Question: 如图,延长长度为8的线段AB到C,使BC=4,M、N分别是AB、BC的中点,则MN的长为()

Answer: 6

1. 已知AB的长度为8，BC的长度为4，且M是线段AB的中点，N是线段BC的中点。

2. 根据中点的定义，M将AB平分成两个相等的部分，所以MB的长度为MB=##1/2##AB=##1/2##×8=4。

3. 同理，N是BC的中点，N将BC平分成两个相等的部分，所以BN的长度为BN=##1/2##BC=##1/2##×4=2。

4. 由于线段MN是由线段MB和线段BN组成的，并且MB和BN在同一条线上，因此MN的长度为MN=MB+BN=4+2=6。

5. 经过上述推理，最终得出答案为6。

线段中点

线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。

在本题图中，线段AB的中点为<note>点M</note>。根据线段中点的定义，<note>点M将线段AB平分为两个相等的部分</note>，即<note>线段AM和线段MB的长度相等</note>。即，<note>AM = MB</note>。同样，线段BC的中点为<note>点N</note>。根据线段中点的定义，<note>点N将线段BC平分为两个相等的部分</note>，即<note>线段BN和线段NC的长度相等</note>。即，<note>BN = NC</note>。


Question: 如图,已知△ABC,点D在BC的延长线上,∠ACD=140°,∠ABC=50°,则∠A的大小为()

Answer: 90°

1. 观察题目，如图所示，已知点D在BC的延长线上，角ACD的大小为140°，角ABC的大小为50°。

####

##2. 根据多边形的外角定义可知∠ACD是三角形ACB的外角。依据三角形的外角定理##，三角形的一外角等于与它不相邻的两个内角的和，即∠ACD = ∠BAC + ∠ABC。

##3##. 将已知条件代入##∠ACD = ∠BAC + ∠ABC##，得到140° = ∠BAC + 50°。

##4##. 将等式整理得：∠BAC = 140° - 50°。

##5##. 计算得出：∠BAC = 90°。

##6##. 经过上述推理，最终得出答案为90°。

普通三角形; 三角形的外角; 邻补角

多边形的外角定义

多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角。

三角形的外角定理

三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。

在本题图中，三角形ABC中，<note>角ACD是三角形的一个外角</note>，<note>角BAC和角ABC是与外角ACD不相邻的两个内角</note>，根据三角形的外角定理，<note>外角ACD等于不相邻的两个内角BAC和ABC之和</note>，即<note>角ACD = 角BAC + 角ABC</note>。


Answer: 100°

1. 已知BE垂直平分AD，根据垂直平分线定义，得出AB = BD。

2. 根据等腰三角形的性质，在△ABD中，∠ADB = ∠A = 70°。

3. 由于AB∥CD，根据平行线的平行公理2，同旁内角互补，∠ADC= 180° -∠A=110° 。

4.因此∠CDB = ∠ADC - ∠ADB=110°-70°=40°。

5. 由于CD=CB，所以三角形CBD是等腰三角形，所以∠CDB=∠CBD=40°。

6. 在△BCD根据三角形的内角和定理，∠C = 180° - 2×∠CDB=100°。

7. 经过上述推理，最终得出答案为∠C = 80°。

平行线; 垂直平分线; 等腰三角形; 同位角; 内错角

垂直平分线的定义

经过线段中点且垂直于该线段的直线。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

<note>等腰三角形ΔBCD</note>中，<note>边BC和边DC相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>∠DBC = ∠DCB</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>在本题图中，两条平行线AB和CD被第三条直线AD所截</note>，形成了以下几何关系：同旁内角：<note>∠A和∠ADC互补，即∠A + ∠ADC = 180度</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>角BDC</note>、<note>角C</note>和<note>角DBC</note>是<note>三角形BCD</note>的三个内角，根据<note>三角形内角和定理</note>，<note>角BDC + 角C + 角DBC = 180°</note>。

同旁内角的定义

两条直线被第三条直线所截，在截线同侧，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角。若两直线平行，则同旁内角互补。若同旁内角互补，则两直线平行。


Question: 已知水平放置的圆柱形排水管道,管道截面半径是1m,若水面高0.2m．则排水管道截面的水面宽度为()

Answer: 1.2m

1.##设圆内的弦为AB（水面宽），## 作 OC 垂直于 AB 于 C，OC 交圆 O 于 D，连接 OB，如图所示。

2. 由于 OB 和 OD 是圆的半径，所以 OB = OD = 1 米。

3. 已知 CD = 0.2 米，因此 OC = OD - CD = 1 - 0.2 = 0.8 米。

4. 在直角三角形 OBC 中，利用勾股定理，得到 BC = √(OB^2 - OC^2) = √(1^2 - 0.8^2) = √(1 - 0.64) = √0.36 = 0.6 米。

5. ##根据垂径定理可得，直线OC垂直并平分弦AB，也就是AC=BC=1/2AB##

6. 因此 AB = 2 * 0.6 米 = 1.2 米。

7. 经过上述推理，最终得出排水管道截面的水面宽度为 1.2 米。

圆; 弦; 圆周角; 正弦; 余弦

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段

<note>点O是圆心</note>，<note>点D是圆上的任意一点</note>，<note>线段OD是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段OD是圆的半径</note>。

圆的定义

到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。

在本题图中，圆O中，<note>点O是圆心</note>，<note>半径为1米</note>。图中<note>所有到点O的距离等于1米的点都在圆O上</note>。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

在本题中，<note>直角三角形OBC中，∠OCB是直角（90度）</note>，<note>边OC和BC是直角边，边OB是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>OB^2 = OC^2 + BC^2</note>，即<note>1^2 = 0.8^2 + BC^2</note>。通过计算，<note>BC = √(1 - 0.64) = √0.36 = 0.6米</note>。

垂径定理

如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。


Question: 如图,在△ABC中,AB=10cm,AC=18cm,点M从点A出发以每秒2cm的速度向点B运动,点N从点C出发以每秒3cm的速度向点A运动,其中一个动点到达端点,另一个动点也随之停止,当△AMN是以MN为底边的等腰三角形时,运动的时间是()

Answer: 3.6秒

1. 设运动的时间为x秒。在△ABC中，已知AB=10cm，AC=18cm。

2. 点M从点A出发以每秒2cm的速度向点B运动，因此AM=2x cm。

3. 点N从点C出发以每秒3cm的速度向点A运动，因此AN=18 - 3x cm。

4. 当△AMN是等腰三角形时，AM=AN。

5. 因此，得到等式2x = 18 - 3x。

6. 通过解方程2x = 18 - 3x，得出：5x = 18，因此x = 3.6。

7. 经过上述推理，在△AMN是以MN为底边的等腰三角形时，运动的时间是3.6秒。

等腰三角形; 线段; 普通三角形; 点

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

<note>△AMN是等腰三角形</note>，且以<note>MN为底边</note>。根据题意，当<note>△AMN是等腰三角形</note>时，需满足<note>AM=AN</note>，即<note>△AMN中边AM和边AN相等</note>。且AM=2x cm，AN=18 - 3x cm。


Question: 如图,AB是⊙O的弦,OC⊥AB于点D,交⊙O于点C,若半径为5,OD=3,则弦AB的长为()

Answer: 8

1. 连接点A与点O，得出线段AO。因为OC垂直于AB，并且交AB于点D，根据##垂径定理##可知，点D是线段AB的中点。因此AD等于BD，且等于AB的一半，即AD=BD=1/2*AB。

2. 在直角三角形AOD中，已知OA的长度为5，OD的长度为3。依据##勾股定理（毕达哥拉斯定理）##，计算得出AD的长度：AD=## √(OA^2 - OD^2 )=  √(5^2 - 3^2 )= √( 25 - 9) =  √16 ##=4。

3. 因为AB等于2倍的AD，所以AB的长度为2*AD=2*4=8。

圆; 弦; 垂线; 直角三角形; 线段

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

在本题图中，三角形AOD中，<note>∠ODA是直角（90度）</note>，因此三角形AOD是一个直角三角形。<note>边OD和边AD是直角边</note>，<note>边OA是斜边</note>。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

垂径定理

如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧


Question: 如图,平行四边形ABCD中,点E、F分别在AD、AB上,依次连接EB、EC、FC、FD,图中阴影部分的面积分别为S~1~、S~2~、S~3~、S~4~,已知S~1~=2、S~2~=12、S~3~=3,则S~4~的值是()

Answer: 7

1. 已知平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD、AB上。定义四个三角形的面积分别为S1、S2、S3和S4，如图所示。

2. 设平行四边形ABCD的面积为S，则三角形△CBE和△CDF的面积分别为S/2。

3. 由于整个图形由几个部分组成，可以通过将各部分面积相加来表示ABCD的总面积：S = 三角形△CBE的面积 + 三角形△CDF的面积 + （阴影部分S1 + S4 + S3）- S2。

4. 根据已知条件，阴影部分S1的面积是2，S2的面积是12，S3的面积是3，因此：S = (1/2)S + (1/2)S + 2 + S4 + 3 - 12。

5. 简化等式得：S = S + 2 + S4 + 3 - 12，进一步简化：0 = 2 + S4 + 3 - 12。

6. 化简方程，得：S4 = 7。

7. 经过上述推理，最终得出答案为S4 = 7。

平行四边形; 普通三角形; 线段; 平行线; 对称

平行四边形的定义

平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。

三角形的面积公式

任意三角形的面积等于其底乘以高除以2

在本题图中，根据三角形的面积公式，<note>三角形BCE的面积</note>等于<note>底边BC</note>乘以<note>BC边上的高(即平行四边形BC边上的高)</note>再除以2，<note>三角形CDF的面积</note>等于<note>底边ED</note>乘以<note>CD边上的高(即平行四边形CD边上的高)</note>再除以2。

平行四边形的面积公式

一个平行四边形的面积等于它的底边长乘以对应的高，即A = 底边长 × 高。

<note>在本题图中</note>，平行四边形xxx中，<note>边xx是底边</note>，对应的<note>高是从底边xx到对边的垂直距离，记为xx</note>。因此，根据平行四边形的面积公式，平行四边形ABCD的面积<note>等于底边长BC乘以对应的高</note>，也<note>等于底边长CD乘以对应的高</note>。


Question: 如图,在四边形ABCD中,∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P,且∠D+∠C=200°,则∠P=()

Answer: 10°

1. 已知∠D + ∠C = 200°，且四边形内角和为360°，则有∠DAB + ∠ABC + ∠C + ∠D = 360°。

2. 根据上述等式，得出∠DAB + ∠ABC = 160°。

3. ∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P。

4. 设∠PAB是∠DAB的平分角，则∠PAB = 0.5 * ∠DAB。

5. 设##∠PBE是外角CBE的平分角##，然后##∠PBE## = 0.5 * (180° - ∠ABC)。

6. 从而得##∠PBE － ∠PAB =  0.5 * (180° - ∠ABC) －0.5 * ∠DAB= 0.5 * (180° - ∠ABC－∠DAB) = 90° － 0.5 * (∠DAB + ∠ABC)＝10°。##

####

##7. ##在△PAB中，∠PBE是外角，∠P=∠PBE － ∠PAB=10°。##

##8.## 经过上述推理，最终得出∠APB = 10°。

邻补角; 普通三角形; 三角形的外角

多边形内角和定理

一个多边形的内角之和等于 (n-2) × 180°，其中 n 是多边形的边数。

<note>四边形ABCD</note>中，<note>ABCD是一个有4条边的多边形，其中4表示多边形的边数</note>。根据<note>多边形内角和定理，该多边形的内角之和等于 (4-2) × 180° = 360°</note>。

角平分线定义

角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。

三角形外角定理

三角形的一个外角等干不相邻的两个内角之和

<note>△PAB</note>中，<note>∠PBE</note>是<note>∠PAB和∠APB</note>不相邻的外角，根据三角形外角定理，<note>∠PAB + ∠APB = ∠PBE</note>。


Question: 如图,在平行四边形ABCD中,AB=10cm,AD=15cm,AC、BD相交于点O．OE⊥BD交AD于E,则△ABE的周长为()

Answer: 25cm

1. 已知在平行四边形ABCD中, AB=10cm, AD=15cm，且AC、BD相交于点O。

2. 由于点O是BD的中点，且OE垂直于BD， 根据中垂线的定义，线段EO就是线段BD的中垂线。

3. 因为EO是BD的中垂线，可以得出BE等于ED。

4. 在△ABE中，周长为AB + AE + BE=AB + AE + DE=AB + AD 。

5. 又因为AD 和BC在平行四边形ABCD中是相等的。

6. 因而△ABE的周长为AB + BC。

7. 根据已知AB等于10cm，BC等于15cm，将其代入可得，△ABE的周长为10cm + 15cm = 25cm。

8. 由此可得，△ABE的周长为25cm。

平行四边形; 线段; 垂线; 普通三角形; 直角三角形

平行四边形的定义

平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。

垂直平分线的定义

经过线段中点且垂直于该线段的直线。

垂直平分线的性质

垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等。

三角形的周长公式

三角形的周长等于三条边的长度之和，即如果三角形的三条边分别为a、b、c，则周长P=a+b+c。

<note>三角形BAE的三边分别为AB、AE、BE</note>，根据三角形的周长公式，三角形的<note>周长等于其三边长度之和</note>，即<note>周长P=AB+AE+BE</note>。


Question: 如图,四边形ABCD是⊙O的外切四边形,且AB=10,CD=12,则四边形ABCD的周长为()

Answer: 44

1. 已知四边形ABCD是⊙O的外切四边形，根据##圆外切四边形的性质，圆的外切四边形的两组对边的和相等##。

2. 由已知条件AB=10，CD=12可得，AB+CD=10+12=22。

3. 根据##圆外切四边形的性质##，可知AD+BC=22。

4. ##根据多边形的周长公式，可知##四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+DA。

5. 将已知条件代入周长公式，得四边形ABCD的周长=10+BC+12+AD。

6. 由已知AD+BC=22，可得10+12+AD+BC=10+12+22。

7. 故四边形ABCD的周长=44。

8. 最终得出答案为44。

圆内接四边形; 切线; 圆

圆外切四边形的性质

四边分别与圆相切的四边形称为圆外切四边形。圆的外切四边形的两组对边的和相等。

在本题图中，四边形<note>ABCD是一个圆外切四边形</note>，四边分别与圆相切。根据圆外切四边形的性质，<note>四边形ABCD的两组对边的和相等</note>，即<note>边AB+边CD=边AD+边BC</note>。

多边形的周长公式

多边形的周长等于其所有边的长度之和。对于n边形，若各边长度分别为a?, a?, ..., a?，则周长P = a? + a? + ... + a?。

在本题图中，已知四边形<note>ABCD</note>的各边分别为<note>AB、BC、CD、DA</note>，根据多边形的周长公式，四边形的周长等于其所有边的长度之和，即周长<note>P=AB+BC+CD+DA</note>。##


Question: 如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,点E是边CD的中点,连接OE．若平行四边形ABCD的周长为24,BD=8,则△DOE的周长为()

Answer: 10

1. 已知平行四边形ABCD的周长为24，根据##平行四边形周长公式##，AB + BC + CD + DA = 24。由于平行四边形的对边相等，因此BC + CD = 12。

2. 因为点O是对角线BD的中点，所以OD = 0.5 * BD = 0.5 * 8 = 4。

3.已知点E是边CD的中点，所以DE = 0.5 * CD。

4. 由于BC + CD = 12，所以CD = 12 - BC。

5. 根据平行四边形的性质，BC = AD。因此CD = 12 - AD。

6. 因为点O是对角线BD的中点，点E是边CD的中点，根据中位线定理，OE = 0.5 * BC = 0.5 * AD。

7. 综上所述，三角形DOE的周长为OE + DE + OD。

8. 将各边长度相加，OE + DE + OD = 0.5 * AD + 0.5 * (12 - AD) + 4 = 6 + 4。

9. 经过上述推理，最终得出答案为10。

平行四边形; 中点; 线段; 普通三角形; 对称

平行四边形的定义

平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。

线段中点

线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。

在本题图中，<note>线段CD的中点为点E</note>。根据线段中点的定义，<note>点E将线段CD平分为两个相等的部分</note>，即<note>线段CE和线段ED的长度相等</note>。即，CE = ED。

平行四边形的性质定理

在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。

三角形中位线定理

在三角形中，如果一条线段连接两边的中点，那么这条线段与第三条边平行且等于第三条边的一半。

<note>点O是边BD的中点</note>，<note>点E是边CD的中点</note>，<note>线段OE连接了这两个中点</note>。根据三角形中位线定理，<note>线段OE与第三边BC平行</note>且<note>等于第三边BC的一半</note>，即<note>OE || BC</note>，并且<note>OE = 1/2 * BC</note>。

平行四边形的周长

平行四边形的周长等于其两组邻边的两倍之和。公式为：P = 2(a + b)，其中a和b为平行四边形的两条邻边。

在本题图中，<note>平行四边形ABCD</note>中，<note>边BC和CD是相邻的两条边</note>，<note>边AB和AD也是相邻的两条边</note>。根据平行四边形的周长公式，平行四边形的周长等于其两组邻边的两倍之和，即<note>周长P = 2(BC + CD)</note>。##

三角形的周长定理

<note>三角形△OED的三边分别为OE、OD、ED</note>，根据三角形的周长定理，三角形的周长等于其三边长度之和，即<note>周长P=OE+OD+ED</note>。


Question: 如图,在△ABC中,AB=10,AC=6,过点A的直线DE∥CB,∠ABC与∠ACB的平分线分别交DE于E,D,则DE的长为()

Answer: 16

1. 由题意，BE为∠ABC的平分线，根据角平分线定义，得到∠ABE=∠EBC，CD为∠ACB的平分线，根据角平分线定义，得到∠ACD=∠BCD。

2. 又因为DE∥BC，根据平行线的平行公理2，内错角相等，因此有：∠E=∠ABE=∠EBC，∠D=∠ACD=∠BCD。

3. 所以三角形ABE和三角形ADC为等腰三角形，AD=AC，AE=AB。

4. 因此DE=AE + AD=AB + AC= 10 + 6 =16。

平行线; 普通三角形; 内错角; 线段; 对称

角平分线定义

角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>两条平行线DE和BC被第三条直线CD所截</note>，形成了以下几何关系：<note>内错角：角D和角DCB相等</note>。<note>两条平行线DE和BC被第三条直线BE所截</note>，形成了以下几何关系：<note>内错角：角E和角EBC相等</note>。

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

<note>在本题图中，三角形DAC中，边AD和边AC相等</note>，因此三角形DAC是一个等腰三角形。<note>三角形EAB中，边AE和边AB相等</note>，因此三角形EAB是一个等腰三角形。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

<note>等腰三角形DAC中，角D和角ACD相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的角对应的边相等，即<note>边AD = 边AC</note>。<note>等腰三角形EAB中，角E和角ABE相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的角对应的边相等，即<note>边AE = 边AB</note>。


Answer: 70°

1. 已知PA与⊙O相切于A，PB与⊙O相切于B，连接OA和OB。

2. ##根据圆的切线性质可得：##OA垂直于PA，OB垂直于PB。

3. 因此，∠OAP = ∠OBP = 90°。

 4. 因为四边形POAB是##四边形，根据四边形的内角和定理##，四边形内角和为360°，所以##∠P = 360° - ∠AOB-∠OAP-∠OBP。##

5. 由题意，∠C=55°，则根据圆周角定理，##圆心角等于其所在弧对应的圆周角的两倍##，可得∠AOB=2∠C=110°。

6. 由此可得，##∠P = 360° - ∠AOB-∠OAP-∠OBP = 360° - 90° - 90° -110° = 70°。##

7. 经过上述推理，最终得出答案为70°。

圆; 切线; 等腰三角形; 圆周角; 三角形的外角

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

<note>圆O中，点A是直线PA与圆的切点，线段OA是圆的半径</note>。根据圆的切线性质，<note>切线PA与经过切点A的半径OA垂直，即∠OAP=90度</note>。同理，<note>点B是直线PB与圆的切点，线段OB是圆的半径</note>。根据圆的切线性质，<note>切线PB与经过切点B的半径OB垂直，即∠OBP=90度</note>。

四边形的内角和定理

在任意四边形中，四个内角的和为360°

<note>四边形AOBP中，角PAO、角AOB、角OBP和角APB是四边形的四个内角</note>，根据四边形的内角和定理，这四个内角的和为360°，即<note>角PAO+ 角AOB+ 角OBP+ 角APB= 360°</note>。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

在本题图中，圆O中，<note>角ACB的顶点(点C)在圆周上</note>，角ACB的两边分别与<note>圆O相交于点A和点B</note>。因此，<note>角ACB是一个圆周角</note>。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

在本题图中，圆O中，<note>点A和点B是圆上的两点，圆心是点O</note>。<note>连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角</note>。


Question: 如图,在△ABC中,过顶点A的直线DE∥BC,∠ABC、∠ACB的平分线分别交DE于点E、D,若AC=3,AB=4,则DE的长为()

Answer: 7

1. 已知直线DE平行于BC，并且过顶点A，且∠ABC和∠ACB的平分线分别交DE于点E、D。

2. 因为∠ABC和∠ACB的平分线分别交DE于点E、D，所以∠EBC=∠ABE，并且∠DCB=∠ACD。

3. 根据##平行线的平行公理2，内错角相等##，得出∠DCB=∠CDE，并且∠EBC=∠BED。

4. 因为∠DCB=∠CDE，所以∠ADC=∠ACD，同样，因为∠EBC=∠BED，所以∠ABE=∠AEB。

5. ##在三角形ABE和三角形ADC中，根据等腰三角形的性质##，因为∠ADC=∠ACD，所以AD=AC。同样，因为∠ABE=∠AEB，所以AB=AE。

6. 得出DE的长度等于AD加AE，即DE = AD + AE。

7. 由##第五步##可知AD=AC=3，AE=AB=4，所以DE=3+4=7。

8. 经过上述推理，最终得出答案为7。

平行线; 三角形的外角; 线段; 普通三角形; 平行四边形

角平分线定义

角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

<note>等腰三角形ADC中，角ADC = 角ACD</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的角对应的边相等，即<note>边AD和边AC相等</note>。同样，<note>在等腰三角形ABE中，角ABE = 角AEB</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的角对应的边相等，即<note>边AB和边AE相等</note>。

内错角的定义

当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。


Question: 如图,在边长为1的正方形网格中,连接格点D、N和E、C,DN和EC相交于点P,tan∠CPN为()

Answer: 2

1. 已知在边长为1的正方形网格中，连接格点D、N和E、C。

2. ##设点E下面的格点为点M，点D下面第一个格点为点O，点D下面第二个格点为点A，点N下面的格点为点B，##连接格点MN和DM，这样就定义了一个辅助线MN和连接线DM。

3.##因为CN和EM都是边长为1的正方形的边，根据正方形的定义得CN与EM的关系为相等并平行，因此根据平行四边形的定义可得：四边形MNCE是平行四边形##。

4. 由已知条件，##因为网格中都是边长为1的正方形，所以∠DAM=∠NBM=90°，并且AD=AM=OA+OD=1+1=2，NB=MB=1，根据等腰直角三角形的定义可得：△DAM和△MBN都是等腰直角三角形，因此有∠DMA=∠NMB=45°，根据勾股定理可得：DM=√(AD^2+AM^2)=√(2^2+2^2)=2√2和MN=√(BN^2+BM^2)=√(1^2+1^2)=√2##。

5.##因为四边形MNCE是平行四边形，根据平行四边形的性质定理可得：CE∥NM。由平行线的平行公理2得：∠CPN=∠DNM（内错角相等）##。

6. 然后通过##平角的定义##，可得 ∠DMN=180°-∠DMA-∠NMB=180°-45°-45°=90°。

7. 根据##正切函数定义，tan∠DNM=对边/邻边=DM/MN=2√2/√2=2##。

8. 经过上述推理，最终得出假设tan∠CPN=2。

点; 线段; 正切; 三角形的外角; 正方形

正方形的定义

正方形是一种平面四边形，其四条边相等且四个内角均为直角（90度）。

<note>正方形网格中的每一个小方格都是正方形</note>。每个小方格的<note>四个内角均为直角（90度）</note>，且<note>相对的边互相平行并等长</note>。

平行四边形的定义

平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。

平行四边形的性质定理

在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分

等腰直角三角形的定义

等腰直角三角形是两个边相等且有一个角为90度的三角形。

在本题图中，<note>三角形DAM和三角形NBM是等腰直角三角形</note>，其中<note>角 ∠DAM 和 ∠NBM 是直角（90度）</note>，<note>边 DA 和 MA 以及边 NB 和 BM是相等的直角边</note>。

正切函数的定义

在直角三角形中，一个锐角的正切值等于相对直角边长度除以相邻直角边长度。

内错角的定义name:当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角this:在本题图中，两条平行直线CE和NM被一条直线PN截交，其中角CPN和角DNM位于两平行线之间，且在截线PN的对侧，因此角CPN和角DNM是内错角。内错角相等，即角CPN等于角DNM。##name:平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>在本题图中，两条平行直线CE和NM被一条直线PN截交</note>，<note>其中角CPN和角DNM位于两平行线之间，且在截线PN的对侧</note>，因此角CPN和角DNM是内错角。<note>内错角相等，即角CPN等于角DNM</note>。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和

<note>直角三角形DAM中，角DAM是直角（90度）</note>，边DA和MA是直角边，边DM是斜边，所以根据勾股定理，DM? = DA? + MA?即<note>DM=√(AD^2+AM^2)</note>=√(2^2+2^2)=2√2。<note>直角三角形MBN中，角MBN是直角（90度）</note>，边NB和MB是直角边，边MN是斜边，所以根据勾股定理，MN? = NB? + MB?即<note>MN=√(BN^2+BM^2)</note>=√(1^2+1^2)=√2。

平角的定义

一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度


Question: 一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地,再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地,则A、C两地相距()

Answer: 40海里

1. 已知：一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地。

2. 由题意可构建辅助线：从A地向南和B地向北分别作一条与海平面垂直的线。

3. 因为轮船向南偏西40°行驶，因此∠BAA' = 40°（其中A'为A地向南延伸线上的一点）。

4. 同理，因轮船向北偏西20°行驶，故∠CBB' = 20°（其中B'为B地向北延伸线上的一点）。

5. 由于这两条线的方向分别是南北方向，##根据平行线的平行公理2，BB' | | AA'，∠B'BA和∠BAA'为内错角，所以∠B'BA=∠BAA'，##则##∠ABC## = ∠BAA' + ∠CBB' = 40° + 20° = 60°。

6. A地到B地的实际行驶路径AB = 40海里，B地到C地的实际行驶路径BC = 40海里。

7. 因此，根据已知##∠ABC## = 60°和AB = 40海里，BC = 40海里，可以得出△ABC是等边三角形（##等边三角形的判定定理（等腰三角形的60度角判定）##）。

8. 因此，AC = AB = 40海里。

9. 经过上述推理，最终得出答案为40海里。

直角三角形; 方向角; 线段; 等腰三角形; 平移

角的定义

角是由两个有公共端点的射线组成的几何图形，其中的公共端点称为角的顶点，两条射线称为角的边。

<note>∠BAA' 是由射线 BA 和 AA' 组成的几何图形</note>，这两条射线有一个共同的端点 A。这个共同的端点 A 称为<note>∠BAA' 的顶点</note>，而射线 BA 和 AA' 称为<note>∠BAA' 的边</note>。同理，<note>∠CBB'是由射线 CB 和 BB' 组成的几何图形</note>，这两条射线有一个共同的端点 B。这个共同的端点 B 称为<note>∠CBB' 的顶点</note>，而射线 CB 和 BB' 称为<note>∠CBB' 的边</note>。

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

<note>在本题图中，三角形ABC</note>是<note>由三个非共线点A、B、C及其连接线段AB、BC、CA组成的几何图形</note>。<note>点A、B、C分别是三角形的三个顶点</note>，<note>线段AB、BC、CA分别是三角形的三条边</note>。

等边三角形的判定定理（等腰三角形的60度角判定）

有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形

<note>△ABC为等腰三角形</note>，边<note>BC与边BA相等</note>，且存在一个内角为60°，即<note>∠ABC=60°</note>。根据等边三角形的判定定理，等腰三角形中若有一个内角为60°，则该三角形三边长度相等，三个内角均为60°，因此可判定<note>△ABC为等边三角形</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

内错角的定义

当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角


Question: 如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,BF平分∠ABC,交AD于点F,CE平分∠BCD,交AD于点E,AB=8,CD=6,EF=2,则AD长为()

Answer: 12

1. 已知线段AD平行于线段BC，且线段BF平分角∠ABC，得到角∠ABF等于角∠CBF。

2. 由于线段CE平分角∠BCD，得到角∠DCE等于角∠BCE。

3. 因为线段AD平行于线段BC，##根据平行线的平行公理2##，得到角∠CBF等于角∠AFB，并且角∠DEC等于角∠BCE。

4. 结合以上两步的结果，得知角∠ABF等于角∠AFB，并且角∠DCE等于角∠DEC。

5. 因为角∠ABF等于角∠AFB，依据##等腰三角形的性质##，可得线段AB等于线段AF，因此AF的长度为8。

6. 同理，由于角∠DCE等于角∠DEC，依据##等腰三角形的性质##，可得线段CD等于线段DE，因此DE的长度为6。

7. 已知线段EF的长度为2，依据线段相加减的关系，线段AD的长度等于线段AF加上线段DE减去线段EF。

8. 计算得出：AD = AF + DE - EF = 8 + 6 - 2 = 12。

9. 经过上述推理，最终得出答案为：12。

平行线; 平行四边形; 内错角; 平移; 线段

角平分线定义

角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。

平行线的定义

在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

<note>线段AD和线段BC位于同一平面内</note>，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，<note>线段AD和线段BC是平行线</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>在本题图中，两条平行线AD和BC被第三条直线BF所截</note>，形成了以下几何关系：
1. 内错角：<note>∠FBC</note>和<note>∠AFB</note>相等。
2. 内错角：<note>∠BCE</note>和<note>∠DEC</note>相等。
<note>这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，内错角相等。</note>

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

在本题图中，<note>等腰三角形ABD中</note>，<note>角ABD = 角ADB</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的角对应的边相等，<note>即边AB和边AD相等</note>。<note>等腰三角形EDC中</note>，<note>角DEC和角DCE相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的角对应的边相等，<note>即边DE = 边DC</note>。

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。


Question: 如图,∠BAC=110°,若A,B关于直线MP对称,A,C关于直线NQ对称,则∠PAQ的大小是()

Answer: 40°

1. 已知 ∠BAC = 110°。

2. 由于 A 和 B 关于直线 MP 对称且 A 和 C 关于直线 NQ 对称，根据对称性，直线 MP 是线段 AB 的垂直平分线，直线 NQ 是线段 AC 的垂直平分线。

3. 因为直线 MP 是线段 AB 的垂直平分线，所以 ∠BAP = ∠ABP。

4. 因为直线 NQ 是线段 AC 的垂直平分线，所以 ∠QAC = ∠QCA。

5. 由三角形内角和定理得 ∠ABC + ∠BCA = 180° - ∠BAC = 180° - 110° = 70°。

6. 又因为 ∠BAP = ∠ABP 和 ∠QAC = ∠QCA，因此 ∠BAP + ∠QAC = ∠ABP + ∠QCA = 70°。

7. 由上述结论得 ∠PAQ = ∠BAC - ∠BAP - ∠QAC = 110° - 70° = 40°。

8. 经过上述推理，最终得出 ∠PAQ = 40°。

对称; 邻补角; 三角形的外角

对称点

对称点是指关于某条直线（或点）两边的点，且两点距直线（或点）相同。

<note>点A和点B是关于直线MP对称的点</note>，且<note>点A到直线MP的距离等于点B到直线MP的距离</note>。同理，<note>点A和点C是关于直线NQ对称的点</note>，且<note>点A到直线NQ的距离等于点C到直线NQ的距离</note>。根据对称点的定义，<note>点A和点B在直线MP的两侧，且满足距离相等的关系，即距离AM = 距离BM</note>。同样，<note>点A和点C在直线NQ的两侧，且满足距离相等的关系，即距离AN = 距离CN</note>。

垂直平分线的性质

垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等。

<note>线段AB的垂直平分线为直线MP</note>，<note>点P在直线MP上</note>。根据垂直平分线的性质，<note>点P到线段AB两端点A和B的距离相等，即PA = PB</note>。同理，<note>线段AC的垂直平分线为直线NQ</note>，<note>点Q在直线NQ上</note>，根据垂直平分线的性质，<note>点Q到线段AC两端点A和C的距离相等，即QA = QC</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

在本题图中，<note>三角形ABC</note>中，<note>角BAC</note>、<note>角ABC</note>和<note>角BCA</note>是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>角BAC + 角ABC + 角BCA = 180°</note>。


Question: 如图,在等边△ABC中,BD平分∠ABC交AC于点D,过点D作DE⊥BC于点E,且CE=1.5,则AB的长为()

Answer: 6

1. 已知△ABC是等边三角形，根据等边三角形的定义，得出AB=BC=CA，并且∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°。

2. 由于DE⊥BC，####得出##∠CED=90°##。

####

##3##. ##因为∠CED=90°和∠DCE=60°，根据三角形内角和定理得出∠EDC=30°##。

##4##. 在△CDE中，由于EC=1.5，依据30°-60°-90°三角形性质得出，CD=2*EC=3。

##5##. 因为BD平分∠ABC且##△ABC是等边三角形，则根据等腰三角形高线、中线、角平分线重合定理##得出AD=CD=3。

##6##. 因△ABC是等边三角形，##所以AB=AC##。

##7##. 因为AB=AC=AD+CD，根据前面的计算得出AD=3且CD=3，所以AB=3+3=6。

##8##. 经过上述推理，最终得出AB的长为6。

等边三角形的定义

等边三角形是所有三条边长度相等并且所有内角都相等（均为60°）的三角形。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°

<note>三角形CDE中，角CDE、角DEC和角ECD是三角形CDE的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角CDE + 角DEC + 角ECD = 180°</note>。########

等腰三角形高线、中线、角平分线重合定理

等腰三角形的顶角平分线不仅平分顶角，还平分底边并垂直于底边

30°-60°-90°三角形的性质

在30°-60°-90°三角形中，30度角所对的边短，是斜边的一半，60度角所对的边则为短边的√3倍。

<note>△CDE 是一个 30°-60°-90° 的三角形</note>，其中<note>∠CED=90°</note>，<note>∠DCE=60°</note>，<note>∠CDE=30°</note>。<note>边CE是30度角所对的边</note>，<note>边CD是60度角所对的边</note>，<note>边DE是斜边</note>。根据30°-60°-90°三角形的性质，<note>边CE等于边CD的一半</note>，<note>边DE等于边CE的√3倍</note>。即：<note>CE = 1/2 * CD，DE = CE * √3</note>。


Question: 如图,过三角形内一点分别作三边的平行线,如果三角形的周长为6cm,则图中三个阴影三角形的周长和为()

Answer: 6cm

1. 已知过三角形内一点分别作三边的平行线，记三角形三个顶点分别为A，B，C，作EN平行BC,PM平行AB,DQ平行AC，假设EN，PM，DQ相关于三角形ABC内一点F。

2. 由平行四边形的定义，四边形EFBP,FQCN,ADFM是平行四边形。

3. 在平行四边形EFBP中，EF等于BP，PF等于BE；平行四边形FQCN中，FQ等于NC，FN等于CQ；平行四边形ADFM中，DF等于AM，FM等于AD。

4. 计算三个阴影三角形的周长和：DE+EF+FD+FM+FN+MN+FP+PQ+FQ。

5. 代入第3步的结果，三个阴影三角形的周长和=DE+BP+AM+AD+QC+MN+BE+PQ+NC。

6. 进一步合并各部分，(AD+DE+BE)+(BP+PQ+CQ)+(NC+MN+AM)，等于AB+BC+AC。

7. 由题意，原三角形的周长为6厘米，因此三个阴影三角形的周长和为6厘米。

8. 经过上述推理，最终得出答案为6厘米。

普通三角形; 平行线; 点

平行四边形的性质定理

在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。

<note>四边形EFBP中，EF = BP，PF = BE</note>；<note>四边形FQCN中，FQ = NC，FN = CQ</note>；<note>四边形ADFM中，DF = AM，FM = AD</note>。

平行四边形的定义

平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。


Question: 如图,在△ABC中,∠ABC=110°,AM=AN,CN=CP,则∠MNP=()

Answer: 35°

1. 已知∠ABC=110°，根据三角形内角和定理，得出∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC=70°。

2. 由已知线段AM=AN，##所以三角形AMN是一个等腰三角形，##根据等腰三角形的性质，得出∠ANM=∠NMA。

3. 根据三角形内角和定理，在△ANM中，得出∠ANM=∠NMA=##(180°-∠BAC)/2##。

4. 由已知线段CN=CP，##所以三角形CNP是一个等腰三角形，##根据等腰三角形的性质，得出∠CNP=##∠CPN##。

5. 根据三角形内角和定理，在△CNP中，得出∠CNP=##∠CPN=(180°-∠BCA)/2##。

6. 由于##N点在AC上，所以∠ANC为180°，所以∠MNP＝180°-∠ANM-∠CNP=180°-(180°-∠BAC)/2-(180°-∠BCA)/2##。

####

##7##. 继续简化，得出∠MNP=##1/2##(∠BAC+∠BCA)。

##8##. 由于在第一步已经确定了∠BAC+∠BCA=70°，所以∠MNP=##1/2##×70°=35°。

##9##. 经过上述推理，最终得出答案为35°。

等腰三角形; 三角形的外角; 对称; 对顶角; 普通三角形

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

<note>三角形CNP中，边CN和边CP相等</note>，因此三角形CNP是一个等腰三角形。##同理，<note>三角形AMN中，边AN和边AM相等</note>，因此三角形AMN是一个等腰三角形。####

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等

<note>等腰三角形CNP中，边CN和边CP相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>角CNP = 角CPN</note>。同样地，<note>等腰三角形AMN中，边AM和边AN相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>角ANM = 角NMA</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形CNP中，角CNP、角NPC和角PCN是三角形CNP的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，角CNP + <note>角NPC</note> + 角PCN = 180°。<note>三角形AMN中，角AMN、角ANM和角MAN是三角形AMN的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，角AMN + 角ANM + 角MAN = 180°。<note>三角形ABC中，角BAC、角ABC和角ACB是三角形ABC的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，角BAC + 角ABC + 角ACB = 180°。

平角的定义

<note>射线AN绕着端点N旋转到与起始边成一条直线</note>，形成<note>平角ANC</note>。根据<note>平角的定义</note>，平角的度数为180度，即<note>角ANC=180度</note>。


Question: 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AD是∠BAC的平分线．若P,Q分别是AD和AC上的动点,则PC+PQ的最小值是()

Answer: \frac{24}{5}

1. 已知在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，边AC=6，边BC=8，AD是∠BAC的平分线。

2. 过点C作一条垂线CM垂直于AB，并交AB于点M，交AD于##点P’##。

##3. 过点P‘作一条垂线P’Q‘垂直于AC，并交AC于点Q'。##

4. 根据平角的平分线性质，##P'Q'=P'M##。

##5. 因此，当P’Q‘=P’M时，P‘C+P’Q‘的最小值即为CM的长度。##

6. 由勾股定理可得AB的长度，##AB=√(AC^2+BC^2)=√(6^2+8^2)=10##。

7. 计算三角形ABC的面积，可以得出S△ABC = 1/2 * AC * BC = 1/2 * 6 * 8 = 24。

8. 三角形ABC的面积也可以表示为：S△ABC = 1/2 * AB * CM。

9. 令两个面积公式相等，得出CM的长度，24 = 1/2 * 10 * CM，即CM = 24/5。

10. 因此，PC + PQ 的最小值为24/5。

直角三角形; 线段; 等腰三角形; 反射

角平分线定义

角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。

垂线定义

如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>直角三角形ABC</note>中，<note>∠ACB是直角（90度）</note>，边<note>AC和边BC是直角边</note>，边<note>AB是斜边</note>，所以根据<note>勾股定理</note>，<note>AB^2 = AC^2 + BC^2</note>，即<note>10^2 = 6^2 + 8^2</note>。

三角形的面积公式

任意三角形的面积等于其底乘以高除以2

<note>三角形ABC</note>中，<note>边AC是底</note>，<note>线段BC是高</note>。根据三角形的面积公式，三角形ABC的面积等于<note>底边AC乘以高BC</note>再除以2，即<note>S△ABC = (AC * BC) / 2 = (6 * 8) / 2 = 24</note>。另一个方法是用基准<note>AB和高CM</note>求得：<note>S△ABC = 1/2 * AB * CM</note>，从而得出<note>24 = 1/2 * 10 * CM</note>，求得<note>CM = 24/5</note>。

角平分线的性质

角平分线上任意一点到角两边的距离相等。


Question: 如图,一辆货车车厢底板离地面的高度为\frac{3}{2}米,为了方便下货,常用一块木板搭成一个斜面,要使斜面与水平地面的夹角不大于30°,则这块木板的长度至少为()

Answer: 3米

1. 如图所示，设AC为车厢底板离地面的高度，即AC=##3/2##米，AB为木板的长度。

2. 由于木板需要搭成一个斜面，使斜面与水平地面的夹角不大于30°，因此在直角三角形ABC中，∠B=30°。

3. 根据##30°-60°-90°三角形的性质，在30°-60°-90°三角形中，30度角所对的边短，是斜边的一半。斜边AB等于对边AC的2倍。##

4. 因此，AB=2*AC。

5. 代入AC=##3/2##米，得AB=2×##3/2##=3米。

6. 所以，为了使斜面与水平地面的夹角不大于30°，这块木板的长度至少为3米。

直角三角形; 仰角; 正弦

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

30°-60°-90°三角形的性质

在本题图中，<note>30°-60°-90°三角形ABC</note>中，角<note>ABC是30度</note>，角<note>BAC是60度</note>，角<note>ACB是90度</note>。边<note>AB是斜边</note>，边<note>AC是30度角所对的边</note>，边<note>BC是60度角所对的边</note>。根据30°-60°-90°三角形的性质，边<note>AC等于边AB的一半</note>，边<note>BC等于边AC的√3倍</note>。即：<note>AB = 1/2 * AC</note>，<note>BC = AC * √3</note>。


Question: 如图,在△ABC中,点D、E分别是AB、AC的中点,若DE=1.5,则BC的长是()

Answer: 3

1. 已知点D、E分别是线段AB、AC的中点，根据中位线定理，线段DE在△ABC中是BC的中位线。

2. 根据中位线定理，三角形中位线的长度等于该三角形第三边的一半，在本题中为DE=1/2 * BC。

3. 已知DE=1.5，根据上一步的结论，可以推出BC=2 * DE。

4. 代入已知的DE值，计算得BC=2 * 1.5=3。

5. 因此，经过上述推理，最终可以得出线段BC的长度为3。

中点; 平行线; 普通三角形; 线段

三角形中位线定理

在本题图中，三角形ABC中，<note>点D是边AB的中点</note>，<note>点E是边AC的中点</note>，<note>线段DE连接了这两个中点</note>。根据三角形中位线定理，<note>线段DE与第三边BC平行且等于第三边BC的一半</note>，即<note>DE || BC</note>，并且<note>DE = 1/2 * BC</note>。已知DE=1.5，因此<note>BC=2 * DE=3</note>。


Question: 如图,OA、OB分别是线段MC、MD的垂直平分线,MD=5cm,MC=7cm,CD=10cm,一只小蚂蚁从点M出发爬到OA边上任意一点E,再爬到OB边上任意一点F,然后爬回M点处,则小蚂蚁爬行的路径最短可为()

Answer: 10cm

1. 设CD与OA的交点为E，与OB的交点为F。根据题意，画辅助线进行几何分析。

2. 因为OA是线段MC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，可以得出ME = CE。

3. 同理，因为OB是线段MD的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，可以得出MF = DF。

4. ##所以蚂蚁爬行的路径是ME + EF + FM=CE+EF+FD##。

5. ##已知两点之间线段最短，为了使CE+EF+FD为最小值，则C，E，F，D同在一条直线上##，可以得出最短路径为CD。

6. 因此，蚂蚁爬行的最短路径为CD的长度，CD已知为10cm。

7. 故最终得出答案：小蚂蚁爬行的路径最短为10cm。

垂直平分线; 线段; 等腰三角形; 反射

垂直平分线的定义

经过线段中点且垂直于该线段的直线。

在本题图中，<note>直线OA经过线段MC的中点</note>，并且<note>直线OA垂直于线段MC</note>。因此，<note>直线OA是线段MC的垂直平分线</note>。同理，<note>直线OB经过线段MD的中点</note>，并且<note>直线OB垂直于线段MD</note>。因此，<note>直线OB是线段MD的垂直平分线</note>。

垂直平分线的性质

垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等。

在本题图中，<note>线段MC的垂直平分线为直线OA</note>，<note>点E在直线OA上</note>。根据垂直平分线的性质，<note>点E到线段MC两端点M和C的距离相等，即ME = CE</note>。同理，<note>线段MD的垂直平分线为直线OB</note>，<note>点F在直线OB上</note>。根据垂直平分线的性质，<note>点F到线段MD两端点M和D的距离相等，即MF = DF</note>。


Question: 如图,△ABC的周长为16．点D是AB边的中点,BD=2,过点D作AB的垂线l,E是l上任意一点,则△AEC的周长最小值为()

Answer: 12

1. 已知点D是AB边的中点，BD=2，故AB=2BD=4。

2. 已知△ABC的周长为16，则AC + BC = 16 - AB = 16 - 4 = 12。

3. 过点D作AB的垂线l，相交于点E，连接BE。

4. 由于点D是AB边的中点且l⊥AB，所以l是AB的垂直平分线，因此AE=BE。

5. 则有AE + CE = BE + CE。

6. 根据三角形不等式，##BE + CE> BC##。

7. 当点B、E、C在同一直线上时，BE + CE的最小值等于BC的长度。

8. 因此此时△AEC的周长的最小值为AC + BC。

9. 已知AC + BC = 12，所以△AEC的周长最小值为12。

中点; 垂线; 直线; 普通三角形; 平移

线段中点

线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。

<note>在本题图中，线段AB的中点为点D</note>。根据线段中点的定义，点D将线段AB平分为两个相等的部分，即<note>线段AD和线段DB的长度相等</note>。即，AD = DB = 2。

垂线定义

如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。

垂直平分线的定义

经过线段中点且垂直于该线段的直线。

<note>直线l经过线段AB的中点D</note>，并且<note>直线l垂直于线段AB</note>。因此，<note>直线l是线段AB的垂直平分线</note>。

垂直平分线的性质

垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等。

三角形三边关系定理

三角形的两边之和大于第三边。

<note>边BE、边CE和边BC构成三角形</note>。根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，即<note>边BE + 边CE > 边BC</note>。


Question: 如图,为了绿化环境,在矩形空地的四个角划出四个半径为1的扇形空地进行绿化,则绿化的总面积是()

Answer: π

1. 由于在矩形空地的四个角划出四个扇形空地进行绿化，每个扇形的半径为1。

2. ##因为每个扇形的圆心角度数等于矩形的内角，所以每个扇形的圆心角都是90度。##

3. 利用扇形面积公式，面积 = 圆心角度数/360 × π × 半径平方。

4. 对于每个扇形，其面积 = 90/360 × π × 1^2 = π/4。

5. 因为一共四个这样的扇形，总面积为 4 × π/4。

6. 经过计算，四个扇形的总面积就是 π。

矩形; 扇形; 圆心角; 圆

扇形的定义

由一个圆的两条半径与它们所夹的圆弧组成的图形称作扇形。

<note>每个扇形的半径为1</note>，<note>圆心在矩形的四个顶点</note>，<note>圆弧是由这两条半径所夹的圆弧</note>，所以根据扇形的定义，由这两条半径和它们所夹的圆弧组成的图形为扇形。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

<note>在本题图中，每个扇形的圆心角为90度</note>，因为<note>扇形的圆心角是矩形的一个内角</note>，而<note>矩形的每个角都是90度</note>。每个扇形的<note>圆心角由圆心到扇形两端点的连线组成</note>。

扇形的面积公式

扇形的面积A可以通过公式A =## (θ/360) * π * r^2##计算，其中θ是圆心角度数，r是半径长度。

<note>每个扇形位于矩形的四个角</note>，每个扇形的<note>圆心角度数为90度</note>，<note>半径长度为1</note>。根据扇形的面积公式，扇形的面积A可以通过公式<note>A = ##(90/360) * π * 1^2##</note>计算，所以<note>每个扇形的面积A = π/4##</note>。

矩形的定义

矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。

在本题图中，四边形是一个矩形，其<note>四个内角都是直角（90度）</note>，且<note>相对的边互相平行且等长</note>。


Question: 如图,已知PA、PB是⊙O的切线,A、B为切点,AC是⊙O的直径,∠P=40°,则∠BAC的度数是()

Answer: 20°

1. 已知PA、PB为⊙O的切线，A、B为切点，且AC是直径，##连接BC和OB，根据(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角，##得出∠ABC=90°。

2. 已知PA、PB为⊙O的切线，A、B为切点，根据##圆的切线性质##，得出∠OAP=90°和∠OBP=90°。

3. 由于##四边形的内角和为360°，得出∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠P=360°-90°-90°-40°=140°##。

4. 根据圆周角定理，##圆周角ACB等于它所对的弧AB所对应的圆心角AOB的一半##，因此得出∠ACB=∠AOB / 2=70°。

5. 在三角形ABC中，由于∠ABC=90°且∠ACB=70°，通过三角形内角和定理得出∠BAC=180°-90°-∠ACB=20°。

6. 经过上述推理，最终得出答案为20°。

圆; 切线; 等腰三角形; 圆周角; 三角形的外角

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

<note>AC是直径</note>，连接了<note>圆心O</note>和<note>圆周上的A、C两点</note>，长度为<note>2倍的半径</note>，即<note>AC = 2 * OA</note>。

圆的切线定义

圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。

<note>圆O与直线PA和PB有且只有一个公共点A和B</note>，这些公共点叫做<note>切点</note>。因此，<note>直线PA和PB是圆O的切线</note>。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角

<note>在本题图中，圆O中，角ACB的顶点(点C)在圆周上，角ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B</note>。因此，角ACB是一个圆周角。####

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角

在本题图中，圆O中，<note>点A和点B是圆上的两点</note>，<note>圆心是点O</note>。<note>连线OA和OB组成的角∠AOB称为圆心角</note>。##

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>在三角形ABC中</note>，<note>角ABC</note>、<note>角BAC</note>和<note>角ACB</note>是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>角ABC + 角BAC + 角ACB = 180°</note>。

四边形的内角和定理

在任意四边形中，四个内角的和为360°

在本题图中，四边形<note>AOBP</note>中，<note>角AOB</note>、<note>角OAP</note>、<note>角OBP</note>和<note>角P</note>是四边形的四个内角，根据四边形的内角和定理，这四个内角的和为360°，即<note>角AOB + 角OAP + 角OBP + 角P = 360°</note>。####

(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角

半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。


Question: 某楼梯的侧面如图所示,已测得AB的长为3米,楼梯斜坡BC的坡度比是1:2,则该楼梯的斜坡BC长为()

Answer: 3√{5}米

1. 已知AB的长为3米，楼梯斜坡BC的坡度比是1:2。

2. 根据坡度比是1:2，可以得出\(\frac{AB}{AC} = \frac{1}{2}\)。

3. 根据比例\(\frac{AB}{AC} = \frac{1}{2}\)，可以计算得出AC = 2AB = 2 \times 3 = 6米。

4. 设BC为未知数，根据勾股定理\(BC = \sqrt{AB^2 + AC^2}\)，计算BC。

5. 代入数值AB=3米，AC=6米，可以得到BC = \sqrt{3^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}米。

6. 经过上述推理，最终得出答案为3\(\sqrt{5}\)米。

坡度的定义

坡度是指某条线路或某个地段的垂直高度和水平距离之比。

<note>设楼梯斜坡为线段BC</note>，<note>线段BC的垂直高度为线段AB</note>，<note>水平距离为线段AC</note>。根据坡度的定义，坡度是指垂直高度<note>AB和水平距离AC之比</note>，即<note>坡度=AB/AC</note>。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>∠CAB是直角（90度）</note>，边<note>CA和BA是直角边</note>，边<note>BC是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>BC^2 = AB^2 + AC^2</note>。


Question: 如图,在△ABC中,BD、CE是角平分线,AM⊥BD于点M,AN⊥CE于点N．△ABC的周长为30,BC=12．则MN的长是()

Answer: 3

1. 由题意知△ABC的周长为30，且BC=12。

2. 根据##三角形的周长公式##，可以得出AB+AC=30-BC=18。

3. 延长AN和AM分别交BC于点F和G。

4. 由于##BD##是∠ABC的角平分线，根据角平分线的##定义##，得##∠CBD=∠ABD##。

5. 由于##BD##垂直于AG，因此##根据三角形的内角和定理得：∠ABD + ∠BAG=180°-∠AMB=180°-90°=90°##，且##∠AGB + ∠CBD##=180°-∠BMG=180°-90°=90°。

6. 因此可以得出##∠BAG##=∠AGB，从而得到AB=BG。

7. 根据##步骤6可得三角形ABG是一个等腰三角形，并且BM是其三角形的垂线，根据等腰三角形高线、中线、角平分线重合定理得AM=MG##，同理，利用相同的方法得到AC=CF，##AN=NF##。

8. 由中位线定义可知MN是△AFG的中位线，因此MN=## 1/2 ##GF。

9. GF=BG+CF-BC，根据之前的结论BG=##AB##，CF=##AC##，则 GF=AB+AC-BC。

10. 最终MN=## 1/2 ##(AB+AC-BC)=## 1/2 ##(18-12)=3。

11. 经过上述推理，最终得出MN的长度为3。

普通三角形; 垂线; 线段

角平分线定义

角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。

垂线定义

如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。

<note>直线AM和直线BD</note>相交形成的<note>角∠AMB是90度</note>，因此根据垂线定义，<note>直线AM和直线BD</note>互相垂直。同理，<note>直线AN和直线CE</note>相交形成的<note>角∠ANC是90度</note>，因此根据垂线定义，<note>直线AN和直线CE</note>互相垂直。

三角形中位线定理

在本题中，三角形AFG中，<note>点N是边AF的中点</note>，<note>点M是边AG的中点</note>，<note>线段MN连接这两个中点</note>。根据三角形中位线定理，<note>线段MN与第三边FG平行且等于第三边FG的一半</note>，即<note>MN || FG</note>，并且<note>MN = 1/2 * FG</note>。

三角形的周长公式

三角形的周长等于三条边的长度之和，即如果三角形的三条边分别为a、b、c，则周长P=a+b+c

<note>三角形ABC的三边分别为AB、AC、BC</note>，根据三角形的周长公式，三角形的周长等于其三边长度之和，即<note>周长P=AB+AC+BC</note>。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

在本题图中，三角形AMB中，<note>角∠AMB是直角（90度）</note>，因此三角形AMB是一个直角三角形。<note>边AM和边BM是直角边</note>，<note>边AB是斜边</note>。同理，三角形ANC中，<note>角∠ANC是直角（90度）</note>，因此三角形ANC是一个直角三角形。<note>边AN和边NC是直角边</note>，<note>边AC是斜边</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°

<note>三角形AMB中，角ABD、角BAG和角AMB是三角形AMB的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角ABD + 角BAG+ 角AMB = 180°</note>。<note>三角形BMG中，角AGB、角CBD和角BMG是三角形BMG的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角AGB + 角CBD + 角BMG = 180°</note>。##

线段中点

线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。

<note>线段BD的中点为点M</note>，<note>线段CE的中点为点N</note>。根据线段中点的定义，<note>点M将线段BD平分为两个相等的部分，即BM = MD</note>；<note>点N将线段CE平分为两个相等的部分，即CN = NE</note>。

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形

等腰三角形高线、中线、角平分线重合定理

等腰三角形的顶角平分线不仅平分顶角，还平分底边并垂直于底边

在本题图中，等腰三角形ABG中，<note>顶角为角WBG</note>，<note>底边为边AG</note>。<note>顶角的角平分线AM不仅平分顶角ABG</note>，还平分底边AG，使得<note>AM = GM，并且垂直于底边AG，即形成直角AMB（90度）</note>。因此，线段BM既是顶角的角平分线，又是底边的中线和高线。等腰三角形ACF中，<note>顶角为角ACF</note>，<note>底边为边AF</note>。<note>顶角的角平分线CN不仅平分顶角ACF</note>，还平分底边AF，使得<note>AN = FN，并且垂直于底边AF，即形成直角ANC（90度）</note>。因此，线段CN既是顶角的角平分线，又是底边的中线和高线。


Question: 同学们都玩过跷跷板的游戏,如图是一个跷跷板的示意图,立柱OC与地面垂直,OA=OB。当跷跷板的一头A着地时,∠AOA′=50°,则当跷跷板的另一头B着地时,∠COB′等于()

Answer: 65°

1. 已知OA=OB，且OC与地面垂直，根据题意可得##∠ACO和∠B′CO均为直角，即∠ACO=∠B′CO=90°##。

####

##2. 因为OA=OB，且根据跷跷板的原理，OB=OB′所以OA=OB′##。

##3. 因为OA=OB′，在三角形AOB′中，根据等腰三角形高线、中线、角平分线重合定理，OC是∠AOB‘的角平分线，所以∠COB′是∠AOB′的一半。##

##4.因为∠AOA′=50°，根据周角的定义，∠AOB′=180°-50°=130°。##

##5. 所以##∠COB′=1/2×∠AOB′=1/2×130°=65°。

##6##. 经过上述推理，最终得出答案为65°。

对顶角; 垂线; 旋转; 等腰三角形

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

周角的定义

一条射线绕着它的端点旋转一周所形成的角，叫做周角。

等腰三角形高线、中线、角平分线重合定理

等腰三角形的顶角平分线不仅平分顶角，还平分底边并垂直于底边。

在本题图中，等腰三角形AOB‘中，顶角为<note>角AOB‘</note>，底边为<note>边AB‘</note>。顶角的角平分线OC不仅平分<note>顶角AOB‘</note>，还平分<note>底边AB‘</note>，使得<note>AC = CB‘</note>，并且<note>垂直于底边AB‘</note>，即形成<note>直角ACO和角OCB‘（90度）</note>。因此，线段<note>OC既是顶角的角平分线，又是底边的中线和高线</note>。


Question: 如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=3,现将△ABC绕点B逆时针旋转一定角度,点C′恰落在边BC上的高所在的直线上,则边BC在旋转过程中所扫过的面积为()

Answer: 3π

1. 已知∠A = 90°, AB = AC = 3, 作出高AD, 则点C'位于AD的反向延长线上。

2. 因为∠A = 90°,  AB = AC = 3,##等腰直角三角形的定义##,△ABC为等腰直角三角形, 据勾股定理得BC =## √(AB?+AC?) = √(3?+3?) =3√2##。

3. ##由等腰三角形高线、中线、角平分线重合定理##知BD = DC。

4. 因△ABC绕点B逆时针旋转一定角度，点C'恰好落在边BC上的高所在的直线上。##因为BC' = BC = 3√2, BD = 1/2 BC，所以BD = 1/2 BC',又因为在直角三角形BC'D中,根据30°-60°-90°三角形的性质,所以∠BC'D = 30°,∠DBC' = 60°##。

5. 根据扇形的面积公式##(60/360) * π * (3√2)^2=3π，所以##边BC在旋转过程中所扫过的面积为 3π。

直角三角形; 旋转; 垂线; 垂直平分线

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>三角形ABC中，角BAC是直角（90度）</note>，因此三角形ABC是一个直角三角形。<note>边AB和边AC是直角边，边BC是斜边</note>，在<note>三角形BC'D中，角BDC'是直角（90度）</note>，因此三角形BC'D是一个直角三角形。<note>边BD和边C'D是直角边，边BC'是斜边</note>。

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

在本题图中，直角三角形<note>ABC</note>中，<note>角BAC是直角（90度）</note>，<note>边AB和AC是直角边</note>，<note>边BC是斜边</note>，所以根据勾股定理，##<note>BC</note>? = <note>AB</note>?  + <note>AC</note>?## ，即<note>BC = √(AB?  + AC?) = √(3?  + 3?) = 3√2</note>。

等腰直角三角形的定义

等腰直角三角形是两个边相等且有一个角为90度的三角形。

扇形的面积公式

扇形的面积A可以通过公式A =## (θ/360) * π * r? ##计算，其中θ是圆心角度数，r是半径长度。

在本题中，旋转后形成的扇形由<note>∠DBC = 60°</note>，半径为<note>BC = 3√2</note>。根据扇形的面积公式，扇形的面积A可以通过公式<note>A = (θ/360) * π * r²</note>计算，其中<note>θ是圆心角度数，r是半径长度</note>。所以扇形的面积A = <note>(60/360) * π * (3√2)²</note> = 3π。

30°-60°-90°三角形的性质

<note>30°-60°-90°三角形BC'D中</note>，<note>角BC'D是30度</note>，<note>角C'BD是60度</note>，<note>角C'DB是90度</note>。<note>边BC'是斜边</note>，<note>边BD是30度角所对的边</note>，<note>边C'D是60度角所对的边</note>。根据30°-60°-90°三角形的性质，<note>边BD等于边BC'的一半</note>，<note>边C'D等于边BC'的√3倍</note>。即：<note>BD = 1/2 * BC'</note>，<note>C'D = BC' * √3</note>。

等腰三角形高线、中线、角平分线重合定理

等腰三角形的顶角平分线不仅平分顶角，还平分底边并垂直于底边。

高的定义

从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。

<note>从顶点A垂直于对边BC的线段AD是该顶点A的高</note>。<note>线段AD与边BC形成一个直角（90度）</note>，这说明<note>线段AD是从顶点A到对边BC的垂直距离</note>。##


Question: 如图,圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起,OA=3,OC=1,分别连接AC、BD,则图中阴影部分的面积为()

Answer: 2π

1. 根据题意，扇形OAB和扇形OCD的圆心角都是90°，并且OA=3，OC=1。连接AC、BD。

2. 根据题目中的描述，将△OAC顺时针旋转90°后可与△ODB完全重合。因此，△OAC的面积等于△ODB的面积。

####

##3##. 计算扇形OAB的面积：扇形的面积计算公式为πr^2×(θ/360°)。当r=3且θ=90°，扇形OAB的面积为π×3^2×(90/360)=1/4×9π=2.25π。

##4##. 计算扇形OCD的面积：当r=1且θ=90°，扇形OCD的面积为π×1^2×(90/360)=1/4×1π=0.25π。

##5##. 计算阴影部分的面积：阴影部分的面积为扇形OAB的面积加上△ODB的面积减去△OAC的面积和扇形OCD的面积。

##6##.根据前面的计算，##△OAC的面积等于△ODB的面积。所以S(△ODB)-S(△OAC)=0##阴影部分的面积=S(扇形OAB) - S(扇形OCD)=2.25π-0.25π=2π。

##7##. 最终，经过上述推理，阴影部分的面积为2π。

扇形; 圆心角; 线段; 圆

扇形的定义

由一个圆的两条半径与它们所夹的圆弧组成的图形称作扇形。

<note>在本题图中，扇形OAB中，半径OA和半径OB是圆的两条半径，圆弧AB是由这两条半径所夹的圆弧</note>，所以根据扇形的定义，由<note>这两条半径和它们所夹的圆弧AB组成的图形为扇形</note>。同理，<note>扇形OCD中，半径OC和半径OD是圆的两条半径，圆弧CD是由这两条半径所夹的圆弧</note>，所以根据扇形的定义，由<note>这两条半径和它们所夹的圆弧CD组成的图形为扇形</note>。####

扇形的面积公式

扇形的面积A可以通过公式A = (θ/360) * π * r^2计算，其中θ是圆心角度数，r是半径长度。

<note>扇形OAB中，圆心角∠AOB的度数为90°</note>，<note>半径OA的长度为3</note>。根据扇形的面积公式，<note>扇形OAB的面积A可以通过公式A = (90/360) * π * 3^2计算</note>，结果为2.25π。<note>扇形OCD中，圆心角∠COD的度数为90°</note>，<note>半径OC的长度为1</note>。根据扇形的面积公式，<note>扇形OCD的面积A可以通过公式A = (90/360) * π * 1^2计算</note>，结果为0.25π。


Question: 为了测量两岸平行的河宽AB,测得∠ACB=30°,∠ADB=60°,CD=60m,则河宽AB为()

Answer: 30√{3}m

1. 已知∠ACB = 30°, ∠ADB = 60°, CD = 60米。

##2. 根据邻补角的定义，∠CDA为∠ADB的邻补角，∠CDA=180°-∠ADB=180°-60°=120°。##

3. ##根据三角形内角和定理##，在三角形ACD中，##∠CAD = 180° - ∠ACD - ∠ADC = 180° - 30° - 120° = 30°。同理，在直角三角形ABD中，∠DAB = 180° - ∠ABD - ∠ADB = 180° - 90° - 60° = 30°。##。

##4.根据等腰三角形的性质，∠CAD=∠ACD=30°，所以AD = CD = 60米 。##

##5.根据30°-60°-90°三角形的性质，直角三角形ABD中，BD：AB：AD=1：√3：2 ，所以AB=√3/2AD=√3/2*60=30√3。##

7. 经过上述推理，最终得出答案为30√3米。

普通三角形; 直角三角形; 正弦; 余弦; 正切

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

<note>等腰三角形ACD</note>中，<note>角DCA和角CAD相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，<note>相等的角对应的边相等，即边CD = 边AD</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形ADC中，角ADC、角DCA和角CAD是三角形ADC的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角ADC + 角DCA + 角CAD = 180°</note>。同理，<note>三角形ADB中，角ADB、角DAB和角DBA是三角形ADB的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角ADB + 角DAB + 角DBA = 180°</note>。

邻补角的定义

两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。

<note>角CDA和角ADB有一条公共边AD，它们的另一边CD和DB互为反向延长线</note>，所以<note>角CDA和角ADB互为邻补角</note>。####

30°-60°-90°三角形的性质

<note>在本题图中，30°-60°-90°三角形ADB中，角DAB是30度</note>，<note>角ADB是60度</note>，<note>角ABD是90度</note>。<note>边AD是斜边</note>，<note>边DB是30度角所对的边</note>，<note>边AB是60度角所对的边</note>。根据30°-60°-90°三角形的性质，<note>边DB等于边AD的一半</note>，<note>边AB等于边BD的√3倍</note>。即：<note>DB = 1/2 * AD</note>，<note>AB = DB * √3</note>。######


Question: 如图,已知等腰△ABC的一腰AB长为4厘米,过底边BC上任意一点D作两腰的平行线,分别交两腰于E、F,则四边形AEDF的周长为()

Answer: 8厘米

1. 根据题意，作出辅助线DE∥AC和DF∥AB，交两腰AB、AC于点E、F。

2. 依据##平行线的平行公理2，同位角相等##，得∠EDB=∠ACB且∠FDC=∠ABC。

3. 在等腰三角形ABC中，已知AB=AC，因此根据等腰三角形的性质，有∠ABC=∠ACB。

4. 由上两步得出，∠EDB=∠ABC且∠FDC=∠ACB。

5. ##因为∠EDB=∠ABC且∠FDC=∠ACB，根据等腰三角形的性质和等腰三角形的定义##，得DE=BE且DF=FC。

6. 四边形AEDF的周长为AE + ED + DF + AF。

7. 其中，AE + ED = AB和DF + AF = AC。

8. 因为AB=AC=4厘米，所以AE + ED + DF + AF = AB + AC = 2AB = 2×4 = 8厘米。

9. 经过上述推理，最终得出答案为8厘米。

等腰三角形; 平行线; 平行四边形; 线段

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

<note>在本题图中，三角形ABC中，边AB和边AC相等</note>，因此三角形ABC是一个等腰三角形。<note>同理，三角形EBD中，边EB和边ED相等</note>，因此三角形EBD是一个等腰三角形，同理，<note>三角形FDC中，边FD和边FC相等</note>，因此三角形FDC是一个等腰三角形。

平行线的定义

在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

在本题图中，<note>直线DE和直线AC</note>位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，<note>直线DE和直线AC是平行线</note>。同理，<note>直线DF和直线AB</note>位于同一平面内，并且它们没有交点，因此根据平行线的定义，<note>直线DF和直线AB是平行线</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>在本题图中，两条平行线DE和AC被第三条直线DC所截</note>，形成了以下几何关系：<note>同位角∠EDB和∠ACB相等</note>。<note>同理，两条平行线DF和AB被第三条直线BD所截</note>，形成了以下几何关系：<note>同位角∠FDC和∠ABC相等</note>。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

在本题图中，<note>等腰三角形ABC中，边AB和边AC相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>∠ABC = ∠ACB</note>。##同理，<note>等腰三角形EBD中，边EB和边ED相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>∠EDB = ∠ABC</note>。同理，<note>等腰三角形FDC中，边FD和边FC相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>∠FDC = ∠ACB</note>。####

同位角定义

两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。

<note>两条平行直线ED和AC被一条直线DC截交</note>，其中<note>角EDB和角ACB位于截线DC的同旁，被截两直线ED和AC的同一侧</note>，因此<note>角EDB和角ACB是同位角</note>。同位角相等，即<note>角EDB等于角ACB</note>。同理，<note>两条平行直线FD和AB被一条直线BD截交</note>，其中<note>角ABC和角FDC位于截线BD的同旁，被截两直线AB和FD的同一侧</note>，因此<note>角ABC和角FDC是同位角</note>。同位角相等，即<note>角ABC等于角FDC</note>。


Question: 某时刻海上点P处有一客轮,测得灯塔A位于P的北偏东30°方向,且相距50海里．客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行\$rac{2}{3}\$小时到达B处,那么tan∠BAP=()

Answer: \frac{4}{5}

1. 已知灯塔A位于点P的北偏东30°方向，且相距50海里。因此线段AP的长度为50海里。

2. 客轮以60海里每小时的速度沿北偏西60°方向航行##2/3##小时到达点B，根据##位移公式s=vt##，可得BP = 60 × ##2/3## = 40海里。

3. 在点P处，考虑北偏东30°和北偏西60°的方向构成的夹角。##因此∠APB =60°+30°= 90°，所以两方向垂直。##

4. 在直角三角形APB中，已知AP = 50海里，BP = 40海里。根据##正切函数的定义##，tan∠BAP = 对边BP / 邻边AP。

5. 计算得tan∠BAP = 40/50 = 4/5。

6. 经过上述推理，最终得出答案为4/5。

方向角; 普通三角形; 正切

正切函数的定义

在直角三角形中，一个锐角的正切值等于相对直角边长度除以相邻直角边长度。

在本题图中，<note>直角三角形APB</note>中，<note>角∠BAP是锐角</note>，边<note>BP是角∠BAP的相对直角边</note>，边<note>AP是角∠BAP的相邻直角边</note>，所以<note>角∠BAP的正切值等于边BP的长度除以边AP的长度</note>，即<note>tan(∠BAP) = BP / AP = 40 / 50 = 4 / 5</note>。####


Question: 如图,已知一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向,这艘渔船以28海里/时的速度向正东方向航行,半小时后到达B处,在B处看见灯塔M在北偏东15°方向,此时灯塔M与渔船的距离是()

Answer: 7√{2}海里

1. 已知渔船以28海里/时的速度向正东方向航行半小时后到达B处，则AB =##1/2## × 28 = 14海里。

##2. 过点B作BN垂直于AM并交于点N。##

3. 由图中角度可知∠MAB = ##30°，∠NBA等于60°，显然∠NBM等于90°-60°＋15°##

4. 在直角三角形△ABN中，∠BAN = 30度，根据直角三角形定义，得BN = AB × sin(∠BAN) = 14 × sin(30度) = 14 × ##1/2## = 7海里。

5. 因为在直角三角形△BNM中，∠MBN = 45度，根据直角三角形的性质，该三角形是等腰直角三角形，所以BN = MN。

6. 已知BN = 7海里，则MN = 7海里。

7. 通过直角三角形的性质，BM =##√（BN^2 + MN^2） =√（7^2 + 7^2） = √（49 + 49） = 7√2##海里。

8. 经过上述推理，最终得出BM = 7√2海里。

方向角; 普通三角形; 直角三角形

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>三角形ABN中，角∠ABN是直角（90度）</note>，因此三角形ABN是一个直角三角形。边AB和边BN是直角边，边AN是斜边。<note>三角形BNM中，角∠BNM是直角（90度）</note>，因此三角形BNM是一个直角三角形。边BN和边NM是直角边，边BM是斜边。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

在本题图中，三角形ABM中，<note>角MAB</note>、<note>角MBA</note>和<note>角AMB</note>是三角形ABM的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>角MAB + 角MBA + 角AMB = 180°</note>。

正弦函数定义

在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。

等腰直角三角形的定义

等腰直角三角形是两个边相等且有一个角为90度的三角形。

<note>三角形BNM是等腰直角三角形</note>，其中<note>角∠BNM是直角（90度）</note>，<note>边BN和边MN是相等的直角边</note>。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

在本题图中，直角三角形BNM中，<note>角BNM是直角（90度）</note>，<note>边BN和MN是直角边</note>，<note>边BM是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>##BM^2 = BN^2 + MN^2##</note>。


Question: 如图,在四边形ABCD中,∠BAD=130°,∠B=∠D=90°,点E,F分别是线段BC,DC上的动点．当△AEF的周长最小时,则∠EAF的度数为()

Answer: 80°

1. 作点A分别关于线段BC和CD的对称点A'和A"，连接A'A"，并且交BC于点E，交CD于点F。

2. 由于A'和A"分别是A的关于BC和CD的对称点，根据对称性####，A'A"即为三角形AEF的周长最小值。

3. 作DA的延长线，并取点H，使得AH延长线在直线DA上。

4. ##连接AA'，AA"，由于∠BAD=130°，由三角形内角和定理可知，∠AA'A"＋∠AA"A'＝180°-∠BAD＝50°##

5.## 观察三角形AEF，由对称性可知AE＝EA'，AF＝FA"，由等腰三角形的定义可知，三角形AEA'与三角形AFA"都是等腰三角形，又由等腰三角形的性质可知，∠AA'E＝∠A'AE，∠FAA"＝∠FA"A##

6. ##所以由三角形的外角定理可知，∠AEF＋∠AFE＝2（∠AA'A"＋∠AA"A'）＝100°##

7. ##因此，根据三角形内角和定理可知，∠EAF = 180° - 100° = 80°。##

####

普通四边形; 直角三角形; 垂线; 垂直平分线; 内错角

对称点

对称点是指关于某条直线（或点）两边的点，且两点距直线（或点）相同。

对称性

对称性指的是一个几何图形或模式在某些操作（如旋转、反射或平移）下保持不变

在本题图中，<note>图形AEA'具有对称性</note>。具体来说，如果<note>图形AEA'关于直线BC对称</note>，那么<note>直线BC就是图形AEA'的对称轴</note>。图形AEA'的每一部分在对称轴的另一侧都有一个对称的对应部分。如果<note>图形AEA'关于点O对称</note>，那么<note>点O就是图形AEA'的对称中心</note>。图形AEA'的每一部分在对称中心的另一侧都有一个对称的对应部分。如果<note>图形AEA'在旋转θ度后保持不变</note>，那么<note>图形AEA'具有旋转对称性</note>，<note>θ度是其对称角度</note>。通过这些对称操作，图形AEA'在视觉上保持不变。在本题图中，<note>图形AFA"具有对称性</note>。具体来说，如果<note>图形AFA"关于直线CD对称</note>，那么<note>直线CD就是图形AFA"的对称轴</note>。图形AFA"的每一部分在对称轴的另一侧都有一个对称的对应部分。如果

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°在本题图中，三角形AA'A"中，角AA'A"、角AA"A'和角A'AA"是三角形AA'A"的三个内角，根据三角形内角和定理，角AA'A" + 角AA"A' + 角A'AA" = 180°。三角形AEF中，角AEF、角AFE和角EAF是三角形AEF的三个内角，根据三角形内角和定理，角AEF+ 角AFE + 角EAF = 180°。####name:等腰三角形的定义content:等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形

在本题图中，三角形AEA'中，<note>边AE和边EA'相等</note>，因此三角形AFA"是一个<note>等腰三角形</note>。三角形AFA"中，<note>边AF和边FA'相等</note>，因此三角形AFA"是一个等腰三角形。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等

在本题图中，<note>等腰三角形AEA的边AE和边EA'相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>角AA'E = 角A'AE</note>。<note>等腰三角形AFA"的边AF和边FA"相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>角FA"A = 角FAA"</note>。

三角形的外角定理

三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和

<note>在本题图中，三角形AEA'中，角AEF是三角形的一个外角</note>，<note>角AA'E和角A'AE是与外角AEF不相邻的两个内角</note>，根据三角形的外角定理，<note>外角AEF等于不相邻的两个内角AA'E和A'AE之和</note>，即<note>角AEF = 角AA'E + 角A'AE</note>。<note>三角形AFA"中，角AFE是三角形的一个外角</note>，<note>角FAA''和角FA''A是与外角AFE不相邻的两个内角</note>，根据三角形的外角定理，<note>外角AFE等于不相邻的两个内角FAA''和FA''A之和</note>，即<note>角AFE = 角FAA'' + 角FA''A</note>。

多边形的外角定义

多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角


Question: 如图,在△ABC中,BF平分∠ABC,过A点作AF⊥BF,垂足为F并延长交BC于点G,D为AB中点,连接DF延长交AC于点E．若AB=12,BC=20,则线段EF的长为()

Answer: 4

1. 在△BFA和△BFG中，根据##角平分线定义##，我们有：∠ABF = ∠GBF (因为BF平分∠ABC)，BF = BF（公共边），∠BFA = ∠BFG（都是90度），因此ΔBFA ≌ ΔBFG (角边角准则)。

2. 由于△BFA与△BFG全等，我们得到BG = AB = 12##，AF=FG##。

3. 因为##BC=20##，由此得出GC = BC - BG = 20 - 12 = 8。

4. 根据题意，D为AB的中点，##F为AG的中点，根据三角形中位线定理，DF平行于BG，由于E在DF的延长线上，G是BC上的点，因此EF平行于CG##。

5. ##根据平行线分线段成比例定理，AE/CE=AF/FG，代入得到AE=CE，即E为AC的中点，所以EF为三角形ACG的中位线。##

6. 所以##根据三角形中位线定理，##EF等于##GC##的一半，即EF = 1/2 * GC = 4。

7. 经过上述推理，最终得出答案为4。

垂线; 中点; 普通三角形; 直角三角形; 线段

角平分线定义

角平分线是从角的顶点引出，将该角分成两个相等角的线。

垂线定义

如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。

线段中点

线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。

<note>线段AB的中点为点D</note>。根据线段中点的定义，<note>点D将线段AB平分为两个相等的部分</note>，即<note>线段AD和线段DB的长度相等</note>。即，<note>AD = DB</note>。

全等三角形的定义

两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等

<note>三角形BFA和三角形BFG是全等三角形</note>，三角形BFA的对应边和对应角与三角形BFG相等，即： <note>边BF = 边BF</note>，<note>边AB = 边BG</note>，<note>边AF = 边GF</note>，同时，对应的角也相等： <note>角ABF = 角GBF</note>，<note>角AFB = 角GFB</note>，<note>角BAF = 角BGF</note>。

全等三角形判定定理的角边角准则（ASA）

如果一个三角形的两角和它们夹着的一边分别等于另一个三角形的两角和它们夹着的一边，则这两个三角形全等。

在本题图中，三角形BFA和三角形BFG中，<note>角ABF等于角GBF（角平分线的性质）</note>，<note>角AFB等于角GFB（都是90°）</note>，且<note>边BF等于边BF（公共边）</note>。由于这两个三角形的两角和它们夹着的一边分别相等，根据全等三角形判定定理的角边角准则（ASA），可以得出<note>三角形BFA全等于三角形BFG</note>。

三角形中位线定理

<note>点F</note>是<note>边AC</note>的中点，点E是边AC的中点，<note>线段EF</note>连接了这两个中点。根据三角形中位线定理，<note>线段EF</note>与<note>第三边GC</note>平行且等于<note>第三边GC</note>的一半，即<note>EF || GC</note>，并且<note>EF = 1/2 * GC</note>。同理，在三角形ABG中，点F是边AG的中点，点D是边AB的中点，线段DF连接了这两个中点。根据三角形中位线定理，线段DF与第三边BG平等且等于第三边BG的一半，即<note>DF || BG</note>，并且<note>DF = 1/2 * BG</note>。

平行线分线段成比例定理

如果一条直线与一个三角形的一条边平行，并截它的其他两边或两边的延长线，那么它截得的线段与原三角形相对应的线段成比例。

<note>三角形ACG中</note>，直线<note>EF与边CG平行</note>，并截它的其他两边<note>AG和AC于点E和点F</note>，那么根据平行线分线段成比例定理，有：<note>AF/AG = AE/AC</note>，即截得的线段与原三角形相对应的线段成比例。


Question: 如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,DE⊥AB于E,AD=3,DE=2,则CD的长是()

Answer: \frac{3√{5}}{2}

1. 已知AD垂直于BC，DE垂直于AB，因此∠ADC=∠AED=90°。

2. 已知∠BAC=90°，##所以∠DAE+∠DAC=90°，根据三角形内角和定理且∠ADC=90°，在三角形ADC中∠C+∠DAC=180°-90°=90°，因此∠DAE=∠C##。

3. ##由于∠ADC=∠AED=90°，∠DAE=∠C，根据相似三角形的判定定理(AA)得##Rt△ACD相似于Rt△DAE。

4. ##根据相似三角形的定义##，△ACD和△DAE的相似比是AD/AC=DE/AD。

5. 已知AD=3和DE=2，因此将数值代入相似比，得到3/AC=2/3。

6. 通过解方程得到AC=9/2。

7. 在Rt△ACD中，应用勾股定理得：##CD^2+AD^2=AC^2##。

8. 将数值代入勾股定理，得到##CD^2+3^2=(9/2)^2##。

9. 求解方程得：##CD^2=81/4-9，即CD^2=81/4-36/4，CD^2=45/4##。

10. 最终求得CD=√(45/4)=3√5/2。

11. 经过上述推理，最终得出答案为3√5/2。

直角三角形; 垂线; 平行线

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>三角形ACD和三角形DAE是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>∠ACD = ∠DAE</note>, <note>∠ADC = ∠AED</note>, <note>∠CAD = ∠ADE</note>；<note>AD/AC = DE/AD</note>。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>直角三角形ACD中，角∠ADC是直角（90度）</note>，<note>边AD和CD是直角边</note>，<note>边AC是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>AC^2 = AD^2 + CD^2</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°

垂线定义

如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直

相似三角形的判定定理(AA)

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似


Question: 如图,已知点D是AB边的中点,AF∥BC,CG:GA=3:1,BC=8,则AF等于()

Answer: 4

1. 已知 AF∥BC，##可知∠AFD=∠DEB(平行线的平行公理2，内错角相等)，又因为∠ADF=∠BDE(对顶角的定义)，则根据相似三角形的判定定理(AA)##，得出△AFD∽△BED。

2. 根据相似三角形的对应边成比例，得出 AF:BE=AD:BD。

3. 由于 D 是 AB 边的中点，即 AD:BD = 1:1，因此 AF:BE = 1:1，即 AF = BE。

4. 已知 AF∥BC，##可知∠AFG=∠CEG(平行线的平行公理2，内错角相等义)，又因为∠AGF=∠CGE(对顶角的定义)，则根据相似三角形的判定定理(AA)##，得出##△AGF##∽△CGE。

5. 根据相似三角形的对应边成比例，得出 CE:AF=CG:GA。

6. 已知 CG:GA=3:1，因此 CE:AF=3:1，即 CE=3AF。

7. 已知 BC=8，且 BC=##CE-BE##，根据## AF = BE且 CE=3AF##，得出 8 =## 3AF - AF## 即 BC=2AF。

8. 求解上式得 2AF = 8，即 AF = 4。

9. 经过上述推理，最终得出答案为 4。

中点; 平行线; 平行四边形; 线段; 普通三角形

线段中点

线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。

平行线的定义

在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

在本题图中，<note>线段AF和BC位于同一平面内</note>，并且<note>它们没有交点</note>，因此根据平行线的定义，<note>线段AF和BC是平行线，即AF∥BC</note>。

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>在本题图中，三角形AFD和三角形BED是相似三角形。</note>根据相似三角形的定义有：<note>∠AFD = ∠BED</note>, <note>∠ADF = ∠BDE</note>, <note>∠DFA = ∠DEB</note>；<note>AF/BE = AD/BD = DF/DE</note>。<note>在相似三角形AFG和CEG中</note>，根据相似三角形的定义有：<note>∠AFG = ∠CEG</note>, ∠FAG = ∠GCE, <note>∠GAF = ∠GCE</note>；<note>AF/CE = AG/CG = FG/EG</note>。

相似三角形的判定定理(AA)

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似

对顶角的定义

对顶角是指由两条相交直线所组成的两个互相对立的角，它们的角度相等

内错角的定义

<note>在本题图中，两条平行直线AF和CE被直线AB截交</note>，其中<note>角AFD和角DEB位于两平行线之间，且在截线AB的对侧</note>，因此<note>角AFD和角DEB是内错角</note>。<note>内错角相等，即角AFD等于角DEB</note>。同理，<note>两条平行直线AF和CE被直线AC截交</note>，其中<note>角AFG和角CEG位于两平行线之间，且在截线AC的对侧</note>，因此<note>角AFG和角CEG是内错角</note>。<note>内错角相等，即角AFG等于角CEG</note>。####

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补

<note>在本题图中，两条平行线AF和CE</note>被第三条直线<note>AC和AB所截</note>，形成了以下几何关系：内错角：<note>∠AFD=∠DEB，∠AFG=∠CEG</note>。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，内错角相等。


Question: 如图,在△ABC中,若DE∥BC,\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3},DE=4cm,则BC的长为()

Answer: 12cm

1. 已知DE∥BC，根据##平行线分线段成比例定理##，得出△ADE与△ABC相似。

2. 根据相似三角形对应边成比例有：##AD/AB = DE/BC##。

3. 已知##AD/AB = 1/3##以及DE = 4 cm，将这些值代入上一步公式，得到##1/3 = 4/BC##。

4. 解方程##1/3 = 4/BC##，得出BC = 12 cm。

5. 经过上述推理，最终得出答案为12 cm。

平行线; 普通三角形; 线段; 位似

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

在本题图中，<note>三角形ADE和三角形ABC是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>∠ADE = ∠ABC</note>, <note>∠DEA = ∠BCA</note>, <note>∠EAD = ∠CAB</note>；<note>AD/AB = DE/BC = AE/AC</note>。

平行线分线段成比例定理

<note>在本题图中，三角形ABC中，直线DE与边BC平行</note>，并截它的其他两边AB和AC于点D和E，那么根据平行线分线段成比例定理，有：<note>AD/AB = AE/EC</note>
即截得的线段与原三角形相对应的线段成比例。

平行线的定义

在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

在本题图中，<note>直线DE和直线BC位于同一平面内</note>，并且<note>它们没有交点</note>，因此根据<note>平行线的定义</note>，<note>直线DE和直线BC是平行线</note>。

相似三角形的判定定理(SAS)

如果两三角形有两对应边的长度成比例且包括的对应夹角相等，那么这两个三角形相似。


Question: 如图所示,在△ABC中D为AC边上一点,若∠DBC=∠A,BC=3,AC=6,则CD的长为()

Answer: \frac{3}{2}

1. 已知∠DBC = ∠BAC，以及BC=3，AC=6。

2. 由于∠DBC = ∠BAC，并且∠BCA = ∠BCA（共用角），根据三角形相似的判定方法（AA），得出△BCD ∽ △ACB。

3. 根据相似三角形的性质，对应边成比例，得到：CD/BC = BC/AC。

4. 代入已知条件，CD/3 = 3/6。

5. 解上述比例式，得到：CD = 3/2。

6. 经过上述推理，最终得出答案为CD = 3/2。

普通三角形; 等腰三角形; 线段

角的定义

<note>∠BAC 是由射线AB和AC组成的几何图形</note>，这两条射线有一个<note>共同的端点A</note>。这个<note>共同的端点A称为角BAC的顶点</note>，而<note>射线AB和AC称为角BAC的边</note>。类似地，<note>∠DBC 是由射线DB和BC组成的几何图形</note>，这两条射线有一个<note>共同的端点D</note>。这个<note>共同的端点D称为角DBC的顶点</note>，而<note>射线DB和BC称为角DBC的边</note>。<note>∠BCA 是由射线BC和CA组成的几何图形</note>，这两条射线有一个<note>共同的端点C</note>。这个<note>共同的端点C称为角BCA的顶点</note>，而<note>射线BC和CA称为角BCA的边</note>。

相似三角形的AA判别定理

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>三角形BCD和三角形ACB是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>∠DBC = ∠BAC</note>, ∠BCA = ∠BCA；<note>CD/BC = BC/AC</note>。


Question: 上午9时,一船从A处出发,以每小时40海里的速度向正东方向航行,9时30分到达B处,如图所示,从A,B两处分别测得小岛M在北偏东45°和北偏东15°方向,那么B处与小岛M的距离为()

Answer: 20√{2}海里

1. 已知上午9时到9时30分，船以每小时40海里的速度航行，则AB=40海里×0.5小时=20海里。

2. 根据北偏东45°和北偏东15°，可以得到##∠ABM=90°+15°=105°##。

3. 过点B作BN垂直于AM，##垂足为点N，所以三角形ABN是一个直角三角形。即∠BNA=90°，所以##角∠ABN=45°。

4. 在直角三角形ABN中，通过正弦函数计算BN的长度：BN=AB sin(45°)=20海里×√2/2=20√2/2=10√2海里。

5. 通过解直角三角形BNM，##已知∠ABM=105°，所以∠MBN=∠ABM-∠ABN=105°-45°=60°，又因为∠MAB=45°，根据三角形内角和定理可知在△BMA中，∠BMA=30°##。

6. 通过##直角三角形NBM应用正弦函数定义##得出BM的长度：由正弦公式可知BM=BN / sin(30°)=10√2海里×2=20√2海里。

7. 经过上述推理，最终得出答案为20√2海里。

等腰三角形; 方向角; 直角三角形

角的定义

在本题图中，<note>角∠ABM是由两条射线BA和BM组成的几何图形</note>，这<note>两条射线有一个共同的端点B</note>。这个<note>共同的端点B称为角∠ABM的顶点</note>，而<note>射线BA和BM称为角∠ABM的边</note>。

正弦函数定义

在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。

<note>直角三角形△ABN</note>中，<note>∠NAB是锐角</note>，<note>边BN是角∠NAB的对边</note>，<note>边AB是斜边</note>。根据正弦函数定义，<note>∠NAB的正弦值等于对边BN与斜边AB的比值</note>，即<note>sin(45°) = BN / AB= √2/2</note>。在<note>直角三角形△MBN</note>中，根据正弦函数定义，<note>∠NMB的正弦值等于对边BN与斜边MB的比值</note>，即<note>sin(30°) = BN / MB= 1/2</note>。故而<note>MB=2BN=√2AB</note>。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。


Question: 如图,DE∥BC,BD,CE相交于O,\frac{EO}{OC}=\frac{1}{3},AE=3,则EB=()

Answer: 6

1. 已知DE∥BC，根据##平行线的平行公理2，内错角相等，可知∠EDO=∠CBO，∠DEO=∠BCO。再根据相似三角形的判定定理(AA)##，得到△EOD∽△COB。

2. 由△EOD∽△COB，根据##相似三角形的定义##，我们有：##DE/BC=EO/OC=1/3##。

3. 由于DE∥BC，因此根据##平行线的平行公理2，同位角相等，可知∠AED=∠ABC，∠ADE=∠ACB。再根据相似三角形的判定定理(AA)##，我们可以得出△AED∽△ABC。

4. 由△AED∽△ABC，根据##相似三角形的定义##，得到：##DE/BC=AE/AB##。

5. 结合第2步和第4步，可以得到：##AE/AB=1/3##。

6. 已知AE=3，因此根据比例关系可以解得AB=3*3=9。

7. 最后，由于AB=AE+EB，因此可以得出EB=AB-AE=9-3=6。

8. 经过上述推理，最终得出答案为6。

平行线; 普通三角形; 平移; 线段; 位似

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

在本题图中，<note>三角形EOD和三角形COB是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>∠EOD = ∠COB</note>, <note>∠ODE = ∠OBC</note>, <note>∠DEO = ∠BCO</note>；<note>DE/BC = EO/OC = DO/BO</note>。同理，<note>三角形AED和三角形ABC是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>∠AED = ∠ABC</note>, <note>∠ADE = ∠ACB</note>, <note>∠DAE = ∠BAC</note>；<note>DE/BC = AE/AB = AD/AC</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

在本题图中，<note>两条平行线DE和BC</note>被第三条直线DB所截，形成了以下几何关系：内错角：<note>角EDO和角CBO相等</note>。同理，<note>两条平行线DE和BC</note>被第三条直线EC所截，形成了以下几何关系：内错角：<note>角DEO和角BCO相等</note>。同理，<note>两条平行线DE和BC</note>被第三条直线AB所截，形成了以下几何关系：同位角：<note>角AED和角ABC相等</note>。同理，<note>两条平行线DE和BC</note>被第三条直线AC所截，形成了以下几何关系：同位角：<note>角ADE和角ACB相等</note>。这些关系说明了在<note>两条平行线被第三条直线所截时</note>，同位角相等，内错角相等。####

相似三角形的判定定理(AA)

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。


Question: 如图所示,△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,若AB=3,BC=5,则DC的长度()

Answer: \frac{16}{5}

1. 已知∠BAC=90°, AD⊥BC于D，并且AB=3, BC=5。##在△ABC和△ADB中，∠ABC=∠ABD##。

2. 因为AD⊥BC，所以∠ADB=90°。##同时，∠CAB=90°，根据相似三角形的判定定理(AA)，△ADB∽△ABC##。

####

##3. 根据相似三角形的定义，得到AB/BC=BD/BA##

4. 根据已知条件AB=3，BC=5，我们可以写成：3/5 = BD/3。

5. 解这个比例方程，得到BD = (3*3)/5 = 9/5。

6. 因为BD和DC是线段BC的两部分，所以DC=BC-BD。

7. 根据BC=5，BD=9/5，得到: DC = 5 - (9/5) = 25/5 - 9/5 = 16/5。

8. 经过上述推理，最终得出答案为 16/5。

直角三角形; 垂线; 线段

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

在本题图中，三角形ABC中，<note>角BAC是直角（90度）</note>，因此三角形ABC是一个直角三角形。<note>边AB和边AC是直角边</note>，<note>边BC是斜边</note>。

垂线定义

如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。

在本题图中，<note>线段AD和线段BC</note>相交形成的<note>角∠ADB是90度</note>，因此根据<note>垂线定义</note>，线段AD和线段BC互相垂直。

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>三角形ABD和三角形ABC是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>∠BAD = ∠BCA</note>, <note>∠ADB = ∠CAB</note>, <note>∠ABD = ∠ABC</note>；<note>AB/BC = BD/AB = AD/AC</note>。

线段的定义

线段是一个直线的一部分，包含两个端点及其间的所有点。

<note>在本题图中，线段BC是一个直线的一部分</note>，包含端点<note>B和端点C</note>及其间的所有点。<note>线段BC具有两个端点，这两个端点分别是B和C</note>，且<note>线段BC上的每一个点都位于端点B和端点C之间</note>。

##相似三角形的判定定理(AA)##

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。

<note>在本题图中，三角形ABD和三角形ABC中，##如果角ABD等于角ABC，且角ADB等于角CAB##，所以三角形ABD相似于三角形ABC。####</note>


Question: 如图是"人字形"钢架,其中斜梁AB=AC,顶角∠BAC=120°,跨度BC=10m,AD为支柱(即底边BC的中线),两根支撑架DE⊥AB,DF⊥AC,则DE+DF等于()

Answer: 5m

1. 已知△ABC中，AB=AC，且∠BAC=120°。根据等腰三角形的性质，得∠ABC=∠ACB。

2. 因为三角形内角和为180°，所以∠ABC + ∠ACB + ∠BAC = 180°。

3. 由于∠BAC=120°，那么∠ABC + ∠ACB = 60°。

4. 由于∠ABC = ∠ACB，所以2∠ABC = 60°，即∠ABC=30°，∠ACB=30°。

5. 已知AD为三角形的中线，且DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，E和F分别为垂足。

##7. ##因为AD为三角形ABC的中线，D为BC的中点，且BC＝10米，所以BD＝DC＝5米。

8. 由于DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，且E和F分别是垂足，根据##30°-60°-90°三角形的性质##，可得DE是BD的一半，DF是DC的一半。

##8. ##∴DE = 1/2 * BD 和 DF = 1/2 * DC。因为BD = DC = 5米，所以DE = 1/2 * 5 = 2.5米，DF = 1/2 * 5 = 2.5米。

##9.## 因此，DE + DF = 2.5米 + 2.5米 = 5米。

##10.## 经过上述推理，最终得出答案为5米。

等腰三角形; 垂线; 垂直平分线; 直角三角形

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

三角形中线的定义

中线是从三角形一个顶点到对边中点的线段。

在本题图中，三角形ABC中，<note>顶点A是三角形的一个顶点</note>，<note>对边BC是与顶点A相对的边</note>。<note>点D是边BC的中点</note>，<note>线段AD是从顶点A到对边BC中点D的线段</note>，因此<note>AD是三角形ABC的一条中线</note>。

垂足的定义

垂线和所垂直的线段的交点称为垂足。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

<note>在本题图中，等腰三角形ABC中</note>，边AB和边AC相等。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>角ABC = 角ACB</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

在本题图中，三角形ABC中，<note>角BAC、角ABC和角ACB</note>是三角形ABC的三个内角，根据<note>三角形内角和定理</note>，<note>角BAC + 角ABC + 角ACB = 180°</note>。######

30°-60°-90°三角形的性质

在30°-60°-90°三角形中，30度角所对的边短，是斜边的一半，60度角所对的边则为短边的√3倍


Question: 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB上一点,连接CD,∠ACD=∠B,若BC=13cm,CD=5cm,则BD=()

Answer: 12cm

####

##1##. 因为∠ACD=∠B，且∠A=∠A， 所以△ADC∽△ACB（相似三角形的条件是两个三角形的两个对应角分别相等）。

##2. 根据相似三角形的定义##，对应角相等，对应边成比例，即可得∠ADC=∠ACB。

##3##. 因为∠ACB=90°，所以∠ADC=90°，即##三角形BCD是一个直角三角形##，且∠BDC=90°。

##4##. 由##勾股定理##，应有BD=√(##BC^2 - CD^2##)，

##5##. 代入已知条件BC=13cm和CD=5cm，得BD=√(##13^2 - 5^2##)=√(169 - 25)=√144=12cm。

##6##. 经过上述推理，最终得出答案为BD=12cm。

直角三角形; 等腰三角形; 线段; 三角形的外角; 垂线

相似三角形的判定定理(AA)

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

在本题图中，三角形ABC中，<note>角ACB是直角（90度）</note>，因此三角形ABC是一个直角三角形。<note>边AC和边BC是直角边</note>，<note>边AB是斜边</note>。##同理，三角形BDC中，<note>角BDC是直角（90度）</note>，因此三角形BDC是一个直角三角形。<note>边CD和边BD是直角边</note>，<note>边BC是斜边</note>。##

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

在本题图中，<note>三角形ADC和三角形ACB是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>∠DAC = ∠BAC</note>, <note>∠ACD = ∠ABC</note>, <note>∠ADC = ∠ACB</note>；<note>AD/AC = DC/BC = AC/AB</note>（公共边AC）。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。


Question: 如图,传送带和地面所成斜坡的坡度为1:2,它把物体从地面点A处送到离地面2米高的B处,则物体从A到B所经过的路程为()

Answer: 2√{5}

1. 已知传送带和地面所成的坡度为1:2，并且把物体从A点送到离地面2米高的B点。

2. ##根据直角三角形的定义，##在直角三角形ABC中，AB是斜边，BC是由传送带提升的垂直高度，AC是传送带在地面上的水平投影。

3. 设BC的长度为2米，则依据斜坡的坡度1:2，得BC:AC=1:2。

4. 根据##坡度##关系，BC=2米，故AC=2×2=4米。

5. ##根据##勾股定理，则有##AB^2 = AC^2 + BC^2##，即##AB^2 = 4^2 + 2^2##=16+4=20。

6. 求得AB=√20 = 2√5。

7. 经过上述推理，最终得出物体从A到B所经过的路程为2√5米。

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>在本题图中，直角三角形ABC中，∠ACB是直角（90度）</note>，<note>边AC和BC是直角边，边AB是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>##AB^2 = AC^2 + BC^2##</note>。

坡度

坡度是指某条线路或某个地段的垂直高度和水平距离之比。

在本题图中，传送带和地面所成的斜坡的<note>坡度为1:2，即垂直高度BC与水平距离AC的比为1:2</note>。从题目中已知<note>BC=2米</note>，可以得出<note>AC=4米</note>。##

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。


Question: 如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,DE垂直平分AC,则∠BCD的度数等于()

Answer: 30°

1. 已知AB=AC以及∠A=40°，根据等腰三角形的性质，得出∠ABC=∠ACB。

2. 由三角形内角和定理得出∠ABC=∠ACB= (180° - ∠A) / 2 = 70°。

3. ##根据垂直平分线的性质可知，AD=DC##。

4. ##根据等腰三角形的性质可知，∠ACD=∠A=40°。##

5. ##所以∠BCD=∠BCA-DCA=70°-40°=30°。##

##6##.经过上述推理，最终得出答案为30°。
 ####

等腰三角形; 垂直平分线; 垂线; 三角形的外角

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

在本题图中，<note>三角形ABC中，边AB和边AC相等</note>，因此三角形ABC是一个等腰三角形，<note>三角形ADC中，边AD和边DC相等</note>，因此三角形ADC是一个等腰三角形。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

在本题图中，<note>等腰三角形△ABC</note>中，<note>边AB和边AC相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>角ABC = 角ACB</note>，<note>等腰三角形△ADC</note>中，<note>边AD和边DC相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>角A = 角DCA</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形ABC</note>中，<note>角A</note>、<note>角ABC</note>和<note>角ACB</note>是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和定理，角A + 角ABC + 角ACB = 180°。

垂直平分线的性质

垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等。

<note>线段DE的垂直平分线为直线AC</note>，<note>点E在直线AC上</note>。根据垂直平分线的性质，<note>点D到线段AC两端点A和C的距离相等，即AD = CD</note>。


Question: 如图,已知⊙O的半径为6,M是⊙O外一点,且OM=12,过M的直线与⊙O交于A、B,点A、B关于OM的对称点分别为C、D,AD与BC交于点P,则OP的长为()

Answer: 3

1. 已知⊙O的半径为6, OM=12, A, B关于OM对称的点分别是C, D。过M的直线与⊙O交于A和B。连接AC交MO于点N，连接OA、OC。

2. 根据对称性可知MN⊥AC且AN=CN, 因此点P在MN上。

3. 由于AP=CP，所以∠APN=∠CPN，进一步得到∠BPM=∠APO。

4. 根据垂径定理, 垂直于弦并平分该弦的直径，得∠AON=∠CON=##1/2##∠AOC。

5. 又由于##圆周角定理，##同弧圆周角是圆心角的一半，因此有∠ABC=##1/2##∠AOC, 所以得到∠AON=∠ABC。

6. 由三角形内角和定理，得到∠AON=180°-(∠OAM+∠AMO)，以及∠ABC=180°-(∠BPM+∠AMO)，进一步得到∠OAM=∠BPM, 因此∠OAM=∠APO。

7. 又由##相似三角形的判定定理(AA)##, 有∠AOP=∠MOA, 从而△AOP∽△MOA。

8. 根据##相似三角形的定义##，有∠MOA##=##∠AOP，则##OP/OA=OA/OM##。

9. 将已知OA=6, OM=12代入，得到##OP/6=6/12##, 解得: OP=3。

10. 经过上述推理，最终得出答案为OP的长为3。

圆; 对称; 线段; 直线; 弦

半径的定义

半径是从圆心到圆上任意一点的线段。

在本题图中，圆O中，<note>点O是圆心</note>，<note>点A、B、C、D是圆上的任意一点</note>，<note>线段OA、OB、OC、OD是从圆心到圆上任意一点的线段</note>，因此<note>线段OA、OB、OC、OD是圆的半径</note>。

弦的定义

弦是连接圆上任意两点的线段。

对称点

对称点是指关于某条直线（或点）两边的点，且两点距直线（或点）相同。

在本题图中，<note>点A和点C是关于直线OM对称的点</note>，且<note>点A到直线OM的距离等于点C到直线OM的距离</note>。同样，<note>点B和点D是关于直线OM对称的点</note>，且<note>点B到直线OM的距离等于点D到直线OM的距离</note>。根据对称点的定义，<note>点A和点C在直线OM的两侧</note>，且满足距离相等的关系，即<note>距离AM = 距离CM</note>；<note>点B和点D在直线OM的两侧</note>，且满足距离相等的关系，即<note>距离BM = 距离DM</note>。

垂径定理

如果一条直径垂直于一条弦，那么该直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形AOM</note>中，<note>角AOM</note>、<note>角OAM</note>和<note>角AMO</note>是<note>三角形AOM</note>的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>角AOM</note> + <note>角OAM</note> + <note>角AMO</note> = 180°。同理，<note>三角形MPB</note>中，<note>角MPB</note>、角BMP和角MPB是<note>三角形MPB</note>的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>角MPB</note> + 角BMP + <note>角MPB</note> = 180°。

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>三角形AOP和三角形MOA是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>∠AOP = ∠MOA</note>，<note>∠OAP = ∠OMA</note>，<note>∠OPA = ∠MAO</note>；<note>OP/OA = OA/OM</note>。

对称性

对称性指的是一个几何图形或模式在某些操作（如旋转、反射或平移）下保持不变。

<note>在本题图中，图形MOB具有对称性</note>。具体来说，<note>如果图形MOB关于直线OM对称</note>，那么<note>直线OM就是图形MOB的对称轴</note>。图形MOB的每一部分在<note>对称轴的另一侧都有一个对称的对应部分</note>。如果<note>图形MOB关于点O对称</note>，那么<note>点O就是图形MOB的对称中心</note>。图形MOB的每一部分在<note>对称中心的另一侧都有一个对称的对应部分</note>。如果<note>图形MOB在旋转θ度后保持不变</note>，那么<note>图形MOB具有旋转对称性</note>，θ度是其<note>对称角度</note>。通过这些对称操作，图形MOB在视觉上保持不变。####

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

在本题图中，圆O中，<note>角ABC的顶点(点B)在圆周上</note>，<note>角ABC的两边分别与圆O相交于点A和点C</note>。因此，<note>角ABC是一个圆周角</note>。

相似三角形的判定定理(AA)

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。


Question: 如图,△ABC中,AB=AC=18,BC=12,正方形DEFG的顶点E,F在△ABC内,顶点D,G分别在AB,AC上,AD=AG,DG=6,则点F到BC的距离为()

Answer: 6√{2}-6

1. 已知 AB = AC = 18, BC = 12, 正方形 DEFG 的顶点 E, F 在 △ABC 内, 顶点 D, G 分别在 AB, AC 上, AD = AG, DG = 6。

2. 过点 A 作 AM 垂直 BC 于点 M, 交 DG 于点 N, 延长 GF 交 BC 于点 H。

3. 由于 AB = AC, AD = AG, 因此 AD:AB = AG:AC。又因为 ∠BAC = ∠DAG，##根据相似三角形的判定定理(SAS)，##所以 △ADG 相似于 △ABC。

4. 根据##相似三角形的定义##，得到 ∠ADG = ∠ABC。由于DG 与 BC 平行， ##四边形 DEFG 是正方形##，所以 FG 垂直 DG，进而 FH 垂直 BC, AN 垂直 DG。

5. 因为 AB = AC = 18, BC = 12, ##根据等腰三角形高线、中线、角平分线重合定理，##所以 BM = 1/2 * BC = 6。

6. ##因为 △ABM是直角三角形，##根据勾股定理，AM = ##√(AB^2 - BM^2) ##= 12√2。

7. ##由于 AN是△ADG内的一条高，而AM也是△ABC内的一条高##，且 △ADG 和 △ABC 相似，根据相似三角形的定义，所以 AN = AM × (DG/BC)。

8. 其中， AN = 12√2 × (6/12) = 6√2。

9. 计算得到 MN = AM - AN = 12√2 - 6√2 = 6√2。

10. 因为 FH = MN - GF，正方形 DEFG 的边长为 6，所以 FH = 6√2 - 6。

11. 经过上述推理，最终得出点 F 到 BC 的距离为 6√2 - 6。

等腰三角形; 正方形; 平行线; 垂线

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>三角形ADG和三角形ABC是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>∠DAG = ∠BAC</note>, <note>∠ADG = ∠ABC</note>, <note>∠AGD = ∠ACB</note>；<note>AD/AB = AG/AC = DG/BC</note>##=AN/AM##。

正方形的定义

正方形是一种平面四边形，其四条边相等且四个内角均为直角（90度）。

垂线定义

如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。

<note>直线 AM 和直线 BC 相交形成的∠AMB 是 90 度</note>，因此根据垂线定义，<note>直线 AM 和直线 BC 互相垂直</note>；由于 DG 与 BC 平行，正方形 DEFG 的<note>边 FG 垂直于 DG</note>，进而<note>FH 垂直 BC</note>。

相似三角形的判定定理(SAS)

如果两三角形有两对应边的长度成比例且包括的对应夹角相等，那么这两个三角形相似。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>在本题图中，直角三角形ABM中</note>，<note>∠AMB是直角（90度）</note>，<note>边BM和AM是直角边</note>，<note>边AB是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>AB^2 = AM^2 + BM^2</note>。

等腰三角形高线、中线、角平分线重合定理

等腰三角形的顶角平分线不仅平分顶角，还平分底边并垂直于底边。

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

在本题图中，三角形ABC中，<note>边AB和边AC相等</note>，因此三角形ABC是一个<note>等腰三角形</note>。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

高的定义

从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。

<note>从顶点A垂直于对边BC（或其延长线）的线段AM是该顶点A的高</note>。<note>线段AM与边BC（或其延长线）形成一个直角（90度）</note>，这说明线段AM是从顶点A到对边BC（或其延长线）的垂直距离。同理，<note>从顶点A垂直于对边DG（或其延长线）的线段AN是该顶点A的高</note>。<note>线段AN与边DG（或其延长线）形成一个直角（90度）</note>，这说明线段AN是从顶点A到对边DG（或其延长线）的垂直距离。##


Question: 如图,一束光线从点A(-3,3)出发,经过y轴上的点C反射后经过点B(-1,0),则光线从点A到点B经过的路线长是()

Answer: 5

1. 已知点A的坐标为(-3, 3)，点B的坐标为(-1, 0)，光线从点A经过y轴上的点C反射后经过点B。

2. 作点B关于y轴的对称点B′，则B′的坐标为(1, 0)，CB = CB′。

3. 作AD垂直于x轴交于点D，则D点的坐标为(-3, 0)。

4. 根据直角三角形的性质，AD = 3，DB′ = 1 + 3 = 4。

5. 使用勾股定理计算AB′的长度，在直角三角形ADB′中，AB′ = ##$\sqrt{AD^2 + DB′^2}$ = $\sqrt{3^2 + 4^2}$ = $\sqrt{9 + 16}$ = $\sqrt{25}$ = 5##。

6. 由于光线经过点C反射，路径包括AC和CB，路径长度等于AB′。

7. 经过上述推理，最终得出答案为5。

反射; 线段; 直线; 等腰三角形; 对称

对称点

对称点是指关于某条直线（或点）两边的点，且两点距直线（或点）相同。

<note>点B(-1, 0)关于y轴的对称点是点B′(1, 0)</note>，因为<note>点B到y轴的距离等于点B′到y轴的距离</note>，且<note>两点在y轴的两侧</note>。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>三角形ADB′中，角ADB′是直角（90度）</note>，因此三角形ADB′是一个直角三角形。<note>边AD和边DB′是直角边</note>，<note>边AB′是斜边</note>。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

在本题图中，<note>直角三角形ADB′中，∠ADB′是直角（90度）</note>，<note>边AD和DB′是直角边，边AB′是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>AB′^2 = AD^2 + DB′^2</note>。

反射定律

光线在反射时，入射角等于反射角，且反射光线位于法线和入射光线所在平面的同一侧。

<note>光线从点A经过y轴上的点C反射后经过点B</note>。根据反射定律，<note>入射角等于反射角</note>，且反射光线位于法线和入射光线所在平面的同一侧。由于<note>点B关于y轴的对称点为B′</note>，所以<note>AC和CB的路径长度等于AB′</note>，即<note>路径长度为5</note>。


Question: 数学实践探究课中,老师布置同学们测量学校旗杆的高度．如图所示,小明所在的学习小组在距离旗杆底部10米的地方,用测角仪测得旗杆顶端的仰角为60°,则旗杆的高度是()米．

Answer: 10√{3}

1. ##设图中所示三角形为三角形ABC，旗杆顶端为点B，旗杆底部为点A，学习小组所在位置为点C。由题目可知，学习小组距离旗杆底部为10米，测角仪测得学习小组看向旗杆顶端的仰角为60°，即AC=10，∠ACB=60°。因为旗杆垂直于地面，亦是垂直于水平线AC，所以AB⊥AC，则∠CAB=90°，根据直角三角形的定义可得三角形ABC为直角三角形##。

2. 在直角三角形ABC中，##根据正切函数的定义，使用正切函数公式##：tan(θ)=对边/邻边，得出tan(∠ACB)=AB/AC。

3. ##已知：tan(∠ACB)=tan(60°)=√3，AC=10，因此√3=AB/10##。

4. ##最终得出AB=10√3##。

5. 因此，通过上述计算，旗杆的高度为10√3米。

仰角; 直角三角形; 正切

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>在本题图中，三角形ABC中，角CAB是直角（90度）</note>，因此三角形ABC是一个直角三角形。<note>边AC和边AB是直角边</note>，边BC是斜边。

仰角

观测者从水平线向上看某一物体时，视线与水平线之间所形成的夹角称为仰角。

<note>在本题图中，观测者位于点C</note>，从<note>点C沿水平线向前看形成线段AC</note>。当观测者<note>从点C向上看某一物体位于点B时，视线形成线段BC</note>。此时，<note>视线BC与水平线AC之间所形成的夹角∠ACB即为仰角</note>。

正切函数的定义

在直角三角形中，一个锐角的正切值等于相对直角边长度除以相邻直角边长度。

<note>在本题图中，直角三角形ABC中</note>，角ACB是锐角，<note>边AB是角ACB的相对直角边</note>，<note>边AC是角ACB的相邻直角边</note>，所以角ACB的正切值等于边AB的长度除以边AC的长度，即<note>tan(∠ACB) = AB / AC</note>。


Question: 如图,平行四边形ABCD中,E为DC的中点,△DEF的面积为2,则△ABF的面积为()

Answer: 8

1. 已知四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形定义，AB∥CD 且 AB = CD。

2. 由于E为DC的中点，所以DE = EC = 1/2 DC。

3. ##根据平行四边形定义##，AB = CD，因此 DE = 1/2 AB。

4. ##根据平行线的平行公理2，∠BAE=∠DEA，∠EDB=∠DBA，又根据相似三角形的判定定理(AA)得△DEF 和 △BAF 形成相似三角形##。

5. 两相似三角形的对应边DE 和 AB的比例为1:2，因此相似比为1:2，即 DE/AB = 1/2。

6. 根据面积比等于相似比的平方定理（相似三角形面积比等于对应边长度比的平方），有 ##S△DEF / S△BAF##= (DE/AB)^2 = (1/2)^2 = 1/4。

7. 已知△DEF的面积为2，则##S△BAF= S△DEF## / (1/4) = 2 / (1/4) = 2 * 4 = 8。

8. 经过上述推理，最终得到△ABF的面积为8。

平行四边形; 中点; 普通三角形

平行四边形的定义

平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。

线段中点

线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。

在本题图中，<note>线段DC的中点为点E</note>。根据线段中点的定义，<note>点E将线段DC平分为两个相等的部分</note>，即<note>线段DE和线段EC的长度相等</note>。即，<note>DE = EC = 1/2 DC</note>。

相似三角形的面积比等于相似比的平方定理

如果两个相似三角形的边长比是k，那么它们的面积比等于k的平方。

<note>三角形DEF和三角形BAF是相似三角形</note>，<note>边DE和边AB的比值为1:2, 即相似比为1:2</note>。所以，<note>三角形DEF的面积与三角形BAF的面积的比值等于(1/2)^2 = 1/4</note>。##

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>在本题图中，两条平行直线AB和CD被直线AE和DB截交</note>，形成了以下几何关系：<note>内错角：∠BAE=∠DEA，∠EDB=∠DBA</note>。

相似三角形的判定定理(AA)

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。

<note>△DEF 和 △BAF</note>中，<note>∠BAE=∠DEA</note>，<note>∠EDB=∠DBA</note>，所以<note>△DEF 和 △BAF相似</note>。##


Question: 如图,△ABC中,E、F分别是AB,AC的中点,若△AEF的面积为1,则四边形EBCF的面积为()

Answer: 3

1. 已知点 E 和点 F 分别是线段 AB 和线段 AC 的中点####。

2. 因为点 E 和点 F 分别是线段 AB 和线段 AC 的中点，根据中位线定理，得出线段 EF 平行于线段 BC 且 EF = 1/2 BC##，所以∠AEF=∠ABC（同位角相等）##。

3. 根据相似三角形的判定条件，得到△AEF 相似于△ABC，因为##∠A=∠A，∠AEF=∠ABC##。

4. 根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得出  (面积△AEF)/ (面积△ABC) = ##(EF/BC)? = (1/2)?## = 1/4。

5. 已知面积△AEF = 1, 通过比例关系，得出面积△ABC 的面积是 4。

6. 四边形EBCF的面积等于△ABC的面积减去△AEF的面积，因此得到四边形EBCF的面积是4-1=3。

7. 经过上述推理，最终得出答案为3。

中点; 平行线; 普通三角形; 普通四边形; 平行四边形

线段中点

线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。

在本题图中，线段AB的中点为点<note>E</note>，线段AC的中点为点<note>F</note>。根据线段中点的定义，点<note>E将线段AB平分为两个相等的部分，即AE = EB</note>，点<note>F将线段AC平分为两个相等的部分，即AF = FC</note>。

三角形中位线定理

在三角形中，如果一条线段连接两边的中点，那么这条线段与第三条边平行且等于第三条边的一半。

在本题图中，三角形ABC中，<note>点E是边AB的中点</note>，<note>点F是边AC的中点</note>，<note>线段EF连接了这两个中点</note>。根据三角形中位线定理，<note>线段EF与第三边BC平行且等于第三边BC的一半</note>，即<note>EF || BC</note>，并且<note>EF = 1/2 * BC</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例

<note>三角形AEF和三角形ABC是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>∠AEF=∠ABC</note>，<note>角A = 角A</note>，<note>角AFE = 角ACB</note>；<note>AE/AB = AF/AC = EF/BC</note>。

相似三角形的AA判别定理

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。

<note>三角形AEF和三角形ABC有两组对应的角相等</note>，分别是<note>∠EAF = ∠BAC</note>和<note>∠AEF = ∠ABC</note>，因此<note>三角形AEF相似于三角形ABC</note>。

相似三角形的面积比等于相似比的平方定理

如果两个相似三角形的边长比是k，那么它们的面积比等于k的平方。

<note>三角形AEF和三角形ABC是相似三角形</note>，<note>边EF和边BC的比值为1/2, 即相似比为1/2</note>。所以，<note>三角形AEF的面积与三角形ABC的面积的比值等于##(1/2)?## = 1/4</note>。


Question: 如图,AB∥CD,AC、BD交于O,BO=6,DO=3,AC=12,则AO长为()

Answer: 8

1. 已知AB∥CD，##根据平行线的平行公理2，内错角相等##，可以得到∠DCA=∠CAB (##内错角相等##) 和 ∠BDC=∠DBA (##内错角相等##)。

####

##2##. 根据##相似三角形的判定定理(AA)##，有：∠DCA = ∠CAB 和 ∠BDC = ∠DBA，满足对应角相等，三角形相似定理成立，即△DOC和△BOA相似。

##3##. 因此根据##相似三角形的定义##，DO/BO = OC/AO。

##4##. 将已知条件代入比例关系中，根据已知BO=6, DO=3, AC=12，设AO=x，可得：3/6=(12-x)/x 。

####

##5##. 解这个比例式，计算得出: 1/2 = (12 - x) / x, x = 8。

##6##. 经过上述推理步骤，最终得到 AO 的长度为8。

平行线; 内错角; 线段; 普通三角形

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

<note>在本题图中，三角形DOC和三角形BOA是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>∠DCO = ∠BAO</note>, <note>∠DOC = ∠BOA</note>, <note>∠ODC = ##∠OBA##</note>；<note>DO/BO = OC/AO</note>.

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

在本题图中，<note>两条平行线AB和DC</note>被<note>第三条直线AC</note>所截，形成了以下几何关系：<note>内错角：角DCA和角CAB相等</note>。同理，<note>两条平行线AB和DC</note>被<note>第三条直线BD</note>所截，形成了以下几何关系：<note>内错角：角BDC和角DBA相等</note>。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，内错角相等。####

相似三角形的判定定理(AA)

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。

三角形的定义

三角形是由三个非共线点及其连接线段组成的几何图形称为三角形。

在本题图中，<note>三角形DOC是由三个非共线点D、O、C及其连接线段DO、OC、CD组成的几何图形</note>。<note>点D、O、C分别是三角形的三个顶点</note>，<note>线段DO、OC、CD分别是三角形的三条边</note>。同理，<note>三角形BOA是由三个非共线点B、O、A及其连接线段BO、OA、AB组成的几何图形</note>。<note>点B、O、A分别是三角形的三个顶点</note>，<note>线段BO、OA、AB分别是三角形的三条边</note>。


Question: 如图所示,在山坡上种树,已知∠A=30°,AC=3m,相邻两株树的坡面距离AB等于()

Answer: 2√{3}m

1. 已知∠BAC=30°, AC = 3m。在直角三角形中使用##余弦函数##。

2. 根据##余弦函数##，AC / cos(∠BAC) = AB。

3. 因为∠BAC=30°，cos(30°) = √3/2。

4. 将角度的余弦值代入公式，得AB = 3 / (√3 / 2) = 3 * 2 / √3 = 2√3。

5. 经过上述推理，最终得出相邻两株树的坡面距离AB等于2√3 m。

余弦函数

余弦函数是一个三角函数，它可以通过直角三角形中的边来定义，对于一个角α，它的余弦值等于角α的邻边与斜边的比值。在单位圆中，余弦值是指从圆心到圆上与x轴夹角为α的点的横坐标。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

在本题图中，三角形ABC中，<note>角C是直角（90度）</note>，因此三角形ABC是一个直角三角形。<note>边AC和边BC是直角边</note>，<note>边AB是斜边</note>。


Question: 如图,已知D、E、F分别为等腰△ABC边BC、CA、AB上的点,如果AB=AC,∠FDE=∠B,BD=2,CD=3,CE=4,AE=1,那么AF的长为()

Answer: 3.5

1. 由已知AB = AC，根据等腰三角形的性质，得出∠ABD = ∠ACD。

2. 已知∠FDE = ∠C (等于∠B)，所以##由三角形的外角定理∠FBD + ∠BFD = ∠FDE + ∠EDC，可得 ∠BFD =∠EDC##

3. 因为∠B = ∠C， ##∠BFD =∠EDC，相似三角形的判定定理(AA)##知，△BDF ∽ △CED。

4. 根据##相似三角形的定义##，得出BD:CE = BF:DC。

5. 已知BD = 2，CD = 3，CE = 4，将这些值代入边的比例得：2:4 = BF:3，解得BF = 1.5。

6. 由AB = AC可得AB = AC = AE + EC = 1 + 4 = 5。

7. 由AF = AB - BF可得AF = 5 - 1.5 = 3.5。

8. 经过上述推理，最终得出答案为3.5。

等腰三角形; 普通三角形; 点; 线段; 内错角

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

在本题图中，<note>三角形BDF和三角形CED是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>∠BDF = ∠CED</note>, <note>∠BFD = ∠CDE</note>, <note>∠DBF = ∠DCE</note>；<note>BD/CE = BF/CD = DF/DE</note>。根据已知的边<note>BD = 2</note>，<note>CE = 4</note>，<note>CD = 3</note>，比例为<note>2/4 = BF/3</note>，从而得出<note>BF = 1.5</note>。####

相似三角形的判定定理(AA)

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似

三角形的外角定理

三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和

在本题图中，三角形BFD中，<note>角FDC是三角形的一个外角</note>，<note>角FBD和角BFD是与外角FDC不相邻的两个内角</note>，根据三角形的外角定理，<note>外角FDC等于不相邻的两个内角BFD和FBD之和</note>，即<note>角FDC = 角BFD + 角FBD</note>。####

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等

<note>等腰三角形ABC中，边AB和边AC相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，<note>相等的两边所对的角相等</note>，即<note>角ABC = 角ACB</note>。

多边形的外角定义

多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角


Question: 如图,在Rt△ABC中,AD⊥BC于D,DE⊥AB于E,若AD=3,DE=2,则AC=()

Answer: \frac{9}{2}

1. 已知在直角三角形ABC中，AD垂直于BC且交于点D，DE垂直于AB且交于点E。

2. 因为AD垂直于BC，所以角ADC等于90度。由于DE垂直于AB，所以角DEA等于90度。并且，ABC为直角三角形，所以角BAC也等于90度。

3. 因此可以得出，角EAD加上角DAC等于90度。

4. ##根据三角形内角和定理且角ADC等于90度。所以##角C加上角CAD等于90度，可以得出角C等于角EAD。

5. 根据##正弦函数定义##，sin(角EAD)等于sin(角C)，这等于DE除以AD，也等于AD除以AC。

6. 已知AD等于3，DE等于2，所以2除以3等于3除以AC。

7. 解这个方程得: AC等于9除以2。

8. 经过上述推理，最终得出答案为4.5。

直角三角形; 垂线; 垂直平分线; 线段

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>在本题图中，三角形ABC中，角BAC是直角（90度）</note>，因此三角形ABC是一个直角三角形。<note>边AB和边AC是直角边</note>，<note>边BC是斜边</note>，三角形AED中，<note>角AED是直角（90度）</note>，因此三角形AED是一个直角三角形。<note>边AE和边ED是直角边</note>，<note>边AD是斜边</note>，三角形ADC中，<note>角ADC是直角（90度）</note>，因此三角形ADC是一个直角三角形。<note>边AD和边DC是直角边</note>，<note>边AC是斜边</note>。

垂线定义

如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。

<note>直线AD和直线BC相交形成的角∠ADC是90度</note>，因此根据垂线定义，直线AD和直线BC互相垂直；<note>直线DE和直线AB相交形成的角∠DEA是90度</note>，因此根据垂线定义，直线DE和直线AB互相垂直。

正弦函数定义

在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值

<note>直角三角形ADC中，角ACD是锐角</note>，<note>边AD是角ACD的对边</note>，<note>边AC是斜边</note>。根据正弦函数定义，<note>角ACD的正弦值等于对边AD与斜边AC的比值</note>，即<note>sin(ACD) = AD / AC</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°

在本题图中，三角形ADC中，<note>角ADC</note>、<note>角DAC</note>和<note>角C</note>是三角形ADC的三个内角，根据三角形内角和定理，<note>角ADC + 角DAC + 角C = 180°</note>。##


Question: 如图,在边长为9的正方形ABCD中,F为AB上一点,连接CF．过点F作FE⊥CF,交AD于点E,若AF=3,则AE等于()

Answer: 2

1. 已知四边形ABCD是正方形，根据正方形的性质，得出AD=AB=BC=9，且∠DAB=∠ABC=90°。

2. 根据题意，FE⊥CF，因此∠EFC=90°。

3. ####在△AEF中，∠AEF + ∠EFA=90°。

4. ####在△CFB中，##∠CFB + ∠FCB##= 90°。

5. ##因为∠EFC=90°##，∠AFE + ∠CFB = 90°，结合（3）和（4）中的结论，得出∠AEF = ∠CFB。

6. 由于△AEF和△BFC有∠AEF = ∠CFB，##且∠A=∠B=90°##，依据AA相似判定，得出△AEF ∽ △BFC。

7. 根据相似三角形的性质，对应边成比例，有：##AE/BF = AF/BC##。

8. 由于AF=3且BC=9，BF=BC-AF=9-3=6，将这些数值代入前一步的比例关系，得出##AE/6 = 3/9##。

9. 通过解比例方程，得出AE = 2。

10. 经过上述推理，最终得出AE的长度为2。

正方形; 垂线; 直角三角形; 线段

正方形的定义

正方形是一种平面四边形，其四条边相等且四个内角均为直角（90度）。

垂线定义

如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。

<note>线段FE与线段CF相交形成的角∠EFC是90度</note>，因此根据垂线定义，<note>线段FE与线段CF互相垂直</note>。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>角A</note>是直角（90度），因此三角形AEF是一个直角三角形。边AF和<note>边AE</note>是直角边，<note>边FE</note>是斜边。在三角形CFB中，<note>角B</note>是直角（90度），因此三角形CFB是一个直角三角形。<note>边CB</note>和边FB是直角边，<note>边CF</note>是斜边。

相似三角形的AA判别定理

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

在本题图中，<note>△AEF</note>和<note>△BFC</note>是相似三角形。根据相似三角形的定义有：<note>∠FEA</note> = <note>∠CFB</note>, <note>∠AFE</note> = <note>∠BCF</note>, <note>∠A</note> = <note>∠B</note>；<note>\( \frac{AE}{BF} = \frac{AF}{BC} \)</note>。AF=3，BC=9，BF=BC-AF=6，因此<note>\( \frac{AE}{6} = \frac{3}{9} \)</note>。通过解比例方程，得出<note>AE = 2</note>。


Question: 如图,在△ABC中,AB=BC=2,以AB为直径的⊙O与BC相切于点B,则AC等于()

Answer: 2√{2}

1. 已知以AB为直径的圆O与BC相切于点B，根据圆的切线性质，切点处的切线垂直于经过切点的半径，因此##∠ABC=90°##。

####

##2.## 利用勾股定理在三角形△ABC中，得出##AC?=AB?+BC?##。

##3.## 代入已知值AB=2和BC=2，计算得出##AC=√(2?+2?)=√8=2√2##。

##4.## 经过上述推理，最终得出答案为2√2。

等腰三角形; 圆; 切线; 直角三角形; 圆周角

圆的切线定义

圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。

<note>圆O与直线BC有且只有一个公共点B</note>，这个公共点叫做<note>切点</note>。因此，<note>直线BC是圆O的切线</note>。

等腰直角三角形的定义

等腰直角三角形是两个边相等且有一个角为90度的三角形。

在本题图中，三角形ABC是等腰直角三角形，其中<note>角ABC是直角（90度）</note>，<note>边AB和边BC是相等的直角边</note>。

圆的切线性质

切线与经过切点的半径垂直。

<note>在本题图中，圆O中，点B是是直线CB与圆的切点</note>，<note>线段OB是圆的半径</note>。根据圆的切线性质，<note>切线CB与经过切点B的半径OB垂直</note>，即<note>∠ABC=90度</note>。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>在本题图中，直角三角形△ABC中，∠ABC是直角（90度）</note>，<note>边AB和BC是直角边</note>，<note>边AC是斜边</note>，所以根据勾股定理，##AC?=AB?+BC?##。


Question: 如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,且DE∥BC,若AD=5,DB=3,DE=4,则BC等于()

Answer: \frac{32}{5}

1. 已知DE∥BC，##根据平行线的平行公理2，两线段之间的同位角相等，所以∠ADE=∠ABC##。

####

##2. 当∠A为公共角，则∠DAE=∠BAC，又当∠ADE=∠ABC，根据相似三角形的判定定理(AA)得，△ADE与△ABC相似，又因△ADE∽△ABC，AD/AB = DE/BC##。

##3.已知AD=5, DB=3, DE=4##，根据线段相加得，AB=AD + DB = 5 + 3 = 8。

##4.## 将已知数据代入比例式中，得到：##5/8= 4/BC##。

##5.##通过交叉相乘求解上式，得：5BC = 32。

##6.## 两边同时除以5，得到：BC = ##32/5##。

##7.##经过上述推理，最终得出答案为：BC =##32/5##。

平行线; 普通三角形; 线段; 位似

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

相似三角形的判定定理(AA)

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。

在本题图中，<note>三角形ADE和三角形ABC是相似三角形</note>。根据<note>相似三角形的定义</note>有：<note>∠ADE = ∠ABC</note>, <note>∠DEA = ∠BCA</note>, <note>∠DAE = ∠BAC</note>；<note>AD/AB = DE/BC = AE/AC</note>。


Question: 如图,AB是⊙O的直径,C、D是⊙O上两点,CD⊥AB,若∠DAB=70°,则∠BOC=()

Answer: 140°

1. 从图中可以看出，点A和点B是圆O的直径的两个端点，点C和点D在圆周上，且CD垂直于AB。

2. 根据题意，∠DAB=70°。

3. 由于CD垂直于AB，##设CD交AB于E，根据垂线定义，∠AED=90°##。

4. ##在三角形AED中，根据三角形内角和定理，得∠ADE=180°-∠DAE-∠AED=20°##。

####

##5. 根据圆周角定理，在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半，故∠AOC=2∠ADC。##

##6##. 由此可得，∠AOC=2×20°=40°。

##7. 根据平角的定义得∠BOC= 180°-∠AOC。##

##8##. 所以，∠BOC=180°-40°=140°。

##9##. 经过上述推理，最终得出答案为140°。

圆; 圆心角; 圆周角; 垂线; 直角三角形

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

垂线定义

如果两条直线相交形成的角是90度，则这两条直线互相垂直。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形AED</note> 中，角DAB、角ADC和 <note>角AED是三角形AED</note> 的三个内角，根据三角形内角和定理，角DAB + 角ADC + <note>角AED</note> = 180°。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

平角的定义

一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角。1平角=180度。


Answer: 31°

1. 已知AB是⊙O的直径##，点D在圆周上##，根据##(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角和圆周角的定义##，得出∠ADB=90°。

2. 由∠ADB=90°以及已知∠ABD=59°，##依据直角三角形的锐角互补性质##，得到∠DAB=90°-∠ABD=31°。

3. 根据##圆周角定理推论1##，在同一个圆中，同弧所对的圆周角相等，##已知点C和点A在圆周上，根据圆周角的定义得出，∠C和∠DAB为圆周角，##所以可以得出##∠C## = ∠DAB = 31°。

####

##4.## 经过上述推理，最终得出答案为31°。

圆; 圆周角; 弧; 弦; 直角三角形

直径的定义

直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的最长弦，长度为2倍的半径。

<note>AB是直径</note>，连接了<note>圆心O</note>和圆周上的<note>A、B两点</note>，长度为2倍的半径，即<note>AB = 2 * OA</note>。

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

(圆周角定理推论2)直径所对的圆周角是直角

半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

<note>圆O中，直径AB所对的圆周角∠ADB是直角（90度）</note>。

直角三角形的锐角互补性质

在直角三角形中，除了直角之外的两个角之和为90°

<note>直角三角形ABD</note>中，<note>角ADB是直角（90度）</note>，角BAD和角ABD是直角以外的两个锐角，根据直角三角形的锐角互补性质，<note>角DAB和角ABD的和为90度，即角DAB+角ABD= 90°</note>。##

圆周角定理推论1

在一个圆中，任意两个与同一弧相对应的圆周角相等。


Question: 定义:定点A与⊙O上任意一点之间的距离的最小值称为点A与⊙O之间的距离．现有一矩形ABCD(如图),AB=14cm,BC=12cm,⊙K与矩形的边AB,BC,CD分别切于点E,F,G,则点A与⊙K的距离为()

Answer: 4cm

1. 已知矩形ABCD的边长为AB=14cm，BC=12cm，⊙K与矩形的边AB、BC、CD分别切于点E、F、G。

2. 连接线段KE、KF、KG、AK，并交⊙K于点H。

3. 由于⊙K与矩形的边AB、BC、CD分别相切，因此点E、F、G是这些边上的切点，且有EK=FK=KG。

4. ##因为点E、F分别为切点，因而∠BFK=∠BEK=90°，又因为∠B=90°，则根据矩形的判定定理一可得四边形BEKF是矩形，所以边长为BE=FK=半径=6cm##。

5. 由于矩形ABCD的边长AB=14cm，因此AE=AB-BE=14cm-6cm=8cm。由此，AK=√(AE^2+EK^2)=√(8cm^2+6cm^2)=√(64cm##^2##+36cm##^2##)=√100 cm##^2##=10cm。

6. 点H 是线段AK 与圆⊙K 的交点之一，点##H ##是从A点到圆⊙K 的##距离最小值##，##所以点A与圆K的距离##的长度是AK 的##长度##去除EK 的半径部分，因此， AH = AK - KH = 10cm - 6cm = 4cm。

7. 点A 与⊙K 之间的距离为4cm。

矩形; 圆; 切线; 垂线; 对称

圆的切线定义

圆的切线是与圆有且只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。

<note>圆⊙K与直线AB有且只有一个公共点E</note>，这个公共点叫做切点；<note>圆⊙K与直线BC有且只有一个公共点F</note>，这个公共点叫做切点；<note>圆⊙K与直线CD有且只有一个公共点G</note>，这个公共点叫做切点。因此，<note>直线AB、BC、CD是圆⊙K的切线</note>。

矩形判定定理一

有三个角是直角的四边形是矩形

切线长定理

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>在本题图中，直角三角形AEK中，∠AEK是直角（90度）</note>，<note>边AE和EK是直角边</note>，<note>边AK是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>AK##^2## = AE##^2## + EK##^2##</note>。


Question: 如图,梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC、BD相交于O点,若S~△AOD~:S~△OCD~=1:2,则S~△AOD~:S~△BOC~=()

Answer: \frac{1}{4}

1. 设点D到AC边的距离为h，根据三角形面积公式可得，三角形AOD与OCD的面积之比为(1/2 × OA × h) : (1/2 × OC × h) = OA : OC。

2. 已知S△AOD : S△OCD = 1:2，因此可以得出OA : OC = 1:2。

3. 因为AD ∥ BC，##由平行线的平行公理2可得##，∠DAO = ∠BCO，∠ADO = ∠CBO。

4. ##根据相似三角形的判定定理(AA)得##，△AOD ∽ △COB。

5. 由于相似三角形的面积比等于相似比的平方，因此S△AOD : S△BOC =## (OA : OC)^2 = (1:2)^2## = 1:4。

6. 经过上述推理，最终得出答案为1:4。

梯形; 平行线; 普通三角形

相似三角形的面积比等于相似比的平方定理

如果两个相似三角形的边长比是k，那么它们的面积比等于k的平方。

在本题图中，<note>三角形AOD</note>和<note>三角形COB</note>由于<note>∠DAO = ∠BCO</note>，<note>∠ADO = ∠CBO</note>，因此<note>△AOD ∽ △COB</note>。根据相似三角形的面积比等于相似比的平方定理，如果两个相似三角形的边长比是k，那么它们的面积比等于k的平方。由此可得<note>S△AOD : S△BOC = (OA : OC)^2</note>。

三角形的面积公式

任意三角形的面积等于其底乘以高除以2

在本题中，<note>三角形AOD中，边OA是底，线段OD的垂直距离h是高</note>。根据三角形的面积公式，<note>三角形AOD的面积等于底边OA乘以高h再除以2，即面积 = (OA * h) / 2</note>。同理，<note>三角形OCD中，边OC是底，线段OD的垂直距离h是高</note>。根据三角形的面积公式，<note>三角形OCD的面积等于底边OC乘以高h再除以2，即面积 = (OC * h) / 2</note>。因此，<note>三角形AOD和OCD的面积比为OA : OC</note>。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

<note>在本题图中，两条平行线AD和BC被第三条直线AC所截</note>，形成了以下几何关系：
1. <note>内错角</note>：<note>角DAO和角BCO相等</note>。
2. 内错角：<note>角ADO和角CBO相等</note>。

相似三角形的定义

相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例

<note>在本题图中，三角形AOD和三角形COB是相似三角形</note>。根据相似三角形的定义有：<note>角AOD = 角BOC</note>，<note>角DAO = 角BCO</note>，<note>角ADO = 角CBO</note>；<note>AO/CO = DO/BO = AD/BC</note>。

相似三角形的判定定理(AA)

在两个三角形中，如果有两个角分别相等，则两个三角形相似。

<note>△AOD 和 △COB</note>中，<note>∠DAO = ∠BCO</note>，<note>∠ADO = ∠CBO</note>，所以<note>△AOD ∽ △COB</note>。

内错角的定义

当一条直线（称为截线）与另外两条平行直线相交时，位于两条平行直线之间且在截线的对侧的角称为内错角。

<note>在本题图中，两条平行直线AD和BC被直线AC和BD截交</note>，其中<note>∠DAO 和 ∠BCO位于两平行线之间，∠ADO 和 ∠CBO位于两平行线之间</note>，且分别<note>在AC和BD的对侧</note>，因此<note>∠DAO 和 ∠BCO是内错角，∠ADO 和 ∠CBO是内错角</note>。内错角相等，即<note>∠DAO = ∠BCO，∠ADO = ∠CBO</note>。

高的定义

从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。

<note>从顶点D垂直于对边AC（或其延长线）的线段h</note>是该顶点D的高。<note>线段h与边AC（或其延长线）形成一个直角（90度）</note>，这说明<note>线段h是从顶点D到对边AC（或其延长线）的垂直距离</note>。


Question: 如图,菱形ABCD的周长是16,∠A=60°,则对角线BD的长度为()

Answer: 4

1. 已知菱形ABCD的周长是16，根据##菱形的周长公式，菱形的周长等于其边长的四倍，设菱形的边长为a，因此4*a=16，##得出AB=AD=CD=BC=a=4。

##2. 因AB=AD，所以三角形ABD为等腰三角形，根据等腰三角形的性质，∠ABD=∠ADB。

3. 在△ABD中，已知∠A=60°，根据三角形内角和定理，可得∠ABD=∠ABD=（180°-∠A）/2=60°，利用等边三角形的性质，得出△ABD为等边三角形，即BD=AB=AD=4。##

4. 因此，对角线BD的长度为4。

菱形; 等边三角形; 正弦

菱形的定义

菱形是四边都相等的四边形，且对角线互相垂直平分。

等边三角形的定义

等边三角形是所有三条边长度相等并且所有内角都相等（均为60°）的三角形。

在本题图中，<note>三角形ABD是一个等边三角形</note>。<note>边AB、边AD和边BD的长度相等，均为4</note>，并且<note>角BAD、角ABD和角ADB的度数相等，均为60°</note>。##

等边三角形的性质

等边三角形的每一个内角都是60°。

在本题图中，<note>等边三角形ABD</note>中，边<note>AB、AD和BD相等</note>，因此根据等边三角形的性质，<note>三角形ABD的每一个内角都是60°</note>。也就是说，<note>角ABD、角ADB和角BAD均为60°</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形ABD中，角BAD、角ABD和角ADB是三角形ABD的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角BAD + 角ABD + 角ADB = 180°</note>。在本题图中，<note>三角形xxx中，边xx和边xx相等</note>，因此<note>三角形xxx是一个等腰三角形</note>。

等腰三角形的定义

任等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等。

<note>在本题图中，等腰三角形ABD中，边AB和边AD相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>角ABD = 角ADB</note>。


Question: 如图,某地修建高速公路,要从B地向C地修一座隧道(B、C在同一水平面上)．为了测量B、C两地之间的距离,某工程师乘坐热气球从C地出发,垂直上升100m到达A处,在A处观察B地的俯角为30°,则B、C两地之间的距离为()

Answer: 100√{3}m

1. 根据题意，点A在C地上方100米处，故点A与点C的连线AC垂直于地面BC，即AC⊥BC。

2. 又因为工程师在A处观察B地的俯角为30°，##设与BC平行的线段为AD，所以∠DAB=30°##。

##3.根据内错角的定义，因为AD∥BC，截线为AB，所以∠DAB=∠ABC=30° 。##

##4.根据三角形内角和定理，在三角形ABC中，AC⊥BC，所以∠ACB=90°，∠CAB=180°-∠ACB-∠ABC=180°-90°-30°=60° 。##

##5. 根据30°-60°-90°三角形的性质，边AC是30度角所对的边，边BC是60度角所对的边，BC=√3AC=√3*100=100√3。##

####

##6. 经过上述推理，最终得出答案为100√3 m。##

直角三角形; 垂线; 正切

俯角

俯角是观察者站在某处，##低头##看到的物体位置和水平线之间的夹角。

<note>在本题图中，观察者站在点A处，低头看到物体位于点B。</note>水平线从点A延伸到点D，形成<note>水平线AD</note>。俯角是观察者从点A沿水平线看向点B，然后<note>低头看向点D所形成的夹角</note>。这个夹角用<note>∠DAB表示，即∠DAB是俯角</note>。题目中<note>给定俯角值为30°</note>。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°。

<note>三角形ABC</note>中，<note>角CAB、角ABC和角BCA是三角形ABC的三个内角</note>，根据三角形内角和定理，<note>角CAB + 角ABC + 角BCA = 180°</note>。

30°-60°-90°三角形的性质

<note>在本题图中，30°-60°-90°三角形ABC中</note>，<note>角ABC是30度</note>，<note>角BAC是60度</note>，<note>角ACB是90度</note>。<note>边AB是斜边</note>，<note>边AC是30度角所对的边</note>，<note>边BC是60度角所对的边</note>。根据30°-60°-90°三角形的性质，<note>边AC等于边AB的一半</note>，<note>边BC等于边AC的√3倍</note>。即：<note>AC = 1/2 * AB</note>，<note>BC = AC * √3</note>。


Answer: 10

1. 已知四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质，AB=BC=CD=DA。

2. 知道∠BAD=120°。

3. ##由于菱形的对角线互相垂直平分，设菱形对角线AC，BD相交于O点，有BO＝OD，∠AOB＝∠AOD＝90°，AO＝AO，依据全等三角形判定定理(SAS)有三角形ABO≌三角形ADO。因此依据全等三角形的定义，∠BAC=∠DAC=1/2∠BAD=60°##。

4. 在△ABC中，由于AB=BC 且 ∠BAC=60°，##依据等边三角形的判定定理（等腰三角形的60度角判定）可知，△ABC是等边三角形##。

5. 根据##等边三角形的定义##，等边三角形的边长相等，因此AC=BC。

6. 已知BC=10，因此AC=10。

7. 经过上述推理，最终得出答案为10。

菱形的定义

菱形是四边都相等的四边形，且对角线互相垂直平分。

等边三角形的定义

等边三角形是所有三条边长度相等并且所有内角都相等（均为60°）的三角形。

<note>在本题图中，三角形ABC是一个等边三角形</note>。<note>边AB、边BC和边CA的长度相等</note>，并且<note>角BAC、角ABC和角BCA的度数相等，均为60°</note>。######

等边三角形的判定定理（等腰三角形的60度角判定）

有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形

在本题图中，已知△ABC为等腰三角形，<note>边AB与边BC相等</note>，且存在一个<note>内角为60°，即∠BAC=60°</note>。根据等边三角形的判定定理，等腰三角形中若有<note>一个内角为60°</note>，则该三角形<note>三边长度相等</note>，<note>三个内角均为60°</note>，因此可判定△ABC为<note>等边三角形</note>。

全等三角形判定定理(SAS)

如果一个三角形的两边及其夹角分别与另一个三角形的两边及其夹角相等，那么这两个三角形全等

<note>边BO与边OD相等</note>，<note>边AO与边AO相等</note>，且<note>夹角AOB与夹角AOD相等</note>，因此根据全等三角形判定定理(SAS)，这两个三角形全等。####

全等三角形的定义

两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等

<note>三角形AOB</note>和<note>三角形AOD</note>是全等三角形，<note>三角形AOB的对应边和对应角与三角形AOD相等</note>，即： <note>边AB = 边AD</note> <note>边AO = 边AO</note> <note>边BO = 边OD</note>，同时，对应的角也相等： <note>角BAO = 角DAO</note> <note>角AOB= 角AOD</note> <note>角ABO = 角ADO</note>


Question: 如图,在一次数学课外实践活动中,小文在点C处测得树的顶端A的仰角为37°,BC=20m,则树的高度AB为()(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)

Answer: 15m

1. 已知小文在点C处测得树的顶端A的仰角为37°。

2. 在△ABC中，∠ACB=37°。

3. 根据正切函数定义，在直角三角形中，某一锐角的正切值等于对边长度与邻边长度的比值，因此有tan∠ACB=AB/BC。

4. 题中已知BC=20米，sin37°≈0.60, cos37°≈0.80, tan37°≈0.75。

5. 将BC和tan∠ACB的值代入正切函数的定义公式中，得到AB/20=0.75。

6. 整理上述等式，得到AB=20×0.75。

7. 计算得出AB=15米。

8. 经过上述推理，最终得出树的高度AB为15米。

仰角; 直角三角形; 正切

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

正切函数的定义

在直角三角形中，一个锐角的正切值等于相对直角边长度除以相邻直角边长度。


Question: 如图,一小型水库堤坝的横断面为直角梯形,坝顶BC宽6m,坝高14m,斜坡CD的坡度i=1:2,则坝底AD的长为()

Answer: 34m

1. 已知BC=6米，坝高为14米。过点C作辅助线CE垂直于AD，并##交AD于点E##。

2. 因为CE垂直于AD，所以四边形AECB是一个矩形。其中AD与BC平行且相等，因此AE=6米。

3. CE是水坝的高度，所以CE=14米。

4. 已知斜坡CD的坡度i=1:2，意味着CE:DE=1:2。

5. CE=14米，根据比例关系CE:DE=1:2，可得DE=2*14=28米。

6. 因为AD由AE和DE构成，所以AD=AE+DE=6米+28米=34米。

7. 经过上述推理，最终得出答案为34米。

梯形; 直角三角形; 正切; 线段

直角梯形

两底边平行，且有一腰垂直于底边的梯形称为直角梯形。

矩形的定义

矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长

坡度

坡度是指某条线路或某个地段的垂直高度和水平距离之比。

高的定义

从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。

在本题图中<note>从顶点C垂直于对边AD的线段CE</note>是<note>该顶点C的高</note>。<note>线段CE与边AD形成一个直角（90度）</note>，这说明<note>线段CE是从顶点C到对边AD的垂直距离</note>。


Question: 如图,∠MON=90°,动点A、B分别位于射线OM、ON上,矩形ABCD的边AB=6,BC=4,则线段OC长的最大值是()

Answer: 8

1. 已知∠MON=90°,矩形ABCD的边AB=6,BC=4。

2. 取AB中点E并连接OE、CE。

3. 因为E为AB中点，##根据线段中点定理，##故BE=##1/2##AB=3。

4. 根据已知∠MON=90°，由##直角三角形的斜边中线定理可知##，OE=##1/2##AB=3。

5. 在直角三角形BCE中，根据勾股定理得，CE=##√(BE^2 + BC^2) = √(3^2 + 4^2)##= 5。

6. 在△OCE中，根据三角形三边关系定理可得，CE + OE > OC。

7. 当点O、E、C在同一直线上时，OC最大值为OE + CE = 3 + 5 = 8。

8. 经过上述推理，最终得出答案为8。

射线; 矩形; 直角三角形; 点; 线段

线段中点

线段的中点是将线段平分为两个相等部分的点。

<note>线段AB的中点为点E</note>。根据线段中点的定义，<note>点E将线段AB平分为两个相等的部分</note>，即<note>线段AE和线段EB的长度相等</note>。即，<note>AE = EB = 3</note>。

矩形的定义

矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>在本题图中，直角三角形BCE中，##∠CBE##是直角（90度）</note>，边<note>BE和BC是直角边</note>，<note>边CE是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>##CE^2 = BE^2 + BC^2##</note>，因此<note>CE=√(BE^2 + BC^2) = √(3^2 + 4^2) ##= 5。</note>

直角三角形的斜边中线定理

在直角三角形中，从直角顶点划向斜边中点的线段等于这条斜边的一半。

<note>直角三角形BOA中，角BOA是直角（90度）</note>，边OB和OA是直角边，边AB是斜边。<note>点E是斜边AB的中点</note>，从直角顶点O划向斜边中点E的<note>线段OE等于斜边AB的一半，即OE = 1/2 * AB</note>。

三角形三边关系定理

三角形的两边之和大于第三边。

<note>边OE</note>、<note>边CE</note>和<note>边OC构成三角形</note>。根据<note>三角形三边关系定理</note>，任意两边之和大于第三边，即<note>边CE + 边OE > 边OC</note>，<note>边CE + 边OC > 边OE</note>，<note>边OC + 边OE > 边CE</note>。####

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形

<note>在本题图中，三角形BCE中，角CBE是直角（90度）</note>，因此三角形BCE是一个直角三角形。<note>边BC和边BE是直角边，边CE是斜边</note>。##


Question: 如图,菱形ABCD中,AB=15,∠ADC=120°,则B、D两点之间的距离为()

Answer: 15

1. 已知菱形ABCD中，AB=15，并且∠ADC=120°。

2. 连接BD，构成△ABD。

3. ##根据菱形的定义可知##，AB=AD。

4. 根据##菱形的邻角互补可知##，∠A=180°-∠D=60°##。

5. ∵AB=AD=15，∠A=60°，##根据等边三角形的判定定理（等腰三角形的60度角判定）##所以△ABD是等边三角形。

6. 因为△ABD是等边三角形，所以BD=AB=15。

7. 所以经过上述推理，B、D两点之间的距离为15。

菱形的定义

菱形是四边都相等的四边形，且对角线互相垂直平分。

菱形的邻角互补

菱形的任意一对邻角互补

<note>菱形ABCD中</note>，角A和<note>角D是一对邻角</note>，根据菱形的性质，菱形的任意一对邻角互补，即<note>角A + 角D = 180度</note>。同理，<note>角B和角C也是一对邻角</note>，满足<note>角B + 角C = 180度</note>。####

等边三角形的判定定理（等腰三角形的60度角判定）

有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形

<note>△ABD为等腰三角形，边AB与边AD相等</note>，且存在一个内角为60°，<note>∠A=60°</note>。根据等边三角形的判定定理，等腰三角形中若有一个内角为60°，则该三角形三边长度相等，三个内角均为60°，因此<note>△ABD为等边三角形</note>。


Answer: 10

1. 已知四边形ABCD是菱形，根据菱形的##对角线性质##，四边形ABCD的两条对角线AC和BD相互垂直且平分。

2. ##设点O是对角线AC和BD的交点，根据菱形的定义，得OA=1/2AC=1/2×12=6，OB=1/2BD=1/2×16=8##。

3. 因为AC与BD相互垂直，##根据直角三角形的定义，角AOB为90度，三角形△AOB为直角三角形，依据勾股定理##，在##直角三角形△AOB##中，边长AB=##√(OA? + OB?)=√(6?+ 8?)##=√(36 + 64)=√100=10。

4. 因此，菱形ABCD的边长为10。

菱形; 直角三角形; 垂直平分线

菱形的对角线性质

菱形的对角线互相平分且互相垂直。

菱形的定义

菱形是四边都相等的四边形，且对角线互相垂直平分。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>△AOB是直角三角形</note>，其中<note>∠AOB为直角</note>，OA = 6，OB = 8。根据勾股定理，边长AB = <note>√(OA? + OB?) = √(6? + 8?)</note> = √(36 + 64) = √100 = 10。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>在本题图中，三角形AOB中，角AOB是直角（90度）</note>，因此三角形AOB是一个直角三角形。边<note>OA和边OB是直角边</note>，边<note>AB是斜边</note>。


Question: 如图,矩形的两条对角线的一个交角为60°,AC+BD=20cm,则AB的长为()

Answer: 5cm

1. 已知四边形ABCD是矩形，根据##矩形的对角线性质##，得出AC=BD，且对于对角线的相交点O，有OA=OC=OD=OB。

2. 由题意得出AC+BD=20，由于AC=BD，因此2AC=20，得出AC=10。同理，BD也等于10。

3. 因为OA和AC的关系为OA=AC/2，所以OA=10/2=5。

4. 同理，OB和BD的关系为OB=BD/2，因此也得出OB=10/2=5。

5. 已知角AOB等于60度，且OA=5，OB=5。

6. ##根据等腰三角形的定义，OA=OB=5，所以△AOB为等腰三角形，且已知一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形，又因为∠AOB=60度，所以△AOB为等边三角形##。

7. 根据等边三角形的性质，得出△AOB的各边都相等，因此AB=OA=5。

矩形; 线段; 直角三角形; 余弦; 平移

矩形的定义

矩形是指一个四边形，其中每个内角都是直角（90度），且相对的边互相平行并等长。

等边三角形的判定定理（等腰三角形的60度角判定）

有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形。

<note>△AOB为等腰三角形</note>，<note>OA=OB</note>，且存在一个内角为60°，即<note>∠AOB=60°</note>。根据等边三角形的判定定理，等腰三角形中若有一个内角为60°，则该三角形三边长度相等，三个内角均为60°，因此可判定<note>△AOB为等边三角形</note>。##

等边三角形的定义

等边三角形是所有三条边长度相等并且所有内角都相等（均为60°）的三角形。

矩形的对角线性质

在矩形中，对角线相等且互相平分。

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。


Question: 点B在⊙O上,点C是⊙O上异于A、B的一点,若∠AOB=50°,则∠ACB的度数是()

Answer: 25°

####

##1.## 已知∠AOB = 50°。

##2.## 根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于该弧的圆心角的一半。圆周角定理表明，如果一个角的顶点在圆上，并且两条边都与圆相交，则该角为圆周角。

##3.## 在此题中,∠ACB是由##弧AB##所对的圆周角，对应的是弧AB上的圆心角∠AOB。

##4.## 所以，根据圆周角定理，∠ACB = 1/2 * ∠AOB。

##5.## 代入已知条件，∠ACB = 1/2 * 50° = 25°。

##6.## 因此，经过上述推理，最终得出答案为25°。

圆; 圆周角; 圆心角; 弦

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

在本题图中，<note>圆O中</note>，点A和点B是圆上的两点，<note>圆心是点O</note>。<note>连线OA和OB组成的角∠AOB</note>称为圆心角。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。


Question: 如图,热气球从空中的A处看一栋楼的顶部仰角为30°,看这栋楼的俯角为60°．热气球与楼的水平距离为120m．这栋楼的高度为()

Answer: 160√{3}m

1. 已知∠BAD=30°，∠DAC=60°，以及AD=120米。

2. 根据正切函数定义，在直角三角形ABD中，tan(∠BAD)=BD/AD，因此有tan(30°)=BD/120。

3. 从而得到BD=120 * tan(30°)=120 * (√3/3)=40√3。

4. 类似地，在直角三角形ADC中，tan(∠DAC)=CD/AD，因此有tan(60°)=CD/120。

5. 从而得到CD=120 * tan(60°)=120 * √3=120√3。

6. 楼的高度BC等于BD加上CD，即BC=BD+CD=40√3+120√3=160√3。

7. 经过上述推理，最终得出答案为160√3米。

仰角; 直角三角形; 正切

正切函数的定义

在直角三角形中，一个锐角的正切值等于相对直角边长度除以相邻直角边长度。

<note>在本题图中，直角三角形ABD中，角∠BAD是锐角</note>，<note>边BD是角∠BAD的相对直角边</note>，<note>边AD是角∠BAD的相邻直角边</note>，所以角∠BAD的正切值等于边BD的长度除以边AD的长度，即<note>tan(∠BAD) = BD / AD</note>。同样地，<note>在直角三角形ADC中，角∠DAC是锐角</note>，<note>边CD是角∠DAC的相对直角边</note>，<note>边AD是角∠DAC的相邻直角边</note>，所以角∠DAC的正切值等于边CD的长度除以边AD的长度，即<note>tan(∠DAC) = CD / AD</note>。

俯角

俯角是观察者站在某处，抬头看到的物体位置和水平线之间的夹角。

<note>观察者在点A处</note>，低头看到楼底位于<note>点C</note>。<note>水平线从点A延伸到点D，形成水平线AD</note>。俯角是观察者从<note>点A沿水平线看向点C</note>，然后抬头看向<note>点D</note>所形成的夹角。这个夹角用<note>∠DAC表示</note>，即<note>∠DAC是俯角=60°</note>。####

仰角

观测者从水平线向上看某一物体时，视线与水平线之间所形成的夹角称为仰角

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>在本题图中，三角形ABD中，角ADB是直角（90度）</note>，因此三角形ABD是一个直角三角形。<note>边AD和边BD是直角边，边AB是斜边</note>。类似地，<note>在三角形ADC中，角ADC是直角（90度）</note>，因此三角形ADC是一个直角三角形。<note>边AD和边CD是直角边，边AC是斜边</note>。####


Question: 如图,在菱形ABCD中,∠BAD=80°,AB的垂直平分线交对角线AC于点F,E为垂足,连接DF,则∠CDF等于()

Answer: 60°

1. 已知菱形ABCD，则##由菱形的邻角互补##，得到∠ADC=180°-∠BAD=100°。

2. AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF。

3. ##依据垂直平分线的性质##，由于EF垂直平分AB，所以AF=BF。

4. ##连接菱形对角线DB交对角线AC于O，由菱形的对角线性质可知，AC垂直平分DB，因此FO其实是DB的垂直平分线，依据垂直平分线的性质，##所以BF=DF。

5. 根据以上结论，AF=BF=DF，则，##依据等腰三角形的定义，△ADF为等腰三角形，由于∠DFC为三角形ADF的外角，依据等腰三角形的性质，∠DAF＝∠ADF，所以∠DFC=2∠DAF，##。

6. ##由菱形的定义和全等三角形判定定理(SSS)可知，三角形ADC与三角形ABC对应的三边相等，两个三角形全等##

##７. 由菱形的定义可知，AD等于DC，所以由等腰三角形的定义可知，三角形ADC为等腰三角形，由等腰三角形的性质可知，∠DAF＝∠DCF，因∠BAD=80°，由全等三角形的定义可知，∠DAC等于∠CAB，所以可得∠DAC＝∠DCF＝40°，∠DFC=2∠DAF＝80°。##

##8. 在三角形DFC中，由三角形内角和定理可知，∠CDF＝180°-∠DCF-∠DFC＝180°-40°-80°＝60°##

菱形; 垂直平分线; 垂线; 等腰三角形; 直角三角形

垂直平分线的定义

经过线段中点且垂直于该线段的直线。

在本题图中，<note>直线EF经过线段AB的中点E，并且直线EF垂直于线段AB</note>。因此，<note>直线EF是线段AB的垂直平分线</note>。##<note>直线FO经过线段DB的中点O，并且直线FO垂直于线段DB</note>。因此，<note>直线FO是线段DB的垂直平分线</note>##。

等腰三角形的定义

等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。

在本题图中，三角形ADF中，<note>边AF和边DF相等</note>，因此三角形ADF是一个等腰三角形。##三角形ADC中，<note>边AD和边DC相等</note>，因此三角形ADC是一个等腰三角形。##

菱形的定义

菱形是四边都相等的四边形，且对角线互相垂直平分。

垂直平分线的性质

垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等

<note>在本题图中，线段AB的垂直平分线为直线EF</note>，<note>点F在直线EF上</note>。根据垂直平分线的性质，<note>点F到线段AB两端点A和B的距离相等</note>，即<note>AF = BF</note>。<note>线段DB的垂直平分线为直线FO</note>，<note>点F在直线FO上</note>。根据垂直平分线的性质，<note>点F到线段DB两端点D和B的距离相等</note>，即<note>DF = FB</note>。

三角形的外角定理

三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。

<note>三角形DAF中，角∠DFC是三角形的一个外角</note>，<note>角∠FAD和角∠ADF是与外角∠DFC不相邻的两个内角</note>，根据三角形的外角定理，<note>外角∠DFC等于不相邻的两个内角∠FAD和∠ADF之和</note>，即<note>角∠DFC = 角∠FAD + 角∠ADF</note>。##

菱形的邻角互补

菱形的任意一对邻角互补

在本题图中，菱形ABCD中，<note>角ADC和角DAB是一对邻角</note>，根据菱形的性质，<note>菱形的任意一对邻角互补</note>，即<note>角ADC + 角DAB = 180度</note>。同理，<note>角DCB和角CBA也是一对邻角</note>，满足<note>角DCB + 角CBA = 180度</note>。

菱形的对角线性质

菱形的对角线互相平分且互相垂直

等腰三角形的性质

在等腰三角形中，相等的两边所对的角相等, 相等的角对应的边相等

<note>等腰三角形ADF</note>中，边<note>DF和边AF相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>角ADF = 角DAF</note>。<note>等腰三角形ADC</note>中，边<note>AD和边DC相等</note>。因此，根据等腰三角形的性质，相等的两边所对的角相等，即<note>角DAC = 角DCA</note>。####

全等三角形的定义

两个三角形全等是指这两个三角形的对应边相等并且对应角相等

<note>三角形ADC和三角形ABC是全等三角形</note>，三角形ADC的<note>对应边和对应角与三角形ABC相等</note>，即：
<note>边AD = 边AB</note>
<note>边DC = 边BC</note>
边AC= 边AC
同时，对应的角也相等：
<note>角DAC = 角CAB</note>
<note>角DCA= 角BCA</note>
<note>角ADC = 角ABC</note>####

全等三角形判定定理(SSS)

两个三角形的三组对应边分别相等，则两个三角形全等。

在本题图中，三角形ADC和三角形ABC中，<note>边AD与边AB相等</note>，<note>边DC与边BC相等</note>，<note>边AC与边AC相等</note>，因此根据全等三角形判定定理(SSS)，这两个三角形全等。

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°

在本题图中，三角形DFC中，<note>角DCF</note>、<note>角DFC</note>和<note>角CDF</note>是三角形DFC的三个内角，根据<note>三角形内角和定理</note>，<note>角DCF + 角DFC + 角CDF = 180°</note>。####

多边形的外角定义

多边形的一个内角与相邻边延长线形成的角称为这个内角的外角

在本题图中，<note>多边形ADF的一个内角为∠AFD</note>，<note>延长该内角的相邻边DF和AF</note>形成的角<note>∠DFC称为内角∠AFD的外角</note>。


Question: 如图,在平行四边形ABCD中,若∠B=60°,则∠D等于()

Answer: 60°

1. 已知四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质，平行四边形的对角相等。

2. 因此，∠ABC = ∠CDA。

3. 根据已知条件，∠ABC = 60°。

4. 因此，∠CDA = 60°。

5. 经过上述推理，最终得出答案为60°。

平行四边形的定义

平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。

平行四边形的性质定理

在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。


Question: 如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠BOC=3∠AOB,若∠ACB=20°,则∠BAC的度数是()

Answer: 60°

1. 已知∠ACB=20°，根据圆周角定理，####得出∠AOB=2×∠ACB=2×20°=40°。

2. 根据题目条件∠BOC=3×∠AOB，得出∠BOC=3×40°=120°。

3. ##根据圆周角定理，得出∠BOC=2×∠BAC。##

4. 因此∠BAC=##120°/2=60°。##

##5##.由于上述推理，最终得出∠BAC的度数为60°。

圆; 圆心角; 圆周角; 普通三角形; 普通多边形

圆周角的定义

圆周角是顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角。

在本题图中，圆O中，<note>角ACB的顶点C在圆周上</note>，<note>角ACB的两边分别与圆O相交于点A和点B</note>。因此，角ACB是一个圆周角，角BAC的两边分别与<note>圆O相交于点C和点B</note>。因此，角BAC是一个圆周角。

圆周角定理

在圆中，圆周角等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

<note>圆O中，点A、B、C在圆上</note>，<note>弧AB</note>对应的圆心角为∠AOB，圆周角为∠ACB。根据圆周角定理，∠ACB等于它所对的<note>弧AB</note>所对应的圆心角∠AOB的一半，即∠ACB = 1/2 ∠AOB，<note>弧BC</note>对应的圆心角为∠BOC，圆周角为∠BAC。根据圆周角定理，∠BAC等于它所对的<note>弧BC</note>所对应的圆心角∠BOC的一半，即∠BAC = 1/2 ∠BOC。

圆心角的定义

圆上两点到圆心的连线组成的角称为圆心角。

在本题图中，<note>圆O中，点B和点C是圆上的两点，圆心是点O</note>。<note>连线OB和OC组成的角∠BOC称为圆心角</note>，<note>点B和点A是圆上的两点，圆心是点O</note>，<note>连线OB和OA组成的角∠BOA称为圆心角</note>。


Question: 如图,平行四边形ABCD中,已知∠AOB=90°,AC=8cm,AD=5cm,则BD的长为()

Answer: 6cm

1. 已知四边形ABCD是平行四边形，根据##平行四边形的性质定理##，对角线互相平分，可得OA = ##1/2##AC = ##1/2## × 8 = 4 (cm)。

2. ∵ ∠AOB = 90°, 根据##邻补角的定义##，可得∠AOD = 180° - ∠AOB = 90°。

3. 在△ADO中，根据勾股定理##和直角三角形的定义##，由于∠AOD = 90°，得OD = √##(AD^2 - OA^2)## = √##(5^2 - 4^2)## = √##(25 - 16)##= √9 = 3 (cm)。

4. 由##平行四边形的性质定理##，可得BD = 2 × OD = 2 × 3 = 6 (cm)。

##5##. 经过上述推理，最终得出答案为6 cm。

平行四边形; 垂线; 直角三角形; 线段

平行四边形的定义

平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。

对角线的定义

对角线是连接多边形一顶点和非相邻顶点的线段。

在本题图中，平行四边形ABCD中，<note>对角线是连接顶点A和非相邻顶点C的线段AC</note>，以及<note>连接顶点B和非相邻顶点D的线段BD</note>。因此，<note>线段AC和BD就是平行四边形ABCD的对角线</note>。

平行四边形的性质定理

在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。

邻补角的定义

<note>在本题图中，角AOD和角AOB有一条公共边AO，它们的另一边OD和OB互为反向延长线</note>，所以角AOD和角AOB互为邻补角。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

<note>在△ADO中，∠AOD是直角（90度）</note>，<note>边OD和AO是直角边</note>，<note>边AD是斜边</note>，所以根据勾股定理，<note>OD^2 = AD^2 - AO^2</note>。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。


Question: 如图,P为平行四边形ABCD内一点,过点P分别作AB、AD的平行线交平行四边形于E、F、G、H四点,若S~AHPE~=3,S~PFCG~=5,则S~△PBD~为()

Answer: 1

1. 首先，由已知条件可以确定EPGD、GPFC、EPHA、PHBF均为平行四边形。

2. 根据平行四边形的面积性质，得##S△DEP = S△DGP = 1/2 * S平行四边形DEPG##。

3. 同样，通过平行四边形的面积性质，可以得##S△PHB = S△PBF = 1/2 * S平行四边形PHBF##。

4. 计算整个平行四边形的面积，根据平行四边形的面积分割性质，有##S△ADB = S△EPD + S平行四边形AHPE + S△PHB + S△PDB##。

5. 同理，另一边的面积也可以表示为##S△BCD = S△PDG + S平行四边形PFCG + S△PFB - S△PDB##。

6. 将上述两个面积公式相减，得##0 = S平行四边形AHPE - S平行四边形PFCG + 2S△PDB##。

7. 代入已知的##S平行四边形AHPE## = 3和##S平行四边形PFCG## = 5，得##2S△PDB = 5 - 3 = 2##。

8. 根据面积的正值性质，得##S△PBD## = 1。

平行四边形; 平行线; 普通三角形; 点

平行四边形的定义

平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。

<note>四边形ABCD是一个平行四边形</note>，<note>边AB与边CD平行且相等</note>，<note>边AD与边BC平行且相等</note>。四边形EPGD是一个平行四边形，边EP与边DG平行且相等，边ED与边PG平行且相等。四边形GPFC是一个平行四边形，边GP与边FC平行且相等，边GC与边PF平行且相等。四边形EPHA是一个平行四边形，边EP与边AH平行且相等，边EA与边PH平行且相等。四边形PHBF是一个平行四边形，边PH与边FB平行且相等，边PF与边FB平行且相等。

平行线的传递性

若两条直线分别与第三条直线平行，则这两条直线互相平行。

在本题图中，<note>直线DC和直线EF分别与直线AB平行</note>。根据平行线的传递性，如果<note>直线DC平行于直线AB</note>，且<note>直线EF也平行于直线AB</note>，那么<note>直线DC和直线EF互相平行</note>。因此，<note>直线DC平行于直线EF</note>。在本题图中，<note>直线DA和直线GH分别与直线CB平行</note>。根据平行线的传递性，如果<note>直线DA平行于直线CB</note>，且<note>直线GH也平行于直线CB</note>，那么<note>直线DA和直线GH互相平行</note>。因此，<note>直线DA平行于直线GH</note>。


Question: 如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,BC=6,AC的垂直平分线交AD于点E,则△CDE的周长是()

Answer: 10

1. 已知AC的垂直平分线交AD于点E，根据垂直平分线的性质得出AE = EC。

2. 由于四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质，边AB与边DC平行且相等，边BC与边AD平行且相等，因此AB = DC = 4，BC = AD = 6。

3. 因为AE = EC，且E在AD上，所以DE = DA - AE = 6 - AE = 6 - EC。

4. 因此，##根据三角形的周长定理，##三角形CDE的周长为EC + CD + DE。

5. 根据前述结论，EC + CD + DE = EC + 4 + (6 - EC) = 4 + 6 = 10。

6. 经过上述推理，最终得出答案为10。

平行四边形; 垂直平分线; 等腰三角形; 普通三角形

垂直平分线的性质

垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等

<note>在本题图中，线段AC的垂直平分线交AD于点E</note>。根据垂直平分线的性质，<note>点E到线段AC两端点A和C的距离相等，即EA= EC</note>。

平行四边形的性质定理

在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。

在本题图中，平行四边形ABCD中，<note>∠BAD</note>和<note>∠BCD</note>相等，对角<note>∠B</note>和<note>∠D</note>相等；边<note>AB</note>和<note>DC</note>相等，边<note>BC</note>和<note>AD</note>相等。因此，AB = DC = 4 和 BC = AD = 6。

三角形的周长定理

三角形的周长等于三条边的长度之和，即如果三角形的三条边分别为a、b、c，则周长P=a+b+c。

<note>三角形△CDE</note>的三边分别为<note>EC、CD、DE</note>，根据三角形的周长定理，三角形的周长等于其三边长度之和，即<note>周长P=EC + CD + DE</note>。


Answer: 5

1. 已知ABCD是菱形，所以AB = BC = CD = DA = 5。

####

##2.## 在△ABC中，AB = 5，BC = 5，且∠B = 60°。

##3. 依据等边三角形的判定定理（等腰三角形的60度角判定）##，如果一个三角形有一个角是60°且两边相等，那么这个三角形是等边三角形。

##4.## 由此可知，△ABC是等边三角形。

##5.## 因此，AC = AB = 5。

菱形; 等边三角形; 正弦; 余弦

菱形的定义

菱形是四边都相等的四边形，且对角线互相垂直平分。

<note>四边形ABCD中，所有的边AB、BC、CD、DA都是相等的</note>，因此四边形ABCD是一个菱形。

等边三角形的判定定理（等腰三角形的60度角判定）

有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形。

<note>△ABC为等腰三角形，边AB与边BC相等</note>，且<note>∠B=60°</note>。根据等边三角形的判定定理，等腰三角形中<note>若有一个内角为60°</note>，则该三角形<note>三边长度相等</note>，<note>三个内角均为60°</note>，因此可判定<note>△ABC为等边三角形</note>。####

等边三角形的定义

等边三角形是所有三条边长度相等并且所有内角都相等（均为60°）的三角形。

在本题图中，<note>三角形ABC是一个等边三角形</note>。<note>边AB、边BC和边AC的长度相等</note>，并且<note>角ABC、角ACB和角BAC的度数相等，均为60°</note>。##


Question: 如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=6,BC=9,∠B=30°,则平行四边形ABCD的面积是()

Answer: 27

1. 过点A作AE垂直于BC，交BC于点E。

2. 根据AE垂直于BC，得∠AEB=90°。

3. 已知AB=6，∠B=30°，##在直角△AEB中，根据正弦函数定义##，AE=AB×sin(30°)=6×1/2=3。

4. 根据平行四边形的面积公式S=底×高，已知BC=9，因此平行四边形ABCD的面积为9×3=27。

平行四边形的定义

平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。

直角三角形的定义

有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

<note>三角形AEB中，角∠AEB是直角（90度）</note>，因此三角形AEB是一个直角三角形。<note>边AE和边BE是直角边</note>，<note>边AB是斜边</note>。

正弦函数定义

在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。

平行四边形的面积公式

一个平行四边形的面积等于它的底边长乘以对应的高，即A = 底边长 × 高。

在本题图中，平行四边形ABCD中，<note>边BC是底边</note>，对应的高是<note>从底边BC到对边AD的垂直距离，记为AE</note>。因此，根据平行四边形的面积公式，平行四边形ABCD的面积等于<note>底边长BC乘以对应的高AE</note>，即A = BC × AE。##

高的定义

从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。

<note>从顶点A垂直于对边BC（或其延长线）的线段AE</note>是该顶点A的高。<note>线段AE与边BC形成一个直角（90度）</note>，这说明<note>线段AE是从顶点A到对边BC的垂直距离</note>。##


Question: 如图,在平行四边形ABCD中,过点C的直线CE⊥AB,垂足为E,若∠EAD=54°,则∠BCE的度数为()

Answer: 36°

1. 已知直线CE垂直于线段AB，垂足为点E####，得∠AEC=90°。

2. 已知∠EAD=54°，##设AD和CE的交点为点F，根据三角形内角和定理，得∠AFE = 180°-90° - 54° = 36°。##

3. 四边形ABCD是平行四边形，由平行四边形的性质，边AD平行于边BC。

4. 由##平行线的平行公理2##，在##AD∥BC##时，∠ECB = ##∠AFE##。

5. 由以上推理得出，##∠BCE## = 36°。

####

平行四边形; 垂线; 内错角; 邻补角; 直角三角形

三角形内角和定理

任意三角形的三个内角的和为180°

平行四边形的性质定理

在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。

平行线的平行公理2

如果两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

##在本题图中，<note>两条平行线AD和BC被第三条直线CE所截</note>，形成了以下几何关系：1. <note>同位角：角AFE和角BCE相等</note>。2. <note>内错角：角DFC和角BCF相等</note>。3. <note>同旁内角：角AFC和角BCF互补，即角AFC+ 角BCF= 180度</note>。这些关系说明了在两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。


Question: 平行四边形ABCD的周长是28cm,AC与BD相交于点O,△AOB的周长比△OBC的周长大4cm,那么AB等于()

Answer: 9cm

1. 已知平行四边形ABCD，根据平行四边形的性质，可得对角线互相平分，因此OA=OC且OB=OD。

2. 已知平行四边形ABCD的周长是28cm，根据平行四边形的性质，各边两两相等，因此AB=CD且AD=BC。

3. 根据周长公式可得：AB + BC + CD + DA = 2(AB + BC) = 28cm，由此可得：AB + BC = 14cm。

4. 已知△AOB的周长比△OBC的周长大4cm，通过##三角形的周长定理##可得：AB + OA + OB -(BC + OB + OC) = AB - BC = 4cm。

5. 结合AB + BC = 14cm和AB - BC = 4cm，代入解得：2AB = 18cm，因此AB = 9cm。

6. 经过上述推理，最终得出答案为9cm。

线段; 平行四边形; 普通三角形

平行四边形的定义

平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。

在本题图中，<note>四边形ABCD是一个平行四边形</note>，<note>边AB与边CD平行且相等</note>，<note>边AD与边BC平行且相等</note>。

平行四边形的性质定理

在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。

平行四边形的周长

平行四边形的周长等于其两组邻边的两倍之和。公式为：P = 2(a + b)，其中a和b为平行四边形的两条邻边。

<note>平行四边形ABCD中</note>，<note>边AB和BC是相邻的两条边</note>，<note>边CD和DA也是相邻的两条边</note>。根据平行四边形的周长公式，平行四边形的周长等于其两组邻边的两倍之和，即<note>周长P = 2(AB + BC)</note>。

三角形的周长定理

<note>已知三角形△AOB的三边分别为OA、OB、AB</note>，根据三角形的周长定理，<note>三角形的周长等于其三边长度之和</note>，即周长P=OA+OB+AB，同理，<note>已知三角形△OBC的三边分别为OC、OB、BC</note>，根据三角形的周长定理，<note>三角形的周长等于其三边长度之和</note>，即周长P=BC + OB + OC。


Question: 如图,平行四边形ABCD的对角线交于点O,且AB=5,△OCD的周长为23,则平行四边形ABCD的两条对角线的和是()

Answer: 36

1. 已知四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质，对边相等，得出AB=CD=5。

2. 由于三角形OCD的周长为23，因此OC+OD+CD=23。

3. 由步骤1已知CD=5，因此OC+OD=23-5=18。

4. 平行四边形的对角线互相平分，故BD=2*OD，AC=2*OC。

5. 由于OC+OD=18，因此BD+AC=2*OC+2*OD=2*(OC+OD)=2*18=36。

6. 经过上述推理，最终得出平行四边形ABCD的两条对角线的和为36。

平行四边形; 线段; 中点; 普通三角形; 旋转

平行四边形的定义

平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。

平行四边形的性质定理

在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。

三角形的周长定理

在本题图中，已知三角形△OCD的三边分别为<note>OC</note>、<note>OD</note>、<note>CD</note>，根据三角形的周长定理，三角形的周长等于其三边长度之和，即周长<note>P=OC +OD+CD</note>。##


Question: 如图平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O, AB=7, AC=10, △ABO周长为16, 那么对角线BD的长等于()

Answer: 8

1. 已知AB = 7，AC = 10，且△ABO的周长为16，根据三角形的周长公式，得出AB + OA + OB = 16。

2. 将已知条件AB代入，得出7 + OA + OB = 16，从而得出OA + OB = 9。

3. 由于ABCD是平行四边形，所以两对角线AC和BD互相平分，根据对角线性质，得出AC = 2 * OA 和 BD = 2 * OB。

4. 根据AC = 10，得到2 * OA = 10，进而得到OA = 5。

5. 从OA + OB = 9和OA = 5，计算得到OB = 9 - 5 = 4。

6. 根据对角线性质BD = 2 * OB，得到BD = 2 * 4 = 8。

7. 经过上述推理，最终得出答案为8。

平行四边形; 线段; 平行线; 中点; 普通三角形

平行四边形的定义

平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。

<note>在本题图中，四边形ABCD是一个平行四边形</note>，<note>边AB与边CD平行且相等</note>，<note>边AD与边BC平行且相等</note>。

平行四边形的性质定理

在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。

三角形的周长定理

<note>三角形ABO的三边分别为AB、OA、OB</note>，根据三角形的周长定理，<note>三角形的周长等于其三边长度之和</note>，即周长<note>P=AB+OA+OB</note>。


Question: 如图,平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边BC、DA分别交于E、F,连接CF,若平行四边形ABCD的周长等于18cm,则△CDF的周长等于()

Answer: 9cm

1. 已知平行四边形ABCD对角线AC的垂直平分线与边BC、DA分别交于E、F。

####

##2##. 平行四边形ABCD的周长等于18cm，根据平行四边形的性质，AB = CD且AD = BC，所以AB + CD + AD + BC = 18cm， ##设##AB = CD = x，AD = BC = y ， 2x + 2y = 18 ，故x + y = 9。

##3##. 在平行四边形ABCD中，连接CF, 根据##垂直平分线的性质##，AF = CF，由此得出△CDF的周长等于AD + DC。

##4##. 因为AD = BC = y，DC = x, 所以△CDF的周长等于x + y，而x + y = 9。

##5##. 经过上述推理，最终得出△CDF的周长等于9cm。

平行四边形; 垂直平分线; 等腰三角形; 线段; 三角形的外角

垂直平分线的性质

垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等

平行四边形的定义

平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。

<note>四边形ABCD是一个平行四边形</note>，<note>边AB与边CD平行且相等</note>，<note>边AD与边BC平行且相等</note>。这确定了<note>AB = CD = x</note>和<note>AD = BC = y</note>。

平行四边形的性质定理

在平行四边形中，对角相等，对边相等，对角线互相平分。

三角形的周长公式

三角形的周长等于三条边的长度之和，即如果三角形的三条边分别为a、b、c，则周长P=a+b+c

<note>三角形CDF</note>的三边分别为<note>CD、CF、DF</note>，根据三角形的周长公式，三角形的周长等于其三边长度之和，即周长<note>P=CD+CF+DF</note>。##