说明了在<note>两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等</note>。####


Question: 使用平行四边形 A B C D 求 m \angle D A B.

Answer: 101

1. 根据题目中的图形信息，##在平行四边形ABCD中两条对角线分割出了一个三角形ABD##。

2. ##已知三角形ABD中，∠ADB=59°，∠ABD=20°##。

3. ##根据三角形内角和定理，∠ABD+∠ADB+∠DAB=20°+59°+∠DAB=180°，则∠DAB=180°-20°-59°=101°##。

####

##4##. 经过计算，得##∠DAB = 101°##。

##5##. 因此，求出的##∠DAB##的度数是 ##101°##。

平行四边形; 邻补角; 平行线; 普通四边形

平行四边形的定义

平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。

在本题图中，<note>四边形 ABCD 是一个平行四边形</note>，<note>边 AB 与边 CD 平行且相等</note>，<note>边 AD 与边 BC 平行且相等</note>。######

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>在本题图中，##三角形ABD##中，##∠ABD、∠ADB和∠DAB是三角形ABD##的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，即<note>∠DAB + ∠ABD + ∠ADB = 180°</note>。


Question: 阴影区域的面积A已知。求x。A = 66 cm^2。

Answer: 13

1. 已知条件为：阴影部分为圆的半圆，面积 A = 66 ##厘米^2##。

2. ##根据圆的面积公式，圆的面积公式为A = πr^2，其中A表示面积，π是圆周率，r是圆的半径。图中半圆面积为圆的一半，所以##半圆面积的公式为 (1/2)π##r^2##，其中 r 是圆的半径。

3. 根据已知，(1/2)π##r^2## = 66。

4. 化简该方程，得出 ##r^2## = (66 * 2) / π。

5. 解得 r = √((132) / π)。

6. 从图中可知，x 是圆的直径的一部分，即 x = 2r。

7. 故 x = 2 * √((132) / π)。

8. 经过上述推理，最终得出答案为 2 * √((132) / 3.14159)。##约等于13##。

圆的定义

到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。

<note>圆K中，点K是圆心</note>，<note>半径为x/2</note>。图中所有<note>到点K的距离等于x/2的点都在圆K上</note>。

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

在本题图中，<note>JL是直径</note>，连接了<note>圆心K和圆周上的J、L两点</note>，长度为2倍的半径，即<note>JL = 2r</note>。

半圆的定义

<note>阴影部分为圆的半圆</note>，由<note>直径 KL 和圆弧 JL 构成</note>。

圆的面积公式

圆的面积公式为A = πr^2，其中A表示面积，π是圆周率，r是圆的半径。


Question: 求三角形的周长。四舍五入到小数点后两位。

Answer: 8.73

1. 观察##图中##的几何图形，并识别已知条件：该三角形为等腰三角形， 底边长为3.5英尺，##设三角形的三个顶点分别为A、B、C，则角ACB等于48°##。

2. 根据等腰三角形的##定义，得知两条腰的边长相等，即AB = AC 。再根据等腰三角形的性质得知，相等的两边所对的角相等，于是∠ABC = ∠ACB = 48°##。

3. 由于三角形的内角和为180°，应用三角形内角和定理得出：∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠ACB = 180° - 48° - 48° = 84°。

4. 利用正弦定理，即：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)，其中a为三角形的边长，A为对边的角度，计算我们未知的同长腰长（在这道题中对应AB和AC）。我们假设AB = AC = x。

5. 由于底边（BC）是已知的，可以使用正弦定理中的公式：x/sin(48°) = 3.5/sin(84°)。

6. 计算x：x = (3.5 * sin(48°)) / sin(84°) = 3.5 * 0.7431 / 0.9945 ≈ 2.617英尺。

7. 已知三角形周长为各边之和，则三角形ABC的周长为：AB + AC + BC = x + x + 3.5 = 2 * 2.617 + 3.5 ≈ 8.734英尺。

8. 将答案四舍五入到最近的百分之一，这样我们得到最终答案为8.73英尺。

等腰三角形; 普通三角形

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

<note>等腰三角形ABC中，边AB和边AC相等</note>。因此，<note>根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即∠ABC = ∠ACB = 48°</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

在本题图中，三角形ABC中，<note>角BAC、角ABC和角ACB是三角形ABC的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角BAC + 角ABC + 角ACB = 180°</note>。

正弦定理

在任意三角形中，各边的长度与其所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径，即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=D（r为外接圆半径，D为直径）。

<note>等腰三角形的两腰分别为AB和AC，底边为BC，底角为∠ABC和∠ACB，顶角为∠BAC</note>。根据<note>正弦定理，各边的长度与其所对角的正弦值的比相等</note>，即：<note>AB/sin(∠ACB) = BC/sin(∠BAC) = AC/sin(∠ABC)</note>。代入数值：<note>x/sin(48°) = 3.5/sin(84°)</note>，从而可以求得<note>x ≈ 2.617英尺</note>。

三角形的周长公式

三角形的周长等于三条边的长度之和，即如果三角形的三条边分别为a、b、c，则周长P=a+b+c。

<note>三角形ABC的三边分别为AB、AC、BC</note>，根据三角形的周长公式，三角形的周长等于其三边长度之和，即周长<note>P=AB + AC + BC</note>。##


Question: 求 K L。

Answer: 12

1. 已知三角形 XYZ 和三角形 JKL 中都有一个角是 51°，##且角X=角J##。

2. ##根据相似三角形的判定定理(AA)，可以得到三角形XYZ相似于三角形JKL。##

3. ##根据相似三角形的定义，对应边成比例，即XY/JK=YZ/KL。##

4. ##代入已知边长。##

5. ##得到5/4=15/x。##

6. 我们可以在##解方程，##解出 x:

   x=12。

7. 综上所述，解出 KL = 12。

普通三角形; 等腰三角形

相似三角形的判定定理(AA)

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>三角形XYZ和三角形JKL是相似三角形</note>。根据<note>相似三角形的定义</note>有：<note>角X = 角J</note>, <note>角Y = 角K</note>, <note>角Z = 角L</note>；<note>YZ/KL = XZ/JL = XY/JK</note>。##


Question: A B \perp D C 和 G H \perp F E。如果 \triangle A C D \sim \triangle G E F，求 A B。

Answer: 2.2

1. 已知条件为 A B 垂直于 D C 且 G H 垂直于 F E，根据##垂线定义，得出 ∠ABC=∠GHE=90°。##。

2. 根据题意，已知 ##△ A C D ∽△ G E F##，即 △ A C D 和 △ G E F 相似，于是 ##根据相似三角形的定义得：##△ A C D 和 △ G E F 的对应角相等，对应边成比例。

3.##因为∠C=∠E（△ A C D ∽△ G E F中的对应角相等），∠ABC=∠GHE，因此△ABC和△GHE相似（根据相似三角形的判定定理(AA)），所以AC/GE=AB/GH（对应边成比例）。##

####

##4. 将已知量AC=4.4，GE=6.3，GH=3.15##代入比例关系，得出 4.4 / 6.3 = AB / 3.15。

##5##. 解比例方程，交叉相乘得到 AB = 4.4 × 3.15 / 6.3。

##6##. 计算得出 AB = 2.2。

##7##. 最终得出答案为 2.2。

垂线; 直角三角形; 线段

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>三角形ACD和三角形GEF是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>∠CAD = ∠EGF</note>, <note>∠ACD = ∠GEF</note>, ∠ADC = ∠GFE；<note>AC/GE = AD/GF</note> = CD/EF。<note>三角形ABC和三角形GHE是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：∠CAB = ∠EGH, ∠ACB = ∠GEH, ∠ABC = ∠GHE；<note>AC/GE = AB/GH = CB/EH</note>。

垂线定义

如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直

<note>三角形ADC中，直线AB和直线CD相交形成的角∠ABC是90度</note>，因此根据垂线定义，直线AB和直线CD互相垂直。<note>三角形GEF中，直线GH和直线FE相交形成的角∠GHE是90度</note>，因此根据垂线定义，直线GH和直线FE互相垂直。

相似三角形的判定定理(AA)

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似


Question: X Y 和 X Z 是 \triangle R S T 的中线。求 S T。

Answer: 14

1. 已知条件为X Y和X Z是△R S T的##中线，所以点X、Y、Z都为三角形RST的三条边的中点。根据三角形中位线定理，连接三角形的两个边上的中点的##线段平行于该三角形的第三边，并且是第三边的一半。因此，##线段R S和线段RT##的中点连接线段XY平行于线段S T，并且XY等于S T的一半。##即XY∥ST，XY = 1/2 × ST##。

####

##2##. 另外，图中给出X Y = 7，为中位线段X Y，因此，##根据三角形中位线定理，得出##S T = 2 × X Y = 2 × 7。

##3##. 最后，经过上述推理，得出S T = 14。

中点; 平行线; 普通三角形

三角形中位线定理

在三角形中，如果一条线段连接两边的中点，那么这条线段与第三条边平行且等于第三条边的一半。

在本题图中，三角形RST中，<note>点Y是边RT的中点</note>，<note>点X是边RS的中点</note>，<note>线段XY连接了这两个中点</note>。根据三角形中位线定理，<note>线段XY与第三边ST平行且等于第三边ST的一半</note>，即<note>XY || ST</note>，并且<note>XY = 1/2 * ST</note>。##

线段中点

线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。

在本题图中，<note>线段SR的中点为点X</note>。根据线段中点的定义，点X将<note>线段SR平分为两个相等的部分</note>，即<note>线段SX和线段RX的长度相等</note>。即，<note>SX = RX</note>。同理，<note>线段RT的中点为点Y</note>。根据线段中点的定义，点Y将<note>线段RT平分为两个相等的部分</note>，即<note>线段RY和线段TY的长度相等</note>。即，<note>RY = TY</note>。


Question: 求 x。

Answer: 10 \sqrt { 3 }

1. 已知直角三角形的直角边分别为10和x，斜边为20，根据勾股定理（在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和），我们可以得到如下等式：10^2 + x^2 = 20^2。

2. 将已知值代入勾股定理的等式，得到：100 + x^2 = 400。

3. 解上述等式得到：x^2 = 300。

4. 对等式两边取平方根，得到：x = sqrt(300) 或者 x = -sqrt(300)。

5. 由于x代表边的长度，不能是负值，因此取x的正值：x = sqrt(300) = 10√3。

6. 经过上述推理，最终得出答案为x = 10√3。

直角三角形; 余弦; 中点

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>该三角形是一个直角三角形</note>，其中<note>一个内角为90度</note>。边长为<note>10和x的两条边是直角边</note>，边长为<note>20的边是斜边</note>。

直角三角形的斜边

在直角三角形中，斜边是直角所对的边，同时也是这三个边中最长的一条边。

直角三角形的两直角边

在直角三角形中，除斜边以外的两条边称为直角边。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

在本题图中，<note>直角三角形</note>中，<note>直角边分别为10和x</note>，<note>斜边为20</note>，所以根据<note>勾股定理</note>，##10^2 + x^2 = 20^2##。


Question: 在图中，m \angle 4 = 101。求 \angle 6 的度数。

Answer: 101

1. 已知##∠ 4## = 101°，##并且红色箭头所示的两条直线互相平行，根据内错角的定义和平行线的平行公理2可知，被同一条直线所截的两条平行线下的∠4与∠6互为内错角，因此∠ 6 = ∠ 4##。

2. 代入已知条件##∠ 4 ##= 101°，由此可得##∠ 6## = 101°。

3. 经过上述推理，最终得出答案为101°。

对顶角; 内错角; 平行线

内错角的定义

当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角

<note>两条平行直线</note>被<note>一条直线截交</note>，其中<note>角4和角6位于两平行线之间</note>，且<note>在截线的对侧</note>，因此<note>角4和角6是内错角</note>。内错角相等，即<note>角4等于角6</note>。####

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补

<note>两条平行线被第三条直线所截</note>，形成了以下几何关系：1. 同位角：<note>角4和角8相等</note>。2. 内错角：<note>角4和角6相等</note>。3. 同旁内角：<note>角4和角5互补，即角4 + 角5 = 180度</note>。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。


Question: 在 riangle P Q R 中，Z Q = 3 a - 11, Z P = a + 5, P Y = 2 c - 1, Y R = 4 c - 11, m \\angle P R Z = 4 b - 17, m \\angle Z R Q = 3 b - 4, m \\angle Q Y R = 7 b + 6, 和 m \\angle P X R = 2 a + 10。如果 R Z 是角平分线，求 m \\angle P R Z。

Answer: 35

1. ##已知 RZ 是 ∠QRP 的角平分线，根据角平分线定义，∠PRZ = ∠ZRQ。##即：4b - 17 = 3b - 4。

2. 解方程 4b - 17 = 3b - 4, 移项得到 b = 13。

3. 将 b = 13 代入 ∠PRZ 的表达式 4b - 17，可以得 ∠PRZ = 4×13 - 17 = 52 - 17 = 35。

####

##4##. 经过上述推理，最终得出答案为 ∠P R Z = 35°。

普通三角形; 对顶角; 邻补角; 线段

角平分线定义

角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。


Question: 求 P T。

Answer: \frac { 20 } { 3 }

1. ##由图知， ∠PRQ = 90°，根据直角三角形的定义，△PRQ是直角三角形##。

2. 在 ΔPRQ 中，##根据勾股定理（毕达哥拉斯定理）##，斜边的平方等于两条直角边的平方和，得出：##PQ? = PR? + RQ?##。

3. 代入已知数据，PQ = 25，RQ = 10 + 5 = 15，##代入等式得：25? = PR? + 15?##。

4. 计算得到：625 = ##PR?## + 225，从而得出 ##PR?##= 400。

5. 通过开平方计算得出 PR = √400 = 20。

6. ##因为 TS 是与 PQ## 平行的线段，且 RS = 10，##根据平行线分线段成比例定理##，TR : PR = RS : RQ = 10 : 15。

7. 由此比例可知 TR = (10/15) * 20。

8. 计算得：TR = (2/3) * 20 = 40/3 ####。

9. ##由图知##PT = PR - TR。

10. 代入已算出的值得：PT = 20 - 40/3。

11. 计算最终得出 ##PT =20/3## 。

直角三角形; 等边三角形; 线段

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>三角形 ΔPRQ 中，角 ∠PRQ 是直角（90度）</note>，因此<note>三角形 ΔPRQ 是一个直角三角形</note>。<note>边 PR 和边 RQ 是直角边</note>，<note>边 PQ 是斜边</note>。

平行线分线段成比例定理

在本题图中，三角形PRQ中，<note>直线TS与边PQ平行</note>，并<note>截它的其他两边PQ和RQ（或其延长线）于点T和点S</note>，那么根据平行线分线段成比例定理，有：<note>TR : PR = RS : RQ</note> 即<note>截得的线段与原三角形相对应的线段成比例</note>。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>直角三角形 PRQ 中，∠PRQ 是直角（90度）</note>，边 <note>PR 和 RQ 是直角边，边 PQ 是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>PQ? = PR? + RQ?</note>，即 <note>25? = PR? + 15?</note>。


Question: 利用平行四边形 J K L M 找出 m \angle J K L.

Answer: 80

1.##由平行四边形的邻角互补定理得出：∠JKL+∠KLM=180°##

2.##根据已知条件∠KLM=∠JLK+∠JLM=70°+30°=100°。##

3.##已知∠KLM=30°+70°=100°，代入得到 ∠JKL +100°=180°。##

4.##计算得到∠JKL=180°-100°=80°。##

####

##5##.经过上述推理，最终得出答案为 80°。##

平行四边形; 对顶角; 三角形的外角

平行四边形的定义

平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。

<note>四边形JKLM是一个平行四边形</note>。由平行四边形的定义，<note>边JK与边LM平行且相等</note>，<note>边JM与边KL平行且相等</note>。

平行四边形的邻角互补定理

在平行四边形中，相邻的内角互补，即它们的和为180°。

<note>平行四边形JKLM</note>中，<note>角KLM</note>和<note>角JKL</note>是相邻的内角，根据<note>平行四边形的邻角互补定理</note>，<note>角KLM + 角JKL = 180°</note>。


Question: 求 x。

Answer: 120

1. ##已知三角形的三个内角相等。根据三角形的内角和定理，可知每个内角都等于60度，因此，这是一个等边三角形。##

2. ##根据三角形的外角定理，三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。由图可知，x°角是三角形的一个外角，与三角形内其他两个不相邻的内角的和相等。已知等边三角形的每一个角都是60度，所以x°=60°+60°=120°##。

####

##3##. 经过上述推理，最终得出答案为120度。

普通三角形; 三角形的外角; 直线

等边三角形的定义

等边三角形是所有三条边长度相等并且所有内角都相等（均为60°）的三角形。

在本题图中，三角形是<note>一个等边三角形</note>。<note>三条边的长度相等</note>，并且<note>三个内角的度数相等，均为60°</note>。##

等边三角形的角性质

等边三角形的每一个内角都是60°。

<note>等边三角形中，三条边相等</note>，因此根据等边三角形的性质，<note>三角形的每一个内角都是60°</note>。也就是说，每个角均为60°。####

三角形的外角定理

三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。

<note>三角形的内角为∠1、∠2、∠3</note>。三角形中，<note>x°角是三角形的一个外角</note>，<note>∠1和∠2是与外角x°角不相邻的两个内角</note>，根据三角形的外角定理，外角等于不相邻的两个内角之和，即<note>x°角 = ∠1 + ∠2</note>。####

多边形的外角定义

多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。

在本题图中，三角形的一个内角为右底角，延长该角的相邻边和另一边形成的<note>角X</note>称为该内角的外角。####

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>在本题图中，三角形中，三个内角的和等于180°</note>。


Question: 每对多边形是相似的。求 x。

Answer: 8

1.已知两个三角形是相似的，根据##相似三角形的定义，可以得到对应边的比例关系：2x/12=20/15。##

2. ## 解方程，可得：15x = 120。##

##3. 最后x = 120 / 15 = 8。##

##4. 因此，最终求得答案为x=8。##

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>在本题图中，三角形ABC和三角形DEF是相似三角形。</note>根据相似三角形的定义有：<note>∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F；AB/DE = BC/EF = CA/FD。</note>具体对应关系为：
第一个三角形ABC的边长为12, 2x, 20，第二个三角形DEF的边长为12, y+4, 15。
对应边成比例，因此有比例关系：
<note>20/15 =12/(y + 4) =2x/12 = 4/3</note>####


Question: 求该图形的面积，精确到小数点后一位。

Answer: 31.1

1. 图形由中间一个矩形和两端两个半圆组成。矩形的长边为8，短边为3。

2. 根据平面几何中长方形的面积公式，长方形的面积等于长边乘以短边，所以矩形的面积为8 × 3 = 24平方单位。

3. 两个半圆合并成一个完整的圆，该圆的直径等于矩形的短边长度，即3。

4. 圆的半径为直径的一半，即3 ÷ 2 = 1.5。

5. 根据圆的面积公式##A = πr?##，其中r为半径，因此该圆的面积为##π × (1.5)?## = 2.25π。

6. 因此，整个图形的总面积为矩形面积加上两个半圆（即一个完整的圆）的面积，为24 + 2.25π。

7. 计算24 + 2.25π ≈ 24 + 7.07 ≈ 31.07。

8. 最终求得图形的面积为31.07，四舍五入到最近十分位为31.1。

矩形的定义

矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。

<note>在本题图中，图形中间部分是一个长为8，宽为3的矩形。</note>矩形的四个内角都是<note>直角（90度）</note>，且相对的边平行且等长。具体来说，<note>矩形的长边为8，短边为3。</note>

圆的定义

到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。

<note>两个半圆的圆心分别位于矩形短边的中点</note>，<note>半径为1.5</note>。图中<note>所有到这些圆心的距离等于1.5的点都在相应的半圆上</note>。

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

<note>在本题图中，图形两端的半圆直径为图形的短边，即3个单位</note>，<note>连接了圆心和圆周上的两点</note>，长度为2倍的半径，即<note>直径 = 2 × 半径</note>。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

<note>每个半圆的半径</note>为<note>矩形的短边（3单位）的一半</note>，即1.5单位。根据<note>半径的定义</note>，<note>半径是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此在本题图中，<note>半圆的半径为1.5单位</note>。

矩形的面积公式

矩形的面积等于其长度乘以其宽度。

<note>矩形的长为8</note>，<note>宽为3</note>，所以矩形的面积 = <note>8 * 3 = 24平方单位</note>。

圆的面积公式

圆的面积公式为A = πr^2，其中A表示面积，π是圆周率，r是圆的半径。

在本题图中，由于<note>两个半圆合并成一个完整的圆</note>，<note>圆的直径为3，所以半径为1.5</note>。根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率<note>π乘以半径1.5的平方</note>，即<note>A = π(1.5)^2 = 2.25π</note>。

半圆的定义

<note>两端的两个半圆分别由直径和圆弧构成</note>。##


Question: 如果 S T = 8, T R = 4, 和 P T = 6, 求 Q R。

Answer: 9

1. ##由图可得，PT∥QR，根据平行线的平行公理2，同位角相等，即∠SPT = ∠SQR##。

2. ##又因为角S为△QSR和△PST的公共角，并且∠SPT = ∠SQR，根据相似三角形的判定定理(AA)，△QSR∽△PST##。

3. ##因为△QSR∽△PST，根据相似三角形的定义可得，ST/SR=PT/QR##。

4. ##已知ST = 8, TR = 4, 和 PT = 6, 代入上述比例式可得8/(8+4)=6/QR=8/12=6/QR，即QR=6 * 12/8=9##。

####

##5. 经上述推理可得，QR=9##。

等腰三角形; 平行线; 普通三角形

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>在本题图中，两条平行线PT和QR被第三条直线SQ所截</note>，形成了以下几何关系： <note>同位角：角SPT和角SQR相等</note>。

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

在本题图中，<note>△QSR和△PST是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>∠QSR = ∠PST</note> ,<note>∠SPT = ∠SQR</note>, <note>∠STP = ∠SRQ</note>；<note>ST/SR=PT/QR=SP/SQ</note>。######

相似三角形的判定定理(AA)

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。

平行线的定义

在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

<note>直线PT和直线QR</note>位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，<note>直线PT和直线QR</note>是平行线。


Question: 求平行四边形的周长。如果有必要，请四舍五入到最接近的十分位。

Answer: 50

1. 已知平行四边形的两组相邻边长分别为12厘米和13厘米。根据###平行四边形的性质定理##，对边相等，即另一组边长也为12厘米和13厘米。

2. 平行四边形的周长等于其四条边的长度之和。因此平行四边形的周长为12厘米+13厘米+12厘米+13厘米。

3. 通过计算得出该平行四边形的周长为12 + 13 + 12 + 13 = 50厘米。

4. 以上计算中的每一步都是合理的####，最终的解得到了平行四边形的周长。

平行四边形的定义

平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。

<note>平行四边形的两组对边分别是12厘米和13厘米</note>。根据定义，<note>这两组对边分别平行且相等</note>，因此形成平行四边形。

平行四边形的性质定理

在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。

在本题图中，已知平行四边形的一组相邻边长分别为<note>12厘米和13厘米</note>。根据<note>平行四边形的对边相等定理</note>，另一组边也分别等于<note>12厘米和13厘米</note>。

平行四边形的周长

在本题图中，平行四边形中，<note>边12cm和边13cm是相邻的两条边</note>，<note>边12cm和边13cm也是相邻的两条边</note>。根据平行四边形的周长公式，平行四边形的周长等于其两组邻边的两倍之和，即<note>周长P = 2(12 + 13) = 50cm</note>。


Question: 求 x.

Answer: 2

1. ##由图可得##：两条##弦AB和CD##交于点E，且AE=x，CE=3，##ED## = 4，##EB## = 6。

2. 根据##相交弦定理##，该定理表述为：若两条弦AB和CD相交于点E，则有##AE * EB=CE * ED##。

3. 将已知条件代入定理，得到方程##x * 6=3 * 4##。

4. 计算方程的结果，得出6x=12。

5. 解方程6x=12，得到x=2。

6. 经过上述推理，最终得出答案为x=2。

弦的定义

弦是连接圆上任意两点的线段。

在本题图中，圆中，<note>点A</note>和<note>点B</note>是圆上的任意两点，<note>线段AB</note>连接了这两个点，所以<note>线段AB</note>是圆的弦。同理，<note>点C</note>和点D是圆上的任意两点，<note>线段CD</note>连接了这两个点，所以<note>线段CD</note>是圆的弦。

相交弦定理

若两条弦AB和CD相交于点E，则有AE * EB = CE * ED。


Question: m \widehat A C = 160 和 m \angle B E C = 38。求 m \angle A E B?

Answer: 42

1. 圆周角定理指出，圆周角等于其所对的弧所对应的圆心角的一半。而题目中给出m \widehat{AC} = 160。

2. 根据圆周角定理，圆周角 \angle AEC 所对的弧 AC，其对应的##圆心角##为 m \angle AEC = \frac{1}{2} \times 160 = 80。

3. 然后，该图中给出的另一个角 m \angle BEC = 38。

4. ##因此## \angle AEB = \angle AEC - \angle BEC。

5. 插值上面的结果，m \angle AEB = 80 - 38。

6. 经过上述推理，最终得出答案为42。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

在本题图中，<note>\(\angle A E C\) 是圆周角</note>，对应的弧是<note>\(\widehat{AC}\)</note>，根据题意，<note>\(m\widehat{AC} = 160\)度</note>。根据圆周角定理，<note>\(\angle A E C = \frac{1}{2} \times 160 = 80\)度</note>。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

<note>在本题图中，圆中，点A和点C是圆上的两点，设圆心是点O</note>。<note>连线OA和OC组成的角∠AOC称为圆心角</note>。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

<note>圆O中，角AEC的顶点(点E)在圆周上</note>，角AEC的两边分别<note>与圆O相交于点A和点C</note>。因此，<note>角AEC是一个圆周角</note>。


Question: 求 x。四舍五入到十分位。

Answer: 17.4

1. 已知条件为三角形 NOP，其中## ∠NPO## = 38°，NP = 20√2，NO = x，并且 ∠NOP 为直角，##根据直角三角形的定义，因为 ∠NOP = 90°，所以三角形NOP为直角三角形 ##。

2. ##根据正弦函数定义 ，sin(∠NPO) = 对边 / 斜边 ##，其中对边是 NO，斜边是 NP。

3. 根据正弦函数定义，有 sin(38°) = NO / NP。

4. 将已知条件代入，得到 sin(38°) = x / (20√2)。

5. 查阅并计算 sin(38°)的值（sin(38°) ≈ 0.6157），并代入方程：0.6157 = x / (20√2)。

6. 通过代数运算，解出 x 的值，即 x = 0.6157 × 20√2。

7. 计算 0.6157 × 20√2 ≈ 0.6157 × 28.2843 ≈ ##17.415##。

8. 将结果四舍五入到最接近的十分位，得到 x ≈ 17.4。

9. 经过上述推理，最终得出答案为17.4。

直角三角形; 正弦; 余弦

正弦函数定义

在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。

在本题图中，直角三角形NOP中，<note>角∠NPO是锐角</note>，<note>边NO是角∠NPO的对边</note>，<note>边NP是斜边</note>。根据正弦函数定义，<note>角∠NPO的正弦值等于对边NO与斜边NP的比值</note>，即sin(38°) = NO / NP。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>角∠NOP是直角（90度）</note>，因此三角形NOP是一个直角三角形。边NO和边PO是直角边，边NP是斜边。


Question: 求x。

Answer: 3.5

1. 已知 ##点W 、 点W'和点F## 在同一直线上，根据图示，##线段 WW' = x 和线段 W'F=10.5 ##是靠近 F 点的两部分，总和为 14 的直线段。

2. 根据线段相加的计算规则，##WF = W'W + W'F=x+10.5=14##。

####

##3##. 计算得出，WW' = 3.5。

####

##4##. 从上面的推理步骤可以推出，最终得出答案 x = 3.5。

线段的定义

线段是一个直线的一部分，包含两个端点及其间的所有点。

在本题图中，<note>线段 WF</note> 是一个直线的一部分，包含<note>端点 W 和端点 F</note>及其间的所有点，长度为 ##14##。<note>线段 WW'</note> 是一个直线的一部分，包含<note>端点 W 和端点 W'</note>及其间的所有点，长度为 x。<note>线段 W'F</note> 是一个直线的一部分，包含<note>端点 W' 和端点 F</note>及其间的所有点，长度为 ##10.5##。


Question: 在图中，m \angle 1 = 50 和 m \angle 3 = 60。求 \angle 4 的度数。

Answer: 50

1. ##已知条件为∠1 = 50° ，∠3 = 60°，j ∥k，m ∥ n，p ∥q 。##

2. ##根据对顶角的定义，设j 与 q 相交形成的另一锐角为∠a，则∠1 与∠a 为对顶角，∠1 = ∠a =50°；设p 与k 相交形成的另一锐角为∠c，则∠4 与∠c 为对顶角，∠4 =∠c；根据同位角的定义，j ∥k 且与 q截交于两点，设k 与q  相交形成的右上侧锐角为∠b，则∠b 与∠a 为同位角，根据平行线的平行公理2，得∠a =∠b（同位角相等）。##

3. ##已知p ∥q 且与k 截交于两点，根据内错角的定义可得，∠b 和∠c 是内错角，再根据平行线的平行公理2可得，∠b =∠c（内错角相等）。##

4. ##代入已知条件，∠1 = ∠a =50°，∠a =∠b，∠b =∠c，∠4 =∠c，所以∠4 = ∠c = ∠b =∠a =∠1 =50°。##

5. 经过上述推理，最终得出答案为##∠4 ##= 50°。

同位角; 内错角; 平行线

同位角定义

<note>j ∥ k</note> 且与 <note>q截交</note> 形成 <note>∠b 与 ∠a</note>，则 <note>∠b 与 ∠a 为同位角</note>。####

内错角的定义

<note>在本题图中，两条平行直线p 和q 被一条直线k 截交</note>，<note>其中∠b 和∠c 位于两平行线之间，且在截线k的对侧，因此∠b 和∠c 是内错角</note>。##

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

##在本题图中，两条平行线 <note>j 和 k</note> 被第三条 <note>直线 q</note> 所截，形成了以下几何关系：同位角：<note>角a和角b相等</note>。两条平行线 <note>p 和 q</note> 被第三条 <note>直线 k</note> 所截，形成了以下几何关系：内错角：<note>角c和角b相等</note>。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。####

对顶角的定义

对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。

在本题图中，两条相交直线<note>j 和 k</note>相交于一点，形成四个角。根据对顶角的定义，<note>角1和角a是对顶角</note>。由于对顶角的角度相等，所以<note>角1=角a</note>。两条相交直线<note>p 和 k</note>相交于一点，形成四个角。根据对顶角的定义，<note>角4和角c是对顶角</note>。由于对顶角的角度相等，所以<note>角4=角c</note>。


Question: \triangle J K L \sim \triangle W Y Z。求 x。

Answer: 21

1. 给定条件是ΔJKL与ΔWYZ相似，根据相似三角形的定义，相似三角形的对应角相等。

2. 由图中可以看出，∠J与∠W对应，∠K与∠Z对应，∠L与∠Y对应。

3. 由于∠W = 71°，且∠J = (4x - 13)°，因此根据相似三角形的对应角相等，可以得到 ∠J = ∠W。

4. 根据步骤3，得出方程 (4x - 13)° = 71°。

5. 解方程 (4x - 13) = 71 得到 4x = 84，x = 21。

6. 因此，x的值为21。

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

在本题图中，<note>ΔJKL与ΔWYZ相似</note>，因此根据相似三角形的定义有：<note>∠J = ∠W, ∠K = ∠Y, ∠L = ∠Z</note>；<note>JK/WY = KL/ZY = JL/WZ</note>。####


Question: 求正多边形的面积。结果保留到最接近的十分位。

Answer: 65

1. 已知一个正六边形的中心到其任意一个顶点的距离是5米，##根据正多边形的定义##，其所有边的长度相等，其内角也相等。

2. ##设正六边形的中心为O，那么从六个顶点到中心O的距离都是5米，从六个顶点到中心O的线段可以将该正六边形分成6个三角形，根据全等三角形判定定理(SSS)，从六个顶点到中心O的距离都是5米，正六边形六条边相等，则这六个三角形全等。##

3. ##由图可知，中心O所在的六个角之和为360°，则一个角为360°/6 = 60°，得出六个全等三角形为全等的等边三角形，边长为5米。##

4. ##正多边形的面积=等边三角形的面积 *6 ，根据三角形面积公式（使用正弦函数）可得，等边三角形的面积 = (边长^2 * √3) / 4。##

5. 将边长5米代入公式计算，得到：面积 = (5^2 * √3) / 4 = (25 * √3) / 4 ≈ 10.8253 平方米。

####

##6. 总面积 = 10.8253 * 6 ≈ 64.9518 平方米。##

##7##. 最终，经过上述推理，得出答案为64.9518平方米，四舍五入到小数点后1位，结果是65.0平方米。

正多边形; 旋转; 正弦; 余弦; 线段

正多边形的定义##

正多边形是指所有边长度相等且所有内角相等的多边形。

在本题图中，<note>正六边形中，所有边的长度相等</note>，且<note>所有内角相等</note>。因此，正六边形是一个正多边形。<note>正六边形的中心到任意一个顶点的距离为5米</note>。

等边三角形的定义

等边三角形是所有三条边长度相等并且所有内角都相等（均为60°）的三角形。

在本题图中，正六边形可以分为6个全等的等边三角形。<note>每个等边三角形的三条边长度相等，均为5米</note>，并且<note>每个内角都相等，均为60°</note>。##

全等三角形判定定理(SSS)

两个三角形的三组对应边分别相等，则两个三角形全等。

<note>从六个顶点到中心O的线段为5米</note>, <note>正六边形中，所有边的长度相等</note>, 因此根据全等三角形判定定理(SSS), <note>图中六个三角形全等</note>.

三角形面积公式（使用正弦函数）

在本题图中，六个三角形为等边全等三角形，<note>每个边长度为5米</note>，<note>夹角均为60°</note>。根据三角形面积公式，<note>题中一个等边三角形的面积S可以表示为S = (1/2) * a * b * sin(C)</note>，即<note>S = (1/2) * 5 * 5 * sin(60°)</note>。


Question: 在给定的平行四边形中找到 w。

Answer: 5

1. 已知四边形 FGHJ 是平行四边形，##故设两条对角线FH和GJ相交于点K##，根据平行四边形的##性质定理##，平行四边形对角线互相平分，即 FK = ##KH##。

2. ##由图可得FK=4w-7，KH=2w+3，代入上式可得4w - 7 = 2w + 3##。

3. 解方程 4w - 7 = 2w + 3，得到：2w = 10，故 w = 5。

4. 经过上述推理，最终得出答案为 5。

平行四边形; 对顶角; 内错角

平行四边形的定义

平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。

<note>四边形 FGHJ 是一个平行四边形</note>，<note>边 FG 与边 JH 平行且相等</note>，<note>边 FJ 与边 GH 平行且相等</note>。

平行四边形的性质定理

在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。

在本题图中，平行四边形 FGHJ 中，<note>对角 ∠FGH 和 ∠HJF</note>相等，<note>对角 ∠GFJ 和 ∠JHG</note> 相等；<note>边 FG 和 JH</note> 相等，<note>边 FJ 和 GH</note> 相等；<note>对角线 FH 和 GJ</note> 互相平分，即交点 K 将<note>对角线 FH</note> 分成两段相等的线段 FK 和<note>KH</note>，将<note>对角线 JG</note>分成两段相等的线段 JK 和 <note>KG</note>。


Question: 利用平行四边形 M N P R 求 x。

Answer: 8

1. 已知平行四边形 M N P R，由定义可知，对边相等，因此 M N = P R。

2. 令 M N = 3x - 4，P R = 20，根据平行四边形的性质，3x - 4 = 20。

3. 解方程 3x - 4 = 20，得到 3x = 24，接着x = 24 / 3 = 8。

4. 经过上述推理，得出 x = 8。

平行四边形; 平行线; 对顶角; 内错角; 同旁内角

平行四边形的定义

平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。

在本题图中，四边形 M N P R 是一个平行四边形，<note>边 M N 与边 P R 平行且相等</note>，<note>边 M R 与边 N P 平行且相等</note>。

平行四边形的性质定理

在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。

在本题图中，<note>平行四边形 M N P R</note> 中，边 <note> M N 和 P R 相等</note>，边 <note> M R 和 N P 相等</note>；<note>对角线 M P 和 N R 互相平分</note>，即交点 Q 将对角线 <note> M P 分成两段相等的线段 M Q 和 Q P</note>，将对角线 <note> N R 分成两段相等的线段 N Q 和 Q R</note>。由 <note> M N = 3x - 4 和 P R = 20</note>，可得 <note> 3x - 4 = 20</note>。


Question: 求 x。

Answer: 93

1. ##设该三角形为ABC，已知条件为∠A =52°，∠B =35°，∠C =x°。##

2. ##根据三角形内角和定理，∠A + ∠B + ∠C = 180°。##

3. 代入已知条件可得，52° + 35° + x° = 180°。

4. 通过计算，x° = 180° - 52° - 35°。

5. 经过计算，x = 93°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为x = 93°。，

普通三角形; 三角形的外角

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

在本题图中，<note>三角形的三个内角分别为52°、35°和x°</note>。根据<note>三角形内角和定理</note>，<note>52° + 35° + x° = 180°</note>。


Question: 求 m \angle 1 的度数。

Answer: 109

1. ##根据圆心角的性质和圆心角的定义，设218°弧所对的圆心角为∠2，即∠2=218°##。

2. 根据圆周角定理：##在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半##。

3. 圆周角 (##∠ 1##) 等于相应的圆心角（218°）的一半。

4. 计算## ∠ 1 ##= 218° ÷ 2 = 109°。

5. 经过推理，最终得出## ∠ 1##的度数为109°。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

<note>圆周角 ∠1</note>对应的弧测得的<note>圆心角</note>是218°。根据<note>圆周角定理</note>，圆周角（即<note> ∠1</note>）等于相应的<note>圆心角（即218°）</note>的一半，即<note> m ∠1 = 218° ÷ 2 = 109°</note>。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

<note>圆中，角1的顶点在圆周上</note>，<note>角1的两边分别与圆相交于两点</note>。因此，<note>角1是一个圆周角</note>。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

<note>连线圆心和圆上两点组成的角∠2称为圆心角</note>。

圆心角的性质

圆心角的度数等于它所对的圆弧的度数。

在本题图中，已知<note>圆心角∠2</note>所对的<note>圆弧度数为218°</note>。根据<note>圆心角的性质</note>，<note>圆心角的度数与所对圆弧的度数相等</note>，即<note>∠2的度数=218°</note>。


Question: 求 J K 的度量。

Answer: 31

1. ##已知KN=NL，∠JNL=∠JNK=90°。##

2. ##三角形JNK和三角形JNL共用一条直角边JN，则根据全等三角形判定定理(SAS)可得，三角形JNK全等于三角形JNL，那么JK=JL，因此可得6x + 7 = 9x - 5。##

3. 将方程6x + 7 = 9x - 5进行解算，首先两侧同减6x得到7 = 3x - 5。

4. 双侧同时加5得到12 = 3x。

5. 将两侧同时除以3得到x = 4。

6. 将x = 4代入到原来已知的6x + 7中，##得6*4 + 7 = 24 + 7 = 31##。

7. 因此，JK的度量为31。

##8.经过上述推理，最终得出答案为31。##

等腰三角形; 中点; 线段

全等三角形判定定理(SAS)

如果一个三角形的两边及其夹角分别与另一个三角形的两边及其夹角相等，那么这两个三角形全等。

在本题图中，<note>三角形JNK和三角形JNL</note>中，<note>边JN为两三角形共用边</note>，<note>边KN与边NL相等</note>，且<note>夹角JNL与夹角JNK相等</note>，因此根据全等三角形判定定理(SAS)，这<note>两个三角形全等</note>。

全等三角形的定义

两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等。

<note>三角形JNK和三角形JNL是全等三角形</note>，<note>三角形JNK的对应边和对应角与三角形JNL相等</note>，即：
<note>边JN = 边JN</note>
<note>边JK = 边JL</note>
<note>边KN = 边LN</note>
同时，对应的角也相等：
<note>角JNK = 角JNL</note>
<note>角JKN = 角JKL</note>
<note>角KJN = 角LJN</note>


Question: 求图中变量y的值。

Answer: 50

1. ##设两条水平直线A和B被一条斜线C所截。从图中观察可以确定：直线A和B平行，根据平行线的平行公理2，同位角相等，即(3x - 15) °=105°##。

2. ##解方程 (3x - 15)°= 105°，消除括号得出 3x - 15 = 105##。

3. ##把方程左右两边同时加上15，得到 3x = 120##。

4.  ##两边同除以3，得 x = 40##。

5. ##再设直线A与斜线C相交的点为D，直线B与斜线C相交的点为E，根据对顶角的定义，角BED=105°##。

6. ##又根据平行线的平行公理2，同旁内角互补，满足：(y + 25) °+ 角BED= 180°##。

7. ##去括号##得 y + 25 + 105 = 180。

8. 合并常数 y + 130 = 180。

9. 从方程左边减130得到 y = 180 - 130。

10. 计算得到 y = 50。

11. 经过上述推理，最终得出答案为 y = 50。

内错角; 对顶角; 平行线

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>在本题图中，两条平行线被第三条直线所截</note>，形成了以下几何关系：1. <note>同位角</note>：角(3x - 15)°和角105°相等。2. 同旁内角：角(y + 25)°和<note>角BED</note>°互补，即(y + 25) + 105 = 180度。

同位角定义

在本题图中，<note>两条平行直线A和B被一条直线C截交</note>，<note>其中(3x - 15) °和105°位于截线C的同旁，被截两直线A和B的同一侧</note>，因此<note>(3x - 15) °和105°是同位角</note>。<note>同位角相等，即(3x - 15) °等于105°</note>。####

同旁内角的定义

<note>两条直线A和B被第三条直线C所截</note>，两角<note>(y + 25)°和BED在截线C同侧</note>，且在<note>被截线A和B之内</note>，所以<note>角(y + 25)°和角BED</note>是同旁内角。同旁内角<note>(y + 25)°和角BED互补</note>，即<note>角(y + 25)° + 角BED= 180度</note>。

对顶角的定义

对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等。

<note>两条相交直线B和C相交于点E</note>，根据对顶角的定义，<note>角105°和角BED是对顶角</note>。由于对顶角的角度相等，所以<note>角105°=角BED</note>。

平行线的定义

在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

<note>直线A和直线B位于同一平面内</note>，并且它们<note>没有交点</note>，因此根据平行线的定义，<note>直线A和直线B是平行线</note>。


Question: 对于梯形 Q R T U，V 和 S 是两条腿的中点。如果 Q R = 4 且 U T = 16，求 V S。

Answer: 10

1. 已知四边形 QRTU 是梯形，QR 是上底，UT 是下底，且 QR = 4, UT = 16。

2. 根据梯形中位线定理，中位线的长度等于上底和下底长度的平均值。

3. 梯形 QRTU 中，V 和 S 分别是##脚 UQ 和 RT ##的中点。

4. 根据上述已知条件，VS 是梯形 QRTU 的中位线。

5. 依据梯形中位线定理，VS = (QR + UT) / 2。

6. 代入已知条件，VS = (4 + 16) / 2 = 20 / 2 = 10。

7. 经过上述推理，最终得出答案为 VS = 10。

梯形的定义

梯形是一种四边形，有且仅有一对平行边。

<note>在本题图中，四边形QRTU中，边QR和边UT是平行的</note>，而<note>边QU和边RT不平行</note>。因此，根据梯形的定义，<note>四边形QRTU是一种梯形</note>，<note>因为它有且仅有一对平行边</note>。####

梯形中位线定理

梯形的中位线是连接两腰中点的线段，这条线段平行于两条底边，并且长度等于两条底边长度和的一半。

在本题图中，梯形QRTU中，<note>边QR和边UT是梯形的两条底边</note>，<note>点V和点S是梯形两腰的中点</note>，<note>线段VS是连接两腰中点的中位线</note>。根据梯形中位线定理，<note>线段VS平行于边QR和边UT</note>，并且<note>线段VS的长度等于边QR和边UT长度和的一半</note>，即<note>VS = (QR + UT) / 2</note>。


Question: 在 riangle X Y Z 中，P 是重心，K P = 3，且 X J = 8。求 Y J。

Answer: 8

1. ##已知三角形XYZ 中，P 是重心，根据重心定理，ZJ为从顶点Z到XY边的中线，由三角形中线的定义可知，XJ=YJ。##

2. ##已知XJ=8，那么YJ=XJ=8。##

####

##3##.经过上述推理，最终得出答案为 YJ = 8.

普通三角形; 中点; 线段

重心定理

重心是三角形三条中线的交点，并且将每条中线分成2:1的两段，其中较长的一段连接顶点。

<note>P 是三角形XYZ 的重心</note>。根据重心定理，重心将每条中线分成2:1的两段，其中较长的一段连接顶点。例如，在<note>中线 XK</note>中，<note>P 将其分成两段</note>，较长的一段为<note>XP</note>，较短的一段为<note>PK</note>。类似地，在<note>中线 ZJ</note>和<note>中线 YL</note>中，<note>P 也将它们分别分成2:1的两段</note>。

三角形中线的定义

中线是从三角形一个顶点到对边中点的线段。


Question: 求 x 使得 B E 和 A D 垂直。

Answer: 10

1. 题目要求 B E 和 A D 垂直，说明##∠BFD为直角##。

2. ##即 ∠BFC + ∠CFD ##= 90°。

3. 我们可以知道 ##∠BFC = 6x° 和 ∠CFD## = 3x°。

4. 将角度代入方程 ##∠BFC + ∠CFD## = 90°，即得到 6x + 3x = 90°。

5. 计算方程 9x = 90°，通过求解得到 x = 10。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 x = 10。

线段; 垂线; 同旁内角; 邻补角; 对顶角

垂线定义

如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。

<note>直线AD和直线BE相交形成的角∠BFD是90度</note>，因此根据垂线定义，<note>直线AD和直线BE互相垂直</note>。


Question: 如果 A B C D 是一个菱形，并且 m \angle A B C = 70，求 m \angle 1?

Answer: 55

1. 已知四边形 A B C D 是菱形，根据菱形的性质，菱形的对角线互相平分并且垂直。

2. ##已知 ∠A B C = 70°，已知BA=BC，根据等腰三角形的定义，三角形ABC是等腰三角形，因此∠1=∠ACB## 。

3.## 在三角形ABC中，已知∠A B C = 70°，根据三角形的内角和定理，可以得出##2∠1+∠A B C=180°##。

####

##4##. 经过上述推理，最终得出答案为 55° 。

菱形; 等腰三角形; 三角形的外角

菱形的定义

菱形是四边都相等的四边形，且对角线互相垂直平分。

<note>在本题图中，四边形 ABCD 中，所有的边 AB、BC、CD、DA 都是相等的</note>，因此四边形 ABCD 是一个菱形。<note>此外，四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 互相垂直平分，即对角线 AC 和 BD 相交于点 O</note>，且 <note>∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠DOA = 90°</note>，并且<note>OA=OB=OC=OD</note>。

角的定义

角是由两个有公共端点的射线组成的几何图形，其中的公共端点称为角的顶点，两条射线称为角的边。

<note>角∠ABC是由射线BA和BC组成的几何图形</note>，<note>这两条射线有一个共同的端点B</note>。<note>这个共同的端点B称为角∠ABC的顶点</note>，而<note>射线BA和BC称为角∠ABC的边</note>。######

三角形的内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形ABC</note>中，<note>角ABC、角ACB和角BAC是三角形ABC的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角ABC + 角ACB + 角BAC = 180°</note>。######

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

<note>在本题图中，等腰三角形ABC中，边BA和边BC相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>角BAC = 角BCA</note>。


Question: 在给定的平行四边形中找到 a。

Answer: 9

1. 题目给定的几何图形是一个##平行四边形 WXZY##。

2. ##根据平行四边形的性质定理，平行四边形的对角线互相平分，因此对角线的相交点为对角线的中点，平分对角线##。

3. ##设对角线的相交点为点O，所以OX=OY##。

4. ##已知OY=2，所以OX=2，即a-7=2，解得：a=9##。

####

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为 a=9。

平行四边形; 平行线; 内错角

平行四边形的定义

平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。

在本题图中，<note>平行四边形 WXZY</note>是一个平行四边形，<note>边WX与边YZ平行且相等</note>，<note>边WY与边XZ平行且相等</note>。

平行四边形的性质定理

在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。


Question: 求 x。

Answer: 10

1. 在所给的三角形中，角的一个已知值为 30°。##另外一外角已知为直角，根据三角形内角和定理，边10√3所对的角应为60°##。可以判断这个三角形是一个 30°-60°-90° 的特殊三角形。

2. ##根据30°-60°-90°三角形的性质##，在 30°-60°-90° 三角形中，斜边与短边的比为 2:1，##60°角所对##长边与短边的比为 √3:1。

3. 假设短边是 x####。由题中可知长边为 10√3。

4. 根据 30°-60°-90° 三角形##60°角所对##长边与短边的比例 √3:1，可建立等式：10√3 = x√3。

5. 解方程 10√3 = x√3，两边除以 √3，得 x = 10。

6. 经过上述推理，最终得出答案为 10。

直角三角形; 正弦; 余弦

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

<note>设该三角形为三角形ABC，三角形ABC是由三个非共线点A、B、C及其连接线段AC、AB、BC组成的几何图形</note>。<note>点A、B、C分别是三角形的三个顶点</note>，<note>线段AC、AB、BC分别是三角形的三条边</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>在本题图中，设该三角形为三角形ABC</note>，三角形ABC中，<note>角A、角B和角C是三角形ABC的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角A + 角B + 角C = 180°</note>。

30°-60°-90°三角形的性质

在30°-60°-90°三角形中，30度角所对的边短，是斜边的一半，60度角所对的边则为短边的√3倍。

在本题图中，<note>30°-60°-90°三角形</note>中，<note>角30°是30度</note>，<note>角90°是60度</note>，<note>角60°是90度</note>。<note>边y是斜边</note>，<note>边x是30度角所对的边</note>，<note>边10√3是60度角所对的边</note>。根据30°-60°-90°三角形的性质，<note>边x等于边y的一半</note>，<note>边10√3等于边x的√3倍</note>。即：<note>x = 1/2 * y</note>，<note>10√3 = x * √3</note>。


Question: 求 x。

Answer: 12

1. ##已知该三角形有一个直角，根据直角三角形的定义，该三角形为直角三角形##。其中直角边分别为9和x，斜边为15。

2. 根据勾股定理，即直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和，所以我们可以列出方程：15^2 = 9^2 + x^2。

3. 计算出15^2的值为225，9^2的值为81，因此方程变为225 = 81 + x^2。

4. 将方程中的81移到等号另一边，得到x^2 = 225 - 81。

5. 计算225 - 81的值为144，因此得到x^2 = 144。

6. 对x^2 = 144两边取平方根，得到x = 12。

7. 经过上述推理，最终得出答案为12。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>该三角形是一个直角三角形</note>，其中<note>一个内角为90度</note>。直角边分别为9和<note>x</note>，斜边为<note>15</note>。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>直角三角形</note>中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。即<note>15^2 = 9^2 + x^2</note>。


Question: 线段与圆相切。求 x。

Answer: 16

1. 已知条件为直线 BC 是圆的切线，点 B 是切点，AB 是圆的半径，AC 是直线。根据切线的性质，切线与半径的夹角为 90 度，即∠ABC = 90°。

2. 已知 AB = x，BC = 30，CD = 18，##根据半径的定义，所以AD也是半径##。

3. 依据##直角三角形的定义，因为∠ABC = 90°，所以三角形ABC为直角三角形##。在直角三角形 ABC 中应用##勾股定理（毕达哥拉斯定理）可得：##AB^2 + BC^2 = AC^2。

4. 根据已知条件  BC = 30 和勾股定理，得到 x^2 + 30^2 = AC^2。

5. 结合线段 CD = 18####。

6. 在三角形 ACD 中，##AB 为半圆的半径，AD也是半径##，在直角三角形 ABD 中应用勾股定理得x^2 + ## 30^2## = (x + 18)^2。

####

##7##. 组合上述结果可得到 x^2 + 30^2 = ##x^2 + 36x + 324##。

##8##. 解下式 x^2 + 900 = x^2 + 36x + 324，整理得 576 = 36x，因此 x ##=## 16。

##9##. 经过上述推理，最终得出答案 x ##=## 16。

圆; 切线; 直角三角形

圆的定义

到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。

在本题图中，<note>圆A中，点A是圆心</note>。图中<note>所有到点A的距离等于x的点都在圆A上</note>。##

圆的切线定义

圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

在本题图中，圆中，<note>点 A 是圆心</note>，<note>点 B 是圆上的任意一点</note>，<note>线段 AB 是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段 AB 是圆的半径</note>，长度为 x。

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>在本题图中，三角形 ABC 中，角 ∠ABC 是直角（90度）</note>，因此三角形 ABC 是一个直角三角形。<note>边 AB 和边 BC 是直角边</note>，<note>边 AC 是斜边</note>。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>直角三角形 ABC 中</note>，<note>角 ∠ABC 是直角（90度）</note>，<note>边 AB 和 BC 是直角边</note>，<note>边 AC 是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>AC^2 = AB^2 + BC^2，即 AC^2 = x^2 + 30^2</note>。


Question: 求平行四边形的周长。如果有必要，四舍五入到最接近的十分位。

Answer: 44

1. ##设平行四边形四顶点为ABCD，则AD = 10米，AB =12米。##

2. ##平行四边形的周长P = 2(a + b)，即P = 2 * (AB + AD) 。##

3. ##代入等式可得，P=2 * (AB + AD) = 2 * (12米 + 10米) = 2 * 22米。##

####

##4##. 计算得出平行四边形的周长为44米。

##5##. 所以平行四边形的周长是44米。

平行四边形; 线段; 正弦

平行四边形的周长

<note>在本题图中，平行四边形ABCD中，边AB和AD是相邻的两条边</note>，根据平行四边形的周长公式，平行四边形的周长等于其两组邻边的两倍之和，即<note>周长P = 2 *(AB + AD) = 2 *(12米 + 10米) = 44米</note>。


Question: 对于梯形 A B C D，S 和 T 是两腰的中点。如果 C D = 14，S T = 10，且 A B = 2 x，求 x。

Answer: 3

1. 已知条件为梯形 A B C D，S 和 T 分别是梯形的两条腰的中点。边 C D 的长度为 14，S T 的长度为 10，A B 的长度为 2 x。

2. 根据梯形中位线定理，梯形的中位线长度等于两条平行线段（即上下底边）的长度之和的一半。

3. 依据上述定理，得出结论 S T = (A B + C D) / 2。

4. 代入已知数据，得到 10 = (2x + 14) / 2。

5. 将方程两边同时乘以2，得到 20 = 2x + 14。

6. 解方程 20 = 2x + 14，得到 2x = 6。

7. 最终解得 x = 3。

梯形的定义

梯形是一种四边形，有且仅有一对平行边。

在本题图中，梯形是 <note>ABCD</note>，其中 <note>AB</note> 和 <note>CD</note> 是两条平行边，分别称为上底和下底，<note>AD</note> 和 <note>BC</note> 是梯形的两条腰。

线段中点

线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。

<note>线段AC的中点为点S</note>，<note>线段BD的中点为点T</note>。根据线段中点的定义，<note>点S将线段AC平分为两个相等的部分，即AS = SC</note>，<note>点T将线段BD平分为两个相等的部分，即BT = TD</note>。

梯形中位线定理

<note>在本题图中，梯形 A B C D 中，边 A B 和边 C D 是梯形的两条底边</note>，<note>点 S 和点 T 是梯形两腰的中点</note>，<note>线段 S T 是连接两腰中点的中位线</note>。根据梯形中位线定理，<note>线段 S T 平行于边 A B 和边 C D</note>，并且<note>线段 S T 的长度等于边 A B 和边 C D 长度和的一半</note>，即<note>S T = (A B + C D) / 2</note>。


Question: 将 \cos P 的比值用小数表示到小数点后两位。

Answer: 0.47

####

##1##. 需要计算角P的余弦值，余弦值的定义是：邻边长度除以斜边长度。

##2##. 在三角形PQR中，角P的邻边是PR = 8，斜边是QR = 17。

##3##. 计算角P的余弦值，即cos P = 邻边PR / 斜边QR = 8 / 17。

##4##. 计算得出8 / 17 ≈ 0.470588235，保留到小数点后两位为0.47。

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为0.47。

余弦; 直角三角形; 线段

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

余弦函数

余弦函数是一个三角函数，它可以通过直角三角形中的边来定义，对于一个角α，它的余弦值等于角α的邻边与斜边的比值。在单位圆中，余弦值是指从圆心到圆上与x轴夹角为α的点的横坐标。

<note>直角三角形PQR</note>中，<note>边PR是角∠PQR的邻边</note>，<note>边QR是斜边</note>。因此，根据余弦函数的定义，<note>角∠PQR的余弦值</note>等于邻边PR与斜边QR的比值，即<note>cos(∠PQR) = PR / QR = 8 / 17</note>。


Question: 求y。

Answer: 5 \sqrt { 5 }

1. 分析三角形JKL为直角三角形，##其斜边边JK上的点M使得线段LM垂直于直线KJ##，因此角JML为直角。

2. 根据直角三角形性质定理，##在直角三角形△JML，△JKL，△KML中##，如果边的长度已知，我们可以使用勾股定理来计算第三边。勾股定理表述为，在直角三角形ABC中，c为斜边，a和b为两直角边，那么##a? + b? = c?##。

3. ##在直角三角形△JML中，已知JL=y，JM=5，ML=x，角JML为直角，因此可以应用勾股定理：JM? + ML? = JL?，所以5? + x? = y?##。

4. ##在直角三角形△JKL中，已知JK=20+5=25，JL=y，KL=z，角JLK为直角，因此可以应用勾股定理：JL? + KL? = JK?，所以y? + z? = 25?##。

5.##在直角三角形△KML中，已知MK=20，ML=x，KL=z，角LMK为直角，因此可以应用勾股定理：MK? + ML? = LK?，所以x? + 20? = z?##。

6. ##由第五步可知x? = z?- 20? ##

7. ##由第三步和第六步可知y? - z?=5? - 20? ##

8. ##由第四步可知z?=25? - y? ##

9. ##由第七步和第八步可知2*y?=5? - 20?+25? ##

10. ##解出y=5√5##

直角三角形; 线段; 余弦; 正弦

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

##在本题图中，三角形JKL中，<note>角JLK是直角（90度）</note>，因此三角形JKL是一个直角三角形。边<note>JL和边KL是直角边</note>，<note>边JK是斜边</note>，三角形JML中，<note>角JML是直角（90度）</note>，因此三角形JML是一个直角三角形。边<note>JM和边ML是直角边</note>，<note>边JL是斜边</note>，三角形MKL中，<note>角LMK是直角（90度）</note>，因此三角形MKL是一个直角三角形。边<note>ML和边KM是直角边</note>，<note>边LK是斜边</note>##。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

##在本题图中，在直角三角形<note>△JML</note>中，已知<note>JL=y</note>，<note>JM=5</note>，<note>ML=x</note>，<note>角JML为直角</note>，因此可以应用勾股定理：<note>JM² + ML² = JL²</note>，所以<note>5² + x² = y²</note>；在直角三角形<note>△JKL</note>中，已知<note>JK=20+5=25</note>，<note>JL=y</note>，<note>KL=z</note>，<note>角JLK为直角</note>，因此可以应用勾股定理：<note>JL² + KL² = JK²</note>，所以<note>y² + z² = 25²</note>；在直角三角形<note>△KML</note>中，已知<note>MK=20</note>，<note>ML=x</note>，<note>KL=z</note>，<note>角LMK为直角</note>，因此可以应用勾股定理：<note>MK² + ML² = LK²</note>，所以<note>x


Question: 在图中，m \angle 12 = 64。求 \angle 7 的度数。

Answer: 64

1. ##由图可得，直线y和直线z平行，并且被斜线x所截##。

2. ##已知∠12 = 64°，根据平行线的平行公理2，内错角相等，可以得出∠12 = ∠7 ，则∠7=64°##。

####

##3.## 经过上述推理，最终得出答案为64°。

平行线; 内错角; 对顶角

内错角的定义

<note>直线w和x分别与两条平行线y和z相交</note>，形成多个角。其中，<note>∠12和∠7在两条平行线y和z之间，且位于直线x的两侧</note>，因此它们是内错角。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>角∠3和角∠11相等</note>。<note>角∠12和角∠7相等</note>。<note>角∠12和角∠8互补，即角∠12 + 角∠8 = 180度</note>。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。


Question: 梯形 J K L M 的面积是 138 平方英尺。梯形 Q R S T 的面积是 5.52 平方英尺。如果梯形 J K L M \\sim 梯形 Q R S T，求 x 的值。

Answer: 1

1.已知梯形 J K L M 和梯形 Q R S T 相似，根据##相似多边形的面积比等于相似比的平方定理##，设梯形 J K L M 和梯形 Q R S T 的相似比为 k。

2. 根据面积比等于相似比平方的定理，得到面积比例关系 138 / 5.52 = k^2。

3. 计算比例 138 / 5.52 = 25，得到 k^2 = 25。

4. 求解相似比 k 的正数值，得到 k = 5。

5. 因为梯形 J K L M 和梯形 Q R S T 相似，对应边成比例，所以梯形##JKLM的边JK和梯形QTRS的边QT因对应5 成 5:1 比例## 。

6. 因此，x = 5 / 5 = 1。

7. 最后，得出 x 的值为 1。

相似图形的定义

如果两图形相似，那么它们对应边的比相等，对应角相等。

<note>图形JKLM和图形QTRS是相似图形</note>。根据相似图形的定义，它们对应边的比相等，即<note>边JK与边QT的比等于边ML与边RS的比</note>，且等于<note>边QR与边LK的比</note>。同时，它们对应的角也相等，即<note>角MLK等于角SRQ</note>，<note>角TQR等于角JKL</note>。

梯形的定义

梯形是一种四边形，有且仅有一对平行边。

<note>边 JK 和边 ML 是平行的</note>，而<note>边 JM 和边 KL 不平行</note>。因此，根据梯形的定义，四边形 J K L M 是一种梯形，因为它有且仅有一对平行边。四边形 Q R S T 中，<note>边 QT 和边 RS 是平行的</note>，而<note>边 QR 和边 ST 不平行</note>。因此，根据梯形的定义，四边形 Q R S T 是一种梯形，因为它有且仅有一对平行边。

相似多边形的面积比等于相似比的平方定理

如果两个相似多边形的边长比是k，那么它们的面积比等于k的平方

<note>多边形JKML和多边形QTRS是相似图形</note>，<note>边JK和边QT的比值为k</note>，即相似比为k。所以，<note>图形JKML的面积与图形QTRS的面积的比值等于k的平方</note>。即：<note>面积比 = k?</note>。######


Question: 求该图形的周长。

Answer: 32

1. 已知条件为直角梯形，##其中下底为4，高为8，上底为10。设该直角梯形为直角梯形ABCD##。

2. ##过点D向上做垂直于上底AB的线段DE。则AE、DE、AD构成三角形AED，因为DE⊥AB，所以∠DEA=∠DEB=90°，所以三角形AED为直角三角形且DE≌BC##。

3. ##又因为∠DEB=90°，所以四边形EBCD为矩形，根据矩形的定义，相对的边相等，所以EB=CD=4。又因为AE+EB=AB=10，所以AE=AB-EB=10-4=6##。

4. ##在直角三角形AED中，根据勾股定理（毕达哥拉斯定理），所以AD^2=AE^2+DE^2。已知AE=6，DE=BC=8，所以AD^2=36+64=100，解得：AD=10##。

5. ##根据多边形的周长公式，多边形的周长等于其所有边的长度之和。所以梯形ABCD的周长P=AB+BC+CD+AD=10+8+4+10=32##。

####

##6##. 经过上述推理，最终得出答案为32。

普通多边形; 直角三角形; 线段

直角梯形

两底边平行，且有一腰垂直于底边的梯形称为直角梯形。

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>在本题图中，三角形AED中，角AED是直角（90度），因此三角形AED是一个直角三角形</note>。<note>边AE和边ED是直角边</note>，<note>边AD是斜边</note>。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

在本题图中，<note>直角三角形AED中</note>，<note>角AED是直角（90度）</note>，<note>边AE和ED是直角边</note>，<note>边AD是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>AD² = AE² + ED²</note>。

矩形的定义

矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。


Question: 求 A B。

Answer: 6.25

1. ##由图可知角AEB和角CED相等，角BAE和角DCE相等，根据相似三角形的判定定理(AA)，则△ABE和△CDE相似。##

2. 由题意，给定AE = 5, ##AB## = x, CE = 8, ##DC## = 10，##根据相似三角形的定义，对应边成比例，则有AE/CE=AB/DC ##。

3. ##将已知数据代入上式可得：5/8=x/10##。

4. ##交叉相乘得：8x=50##。

5. ##化简得 x = 50/8## 。

6. ##计算得 x = 6.25##。

 ####

##7##. 经过上述推理，最终得出答案为AB = 6.25。

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>三角形ABE和三角形CDE是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>角BAE= 角DCE</note>, <note>角AEB = 角CED</note>, <note>角ABE = 角EDC</note>；<note>AE/CE = AB/DC= BE/ED</note>。

相似三角形的判定定理(AA)

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。


Question: 求 \\sin S。

Answer: 0.6

1. 已知三角形 △ STR 中， ∠ STR 为直角 （90度），TS = 4，TR = 3，SR = 5。##根据直角三角形的定义，△ STR 为直角三角形##。

2. 根据##正弦函数定义， 在Rt△ STR 中， ∠ S 的对边为 TR，斜边为 SR，则sin∠ S=TR/SR##。

####

##3##. 代入具体边长，得到 ##sin ∠ S = TR/SR = 3/5=0.6##。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

在本题图中，三角形 STR 中，<note>角 STR 是直角（90度）</note>，因此三角形 STR 是一个直角三角形。<note>边 TS 和边 TR 是直角边，边 SR 是斜边</note>。

正弦函数定义

在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。


Question: 求 x。

Answer: 1

1. ##由图可知，9x = 4x + 5 = 6x+3，根据等边三角形的定义，该图形为等边三角形##。

2. ##通过简化第一个方程 9x = 4x + 5，我们等式两边同时减去 4x 得到 5x = 5，即x=1##。

3. ##通过简化第二个方程4x + 5 = 6x+3，得到 -2x = -2，即x=1##。

4. ##通过简化第三个方程9x = 6x+3，得到 3x = 3，即x=1##。

5. 经过计算和推理，最终确定 x 的值为 1。

等边三角形的定义

等边三角形是所有三条边长度相等并且所有内角都相等（均为60°）的三角形。

在本题图中，三角形XWY是一个等边三角形。<note>边XW、边WY和边XY的长度相等</note>，并且<note>角WXY、角XYW和角YWX的度数相等，均为60°</note>。


Question: 用平行四边形找到b。

Answer: 11

1. 已知条件为四边形 XYZW 为平行四边形。根据平行四边形的性质##定理##，即平行四边形的对边相等，得出 WX = YZ 和 XY = WZ。

2. ##已知## WX = YZ， ##由图##可得：b + 11 = 2b。

3. 通过 b + 11 = 2b，解方程，有 b = 11。

4. 通过上述计算和平行四边形的性质，最终得出 b 的值为 11。

平行四边形的定义

平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。

<note>四边形 XYZW 是一个平行四边形</note>，<note>边 XY 与边 WZ 平行且相等</note>，<note>边 WX 与边 YZ 平行且相等</note>。

平行四边形的性质定理

在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。

<note>平行四边形 XYZW</note>中，<note>对角 ∠X 和 ∠Z 相等</note>，<note>对角 ∠W 和 ∠Y 相等</note>；<note>边 WX 和 YZ 相等</note>，<note>边 XY 和 WZ 相等</note>。


Question: \angle 6 和 \angle 8 是余角，m \angle 8 = 47。求 \angle 7 的度数。

Answer: 90

1. 已知条件为\( \angle 6 \)和\( \angle 8 \)互为余角，##所以两角之和为90度，因此有\(  \angle 6 +  \angle 8 = 90 \)度##。

2. ##根据平角的定义可知，\( \angle 6 +  \angle 7 +\angle 8 = 180 \)度，则有\( \angle 7  =180度 - 90度 \)##。

####

##3##. 经过上述推理，最终得出答案为90度。

邻补角; 对顶角; 直线

平角的定义

一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度。

<note>在本题图中，∠6，∠7，∠8组成一个平角</note>，即<note>∠6+∠7+∠8=180度</note>。####

余角

如果两个锐角的和是一个直角（90°）,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角。。

<note>在本题图中，两个锐角角6和角8的和是一个直角（90°）</note>,那么称角6和角8互为余角,简称互余,也可以说<note>角6是角8的余角</note>。##


Question: m \angle 4 = 42。求 m \angle 7。

Answer: 138

1. ##已知直线a∥直线b，设直线a和直线b被直线c所截##。

2. ##根据邻补角的定义，∠3和∠4互为邻补角，已知∠4=42°，∠3=180°-∠4=180°-42°=138°。

3. ##根据平行线的平行公理2和同位角定义，∠3=∠7。

####

##4##. 因此，得m∠7 = 138°。

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为m∠7 = 138°。

直线的定义

直线是一维的几何元素，没有宽度和厚度，且在两个方向上无限延伸。

在本题图中，<note>直线a</note>和<note>直线b</note>是一维的几何元素，没有宽度和厚度。它们在两个方向上无限延伸，不存在端点或边界。

平行线的定义

在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

<note>直线a和直线b位于同一平面内</note>，并且<note>它们没有交点</note>，因此根据平行线的定义，<note>直线a和直线b是平行线</note>。##

邻补角的定义

两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。

<note>角4和角3有一条公共边</note>，它们的<note>另一边互为反向延长线</note>，所以<note>角3和4互为邻补角</note>。

同位角定义

两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。

在本题图中，<note>两条平行直线a和b被一条直线c截交</note>，其中<note>角3和角4位于截线c的同旁，被截两直线a和b的同一侧</note>，因此<note>角3和角7是同位角</note>。<note>同位角相等</note>，即<note>角3等于角7</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

##在本题图中，两条平行线<note>a和b</note>被第三条直线<note>c</note>所截，形成了以下几何关系：
1. <note>同位角：角3和角7相等</note>。
2. <note>内错角：角4和角6相等</note>。
3. <note>同旁内角：角4和角5互补，即角4 + 角5 = 180度</note>。
这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。##


Question: \triangle B C D \cong \triangle W X Y。求x。

Answer: 3

1. 已知条件为##△BCD ≌ △WXY##，根据全等三角形对应角相等，得到角B对应角W，角C对应角X，角D对应角Y。

2. 因为角B = (24x + 5)°，而角W = 77°，所以根据角B = 角W，得到方程 (24x + 5) = 77。

3. 解方程 (24x + 5) = 77 得到 24x = 72。

4. 将方程 24x = 72 两边同时除以24，得到 x = 3。

5. 经过上述推理，最终得出答案为x = 3。

普通三角形; 对称; 平移

全等三角形的定义

两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等。

<note>△BCD ≌ △WXY</note> 表示三角形BCD与三角形WXY全等。这意味着 <note>边BC = 边WX</note>，<note>边CD = 边XY</note>，<note>边BD = 边WY</note>；<note>角B = 角W</note>，<note>角C = 角X</note>，<note>角D = 角Y</note>。