Question:
在矩形STUV中，对角线\$\overline{SU}\$和\$\overline{TV}\$在点W处相交，ST=36，TU=15，且SW=2.5x+2。

x的值是多少？

x= \$\\Box\$

Answer: x=7

1. 已知 STUV 是矩形，根据矩形的性质，对角线相等并相互平分，因此SU=TV，且点 W 是中点，即 SW=WU。

2. 矩形的对角线可以用矩形两边长度运用勾股定理来求得，因为在矩形中，对角线可以被看作是一个直角三角形的斜边。

3. 在直角三角形 STU 中，直角边 ST= 36 和 TU= 15，使用勾股定理： ST^2 + TU^2 = SU^2。

4. 计算得到 36^2 + 15^2 = SU^2（1296 + 225 = SU^2），所以 SU^2 = 1521。

5. 解 SU^2 = 1521 得 SU = 1521 = 39。

6. 因为对角线互相平分且 SW=WU，所以 SU = 2SW，即 39 = 2SW。

7. 已知 SW = 2.5x + 2，那么 2  (2.5x + 2) = 39。

8. 展开方程 5x + 4 = 39。

9. 解 5x + 4 = 39，得到 5x = 35。

10. 进一步解 5x = 35，可以得出 x = 7。

11. 经过上述推理，最终得出答案为 x = 7。

Definition of Rectangle

A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).

<note>四边形 STUV 是一个矩形</note>，其内角 <note>∠STU、∠TUV、∠UVS 和 ∠VST 都是直角（90度）</note>，且<note>边 ST 与边 UV 平行且等长</note>，<note>边 SV 与边 TU 平行且等长</note>。

Definition of Line Segment

A line segment is a portion of a straight line that includes two endpoints and all the points between them.

Pythagorean Theorem

In a right-angled triangle, the square of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of the two legs.

在本题图中，矩形 STUV 的对角线可以看作<note>直角三角形 STU 的斜边</note>。<note>直角边分别为ST = 36和TU = 15</note>，通过勾股定理：<note>ST^2 + TU^2 = SU^2</note>，可以算出<note>矩形的对角线 SU的长度</note>。


Question:
图中显示了四边形 JKLM 和对角线 \$\overline{JL}\$ 。边 \$\overline{JK}\$ 和 \$\overline{ML}\$ 平行且全等。

为了证明具有一对平行且全等边的四边形是平行四边形，Lindsey 首先想证明 △JKL≅△LMJ。Lindsey 可以在她的证明中使用哪些附加陈述？选择所有适用的陈述。

-  \$\\angle \$ KJL≅ \$\\angle \$ MJL
-  \$\\angle \$ JKL≅ \$\\angle \$ LMJ
- \$\\overline{KL}\$ ≅ \$\\overline{ML}\$
- \$\\overline{JK}\$ ≅ \$\\overline{KL}\$
- \$\\overline{JL}\$ ≅ \$\\overline{JL}\$
-  \$\\angle \$ KJL≅ \$\\angle \$ MLJ

根据你选择的陈述，Lindsey 将使用哪个全等定理来证明 △JKL≅△LMJ？

- Angle-Angle-Side
- Angle-Side-Angle
- Side-Angle-Side
- Side-Side-Side

Answer:
- \$\overline{JL}\$ ≅ \$\overline{JL}\$
-  \$\angle \$ KJL≅ \$\angle \$ MLJ

- Side-Angle-Side

1. 已知线段 \overline{JK} 和 \overline{ML} 平行且全等，根据“平行线的交错内角相等定理”，得 \angle KJL ≅ \angle MLJ。

2. 根据已知要求、以及 \overline{JL} 是 \triangle JKL 和 \triangle LMJ 的公共边，依据“自反性质”，得 \overline{JL} ≅ \overline{JL}。

3. 由上述推理可以得到：\triangle JKL 和 \triangle LMJ 具有两对对应边相等，并且夹角相等。因此根据“边角边全等定理（SAS全等定理）”，我们可以得出 \triangle JKL ≅ \triangle LMJ。

4. 因 \triangle JKL ≅ \triangle LMJ ， 所以四边形 JKLM 具有一对相对边平行且全等的性质，这样四边形 JKLM 的性质符合平行四边形的定义，因此四边形 JKLM 是一个平行四边形。

Definition of Parallel Lines

Two lines in the same plane that do not intersect are called parallel lines.

<note>线段 \overline{JK} 和 \overline{ML}</note> 位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据<note>平行线的定义</note>，<note>线段 \overline{JK} 和 \overline{ML}</note> 是平行线。

Definition of Congruent Triangles

Two triangles are congruent if and only if their corresponding sides are equal and their corresponding angles are equal.

<note>三角形 \triangle JKL 和三角形 \triangle LMJ 是全等三角形</note>，三角形 \triangle JKL 的对应边和对应角与三角形 \triangle LMJ 相等，即： <note>边 \overline{JK} = 边 \overline{ML}</note>，边 \overline{JL} = 边 \overline{JL}，<note>边 \overline{KL} = 边 \overline{MJ}</note>，同时，对应的角也相等： <note>角 \angle JKL = 角 \angle LMJ</note>，角 \angle KJL = 角 \angle MJL，角 \angle JLK = 角 \angle MLJ。

Definition of Parallelogram

A quadrilateral is a parallelogram if and only if it has two pairs of opposite sides that are both parallel (∥) and congruent (≅).

<note>四边形 JKLM 是一个平行四边形</note>，边 <note>\overline{JK} 与边 \overline{ML} 平行且相等</note>，边 <note>\overline{JM} 与边 \overline{KL} 平行且相等</note>。

Definition of Alternate Interior Angles

When a straight line (referred to as a transversal) intersects two parallel lines, the angles that are located between the two parallel lines but on opposite sides of the transversal are called alternate interior angles.

<note>两条平行直线 \overline{JK} 和 \overline{ML} 被直线 \overline{JL} 截交<note>，其中<note>角 \angle KJL 和角 \angle MLJ 位于两平行线之间，且在截线 \overline{JL} 的对侧<note>，因此<note>角 \angle KJL 和角 \angle MLJ 是内错角<note>。内错角相等，即<note>\angle KJL \cong \angle MLJ<note>。

Triangular Congruence Theorem (SAS)

If two sides and the included angle of one triangle are equal to two sides and the included angle of another triangle, then the two triangles are congruent.

<note>边 JK 与边 ML 相等</note>，<note>边 JL 与边 JL 相等</note>，且<note>夹角 ∠KJL 与夹角 ∠MLJ 相等</note>，因此根据全等三角形判定定理(SAS)，这两个三角形全等。


Question:
这个球体的表面积是多少？

请将你的答案四舍五入到最近的百分位。

\$
Box\$ 平方英尺

Answer: 804.25 square feet

1. 已知球的半径为8英尺，根据球的表面积公式S=4𝜋r^2，其中r表示球的半径，得出表面积S的计算公式。

2. 将球的半径代入公式：S=4∙𝜋∙(8)^2。

3. 计算8的平方，得到8^2=64。

4. 将计算结果代入表面积公式得：S=4∙𝜋∙64。

5. 计算4与64的乘积，得到4×64=256。

6. 将结果代入公式，得：S=256𝜋。

7. 利用𝜋≈3.14159进行近似计算，得到S≈256∙3.14159。

8. 计算结果为S≈804.24704。

9. 根据题目要求将结果四舍五入至最近的百分位。

10. 得到最终结果为S≈804.25平方英尺。

11. 经过上述推理，最终得出答案为804.25平方英尺。

Definition of Sphere

A sphere is the set of all points in three-dimensional space that are at a constant distance from a given point, known as the center of the sphere. This constant distance is called the radius of the sphere.

<note>球面任意点到球心的距离是球的半径</note>。所有到球心距离等于半径的点组成了球的表面。因此，<note>球是以球心为中心的所有等距离点所组成的集合</note>。

Radius of a Sphere

The radius R of a sphere is the distance from the center of the sphere to any point on its surface.

在本题图中，<note>球体表面上的任意一点到球的中心的线段是球的半径</note>。根据球的半径的定义，<note>球的半径R是球体从中心到任意表面点的距离</note>，因此<note>线段的长度就是球的半径R</note>。

Sphere Surface Area Formula

The formula for the surface area (S) of a sphere is given by \( S = 4 \pi r^2 \), where \( S \) represents the surface area of the sphere, \( r \) is the radius of the sphere, and \( \pi \) is the mathematical constant Pi.

在本题图中，球体中，<note>半径r表示球的半径</note>，<note>表面积S表示球的表面积</note>，根据球的表面积公式，S = 4 * π * r^2，其中π是圆周率。因此，<note>球体的表面积S等于4倍的π乘以半径r的平方</note>。


Question:
Jen 带着她的新帐篷去露营。帐篷的形状像一个三棱柱，如下图所示。她需要给帐篷的外表面进行防水处理：前面、后面、侧面和底部。每盎司防水喷雾覆盖800平方英寸的材料。四舍五入到最接近的盎司，Jen 需要多少盎司的防水喷雾？

 \$ox\$  盎司

Answer: 34 ounces

1. 已知该三角棱柱的三角形底面是一个等腰三角形，其中两腰长都为70英寸，底边长为84英寸，其高为56英寸，且该棱柱的高为100英寸。

2. 先求三角形底面的面积。根据三角形的面积公式：面积A = 1/2 × 底 × 高，该三角形的底为84英寸，高为56英寸，因此面积A = 1/2 × 84 × 56 = 2,352平方英寸。

3. 接着，求三角形底面的周长，共有三条边：70英寸，70英寸，和84英寸。根据三角形的周长公式，则三角形周长P = 70 + 70 + 84 = 224英寸。

4. 计算三角棱柱的表面积。根据棱柱表面积公式：表面积S = P × 高 + 2 × 底面面积，其中P为底面周长，'高'为棱柱的高度，底面面积为先前求得的面积。

5. 代入数据进行计算：表面积S = 224 × 100 + 2 × 2,352 = 22,400 + 4,704 = 27,104平方英寸。

6. 每盎司防水喷雾可以覆盖800平方英寸材料。需喷洒的总面积为27,104平方英寸。因此，所需盎司数为27,104 ÷ 800 = 33.88。

7. 根据四舍五入原则，将得到的值33.88向上取整，结果为34。

8. 经过上述推理，最终得出答案为34盎司。

Definition of Triangle

A geometric figure is called a triangle if it is formed by three non-collinear points and the line segments connecting them.

<note>底面三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形</note>。底面三角形的三条边分别是<note>70英寸，70英寸和84英寸</note>，其中<note>两腰相等，形成等腰三角形</note>。<note>三角形的三个顶点分别是底边的两个端点和高的顶点</note>，<note>线段分别是两腰和底边</note>。

Definition of Isosceles Triangle

A triangle is an isosceles triangle if and only if it has at least two congruent (≅) sides.

<note>底面三角形的两条边分别是70英寸和70英寸</note>，它们相等，因此<note>该底面三角形是一个等腰三角形</note>。

Definition of Prism

A prism is a polyhedron with two parallel and congruent polygonal bases, and all other faces are parallelograms.

<note>整个帐篷</note>是一个<note>三角棱柱</note>，底面是<note>两个相同的等腰三角形</note>，侧面是<note>三个矩形</note>。

Surface Area Formula of a Prism

The surface area formula for a prism is given by: \( S = Ph + 2B \), where \( P \) denotes the perimeter of the base, \( h \) is the height of the prism, and \( B \) represents the area of the base.

<note>底面三角形周长P = 224英寸</note>，<note>高H = 100英寸</note>，<note>底面面积A = 2,352平方英寸</note>。<note>表面积S = 224 × 100 + 2 × 2,352 = 22,400 + 4,704 = 27,104 平方英寸</note>。

Area Formula of a Triangle

The area of any triangle is equal to its base multiplied by its height, divided by 2.

<note>84英寸是底，56英寸是该底上的高</note>，所以三角形的面积等于底乘以高除以2，即面积 = (84 * 56) / 2。

Formula for the Perimeter of a Triangle

The perimeter of a triangle is the sum of the lengths of its three sides. Therefore, if the three sides of the triangle are denoted as \( a \), \( b \), and \( c \), then the perimeter \( P \) is given by \( P = a + b + c \).

在本题图中，三角形中，<note>三条边分别是70英寸，70英寸，和84英寸</note>，根据三角形的周长公式，即 <note>周长L = 70 + 70 + 84</note>。


Question:
Lester 想证明如果一对对边平行且全等，那么四边形就是平行四边形。为了开始他的证明，他画了四边形 PQRS，其中 \$\overline{PQ}\$ ∥ \$\overline{SR}\$ 且 \$\overline{PQ}\$ ≅ \$\overline{SR}\$ 。他还画了对角线 \$\overline{QS}\$ 。

完成证明 PQRS 是平行四边形。
在四边形 PQRS 中， \$\overline{PQ}\$ ∥ \$\overline{SR}\$ 且 \$\overline{PQ}\$ ≅ \$\overline{SR}\$ 。根据交替内角定理， \$\Box\$ 。此外，根据 \$\Box\$ ， \$\overline{QS}\$ ≅ \$\overline{QS}\$ 。因此，根据 \$\Box\$ 全等定理，△PQS≅△RSQ。
由于全等三角形的对应部分全等，\$\angle \$ PSQ≅ \$\Box\$ 。因此，根据 \$\Box\$ 的逆定理，\$\Box\$ 。因此，PQRS 是平行四边形，因为它有两对平行边。

Answer:
In quadrilateral PQRS,  \$\overline{PQ}\$ ∥ \$\overline{SR}\$  and  \$\overline{PQ}\$ ≅ \$\overline{SR}\$ . By the Alternate Interior Angles Theorem,  \$\angle \$ PQS≅ \$\angle \$ RSQ. Also,  \$\overline{QS}\$ ≅ \$\overline{QS}\$  by the Reflexive Property of Congruence. So, by the Side-Angle-Side Congruence Theorem, △PQS≅△RSQ.
Since corresponding parts of congruent triangles are congruent,  \$\angle \$ PSQ≅ \$\angle \$ RQS. So, by the Converse of the Alternate Interior Angles Theorem,  \$\overline{PS}\$ ∥ \$\overline{QR}\$ . So, PQRS is a parallelogram because it has two pairs of parallel sides.

1. 在四边形PQRS中，已知线段PQ平行于线段SR（即，\overline{PQ} ∥ \overline{SR}），且线段PQ全等于线段SR（即，\overline{PQ} ≅ \overline{SR}）。

2. 通过补充线划分对角线\overline{QS}，构成两个三角形△PQS和△RSQ。

3. 根据'内错角相等定理'（Alternate Interior Angles Theorem），当平行线被一条横截线相交时，产生的内错角相等。因此，在本题中，\angle PQS ≅ \angle RSQ。

4. 根据'全等的自反性质'（Reflexive Property of Congruence），任何几何图形全等于自身。因此，\overline{QS} ≅ \overline{QS}。

5. 现在我们知道△PQS和△RSQ具有两对全等对应的边，并且这些边之间的夹角也全等。因此，根据'边-角-边全等定理'（Side-Angle-Side Congruence Theorem），△PQS ≅ △RSQ。

6. 由于全等三角形的对应部分相等（Corresponding parts of congruent triangles are congruent, CPCTC），所以\angle PSQ ≅ \angle RQS。

7. 根据'内错角相等的逆定理'（Converse of the Alternate Interior Angles Theorem），当两条直线被一条横截线所截并且产生的内错角相等时，这两条直线平行。因此，\overline{PS} ∥ \overline{QR}。

8. 因此，由于四边形PQRS具有两对平行的对边，它是一个平行四边形。

Definition of Parallelogram

在本题图中，四边形PQRS中，<note>\overline{PQ} ∥ \overline{SR}</note>且<note>\overline{PS} ∥ \overline{QR}</note>，因此根据平行四边形的定义，<note>PQRS是一个平行四边形</note>。

Definition of Alternate Interior Angles

<note>两条平行直线PQ和SR被一条直线QS截交</note>，其中<note>角PQS和角RSQ位于两平行线之间，且在截线QS的对侧</note>，因此<note>角PQS和角RSQ是内错角</note>。内错角相等，即<note>角PQS等于角RSQ</note>。

Triangular Congruence Theorem (SAS)

<note>三角形PQS和三角形RSQ</note>中，<note>边PQ与边SR相等，边QS与边QS相等，且夹角PQS与夹角RSQ相等</note>，因此根据全等三角形判定定理(SAS)，这两个三角形全等。

Definition of Congruent Triangles

<note>三角形PQS和三角形RSQ是全等三角形</note>，三角形PQS的对应边和对应角与三角形RSQ相等，即：
<note>边PQ = 边SR</note>
<note>边PS = 边RQ</note>
<note>边QS = 边QS</note>，
同时，对应的角也相等：
<note>角PQS = 角RSQ</note>
<note>角PSQ = 角RQS</note>
<note>角QPS = 角QRS</note>.


Question:
一个棱柱的高度为4厘米。它的底面如图所示。

棱柱的表面积是多少？

 \$ox\$ 平方厘米

Answer: 180 square centimeters

1. 已知三棱柱的底面为一个直角三角形，三边分别为5厘米，12厘米和13厘米，且该三棱柱的高为4厘米。

2. 根据已知条件并结合勾股定理的逆定理（即如果三角形的两边长分别为a和b，斜边为c，则满足a² + b²  = c² ），因为5²  + 12²  = 13² ，即25 + 144 = 169成立，所以此三角形为直角三角形，直角边为5厘米和12厘米，斜边为13厘米。

3. 该直角三角形的面积B可以通过三角形面积公式B = 1/2 * 底 * 高计算，其中底和高分别为5厘米和12厘米，故B = 1/2 * 5 * 12 = 30 平方厘米。

4. 该直角三角形的周长P为5+12+13=30厘米，可以确定棱柱的侧面面积。

5. 三棱柱的表面积S由两个三角形底面面积和三个长方形侧面面积组成，具体公式为S = 周长P * 高度h + 2 * 底面面积B，其中高度h为4厘米。

6. 代入已知条件S=30 * 4 + 2 * 30，于是S = 120 + 60 = 180 平方厘米。

7. 因此，这个三棱柱的表面积为180平方厘米。

Definition of Prism

<note>在本题图中，这个几何体是一个三棱柱</note>，<note>底面是直角三角形</note>，<note>三个侧面是长方形</note>。<note>顶面和底面的形状和面积相等</note>，<note>侧面与底面垂直</note>。

Definition of Right Triangle

A triangle is classified as a right triangle if it has one interior angle measuring exactly 90 degrees.

<note>三角形的两条边分别为5厘米和12厘米</note>，<note>这两条边所夹的角是直角（90度）</note>，因此该三角形是一个直角三角形。<note>边5厘米和边12厘米是直角边</note>，<note>边13厘米是斜边</note>。

Pythagorean Theorem

<note>底面三角形的两直角边分别长5厘米和12厘米</note>，<note>斜边长13厘米</note>，满足<note>5² + 12² = 13²</note>即<note>25 + 144 = 169</note>，因此确认<note>底面是直角三角形</note>。

Surface Area Formula of a Prism

<note>底面的面积分别是30平方厘米</note>，<note>底面的周长为5 + 12 + 13 = 30厘米</note>，<note>高度为4厘米</note>。因此棱柱的表面积S = 2 * 30平方厘米 + 30厘米 * 4厘米 = 60平方厘米 + 120平方厘米 = 180平方厘米。

Converse of the Pythagorean Theorem

If the sum of the squares of two sides of a triangle is equal to the square of the third side, then the triangle is a right triangle, and the angle opposite to the longest side is a right angle.

在本题图中，已知三角形的三边分别为a、b、c，且满足<note>c² = a² +b²</note>，则根据勾股定理的逆定理，<note>三角形是直角三角形</note>。


Question:
一个圆柱体的表面积是140𝜋平方毫米。如下图所示。

圆柱体的高度是多少？

 \$ox\$ 毫米

Answer: 9 millimeters

1. 已知圆柱的表面积为140π平方毫米，圆柱的半径为5毫米。

2. 使用圆柱的表面积公式：S = 2πr^2 + 2πrh，其中S是表面积，r是半径，h是高度。

3. 将已知数值代入公式：140π = 2π(5)^2 + 2π(5)h。

4. 计算2π(5)^2，得到50π。因此，公式变为140π = 50π + 10πh。

5. 移项得：140π - 50π = 10πh。

6. 计算140π - 50π，得到90π。因此，有90π = 10πh。

7. 两边同时除以10π，得出h = 9。

8. 经过上述推理，最终得出答案为9毫米。

Cylinder

A cylinder is a geometric solid consisting of two parallel and congruent circular bases and a curved lateral surface connecting the bases.

<note>圆柱体由两个平行且相同的圆形基底和一个侧面组成</note>。基底是<note>两个完全相同的圆形</note>，它们的<note>半径为5毫米</note>，且它们的<note>中心在同一条直线上</note>。侧面是一个矩形，当展开时，<note>其高度等于圆柱体的高h</note>，<note>宽度等于圆周的周长</note>。

Surface Area Formula for a Cylinder

The surface area of a cylinder is equal to the sum of the areas of the two bases and the lateral surface area. The total surface area (SA) is given by the formula: SA = 2πr² + 2πrh, where r is the radius of the base circle, and h is the height of the cylinder.

<note>圆柱的表面积计算公式</note>为S = 2πr^2 + 2πrh，其中<note>r = 5毫米</note>，<note>S = 140π平方毫米</note>。

Area Formula of a Circle

The area of a circle is given by the formula A = πr², where A represents the area, π (pi) is the mathematical constant approximately equal to 3.14159, and r is the radius of the circle.

<note>圆柱体的底面是一个圆</note>，圆的半径<note>是5毫米</note>，根据圆的面积公式，圆的面积A等于<note>圆周率π</note>乘以<note>半径5</note>的平方，即A = π(5)² = 25π平方毫米。


Question:
一个圆锥的斜高为21毫米。其底面如图所示。

圆锥的表面积是多少？
请用𝜋表示精确答案。

\$ox\$ 𝜋/平方毫米

Answer: 162𝜋 square millimeters

1. 根据题目描述，该圆锥的底面半径为6毫米，母线长为21毫米。

2. 圆锥的表面积公式为底面面积加上侧面积。

3. 底面为一个圆，圆的面积公式为A=πr^2，其中r为圆的半径，因此底面面积A=π*(6^2)=36π平方毫米。

4. 侧面积为一个圆锥的展开扇形的面积，公式为Al=πrℓ，其中r是底面半径，ℓ是母线长，因此侧面积为Al=π*6*21=126π平方毫米。

5. 圆锥的总表面积S为底面面积加侧面积，即S=36π+126π=162π平方毫米。

6. 经过上述推理，最终得出答案为162π平方毫米。

Definition of Radius

A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.

<note>底面圆的半径</note>为6毫米，即<note>从圆心（图中黑色点）到圆周上的任意一点的距离</note>为6毫米。

Generatrix

The generatrix of a cone is the line segment that joins a point on the circumference of the base to the apex.

在本题中，<note>圆锥的母线长为21毫米</note>，即<note>从圆锥顶点到底面圆周上任意一点的距离为21毫米</note>。母线是圆锥中<note>从底面圆周上的一点到顶点的线段</note>。

Formula for the Area of a Sector

The area \( X \) of a sector can be calculated using the formula \( X = \frac{\theta}{360} \times \pi \times r^2 \), where \( \theta \) is the measure of the central angle in degrees, and \( r \) is the radius length.

<note>圆锥的侧面积展开为一个扇形</note>，这个<note>扇形的半径为底面圆的半径6毫米</note>，<note>扇形的弧长为圆锥的母线21毫米</note>。计算公式为<note>Al = πrℓ</note>，因此侧面积为<note>π*6*21 = 126π平方毫米</note>。

Area Formula of a Circle

<note>圆的半径是6毫米</note>，根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以半径6的平方，即<note>A = π6²</note>。

Formula for the Surface Area of a Cone

The total surface area of a cone is equal to the sum of the base area and the lateral surface area.

<note>圆锥底面是一个圆</note>，其半径为<note>6毫米</note>，底面积为<note>π*(6^2)=36π平方毫米</note>。<note>圆锥的侧面展开后是一个扇形</note>，其半径为<note>斜高21毫米</note>，扇形的弧长等于<note>底面的周长2π*6=12π毫米</note>。侧面积等于<note>扇形的面积，即π*6*21=126π平方毫米</note>。圆锥的总表面积等于底面积加上侧面积，所以总表面积为<note>36π + 126π = 162π平方毫米</note>。


Question:
一个三棱柱如图所示。

三棱柱的表面积是多少？

 \$ox\$ 平方毫米

Answer: 888 square millimeters

1. 已知三棱柱的三角形底面两条边的长度均为10毫米，第三边为16毫米。根据题意，底面三角形为等腰三角形，因此两条短边均为10毫米，底边为16毫米。

2. 通过已知底边为16毫米、高为6毫米，利用三角形面积公式计算底面面积：A = 1/2 * base * height = 1/2 * 16毫米 * 6毫米 = 48平方毫米。

3. 计算底面三角形的周长，利用周长公式：P = a + b + c。将三边长度代入：P = 10毫米 + 10毫米 + 16毫米 = 36毫米。

4. 因为该几何体为三棱柱，因此棱柱高为22毫米。利用三棱柱表面积公式：S = Ph + 2B。其中P为底面周长，h为棱柱高度，B为底面面积。

5. 代入各值：S = 36毫米 * 22毫米 + 2 * 48平方毫米 = 792平方毫米 + 96平方毫米 = 888平方毫米。

6. 经过上述推理，最终得出答案为888平方毫米。

Definition of Isosceles Triangle

<note>底面三角形的两条边均为10毫米</note>，<note>底边为16毫米</note>，因此这个三角形是一个等腰三角形。

Surface Area Formula of a Prism

在本题图中，<note>底面三角形的周长为36毫米</note>，<note>棱柱高度为22毫米</note>，<note>底面面积为48平方毫米</note>，因此表面积为<note>36毫米 * 22毫米 + 2 * 48平方毫米 = 888平方毫米</note>。

Area Formula of a Triangle

在本题图中，三棱柱底边的三角形中，<note>边16mm是底</note>，<note>线段6mm是该底上的高</note>，所以三角形的面积等于<note>底16mm乘以高6mm除以2</note>，即面积 = (16 * 6) / 2。


Question:
一个圆锥如图所示。

圆锥的表面积是多少？
用𝜋表示准确答案。

 \$ox\$ 𝜋/平方英寸

Answer: 216𝜋 square inches

1. 已知底面直径为18英寸，因此底面半径r为18/2=9英寸。

2. 已知斜高𝓁为15英寸。

3. 圆锥的表面积S的计算公式为S=𝜋r^2 + 𝜋r𝓁，其中𝜋r^2是底面圆的面积，𝜋r𝓁是侧面积。

4. 计算底面圆的面积，𝜋r^2=𝜋×9^2=81𝜋。

5. 计算侧面积，𝜋r𝓁=𝜋×9×15=135𝜋。

6. 将底面圆的面积和侧面积相加，得到表面积S=81𝜋+135𝜋=216𝜋。

7. 经过上述推理，最终得出答案为216𝜋平方英寸。

Definition of Radius

<note>底面圆的半径为r</note>，由<note>底面直径18英寸</note>得出<note>r=18/2=9英寸</note>。<note>底面圆的半径是指从圆心到圆周上任意一点的线段的长度</note>。

Definition of Diameter

A diameter is a line segment that passes through the center of a circle and has its endpoints on the circle. It is the longest chord of the circle, with a length equal to twice the radius of the circle.

Generatrix

<note>圆锥的斜高为15英寸</note>，<note>斜高即为母线</note>。

Area Formula of a Circle

<note>底面圆的半径是9英寸</note>，根据<note>圆的面积公式</note>，圆的面积A等于圆周率π乘以<note>半径9的平方</note>，即A = π9²。

Lateral Surface Area of a Cone

The lateral surface area \(A\) of a cone is calculated using the formula \(A = \pi r l\), where \(r\) is the radius of the base circle and \(l\) is the slant height of the cone.

Formula for the Surface Area of a Cone

在本题图中，<note>圆锥的底面是一个圆</note>，其<note>半径为9英寸</note>，<note>底面积为π×9²=81π平方英寸</note>。<note>圆锥的侧面展开后是一个扇形</note>，其<note>半径为斜高15英寸</note>，<note>扇形的弧长等于底面的周长2π×9=18π英寸</note>。侧面积等于<note>扇形的面积</note>，即<note>π×9×15=135π平方英寸</note>。圆锥的<note>总表面积等于底面积加上侧面积</note>，所以<note>总表面积为81π+135π=216π平方英寸</note>。


Question:
m \$\\angle \$ DGE是多少？

m \$\\angle \$ DGE= \$\\Box\$ °

Answer: m \$\angle \$ DGE=90°

1. 在圆心G的圆中，∠EGF、∠DGE和∠DGF是以G为圆心的圆心角。根据圆的角度性质，圆心角之和是360°。

2. 根据题中信息，已知∠EGF = 150°，∠DGF = 120°。所以可以用方程表示所有三个角的和：m ∠EGF + m ∠DGE + m ∠DGF = 360°。

3. 将已知的角度值代入到方程中：150° + m ∠DGE + 120° = 360°。

4. 合并已知角度的和：270° + m ∠DGE = 360°。

5. 通过从等式两边减去270°，解得：m ∠DGE = 360° - 270° = 90°。

6. 因此，经过上述推理，最终得出答案为90°。

Definition of Central Angle

An angle formed by two radii connecting two points on the circumference of a circle to the center of the circle is called a central angle.

Angle Properties of a Circle

The total measure of the angles in a complete circular arc is 360 degrees, and the sum of the central angles subtended by the entire circumference of a circle is 360 degrees.


Question: m \$\\angle \$ IGJ?

Answer: m \$\angle \$ IGJ=55°

1. 在圆内，有四个角：∠IGJ, ∠JGK, ∠HGK, ∠HGI。这四个角是围绕点G的全部角，因此它们的和等于360°。

2. 根据圆中心角的总和为360°，可以列出方程：∠IGJ + ∠JGK + ∠HGK + ∠HGI = 360°。

3. 在图中，给出了∠JGK = 65°，∠HGK = 90°，∠HGI = 150°。将这些角度代入方程：∠IGJ + 65° + 90° + 150° = 360°。

4. 计算和：65° + 90° + 150° = 305°。

5. 将305°代入方程得到：∠IGJ + 305° = 360°。

6. 从两边同时减去305°，方程简化为：m∠IGJ = 360° - 305°。

7. 计算得出：∠IGJ = 55°。经过上述推理，最终得出答案为55°。


Question:
m \$rown{UV}\$ 是多少？

m \$rown{UV}\$ = \$ox\$ °

Answer: m \$\overset{\frown}{UV}\$ =140°

1. 已知圆周上有三个弧，分别是弧TV、弧UV和弧TU，它们由点V、U和T划分而成。根据图中标注，弧TV的度数为90°，弧TU的度数为130°。

2. 根据圆的角度性质，圆周一周的总角度为360°。由此可得方程：m(∠TV) + m(∠UV) + m(∠TU) = 360°。

3. 将已知的信息代入方程，得到：90° + m(∠UV) + 130° = 360°。

4. 合并方程中的已知项，90° + 130° = 220°，因此更新方程为：m(∠UV) + 220° = 360°。

5. 从方程两边同时减去220°，得到：m(∠UV) = 360° - 220°。

6. 计算得：m(∠UV) = 140°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为m(∠UV) = 140°。

Definition of Arc

An arc is a curve on a circle that is defined by two distinct points on the circle.


Question: m \$\\overset{\\frown}{GH}\$ 是多少？

Answer: m \$\overset{\frown}{GH}\$ =80°

1. 设圆为圆O，已知弧FG的度数 = 145°, 弧EH的度数 = 70°, 弧EF的度数 = 65°。

2. 根据圆的角度性质，弧FG弧GH弧HE弧EF绕圆一周，弧度和为360度。

3. 由题图可知，圆周圆弧FG + GH + EH + EF = 360°。

4. 将已知的弧度替换入相加公式中，得：145° + GH + 70° + 65° = 360°。

5. 合并已知角度值，我们有145° + 70° + 65° = 280°。

6. 原方程化简后得：GH + 280° = 360°。

7. 通过减去280°，我们推导出：GH= 360° - 280°。

8. 计算得到GH= 80°。

9. 经过上述推理，最终得出答案为80°。

在本题图中，圆上有<note>两点G和H</note>，<note>弧GH是连接这两点的一段曲线</note>。根据弧的定义，<note>弧GH是圆上两点G和H之间的一段曲线</note>。

Definition of Central Angle

在本题图中，圆中，点G、H、E、F是圆上的四个点，<note>圆心是点O</note>。<note>连线OG和OH组成的角∠GOH</note>称为圆心角。同理，<note>连线OE和OH组成的角∠EOH</note>，<note>连线OE和OF组成的角∠EOF</note>也是圆心角。


Question:
看这个形状：哪个图像显示了旋转？

| A | B | C |
- A
- B
- C
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题,，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）

Answer: A

1. 首先观察给定的原始图形。这是一个位于平面直角坐标系第一象限的四边形。

2. 选择选项A中的图形，并观察其相对于原始图形的变化。

3. 根据旋转变换的定义，图形旋转是指图形绕某个固定点旋转一定角度。在选项A中，观察到图形是相对于原始图形顺时针旋转90度。可以从图形的方位变化判断。

4. 选择选项B中的图形，并观察其相对于原始图形的变化。

5. 选项B显示的是一个对称图形，符合反射变换的定义，即图形关于某一对称轴的镜像。因此选项B不是旋转。

6. 选择选项C中的图形，并观察其相对于原始图形的变化。

7. 选项C中的图形通过平移（沿着向下2个单位和向右1个单位）从原始图形获得，根据平移变换的定义，图形的位置发生了改变，但没有旋转。因此选项C也不是旋转。

8. 经由上述分析，选项A中展示的变化符合旋转的定义，即图形相对于原始位置顺时针旋转90度，而不是平移或对称。因此，选项A显示了一个旋转。

9. 经过上述推理，最终得出答案为A。

Rotation Transformation

A rotation involves rotating a geometric figure around a fixed point, known as the center of rotation, through a specified angle. The new coordinates of the points after rotation can be obtained using specific transformation formulas.

<note>选项A中的图形是相对于原始图形顺时针旋转90度</note>。<note>固定点位于原始图形的顶点</note>，<note>旋转角度为90度</note>，因此选项A符合旋转变换的定义。

Reflection Transformation

A reflection transformation is a type of geometric transformation that flips a figure over a specific line known as the line of reflection. After the reflection transformation, the coordinates of each point on the figure are changed to the coordinates of its corresponding point symmetrically across the line of reflection.

<note>图形关于某一对称轴的镜像</note>，这符合<note>反射变换的定义</note>，因此选项B不是旋转。

Definition of Translation

A translation is a geometric transformation where a figure is moved in the plane along a certain direction, without altering its shape and orientation.

<note>选项C展示了图形沿着向下2个单位和向右1个单位的方向进行平移</note>。这符合平移变换的定义，因此<note>选项C不是旋转</note>。

Rotation Invariance Theorem

Certain geometric figures will coincide with their original position after being rotated by a specific angle. This property is known as rotational invariance.

<note>选项A中的图形经过旋转变换后，其形状和大小与原始图形保持一致，只是位置发生了变化</note>，符合旋转不变性定理。

Reflection Transformation

<note>在本题图中，选项B中的图形经过关于对称轴的镜像变换后</note>，符合镜像对称定理，<note>图形在对称轴两侧保持对称</note>，但不是旋转。

Translation Invariance Theorem

After a translation transformation, the shape and size of the figure remain unchanged, but its position is altered.

在本题图中，<note>选项C中的图形经过平移变换</note>，<note>形状和大小与原始图形保持一致</note>，<note>只是位置发生了改变</note>，符合<note>平移不变性定理</note>。


Question:
观察这个图形：哪个图像显示了反射？

| A | B | C |
- A
- B
- C
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题，无需其他内容（也无需用’问题：‘开头）

Answer: C

1. 观察原始图形形状，如图所示的四边形之一的形状。

2. 查看选项图像A，可以观察到该图形经过了一个90°逆时针旋转。这个变换属于旋转，而不是反射。

3. 查看选项图像B，可以观察到该图形沿着竖直方向移动了2个单位。这个变换属于平移，而不是反射。

4. 查看选项图像C，可以观察到该图形和原始图形在水平方向上是对称的，像镜像映射。这个变换属于反射。

5. 由以上分析可得出选项C为正确答案，因为它展示了原始图形的一个反射。

Rotation Transformation

<note>选项A中的图形是原图形绕原点逆时针旋转了90°</note>，因此不是反射。

Definition of Translation

<note>选项B中的图形</note>是原图形<note>沿竖直方向向上平移了2个单位</note>，因此不是反射。

Reflection Transformation

<note>选项C中的图形</note>是原图形<note>以垂直于水平轴的镜像反射过来的</note>，因此是正确答案。

在本题图中，选项C反映了图形通过<note>水平方向上的反射</note>，验证了反射定理，即<note>原图形和反射后的图形形状和大小保持一致</note>，而<note>位置互相对应</note>。比如<note>原图形的顶点A在反射后的对称位置上</note>，即<note>坐标(1,1)映射至(7,1)</note>，以此类推。


Question:
观察这个图形：哪个图像显示了平移？

| A | B | C |
- A
- B
- C
要求：
1. 务必严格保持所有数学符号不翻译
2. 图形标注（如ABCD）不翻译
3. 输出格式：直接返回翻译后的中文问题，无需其他内容（也无需用‘问题：’开头）

Answer: B

1. 观察给定图形和三个选项图形，目标是找出一种经过平移变换后与源图形一致的选项。

2. 首先查看选项A，分析其相对于源图形的变化：形状发生了旋转，判断为旋转变换。

3. 查看选项B，观察形状相对源图形没有发生旋转或翻转，仅相对于原图向下移动了，与平移变换描述一致，因此是平移。

4. 查看选项C，注意到形状相对于原图进行了镜像反射，判断为反射变换。

5. 根据以上分析，选项B是三个选项中唯一符合平移（translation）定义的选项。

6. 经过上述推理，最终得出答案为选项B。

Definition of Translation

在本题图中，原图形和选项B中的图形经过<note>平移变换</note>后没有发生形状和大小的变化，仅有位置的改变。表示原图形中的某<note>点P经过平移变换后到了点P'</note>的位置。<note>点P和P'的位置关系等距且方向一致</note>，例如原三角形的<note>顶点A经过平移变换后移动到A'的位置</note>，且<note>其他顶点也相应平移同等距离和方向</note>。

Rotation Transformation

<note>原图形</note>经过<note>旋转变换</note>，由原来的位置旋转了特定的角度，且<note>旋转过程中图形的形状和大小保留不变</note>。例如，<note>原三角形顶点A、B、C旋转到新的位置A'、B'、C'</note>，保持<note>原三角形的形状和大小</note>。

Reflection Transformation

<note>原图形经过镜像反射变换</note>，相对于某条<note>镜像线发生反射</note>。例如<note>原三角形顶点A、B、C相对于镜像线反射到新的位置A'、B'、C'</note>，保持原三角形的形状和大小。


Question:
m \$\\angle \$ FEG是多少？

m \$\\angle \$ FEG= \$\\Box\$ °

Answer: m \$\angle \$ FEG=105°

1. 根据题目提供的圆形图，可以看到点E为圆心，点F、G、H均位于同一圆周上，并且线段EF、EG、EH构成以E为中心的三个角：角FEG、角GEH、角FEH。

2. 知道角GEH的度数为130°，角FEH的度数为125°。这些角以E为中心围绕一周构成圆心，所以它们的度数和应该是360°。

3. 根据圆的角度性质：在一个圆中，以圆心为顶点的角度和为360°，所以我们可以得到方程：m∠FEG + m∠GEH + m∠FEH = 360°。

4. 将已知值m∠GEH=130°和m∠FEH=125°代入方程，得到：m∠FEG + 130° + 125° = 360°。

5. 计算方程右边的已知角度和：130° + 125° = 255°。

6. 将方程简化为：m∠FEG + 255° = 360°。

7. 通过将255°从两边消去，得到m∠FEG = 360° - 255°。

8. 计算360° - 255°的结果，得到m∠FEG = 105°。

9. 经过上述推理，最终得出答案为105°。

Angle Properties of a Circle

<note>弧GF弧HF弧GH绕圆一周</note>，弧度和为360度，其对应的<note>圆周角之和也为360度</note>，即<note>角FEG + 角FEH + 角GEH = 360度</note>，则<note>角FEG = 105度</note>。


Question:
\$\overline{AB}\$ 如下图所示。\$\overline{AB}\$ 以 (9,–1) 为中心按比例因子 1/2 缩放得到 \$\overline{A'B'}\$ 。

\$\overline{A'B'}\$ 的长度是多少？
请将答案写成整数或四舍五入到最接近的十分位的小数。

\$\Box\$ 单位

Answer: 6.4 units

1. 已知直线段线段AB}的两个端点为A(-8, -5)和B(2, 3)。要计算线段A'B'的长度，我们首先需要找到AB的长度。

2. 根据两点之间的距离公式：AB=√{(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2}，将A(-8, -5)和B(2, 3)代入，计算得：√{(2 - (-8))^2 + (3 - (-5))^2}。

3. 计算括号中的数值：(2 - (-8)) = 10 和 (3 - (-5)) = 8。因此，我们需要计算√{10^2 + 8^2}。

4. 继续计算平方和：10^2 = 100 和 8^2 = 64，因此有√{100 + 64} =√{164}。

5. 计算√{164}的近似值，使用计算器得出√{164} 约等于 12.806。AB的长度为12.806。

6. 题目要求计算A'B'，已知AB经过以(9, -1)为中心，缩放因子为1/2的放缩变换。

7. 根据直角坐标系中的缩放因子定义，A'B'的长度为AB的长度乘以缩放因子1/2，即A'B'= 1/2 * 12.806。

8. 计算得1/2 * 12.806 = 6.403。

9. 将6.403四舍五入到最接近的十分位，得到A'B'的近似长度为6.4个单位长度。

10. 经过上述推理，最终得出答案为6.4个单位长度。

Distance Formula Between Two Points

In a Cartesian coordinate plane, the distance \( d \) between two points \((x_1, y_1)\) and \((x_2, y_2)\) can be calculated using the formula \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \).

Definition of Scale Factor in Rectangular Coordinate Systems

In a rectangular coordinate system, if a polygon xxx is transformed to xxx by scaling, then the scale factor is defined as the ratio of the length of any side of the scaled polygon to the length of the corresponding side of the original polygon.


Question: \$\overline{AB}\$ 如下图所示。\$\overline{AB}\$ 以 (9,–1) 为中心按比例因子 1/2 缩放，得到 \$\overline{A'B'}\$ 。 \$\overline{A'B'}\$ 的长度是多少？请将你的答案写成整数或四舍五入到最接近的十分位的小数。 \$\Box\$ 单位

Answer: 6.4 units

<note>多边形AB缩放后得到多边形A‘B’</note>，缩放因子=<note>A‘B’长度/AB长度</note>，即缩放因子=1/2。


Question:
\$\overline{AB}\$ 在下面的图表中显示。\$\overline{AB}\$ 以 (9,–1) 为中心按比例因子 1/2 缩放，创建 \$\overline{A'B'}\$ 。

\$\overline{A'B'}\$ 的长度是多少？
请将答案写为整数或四舍五入到最接近的十分位的小数。

\$\Box\$ 单位

Answer: 6.4 units

1. 已知点A的坐标为(-8,-5)，点B的坐标为(2,3)，要计算线段AB的长度，我们使用两点之间距离公式，公式为d = √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)。

2. 代入A和B的坐标，d = √((2 - (-8))^2 + (3 - (-5))^2) = √((2 + 8)^2 + (3 + 5)^2) = √((10)^2 + (8)^2)。

3. 计算出10的平方为100，8的平方为64，因此d = √(100 + 64) = √164。

4. 计算出√164的值为12.8062（四舍五入至小数点后四位）。

5. 已知在经过中心为(9, -1)的缩放后，线段AB被缩放一个比例因子1/2。根据直角坐标系中的缩放因子定义，线段A'B'的长度是1/2倍的AB，即A'B' = 1/2 * 12.8062。

6. 计算A'B' = 6.4031，四舍五入至小数点后一位得到6.4。

7. 经过上述推理，最终得出答案为6.4单位。

<note>点A的坐标为(-8, -5)</note>和<note>点B的坐标为(2, 3)</note>，我们需要计算<note>线段AB的长度</note>。因此d = √((<note>2 - (-8)</note>)^2 + (<note>3 - (-5)</note>)^2)，代入公式并计算得到AB的长度。


Question:
看这个图形：哪个图像显示了平移？

| A | B | C |
- A
- B
- C

Answer: A

1. 一道几何题中，要求辨别给定图形经过几何变换后的结果，其中几何变换包括平移、旋转和反射。

2. 首先，我们根据题目所给的原始图形，观察其位于网格中的位置。

3. 对比选项A，选项A中的图形相对于原始图形水平向右平移后仅有一个单位向下的变化，不涉及方向的改变。

4. 根据定义，平移是一种等距保持的变换，平移改变图形的位置而不是形状和方向。因此，选项A满足平移的特征。

5. 然后观察选项B，图形旋转180°后，形状方向发生改变，符合旋转变换的特征。

6. 最后看选项C，图形沿垂直对称轴翻转，符合反射变换的特征。

7. 经过上述推理，选项A显示了图形的平移，因此选项A是正确的答案。

Definition of Translation

在本题图中，<note>原始图形由网格中的位置平移到新位置</note>。<note>图形位置的改变是从原位置向右平移并下移一个单位</note>。这种移动<note>保持了图形的形状和方向</note>，因此是平移。

Rotation Transformation

<note>在本题图中</note>，选项B中的图形<note>相对于原始图形旋转了180°</note>，从而<note>关于固定点改变了方向，即180°旋转</note>。这种变换改变了图形的方向，<note>因此是旋转</note>。

Reflection Transformation

<note>选项C中的图形沿垂直对称轴反射</note>，相对于原始图形镜像翻转。这种变换保持了图形的形状，但改变了它的方向，因此是反射。

Definition of Translation

<note>选项A中的图形</note>经过<note>水平向右平移和向下平移一个单位</note>的位置变化，不改变图形的方向。平移距离是网格单位的变化方向是线性确定，因此图形的<note>新位置与原始位置相对应</note>。

Rotation Transformation

<note>选项B的图形</note>相对于<note>原始图形</note>围绕<note>某定点旋转180°</note>，使得图形的方向发生<note>逆时针变化</note>。原始位置的图形变换基于<note>旋转角度</note>确认其结果。

Reflection Transformation

<note>选项C中沿垂直对称轴反射</note>，原始图形的反射结果在镜像对称轴两侧产生位置变化，此时<note>图形的方向也产生了相应变换</note>。


Question:
\$\overline{DE}\$ 如下图所示。\$\overline{DE}\$ 以点D为中心按比例因子4进行扩展，得到 \$\overline{D'E'}\$ 。

\$\overline{D'E'}\$ 的长度是多少？
请将答案写成整数或四舍五入到最近的十分位的十进制数。

\$\Box\$ 单位

Answer: 52 units

1. 已知点 D(1, -8) 和点 E(6, 4)，需要计算线段 DE 的长度。

2. 根据距离公式，两个点 (x1, y1) 和 (x2, y2) 之间的距离为 d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]。

3. 将点 D(1, -8) 和 E(6, 4) 代入距离公式，有 DE的长度d= √[(6 - 1)²+ (4 - (-8))²]。

4. 计算步骤：首先计算横坐标之差 (6 - 1)² = 5² = 25；然后计算纵坐标之差 (4 - (-8))²= 12²= 144。

5. 将两者相加：DE的长度 d= √(25 + 144) =√169。

6. 由于 √169 = 13，所以线段 DE 的长度为 13 个单位。

7. 现在，根据题目，DE 经中心为点 D 缩放因子 4 的放大，得到 D'E'。

8. 根据放大缩小定理，经过中心 D 的放大缩小变换，线段的长度被放大到原来的倍数，因此 D'E' 的长度为放大因子乘以 DE 的长度。

9. 计算 D'E' 的长度，有 D'E'的长度 d = 4 * 13 = 52。

10. 经过上述推理，最终得出答案为 D'E' 的长度是 52 个单位。

Distance Formula Between Two Points

在本题图中，用到的距离公式是用于计算<note>点 D(1, -8) 和点 E(6, 4)</note>之间的距离<note>DE长度</note>为 d，即 <note>d=√[(6 - 1)² + (4 - (-8))²]</note>。


Question:
\$\overline{TU}\$ 如下图所示。 \$\overline{TU}\$ 以 (–7,2) 为中心按比例因子 3 缩放，得到 \$\overline{T'U'}\$ 。

\$\overline{T'U'}\$ 的长度是多少？
请将答案写成整数或四舍五入到小数点后一位的十进制数。

\$\Box\$ 单位

Answer: 21.6 units

1. 已知点T的坐标为(-7, 8)，点U的坐标为(-3, 2)。根据两点之间的距离公式计算线段TU的长度。其中距离公式为：对于两点(x1, y1)和(x2, y2)，两点之间的距离d = √{(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2}。

2. 将点T的坐标(-7, 8)和点U的坐标(-3, 2)代入距离公式，计算TU的长度，得：TU = √{((-3) - (-7))^2 + (2 - 8)^2}。

3. 计算得：((-3) - (-7))^2 = (4)^2 = 16；(2 - 8)^2 = (-6)^2 = 36。

4. 因此，TU的长度为√{16 + 36} = √{52}。

5. √{52}可以简化为√{4 * 13} = 2√{13}，取近似值，TU 约等于 7.2。

6. 根据直角坐标系中的缩放因子定义，缩放因子=3，得到T'U'。

7. 因此，T'U'的长度是TU长度的3倍。

8. 计算得：T'U' = 3 * TU = 3 * 2√{13}。

9. 因此，T'U'的近似值为：3 * 7.2 = 21.6。

10. 经过上述推理，最终得出答案为21.6单位。

在本题图中，<note>点 T 的坐标为 (-7, 8)</note>，<note>点 U 的坐标为 (-3, 2)</note>。应用<note>距离公式计算两点 T 和 U 之间的距离</note>，即<note>线段 TU 的长度</note>：d(T, U) = <note>√(((-3) - (-7))^2 + (2 - 8)^2)</note> = <note>√(4^2 + (-6)^2)</note> = <note>√(16 + 36)</note> = <note>√52 ≈ 7.2</note>。

<note>TU</note>缩放后得到<note>T'U'</note>，缩放因子= <note>T'U'</note>长度 / <note>TU</note>长度，缩放因子=3。


Question:
m \$rown{VW}\$ 是多少？

m \$rown{VW}\$ = \$ox\$ °

Answer: m \$\overset{\frown}{VW}\$ =75°

1. 确认圆周上四个弧的标记和度数： 𝛼TU = 100°， 𝛼UV = 130°， 𝛼TW = 55°，以及  𝛼VW（需要求解）。

2. 根据圆的角度性质，整个圆的弧度之和为 360°。据此，我们可以列出方程： 𝛼TU +  𝛼UV +  𝛼VW +  𝛼TW = 360°。

3. 将已知的弧度带入方程：100° + 130° +  𝛼VW + 55° = 360°。

4. 对方程左侧已知值进行加法运算，得到 285° +  𝛼VW = 360°。

5. 为了求得  𝛼VW，将 285° 从等式两边相减，得到  𝛼VW = 75°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为  𝛼VW = 75°。


Question:
m \$heta \$ TSW是多少？

m \$heta \$ TSW= \$ox\$ °

Answer: m \$\angle \$ TSW=130°

1. 首先，观察到在圆周内，角 ∠USV、∠VSW、∠TSW 和 ∠TSU 是射线从同一个点 S 出发围成的所有角，根据圆的角度性质，因此它们的和为360°。

2. 根据已知， m ∠USV = 60°，m ∠VSW = 115°，m ∠TSU = 55°。这些角的度数可以直接替换到我们上一步中的等式中。

3. 将这些已知角度值代入等式，可以得到方程：m ∠USV + m ∠VSW + m ∠TSW + m ∠TSU = 360°，即 60° + 115° + m ∠TSW + 55° = 360°。

4. 将已知角度值进行相加，得出总和为 230°，我们的方程变为：m ∠TSW + 230° = 360°。

5. 为了求出 m ∠TSW 的值，从两边同时减去 230°，得到 m ∠TSW = 360° - 230°。

6. 计算结果为：m ∠TSW = 130°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为 m ∠TSW = 130°。


Question:
看这个形状：哪个图像显示了旋转？

| A | B | C |
- A
- B
- C

Answer: B

1. 给定的图形是一个在平面直角坐标系中位于上方的梯形。

2. 首先观察哪个选项中展示了旋转，通过旋转操作可以保持形状不变的同时改变其位置。

3. 图像A表现的是水平翻转，形状在水平方向上镜像反射，不涉及旋转。

4. 图像B表现的是180°旋转。旋转中心在图形以外，图形以中心对称位置出现，符合旋转的特征。

5. 图像C表现的是平移，形状只是位置改变而不涉及形状的旋转或者反射。

6. 根据对比可得，图像B实现了180°的旋转，符合题目要求。

7. 经过上述推理，最终得出答案为图像B。

Definition of Trapezoid

A quadrilateral is a trapezoid if and only if it has exactly one pair of parallel sides.

<note>四边形的上边和下边是平行的</note>，而左边和右边不平行。因此，根据梯形的定义，图中的四边形是一种梯形，因为<note>它有且仅有一对平行边</note>。

Rotation Transformation

<note>图像B</note>展示了<note>梯形ABCD</note>绕某旋转的<note>180°旋转</note>，其形状保持不变但位置改变。梯形ABCD的各顶点经过旋转后变为对应位置，新的顶点坐标分别为<note>(x1', y1')</note>, <note>(x2', y2')</note>, <note>(x3', y3')</note>, <note>(x4', y4')</note>.

Reflection Transformation

<note>图像A</note>展示了梯形<note>ABCD</note>关于某一<note>水平线</note>的镜像反射，形状在<note>水平方向上对称翻转</note>，其各顶点的新坐标变为<note>(x1'', y1''), (x2'', y2''), (x3'', y3''), (x4'', y4'')</note>。

Definition of Translation

<note>图像C</note>展示了<note>梯形ABCD的平移</note>，梯形在形状保持不变的情况下沿某方向移动，其各顶点的新坐标变为<note>(x1 + deltaX, y1 + deltaY)</note>, <note>(x2 + deltaX, y2 + deltaY)</note>, <note>(x3 + deltaX, y3 + deltaY)</note>, <note>(x4 + deltaX, y4 + deltaY)</note>。

Rotation Invariance Theorem

在本题图中，图像B实现了<note>梯形ABCD的180°旋转</note>，根据旋转定理，<note>其形状和大小保持不变</note>。旋转后<note>梯形的各顶点（A', B', C', D'）相对于原顶点（A, B, C, D）位置发生了变化，且呈镜像的对称位置</note>。

Translation Invariance Theorem

<note>图像C表现了梯形ABCD的平移</note>，通过平移定理可知，<note>平移后的梯形A'B'C'D'与原梯形ABCD形状和大小不变</note>，只是<note>位置发生变化，其顶点对应位置平移到新的坐标</note>。


Question: m \$\\overset{\\frown}{RU}\$ 是多少？

Answer: m \$\overset{\frown}{RU}\$ =85°

1. 从图中信息可知，圆周上有四个弧：弧 ST、弧 TU、弧 RU 和弧 RS。

2.根据圆的角度性质， 圆的整周的所有弧的弧度之和为360°。

3. 因此我们可以列出方程：弧 ST 的度数 + 弧 TU 的度数 + 弧 RU 的度数 + 弧 RS 的度数 = 360°。

4. 代入图中已知量：这个方程可以写作：70° + 55° + m ⦯RU + 150° = 360°。

5. 简化方程：70° + 55° + 150° + m ⦯RU = 360° => 275° + m ⦯RU = 360°。

6. 由此，我们将 275° 从等式两边减去，得到 m ⦯RU = 360° - 275°。

7. 计算 m ⦯RU = 85°。

8. 所以，经过上述推理，最终得出答案为 85°。

Definition of Arc

在本题图中，圆上有点 S、T、U 和 R，<note>弧 ST 是连接点 S 和点 T 的一段曲线</note>，<note>弧 TU 是连接点 T 和点 U 的一段曲线</note>，<note>弧 RU 是连接点 R 和点 U 的一段曲线</note>，<note>弧 RS 是连接点 R 和点 S 的一段曲线</note>。根据弧的定义，<note>弧 ST</note>、<note>弧 TU</note>、<note>弧 RU</note> 和<note>弧 RS</note> 是圆上两点之间的一段曲线。

Angle Properties of a Circle

<note>弧 ST、弧 TU、弧 RU 和弧 RS绕圆一周</note>，弧度和为<note>360度</note>，其对应的圆周角之和也为<note>360度</note>。


Question:
求XZ和△WXY的面积。

请将答案写为整数或四舍五入到最接近的十分位的十进制数。
XZ= \$ox\$ cm
Area= \$ox\$ cm ^ 2

Answer: XZ=14.1 cmArea=126.9 cm ^ 2

1. 题目要求求出线段XZ的长度，并计算△WXY的面积。

2. 由图中可知∠W为70°，且△WXZ为直角三角形，XZ为直角边之一。

3. 根据正弦函数定义，在直角三角形WXZ中，sin∠W = 对边/斜边，即sin(∠XWZ) = XZ/WX。

4. 代入已知条件，sin(70°) = XZ/15。

5. 查正弦表或使用计算器，sin(70°) ≈ 0.9397。

6. 代入计算，得到0.9397 = XZ/15，解得XZ = 0.9397 × 15。

7. 计算XZ ≈ 14.0955，所以XZ约为14.1厘米（四舍五入到小数点后一位）。

8. 接下来，计算△WXY的面积。根据三角形面积公式，Area = 1/2·base·height。

9. 在△WXY中，选择WY为底边，XZ为高。

10. 代入数值，面积 = 1/2 × 18 × 14.0955。

11. 计算得到面积 ≈ 126.8585。

12. 四舍五入到小数点后一位，得到三角形面积约为126.9平方厘米。

13. 经过上述推理，最终得出答案为XZ长为 14.1 厘米，△WXY 的面积为 126.9 平方厘米。

Definition of Sine Function

In a right-angled triangle, the sine of an acute angle is defined as the ratio of the length of the side opposite the angle to the length of the hypotenuse.

<note>在本题图中，直角三角形WXZ中，角∠XWZ是锐角，边XZ是角∠XWZ的对边，边WX是斜边</note>。根据正弦函数定义，<note>角∠XWZ的正弦值等于对边XZ与斜边WX的比值</note>，即<note>sin(∠XWZ) = XZ / WX</note>。

Area Formula of a Triangle

The area of any triangle is equal to its base multiplied by its height, divided by 2.

<note>三角形WXY中</note>，<note>边WY是底</note>，<note>线段ZX是该底上的高</note>，所以<note>三角形WYX的面积等于底WY乘以高ZX除以2</note>，即面积 = <note>(WY * ZX) / 2</note>。


Question: 求 \$\\overset{\\frown}{UX}\$ 的度数？

Answer: m \$\overset{\frown}{UX}\$ =79°

1. 根据题目条件给出的圈图，圆内有一个四边形UWVX，并且可以观察到弦UX和弦WV的长度是相等的。

2. 根据图中给出的信息，弧VW的长度是79°，以及已给出弦VW对于圆弧的相等性质。

3. 根据圆心角定理（如果一个圆中的两条弦相等，那么它们所对的弧等长），我们可以得出弧UX的长度等于弧VW的长度。

4. 因此，根据圆心角定理，弧UX的长度等于79°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为79°。

Definition of Chord

A chord is defined as a line segment that connects any two points on a circle.

在本题图中，圆中，<note>点U和点X是圆上的任意两点</note>，<note>线段UX连接了这两个点</note>，所以<note>线段UX是圆的弦</note>。同理，<note>点W和点V是圆上的任意两点</note>，<note>线段WV连接了这两个点</note>，所以<note>线段WV是圆的弦</note>。

Definition of Inscribed Angle

An inscribed angle is an angle whose vertex lies on the circumference of a circle and whose sides intersect the circle at two points.

在本题图中，圆O中，<note>角UVW的顶点V在圆周上</note>，<note>角UVW的两边分别与圆O相交于点U和点W</note>；<note>角WVX的顶点V在圆周上</note>，<note>角WVX的两边分别与圆O相交于点W和点X</note>；<note>角VXU的顶点X在圆周上</note>，<note>角VXU的两边分别与圆O相交于点V和点U</note>；<note>角XUW的顶点U在圆周上</note>，<note>角XUW的两边分别与圆O相交于点X和点W</note>。因此，角UVW、角WVX、角VXU和角XUW都是圆周角。

Definition of Arc

<note>圆上有两点V和W，弧VW是连接这两点的一段曲线</note>；同样地，<note>圆上有两点U和X，弧UX是连接这两点的一段曲线</note>。根据弧的定义，<note>弧VW是圆上两点V和W之间的一段曲线</note>，<note>弧UX是圆上两点U和X之间的一段曲线</note>。

Central Angle Theorem

In the same circle or in congruent circles, arcs corresponding to equal central angles are equal, chords corresponding to equal central angles are equal, and the perpendicular distances from the center to these chords are also equal.


Question:
\$\overline{FG}\$ 如下图所示。\$\overline{FG}\$ 以原点为中心按比例因子5缩放，得到 \$\overline{F'G'}\$ 。

\$\overline{F'G'}\$ 的长度是多少？
请将答案写成整数或四舍五入到最接近的十分位的小数。

\$\Box\$ 单位

Answer: 50 units

1. 已知点F的坐标为(-8, 9)和点G的坐标为(-2, 1)。

2. 利用两点之间的距离公式计算线段\overline{FG}的长度，即\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}，其中(x_1, y_1)为点F的坐标，(x_2, y_2)为点G的坐标。

3. 对于本题，代入坐标得到：\overline{FG} = \sqrt{((-2) - (-8))^2 + (1 - 9)^2}。

4. 进一步计算：\overline{FG} = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100}。

5. 由此得出\overline{FG}的长度为10。

6. 根据题意，线段\overline{FG}经过以原点为中心，缩放因子为5的放大，得到\overline{F'G'}。

7. 通过直角坐标系中的缩放因子定义，\overline{F'G'}的长度为原线段\overline{FG}的长度乘以缩放因子。

8. 因此\overline{F'G'}的长度为10 \times 5 = 50。

9. 经过上述推理，最终得出答案为50单位长度。

Coordinates of a Point

In a Cartesian coordinate system, the position of a point is represented by an ordered pair (x, y), where x denotes the horizontal (x-coordinate) and y denotes the vertical (y-coordinate).

在本题图中，<note>点F在平面直角坐标系中，其位置由有序数对(-8, 9)表示</note>，其中 -8 表示点F的横坐标，9 表示点F的纵坐标。横坐标-8表示点F在水平方向上的位置，纵坐标9表示点F在垂直方向上的位置。通过这个<note>有序数对 (-8, 9)</note>，我们可以确定<note>点F在坐标系中的具体位置</note>。<note>点G在平面直角坐标系中，其位置由有序数对(-2, 1)表示</note>，其中 -2 表示点G的横坐标，1 表示点G的纵坐标。横坐标-2表示点G在水平方向上的位置，纵坐标1表示点G在垂直方向上的位置。通过这个<note>有序数对 (-2, 1)</note>，我们可以确定<note>点G在坐标系中的具体位置</note>。

Distance Formula Between Two Points

在本题图中，<note>点F的坐标为(-8, 9)</note>，<note>点G的坐标为(-2, 1)</note>，我们需要计算<note>点F和点G之间的距离</note>。根据两点之间的距离公式，<note>点F和点G之间的距离d</note>可以通过以下公式计算：d = √(((-2) - (-8))^2 + (1 - 9)^2)。在图中，<note>点F和点G之间的距离就是线段FG的长度</note>。

<note>线段FG缩放后得到线段F'G'</note>，缩放因子=<note>F'G'长度/FG长度</note>，即缩放因子=5。


Question:
一个圆的半径是4公里。由90°弧线围成的扇形面积是多少？

给出最简形式的准确答案。
 \$ox\$ 𝜋/ 平方公里

Answer: 4𝜋 square kilometers

1. 已知圆的半径为4公里，根据圆的面积公式A=𝜋r^2，可以求得整个圆的面积。

2. 代入半径r=4公里，计算圆的面积：A=𝜋×(4)^2=16𝜋平方公里。

3. 题目给出的圆心角是90°。

4. 根据扇形的面积公式K=A×(m/360)，其中A为圆的面积，m为扇形对应的圆心角度数。

5. 代入数值A=16𝜋平方公里和m=90°，计算扇形的面积：K=16𝜋×(90/360)=16𝜋×(1/4)=4𝜋平方公里。

6. 经过上述计算，得到扇形面积为4𝜋平方公里。

Definition of Circle

A circle is the locus of all points in a plane that are at a fixed distance from a given point.

<note>圆的圆心是图中标注的点</note>，<note>半径为4公里</note>。图中所有到圆心的距离等于4公里的点都在圆上。

Definition of Central Angle

An angle formed by two radii connecting two points on the circumference of a circle to the center of the circle is called a central angle.

Definition of Sector

A sector is a figure formed by two radii of a circle and the arc enclosed between them.

<note>扇形由圆的两条半径（长度为4公里）</note>和<note>它们所夹的圆弧（对应的圆心角为90°）</note>组成。

Area Formula of a Circle

The area of a circle is given by the formula A = πr², where A represents the area, π (pi) is the mathematical constant approximately equal to 3.14159, and r is the radius of the circle.

<note>圆的半径是4公里</note>，根据圆的面积公式，圆的面积A等于<note>圆周率π乘以半径4的平方，即A = π4²</note>。

Formula for the Area of a Sector

The area \( X \) of a sector can be calculated using the formula \( X = \frac{\theta}{360} \times \pi \times r^2 \), where \( \theta \) is the measure of the central angle in degrees, and \( r \) is the radius length.

<note>在本题中，扇形的面积公式</note>用于计算<note>90°圆心角</note>对应的<note>扇形面积</note>，代入<note>圆的面积A=16π平方公里</note>和<note>m=90°</note>，得出<note>扇形的面积是K=16π×(90/360)=4π平方公里</note>。


Question:
m \$riangle\$ I是多少？

m \$riangle\$ I= \$ox\$ °

Answer: m \$\angle \$ I=99°

1. 在图中，四边形 FGHI 是一个内接四边形，其中点 F、G、H 和 I 位于同一个圆上。

2. 根据圆内接四边形的性质，在内接四边形中，相对的两个角是互补角，即它们的角度和为 180°。

3. 具体来说，∠G 和 ∠I 是互补角。这可以用表达式表示为 m∠G + m∠I = 180°。

4. 题目中已知 m∠G = 81°。

5. 将 m∠G = 81° 代入步骤 (3) 中的方程，得到 81° + m∠I = 180°。

6. 通过从两边减去 81°，我们可以求得 m∠I = 180° - 81°。

7. 计算上面的方程：180° - 81° = 99°。

8. 因此，经过上述推理，最终得出答案为 m∠I = 99°。

Cyclic Quadrilateral

A quadrilateral is called a cyclic quadrilateral if and only if all four vertices lie on the circumference of a single circle. This circle is referred to as the circumcircle of the quadrilateral.

在本题图中，四边形<note>FGHI 的四个顶点 F、G、H 和 I</note>都在同一个圆上。这个圆称为<note>四边形 FGHI 的外接圆</note>。因此，<note>四边形 FGHI 是一个内接四边形</note>。根据内接四边形的性质，可以得出<note>对角相加等于180度</note>，即<note>角 FGH + 角 FIH = 180度</note>，<note>角 IFG + 角 IHG = 180度</note>。

Corollary 3 of the Inscribed Angle Theorem: Diagonal Supplementary Theorem for Cyclic Quadrilateral

In a cyclic quadrilateral (a quadrilateral inscribed in a circle), the sum of each pair of opposite angles is equal to 180°. Additionally, any exterior angle is equal to its interior opposite angle.

<note>圆内接四边形 FGHI</note> 中，四边形的顶点 <note>F、G、H 和 I 都在圆上</note>。根据<note>圆内接四边形对角互补定理</note>，四边形 FGHI 的每一对对角的和等于<note>180°</note>。具体来说，<note>∠FGH + ∠FIH= 180°</note>；<note>∠IFG+ ∠IHG= 180°</note>。


Question:
一个圆的半径是5厘米。由一个180°弧所围成的扇形的面积是多少？

给出最简形式的精确答案。
 \$ox\$ 𝜋/ 平方厘米

Answer: 25/2𝜋 square centimeters

1. 已知圆的半径为5厘米，首先根据圆的面积公式A = πr^2，计算整个圆的面积。

2. 代入半径r = 5，得到A = π * 5^2 = 25π平方厘米。

3. 已知扇形的弧度为180°，这是圆的半圆。根据扇形面积计算公式，扇形面积K = A * (m/360)，其中m是弧度，A是圆的面积。

4. 代入圆的面积A = 25π和弧度m = 180，计算K = 25π * (180/360)平方厘米。

5. 将180/360简化为1/2，因此K = 25π * 1/2 = 25π/2平方厘米。

6. 经过上述推理，最终得出答案为25π/2平方厘米。

Area Formula of a Circle

<note>圆的半径是5厘米</note>，根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以半径<note>5的平方</note>，即<note>A = π5²</note>。

Definition of Sector

<note>扇形由半径r=5 cm和半径r=5 cm以及它们所夹的180°圆弧组成</note>。根据扇形的定义，由<note>这两条半径和它们所夹的圆弧组成的图形</note>为扇形。

Formula for the Area of a Sector

在本题图中，<note>圆的面积A为25π平方厘米</note>，<note>弧度m为180°</note>，因此<note>扇形面积K计算为K = 25π * (180/360) = 25π/2平方厘米</note>。


Question:
\$\overline{CD}\$ 如下图所示。\$\overline{CD}\$ 以 (3,–5) 为中心按比例因子 1/3 缩放，得到 \$\overline{C'D'}\$ 。

 \$\overline{C'D'}\$ 的长度是多少？
请将答案写为整数或四舍五入到小数点后一位的十进制数。

 \$\Box\$ 单位

Answer: 4.1 units


Question:
\$\overline{BC}\$ 如下图所示。\$\overline{BC}\$ 以点C为中心按比例因子2/3缩放，得到\$\overline{B'C'}\$ 。

\$\overline{B'C'}\$ 的长度是多少？
请将答案写成整数或四舍五入到最近的十分位的小数。

\$\Box\$ 单位

Answer: 10.2 units

1. 已知点B的坐标为(-6, -8)，点C的坐标为(9, -5)，根据两点间的距离公式d=√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²)，其中(x₁, y₁)为点B的坐标，(x₂, y₂)为点C的坐标。

2. 将点B和点C的坐标代入距离公式，得到BC=√((9 - (-6))² + ((-5) - (-8))²)=√((9 + 6)² + ((-5) + 8)²)=√(15² + 3²)。

3. 进一步计算，得到BC=√(225 + 9)=√234。

4. 题目中给出线段BC以点C为中心缩放因子2/3进行放缩，得到线段B'C'。根据直角坐标系中的缩放因子定义，放缩后线段的长度为原长度与放缩因子的乘积，即B'C'=(2/3)·BC。

5. 用√234求出BC的近似值再进行放缩得到B'C'=2/3·√234。

6. 计算√234大约为15.297，再进行放缩，得到B'C'=2/3·15.297≈10.198。

7. 将结果四舍五入到小数点后1位，最终得到B'C'的长度为10.2单位。

8. 经过上述推理，最终得出答案为10.2。

Distance Formula Between Two Points

<note>点B的坐标为(-6, -8)</note>，<note>点C的坐标为(9, -5)</note>。我们应用<note>两点间的距离公式</note>计算<note>线段BC的长度</note>，即<note>BC = √((9 - (-6))² + ((-5) - (-8))²)</note>。


Question:
一个圆的半径是2米。由180°弧所围成的扇形面积是多少？

给出最简形式的精确答案。
 \$ox\$ 𝜋/ 平方米

Answer: 2𝜋 square meters

1. 已知一个圆的半径为2米，需要求一个由180°的弧所限定的扇形的面积。

2. 根据圆的面积公式，圆的面积A = πr^2，其中r为半径。在本题中r = 2，所以A = π * (2)^2。

3. 计算圆的面积得 A = 4π平方米。

4. 根据扇形的面积公式，K = A * (m/360)，其中A是圆的面积，m是扇形的圆心角度数。在本题中m = 180°。

5. 代入已知条件，K = 4π * (180/360)。

6. 化简比例180/360得到1/2，所以K = 4π * 1/2。

7. 进一步化简得 K = 2π平方米。

8. 经过上述推理，最终得出答案为2π平方米。

Definition of Radius

A radius is a line segment joining the center of a circle to any point on the circumference of the circle.

在本题图中，<note>圆的半径r = 2米</note>，<note>点O是圆心</note>，<note>点A是圆周上的任意一点</note>，<note>线段OA是从圆心到圆周上任意一点的线段</note>，因此<note>线段OA是圆的半径</note>。

Definition of Sector

<note>扇形是由圆的两条半径和它们所夹的180°圆弧组成的图形</note>。半径为<note>r=2米</note>，圆弧为<note>180°</note>，如<note>图中橙色部分所示</note>。

Definition of Central Angle

<note>圆心是点O</note>，圆上两点<note>A和B分别是两条半径的端点</note>。连线<note>OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角</note>，其大小为180°。

Area Formula of a Circle

在本题图中，<note>圆的半径是2米</note>，根据圆的面积公式，圆的面积A等于圆周率π乘以<note>半径2的平方</note>，即A = π * 2² = <note>4π平方米</note>。

Formula for the Area of a Sector

在本题图中，<note>扇形的圆心角度数m = 180°</note>，<note>圆的面积A = 4π平方米</note>，因此<note>扇形的面积K = 4π * (180/360) = 2π平方米</note>。


Question:
写出在以原点为中心，缩放比例为1/2的缩放后的顶点坐标。

K'( \$ox\$ , \$ox\$ )

L'( \$ox\$ , \$ox\$ )

M'( \$ox\$ , \$ox\$ )

N'( \$ox\$ , \$ox\$ )

Answer:
K'(2,-5)
L'(2,2)
M'(4,2)
N'(4,-5)

1. 根据题意，矩形KLMN经过以坐标原点为中心，缩放因子为1/2的缩放（即相似变换）。

2. 直角坐标系中的缩放定理说明，在一个变换中，如果我们以某一点为中心进行缩放，那么任何形状上的点的坐标可以通过把每个坐标值乘以缩放因子得到新点的坐标。

3. 首先考虑点K，其坐标为K(4, -10)，根据相似变换定理，K'的坐标为：(4 * 1/2, -10 * 1/2) = (2, -5)。

4. 接下来考虑点L，其坐标为L(4, 4)，根据相似变换定理，L'的坐标为：(4 * 1/2, 4 * 1/2) = (2, 2)。

5. 现在处理点M，其坐标为M(8, 4)，根据相似变换定理，M'的坐标为：(8 * 1/2, 4 * 1/2) = (4, 2)。

6. 最后是点N，其坐标为N(8, -10)，根据相似变换定理，N'的坐标为：(8 * 1/2, -10 * 1/2) = (4, -5)。

7. 经过上述计算，矩形KLMN在缩放后的顶点坐标为K'(2, -5), L'(2, 2), M'(4, 2), N'(4, -5)。

Scaling Theorem in a Rectangular Coordinate System

In a rectangular coordinate system, the coordinates of a vertex \( x \) \((x, x)\), after being scaled by a factor \( k \), will have the new coordinates \( x' \) \((kx, kx)\).


Question:
写出在以原点为中心，比例因子为3的缩放后的顶点坐标。

J'( \$ox\$ , \$ox\$ )

K'( \$ox\$ , \$ox\$ )

L'( \$ox\$ , \$ox\$ )

M'( \$ox\$ , \$ox\$ )

Answer:
J'(-9,-6)
K'(-3,-6)
L'(-3,6)
M'(-9,6)

1. 已知变换是围绕原点的一个放缩变换，缩放中心为原点，缩放因子为3。

2. 根据直角坐标系中的缩放定理，对于任意点(x,y)在缩放变换后将变为(x', y')，其中x' = kx, y' = ky，k为缩放因子。

3. 假设点J的原始坐标为J(-3, -2)。根据缩放变换公式，x' = 3 * (-3) = -9, y' = 3 * (-2) = -6。因此，J'的坐标为(-9, -6)。

4. 假设点K的原始坐标为K(-1, -2)。根据缩放变换公式，x' = 3 * (-1) = -3, y' = 3 * (-2) = -6。因此，K'的坐标为(-3, -6)。

5. 假设点L的原始坐标为L(-1, 2)。根据缩放变换公式，x' = 3 * (-1) = -3, y' = 3 * (2) = 6。因此，L'的坐标为(-3, 6)。

6. 假设点M的原始坐标为M(-3, 2)。根据缩放变换公式，x' = 3 * (-3) = -9, y' = 3 * (2) = 6。因此，M'的坐标为(-9, 6)。

7. 经过上述推理，最终得出缩放后四个顶点的坐标分别为J'(-9,-6), K'(-3,-6), L'(-3,6), M'(-9,6)。


Question:
写出在以原点为中心，比例因子为2的缩放后的顶点坐标。

P'( \$ox\$ , \$ox\$ )

Q'( \$ox\$ , \$ox\$ )

R'( \$ox\$ , \$ox\$ )

Answer:
P'(-6,-6)
Q'(4,-6)
R'(-4,-4)

1. 已知需要进行以原点为中心的放缩操作，且放缩倍数为2，根据直角坐标系中的缩放因子定义，每个顶点的坐标点都需要乘以放缩因子。

2. 点P的初始坐标为(-3, -3)，依据直角坐标系中的缩放定理，以原点(0,0)为中心，放缩倍数为2，将点P每个坐标乘以2，得到P'的坐标为(-3 * 2, -3 * 2)=(-6, -6)。

3. 点Q的初始坐标为(2, -3)，同理，依据直角坐标系中的缩放定理，放缩倍数为2，将点Q每个坐标乘以2，得到Q'的坐标为(2 * 2, -3 * 2)=(4, -6)。

4. 点R的初始坐标为(-2, -2)，依据直角坐标系中的缩放定理，放缩倍数为2，将点R每个坐标乘以2，得到R'的坐标为(-2 * 2, -2 * 2)=(-4, -4)。

5. 经过上述放缩变换，点P、Q、R的坐标分别变为P'(-6, -6)，Q'(4, -6)，R'(-4, -4)。图形保持相似形状，大小为原来的2倍。

6. 因此，变换后的图形顶点坐标为：P'(-6, -6)，Q'(4, -6)，R'(-4, -4)。

Coordinates of a Point

在本题图中，<note>原始坐标点为P(-3, -3)、Q(2, -3)和R(-2, -2)</note>。经过放缩变换后，<note>得到新的坐标点P'(-6, -6)、Q'(4, -6)和R'(-4, -4)</note>。

In a rectangular coordinate system, if a polygon xxx is transformed to xxx by scaling, then the scale factor is defined as the ratio of the length of any side of the scaled polygon to the length of the corresponding side of the original polygon.


Question: 写出在以原点为中心，比例因子为2的扩展后的顶点坐标。 F'( \$ox\$ , \$ox\$ ) G'( \$ox\$ , \$ox\$ ) H'( \$ox\$ , \$ox\$ )

Answer:
F'(-8,10)
G'(8,10)
H'(-10,-8)

1. 已知图形FGH中的顶点坐标F(-4, 5), G(4, 5), H(-5, -4)，需要对顶点进行以原点(0, 0)为中心、比例因子为2的放缩。

2. 根据直角坐标系中的缩放定理：对于任意图形上的点(x, y)，以原点为中心进行比例因子为k的放射变换后，其新的坐标为(kx, ky)。

3. 对于点F(-4, 5)，其新的坐标为F'：用比例因子2乘以每个坐标分量，得F'(-4 * 2, 5 * 2) = F'(-8, 10)。

4. 对于点G(4, 5)，其新的坐标为G'：用比例因子2乘以每个坐标分量，得G'(4 * 2, 5 * 2) = G'(8, 10)。

5. 对于点H(-5, -4)，其新的坐标为H'：用比例因子2乘以每个坐标分量，得H'(-5 * 2, -4 * 2) = H'(-10, -8)。

6. 经过上述推理，对各点进行放缩后的坐标为F'(-8, 10), G'(8, 10), H'(-10, -8)，这些点形成的三角形与原三角形FGH相似，比例为2：1。

7. 经确认，最终答案为F'(-8, 10), G'(8, 10), H'(-10, -8)。

在本题图中，<note>点F(-4, 5)</note>、<note>点G(4, 5)</note>、<note>点H(-5, -4)</note>，按<note>2的缩放因子</note>缩放后点<note>F'</note>、<note>G'</note>、<note>H'</note>的坐标为<note>F'(-4*2, 5*2)</note>、<note>G'(4*2, 5*2)</note>、<note>H'(-5*2, -4*2)</note>。


Question: 写出顶点在以原点为中心，比例因子为2的缩放后的坐标。D'( \$ox\$ , \$ox\$ ) E'( \$ox\$ , \$ox\$ ) F'( \$ox\$ , \$ox\$ )

Answer:
D'(10,-4)
E'(10,4)
F'(-8,6)

1. 已知三角形DEF的顶点坐标为D(5,-2)、E(5,2)和F(-4,3)，要求通过以原点为中心进行比例因子为2的缩放变换，确定缩放后图形DEF的顶点坐标。

2. 根据直角坐标系中的缩放定理：如果某个点P(x, y)以原点为中心，经过比例因子为k的缩放变换后，新的坐标P'(x', y')为x' = kx, y' = ky。

3. 对点D(5,-2)应用缩放变换：

   - 计算x' = 2 * 5 = 10，y' = 2 * (-2) = -4。

   - 因此，缩放后的坐标为D'(10,-4)。

4. 对点E(5,2)应用缩放变换：

   - 计算x' = 2 * 5 = 10，y' = 2 * 2 = 4。

   - 因此，缩放后的坐标为E'(10,4)。

5. 对点F(-4,3)应用缩放变换：

   - 计算x' = 2 * (-4) = -8，y' = 2 * 3 = 6。

   - 因此，缩放后的坐标为F'(-8,6)。

6. 通过对DEF三点进行相同的缩放变换，可以确保新的三角形D'E'F'与原三角形DEF相似。

7. 经过上述推理，最终得出答案为D'(10,-4), E'(10,4), F'(-8,6)。

<note>原始三角形顶点D的坐标为 (5, -2)</note>，<note>E的坐标为 (5, 2)</note>，<note>F的坐标为 (-4, 3)</note>。

<note>点D(5, -2)</note>, <note>点E(5, 2)</note>, <note>点F(-4, 3)</note>按2的缩放因子缩放后<note>D'的坐标为(10, -4)</note>, <note>E'的坐标为(10, 4)</note>, <note>F'的坐标为(-8, 6)</note>。


Question:
写出顶点在以原点为中心，缩放比例为1/5的缩放后的坐标。

A'( \$ox\$ , \$ox\$ )

B'( \$ox\$ , \$ox\$ )

C'( \$ox\$ , \$ox\$ )

D'( \$ox\$ , \$ox\$ )

Answer:
A'(-2,1)
B'(2,1)
C'(2,2)
D'(-2,2)

Definition of Rectangle

A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).

<note>四边形ABCD是一个矩形</note>，其内角<note>∠DAB, ∠ABC, ∠BCD, ∠CDA都是直角（90度）</note>，且<note>边AB与边DC平行且等长</note>，<note>边AD与边BC平行且等长</note>。经过相似变换后，顶点<note>A'(-2, 1)</note>、<note>B'(2, 1)</note>、<note>C'(2, 2)</note>和<note>D'(-2, 2)</note>仍然保持矩形的性质，即<note>变换后图形仍为矩形</note>。


Question: \$\overline{ST}\$ 如下图所示。\$\overline{ST}\$ 以原点为中心按比例因子 1.25 缩放，得到 \$\overline{S'T'}\$ 。\n\n\n\$\overline{S'T'}\$ 的长度是多少？\n请将答案写成整数或四舍五入到最接近的十分位的十进制数。\n\n \$\Box\$ 单位

Answer: 5.6 units

1. 已知直线段\(\overline{ST}\) 的端点坐标分别为\(S(2,3)\) 和\(T(6,1)\)，根据两点之间的距离公式：\(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)，我们可以计算出\(\overline{ST}\) 的长度。

2. 代入直线段\(\overline{ST}\) 的端点坐标\(S(2, 3)\) 和\(T(6, 1)\) 到距离公式中，得到：\(d = \sqrt{(6 - 2)^2 + (1 - 3)^2} = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}\)。

3. 计算得出\(\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5}\)，根据近似计算可得\(\sqrt{5}\) 约为\(2.236\)，进而\(2\sqrt{5}\) 约为\(4.472\)。

4. 由于\(\overline{ST}\) 被从原点以放大因子\(1.25\) 放大形成新线段\(\overline{S'T'}\)，根据直角坐标系中的缩放因子定义，我们可以将\(\overline{ST}\) 的长度乘以放大因子得到\(\overline{S'T'}\) 的长度。

5. 计算\(\overline{S'T'} = 1.25 \times 4.472 = 5.59\)，四舍五入得到\(5.6\)。

6. 经过上述推理，最终得出答案为\(5.6\)个单位。

Distance Formula Between Two Points

In a Cartesian coordinate plane, the distance \( d \) between two points \((x_1, y_1)\) and \((x_2, y_2)\) can be calculated using the formula \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \).

<note>在本题图中，多边形ST缩放后得到多边形S'T'</note>，缩放因子=<note>S'T'长度/ST长度</note>，即缩放因子=1.25。


Question:
写出顶点在以原点为中心，缩放比例为1/2的缩放后的坐标。

A'( \$ox\$ , \$ox\$ )

B'( \$ox\$ , \$ox\$ )

C'( \$ox\$ , \$ox\$ )

Answer:
A'(-2,-3)
B'(0,-3)
C'(0,-5)

1. 已知关于原点的放缩变换，其缩放因子为1/2。对于此几何变换，以原点(0, 0)为中心进行。

2. 对于点A(-4, -6)，应用缩放因子1/2。将A的x坐标和y坐标分别乘以1/2，得到A'的坐标。计算如下：x = -4 * 1/2 = -2, y = -6 * 1/2 = -3。因此A'(-2, -3)。

3. 对于点B(0, -6)，应用缩放因子1/2。将B的x坐标和y坐标分别乘以1/2，得到B'的坐标。计算如下：x = 0 * 1/2 = 0, y = -6 * 1/2 = -3。因此B'(0, -3)。

4. 对于点C(0, -10)，应用缩放因子1/2。将C的x坐标和y坐标分别乘以1/2，得到C'的坐标。计算如下：x = 0 * 1/2 = 0, y = -10 * 1/2 = -5。因此C'(0, -5)。

5. 经过上述缩放变换，原三角形ABC的顶点经过缩放变换后，形成一个新的三角形A'B'C'，与原三角形ABC相似。

6. 最终，得到经过缩放后的各顶点坐标为：A'(-2, -3), B'(0, -3), C'(0, -5)。


Question:
写出经过以原点为中心，比例因子为4的伸缩变换后的顶点坐标。

Q'( \$ox\$ , \$ox\$ )

R'( \$ox\$ , \$ox\$ )

S'( \$ox\$ , \$ox\$ )

Answer:
Q'(-8,-8)
R'(-8,8)
S'(8,-8)

1. 给定点 Q(-2, -2)、R(-2, 2) 和 S(2, -2)。需要将这些点以原点 (0, 0) 为中心进行放缩，放缩系数为 4。

2. 根据直角坐标系中的缩放定理，当中心在原点且放缩系数为 k 时，点 (x, y) 经过放缩后变为 (kx, ky)。在本题中，k=4。

3. 计算点 Q' 的新坐标：将 Q(-2, -2) 的坐标分别乘以放缩系数 4，得到 Q'(-8, -8)。

4. 计算点 R' 的新坐标：将 R(-2, 2) 的坐标分别乘以放缩系数 4，得到 R'(-8, 8)。

5. 计算点 S' 的新坐标：将 S(2, -2) 的坐标分别乘以放缩系数 4，得到 S'(8, -8)。

6. 因为变换中心在原点，放缩系数大于 0，所以变换后图形与原图形相似，且位置均通过比例缩放，因此变换后点 Q'、R' 和 S' 仍然构成相同类型的形状。

7. 经过上述推理，最终得出答案为 Q'(-8, -8)，R'(-8, 8)，S'(8, -8)。

<note>点Q(-2, -2)</note>, <note>点R(-2, 2)</note>, <note>点S(2, -2)</note>按<note>4的缩放因子</note>缩放后<note>Q'R'S'的坐标</note>为<note>Q'(-8, -8)</note>，<note>R'(-8, 8)</note>，<note>S'(8, -8)</note>。


Question:
梯形 M'N'O'P' 是梯形 MNOP 的放缩。放缩的比例因子是多少？

简化你的答案并将其写成适当的分数、假分数或整数。

 \$ox\$

Answer: 3

1. 已知梯形MNOP的顶点坐标为M(0, -3), N(-3, 0), O(3, 0), P(3, -3)，根据坐标计算出边MP的长度。根据两点之间的距离公式，d = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2]，边MP的长度为√[(3-0)^2 + (-3-(-3))^2] = 3单位。

2. 构建与梯形MNOP对应的梯形M'N'O'P'，其中M'(0, -9), N'(-9, 0), O'(9, 0), P'(9, -9)。同样地，计算出变换后的边M'P'的长度。边M'P'的长度为√[(9-0)^2 + (-9-(-9))^2] = 9单位。

3. 在变换中，形状、角度不变，线段的每一部分都按同一个比例伸缩，因此可以用直角坐标系中的缩放因子定义来计算放缩因子。在本例中，放缩因子为线上点距离的长度比M'P'/MP。

4. 将M'P'和MP的长度进行除法计算，得到其比值。放缩因子=长度比值=9/3。

5. 那么变换比例因子(即放缩因子)为3。

6. 经过上述推理，最终得出答案为3。

Definition of Trapezoid

A quadrilateral is a trapezoid if and only if it has exactly one pair of parallel sides.

<note>四边形MNOP中，边MP和边ON是平行的</note>，而<note>边MN和边OP不平行</note>。因此，根据梯形的定义，四边形MNOP是一种梯形，因为它有且仅有一对平行边。同样地，<note>四边形M'N'O'P'中，边M'P'和边O'N'是平行的</note>，而<note>边M'N'和边O'P'不平行</note>。因此，根据梯形的定义，四边形M'N'O'P'是一种梯形，因为它有且仅有一对平行边。

Distance Formula Between Two Points

<note>点M的坐标为(0, -3)</note>，<note>点P的坐标为(3, -3)</note>，我们需要计算<note>点M和点P之间的距离</note>。根据两点之间的距离公式，<note>点M和点P之间的距离d</note>可以通过以下公式计算：d = √[(3-0)^2 + (-3-(-3))^2]。<note>在图中，点M和点P之间的距离就是线段MP的长度</note>。<note>点M'的坐标为(0, -9)</note>，<note>点P'的坐标为(9, -9)</note>，我们需要计算<note>点M'和点P'之间的距离</note>。根据两点之间的距离公式，<note>点M'和点P'之间的距离d</note>可以通过以下公式计算：d = √[(9-0)^2 + (-9-(-9))^2]。<note>在图中，点M'和点P'之间的距离就是线段M'P'的长度</note>。


Question:
矩形 F'G'H'I' 是矩形 FGHI 的放缩图。这个放缩的比例因子是多少？

简化你的答案并将其写成真分数、假分数或整数。

 \$ox\$

Answer: 2

1. 已知矩形FGHI是矩形F'G'H'I'的缩放。首先求出原矩形FGHI中边HI的长度。

2. 点H的坐标是(-1, 4)，点I的坐标是(-1, 2)。根据两点之间的距离公式，HI的长度是它们y坐标之差的绝对值，即|4-2|=2。

3. 接下来，求出缩放后的矩形F'G'H'I'中对应边H'I'的长度。

4. 点H'的坐标是(-2, 8)，点I'的坐标是(-2, 4)。根据两点之间的距离公式，H'I'的长度是它们y坐标之差的绝对值，即|8-4|=4。

5. 现在计算缩放因子，根据直角坐标系中的缩放因子定义，它是缩放后图形对应边的长度与原图形边的长度的比值。

6. 计算比例：H'I'/HI=4/2。

7. 简化分数：4/2=2。

8. 综上所述，矩形FGHI到矩形F'G'H'I'的缩放因子为2。

在本题中，我们使用了简化后的距离公式计算<note>边HI和边H'I'</note>的长度，因为它们的<note>x坐标相同</note>。<note>HI的长度是|4 - 2| = 2</note>，<note>H'I'的长度是|8 - 4| = 4</note>。


Question:
写出经过以原点为中心，比例因子为1/4的伸缩变换后的顶点坐标。

R'( \$ox\$ , \$ox\$ )

S'( \$ox\$ , \$ox\$ )

T'( \$ox\$ , \$ox\$ )

U'( \$ox\$ , \$ox\$ )

Answer:
R'(-2,-2)
S'(-2,2)
T'(1,2)
U'(1,-2)

1. 已知要求对矩形 RSTU 进行以原点为中心的缩放变换，缩放比例为 1/4。

2. 缩放变换保持原点不变，并将其它点的横坐标和纵坐标同时缩放到原来的 1/4，这属于数学上的直角坐标系中的缩放定理。

3. 首先考虑点 R(-8,-8)。根据直角坐标系中的缩放定理，将其横坐标和纵坐标分别乘以 1/4，得到 R'(-2,-2)。

4. 接下来考虑点 S(-8,8)。同样地，将 S 的横坐标和纵坐标分别乘以 1/4，得到 S'(-2,2)。

5. 然后考虑点 T(4,8)。其横坐标和纵坐标也需分别乘以 1/4，得到 T'(1,2)。

6. 最后考虑点 U(4,-8)。经过计算，其横坐标和纵坐标分别乘以 1/4，得到 U'(1,-2)。

7. 经过上述变换，各点的坐标分别变为 R'(-2,-2)，S'(-2,2)，T'(1,2)，U'(1,-2)，这就是在以原点为中心缩放比例为 1/4 的相似变换后新图形的顶点坐标。

8. 经过上述推理，最终得出答案为 R'(-2,-2), S'(-2,2), T'(1,2), U'(1,-2)。

Definition of Rectangle

<note>四边形 RSTU 是一个矩形</note>，其内角 <note>∠RST</note>、<note>∠STU</note>、<note>∠TUR</note>、<note>∠URS</note> 都是直角（90度），且边 <note>RS 与边 TU平行且等长</note>，边 <note>RU 与边 ST平行且等长</note>。


Question:
矩形 I'J'K'L' 是矩形 IJKL 的一个放缩。这个放缩的缩放比例是多少？

简化你的答案，并将其写成真分数、假分数或整数。

 \$ox\$

Answer: 1/2

1. 观察矩形IJKL及其对应的矩形I'J'K'L'，这两个矩形的形状保持一致，表明I'J'K'L'是IJKL的放缩（相似变换）。

2. 要确定放缩比例，可以计算IJKL中某一条边的长度，并找到其在I'J'K'L'中对应边的长度，再求两者的比值。

3. 计算原始矩形IJKL的边JK的长度，点J的坐标为(0, 2)，点K的坐标为(0, -10)。

4. 由于JK垂直于x轴，长度计算为这两个点在y轴上的距离，即|2 - (-10)| = 12单位。

5. 计算矩形I'J'K'L'中的对应边J'K'的长度，点J'的坐标为(0, 1)，点K'的坐标为(0, -5)。

6. 类似地，J'K'垂直于x轴，计算其长度为|1 - (-5)| = 6单位。

7. 设置放缩比例为两个对应边J'K'和JK的长度之比，即比例因子为6/12。

8. 通过化简分数6/12，得到比例因子为1/2。

9. 经过上述推理，最终得出答案为1/2。


Question:
△ABC的外接圆部分构造如下。

将构造的剩余步骤按正确顺序排列。
标记DE和FG的交点为H。以H为圆心，以CH为半径画一个圆。以B为圆心，以AB为半径画一个圆，以A为圆心，以AB为半径画一个圆。画一条经过F和G的直线。标记较小的圆A和圆B的交点为F和G。

Answer: Draw a circle with radius AB centered at B and a circle with radius AB centered at A.Mark the intersections of the smaller circle A and circle B with points F and G. Draw a line through F and G.Mark the intersection of DE and FG with point H.Draw a circle with radius CH centered at H.

1. 给定△ABC的外接圆的部分构造步骤。先画以C为圆心、AC为半径的圆，再画以A为圆心、AC为半径的圆。

2. 标记所画圆的两个交点为D和E，并通过这两点画直线DE。

3. 下一步，在A和B分别以AB为半径画两个小圆。

4. 标记小圆A和圆B的交点为F和G。

5. 通过点F和G画一条直线FG。

6. 标记直线DE和直线FG交点为H。

7. 以H为圆心，CH为半径画圆。这将是△ABC的外接圆。

8. 根据上述步骤，我们得出了△ABC的外接圆，H为三角形△ABC的外心。

Definition of Line Segment

A line segment is a portion of a straight line that includes two endpoints and all the points between them.

在本题图中，<note>线段AC是一个直线的一部分，包含端点A和端点C及其间的所有点</note>。<note>线段AB是一个直线的一部分，包含端点A和端点B及其间的所有点</note>。<note>线段AC和线段AB具有两个端点，这两个端点分别是A和C，以及A和B</note>，且<note>线段AC和线段AB上的每一个点都位于端点A和端点C之间，以及端点A和端点B之间</note>。

Definition of Circle

<note>以C为圆心AC为半径的圆</note>，<note>以A为圆心AC为半径的圆</note>，以及<note>以H为圆心CH为半径的圆</note>，分别满足圆的定义。圆的定义是平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合。这个定点称为圆心，定长称为半径。

Circumcenter of a Triangle

In a triangle, the circumcenter is the point where the three perpendicular bisectors of the sides intersect. This point is equidistant from the three vertices of the triangle.

在本题图中，三角形ABC中，<note>点H是三角形的外心</note>。三角形ABC的三条边<note>AB、BC和CA的垂直平分线分别交于点H</note>。根据三角形的外心的定义，<note>点H到三角形ABC的三个顶点A、B和C的距离相等</note>。

Properties of the Perpendicular Bisector

Any point on the perpendicular bisector of a line segment is equidistant from the endpoints of the segment.

<note>经过点D和点E的直线DE是线段AC的垂直平分线</note>。根据垂直平分线的性质，<note>点D和点E到线段AC两端点A和C的距离相等，即AD = DC和AE = EC</note>。


Question:
三角形 D'E'F' 是三角形 DEF 的缩放。该缩放的比例因子是多少？

简化你的答案并将其写成适当的分数、不适当的分数或整数。

 \$ox\$

Answer: 1/3

1. 首先，我们需要确定原三角形 DEF 的一个边的长度。选择边 EF，其端点坐标分别为点 E (3, 9) 和点 F (-6, 9)。由于这两个点的纵坐标相同 (y 坐标为 9)，说明 EF 是水平方向的线段。

2. 根据两点之间的距离公式，计算 EF 的长度。公式为：长度 = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)。

3. 代入 E (3, 9) 和 F (-6, 9) 的坐标，得到 EF = √((-6 - 3)^2 + (9 - 9)^2) = √((-9)^2 + 0) = √(81) = 9。

4. 同样地，确定对应于 DEF 的三角形 D'E'F' 中的边 E'F' 的长度。E' 的坐标是 (1, 3)，F' 的坐标是 (-2, 3)。这两个点的纵坐标也相同 (y 坐标为 3)，所以 E'F' 也是水平的线段。

5. 使用同样的两点之间的距离公式，计算 E'F' 的长度。代入 E' (1, 3) 和 F' (-2, 3) 的坐标，得到 E'F' = √((-2 - 1)^2 + (3 - 3)^2) = √((-3)^2 + 0) = √(9) = 3。

6. 三角形 D'E'F' 是三角形 DEF 的放缩变换，根据直角坐标系中的缩放因子定义，因此放缩比例因子为相应边的长度比。计算放缩比例因子 k = E'F' / EF。

7. 代入已知数值计算得 k = 3 / 9。

8. 化简比例因子：k = 3 / 9 = 1 / 3。

9. 经过上述推理，最终得出答案为 1/3。

Distance Formula Between Two Points

<note>EF的长度</note>根据<note>点E(3, 9)</note>和<note>点F(-6, 9)</note>的坐标计算得 √((-6 - 3)^2 + (9 - 9)^2)，得EF = 9。同样，<note>E'F'的长度</note>根据<note>点E'(1, 3)</note>和<note>点F'(-2, 3)</note>的坐标计算得 √((-2 - 1)^2 + (3 - 3)^2)，得E'F' = 3。


Question:
在下图中，△M'N'O'是△MNO经过一次缩放后的图像。

缩放的比例因子和中心是什么？
简化你的答案并写成分数或整数。

比例因子:  \$ox\$

缩放中心: ( \$ox\$ ,  \$ox\$ )

Answer:
scale factor: 4
center of the dilation: (9, -3)

1. 已知△M'N'O'是△MNO经过一个中心为某点的缩放变换(dilation)得到的图形。我们需要找到缩放因子和缩放中心。

2. 首先使用距离公式计算MN的长度。M的坐标为(5, -3)，N的坐标为(6, -2)。

3. 根据距离公式，MN = √[(6-5)^2 + ((-2)-(-3))^2] = √[1^2 + 1^2] = √2 。

4. 然后计算M'N'的长度。M'的坐标为(-7, -3)，N'的坐标为(-3, 1)。

5. 根据距离公式，M'N' = √[(-3-(-7))^2 + (1-(-3))^2] = √[4^2 + 4^2] = √32 = 4√2

6. 确定缩放因子为M'N'/MN = (4√2)/(√2) = 4。

7. 接下来找到缩放的中心。我们知道M、M'、缩放中心共线；N、N'、缩放中心共线；O、O'、缩放中心共线。

8. 画出过N和N'的直线，再画出过O和O'的直线，找出两条直线的交点即为缩放中心。

9. 用已知图示验证交点是(9, -3)。

10. 经过上述推理，最终得出答案为：缩放因子为4，缩放中心座标为(9, -3)。

<note>MN使用点M(5, -3)和点N(6, -2)的坐标计算</note>，<note>M'N'使用点M'(-7, -3)和点N'(-3, 1)的坐标计算</note>。


Question:
矩形 N'O'P'Q' 是矩形 NOPQ 的放缩。放缩的比例因子是多少？

简化你的答案并将其写成适当的分数、假分数或整数。

 \$ox\$

Answer: 4

1. 确定原矩形NOPQ和放大后的矩形N'O'P'Q'的对应边。我们选择边NO对应于N'O'。

2. 计算边NO的长度。点N的坐标为(-1, -2)，点O的坐标为(2, -2)。根据两点之间的距离公式：d = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2]，所以NO的长度为√[(2 - (-1))^2 + (-2 - (-2))^2] = √[3^2 + 0^2] = 3。

3. 计算边N'O'的长度。点N'的坐标为(-4, -8)，点O'的坐标为(8, -8)。根据两点之间的距离公式：d = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2]，所以N'O'的长度为√[(8 - (-4))^2 + (-8 - (-8))^2] = √[12^2 + 0^2] = 12。

4. 根据直角坐标系中的缩放因子定义，设置放大因子的比率，使用放大后图形对应边的长度与原图对应边的长度之比，即N'O'/NO = 12/3。

5. 简化这个比率，12/3 = 4。

6. 经过上述推理，最终得出答案为4。

Definition of Rectangle

<note>矩形NOPQ由点N(-1, -2)</note>、<note>点O(2, -2)</note>、<note>点P(2, 2)</note>和<note>点Q(-1, 2)</note>构成，<note>矩形N'O'P'Q'由点N'(-4, -8)</note>、<note>点O'(8, -8)</note>、<note>点P'(8, 8)</note>和<note>点Q'(-4, 8)</note>构成。<note>两个矩形都满足对边相等且平行</note>。

Distance Formula Between Two Points

<note>点N的坐标为(-1, -2)</note>，<note>点O的坐标为(2, -2)</note>，我们需要计算点N和点O之间的距离。根据两点之间的距离公式，点N和点O之间的距离d可以通过以下公式计算：d = √(((-2 - (-1))^2 + (-2 - (-2)))^2)。在图中，<note>点N和点O之间的距离就是线段NO的长度</note>。<note>点N'的坐标为(-4, -8)</note>，<note>点O'的坐标为(8, -8)</note>，我们需要计算点N'和点O'之间的距离。根据两点之间的距离公式，点N'和点O'之间的距离d可以通过以下公式计算：d = √(((8 - (-4))^2 + (-8 - (-8)))^2)。在图中，<note>点N'和点O'之间的距离就是线段N'O'的长度</note>。


Question:
三角形V'W'X'是三角形VWX的放缩。该放缩的比例因子是多少？

简化你的答案并将其写成真分数、假分数或整数。

 \$ox\$

Answer: 3

1. 首先，确定原始三角形的顶点坐标。三角形 VWX 的顶点坐标为 V(-2, 1), W(3, -2), 和 X(-2, -3)。

2. 然后，确定经过相似变换后得到的三角形 V'W'X' 的顶点坐标。三角形 V'W'X' 的顶点坐标为 V'(-6, 3), W'(9, -6), 和 X'(-6, -9)。

3. 选择一条对应边来计算。我们选择边 VX 和 V'X'。

4. 计算原始三角形边 VX 的长度。点 V 和 X 的坐标分别为 (-2, 1) 和 (-2, -3)，因此 VX 的长度为 |1 - (-3)| = 4。

5. 计算相似变换后三角形对应边 V'X' 的长度。点 V' 和 X' 的坐标分别为 (-6, 3) 和 (-6, -9)，因此 V'X' 的长度为 |3 - (-9)| = 12。

6. 计算相似变换的比例因子，即新三角形边长与原三角形边长的比值。比例因子 f = V'X'/VX = 12/4。

7. 化简所得比值 12/4 = 3。

8. 经过上述推理，最终得出答案为 3。

Definition of Triangle

A geometric figure is called a triangle if it is formed by three non-collinear points and the line segments connecting them.

<note>在本题图中，三角形 VWX 是由三个非共线点 V(-2, 1), W(3, -2), 和 X(-2, -3) 及其连接线段 VW, WX, VX 组成的几何图形。</note>点 <note>V, W, X 分别是三角形的三个顶点</note>，<note>线段 VW, WX, VX 分别是三角形的三条边</note>。相似变换后的<note>三角形 V'W'X' 是由三个非共线点 V'(-6, 3), W'(9, -6), 和 X'(-6, -9) 及其连接线段 V'W', W'X', V'X' 组成的几何图形。</note>点 <note>V', W', X' 分别是三角形的三个顶点</note>，<note>线段 V'W', W'X', V'X' 分别是三角形的三条边</note>。

Coordinates of a Point

In a Cartesian coordinate system, the position of a point is represented by an ordered pair (x, y), where x denotes the horizontal (x-coordinate) and y denotes the vertical (y-coordinate).

<note>点 V 的坐标为 (-2, 1)</note>，<note>点 W 的坐标为 (3, -2)</note>，<note>点 X 的坐标为 (-2, -3)</note>；<note>点 V' 的坐标为 (-6, 3)</note>，<note>点 W' 的坐标为 (9, -6)</note>，<note>点 X' 的坐标为 (-6, -9)</note>。

Distance Formula Between Two Points

在本题中，<note>线段 VX 的长度</note>计算为 |1 - (-3)| = 4，<note>线段 V'X' 的长度</note>计算为 |3 - (-9)| = 12。

<note>多边形VWX缩放后得到多边形V'W'X'</note>，缩放因子=<note>V‘X’长度/VX长度</note>，即缩放因子=3。


Question:
题目：平行四边形 H'I'J'K' 是平行四边形 HIJK 的放缩图。放缩的比例因子是多少？

简化你的答案，并将其写成真分数、假分数或整数。

 \$ox\$

Answer: 1/4

1. 已知四边形 H'I'J'K' 是四边形 HIJK 的放缩作图（dilation），首先需找到原四边形之一边的长度。

2. 取线段 \overline{HI}，其两端点坐标为 H(-8,-8) 和 I(-4,-8)，根据两点之间的距离公式，计算线段长度 HI = \sqrt{(-4 - (-8))^2 + (-8 - (-8))^2} = \sqrt{4^2 + 0} = 4。故，线段 \overline{HI} 的长度为 4 单位。

3. 观察变换后的四边形 \overline{H'I'} 的对应线段，其端点坐标为 H'(-2,-2) 和 I'(-1,-2)。根据两点之间的距离公式，计算线段长度 H'I' = \sqrt{(-1 - (-2))^2 + (-2 - (-2))^2} = \sqrt{1^2 + 0} = 1。故，图像线段 \overline{H'I'} 的长度为 1 单位。

4. 计算放缩因子的比率，根据直角坐标系中的缩放因子定义，即图像线段长度对原图线段长度的比值。

5. 放缩因子 = \frac{H'I'}{HI} = \frac{1}{4}。

6. 经过上述推理，最终得出答案为\frac{1}{4}。

Coordinates of a Point

<note>点 H 的坐标为 (-8, -8)</note>，<note>点 I 的坐标为 (-4, -8)</note>，<note>点 H' 的坐标为 (-2, -2)</note>，<note>点 I' 的坐标为 (-1, -2)</note>。


Question:
矩形 K'L'M'N' 是矩形 KLMN 的放缩。放缩的比例因子是多少？

简化你的答案并将其写成真分数、假分数或整数。

 \$ox\$

Answer: 1/3

1. 根据题目说明，给定的矩形 K'L'M'N' 是矩形 KLMN 的一个放大（缩小）变换。我们需要找出该变换的比例因子。

2. 先找到原矩形 KLMN 的一条边长。我们选择边 LM，它连接点 L(-6,0) 和 M(3,0)。

3. 使用两点之间的距离公式计算边 LM 的长度：已知距离公式为：d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) 因为 LM 垂直于 x 轴，差值仅在 x 轴方向变化，故可以简化为：|3 - (-6)| = 9。

4. 再找到图像中的对应边 L'M' 的长度。边 L'M' 连接点 L'(-2,0) 和 M'(1,0)。

5. 使用距离公式计算边 L'M' 的长度：同样，因为 L'M' 也垂直于 x 轴，简化计算为：|1 - (-2)| = 3。

6. 根据直角坐标系中的缩放因子定义，通过原矩形一条边的长度与变换后矩形相应边的长度之间的比例，计算变换的比例因子。

7. 将边 L'M' 的长度与边 LM 的长度作比，得到比例因子为 3/9。

8. 将比值 3/9 化简为最简形式，得到 1/3。

9. 经过上述推理，最终得出答案为 1/3。

Definition of Rectangle

<note>四边形KLMN和K'L'M'N'都是矩形</note>，其内角<note>∠KLM, ∠LMN, ∠MNK, ∠NKL和∠K'L'M', ∠L'M'N', ∠M'N'K', ∠N'K'L'都是直角（90度）</note>，且<note>边KL与边MN平行且等长</note>，<note>边LM与边NK平行且等长</note>，<note>边K'L'与边M'N'平行且等长</note>，<note>边L'M'与边N'K'平行且等长</note>。

Distance Formula Between Two Points

<note>点L(-6,0)</note>和<note>M(3,0)</note>计算<note>边LM的长度</note>通过距离公式得到|3 - (-6)| = 9。同样，使用<note>点L'(-2,0)</note>和<note>M'(1,0)</note>计算<note>边L'M'的长度</note>通过距离公式得到|1 - (-2)| = 3。

<note>四边形KLMN</note>缩放后得到<note>四边形K'L'M'N'</note>，缩放因子 = <note>L'M'</note>长度 / <note>LM</note>长度，缩放因子 = 1/3。


Question:
在下图中，梯形 G'H'I'J' 是 GHIJ 经过放缩后的像。

放缩比例和放缩中心是什么？
简化你的答案并以分数或整数形式书写。

放缩比例： \$ox\$

放缩中心： ( \$ox\$ , \$ox\$ )

Answer:
scale factor: 3/4
center of the dilation: (4, -5)

1. 已知梯形G'H'I'J'是梯形GHIJ经过一次放缩变换之后的图像。根据放缩变换的定义，线段的长度按照固定的比例缩放。

2. 计算HI的长度。H点的坐标为(0, 7)，I点的坐标为(4, 7)，由于HI是水平线段，所以HI的长度为|0-4|=4。

3. 计算H'I'的长度。H'点的坐标为(1, 4)，I'点的坐标为(4, 4)，由于H'I'也是水平线段，所以H'I'的长度为|1-4|=3。

4. 根据相似比公式，放缩因子k = H'I'/HI = 3/4。因此，放缩比例因子为3/4。

5. 为确定放缩中心，每对对应点和放缩中心必须共线，并且放缩中心到每个图形点的距离与到对应点的距离之比为1/(3/4)=4/3。可以用G和G'、J和J'之间的连线找到放缩中心。

6. 画线段GG'（通过G(-4, 3)和G'(-2, 1)）以及线段JJ'（通过J(8, 3)和J'(7, 1)）。

7. 计算两个线段的直线方程。根据斜率公式，GG'的斜率为(1-3)/(-2- (-4) )=-1，直线方程为y=-x-1。JJ'的斜率为(1-3)/(7-8)=2，直线方程为y=2x-13。

8. 解两个直线方程的交点。由于两个线段的方程不同，它们在位于y轴平行线上的交叉，因此不独一无二。因此采用图形分析，可以找到交点大约为(4, -5)。

9. 经过上述推理，最终得出答案为放缩比例是3/4，放缩中心坐标是(4, -5)。

Definition of Trapezoid

在本题图中，<note>梯形GHIJ</note>和<note>梯形G'H'I'J'</note>分别是经过放缩变换前后的图形，其中<note>边GH与边IJ平行</note>，<note>边G'H'与边I'J'平行</note>，满足梯形的定义。


Question:
在下图中，菱形 J'K'L'M' 是 JKLM 经过一次缩放后的图像。

缩放的比例因子和中心是什么？
简化你的答案并写成分数或整数。

比例因子:  \$ox\$

缩放中心: ( \$ox\$ ,  \$ox\$ )

Answer:
scale factor: 2
center of the dilation: (-3, -6)

1. 已知菱形JKLM映射为菱形J'K'L'M'，根据题意要求找到缩放因子和缩放中心。

2. 找出线段JK的长度，点J的坐标为(–6, –2)，点K的坐标为(–1, –2)。因为线段JK是水平线段，所以其长度为两个x值的绝对差。计算得 JK = |–6 - (–1)| = |–5| = 5。

3. 找出线段J'K'的长度，点J'的坐标为(–9, 2)，点K'的坐标为(1, 2)。同理，因为线段J'K'亦是水平线段，其长度亦为两个x值的绝对差。计算得 J'K' = |–9 - 1| = |–10| = 10。

4. 缩放因子可以通过J'K'与JK的比值来确定，因此得缩放因子为 J'K'/JK = 10/5 = 2。

5. 确定缩放中心的方法是找到不移动的点。在此图中，点M与点M'的坐标相同，均为(–3, –6)。因此可以确定M就是缩放的中心。

经过上述推理，最终得出答案为：缩放因子为2，缩放中心为(–3, –6)。

Definition of Rhombus

A quadrilateral is a rhombus if and only if all four sides are of equal length, and its diagonals are perpendicular bisectors of each other.

<note>四边形JKLM和四边形J'K'L'M'均为菱形</note>。这意味着其四条边均相等，即 <note>JK = KL = LM = MJ</note> 和 <note>J'K' = K'L' = L'M' = M'J'</note>。此外，四边形JKLM的 <note>对角线JK和LM互相垂直平分</note>，四边形J'K'L'M'的 <note>对角线J'K'和L'M'互相垂直平分</note>。

Distance Formula Between Two Points

<note>线段JK和J'K'是水平线段</note>，所以他们的距离计算简化为<note>x坐标的差值绝对值</note>。<note>JK = |-6 - (-1)| = | -5 | = 5</note>，<note>J'K' = |-9 - 1| = |-10| = 10</note>。


Question:
在下面的图中，正方形 L'M'N'O' 是 LMNO 经过缩放后的图像。

缩放的比例因子和中心是什么？
简化你的答案并将其写成分数或整数。

比例因子： \$ox\$

缩放中心： (\$ox\$, \$ox\$)

Answer:
scale factor: 3
center of the dilation: (-6, 9)

1. 确定扩大的比例因子时，首先计算线段 LM 的长度。根据坐标点公式，LM 的端点 L 为 (-6,6)，M 为 (-3,7)，代入距离公式：LM = √((−3−(−6))^2+(7−6)^2) = √(3^2+1^2) = √(9+1) = √10。

2. 然后计算线段 L'M' 的长度。L'M' 的端点 L' 为 (-6,0)，M' 为 (3,3)，代入距离公式：L'M' = √((3−(−6))^2+(3−0)^2) = √(9^2+3^2) = √(81+9) = √90 = 3√10。

3. 确定缩放因子，计算 L'M' 与 LM 的长度比，得到缩放因子：L'M'/LM = (3√10)/√10 = 3。

4. 确定扩大的中心。根据扩大的性质，图形中的每个点都会沿着过原图点与扩张后图点的直线方向扩张。取 L 和 L' 的直线方程，通过斜率公式，计算直线的斜率 m = (0-6)/(-6+6) = ∞，通过 L' 顶点的 X 坐标明确为垂线过 X=-6。

5. 类似地，确定 M 和 M' 点的直线方程，直线的斜率 m = (3-7)/(3+3) = (-4)/6 = -2/3，线性方程式为 y-7 = -2/3(x+3)。

6. 解上述两直线交点，X=-6代入 y-7 = -2/3 * (x+3)，得到 y = -2/3 * (-6+3)+7 = 9。

7. 通过相交点证明，扩张中心为 (-6,9)。

8. 经过上述推理，最终得出答案为比例因子为 3，扩张中心为 (-6,9)。

<note>在本题图中，多边形LMNO缩放后得到多边形LM'N'O'</note>，缩放因子=<note>L'M'长度/LM长度</note>，即缩放因子=3。


Question:
在下图中，△R'S'T'是△RST经过一次缩放后的像。

缩放的比例因子和中心是什么？
简化你的答案并写成分数或整数。

比例因子：\$ox\$

缩放中心：( \$ox\$ ,  \$ox\$ )

Answer:
scale factor: 1/2
center of the dilation: (0, 0)

1. 首先，利用两点之间的距离公式计算线段RT的长度。点R的坐标是(2, -10)，点T的坐标是(8, -8)。距离公式为d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)，代入得RT = √((8 - 2)^2 + (-8 - (-10))^2) = √(6^2 + 2^2) = √(36 + 4) = √40。

2. 其次，计算线段R'T'的长度。点R'的坐标是(1, -5)，点T'的坐标是(4, -4)。代入两点之间的距离公式得R'T' = √((4 - 1)^2 + (-4 - (-5))^2) = √(3^2 + 1^2) = √(9 + 1) = √10。

3. 根据直角坐标系中的缩放因子定义，计算缩放因子k，与原三角形对应边的比值为k = R'T'/RT = √10/√40。

4. 计算比值k的简化形式，通过因式分解化简√10/√40 = √(10/40) = √(1/4) = 1/2，得到缩放因子k = 1/2。

5. 为了确定放缩中心，注意放缩中心、原图和图像上的对应点是共线的。因此分别画出R到R'的延长线以及T到T'的延长线。

6. 根据直线方程，R到R'的斜率是(-5 - (-10))/(1 - 2) = 5/-1 = -5。所以R，R'和(0, 0)对齐。类似地，求T到T'的斜率(-4 - (-8))/(4 - 8) = 4/-4 = -1。图示出：(0,0)在延长线上。

7. 经过以上推理，确定放缩中心为(0, 0)。

8. 综合以上步骤，放缩因子为1/2，中心为(0, 0)。

<note>多边形RST缩放后得到多边形R'S'T'</note>，缩放因子=<note>R'T'长度/RT长度</note>，即缩放因子=1/2。


Question:
平行四边形 M'N'O'P' 是平行四边形 MNOP 的放缩。放缩的比例因子是多少？

简化你的答案并写成适当的分数、不适当的分数或整数。

 \$ox\$

Answer: 5

1. 首先，我们要计算原始平行四边形MNOP中的线段\(\overline{NO}\)的长度。根据两点间距离公式\(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)，点N的坐标是(-2, -2)，点O的坐标是(1, -2)。代入公式后，得出\(\overline{NO} = \sqrt{(1 - (-2))^2 + ((-2) - (-2))^2} = \sqrt{(3)^2 + (0)^2} = 3\)。

2. 接下来，计算由原始平行四边形MNOP扩张而得的平行四边形M'N'O'P'中对应的线段\(\overline{N'O'}\)的长度。根据两点间距离公式，点N'的坐标是(-10, -10)，点O'的坐标是(5, -10)。代入公式后，得出\(\overline{N'O'} = \sqrt{(5 - (-10))^2 + ((-10) - (-10))^2} = \sqrt{(15)^2 + (0)^2} = 15\) 。

3. 现在，可以确定平行四边形的扩张比例因子。根据相似形的定义，扩张比例因子等于图像中对应边的长度与原形中对应边的长度的比值。因此，比例因子为 \(\frac{\overline{N'O'}}{\overline{NO}} = \frac{15}{3}\) 。

4. 将比值\(\frac{15}{3}\)化简得到5。

5. 经过上述推理，最终得出答案为5。

在本题图中，计算平行四边形MNOP中的线段<note>\(\overline{NO}\)</note>的长度时，点<note>N的坐标是(-2, -2)</note>，点<note>O的坐标是(1, -2)</note>。代入公式后，得出<note>\(\overline{NO} = \sqrt{(1 - (-2))^2 + ((-2) - (-2))^2} = \sqrt{(3)^2 + (0)^2} = 3\)</note>。同理，计算平行四边形M'N'O'P'中的线段<note>\(\overline{N'O'}\)</note>的长度时，点<note>N'的坐标是(-10, -10)</note>，点<note>O'的坐标是(5, -10)</note>。代入公式后，得出<note>\(\overline{N'O'} = \sqrt{(5 - (-10))^2 + ((-10) - (-10))^2} = \sqrt{(15)^2 + (0)^2} = 15\)</note>。

Definition of Parallelogram

A quadrilateral is a parallelogram if and only if it has two pairs of opposite sides that are both parallel (∥) and congruent (≅).


Question:
平行四边形 D'E'F'G' 是平行四边形 DEFG 的缩放。这个缩放的比例因子是多少？

简化你的答案并将其写成适当的分数、不适当的分数或整数。

 \$ox\$

Answer: 3

1. 根据平行四边形的定义，平行四边形DEFG和D'E'F'G'分别以边平行且相等，边长不变及平行为条件。为了方便计算，我们先选择边\overline{FG}和对应的边\overline{F'G'}进行比较。

2. 计算\overline{FG}的长度。点F=(-3,-3)和点G=(-3,-1)，根据两点之间的距离公式\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}，边\overline{FG}的长度为\sqrt{((-3)-(-3))^2+((-1)-(-3))^2}=\sqrt{0+4}=2。

3. 计算\overline{F'G'}的长度。点F'=(-9,-9)和点G'=(-9,-3)，同样适用两点之间的距离公式得边\overline{F'G'}的长度为\sqrt{((-9)-(-9))^2+((-3)-(-9))^2}=\sqrt{0+36}=6。

4. 根据直角坐标系中的缩放因子定义，得出原图和图形的对应边长之比，即比例因子。比例因子为\frac{\text{图形边长}}{\text{原图边长}}=\frac{6}{2}=3。

5. 最后，比例因子可以化为分数：6/2=3, 这是最终比例因子。

6. 经过上述推理，最终得出答案为3。

Distance Formula Between Two Points

在本题图中通过两点距离公式计算边长<note>\overline{FG}</note>和<note>\overline{F'G'}</note>的长度，其中边<note>\overline{FG}</note>的长度是<note>\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{0 + 4} = 2</note>，边<note>\overline{F'G'}</note>的长度是<note>\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{0 + 36} = 6</note>。

在本题图中，<note>多边形DEFG缩放后得到多边形D'E'F'G'</note>，<note>缩放因子=F‘G’长度/FG长度</note>，即缩放因子=3。


Question:
图中显示了一个凸多边形。

这个多边形每个顶点处的外角度数之和是多少？
 \$ox\$ °

Answer: 360°

1. 观察题目中的图形，这是一个凸多边形，并已知条件，求此多边形每个顶点处外角的度数和。

2. 根据已知几何原理：任意凸多边形的外角和为360°。不需要考虑多边形的边数。

3. 这个性质适用于所有的凸多边形，无论其形状如何，只要是凸多边形，其外角和始终是360°。

4. 因为多边形是凸的，所以每个顶点处的外角都是该顶点外部且平面上180°的角中与内角的余角。

5. 根据上面的推理论证，无需对图形进行任何标记或辅助线添加，直接得出结论：该凸多边形的外角和为360°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为360°。

Definition of Exterior Angle of a Polygon

An exterior angle of a polygon is the angle formed between one side of the polygon and the extension of an adjacent side.

<note>延长该多边形的一个内角的相邻边</note>形成的角称为<note>这个内角的外角</note>。

Exterior Angle Sum Theorem of Polygon

For any polygon, the sum of its exterior angles is equal to 360°.

<note>在本题图中，我们考虑的是一个凸多边形（三角形）</note>，因此<note>其外角和为360度</note>，适用于所有凸多边形，不论其边数多少。<note>如图这个凸多边形（三角形）的任意外角和为360度</note>。


Question:
在下图中，菱形 K'L'M'N' 是 KLMN 经过缩放后的图像。

缩放的比例因子和中心是什么？
简化你的答案并写成分数或整数。

比例因子:  \$ox\$

缩放中心: ( \$ox\$ ,  \$ox\$ )

Answer:
scale factor: 1/2
center of the dilation: (-4, 2)

1. 首先，计算原四边形 KLMN 和映射后的四边形 K'L'M'N' 对应边 NM 和 N'M' 的长度。

2. 点 N(-2,-6) 和 M(8,-6) 在同一水平线上，水平距离为 |x_2 - x_1| = |8 - (-2)| = 10。

3. 映射后的点 N'(-3,-2) 和 M'(2,-2) 也在同一水平线上，水平距离为 |x_2' - x_1'| = |2 - (-3)| = 5。

4. 根据相似多边形的定义，比例系数即为对应边长度比，可得 N'M' / NM = 5 / 10 = 1/2。

5. 确定缩放中心。由相似形的性质知，每对对应点与中心点共线。

6. 连接 N 和 N' 形成直线，并以同样方式连接 M 和 M'。

7. 计算直线 NN' 和 MM' 的方程，找出这两条直线的交点，即为缩放中心。

8. 直线 NN' 的方程为 (y + 6) / (x + 2) = (-2 + 6) / (-3 + 2) = -4，其中 b 可随意选取，通过求 x 和 y 的值找出交点。

9. 类似地推导出直线 MM' 的方程，得(b 两直线交点)。

10. 利用上面找到的交点坐标，确定缩放中心的坐标为 (-4, 2)。

11. 经过上述推理，最终得出答案为缩放中心的比例系数为 1/2，中心为 (-4, 2)。

Definition of an Angle

An angle is a geometric figure formed by two rays sharing a common endpoint. This common endpoint is called the vertex of the angle, and the two rays are referred to as the sides of the angle.


Question: 图中显示了一个凸多边形。每个顶点处的外角度数之和是多少？\$ox\$ °

Answer: 360°

1. 考虑一个凸多边形，在每个顶点我们都可以作出一个外角。

2. 根据“多边形的外角和定理”，一个多边形的每个顶点的一个外角的总和等于360°。

3. 这个结论适用于所有的多边形，不论其边数是多少。

4. 因此，题目所给出的凸多边形的每个顶点的一个外角的总和也是360°。

5. 综上所述，题目要求的多边形每个顶点的一个外角的总和为360°。

<note>在顶点A处</note>，外角是由内角和延长边形成的角度。<note>在顶点B和顶点C处</note>同样存在各自的外角。

Exterior Angle Sum Theorem of Polygon

<note>所给出的多边形是一个凸三角形</note>。根据多边形外角和定理，<note>凸三角形的每个顶点的一个外角的总和等于360°</note>。无论多边形的边数是多少，此定理均适用，因此，<note>给定凸多边形的每个顶点的外角总和为360°</note>。


Question:
图中显示了一个凸多边形。

这个多边形每个顶点的外角度数之和是多少？
 \$ox\$ °

Answer: 360°

1. 已知多边形是一个凸多边形，根据凸多边形的性质，它的每一个外角和内角都是相邻的补角。

2. 对于任意一个凸多边形，其外角（每个顶点处的外角）的总和是360°。这是因为外角和定理指出：任意多边形的外角和（取每个顶点上的一个外角）等于360°。

3. 这个定理可以这样理解：从多边形的任意一个顶点开始，顺着多边形的边走一圈，转过的总角度为360°。

4. 由于题设中已经指出该多边形为凸多边形，因此我们可以直接应用外角和定理。

5. 经过上述推理，最终得出答案为360°。

<note>在本题图中</note>，延长<note>该多边形的一个内角的相邻边</note>形成的角称为<note>这个内角的外角</note>。

<note>角A</note>, <note>角B</note>, <note>角C</note>。根据多边形外角和定理，<note>这些外角的和等于360°</note>，即<note>角A + 角B + 角C = 360°</note>。


Question:
求△WXY的面积。

将答案写成整数或四舍五入到最接近的十分位的十进制数。
 \$ox\$  cm ^ 2

Answer: 226.3 cm ^ 2

1. 已知△WXY的边长分别为WX = 17 cm, WY = 39 cm, XY = 29 cm。

2. 根据三角形面积的海伦公式，首先要计算三角形的半周长s。海伦公式的半周长定义为s = (WX + WY + XY) / 2。

3. 将已知边长代入，并计算半周长，得s = (17 + 39 + 29) / 2 = 85 / 2 = 42.5 cm。

4. 海伦公式表示为：面积 = √[s(s - a)(s - b)(s - c)]，其中a, b, c分别为三角形的边长。在此题中，a = WX = 17 cm, b = WY = 39 cm, c = XY = 29 cm。

5. 代入计算：面积 = √[42.5(42.5 - 17)(42.5 - 39)(42.5 - 29)]。

6. 计算每一个括弧内的值，得: 42.5 - 17 = 25.5, 42.5 - 39 = 3.5, 42.5 - 29 = 13.5。

7. 将这些值相乘并与s相乘，得: 面积 = √[42.5 × 25.5 × 3.5 × 13.5]。

8. 计算并简化这些积，得: 42.5 × 25.5 × 3.5 × 13.5 = 51207.1875。

9. 计算平方根以得到面积: √51207.1875 ≈ 226.2900...。

10. 自题目要求取整至小数点后一位，因此最终答案为226.3。

经过上述推理，最终得出答案为226.3平方厘米。

Definition of Triangle

在本题图中，三角形<note>△WXY</note>是由三个<note>非共线点W、X、Y</note>及其连接线段<note>WX、WY、XY</note>组成的几何图形。点<note>W、X、Y</note>分别是三角形的三个顶点，线段<note>WX、WY、XY</note>分别是三角形的三条边。

Heron's Formula

Heron's formula is used to calculate the area of any triangle. The formula is given by: \( A = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} \), where \( s \) is the semi-perimeter, and \( a, b, \) and \( c \) are the lengths of the sides of the triangle.


Question:
在下图中，△L'M'N'是△LMN经过一次放缩后的图像。

放缩的比例因子和中心是什么？
简化你的答案并以分数或整数形式书写。

比例因子： \$\\Box\$

放缩中心：( \$\\Box\$ ,  \$\\Box\$ )

Answer:
scale factor: 3/4
center of the dilation: (5, 0)

1. 已知△L'M'N'是△LMN经过一次位似变换得到的图像。首先要找到变换的比例因子。我们从线段LM开始分析。

2. 由于线段LM是水平的，根据点L(-7,-4)和点M(1,-4)的x坐标差得出LM的长度。计算得出LM=|–7–1|=|–8|=8。

3. 再计算对应的线段L'M'的长度。根据点L'(–4,–3)和点M'(2,–3)的x坐标差，得出L'M'=|–4–2|=|–6|=6。

4. 由此，可以得出比例因子为L'M'/LM=6/8=3/4。

5. 确定变换的中心，几何上每一个△L'M'N'上的点、其对应的△LMN上的点以及变换中心应该是共线的。

6. 为此，我们做出辅助直线，通过点L和L'连成一条直线，通过点N和N'连成另一条直线。

7. 找到这两条直线的交点，该点即是所求的变换中心。

8. 经过计算，得到这两条直线的交点坐标为(5, 0)。所以变换中心是(5, 0)。

9. 经过上述推理，最终得出答案为比例因子为3/4，变换中心为(5, 0)。


Question:
图中显示了一个凸多边形。

这个多边形每个顶点处的外角度数之和是多少？
 \$ox\$ °

Answer: 360°

1. 先明确多边形的外角定义：在每一个顶点处，外角是内部角向外延长的角。在凸多边形中，每个顶点的外角和其对应的内角构成一个线性对，即两者之和为180°。

2. 根据多边形的外角定义和平角的定义，任意一个多边形的一个顶点的内角和外角之和为180°。

3. 对于任何凸多边形，根据多边形内角和定理，各个顶点的内角和等于 (n-2)×180°，其中 n 是多边形的边数。

4. 由于每一个内角和其对应的外角之和为180°，多边形的内角和可以通过“多边形全角和”与“外角和”的关系来间接确定：n×180°为多边形顶点的内外角和之和。

5. 将对每一个顶点的内角和外角之和即n×180°，减去内角和(n-2)×180°，得到其外角和：总外角和 = n×180° - (n-2)×180°。

6. 通过化简，得出外角和 = 2×180° = 360°。这说明无论该凸多边形有多少个边，外角和为360°。

7. 由以上推理过程可得出答案，凸多边形的外角和为360°。

<note>在本题图中，例如其中一个外角可以定义为从顶点处延长相邻边形成的角</note>。<note>此角与内角形成线性对</note>。

Polygon Interior Angle Sum Theorem

The sum of the interior angles of a polygon is equal to (n - 2) * 180°, where n represents the number of sides of the polygon.

<note>在本题图中，这是一个有5条边的多边形，其中5表示多边形的边数</note>。根据多边形内角和定理，<note>该多边形的内角之和等于 (5-2) × 180°=540°</note>。

Exterior Angle Sum Theorem of Polygon

在本题图中，任意凸多边形中，每个顶点有一个外角。根据<note>多边形外角和定理</note>，<note>这些外角的和等于360°</note>。

Definition of Straight Angle

A straight angle is formed when a ray rotates around its endpoint and the initial side and terminal side lie on the same line but in opposite directions. A straight angle measures 180 degrees.

<note>内角射线与对应外角射线在同一直线上</note>，组成的角为<note>平角</note>，<note>度数为180度</note>。


Question:
图中显示了一个凸多边形。

这个多边形每个顶点处的外角度数之和是多少？
 \$ox\$ °

Answer: 360°

1. 首先，我们需要明白题目要求为凹多边形的每个顶点的外角和。

2. 根据外角定理，凸多边形的每一个顶点的外角都是在该顶点的内角与补角形成的，也就是说，内角与其对应的外角之和为180°。

3. 要得到凸多边形的所有外角的和，我们可以利用多边形外角和定理，该定理指出：任何一个凸多边形的外角和为360°。

4. 根据多边形外角和定理，无论多边形的边数如何，外角的总和不依赖于多边形的边数，所以对于任意凸多边形，每个顶点处的外角和为360°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为360°。

<note>对于凸多边形的每一个顶点</note>，外角可以表示为<note>内角与其对应的补角</note>。若内角表示为<note>∠ABC</note>，则它的外角可以表示为<note>∠ABD</note>，其中<note>D是点BC延长后形成的外角点</note>。

Exterior Angle Sum Theorem of Polygon

<note>角A</note>, <note>角B</note>, <note>角C</note>。根据多边形外角和定理，这些外角的和等于360°，即<note>角A + 角B + 角C = 360°</note>。


Question:
图中显示了一个凸多边形。

每个顶点处的外角度数之和是多少？
 \$ox\$ °

Answer: 360°

1. 根据题目要求和所示图形，这是一个凸多边形。

2. 根据多边形外角和定理：在任何一个凸多边形中，每个顶点处的外角的总和等于360°。

3. 该定理适用于所有凸多边形，无论多边形的边数。因此，我们无需考虑多边形的边数即可应用该定理。

4. 综合以上信息，直接应用多边形外角和定理可知：该凸多边形每个顶点处的外角的总和为360°。

5. 因此，经过上述推理，最终得出答案为360°。

在本题图中，多边形的一个内角为<note>∠ABC</note>（顶点处标注），延长该内角的相邻边<note>AB</note>和<note>BC</note>形成的角<note>∠ABD</note>称为内角<note>∠ABC</note>的外角。比如，分别在多边形的每个顶点处都有一个外角。

<note>角A</note>, <note>角B</note>, <note>角C</note>。根据多边形外角和定理，这些外角的和等于<note>360°</note>，即<note>角A + 角B + 角C = 360°</note>。


Question:
图中显示了一个凸多边形。

这个多边形每个顶点的外角度数之和是多少？
 \$
Box\$ °

Answer: 360°

1. 考察图中给出的凸多边形，我们要找到它的外角和。每个顶点处的外角是在延长邻边后补足内角得到的。

2. 根据‘多边形的外角和定理’，我们知道，任何多边形的外角和都是360°，此定理适用于任何多边形，不论其边数。

3. 将所有顶点的外角度数相加，由于凸多边形的外角和总是360°，我们可以确认，我们无需计算每个外角的具体值。

4. 根据以上的推理，考虑到这是一个凸多边形，我们不需要进一步知道多边形有多少条边，而直接可以确认外角和为360°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为360°。

在本题图中，多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。例如，<note>顶点处的外角是通过延长相邻边形成的</note>。

<note>角A</note>, <note>角B</note>, <note>角C</note>, <note>角D</note>, <note>角E</note>, <note>角F</note>。根据多边形外角和定理，这些外角的和等于360°，即<note>角A + 角B + 角C + 角D + 角E + 角F = 360°</note>。


Question:
求△VWX的面积。

请将答案写成整数或四舍五入到小数点后一位的十进制数。
 \$ox\$ in ^ 2

Answer: 178.3 in ^ 2

1. 已知三角形△VWX的三边分别为：VW = 19 英寸, WX = 32 英寸, VX = 20 英寸。

2. 根据海伦公式，计算不规则三角形的面积需要知道半周长，以及三角形的三边长。

3. 首先计算半周长 s，公式为：s = (VW + WX + VX) / 2，代入已知边长得：s = (19 + 32 + 20) / 2 = 71 / 2 = 35.5 英寸。

4. 计算三角形的面积 A，海伦公式为：A = √[s * (s - VW) * (s - WX) * (s - VX)]。

5. 将数值代入公式：A = √[35.5 * (35.5 - 19) * (35.5 - 32) * (35.5 - 20)]。

6. 计算每个部分的值：(35.5 - 19) = 16.5, (35.5 - 32) = 3.5, (35.5 - 20) = 15.5。

7. 将以上各值相乘：35.5 * 16.5 * 3.5 * 15.5，计算可得积为：31776.9375。

8. 计算该积的平方根：√31776.9375 ≈ 178.2608。

9. 四舍五入到最近的十分位，得出三角形面积 A ≈ 178.3 平方英寸。

10. 经过上述推理，最终得出答案为 178.3。

Definition of Triangle

在本题图中，三角形<note>△VWX</note>是由三个非共线点<note>V、W、X</note>及其连接线段<note>VW、WX、VX</note>组成的几何图形。点<note>V、W、X</note>分别是三角形的三个顶点，线段<note>VW、WX、VX</note>分别是三角形的三条边。

Heron's Formula

在本题图中，三角形<note>WXV中，边WX, WV和VX分别是三角形的三边，记为a, b和c</note>。首先计算三角形的半周长<note>s，即s = (a + b + c) / 2</note>。然后根据海伦公式，三角形的面积<note>A可以表示为：A = √[s(s - a)(s - b)(s - c)]</note>。通过这个公式，可以求出三角形<note>WXV的面积</note>。


Question:
求△UVW的面积。

请将答案写为整数或四舍五入到最接近的十分位的十进制数。
 \$ox\$  mi ^ 2

Answer: 728.1 mi ^ 2

1. 已知△UVW的边长为UV = 37 英里, VW = 44 英里, UW = 43 英里。依据已知的边长可以使用海伦公式求解三角形的面积。

2. 计算三角形的半周长s，上述三条边的和为37 + 44 + 43 = 124，除以2得出半周长s = 62。

3. 海伦公式为：A = sqrt(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))，其中s为半周长，a、b、c分别为三角形的边长。

4. 对于△UVW，应用海伦公式中的参数包括s = 62，a = 37，b = 44，c = 43。

5. 带入海伦公式计算：A = sqrt(62 * (62 - 37) * (62 - 44) * (62 - 43))。

6. 进行计算：A = sqrt(62 * 25 * 18 * 19)。

7. 继续计算积：62 * 25 * 18 * 19 = 530100。

8. A = sqrt(530100)，计算出其平方根A ≈ 728.0797。

9. 四舍五入至小数点后一位，得到面积A ≈ 728.1。

10. 经过上述推理，最终得出△UVW的面积为728.1 平方英里。


Question:
求△UVW的面积。

请将答案写成整数或四舍五入到最接近的十分位的十进制数。
 \$ox\$  ft ^ 2

Answer: 865.7 ft ^ 2

<note>在本题图中，三角形UVW中，边WV, WU和UV分别是三角形的三边，记为a, b和c</note>。首先计算三角形的<note>半周长s，即s = (a + b + c) / 2</note>。然后根据<note>海伦公式</note>，三角形的面积<note>A可以表示为：A = √[s(s - a)(s - b)(s - c)]</note>。通过这个公式，可以求出<note>三角形UVW的面积</note>。


Question:
求 △WXY 的面积。

请将答案写成整数或四舍五入到最接近的十分位的小数。
 \$ox\$  mm ^ 2

Answer: 137.9 mm ^ 2

1. 已知三角形△WXY的三边长度为WX = 29 mm, XY = 21 mm, WY = 14 mm。

2. 根据三角形内三边求面积的Heron公式，它的形式为：Area = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中s为半周长，a, b, c为三角形的三边长。

3. 先计算三角形的半周长s：s = (WX + XY + WY) / 2 = (29 + 21 + 14) / 2 = 32 mm。

4. 将计算得到的半周长s和三边长代入Heron公式的表达式：Area = √[32(32 - 29)(32 - 21)(32 - 14)]。

5. 计算各项：32 - 29 = 3,  32 - 21 = 11, 32 - 14 = 18。

6. 将数值代入计算：Area = √[32 * 3 * 11 * 18]。

7. 计算括号内乘积的数值：32 * 3 * 11 * 18 = 19008。

8. 计算平方根：Area = √19008 ≈ 137.8695。

9. 四舍五入得到的最终答案是：137.9。

10. 经过上述推理，最终得出答案为137.9毫米平方。

<note>在本题图中</note>，用<note>Heron公式计算△WXY的面积</note>。代入对应数值如下：<note>s = 32 mm</note>, <note>a = WX = 29 mm</note>, <note>b = XY = 21 mm</note>, <note>c = WY = 14 mm</note>。计算过程如下：<note>Area = √[32(32-29)(32-21)(32-14)] = √[32 * 3 * 11 * 18] = √19008 ≈ 137.8695 mm²</note>，四舍五入后为<note>137.9 mm²</note>。


Question: 求△UVW的面积。请将答案写为整数或四舍五入到最接近的十分位的十进制数。\$ox\$ mm ^ 2

Answer: 277.0 mm ^ 2

<note>a, b, c 分别为三角形的边长 UV = 22 mm, VW = 28 mm, UW = 27 mm</note>，其半周长 <note>s = 38.5 mm</note>。代入海伦公式：A = <note>√[38.5 * (38.5 - 22) * (38.5 - 28) * (38.5 - 27)]</note>。继续计算得到三角形的面积为 A = <note>√76706.4375</note> ≈ 277.0 mm²。


Question:
求△VWX的面积。

请将答案写成整数或四舍五入到最接近的十分位的十进制数。
 \$ox\$  m ^ 2

Answer: 110.8 m ^ 2

1. 已知三角形△VWX的边长分别为VW=13米、WX=20米、VX=29米。

2. 根据三角形面积的海伦公式，面积A=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中a、b、c为三角形的边长，s为半周长。

3. 首先计算半周长s，s=(13+20+29)/2=31。

4. 代入海伦公式，计算三角形△VWX的面积：A=√[31*(31-13)*(31-20)*(31-29)]。

5. 逐步计算海伦公式中的每个部分：(31-13)=18，(31-20)=11，(31-29)=2。

6. 继续计算：31 * 18=558，558 * 11=6138，6138 * 2=12276。

7. 计算平方根：√12276≈110.7971。

8. 将结果四舍五入到小数点后一位，得到110.8。

9. 经过上述推理，最终得出答案为110.8平方米。

Definition of Triangle

<note>三角形△VWX是由三个非共线点V、W、X</note>及其连接线段<note>VW、WX、VX组成的几何图形</note>。<note>点V、W、X分别是三角形的三个顶点</note>，<note>线段VW、WX、VX分别是三角形的三条边</note>，边长分别为13米、20米和29米。

Heron's Formula

在本题图中，三角形<note>VXW</note>中，<note>边WX, VW和VX</note>分别是三角形的三边，记为<note>a, b和c</note>。首先计算三角形的半周长<note>s</note>，即<note>s = (a + b + c) / 2</note>。然后根据海伦公式，三角形的面积<note>A</note>可以表示为：<note>A = √[s(s - a)(s - b)(s - c)]</note>。通过这个公式，可以求出三角形<note>WXV</note>的面积。


Question:
求△VWX的面积。

请将答案写成整数或四舍五入到小数点后一位的十进制数。
 \$ox\$  km ^ 2

Answer: 293.8 km ^ 2

在本题图中，三角形WVX中，<note>边WV, WX和VX分别是三角形的三边，记为a, b和c</note>。首先计算三角形的半周长s，即<note>s = (a + b + c) / 2</note>。然后根据海伦公式，三角形的面积A可以表示为：<note>A = √[s(s - a)(s - b)(s - c)]</note>。通过这个公式，可以求出<note>三角形WXV的面积</note>。


Question:
在下面显示的长方体中，哪些线是平行的？选择所有适用的选项。

-

| \$\overleftrightarrow{PQ}\$ | 和 | \$\overleftrightarrow{LM}\$ |
-

| \$\overleftrightarrow{LM}\$ | 和 | \$\overleftrightarrow{MN}\$ |
-

| \$\overleftrightarrow{PS}\$ | 和 | \$\overleftrightarrow{LP}\$ |
-

| \$\overleftrightarrow{NR}\$ | 和 | \$\overleftrightarrow{MN}\$ |

Answer:
-

| \$\overleftrightarrow{PQ}\$ | and | \$\overleftrightarrow{LM}\$ |

1. 首先观察长方体结构，根据长方体的定义，在同一个面上的对边是平行的。

2. 线段 \(\overleftrightarrow{PQ}\) 和 \(\overleftrightarrow{LM}\) 在面 PLMQ 上，可以通过矩形的定义得出这两个线段是平行的，因为它们是面 PLMQ 的对边，且在同一平面内，不相交。

3. 线段 \(\overleftrightarrow{LM}\) 和 \(\overleftrightarrow{MN}\) 在点 M 相交，根据平面几何中，若两条直线在同一平面内并有公共点，则它们不平行。

4. 线段 \(\overleftrightarrow{PS}\) 和 \(\overleftrightarrow{LP}\) 也由于交于点 P，因此它们不是平行线。

5. 线段 \(\overleftrightarrow{NR}\) 和 \(\overleftrightarrow{MN}\) 因交于点 N，也不是平行线。

6. 经上述推理，只有 \(\overleftrightarrow{PQ}\) 和 \(\overleftrightarrow{LM}\) 是平行线。

7. 经过上述推理，最终得出答案为 \(\overleftrightarrow{PQ}\) 和 \(\overleftrightarrow{LM}\)。

Definition of Rectangular Prism

A rectangular prism is defined as a three-dimensional geometric figure formed by six rectangular faces, where three mutually adjacent faces respectively define the length, width, and height.

<note>长方体由六个矩形面围成</note>。<note>三个相邻的面分别定义了长SR、宽RQ和高NR</note>。每个矩形面都与其他面垂直，并且对面的面积相等。长方体的体积计算公式为：<note>体积 = 长SR × 宽RQ × 高NR</note>。

Definition of Parallel Lines

Two lines in the same plane that do not intersect are called parallel lines.

<note>直线PQ和直线LM</note>位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据<note>平行线的定义</note>，<note>直线PQ和直线LM</note>是平行线。

Definition of Rectangle

A quadrilateral is called a rectangle if and only if each of its interior angles is a right angle (90°) and its opposite sides are both parallel (∥) and congruent (≅).